8 de Mayo de 2013

Segundo Control de Matematicas 3

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1. Sea la funcion z = x2 + y2.¿Cuales de las siguientes afirmaciones son ciertas?

a) Es una superficie y el plano tangente a ella en el punto (1, 1, 2) es 2x + 4y − z = 5.

b) Es una curva y su longitud es 7π.

c) El vector normal en el punto (1, 1, 2) es (2, 2,−1).

d) Es un paraboloide y el vector normal en el punto (1, 0, 1) es (−1, 0, 1).

2. Hallese la integral triple:

∫ ∫ ∫

V

√

x2 + y2 + z2dxdydz

siendo V el recinto limitado por z =√

x2 + y2 y 0 ≤ z ≤ 5

3. Sea el solido limitado por z2 = x2 + y2 y (z − 6)2 = x2 + y2 . Hallese el area de la superficieque lo encierra.

4. Calcular la integral: :

∫

C

(y − z)dx + (z − x)dy + (x − y)dz donde C :

es la elipse: x2 + y2 = 4, x + z = 2.

5. Se corta la esfera x2 +y2 +z2 = 16 por el plano e z = 3. La parte menor es un solido V limitadopor una superficie S0 constituida por dos partes una esferica S1 y otra plana S2. Si la normal

interna es n = (cosα, cos β, cos γ). Hallese:

∫ ∫

S

(xz cos α + yz cos β + cos γ)dS siendo S:

a) La parte esferica: S1

b) El plano: S2.

c) Toda la superficie (por dos procedimientos distintos).