MATEMATICA APLICADA A LA EDUCACIÓN
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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE HUMANIDADES P.E.M. y T.A.E. MSC. SALOMÓN ELIASIB ÁLVAREZ CORDÓN MATEMÁTICA (M1)
MATEMÁTICA APLICADA A LA EDUCACIÓN
ESTUDIANTES DEL II SEMESTRE DEL PROFESORADO DE ENSEÑANZA MEDIA Y TÉCNICO EN ADMINISTRACIÓN EDUCATIVA
CHIQUIMULA, 9 DE NOVIEMBRE DE 2013.
INDICE
Página
Introducción General………………………………………………………………...……1 UNIDAD I…………………………………………………………………………………...2 Número Real……………………………………………………………………………….5 Número racional……………………………………………………………………….…. 5 Números irracionales…………………………………………………………….……….7 Consejos para enseñar exponentes con ejemplos………………………………….…8 Juegos sobre las propiedades de multiplicación de los exponentes……………….10 Juegos para simplificar radicales………………………………………………………11 Cómo resolver exponentes y raíces radicales…………………………………..……13 Cómo enseñar fracciones con ejemplos prácticos………………………..………….15 Cómo usar mapas mentales para hacer fracciones equivalentes…………….……16 Cómo restar fracciones mixtas con diferentes denominadores………………….....17 Algebra……………………………………………………………………………………20 Conclusiones………………………………………………………………………..……23 UNIDAD II………………………………………………………………………………...24 2.1 Qué es una función………………………………………………………………...27
2.1.1 Cómo se representan las funciones……………………….……………27 2.1.2 Gráficas de funciones……………………..……………….……………..28 2.1.3 Funciones uno ……………………………………………………………31 2.1.4 Funciones inversas……..…………………………………………………31
2.2 ¿Para qué nos sirven las funciones?................................................................32 2.3 ¿Cómo lo aplico en la vida diaria?....................................................................32 2.4 Parte procedimental del capítulo……………..……………………………..……..36 Conclusiones………………………………………………………………………..……37 UNIDAD III………………………………………………………………………………..38 Polinomios y funciones racionales……………………………………………….…… 41 Polinomios y números racionales……………………………………………..……….43 Números racionales…………………………………………………………….……….46 Las fracciones en nuestra vida cotidiana………………………………………...……47 Estrategia a aplicar………………………………………………………………..……..48 Ceros reales de un polinomio……………………………………………….………….50 Números complejos……………………………………………………………...………52 Conclusiones………………………………………………………………………..……55
UNIDAD IV………………………………………………………………………………..56 Operaciones con funciones…………………………………………………….……….59 Función logarítmica………………………………………………………...……………72 Funciones y gráficas…………………………………………………………………….78 Conclusiones……………………………………………………………………………102 UNIDAD V……………………………………………………………………………….103 Sistemas de ecuaciones……………………………………………………………….106 Ecuaciones simultáneas con dos incógnitas por el método de sustitución……...108 Utilidad de las gráficas…………………………………………………………………114 Sistemas de ejes coordenadas…………………………………………………….....114 Que es una ecuación lineal………………………………………………………..….116 Álgebra de matrices………………………………………………………………...….117 Sistema de desigualdades……………………………………………………….……118 Métodos del cálculo…………………………………………………………………….120 La regla de Cramer…………………………………………………………………….121 Qué es una fracción……………………………………………………………..……..121 Fracciones parciales…………………………………………………………...………122 Glosario……………………………………………………………………………...…..127 UNIDAD VI………………………………………………………………………….…..140 Parábola…………………………………………………………………………..……..143 Elipse……………………………………………………………………………………145 Hipérbola………………………………………………………………………………..148 Coordenadas porales………………………………………………………………….150 Cónicas trasladadas……………………………………………………………………153 Conclusión………………………………………………………………………………155 UNIDAD VII……………………………………………………………………………..156 Sucesiones y series…………………………………………………………………..159 Notacion den sumatoria………………………………………………………………163 Sucesiones o progresiones aritméticas…………………………………………….168 Sucesiones geométricas……………………………………………………………..169 Anualidades y compras a plazos…………………………………………………….169 Compras a plazos……………………………………………………………………..171 La inducción matemática……………………………………………………………..172 Teoría del binomio…………………………………………………………………….172 Conclusión……………………………………………………………………………..175
UNIDAD IX…………………………………………………………………………………………176 Números reales…………………………………………………………………………179 Exponentes……………………………………………………………………………...180 Exponentes enteros……………………………………………………………………181 Racicales……………………………………………………………………………….182 Expresiones algebraicas………………………………………………………………183 Funciones……………………………………………………………………………….184 Función compuesta…………………………………………………………………….184 Polinomios y funciones reales………………………………………………………..185 Funciones polimoniales………………………………………………………………..186 Raíces reales dobles…………………………………………………………………..187 Potencias………………………………………………………………………………..189 Ecuación…………………………………………………………………………………190 Que es grafica de funciones…………………………………………………………..192 Sistema de coordenadas cartesianas……………………………………………….194 Ecuaciones de la recta………………………………………………………………..195 Función con operación………………………………………………………………...196 Funciones algebra de funciones……………………………………………………...196 Sistema de ecuaciones y desigualdades…………………………………………….197 Sistema de ecuaciones lineales………………………………………………………198 Algebra de matrices……………………………………………………………………199 Conclusiones……………………………………………………………………………201
MATEMÁTICA APLICADA A LA EDUCACIÓN FAHUSACHI
1
INTRODUCCION GENERAL
Las matemáticas es una ciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el
razonamiento lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entidades
abstractas (números, figuras geométricas, símbolos). Las matemáticas se
emplean para estudiar relaciones cuantitativas, estructuras, relaciones
geométricas y las magnitudes variables. Los matemáticos buscan
patrones, formulan nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad matemática
mediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer los axiomas y
las definiciones apropiados para dicho fin. Algunas definiciones clásicas
restringen las matemáticas al razonamiento sobre cantidades, aunque solo una
parte de las matemáticas actuales usan números, predominando el análisis lógico
de construcciones abstractas no cuantitativas.
La educación matemática es un término que se refiere tanto al aprendizaje, como
a la práctica y enseñanza de las matemáticas, así como a un campo de la
investigación académica sobre esta práctica. En la educación matemática en
primera instancia hay que utilizar las herramientas, métodos y enfoques que
faciliten la práctica y/o el estudio de la práctica, que a continuación estudiaremos
con los temas vistos en clase.
MATEMÁTICA APLICADA A LA EDUCACIÓN FAHUSACHI
2
+
Números reales
Desigualdes
Expresiones algebraicas
Fracciones
UNIDAD I
MATEMÁTICA APLICADA A LA EDUCACIÓN FAHUSACHI
3
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE HUMANIDADES
P.E.M. y T.A.E.
MSC. SALOMÓN ELIASIB ÁLVAREZ CORDÓN
MATEMÁTICA (M1
INTEGRANTES GRUPO No. 1
RAUL ENRIQUE LOPEZ PAREDES
201323157
WENDY MARIANA CRISOSTOMO LINARES
201323155
ALMA JUDITH CRISOSTOMO FUNENTES
201325370
CESAR RANDOLFO VILLELA LOPEZ
201221769
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4
Introducción:
Miremos desde un punto de vista donde la matemática no la vemos
como números si no como el medio para resolver problemas de la vida
diaria, donde el objetivo es encontrar la mejor manera aplicarla y
enseñar, aplicando los principios lógicos o diferentes técnicas de
resolver los problemas.
Tomemos en cuenta también el hecho que la matemática es
acumulativa y progresiva donde se van conectando los conocimientos
y donde muchos se complementan mutuamente o depende de otros.
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5
Número real
Diferentes clases de números reales.
Recta real.
Números racionales
Un número racional es un número que se puede escribir en fracción
(o sea, como un cociente).
Por ejemplo 1.5 es un número racional porque 1.5 = 3/2 (se puede escribir en forma de fracción)
Aquí tienes más ejemplos:
Número En fracción ¿Racional?
5 5/1 Sí
1.75 7/4 Sí
.001 1/1000 Sí
0.111... 1/9 Sí
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6
√2
(raíz cuadrada de 2) ? ¡NO!
¡Vaya! La raíz cuadrada de 2 no se puede escribir en forma de fracción! Y hay muchos más
números así, como no son racionales se llaman irracionales.
Definición formal de número racional
Más formalmente diríamos:
Un número racional es un número que se expresa en la forma p/q
donde p y q son enteros y q es distinto de cero.
Así que un número racional es:
p / q
donde q no es cero
Ejemplos:
p q Número racional
1 1 1
1 2 0.5
55 100 0.55
1 1000 0.001
253 10 2.53
7 0 ¡No! ¡ "q" no puede ser cero!
El estudiante de Pitágoras
El antiguo matemático griego Pitágoras creía que todos los números son racionales (se pueden
escribir en forma de fracción), pero uno de sus estudiantes, Hipaso, demostró que no se puede
escribir la raíz de 2 en forma de fracción (se cree que usando geometría) y que es por lo
tanto irracional.
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7
Pero Pitágoras no podía aceptar que existieran números irracionales, porque creía que todos los
números tienen valores perfectos. Como no pudo demostrar que los "números irracionales"
de Hipaso no existían, ¡tiraron a Hipaso por la borda y se ahogó!
Números irracionales
Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción - el decimal sigue para
siempre sin repetirse.
Ejemplo: Pi es un número irracional. El valor de Pi es
3.1415926535897932384626433832795 (y más...)
Los decimales no siguen ningún patrón, y no se puede escribir ninguna fracción que tenga el valor
Pi.
Números como 22/7 = 3.1428571428571... se acercan pero no son correctos.
Se llama irracional porque no se puede escribir en forma de razón (o fracción),
¡no porque esté loco!
Racional o irracional
Pero si un número se puede escribir en forma de fracción se le llama número racional:
Ejemplo: 9.5 se puede escribir en forma de fracción así 19/2 = 9.5
así que no es irracional (es un número racional)
Aquí tienes más ejemplos:
Números En fracción ¿Racional o
irracional?
5 5/1 Racional
1.75 7/4 Racional
.001 1/1000 Racional
√2
(raíz cuadrada de 2) ? ¡Irracional!
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8
Ejemplo: ¿La raíz cuadrada de 2 es un número irracional?
Mi calculadora dice que la raíz de 2 es 1.4142135623730950488016887242097, ¡pero eso no es
todo! De hecho sigue indefinidamente, sin que los números se repitan.
No se puede escribir una fracción que sea igual a la raíz de 2.
Así que la raíz de 2 es un número irracional
Números irracionales famosos
Pi es un número irracional famoso. Se han calculado más de
un millón de cifras decimales y sigue sin repetirse. Los
primeros son estos:
3.1415926535897932384626433832795 (y sigue...)
El número e (el número de Euler) es otro número irracional
famoso. Se han calculado muchas cifras decimales de e sin
encontrar ningún patrón. Los primeros decimales son:
2.7182818284590452353602874713527 (y sigue...)
La razón de oro es un número irracional. Sus primeros dígitos
son:
1.61803398874989484820... (y más...)
Muchas raíces cuadradas, cúbicas, etc. también son
irracionales. Ejemplos:
√3 1.7320508075688772935274463415059 (etc)
√99 9.9498743710661995473447982100121 (etc)
Pero √4 = 2, y √9 = 3, así que no todas las raíces son
irracionales.
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Consejos para enseñar exponentes con ejemplos
Los exponentes, también llamados potencias, son el número de veces que se
multiplica un número base por sí mismo.
Los exponentes, también llamados potencias, son el número de veces que se
multiplica un número base por sí mismo. Los pasos para el cálculo de la respuesta
a un problema exponente involucran multiplicación. Los problemas de exponentes
pueden ser escritos en varias formas diferentes. Por ejemplo, "5 a la 3ra potencia"
está escrito en forma exponencial, "5x5x5" está escrito en forma desarrollada y
"125" está escrito en forma estándar. Usa una calculadora para ayudarte si tienes
problemas con alguno de los números.
Vocabulario
Enseña el vocabulario primero, usando un ejemplo tal como 4 a la tercera
potencia. Explica que el número base, el número que se multiplica por sí mismo,
es 4. El exponente 3, o tercera potencia, es el número de veces que se multiplica
la base por sí mismo. Escribe el número en forma expandida como 4x4x4 y 64 en
forma estándar. Utiliza un ejemplo como 5 a la 2da potencia para reforzar el
vocabulario y escribirlo en forma estándar: 5x5=25. Diles a los estudiantes que
cuando un número se eleva a la 2da potencia también podemos decir que el
número se eleva al cuadrado, y cuando hay un número elevado a la 3ra, podemos
decir que el número se eleva al cubo.
Potencias de diez
Enseña las potencias de diez que comiencen con el ejemplo 10 a la primera
potencia. Explica que debido a que el exponente es 1, sólo hay un 10 que se
multiplica, por lo tanto, la respuesta es 10. A continuación, da el ejemplo 10 a la
segunda. Demuestra que esto está escrito en forma desarrollada como 10x10 y en
el modelo de estándar "100". Da más ejemplos como 10 a la tercera potencia, 10
elevado a la 4ta y 10 a la 5ta potencia. La forma expandida y estándar de cada
uno de estos ejemplos en orden son: 10x10x10=1000; 10x10x10x10=10000;
10x10x10x10x10=100.000. Dile a los estudiantes que esto sólo funciona con las
potencias de 10, pero cada vez que el exponente aumenta en 1, otro cero se
agrega al final del 10 original.
Conceptos erróneos
Da a los estudiantes preguntas de exponentes que puedan confundirlos para que
puedan abordar los conceptos erróneos comunes. Por ejemplo, pide a los
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10
estudiantes que encuentren la respuesta de 2 elevado a la 3ra. Muchos
estudiantes incorrectamente harán 2x3=6 la primera vez que en lugar de 2x2x2=8.
Recuerda a los estudiantes que no se multiplica el número exponente y la base
juntos para encontrar la respuesta correcta. Da a los estudiantes más ejemplos
con exponentes positivos, pero usa menores exponentes. Mantente alejado de los
problemas a la quinta potencia o superior a menos que los estudiantes usen la
calculadora para evaluar la respuesta. Si usas exponentes más elevados, existe la
posibilidad de que los estudiantes obtengan la respuesta equivocada, ya que
cometerán un error simple de multiplicación, en lugar de calcular el problema
incorrectamente.
Juegos sobre las propiedades de multiplicación de los
exponentes
Las propiedades de exponentes pueden ser difíciles para los estudiantes.
Las propiedades de multiplicación de los exponentes son difíciles de explicar,
puesto que solamente hay tres reglas sencillas: a^m×a^n=a^(m+n),
(a^m)^n=a^(m×n) y (a×b)^n=a^n×b^n. Pero la parte más complicada es ayudar a
los estudiantes a poner en práctica su conocimiento y evaluar si han comprendido
las propiedades o si simplemente han memorizado las fórmulas. Puedes conseguir
esto con sencillos y rápidos juegos de clase requiriendo la participación de todos.
Transfórmalo
Este juego rápido requiere la aplicación directa de las tres propiedades de
multiplicación de los exponentes. Escribe dos columnas de 10 operaciones
matemáticas y pide a los estudiantes cada vez que vayan a la pizarra y las
transforme lo más rápido posible. Por ejemplo, deben transformar (5^3)^4 en 5^12
y 2^3×6^3 en (2×6)^3. Necesitarás dos cronómetros para medir el rendimiento de
los dos jugadores. Cuando los dos hayan terminado, anota sus tiempos en la
pizarra y repite el proceso hasta que todos hayan jugado al juego. El estudiante
con el tiempo más rápido será el ganador.
Peligro
Prepara tres conjuntos de tarjetas mostrando sus valores en puntos (100, 200, 300
y 400) en uno de los lados. Cada grupo se corresponde con una propiedad de
multiplicación determinada. En el otro lado de las tarjetas, escribe ecuaciones con
exponentes, cuya dificultad debe depender del valor en puntos de la tarjeta. Divide
a la clase en cuatro equipos y deja que los niños escojan a su líder. La tarea del
líder es elegir una pregunta y, después de consultar con sus compañeros de
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11
equipo, dar una respuesta. El ganador es el equipo que tenga más puntos
después de que todas las tarjetas hayan sido seleccionadas.
Encuentra el error
Proporciona a los estudiantes una idea sobre lo que es corregir exámenes.
Prepara un papel que tenga un conjunto de ecuaciones con exponentes, algunas
de las cuales serán correctas (2^3×2^8=2^11) y algunas de las cuales serán
incorrectas, como (9^2)^3= 9^5. Haz una copia para cada estudiante, distribúyelas
en clase y pídeles que corrijan los errores, explicando por qué está mal la
ecuación. El primer estudiante que encuentre los errores y justifique sus notas
gana.
Mayor o igual
Anota dos números en la pizarra, como (2^4)^2 y 2^6. Pide a los niños que
piensen cuidadosamente y levanten la mano en cuento hayan averiguado qué
número es mayor. También puedes usar números iguales, como 2^7 y (2^3) para
engañar a los estudiantes. El juego consiste en 10 rondas y el jugador con más
respuestas correctas gana. Para evitar que los niños levanten la mano
rápidamente antes de tener el resultado, el jugador debe responder al instante. De
lo contrario, pierde puntos. Los empates al final de la ronda 10 se resuelven con
preguntas de muerte súbita: el primero en contestar correctamente gana.
Juegos para simplificar radicales
Las matemáticas pueden ser desalentadoras, especialmente cuando incluye
símbolos extraños y números grandes, como sucede cuando se simplifican
radicales. Sin embargo, volviendo las matemáticas en juegos, los problemas se
vuelven mucho más accesibles y más fáciles de resolver. Los juegos que reducen
los conceptos en pasos más simples y hacen hincapié en la práctica, permiten que
incluso los que no son buenos en los cálculos tengan una forma accesible para
dominar los radicales.
Cómo simplificar radicales
Es importante tener una comprensión básica del concepto de simplificación de
radicales antes de iniciar cualquier juego con ellos. Un radical es cualquier número
presentado en forma de raíz cuadrada. Por ejemplo, √ 33, √ 12 y √ 72 son todos
ellos radicales. Un radical simplificado es un número que ya no tiene factores
cuadrados. Por ejemplo, √ 33 ya está en su forma más simple. La ecuación 3x11
se utiliza para producir 33, y ni 3 ni 11 son un número cuadrado. Sin embargo, √
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12
12 no se encuentra en su forma más simple. Para cualquier problema, hay un
teorema para ayudar a resolver los radicales. Este teorema es: √ ab = √a x √ b.
Usando este teorema, √ 12 se desglosa a √ 3x4. Y ya que la raíz cuadrada de 4 es
2, la ecuación final se convierte en 2 √ 3.
Cálculo numérico básico
Para una forma libre de problemas para comenzar a simplificar radicales, "Cool
Math" tiene una aplicación que plantea los problemas radicales para resolver y te
permite comprobar tu respuesta en el espacio de abajo. A veces, si tienes
dificultad para empezar, puede ayudar revelar la respuesta desde el principio y
trabajar hacia atrás para descubrir qué pasos hay que realizar para obtener la
forma simplificada correcta. A medida que comiences a sentirte cómodo con los
conceptos, ponte a prueba. ¿Cuántos problemas correctos puedes lograr de
manera seguida? ¿Cuántos radicales puedes simplificar en 5 minutos? Incluso
puedes ponerte cabeza a cabeza con un compañero de equipo y desafiarse a un
duelo para ver quién puede obtener más respuestas correctas en un período de
tiempo predeterminado.
Juegos de cartas divertidos
Usa juegos de cartas para enseñar a los estudiantes el concepto de clasificación y
simplificación de radicales. Entrega una baraja de cartas a grupos de 3 a 4
estudiantes. Haz que cada grupo seleccione un distribuidor que dé entre 10 a 15
cartas a cada estudiante. Los estudiantes miran sus cartas boca arriba y se les
instruye a que las ordenen. Cada estudiante escoge conjuntos de dos cartas que
tengan el mismo número o valor y las coloca a un lado. Repite la actividad
haciendo grupos de tres de uno mismo tipo y cuatro de un mismo tipo. Diles a los
alumnos que clasifiquen las cartas en "libros". Escribe una ecuación en la pizarra,
por ejemplo: √ 25 x A ^ 4 x B ^ 3. Extiende el radical, escribiendo √ 5 x 5 x A x A x
A x A x B x B x B. Al igual que con las cartas, pide a los estudiantes que
encuentren tres de un mismo tipo, que en el caso de la radical extendida incluye
tres de las "A"s y tres de las "B"s. Los "libros" se colocan a la izquierda de la
ecuación, mientras que cualquier cosa adicional se mantiene a la derecha, así: A x
B √ 5 x 5 x A. Ahora, los estudiantes simplifican los números de la izquierda a la
derecha: A x B √ 25 x A. Esta ecuación en particular puede simplificarse aún más
a: A x B x 5 √ A. Este juego vuelve una ecuación que luce difícil mucho más
accesible.
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13
Cómo resolver exponentes y raíces radicales
Un concepto importante en álgebra y en todas las clases de niveles superiores de
matemática implica entener las raíces radicales y exponentes. Ambos conceptos
son inversos entre sí. Por ejemplo, 7^2 da 49, el resultado de multiplicar 7 por sí
mismo. Contrariamente, la raíz cuadrada de 49 es 7. Puedes encontrar
exponentes multiplicando números por sí mismos en la medida que implican los
exponentes y puedes simplificar y encontrar radicales hallando cuadrados y cubos
perfectos dentro del radical.
Instrucciones
Cómo resolver exponentes
1 Determina cuántas veces debes multiplicar un número por sí mismo. 7^3, por
ejemplo, requiere que múltiples 7 por sí mismo 3 veces. 5^5 requiere que
multipliques 5 por sí mismo 5 veces.
2 Multiplica el número por sí mismo el número requerido de veces.
3 Usa una calculadora para verificar tu cálculo.
Cómo resolver radicales
1 Determina si el número dentro de la expresión radical es un cuadrado o cubo
perfecto. Por ejemplo, 100 es un cuadrado perfecto, 64 es un cubo perfecto y 200
no es ni uno ni el otro. Si la expresión es un cubo perfecto y el radical pide la raíz
cúbica de la expresión, deberías ser capaz de calcular fácilmente la raíz cúbica.
2 Reescribe el número en términos de cubo o cuadrado perfecto, si contiene
alguno. La raíz cuadrada de 200, por ejemplo, puede reescribirse como la raíz
cuadrada de 2*100. Resuelve el cuadrado perfecto, reescribiendo la expresión
como 10*raíz cuadrada (2). Si el número no contiene un cubo o cuadrado perfecto,
pasa al Paso 3.
3 Usa una calculadora para resolver la expresión, si no puedes simplificarla más.
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14
Conceptos antes de las operaciones
Es importante que los niños adquieran una buena comprensión del significado de
las fracciones antes de que aprendan a hacer operaciones como la suma o la
multiplicación con ellas. Muchos niños pueden ir a través de la mecánica al sumar
7/8 a 2/5 sin entender que 7/8 es un número entre 0 y 1 que es muy cercano a 1 y
que 2/5 es menos de la mitad. Al principio la enseñanza de fracciones deben
enfocarse en ayudar a los niños a entender los conceptos como la posición de una
fracción en la línea del número y las fracciones equivalentes.
Materiales didácticos
Los materiales didácticos son importantes para ayudar a los niños a entender los
conceptos de las fracciones. Los círculos, las rodajas de cocina, el papel doblado
y los distintos tipos de contadores pueden usarse para hacer demostraciones de
fracciones, su orden y equivalencia. La suma y la resta de fracciones también
pueden usarse como modelos, al principio para usar el material didáctico antes de
que los estudiantes aprendan a hacerlas con lápiz y papel. Anímalos a hacer una
demostración de fracciones dibujándoles segmentos de círculos o de rectángulos.
Además de practicar con el material didáctico, los niños pueden explorar
fracciones usando material didáctico virtual y divertirse con actividades de
fracciones disponibles en línea.
Números pequeños
Las lecciones de límite introductorio a las fracciones involucran números menores
a 12. Los niños cuentan con un sentido de intuición de las fracciones incluyendo
números pequeños, en especial si se les presentan en una forma familiar como
con pedazos de pizza. Mantener los números pequeños ayudará a los estudiantes
a usar esta comprensión intuitiva para construir un aprendizaje sólido de los
conceptos de fracciones antes de continuar con operaciones y fracciones más
grandes. Después de practicar un poco con fracciones pequeñas, un estudiante
debe ser capaz de decir a simple vista si una fracción es mayor o menor que la
mitad de uno o cuál de las dos fracciones es más cercana a uno.
Reglas
Enseña a los niños las reglas que puedan
usar para comparar y reducir fracciones. Pero
hazlo después de que hayan explorado las
fracciones por un tiempo y desarrollado una
sencilla comprensión de ellas. Por ejemplo,
MATEMÁTICA APLICADA A LA EDUCACIÓN FAHUSACHI
15
una regla para comparar fracciones con el mismo numerador puede ser que esta
fracción con el denominador más alto sea más pequeña. Una regla para reducir
fracciones puede establecer que si el numerador y el denominador son números
consecutivos, la fracción ya no puede reducirse más. Cuando trates con números
más grandes, conocer las reglas de divisibilidad puede ayudar en la reducción de
fracciones.
