Matematica Aplicada a La Administracion
-
Upload
juan-gutierrez-paredes -
Category
Documents
-
view
223 -
download
0
Transcript of Matematica Aplicada a La Administracion
7/23/2019 Matematica Aplicada a La Administracion
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-aplicada-a-la-administracion 1/24
MATEMATICA APLICADA A LA ADMINISTRACION
TEMA: MATRICES
Definición.- Una matriz de orden mxn es un arreglo rectangular de
números ( reales o complejos) aij , llamados elemento dispuestos en m
lineas horizontales , llamadas fila y en n lineas verticales llamadas
col!mna ; de la forma :
Las matrices se nomran con letras mayúsculas ! , " , # , $ % &n forma
areviada la matriz anterior puede escriirse en la forma A " # aij $ m%n
con i ' , , * , $, m ; j ' ,,*, ,$ n , o !mxn % Los su+ndices indican la
posicin del elemento dentro de la matriz , el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ) % -or
ejemplo el elemento a . se uica en la segunda fila y /uinta columna de la matriz %
La dimenión de una matriz es el n0mero mxn de elementos /ue tiene la matriz %
MATRICES I&'ALES%12os matrices son iguales cuando tienen
la misma dimensin y cuando los elementos /ue ocupan los
mismos lugares son iguales %, 3i ! '( a ij ) mxn y " ' ( ij ) mxn ,
entonces ! ' " si y solo si a ij ' ij para cada valor de i , j
La i(!iente matrice no on i(!ale
AL&'NOS TIPOS DE MATRICES :
).MATRI* C'ADRADA.- es a/uella /ue tiene el mismo n0mero de filas /ue de columnas , es decir m ' n , y
se dice /ue la matriz cuadrada es de orden n %
La Dia(onal Princi+al de una matriz cuadrada es el conjunto formado por los elementos a , a , a ** , a 44
,$$ a n n y la tra,a de la matriz cuadrada es el número dado por la suma de los elementos de la diagonal
principal , es decir :
5raza ( ! ) ' a 6 a 6 a ** 6 a 44 6$$6 a n n
. MATRI* RECTAN&'LAR .- es toda matriz en la /ue m n
.MATRI* /ILA - es una matriz de orden x n :
7/23/2019 Matematica Aplicada a La Administracion
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-aplicada-a-la-administracion 2/24
4. MATRI* COL'MNA .- es una matriz de orden m x :
0. MATRI* N'LA- es la matriz /ue tiene todos sus elementos nulos
7 '
0 0 0
0 0 0
÷ ÷ ÷ ÷
1. MATRI* DIA&ONAL es una matriz cuadrada en la /ue todos los elementos /ue no pertenecen a la
diagonal principal son nulos
2"
22
33
0 0 0
0 0 0
...........................
............................
a
a
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
L
L
&jemplo % " '
0 2 0 ÷− ÷
÷
3. MATRI* ESCALAR.- es una matriz diagonal en la /ue todos los elementos de la diagonal principal son
iguales a una constante
2"
0 0 0
0 0 0
...........................
............................
k
k
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
L
L
4. MATRI* 'NIDAD O IDENTIDAD.- es la matriz escalar en la /ue 8 '
7/23/2019 Matematica Aplicada a La Administracion
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-aplicada-a-la-administracion 3/24
2"
0 1 0 0
0 0 1 0
............................
÷ ÷ ÷ ÷ ÷ ÷
L
L
" I n
5. MATRI* TRIAN&'LAR S'PERIOR .- es la matriz cuadrada /ue tiene todos sus elementos /ue se
encuentran por deajo de la diagonal principal nulos, es decir a ij ' 7 , para todo i 9 j %
! '
22 23 24
33 34
0
0 0
a a a
a a
÷
÷ ÷ ÷÷
)6. MATRI* TRIAN&'LAR IN/ERIOR.- es la matriz cuadrada /ue tiene todos sus elementos /ue se
encuentran por encima de la diagonal principal nulos, es decir a ij ' 7 , para todo i 9 j %
! '
21 22
31 32 33
0 0
0
a a
a a a
÷ ÷ ÷ ÷÷
)). MATRI* TRASP'ESTA .- es la matriz /ue se otiene de la matriz ! ' ( aij )mxn intercamiando las filas por
columnas se denota ! t ' (a ji )nxm
! '
21 22 23
31 32 33
a a a
a a a
÷ ÷ ÷ ÷÷
!t '
11 1 1 1
12 22 32 42a a a a
÷ ÷ ÷
7/23/2019 Matematica Aplicada a La Administracion
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-aplicada-a-la-administracion 4/24
&jemplo 3i
1 3 2 entonces A 3 6
5 6 7
t A
− ÷= = − ÷ ÷− ÷−
). MATRI* SIMETRICA .- es toda matriz tal /ue ! ' !t
! '
0 2 4 , 0 2 4t
A ÷ ÷= ÷ ÷
÷ ÷
). MATRI* ANTISIMETRICA .- es toda matriz tal /ue ! ' 1 !t
t t A A A A= ⇒ = ⇒ − = = ÷ ÷ ÷
). OPERACIONES CON MATRICES
S'MA DE MATRICES
3i ! ' ( aij )mxn y " ' ( ij )mxn son dos matrices del mismo orden , entonces se define la suma ! 6 " como la
matriz de orden mxn , # ' ( cij )mxn tal /ue
cij ' aij 6 ij %
&jemplo * 3i
entonces A+B= A y B= = ÷ ÷ ÷
PROPIEDADES
3i ! , " y # son matrices de orden mxn , se cumple :
% ! 6 " ' " 6 !
