Matematicas 5 Ecuaciones_Diferenciales

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Matemticas 5Ecuaciones

diferenciales

Joel Ibarra EscutiaInstituto Tecnolgico de Toluca

Revisin tcnica

Toms Narciso Ocampo PazInstituto Tecnolgico de Toluca

Santiago Milln SolaresInstituto Tecnolgico de Toluca

MXICO BOGOT BUENOS AIRES CARACAS GUATEMALA MADRID NUEVA YORK SAN JUAN SANTIAGO SAO PAULO AUCKLAND LONDRES MILN MONTREAL

NUEVA DELHI SAN FRANCISCO SINGAPUR ST. LOUIS SIDNEY TORONTO

Matemticas 5Ecuaciones

diferenciales

Director Higher Education: Miguel ngel ToledoEditor sponsor: Pablo E. RoigCoordinadora editorial: Marcela I. RochaEditora de desarrollo: Ana Laura DelgadoSupervisor de produccin: Zeferino Garca

Asesor tcnico de enfoque por competencias: Luis Miguel Trejo

MATEMTICAS 5. ECUACIONES DIFERENCIALES

Prohibida la reproduccin total o parcial de esta obra,por cualquier medio, sin la autorizacin escrita del editor.

DERECHOS RESERVADOS 2013 respecto a la primera edicin porMcGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V.

Edifi cio Punta Santa FeProlongacin Paseo de la Reforma 1015, Torre APiso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe,Delegacin lvaro ObregnC.P. 01376, Mxico, D.F.Miembro de la Cmara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Nm. 736

ISBN: 978-607-15-0962-8

1234567890 2456789013

Impreso en Mxico Printed in Mexico

Para Palo y Crispa

Para la mujer ms importante de mi vida,por haber utilizado coordenadas polares

para tatuar en mi alma la grfi ca de la funcinf (x) = 1 sen x desde que fuimos nios.

Gracias por haber aceptado compartirel resto de tu vida conmigo.

Contenido

Prefacio ............................................................................................................................ xi

Prlogo ............................................................................................................................. xiv

Agradecimientos ............................................................................................................. xvii

Evaluacin diagnstica ................................................................................................... xviii

Unidad 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden ................................... 11.1 Introduccin ............................................................................................................... 2

Definiciones generales ................................................................................................. 2Tipo de una ecuacin diferencial................................................................................. 3Orden de una ecuacin diferencial .............................................................................. 5Linealidad de una ecuacin diferencial ordinaria........................................................ 5Grado de una ecuacin diferencial .............................................................................. 6Solucin de una ecuacin diferencial .......................................................................... 7Problema del valor inicial y el teorema de existencia y unicidad ................................. 14

Desarrollo de competencias ................................................................................... 17Competencia final ................................................................................................. 19

1.2 Ecuaciones diferenciales separables ....................................................................... 19Ecuaciones que se reducen a ecuaciones separables .................................................... 26Caso 1 ......................................................................................................................... 28Caso 2 ......................................................................................................................... 28Caso 3 ......................................................................................................................... 28Caso 4 ......................................................................................................................... 28


1.3 Ecuaciones diferenciales homogneas .................................................................... 31Desarrollo de competencias .......................................................................................... 39Competencia final ........................................................................................................ 41

1.4 Ecuaciones diferenciales exactas ............................................................................ 41Caso especial 1 ............................................................................................................ 50Caso especial 2 ............................................................................................................ 50


1.5 Ecuaciones diferenciales lineales ............................................................................ 56Caso 1 ......................................................................................................................... 63Caso 2 ......................................................................................................................... 63


1.6 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli ..................................................................... 66Caso 1 ......................................................................................................................... 66Caso 2 ......................................................................................................................... 67


VIII CONTENIDO

Unidad 2 Ecuaciones diferenciales de orden superior ................................ 752.1 Introduccin ............................................................................................................... 76

2.2 Teora preliminar ........................................................................................................ 76Definicin de ecuacin diferencial lineal de orden n ................................................... 76Problema de valor inicial y problema de valores en la frontera .................................. 77Teorema de existencia y unicidad de la solucin de un problema de valor inicial ....... 80Dependencia lineal e independencia lineal .................................................................. 81El wronskiano ............................................................................................................. 83El principio de superposicin ...................................................................................... 86Caso 1 ......................................................................................................................... 86Caso 2 ......................................................................................................................... 86Conjunto fundamental de soluciones .......................................................................... 87Solucin general de la ecuacin diferencial lineal homognea .................................... 88Reduccin de orden .................................................................................................... 89


2.3 Ecuaciones diferenciales lineales con coe cientes constantes ............................. 96La ecuacin caracterstica de una EDL con coeficientes constantes ........................... 97Caso 1 ......................................................................................................................... 98Caso 2 ......................................................................................................................... 98Caso 3 ......................................................................................................................... 99Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior con coeficientes constantes ........ 103Caso 1 ......................................................................................................................... 104Caso 2 ......................................................................................................................... 104Caso 3 ......................................................................................................................... 104Caso 4 ......................................................................................................................... 104


2.4 Ecuaciones diferenciales lineales no homogneas ................................................. 108La solucin de una ecuacin diferencial lineal no homognea .................................... 108El mtodo de los coeficientes indeterminados (principio de superposicin) ................ 109


2.5 Mtodo de variacin de parmetros ......................................................................... 119Desarrollo de competencias .......................................................................................... 129Competencia final ........................................................................................................ 130