Cómo enseñar fracciones con ejemplos prácticos
Para muchos jóvenes estudiantes, las acciones son una de esas cosas que
piensan que nunca utilizarán fuera de la clase de matemáticas. Aunque esto
puede ser verdad para algunas de las operaciones matemáticas más complejas,
las fracciones tienen una variedad de aplicaciones prácticas, incluyendo
transacciones financieras y preparación de alimentos. Muestra a los estudiantes
porque aprender fracciones es importante empleando ejemplos prácticos y de la
vida real. Al mismo tiempo, harás que tus lecciones sean más divertidas y enseñar
a los estudiantes una habilidad que pueden llevar con ellos en los años por venir.
Instrucciones
1 Enseña a los estudiantes fracciones
utilizando bolsas de varios colores. Divide la
clase en parejas y darles una pequeña bolsa
de dulces a cada par. Haz que los estudiantes
clasifiquen los dulces en grupos de colores.
Las parejas deben calcular el número total de
dulces, así como la fracción del total de cada
color. Haz que los estudiantes compartan sus resultados antes de comer los
dulces juntos.
2 Usa ejemplos deportivos y la probabilidad para mejorar la comprensión de los
estudiantes de las fracciones. Divide la clase en parejas, dale a cada pareja una
moneda de 25 centavos y que cada estudiante en el grupo elija cara o cruz. Cada
estudiante debe inventar un hombre de equipo, y pide las que pretendan que
están jugando fútbol americano. Los estudiantes hacen anotaciones ganando el
volado. Después de 10 volados, haz que los estudiantes calculen la fracción de
caras y cruces del juego. Reúne y haz que los grupos comparen los resultados.
3 Usa el dinero como forma de integrar la enseñanza de fracciones a la vida diaria
del salón de clases. Lleva dinero de juguete a la clase y distribúyelo
uniformemente entre los estudiantes. Establece una lista de precios para varios
privilegios en la clase, como tomar un descanso de cinco minutos o exentar la
MATEMÁTICA APLICADA A LA EDUCACIÓN FAHUSACHI
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tarea para la noche. Los estudiantes pueden comprar privilegios, pero deben
calcular la fracción de su dinero total antes de hacerlo. No aceptes el dinero hasta
que el estudiante lo haya calculado correctamente.
Cómo usar mapas mentales para hacer fracciones
equivalentes
Los organizadores gráficos o mapas mentales pueden ser maneras útiles para
enseñar conceptos matemáticos a los estudiantes.
Los mapas mentales son herramientas visuales que permiten a un aprendiz
empezar un proceso de información independientemente y construir conexiones
individuales para promover el aprendizaje. Estos mapas pueden ser útiles al
enseñar fracciones equivalentes, ya que muchos estudiantes tienen dificultades al
reconocer fracciones que representan el mismo valor, cuando los denominadores
son diferentes. De hecho, los mapas mentales pueden extenderse para incluir
decimales y porcentajes, que están interconectados con las fracciones.
Instrucciones
1 Dibuja un mapa mental. Para fracciones,
puedes hacer un mapa circular o uno de árbol
también. Para un mapa circular, dibuja un
círculo. Para un mapa de árbol traza una línea
horizontal con líneas cortas, verticales en él
(una línea numérica es un tipo de mapa de
árbol).
2 Divide el círculo en cuartos. Si usas un mapa de árbol, escribe las fracciones
objetivo en orden de menor a mayor (de izquierda a derecha) con una fracción en
cada línea vertical.
3 Escribe la fracción objetivo en el centro del mapa circular con un pequeño círculo
alrededor. Pide a los estudiantes nombrar cada fracción adicional que sean
iguales y enlista las que están en la porción izquierda superior del círculo. Al usar
un mapa de árbol, escribe sus fracciones equivalentes debajo de otras del mismo
valor.
4 Continúa identificando fracciones equivalentes y escríbelas debajo, al usar un
mapa de árbol. Esto completa este mapa.
5 En el mapa de círculo, dibuja el área de la fracción en la porción cruzada de la
fracción. En este cuarto, un cuadrado puede trazarse con 1 a 4 espacios
MATEMÁTICA APLICADA A LA EDUCACIÓN FAHUSACHI
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marcados para representar el concepto de 1/4. Esto será lo mismo, aún si los
estudiantes identifican 3/12 como un objetivo de la porción inicial del círculo.
6 En la siguiente porción del círculo (moviéndote en una dirección en sentido de
las manecillas del reloj), dibuja una pequeña línea numérica del 0 a 1 y anota la
ubicación de la fracción en ese continuo.
7 En la porción final del círculo, dibuja una representación de la fracción como un
grupo. Esto completa el mapa del círculo.
Como restar fracciones mixtas con diferentes
denominadores
Restar fracciones mixtas con diferentes denominadores es similar a la resta de
fracciones regulares con algunos pasos adicionales. Una fracción mixta tiene un
número entero y una fracción. Puedes restar fracciones mixtas mediante la
conversión a fracciones impropias, que tienen numeradores que son más grandes
que sus denominadores y restar las fracciones impropias. Debido a que las
fracciones deben tener el mismo denominador para poder restarse, debes
convertir una o ambas de las fracciones a una fracción con el denominador común
más bajo, si las fracciones tienen denominadores diferentes.
Instrucciones
1 Multiplica cada denominador de una fracción
mixta por su número entero. A continuación,
suma el resultado al numerador para determinar
el numerador de la fracción impropia a la que
debes convertir cada fracción mixta. Por ejemplo,
supón que deseas restar 2 1/3 de 3 5/6.
Multiplicar 3 por 2 en la primera fracción mixta
para obtener 6. A continuación, suma 6 con 1 para obtener 7 como el numerador
de la primera fracción impropia. Multiplica 6 por 3 en la segunda fracción mixta
para obtener 18. A continuación, suma 18 con 5 para obtener 23 como el segundo
numerador.
2 Escribe cada numerador sobre cada denominador respectivo. En el ejemplo,
escribe 7 sobre el 3 para obtener la primera fracción impropia de 7/3 y escribe 23
sobre 6 para obtener la segunda fracción impropia de 23/6.
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18
3 Determina el mínimo común denominador, que es la cifra más baja en la que
ambos denominadores se pueden dividir, de cada fracción impropia. En el
ejemplo, el mínimo común denominador es 6, que es el número más bajo en el
que 3 y 6 se pueden dividir.
4 Divide el mínimo común denominador por el denominador de la primera fracción
impropia. Luego multiplica el numerador y el denominador por el resultado para
convertir la primera fracción impropia a una fracción con el denominador común
más bajo. En el ejemplo, divide 6 entre 3 para obtener 2. Luego, multiplica 7 por 2
para obtener el numerador de 14 y multiplica 3 por 2 para obtener un denominador
de 6. Esto resulta en 14/6 como la primera fracción.
5 Resta la primera fracción de la segunda fracción restando sólo los numeradores
y manteniendo el mismo denominador. En el ejemplo, resta el numerador 14 del
numerador 23 para obtener 9, que deja 9/6 como el resultado.
6 Divide el numerador entre el denominador. Luego escribe el resultado como un
número entero y el resto como el numerador sobre el denominador de una fracción
mixta. En el ejemplo, divide 9 entre 6 para obtener 1 con un resto de 3. Después
escribe 1 como el número entero y 3 como el numerador para obtener 1 3/6.
7 Divide el numerador y el denominador por el número más grande que divide
uniformemente a ambos para reducir la fracción a su mínima expresión. En el
ejemplo, 3 es el número que divide uniformemente el numerador y el
denominador, así que divide 3 entre 3 para obtener 1 y divide 6 entre 3 para
obtener 2. Esto deja a 1 1/2 como el resultado en su mínima expresión.
Enseñanza de trucos para las
fracciones impropias
En matemáticas, las fracciones constan de tres
partes: el numerador o número de arriba; el
denominador o el número inferior; y el símbolo
matemático de división. Las fracciones
comprenden tres tipos: fracciones propias, fracciones impropias y fracciones
mixtas. Las fracciones propias tienen un numerador menor al denominador; las
fracciones impropias tienen un numerador superior o igual al denominador; y las
fracciones mixtas combinan números enteros y fracciones propias. Un ejemplo de
una fracción sería el tiempo como un todo dividido en horas, una hora entre 24
horas.
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19
Emparejar
La mayoría de los niños les encanta la pizza y ésta es una herramienta adecuada
para la enseñanza de las fracciones impropias de una manera divertida para los
niños. Un soporte de cartón tiene una imagen grande de una pizza y la pizza
queda dividida en trozos. Los niños deben contar el número de rebanadas que
componen el conjunto y deben poner la pizza junta para formar el conjunto. Cada
niño recibe un número de fracción que escribe en un pedazo de papel o en una
pizarra. Entonces el niño elimina el número apropiado de las rebanadas de la
pizza entera para que coincida con la fracción impropia.
Galletas
Los niños aprenden con facilidad cuando los maestros utilizan ayudas visuales o
las manos sobre los métodos de enseñanza. Con galletas, hay 20 piezas de
rectángulos divididos de la totalidad. El niño debe entender que cuatro rectángulos
hacen toda una galleta. El niño debe calcular diferentes fracciones impropias que
comiencen con números pequeños. Por ejemplo, 6 entre 4, el niño debe ser capaz
de seleccionar seis piezas para el numerador y cuatro piezas para el
denominador.
Círculo
Prepara una tabla para cada niño escribiendo una serie de fracciones en cada
una. Las fracciones tienen que ser una mezcla de fracciones propias, impropias y
mixtas. Cada niño usa un rotulador de color diferente para identificar y rodear las
fracciones impropias en su tabla. Este método de enseñanza de fracciones
impropias también puede ser utilizado para enseñar a los niños sobre los otros
tipos de fracciones.
Tiras de papel
El juego es un método fácil de entender para enseñarle a un niño sobre las
fracciones impropias. Las tiras de papel se cortan longitudinalmente de un libro
blanco. La primera tira pasa a través de un pliegue y se corta en el centro en dos
mitades. El profesor debe explicar en cuanto a cómo las dos partes hacen un todo,
y debe haber una fracción de 2 entre 2 escrita sobre las piezas. Un niño recibe un
pedazo de papel y se le pide que exprese el número como la fracción 1 entre 2.
Cada tira de papel tiene que ser dividida en un número variable de piezas. Muchas
tiras de papel se le dan a los niños cada vez que se les enseña sobre las
fracciones impropias hasta que el niño es capaz de hacer las fracciones impropias
de forma independiente.
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20
Algebra:
Álgebra es el nombre que identifica a una rama de la Matemática que emplea
números, letras y signos para poder hacer referencia a múltiples operaciones
aritméticas. El término tiene su origen en el latín algebra, el cual, a su vez,
proviene de un vocablo árabe que se traduce al español como “reducción” o
“cotejo
El Álgebra (del árabe: بر ج al-ŷarabi 'reintegración, recomposición' ) es la rama ال
de la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras
abstractas acorde a ciertas reglas.
Álgebra en la antigüedad
Las raíces del álgebra pueden rastrearse hasta la antigua matemática babilónica,7 que había desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que fueron capaces de hacer cálculos en una forma algorítmica.
Reducción de expresiones algebraicas
Términos semejantes En muchas ecuaciones tenemos términos que son semejantes, es decir, que poseen el mismo factor literal y muchas también poseen constantes, términos que no tienen una variable y que también son considerados semejantes entre ellos. Una expresión algebraica estará en su forma reducida si no posee términos semejantes ni paréntesis. Veamos algunos ejemplos:
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21
Algo que debes considerar al reducir términos semejantes son las propiedades de las operaciones, tanto de la suma como de la multiplicación.
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22
Observemos un ejemplo:
Paréntesis
Para reducir expresiones algebraicas debemos partir por los paréntesis si es que
los hay.
Veamos el siguiente ejemplo:
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23
Conclusión:
Donde los problemas pueden todos resueltos por algoritmos donde la
complejidad del problema nos podrá indicar la técnica a utilizar o el
procedimiento a realizar.
Y x lo mismo las matemáticas nacen por la necesidad del hombre de
resolver problemas una de las herramientas más relevantes en ese
ámbito es el álgebra que también funciona con algoritmos donde su fin
es el de resolver problemas universales donde puede aplicarse solo
substituyendo.
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24
FUNCIONES
QUE ES, PARA QUÉ SIRVE Y CÓMO SE
APLICA EN LA VIDA
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES
FUNCIIÓN UNO A UNO
FUNCIÓN INVERSA
UNIDAD 2
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25
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE HUMANIDADES P.E.M. y T.A.E. MSC. SALOMÓN ELIASIB ÁLVAREZ CORDÓN MATEMÁTICA (M1)
FUNCIONES INTEGRANTES GRUPO No.2 No. DE CARNET ANA HELEM GOSHOP ÁLVAREZ 9113400 BRENDA JANETTE CHACÓN HERNÁNDEZ 201319823 MARIA VICTORIA SAGASTUME CASASOLA 201319935 MARÍA SANTOS ASMÉN AMADOR 201319939 GUILLERMO ARTURO CERNA COLINDRES 201319940
CHIQUIMULA, 9 DE NOVIEMBRE DE 2013.
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26
Introducción
El concepto de función matemática o simplemente función, es sin duda, el más
importante y utilizado en Matemáticas y en las demás ramas de la Ciencia. No fue
fácil llegar a él y muchas mentes muy brillantes han dedicado enormes esfuerzos
durante siglos para que tuviera una definición consistente y precisa.
Desde los tiempos de Galileo, que fue uno de los primeros en usarlo, pasando por
el gran Newton y Leibniz, que fue el primero que en 1673 usó la palabra "función"
para referirse a la relación de dependencia de dos variables o cantidades, Euler,
que le dio su formulación moderna y = f(x), Cauchy, Dirichlet o Gauss, las mejores
mentes de la Historia de la Humanidad le dedicaron su atención y sus desvelos.
El estudio de las propiedades de las funciones está presente en todo tipo de
fenómenos que acontecen a nuestro alrededor. Así, podemos nombrar
fenómenos sociales relacionados con crecimientos demográficos, con aspectos
económicos, como la inflación o la evolución de los valores bursátiles, con todo
tipo de fenómenos físicos, químicos o naturales, como la variación de la presión
atmosférica, la velocidad y la aceleración, la gravitación universal, las leyes del
movimiento, la función de onda de una partícula a escala cuántica, la
desintegración de sustancias radiactivas o la reproducción de especies vegetales
y animales. Casi todo es susceptible de ser tratado a través del planteamiento y
estudio de una o varias funciones que gobiernan los mecanismos internos de los
procesos en todas las escalas y niveles.
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27
2. FUNCION
2.1 ¿Qué es una función?
Una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro
conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del
dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio.
2.1.1 ¿Cómo se representan las funciones?
2.1.1.1 A través de un gráfico:
Se expresa a través de un gráfico cuando se
representan los pares (x,y) en unos ejes
cartesianos.
2.1.1.2. Diagrama de flechas:
Se emplean en la teoría de conjuntos, dentro de las
matemáticas moderna y nos explica el
funcionamiento de un conjunto de elementos al
realizar alguna operación con ellos.
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28
2.1.1.3. Tabla de valores:
Se expresa a través de una tabla cuando se dan algunos valores de la variable
independiente X, con los correspondientes de la variable dependiente Y.
X Y
1 a
2 b
3 c
2.1.1.4. Una fórmula:
Se expresa a través de una formula algebraica cuando se da una ecuación que
relaciona algebraicamente las dos variables que intervienen.
f(x)=x+1
2.1.2. Gráficas de funciones
Función identidad f(x) = x
Función constante y = n
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29
Función lineal y = mx
Función afín y = mx + n
Función cuadrática f(x) = ax2 + bx + c
Función exponencial f(x) = a2
Función logarítmica f(x) = loga x
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30
Función seno f(x) = sen x
Función coseno f(x) = cosen x
Función tangente f(x) = tg x
Función cotangente f(x) = cotg x
Función secante f(x) = sec x
Función cosecante f(x) = cosec x
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31
2.1.3. Funciones uno a uno (inyectiva)
Definición: Una función con dominio A se conoce como uno a uno si no hay dos elementos de A que tengan el mismo rango esto es: f(x) * Si no hay la misma cantidad de elementos en las dos columnas no es función uno a uno. Prueba de la Recta Horizontal: Una función es uno a uno si ninguna recta horizontal interseca su grafica mas de una vez.
2.1.4. Funciones inversas Definición: Si f es una función uno a uno, entonces la inversa de f, denotada por f-1, es la función formada al invertir todos los pares ordenados en f. Por tanto:
f-1 = {(y, x)/(x, y) está en f} Si f no es una función uno a uno, entonces f no tiene una inversa y f-1 no existe.
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32
Ejemplo:
Sea f = {(1, 2), (2, 4), (3, 9)}.
Observa que f es una función uno a uno.
Por tanto, f-1 = {(2, 1), (4, 2), (9, 3)}.
2.2 ¿Para qué nos sirven las funciones?
Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida
diaria, problemas de finanzas, economía, de estadística, de ingeniería, de
medicina, de química, física, etc. Y de cualquier otra área social donde haya que
relacionar variables.
2.3 ¿Cómo lo aplico en la vida diaria?
a) Un ejemplo común es cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial
donde siempre se relacionan un conjunto de determinados objetos con el costo
expresado en quetzales para saber cuánto podemos comprar.
Si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una
ecuación de función “x” como la cantidad y el precio como “y”, es decir la
cantidad en el eje de las abscisas (o sea eje horizontal de un sistema de
coordenadas cartesianas) y el precio en el eje de las ordenadas (eje vertical de
un sistema de coordenadas cartesianas) y así expresarlo en un gráfico como el
siguiente, donde se expresa que:
un Kilogramo de manzana cuesta Q3,00
Entonces:
un Kilogramo y medio de manzana cuesta Q4,50.
(¿por qué? Porque 3 * 1.5 = 4.5)
En la gráfica lo podemos expresar así:
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33
b) Cuando hacemos uso de la telefonía celular en nuestro país, la relación que
existe entre una llamada telefónica y el saldo que posee dicha línea estamos
llevando a cabo las “funciones matemáticas”. Si el minuto de llamada en Tigo
(empresa de telefonía celular en Guatemala) cuesta Q. 1.25, ¿cuánto tiempo
puedo hablar por celular si tengo de saldo Q. 10.00?
La función queda expresada con la siguiente ecuación:
f(x) = 1.25x
por lo tanto, podemos expresar en la siguiente tabla la relación del resto de
minutos.
x (minutos)
y (dinero en Q.)
1 1.25
2 2.50
3 3.75
4 5
5 6.25
6 7.50
7 8.75
8 10
La respuesta es 8 minutos, ya que en la función f(x) = 1.25x; en 8 minutos da
como resultado el consumo de Q. 10.00 de saldo.
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34
Esta función, por su tipo de gráfica y la relación que tiene el dominio con el codominio, es una
“Función Lineal”
c) Las funciones también las pueden usar los niños al ir a comprar dulces a una
tienda. Si por ejemplo, Roberto sabe que por Q. 1.00 le dan 10 dulces en la
tienda, ¿cuánto dinero necesitará para regalarle un dulcito a cada compañerito
que tiene en el colegio, sabiendo que en total hay 24 niños en la sección?
La función queda expresada con la siguiente ecuación:
f(x) = 0.10x ó 1/10x
por lo tanto, podemos expresar en la siguiente tabla la relación que existe del resto
de dulces.
x (cantidad de dulces)
y (precio en Q.)
1 0.10
2 0.20
3 0.30
4 0.40
5 0.50
6 0.60
7 0.70
0
2
4
6
8
10
12
1 2 3 4 5 6 7 8
Qu
etz
ale
s
Tiempo en minutos
Costo de Llamadas
Costo de Llamadas
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35
8 0.80
9 0.90
10 1.00
20 2.00
24 2.40
Entonces el niño necesitará Q. 2.40 para poderles comprar y regalar a todos sus
compañeros, incluyéndose él, un dulce, porque supo que cada dulce le costaba Q.
0.10 y de ahí la relación de dichos dulces con el precio de cada uno de ellos.
Mostrado en una gráfica, la función queda representada de la siguiente manera:
Esta función, por su tipo de gráfica y la relación que tiene el dominio con el codominio, es una
“Función Lineal”
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
Qu
etz
ale
s
Dulces
Precio de dulces
Precio de dulces
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36
2.4 PARTE PROCEDIMENTAL DEL CAPÌTULO (ejercicios)
Instrucciones: Elabore las siguientes funciones con datos a su discreción
utilizando una tabla de valores, luego representelo gráficamente en el plano
cartesiano cada relación (x,y).
1. f(x) = x + 3
2. f(x) = x – 5
3. f(x) = 3x
4. f(x) = 2x + 3
5. f(x) = 5x - 5
6. f(x) = x2 + 1
7. f(x) = x2 – 4
8. f(x) = 2x2 + 6
9. f(x) = 3x2 – 10
10. f(x) = sen x
11. f(x) = cos x
12. f(x) = tang x
13. f(x) = cotang x
14. f(x) = sec x
15. f(x) = cosec x
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37
Conclusión Tras el estudio de las funciones matemáticas, se puede concluir en que son muy importantes, de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria: Cuando se va al mercado o a cualquier centro comercial, siempre se relaciona un conjunto de determinados objetos o productos alimenticios, con el costo en quetzales para así saber cuánto podemos comprar; si lo llevamos al plano, podemos escribir esta correspondencia en una ecuación de función "x" como el precio y la cantidad de producto como "y". Además, se pudo conocer los diversos tipos de funciones y la importancia de ellos para realizar las gráficas lo cual va a depender de cada tipo de función.
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38
Polinomios y Funciones Racionales
Ceros Reales de Polinomios
Números Complejos
UNIDAD 3
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Universidad de San Carlos de Guatemala Facultad de Humanidades
Sección Chiquimula
Curso: Matemática
MSC: Salomón Eliasib Álvarez Cordón
Yara Magaly Tenas Martínez 201321476 David Enoé Miguel Villafuerte 201319914 Lesdy Jeaneth Osorio Vidal 201323146
Daniel César Emilio Rojas Estrada 201323148 Greisy Zucely López Gregorio 201323149
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40
Introducción
Matemática es una ciencia basada en hechos reales que a su vez nos lleva a la práctica, los números son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función variable, funciones de las cuales a daría ponemos en práctica en nuestra vida cotidiana. Lamentablemente en un pasado nos mostraron las Matemáticas como una ciencia aburrida y sin mayor énfasis, sin saber que es muy importante a diario en cada una de las diferentes actividades que realizamos en nuestro diario vivir desde ver la hora en un reloj hasta ir al mercado a comprar productos para el consumo diario.
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41
Polinomios y funciones racionales
¿Qué es?
Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable. Un polinomio es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación. Todas las letras son variables porque podemos dar cualquier valor hasta encontrar el número solución del polinomio. Las constantes son los números.
¿Para qué sirve?
Sirven para la evaluación o encontrar el valor numérico de cada expresión
algebraica. Para asi al final ya tendremos conocimiento y la sustitución de los
valores, en cada uno de los polinomios que nos den.
¿Cómo lo aplicamos? La principal aplicación de los polinomios está en hacer pronósticos. Ejemplo: *Suponiendo que tienes una empresa dedicada a la exportación de algún producto. Tienes un registro de ventas anuales (en unidades) y hoy (2010) quieres conocer aproximadamente cuanto venderás en el 2015. Entonces utilizando tus datos puedes elaborar un polinomio (para esto existen métodos estadísticos) y luego mediante valor numérico puedes encontrar cuales serán tus ventas en cualquier año futuro. *Para el pronóstico del clima se utiliza un polinomio en el cual hay muchas variables (presión, temperatura, masas de aire, etc).
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42
También nos sirve para resolver problemas de la vida diaria pero ¿en qué forma?
Conociendo los precios x unidad de cada producto que compramos, de canasta
básica, de cocina, de limpieza. Para que al final coincida lo que gastamos con el
producto comprado.
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43
Polinomios y Números Racionales Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier función derivable. Un polinomio es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación. Todas las letras son variables porque podemos dar cualquier valor hasta encontrar el número solución del polinomio. Las constantes son los números.
FUNCION: Es una regla que asigna a cada elemento de un conjunto que es
llamado como dominio.
POLINOMIO: Es una expresión de conjuntos finitos de variables (desconocidas) y
constantes (números Fijos) y también de exponentes y es una sucesión de sumas
y restas de monomios (un solo termino) para así formar el polinomio. Está
compuesta por dos o más términos. Ejemplo:
Entonces las funciones polinomiales no es más que la evaluación o encontrar el
valor numérico de cada expresión algebraica.
Procedimiento: nos indica que la función es F (2) entonces significa que X tendrá
un valor de 2. Luego procedemos a sustituir valores, luego a operar con los
resultados preliminares, y así sucesivamente hasta que ya tengamos un resultado
final.
