UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTAEDUCACIÓN MENCIÓN MATEMÁTICA (508)

VICERRECTORADO ACADÉMICOUNIDAD EVALUACIÓN ACADÉMICA

TRABAJO PRÁCTICO

ASIGNATURA: MATEMÁTICAS Y CIENCIAS

CÓDIGO: 532

FECHA DE ENTREGA: 24/11/12

LAPSO ACADÉMICO: 2012-U

NOMBRE DEL ESTUDIANTE: Lennyn E, Arias G.

CÉDULA DE IDENTIDAD: 13.082.021

CENTRO LOCAL: Zulia

CARRERA: EDUCACIÓN MENC. MATEMÁTICA

NUMERO DE ORIGINALES: 1

FIRMA DEL ESTUDIANTE: ___________________________

CORREO ELECTRÓNICO: Lennyn276@hotmail.com

PROFESOR:

OBJETIVO 6

Actividad 1

Un experimento con agua. Se dispone de tubos de vidrio de 1.6 m de

longitud y cuyos radios pueden variar entre 0.1 y 0.5 mm. Se coloca el tubo

verticalmente sobre un recipiente que contiene el líquido, tal como se

muestra en la figura. Se succiona el líquido que asciende hacia arriba y

cuando llega a una determinada altura se tapa el extremo superior con un

dedo, mientras el otro extremo permanece en el depósito. Se retira el dedo

que obstruye la entrada de aire por el extremo superior, se pone en marcha

un cronómetro y se mide el tiempo que tarda el líquido en caer una distancia

x.

Construya un modelo matemático de la situación, que le permita describir

el comportamiento (cualitativamente) de la altura de la superficie superior

del agua respecto al tiempo. Escriba un informe donde reporte su solución al

problema planteado siguiendo los pasos para elaborar un modelo.

Un modelo matemático se emplea para expresar relaciones, proposiciones

sustantivas de hechos, variables, parámetros, entidades y relaciones entre

variables, para estudiar comportamientos de sistemas complejos ante situaciones

difíciles de observar en la realidad.

Para resolver la situación seguiremos los pasos correspondientes para hacer

una modelización.

Como se desea Construir un modelo matemático de la situación que permita

describir el comportamiento (cualitativamente) de la altura del liquido respecto al

tiempo el modelo a utilizar sería “determinístico” dado que dependerá

completamente de los factores de entrada como los siguientes:

¿Qué liquido se va a utilizar?

¿Cuál es el radio del tubo a utilizar?

¿Cuánto vale la densidad del líquido?

¿Cuál es el coeficiente de viscosidad?

¿Hasta qué altura vamos a succionar el líquido?

¿Qué ángulo de inclinación le vamos a dar al tubo?

Tomamos un recipiente que podría tener 0.5 m de ancho y 0.5 de alto, el

mismo lo llenamos de agua, de tal forma que al introducir uno de los tubos de

vidrio, estos se puedan movilizar cómodamente en el recipiente para probar el

comportamiento de la caída del agua, con respecto al tiempo, utilizando diferentes

ángulos de inclinación del tubo, comenzamos introduciendo el tubo que podría ser

el de 0.1 mm de radio, colocándolo en forma perpendicular con respecto a la

superficie del agua, luego se succiona el agua hasta cierta altura del tubo, se

tapa el orificio con el dedo de tal forma que el liquido no caiga, medimos la altura

hasta donde se succiono, luego con un cronometro podemos calcular el tiempo

que tarda el liquido en caer luego de quitar el dedo del orificio.

Esta misma experiencia se podría repetir cambiando el tubo, el ángulo de

inclinación del mismo y el líquido utilizado, de tal forma que observemos los

diferentes resultados.

Tabla de resultados:

Todos para una altura de 1.5 m

Liquido Radio del tubo en

mm

Angulo de

inclinación del tubo

Tiempo de caída en

seg

agua 0.1 0º 128.65

agua 0.1 60º 257.20

agua 0.5 0º 5.20

acetona 0.5 0º 2.15

anilina 0.5 0º 22.15

acetona 0.1 60º 104.40

Fuente de los datos: Cálculos propios mediante un programa de la página

http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/fluidos/dinamica/viscosidad2/ viscosidad2.htm

De esta tabla podemos concluir que si el tubo es de mayor radio el fluido cae

más rápido, de igual forma la caída es más rápida si no inclinamos el tobo, y que

la velocidad del fluido depende de la viscosidad del líquido el cual se podría

calcular con los datos de la tabla y la ley de Poiseuille.

