1 matematica aplicada teoria de conjunto 1

MATEMATICA APLICADA

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSEl concepto de conjunto es uno de los más fundamentales en matemáticas, incluso más que la operación de contar, pues se puede encontrar, implícita o implícita o explícitamenteexplícitamente, en todas las ramas de las matemáticas puras y aplicadas.


En su forma explícitaforma explícita, los principios y terminología de los conjuntos se utilizan para construir proposiciones matemáticas más claras y precisas y para explicar conceptos abstractos como el infinito.

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSALGUNAS DEFINICIONESALGUNAS DEFINICIONES

Un conjunto es una agrupación, clase o colección de objetos denominados elementos del conjunto.


Grupo de elementos, colección o reunión de objetos bien definidos.


Es una colección bien definida de objetos, llamados elementos.

CARACTERIZACION DE CARACTERIZACION DE CONJUNTOSCONJUNTOS

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSCARACTERIZACIONCARACTERIZACION

POR COMPRENSION:

POR UNA CARACTERISTICA COMUN, POR EJEMPLO EL CONJUNTO DE LOS DIGITOS.


POR COMPRENSION:

A = { x / x N y x es un digito }


POR EXTENSION:

SE DA LA LISTA DE TODOS LOS QUE LA INTEGRAN.


POR EXTENSION:

A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9 }


Utilizando símbolos a, b, c representa que el elemento a pertenece o está contenido en el conjunto A, B, C , o lo que es lo mismo, el conjunto A, B, C contiene al elemento a, b, c.....

TEORIA DE CONJUNTOS TEORIA DE CONJUNTOS

Un conjunto está BIEN DEFINIDOBIEN DEFINIDO si dado un objeto o elemento, se sabe con certeza o categóricamente pertenece ese conjunto.


Un conjunto está NO BIEN NO BIEN DEFINIDODEFINIDO cuando no se puede afirmar categóricamente si ese elemento pertenece a ese conjunto.


Términos primitivos:

• Elemento • Conjunto• Relaciones de pertenencia.


Bien definidoBien definido implica que para cualquier elemento que consideremos, podemos determinar si está en el conjunto observado.

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSREPRESENTACIONREPRESENTACION

Un conjunto se representa frecuentemente con el símbolo:

AA = { } = { }


En donde las llaves engloban los elementos de A, ya sea de forma explícita, o escribiendo todos y cada uno de los elementos, o dando una fórmula, regla o proposición que los describa.


Por ejemplo, A = {2, 4};

B = {2, 4, 6, ..., 2n, ...} = {todos los enteros pares};


C = {x | x2- 6x + 11 = 3};

C se describe como el conjunto de todas las x tales que:

x2 - 6x + 11 = 3.

D = {todos los varones vivos llamados Juan}.

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSSUBCONJUNTOSSUBCONJUNTOS

Si todo elemento de un conjunto A pertenece también al conjunto B, entonces:

A es un subconjunto de B.

DIAGRAMAS DE VENNDIAGRAMAS DE VENN

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSVENN - EULERVENN - EULER

Los diagramas de Venn permiten, además, una comprobación de verdad o falsedad de un silogismo.


Sin embargo, también fue importante la participación de Euler en la esquematización de las representaciones de algunas operaciones.


Cada conjunto de elementos se encuentra encerrado dentro de un círculo, o figura geométrica, y estos a su vez están encerrados dentro de otra figura.


Por lo general está es un rectángulo, se pueden dibujar cada elemento del conjunto o bien solo se puede indicar su existencia.


Los diagramas de Venn son una buena herramienta, que nos permite realizar las operaciones entre los diversos conjuntos del universo de un forma más sencilla.


A B

U

CONJUNTO CONJUNTO UNIVERSOUNIVERSO

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSConjunto UniversoConjunto Universo

Es el conjunto que contiene a todos los elementos del Universo.

Se le denota por la letra U.

El universo lo forman el conjunto de conjuntos que intervienen.


Así, si se esta hablando de todos los números, el conjunto universal será los números complejos.

EJEMPLOSEJEMPLOS


Sean los conjuntos:

A = { aves} B = { peces } C = { anfibios } D = { tigres }


Existe otro conjunto que incluye a los conjuntos A, B, C y D y es conjunto de todos los animales

U = { animales }

Conjunto UniversoConjunto Universo

ANFIBIOS

RELACION DE RELACION DE CONTENIDOCONTENIDO


A

U B

CONJUNTO CONJUNTO DISJUNTOSDISJUNTOS

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSConjunto Disjunto Conjunto Disjunto

Si dos conjuntos A y B no tienen ningún elemento común entonces A y B son disjuntos.

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSConjunto Disjunto Conjunto Disjunto

Ejemplos de conjuntos disjuntos y no disjuntos:

A = {x I x es par} B = {x I x es impar}

A y B son disjuntos pues no tienen ningún elemento en común.

