Mat Medicina

7/24/2019 Mat Medicina

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2014

Tercer Ao BachilleratoOpcin Ciencias Biolgicas

Prof. Teresita FusterLICEO N 2 HCTOR MIRANDA


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MATEMATICA 3 CIENCIAS BIOLOGICAS 2014

Prof. Teresita Fuster Liceo N 2 Hctor Miranda

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La Matemtica tiene virtudes de formacin

moral y produce independencia depensamiento, porque en ella, el manejoindividual y social de la verdadno admite el

argumento de laautoridad.

James Marshall (1967)


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ndiceContenido del documento ............................................................................................................3

Objetivos ..................................................................................................................................3

Promocin ................................................................................................................................3

Unidad temtica 1: Lmite y continuidad de funciones .................................................................4

Grficas de funciones ...............................................................................................................4

Lmite de funciones ..................................................................................................................8

Lmites de una funcin a partir de su grfica ........................................................................8

Lmite de una funcin a partir de su expresin analtica.....................................................11

Operaciones con lmites .....................................................................................................11

Continuidad de funciones .......................................................................................................16

Unidad temtica 2: Derivadas ....................................................................................................18

Interpretacin geomtrica de la derivada a una funcin en un punto .................................18

Interpretacin cinemtica de la derivada ............................................................................19

Clculo de derivadas ..........................................................................................................19

Propiedades de las funciones derivables. ..........................................................................22

Crecimiento y decrecimiento de funciones. ........................................................................23

Concavidad de una funcin ................................................................................................23

Unidad temtica 3: Integrales .....................................................................................................25

Unidad temtica 4: Estadstica ...................................................................................................28

Introduccin a la Estadstica ...................................................................................................28

Elementos de una investigacin estadstica .......................................................................28Muestreo ............................................................................................................................29

Estadstica Descriptiva .......................................................................................................30

Variables aleatorias cualitativas .............................................................................................34

Medidas de resumen ..........................................................................................................34

Variables cuantitativas............................................................................................................35

Medidas de posicin ...........................................................................................................35

Medidas de dispersin ........................................................................................................36

Distribuciones de variables aleatorias ....................................................................................37

Variables discretas .............................................................................................................37

Variables continuas ............................................................................................................39

Intervalos de confianza .......................................................................................................40

Anlisis multivariado ...............................................................................................................41

Relaciones entre dos variables ..........................................................................................41

Test de independencia para dos variables .........................................................................42

Anexo 1: Tabla de la Distribucin Normal Estndar ...............................................................44

Artculos del Reglamento de Evaluacin y Pasaje de grado para el Bachillerato ......................45


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Contenido del documentoEn este documento encontrars el material que se usar durante el curso deMatemtica. El mismo est orientado a los alumnos que cursan el tercer ao deBachillerato, opcin Ciencias Biolgicas, del Liceo N 2 Hctor Miranda.

Se corresponde con el programa de Matemtica indicado por la Inspeccin de laasignatura a partir del ao 2010.

ObjetivosEl objetivo de este documento es facilitar la tarea de clase y las actividades domiciliarias,ya que contiene material terico (definiciones, propiedades, algunas demostraciones) yla mayor parte de los ejercicios con los que se trabajar durante el ao.

Los objetivos principales del curso de matemtica son:

Estimular el razonamiento matemtico Estimular el desarrollo de las capacidades matemticas y aplicarlas a la

resolucin de los ms diversos problemas Estimular la conexin entre los diferentes conceptos matemticos adquiridos y

relacionarlos con los aprendizajes de otras asignaturas. Profundizar los conocimientos ya adquiridos en aos anteriores y, a la vez, que

sirvan como base para los temas que se desarrollarn en cursos superiores.

PromocinSegn el reglamento de evaluacin y pasaje de grado del Consejo de EducacinSecundaria, La calificacin final en cada asignatura ser el resultado de todo el procesode aprendizaje desarrollado por el estudiante durante el curso.1En este curso, el proceso de aprendizaje se basar en tres pilares principales:

Actuacin en clase (incluye participacin, inters por la asignatura,

relacionamiento con los compaeros, etc.) Trabajos domiciliarios, ya que con estas tareas se practica lo estudiado en clase

y se puede rever en la siguiente clase aquello que no ha sido totalmentecomprendido o sobre lo que se tiene dudas.

Trabajos de evaluacin escritos o trabajos especiales que se soliciten durante elcurso. Se incluyen aqu las dos pruebas especiales de evaluacin a realizarseen los meses de junio y noviembre.

1Al final de este documento encontrars los artculos del Reglamento de evaluacin y pasajede grado para Bachillerato que se refieren al tema.


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Unidad temtica 1: Lmite y continuidad de funciones

Grficas de funcionesEjercicio 1

Para cada una de las siguientes funciones entre nmeros reales, indica en cada caso:

el dominio de la funcin, races y esquema del signo.

a) f(x) = x+5 b) f(x) = x2+2 c) f(x) = x2+2x +1

d) f(x) = x3 e) f(x) = x3+2x2 f) f(x) = 1/x

g) f(x) = ex h) i) f(x) = Lxj) f(x) = |2x+1|+2 k) l) f(x) = |x2+1|

Ejercicio 2

Grafica cada una de las funciones del ejercicio anterior con la ayuda del programaGeogebra.

