Las matemáticasen la Europa medieval

María José MorenoEgresada en Ciencias Matemáticas por la

Universidad Complutense de Madrid (España)

Seminario de Historia de las Matemáticas

Universidad El Bosque Bogotá D.C. Colombia

8 de abril de 2013

Margarita philosophica (Gregor Reisch 1503)Muestra los dos tipos de aritmética. Los algoristas (izquierda) se acabaron imponiendo a los abacistas (derecha).

La Edad MediaLímites tradicionales de la Edad Media

(división según la política)Límites de la Edad Media como período

científico, matemático, filosófico.

476

1453

Caída del Imperio Romano de Occidente

Caída del Imperio Romano de Oriente, o Imperio Bizantino

529

1429

El Emperador Justiniano cierra la Escuela de Atenas.

Muerte de Al-Kashi, último gran matemático del mundo islámico.

Las 5 grandes civilizaciones de las Matemáticasen la época medieval

ImperioBizantino

EuropaOccidental

China

India

Arabia

Los problemas de los números romanos

● Sumar y restar es tedioso● Multiplicar se hacía con sumas iteradas o duplicaciones.● Dividir se hacía con restas iteradas o con mediaciones.

ARITMÉTICA COMPLEJA

GRANDES DIFICULTADES PARA EL COMERCIO● El sistema era costoso ya que había que pagar a un experto.● Necesitan operaciones complejas, como calcular tasas y conversiones de moneda.● Los métodos de cálculo utilizados no quedaban registrados. Se anotaba solo el

resultado de la operación, que había que suponer correcto.

HERRAMIENTAS DIFÍCILES DE MANEJAR● Ábacos y tableros de calcular.● Métodos complejos de operar con los dedos.● Requerían un aprendizaje largo y mucha destreza

Posiciones con los dedos, para representar los

distintos números

Liber Abbaci. Leonardo de Pisa. Manuscrito de Sienna

3 30 300 3000

Llegada de los numerales actuales a Europa

FASE 1: De la India al mundo islámicoLos hindúes no fueron los primeros pueblos con un sistema de notación posicional.

Los números hindúes pasaron por dos etapas:● Primero: 9 dígitos propios y un símbolo que representa una posición vacía● Segundo: 10 dígitos. El cero es un número más, con el que se pueden realizar

operaciones. (Brahmagupta, año 628 d.C)

Llegada

● A través de la ruta de la seda.● Posiblemente, llegó como traducción de

un libro de Brahmagupta.● Uso solamente académico.

Difusión

● Al-Kwuarizmi da a conocer el sistema hindú en el año 825.

● Se dirigió a los comerciantes.● Al-Kindi en el 830 contribuyó también a

su popularización

Transmisión de la ciencia árabe

● Compiladores y Enciclopedistas.● Traducción al latín de muchas obras griegas y árabes.

CÓMO SE PRODUCE

CÓMO LLEGA A OCCIDENTE

● Reconquista de Toledo 1085● Reconquista de Sicilia 1091● Reconquista de Jerusalem 1099

Conquistas y reconquistas

Relaciones comerciales

FASE 2: Del mundo islámico a la Europa de los estudiososLA ÉPOCA DE LOS COMPILADORES:● Boethius (480-524)● Isidoro de Sevilla (570-636)● Beda el Venerable (673-735)

EL PRE-RENACIMIENTO CAROLINGIO:● Alcuino de York (735-804)

LA ÉPOCA DE LOS TRADUCTORES:● Gerbert d'Aurillac (940 – 1003),

posteriormente Papa Silvestre II● Adelardo de Bath (1108 - 1152)● Juan de Sevilla (? - 1180) ● Gerard de Cremona (1114 - 1187)● Robert de Chester (s. XII)

“Escuela de traductores de Toledo”

Traducciones sobre al-Khwarizmi● Sabio persa (ca. 780 – ca. 850)● Popularizó el sistema de cálculo hindú.● Le debemos los términos: algoritmo,

guarismo y álgebra.

LIBRO DE ARITMÉTICA● Kitāb al-Jamʿ wa-l-tafrīq bi-ḥisāb al-Hind● Llegó a Europa traducido por Adelardo

de Bath (1108-1152).● El manuscrito en latín comienza así:

“Dixit algorizmialgorizmi” (Dijo al-Khwarizmi)● Otra traducción lo llamó “AlgoritmiAlgoritmi de

numero indorum” (Boncompagni, 1857)

LIBRO DE ÁLGEBRA● Al-Kitāb al-mukhtaṣar fī ḥisāb al-jabr wa-l-muqābala● Llegó a Europa traducido por Robert de Chester (s.XII) y Gerardo de

Cremona (1114-1187)● La traducción de Chester: Liber algebraealgebrae et almucabola (Segovia, 1145)

Libro más antiguo escrito en latín que contiene los números indoarábigos:Codex Vigilanus (España, año 976). Fue escrito por el monje Vigila, y es una copia de un tratado anterior de Isidoro de Sevilla. No incluye el cero.