CONJUNTOCONJUNTO VACIO VACIO

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSConjunto Vació Conjunto Vació

Es un conjunto que carece de elementos.

Se suele llamarle conjunto nulo, y se le denota por el símbolo:

ø o { }.

EJEMPLOSEJEMPLOS

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSConjunto Vacio Conjunto Vacio

A = { Las personas que vuelan } A = { } A = Ø

B = { x I x numero racional e irracional}

B = { } B = Ø

C = { x I x es una solución real de x2 + 1=0 }

C = { } C = Ø

D = { x I x es rojo y verde a la vez} D = { } D = Ø

E = { x I x es un número real e imaginario}

E = { } F = Ø

CONJUNTOCONJUNTO UNITARIO UNITARIO

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSConjunto UnitarioConjunto Unitario

Es todo conjunto que está formado por sólo un elemento.

A = { 1 } B = {x / x es la solución de X + 1 = 0} C = {números pares entre 2 y 6} = { 4 } D = {La capital del México }

OPERACION DE OPERACION DE CONJUNTOSCONJUNTOS

U N I O NU N I O N

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSUnión:Unión:

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B llamamos "Unión" de A y B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B.


A U BA UNION B


La unión de conjuntos se define como:

A U B = {x / x A o x B}

EJEMPLOSEJEMPLOS


Dados los siguientes conjuntos:

A = {2,4,6,8,10},

B = {0,1,2,3 },

C = { -2,-1, 0,3}


Construye los diagramas de Venn-Euler de: a).- A U B, b).- A U C, c).- B U C


Construye los diagramas de Venn-Euler de: a). A U B = {0,1,2,3,4,6,8,10} b). A U C = {-2, -1,0,2,3,4,6,8,10} c). B U C = {-2, -1,0,1,2,3}

I N T E R S E C C I O NI N T E R S E C C I O N

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSIntersección:Intersección:

Dados dos conjuntos cualesquiera A y B llamamos "Intersección" de A y B al conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y pertenecen a B.


A BA intersección B

U


Se denota por A B,:

A B = { x / x A y x B }

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSIntersecciónIntersección


A B U

EJEMPLOSEJEMPLOS


Dados los siguientes conjuntos: A = {2,4,6,8,10}, B = {0,1,2,3 }, C = {-1,-2,0,3}


Construye los diagramas de Venn-Euler de a).- A B =b).- A C = c).- B C =


Construye los diagramas de Venn-Euler de:

a). A B =b). A C = c). B C =

2

0 , 3

DIFERENCIA DE DIFERENCIA DE CONJUNTOSCONJUNTOS

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSDiferencia:Diferencia:

Se denomina diferencia de dos conjuntos A y B al conjunto formado por todos los elementos de A pero que no pertenecen a B.


La diferencia entre dos conjuntos A y B o el complemento relativo de B con respecto a A, es el conjunto que consiste en todos los elementos que pertenecen a A, pero no pertenecen a B.


La diferencia se denota por:

A - B

A diferencia B o A menos B.


Se define la diferencia de dos conjuntos como:

A - B = {x / x A y x B }

Diferencia:Diferencia:

EJEMPLOSEJEMPLOS


Dados los siguientes conjuntos: A = {2,4,6,8,10}, B = {0,1,2,3 }, C = { -1,-2, 0,3}


Construye los diagramas de Venn-Euler de a). A - B b). A - C c). B - C d). C - B

DiferenciaDiferencia


Construye los diagramas de Venn-Euler de a). A - B = {4, 6, 8, 10} b). A - C = Ac). B - C = {1, 2} d). C - B = {-1, -2},

COMPLEMENTO DE COMPLEMENTO DE CONJUNTOSCONJUNTOS

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSComplemento :Complemento :

Si un conjunto A es subconjunto de otro conjunto universal U, al conjunto A' formado por todos los elementos de U pero no de A, se llama complemento de A con respecto a U.


Simbólicamente se expresa:

A´= Ac= {x / x A y x U }

EJEMPLOSEJEMPLOS


Sea:El universo U = {2,4,6,8} y

A = {2} entonces

Ac = {4,6,8}

Complemento :Complemento :

ALGEBRA DE ALGEBRA DE CONJUNTOSCONJUNTOS


Las siguientes propiedades, utilizando las definiciones del apartado anterior, se cumplen si A, B, C,... son subconjuntos de un conjunto U


1. A U B = B U A2. A B = B A3. (A U B) U C = A U (B U C)4. (A B) C = A (B C)5. A U Ø = A


6. A Ø = Ø7. A U U = U8. A U = A9. A U (B C) = (A U B) (A U C)10. A (B U C) = (A B) U (A C)


11. A U AC = l12. A AC = Ø13. (A U B) C = AC BC

14. (A B) C = AC U BC

15. A U A = A A = A


16. (AC)C = A17. A - B = A BC

18. (A - B) - C = A - (B U C)19. Si A B = Ø,

entonces (A U B) - B = A20. A - (B U C) = (A - B) (A - C)

EJEMPLO 1EJEMPLO 1

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSEn el diagrama que se coloca a continuación, se han volcado los datos obtenidos en una encuesta, realizada a personas, donde se les preguntó si tomaban té o café.