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44
Grado de un polinomio
Se define el grado de un monomio como el mayor exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado.
Comparamos y tomamos el mayor exponente.
Ejemplos
P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente). P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno. P(x) = 3x² + 2x², polinomio de grado dos. P(x) = 2x3+ 3x + 2, polinomio de grado tres.
La solución de problemas de polinomios está basada a una igualdad.
Un polinomio es así: 4xy² + 3x – 5 Este tiene 3 términos… Están hechos de: Constantes ( 4, 3, -5 ) Variables ( x, y ) Exponentes ( 1 y 2 )
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Números Racionales
En matemáticas, se llama número racional a todo número que puede representarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente, un entero y un natural positivo1 ) es decir, una fracción común a/b con numerador a y denominador b distinto de cero. El término racional alude a fracción o parte de un
todo. El conjunto de los números racionales se denota por Q (o bien , en negrita de pizarra) que deriva de cociente. Este conjunto de números incluye a los números enteros y es un subconjunto de los números reales. Ejemplos de números racionales
Los números racionales son números fraccionarios, es decir que podríamos escribir cualquier cociente entre dos números enteros y llamarlo número racional.
57 Aunque también podría ser expresado de esta manera: 5/7 Sin embargo, los números enteros también pueden ser incluidos dentro de los números Q, al formar un cociente con un número neutro, es decir de este modo:
3=31 Aunque también podríamos expresar el número entero 3, en forma de fracción, en el caso de necesitarlo en alguna operación matemática, pues al simplificarlo obtenemos la misma respuesta:
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46
Las fracciones en nuestra vida cotidiana
En nuestro lenguaje, utilizamos expresiones como éstas:
"Me queda la mitad". "Falta un cuarto de hora". "Tengo un décimo de lotería". "Caben tres cuartos de litro". "Está al ochenta y cinco por ciento de su capacidad".
En estas expresiones estamos utilizando fracciones. Por tanto el empleo de fracciones es tan antiguo como nuestro lenguaje.
Las fracciones son muy importantes en nuestra vida diaria ya que nos sirve para dividir y saber cuánto le corresponde a cada objeto que dividamos.
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Estrategia a Aplicar
Se resolverán problemas con productos de la canasta básica.
Ejemplo 1.
En el polinomio dado los números naturales representan libras de azúcar la cual
cada libra de azúcar tiene un costo de Q3.00.
¿Cuánto gastaremos en total?
Fx= 4x + 2x + 3x
F(3)= 4(3) +2(3)+3(3)
12 + 6 + 9
27
Respuesta:
Se gastaron Q27.00 en 9 libras de azúcar que se compraron
Procedimiento:
Se suman los números naturales que se representaran las libras de azúcar en
total hay 9 libras de azúcar.
Luego tenemos que X tiene un valor de 3 que es el precio de cada libra y se
procede a sustituir valores y al final el resultado será el total que gastaremos.
Fx= 4x+ 2x+ 3x
F(x)= 27
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48
2. Ejemplo
Carmen va al mercado y compro 3 libras de pollo y cada libra cuesta Q12.00, pero
también compro 5 libras de tomate y cada libra costo Q4.00
¿Cuánto gasto en total?
F (x, y ) = 3x+5y
F (12, 4 ) = 3 (12) + 5 (4)
36 + 20
56
Respuesta:
Gasto en total Q56.00
Procedimiento:
Tenemos dos clases de productos en los cuales “X” serán las libras de pollo y “Y”
las libras de tomate, luegp se sustituyen valores y el resultado es el total de
gastos.
F ( x,y) = 2x+5y
F (12, 4 ) = 56
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49
Ceros reales de un Polinomio ¿Para qué sirve? Provee una herramienta para hacer un listado de todos los posibles ceros racionales de un polinomio con coeficiente, no necesariamente todos los números en el listado serán ceros del polinomio pero todos los ceros racionales del polinomio estarán en el listado. ¿Cómo se aplica en la vida diaria? En la finca “santa fe” se cría ganado; los trabajadores necesitan encontrar la cantidad de vacunas que se le debe de colocar a cada ganado, porque existe 5 plagas que están provocando la muerte de estas crías. El polinomio o la función que rige este problema es la siguiente. ¿Encuentre los ceros reales de la función; en este caso serán las vacas que se colocan a cada cría?
F(x)=
X=5 (cinco es la cantidad de plagas que perjudican al ganado)
F(x)=
F(x)= (se evalua el dos es cada X) F(X)= 24 (cantidad de crías que mueren por día, debido a las bacterias.
Encontrando los ceros reales
1 1 -6 +11 -6 1 -5 6 0 El resultado de los ceros reales quedan 3 numero por este motivo formaremos
nuestra nueva función desde
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50
F(x)=
Igualamos nuestra nueva función a cero
(X+3) (X-2)
X+3=0 X-2=0 X=-3 X=2
(-3 y 2 serán los posibles ceros hay que demostrarlo para estar en lo correcto)
-3 1 -6 +11 -6 EN ESTE CASO -3 NO ES
UN NUMERO REAL YA QUE NO HACE CERO NINGUN TERMINO.
1 -9 28 -20 2 1 -6 +11 -6 1 -4 3 0 X= 2 (DOS ES UN CERO REAL) X= -3 (MENOS TRES NO ES UN CERO REAL) Los ceros reales serán la cantidad de vacunas que deberán aplicársele al ganado. Comprobación X= 1
F(x)=
F(x)= F(x)= 0 X= 2
F(x)= F(x)= F(x)= 0 Respuesta: Con una o dos vacunas que se le coloque al ganado se estará erradicando con el problema de las bacterias que provocan la muerte de cada res.
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Números Complejos
¿Qué es?
Es una combinación de un número real y un número imaginario.
Ejemplo.
1 i 12 3i
¿Para qué sirve?
Campo de electricidad.
La electricidad no la miramos pero si vemos los efectos de ellos un ventilador da aire, una plancha eléctrica da calor, un televisor, la electricidad es una magnitud donde la podemos medir usando números imaginarios.
Imaginarios significa que no existe.
¿Cómo lo aplico?
1. Como es un número “i “necesitamos instrumentos para graficarlo, cuando vamos al hospital y vemos un osciloscopio, vemos una gráfica y el sonido de las pulsaciones del corazón.
2. Los Rayos x
3. Resonancia
Como son números imaginarios necesitamos estos aparatos para grafiarlos porque a simple vista no se ven.
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Números Complejos
Los números complejos son extensión de los números reales y forman el mínimo cuerpo algebraicamente cerrado que los contiene.
El conjunto de los números complejos se designa como C, siendo R el conjunto de los reales se cumple que RCC, los números complejos incluyen todas las raíces de los polinomios, a diferencias de los reales.
Todo número complejo puede representarse como la suma de un número real y un número imaginario (que es un múltiplo real de la unidad imaginaria, que se indica con la letra i) o en forma polar.
Los números complejos son la herramienta de trabajo del algebra, análisis, asi como las ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja, ecuaciones diferenciales, aerodinámica, y electromagnetismo entre otras de gran importancia.
Además los números complejos utilizan por doquier en matemáticas, en muchos campos de la física y en ingeniería, especialmente en electrónica. Por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas y la corriente eléctrica.
En matemáticas otros constituyen un cuerpo, y en general se consideran como puntos del plano el plano complejo, una propiedad importante que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del algebra pero que se demuestra aun curso de variable compleja que afirma que cualquier ecuación algebraica de grado contiene soluciones complejas.
Contienen números reales y números imaginarios puros y constituyen una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los análogos de cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el nombre de variable compleja o análisis complejo.
El primer uso de los números complejos fue el matemático italiano Girolamo Cardano (1501 , 1576) quien los utilizo en fórmulas para resolver las ecuaciones cubicas. El termino de numero complejo fue introducido por el gran matemático alemán Carl Friedich (1777, 1885) cuyo trabajo fue de importancia básica en algebra.
Ejemplo.
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1 i 12 3i
Partes 1 número real i número imaginario
Sumar
Para sumar dos números complejos sumamos las dos partes por separado:
(a,b) + (c,d) =
Ejemplo: (3 + 2i) + (1 + 7i) = (4 + 9i)
Estrategia a Aplicar
A continuación se mostrara un ejemplo de cómo se utiliza los números complejos en nuestra vida diaria.
La familia Álvarez, realizara una fiesta, para la cual tendrá como invitados a 2 familias. La familia Villeda quienes llegaran 7 invitados y la familia Cordón quienes llegaran 4 invitado.
¿Para cuantos invitados se tendrá que cocinar?
(ab) + (cd) = (a + c) + (b + d).
(1 + 7i) + (1 + 4i) = (1 + 1) + (7i + 4i) = 2 + 11i
a b c d
R// Llegaran las dos familias y se tendrá que cocinar para 11 invitados.
Procedimiento
Teniendo la formula dada, y los números ordenados correctamente de acuerdo al problema, a cada una se le coloca letra que es a, b, c, d, y luego de acuerdo a la formula se opera y al final sale un número real más un numero imaginario, al segundo se le coloca la letra “i”
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Conclusión
Las matemáticas n son so resolver ejercicios en cuaderno, pizarra, etc. Sino también utilizar la lógica para poder solucionar los problemas matemáticos que se presentan, tal vez no sean muy complejos, pero si tenemos que tener esa habilidad de resolverlos rápidamente.
Tenemos que tomar en cuenta que las matemáticas las llevaremos para el resto de nuestra vida, cualquier actividad que realicemos las matemáticas están presente, es por ello que no debemos olvidarlas, sino ponerlas más en práctica.
Muchas veces creemos que aprender estos temas no son tan importantes. Así que creo y está demostrado que son de mucha importancia si escogemos alguna carrera que esté relacionado con este tema ya que nos servirá de mucho, como ya hemos visto en los ejemplos. Debemos tener en cuenta que no solo este tema es muy importante si no las matemáticas en general, ya que nos van a servir muchísimo en nuestra vida, y aunque no estudiemos carreras que estén relacionados con el tema, sirve para agilizar nuestra mente y así mejoremos nuestra memoria.
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FUNCIONES EXPONENCIALES
FUNCIONES LOGARITMICAS
ECUACIONES EXPONENCIALES
ECUACIONES LOGARITMICAS
FUNCIONES LOGARITMICAS
CARTESIANAS
FUNCIONES Y GRAFICAS
OPERACIONES CON FUNCIONES
UNIDAD 4
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UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA FACULTAD DE HUMANIDADES
PROFESORADO DE ENSEÑANZA MEDIA EN PEDAGOGIA Y TECNICO EN ADMINISTRACION EDUCATIVA
MSC. SALOMÓN ELIASIB ÁLVAREZ CORDÓN
MATEMATICAS
UNIDAD #4
INTEGRANTES
MARITZA LOPEZ DE PAZ 201319819
YESMI SUSETH SANCHEZ SUCHITE 201323153
IMELDA SAGASTUME MARROQUIN 201323154
JOSE GUILLERMO GONZALEZ ESQUIVEL 2013
GUSTAVO EDUARDO PAIZ VASQUEZ 201325369
RONALD OSVALDO FELIPE MATEO 201320726
CHIQUIMULA,NOVIEMBRE 09 DEL 2013
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INTRODUCCION
es una ciencia formal que, partiendo de axiomas y siguiendo el razonamiento
lógico, estudia las propiedades y relaciones entre entes abstractos
(números, figuras geométricas, símbolos). Las matemáticas se emplean para
estudiar relaciones cuantitativas, estructuras, relaciones geométricas y
las magnitudes variables. Los matemáticos buscan patrones,2 3 formulan
nuevas conjeturas e intentan alcanzar la verdad
matemática mediante rigurosas deducciones. Éstas les permiten establecer
los axiomas y las definiciones apropiados para dicho fin.4 Algunas definiciones
clásicas restringen las matemáticas al razonamiento sobre cantidades,1 aunque
sólo una parte de las matemáticas actuales usan números, predominando el
análisis lógico de construcciones abstractas no cuantitativas.
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OPERACIONES CON FUNCIONES
ECUACIONES EXPONENCIALES
Se denomina ecuación exponencial aquella en la cual la incógnita aparece
únicamente en los exponentes de potencias para ciertas bases costantes.1 La
incógnita se halla en un exponente de un o unos de los términos. Es decir,
un número (u otra variable) está elevada a la incógnita a despejar, comúnmente
representada por x. Para resolver dichas ecuaciones se recurren a las
propiedades de la potenciación, radicación, de logaritmos y cambio de la incógnita
por otra.
2x +50=100
2x+50-50=100-50
2x-50
2x-50
2 2
ECUACIONES LOGARÍTMICAS
Las ecuaciones logarítmicas son aquellas en las que aparece la incógnita o
incógnitas dentro de un logaritmo. Por ejemplo:log(x+6) = 1 + log(x-3)
El logaritmo que suele aparecer en las ecuaciones logarítmicas es el decimal o el
neperiano y, normalmente, siempre la misma base en toda la ecuación.
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59
La forma de resolverlas es la misma cualquiera que sea la base del logaritmo, por
lo que en este tema vamos a simbolizar los logaritmos como log, entendiendo que
la base es 10, mientras no digamos lo contrario.
La función exponencial es una función real que tiene la propiedad de que al
ser derivada se obtiene la misma función. Toda función exponencial tiene
por dominio de definición el conjunto de los números reales.
Derivando a ella misma.
La función exponencial es una función real que tiene la propiedad de que al ser
derivada se obtiene la misma función. Toda función exponencial tiene por dominio
de definición el conjunto de los números reales.
Se llama funciones exponenciales a todas aquellas funciones de la forma f(x) = bx,
en donde la base b, es una constante y el exponente la variable independiente.
Estas funciones tienen gran aplicación en campos muy diversos como la biología,
administración, economía, química, física e ingeniería.
El dominio de la función exponencial está formado por el conjunto de los números
reales y su recorrido está representado por el conjunto de los números positivos.
En términos generales, una función real F(x) es de tipo exponencial si tiene la
forma:
siendo ∂, K ∈ R números reales, ∂ ≥ 0 Se observa en los gráficos que si ∂> 1 la
curva será creciente.
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Log(243
Log (3
X=log 3 245
S x=5
Log(128)
7(log)2
2.100721
03.30103
• La función exponencial es la inversa del logaritmo natural.
Ejemplo 1:
Una población de aves, cuenta inicialmente con 50 individuos y se triplica cada 2
años.
1. ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la
población de aves?
2. ¿Cuántas aves hay después de 4 años?
3. ¿Después de cuanto tiempo la población de aves será de 1000 individuos?
Solución:
1. ¿Cuál es la fórmula de la función que representa el crecimiento de la
población de aves?
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2. Si x representa el número de años transcurridos, según lo aprendido en la
lección de Introducción a Funciones Exponenciales, sabemos que la
fórmula para la población es:
f x = 50 × 3 x2
3. ¿Cuántas aves hay después de 4 años?
Usando la fórmula para x = 4, la población será:
f 4 = 50 × 3 42 = 50 × 3 2 = 450
Después de 4 años habrá 450 aves.
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Descartes y los barquitos
28 marzo 2012
–A, 5.
–¡Agua!
–No puede ser, Ven, ¿¿has puesto algún barco??
–¡Pues, claro! ¿Qué crees, Sal? ¿Que no sé jugar a los barquitos? –contestó el
pequeño.
–Es que es imposible que no haya encontrado aún ninguno… –protestó el gafotas.
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–Buenas tardes, caballeros… –Mati acababa de llegar.
–¡Hola, Mati! –saludaron los niños al unísono.
–¿Jugáis a las batalles navales? Me encanta ese juego –contestó la pelirroja.
–Y a mí. Pero Sal no consigue encontrar ninguno de mis barcos -respondió Ven
con cara de pícaro. Su hermano lo miró serio por encima de sus gafitas.
–Además de que es un juego divertido es un buen método para aprender
las coordenadas cartesianas –-añadió Mati.
–¿¿El qué?? –preguntaron los dos con los ojos abiertos de par en par.
–Las coordenadas cartesianas, que son, podríamos decir, como el nombre y
el apellido de los puntos en un plano, para poder distinguirlos unos de otros, sin
posibilidad de confundirlos.
–No entiendo nada –aceptó el pequeño Ven.
–Si Sal te dice “D,6”, Ven, ¿tienes alguna duda de dónde está apuntando?
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–¡Toma, claro que no! A éste -señaló Ven con su dedo sobre el papel –Miro dónde
se cruzan la fila Dy la columna 6 y ya está.
–Pues así es cómo se asignan las coordenadas cartesianas a cualquier punto del
plano. Os lo explico con un dibujo.
–¡Sí! -contestaron con alegría los dos hermanitos.
–Lo que queremos es saber identificar cualquier punto de un plano, porque, por
ejemplo, vamos a esconder un tesoro y luego vamos a venir a buscarlo… Aquí
está nuestra casa y aquí enterramos nuestro tesoro.
–Como piratas, ¿no?
–Sí, Ven, ¡como piratas! –prosiguió Mati – Lo primero que tenemos que hacer para
poder asignar coordenadas a cada punto del plano y poder saber exactamente
dónde escondimos el tesoro, es elegir un punto especial al que llamaremos
origen, origen de coordenadas ¿Dónde lo ponemos?
–Aquí –Sal señaló un punto sobre el papel.
–Muy bien. Ahora dibujamos dos rectas perpendiculares que se cortan en el
origen.
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–¿Qué son perpendiculares, Mati?
–Que se cortan formando cuatro ángulos rectos, como los de la esquina de una
portería.
–Como si fueran el signo + de la suma, ¿no, Mati? –preguntó el gafotas.
–Exacto, Sal, pero en grandote, uno vertical, de arriba a abajo, y otro horizontal,
de izquierda a derecha. Al horizontal le llamaremos eje de abscisas y al
vertical, eje de ordenadas.
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–Ahora vamos a dividir estos ejes, usando como unidad de medida, por ejemplo,
dos cuadraditos del papel. Hacia la derecha y hacia arriba, los numeramos con
números naturales, positivos. Y a la izquierda y hacía abajo, les pondremos un
signo – delante, para distinguirlos.
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–Ahora, para conocer cuáles son las coordenadas de nuestra casa y de nuestro
tesoro, dibujamos una línea vertical desde el punto donde está hasta encontrar al
eje de abscisas, y una linea horizontal hasta encontrar al eje de ordenadas. Con
estas dos líneas y los ejes, tendremos dos rectángulos, en los que nuestros
puntos, la casa y el tesoro, serán una de las esquinas. Por eso, a estas
coordenadas también se le llaman coordenadas rectangulares. Pues bien, las
coordenadas de nuestros puntos serán: la primera, el número marcado en el eje
de abscisas y la segunda el número marcado en el eje de ordenadas. Por eso, a la
primera coordenada de un punto se le llama laabscisa y a la segunda, se le llama
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la ordenada.
–Nuestra casa tiene la misma abscisa que ordenada, Mati –observó Sal.
–Sí, es verdad, en este caso el rectángulo es un cuadrado, tiene los lados iguales.
–Y la abscisa del tesoro es 14 y la ordenada es 9, ¿no? –siguió indagando el
gafotas.
–Exacto –respondió la pelirroja.
–¡Toma, toma, toma! ¡Cómo mola, Mati! Así siempre encontraremos el tesoro –el
pequeño Ven estaba alucinando.
–¿Y por qué le llamas cartesianas? ¿Porque a los mapas también se le llaman
cartas? –preguntó Sal.
–No, no. El nombre de cartesianas de lo debe a René Descartes, filósofo y
matemático francés, que sostenía que la visión que tenemos de las cosas
depende de dónde hayamos fijado el origen de coordenadas –Mati guiñó un ojo,
los niños no dijeron nada.
–¿Está muerto? –preguntó Ven con carita de pena.
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–Sí, hace mucho tiempo, en 1650 –contestó la pelirroja mientras le acariciaba el
pelo —Oye, ¿queréis saber también para que podemos usar las coordenadas
cartesianas aparte de señalar exactamente un lugar del plano?
–¡Claro!
–Para conocer la distancia entre dos puntos del plano sin necesidad de ir a
medirlo.
–¿Cómo? –quiso saber el gafotas excitado.
–Dibujamos un triángulo de la siguiente manera.
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–Es un triángulo rectángulo, porque tiene un ángulo recto, donde se cortan el
lado vertical y el horizontal. Al lado más largo de un triángulo rectángulo, se le
llama hipotenusa, que en nuestro dibujo es el que queremos medir. Y a los otros
dos lados del triángulo, les llamamos catetos…
–Pobres…–dijo Ven.
Mati no pudo evitar la sonrisa.
–¿Cuánto miden los catetos? Ya vereís. El lado horizontal mide la diferencia entre
las dos primeras coordenadas, las abscisas; el lado vertical mide la diferencia
entre las dos segundas coordenadas, las ordenadas.
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–¡Claro! -Sal estaba entusiasmado.
–Ahora, para saber cuánto mide la hipotenusa que es la distancia de nuestra casa
al tesoro, sólo necesitamos el Teorema de Pitágoras.
–¿Cómo, Mati? –los niños estaban ansiosos esperando la respuesta final.
–Pues así
–¡Toma, Mati! ¡Y sin necesidad de medir! -Ven estaba entusiasmado.
–Pero ni Ven ni yo sabemos calcular raíces cuadradas, Mati –aceptó el gafotas
serio.
–Por ahora, yo os ayudo. Ya lo aprenderemos.
–Entonces, ¿así lo hacen los piratas, Mati? –preguntó el pequeño.
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–Bueno, los piratas tenían otra forma de asignar coordenadas… Os la explico otro
día. Vamos a pasear a Gauss que está deseando buscar algún tesoro en el
parque.
Tags: coordenadas, coordenadas cartesianas, Descartes, distancia
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FUNCION LOGARITMICA
¿Qué es la función logarítmica? El logaritmo de un número en una base
determinada es el exponente al cual hay que elevar la base para obtener el
número.
Los logaritmos fueron introducidos por JOHN NAPIER a principios del siglo XVII
como un medio de simplificación de cálculos
Ejemplo:
FUNCION LOGARITMICA FUNCION EXPONENCIAL
Log3↙base 81 = 4↙exponente
FORMA LOGARITMICA
logg2 8 = 3
log10 100000 = 5
log 2 32 =5
base↘34 ↙exponente = 81
FORMA EXPONECIAL
23 = 8
105 = 10000
25 = 32
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El logaritmo de 1000 en base 10 es 3: porque 1000 es igual a 10 a la potencia 3,
en este caso buscamos un número que al elevar la base 10 a ese número nos dé
como resultado 1000
Log10 1000 = 3 es como que si dijéramos 103 = 10x10x10 = 1000 ya que la
función logarítmica es la función inversa a la función exponencial
COMPARACION DE LA FORMA LOGARITMICA Y LA FORMA EXPONENCIAL
Los logaritmos más usuales son los de base 10
Ejemplos de funciones logarítmicas:
Log1 = 0 porque 100 = 1
Log10 = 1 porque 101 =10
Log10000 = 4 porque 104 = 10000
Log10 = 2 porque 102 = 1000
LEYES DE LOS LOGARITMOS
Para poder aplicar logaritmos es muy importante conocer las propiedades
siguientes:
1) Logaritmo de un producto:el logaritmo de un producto es igual a la suma
de los logaritmos de los factores.
Loga (m.n) = log (m) ₊log (n)
Ejemplo:
Logaritmo a de 25 por 36 es igual a logaritmo a de 25 más logaritmo a de
36
Loga(25×36)= Loga (25) + Loga (36)
2)Logaritmo de un cociente: el logaritmo de un cociente es igual al logaritmo
del dividendo menos el logaritmo del divisor.
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Loga (m/m) = loga (m) - loga (n)
Ejemplo:
Logaritmo a de 74.3 dividido 0.65 es igual a logaritmo a de 74.3 menos
logaritmo a de 0.65
Loga (74.3/0.65) = loga (74.3) - loga (0.65)
3) Logaritmo de una potencia: el logaritmo de una potencia es igual al
exponente multiplicado por el logaritmo de la base de la potencia.
Loga (mb) = b loga (m)
Ejemplo:
Logaritmo a de cinco elevado a la ocho es igual a ocho por logaritmo a de
cinco. ( en este caso pasamos la potencia a multiplicar )
Loga (58) = 8.loga (5)
4) Logaritmo de una raíz: el logaritmo de una raíz es igual al logaritmo del
subradical, dividiendo por el índice de la raíz
Loga (n√b ) = loga (b)
n
Ejemplo:
Logaritmo a de la raíz cuadrada de 16 es igual a logaritmo a de 16 divido
dos
Loga ( 2√b ) = loga 16
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EJEMPLOS DE FUNCION LOGARITMICA:
1) ¿A qué exponente hay que elevar la base 5 para obtener 25? Al exponente 2,
Decimos que “el logaritmo de 25 en la base 5 es 2”. Simbólicamente lo
expresamos de la forma log5 25 = 2. De manera que, log5 25 = 2.
