TEMA DE LA UNIDAD DE CLASE:

DOCENTE: ING. JONATHAN SÁNCHEZ P. 1

AREQUIPA – SEPTIEMBRE DEL 2015

SESIÓN: 6 CÓDIGO: SEMESTRE: 3

CÁLCULO Y MATEMÁTICA APLICADA

MANTENIMIENTO DE MAQUINARIA

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Sesión Anterior : Integrales

Superficies de revolución y Momentos de inercia:

Integrales = sumatoria de elementos.

Teorema de PAPPUS - GULDINUS.

Áreas y volúmenes de revolución.

Momento de Inercia.

Teorema de Steiner.

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Momentos de Inercia:

Análisis vibracional en central hidráulica:

5

Componentes hidraulicos:

6

Filtrado externo de aceite:

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¿Te gustaría saber más del uso de la Mecánica de Fluidos usando Ec. diferenciales?

Pues bien… En esta sesión aprenderemos a aplicar ecuaciones diferenciales en la hidráulica básica.

Seleccionar, formular, desarrollar y utilizar herramientas de matemática aplicada para soluciones de problemas de tecnología mecánica.

Formular y utilizar ecuaciones diferenciales para la solución de problemas de resistencia de materiales, termodinámica y mecánica de fluidos entre otros.

Objetivos de la sesión:

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Los estudiantes aplican conocimientos actuales y emergentes de ciencia, matemática y tecnología.

APORTA A:

1. ECUACIONES DIFERENCIALES

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Una ecuación diferencial es aquella en que la incógnita es una función y en la cual aparece una o más de las derivadas de la función.

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CLASIFICACIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES

Las ecuaciones diferenciales se clasifican de las siguientes maneras:

Por TIPO: Ordinarias. Derivadas parciales.

Por ORDEN: El de la derivada de mayor orden.

Por GRADO: El de la potencia de la derivada de mayor orden.

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Derivada de mayor orden.

1. Ecuación ordenada.

Ecuación diferencial ordinaria, de segundo orden y primer grado.

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¿QUÉ TIPOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES SON?

Son ordinarias porque dependen de una sola variable independiente.

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¿QUÉ TIPOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES SON?

Ecuación 5, es de derivadas parciales.

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El estudio de las ecuaciones diferenciales tiene tres metas principales:

¿QUÉ SE BUSCA EN LAS ECUACIONES DIFERENCIALES?

1. Descubrir la ecuación diferencial que describe una situación física específica.

2. Encontrar —exacta o aproximadamente— la solución apropiada de esa ecuación.

3. Interpretar la solución encontrada.

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2. SOLUCIÓN A ECUACIONES DIFERENCIALES

2.1 PROBAR SOLUCIONES (VERIFICAR)

Una función f(x) es solución de una ecuación diferencial si al ser sustituida en la ecuación la satisface.

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Ejemplo 1:

Verificar que la función: f(x) = e2x es solución de la siguiente ecuación diferencial:

Solución:

Reemplazando en la ecuación:

Si cumple la condición, entonces es solución

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Ejemplo 2:

Verificar que la función: g(x) = e3x NO es solución de la siguiente ecuación diferencial:

Solución:

Reemplazando en la ecuación:

NO cumple, entonces NO es solución

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2.2 MÉTODO NUMÉRICO COMÚN:

Ejemplo 3: Identificar y resolver:

Solución:

Ecuación diferencial: Ordinaria. De primer orden. De primer grado.

