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MATE3012 – Lección 12 Funciones Logarítmicas 1/19/2013 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 19
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MATE3012 – Lección 12
Funciones Logarítmicas
1/19/2013 Prof. José G. Rodríguez Ahumada 1 de 19
Actividades 1.2 • Texto: Capítulo 6 - Sección 6.3 Logaritmos.
• Ejercicios de Práctica: Páginas 246, 247; problemas impares
1 al 60; Use GRAPH par las gráficas de 75 – 81.
• Asignación 1.1: Página 247, problema 44; problemas 63 y 64
resuelva y use GRAPH para imprimir gráficas de las funciones;
Página 248, problemas 83 y 84, resuelva y use GRAPH para
imprimir las graficas de la funciones para los valores de 𝑥 ≥ 0.
Ajuste las escalas para que se despliegue el patrón general de
la gráfica.
• Referencias del Web:
Julio Profe. Net - Ver: Función Logarítmica ; Propiedades de
Logaritmos - Ejercicio 1; Ecuaciones Logarítmicas – Ejercicio
1; Ejercicio 2
Purple Math: Solving Exponential Equations; Solving
Logarithmic Equations.
Paul's Online Math Notes: Solving Exponential Equations;
Solving Logarithmic Equations
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Definición de logaritmos
• Sea a > 0 and a 1. Entonces, el logaritmo
con base a de un número x …
• Ejemplos:
xa
log xayy
100log10
1001022
64log4
64433
81
1log
3
1
81
1
3
14
4
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Observe que 𝑥 es siempre un número positivo
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Ejemplo 1 • Escriba los siguientes enunciados en forma logarítmica:
1.
2.
3.
4.
• Escriba los siguientes enunciados en forma exponencial y
determine el valor de x:
1.
2.
21663
125.0 23
3216log6
3125.0log2
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x100logx
10100
2log4
x2
4x
2x
16x
34373 3343log
7
tex
5.0 xt
e5.0log xt 5.0ln
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Ejemplo 2
• Resuelva:
x32log2
x 2log4
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x232
x22
5
5x
x42
x)2(2
22
1
x222 2
1
x22
1
4
1x
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Cálculo de logaritmos
• La mayoría de calculadoras realizan el cálculo de
logaritmos de base 10 (log x) o de base e (ln x).
log (10.5) ≈ 1.021189299
ln (0.0025) ≈ -5.991464547
• Para calcular logaritmos de otras base usamos la
siguiente igualdad:
Malog log
log
M
a
ln
ln
M
a a
M
b
b
log
log
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𝑙𝑜𝑔563 =log 63
log 5 ≈ 2.5742744344
𝑙𝑜𝑔563 =ln 63
ln 5 ≈ 2.5742744344
05.3log5693.0
0035.0log8 719.2
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• Si a > 1, la función
logarítmo es creciente.
La Función Logarítmo (base > 1)
xxf25
log)(
xxfa
log)(
xxf log)(
En GRAPH entre log(x) para la función con base 10 y use
el formato logb(x, a) para la función con base a.
xxf2
log)(
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• Si 0< a < 1, la función
logarítmo es decreciente.
xxf10/1
log)(
xxf25
1log)(
xxf2/1
log)(
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Características de las funciones con
logarítmos • Dominio = (0,) , Rango = (-, )
• El intercepto en x ocurre en (1,0).
• No hay intercepto en y.
• El eje vertical, x = 0, es un asíntota vertical de su gráfica.
• Es una función uno a uno
a>1
0<a<1
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Función Logaritmo natural
• y = ln x si y sólo si ey = x
En GRAPH entre ln(x)
para la función con base e.
En EXCEL entre LN(x)
para la función logaritmo
con base e.
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xxf ln)(
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Ejemplo 3 • Una companía está ampliando sus instalaciones y la función
costo está dado por: 𝐶 𝑥 = 3.5 + log (2𝑥 + 1) donde x
representa la tasa de producción. Encuentre el costo de
producir: (a) 5 unidades, (b) el costo extra de aumentar la tasa
de producción de 5 a 10 unidades (c) Grafique la función.