Unidad 3 La transformada de Laplace ............................................................... 1333.1 Introduccin ............................................................................................................... 134

3.2 Teora preliminar ........................................................................................................ 134Definicin de la transformada de Laplace .................................................................. 135Condiciones suficientes de existencia para la transformada de Laplace ...................... 139


CONTENIDO IX

3.3 La transformada de Laplace directa .......................................................................... 145Desarrollo de competencias .......................................................................................... 147Competencia final ........................................................................................................ 148

3.4 La transformada inversa de Laplace ......................................................................... 148Desarrollo de competencias .......................................................................................... 153Competencia final ........................................................................................................ 154

3.5 Teoremas de traslacin.............................................................................................. 155Primer teorema de traslacin ...................................................................................... 155Segundo teorema de traslacin ................................................................................... 160


3.6 Derivada de una transformada, transformada de una funcin peridicay convolucin ............................................................................................................. 169Derivada de una transformada ................................................................................... 170Transformada de una funcin peridica ..................................................................... 173La convolucin .......................................................................................................... 178


3.7 Solucin de ecuaciones diferenciales e integrales ................................................. 184Transformada de una derivada ................................................................................... 184Solucin de ecuaciones diferenciales ........................................................................... 186Solucin de ecuaciones integrales................................................................................ 192


3.8 La funcin delta de Dirac ........................................................................................... 196Desarrollo de competencias .......................................................................................... 199Competencia final ........................................................................................................ 200

Unidad 4 Introduccin a los sistemas de ecuaciones diferenciales ....... 2014.1 Introduccin ............................................................................................................... 202

4.2 Solucin algebraica de un sistema de ecuaciones diferenciales ........................... 202Desarrollo de competencias .......................................................................................... 208Competencia final ........................................................................................................ 210

4.3 Solucin de sistemas de ecuaciones diferenciales utilizandola transformada de Laplace ....................................................................................... 211Desarrollo de competencias .......................................................................................... 215Competencia final ........................................................................................................ 216

Unidad 5 Introduccin al anlisis de Fourier .................................................. 2175.1 Teora preliminar ........................................................................................................ 218

Funciones peridicas .................................................................................................. 219

X CONTENIDO

Funciones pares e impares .......................................................................................... 219Funciones ortogonales ................................................................................................ 221


5.2 Series de Fourier ........................................................................................................ 226La serie de Fourier ...................................................................................................... 227Condiciones de convergencia de una serie de Fourier ................................................. 229


5.3 Series de Fourier en cosenos, senos y de medio intervalo ...................................... 240Desarrollos en serie de Fourier de funciones pares e impares ..................................... 240Desarrollos en series de Fourier en cosenos y en senos para funciones definidas en un intervalo [0, L] ............................................................................................... 243Desarrollo de series de Fourier para funciones definidas en medio rango. ................. 248


5.4 La serie compleja de Fourier ..................................................................................... 257Desarrollo de competencias .......................................................................................... 260Competencia final ........................................................................................................ 261

Soluciones a problemas impares ............................................................................ 263

ndice analtico ..................................................................................................... 277

Prefacio

Para el instructor

Filosofa

El inters de McGraw-Hill por proporcionar herramientas de calidad para el desarrollo acad-mico se manifi esta en esta obra que, ms all de formar un compendio de conceptos tericos, teoremas y ejercicios, intenta ser un vnculo entre el estudio de las ecuaciones diferenciales y los principales protagonistas del proceso de enseanza-aprendizaje: los estudiantes. El enfoque utilizado a pesar de ser formal no deja de ser accesible.

Caractersticas de esta obraEl material proporcionado en esta obra, complementa la exitosa serie de matemticas ofrecida por McGraw-Hill para las carreras de cien-cias e ingeniera.

Comienza con una evaluacin escrita para diagnosticar el nivel de conocimientos de los estudiantes antes de iniciar el curso de ecua-ciones diferenciales; esta prueba aborda temas de clcu lo diferencial, clculo integral, clculo vectorial y lgebra lineal, integrados en 45 problemas fundamentales de las materias mencionadas. Lejos de una califi cacin numrica, esta prueba tiene la intencin de hacer ver a cada estudiante los temas que deber reforzar antes de adentrarse en el estudio de la materia.

Una caracterstica de este libro es que la numeracin de los teo-remas, defi niciones, obser va ciones y ejercicios resueltos se reinicia en cada seccin. De manera que para hacer una referencia a alguno de estos, se menciona el nmero que le corresponde y la seccin donde se en cuentra, por ejemplo: se puede referir al teorema 3 de la seccin 4.2. De la misma forma, la nu meracin de las fi guras se reinicia en cada seccin, por ejemplo, para hacer referencia a la fi gura 3 de la seccin 2, se escribe fi gura 2.3.

Sobresale tambin la cantidad de ejercicios incluidos en la seccin Desarrollo de competencias que aparece al fi nal de cada tema, hasta 70 problemas en algunos casos. Adems de lo anterior, se proporciona una lista de problemas llamada Competencia fi nal, a fi n de que, al ser resueltos por el alumno, el docente pueda detectar cules compe-tencias se desarrollaron a lo largo del periodo de estudio.

Los problemas son variables en nivel de difi cultad, desde los muy simples hasta algunos que requerirn el uso de alguna tecnologa de informacin y comunicacin (TIC) para su solucin, generalmente se requiere el apoyo de un sistema algebraico computarizado (SAC).