Ejercicio 3

Para cada una de las funciones del ejercicio anterior, grafica tambin:

g(x) = f(x) +2 h(x) = f(x)3 i(x) = - f(x) j(x) = f(x+1)

k(x) = f(x-1) l(x) = f(-x) m(x) = | f(x) |

Ejercicio 4

A partir de los casos observados, redacta con tus compaeros una conclusin general

sobre la forma de las grficas de una funcin f(x) y las grficas de las funcionesrelacionadas: f(x) + k ; f(x+k) ; f(-x) y |f(x)|

Definicin 1 Funcin par

Definicin 2 Funcin impar

Ejercicio 5

Investiga si alguna de las funciones delEjercicio 1 es par o impar.

Ejercicio 6

Investiga a partir de las funciones vistas hasta ahora, que sucede con las grficas de

las funciones pares e impares y redacta una conclusin.

Se llama funcin par a cualquier funcin entre nmeros reales que cumpla:

f(x) = f(-x) x, xD(f)

Se llama funcin impar a cualquier funcin entre nmeros reales que cumpla:

f(x) = - f(-x) x, xD(f)


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Ejercicio 7

La siguiente es la grfica de la funcin f:/ f(x) = x3- x2. A partir de ella, grafica enel mismo par de ejes, las funciones: g(x) = f(x)+2 ; j(x) = f(x-1) ; t(x) = f(-x) y r(x) = -f(x).(Puede ser de ayuda el uso de papel de calco).

Ejercicio 8

Dada la grfica de la funcin f entre nmeros reales, identifica entre las otras grficasdadas, cul de ellas se corresponde con f(-x) ; f(x+k) ; f(x)+k; -f(x) o |f(x)|. Escribe laexpresin analtica de cada funcin.


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Definicin 3 Funcin creciente

Se dice que una funcinfes creciente en un intervalo Isi, dados dos valores dex en ese intervalo, al mayor valor de x le corresponde mayor valor def(x)

Con smbolos:

f es creciente en Ix1, x2Ix1>x2f(x1) > f(x2)


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Definicin 4 Funcin decreciente

Definicin 5 Funcin inversa

Ejercicio 9

a) Investiga, a partir de sus grficas, el crecimiento y decrecimiento de lasfunciones f delEjercicio 1.

b) Para esas mismas funciones, investiga cul de ellas tiene inversa.c) Puedes establecer una relacin entre estos dos conceptos? Revisa si tu

hiptesis se confirma en las grficas de las otras funciones ya trabajadas.Establece una explicacin con tus propias palabras.

Se dice que una funcinfes decreciente en un intervalo Isi, dados dos valores dex en ese intervalo, al mayor valor de x le corresponde menor valor def(x)

Con smbolos:f es decreciente en Ix1, x2Ix1>x2f(x1) < f(x2)

Sea la funcin f entre nmeros reales:

f: D(f) C(f) / f(x) = z , x D(f)

Si existe una funcing: C(f) D(f) / g(z) = x, zC(f),se dice quef tieneinversa (o es invertible). La funcingse anota generalmente como f


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Lmite de funciones

Lmites de una funcin a partir de su grfica

Ejercicio 10

Estudiaremos las grficas de las siguientes funciones y algunas de sus caractersticas.


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Ejercicio 11

Estudia los lmites de las funciones delEjercicio 1 a partir de sus grficas, en los casosque se detallan a continuacin:

Funcin Resolver lim f(x) si:

a) x0 x+ x-b) x-2 x- x+c) x-1 x+ x-d) x1 x+ x-e) x0 x-2 x+f) x0 x1 x-g) x1 x+ x-h) x0 x+ x-i) x1 x0 x+j) x-1/2 x+ x-k) x2 x1 x-l) x1/2 x-1 x-

NOTACIN

En el caso de la primera funcin:

lim 0lim 8lim+ lim

NOTACIN

En el caso de la segunda funcin:

lim lim lim+ 0lim 0


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Lmite de una funcin a partir de su expresin analtica

A continuacin se formaliza el concepto de lmites vistos en los ejercicios anteriores:

Definicin 6 Lmite de funciones

Propiedad 1 Unicidad del lmite

Ejercicio 12

Volveremos a calcular los lmites de las funciones delEjercicio 10 pero utilizando susexpresiones analticas:

a) : , 4 3 b): ,

+c) : , + d) ): , e) : , 5 0 6 5 > 0f) : , 0+ < 0

Operaciones con lmites

A partir de ejemplos, completaremos en la clase los siguientes cuadros:

lim(f+g)

+ f g k * 0 + -

k *0+-

+ , +/ | | < | | < + , +/ | | < > + , +/ | | < < + + , +/ > | | < + , +/ > | | <

Si una funcin tiene lmite para xA, el lmite es nico


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lim(f*g)

x f g k * 0 + -

k *0+-

lim(f/g)

f g k * 0 + -

k *0+

-

Definicin 7 Lmites laterales

Ejercicio 13

Para las funciones entre nmeros reales f, g, h dadas a continuacin, calcula loslmites indicados:

3 5 2 8 lim lim+ lim= lim=lim lim+ =lim = lim+ = lim lim =Ejercicio 14

Calcula los siguientes lmites:

+ 2 3 +

++

+

+ + ++ +++

Lmites laterales:

lim + ,+, < | | < (o sea, se consideran los valores de x que estn en un intervalo derecho de a, deradio ) Definiciones similares se obtienen para f(x)y para lmite lateralizquierdo.