% ! 6 ( " 6 # ) ' ( ! 6 " ) 6 #
*% ! 6 7 ' 7 6 !
7/23/2019 Matematica Aplicada a La Administracion
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-aplicada-a-la-administracion 5/24
4% &xiste la matriz opuesta de la matriz ! , denotada por ! , /ue se otiene camiando los signos detodos los elementos de ! , tal /ue ! 6 ( 1 ! ) ' 7
DI/ERENCIA DE MATRICES La diferencia de las matrices ! y " , de orden mxn, se define como la matriz 2
' ! 6 ( 1 " ) % es decir 2 ' ( d ij ) mxn tal /ue
d ij ' a ij 1 ij
PROD'CTO DE 'N ESCALAR POR 'NA MATRI* . 2ado el n0mero real 8 y la matriz ! mxn , el producto 8%!
es otra matriz del mismo orden , /ue resulta de multiplicar cada elemento de ! por 8 %
21 22 2
31 32 3
....
.............................
.........................
n
n
n
ka ka ka
ka ka ka
÷ ÷
÷= ÷ ÷ ÷ ÷
21 22 2
31 32 3
....
..... ..........................
.........................
n
n
n
a a a
a a ak A K
÷ ÷
÷= ÷ ÷ ÷ ÷
PROPIEDADES:
= = , se cumple :
% ( ) ! '
.
.
7/23/2019 Matematica Aplicada a La Administracion
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-aplicada-a-la-administracion 6/24
7.
PROD'CTO DE MATRICES .- 2adas dos matrices ellas son compatiles para la multiplicacin
de ! por ", si el n0mero de columnas de ! es igual al n0mero de filas de " %
&L producto !% " es la matriz # de orden m x p , tal /ue los elementos cij de # es
cij '
ik k j
para cada i , j
&jemplo 4 2adas las matrices ! y ", hallar !"
1 6 31 3
5 10 75 2
Solc!on
"l n#me$o %e colmn&s %e A , n = 2 , es !'&l n#me$o %e !l&s %e B entonces ex!ste AB, &%ems*
6 1 4 5 6 6 4 ( 10) 6 3 4 ( 7)AB=
( 1) 1 3 5 ( 1) 6 3 ( 10) 5 3
A B
x x x x x x
x x x x x
÷= − ∧ = ÷ ÷ − − ÷−
+ + − + −− + − + −
3 3
26 4 8
( 2) ( 7) 14 36 29
26 4 8
x x
AB
− − = ÷ ÷+ − − −
− − ∴ = ÷
PROPIEDADES
% !% ( " % # ) ' ( !% " ) % #
E8ERCICIOS DE APLICACI9N
%1 <tener la matriz /ue resulta de cada una de las siguientes operaciones:
7/23/2019 Matematica Aplicada a La Administracion
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-aplicada-a-la-administracion 7/24
1.
2 −3 6
5 4 5
0 −1 −9
−
1 −3 4
0 −2 5
1 0 −1
2.
6 −1 0
4 2 1
+
5 0 2
0 −1 3
+
−2 −1 −3
−4 1 −1
3.
1
3
4
−
2
0
2
+
3
1
−2
4.