Ejemplo:
José gana 25 quetzales al día, y ahorra 5 quetzales el numero 5 va a ser la base
y el exponente seria el número 2 que va a ser las veces que se va a elevar los 5
quetzales para poder obtener 25 quetzales ahorrados, o sea 5×5=25
2 El logaritmo de 8 en la base 2 es 3, = log2 8 = 3.
Ejemplo:
Juan tiene 8 jocotes y le regala 2 jocotes a su amigo Carlos, el numero 2
va ser la base y el exponente es el número 3 que va a ser el numero que
indique las veces que hay que elevar el número 2 para que nos de 8 que
es el numero de jocotes de Juan, o sea 2×2×2=8
¿Para qué sirven las funciones logarítmicas? para realizar operaciones
matemáticas, de una manera fácil y rápidamente.
Por ejemplo, el volumen de un equipo de audio, la función logarítmica se adecua
al comportamiento del oído
El logaritmo más ampliamente utilizado es el natural, ya que tiene multitud de
aplicaciones en física, matemáticas, ingeniería y en ciencias en general. También
es bastante utilizado el logaritmo decimal, que se indica como, en ciencias que
hacen uso de las matemáticas, como la química en la medida de la acidez
(denominada pH) y en física en magnitudes como la medida de la luminosidad
MATEMÁTICA APLICADA A LA EDUCACIÓN FAHUSACHI
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(candela), de la energía de un terremoto (escala sismológica de Richter), etc. La
función logarítmica se utiliza en acústica para medir el nivel de intensidad sonora..
Se utiliza una escala logarítmica porque la sensibilidad que presenta el oído
humano a las variaciones de intensidad sonora sigue una escala
aproximadamente logarítmica,
El decibelio es la principal unidad de medida utilizada para el nivel de potencia o
nivel de intensidad sonora.
Decibelio (dB) unidad logarítmica para expresar la relación entre dos magnitudes,
acústicas o eléctricas.
Normalmente una diferencia de 3 decibelios, que representa el doble de señal, es
la mínima diferencia apreciable por un oído humano sano.
Ejemplo:
Una conversación en voz alta tiene un ruido de fondo de 64 decibeles
aproximadamente y se representa de la siguiente manera: log4 64 =3 Es como
que si dijéramos 4x4x4 =64 en este ejemplo el numero cuatro va a ser la base y el
numero 3 va a ser el exponente que va a indicar el número de veces que va a
multiplicar la base.
También sirve para medir el volumen de un cuerpo o sea el espacio que este
ocupa
Para calcular el volumen se utiliza la formula V= a3 como sabemos que cada lado
del cubo mide 3 cm, entonces seria V= 33 = 27 cm3. log3 27 = 3
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76
¿Cómo se aplica en la vida diaria la función logarítmica?
La función logarítmica se utiliza en acústica para medir el nivel de intensidad
sonora.
En las conversaciones de las personas: como se dijo anteriormente que una
conversación en voz alta tiene un ruido de 64 decibeles
Para realizar compras en el mercado: ya sea frutas, verdura.
Servicios contables
En construcción de casas
En el dinero para saber cuánto gastamos, cuanto ahorramos, y cuanto ganamos
en un empleo; como ya lo vimos en el ejemplo anterior.
¿Qué son las Operaciones con Funciones?
Son, operaciones ya sean Sumas, Restas, Multiplicación o División que están
compuestas por una variable dependiente y una independiente, que representan
dantos de procesos, los que sirven para simplificar y crear nuevas operaciones
con base a los datos proporcionados por (x) a las literales (f y g).
¿Para que Sirven?
Las operaciones con funciones, sirven para representar procesos que se dan en el
diario vivir, brindando facilidad y gran ayuda a las personas para representar los
datos que brinden información sobre ciertos procesos.
¿Cómo lo aplico en la vida?
Para poder obtener información sobre ciertos procesos como por ejemplo; un
empresario de frijoles enlatados lo puede aplicar para poder saber cuántas latas le
produce un kilo de frijol ejemplo:
x
f
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77
Funciones y gráficas
En esta actividad podrán investigar las relaciones entre la dimensión gráfica y la dimensión algebraica de las
funciones.
En la educación secundaria, la noción de función, sus diferentes representaciones y el estudio detallado del
comportamiento de las funciones más utilizadas, adquieren una relevancia especial. Se pretende que los alumnos
continúen el estudio de las funciones, correspondiendo a este nivel un tratamiento más sistemático y profundo de las
nociones de variable, parámetro y dependencia; de las variables discretas y continuas; de la caracterización de los
dominios o conjuntos de definiciones; del uso de este concepto y sus limitaciones en la modelización de situaciones
provenientes de la matemática y de otras áreas de conocimiento y de las distintas formas de representación de
funciones (coloquial, gráfica, algebraica, por tablas, etc.).
En tal sentido, la actividad1 que proponemos a continuación intenta resaltar la existencia de algunas de las
relaciones entre lo gráfico y lo algebraico y potenciar el status del trabajo gráfico como un verdadero trabajo
matemático.
Desarrollo
Enunciado 1
Las rectas D1 ,..........., D5 , representadas en el gráfico, tienen ecuaciones y = a1 x + b1 ,.........., y = a5 x + b5. Les
pedimos que:
a. Ordenen los números a 1 ,........., a 5 en orden creciente.
b. Ordenen los números b 1 ,........., b 5 en orden creciente.
Justifiquen en todos los casos.
MATEMÁTICA APLICADA A LA EDUCACIÓN FAHUSACHI
78
A partir del trabajo con este problema, podrán analizar desde la gráfica los coeficientes asociados a la función lineal:
pendiente de una recta y ordenada al origen e interpretar su significado geométrico. A tal fin es conveniente un
primer momento de trabajo individual y un posterior debate que posibilite la confrontación entre las propuestas de
cada uno y sus correspondientes justificaciones.
Enunciado 2
Para analizar algunos aspectos característicos de gráficas de funciones de segundo grado (concavidad de la
parábola, desplazamientos), y sus relaciones con los coeficientes de la función de segundo grado y con la suma de
las raíces de la misma, resuelvan el siguiente ejercicio:
Cada una de las cuatro parábolas del gráfico representan una función cuadrática de la forma y = ai x2 + bi x +
ci para i = 1, 2, 3, 4.
a. Ordenen los ai en orden creciente.
b. Ordenen los - bi /ai en orden creciente.
c. Ordenen los bi en orden creciente.
d. Ordenen los ci en orden creciente.
Justifiquen en todos los casos.
Enunciado 3
MATEMÁTICA APLICADA A LA EDUCACIÓN FAHUSACHI
79
Consideremos seis curvas representadas 1...... 6 graficadas a continuación. La curva 1 es el gráfico de f(x). Indicá,
entre las curvas 2, 3, 4, 5, 6, cuáles representan las gráficas de las siguientes funciones:
a. f(2x)
b. f(x / 2)
c. 2 f(x)
d. f(x + 1)
e. f(x-1)
Enunciado 4
Sea f(x) la función definida sobre R + U {0} graficada a continuación: Grafiquen las siguientes funciones:
a. f(-x)
b. f 2 (x)
c. 1 - f(x)
d.
1Esta actividad, como así también algunos aspectos de su análisis, han sido extraídos de Artigue, M. AUDI MATH,
Dossier del Enseignant des mathématiques. Centre National de Documentation Pédagogique, 1990.
Grafica de funciones matematicas Usando Maple 7
1) Graficar la funcion irracional: > f(x):=(sqrt(x^2-1)/x);
> solve(f(x));
> plot(f(x),x=-10..10,y=-2..2,color=red);
:= ( )f xx2 1
x
,1 -1
MATEMÁTICA APLICADA A LA EDUCACIÓN FAHUSACHI
80
2) Graficar la funcion irracional: > h(x):=(sqrt(x-2)/(x^2+1)); >
> solve(h(x));
> plot(h(x),x=-1..20,y=0..1/8,color= red);
:= ( )h xx 2
x2 1
2
MATEMÁTICA APLICADA A LA EDUCACIÓN FAHUSACHI
81
3) Graficar la funcion irracional: > g(x):=((x-sqrt(x-1))/x);
> solve(g(x));
> plot(g(x),x=-2..30,y=0..1,color=red);
:= ( )g xx x 1
x
,1
2
1
2I 3
1
2
1
2I 3
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82
4) Graficar la siguiente funcion: > j(x):=((x-1)*ln(x-1)/x);
> solve(j(x));
> plot(j(x),x=-1..20,y=-2..3,color=red);
:= ( )j x( )x 1 ( )ln x 1
x
2
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83
5) Construir la grafica y evaluarla: > plot(x^4-2*x^3+5*x-2,x=-4..4,y=-5..10); 4 3( ) 2 3 2f x x x x
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84
6) Grafica la funcion racional y analizala:
> plot(x/(x**2+1),x=-4..4); 2
( )1
xf x
x
> solve(x/(x^2+1));
7) Grafica la funcion irracional siguiente: > plot(sqrt(4-x**2)+sqrt(x**2-1),x=-3..3,y=1.5..2.6);
2 2( ) (4 ) ( 1)f x x x
0
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85
8) Grafica la funcion trigonometrica:
> plot(cos(x^3)*sin(x^2),x=-3..3); 3 2( ) cos( ) ( )f x x sen x
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86
9) Graficar la siguielte funcion: > plot(arctan(ln(x**2-1)),x=-4..4); 2( ) arctan(ln( 1))f x x
10) Grafica la funcion logaritmica: > plot(ln(x+sqrt(1+x**2)),x=-5..5);
2( ) ln( 1f x x x
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87
11) Estudiar y representar f(x)=(x^2-5x+6)/(x^2-x-6): > plot((x^2-5*x+6)/(x^2-x+6),x=-10..10,y=-1..2);
> plot((x^2-5*x+6)/(x^2-x+6),x=-infinity..infinity);
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88
12) Estudiar y graficar la siguiente funcion: > k(x):=((2*x^3-1)/(x**2-4));
> solve(k(x));
> plot(k(x),x=-infinity..infinity);
:= ( )k x2 x3 1
x2 4
, ,1
22
( )/2 3
1
42
( )/2 3 1
4I 3 2
( )/2 3
1
42
( )/2 3 1
4I 3 2
( )/2 3
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89
plot(k(x),x=-15..15,Y=-20..20 ,discont=true);
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90
> limit(k(x)/x,x=infinity);
> limit(k(x)-x,x=infinity);
De modo que la recta y=2x es asintota oblicua > limit(k(x)/x,x=-infinity); >
> limit(k(x)-x,x=-infinity);
representar la asintota oblicua > plot([k(x),2*x],x=-15..15,y=-20..20,discont=true,color=[red,blue]);
13) Analizar la siguiente funcion racional: > g(x1):=((3*x^3-1)/(2*x-1)^2);
> solve(g(x1));
> plot(g(x1),x=-infinity..infinity);
2
2
:= ( )g x13 x3 1
( )2 x 1 2
, ,1
33
( )/2 3
1
63
( )/2 3 1
2I 3
( )/1 6
1
63
( )/2 3 1
2I 3
( )/1 6
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91
> plot(g(x1),x=-10..10,Y=-40..10,discont=true);
> limit(g(x1)/x,x=-infinity);
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92
> limit(g(x1)/x,x=infinity);
> limit(g(x1)-x,x=-infinity);
> limit(g(x1)-x,x=infinity);
> limit(g(x1)-x,x=-infinity);
> plot([g(x1),3/4*x],x=-10..10,y=-5..5,discont=true,color=[red,blue]);
14) Analizar la funcion racional siguiente; > g(x2):=((x**4-1)/(x+1));
> solve(g(x2));
> plot(g(x2),x=-infinity..infinity);
3
4
3
4
:= ( )g x2x4 1
x 1
, ,1 I I
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93
> plot(g(x2),x=-5..5,y=-5..5,discont=true);
> limit(g(x2)/x,x=infinity);
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94
> limit(g(x2)-x,x=infinity);
no tiene asintotas
15) Graficar la funcion racional, su asintota oblicua: > g(x3):=((x**4-5*x**2+6)/(1-x**2));
> solve(g(x3));
> plot(g(x3),x=-infinity..infinity);
> plot(g(x3),x=-5..5,y=-10..10,discont=true);
:= ( )g x3 x4 5 x2 6
1 x2
, , ,2 2 3 3
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95
> limit(g(x3)/x,x=infinity);
> limit(g(x3)-x,x=infinity);
Tiene asintotas vertical x=-1,x=1;notiene asintota ablicua
16) Grafica la funcion exponencial: > g(x4):=(x**2*exp(x)-5*x*exp(x)+6);
> solve(g(x4));
> plot(g(x4),x=-infinity..infinity);
:= ( )g x4 x2 ex 5 x ex 6
( )RootOf e_Z _Z2 5 e_Z _Z 6
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96
> plot(g(x4),x=-15..15,y=-230...40,discont=true);
18) Graficar la funcion exponencial: > g(x5):=(1-x**2)*exp((-x+1));
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97
> solve(g(x5));
> plot(g(x5),x=-infinity..infinity);
> plot(g(x5),x=-5..10,y=-10..6);
:= ( )g x5 ( )1 x2 e( ) x 1
,1 -1
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98
19) Graficar la funcion racional: > g(x6):=(3/5*(x-5)*x**(2/3));
> solve(g(x6));
> plot(g(x6),x=-infinity..infinity);
:= ( )g x63
5( )x 5 x
( )/2 3
,5 0
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99
> plot(g(x6),x=-10..10,y=-10..10);
20) G raficar el valor absoluto. > g(x7):=(abs(x**3-5*x**2-x+4));
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100
> solve(g(x7));
> plot(g(x7),x=-infinity..infinity);
> plot(g(x7),x=-5..5,y=-2..20);
:= ( )g x7 x3 5 x2 x 4
1
6( )748 12 I 5871
( )/1 3
56
3
( )748 12 I 5871( )/1 3
5
3
1
12( )748 12 I 5871
( )/1 3
,
28
3
1
( )748 12 I 5871( )/1 3
5
3
1
2I 3
1
6( )748 12 I 5871
( )/1 3 56
3
1
( )748 12 I 5871( )/1 3
,
1
12( )748 12 I 5871
( )/1 3 28
3
1
( )748 12 I 5871( )/1 3
5
3
1
2I 3
1
6( )748 12 I 5871
( )/1 3 56
3
1
( )748 12 I 5871( )/1 3
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101
CONCLUSION
Existe cierta discusión acerca de si los objetos matemáticos, como los números
y puntos, realmente existen o simplemente provienen de la imaginación humana.
El matemático BenjaminPeirce definió las matemáticas como "la ciencia que
señala las conclusiones necesarias".5 Por otro lado, Albert Einstein declaró que
"cuando las leyes de la matemática se refieren a la realidad, no son exactas;
cuando son exactas, no se refieren a la realidad"
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Sistemas de ecuaciones
¿Qué es una ecuación lineal?
Sistema de desigualdades
Fracciones parciales
UNIDAD 5
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103
Universidad de San Carlos de Guatemala, Facultad de Humanidades
Extensión Chiquimula
PEM EN PEDAGOGÍA Y TÉCNICO EN ADMINISTRACION EDUCATIVA
Curso: Matemática
Catedrático: Lic. Salomon
Alumnos: Oscar Carlos Alberto Aguirre 201320724 Grupo # 5
Mercy Julissa Marin Capriel 201319923 Grupo # 5
María Elvira López Martínez 201325383 Grupo# 5
Jorge Mario López Martínez 201325386 Grupo # 5
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104
Introducción
Las sociedades actuales conceden gran importancia a la educación en la convicción de que de ella dependen tanto el bienestar individual como el colectivo. La educación es el medio más adecuado para garantizar el ejercicio de la ciudadanía democrática, responsable, libre y crítica, indispensable en una sociedad avanzada, dinámica y justa.
Las matemáticas aparecen estrechamente vinculadas a los avances que la civilización ha ido alcanzando a lo largo de la historia. En su intento de comprender el mundo, el hombre ha creado y desarrollado herramientas matemáticas: el cálculo, la medida y el estudio de relaciones entre formas y cantidades, que han servido a los científicos de todas las épocas para generar modelos de la realidad. Estos modelos contribuyen, hoy día, tanto al desarrollo como a la formalización de las ciencias experimentales y sociales, a las que prestan un adecuado apoyo instrumental.
Por otra parte, el lenguaje y el razonamiento propios de las matemáticas, aplicados a los distintos fenómenos y aspectos de la realidad, constituyen un instrumento eficaz que nos ayuda a comprender y a expresar mejor el mundo que nos rodea. En la sociedad actual las personas necesitan, en los distintos ámbitos profesionales, un mayor dominio de ideas y destrezas matemáticas que el que precisaban hace sólo unos años. La toma de decisiones requiere comprender, modificar y producir mensajes de todo tipo, y en la información que se maneja aparecen, cada vez con más frecuencia, tablas, gráficos y fórmulas que demandan conocimientos matemáticos para su correcta interpretación. En definitiva, los ciudadanos deben estar preparados para adaptarse a los continuos cambios que se generan.
Por lo tanto los contenidos matemáticos seleccionados para este nivel van a tener como eje vertebrador la resolución de problemas. Desde un punto de vista formativo, la resolución de problemas es capaz de activar las capacidades básicas del individuo, como son leer comprensivamente, reflexionar, establecer un plan de trabajo, revisarlo, adaptarlo, generar hipótesis, verificar el ámbito de validez de la solución, etc. pues no en vano es el centro sobre el que gravita la actividad matemática en general.
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105
Sistema de Ecuaciones
Llamamos sistema de ecuaciones a un conjunto cualquiera de ecuaciones Qué es una ecuación? Es una igualdad algebraica que se verifica para ciertos valores de la variable. Con otras palabras: Es una igualdad en las que aparecen números y letras (llamadas incógnitas o variables) relacionados mediante operaciones matemáticas. La incógnita de una ecuación es la letra con valor desconocido. El grado de una ecuación es el mayor exponente con que figura la incógnita en la ecuación una vez realizada todas las operaciones.
Cuando la ecuación sólo contiene una letra le llamamos ecuaciones con una incógnita. (Habitualmente, la x, pero no necesariamente). Decimos que las ecuaciones son de primer grado cuando dicha letra no está elevada a ninguna potencia (el exponente es 1 y puede omitirse). El primer miembro corresponde a toda la expresión que está antes del signo =.
El segundo miembro corresponde a toda la expresión que está después del signo =
Los términos 5 y 7 que no están acompañados de letras se llaman términos independientes.
La letra o letras presentes en la ecuación se llaman incógnitas o valores desconocidos
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106
Resolver una ecuación Una ecuación es un enunciado matemático que tiene dos expresiones separadas por un signo igual. La _expresión de la izquierda del signo igual tiene el mismo valor que la _expresión de la derecha. Una o ambas expresiones pueden contener variables. Resolver una ecuación implica trabajar con las expresiones y encontrar el valor de las variables. Ejemplo: x = 4 + 8 Esta ecuación se puede resolver sumando 4 y 8 para encontrar que x = 12.
Una ecuación es un enunciado matemático que tiene dos expresiones separadas por un signo igual. La expresión a la izquierda del signo igual tiene el mismo valor que la expresión a la derecha.
Una o ambas expresiones pueden contener variables. Resolver una ecuación implica trabajar con las expresiones y encontrar el valor de las variables.
Ejemplo: Resolver la ecuación: 7x = 21
Para que la ecuación se mantenga igual, debes aplicar la misma operación a ambos lados de la ecuación.
Si multiplicamos (o dividimos) un lado por una cantidad, debemos multiplicar (o dividir) el otro lado por la misma cantidad.
Esta ecuación se puede resolver dividiendo ambos lados por 7.
La ecuación sería 7x/7 = 21/7. Esto se puede simplificar a x = 21/7 o x = 3.
Puedes verificar tu cálculo sustituyendo el valor de x en la ecuación original. (7*3=21).
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107
Ecuaciones Simultáneas con dos incógnitas por el método de sustitución.
Método de sustitución
Primero en una de las ecuaciones se halla el valor de una de las incógnitas. Despejemos la y en la primera ecuación suponiendo como conocido el valor de x
y = 11 - 3x
Se sustituye en la otra ecuación el valor anteriormente hallado, es decir donde se encuentre una "y" colocaremos "(11 – 3x)".
5x - (11-3x) = 13
Ahora tenemos una ecuación con una sola incógnita; la cual resolvemos normalmente
5x – 11 + 3y = 13 5x + 3x = 13 + 11 8x = 24 x = 3
Ya conocido el valor de x lo sustituimos en la expresión del valor de "y" que obtuvimos a partir de la primera ecuación del sistema
y = 11 - 3x y = 11 - 9 y = 2
Así la solución al sistema de ecuaciones propuesto será x=3 e y=2
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108
Método de igualación
Lo primero que haremos será despejar en las dos ecuaciones la misma incógnita
Igualamos ambas ecuaciones
11 - 3x = -13 + 5x 8x = 24 x = 3
Este valor de x lo sustituimos en cualquiera de las ecuaciones de y
y = 11 - 9 y = 2
Método de reducción
Sumaremos miembro a miembro las dos ecuaciones que componen el sistema, la intención es eliminar una variable por lo que si no se puede eliminar ninguna así nomás se multiplicaran las ecuaciones por números que igualen alguno de los términos, para que se elimine uno:
Para este ejemplo eliminamos "y"
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109
y sustituyendo este valor en cualquiera de las ecuaciones del sistema obtenemos
y = 2
Este método sirve para cualquier cantidad de ecuaciones con la única condición que el numero de variables desconocidas no sea mayor a la cantidad de ecuaciones.
Encontrar el valor de X
Para encontrar el valor de X se toma la primera ecuación.
X+3y=6
Se sustituye la variable “y” por el valor que se obtuvo en el paso de la x.
X+3 (1) =6 X+3=6 X=6-3 X=3 X=3 Y=1 Pares Rectas
Dos rectas en el p lano pueden ser:
Dos rectas son secantes s i sólo t ienen un punto en común .
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110
El s istema de ecuaciones formado por las dos rectas t iene una
solución
Secantes
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111
Dos rectas son paralelas s i no t ienen ningún punto en común.
El s istema de ecuaciones formado por las dos rectas no t iene
solución .
Parale las
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112
Dos rectas son coincidentes s i t ienen todos los puntos son
comunes
El s istema de ecuaciones formado por las dos rectas t iene infinitas
soluciones
Coincidentes
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113
UTILIDAD DE LAS GRÁFICAS
A lo largo de estas unidades estudiaremos las funciones y sus formas de representación: las «gráficas». Veremos como existen magnitudes que dependen unas de otras de tal forma que, cuando a una de las magnitudes se le da un valor, sólo se obtiene otro de la segunda magnitud (es decir, para cada valor de la primera magnitud sólo hay otro posible de la segunda).
Las gráficas se utilizan en muchos aspectos prácticos de la vida. A partir de la información que proporcionan permiten salvar vidas (el electrograma y el cardiograma), predecir terremotos, pulsar la actividad económica de un país... A menudo habrás reflexionado sobre aspectos como que:
La altura de las personas varía con la edad.
El consumo de gasolina de un coche depende de su velocidad.
El precio de un saco de manzanas varía en función del número de kilogramos que contiene.
Suponemos que has utilizado ya representaciones como: tablas de datos, juego de los barcos..., y has interpretado alguna gráfica como por ejemplo las referidas a votantes en unas elecciones, comparación de precios de un producto determinado...
Estos contenidos te introducen el modelo de representación cartesiana de una forma activa. Con las actividades que se proponen se pretende que puedas adquirir los conceptos relativos a las coordenadas cartesianas y a los elementos que intervienen en este tipo de representación.
SISTEMA DE EJES COORDENADOS
Un sistema de ejes coordenados (o cartesianos) está formado por dos ejes numéricos perpendiculares, uno horizontal, llamado de abscisas y otro vertical o de ordenadas. La primera coordenada o abscisa de un punto nos indica la distancia a la que dicho punto se encuentra del eje vertical. La segunda coordenada u ordenada indica la distancia a la que se encuentra el punto del eje horizontal.
Ambos ejes se cortan en un punto llamado origen o centro de coordenadas, el punto de coordenadas (0,0).
Tales ejes coordenados o líneas perpendiculares dividen el plano en cuatro regiones y cada una de ellas se denomina cuadrante.
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114
Gráficamente en la siguiente figura puedes ver una representación de cada uno de los conceptos anteriores:
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115
Que es una ecuación lineal?
Las ecuaciones lineales se encuentran entre los tipos más simples de ecuaciones. Tienen unas pocas variables simples que se combinan para formar una respuesta. En la mayoría de los casos, simplemente deberás despejar la variable x o y. Como mucho, deberás resolver ambas. Las ecuaciones lineales son diferentes a las radicales porque no tienen radicales, lo cual cambia el modo en que son resueltas. Resolver ecuaciones lineales pueden ser relativamente fácil de aprender si simplemente recuerdas unos pocos pasos fáciles.
Una ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita o variable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.
Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).
Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se deben seguir los siguientes pasos:
1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.
2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los que contengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.
3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.
4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.
Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnita
Para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operador inverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:
Resolver la ecuación 2x – 3 = 53
Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces para llevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es +3, porque la operación inversa de la resta es la suma).