Cuando un líquido fluye por un capilar de radio R, con velocidad (media) v,

de acuerdo a lo enunciado en La Ley de Poiseuille resulta evidente que la

velocidad de un fluido viscoso es la misma en la sección transversal. Para un tubo

la capa más externa se adhiere a las paredes del tubo y su velocidad es nula.

Las paredes ejercen sobre esta capa un arrastre hacia atrás, que a su vez

tira también de las capas que siguen y así sucesivamente. Siempre que el

movimiento no sea demasiado rápido el flujo es laminar con una velocidad que es

máxima en el centro del tubo y nula en las paredes.

Ahora bien esta ley afirma que si un líquido fluye por un capilar de radio R,

con velocidad (media) V el gasto G=π .R2V es proporcional al gradiante de presión

(p1 – p2)/L entre dos posiciones 1 y 2 del capilar que distan L, esta situación la

afirma la ley de Poiseuille:

G=π R8ŋ

(p1 – p2)L

Si luego de succionar el liquido en el tubo vertical, la altura que toma el liquido

es x en cierto instante t, la diferencia de presión p1 – p2 = pgx debida a la altura

de la columna del fluido en el tubo, mueve a la columna del fluido de longitud L o

x con velocidad V.

πR2V = π R8ŋ

ρgx8x Simplificando tenemos:

V = ρR8ŋg

Donde V es la velocidad del fluido, g la gravedad, ρ la densidad del líquido,

R el radio del tubo y ŋ el coeficiente de viscosidad del líquido.

Ahora bien en la segunda grafica se muestra que el tubo está inclinado según

un ángulo θ es lógico que la presión deba disminuir, por lo tanto:

p1 – p2 = ρ .g.cosθ.x,

y para la velocidad constante tenemos:

V = ρR8ŋg.cosθ

Sabiendo que la velocidad es constante V= Xt

Actividad 2

Usted fue contratado o contratada por una cooperativa de producción.

Una parte de la producción requiere cortar discos circulares de una lámina

de acero de 1m x 1m. Actualmente la máquina que corta los discos está

ajustada para cortar 16 discos de 0,25m de diámetro por cada lámina de

acero. Los socios de la cooperativa quieren que usted le diga si es posible

ajustar las cabezas cortadoras de la máquina de manera tal que se pueda

minimizar el desperdicio de material. Además, recibieron recientemente un

pedido de discos de acero de 0,1m de diámetro, los cuales cortarían sobre

las mismas láminas. ¿Cuál sería la mejor posición de las cabezas cortadoras

para minimizar el desperdicio de material? ¿Será posible hallar una fórmula

matemática para determinar el máximo número de discos de radio r que se

pueden cortar de una lámina de dimensiones dadas?

Planteamiento del problema

Dados el tamaño de los discos y las dimensiones de la lámina de acero,

hallar el patrón de corte más eficiente y el máximo número de discos que se

pueden cortar en una lámina. (Adaptado de Edwards y Mason, 1989, p. 222).

Actualmente la máquina que corta los discos está ajustada para cortar 16

discos de 0,25m de diámetro por cada lámina de acero, como las laminas son de

1mx1m, la mejor posición de las cabezas cortadoras para minimizar el

desperdicio de material debe ser que todos los discos sean tangentes entre sí, y

formando una matriz cuadrada, como se muestra a continuación:

Ahora bien si queremos saber el desperdicio de material tenemos que las

laminas miden 1mx1m es decir area de 1 m2 y el area de los 16 discos seria:

A = 16.π .r2 A = 16.3,141 .(0,25/2)2 A = 0,785 m2 es decir el desperdicio

de la lamina seria de 1 m2 – 0,785 m2 = 0,215 m2 es decir que de la lamina se

pierde un 21,5 %.

Otra forma de colocar las cabezas cortadoras es en forma hexagonal como se

muestra a continuacion:

Este empaquetamiento lo llamamos hexagonal ya que los centros de los

círculos están arreglados en una retícula hexagonal (dispuestas como en una

colmena de abejas), y en la que cada círculo está rodeado de otros seis.

