Números de Fibonacci

5/12/2018 Números de Fibonacci - slidepdf.com

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Presentado y Elaborado por:

Lic. José Augusto Siles R.

Profesor de Matemáticas

Centro Público de Educación Secundaria MiguelLarreynaga.

Tema: El canon de la belleza: Números de Fibonacci.



i

Tema:

El canon de la belleza: Números de Fibonacci.

Objetivo general:

Mostar las principales características aritméticas, algebraicas y geométricas

de los números de Fibonacci y su relación con el arte y la armonía de la

naturaleza.

Objetivo Especifico.

Aplicar la teoría de divisibilidad a los números de Fibonacci para

caracterizarlos aritméticamente.

Resumen:

En este trabajo se presenta una discusión formal sobre la sucesión de

Fibonacci. Más específicamente abordaremos las propiedades de loselementos de esta sucesión, es decir, los números de Fibonacci.

Estudiaremos sus propiedades aritméticas en torno a la divisibilidad,

propiedades algebraicas en cuanto a solución de una ecuación, sus

propiedades geométricas para construcciones particulares y proporciones y

finalmente las aplicaciones de estos.



ii

Introducción

Diariamente nos admiramos al observar una flor en el jardín de nuestra casa,

disfrutamos de una melodía enternecedora o nos exaltamos al ver un cuadro de

Leonardo Da Vinci, pero no nos hemos preguntado (o sí) ¿en tanta belleza y armonía,

hay números? y ¿cuáles números?

Pues contra todo pronóstico la respuesta es afirmativa. Desde la antigüedad el hombre

ha estado interesado en la perfección de las cosas, su mejor inspiración ha sido la

naturaleza con todas sus formas.

Cerca del año 1220 apareció un obra titulada “Liber abacci” (Libro del ábaco) escrito

por el famoso matemático Leonardo de Pisa mejor conocido como Fibonacci, o sea, hijo

de Bonacci. Este tratado contenía casi todo el conocimiento algebraico, aritmético y

geométrico de la época y fue muy influyente en Europa occidental.

Pero el problema de este libro que más ha inspirado a los matemáticos posteriores, es

sin duda, el siguiente:

Este famoso problema da lugar a la llamada sucesión de Fibonacci, 1,1,2,3,5,… que es

lo que nos ocupa en las páginas de este trabajo.

Haremos un recorrido a través de estos interesantes números; estudiando sus

propiedades aritméticas, algebraicas y geométricas, además de establecer como estos

números y su proporción aparecen en formas armoniosas de la naturaleza, como el

artista los utiliza para crear belleza visual y auditiva.

¿Cuántas parejas de conejos nacen, en el transcurso de un año, de una pareja

inicial?



Índice

Objetivos …………………………... i

Introducción …………………………... ii

La sucesión de Fibonacci …………………………... 1

Propiedades aritméticas de los números de Fibonacci …………………………... 6

Números de Fibonacci y fracciones continuas …………………………... 9

Propiedades geométricas de los números de Fibonacci …………………………... 16

¿Dónde están los números de Fibonacci? …………………………... 19

Ejercicios Propuestos …………………………... 22

Conclusiones ...................................... 23

Recomendaciones ...................................... 24

Bibliografía ...................................... 25



1 La Sucesión de Fibonacci

Existe un conjunto de números muy particular y con mucha belleza, estosnúmeros son conocidos como números de Fibonacci en honor a su descubri-dor Leonardo de Pisa, alias Fibonacci (hijo de Bonacci). Leonardo hizo muchosaportes notables a las matemáticas especialmente en la aritmética, alrededor delaño 1202 escribió el libro sobre el ábaco. Este era una inmensa obra compiladorade los conocimientos matemáticos de los pueblos que vivían en las costas delMediterráneo. En este libro se encuentra un problema que reveló el canon de lanaturaleza:

“¿Cuántas parejas de conejos nacen, en el transcurso de un año, de unapareja inicial?”

Probablemete alguien observó la naturaleza reproductoria de los conejos yobtuvo las siguientes premisas: Cada pareja produce otra al cabo de un mes yuna pareja inicial de conejos puede parir a los dos meses de haber nacido. Deesto y con el supuesto de un área cercada, podemos deducir que:

A partir de una pareja de conejos bebés en el primer y segundo mes ten-dríamos un par de conejos, pues la hembra será adulta hasta el segundo mes,donde podrá reproducirse; tendría un par de bebés en el tercer mes, así serándos pares de conejos, luego en el cuarto mes los bebés habrán crecido y repro-ducido y tendremos tres parejas de conejos; los originales y sus dos crías y lasprimeras crías de estos. Siguiendo este razonamiento encontramos que para elduodécimo mes tendremos 377 parejas de conejos.

Así encontramos un conjunto de números enteros muy particulares estos son:1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34 : : : esta se conoce como sucesión de Fibonacci donde cadatérmino es la suma de los dos anteriores, así esta es una sucesión recurrente.

