Maqueta de Matematica aplicada III .. Ecuaciones diferenciales .. UNP

8/19/2019 Maqueta de Matematica aplicada III .. Ecuaciones diferenciales .. UNP

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Alunmos: Flores Ruiz Yordy David

García Coello Gian Franco

Silva Togas Juan Justo

Colan Huiman Jess

!orales García !a"der #ennis

Curso: !atem$tica A%licada &&&

Docente: Graciela 'urgos (amuc)e

Tema: A%licaciones Geom*tricas

Ciclo: &+

UNIVE

RSIDA

D

NACIONAL

DE

PIURA

2015 - PIURA


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INTRODUCCION:

(o voy a descu,rir la %-lvora si digo .ue las ecuaciones di/erenciales constituyen

una %arte /undamental de las !atem$ticas0 tanto desde un %unto de vista

%uramente te-rico como desde un en/o.ue m$s a%licado1 %or ello0 es /undamental

su estudio en todas las carreras cientí/icas y t*cnicas2

3as ecuaciones di/erenciales son muy interesantes en cuanto a la %osi,ilidad .ue

%resentan %ara indagar so,re variedad de %ro,lemas de las ciencias /ísicas0

,iol-gicas y sociales2 A %artir de la /ormulaci-n matem$tica de situaciones /ísicas0

,iol-gicas o sociales se descri,en %rocesos reales a%ro"imados2

4ara ilustrar el conce%to de ecuaci-n di/erencial y su relaci-n con distintas ramas

de las ciencias0 vamos a analizar en este a%artado una %arte de la curva donde las

ecuaciones di/erenciales surgen de /orma natural2 A%rovec)aremos %ara introducir

algunas de/iniciones .ue /ormalizaremos m$s adelante2


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OBJETIVOS:

&nter%retar un movimiento mec$nico de un cuer%o como un %ro,lema

de valor inicial2

Com%ro,ar .ue una /unci-n es soluci-n de una ecuaci-n di/erencial2

Determinar los elementos .ue %ro%orciona una ecuaci-n desde el

%unto de vista geom*trico2

Distinguir y resolver los distintos ti%os de ecuaciones de %rimer

orden lineal y no lineal2

Construir modelos sencillos de %ro,lemas es%ecí/icos .ue se

%resentan en otras disci%linas a trav*s de ecuaciones di/erenciales

de %rimer orden1 resolverlas e inter%retar las soluciones en elconte"to del %ro,lema2

5ncontrar la soluci-n general de una ecuaci-n di/erencial lineal

)omog*nea de orden su%erior en los tres casos %osi,les2

Resolver ecuaciones di/erenciales lineales no )omog*neas %or el

m*todo de coe/icientes indeterminados y con el o%erador anulador2

A%licar el m*todo de variaci-n de %ar$metros %ara resolver

ecuaciones no )omog*neas2 5studiar los di/erentes ti%os de

movimiento de un oscilador arm-nico2

Desarrollar los distintos m*todos de soluci-n de sistemas deecuaciones di/erenciales lineales con coe/icientes constantes

)omog*neos y no )omog*neos2

Re%resentar un %ro,lema din$mico como un sistema de dos

ecuaciones di/erenciales lineales de %rimer orden con condiciones

iniciales0 resolverlo e inter%retar su soluci-n en el conte"to del

%ro,lema2

MARCO TEORICO


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APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DEPRIMER ORDEN A PROBLEMAS QUE INVOLUCRAN A LA RECTA TANGENTE

Y LA RECTA NORMAL

Cuando un %ro,lema geom*trico est$ enunciado en t*rminos de la recta tangente

o la recta normal0 los %untos de corte de estas con los e6es coordenados .uedane"%resados en /unci-n de la derivada y el modelo matem$tico .ue se o,tiene va a

re%resentar una ecuaci-n di/erencial0 ya .ue las %endientes de las rectas tangente

y normal a una curva en un %unto0 se %ueden e"%resar en t*rminos de sus

derivadas2

Consid*rese una curva F7"0 y8 9 y un %unto 47"0 y8 de ella 7ver Figura ;82

3a recta tangente a dic)a curva en el %unto 47"0 y8 es a.uella recta0 cuya

intersecci-n con la curva es solo el %unto 47"0 y823a recta normal a la curva F7"0 y8 9 en el %unto 47"0 y80 es a.uella recta