No es necesario hacer algún cálculo para saber que esta forma hexagonal

produce más desperdicio que la anterior ya que salen dos discos menos.

Entonces concluimos que para cortar 16 discos de 0,25 m de diámetro la mejor

forma de colocar las cabezas cortadoras en forma de matriz cuadrada.

Pero esta forma no siempre es la más eficiente, eso depende del diámetro de

los discos a cortar pasamos ahora al pedido de 0,1 m de diámetro, si los discos

que sean tangentes entre sí, y formando una matriz cuadrada, como se muestra

a continuación:

Acá tenemos una matriz cuadrada de 10x10 es decir que de la lamina se

pueden cortar 100 discos de 0,1 m de diámetro cada uno. Ahora probamos la

forma hexagonal para los mismos discos de 0,1 m de diámetro.

De esta forma obtenemos 11 filas las impares con 10 discos y las pares con 9

disco esto hace un total de (6x10) + (5x9) = 105 discos es decir estamos ganando

cinco discos más que la forma cuadrada.

En conclusión para el pedido de disco de 0,1 m de diámetro es preferible

empaquetar en forma hexagonal ya que tenemos menos desperdicio que la forma

cuadrada.

¿Será posible hallar una fórmula matemática para determinar el máximo

número de discos de radio r que se pueden cortar de una lámina de dimensiones

dadas?

Partiendo del empaquetamiento cuadrado podemos calcular la densidad:

4D

D

Densidad del empaquetamiento = area cubierta por los circulos

area del rectangulo

D= 16.π.R2/4D.4D como R es D/2 tenemos D= π/4

Esta densidad es igual para cualquier rectángulo de Lxa

Ahora bien si el empaquetamiento es triangular o hexagonal tenemos que la

densidad la obtenemos de la siguiente manera:

r

2√3 r

r

4D

Está claro que la base del rectángulo es 4D pero la altura está formada por 2r

más la altura del triangulo que es:

4r 4r

x

2r

Por el teorema de Pitágoras determinamos la altura:

X2 = (4r)2 – (2r)2 X = √12 r simplificando X = 2√3 r

Ahora calculamos la densidad en este caso:

Densidad del empaquetamiento = area cubierta por los circulos

area del rectangulo

D= 10.π.R2/8r.(2r + 2√3 r) D= 10π/(16+16√3)

Estas densidades nos permiten deducir unas formulas para estos dos tipos de

empaquetamientos, (recordemos que existen muchas formas), partiendo de la

formula de la densidad y un empaquetamiento cuadrado, tenemos que el número

de discos de radio r que podemos obtener de una lamina Lxa cualquiera seria:

Densidad del empaquetamiento = area cubierta por los circulos

area del rectangulo

D=Nº de discos.π.r2/L.a de donde el número de discos lo obtenemos

despejando de esta fórmula quedando:

Nº de discos= D.L.a/π.r2 de donde:

D= es la densidad que para el empaquetamiento cuadrado es π/4

L= largo de la lamina

a= ancho de la lamina

r= radio de los discos.

De igual forma se obtiene la fórmula para empaquetamientos hexagonales

tomando en cuenta que la densidad es 10π/(16+16√3).

OBJETIVO 7

Actividad 1

Seleccione un tema de matemáticas de quinto año de Educación Media.

Planifique la inclusión de la aplicación de las matemáticas para el caso

particular de la enseñanza de ese contenido durante una semana. Debe

anexar la planificación, incluyendo las estrategias de enseñanza, algunos

ejemplos de los problemas que les serían propuestos a los estudiantes y la

manera en que se realizará la evaluación.

El tema seleccionado es combinatoria.

Este tema se evaluara en tres partes:

1.- Prueba individual escrita de conocimientos teóricos. (25%)

2.- Una actividad grupal de campo en la cancha del colegio (25%)

3.- Prueba escrita en pareja de misceláneas de problemas de combinatoria.

(50%)

1.- La prueba escrita para los conocimientos teóricos que se les presentaría

a los estudiantes para este tema seria preguntas como las siguientes:

Definir Combinatoria.

Definir técnicas de conteo.

Enuncia el principio multiplicativo o teorema fundamental del conteo.

Definir variaciones.

Definir combinaciones.

Definir permutaciones.

Establezca la diferencia entre variación y combinación.

Para reconocer un problema de conteo complete el siguiente mapa:

¿Importa el orden?