Pasemos ahora de los conejos a los números

1.1 De…nición. La sucesión (vn) ; llamada de Fibonacci, cuyos términos son1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34 : : : y en la cual cada término es la suma de los dosinmediatos anteriores, está de…nida por

vn = vn1 + vn2 ; con v1 = v2 = 1

Los números de Fibonacci poseen una serie de propiedades interesantes eimportantes, las cuales veremos en este apartado.

Enpecemos calculando la suma de los n primeros números de Fibonacci. Así podemos enunciar el teorema siguiente

1



1.1 Teorema. La suma de los primeros n números de Fibonacci esta dada por

nXi=1

vi = v1 + v2 + + vn = vn+2 1

Demostración. Claramente, tenemos de la de…nición de la sucesión deFibonacci que

v1 = v3 v2v2 = v4 v3

......

...vn1 = vn+1 vnvn = vn+2 vn+1

Sumando miembro a miembro estas igualdades, encontramos

v1 + v2 + + vn = v3 v2 + v4 v3 + vn+1 vn + vn+2 vn+1

v1 + v2 + + vn = vn+2 1 (recordando que v2 = 1)

Por tanto,nXi=1

vi = v1 + v2 + + vn = vn+2 1

Hemos de…nido los números de Fibonacci mediante la ecuación recurrente,es decir, empleando la inducción según el índice. Pero resulta que todo número

de Fibonacci puede de…nirse de un modo más directo, esto es, como función desu índice.

Con este …n, observemos el comportamiento de las distintas sucesiones v1; v2; : : : ; vn; : : :

que satisfacen la ecuación

vn = vn1 + vn2 (1)

Diremos que todas estas sucesiones son soluciones de la ecuación (1) : Deaquí en adelante indicaremos por V; V 0 y V 00 las sucesiones

v1; v2; v3; : : :

v01; v02; v03; : : :

v001 ; v002 ; v003; : : :

1.1 Lema. Si V es una solución de la ecuación (1) y c es una constante, tambiénla sucesión cV (es decir, la sucesión cv1; cv2; cv3; : : :) es una solución deesta ecuación.

2



Demostración. Multiplicando por c ambos miembros de la igualdad

vn = vn1 + vn2

obtenemoscvn = cvn1 + cvn2

lo que prueba el lema.

1.2 Lema. Si las sucesiones V 0y V 00 son soluciones de la ecuación (1) ; Tambiénla suma V 0 + V 00 (esto es, v01 + v001 ; v02 + v002 ; v03 + v003 : : :) es solución de estaecuación.

Demostración. Por hipótesis, tenemos que

v0n = v0n1 + v0n2 y v00n = v00n1 + v00n2

Sumando estas igualdades miembro a miembro, encontramos

v0n + v00n =

v0n1 + v00n1

+

v0n2 + v00n2

la última igualdad prueba el lema.

Consideremos ahora V 0 y V 00 dos soluciones no proporcionales de la ecuación(1) ( es decir, dos soluciones de la ecuación (1) tales que cualquiera que sea la

constante c habrá un número n para el que v0nv00n6= c).

1.1 Proposicion. Toda sucesión V; solución de la ecuación (1) ; puede serrepresentada así

V = c1V 0 + c2V 00 (2)

donde c1 y c2 son constantes. A la ecuación (2) se estila llamar solucióngeneral de la ecuación (1) :

Probaremos primero que siendo V 0 y V 00 dos soluciones no proporcionalesde la ecuacuación (1) ; se tiene

v01

v0016=

v02

v002(3)

(La no proporcionalidad es visible ya en los primeros términos de las sucesiones V 0 y V 00)

Demostración (3). Supongamos que para dos soluciones no proporcionalesV 0 y V 00 de la ecuación (1) se tiene

3



v01v001 =

v02v002

Formemos la siguiente proporción

v01 + v02v001 + v002

=v02v002

recordando que V 0 y V 00 son soluciones de la ecuación (1) ;

v03v003

=v02v002

Análogamente comprobamos (¡haciendo inducción en n !) que

v03v003 =

v04v004 = =

v0nv00n =

Si esto ocurre, se tiene que V 0 y V 00 son proporcionales lo que es absurdo,luego (3) es verdadera.

Tomemos ahora una sucesión V; solución de la ecuación (1) : Según hemosvisto ya al inicio de este apartado, esta sucesión queda perfectamente determi-nada si se indican sus dos primeros terminos v1 y v2:

Busquemos los valores de c1 y c2 de modo que sea

c1v01 + c2v002 = v1

c1v01 + c2v002 = v2(4)

La suma c1V 0 + c2V 00 coincidirá con V , esto lo garantiza los lemas 1:1 y 1:2:

El sistema de ecuaciones (4) tiene solución respecto a c1 y c2 en virtud de laproposición (3), para cualesquiera que sean los números v1 y v2 :

c1 =v1v002 v2v001v01v002 v001v02

y c2 =v01v2 v02v1

v01v002 v001 v02

Sustituyendo en (2) los valores obtenidos para c1 y c2 encontramos la repre-sentación requerida para la sucesión V:

Es decir, para describir todas las soluciones de la ecuación (1) basta en-contrar dos soluciones no proporcionales de la misma. Encontremos estas solu-ciones entre las progresiones geométricas. Basta considerar las progresionescuyos primeros términos son 1.