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+ + + + lim sin lim+ 2 3 + lim + lim Definicin 8 rdenes infinitos

Definicin 9 rdenes infinitsimos

Ejercicio 15

Resuelve los lmites planteados:

lim lim lim+ + + lim lim + lim + lim +

rdenes

Si las funcionesfygtienen lmite infinitopara xA, entonces:

Si

lim 0

entonces orden (f) < orden (g)

Si lim entonces orden (f) > orden (g)Si lim , entonces orden (f) = orden (g)

rdenes

Si las funcionesf ygtienen lmite 0 para xA, entonces:

Si lim 0 entonces orden (f) > orden (g)Si lim entonces orden (f) < orden (g)Si lim , entonces orden (f) = orden (g)


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Lmitestipos

La siguiente tabla muestra algunos casos de funciones equivalentes, que usaremosapropiadamente para clculo de lmites. En todos los casos: f(x) ~ g(x)

x0 x1 xf(x) g(x) f(x) g(x) f(x) g(x)sen x x ln(x) x - 1 1 1 etg x x sen(x-1) x - 11cos(x) x2 / 2 xn- 1 n(x1)ex- 1 x 1 1 1 ax-1 ln(a)ln(x+1) x(1+x)m-1 mx

Ejercicio 16

Dadas las funciones:

++ ++ 1 2 4 1 + ++++ | 2| 3 ++ 1Halla los siguientes lmites:

lim+ lim lim limlim+ lim lim+ lim

lim+

lim

lim

lim+

lim lim lim+ lim lim+ lim lim lim lim lim lim+ lim lim+ lim lim lim/


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Ejercicio 17

Calcula los lmites indicados:

lim+

+

lim+++

+

lim+

lim+ + lim+ ++ lim +lim 3 lim + lim+ +

lim+ ++ lim + lim +

lim+ 1 lim+ 1 + lim + Ejercicio 18

Calcula el lmite indicado en cada caso:

lim+(9 2 3 ) lim+ ++ lim +

lim++

lim+ 1

lim+ 1

lim+ 1 + lim+ + lim+ +++ lim lim / lim co lim lim + lim lim

Ejercicio 19

Grafica las siguientes funciones utilizando el programa Geogebra e investiga si existealguna recta (puede ser paralela a alguno de los ejes coordenados o cortar a ambos) yque se acerque a la grfica de la funcin. Mediante el mismo programa puedes obtenerla ecuacin aproximada de estas rectas.

+ + +Cuando estas rectas existen, se denominan asntotas.Entre todos redactaremos una

definicin formal de asntota.


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Ejercicio 20

Para las siguientes funciones estudia: dominio, races, lmites en los puntos de noexistencia, lmites infinitos y ecuaciones de las asntotas (si las tiene).

+

+

+

++ 4 + 1+ > 1

+++

Ejercicio 21

Resolver los lmites indicados:

1 lim1 / 2 lim+ 1 3 lim+ 4 lim+ 1 5 lim 6 lim+ 7 lim 8 lim+ 9 lim Continuidad de funcionesDefinicin 10 Funcin continua en un punto

Ejercicio 22

Investiga si las funciones del

Ejercicio 20 son continuas a, aD(f)

Definicin 11 Funcin continua en un intervalo

A continuacin estudiaremos algunas funciones (en principio usando Geogebra) yluego extraeremos algunas conclusiones que generalizaremos.

Una funcinf: D(f)es continua en a (a D(f)) s y slo s:lim l i m

Una funcinf:D(f)es continuaen I(ID(f)) s y slo sfes

continua a, aI

Una funcinf: D(f)es continuaen a,b(a,bD(f)) s y slo s:fes continua c, c(a,b) y f escontinua en a+y en b-


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Ejercicio 23

Dadas las funciones:

7 8 ++ 3 1 4

a) Hallar: f(0), f(4), g(0), g(4), h(0), h(4)b) Puedes indicar si f, g o h tienen alguna raz en el intervalo [0,4]?c) Hay algn valor de x en el intervalo [0,4] que cumpla f(x) = 1? Y que cumpla

h(x) = 1?d) Investiga si f y h tienen mximo o mnimo en el intervalo [0,4]e) Investiga si g tiene mximo o mnimo en el intervalo [2,4]. Y en el intervalo

[2.5,4]?

Propiedad 2 Teorema de Bolzano

Propiedad 3 Teorema de Darboux

Propiedad 4 Teorema de Weierstrass para funciones continuas

Ejercicio 24

Utilizando el teorema de Bolzano, indica si las siguientes funciones tienen alguna razen el intervalo considerado para cada una. En caso afirmativo, encuentra un valoraproximado a esa raz con un error menor a 0.1.