Si NO

¿Intervienen todos los elementos?

Si No

Variaciones

¿Hay elementos repetidos?

Si No

Variaciones con repetición

A continuación se presentan ciertas situaciones indica si son variaciones,

combinaciones o permutaciones.

a) Con las cifras del numero 123, se pueden formar 6 números diferentes de 3

cifras incluyendo este que son 123, 132, 213, 231, 321y 312 esto representa

una __________________

b) Maria, Jose y Carlos deben hacer grupos de dos para realizar actividades

los grupos pueden ser; MJ, MC y JC esto representa una_________________

2.- Actividad grupal de campo en la cancha del colegio

Materiales: Alumnos, celulares con cámara, vasos, medidor de los que se

utilizan para tomar medicinas para medir en cc y bebidas de diferentes sabores.

Desarrollo de la actividad:

El profesor organizara por grupos los alumnos, de 4 y 5 integrantes.

Tomando un grupo de 5 que contiene cada uno un sabor diferente de jugo, se

les pide que en un vaso mezcle tres sabores diferentes de jugos en la misma

proporción para obtener un nuevo sabor y que tomen nota de los sabores

utilizados, luego que repitan el procedimiento tomando tres sabores diferentes a

los anteriores y repetir el proceso hasta agotar todas las posibles combinaciones,

se les pide que elaboren conclusiones al respecto.

Otro grupo que puede ser de 4 se le pide a uno de ellos que tome fotografías

con su celular a los otros tres alumnos formando en columnas y que tome tantas

fotos como posiciones diferentes puedan colocarse sus tres compañeros en la

columna, para luego tomar nota de los resultados.

3.- Prueba escrita en pareja de misceláneas de problemas de combinatoria

Los problemas que se pueden presentar en esta evaluación son como los

siguientes:

a. De cuantas maneras pueden colocarse 5 alumnos en una fila.

b. Con las cifras 12345 cuantos números de tres cifras sin repetir se

pueden formar.

c. Una organización estudiantil tiene que elegir un delegado y un

subdelegado. Hay 7 candidatos. ¿Cuántas combinaciones se pueden

hacer con los candidatos para realizar la selección?

d. ¿Cuántas permutaciones del conjunto de números 1, 2, 3, 4, 5 y 6,

satisfacen la condición: el 1 está en primera posición y el 4 en la tercera?

e.   Siete chicos e igual número de chicas quieren formar pareja para el

baile. ¿Cuántas parejas distintas se pueden formar?

f. En una carrera de F1 participan 22 carros. ¿Cuántas clasificaciones se

pueden producir al final, si cada uno de los coches emplean distintos

tiempos?

g. Un entrenador de fútbol dispone en la plantilla de su equipo de 7

delanteros de la misma calidad y que pueden actuar indistintamente en

los tres puestos de ataque del equipo. ¿Cuántas delanteras distintas

podría confeccionar?

h. ¿De cuantas formas distintas se pueden sentar ocho personas en un

banco?

i. Si se desean repartir 3 relojes, 2 bicicletas y 4 pelotas entre 9 niños, de

modo que cada uno de ellos reciba un regalo, ¿cuántas formas posibles

hay de hacerlo?

Actividad 2

a.- Escriba un ensayo breve donde exprese su punto de vista acerca del

uso de calculadoras en la enseñanza de las matemáticas, y en particular de

aplicaciones.

b.- Seleccione, adapte o invente un problema el cual sólo pueda

resolverse mediante el uso de tecnologías.

a) Hoy en día las calculadoras se han venido convirtiendo en una de las

herramientas más prácticas e importantes a la hora de realizar algún tipo de

cálculo, por su rapidez y certeza, siempre y cuando se utilice de una forma

adecuada.

Así mismo es necesario incorporar

la tecnología en la educación

matemática, no solo que el alumno

utilice la misma solo con operaciones

básicas, si no que comprenda las

diferentes aplicaciones que puede

tener una calculadora.

Considero que el uso de una

calculadora como herramienta para la

enseñanza de las matemáticas es

necesaria de acuerdo a la

complejidad del tema. El uso de las

calculadoras es primordial en la

trigonometría cuando no se trabaja

con ángulos notables, los logaritmos,

las raíces, así como en operaciones aritméticas que ameritan cantidades muy

grandes o muy pequeñas.