2 1
1 2
+ −1 0
0 −1
− 2 2
2 2
5. 1 , 3 , +1 , 2[ ]− 0 , 1 , −2 , 3[ ] 6. −1 , 2[ ]− 3 , 4[ ]+ 1 , −2[ ]− 6 , 5[ ]
%1 2adas las matrices
−
−−=
−
=
−−=
−
= 11,12
31,11,
21
01 DC B A
t t t t t
. 2adas las matrices
−=
−−
= 023,012 B A
calcula⋅⋅
7/23/2019 Matematica Aplicada a La Administracion
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-aplicada-a-la-administracion 8/24
. 2adas las matrices
−=
−= 21,
021
312 B A
2e las siguientes operaciones, algunas no se
pueden realizar; razona por /u=% &fectúa las /ue se puedan realizar%
t
7.2adas las matrices
−=
−−
=
=
01
11,22,
112
321C B A
hallar:
.% 3ean las matrices
2 32 3 7 1 2 0 4
5 25 0 6 9 1 3 5
2 1
A B C
÷− ÷ ÷= = = − ÷ ÷ ÷ ÷− ÷
&ncontrar a/uellas matrices /ue se encuentren definidas
a) !" ) #! c) "t !t d) "# e) #t"
III Sean las matrices:
Efectuar las siguientes operaciones:
7/23/2019 Matematica Aplicada a La Administracion
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-aplicada-a-la-administracion 9/24
(A + B) 2; (A − B)2; (B)3; A · B t · C
2Sean las matrices:
!ustificar si son posi"les los siguientes pro#uctos:
1 (A t · B ) · C
2 (B · C t ) · A t
3 $eterminar la #imensi%n #e & para 'ue pue#a efectuarse el pro#ucto A · & · C
3 $etermina la #imensi%n #e & para 'ue C t · & sea una matri cua#ra#a
CONCEPTO DE DETERMINANTE ! cada matr iz cuadrada A se le asigna un escalar particular denominado determinante de A,
denotado por A o por det #A$%
! '
Determinante de orden !no
>a > ' a
>.> ' .
Determinante de orden do
' a )) a - a ) a )
7/23/2019 Matematica Aplicada a La Administracion
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-aplicada-a-la-administracion 10/24
Determinante de orden tre
#onsideremos una matriz * x * aritraria ! ' (a ij )% &l determinante de ! se define como sigue:
'a)) a a ; a) a a ) ; a) a) a <
- a ) a a) - a) a) a - a)) a a .
' = = 7 ; = #-0$ = #-$ ; ) = 6 = ) - - ) = = #-$ - = 6 = 7 - =#-0$ = )
" 7 ; 6 ; 6 - #-7$ - 6 - #-)0$" 77 ; 7 ; )0 " 1
<s=rvese /ue hay ei +rod!cto, cada uno de e llos formado por t res e lementos de lamatriz% Tre de los productos aparecen con i(no +oiti>o (conservan su signo) y tre con i(no
ne(ati>o (camian su signo)%
RE&LA DE SARR'S
Los t=rminos con i(no ; est?n formados por los elementos de la dia(onal +rinci+al y los delas dia(onale +aralela con su correspondiente >?rtice o+!eto%
Los t=rminos con i(no - est?n formados por los elementos de la dia(onal ec!ndaria y los delas dia(onale +aralela con su correspondiente >?rtice o+!eto%
Ejemplo
7/23/2019 Matematica Aplicada a La Administracion
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-aplicada-a-la-administracion 11/24
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
% 3i todos los elementos de una columna o de un rengln son cero, entonces el determinante es cero%% &l determinante de la matriz ! es igual al determinante de la matriz !5
*% 3i cada elemento de un rengln o una columna es multiplicado por un escalar 8 , el determinante es tami=nmultiplicado por 8 %
RE&LA DE CRAMER
7/23/2019 Matematica Aplicada a La Administracion
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-aplicada-a-la-administracion 12/24
La regla de Cramer es aplicale para a/uellos sistemas /ue tienen igual número de ecuaciones /ue de incgnitas (n ' m) yel determinante de la matriz de coeficientes es distinto de cero% &s decir, para sistemas de /ue tienen siempre una solucinúnica (compatiles determinados)%
@&3<LA&@ -<@ B&5<2< 2& 2&5&@BC!C5&3 @&DL! 2& #@!B&@
resolver los siguientes sistemas
=++−
=+−
−=−+−
6.
1-0
7.
z y x
z y x
z y x
=++−
−=+−
−=−+
0
-7.