4



Tomemos la progresión

1; x ; x2; : : :

Para que sea una solución de la ecuación (1) ; es su…ciente que para todo n secumpla la igualdad

xn2 + xn1 = xn

dividiendo por xn2;

1 + x = x2 (5)

Las raíces de esta ecuación, es decir, los números 1+p 5

2y 1p 5

2 ; serán las razonesbuscadas de las progresiones.

Llamémoslas por y ; respectivamente. Los números y ; como raíces

de la ecuación (5) ; satisfacen las relaciones 1 + = 2, 1 + = 2 y = 1:Así hemos encontrado dos progresiones geométricas, soluciones ambas de

(1) : Por eso, toda sucesión del tipo

c1 + c2; c1 + c2; c12 + c2 2; : : : (6)

Son soluciones de la ecuación (1) : Además la progresiones encontradas tienendistintas razones y, por ende, no son proporcionales, esto es, la fórmula (6) debecoincidir con la sucesión de Fibonacci.

Para ello, como hemos explicado, hay que determinar c1 y c2 de las ecua-ciones

c1 + c2 = v1 y c1 + c2 = v2;

Es decir, del sistema

c1 + c2 = 1

c1

1+

p 5

2

+ c2

1p 52

= 1

Resolviéndolo, encontramos

c1 =1 +

p 5

2p

5y c2 =

1p 5

2p

5

!

de manera que

vn = c1n1 + c2 n1

=1+

p 5

2p 5

1+

p 5

2

n11p 52p 5

1p 52

n1

5



es decir,

vn = 1+

p 5

2n 1

p 5

2np

5

Esta última expresión lleva el nombre de fórmula de Binet en memoria delmatemático que la encontró (Jacques Philippe Marie Binet a mediados del sigloXIX).

1.2 Teorema. El número de Fibonacci vn es el entero más próximo al númeronp 5

, o sea, es el entero más próximo al nesimo término an de la progresión

geométrica cuyo primer término es p 5

y cuya razón es :

Demostración. Basta demostrar que el valor absoluto de la diferencia entrevn y an es siempre menor que 1

2 : Esto es

jvn anj =

n np 5

n

p 5

=

n n n

p 5

=j jnp

5

Puesto que = 0:618033 : : : ; se tiene j j < 1; es decir j jn < 1 para todo

n; con mayor razón jjnp 5

< 12 ya que

p 5 > 2: lo que prueba el teorema.

Por ejemplo, calculemos para n = 13

13

p 5=

1+p 5

2 13

p 5=

521:0019

2: 2361= 232:9957

El número entero más próximo a 232:9957 es 233 que corresponde a v13 enla sucesión de Fibonacci.

1.1 Propiedades Aritméticas de lo Números de Fibonacci.

Estudiaremos algunas propiedades sobre la divisibilidad, máximo común divisory otras caracterizaciones aritméticas de los números de Fibonacci.

1.1.1 Lema. Probar la válidez de la siguiente fórmula para los número deFibonacci

vn+m = vn1vm + vnvm+1

La demostración del lema 1.1.1 queda a modo de ejercicio (ver ejercicio 2.)

6



1.1.1 Teorema. Si n es divisible por m; también vn es divisible por vm:

Demostración. Supongamos que n es divisible por m; esto es, n = mk:

Haremos nuestra demostración haciendo inducción en k:

Para k = 1; se tiene n = m y es evidente que vn es divisible por vm: Supong-amos que vn=mk es divisible por vm y consideremos vm(k+1): Pero vm(k+1) =vmk+m; en virtud del lema 1.1.1

vm(k+1) = vmk+m = v(mk)1vm + vmkvm+1

Es claro que vm divide el primer sumando del tercer miembro. El segundosumando es múltiplo de vmk; esto es, también es divisible por vm según lahipótesis inductiva. De aquí se deduce que la suma de estos dos sumando, osea, vm(k+1); es divisible por vm: Que era lo que queriamos demostrar.

Por ejemplo, tomemos m = 5 y n = 15; es claro que mjn: Por otra parte losnúmeros vm = v5 = 5 y vn = v15 = 610; también es claro que vmjvn: Puestoque v15 = v5 122:

1.1.2 Teorema. Los números de Fibonacci consecutivos son coprimos.

Demostración. Supongamos, en contra de la a…rmación que vn y vn+1tienen un divisor común d > 1: La diferencia vn+1 vn es divisible por d: Perocomo vn+1 vn = vn1; resulta que d divide también vn1: Análogamente sedemuestra (¡haciendo inducción!) que d divide vn2; vn3; : : : ; et c : y …nalmentea v1: Pero v1 = 1 y no puede ser divisible por d > 1: Por tanto los número vn y

vn+1 son coprimos.