Identificada

Despejando variables

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Resolver: Integrando

C es una constante

Cambio de variable:

Reemplazando:

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Volviendo a Reemplazar:

Se sabe: 𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒆𝒆𝒂𝒂 = 𝒂𝒂

Si:

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Ejercicio 1: Identificar y resolver:

Ejercicio 2: Identificar y resolver:

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2.3 ECUACIONES DE VARIABLE SEPARADA:

Si por medio de operaciones algebraicas puede expresarse la ecuación diferencial en la forma:

Se separan las variables, quedando:

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2.4 ECUACIONES HOMOGÉNEAS:

Si la ecuación diferencial puede escribirse en la forma:

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2.5 ECUACIONES LINEALES:

Son las ecuaciones de primer grado respecto a la función y presentan la forma:

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3. PRINCIPALES ECUACIONES DIFERENCIALES

3.1 LAPLACE La ecuación de Laplace es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden de tipo elíptico.

Coordenadas cartesianas

Coordenadas cilíndricas

Coordenadas esféricas

Tiene aplicaciones en electrostática y mecánica de fluidos entre otros

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3.2 LAGRANGE Lagrange reformuló la mecánica clásica de Isaac Newton para simplificar fórmulas y facilitar los cálculos.

T es la energía cinética y V la energía potencial y θ es la coordenada generalizada.

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3.3 FOURIER

La serie FOURIER es empleada para analizar funciones periódicas a través de la descomposición de dicha función en una suma infinita de funciones sinusoidales mucho más simples (como combinación de senos y cosenos con frecuencias enteras).

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3.4 MAXWELL Las ecuaciones de Maxwell son un conjunto de cuatro ecuaciones (originalmente 20 ecuaciones) que describen por completo los fenómenos electromagnéticos.

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4. ECUACIONES DIFERENCIALES - APLICACIONES EN MECÁNICA DE FLUIDOS:

4.1 BERNOULLI

El principio de Bernoulli, también denominado ecuación de Bernoulli o Trinomio de Bernoulli, describe el comportamiento de un fluido moviéndose a lo largo de una corriente de agua.

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Presiones estática, dinámica y de estancamiento

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Los efectos de la fricción y los componentes que perturban la estructura aerodinámica del flujo en una sección de éste invalidan la ecuación de Bernoulli.

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Línea de gradiente hidráulico (LGH) y línea de energía (LE)

37 CERO ABSOLUTO

CERO MANOMETRICO

pabsoluta(atm)

pmanometrica(atm)

0

1

2

3

0

1

2A

pres

ion

abs

olut

a

p. a

tmos

feric

ap.

man

omet

rica

0,8 -0,2p.

abs

olut

a

p. a

tmos

feric

a

p. v

acio

B

Presión Absoluta, Manométrica y Atmosférica

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Un tanque grande está abierto a la atmósfera y lleno con agua hasta una altura de 5 m, proveniente desde la toma de salida (Fig. siguiente). Ahora se abre una toma cercana al fondo del tanque y el agua fluye hacia afuera por la salida lisa y redondeada. Determine la velocidad del agua en la salida.

Ejemplo 4:

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Solución: Consideraciones: El tanque está abierto: P1= P2= Patm El tanque es muy grande comparado con la salida: V1=0 Sistema cuasiestacionario: Se aplica Bernoulli

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Un piezómetro y un tubo de Pitot están fijos a tomas en un tubo horizontal de agua, como se muestra en la figura sig., con el fin de medir las presiones estática y de estancamiento (estática+dinámica). Para las alturas indicadas de columnas de agua, determine la velocidad en el centro del tubo.

Ejemplo 5:

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Solución: Consideraciones: Puntos 1 y 2: Misma línea de acción Z1=Z2: punto 2 es estancamiento: V2=0 Sistema cuasiestacionario: Se aplica Bernoulli

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Ejercicio 3: Un tanque presurizado de agua tiene un orificio de 10 cm de diámetro en el fondo, donde el agua se descarga hacia la atmósfera. El nivel del agua está 3 m arriba de la salida. La presión del aire en el tanque, arriba del nivel del agua, es de 300 kPa (presión absoluta) en tanto que la presión atmosférica es de 100 kPa. Desprecie los efectos de la fricción y determine la razón inicial de descarga del agua del tanque.