Entonces hacemos:
2x – 3 + 3 = 53 + 3
En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:
2x = 53 + 3
2x = 56
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116
Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lo pasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativo de 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:
2x • ½ = 56 • ½
Simplificamos y tendremos ahora:
x = 56 / 2
x = 28
Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.
Algebra de Matrices
La matriz unidad de orden n×n es la matriz I de orden n×n en la cual todas las entradas son cero excepto los de la diagonal principal, que son 1. En símbolos:
Iij = 1 si i = j y Iij = 0 si i ≠ j.
Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son cero.
Las operaciones de adición, multiplicación escalar, multiplicación entre matrices se cumplen las siguientes reglas:
A+(B+C) = (A+B)+C Regla asociativa de adición
A+B = B+A Regla conmutativa de adición
A+O = O+A = A Regla unidad de adición
A+( - A) = O = ( - A)+A Regla inversa de adición
c(A+B) = cA+cB Regla distributiva
(c+d)A = cA+dA Regla distributiva
1A = A Unidad escalar
0A = O Cero escalar
A(BC) = (AB)C Regla asociativa de multiplicación
AI = IA = A Regla unidad de multiplicación
A(B+C) = AB + AC Regla distributiva
(A+B)C = AC + BC Regla distributiva
OA = AO = O Multiplicación por matriz cero
(A+B)T = AT + BT Trasposición de una suma
(cA)T = c(AT) Trasposición de un producto escalar
(AB)T = BTAT Trasposición de un producto matriz
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117
La única regla que está notablemente ausente es la de conmutatividad del producto entre matrices. El producto entre matrices no es conmutativo: AB no es igual a BA en general.
Sistema de Desigualdades
Una inecuación o desigualdad es lo mismo que una ecuación pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.
Los signos de desigualdad son
Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se usan para resolver una ecuación lineal. Como ejemplo, vamos a resolver la desigualdad
3 > x - 8.
Sumando la misma cantidad a ambos lados:
3 > x - 8 3 + 8 > x - 8 + 8 11 > x
Una regla importante en las desigualdades es que cuando se multiplica o divide por un número negativo, el signo de desigualdad cambia.
Determinante
Se define Como una forma multilineal alternada de un cuerpo. Esta definición indica una serie de propiedades matemáticas y generaliza el concepto de determinante haciéndolo aplicable en numerosos campos. Sin embargo, el concepto de determinante o de volumen orientado fue introducido para estudiar el número de soluciones de los sistemas de ecuaciones lineales
¿Cómo se calcula un determinante?
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118
Determinante de una matriz de orden 2x2
Si
El determinante de A (Se suele escribir ) es:
Ejemplo:
Determinante de una matriz de orden 3x3
Si
Para calcular un determinante de una matriz 3×3, en principio hay que hacer todas esas cuentas… Existe la llamada “Regla de Sarrus” que permite acordarse fácilmente del orden de operaciones a realizar.
Pruebe de calcular un determinante por su cuenta y luego vaya a nuestra página que le permitirá verificar el cálculo del determinante
Para calcular determinantes de orden mayor que 3×3, debemos trabajar con adjuntos.
Algunas cosas a tener en cuenta:
Sólo calculamos determinantes de matrices cuadradas. Los determinantes verifican muchas propiedades importantes, que facilitan
el cálculo.
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119
Métodos de cálculo
Para el cálculo de determinantes de matrices de cualquier orden, existe una regla recursiva (teorema de Laplace) que reduce el cálculo a sumas y restas de varios determinantes de un orden inferior. Este proceso se puede repetir tantas veces como sea necesario hasta reducir el problema al cálculo de múltiples determinantes de orden tan pequeño como se quiera. Sabiendo que el determinante de un escalar es el propio escalar, es posible calcular el determinante de cualquier matriz aplicando dicho teorema.
Además de esta regla, para calcular determinantes de matrices de cualquier orden podemos usar otra definición de determinante conocida como Fórmula de Leibniz.
La fórmula de Leibniz para el determinante de una matriz cuadrada A de orden n es:
donde la suma se calcula sobre todas las permutaciónes σ del conjunto {1,2,...,n}. La posición del elemento i después de la permutación σ se denota como σi. El conjunto de todas las permutaciones es Pn. Para cada σ, sgn(σ) es la signatura de σ, esto es +1 si la permutación es par y −1 si es impar (ver Paridad de permutaciones).
En cualquiera de los sumandos, el término
denota el producto de las entradas en la posición (i, σi), donde i va desde 1 hasta n:
La fórmula de Leibniz es útil como definición de determinante; pero, excepto en casos muy pequeños, no es una forma práctica de calcularlo: hay que llevar a cabo n! productos de n factores y sumar n! elementos. No se suele usar para calcular el determinante si la matriz tiene más de tres filas.
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120
La regla de Cramer
Es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Recibe este nombre en honor a Gabriel Cramer (1704 - 1752), quien publicó la regla en su Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques de 1750, aunque Colin Maclaurin también publicó el método en su Treatise of Geometry de 1748 (y probablemente sabía del método desde 1729).1
La regla de Cramer es de importancia teórica porque da una expresión explícita para la solución del sistema. Sin embargo, para sistemas de ecuaciones lineales de más de tres ecuaciones su aplicación para la resolución del mismo resulta excesivamente costosa: computacionalmente, es ineficiente para grandes matrices y por ello no es usado en aplicaciones prácticas que pueden implicar muchas ecuaciones. Sin embargo, como no es necesario pivotar matrices, es más eficiente que la eliminación gaussiana para matrices pequeñas, particularmente cuando son usadas operaciones SIMD.
Si es un sistema de ecuaciones. es la matriz de coeficientes del
sistema, es el vector columna de las incógnitas y es el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta así:
donde es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de por el vector columna . Hágase notar que para que el sistema sea compatible determinado, el determinante de la matriz ha de ser no nulo.
Qué es una fracción?
Como vimos la fracción es un número, que se obtiene de dividir una totalidad en partes iguales. Por ejemplo cuando decimos un cuarto de hora o una cuarta parte de la torta, estamos dividiendo la hora y la torta en cuatro partes y consideramos una de ellas. Sabemos que no es lo mismo un cuarto de hora que cuarta torta, pero se "calculan" de la misma manera: dividiendo la totalidad (una hora o
una torta) en 4 partes iguales y tomando una de ellas.
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121
Una fracción se representa matemáticamente por números que están escritos uno sobre otro y que se hallan separados por una línea recta horizontal llamada raya fraccionaria.
La fracción está formada por dos términos: el numerador y el denominador. El numerador es el número que está sobre la raya fraccionaria y el
denominador es el que está bajo la raya fraccionaria.
Observa la imagen, tenemos media naranja, ¿cómo escribimos esa cantidad?. La naranja entera se forma con dos mitades, aquí tenemos una mitad
entonces escribimos:
El número 1 es el numerador, indica el número de partes que hemos tomado de la naranja.
El número 2 es el denominador, indica el número de partes iguales en que se ha dividido la naranja.
FRACCIONES PARCIALES El método de las fracciones parciales consiste en descomponer un cociente de polinomios en una suma de fracciones de polinomios de menor grado. Se utiliza principalmente en cálculo integral. El requisito más importante es que el grado del polinomio del denominador sea estrictamente mayor que el del numerador.
Para mayor claridad, sea:
en donde: . Para reducir la expresión a fracciones parciales se debe
expresar la función de la forma:
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122
o
es decir, como el producto de factores lineales o cuadráticos.
Se distinguen 4 casos:
Factores lineales distintos
Donde ningún par de factores es idéntico.
Donde son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.
Factores lineales repetidos
Donde los pares de factores son idénticos.
Donde son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.
Factores cuadráticos distintos
Donde ningún par de factores es idéntico.
Donde son constantes a determinar, y ningún denominador se anula.
Factores cuadráticos repetidos
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Donde son constantes a determinar, y ningún denominador se anula..
Cómputo de las constantes
Para hallar las constantes, en el caso de factores lineales distintos se puede utilizar la siguiente fórmula:
en donde
Para los otros casos no existe una formulación específica. Sin embargo, estos se pueden resolver simplificando y formando un sistema de ecuaciones con cada una
de las , la resolución del sistema proporciona los valores de los .
Ejemplo
Sea Se puede descomponeer en
Necesitamos encontrar los valores de a y b
El primer paso es deshacernos del denominador, lo que nos lleva a:
Simplificando
El siguiente paso es asignar valores a x, para obtener un sistema de ecuaciones, y de este modo calcular los valores a y b.
Sin embargo, podemos hacer algunas simplificaciones asignado
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124
Para el caso de a observamos que nos facilita el proceso
Siendo el resultado, el siguiente
Ejemplo 2
Sea
Se puede descomponer de esta manera
multiplicando por , tenemos
Simplificando
Procedemos a asignar valores a x, para formar un sistema de ecuaciones
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125
Resolviendo el sistema de ecuaciones, tenemos finalmente
Ejemplo 3
Tenemos que se puede convertir en
Multiplicamos por
Tenemos
Simplificando
Ahora podemos asignar valores a x
Resolviendo el sistema, resulta
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126
Y el problema se resuelve de esta manera
Glosario.
Acutángulo: Triángulo que tiene los tres ángulos agudos.
Álgebra: Parte de las matemáticas que estudia las operaciones que se hacen con números y con cantidades desconocidas representadas por letras.
Altura: En geometría, perpendicular que va desde el vértice de una figura geométrica a la base opuesta. También: en una figura geométrica, perpendicular trazada desde la base al vértice opuesto.
Área: (o superficie) Es la magnitud física que expresa la extensión de un cuerpo en dos dimensiones: largo y ancho. La unidad de medida en el sistema cegesimal es el metro cuadrado. Otra forma de definirla: Superficie de una figura geométrica.
Aritmética: Parte de las matemáticas que estudia las propiedades de los números y de las operaciones definidas entre ellos.
Base: En los prismas, dos polígonos iguales situados en planos paralelos.
Base: En una potencia, cantidad que ha de tomarse como factor las veces que expresa el exponente.
Binomio: Expresión algebraica de dos términos.
Bisectriz: Bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los lados de un ángulo.
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127
Capacidad: En matemáticas se utiliza para designar lo que cabe dentro de un recipiente.
Cara: Son los polígonos que limitan un poliedro. Diferenciamos las caras laterales y las bases.
Cartesiano: El plano cartesiano está definido por dos ejes de coordenadas. El eje horizontal se llama X o de abscisas y el vertical se llama Y o de ordenadas.
Cateto: En geometría se denomina cateto a cualquiera de los dos lados que forman el ángulo recto de un triángulo rectángulo. Otra definición: Lados que forman el ángulo recto de un triángulo rectángulo.
Cilindro En geometría, un cilindro es una figura geométrica formada por la revolución de un rectángulo. Consta de tres lados: dos caras idénticas circulares unidas por un plano curvo y cerrado perpendicular a ambas caras. Definición alternativa: Cuerpo geométrico que resulta al enrollar una superficie cuadrada o rectangular y cerrar con dos círculos los extremos.
Círculo: Porción de plano comprendida y limitada por una circunferencia. Otra definición: Parte interior de la circunferencia.
Circunferencia: Curva cerrada y plana cuyos puntos equidistan de otro punto interior llamado centro. (La relación entre la longitud de la circunferencia y su diámetro es constante. Se la designa por la letra griega pi).
Complementario: Ángulo que sumado a otro da 90º.
Conmutativa: Propiedad que no cambia el resultado de una operación al alterar el orden de los elementos que operan.
Cono: En geometría, cuerpo sólido obtenido al hacer girar un triángulo rectángulo sobre un cateto.
Constante de proporcionalidad: Si las variables x e y están relacionadas por y = kx, se dice que k es la constante de proporcionalidad entre ellas.
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Coordenadas: Ejes de coordenadas son un eje horizontal y otro eje vertical que sirven para determinar la posición de un punto.
Corona circular: Superficie comprendida entre dos circunferencias coplanarias y concéntricas.
Cuadrado: Paralelogramo de cuatro lados iguales y cuatro ángulos congruentes (rectos).
Cubo: Poliedro regular formado por seis caras cuadradas. El cubo es un ortoedro (sus caras son perpendiculares) con todas las aristas iguales. El cubo se llama también hexaedro regular o, simplemente, hexaedro.
Cuña: En geometría, parte de un cuerpo de revolución comprendida entre dos planos que pasan por el eje del cuerpo: cuña esférica; cuña cilíndrica.
Denominador: Parte de una fracción que indica en cuántas partes está dividido un todo o la unidad.
Dependiente: En una función, es la variable imagen de la variable independiente.
Desviación media: En probabilidad y estadística, como su nombre indica es la desviación de cualquier valor de la variable respecto a la media.
Desviación típica: En probabilidad y estadística, la desviación estándar es la medida más común de dispersión. Dicho de manera sencilla, mide qué dispersos están todos los valores en su conjunto en una colección de datos.
Diagonal: Segmento rectilíneo que une dos vértices no consecutivos de una figura geométrica. Cuerda que pasa por el centro y divide a la circunferencia en dos semicircunferencias. Equivale al doble del radio y es la máxima cuerda que se puede trazar en una circunferencia.
Directamente: Directamente proporcional es la relación que hay entre dos magnitudes, tales que a doble, triple, cuádruple, etc., cantidad de la primera, le corresponde doble, triple, cuádruple, etc., cantidad de la segunda.
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129
Dodecaedro: Un dodecaedro es un poliedro de doce caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de once lados o menos. Si las doce caras del dodecaedro son pentágonos regulares, forzosamente iguales entre sí, el dodecaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos. También: Sólido con doce caras planas. Un dodecaedro regular es un sólido que tiene doce caras pentagonales regulares idénticas. Es uno de los cinco poliedros regulares.
Ecuación: Es una igualdad que solo se va a cumplir para algún o algunos valores numéricos de las variables.
Equilátero: Triángulo que tiene sus tres lados iguales.
Equidistante: Que está a la misma distancia.
Equivalente: Que tiene igual valor.
Escala: La proporción entre la longitud real y la longitud en el plano.
Escaleno (Triángulo): Triángulo que tiene sus tres lados desiguales.
Esfera: Cuerpo obtenido cuando giramos un semicírculo sobre un eje. También: Cuerpo limitado por una superficie cuyos puntos equidistan de otro interior llamado centro.
Estadística: Ciencia que se ocupa de la colección y el estudio de hechos numéricos o datos y su interpretación en términos matemáticos. Otra definición: Ciencia que se ocupa del recuento, mediante diversas técnicas, de hechos sociales, científicos o de cualquier clase y de la interpretación de las cifras obtenidas.
Exponente: Número que indica la potencia a la que hay que elevar una cantidad.
Expresión algebraica: Se llama expresión algebraica a toda constante, variable o combinación de constantes y potencias de variables que estén ligadas por alguno de los símbolos +, -, · y ÷, en un número finito.
Factor: Cada uno de los términos de una multiplicación.
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Finito: Que tiene fin, término o límite.
Fracción: Cada una de las partes de un todo con relación a él. Operador formado por dos números enteros, a (numerador) y b (denominador), que se escribe a/b, que define el resultado obtenido a partir de una magnitud, dividiéndola en b partes y tomando a de ellas. multiplicándola por a, pudiéndose invertir ambas operaciones.
Fracción irreductible: Fracción que no se puede simplificar más.
Fracciones equivalentes: Dos o más fracciones son equivalentes si expresan el mismo valor numérico.
Frecuencia absoluta: (de un valor de una variable) Es el número de veces que aparece ese valor entre todos los datos obtenidos de la muestra. Se representa por ni.
Frecuencia relativa: (de un valor de una variable) Es el cociente entre la frecuencia absoluta de cada valor y el tamaño de la población. Se representa por fi.
Función: Relación que existe entre dos magnitudes (representadas por variables), de manera que a cada valor de la primera le corresponde determinado valor de la otra.
Geometría: Rama de las matemáticas que estudia las propiedades de las figuras y las relaciones entre los puntos, líneas, ángulos, superficies y cuerpos.
Grado de un término algebraico: Es la suma de los exponentes de la parte literal de un término algebraico.
Gráfico estadístico: Representación de datos numéricos, en forma de líneas, barras, sectores o dibujos, y en los que se muestra de una forma gráfica la relación que dichos datos guardan entre sí.
Hipotenusa: Es el lado opuesto al ángulo recto, en un triángulo rectángulo. Cumple la condición, descubierta y demostrada por Pitágoras, de que su cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.
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Identidad: Es una igualdad donde los dos miembros toman valores iguales para cualquier valor que les demos a las variables. Otra definición simple: Igualdad que se cumple para cualquier valor de la(s) variable(s) que contiene.
Igualdad: Son expresiones algebraicas separadas por el signo igual (=).
Incógnita:Es la variable que se despeja en una ecuación para encontrar su o sus valores. También: Cantidad desconocida que es preciso determinar en una ecuación.
Individuo: Cada uno de los elementos de la población.
Intervalo o clase: En estadística, agrupación de datos o sucesos a fin de facilitar su estudio.
Intervalo de la recta real: Conjunto de números comprendidos entre dos números a y b.
Lado: Una de las líneas que forman una figura plana (bidimensional). O una de las superficies que forman un objeto sólido (tridimensional). También se les llama caras.
Largo: Longitud de una cosa.
Lateral: Relativo a los bordes de los polígonos o a las caras de los poliedros.
Líneas paralelas: Líneas que no se juntan por mucho que se prolonguen.
Líneas perpendiculares: Líneas que al cortarse forman un ángulo de 90°.
Litro: Unidad de volumen, normalmente utilizada para medir líquidos, que equivale a un decímetro cúbico o a una milésima de metro cúbico.
Magnitud: Propiedad que poseen los cuerpos, fenómenos y relaciones que permite que se puedan medir si lo comparamos con un estándar, ejemplo: longitud, peso, velocidad, etc. Dicha medida se expresa mediante números, sobre la base de comparación con los estándares que sirven de patrón (metro, kilogramos, metros
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132
por segundo, etc.). No debe confundirse magnitud con cantidad. La magnitud es la propiedad, la cantidad es cuánto de eso tiene la magnitud.
Media aritmética: En probabilidad y estadística, es una medida de centralización que se define como la suma de todos los datos observados dividida por el número de datos de la muestra, es decir el cociente entre la suma de los términos de una sucesión y el número de ellos.
Mediana (de un triángulo): Segmentos que unen los puntos medios de los lados de un triángulo con el vértice opuesto.
Mediana: En probabilidad y estadística, es un dato que deja tantos valores de la muestra por encima como por debajo, una vez que estén ordenados.
Medidas de centralización: En probabilidad y estadística, una medida de centralización es un valor representativo de un conjunto de datos y que tiende a situarse en el centro del conjunto de datos, ordenados según su magnitud.
Medidas de dispersión: En probabilidad y estadística, las medidas de dispersión se utilizan para medir lo agrupados o separados que están los datos de una distribución.
Meridiano: Sección de una superficie de revolución por un plano que pasa por el eje de esta superficie.
Metro cuadrado: El área igual a un cuadrado cuyos lados miden 1 metro.
Mínimo común múltiplo: (de dos o más números) Es el menor de los múltiplos que tienen en común.
Moda: En probabilidad y estadística, es el valor de la variable que más veces se repite en una distribución de datos.
Mosaico: Un patrón hecho de figuras idénticas: las figuras deben encajar juntas sin dejar espacios entre ellas y las figuras no deben sobreponerse unas a otras.
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133
Negativo: Menor que cero. (Positivo significa mayor que cero. Cero no es ni negativo ni positivo.) Un número negativo se escribe con el signo menos frente a él.
Notación matemática: Sistema de símbolos utilizados para representar matemáticamente la realidad.
Numerador: Parte de una fracción que indica las partes que se toman de una partición.
Número: Un número es un símbolo que representa una cantidad (es una medida o conteo).
Número decimal: Sirve para expresar medidas de tipo continuo, pues designa valores intermedios entre los números enteros (altura, peso…). Un número decimal está formado por una parte entera y una parte decimal.
Números enteros: Un número entero es el que no tiene parte fraccionaria o decimal. El conjunto de los enteros incluye los números negativos y positivos y el cero. Este conjunto de números se designa por la letra Z.
Número fraccionario (o quebrado): Número que expresa una o varias partes de la unidad.
Número irracional: Los números irracionales se caracterizan porque sus expresiones decimales tienen infinitas cifras no periódicas.
Números naturales: Todos los números del “0” en adelante hasta el infinito reciben éste nombre (no números negativos y no fracciones) y se designan por la letra N.
Números racionales: Cualquier número que puede conseguirse dividiendo un entero por otro. La palabra se deriva de “ratio”. El conjunto de los números racionales se designa por la letra Q e incluye los números naturales y enteros.
Operación: Un proceso matemático. Las más comunes son suma, resta, multiplicación y división (+, -, ×, ÷).
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134
Operador: Es un símbolo (como +, ×, etc.) que representa una operación (se quiere hacer algo con los valores).
Ordenada: El valor vertical ("y") en un par de coordenadas. Segunda componente del par ordenado (x, y) que determinan un punto del plano en un sistema de coordenadas cartesianas.
Origen: Punto de intersección de los ejes de un sistema de coordenadas cartesianas.
Paralelo: Dícese de dos o más rectas que, dos a dos, se encuentran en un mismo plano y no se cortan (las rectas paralelas están siempre a la misma distancia, sin cortarse nunca). Sección de una superficie de revolución por un plano perpendicular al eje.
Paralelogramo: Cuadrilátero cuyos dos pares de lados opuestos son paralelos entre sí.
Perímetro: El perímetro de un polígono es la suma de las longitudes de todos sus lados.
Perpendicular: Dos rectas son perpendiculares si forman un ángulo recto (90 grados).
Pictograma: Dibujo o icono que simboliza las cantidades que representa.
Pirámide: Poliedro limitado por un polígono plano (base), en el que todas las demás caras (caras laterales) son triángulos que tienen respectivamente como base los diferentes lados del polígono y un vértice común (vértice).
Pitágoras: Pitágoras de Samos (582 a.C. - 496 a.C.) fue un filósofo y matemático griego, mejor conocido por el Teorema de Pitágoras.
Plano (Geometría): Un plano es una superficie plana sin espesor. Se extiende hacia el infinito.
Población: Conjunto de elementos que es objeto de estudio estadístico.
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135
Polinomio: Unión de dos o más monomios mediante sumas y restas.
Porcentajes: Un porcentaje no es más que una fracción que representa una parte del total. Representa partes de 100.
Potencia: Es la manera de escribir un producto de varios factores iguales. Está formado por una base (número que se va a repetir) y un exponente (indica las veces que se repite ese número).
Proporción: Igualdad entre dos razones. Muestra los tamaños relativos de dos o más valores.
Proporcionalidad directa: Quiere decir que las dos magnitudes que relacionamos se mueven o varían en el mismo sentido; si aumentas una la otra también aumenta y si disminuyes una la otra disminuye, siempre en la misma cantidad.
Radical: Una expresión que tiene raíz cuadrada, raíz cúbica, etc.
Radio: Recta que une un punto de una circunferencia con su centro.
Razón: De dos números, es el cociente de los mismos.
Recorrido: En probabilidad y estadística, es la diferencia entre el mayor valor y el menor de una variable.
Rectángulo: Es un polígono de cuatro lados (una figura plana de lados rectos) en donde cada ángulo es un ángulo recto (90°).
Redondear: Redondear significa reducir los dígitos de un número tratando de mantener un valor similar. El resultado es menos exacto, pero es más fácil de usar.
Repartir: Dividir en partes o grupos iguales.
Reparto proporcional: Consiste en repartir una cantidad total entre varias partes de acuerdo a unas proporciones dadas.
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136
Resolver: Buscar una solución a la ecuación.
Rotación: Movimiento circular. Hay un punto central que se mantiene fijo y todo lo demás se mueve alrededor de ese punto en círculos.
Sector: Superficie plana limitada por dos segmentos rectilíneos y un arco de curva.
Segmento circular: Región limitada por una cuerda y el arco determinado por ella.
Semejantes (figuras): Figuras cuyos ángulos homólogos son congruentes y sus segmentos homólogos proporcionales.
Símbolo: Representación convencional de un número, cantidad, relación, operación, etc.
Sistema de numeración: Conjunto de normas que se utilizan para escribir y expresar cualquier número.
Solución: Valores numéricos que hacen que sea cierta una ecuación.
Superficie: Límite bidimensional que puede ser plano o curvo.
Teorema de Pitágoras: En un triángulo rectángulo el cuadrado del lado más largo (la “hipotenusa”) es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados (los catetos).
Triángulo: Un polígono de tres lados (una figura plana de lados rectos).
Valor: En matemáticas es el resultado de un cálculo.
Valor numérico: Es la cantidad que vale un monomio o un polinomio al sustituir las letras por números y realizar las operaciones que se indican.
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137
Variable: Letra que representa una cantidad determinada, que no conocemos.
Variable dependiente: Es la incógnita de la función cuyo valor cambia según va cambiando el valor que le des a la variable independiente.
Variable estadística cualitativa: Son las que no se pueden medir, se describen con palabras como puede ser el sexo, los colores, etc.