%er%endicular a la recta tangente y .ue %asa %or el %unto 47"0 y8 7ver Figura


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OBSERVACIÓN:Como se est$ indicando con 47"0 y8 un %unto gen*rico de la curva F7"0 y8 9 0 %ara

%oder di/erenciar se indicar$ con 7=0 Y8 las coordenadas de cual.uier %unto de la

recta tangente o de la recta normal2

5n el %unto 47"0 y80 resulta .ue:

= 9 " Y 9 y

4or c$lculo di/erencial0 se sa,e .ue la %endiente de la recta tangente a una curvaen un %unto es igual a la derivada de la curva evaluada en dic)o %unto2 4or lotanto0 la %endiente de la recta tangente 3

t

a la curva F7"0 y8 9 en el %unto 47"0 y8

es mt9 y>2

De a.uí .ue0 la ecuaci-n de la recta tangente es:3t: Y ? y 9 y@ 7 = ? " 8

Ya .ue la recta normal %asa %or el mismo %unto 47"0 y8 y es %er%endicular a la

recta tangente0 %or geometría analítica se sa,e .u*2 5l %roducto de las %endientes

de dos rectas %er%endiculares es igual a ?;0 esto es0 mt mn 9 ?;1 de a.uí .ue la

%endiente de la recta normal es mn 9 ?1

y ´

4or lo tanto0 la ecuaci-n de la recta normal es:

3n

: Y ? y 9 ? ?1

y ´ 7 = ? " 8

3os %untos de corte de cada una de estas rectas con los e6es coordenados0.uedar$n e"%resados en /unci-n de "0 y0 y@ 7ver Figura 8


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5l %unto A 7a"0 ay8 es el %unto de intersecci-n entre la recta tangente y el e6e "2

4or ser A un %unto en el e6e "0 resulta ay

9 2 4ara determinar a"0 se sustituye en

la ecuaci-n de la recta tangente0 = 9 a" y Y 9 ay 9

? y 9 y@ 7 a" ? " 8

Des%e6ando a

"

4or lo tanto0 las coordenadas del %unto A son

5l %unto ' 7,"0 ,y8 es el %unto de intersecci-n entre la recta tangente y el e6e y24or ser ' un %unto en el e6e y0 resulta ,

"9 2 4ara determinar ,

y0 se sustituye en

la ecuaci-n de la recta tangente0 = 9 ," 9 y Y 9 ,y,y ? y 9 y@ 7? " 8

Des%e6ando ,y,y

9 y ? " y@

4or lo tanto0 las coordenadas del %unto ' son 70 y ? " y@8

5l %unto C 7c"0 cy8 es el %unto de intersecci-n entre la recta normal y el e6e "2 4or

ser C un %unto en el e6e "0 resulta cy 9 2 4ara determinar c"0 se sustituye en la

ecuaci-n de la recta normal0 = 9 c"

y Y 9 cy

9


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Des%e6ando c"

c"

9 " B y y@

4or lo tanto0 las coordenadas del %unto C son 70 " B y y@8

5l %unto D 7d"0 d

y8 es el %unto de intersecci-n entre la recta normal y el e6e y2 4or

ser D un %unto en el e6e y0 resulta d" 9 2 4ara determinar dy0 se sustituye en la

ecuaci-n de la recta normal0 = 9 d"

9 y Y 9 dy

des%e6ando d

y

4or lo tanto0 las coordenadas del %unto D son

des%e6ando c"

c"

9 " B y y@

4or lo tanto0 las coordenadas del %unto C son 70" B y y@8

HAY DOS SEGMENTOS A LOS CUALES SE HACE REFERENCIA EN MUCHODE ESTOS PROBLEMAS GEOMÉTRICOS, ESTOS SON: LA SUBTANGENTE YLA SUBNORMAL.