7 8 en [0,4] en [-3,-1] ln 1 3 2 en [0,1]

Si una funcin es continua en un intervalo cerrado [a,b] y se cumple quef(a)*f(b) < 0, entonces existe al menos una raz real de f en el intervalo (a,b)

Si una funcin es continua en un intervalo cerrado [a,b] siendof(a)=A y f(b) =B (con AB) y C un nmero real cualquiera entre A y B, entonces

existe al menos un nmero real c en el intervalo (a,b) que cumple f(c) = C

Si una funcin es continua en un intervalo cerrado [a,b] existe al menos un punto cdel intervalo que cumple: f(x)f(c) x, x[a,b] y existe al menos un punto d delintervalo que cumple: f(x) f(d) x, x[a,b]


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Unidad temtica 2: Derivadas

Veamos los siguientes problemas, que resolveremos, en primera instancia, utilizandolas grficas de las funciones involucradas.

Ejercicio 25

Determina la ecuacin de la tangente a la grfica de la funcin : , 4en el punto de abscisa 3.

Ejercicio 26

Por el teorema _________________ visto anteriormente, podemos asegurar que lafuncin: , 4 2tiene mximo y mnimo en el intervalo [-4,1].Encuentra los valores de las abscisas de esos puntos.

En estos ejercicios est involucrado el concepto de derivada de una funcin de unpunto.

Definicin 12 Derivada de una funcin en un punto

Interpretacin geomtrica de la derivada a una funcin en un punto

Dada la funcinf:D(f), si existe y es finito el lmite lim + , paraaD(f), se dice quefes derivable en a. El valor del lmite se designa por f(a).


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Interpretacin cinemtica de la derivada2

Supongamos que la funcin s= f(t)representa la ley de movimiento de un punto enuna recta (la cual se considera como el eje de coordenadas s). O sea, ses lacoordenada del punto mvil en cierto instantet. El camino recorrido por el punto

durante el intervalo de tiempo [t, t+t], es: La velocidad media del punto en dicho intervalo de tiempo es:

La velocidad verdadera (instantnea)en el instante tse define como un lmite:

l i m

Clculo de derivadas

Veremos algunos ejemplos de clculo de derivadas:

Ejemplo 1:

Calcular la derivada a la funcin : , para

l im

l im

l im 2

l im 2 l im 2 l im2 2Entonces:

Si f(x)= x2, f(a)= 2.a

2Extrado de: Clculo diferencial e IntegralYa.S.Burgrov , S.M.NikolskyEditorial Mir - 1984


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Ejemplo 2

Calcular la derivada a la funcin : , para

l im+

l im

. . .

(completa el razonamiento)

Ejemplo 3

Calcular la derivada a la funcin : + , para l im l im

. . .(completa el razonamiento)

Definicin 13 Funcin derivada

Definicin 14 Funcin compuesta

Tabladederivadas

A continuacin se brinda una tabla que indica, para distintas funciones elementales,cul es su funcin derivada. La construccin de la misma se realiza por razonamientossemejantes a los vistos anteriormente.

Dada la funcinf:D(f), se llama funcin derivada def,: , en lacual a cada xD(f) / f esderivable en x, le corresponde su derivada.

Dadas las funcionesf:AB / f(x)=t y g:BC/g(t)=z , se llama funcin compuestag(f):AC / g(f(x))=z


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Utilizando la tabla anterior, resolveremos los siguientes ejercicios.

Ejercicio 27

Calcula las funciones derivadas de las funciones delEjercicio 1.Para cada una deellas, indica el dominio de la nueva funcin.

Ejercicio 28

Calcula las funciones derivadas de las siguientes funciones, indicando el dominio decada una de ellas.

3 6 6 2 3 + 5 +

1

Ejercicio 29

Determina las derivadas de las funciones delEjercicio 20 Para cada una de ellas,indica el dominio de la nueva funcin.

Ejercicio 30

Para las funciones del

Ejercicio 20,determina la ecuacin de la tangente a la grfica de la misma en lospuntos cuya abscisa se indica y verifica tus resultados utilizando Geogebra.

f x = 1g x = 0h x = -1j x = 2k x = 1l x=3/2m x=1n x=-1

Propiedades de las funciones derivables.Propiedad 5 Relacin entre derivada y continuidad

A partir de las definiciones de derivada y de continuidad, ensaya una demostracinpara esta propiedad. Investiga si el recproco tambin se cumple.

Ejercicio 31

a) Grafica la funcin: , 2 3. Encuentra la ecuacin de larecta que pasa por los puntos A y B de la grfica cuyas abscisas respectivasson xA= -1 y xB=2. Puedes encontrar algn punto Z de la grfica de abscisa

xA


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b) Grafica ahora la funcin: , | 2 |. Determina la ecuacin de larecta que pasa por los puntos C y D de la grfica con xC=-3 y xD=0. Hay unvalor de x (-3,0)

c) Qu conclusiones puedes extraer?

Propiedad 6 Teorema del valor medio de Lagrange

Crecimiento y decrecimiento de funciones.

Ejercicio 32

a) A partir de las grficas ya analizadas en elEjercicio 10,investiga la relacin

entre la derivada de una funcin y el crecimiento o decrecimiento de la misma.b) Qu condiciones deben cumplirse para que una funcin tenga mximo o

mnimo relativo en x=a?

Ejercicio 33

Estudia crecimiento y decrecimiento de las funciones delEjercicio 28.Si alguna deellas tiene mximos o mnimos relativos, encuentra sus coordenadas.