Variable estadística cuantitativa: Son las que se pueden medir, es decir, se expresan por números, y los elementos reciben el nombre de datos.
Variable independiente: Es la incógnita de la función a la que le puedes dar cualquier valor.
Vértices: Son los puntos donde se unen las aristas. En cada vértice concurren tres o más aristas.
Volumen: Magnitud física que expresa el espacio que ocupa un cuerpo. La cantidad de espacio tridimensional que ocupa un objeto.
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Conclusión
Finalmente y para concluir se determinó que, la resolución de problemas de
ecuaciones está asociada, por lo general, a resultados numéricos puesto que se
requieren respuestas prácticas.
La mayor parte de las leyes científicas de expresan en términos de rapidez de
variación de una variable con respecto otra.
Además proporcionan una herramienta esencial para modelar muchos problemas
por lo general, requieren la determinación de una función que satisface a una
ecuación diferencial.
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PARÁBOLA
ELPSE
HIPÉRBOLA
COORDENADAS POLARES
CÓNICAS TRASLADADAS
UNIDAD 6
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140
UNIVERSIDAD DE SAN CARLOS DE GUATEMALA
FACULTAD DE HUMANIDADES
PROFESORADO DE ENSEÑANZA MEDIA EN PEDAGOGÍA Y TÉCNICO EN
ADMINISTRACIÓN EDUCATIVA
LIC. Salomón Eliasib Álvarez Cordón
CURSO: Matemáticas
TEMA
PARÁBOLA, ELIPSE, HIPERBOLE, COORDENADAS POLARES, CÓNICAS
TRASLADADAS.
INTEGRANTES: Carnet:
Lidia Rosalí Castillo Díaz 201321554
Ilsi Esperanza López López 201320717
Dora Jeaneth Vásquez Vásquez 201320721
María Eugenia Matta Calderón 201319922
María Alicia Matta Calderón
Josselyn Annalecy Monroy
Elder Eduardo Monroy Morataya
Paola Berenise Ramìrez Blaz
Nolvia Maivilena Castillo Duarte
Karla Mariela Compà Duarte
201319929
201319943
201319834
201319936
201319825
201319835
MATEMÁTICA APLICADA A LA EDUCACIÓN FAHUSACHI
141
INTRODUCCIÓN
El trabajo de investigación trata de explicar la matemática, para iniciar con la disertación se da a conocer, una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano a una recta dada, llamada directriz, y a un punto fijo que se denomina foco; una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano cuya distancia a dos puntos fijos en el palo tienen una suma constante; la hipérbole es una curva abierta de dos ramas, producida por la intersección de un cono circular recto y un plano que corta las dos secciones del cono; coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano determina por un ángulo y una distancia cónica o sección; cónica trasladada es el conjunto de los puntos que forman la intersección de un plano con un cono de revolución de dos ramas; para esto se elaboró la manera de aplicarla a la vida cotidiana, y estrategias de cómo aplicarla que tendrá más facilidad y comprensión del te
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142
Parábola
¿Qué es?
Una parábola es el lugar geométrico de los puntos de un plano equidistantes a una
recta dada, llamada directriz, y a un punto fijo que se denomina foco.
Denominamos parábola al lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo, llamado foco, y de una recta fija llamada directriz. Entonces la parábola es el conjunto de puntos del plano que está a la misma distancia de un punto, su foco, y de una recta fija, su directriz Elementos de la parábola El foco es el punto F La directriz es la recta d. El radio vector de un punto P es el segmento PF que lo une al foco El eje de la parábola es también un eje de simetría. El vértice es el punto V en el que el eje corta la parábola. El parámetro es la distancia FD del foco a la directriz y se designa por p. ¿Para qué sirve?
La parábola sirve para concentrar los rayos de luz en un punto, el foco, en el caso de la cocina solar, o las radiaciones electromagnéticas, en general, en las antenas parabólicas. Pero también sirve, como en el caso del faro de un coche, para conseguir que la luz que sale del foco se concentre en un haz más o menos cerrado.
Cualquier cuerpo lanzado al aire de forma oblicua u horizontal describe un
movimiento parabólico bajo la acción de la gravedad. Por ejemplo es el caso de
una pelota que se desplaza botando.
Se puede utilizar en las luces de trafico donde se coloca una figura con forma de
parábola que hace que los rayos de luz vayan en una sola dirección de forma
vertical sin desviarse y hacer más fácil su visibilidad, también ocurre con los
telescopios en astronomía para ubicar un punto específico en el espacio creando
la posible visibilidad de un cuerpo celeste en particular.
¿Cómo se aplica?
Fotografía estroboscópica de una pelota de tenis que se desplaza hacia la
derecha, botando contra el suelo. Podemos distinguir dos arcos parabólicos.
También vemos como el tamaño del arco se va haciendo más pequeño, la pelota
cada vez bota a menor altura, debido a la pérdida de energía que experimenta en
cada colisión.
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143
También, es caso de los chorros y las gotas de agua que salen de los caños de las numerosas fuentes que podemos encontrar en las ciudades. El desplazamiento bajo la acción de la atracción gravitatoria de la Tierra permite obtener bonitos arcos parabólicos.
Las líneas parabólicas de la imagen se han obtenido proyectando un haz de luz sobre una pared blanca. Una generatriz del cono es paralela a la pared.
Ejemplo:
Una linterna parabólica tiene 3 metros de ancho, en la parte donde está situada
su aparato receptor. ¿A qué distancia del fondo de la linterna está colocado el
receptor de señales?
3MTS
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144
l_________l
4P
LR. 4P
LR. 3ANCHO
l 4P l= 3
4p= 3
P= ¾) 0.75
LA DISTANCIA DEL FONDO DE LA LINTERNA ES DE 0.75 MTS.
Se puede calcular la trayectoria de un salto de los animales con respecto a un
punto del plano cartesiano y su trayectoria tendría forma de parábola.
Elipse
¿Qué es?
La elipse es la curva que describen los planetas en su giro alrededor del Sol, pero,
por razones obvias no podemos verla tal cual. Encontrar elipses a nuestro
alrededor, aparentemente es difícil, pero sólo aparentemente.
Una elipse es el conjunto de todos los puntos en un plano cuya distancia a dos
puntos fijos en el palo tienen una suma constante. Los puntos fijos son los focos
de la elipse. La recta que une los focos es el eje focal. El punto sobre el eje focal
que está en el punto medio entre los dos focos es el centro. Los puntos donde la
elipse interseca a su eje son los vértices de la elipse.
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145
¿Para qué sirve?
Elipse, ha sido de mucha importancia en la vida del ser humano, ya que gracias a
ellas, su han podido desarrollar diferentes teorías sobre el universo descifrando
dando soluciones al por qué de las cosas, aparatos, con el fin de beneficiar, y
facilitar la vida del ser humano.
Se puede utilizar cuando se planea la construcción de algún edificio en el que se
requiera de buena acústica (teatros, iglesias, etc.)Se utiliza la forma de elipse para
formar una curva en la que el sonido pueda rebotar en las paredes y enviar las
ondas de sonido a los espectadores u otro lugar de la construcción.
¿Cómo se aplica?
Un templo, con cúpula del mismo trazado.
En mesas elípticas
Altavoces de tres vías
Para explicar la teoría que dice que la Luna gira alrededor de la Tierra.
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146
Ejemplo:
Problemas aplicados a la vida diaria
Una pelota de futbol americano
Sus medidas son
Y2=49 y=7 se saca la raíz cuadrada de cada valor
X2= 9 x=3
Para buscar el centro
49-9= 40 = 6.32 el centro se resta y se saca la raíz cuadrada.
x- X+
Un huevo de gallina
Sus medidas son
Y2= 9 y= 3 se saca la raíz cuadrada de cada valor
X2= 4 x=2
Para buscar el centro
9-4= 5 = 2.2 el centro se resta y se saca la raíz cuadrada
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147
Hipérbola
¿Qué es?
La hipérbola es una curva resultado de la intersección de un cono con un plano
paralelo al eje del cono.
Es una curva abierta de dos ramas, producida por la intersección de un cono
circular recto y un plano que corta las dos secciones del cono. Curva plana que es
el camino de un punto al moverse, para que el radio de la distancia desde algún
punto fijo (foco), hacia la distancia de otro punto fijo (directriz), es constante mayor
a uno. La hipérbola por su simetría, tiene dos focos.
Ecuación de la Hipérbola:
(y-k) 2 - (x-h) 2 =1 Centro = (h, k)
b2 a2
Vértices = (h, k+b)
Focos = (h, k+c)
Es un conjunto de puntos con coordenadas (x,y) en un plano cartesiano cuya diferencia de sus distancias a dos puntos fijos colineales en el plano es constante. Estos puntos fijos reciben el nombre de focos de la hipérbola, y la línea recta sobre la cual están localizados los focos recibe el nombre eje focal o eje mayor. El punto medio entre los focos, de coordenadas (h,k), recibe el nombre de centro y a los puntos donde la hipérbola interseca al eje focal se les denomina vértice. A la recta que pasa por el centro, y que es perpendicular al eje focal, recibe el nombre de eje conjugado. A las dos curvas que forman la hipérbola se les llama ramas. La hipérbola tiene dos rectas inclinadas denominadas asíntotas, a las cuales las ramas de la hipérbola se acercan sin interceptarlas y que facilitan o sirven como guías para graficarlas.
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148
¿Para qué sirve?
Hipérbola, ha sido de mucha importancia en la vida del ser humano, ya que
gracias a ellas, su ha podido desarrollar diferentes aparatos, artefactos y cosas,
con el fin de beneficiar, y facilitar la vida del ser humano.
Se utiliza para medir la distancia de los cuerpos celestes en cuanto a otros o la
distancia que recorren al acercarse o alejarse a algún punto designado en el
espacio.
¿Cómo se aplica?
Para diseño de Puentes, ya que se puede distribuir el peso de todo el puente.
Antenas para captar señales de comunicación e informática.
Estadios deportivos, cuya finalidad es acomodar personas para poder presenciar
algún deporte.
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Herradura de caballo, sirven para que el caballo no se lastime las pezuñas.
Ejemplo:
Cuando los aviones hacen maniobras se puede calcular que tanto se acerca el
avión a un punto en específico ubicándolo en un plano cartesiano. La trayectoria
que hace el avión empicada forma una hipérbola.En astronomía también es
utilizada para las curvaturas de las orbitas.
En la vida cotidiana la hipérbola podemos algunos casos por ejemplo en la
trayectoria de cometas donde un cuerpo celeste que provenga del exterior del
sistema solar y sea atraído por el sol, describirá una órbita hiperbólica, teniendo
como un foco al sol y saldrá nuevamente del sistema solar. Esto sucede con
algunos cometas.
Coordenadas polares
¿Qué es? En las nuevas coordenadas, la ecuación es una línea paralela al eje x, +1 unidad separada del eje x. El sistema de coordenadas polares es un sistema de coordenadas bidimensional en el cual cada punto o posición del plano determina por un ángulo y una distancia. De manera más precisa, todo punto del plano corresponde a un par de coordenadas (r,0) donde r es la distancia del punto al origen o polo 0 es el ángulo positivo en un sentido antihorario medido desde el eje polar (equivalente al eje x del sistema cartesiano). La distancia se conoce como la “coordenada radial” o “radio vector” mientras que el ángulo es la coordenada angular o ángulo polar.
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150
En el caso del origen de coordenadas, el valor de r es cero, pero el valor de 0 es indefinido. En ocasiones se adopta la convención de representar el origen por (0,0°).
¿Para qué sirve?
Sirven para facilitan la realización de una integral; ya sea para realizar el cálculo
de un volumen, de un momento de inercia, de un centroide, de algún área, o
simplemente una integral (simple, doble o triple) indefinida.
¿Cómo se aplica?
En un reloj que agujas forman el triángulo rectángulo.
Poste de luz formando las coordenadas polares
Escoba sostenida en una pared,
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151
Ejemplo:
Un ejemplo de su uso es cuando en base a un análisis dimensional y una suma de
fuerzas en X y en Y te quedan esos 2 valores, pero están en coordenadas
rectangulares es decir que solo son dos líneas una horizontal y una vertical, las
coordenadas polares sirven para convertir esas líneas en una magnitud y te dé el
ángulo de dicha magnitud.
Determine la función r= sen 0 + 2 cos 0 correspondiente a un reloj en
circunferencia. Determine el centro y el radio del mismo.
(x,y) ------- (r,0)
X=r cos 0 -------r2 = x2 +y2
Y= r sen 0------- tan 0 y/x
r= sen 0 + 2 cos 0 ---------- r2= r= sen 0 + 2 cos 0
x2 + y2= y+2x
x2 + y2-y -2x= 0
(x2-2x+ ) + (y2-y+ ) =0
(x2-2x+1) + (y2-y+1/4 ) =1-1/4
(x-1) 2 + (y-1/2) = 4+1
4
(X-1) 2 + (Y-1/2) 2 =5
4
(x-a) 2 + (4-b) 2 = r2
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152
C (a,b);r
(1,1/2) r=
Cónicas trasladadas
¿Qué es?
Se denomina cónica o sección cónica al conjunto de los puntos que forman la intersección de un plano con un cono de revolución de dos ramas. Si el plano es perpendicular al eje del cono, la intersección es una circunferencia o punto, según que corte a una rama o pasa por el vértice. Si el plano no perpendicular al eje, pero corta a toda generatriz, la intersección es una elipse. Si plano es paralelo a una genetriz y corta a todas las demás, la intersección es una parábola. Si el plano corta a dos ramas del cono y no pasa nada por el vértice, la intersección es una hipérbola, Si el plano pasa por el vértice, la intersección es un punto, dos rectas que se cortan, o una sola recta. Hay cuatro tipos de cónicas: La hipérbola, parábola, circunferencia y elipse.
¿Para qué sirve?
Se utiliza en algunas construcciones de edificio donde tenga forma circular o al
fabricar las llantas de los carros tiene que tener cierta circunferencia para que no
exceda en volumen.
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153
¿Cómo se aplica?
Las aplicaciones principales de las parábolas incluyen su como reflectores de luz y ondas de radio. Los rayos originados en el foco de la parábola se reflejan hacia afuera de la parábola, en líneas paralelas al eje de la parábola. Aun más el tiempo que tarda en llegar cualquier rayo al foco a una recta paralela a la directriz de la parábola ( y por lo tanto estas propiedades se utilizan en linternas, faros de automóviles, en antenasde transmisión de microondas. Si una elipse se hace girar alrededor de su eje mayor sobre una superficie (denominado elipsoide) Y el interior es cromado para producir en el espejo, la luz de un foco será reflejada
hacia el otro foco
Esto implica que si lanzamos un objeto con cierta inclinación hacia arriba la
trayectoria seguida es una parábola.
Como también las elipses se aplican para describir las trayectorias de ciertos vuelos en avión. Las cónicas poseen curiosas e interesantes propiedades por las que resultan sumamente útiles en la naturaleza, la ciencia, la técnica o el arte. Por ejemplo: Las órbitas de los planetas y cometas en su rotación alrededor del Sol son cónicas; los faros de los coches tienen sección parabólica, al igual que los hornos solares y las antenas de seguimiento de satélites, debido a que en la parábola los rayos que pasan por el foco salen paralelos al eje y viceversa. También existe un tipo de ayuda a la navegación (loran) basado en las propiedades de las hipérbolas. Cuando un niño compra un cono de nieve, en el podemos observar una forma
cónica.
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154
Conclusiones
Cada una de estos temas además de realizar cálculos tienen su aplicación
práctica en la vida cotidiana.
Las selecciones cónicas son utilizadas principalmente en la tecnología ayudando a
facilitar la realización integral de cada una.
Las cónicas trasladadas se utilizan en algunas construcciones de edificio donde
tenga forma circular o al fabricar las llantas de los carros tiene que tener cierta
circunferencia para que no exceda en volumen.
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155
Sucesiones y series
Notación de Sumatoria
Sucesiones o progresiones aritméticas.
Sucesiones Geométricas
Anualidades y compras a plazos
Compras a plazos
Inducción matemática
Teorema del binomio
UNIDAD 7
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156
Universidad San Carlos de Guatemala
Facultad de Humanidades sección Chiquimula
Profesorado de Enseñanza Media y Técnico en
Administración Educativa
M1 Matemática
Lic. Salomón Álvarez Cordón
UNIDAD VII
Grupo: 7
Duarte Ruballos, Evelyn Paola 201043243
Lemus Ramos, Alba Dinora 201325372
Rivas Lobos, Daysi Elizabeth 201325388
Rivas Lobos, Jessica Yusselfy 200842700
Ruiz Trigueros, Lisbeth Maybelli 201325387
Sintuj España Jessica del Rosario 201322150
Chiquimula 20/10/2013
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157
Introducción
La educación matemática es un término que se refiere tanto al aprendizaje, como a la práctica y enseñanza de las matemáticas, así como a un campo de la investigación académica sobre esta práctica. En la educación matemática en primera instancia hay que utilizar las herramientas, métodos y enfoques que faciliten la práctica y/o el estudio de la práctica, que a continuación estudiaremos con los temas vistos en clase.
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158
Sucesiones y series
¿Qué es una sucesión?
Una sucesión es un conjunto de cosas tales como: números, objetos, personas; una detrás de otra, en un cierto orden.
¿Para qué nos sirven las sucesiones?
En matemática nos sirven para la formación de pensamientos lógicos, también es muy importante comprender este concepto ya que muchas situaciones de nuestra vida se presentan en forma de sucesiones y progresiones.
Finita o infinita
Si la sucesión sigue para siempre, es una sucesión infinita,
si no es una sucesión finita.
Se dice que una sucesión es finita si determinamos su último término, por ejemplo el n-ésimo:
Ejemplo:
1,2,3…100, es una sucesión finita.
{1, 2, 3, 4 ,...} es una sucesión muy simple (y es una sucesión infinita)
{20, 25, 30, 35, ...} también es una sucesión infinita
{1, 3, 5, 7} es la sucesión de los 4 primeros números impares (y es una sucesión infinita)
{4, 3, 2, 1} va de 4 a 1 hacia atrás es una sucesión finita.
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159
{1, 2, 4, 8, 16, 32, ...} es una sucesión infinita donde vamos doblando cada término
{a, b, c, d, e} es la sucesión de las 5 primeras letras en order alfabético.
{a, l, f, r, e, d, o} es la sucesión de las letras en el nombre "alfredo"
{0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna0s y 1s (sí, siguen un orden, en este caso un orden alternativo)
En orden
Cuando decimos que los términos están "en orden", ¡nosotros somos los que decimos qué orden! Podría ser adelante, atrás... o alternando... ¡o el que quieras!
Una sucesión es muy parecida a un conjunto, pero con los términos en orden (y el mismo valor sí puede aparecer muchas veces). Van en orden porque tienen que llevar una secuencia y distancia que los separe.
Ejemplo: {0, 1, 0, 1, 0, 1, ...} es la sucesión que alterna 0s y 1s. El conjunto sería sólo {0,1}
La regla
Una sucesión sigue una regla que te dice cómo calcular el valor de cada término.
Ejemplo: la sucesión {3, 5, 7, 9, ...} empieza por 3 y salta 2 cada vez:
¡Pero la regla debería ser una fórmula!
N= cualquier número
Decir que "empieza por 3 y salta 2 cada vez" no nos dice cómo se calcula el:
10º término, 100º término, o n-ésimo término (donde n puede ser cualquier número positivo que
queramos).
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160
Así que queremos una fórmula con "n" dentro (donde n será la posición que tiene el término).
Entonces, ¿cuál sería la regla para {3, 5, 7, 9, ...}?
Primero, vemos que la sucesión sube 2 cada vez, así que podemos adivinar que la regla va a ser "2 × n". Vamos a verlo:
Probamos la regla: 2n
n Término Prueba
1 3 2n = 2×1 = 2
2 5 2n = 2×2 = 4
3 7 2n = 2×3 = 6
Esto casi funciona... pero la regla da todo el tiempo valores 1 unidad menos de lo que debería, así que vamos a cambiarla un poco:
Probamos la regla: 2n+1
n Término Regla
1 3 2n+1 = 2×1 + 1 = 3
2 5 2n+1 = 2×2 + 1 = 5
3 7 2n+1 = 2×3 + 1 = 7
¡Funciona!
Así que en vez de decir "empieza por 3 y salta 2 cada vez" escribimos la regla como
La regla para {3, 5, 7, 9, ...} es: 2n+1
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161
Una técnica de como enseñar las sucesiones alos alumnos de primaria seria la
del avioncito
Les podemos dibujar el avioncito en el cual nuestra serie numérica es 3, 5, 7, 9,
luego hacemos dos escalones más (que sería nuestra diferencia) para llegar a
cada número. Y en las alas estarían las formulas.
¿Cómo aplicamos el tema de sucesión en la vida?
Podemos realizar varios ejemplos con nuestros alumnos entre estos podemos
mencionar.Que en la distribución del agua potable de la ciudad de Chiquimula la
llave de paso esta cada tres cuadras.
En la construcción de una pared cada 100 metros se hace una columna.
9
7
5
3
2n1 2n
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162
En las plantaciones de melón o meloneras todo se trabaja con secuencia, desde la
siembra, abonos, fumigaciones, riegos y cultivos; por ejemplo la semilla es
selecciona luego en la siembra se colocan 10 semillas macho y después una
hembra y así sucesivamente se trabajan las series.
Las amas de casa cada cierto tiempo realizan compras para su utilización diaria.
Los ciclos del agua podría ser otro ejemplo de sucesión. Y es asi como la sucesion
nos sirve a diario en nuestra vida cotidiana.
Notación de Sumatoria
¿Qué es?
La sumatoria o sumatorio (llamada también notación sigma). Es una operación matemática que se emplea para calcular la suma de muchos o infinitos sumandos.
La operación sumatoria se expresa con la letra griega sigma mayúscula Σ, y se representa así:
Expresión que se lee: "sumatoria de Xi, donde i toma los valores desde 1 hasta n".
i es el valor inicial, llamado límite inferior.
n es el valor final, llamado límite superior.
Pero necesariamente debe cumplirse que:
i ≤ n
Si la sumatoria abarca la totalidad de los valores, entonces no se anotan sus límites y su expresión se puede simplificar:
Ahora, veamos un ejemplo: Si se quiere expresar la suma de los cinco primeros números naturales se puede hacer de esta forma:
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163
Pero también hay fórmulas para calcular los sumatorios más rápido.
Una anécdota aclaratoria
La historia relata que cuando Carl Friedrich Gauss tenía diez años su profesor de matemática le impuso al curso, como una forma de mantenerlos ocupados por largo rato, el siguiente ejercicio:
Sumar todos los números desde el 1 hasta el 100, de este modo:
1 + 2+ 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 +……………….+ 98 + 99 + 100 =
Confiado en que los niños estarían ocupados durante mucho rato, el profesor se enfrascó en sus tareas de estudio, pero a los cinco minutos, el pequeño Gauss le entregó el resultado: 5.050.
Sorprendido, el profesor le pidió a Gauss que le explicara cómo lo hizo:
El pequeño se dio cuenta de que la suma del primer número con el último (1 + 100 = 101) da un resultado que se repite sumando todos los simétricos: 1 + 100 = 101; 2 + 99 = 101; 3 + 98 = 101; 4 + 97 = 101; etc., logrando establecer 50 sumas cuyo resultado es 101.
Entonces, hizo: 50 veces 101 es igual a 50 x 101 = 5.050
Este procedimiento nos conduce a la fórmula de la sumatoria de n números consecutivos:
Si aplicamos la fórmula al problema anterior, tendremos:
Por ejemplo, para sumar los primeros mil números naturales no tiene mucho sentido sumar número por número, si se puede usar la fórmula:
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164
Algunas fórmulas de la operación sumatoria
Fórmula para la suma de n números consecutivos (1+ 2 + 3 + 4 + 5 ……+ n); que acabamos de ver arriba.
Fórmula para la sumatoria de los cuadrados de n números consecutivos (12 + 22 + 32 + 42 + 52 + 62 + ……….+ n2) :
Fórmula para la sumatoria de los cubos de n números consecutivos (13 + 23 + 33 + 43 + 53 + 63 + 73……..+ n3):
¿Para que sirve?
Para representar sumas de muchos sumandos, n o incluso infinitos sumandos. Se
expresa con la letra griega sigma ( ), y se define como:
Esto se lee:
«sumatorio sobre i, desde m hasta n, de x sub-i».
La variable i es el índice de suma al que se le asigna un valor inicial llamado límite
inferior, m.
MATEMÁTICA APLICADA A LA EDUCACIÓN FAHUSACHI
165
La variable i recorrerá los valores enteros hasta alcanzar el límite superior, n.
Necesariamente debe cumplirse que:
Pudiendo ver además que si m = n entonces:
Si m es mayor que n, el resultado es el elemento neutro de la suma, el
cero:
EJEMPLOS
Ejemplo 1: Si X1 = 3 X2 = 9 X3 =11
Encontrar:
Solución:
Ejemplo 2: Si X1 = 1 X2 = 2 X3 = -1
Encontrar:
Solución:
Ejemplo 3. Si X1 = 9 X2 = 6 X3 = 5 X4 = 8 X5 = 12
Encontrar:
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166
Solución:
¿Cómo se aplica?