Otra caracterstica sobresaliente de Matemticas 5, Ecuaciones diferenciales es que aborda un primer estudio de las ecuaciones dife-renciales de manera accesible. De esta forma, el estudio de las ecua-

Evaluacin diagnstica

Clculo diferencial 1. Enunciar la defi nicin de lmite de una funcin.

2. Enunciar la defi nicin de derivada.

En los problemas 3 a 7, calcular la derivada de las funciones dadas.

3. ) )( (= + + +f x x x x x x( ) 2 3 3 13 2 3 2 2

4. )(=+ +

+f x

x x x

x x( )

2 3

3 1

3 2

2 2

5. = + + +

f xx xx x

( )2

3 1

3 2

2

12

6. = + +g x x( ) ( 2)x x2 12

7. = + + f x x x x x( ) cos3 (1 tan )( 3 1)2

En los problemas 8 y 9, evaluar la derivada implcita de las funciones dadas.

8. + = + +x y x y x y x y xy xy x y4 5 2 3 3 2 5 13 2 2 3 2 2 2 2

9. + = xy xe x y y xtan 3 ln lnxy2

10. Grafi car la funcin = + f x x x x( ) 6 11 63 2

11. Determinar el rea del mayor cuadriltero que se puede inscribir en un crculo de radio r.

Preliminares.indd XVII 01/03/13 14:26

Segundo teorema de traslacin (2o. TT)

Si LL { } =f t F s( ) ( ) y >a 0, entonces { } { } = = LL UU LLf t a t a e f t e F s( ) ( ) ( ) ( )as as .DemostracinPor defi nicin, tenemos

LL UU UU{ } = f t a t a f t a t a e dt( ) ( ) ( ) ( ) st0Separamos en dos integrales a partir del punto

=t a

LL UU UU UU { } = + f t a t a f t a t a e dt f t a t a e dt( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a st sta0Sustituimos el valor de la funcin escaln unitario en cada intervalo

LL UU { } = + f t a t a f t a e dt f t a e dt( ) ( ) ( )(0) ( )(1)a st a st0Ahora, evaluamos la integral

LL UU { } = f t a t a f t a e dt( ) ( ) ( )a stSi elegimos el cambio de variable = z t a, =dz dt, tenemos

LL UU { } = +f t a t a f z e dt( ) ( ) ( ) s z a0 ( )De manera equivalente,

LL UU { } = f t a t a e f z e dt( ) ( ) ( )a s s z0Finalmente,

{ } { } = = LL UU LLf t a t a e f t e F s( ) ( ) ( ) ( )a s as

Teorema 2

Comunicarse en el lenguaje matemtico en forma escrita.Lograr un pensamiento lgico, analtico y sinttico.Argumentar con contundencia y precisin.

Unidad 3 (155-169).indd 163 01/03/13 17:38

Capacidad para generar nuevas ideas.Resolver problemas.

En los ejercicios 1 a 41, resolver los sistemas de ecuacio-nes diferenciales dados, ya sea mediante una eliminacin sistemtica o bien por determinantes (regla de Cramer).

1. dxdt

y

dydt

x4

=

=

2. dxdt

x y

dydt

x y2

=

= +

3. dxdt

x y t

dydt

x y

= +

= +

4. dxdt

x y

xdydt

y

4 1

2 3 1

=

+ =

5. x x y

y x y

4 10

2 8

=

= +

6. x x y2 5 =

8. x x y

x y y

3 0

3 0

=

+ =

9. dxdt

y e

dydt

x

t= +

=

10. x x y

x y y

2 2 0

5 0

+ + =

+ =

11. dxdt

y t

dydt

x t

3

3

= +

=

12. dxdt

x y

xdydt

y

2 5 0

5 2 0

+ =

+ + =

13. x x y

x y y

6 2 0

6 2 0

+ =

+ =

14. x x y t

y x y

10 5

8 12

=

=

4.2 Desarrollo de competencias

Unidad 4.indd 208 01/03/13 17:49

XII PREFACIO

ciones ordinarias de primer orden, las ecuaciones de orden superior, la transformada de Laplace, los sistemas de ecuaciones diferenciales y las series de Fourier contribuyen a desarrollar en el estudiante un pensamiento formal y heurstico que le permitir modelar situaciones y resolver problemas.

Como un complemento y dado que algunos planes de estudio abarcan ms all de las series de Fourier, se proporciona un captu lo dedicado al estudio de las ecuaciones diferenciales parciales as como su correspondiente lista de problemas. Este cap-

tulo lo puede encontrar en el centro de aprendi-zaje en lnea de este libro: www.mhhe.com/uni/ibarramate5e.

En las notas al margen se incluyen en todo el libro algunos comentarios que indican la compe-tencia que se puede desarrollar al estudiar cada uno de los temas y se hacen observaciones breves

pero de gran utilidad que el estudiante no debe pasar por alto. De la misma forma, en cada problema resuelto se dan instruccio-nes paso a paso que detallan los procedimientos realizados, lo que resulta un apoyo slido para estudios autodidactas y marca una gran diferencia respecto a otros libros.

En cada unidad se incluye una nota biogrfi ca de personajes clebres que han aportado resultados fundamentales al estudio de las ecuaciones diferenciales.