Concavidad de una funcinDefinicin 15 Concavidad

Definicin 16 Derivada segunda

Propiedad 7

Definicin 17 Punto de inflexin

Si una funcinf: D(f)es continua en [a,b] (con [a,b] D(f)) yderivable en

(a,b), entonces existe c(a,b) que cumple:

Una funcinf: D(f)tiene concavidad positiva (negativa)en x=a si existe unentorno de a tal que la tangente a la curva en el punto (a, f(a)) est por arriba (pordebajo)de la curva en ese entorno.

Se llama derivada segunda de una funcin a la derivada de su funcin derivada:

Una funcin tiene concavidad positiva en x=a s y slo s f(a)>0Una funcin tiene concavidad negativa en x=a s y slo s f(a)


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Ejercicio 34

Realiza el estudio analtico completo y un bosquejo de la grfica de cada una de lassiguientes funciones.

6

+

4

+ + 4 | 4| l n 1 ln 1 2 3 || 1

+ 1+ > 1

+++ Ejercicio 35

Realiza el estudio analtico completo de las funciones cuyas grficas se brindan en elEjercicio 10

Ejercicio 36

Para las funciones cuyas grficas se presentan a continuacin, determina: Dominio;ecuacin de las asntotas (si las tiene); esquema del signo de f; esquema del signo def.

Problemasdeoptimizacin

Ejercicio 37

Con una chapa cuadrada de lado 12 es necesario hacer una caja abierta por arribaque tenga volumen mximo. Se recortan cuadrados en los ngulos de la chapa y sedobla sta para formar la caja. Cul debe ser la longitud del lado de los cuadradoscortados?

Ejercicio 38

Una fbrica necesita construir con envase cilndrico de capacidad 4dm2. Qudimensiones debe tener el cilindro para que el material utilizado (incluyendo la tapa)

sea mnimo?Ejercicio 39

Se lanza un cuerpo hacia arriba con velocidad inicial de 40 m/s. Calcula cul es lamxima altura que alcanzar si la aceleracin gravitacional es de 10m/s2. Dato: laecuacin que describe la altura en funcin del tiempo es Ejercicio 40

Una hoja de papel debe tener 18cm2de texto impreso. Adems, los mrgenes superiore inferior deben ser de 2cm cada uno y los mrgenes laterales deben ser de 1cm cada

uno. Calcula las dimensiones de la hoja para que su superficie sea mnima.


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Unidad temtica 3: Integrales

Ejercicio 41

Grafica las siguientes funciones y calcula el rea determinada por la grfica de la

funcin, el eje de abscisas y las rectas de ecuaciones x = ay x = b, para los valores deay bdeterminados en cada caso.

5 a = 1 b = 4 4 21 < 2 a = -1 b = 3 3 a = 0 b = 2 2 a = -5 b = -1

3 a = 1 b = 4

2 < 1 2 5 1 a = -1 b = 2 a = 0 b = 1Definicin 18 Integral definida

Propiedad 8

Definicin 19 Primitiva de una funcin

Dada una funcinf: D(f), siendo f(x) 0 x [a,b], se llama integral def

entre a y b (notacin:

) al rea comprendida entre la grfica de la

funcin, el eje de abscisas y las rectas de ecuaciones y

1. 0 2. Si f(x) 0 en [a,b], se define 3. 4.

5. . 6. Si a < b < c:

Dada una funcinf: D(f), se denomina primitiva def en el intervalo [a,b] a lafuncin F: D(F), si se cumple: F(x) = f(x)x [a,b]


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Propiedad 9

Propiedad 10 Teorema Fundamental del Clculo Integral

Propiedad 11 Regla de Barrow

Ejercicio 42

Utilizando las propiedades vistas anteriormente, calcula las siguientes integrales:

3 2

1

9

3

3 5 2 2 2 2 Ejercicio 43

Calcula las reas sealadas en cada grfica { 4 3 1 2 2 < 1 1

Si Fy Gson dos primitivas de la funcinfen [a,b], entonces Fy Gdifieren en unaconstante.

Sifes una funcin continua en [a,b] y F: D(F), la funcin definida por x [a,b], entonces se cumple que F(x)es derivable en [a,b] yque F(x) = f(x),x [a,b]

Sifes una funcin continua en [a,b] y F es una primitiva cualquiera def en [a,b],se cumple que:


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2

2 /2

3

4

Ejercicio 44

Para cada una de las siguientes grficas de funciones, se ofrecen cuatro afirmaciones.Indica cul es verdadera y justifica

1 2 1/2 d) Ninguna de las opciones anteriores

2 1 0 d) Ninguna de las opciones anteriores


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Unidad temtica 4: Estadstica

Introduccin a la Estadstica

Definicin 20 Concepto de Estadstica

Elementos de una investigacin estadstica1. Objetivos de la investigacin2. Universo, unidad a investigar y unidad de observacin3. Experiencias en investigaciones similares4. Marco legal aplicable5. Procedimientos de recoleccin

Censo Muestreo (aleatorio o no aleatorio) Explotacin estadstica de registro administrativo Experimentacin

6. Mtodos de recoleccin Entrevista personal Correo

Entrega personal Telfono Correo electrnico Internet

7. Instrumentos de captura Cuestionario impreso

o Estructurado o guao Para el encuestador o de autollenado

Cuestionario electrnico Grabadora de audio o video

8. Variables de relevamiento9. Categoras de respuesta para las variables de relevamiento10. Plan de tabulados11. El cuestionario12. Recoleccin de los datos13. Validacin y anlisis de los datos14. Publicacin

Es la ciencia que tiene por objeto la recoleccin, la organizacin, el anlisis y la presentacinde datos, con el fin de brindar informacin que facilite la toma de decisiones.La Estadstica es una rama del conocimiento particularmente nueva y de gran aplicabilidad.Aunque sus orgenes se remontan al siglo XIX, con los estudios sobre antropometra delbelga Adolphe Quetelet y sobre herencia del ingls Francis Galton, muchos de sus avancesse han dado a partir de mitad de siglo XX, en parte gracias al progreso de la informtica.La utilizacin de los mtodos estadsticos va desde la Medicina a la Economa, pasando porla Demografa, la Agronoma, las Ciencias Sociales, las Ciencias Polticas y el Marketing.