En la vida diaria la aplicamos en cada una de nuestras acciones diarias
Porque desde que nos levantamos hasta que nos dormimos, nuestra vida esta
compuesta de una sucesión de actividades. Si nos piden hacer un resumen
detallado de nuestros gastos diarios, mensuales o anuales los haremos de una
manera simplificada.
Al momento de ir a hacer las compras del hogar, sabemos que tenemos que
comprar muchos artículos variados y que cada uno tiene precios diferentes
tenemos que tener en cuenta la cantidad de dinero que tenemos para comprar lo
necesario porque sino no podremos cubrir nuestras necesidades.
Estrategia en el Aula:
Se les presentara a los alumnos el signo de la operación y se les preguntara si lo
conocen.
Luego se les presentara la anécdota. Se les dará a cada uno una hojita con las
formulas.
Luego se les pedirá a los alumnos que de forma voluntaria pasen al frente para
realizar el siguiente ejercicio:
Cada alumno tomara el valor de cada termino, los números estarán hechos en
foami de esta manera se hará participativa la clase.
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167
SUCESIONES O PROGRESIONES ARITMÉTICAS ¿Qué es? Son sucesiones en que los términos a partir del primero, se obtienen sumando o restando al anterior una cantidad fija, llamada: Diferencia es la cualidad que algo se distinga de otra cosa en este caso los números, se simboliza con la letra (d). ¿Para qué sirve? Para la enseñanza de la matemática en las operaciones básicas como: suma y
resta.
¿Cómo aplicarla en la vida diaria? En la tienda, en la producción agrícola, se aplican en las matemáticas financieras
como por ejemplo al pedir un crédito y tienes que hacer el pago en cuotas.
EJEMPLO:
1 2 3 4 5
1) 5, 7, 9, 11, 15…
1. Utilizar una regla xn
2. Observar los términos
3. Colocar el número de posición
4. Buscar la diferencia entre cada termino (x) en este caso es 2.
5. Comprobar y ver si son los mismos términos que nos dé el resultado.
6. Si no sale el mismo resultado tenemos que sumarle o restarle un número.
xn= 2n xn= 2n+3
n Termino regla
1 5 2n= 2x(1)=2+3=5
2 7 2n=2x(2)=4+3= 7
3 9 2n=2x(3)=6+3= 9
4 11 2n=2x(4)=8+3=11
5 15 2n=2x(5)=10+3=15
15 5 7 9 11
2) Número de
posición: (n)
1) Término
o elemento
3) Buscar la
diferencia (x)
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168
Sucesiones Geométricas
¿Qué es?
Se llama así a las sucesiones en que los términos a partir del primero se obtienen
multiplicando el anterior por una cantidad fija llamada: Razón comparación entre
dos cantidades semejantes se simboliza por la letra (r).
¿Para qué sirve?
Para la enseñanza de la matemática básica principalmente en la multiplicación y
división.
¿Cómo aplicarla en la vida diaria?
Para calcular nuestros intereses de nuestros ahorros cuando depositamos en el
banco, en los torneos de tenis, en los granos de trigo, tablero de ajedrez.
EJEMPLO:
1. Utilizar una regla xn
2. Observar los términos.
3. Buscar la Razón entre cada termino (x) en este caso es 2.
4. Comprobar y ver si son los mismos términos que nos dé el resultado.
5. Si no sale el mismo resultado tenemos que buscar otro múltiplo o dividir.
Anualidades y compras a plazos
¿Qué es? Las anualidades son pagos iguales efectuados a intervalos iguales de tiempo
(generalmente de un año) que se llaman intervalos de pago.
2 8 4 16
1) Término o
elemento
2) Buscar la Razón (r)
MATEMÁTICA APLICADA A LA EDUCACIÓN FAHUSACHI
169
Cuando el pago de la anualidad se efectúa al final del intervalo de pago, se llama
anualidad ordinaria; y si se efectúa al principio del intervalo de pago, se llama
anualidad anticipada.
Ejemplo de una anualidad Ordinaria.
1. Calcular el valor final de una anualidad ordinaria de 10 000 pesos anuales durante 4 años al 5 % de interés.
Resolución:
Como es una anualidad ordinaria, el primer pago se efectuará al final del primer año.
Las 10 000 pesos del primer pago estarán invertidas durante 3 años, puesto que la anualidad es de 4 años y ya ha transcurrido uno. Luego el primer pago gana intereses durante 3 años. Al final del plazo de la anualidad, esas 10 000 pesos se habrán convertido en
10 000 (1 + 0,05)3 pesos= 11 576,25 pesos
Por el mismo razonamiento, el segundo pago produce intereses durante dos años, por lo que se convierte en
10 000 (1 + 0,05)2 pesos= 11 025 pesos
El tercer pago produce intereses durante 1 año:
10 000 (1 + 0,05) pesos= 10 500 pesos
Y el último pago coincide con el final del plazo de la anualidad, por lo que no produce ningún interés. Llamando V al valor final de la anualidad:
V = 11 576,25 + 11 025 + 10 500 + 10 000 = 43 101
V = 43 101 pesos
Se observa que el valor final de la anualidad es la suma de los valores finales de cada uno de los pagos invertidos a interés compuesto hasta el final del plazo de la anualidad.
¿Para qué sirve? Una anualidad nos sirve para conocer el monto total de dinero al finalizar un periodo de tiempo en que pagaras o recibirás por un préstamo o una ganancia que hayas realizado.
MATEMÁTICA APLICADA A LA EDUCACIÓN FAHUSACHI
170
Cuando el pago de la anualidad se efectúa al final del intervalo de pago, se llama anualidad ordinaria; y si se efectúa al principio del intervalo de pago, se llama anualidad anticipada ¿Cómo aplicarla en la vida diaria? Una anualidad se aplica partiendo de la necesidad que surge de obtener un servicio, un préstamo, un producto, etc; que deseamos obtener por medio de pagos en determinados períodos de tiempo. Podemos mencionar también cuando nos surgen problemas financieros en los que existen un conjunto de pagos iguales a intervalos de tiempo regulares. Aplicaciones típicas tales como: Amortización de préstamos en abonos, Deducción de la tasa de interés en una operación de pagos en abonos, Constitución de fondos de amortización.
Compras a plazos
¿Qué es? Es una modalidad de compraventa utilizada, normalmente, para bienes duraderos, a través del cual el pago del precio no se hace en el momento de la adquisición del bien, sino que se difiere en el tiempo a través de una serie de pagos denominados "plazos", "cuotas" o "abonos" (en ocasiones, también reciben coloquialmente el nombre de "letras"). ¿Para qué sirve? Sirven como una forma de financiación mediante la cual el vendedor acepta cobrar el precio de forma escalonada o parcializada para poder ampliar su mercado, buscando con ello un incremento en sus ventas. El objeto de las compras a plazos suelen ser bienes duraderos, si bien esto no es así en todos los casos. En particular, se ha extendido el pago a plazos a otro tipo de bienes o servicios, como los viajes o incluso las intervenciones quirúrgicas.
La garantía del pago del precio es normalmente el mismo bien vendido (aunque
también pueden serlo otros bienes que posea deudor), por lo que el impago de
uno o más plazos suele implicar el embargo de ellos.
¿Cómo aplicarla en al vida diaria?
Cuando queremos vender inmuebles, productos, servicios; hacemos ofertas tales
como pagos cómodos, y en tiempos que mas convenga al cliente. En algunos
casos, puede estar involucrado en la operación de una prenda sin
desplazamiento sobre el propio bien vendido, o letras de cambio opagarés, para
asegurar el cumplimiento de los plazos o cuotas.
MATEMÁTICA APLICADA A LA EDUCACIÓN FAHUSACHI
171
La inducción matemática
¿Qué es?
La inducción matemática es un método de demostración que suele ser muy útil en
problemas en los que se trata de probar que todos los números naturales (1, 2,
3...) cumplen una cierta propiedad: consta de dos pasos:
Primero, se demuestra que el 1 cumple la propiedad. A continuación, se supone que la propiedad es verdadera para un cierto
número n (arbitrario) y se demuestra para el número siguiente, el n+1. Si se consigue, esto demuestra la propiedad que queríamos para todos los
números naturales, de forma parecida a las filas de fichas de dominó cuando
caen: hemos demostrado que la primera ficha (el 1) cae (primer paso), y que si
cae una ficha también debe caer la siguiente (si es cierta para n, debe serlo para
n+1, segundo paso). La idea de la inducción es muy clara: si un número cumple
algo, y si cuando un número lo cumple el siguiente tiene que cumplirlo, entonces
todos los números lo cumplen.
¿Para qué sirve?
Mediante el principio de inducción matemática podemos verificar si una propiedad
que se cumple para un pequeño número de elementos vale para todos.
Este método es mucho más general de lo que pueda parecer a primera vista; si
queremos, por ejemplo, demostrar una propiedad para todos los números pares,
no tenemos más que aplicar la inducción a la afirmación "el número 2n cumple la
propiedad, para todo natural n", que se refiere a todos los números naturales y es
equivalente a la inicial. De la misma forma, la inducción es útil para demostrar algo
sobre una cantidad finita de cosas porque la misma idea de las fichas de dominó
es aplicable; en este caso se suele llamar "inducción finita", y es un caso particular
de la inducción que se ha explicado arriba. Pueden, de manera similar,
demostrarse afirmaciones del tipo "todos los números a partir del 8 cumplen tal
cosa", y éstos son sólo ejemplos simples. El método de inducción es a la vez muy
potente y muy intuitivo, y puede aplicarse en una gran variedad de problemas.
Teorema del binomio
¿Qué es?
Es la posición científica de una ecuación de dos términos a una unión de dos
personajes importantes en cualquier sector de la vida.
MATEMÁTICA APLICADA A LA EDUCACIÓN FAHUSACHI
172
El teorema del binomio es una fórmula (por esto se llama también fórmula del
binomio) con la cual se puede escribir directamente los términos del desarrollo de
una potencia entera y positiva de un binomio. Para formarnos una idea de la
estructura del desarrollo de : Por multiplicación directa podemos obtener
De acuerdo con estos desarrollos nos podemos dar una idea acerca de la ley que
siguen en su formación:
1. Si el exponente del binomio es n, hay n+1 términos en el desarrollo.
2. Para cada valor de n, el desarrollo de empieza con y termina
con . En cada término los exponentes de a y b suman n.
3. Las potencias de a disminuyen de 1 en 1 al pasar de cada término al
siguiente. La baparece por primera vez en el segundo término con
exponente 1 que aumenta de 1 en 1. El exponente de b siempre es una
unidad menor que el número de orden del término.
4. El primer coeficiente es la unidad, el de cualquier otro término se obtiene multiplicando en el término anterior su coeficiente por el exponente de a y
dividiendo ese producto entre el número de términos anteriores al que se
trata de formar.
Cierta simetría constituye una característica del desarrollo del binomio. Esta
simetría se puede apreciar al disponer los coeficientes en el siguiente orden que
se conoce como Triángulo de Pascal, para valores enteros no negativos de n en
el desarrollo de .
MATEMÁTICA APLICADA A LA EDUCACIÓN FAHUSACHI
173
A estos números se les llama coeficientes binomiales o binómicos, dado que cada
renglón se observa que el primer y último elemento es 1 porque los coeficientes
del primer y último término son iguales a 1.
Cada elemento se puede obtener como la suma de los dos que se encuentra a su
izquierda y derecha en el renglón superior. Así, para n=6, el segundo coeficiente 6
es la suma de los elementos 1 y 5 que se encuentran a su izquierda y derecha en
el renglón superior; el tercer coeficiente 15 se obtiene de manera similar como la
suma de los elementos 5 y 10 del renglón superior, y así sucesivamente.
E J E M P L O :
Desarrollar por el teorema del binomio:
SOLUCIÓN:
Como en este caso n=4, utilizaremos los coeficientes binomiales con las potencias
correspondientes para cada término del desarrollo. Es decir,
efectuando las potencias, se tiene:
efectuando los productos:
¿Para que sirve?
Para encontrar e igualar los términos.
¿En dónde se aplica?
En las tiendas cuando compramos un par de zapatos.
En las formulas para H2O.
MATEMÁTICA APLICADA A LA EDUCACIÓN FAHUSACHI
174
Conclusiones
Una sucesión es un conjunto de cosas tales como: números, objetos, personas; una detrás de otra, en un cierto orden. La sumatoria o sumatorio (llamada también notación sigma). Es una operación matemática que se emplea para calcular la suma de muchos o infinitos sumandos.
Son sucesiones en que los términos a partir del primero, se obtienen sumando o restando al anterior una cantidad fija, llamada: Diferencia es la cualidad que algo se distinga de otra cosa en este caso los números, se simboliza con la letra (d).Sucesiones Geométricas se llaman así a las sucesiones en que los términos a partir del primero se obtienen multiplicando el anterior por una cantidad fija llamada: Razón comparación entre dos cantidades semejantes se simboliza por la letra (r).
Las anualidades son pagos iguales efectuados a intervalos iguales de tiempo
(generalmente de un año) que se llaman intervalos de pago. La inducción
matemática es un método de demostración que suele ser muy útil en problemas
en los que se trata de probar que todos los números naturales (1, 2, 3...) cumplen
una cierta propiedad. La teoría del binomio es la posición científica de una
ecuación de dos términos a una unión de dos personajes importantes en cualquier
sector de la vida.
MATEMÁTICA APLICADA A LA EDUCACIÓN FAHUSACHI
175
Números Reales
Exponentes
Radicales
Expresar Algebraicas
Funciones
Funciones Compuestas
Polinomios y Funciones Reales
Funciones Polinomiales
Potencias
Ecuaciones
Grafica de Funciones
Sistema de Coordenadas Cartesianas
Ecuaciones de la Recta
Funciones con operaciones
UNIDAD 9
MATEMÁTICA APLICADA A LA EDUCACIÓN FAHUSACHI
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Universidad de San Carlos de Guatemala
Facultad de Humanidades
Departamento de Pedagogía
Sección Chiquimula
M1. Matemáticas
Lic. Salomón Eliasib Álvarez
CONCEPTUALIZACIÓN
DE CONTENIDOS
INTEGRANTES Grupo No. 9 No. Carné
Díaz Méndez, Ovilda Esperanza 201320722
López, Brenda Zucely 201319937
Ramos Martínez, María Lucrecia 201319828
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INTRODUCCIÓN
En matemáticas la conceptualización de sus temas surge de la necesidad de
conocer la historia de cómo se fue desarrollando su metodología para poderla
aplicar. El concepto así formado constituye el significado de diversas
formas lógicas, gramaticales , enunciados y, de esta forma, se aplica o designa a
los diversos objetos, hechos, procesos y situaciones del mundo que vivimos. En
matemáticas podemos encontrar temas como lo son Números Reales,
Ecuaciones, Potencias, Radicales entre otros temas de mucha importancia que
pueden ser aplicados en la vida cotidiana de los individuos. Es importante conocer
el origen de cada uno de los enunciados para poder entender el porqué de su
nombre y así poderlo explicar con más facilidad y eficacia a los estudiantes para
poderlos aplicar en el entorno que les rodea.
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NÚMEROS REALES
¿Qué es número? Un número, en ciencia, es un concepto que expresa
una cantidad en relación a su unidad. También puede indicar el orden de una serie
(números ordinales).
Hay varias clases de número:
Los números más conocidos son los números naturales. Denotados mediante ,
son conceptualmente los más simples y los que se usan para contar unidades
discretas. Éstos, conjuntamente con los números negativos, conforman el conjunto
de los enteros, denotados mediante (del alemán Zahlen 'números'). Los
números negativos permiten representar formalmente deudas, y permiten
generalizar la resta de cualesquiera dos números naturales. También están los
números fraccionarios que se designan con una .
¿Por qué se llaman Reales?
Porque no son números imaginarios. Real no quiere decir que aparezcan en el
mundo real. No se llaman “reales” porque muestren valores de cosas reales. En
matemáticas nos gusta que los números sean puros y exactos, si escribimos 0.5
queremos decir exactamente una mitad, pero en el mundo real puede no ser
exacta (prueba a cortar una manzana exactamente por la mitas).
Los Números Reales (designados por ) incluyen tanto a los números
racionales (positivos, negativos y el cero) como a los números irracionales; y en
otro enfoque, trascendentes y algebraicos.
Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas, algunas
simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitos formales de
matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesario para el trabajo
matemático formal.
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EXPONENTES
Los exponentes también se llaman potencias o índices.
¿De dónde vienen los exponentes?
La palabra en sí misma proviene del latín "expo", que significa "fuera de", y "ponere", que
significa "lugar". Si bien la palabra exponente pasó a significar cosas diferentes, el primer
uso moderno registrado de exponente en matemáticas fue en un libro llamado "Integra
Arithemetica", escrito en 1544 por el autor inglés y matemático Michael Stifel. Pero él
simplemente estaba trabajando con una base de dos, de modo que, por ejemplo, el
exponente 3 significaba que la cantidad de números 2 que tendrías que multiplicar para
obtener 8. Lo que se vería así: 2 ³ = 8. El método de Stifel se diría que es un poco
retrógrado en comparación con la forma en que pensamos acerca del tema hoy. Él diría
que "el 3 es la configuración del 8". Pero hoy en día, nos referimos a eso simplemente
como una ecuación de 2 al cubo. Hay que recordar que él estaba trabajando
exclusivamente con una base o un factor de 2 y traduciendo del latín un poco más
literalmente de lo que hacemos actualmente.
El exponente de un número nos dice cuantas veces se usa el numero en una
multiplicación.
En este ejemplo: 82= 8x8= 64
En palabras: 82 se puede leer “8 a la segunda potencia”, “8 a la potencia 2” o simplemente “8 al cuadrado”.
Más ejemplos:
Ejemplo: 53 = 5 × 5 × 5 = 125
En palabras: 53 se puede leer "5 a la tercera potencia", "5 a la potencia 3" o
simplemente "5 al cubo"
Ejemplo: 24 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16
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En palabras: 24 se puede leer "2 a la cuarta potencia" or "2 a la potencia 4" o
simplemente "2 a la cuarta"
Y los exponentes hacen más fácil escribir muchas multiplicaciones
Ejemplo: 96 es más fácil de escribir y leer que 9 × 9 × 9 × 9 × 9 × 9
EXPONENTES ENTEROS
Los exponentes enteros indican cuantas veces el factor, llamada base, ocurre en
la multiplicación.
n Exponente
a Base
Ej. an = a. significa que la a
se está multiplicando
por sí misma, n veces.
El exponente es el número n y la base es la a.
Ejemplo de exponentes:
1. 53= 5*5*5= 125
2. 24= 2*2*2*2=16
3. (-5)3=5*5*5=-125
¿Qué pasa si el exponente es 1 o 0?
Si el exponente es 1, entonces tienes el número solo (por ejemplo 91 = 9)
Si el exponente es 0, la respuesta es 1 (por ejemplo 90 = 1)
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RADICALES
Radical
Radical (de "raíz", etimológicamente proviene del latín radix -"raíz"-; o de
"base", que afecta a la esencia o a los fundamentos, a lo más profundo) puede
referirse a: Raíz origen del nombre.
El signo √¯ (llamado radical) es una variante de la letra latina r (escrita en cursiva),
primera de la palabra latina radix, que significa "raíz".
En otros tiempos (en el siglo XVI), el signo de raíz, no era la rminúscula cursiva,
sino la mayúscula, la R, y junto a ella se escribía la primera letra de las palabras
latinas quedratus, laq, o la primera de cubus, la c, señalando con ello que la raíz a
extraer era cuadrada o cúbica.
La radicación es la operación inversa a la potenciación y se define así:
=b
Es decir
= 2 porque 23 = 8.
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EXPRESIONES ALGEBRAICAS Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de
operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se
denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten
traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual.
Ejemplo: Expresión algebraica
Expresa el perímetro y el área de un terreno rectangular.
Solución: Si suponemos que mide metros de largo e metros de ancho, tenemos que:
Perimetro
Area
Tipos de expresiones algebraicas
Hay distintos tipos de expresiones algebraicas.
Dependiendo del número de sumandos, tenemos: monomios (1 sumando)
y polinomios (varios sumandos).
Algunos polinomios tienen nombre propio: binomio (2 sumandos), trinomio (3
sumandos).
Dos expresiones algebraicas separadas por un signo se llama ecuación.
Un caso particular de ecuación es la identidad, en la que los dos lados de la
igualdad son equivalentes.
Valor numérico de una expresión algebraica
Si en una expresión algebraica se sustituyen las letras por números y se
realiza la operación indicada se obtiene un número que es el valor
numérico de la expresión algebraica para los valores de las letras dados.
¿Qué es el Algebra?
El Álgebra (del árabe: بر ج al-ŷarabi 'reintegración, recomposición') es la rama de ال
la matemática que estudia la combinación de elementos de estructuras abstractas
acorde a ciertas reglas. Originalmente esos elementos podían ser interpretados
como números o cantidades, por lo que el álgebra en cierto modo originalmente
fue una generalización y extensión de la aritmética. En el álgebra moderna existen
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áreas del álgebra que en modo alguno pueden considerarse extensiones de la
aritmética (álgebra abstracta, álgebra homológica, álgebra exterior, etc.)
FUNCIONES
¿Qué es una Función?
En matemáticas, una función, aplicación f es una relación entre un conjunto dado
X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el condómino) de forma que a cada
elemento X del dominio le corresponde un único elemento del condominio f(x). Se
denota por:
F: X Y
Comúnmente, el termino función se utiliza cuando el condominio son valores
numéricos, reales o complejos. Entonces se habla de función real o función
compleja mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las
denomina aplicaciones.
Función Compuesta
En álgebra abstracta, una función compuesta es una función formada por la
composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica
sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo
anterior se le aplica finalmente la función restante.
Usando la notación matemática, la función compuesta g ∘ f: X → Z expresa que (g
∘ f)(x) = g(f(x)) para todo x perteneciente X.
A g ∘ f se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra no siguiendo el
orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.
Funciones uno a Uno
En álgebra abstracta, una función f \colon X \to Y \, es inyectiva si a elementos
distintos del conjunto X\, (dominio) les corresponden elementos distintos en el
conjunto Y\, (imagen) de f\,. Es decir, cada elemento del conjunto Y tiene a lo
sumo una antiimagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede
haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.
Así, por ejemplo, la función de números reales f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, dada
por f(x)=x^2\, no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y
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f(-2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una
nueva función g:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+ entonces sí se obtiene una función
inyectiva.
Polinomios y Funciones Reales
En matemáticas, un polinomio (del griego, πολυς polys 'muchos' y νόμος nómos
'regla, prescripción, distribución', a través del latín polynomius)1 2 3 es una
expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (no
determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes),
utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación,
así como también exponentes enteros positivos. En términos más precisos, es una
relación n-aria de monomios, o una sucesión de sumas y restas de potencias
enteras de una o de varias variables indeterminadas.
Es frecuente el término polinómico (ocasionalmente también el anglicismo
polinomial), como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar
como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: tiempo polinómico, etc.
Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la
práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier
función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen
aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y
el álgebra hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales.
En álgebra abstracta, los polinomios son utilizados para construir los anillos de
polinomios, un concepto central en teoría de números algebraicos y geometría
algebraica.
Función real
Una relación entre dos conjuntos X e Y es un conjunto de pares ordenados, cada
uno de la forma (x,y) donde x es un elemento de X e y, uno de Y.
Es posible que la idea central en matemáticas sea el concepto de función. Al
parecer, la palabra función fue introducida por René Descartes en 1637. Para él
una función significaba tan sólo cualquier potencia entera positiva de una variable
x. Gottfried Wilhelm von Leibniz, quien siempre enfatizó el lado geométrico de las
matemáticas, utilizó la palabra función para denotar cualquier cantidad asociada
con una curva, tal como las coordenadas de un punto sobre la curva. Leonhard
Euler, identificaba cualquier ecuación o fórmula que contuviera variables y
constantes con la palabra función; esta idea es similar a la utilizada ahora con
frecuencia en los cursos que preceden al de cálculo. Posteriormente, el uso de
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funciones en el estudio de las ecuaciones sobre el flujo de calor condujo a una
definición muy amplia, debida a Lejeune Dirichlet, la cual describe a una función
como una regla de correspondencia entre dos conjuntos.
Funciones Polimoniales
Que es una función polinomial?
Las funciones polinomiales están entre las expresiones más sencillas del álgebra.
Es fácil evaluarlas, solo requieren sumas multiplicaciones repetidas. Debido a
esto, con frecuencia se usan para aproximar otras funciones más complicadas.
Una función polinomial es una función cuya regla está dada por un polinomio en
una variable. El grado de una función polinomial es el grado del polinomio en una
variable, es decir, la potencia más alta que aparece de x.
Función lineal
Una función lineal es una función polinomial de grado 1.
Función cuadrática
Si el grado de una función polinomial es 2, se llama Función Cuadrática.
Función racional
Una función que puede expresarse como el cociente de dos funciones
polinomiales.