Cada unidad inicia con la lista de temas incluidos y se enlistan las competencias especfi cas que debern desarrollarse en el correspondiente periodo.

Para el estudianteDe nio escuch muchas veces decir a un per-sonaje de piel azul y ojos saltones estas pala-bras: estn ustedes a punto de entrar en una nueva dimensin, en un mundo desconoci-do Muchas dcadas despus quiero utilizar esas mismas palabras para decirle a los estu-diantes de un curso introductorio de ecuacio-nes diferenciales que nos enfrentamos a una de las partes de las matemticas ms puras, abstractas y emocionantes. Sin duda, abordar la materia representa todo un reto al intelecto, inclusive, algunos podran pensar que es complicado. Pero todo lo contrario. Despus de haber pasado ms de la mitad de mi vida enseando matemticas, he convivido con estudiantes j-venes y no tan jvenes, con gente con talento innato y con gente que sufre cada concepto, con muchachos ambiciosos y tambin con conformistas. De todos ellos he aprendido que el trabajo salva cualquier situacin. El estudio todo lo resuelve y unas buenas bases ayudan bastante. Las herramientas fundamentales de este curso son el clculo y el lgebra lineal. Aprend con Lar-son, Zill y Grossman que estas materias se cimientan sobre las habilidades y los conocimientos previos de cada estudiante, que se necesita del lgebra bsica a la trigonometra, y qu decir

Demostrar que el conjunto CCt t t tsen , sen2 , cos , cos2 [ , ] { } es ortogonal.SolucinPara demostrar la ortogonalidad del conjunto de funciones en el intervalo [ , ] es necesa -rio calcular los productos punto entre todas las parejas posibles de funciones. Para simplifi car los clculos aplicamos los resultados mostrados en el teorema 1, es decir

t t t t dt t t dtsen sen2 sen sen2 2 sen sen 2 00

= = =

t t t t dtsen cos sen cos 0 = =

t t t t dtsen cos2 sen cos2 0 = =

t t t t dtsen2 cos sen2 cos 0 = =

t t t t dtsen2 cos2 sen2 cos2 0 = =

t t t t dt t t dtcos cos2 cos cos 2 2 cos cos 2 00

= = =

t t dtsen sen2 = =

t t dtsen2 sen 22 = =

t t dtcos cos2 = =

d2 2

Del teorema 1 sabemos que el producto de dos funciones pares es par; el producto de dos funciones impares es par, y el producto de una funcin par y una funcin impar es impar.

Del teorema 1 sabemos que

1. Si f t( ) es una funcin par, entonces

f t dt f t dt( ) 2 ( )a

a a

0 =

2. Si f t( ) es una funcin impar, entonces

f t dt( ) 0a

a =

.

Resolver problemas.

Ibarra Unidad 5 (217-240).indd 223 01/03/13 18:02

Una primera forma de resolver un sistema de ecua-ciones diferenciales es mediante la eliminacin sistemtica de alguna de las variables dependientes. Para esto, en la si-guiente observacin introducimos la notacin de los opera-dores diferenciales, lo cual nos permitir la manipulacin algebraica de un sistema.

OBSERVACIN 1 Uso del operador diferencial en una EDO lineal

Consideremos la ecuacin diferencial ordinaria

a y a y a y a y a y g x( )nn

nn( )

1( 1)

2 1 0$+ + + + + =

Si suponemos que #y D y y D y y D y, , ,n n n n( ) ( 1) 1 2= = = y y Dy = podemos escribir de manera equivalente

a D y a D y a D y a Dy a y g x( )nn

nn

11

22

1 0$+ + + + + =

O bien,

a D a D a D a D a y g x( )nn

nn

11

22

1 0$( )+ + + + + = Si consideramos al operador diferencial D d

dx= como una varia-

ble en el miembro izquierdo de esta ltima expresin, defi nimos el po-linomio diferencial

p D a D a D a D a D a( ) nn

nn

11

22

1 0$= + + + + +

De manera que la EDO original se puede expresar como

p D y g x( ) ( )=

Observamos que el polinomio diferencial p(D) tiene coefi cientes reales y grado n, de ma-nera que por el teorema fundamental del lge-

Nota biogrf ica

Paul Maurice Dirac (Bristol, Reino Unido, 1902-Tallahassee, Estados Unidos, 1984) Fue un fsico britnico, hijo de un profesor de fran-cs de origen suizo. Estudi en la escuela en que imparta clases su padre, donde pronto mostr particular facilidad para las matem-ticas. Curs estudios de ingeniera elctrica en la Universidad de Bristol, interesndose espe-cialmente por el asiduo empleo de las aproxi-maciones matemticas de que hace uso la ingeniera para la resolucin de todo tipo de problemas.

Sus razonamientos posteriores se basaron en el asierto de que una teora que intente explicar leyes fundamentales del comporta-miento de la naturaleza puede construirse slidamente sobre la base de aproximaciones sugeridas por la intuicin, sin llegar a tener la certeza de cules son en realidad los hechos acontecidos, dado que estos pueden llegar a ser de una complejidad tal que difcilmente pueden llegar a ser descritos con exactitud, por lo cual el fsico deber contentarse con un conocimiento tan solo aproximado de la

lid d

Comunicarse en el lenguaje matemtico en forma escrita.

Lograr un pensamiento lgico, analtico y sinttico.

Argumentar con contundencia y precisin.