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Muestreo

Tericamente una muestraes un subconjuntode la poblacin.La esencia de una encuesta por muestreo

consiste en la seleccin de una muestra con elobjetivo de establecer conclusiones sobre todala poblacin basndose en la informacin de laparte observada. Si la muestra coincide contoda la poblacin objetivo, se denomina censo.

Existen diferentes razones para usar unaencuesta por muestreo y no un censo, entre lasque podemos mencionar:

Naturaleza destructiva de ciertas pruebas (por ejemplo en los casos de control de calidado exmenes de laboratorio de un paciente).

Imposibilidad fsica de revisar todos los elementos de la poblacin. Costos prohibitivos de estudiar a todos los integrantes de una poblacin. Tiempo necesario para entrevistar a todos los elementos de la poblacin. Lo adecuado de los resultados de la muestra: se puede inferir los valores poblacionales

de inters de acuerdo a los resultados obtenidos con la muestra.

Marco muestral

Se define como el conjunto de conjunto de unidades, procedimientos y mecanismos queidentifican, distinguen y permiten acceder a la poblacin objetivo.Fsicamente, la muestra se extrae de este listado.

Muestreo probabilstico o aleatorio

Definimos muestroprobabilsticocomo una seleccin de muestra que cumpla:

i) El conjunto de todas las muestras posibles es conocido.ii) Cada muestra tiene una probabilidad conocida de seleccin. El procedimiento de

seleccin asigna a cada elemento de la poblacin una probabilidad no nula de serincluido en la muestra.

iii) Se selecciona una muestra por un mecanismo aleatorio bajo el cual cada muestraposible tiene exactamente la probabilidad p(s) de ser extrada.

A una muestra obtenida bajo las condiciones anteriores se le denomina muestra aleatoriaomuestra probabilstica.

Diferentes diseos de muestreoMuestreo Aleatorio SimpleDe una poblacin Ude Nelementos, se extraen nde manera independiente y sin reponer (o sea,el elemento que ya ha sido extrado no influye en la extraccin de los siguientes y tampoco puedevolverse a elegir) Para efectuar esta eleccin se pueden utilizar tablas de nmeros aleatorios,aunque los distintos software estadsticos disponen de rutinas que permiten este tipo demuestreo. La extraccin debe realizarse a partir de un marco muestral de lista: cada una de lasunidades estn identificadas con un nmero (del 1 al N) y se sortean nelementos.

Muestreo sistemticoEn algunas ocasiones, los elementos de la poblacin estn ordenados segn un criteriodeterminado (alfabtico, por fecha, por monto, etc.) En estos casos, no siempre es recomendableefectuar un muestreo aleatorio simple.


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Un diseo de muestreo aplicable en esta situacin es el siguiente: se quiere seleccionar alumnosde un grupo y para ello se eligen todos aquellos que su nmero de lista sea mltiplo de 5. Otroejemplo: dentro de una manzana, se elige una esquina y se selecciona la tercera casa y luegouna casa dejando 4 entre medio hasta completar la manzana.

Muestreo estratificado

El muestreo estratificado consiste en dividir la poblacin en H grupos o subpoblaciones llamadosestratos o unidades primarias y tomar una muestra independiente de manera aleatoria en cadauna de ellas. La estratificacin puede realizarse utilizando diferentes variables, dependiendo delobjetivo planteado al realizar la muestra, como por ejemplo: por departamento o regingeogrfica, por edad, por gnero, por nivel socio econmico, por tipo de curso que realice elestudiante, etc. Es una herramienta poderosa y flexible, muy comnmente usada en la prctica.

Muestreo por conglomerados y en varias etapasHasta ahora hemos visto diseos de muestreo que asumen que se puede realizar un muestreodirecto de elementos. Sin embargo, en las encuestas de mediana y gran escala esto no siemprees posible ya sea porque no se dispone de un marco que identifique a todos los elementos y elcosto de crear uno es demasiado elevado o los elementos de la poblacin estn muy dispersosen un rea geogrfica muy extensa por lo que el muestro directo de elementos lleva a costos derelevamiento excesivamente altos.

Los diseos de muestreo en dos etapas y multietapa no requieren realizar muestreo directo deelementos, ya que una primera etapa se muestrean grupos de elementos, o sea, son aplicablescuando se poseen marcos agrupados. Por ejemplo, se conocen los grupos con los que cuentaun establecimiento de enseanza, pero no los nombres de los alumnos inscriptos en cada unode ellos.