Observemos los siguientes ejemplos

(1; 2) = 1; (2; 8) = 2; (3; 21) = 3; (5; 55) = 5

Cabe hacernos la siguiente pregunta, ¿El máximo común divisor de dosnúmeros no consecutivos de Fibonacci, es otro número de Fibonacci?

1.1.3 Teorema. Para los números de Fibonacci, tiene lugar la igualdad sigu-iente

(vm; vn) = v(m;n)

Esto es, el máximo común divisor de dos números de Fibonacci es el númerode Fibonacci que corresponde al mcd de los índices de los números dados.

Demostración. Supongamos que m > n y apliquemos el algoritmo deEuclides a los números m y n:

7



m = nq 0 + r1 donde 0 r1 < n

n = r1q 1 + r2 donde 0

r2 < r1

r1 = r2q 2 + r3 donde 0 r3 < r2...

......

rt2 = rt1q t1 + rt donde 0 rt < rt1rt1 = rtq t

Sabemos que el último resto distinto de cero, rt; es el máximo común divisorde m y n: Puesto que m = nq 0 + r1; resulta que

(vm; vn) = (vnq0+r1 ; vn)

esto es, por el lema 1.2.1,

(vm; vn) = (vnq0r1vr1 + vnq1vr1+1; vn)

recordando que (a; b) = (a + c; b) ; podemos escribir

(vm; vn) = (vnq0r1vr1 ; vn)

de igual forma teniendo presente que (a;bc) = (a; b) ; se sigue

(vm; vn) = (vr1 ; vn)

Análogamente podemos escribir que

(vr1 ; vn) = (vr2 ; vr1)(vr2 ; vr1) = (vr3 ; vr2)

.

.....

.

..vrt1 ; vrt2

=

vrt ; vrt1

Comparando estas igualdades, encontramos

(vm; vn) =

vrt ; vrt1

Como rt divide a rt1; luego , debe ser que vrt jvrt1 ; por lo tanto

vrt ; vrt1

=vrt y recordando, …nalmente, que rt = (m; n) ; obtenemos (vm; vn) = v(m;n)

1.1.1 Proposición. Un número de Fibonacci es par si, y sólo si, su índice esdivisible por 3, esto es

2

jvn()

3

jn

Demostración. ((=) Si 3jn =) 2jvn: Si 3jn entonces n = 3k; luegohaciendo inducción en k; resulta para k = 1; n = 3 y v3 = 2 es claro que 2jv3:

Asumamos la validez de 2jv3k para algún k y probemos la validez para k + 1;

esto es, 2jv3(k+1): Si tenemos n = 3 (k + 1) ; entonces vn = v3(k+1) = v3k1v3 +v3kv4

8



recordando que v3 = 2; tenemos vn = v3(k+1) = 2v3k1 + v3kv4; es claro queel primer sumando es par, y el segundo es divisible por 2 por hipótesis induciva.

Luego 2jv3(k+1):

(=)) Si 2jvn =) 3jn: Haremos esta prueba por contrarrecíproco, esto es,si 3 - n =) 2 - vn: Si 3 - n, entonces n = 3k + r donde 0 < r < 3: Haciendoinducción sobre k; tenemos para k = 1

n = 3 + r; pero r solo puede ser 1 o 2, lo cual nos da los casos v4 = 3 yv5 = 5 que en ningún caso es par. Suponemos la validez de 3 - n = 3k +r =) 2 - vn=3k+r para algún k: y probemos la validez para k+1: Luego si n = (3k + 1)+r;

entonces podemos escribir

vn = v(3k+1)+r = v(3k+r)+3 = v(3k+r)1v3 + v3k+rv4

recordemos que v3 = 2 y v4 = 3; así tenemos

vn = 2 v(3k+r)1 + 3 v3k+r

como 2 - 3 y 2 - v3k+r esto garantiza que2 - vn:

Por ejemplo, si n = 9 tenemos v9 = 34 y 2j34:

Por otro lado, 2jv12 = 144 y 3j12:

1.2 Números de Fibonacci y Las Fracciones Continuas

Consideremos la expresión

q 0 +1

q 1 + 1q2+

1

. ..+ 1qn

(1)

donde q 1; q 2; : : : ; q n son enteros positivos y q 0 es un entero no negativo, estoes q 0 puede se cero.

Las expresiones del tipo (1) se denominan fracciones continuas y el procesode conversión de un número en una fracción continua se denomina desarrollo enfracción continua.

Aprendamos cómo obtener los cocientes incompletos de este desarrollo parael caso de una fracción ordinaria a

b:

Consideremos para este …n el algoritmo de Euclides aplicado a los númerosa y b:

9



a = bq 0 + r1 donde 0 r1 < b

b = r1q 1 + r2 donde 0

r2 < r1

r1 = r2q 2 + r3 donde 0 r3 < r2...