Unidad 4.indd 203 01/03/13 18:09

2.1 Introduccin

2.2 Teora preliminar

2.3 Ecuaciones diferenciales lineales con coefi cientes constantes

2.4 Ecuaciones diferenciales no homogneas

2.5 Mtodo de variacin de parmetros

ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Competencia espec caModelar la relacin existente entre una funcin descono-cida y una variable independiente mediante una ecuacin diferencial lineal de orden superior que describe algn proceso dinmico (movimiento vibratorio y circuitos elctricos).

Comprender la importancia de la solucin de una EDL homognea en la construccin de la solucin gene-ral de una no homognea.

Aplicar el mtodo de coefi cientes indeterminados y el de variacin de parmetros, seleccionando el ms ade-cuado en situaciones especfi cas.

Competencias genricas Representar e interpretar conceptos en forma geomtrica y algebraica.

Potenciar las habilidades para el uso de nuevas tecnologas.

Resolver problemas. Reconocer conceptos generales e integradores. Argumentar con contundencia y precisin. Optimizar soluciones.

Competencias instrumentales Capacidad de anlisis y sntesis. Habilidades bsicas de manejo de la computadora. Solucin de problemas.

Competencias sistmicas

2Unidad

Unidad 2 (75-96).indd 75 01/03/13 18:12

PREFACIO XIII

de los cursos de matemticas que preceden a este. Por los tiempos manejados en el aula y el creciente desinters estudiantil por repasar estas bases, resulta imposible subsanar las carencias del alumno en este curso, de manera que al inscribirse en esta materia, quien ensea da por hecho que las matemticas de bachillerato, no sern un obstculo. De no ser as se sugiere al alumno resolverlo de inmediato.

Nunca est por dems repasar de sobra y no caer en un exceso de confi anza, razn muy comn del fracaso acadmico. Si a la complejidad de la materia le agregamos la falta de com-promiso de algunos docentes improvisados, entonces la responsabilidad de un buen resultado depende nicamente del que aprende.

Aprender matemticas no es como aprender a caminar, que solo se hace una vez y en lo subsecuente la habilidad se desarrolla de manera natural. Esto es diferente, se aprende y si no se practica se olvida; es como aprender otro idioma y tratar de hablarlo aos despus sin practi-car, aun los ms hbiles necesitan de la diaria labor de ejercitar la mente. No he encontrado un mtodo ms efi ciente para aprender matemticas que tomar papel y lpiz, sentarse en el lugar de nuestra preferencia sin distracciones y enfrentarse al dragn de la ignorancia. No se necesita ser un talento acadmico, se requiere actitud y responsabilidad. El que ensea puede hacer cientos de ejercicios y el que aprende puede limitarse a observar, pero quien cada vez ser ms hbil es el que lo piensa y lo escribe. Lo que realmente produce un aprendizaje signifi cativo es resolver por uno mismo un problema, escribirlo, sufrirlo, dudar, intentar, esforzarse

Suerte a los estudiantes que con determinacin y responsabilidad inician la nueva dimen-sin, los dems observen y envidien.

Prlogo

Vivimos tiempos de cambio y la educacin no es ajena a este proceso. Los planes de estudio de las instituciones de educacin superior se renuevan constantemente para estar a la altura de las necesidades actuales y se establecen nuevas metodologas que deben ser respaldadas con textos de calidad.

Como una contribucin a esta revolucin educativa se desarrolla esta obra dirigida al primer curso de ecuaciones diferenciales impartido en las principales escuelas de ciencias e ingeniera.

Matemticas 5, Ecuaciones diferenciales es el complemento de la coleccin de textos que cubren los planes y programas de estudio ms recientes que se imparten en los institutos tecno-lgicos y universidades estatales, entre otras. Aunado a lo anterior y como es usual, el presente material ofrece un estilo cientfi co preciso y formal pero de fcil comprensin.

Entre las principales caractersticas de esta obra podemos mencionar:

Adaptacin al nuevo modelo de competencias. Ejemplos y ejercicios diferentes a los tradicionales. Examen de evaluacin diagnstica de clculo diferencial, clculo integral, clculo vecto-

rial y lgebra lineal. Seccin problemas como competencia fi nal al trmino de cada seccin. Utilizacin de las tecnologas de informacin y comunicacin (TIC). Notas que refuerzan los principales conceptos tericos. Notacin formal pero accesible para el estudiante. Estructura encaminada a desarrollar un pensamiento lgico, heurstico, deductivo y algo-

rtmico para resolver problemas. Actividades encaminadas al desarrollo de competencias genricas, instrumentales, sist-

micas y especfi cas.

Las competencias y las ecuaciones diferencialesUna de las caractersticas ms sobresalientes de esta obra es que se ha organizado para con-tribuir al desarrollo de competencias especfi cas, genricas, instrumentales y sistmicas, tales como:

Competencias espec casUNIDAD 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden Identifi car los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, sus

soluciones generales, particulares y singulares e interpretarlas en el contexto de la situa-cin en estudio.

Modelar la relacin existente entre una funcin desconocida y una variable independiente mediante una ecuacin diferencial que describe algn proceso dinmico.

UNIDAD 2 Ecuaciones diferenciales de orden superior Modelar la relacin existente entre una funcin desconocida y una variable independiente

mediante una ecuacin diferencial lineal de orden superior que describe algn proceso dinmico (Movimiento vibratorio y circuitos elctricos).