Sin embargo el alumno también la podría utilizar para operaciones más

sencillas como operaciones con enteros o racionales siempre y cuando conozca el

algoritmo adecuado para realizar dichos cálculos, es decir que la utilice solamente

para hacer un cálculo con mayor rapidez y precisión y no como una herramienta

para hacer algo que no domina.

b) Existen problemas de aplicación a la trigonometría donde tenemos que

calcular senos, cosenos, tangentes y sus inversas de ángulos que resulta difícil

calcular su valor exacto, para esto necesitamos una calculadora científica.

Algunos de estos problemas pueden ser:

Dos observadores A y B están en una misma horizontal separados por una

distancia de 600 m entre ellos y en el mismo plano vertical se encuentra un globo

que el observador A mira con un ángulo de elevación de 26,45º y el observador B

con un ángulo de elevación de 15,8º. Calcular a qué altura se encuentra el globo.

(Acá se considera que los observadores no tienen altura)

Solución:

Representamos gráficamente el problema:

1 2

h

26,45º 15,8º

A X 600 - X B

600m

Observamos que se forman dos triángulos rectángulos aplicando la formula de

la tangente a ambos triángulos tenemos:

tanα = cateto opuestocatetoadyacente

tan26,45 = hx y tan15,8 =

h600−x

Despejando h en ambas ecuaciones e igualando tenemos:

h= tan26,45.X h = tan15,8(600 – X)

tan26,45.X = tan15,8(600 – X) Aca es donde vamos a utilizar la tecnología en

la calculadora científica buscamos los valores de estas tangentes:

tan26,45=1,507974336

tan15,8=0,282971477

ahora despejando X en la ecuación tenemos:

1,507974336.X = 0,282971477 (600 – X)

1,507974336.X =169,7828863 - 0,282971477X

1,507974336.X + 0,282971477X = 169,7828863

1,790945813X = 169,7828863

X= 169,78288631,790945813 X = 94,80068301

La altura del globo es aproximadamente 94,8 m

Otro problema que se podría plantear es hallar un ángulo de un triangulo por la

ley del coseno:

a b

β

c

Calcular el ángulo β si a=15m; b=20m y c=28,5 m

Recordemos que la ley del coseno se enuncia “el cuadrado de un lado, es

igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, menos dos veces

producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido entre estos dos

lados.”

Aplicando el teorema al lado b tenemos b2 = a2 + c2 – 2.a.c.cosβ y despejando

cosβ tenemos:

cosβ =b2 – a2 – c2/2.a.c sustituyendo tenemos:

cosβ= (20m)2 – (15m)2 – (28,5)2/2.(15m).(28,5)

cosβ = −637,25

855 coscos β=¿ = -0,745321637

Ahora es necesario la calculadora científica ya que este es el coseno de β y

necesitamos es el valor de β

Le damos a la tecla inversa luego coseno

debe aparecer en la pantalla cos-1 colocamos

la cantidad -0,745321637 y el resultado es

138,1867326 y si le damos a la tecla de

conversión de grados

obtenemos:

β=¿ 138º11`12.2”

Conclusión

La matemática y su enseñanza no solamente se puede quedar en lo que

ofrecen los libros de educación media, es importante señalar a nuestros alumnos

la aplicabilidad de la misma y su relación con otras disciplinas, y usarla para

resolver problemas reales en diversos campos.

Así mismo es importante que el alumno aprenda no solo a resolver un

problema matemático, con una serie de pasos o algoritmos, si no que comprenda

a analizar una situación dada a través de un lenguaje matemático a cualquier

objeto que existe en un universo no-matemático, esto es lo que se conoce como

modelar.

Por último tenemos la importancia que tienen las calculadoras hoy en día en la

enseñanza de las matemáticas, las mismas nos proporcionan una herramienta

importante y tecnológica para el proceso de enseñanza en educación media

general, ya que estas además de rapidez en los cálculos nos ofrecen cómputos

casi imposibles en forma manual.

Bibliografía

1.- Matemática para todos, fundación polar.

2.- MOSQUERA, Julio. Matemática y ciencia. Caracas. Universidad nacional abierta, 2008

3.- Edwards, D. y Mason, M. (1989). Guide to mathematical modelling. Boca

Ratón, Florida: CRC

4.- Matemática I editorial Santillana.