SUBTANGENTE3a su,tangente es el segmento de recta com%rendido entre la %royecci-n del

%unto 47"0 y8 so,re un determinado e6e coordenado y el %unto de corte de la recta

tangente con dic)o e6e coordenado 7ver Figura 82


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SUBNORMAL3a su,normal es el segmento de recta com%rendido entre la %royecci-n del %unto

47"0 y8 so,re un determinado e6e coordenado y el %unto de corte de la recta

normal con dic)o e6e coordenado 7ver Figura 82


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Ejer!!"# $e %&'!%!()

A. De*er+!)%r *"$%# '%# r-%# &'%)%#, *%'e# e '% re*% *%)/e)*e e)%$% &)*" 01,23 &%#e &"r e' &)*" 045, 53

SOLUCIÓN:

3a ecuaci-n de la recta tangente a una curva en un %unto 7"0 y8 es

Y ? y 9 y@ 7 = ? " 8 7;8

Ya .ue la recta tangente de,e %asar %or el %unto 7?;0 ;80 se tiene .ue lascoordenadas de dic)o %unto satis/acen la ecuaci-n 7;8

Sustituyendo = 9 ?; 0 Y 9 ; en la ecuaci-n 7;8

; ? y 9 y@ 7 ?; ? " 8 7


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&ntegrando:

78

Am,as integrales son inmediatas

sustituyendo los resultados de las integrales en la ecuaci-n 78 ln E " B ; E ? ln E y ; E 9 C

a%licando las %ro%iedades de logaritmo

A%licando e

!ulti%licando %or

des%e6ando y


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reordenando la ecuaci-n

B. L% re*% )"r+%' % )% r-% $%$% e) %$% &)*" 01, 23 #"6re $!7%r-%, &%#% % *r%-8# $e' &)*" 09, 3. S! e' &)*" 09, ;3 &er*e)ee %$!7% r-%, e)8)*re#e # e%!().


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3a ecuaci-n 78 es la ecuaci-n de una /amilia de circun/erencias con centro en7


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D2 L% &e)$!e)*e $e '% re*% *%)/e)*e e) %'!er &)*" 0 1, 23 $e )%r-% e# 5 < 1=2. S! '% r-% &%#% &"r e' &)*" 05, 53, e)e)*re #e%!().

SOLUCIÓN:


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E. E) !)*ere&*" ") e' eje 2, $e '% re*% )"r+%' % )% r-% e)%'!er% $e ## &)*"#, e# !/%' % 9. S! '% r-% &%#% &"r e' &)*"0;, >3, e)e)*re # e%!().

SOLUCIÓN:


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APLICACIÓN DEL TRABAJO:

Hallar la ecuaci-n de la curva .ue %asa %or el %unto 47=0Y80 Tal .ue la distancia de

la intersecci-n de la tangente al e6e de las a,scisas es el do,le de la distancia de

la intersecci-n de la normal


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FOTOS Y FIGURAS


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CONCLUSIÓN:

Finalmente y %ara concluir se determin- .ue0 la resoluci-n de %ro,lemas de

ingeniería est$ asociada0 %or lo general0 a resultados num*ricos %uesto .ue

se re.uieren res%uestas %r$cticas2 3a mayor %arte de las leyes cientí/icas de e"%resan en t*rminos de ra%idez

de variaci-n de una varia,le con res%ecto otra2 Adem$s %ro%orcionan una )erramienta esencial %ara modelar muc)os

%ro,lemas en &ngeniería 5l dominio de los m*todos num*ricos0 en com,inaci-n con las ca%acidades

y %otencialidades de la %rogramaci-n de com%utadoras resuelve %ro,lemas

de ingeniería de manera m$s /$cil y e/icientemente2


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Re"+e)$%!")e#:

;2 Dic)a ma.ueta )a sido creada con las ideas de todos los com%aeros0 no

co%iada2


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BIBLIOGRAFIA

;2 Dennis Iill edici-n %u,licado eln ; en me"ico editorial Gru%o 5ditorial

&,eroam*rica !*"ico0 ;KK 5dLars y 4enney

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