“Debemos saber que los indios tienen un talento más sutil y todas las demás razas son inferiores a ellos en la aritmética y en la geometría y en otras artes. Y esto se muestra claramente en las 9 figuras con las que ellos son capaces de designar cada uno de los grados y los órdenes (de los números). Y estas son las formas:”

Año 711, invasión de España por los árabes. Año 722, con la batalla de Covadonga comienza la llamada “Reconquista”, que dura hasta 1492

Llegan los números...

Gerberto d'Aurillac (ca. 940 – 1003), más tarde Silvestre II, fue el llamado “Papa matemático”.

Representación de los números en un ábaco de Gerberto. A la derecha, notación actual.

Estudió en Cataluña, cuando esta era ya cristiana. Allí conoció los números indios.

Su ábaco se hizo popular. Tenía los números arábigos grabados en las cuentas.

Ábaco de Gerberto

FASE 3: Difusión del nuevo sistema de numeración en Europa

Johannes de Sacrobosco(1195?-1256)

“Algorismus vulgaris”“Tractatus de Sphaera”

Leonardo de Pisa(1170?-1250?)“Liber abbaci”

Alexandre de Villedieu(1175-1240?)

“Carmen de Algorismo”

Leonardo de Pisa

● ¿Cuál era su nombre?● ¿Dónde nació?● ¿Dónde y cuándo murió?● ¿Se casó? ¿Tuvo hijos?● ¿Qué aspecto tenía?● ¿A qué se dedicó, aparte de

las matemáticas?● ¿Cuál es su papel en la

historia de las matemáticas?● ¿Por qué fue olvidado por la

historia?Estatua de Leonardo, en Pisa. Siglo XIX

“Aquí comienza el libro de los cálculos, escrito por Leonardo Pisano, de familia Bonacci, en el año 1202”

Liber Abbaci, manuscrito de Siena

Por un documento legal sabemos que su padre se llamaba Guilielmo, y que tenía un hermano llamado Bonaccinghus. “Filios Bonacci” se refiere seguramente al nombre de su familia.

Filios Bonacci FibonacciGuillaume de Libri

1838

Importancia de Leonardo de Pisa ● Escribió el Liber abbaci dirigido a los comerciantes, no a

los estudiosos. Un libro fácil de entender y lleno de ejemplos prácticos.

● Dio a conocer en el mundo occidental la aritmética moderna con el sistema de numeración posicional hinduarábigo.

● Popularizó el álgebra, que luego fue la base de la ciencia moderna y de la ingeniería.

● Marcó el principio del sistema financiero, modernizando la contabilidad.

TIEMPO LUGAR PERSONA

El tiempo y el lugar:

Pisa, finales del siglo XII

PISAPISA··

● Centro del mundo occidental.● Ser comerciante en Pisa era ser

miembro muy importante de la sociedad.

● Pisa, Génova, Venecia, dominaban el comercio con la otra orilla del Mediterráneo.

● Fin de la “Edad Oscura”.● Surgen las universidades

(Bologna, 1088).● En Salerno se crea la primera

escuela de Medicina.● Traductores en Pisa de autores

griegos: Euclides, Arquímedes, Aristóteles, Galeno, Ptolomeo...Mapa de Italia, siglo XIII

PISAPISA··

BUGIABUGIA··

“Cuando mi padre, a quien su país había nombrado notario público en las aduanas de Bugia, en representación de los mercaderes de Pisa que allí iban, estaba en su cargo, me llevó con él mientras yo era todavía un niño, y pensando en la utilidad y la conveniencia futura, deseó que yo permaneciera allí y recibiera instrucción en contabilidad. Allí, cuando yo había sido introducido en el arte de los nueve símbolos indios gracias a una notable enseñanza, el conocimiento del arte pronto me gustó más que todo lo demás”.

La persona adecuada:

Leonardo Pisano

Obras de LeonardoPisano● Liber Abbaci (1202, reeditado en 1228)

● Practica Geometriae (1220)

● Flos (1225)

● Liber Quadratorum (1225)

● Di Minor Guisa

● Comentarios al libro X de los Elementos de Euclides

Liber Abbaci: características COSAS POSITIVAS

● Más de 600 páginas, muy exhaustivo.● Es la “summa aritmética” más importante de la Edad Media.● Introduce las cifras indo-arábigas en Occidente.● Proporciona reglas para hacer operaciones con ellas.● Se dirige a la audiencia correcta: los comerciantes, a los que

les da herramientas de cálculo mucho más poderosas que el ábaco.

● Incluye la notación moderna de fracción, con raya horizontal.

