Proyecto Matematica Aplicada 4

7/17/2019 Proyecto Matematica Aplicada 4

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OBJETIVO

Llevar a cabo una análisis de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinariasplanteadas para la resolución de un problema de cristalización de nitrato depotasio dentro de un laboratorio de sicoquímica, mediante la aproximaciónde datos usando el método de Runge-utta de cuarto orden para sistemas deecuaciones, se comparan los resultados obtenidos con el modelo matemático

traba!ado con el algoritmo "#$ de la página del doctor %urden#

MARCO TEORICO



Teorema de Picard-Lindelöf &l teorema de 'icard-Lindel(f es un resultado matemático de gran importancia dentro delestudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias )&*+s# &stablece ba!o qué condicionespuede asegurarse la existencia unicidad de solución de una &*+ dado un problema de.auc/ )problema de valor inicial#

Teorema

&l teorema debe su nombre al matemático francés ./arles 0mile 'icard al topólogo nés&rnst Leonard Lindel(f, éste 1ltimo enunció la teoría de 'icard tras su muerte#

Enunciado general

2ea f ( t , x ):Ω⊆ R x Rn

→ Rn

donde Ω es abierto, una función continua localmente

Lipsc/itz respecto de x )interprétese f ( t , x ) como la forma estándar de una &*+ n-

dimensional de primer orden# &ntonces, dado (t 0

, x0 )∈Ω , podemos encontrar un

intervalo cerrado I α =[ t 0−α , t

0+α ]⊂ R , α ∈ R donde existe una 1nica solución del

problema de .auc/3

Que cumple que los pares (t , x (t ) )∈Ω ,⩝t ∈ I α .”

De hecho, éste α puede ser encontrado de manera explícita, en la demostración se dan detalles de ello.

Un enunciado más restrictivo

El resultado anterior exige los requisitos mínimos que debe cumplir una función si queremos aplicar el

teorema. !adiendo m"s condiciones al enunciado original, podemos dar este otro m"s sencillo# $%ea

f ( t , x ):Ω⊆ R x Rn

→ Rn

una función &ipschit'. Entonces, dados (t 0, x0 )∈ [ a , b ] x Rn

$ existe una

(nica solución x (t ) del problema de )alor inicial.

Definida ⩝t ∈ [ a , b ] .

Observación

&s importante observar que el teorema de 'icard sólo nos garantiza la existencia unicidad local de la solución de una &*+# &s decir, más allá del intervalo proporcionadopor el teorema )dado que su demostración es constructiva no podemos decir nada, en



principio, del comportamiento de la solución del problema de valor inicial# &s posiblecomplementar el teorema se4alando que existe un intervalo abierto, que llamaremosintervalo maximal en el cual puede garantizarse que la solución existe es 1nica5 fuera deeste intervalo, el teorema de 'icard no puede aplicarse#

Demosraci!n

2ea C a ,b= ´ I a(t

0) x ´Bb( x0

) el cilindro compacto donde f está denida, esto es

t ∈ ´

I a (t 0 )=[ t 0−α , t 0+α ] ´Bb( x0

)=[ x0−b , x

0+b ] # 2ea M =‖f ‖¿ , és decir, el valor de

máxima pendiente en módulo# 6 nalmente sea L la constante de Lipsc/titz de f

respecto la segunda variable#

*enimos el siguiente operador entre funciones continuas, el operador de 'icard, comosigue3

denido como37amos a imponer que esté bien denido, es decir, que su imagen sea una función que

tome valores en B b( x0) , es decir, que la norma de sea menor que b #

&l 1ltimo paso esimposición, por lo que deberá ser que #

7eamos a/ora que el operador de 'icard es contractivo ba!o ciertas /ipótesis sobre 8 quemás adelante podrán ser omitidas#

*adas dos funciones queremos3

'ero como f es Lipsc/itz respecto la segunda variable tenemos que3

&sto es contractivo si o equivalentemente para tener igualdad si

'or lo tanto como el operador de 'icard es un operador entre espacios de %anac/ )enparticular espacios métricos inducidos por la norma contractivo, por el teorema delpunto !o de %anac/, existe una 1nica función tal que es decir,



solución del problema de valor inicial denida en I α donde 8 debe satisfacer las

condiciones dadas, es decir,

M"odos de Runge #ua de Cuaro Orden9n procedimiento de Runge-utta de .uarto orden cosiste en determinar parámetros demodo que la fórmula

):*onde

);.oncuerda con un polinomio de <alor de grado cuatro# &sto da como resultado un sistemade :: ecuaciones con := incógnitas# &l con!unto de valores usado con más frecuencia paralos parámetros produce el siguiente resultado3

)=>ientras que las otras fórmulas de cuarto orden se deducen con facilidad, el agoradoresumido es mu usado reconocido como una invaluable /erramienta de cálculo, sedenomina el método de Runge-utta de cuarto orden o método clásico de Runge-utta# 2eaconse!a tener cuidado con las formulas a que ? ; depende de ?:, ?= depende de ?; ?@

depende de ?=#

M"odos de Runge #ua de Cuaro Orden $ara %isemas

de Orden %u$erior'ara un sistema de la forma

)@2e parece a



)"*onde3

)A

COME&TARIO

CO&CL'%IO&E%

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