.-7
z y x
z y x
z y x
=+−
=+
.-1-
07
z y x
y x
7/23/2019 Matematica Aplicada a La Administracion
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-aplicada-a-la-administracion 13/24
L<D!@5B<3
CONCEPTO
3e denomina logaritmo de un número real
positivo, al exponente a /ue se dee elevar una ase
positiva y distinta de la unidad, para otener una
potencia igual al número propuesto%
&ntonces:
LogC ' α C '
DEFINICIÓN
α ' Logaritmo
α ∈ @
' ase
9 7 ; ≠
C ' número al cual se le toma logaritmo%
C 9 7
Ejemplos:
Log.. ' ; por /ue: . ' .
LogE*F ' 1 ; por /ue: F ' (E*)1
Log* ' 7 ; por /ue: ' *G
IDENTIDAD FUNDAMENTAL
2e la definicin tenemos: α ' LogC $$$$()
5enemos /ue:
' C $$$$$$()
@eemplazando: () en ()
=
dentidad Hundamental
∀ x 9 7 ∧ a ∈ @6 1 IJ
Ejemplos:
).
.
.
2
x ∈ @
7/23/2019 Matematica Aplicada a La Administracion
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-aplicada-a-la-administracion 14/24
searitmoslogdetipoEste
=
Ejemplos:
). Log77
=
7 ' 7
x
Log777 =
7* ' 7
x
conocesearitmologdetipoEste
e
Ejemplos:
). Ln e
=
e ' e
x , x '
. Lne
.
' .
. LneK ' K
2eemos saer:
Log 7%* Log7 '
Log* 7%4 Log. 7%KF
PROPIEDADES
=
EjemploLog* ' 7
a$=
EjemploLog** ' ; log.. '
@$ Logxa ' Logxa 6 Logx (a, , x ∈ @6)
Ejemplo
Log7K ' Log7 6 Log7*
' 7,* 6 7,4 ' 7,
Logx(aE) ' Logxa 1 Logx (a, , x ∈ @6)
Ejemplo
Log7 ' Log7* 1 Log7
' 7,4 1 7,* ' 7,
c$
oo =
(n ∈ @; m ∈ @; C 9 7)
-ropiedad del 3omrero
Ejemplo
)$
oo =
$
oo =
Este sistema
fue
implementad
7/23/2019 Matematica Aplicada a La Administracion
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-aplicada-a-la-administracion 15/24
$
=
7$
ogog =
d$
oga
-ropiedad nversa
Ejemplo
)$
og3
$
og6
7/23/2019 Matematica Aplicada a La Administracion
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-aplicada-a-la-administracion 16/24
OQUE IOQUE I
% 2etermina los siguientes logaritmos%
a) Log7 ') Log*7 '
c) Log '
d) Log4 '
e) Log*F '
f) Log*K '
% !plicando la identidad fundamental determinar el valor de las siguientes expresiones:
a) '
) '
c) '
d) '
e) '
f) '
g) '*% 2eterminar el valor de:
& ' Log7 6 Log777 6 a) * ) c) 4d) . e) K
4% 2eterminar el valor de:
! ' Log74 6 Logee. 6 ne
a) ) c) .
d) * e) 7
.% Mallar NxO en cada uno de los siguienteslogaritmos:
a) Log*F ' x
) Log.K. ' x
c) Log*4* ' x
d) Logx ' *
e) Log.x '
f) Logx. '
g) Logx*K '
h) Logx. '
K% Mallar: N& O
3i:
E
=
a) 7 ) c) d) * e) 4
% ndicar el valor de:
= ooo
a) ) c) 7d) 1 e) 4
P% 3i: Log ' 7,*Log* ' 7,4
7/23/2019 Matematica Aplicada a La Administracion
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-aplicada-a-la-administracion 17/24
Mallar el valor de: & ' Log*F 6 Log4 6 LogK
a) ,4 ) 4,* c) 4,d) 4,F e) .,*
F% ndicar el valor de:
a) Log* '
) '
c) '
d) '
7% Mallar NxO en:
a) ) c) *d) 4 e) .
BLOQUE IIBLOQUE II
% #alcular:
o
a) ) c) *d) 7 e) 4
% 3i: L ' Log(Log.K)
Mallar:
a) ) c) *d) 4 e) .
*% 3implificar:
=
ooo
a) ) c) *d) 4 e) .
4% #alcular:
2og
a) ) c) *d) 4 e) .
.% @educir: (Log* 6 Log.) % Log.
a) ) c) *d) 4 e) .
K% #alcular:
=
% #alcular:
=
P% ndicar el valor de:
ogog
a) 4E* ) .E c) Ed) *E e) 4E.