COSAS NEGATIVAS● Más de 600 páginas, de lectura no siempre sencilla.● Sigue a los árabes en el empleo de palabras y no símbolos.

Por ejemplo, la incógnita es “la cosa”.● No se da cuenta de que el sistema posicional permite evitar

las facciones, usando números decimales.

Liber Abbaci: capítulos1. Lectura y escritura de los números en el sistema indo-arábigo.2. Multiplicación de números enteros.3. Suma de números enteros.4. Resta de números enteros.5. División de números enteros.6. Multiplicación de números enteros por fracciones.7. Fracciones.8. Precios de las mercancías más comunes.9. Comercio.10. Relaciones de parentesco.11. Conversión de Monedas.12. Problemas y soluciones.13. La regla de la falsa posición.14. Raíces cuadradas y raíces cúbicas.15. Proporciones, geometría y álgebra.

Liber Abbaci: problemas Dos torres de 30 y 40 pies de altura están situadas a 50 pies una de otra. Entre ellas hay una fuente. Desde lo alto de cada torre, dos pájaros inician al mismo tiempo el vuelo hacia la fuente y la alcanzan simultáneamente. ¿Dónde estaba la fuente?

Un hombre entró a una huerta que tenía siete puertas y tomó un cierto número de manzanas. Al abandonar la huerta le dio al primer guardia la mitad de las manzanas que llevaba más una. Al segundo guardia la mitad de las manzanas que le quedaban más una. Hizo lo mismo con los guardias de cada una de las cinco puertas que le faltaban. Cuando se fue de la huerta le quedaba una manzana; ¿cuántas manzanas había tomado en un principio?

En lo alto de una torre hay un mástil de 20 pies de altura. El mástil cae a tierra sin desprenderse de la torre, de modo que su extremo toca el suelo a una distancia de 12 pies de la base de la torre. Se trata de saber la altura de la torre.

Liber QuadratorumMayor aportación en teoría de números entre Diofanto y Fermat.

Ejemplo de problema

Encontrar un número de tal manera que su cuadrado aumentado o disminuido en 5 unidades siga siendo un cuadrado.

Fibonacci descubrió que ningún número entero cumple esa condición. Así que el resultado tiene que ser una fracción.Leonardo utilizó algunos resultados que tienen que ver con las ternas pitagóricas y con las identidades notables; en concreto, que m2 – n2, 2mn y m2 + n2 forman una terna pitagórica siendo m y n enteros y 0 < n < m.Y que

La solución que obtiene es 41/12

Emperador Federico II● El problema anterior fue

propuesto por el Emperador Federico II para probar la sabiduría de Leonardo de Pisa.

● En 1225 Federico II hace un descanso en esa ciudad y manifiesta su deseo de conocer al famoso genio matemático.

● Asesorado por Juan de Palermo y Teodoro, reputados filósofos, plantea a Leonardo tres problemas.

Flos● Los otros dos problemas los encontramos en su libro Flos (Flos super

solutionibus quarundam quaestionum ad numerum et geometricam, es decir, Flor de soluciones de algunas cuestiones sobre números y geometría).

● Segundo problema: Encontrar un número tal que su cubo más el doble de su cuadrado más 10 veces él mismo sea igual a 20. En lenguaje actual, se trata de resolver la ecuación:

10x + 2x2 + x3 = 20

Aún quedaban 3 siglos para que Tartaglia y Cardano atacaran el problema de la ecuación cúbica, así que Leonardo consiguió una aproximación. No explica cómo la obtiene, pero es una aproximación muy buena y es esta:

FlosTercer problema:Tres hombres se reparten al azar una suma de dinero. Después, el primero aporta a un fondo común la mitad de su parte, el segundo un tercio de la suya y el tercero un sexto de la suya. Dividen este fondo común en tres partes iguales y se lo reparten entre sí. Al final el primero tiene la mitad de la suma inicial, el segundo la tercera parte y el tercero la sexta parte. ¿Cuál era la suma inicial?

Se trata de resolver un sistema de ecuaciones con soluciones enteras. Fibonacci lo resolvió con las técnicas de la época, es decir sin usar los determinantes.

Di minor guisa● Libro perdido por muchos años.● En 2003 la historiadora de las matemáticas Rafaella Franci

encuentra una copia en la Biblioteca Riccardiana de Florencia.● La copia es anónima y está sin fechar, aunque es de 1290

aproximadamente. Está escrito en lengua vernácula.● Son 178 páginas con 31 capítulos cortos.

● ¾ partes son copias de los problemas de los capítulos 8 al 11 del Liber Abbaci.

● El libro es más sencillo, corto y menos completo que el Liber Abbaci.

● Se omiten todos los primeros capítulos, dando por conocido el sistema de numeración y su manejo.