Estadstica Descriptiva

Es el primer paso en cualquier anlisis estadstico. Resume los datos en porcentajes onmeros que son fcilmente interpretables y comparables con otros datos similares. As mismo

pueden proporcionarse grficas que resuman estos datos.VariablesAleatorias

Concepto y ejemplosUna variable es cualquier dato sujeto a medida o cuenta. Es aleatoria si no se puede predecir suvalor.Ejemplos

La hora de salida del sol cada da no es una variable aleatoria, ya que los astrnomossaben de antemano la hora exacta de la misma para cada da del ao.

La cantidad de lluvia cada durante un perodo especfico s es una variable aleatoria, yaque no puede predecirse.

La cantidad de alumnos inscriptos en determinado curso en el ao prximo es otro

ejemplo de variable aleatoria. El nmero de autos que pasan por un peaje cada da tambin es una variable aleatoria.

ClasificacinLas variables aleatorias suelen clasificarse segn la naturaleza de los datos a los que se refieran:

Cualitativas: Tambin se llaman categricas. Los datos estn divididos en clases ocategoras. Por ejemplo, si se tienen datos de un grupo de alumnos, seran variablescategricas el sexo, el grupo al que pertenece, el tipo de cobertura de salud, el niveleducativo de la madre, etc. Si tienen dos categoras suelen llamarse dicotmicas.

Cuantitativas: Son datos numricos. Se diferencian en:o Discretas: son aquellos datos que se pueden contar o numerar. En el ejemplo

que estbamos viendo, seran variables discretas la edad del alumno, cantidad

de hermanos, nmero de materias que est cursando, etc.


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o Continuas: datos numricos que pueden tomar cualquier valor (en general, entreciertos lmites). Por ejemplo: altura del alumno, peso, etc.

Otra clasificacin habitual para las variables estadsticas es: De corte longitudinal: la medicin de la variable refiere al mismo momento del tiempo. De corte transversal:la medicin de la variable se realiza en distintos momentos del

tiempo (en general, a intervalos regulares). Tambin se denominan, en este caso, series

temporales.

Estadsticadescriptivaunivariada

Distribucin de frecuencias y frecuencias acumuladas

La frecuencia de una variable (tanto discreta como cualitativa) es la cantidad de veces que eldato se repite. Normalmente los datos se presentan agrupados segn una tabla de frecuencias,que puede contener frecuencias absolutas (nmero de casos) o frecuencias relativas(porcentajes)

EjemploEn el ao 2012, los alumnos matriculados en el Primer ao de Bachillerato en el Liceo Miranda

eran 297. En la reunin final de profesores se obtuvo la promocin primaria de cada uno de ellos.Estos datos pueden presentarse en una tabla de frecuencias de la siguiente manera:

Fallo Reunin Final

Frecuencia

absoluta

Frecuencia

relativa

Promovido 159 53,54

Fallo en suspenso 62 20,87

Repite 76 25,59

Total 297 100,00

Ejercicio 45

Realiza una tabla de frecuencias utilizando como variable la edad en aos cumplidosde los alumnos de la clase. Debe contener: frecuencias absolutas, frecuenciasrelativas y frecuencias acumuladas.

Propiedad 12 Ley de los grandes nmeros

La frase "ley de los grandes nmeros" es tambin usada ocasionalmente para referirse alprincipio de que la probabilidad de que cualquier evento posible (incluso uno improbable) ocurraal menos una vezen una serie, incrementa con el nmero de eventos en la serie. Por ejemplo,la probabilidad de que un individuo gane la lotera es bastante baja; sin embargo, la probabilidadde que alguiengane la lotera es bastante alta, suponiendo que suficientes personas comprasenboletos de lotera.

Ejercicio 46

Cada uno de los alumnos de la clase tira una moneda al aire y observa si la cara de lamoneda que queda hacia arriba es cara o nmero. Observa los resultados a

medida que aumenta el nmero de alumnos que realiza la operacin.

La frecuencia relativa de los resultados de un cierto experimento aleatorio, tiendena estabilizarse en cierto nmero, que es precisamente la probabilidad, cuando elex erimento se realiza muchas veces.


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Representaciones Grficas3

Los datos pueden ser tambin presentados mediante grficas, cuya confeccin depende del tipode variable con la que se est trabajando.

Grfica de barrasSe utilizan para variables cualitativas.Consisten en tantos rectngulos como categoras tiene la variable en cuestin. Las bases deestos rectngulos deben ser iguales. La altura es proporcional a la frecuencia de la categora (osea, a la cantidad de veces que se encuentra el dato)

Grfica circularTambin se utilizan para variables cualitativas. En este caso, el total de datos se representan enun crculo. ste se divide en tantos sectores como categoras tiene la variable.La amplitud (medida en grados) de cada uno de estos sectores es proporcional a la frecuenciade la categora que representa.

3Los ejercicios correspondientes a los temas siguientes sern entregados en formato digital, yaque se ver la forma de resolverlo usando algunos programas tales como planillas de clculo.

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

Promovido Fallo en suspenso Repite

Fallos Reunin Final de Profesores 2012


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HistogramaEl histograma es una grfica de barras usada para variables cuantitativas discretas. La diferenciaes que las barras son consecutivas (o sea, no hay espacios entre ellas).

Otros tipos de grficas

Segn el tipo de datos que se quieren representar, existen otros tipos de grficas: grficaslineales, grficas de reas, grficas de puntos, diagramas de cajas, diagramas de rbol, etc.