......

rn2 = rn1q n1 + rn donde 0 rn < rn1rn1 = rnq n

(2)

De la primera igualdad es claro que

a

b= q 0 +

r1

b= q 0 +

1br1

Pero de la segunda igualdad del sistema (2) se deduce que

br1

= q 1 + r2r1

= q 1 + 1r1r2

y Ahora teniendo presente la tercera igualdad del sistema (2)

r1

r2= q 2 +

r3

r2= q 2 +

1r2r3

Tomando en cuenta estas igualdades y haciendo las sustituciones adecuadasobtenemos

a

b= q 0 +

1

q 1 + 1q2+

1r2r3

continuando este preceso hasta el …n resulta obvia la expresión

q 0 +1

q 1 + 1q2+

1

. ..+ 1qn

1.2.1 Teorema. Los concientes incompletos correspondientes de dos fraccionescontinuas iguales, son iguales

Demostración. Tomemos dos fracciones continuas y 0: Sean q 0; q 1; q 2; : : :

y q 00; q 01; q 02; : : : sus cocientes incompletos respectivamente. Probemos que la

igualdad = 0 implica las igualdades q 0 = q 00; q 1 = q 01; q 2 = q 02; etc. Enefecto, q 0 es la parte entera del número y q 00 es la parte entera de 0; de aquí laúnica posibilidad es que q 0 = q 00: Ahora bien, podemos representar las fraccionescontinuas y 0 en la forma

q 0 +1

1y q 00 +

1

01

10



donde 1 y 01 también son fracciones continuas. Puesto que = 0 y q 0 = q 00;

debe ser 1 = 01: Pero en tal caso son iguales las partes enteroas de los números

1 y 01; o sea, q 1y q 01: Continuando este razonamiento encontramos que q 2 =q 02; q 3 = q 03; : : :

Sea

= q 0 +1

q 1 + 1q2+

1

.. .+ 1qn

una fracción continua. Consideremos los números

q 0; q 0 +1

q 1; q 0 +

1

q 1 + 1q2

; : : :

estos numeros expresados como fracciones irreduciblesP 0Q0

= q01

P 1Q1

= q 0 + 1q1

P 2Q2

= q 0 + 1q1+

1q2

......

...P nQn

=

se denominan reducidas de la fracción continua : De la secuencia anteriorse ve que P k+1

Qk+1se obtine de P k

Qksustituyendo el único cociente incompleto de

esta reducida, o sea, q k; por q k+1:

1.2.1 Lema. Para toda fracción continua se cumplen las relaciones siguientes

P k+1 = P kq k+1 + P k1 (1)

Qk+1 = Qkq k+1 + Qk1 (2)

P k+1Qk P kQk+1 = (1)k (3)

Haremos la demostración del lema 1.2.1 probando simultáneamente las tresigualdades y aplicando inducción sobre k.

Para k = 1: Tenemos:

P 1

Q1= q 0 +

1

q 1=

q 0q 1 + 1

q 1

Puesto que los números q 0q 1 + 1 y q 1 son coprimos, la fracción q0q1+1q1

es

irreducible; al mismo, la fracción P 1Q1

es irreducible. Pero los numeradorore ylos denominadores de dos fracciones irreducibles iguales son iguales. Esto esP 1 = (q 0q 1 + 1) y Q1 = q 1:

11



Tenemos, luego,

P 2Q2

= q 0 + 1q 1 + 1

q2

= q 0 (q 1q 2 + 1) + q 2q 1q 2 + 1

recordando aquí que; (a;bc) = (a; b) = (a + c; b) tenemos

(q 0 (q 1q 2 + 1) + q 2; q 1q 2 + 1) = ((q 1q 2 + 1) + q 2; q 1q 2 + 1) = (q 2; q 1q 2 + 1)

y por la misma razón pasa que

(q 2; q 1q 2 + 1) = (q 2; 1) = 1

de aquí se siguie que P 1Q1

= q0q1+1q1

sean irreducibles, de modo que

P 2 = q 0 (q 1q 2 + 1) + q 2 = (q 0q 1 + 1) q 2 + q 0 = P 1q 2 + P 0

yQ2 = q 1q 2 + 1 = Q1q 2 + Q0

…nalmente la igualdad

P 2Q1 P 1Q2 = (q 0 (q 1q 2 + 1) + q 2) (q 1) (q 0q 1 + 1) (q 1q 2 + 1) = (1)1

Hasta aquí tenemos la validez para k = 1; y la base de la inducción paraalgún entero k; bien ahora consideremos el caso para k + 1:

Consideremos la fracción

P k+1

Qk+1= P kq k+1 + P k1

Qkq k+1 + Qk1

Como hemos dicho ya P k+2Qk+2

se obtine de P k+1Qk+1

sustituyendo en ésta q k+1

por q K+1

+ 1qk+2

; puesto que q k+1 no …gura en las fórmulas para P k; Qk; P k1 y

Qk1; tenemos

P k+2

Qk+2=

P k

q K+1

+ 1qk+2

+ P k1

Qk

q K+1

+ 1qk+2

+ Qk1

recordando las hipótesis inductivas (1) y (2)

P k+2

Qk+2=

P k+1q k+2 + P k

Qk+1q k+2 + Qk

(4)

Demostraremos que el segundo miembro de (4) es una fracción irreducible,para ello basta probar que su numerador y denominador son coprimos.