● Tiene capítulos que no tenía el Liber Abbaci, sobre cálculo de interés y depreciación.

Olvido de Leonardo● Pocos datos biográficos

● No inventó técnicas nuevas. Su papel principal fue el de divulgador de los números y técnicas árabes.

● La “nueva aritmética” se hizo popular: más de 100 libros en los siguientes 300 años.

● Las nuevas técnicas pronto se asimilaron y dejaron de verse como algo importante.

PERO LA PRINCIPAL RAZÓN DE SU OLVIDO FUE...

… la invención de la imprenta de tipos móviles● Se inventó en 1436.

● El primer libro matemático impreso es la Aritmética de Trevisso (1478).

● Los autores de los libros no incluían referencias.

● Solamente la Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità de Luca Pacioli (1494) nombra a Leonardo de Pisa.

● Primera edición impresa del Liber Abbaci: Boncompagni (1857).

Recuperando a Leonardo● Pietro Cossali (1748-1815)

escribió el primer libro italiano de Historia de las Matemáticas.

● Para documentarse leyó, entre otros, la Summa de Luca Pacioli, y encontró la referencia a Leonardo de Pisa.

● Buscó los manuscritos de los libros de Leonardo y comprendió su importancia.

Sucesión de “Fibonacci”● El historiador Guillaume de Libri

le da a Leonardo de Pisa el apodo “Fibonacci” en 1838.

● El matemático francés Edouard Lucas se interesa por la sucesión y le da el nombre de “sucesión de Fibonacci”. 1870.

● Comienza la fascinación por la sucesión y sus propiedades.

Edouard Lucas (1842-1891)

En 1963 se funda The Fibonacci Association, que desde entonces publica una revista trimestral llamada The Fibonacci Quarterly sobre la famosa sucesión.

Liber Abbaci: problema de los conejos La llamada “sucesión de Fibonacci” tiene su origen en un problema del Liber Abbaci (problema 18 del capítulo 12).

“Cierto hombre tenía una pareja de conejos juntos en un lugar cerrado y uno desea saber cuántos son creados a partir de este par en un año cuando es su naturaleza parir otro par en un simple mes, y en el segundo mes los nacidos parir también”

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144

En rojo, parejas en edad reproductiva.

Sucesión de FibonacciLa sucesión de Fibonacci normalmente se inicia con los valores 0 y 1, y se define matemáticamente así:

En el siglo XIX se demostró que el cociente de dos términos consecutivos de la sucesión tiene como límite el llamado “número aúreo” Φ ≈ 1,61803.

2/1 = 23/2 = 1,55/3 = 1,6668/5 = 1,613/8 = 1,62521/13 = 1,61534/21 = 1,61955/34 = 1,618...

Φ = F(n)

F(n-1)=

F(n-1)F(n-2) +

F(n-1)=

1 +

F(n-1)

F(n-2)

F(n-1)

F(n-2)n→∞lim

n→∞lim

n→∞lim

De ahí se deduce que Φ = 1 + Φ

Φ

Multiplicamos ambos lados por Φ y tenemos la ecuación: Φ2 = 1 + Φ

=

Aplicando la fórmula de las ecuaciones de 2º grado, nos quedamos con la solución positiva, que es:

Φ = 1 + √52

= 1,6180339887...

Sucesión de FibonacciFórmula de Lucas para calcular un término de la sucesión, sin calcular los anteriores:

Algunas de las muchas identidades conocidas que cumplen sus términos:

Famosa identidad de Binet (1843), popularizada por Lucas.

Sucesión de Fibonacci

Filotaxia y FibonacciP = Número de vueltasQ = Número de hojasDivergencia o característica de la planta = P/Q

Ejemplo de planta con divergencia 5/8

Filotaxia y FibonacciAlgunas divergencias, que contienen los números de la sucesión:

● Olmo, tilo, lima: 1/2

● Haya, avellano: 1/3

● Roble, cerezo, manzano: 2/5

● Peral, rosal, sauce llorón: 3/8

● Almendro, puerro: 5/13Sauce llorón Almendro

Pétalos y Fibonacci

Espiral de FibonacciEsta es la espiral de Fibonacci

El Nautilus es un molusco que tiene forma de espiral, pero NO de Fibonacci. Como se puede ver en la imagen, no coinciden.

Para saber más...SOBRE LEONARDO DE PISA

Ricardo Moreno Castillo. Fibonacci. El primer matemático medieval. Ed. Nivola, 2012.

Keith Devlin. The Man of Numbers. Fibonacci's Arithmetic Revolution. 2012 (Amazon.com)

Keith Devlin. Leonardo & Steve.The young genius who beat Apple to market by 800 years. 2011 (Amazon.com)

HISTORIA GENERAL DE LAS MATEMÁTICAS

Para saber más...