Función algebraica
Una función algebraica es aquella que está formada por un número finito de
operaciones algebraicas sobre la función identidad y la función constante.
Teorema de valor intermedio
Si f es una función polinomial y f(a)≠f(b) para a<b, entonces f toma todo valor entre
f(a) y f(b) en el intervalor [a,b].
Raíces real y distinta
Un polinomio cuyas raíces son reales y distintas es el caso más simple que se nos
puede presentar. Volvemos a estudiar el polinomio , cuyas raíces como se puede
comprobar fácilmente por simple sustitución son 3, 2, y -1. Creamos la tabla de las
sucesivas potencias
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m (2m) 0 1 2 3
0 (1) 1.0 -4.0 1.0 6.0
1 (2) 1.0 14.0 49.0 36.0
2 (4) 1.0 98.0 1393.0 1296.0
3 (8) 1.0 6818.0 1.6864 106 1.6796 106
4 (16) 1.0 4.3112 107 2.8212 1012 2.8211 1012
5 (32) 1.0 1.8553 1015 7.9587 1024 7.9587 1024
6 (64) 1.0 3.4337 1030 6.334 1049 6.334 1049
7 (128) 1.0 1.179 1061 4.012 1099 4.012 1099
8 (256) 1.0 1.3901 10122 1.6096 10199 1.6096 10199
9 (512) 1.0 1.9323 10244 2.5908 10398 2.5908 10398
Los módulos de las raíces reales, se calculan mediante la fórmula. Para hallar las raíces con gran exactitud tomaremos los coeficientes que figuran en la última fila, resultado de elevar el polinomio a la potencia 512.
Raíces reales dobles
En el apartado anterior, hemos supuesto que las raíces de un polinomio son reales y distintas, por lo que la aplicación del método de Graeffe es inmediata. Supongamos el polinomio que tiene una raíz doble 2, y una simple 3. Examinemos el comportamiento de sus coeficientes en el proceso de elevación al cuadrado en la tabla. Observaremos que el segundo coeficiente a1 se comporta como hemos descrito en el apartado anterior, cada coeficiente en una iteración es aproximadamente el cuadrado de la iteración precedente. Sin embargo, este comportamiento no se produce en el tercer coeficiente a2, ya que se obtiene la mitad del valor esperado. Por ejemplo, el valor de a2 en la séptima iteración es 8.024 1099 y su cuadrado es 6.4384 10199, sin embargo, se obtiene la mitad 3.2192 10199. Lo mismo ocurre en octava iteración el cuadrado de 3.2192 10199 es 1.0363 10399, sin embargo, obtenemos la mitad de este valor 5.1817 10398. Al tercer coeficiente, a2 (índice 2), se denomina excepcional, y señala la presencia de raíces reales dobles.
Una raíz compleja y su conjugada
Los polinomios pueden tener también raíces complejas, y sus respectivas conjugadas. El caso más simple es el del un polinomio x2+1 que tiene una raíz
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compleja y su correspondiente conjugada. Sea el polinomio que tiene las siguientes raíces exactas: 3, 2-3i, 2+3i
Examinando en la tabla los valores y los signos de los coeficientes en las sucesivas iteraciones, vemos que el segundo coeficiente a1 cambia de signo en la tercera iteración, además el valor del coeficiente en una iteración no es aproximadamente igual al cuadrado de su valor en la siguiente iteración, sino la mitad de dicho valor, un comportamiento similar al de las raíces dobles. Al coeficiente a1 le denominaremos coeficiente excepcional.
Números Complejos
Los números complejos son la herramienta de trabajo del álgebra, análisis, así
como de ramas de las matemáticas puras y aplicadas como variable compleja,
ecuaciones diferenciales, aerodinámica y electromagnetismo entre otras de gran
importancia. Además los números complejos se utilizan por doquier en
matemáticas, en muchos campos de la física (notoriamente en la mecánica
cuántica) y en ingeniería, especialmente en la electrónica y las
telecomunicaciones, por su utilidad para representar las ondas electromagnéticas
y la corriente eléctrica.
En matemáticas, estos números constituyen un cuerpo y, en general, se
consideran como puntos del plano: el plano complejo. Una propiedad importante
que caracteriza a los números complejos es el teorema fundamental del álgebra —
pero que se demuestra aún en un curso de variable compleja —, que afirma que
cualquier ecuación algebraica de grado n tiene exactamente n soluciones
complejas. Contienen a los números reales y los imaginarios puros y constituyen
una de las construcciones teóricas más importantes de la inteligencia humana. Los
análogos del cálculo diferencial e integral con números complejos reciben el
nombre de variable compleja o análisis complejo.
El primero en usar los números complejos fue el matemático italiano Girolamo
Cardano (1501–1576) quien los usó en la fórmula para resolver las ecuaciones
cúbicas. El término “número complejo” fue introducido por el gran matemático
alemán Carl Friedrich Gauss (1777–1855) cuyo trabajo fue de importancia básica
en álgebra, teoría de los números, ecuaciones diferenciales, geometría diferencial,
geometría no euclídea, análisis complejo, análisis numérico y mecánica teórica.
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Potencias
Potencia (Aristóteles), concepto filosófico opuesto al de acto (Aristóteles). Es la
propiedad que tienen los seres (desde el punto de vista metafísico) de recibir los
accidentes que causan la transformación de la sustancia.
Potencia: cantidad de trabajo realizado por unidad de tiempo.
Potencia eléctrica: cantidad de energía eléctrica o trabajo que se transporta o que
se consume en una determinada unidad de tiempo.
Potencia (en óptica): inverso de la distancia focal de una lente o espejo.
Potencia acústica: la cantidad de energía por unidad de tiempo emitida por una
fuente determinada en forma de ondas sonoras.
Etapa de potencia: un amplificador de audio.
Potencia de Planck: unidad de medida de potencia.
Raíces Complejas
Para hallar las raíces de un número complejo se aplica la fórmula de Moivre,
teniendo en cuenta que para que dos complejos coincidan han de tener el mismo
módulo y la diferencia de sus argumentos ha de ser un múltiplo entero de 360º.
Sea Ra un número complejo y considérese otro complejo R'a', tal q
Ra = (R' a' )n = ((R' )n )n a'
Esto equivale a que = R, o lo que es lo mismo, que, y que
Aunque esto parece aportar una infinidad de soluciones, nótese que si a k se le
suma un múltiplo de n, al dividir el nuevo argumento, éste aparece incrementado
en un número entero de circunferencias. Por tanto, basta con dar a k los valores 1,
2, 3 … n - 1, lo que da un total de n - 1 raíces, que junto a k = 0 da un total de n
raíces.
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Ecuación
Una ecuación es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas,
denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y
desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones matemáticas. Los
valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; y
también variables cuya magnitud pueda ser establecida a través de las restantes
ecuaciones de un sistema, o bien mediante otros procesos. Las incógnitas,
representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende
hallar. Por ejemplo, en la ecuación:
La variable representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números
1 y 9 son constantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será
cierta o falsa dependiendo de los valores numéricos que tomen las incógnitas; se
puede afirmar entonces que una ecuación es una igualdad condicional, en la que
sólo ciertos valores de las variables (incógnitas) la hacen cierta.
Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables
que la satisfaga. Para el caso dado, la solución es:
Resolver una ecuación es encontrar su dominio solución, que es el conjunto de
valores de las incógnitas para los cuales la igualdad se cumple. Por lo general,
los problemas matemáticos pueden expresarse en forma de una o más
ecuaciones; sin embargo no todas las ecuaciones tienen solución, ya que es
posible que no exista ningún valor de la incógnita que haga cierta una igualdad
dada. En ese caso, el conjunto de soluciones de la ecuación será vacío y se dice
que la ecuación no es resoluble. De igual modo, puede tener un único valor, o
varios, o incluso infinitos valores, siendo cada uno de ellos una
solución particular de la ecuación. Si cualquier valor de la incógnita hace cumplir la
igualdad (esto es, no existe ningún valor para el cual no se cumpla) la ecuación es
en realidad una identidad
Uso de ecuaciones
La ciencia utiliza ecuaciones para enunciar de forma precisa leyes; estas
ecuaciones expresan relaciones entre variables. Así, en física, la ecuación de la
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190
dinámica de Newton relaciona las variables fuerza F, aceleración a y masa m: F =
ma. Los valores que son solución de la ecuación anterior cumplen la primera ley
de la mecánica de Newton. Por ejemplo, si se considera una masa m = 1 kg y una
aceleración a = 1 m/s, la única solución de la ecuación es F = 1 kg·m/s = 1
Newton, que es el único valor para la fuerza permitida por la ley.
Ejemplos:
Ecuación de estado
Ecuaciones de movimiento
Ecuación constitutiva
El campo de aplicación de las ecuaciones es inmenso, y por ello hay una gran
cantidad de investigadores dedicados a su estudio.
Funciones Exponenciales
La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e
es el número de Euler, aproximadamente 2.71828...; esta función tiene por
dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad
de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como
f(x)=ex o exp(x), donde he es la base de los logaritmos naturales y corresponde a
la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo
exponencial en base a si tiene la forma
E(x)=K \cdot a^x
Siendo a, K ∈ R números reales, con a > 0. Así pues, se obtiene un abanico de
exponenciales, todas ellas similares, que dependen de la base a que utilicen.
Funciones Logarítmicas:
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base
a.
Las gráfica de la función logarítmica es simétrica (respecto a la bisectriz del 1er y
3er cuadrante) de la gráfica de la función exponencial, ya que son funciones
reciprocas o inversas entre sí.
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QUE ES GRAFICA DE FUNCIONES
Es la representación gráfica de la correspondencia entre los elementos del conjunto dominio y los del conjunto imagen. Es el conjunto formado por todos los pares ordenados (x, f(x)) de la función f; es decir, como un subconjunto del producto cartesiano X×Y.
Función Compuesta
En álgebra abstracta, una función compuesta es una función formada por la
composición o aplicación sucesiva de otras dos funciones. Para ello, se aplica
sobre el argumento la función más próxima al mismo, y al resultado del cálculo
anterior se le aplica finalmente la función restante.
Usando la notación matemática, la función compuesta g ∘ f: X → Z expresa que (g
∘ f)(x) = g(f(x)) para todo x perteneciente X.
A g ∘ f se le llama composición de f y g. Nótese que se nombra no siguiendo el
orden de escritura, sino el orden en que se aplican las funciones a su argumento.
Funciones uno a Uno
En álgebra abstracta, una función f \colon X \to Y \, es inyectiva si a elementos
distintos del conjunto X\, (dominio) les corresponden elementos distintos en el
conjunto Y\, (imagen) de f\,. Es decir, cada elemento del conjunto Y tiene a lo
sumo una antiimagen en X, o, lo que es lo mismo, en el conjunto X no puede
haber dos o más elementos que tengan la misma imagen.
Así, por ejemplo, la función de números reales f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}, dada
por f(x)=x^2\, no es inyectiva, puesto que el valor 4 puede obtenerse como f(2) y
f(-2). Pero si el dominio se restringe a los números positivos, obteniendo así una
nueva función g:\mathbb{R}^+\to\mathbb{R}^+ entonces sí se obtiene una función
inyectiva.
Polinomios y Funciones Reales
En matemáticas, un polinomio (del griego, πολυς polys 'muchos' y νόμος nómos
'regla, prescripción, distribución', a través del latín polynomius)1 2 3 es una
expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (no
determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes),
utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación,
así como también exponentes enteros positivos. En términos más precisos, es una
relación n-aria de monomios, o una sucesión de sumas y restas de potencias
enteras de una o de varias variables indeterminadas.
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Es frecuente el término polinómico (ocasionalmente también el anglicismo
polinomial), como adjetivo, para designar cantidades que se pueden expresar
como polinomios de algún parámetro, como por ejemplo: tiempo polinómico, etc.
Los polinomios son objetos muy utilizados en matemáticas y en ciencia. En la
práctica, son utilizados en cálculo y análisis matemático para aproximar cualquier
función derivable; las ecuaciones polinómicas y las funciones polinómicas tienen
aplicaciones en una gran variedad de problemas, desde la matemática elemental y
el álgebra hasta áreas como la física, química, economía y las ciencias sociales.
En álgebra abstracta, los polinomios son utilizados para construir los anillos de
polinomios, un concepto central en teoría de números algebraicos y geometría
algebraica.
Función: es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito.
PARA QUÉ SIRVEN? Las gráficas de funciones las podemos utilizar en la vida diaria. En todo momento que actuamos hacemos uso de ellas.
En qué situación de la vida utilizamos las gráficas? Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso, la gráfica de un recibo de luz.
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SISTEMAS DE COORDENADAS CARTESIANAS
Es un sistema que utiliza uno o más números (coordenadas) para determinar
unívocamente la posición de un punto o de otro objeto geométrico.1 El orden en
que se escriben las coordenadas es significativo y a veces se las identifica por su
posición en una tupla ordenada; también se las puede representar con letras,
como por ejemplo «la coordenada-x». El estudio de los sistemas de coordenadas
es objeto de la geometría analítica, permite formular los problemas geométricos de
forma "numérica".2
HISTORIA DEL PLANO CARTESIANO:
Se denominan coordenadas cartesianas en honor a René Descartes (1596-1650), el célebre filósofo y matemático francés que quiso fundamentar su pensamiento filosófico en el método de tomar un «punto de partida» evidente sobre el que edificaría todo el conocimiento.
Como creador de la geometría analítica, Descartes también comenzó tomando un «punto de partida» en esta disciplina, el sistema de referencia cartesiano, para poder representar la geometría plana, que usa sólo dos rectas perpendiculares entre sí que se cortan en un punto denominado «origen de coordenadas».
Sistemas: Los sistemas formales también han encontrado aplicación dentro de la informática, la teoría de la información, y la estadística, para proporcionar una definición rigurosa del concepto de demostración.
Ecuaciones y coordenadas: Descartes consiguió establecer una sólida relación entre la geometría y el álgebra (las ecuaciones). A la recta, a la parábola, etc..., se le asigna una ecuación que relaciona el eje y con el eje x, de tal modo que se pueden representar gráficamente en el diagrama.
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ECUACIONES DE LA RECTA
Las rectas se dividen en segmentos de igual longitud y a cada marca del segmento se le asigna un número entero. En la recta horizontal (llamada "eje de abscisas" o "eje de las x"), al punto de corte con la otra recta se le asigna el 0 y hacia la derecha el 1, 2,...; y hacia la izquierda el -1, -2,... y así sucesivamente en ambas direcciones. De forma análoga se procede con la recta vertical (llamada "eje de ordenadas" o "eje de las y"), al punto de corte se le asigne el 0 y hacia arriba el 1,2,....; y hacia abajo el -1,-2,... etc.
Las líneas rectas pueden ser expresadas mediante una ecuación del tipo y = m x + b, donde x, y son variables en un plano cartesiano. En dicha expresión m es denominada la "pendiente de la recta" y está relacionada con la inclinación que toma la recta respecto a un par de ejes que definen el plano. Mientras que b es el denominado "término independiente" u "ordenada al origen" y es el valor del punto en el cual la recta corta al eje vertical en el plano.
Notación funcional
En matemáticas, una función, aplicación f es una relación entre un conjunto dado
X (el dominio) y otro conjunto de elementos Y (el codominio) de forma que a cada
elemento x del dominio le corresponde un único elemento del codominio f(x). Se
denota por:
Comúnmente, el término función se utiliza cuando el codominio son valores
numéricos, reales o complejos. Entonces se habla de función real o función
compleja mientras que a las funciones entre conjuntos cualesquiera se las
denomina aplicaciones.
En muchos campos aplicados, inclusive a veces en
textos de matemáticas, se encuentra la expresión
"la función f(x)". De acuerdo a nuestra definición
actual, lo anterior no hace sentido, ya que f(x) es
una notación para el elemento del codominio. Otras
veces, nos encontramos con algo así como "la
función f(x) = x^2 - 3x + 7". Aunque aquí hay una
posible asignación, no se ha especificado ni el
dominio ni el codominio, por lo que en rigor la
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función f no está bien definida. En ciertos contextos, por ejemplo de funciones
numéricas (dominio y codominio son subconjuntos de los Reales.
Las funciones se pueden representar gráficamente en el plano cartesiano a través
de un graficador el cual se constituye en una herramienta muy poderosa para
simplificar los procesos.
FUNCIÓN CON OPERACIONES
Función suma resta
Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función suma está dada por ( f + g ) ( x ) = f (x) + g (x) Para obtener la función f+g, resultado de sumar dos funciones, f y g, sumamos, punto a punto, los valores de sus ordenadas. Es decir: h(x)=(f+g)(x)=f(x)+g(x)
Función Diferencia
Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función diferencia está dada por
( f - g ) ( x ) = f (x) - g (x)
Función Producto
Si f(x) y g(x) son dos funciones, entonces la función producto está dada
( f g ) ( x ) = f (x) g (x)
FUNCIONES ÁLGEBRA DE FUNCIONES
El desarrollo de las funciones nos lleva a generar una serie de reglas que permiten tomar decisiones acerca de los dominios y codominios, entre otros, esta combinación de operaciones algebraicas de las funciones:
Dominios: En matemáticas, el dominio (conjunto de
definición o conjunto de partida) de una función es el conjunto de existencia de ella misma, es decir, los valores para los cuales la función está definida. Es el conjunto de todos los objetos que puede transformar, se
denota o bien .
Ilustración que muestra f, una función de dominio X a codominio Y. El óvalo pequeño dentro de Y es la imagen de f, a veces llamado rango de f.
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Codominio: En matemáticas, el codominio o contradominio (también denominado
conjunto final, recorrido o conjunto de llegada) de una función es el
conjunto que participa en esa función, y se denota o o .
Sea la imagen de una función , entonces
Imagen de una función f de dominio X y codominio Y. El óvalo pequeño dentro del codominio es el rang
Sean f y g dos funciones, definimos las siguientes operaciones:
Suma: (f + g)(x) = f(x) + g(x)
Diferencia: (f - g)(x) = f(x) - g(x)
Producto: (fg)(x) = f(x)g(x)
Cociente: (f/g)(x) = f(x)/g(x)
Los resultados de las operaciones entre funciones f,g nos conduce a analizar el dominio de las funciones, así para f + g, f - g y fg el dominio es la intersección del dominio de f con el dominio de g. En el caso del cociente entre funciones el dominio de f / g es la intersección del dominio de f con el dominio de g, para los que g(x) = 0.
SISTEMA DE ECUACIONES Y DESIGUALDADES
SISTEMA DE ECUACIONES En las matemáticas, un sistema de ecuaciones es un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que conforman un problema matemático que consiste en encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen dichas ecuaciones.
En un sistema de ecuaciones algebraicas las incógnitas son valores numéricos (o más generalmente elementos de un cuerpo sobre el que se plantean las ecuaciones), mientras que en una ecuación diferencial las incógnitas son funciones o distribuciones de un cierto conjunto definido de antemano. Una solución de dicho sistema es por tanto, un valor o una función que substituida en las ecuaciones del sistema hace que éstas se cumplan automáticamente sin que se llegue a una contradicción. En otras palabras el valor que reemplazamos en las incógnitas debe hacer cumplir la igualdad del sistema.
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Las incógnitas se suelen representar utilizando las últimas letras del alfabeto latino, o si son demasiadas, con subíndices.
DESIGUALDADES: Dos números desiguales son iguales. Empezaremos con una igualdad matemática con la cual afirmamos que, dado un número entero a mayor que la unidad: a = b + c Este número a podría ser un número como 7, el número b podría ser un número como 3 y el número c podría ser un número como 4.
SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES.
Se llama sistema lineal si las ecuaciones que conforman el sistema son funciones afines. A diferencia del caso general, la solución de los sistemas de ecuaciones lineales son fáciles de encontrar cuando los coeficientes de las ecuaciones son números reales o complejos. También existen medios generales de resolución cuando los coeficientes pertenecen a un anillo, aunque la búsqueda de las soluciones en ese caso puede ser un poco más complicada.
Una característica importante de los sistemas lineales de ecuaciones es que admiten la llamada forma matricial. Esta forma permite representar el sistema usando tres matrices, de la siguiente forma:
La propiedad de linealidad está asociada al concepto de espacio vectorial, conjuntos en los que se definen
dos operaciones, una interna (suma de vectores ) y otra externa (multiplicación por un escalar λx, en la que λ pertenece a un conjunto externo), de ahí que la propiedad de linealidad se exprese referida a estas dos operaciones.
Para comprobar la linealidad de una función no es necesario realizar la comprobación de las propiedades de homogeneidad y aditividad por separado,
con mostrar que la linealidad queda demostrada.
Ecuación: es una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas,
denominadas miembros, en las que aparecen valores conocidos o datos, y
desconocidos o incógnitas, relacionados mediante operaciones
matemáticas.nota 1 Los valores conocidos pueden ser números,
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coeficientes o constantes; y también variables cuya magnitud pueda ser
establecida a través de las restantes ecuaciones de un sistema, o bien
mediante otros procesos.nota 2 [cita requerida] Las incógnitas,
representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se
pretende hallar.
Lineal: La palabra lineal viene de la palabra latina linearis, que significa
"creado por líneas".
ALGEBRA DE MATRICES
Algebra: es la rama de la matemática que estudia la combinación de
elementos de estructuras abstractas acorde a ciertas reglas. Originalmente
esos elementos podían ser interpretados como números o cantidades, por
lo que el álgebra en cierto modo originalmente fue una generalización y
extensión de la aritmética.2 3 En el álgebra moderna existen áreas del
álgebra que en modo alguno pueden considerarse extensiones de la
aritmética
Una matriz es un arreglo bidimensional de números, y en su mayor
generalidad de elementos de un anillo. Las matrices se usan generalmente
para describir sistemas de ecuaciones lineales, sistemas de ecuaciones
diferenciales o representar una aplicación lineal (dada una base). Las
matrices se describen en el campo de la teoría de matrices.
Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.
Pueden sumarse, multiplicarse y descomponerse de varias formas, lo que también las hace un concepto clave en el campo del álgebra lineal.
La matriz traspuesta, AT, de la matriz A es la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Sea A una matiz m×n y B = AT, entonces B es la matriz n×m con bij = aji
0 1 2
T
1/3 -1 10
=
0 1/3
1 -1
2 10
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Suma, Resta Sea A y B matrices con las mismas dimensiones, entonces sus suma, A+B, se obtiene sumando entradas correspondientes. En símbolos, (A+B)ij = Aij + Bij. En forma parecida, sus resta, A - B, obtiene restando entradas correspondientes. En símbolos, (A-B)ij = Aij
0 1
1/3 -1
+ 2
1 -1
2/3 -2
=
2 -1
5/3 -5
Multiplicación escalar Sea A una matriz y c un número (llamado un escalar en este contexto), definimos el múltiple escalar, cA, como la matriz que se obtiene multiplicando cada entrada de A por c. En símbolos, (cA)ij = c(Aij).
0 1
1/3 -1
1 -1
2/3 -2
=
2/3 -2
-1/3 5/3
Una matriz cero es una matriz O en la cual todas las entradas son cero.
Las operaciones de adición, multiplicación escalar, multiplicación entre matrices se cumplen las siguientes reglas:
A+(B+C) = (A+B)+C Regla asociativa de adición
A+B = B+A Regla conmutativa de adición
A+O = O+A = A Regla unidad de adición
A+( - A) = O = ( - A)+A Regla inversa de adición
c(A+B) = cA+cB Regla distributiva
(c+d)A = cA+dA Regla distributiva
1A = A Unidad escalar
0A = O Cero escalar
A(BC) = (AB)C Regla asociativa de multiplicación
AI = IA = A Regla unidad de multiplicación
A(B+C) = AB + AC Regla distributiva
(A+B)C = AC + BC Regla distributiva
OA = AO = O Multiplicación por matriz cero
(A+B)T = AT + BT Trasposición de una suma
(cA)T = c(AT) Trasposición de un producto escalar
(AB)T = BTAT Trasposición de un producto matriz
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CONCLUSIONES
Las matemáticas, en nuestra vida es algo indispensable para realizar
compras, pagos, ventas; ya todo lo referido a negocio. Es necesario que
todo ser humano no tenga la capacidad de manejar ciertos términos como:
¿qué son números reales,naturales, racionales. También que es suma,
resta, multiplicación, división, raíz cuadrada, entre otros.
El sistema de ecuaciones y desigualdades poseen similitudes ya que
ambos comparan dos operaciones que tengan incógnita.
Una función es una función entre conjunto de objetos donde cada elemento
del primer conjunto le corresponde un único elemento del segundo.
El sistema del plano cartesiano creado por el Filósofo René Descartes, el célebre filósofo y matemático francés quiso fundamentar su pensamiento filosófico en el método de tomar un «punto de partida» evidente sobre el que edificaría todo el conocimiento.
Una característica importante de los sistemas lineales de ecuaciones es
que admiten la llamada forma matricial.
![Matematica aplicada a la computacion nuevo[1][1]](https://static.fdocuments.ec/doc/165x107/55868adfd8b42a88308b474d/matematica-aplicada-a-la-computacion-nuevo11.jpg)