12



Supongamos que los números P k+1q k+2 + P k y Qk+1q k+2 + Qk poseen undivisor común d > 1: En este caso, la expresión

(P k+1q k+2 + P k) Qk+1 ( Qk+1q k+2 + Qk) P k+1

también será divisible por d: Pero, según la hipótesis inductiva (3) ; esta

expresión es igual a (1)k+1 y d no puede dividirla.Por lo tanto, el segundo miembro de (4) es irreducible de modo que (4) es

una igualdad entre dos fracciones irreducibles. Luego,

P k+2 = P k+1q k+2 + P k y Qk+2 = Qk+1q k+2 + Qk

Para …nalizar la demostración falta demostrar que

P k+2Qk+1 P k+1Qk+2 = (1)k+1

Pero de los resultados ya obtenidos

P k+2Qk+1 P k+1Qk+2 = (P k+1q k+2 + P k) Qk+1 (Qk+1q k+2 + Qk) P k+1

= Qk+1P k+1q k+2 + P kQk+1 P k+1Qk+1q k+2 QkP k+1

= (Qk+1P k+1q k+2) + (P kQk+1 QkP k+1) (P k+1Qk+1q k+2)

= (QkP k+1 + P kQk+1) (1)

= (1)k+1

con lo cual queda demostrado el lema.

1.2.2 Teorema. Si una fracción incompleta tiene n cocientes incompletos,

todos iguales a 1; esta fracción es igual a

vn+1

vn

Demostración. Sea n la fracción continua de n cocientes incompletosiguales a 1. Podemos escribir entonces

1; 2; 3; : : : ; n

las fracciones reducidas de la fracción n:

Sea

k =P k

Qk

Puesto que

1 = 1 =1

1y 2 = 1 +

1

1= 2

debe ser P 1 = 1 y P 2 = 2: Además P n+1 = P nq n+1 + P n1; por lo probadoen el lema 3.3.1; como todos los cocientes son iguales a 1; se tiene que q n+1 = 1:

Por tanto podemos escribir

P n+1 = P n + P n1

13



de donde tenemos que

P n = P n1 + P n2

ésta última fórmula coincide con la de…nición para los números de …bonacci,por tal razón

P n = vn+1

Análogamente tenemos Q1 = 1; Q2 = 1 y Qn+1 = Qnq n+1 + Qn1luego

Qn+1 = Qn + Qn1

de modo que Qn = vn: Por consiguiente

n =vn+1

vn

Toda la discusión sobre fracciónes continuas …nitas, es aplicable de formanatural al caso de fracciónes continuas in…nitas.

Determinemos el valor de la fracción continua in…nita

1 +1

1 + 11+ 1

. ..+ 1

.. .+1

sabemos ya que este valor es igual a limn*1

n; donde n = vn+1vn

: Calculemos

este límitePor el teorema 1.2 sabemos que vn es el entero más próximo a np 5

; es decir,

para todo n se tiene

vn =n

p 5

+ n donde jnj <1

2:

Luego tenemos

limn*1 n = lim

n*1vn+1

vn= lim

n*1

n+1p 5

+ n+1np 5

+ n= lim

n*1 + n+1

p 5

n

1 + np 5

n

=limn*1

+ n+1

p 5

n

limn*1

1 + n

p 5

n

Pero n+1p

5 es una magnitud acotada (su valor absoluto es menor que 2) y

n crece inde…nidamente cuando n tiende al in…nito (porque > 1). Por tanto

limn*1

+

n+1p

5

n

!= + lim

n*1n+1

p 5

n=

14



y

limn*1

1 +np

5

n!