F% @educir:
a) ) c) *d) 4 e) .
UNMSM - 87UNMSM - 877% &l valor de NxO en la ecuacin:
ooxo
es:
a) P ) 7 c) 7d) *7 e) .
% #alcular: *Log(x) 6 Logx ' LogE4
a) 7,. ) c) 1.d) e) 1E
% #alcular:
a) 1E4 ) 4 c) 14d) E e) 1P
7/23/2019 Matematica Aplicada a La Administracion
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-aplicada-a-la-administracion 18/24
BLOQUE IIIBLOQUE III
% #alcular:
LoLoLo
a) 4 ) c) d) . e) 7
% ndicar si es verdadero (A) o falso (H):
) LogC ' (LogC7)1
$$$$$$$$$$%% ( )) Ln7 ' $$$$$$$$$$$$$$$$$$% ( )
) Log '
$$$$$$$$$$$$$$$$% ( )
*% @educir:
23Log
=
a) E* ) *E c) Ed) e)
4% Luego de reducir:
aab
baa bLogaLog&
=
3e otiene:
a) 1
) 1a
c) 1
d) aa e) aa1
.% #alcular:
3
5Log
1Lo
15'
a) ) c) 1d) P e) 7
K% #alcular:
& ' lne 6 lne 6 lne* 6 $$ 6 lnex6
a) (x 6 )(x 6 ) d)
) e)
c)
% #alcular:
Lo50Lo
a) .EK ) E* c) Ed) EK e) .E*
P% @educir:
5
Log
2Log
25
Log
=
a) ) c) *d) 4 e) .
F% 3i: Log*. ' a; Log* '
Mallar: NLog*(,)O en funcin de NaO y NO
a) ) * 6 a c)d) * a e) a 1 *
%
7/23/2019 Matematica Aplicada a La Administracion
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-aplicada-a-la-administracion 19/24
% #alcular lossiguientes logaritmos:
a) LogPK4 '
) Log* '
c) LogF '
d) Log.. '
e) '
f)
1
'
% Mallar NxO en:
=
a) . ) . c) .d) E. e)
*% @educir:
oo
a) * ) F c)
d) *
e)
4% @educir:
ooo
a) 7 ) c) d) 1 e) *
.% Mallar: N&O
oo
a) ) c) *d) F e) P
K% @educir:
oo
a) ) c) *
d) 1 e) 7
% 3implificar:
a) P ) 4* c) F
d) E* e) *K
P% Mallar NxO en:
=
a) EP ) *EP c) KE.d) .EP e) PE.
F% Mallar NxO en:=
a) ) * c) 4d) e) P
7% #alcular el logaritmo de 4* en ase %
a) . ) c) *Ed) .E* e) E.
% Mallar:=
a) ) 4. c) .d) . e) F
% &l logaritmo de 7,7K. en ase es:
a) 7,7. ) 7,. c) .d) 14 e) 1
*% Mallar NxO de: Logx(x 6 *7) '
a) 4 ) . c) Kd) e) K y .
4% Malle NxO de:=
a) 4 ) * c) d) . e) 4 y .
ttp:!!p""reati#anet$%lo&spot$"om! '(&ina )*
7/23/2019 Matematica Aplicada a La Administracion
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-aplicada-a-la-administracion 20/24
.% @esolver:Log(x 1 ) 6
Log(x 1 ) '
a) ) 7 c) *d) 1 e) 1*
ttp:!!p""reati#anet$%lo&spot$"om! '(&ina )+
7/23/2019 Matematica Aplicada a La Administracion
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-aplicada-a-la-administracion 21/24
PROPIEDADES
e$
aLog xb =
Ejemplo ,
3Log8
Ejemplo
3og 2
3
328=
o=
f$f$ Re(la de CadenaRe(la de CadenaLoga % Logc % Logdc ' Logda
Ejemplo
Log*. % Log* % Log. ' Log.. '
'
o =
($($ Colo(aritmoColo(aritmo3e define cologaritmo de un número al logaritmodel inverso multiplicativo de dicho número esdecir:
#ologC ' Log(EC) ' 1LogC
Ejemplo
3Lo3LoLo3loo
=
=
'
A$A$ Antilo(aritmoAntilo(aritmo
=
Ejemplo !ntilog*P ' *
P
!dem?s:
Ejemplo ,
=
BLOQUE IBLOQUE I
% ndicar el producto de logaritmos:h) Log* % Log* '
7/23/2019 Matematica Aplicada a La Administracion
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-aplicada-a-la-administracion 22/24
i) Log. % Log.'