Respuesta: 0.168 m3/s

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Ejercicio 4: Se tiene agua que fluye por un tubo horizontal a razón de 1 gal/s. El tubo consta de dos secciones con diámetros de 4 in y 2 in, con una sección reductora suave. Se mide la diferencia de presión entre las dos secciones del tubo mediante un manómetro de mercurio. Desprecie los efectos de la fricción y determine la altura diferencial del mercurio entre las dos secciones del tubo.

Respuesta: 0.52 in

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El nivel del agua en un tanque está 20 m arriba del suelo. Se conecta una manguera al fondo del tanque y la boquilla que está en el extremo de dicha manguera se apunta directo hacia arriba. La cubierta del tanque es hermética y la presión manométrica del aire arriba de la superficie del agua es de 2 atm. El sistema está a nivel del mar. Determine la altura máxima hasta la cual podría subir el chorro de agua.

Respuesta: 40.7 m

Ejercicio 5:

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4.2 NAVIER - STOKES

Conjunto de ecuaciones en derivadas parciales no lineales que describen el movimiento de un fluido. Estas ecuaciones gobiernan la atmósfera terrestre, las corrientes oceánicas y el flujo alrededor de vehículos o proyectiles y, en general, cualquier fenómeno en el que se involucren fluidos newtonianos.

Claude-Louis Navier Sir George Gabriel Stokes

MATERIAL COMPLEMENTARIO

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FLUIDOS NEWTONIANOS Y NO NEWTONIANOS

Newtoniano: hay proporcion entre el esfuerzo de corte y la deformación.

No Newtoniano: Arena movediza.

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Tensor de esfuerzo viscoso para un fluido newtoniano incompresible con propiedades constantes:

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Ecuaciones de continuidad y de Navier-Stokes en coordenadas cartesianas

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Considere el campo de velocidad bidimensional incompresible, a saber, Calcule la presión como función de “x” y “y”.

Ejemplo 6: Cálculo del campo de presión en coordenadas cartesianas

Lineas de corriente para el campo de velocidad.

𝑽𝑽 = 𝒖𝒖,𝒗𝒗 = 𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 𝒊𝒊 + −𝒂𝒂𝒂𝒂+ 𝒄𝒄𝒂𝒂 𝒋𝒋

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Solución: Consideraciones: El flujo es estacionario. El fluido es incompresible con propiedades constantes. El flujo es bidimensional en el plano xy. La gravedad no actúa en las direcciones x o y.

Satisface la ecuación de continuidad bidimensional incompresible:

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A continuación, se considera la componente “y” de la ecuación de Navier-Stokes:

De forma similar para “x”:

(a)

(b)

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Se puede verificar que las condiciones cumplen la ecuación de Navier-Stokes, por medio de diferenciación cruzada:

Para calcular P(x, y) se integra la ecuación(con respecto a y)

Integración con respecto a una variable. Se deriva b.

(c)

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Se integra “c”:

Se reemplaza:

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Ejercicio 6:

Considere el campo de velocidad bidimensional incompresible, a saber, Donde a,b y c son constantes. Calcule la presión como función de “x” y “y”.

𝑽𝑽 = 𝒖𝒖,𝒗𝒗 = 𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 𝒊𝒊 + −𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒄𝒄 𝒋𝒋

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Siguiente Sesión: Ecuaciones diferenciales, aplicaciones en termodinámica y vibraciones mecánicas

Aplicaciones en termodinámica

Zill, D. & Cullen, M. (2009). Ecuaciones Diferenciales (7ª.ed.). México D.F.: Cengage Learning.

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Bibliografía:

Purcell, E. & Varberg, D. & Rigdon, S. (2007). Cálculo diferencial e Integral (9ª. ed.). México D.F.: Prentice Hall.

GRACIAS POR SU ATENCIÓN

Cengel, Y. & Cimbala, J. (2006). Mecánica de Fluidos: fundamentos y aplicaciones (1ª. ed.). México D.F.: McGraw Hill.

Bibliografía:

ingedoce66@gmail.com

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