= 1 + limn*1np

5

n = 1

Finalmentelimn*1 n =

recordemos que = 1+p 5

2 ; tenemos, entonces

limn*1

n =1 +

p 5

2 1: 6180

Por ejemplo, la razón v5v4

= 53 = 1: 6667 y para v14

v13= 377

233 = 1: 618:

15



1.3 Ejercicios propuestos

1. Calcúlese los primeros 50 números de Fibonacci.

2. Pruébese el lema 3.2.1

3. Encuéntrese una expresión que de la suma para los números de Fibonacci deíndices impares y pruébese su validez para todo n:

3. Pruébese que para los números de Fibonacci es valida la igualdad siguiente

v21 + v22 + v23 = vnvn+1

4. Pruébese el siguiente teorema.

Teorema. Cualquiera que sea el número entero m, entre los m21 primeros

números de Fibonacci habrá al menos uno divisible por m:

5. Calcule el mcd para los siguientes conjunto de números

(v7; v9) ; (v5; v15) ; (v4; (v7; v9)) ; ((v21;v12) ; (v7; v9))

6. Demuéstrese los siguientes criterios de divisibilidad para números de Fi-bonacci

6.1 Un número de Fibonacci es divisible por 3 si, y sólo si, su índice es divisiblepor 4.

6.2 Un número de Fibonacci es divisible por 4 si, y sólo si, su índice es divisiblepor 6



7. Considérese los números primos de Fibonacci, con índices mayor a 3; ¿quépuede decirse de los índices?

8. Desarróllese en fracciones continuas los siguientes números racionales

227

355113

10259532657

10399333102

14614

9. Calcúlese las primeros 5 términos de la sucesión de Fibonacci usando lafórmula de Binet y pruébese que ésta es valida para todo n:

10. Un saltador puede desplazarse en una sóla dirección a lo largo de una franjacuadriculada saltando cada vez a la casilla inmediata o por encima de ellaa la siguiente. ¿cuántos modos de desplazarse en n 1 casillas y, enparticular, de la primera a la n esima tiene el saltador? (dos modos sonidénticos si en cada uno de ellos el saltador se posa en la misma casilla?

16



16

1.3 Propiedades geométricas de los Números de Fibonacci

I. Tomemos el segmento de longitud 1 y dividamos en dos partes demodo que la mayor sea la media geométrica entre la menor y todo el

segmento.

Sea la longitud de la parte mayor del segmento. La longitud de la parte menorserá, naturalmente, 1 y nuestro problema se reduce a la proporción

1

1 , 1

De donde 1 , 2

La raíz positiva de 2 es

1 √ 52

De modo que cada una de las razones de la proporción 1 es igual a

1 21 √ 5 21 √ 51 √ 51 √ 5 1 √ 52

Esta división del segmento en dos partes se denomina justa proporción.

II. Consideremos ahora el pentágono regular. Sus diagonales forman unpentagrama.



17

De mediciones con transportador podemos encontrar que los ángulos y

son iguales a 108° y 36°, respectivamente, aplicando el teorema de los

senos, resulta

108°

36° 72°

36° 236° 21 √ 5

4

Pero como , debe ser

Y es el punto de la justa proporción en el segmento .

Por definición de justa proporción tenemos

Observando con detalle, resulta que , encontramos

Es decir, cada uno de los segmentos

, ,

Es veces mayor que el anterior.

III. Supongamos ahora que la razón de las dimensiones de un rectángulo es. Inscribamos en un rectángulo de esta proporción el cuadrado demayor dimensión posible y demostremos que de esta forma se obtienede nuevo un rectángulo de la misma proporción.

E B

CFD

A



18

En efecto,

Por hipótesis ya que es un cuadrado. Luego,

1

Pero 1 de modo que

Además con la construcción anterior es posible trazar la siguiente espiral

Y la encontramos en



19

1.4 ¿Dónde están los Números de Fibonacci?

En la naturaleza encontramos numerosos ejemplos de ordenaciones deelementos homogéneos relacionados con los números de Fibonacci.

Fibonacci y los vegetales: El ejemplo que quizás sea el más sencillo es elcaso de la orientación de las espirales en una piña, si contamos las espiralesen un sentido y luego en el otro encontramos los números 8 y 13 en otrasespecies aparecen 5 y 8, en ambas números Fibonacci consecutivos.

Fibonacci y las flores: Si por curiosidad contamos los pétalos de una florcualquiera que esta sea, en un 95% encontraremos números de Fibonacci paraestos, así por ejemplo, las margaritas tienen en general 21 o 34 pétalos yalgunas tienen 55 e incluso alcanzan 89 todos números Fibonacci.

Fibonacci y los animales: Además del ya mencionado problema de losconejos, también encontramos números de Fibonacci en el árbol genealógicode las abejas machos. En toda colmena existe una abeja hembrallamada “reina”, que es la única capaz de producir huevos. Las

abejas “obreras” también son hembras, pero no producen huevos,solo trabajan. En la colmena también existen abejas “machos”, queno trabajan y su única función es aparear a la reina (zánganos).Estos provienen de huevos de la abeja reina no fertilizados, y por lotanto tienen madre, pero no tienen padre, por lo que él (1) tiene unamadre (1, 1), dos abuelos –los padres de la reina– (1,1,2), tresbisabuelos -por que el padre de la reina no tuvo padre-(1, 1 ,2, 3),cinco tatarabuelos, (1,1,2,3,5) y ocho tataratatarabuelos, (1,1,2,3,5,8), endefinitiva sigue estrictamente la sucesión de números de Fibonacci.



20

Fibonacci Musicalizado.