PRLOGO XV

Comprender la importancia de la solucin de una EDL homognea en la construccin de la solucin general de una no homognea.

Aplicar el mtodo de coefi cientes indeterminados y el de variacin de parmetros, seleccio-nando el ms adecuado en situaciones especfi cas.

UNIDAD 3 La transformada de Laplace Reconocer y aplicar la Transformada de Laplace como una herramienta til en la solucin

de ecuaciones que se presentan en su campo profesional.

UNIDAD 4 Introduccin a los sistemas de ecuaciones diferenciales Modelar y describir situaciones diversas a travs de sistemas de ecuaciones diferenciales

lineales. Resolver sistemas de ecuaciones diferenciales lineales utilizando el mtodo de los operado-

res diferenciales y la transformada de Laplace. Integrar las herramientas estudiadas en las unidades previas al reconocer las limitaciones

y ventajas de los mtodos aplicados.

UNIDAD 5 Introduccin al anlisis de Fourier Aprender los conceptos de ortogonalidad, conjuntos ortogonales y la defi nicin de las

series de Fourier. Aprender a calcular series de Fourier (forma trigonomtrica) de funciones peridicas en

un periodo arbitrario centrado. Aprender a calcular series de Fourier en cosenos y series de Fourier en senos. Aprender a calcular series de Fourier de medio intervalo. Aprender a calcular series de Fourier en su forma compleja.

Competencias genricas Procesar e interpretar datos. Representar e interpretar conceptos en diferentes formas: numrica, geomtrica, algebrai-

ca, trascedente y verbal. Comunicarse en el lenguaje matemtico en forma oral y escrita. Modelar matemticamente fenmenos y situaciones. Lograr un pensamiento lgico, algortmico, heurstico, analtico y sinttico. Potenciar las habilidades para el uso de nuevas tecnologas. Resolver problemas. Analizar la factibilidad de las soluciones. Tomar decisiones. Reconocer conceptos o principios generales e integradores. Establecer generalizaciones. Argumentar con contundencia y precisin. Optimizar soluciones.

Competencias instrumentales Capacidad de anlisis y sntesis. Comunicacin escrita. Habilidades bsicas de manejo de la computadora. Solucin de problemas.

XVI PRLOGO

Competencias sistmicas Capacidad de aplicar los conocimientos en la prctica. Habilidades de investigacin. Capacidad para aprender. Capacidad para generar nuevas ideas. Habilidad para trabajar en forma autnoma. Bsqueda de logros.

Agradecimientos

Es verdaderamente descomunal el trabajo que debe realizarse para elaborar un libro de estas caractersticas. Una obra no solo se debe a su autor sino a mucha gente que, detrs de la trin-chera, ofrece su cotidiano esfuerzo para que los sueos se hagan realidad. Quiero expresar un sincero agradecimiento a todos los miembros de la editorial que de alguna manera han colaborado conmigo en los 16 trabajos previos que nos respaldan. Literalmente, hemos pisado juntos los escenarios del clculo diferencial, del clculo integral, del clculo vectorial, del l-gebra lineal, de la esttica, de la dinmica y de la fsica general, hoy venimos a cerrar esta gira con las ecuaciones diferenciales. Agradezco de todo corazn que desde siempre me recibieron con gran afecto y desmedida atencin. No debo dejar de reconocer la amabilidad de Lupita, el fundamental apoyo de Abel, el profesionalismo de Carlos, la alegra y sinceridad de Anita, la paciencia de Zefe, el trabajo de Ramn, la perpetua presin de Marce, la confi anza de Jess y la visin de Pablo y muy en especial la oportunidad que me da Miguel ngel. En mis trminos es para ustedes el lmite de las gracias, cuando las gracias tienden al infi nito.

Lo que ahora soy, no lo sera sin el apoyo de Beka y Nani. La familia que lograron formar lo es todo para m, la feliz niez que tuve no hubiera sido igual sin la presencia de Animal, Pinky y Chester, ha sido todo un placer compartir con ustedes mi vida, queridos hermanos.

Cada letra, cada nmero y cada smbolo contenido en este libro representan un instante que no pude compartir con quienes ms quiero en la vida: Paloma y Cristbal. Cmo me hu-biera gustado verlos crecer da con da y haber estado all cuando dijeron su primera palabra, cuando mudaron su primer diente, en su primer da de clases, en los festivales escolares, en sus graduaciones, en sus cumpleaos guardo la esperanza de que algn da puedan entender que lo hubiera cambiado todo por jugar con ustedes a los carritos, al torito, al futbol, a las escondidas, a volar papalotes, a mojarnos en la lluvia Sepan ustedes que desde que nacieron mi vida jams volvi a ser la misma, fue mejor porque desde entonces en mi pecho laten dos corazones: ustedes, hijos, los amo.

Un agradecimiento muy especial para la nia ms importante de mi vida, por haber uti-lizado coordenadas polares un 15 de agosto para tatuar en mi alma la grfi ca de la funcin f x x( ) 1 sen= . Nunca imagin que debido a la irracionalidad del dominio fuera posible en-contrar que f x f Llm ( ) ( )

x L BB

. Desde entonces entend que lo que grafi c Cantor era simple-

mente la grfi ca de mi vida. No todo es material ni glamour. Solo espero que el lmite exista, de lo contrario el ncleo de la transformacin asociada a mi vida tendr una nulidad muy grande. Por siempre 13, por siempre 3 y por siempre 20. Juntos tenemos un objetivo en la vida: demostrar que existe un espacio ideal, pero real, en donde las lneas paralelas y diferentes se intersecan y ya nunca ms se separan, nuestro espacio. Gracias por regresar y haber aceptado vivir all el resto de tu vida conmigo.