% Mallar:
3iendo (m, n ∈ Q6
9 7)
a) m 6 n ) c)
d) e)
*% &valuar: ! ' Log.* % Log.
a) ) c) *d) 4 e) .
4% Mallar NxO en: Logx ' Log. % Log.
a) ) 7 c) 7d) 77 e) 777
.% Mallar NxO si:=
a) E. ) . c) *E.d) .E e) E*
K% &valuar: ! ' Logmx % Logpn
3i: x ' *7
' p, m ' n
a) 7 ) c) d) * e) 4
% ndicar el valor de: & ' Log.* % Log*4 Log4
a) Log* ) Log4 c) Log.
d) e) C%!%
P% Mallar: B ' Log.* % Log4 % Log*K % LogK4
a) Log* ) Log* c) Log.
d) Log. e) Log.*
F% 2eterminar las siguientes expresiones:
a) !ntilog '
) !ntilog.* '
c) !ntilog*log*F '
d) LogK !ntilogKP '
e) #ologKK '
f) #olog* ( ) '
BLOQUE IIBLOQUE II
*% #alcular: & ' (LogF.) (Log.)
a) EF ) E* c) *E4d) 4EF e) EF
4% 3implificar:
x3
a) E ) E* c) EKd) E e) E4
.% Mallar: & ' Lognm % Logp/ % logmp
3iendo (m, n, p, / ∈ Q6 9 *7)
!dem?s: n ' /
a) ) c) Ed) 4 e) E*
K% 3iendo: & ' Log.* % log*.
Mallar:
=
a) ) c) *d) 4 e) .
% Luego de resolver: 6 Logx Log(x 6 ) ' 7ndicar sus soluciones:
a) 1E.; E ) E7 c) Ed) 1E.; e) 1*E.
P% @esolver:Log(x 6 ) Log(x 1 ) ' Log* *Log
a) ,. ) P c) P,.d) F e)
F% &fectuar:
7/23/2019 Matematica Aplicada a La Administracion
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-aplicada-a-la-administracion 23/24
5aLogbaLog1
a) P ) * c) Kd) e) E
7% 3i: Ix, y, z, RJ ⊂ @6 1 IJ
S adem?s:
25=
#alcular:
a) E ) 7 c) d) 1E e) 1
% 3i: 7x ' P; 7y '
&ntonces el valor de: LogK es:
a) ) c)
d) e)
BLOQUE IIIBLOQUE III7% #alcular:
2Log 3
Log 35Log 52
Log11Log
4Log
=
a) 4 ) * c) d) e) 7
% 3i:
Mallar:
% Mallar el valor de:
= 3og!nti3Logog!ntiLog'
a) ) P c) d) 4 e) K
*% &fectuar:
5aLogbaLog1
a) P ) * c) Kd) e) E
4% #alcular:
64
a) * ) c) 1E
d) E e) 1EF
.% !l reducir:
oonoooo
3e otiene:
a) ) 1 c) E
d) 1E e) 7
K% Mallar el valor de:
= oo!ntiooooo!ntio
a) K ) P c) 7d) e) 4
% Mallar el valor de NxO en:
a% Logx4 ' E*% !ntilogx ' *
c% Log7,Kx ' *
7/23/2019 Matematica Aplicada a La Administracion
http://slidepdf.com/reader/full/matematica-aplicada-a-la-administracion 24/24
d% Log. ' x
P% Mallar NxO
3i: Log4(x 6 ) 6 Log(4x 6 ) '
F% @esolver: x y '
Logx Logy '
a) 17E*; E* ) 7E*; E* c) ; E*d) E*; 7E* e) .E*; E*
7% Mallar NxO en:
x =
a) E ) E* c) E4d) E. e) *
% 3aiendo /ue:
! =
Mallar: & ' ! 6 Log
a) ) 7 c) *d) 4 e) .
2eterminar el valor de: & ' Log.* % Log*.
a) 7 ) c) *
d) 4 e) .
K% 2eterminar: N&O
3i: & ' Log* % Log7 % Log*
a) ) 4 c) Kd) F e) .
% Mallar: NBO
3i:
3Log4Log$
=
a) . ) .E4 c) .E*d) . e)
ndicar el valor de los siguientes enunciados:
P% #olog.* '
F% !ntilog*4 '
7% !ntilog*Log*. '
% #olog4 % Log4 '
% Mallar NxO en: Logx 6 Log(x 6 ) ' #ologK1
a) ) c) *d) 4 e) .