• Solución:
a) 𝐶 5 = 3.5 + log (2(5) + 1) = 3.5 + log 11
≈ 4.541392685 ≈ $4.54
b) Como 𝐶 10 = 3.5 + log (2(10) + 1) = 3.5 + log 21
≈ 4.822219295
≈ $4.82
El costo extra fue de $0.28.
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Propiedades de Logaritmos
1. loga1 = 0
2. loga a = 1
3. Si loga(u) = loga(v) si y sólo si u = v
4. loga(uv) = loga u + loga v
5. loga(u/v) = loga u - loga v
6. loga(1/v) = - loga v
7. loga(un) = n loga(u)
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Ejemplo 4
Expande las siguientes expresiones logarítmicas
a)
b)
c)
)9(log3
x
)(log53
2yx
5ln
z
xy
x33
log9log
x3
log2
5
2
3
2loglog yx
yx22
log5log3
5lnln zxy
5/1lnlnln zyx
zyx ln5
1lnln
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Ejemplo 5
• Combine las expresiónes a un solo logarítmo:
)1log(2
1log4 xx
2
1
)1log(log4
xx
2
1
)1(log4
xx
1log4
xx
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)1log(2)1log(3
1log4
2 xxx
23
1
24)1log()1log(log xxx
2
3
1
2
4
)1log(
)1(
log
x
x
x
3
1
2
24
)1(
)1(log
x
xx
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Ecuaciones Exponenciales
• Resuelva:
4 642x
4 42 3x
x 2 3
x 5
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1255 132
x
162 x
313 552
x
3132 x
4x
85 2 x
8log5log 2 x
8log5log)2( x
5log
8log2 x
25log
8logx
29203.3
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Ecuaciones Logarítmicas
• Resuelva:
512 xx
152 xx
)5(log)12(log44
xx
6x
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8ln 2 xe
8ln2 ex
82 x
4x
616log4
x
616log4
x
62 x
2
6x 3
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Ejemplo 6
• Resuelva: 1)1ln(1ln xx
11
1ln
x
x
ex
x
1
1
)1(1 xex
eexx 1
xexe 1
)1(1 exe
xe
e
1
1
1
1
e
ex
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Ejemplo 7
• Aproximadamente, ¿cuánto tiempo tomará una
inversión de $5,000 alcanzar $10,000, si invertimos
esta cantidad en una cuenta que paga interés de 5%
anual compuesto trimestralmente?
• Solución:
• P= 5000, C = 10,000, r = 5% compuesto
trimestralmente. De manera que n = 4
• Según la fórmula de valor futuro para interés
compuesto:
𝐶 = 𝑃 1 +𝑟
𝑛
𝑛𝑡
10,000 = 5,000 1 +.05
4
4𝑡
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𝑟
𝑛= 𝑖 𝑡𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑒𝑟𝑖ó𝑑𝑖𝑐𝑎
𝑛𝑡 = 𝑁 Número total
de periodos
Ejemplo 7 …
10,000 = 5,000 1 + 0.0125 4𝑡
2 = 1.0125 4𝑡
log 2 = 𝑙𝑜𝑔 1.0125 4𝑡
log 2 = 4𝑡 ∙ log 1.0125
log 2
4log (1.0125)= 𝑡
𝑡 ≈ 13.94940762
𝑡 ≈ 14
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Tomará
aproximadamente
14 años.
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Actividades 1.2 • Texto: Capítulo 6 - Sección 6.3 Logaritmos.
• Ejercicios de Práctica: Páginas 246, 247; problemas impares
1 al 60; Use GRAPH par las gráficas de 75 – 81.
• Asignación 1.1: Página 247, problema 44; problemas 63 y 64
resuelva y use GRAPH para imprimir gráficas de las funciones;
Página 248, problemas 83 y 84, resuelva y use GRAPH para
imprimir las graficas de la funciones para los valores de 𝑥 ≥ 0.
Ajuste las escalas para que se despliegue el patrón general de
la gráfica.
• Referencias del Web:
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Logaritmos - Ejercicio 1; Ecuaciones Logarítmicas – Ejercicio
1; Ejercicio 2
Purple Math: Solving Exponential Equations; Solving
Logarithmic Equations.
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