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSLos números que aparecen se refieren a las cantidades de personas que respondieron a la pregunta en las diversas formas posibles: solamente té, té y café, ninguna de las dos bebidas.


En base a estos datos responderemos a las siguientes preguntas:

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS¿Cuántas personas tomaban té? Rta. 6 personas. ¿Cuántas personas tomaban café? Rta. 9 personas. ¿Cuántas personas tomaban té y café? Rta. 4 personas.

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS¿Cuántas personas no tomaban ninguna de las dos bebidas? Rta. 1 persona. ¿Cuántas personas no tomaban té? Rta. 6 personas. ¿Cuántas personas no tomaban café? Rta. 3 personas.

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS¿Cuántas personas tomaban por lo menos una de esas dos bebidas? Rta. 11 personas. ¿Cuántas personas tomaban sólo una de esas dos bebidas? Rta. 7 personas. ¿Cuántas personas tomaban sólo café? Rta. 5 personas.

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS¿Cuántas personas tomaban alguna de esas bebidas? Rta. 11 personas.

EJEMPLO 2EJEMPLO 2

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSSe investiga a 170 clientes para preguntarles sobre el consumo de dos (2) marcas de refrescos y se encontró que 75 consumen la marca A, 100 consumen la marca B y 25 ambas marcas.

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS¿Cuántos clientes consumen las marcas A o B?. ¿ Cuántos clientes solamente consumen las marcas A?. ¿ Cuántos clientes solamente consumen las marcas B?

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS¿Cuántos clientes no consumen las marcas?.

EJEMPLO 3EJEMPLO 3


Se efectúa un estudio de mercado con un universo de 300 personas para determinar como se enteran de las noticias.


El resultado del estudio es que 150 se enteran por radio, 200 por TV, 100 por ambos medios.

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS¿Cuántos se enteran de las noticias solo por radio?. ¿ Cuántos se enteran de las noticias solo por TV?.


¿ Cuántos no utilizan estos medios para enterarse de las noticias?.

EJEMPLO 4EJEMPLO 4

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSSe interrogó a un grupo de 500 personas sobre el consumo de tres (3) marcas de yogur, y se obtuvieron los siguientes datos:

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSPersonas Compran Marca

85 Compran A

110 Compran B

75 Compran C

25 Compran A y B

35 Compran A y C

30 Compran B y C

20 Compran A, B y C


A BU

C

EJEMPLO 5EJEMPLO 5


Se investiga a 300 dueños de automóviles con relación a la marca de automóvil que tienen y se determinó que:

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSPersonas tienen Marca

110 Compran A

130 Compran B

150 Compran C

30 Compran A y B

40 Compran A y C

50 Compran B y C

10 Compran A, B y C


A BU

C

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS¿Cuántas personas tienen marca A? ¿ Cuántas personas tienen marca B? ¿ Cuántas personas tienen marca C?

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS¿ Cuántas personas tienen marca A y B? ¿ Cuántas personas tienen marca B y C? ¿ Cuántas personas tienen marca A y C?

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS¿ Cuántas personas tienen marca A pero no B? ¿ Cuántas personas tienen marca A o B? ¿ Cuántas personas tienen marca B o C?

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS¿ Cuántas personas tienen marca A o C? ¿ Cuántas personas tienen marca solamente A o B? ¿ Cuántas personas tienen marca solamente A o C?

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS¿ Cuántas personas tienen marca solamente B o C? ¿ Cuántas personas no tienen marca A? ¿ Cuántas personas no tienen marca B?

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOS¿ Cuántas personas no tienen marca C? ¿ Cuántas personas no tienen marca A, B, C?

EJEMPLO 6EJEMPLO 6

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSEn una encuesta sobre medios de transporte urbano más comunes, a cada persona se le pregunta si el taxi, el autobús, o el carro privado es el medio más usado para ir al trabajo.

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSSe permite más de una respuesta.El resultado de la encuesta es la siguiente.

TEORIA DE CONJUNTOSTEORIA DE CONJUNTOSPersonas opinan Marca

30 Taxi

35 Autobús

100 Carro privado

15 Taxi y autobús

15 Taxi y carro privado

20 Autobús y carro privado

5 Los tres medios

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Marketing

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