Joel Ibarra

Evaluacin diagnstica

Clculo diferencial 1. Enunciar la defi nicin de lmite de una funcin.

2. Enunciar la defi nicin de derivada.

En los problemas 3 a 7, calcular la derivada de las funciones dadas.

3. ) )( (= + + +f x x x x x x( ) 2 3 3 13 2 3 2 2

4. )(=+ +

+f x

x x x

x x( )

2 3

3 1

3 2

2 2

5. = + + +

f xx xx x

( )2

3 1

3 2

2

12

6. = + +g x x( ) ( 2)x x2 12

7. = + + f x x x x x( ) cos3 (1 tan )( 3 1)2

En los problemas 8 y 9, evaluar la derivada implcita de las funciones dadas.

8. + = + +x y x y x y x y xy xy x y4 5 2 3 3 2 5 13 2 2 3 2 2 2 2

9. + = xy xe x y y xtan 3 ln lnxy2

10. Grafi car la funcin = + f x x x x( ) 6 11 63 2

11. Determinar el rea del mayor cuadriltero que se puede inscribir en un crculo de radio r.

Clculo integralEn los problemas 12 a 18, evaluar las integrales dadas.

12. x x dx3 3213.

dxx1 sen

14. x x dxln4315. e bxcosax16. +

+ +

xx x x

dx2 1

( 1)( 2)( 5)

17. x

dx1

1 2

EVALUACIN DIAGNSTICA XIX

18. + + +

xx x x

dx1

( 1)( 2 4)

19. Enunciar la defi nicin de antiderivada de una funcin.

20. Enunciar el primer teorema fundamental del clculo.

21. Enunciar el segundo teorema fundamental del clculo.

22. Utilizar sumas de Riemann para calcular x dxb 40 y x dxab 4 .En los problemas 23 y 24, evaluar las integrales impropias.

23. + xe dxx024. + x x dx1 620425. Calcular el rea de la regin limitada por las funciones y xsen= , =y xcos , =x 0 y =x / 2.

26. Hallar la longitud de arco de la curva =y x23 del punto (1, 1) al punto (8, 4).

Clculo vectorial27. Considerar las rectas = + = + = +L x t y t z t: 1 2 , 1 , 21 y = = = L x t y t z t: 1 3 , 2 4 , 22 ,

si las rectas se intersecan, determinar la ecuacin del plano que las contiene. Si las rectas se cruzan, determinar la distancia entre ellas.

28. Determinar la recta de interseccin de los planos + =x y z2 2 y + =x y z3 2 1.

29. Calcular la longitud de arco de la curva x = 3t t3, y = 3t2 en t0 1 .

30. Determinar el rea de una elipse.

31. Grafi car la curva = r 1 sen .

32. En qu punto la funcin =f x x( ) ln tiene su curvatura mxima?

33. Determinar la longitud de arco de la curva t t t tr( ) ( , , )2= del punto (1, 1, 1) al punto(2, 4, 16).

34. Hallar las primeras derivadas implcitas de z de la funcin + + =x y yz zcos( ) 13 2 2 2 .

35. Hallar el volumen del slido encerrado por los cilindros + =x z 92 2 y + =y z 92 2 .

36. Evaluar la integral +x dx dy1 1y 3204 .lgebra lineal37. Determinar las races de la ecuacin =z 2 05 5

38. Encontrar los valores de a de manera que el sistema de ecuaciones lineales

x y z

x y z

x y a z a

3 1

2 1

5 8 ( 4)2

+ =

+ =

+ =

tenga a) una infi nidad, b) ninguna o c) una nica solucin.

XX EVALUACIN DIAGNSTICA

39. Reduciendo la siguiente matriz a una matriz triangular, calcular su determinante.

2 5 8 44 2 1 0

3 7 1 54 3 3 7

40. Enunciar las propiedades de los determinantes.

41. Enunciar la defi nicin de espacio vectorial y subespacio vectorial.

42. Enunciar la defi nicin de independencia lineal y dependencia lineal.

43. Enunciar la defi nicin de base y dimensin.

44. Enunciar la defi nicin de transformacin lineal.

45. Calcula los valores y vectores caractersticos de la siguiente matriz.

=E27 0 90 10 09 0 3

1.1 Introduccin

1.2 Ecuaciones diferenciales separables

1.3 Ecuaciones diferenciales homogneas

1.4 Ecuaciones diferenciales exactas

1.5 Ecuaciones diferenciales lineales

1.6 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli

ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN

Competencia espec caIdentifi car los diferentes tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden, sus soluciones generales, par-ticulares y singulares, e interpretarlas en el contexto de la situacin en estudio.

Modelar la relacin existente entre una funcin desco -nocida y una variable independiente mediante una ecua-cin diferencial que describe algn proceso dinmico.

Competencias genricas Representar e interpretar conceptos en forma geomtrica y algebraica.

Comunicarse en el lenguaje matemtico en forma oral y escrita.

Lograr un pensamiento lgico, algortmico, heurstico, analtico y sinttico.

Potenciar las habilidades para el uso de nuevas tecnologas.