Bela Bartok, cerca de 1915 desarrolló un método para

integrar todos los elementos musicales (escalas, estructura

de acordes, proporciones de longitud, etc.) basándose en

la proporción aurea. Ya los caldeos habían propuesto

utilizar la razón áurea como principio estético 3000 años

A.C., los griegos la utilizaron 2000 años después y fue

reutilizada en el renacimiento pero nunca en la Música.

En cuanto a la Forma y la Armonía, Bartok utiliza el

principio de la razón áurea. Por ejemplo, en el primer

movimiento de la Sonata para dos pianos y percusiones,

que consta de 443 compases, si se multiplica este número

por .618... (.618…es el inverso de la razón aurea) Seobtiene el compás 274, el cual será el centro de gravedad del movimiento. Así la re-

exposición o recapitulación ocurre en el compás 274. Análogamente sucede con el

primer movimiento de Contrastes, el cual consta de 93 compases, número que si se

multiplica por .618... Da el compás 57 justo donde comienza la re-exposición.

Si comparamos la sucesión de Fibonacci con la fuga (primer movimiento) de la Música

para Cuerdas, Percusiones y Celesta observamos que los 89 compases del movimiento

están divididos en secciones de 55 y 34 compases. Estas secciones se subdividen en

secciones de 34 y 21 compases y 13 y 21 compases respectivamente. El clímax ocurre

en el compás 55. No es una casualidad que la exposición finalice en el compás 21 y que

los últimos 21 compases están divididos en secciones de 13 + 8 compases.

El Allegro Bárbaro es otra composición para piano solo en la cual Bartok utiliza los

números de Fibonacci 2, 3, 5, 8, y 13 en diversas ocasiones, a diferencia de la música

tradicional la cual utiliza 8 compases en casi todos los temas y múltiplos de 2 en los

motivos y frases. También utiliza su círculo de tonalidades y la duración de la pieza es

de 3 minutos.

Bartok escribió que seguía a la naturaleza en la composición y que fue guiado

indirectamente por fenómenos naturales para descubrir estas regularidades.

Constantemente aumentaba su colección de plantas, insectos y especímenes minerales.

El girasol era su planta favorita y se ponía muy feliz cuando encontraba piñas de abetoen su escritorio. Consideraba que la música folclórica también era un fenómeno de la

naturaleza y que sus formaciones se desarrollaban tan espontáneamente como otros

organismos vivientes: las flores, los animales, etc. Por esto su música le recuerda al

oyente de escenas naturales. Por ejemplo, el girasol tiene 34 pétalos y sus espirales

tienen los valores 21, 34, 55, 89,144.



21

En la pintura

LEDA ATÓMICA

En la que el pintor español Salvador Dalí emplea

un esquema compositivo, basado en la divinaproporción; toda la composición se enmarca en uncírculo en el que un pentagrama organiza elespacio.



23

Conclusiones

Este trabajo es un estudio y una recopilación de las principales definiciones,

propiedades, y teoremas que corresponden a la sucesión de Fibonacci, desarrolladas

bien como una curiosidad numérica o como una teoría propiamente dicha.

Abordamos por completo la naturaleza misma de este conjunto de números, suspropiedades aritméticas, donde hicimos mayor énfasis, sin dejar por un lado el algebra y

la geometría.

Además de presentar la parte formal de la teoría dimos un vistazo a las aplicaciones,

por lo cual podemos ubicar este trabajo también como divulgación de las matemáticas,

que sirva como inspiración para ver más detenidamente los número y cómo estos se

relacionan con nuestra vida.

Hemos incluido una sección de ejercicios propuestos donde el lector podrá ponerse a

prueba después de la lectura y verificar cuan fructífera fue.



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Recomendaciones

Si bien es cierto que caracterizamos por completo los números de Fibonacci, no hay que

olvidar que las matemáticas es una ciencia dinámica, esto es, en nuevas ramas de

estudio también se encuentran relaciones con esta sucesión, como casos particulares

tenemos la variable compleja y la geometría fractal, además de engendrar problemas

muy interesantes como el hecho de cuantos números primos contiene dicha sucesión.

Por tales razones recomendamos a todo aquel que continúe con este estudio, abordar

estos nuevos e interesantes aspectos.



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Bibliografía

Augusto César Morgado, Eduardo Wagner, Elon Lages Lima, Paulo Cezar Pinto. Las

matemáticas en la enseñanza media. Volumen 2. Colección IMCA. Brasil.

Carl B. Boyer. Historia de las matemáticas. Alianza Editorial. Madrid-España 1986

Clifford A. Pickover. La maravilla de los Números. Ediciones Robinbook, s.l.

Barcelona-2001.

Enzo. R Gentil. Aritmética Elemental. Secretaría general de la OEA. Washington, D.C-

1985.

N. N. Vorobiov. Lecciones Populares Números de Fibonacci. Editorial Mir Moscú.

Números de Fibonacci

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