Resolver problemas. Reconocer conceptos generales e integradores. Argumentar con contundencia y precisin. Optimizar soluciones.

Competencias instrumentales Capacidad de anlisis y sntesis. Habilidades bsicas de manejo de la computadora. Solucin de problemas.

Competencias sistmicas Capacidad para aprender. Capacidad para generar nuevas ideas. Habilidad para trabajar en forma autnoma.

1Unidad

2 UNIDAD 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

1.1 IntroduccinEn un primer curso de clculo, el estudio de los nmeros reales , el lmite de una funcin , la continuidad de una funcin y la derivada son temas fundamentales que el estudiante debe enfrentar.

Un problema bsico que se estudia en el Clculo diferencial es que dada una funcin en una variable de la forma y = f(x), se calcule su derivada ordinaria f x( )dy

dx= .

De la misma forma, un problema bsico del clculo de varias variables es que dada una fun-cin en dos variables z 5 f(x, y), se determinen las derivadas parciales de primer orden zx

y

zy

.

De alguna manera, en un curso bsico de ecuaciones diferenciales se estudia un problema inverso , es decir, dada una derivada f x( )dy

dx= , cmo determinar una funcin y = f(x) que

satisfaga la ecuacin anterior?Por ejemplo, dada la funcin y = xex se cumple al derivar sucesivamente que

dydx

xe ex x= +

d ydx

xe e2x x2

2 = +

De esta manera,

d ydx

dydx

y xe e xe e xe e2 2 2 0x x x x x x2

2 )( + = + + + + =La ecuacin y2 0d y

dxdydx

2

2 + = se conoce como una ecuacin diferencial porque la incgnita es una funcin, y se dice que la funcin y = xex es una solucin porque al sustituirla junto con sus derivadas en la ecuacin diferencial, la satisface.

Una manera natural de iniciar el estudio de las ecuaciones diferenciales es que a partir de la defi nicin de ecuacin diferencial se establezca una clasifi cacin, para poder tener criterios de decisin acerca de los mtodos de solucin estudiados. A continuacin proporcionamos la defi nicin de ecuacin diferencial .

De niciones generales

En un curso de lgebra elemental se aprende que para resolver la ecuacin ax 1 b 5 0 hay que realizar un despeje de la variable x, porque se trata de una ecuacin lineal en una variable . Si la ecuacin por resolver es de la forma ax2 + bx + c = 0, sabemos que por tratarse de una ecua-cin cuadrtica , la frmula general es una opcin. La clasifi cacin de las ecuaciones permite elegir el mtodo de solucin adecuado.

Con las ecuaciones diferenciales sucede lo mismo: dada una ecuacin diferen-cial, es primordial identifi car su forma para que a partir de esto se elija correcta-mente el procedimiento de solucin. De esta manera, es necesario caracterizar las ecuaciones diferenciales. Bsicamente, las ecuaciones pueden clasifi carse de acuer-do con su tipo, orden, linealidad y grado.

Describimos a continuacin cada una estas clasifi caciones.

Ecuacin diferencial (ED)

Una ecuacin diferencial es una ecuacin que contiene la derivada o las derivadas de una o ms variables dependientes respecto de una o ms variables independientes.

De nicin 1

Reconocer conceptos generales e integradores.

Las ecuaciones diferenciales se clasifi can por su tipo, orden, linealidad y grado.

1.1 Introduccin 3

Tipo de una ecuacin diferencialDe acuerdo con su tipo, las ecuaciones diferenciales pueden clasifi carse en ordinarias y parcia-les. La defi nicin precisa se muestra a continuacin.

Generalmente, la derivada de una funcin respecto de una sola variable inde-pendiente se conoce como una derivada ordinaria , de manera que una ecuacin diferencial ordinaria es aquella que contiene solo derivadas ordinarias de una o ms variables dependientes.

EJEMPLO 1 Ecuaciones diferenciales ordinariasTodas las siguientes ecuaciones diferenciales son ordinarias:

dydx

x yln lny=

dydx

y yx x

( 1)( 3)( 4)( 2)

=

+

+

x y dx x y x y dy( 1) ( 1)2 2 2 2 2 = + + +

y xdydx

x y(3 1)(3 1) ( 3) + = +

xy x y dx xy x y dy( 9 3 27) ( 4 5 20) 0+ + + =

dudt

ut

3 22 1

=

+

y dx x dycsc cot 02 + =

e x dx e ye dysen2 ( 2 ) 0y x y x y2 3 2 3+ + =

x y dx x y dytan sen sec cos 03 3+ =

y xdydx

x y( 1) (1 )2 3 2 2+ =

xy

dx y x y dy 02

+ =

y x dx x y x x dysen cos ln ln 0yxyx )( )(+ + =

y xdx x ydy 02 2+ =

Ecuacin diferencial ordinaria (EDO)

Una ecuacin diferencial se dice ordinaria si contiene la derivada o las derivadas de una o ms variables dependientes respecto de una sola variable independiente.

2 De nicin

Por su tipo, las ecuaciones diferenciales son ordinarias (si solo existe una nica variable independiente) o parciales (si existen dos o ms variables independientes).

Reconocer conceptos generales e integradores.

4 UNIDAD 1 Ecuaciones diferenciales de primer orden

dydx

y f x( )+ = , f xx

x( ) 1 0 2

1 2b=

Matematicas 5 Ecuaciones_Diferenciales

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