Ejercicio 47

Realiza tablas de frecuencias y las grficas que creas convenientes de las siguientesvariables, considerando los alumnos de la clase: edad, sexo, nmero de hermanos,cantidad de personas en su vivienda, deporte preferido, tipo de msica preferido.

Promovido; 159

Fallo ensuspenso; 62

Repite; 76

Fallos Reunin Final de Profesores 2012

0

20

40

60

80

100

120

140

15 16 17 18 19 20 21 23

Nmero de alumnos segn edad.Primero Bachillerato 2012


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Variables aleatorias cualitativas

Las variables cualitativas se subclasifican en: Ordinales: variables cualitativas ordinales en las cuales sus categoras pueden

ordenarse siguiendo determinada lgica. Ejemplo: edad en categoras como: menor de15 aos, de 15 a 25 aos, mayor de 25 aos.

Nominales:cualquier orden de sus categoras es arbitrario. Ejemplos: sexo,departamento de nacimiento.

Un tipo de variable cualitativa muy usada es la llamada variable dicotmica. Tienen solamentedos categoras. Ejemplos: sexo, persona que tiene o no cierta enfermedad investigada. Si lascategoras consideradas pueden considerarse como xito y fracaso, tambin se denominan

variables indicatrices.

Ejercicio 48

De acuerdo a la clasificacin dada anteriormente, propone ejemplos de variablescualitativas e indica las categoras de cada una de ellas. Para cada una, determina sies ordinal o nominal.

Medidas de resumenLas variables cualitativas pueden representarse resumidas en tablas de frecuencias absolutas orelativas. Solo si son ordinales tiene sentido presentar frecuencias acumuladas.

Las grficas habituales para las variables cualitativas son la grfica de barras y las circulares.

Ejemplo: La variable responde a la pregunta qu navegador de internet utiliza? Poblacinobjetivo: internautas a nivel global.

Las variables de resumen utilizadas en el caso de las variables cualitativas son:

La cantidad de clases o categoras de la variable El Modo(o moda). Se define como la categora de la variable con mayor frecuencia. La frecuencia modal: es la frecuencia relativa de la clase ms frecuente.

Ejemplo:

En el ejemplo visto anteriormente:


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El nmero de clases es 6 (cada uno de los navegadores ms la categora otros) El Modo es Chrome La frecuencia modal es 36.4

Variables cuantitativasSe subclasifican en:

Discretas: sus valores son nmeros enteros (aunque lo ms habitual es que se tratende nmeros naturales). Ejemplo: edad en aos cumplidos.

Continuas:sus valores son nmeros reales. Ejemplo: ingresos de un hogar en un mes.

Las grficas ms utilizadas son: histogramas, grficas lineales, grficas de puntos, diagramas decajas.

Para las variables cuantitativas existen varios indicadores (o medidas de resumen) con los quese pretende tener una idea del comportamiento de los datos con la menor prdida posible deinformacin. Estos indicadores sirven tambin para la comparacin de la variable en distintasinstancias, ya sea temporales o geogrficas.

Medidas de posicin

Medidasdetendenciacentral

Las ms importantes son:

Modo(o moda) Es el valor de la variable con mayor frecuencia. Se usa nicamente envariables cuantitativas discretas.

Media(o promedio). Es el valor que tomara la variable si los datos fueran todosiguales, manteniendo el total. Se calcula sumando todos los datos y dividiendo entre elnmero de datos. La frmula para el clculo de la media es:

= Mediana: Es el valor de la variable que se encuentra en el lugar central una vezordenados los datos en forma creciente. O sea, la mitad de los datos son menores quela mediana y la otra mitad, mayores.

Ejemplo

Un grupo de personas est esperando atencin mdica. Al consultarlos sobre su edad (en aoscumplidos) las respuestas son las siguientes:

182569255038412324582547195158283248202835

Los indicadores vistos anteriormente son:

Modo: 25 (su frecuencia es 3) Media: 36.3 Mediana Se deben ordenar las edades de las personas en forma ascendente

181920232425252528283235384147485051585869


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Al tener 21 personas, el lugar central est ocupado por la 11 persona (quedan 10personas de menor edad y 10 de mayor edad). La edad de la 11 persona ( 32) es lamediana de la distribucin.

MedidasdetendencianocentralDe manera similar a como se calcula la mediana de una variable aleatoria cuantitativa, sepueden tambin calcular otros indicadores, que tambin necesitan un ordenamiento de lavariable de menor a mayor.

Entre estos indicadores se destacan: cuartiles (se divide la poblacin en cuatro gruposaproximadamente iguales); quintiles (cinco grupos); deciles (10 grupos) y centiles o percentiles(100 grupos).

Por ejemplo, en Economa y en Sociologa, es comn considerar los quintiles o deciles de unapoblacin ordenada por los ingresos.Los pediatras utilizan los centiles para estudiar si un nio pequeo est en la curva de salud,tanto en peso como en altura.

Medidas de dispersin

Cuando se comparan dos distribuciones de la misma variable, se utilizan en general las medidasde resumen, siendo la ms frecuente, la media. Pero, en ciertas ocasiones, no alcanza con darun solo valor.

Por ejemplo:Se tienen los ingresos de 10 trabajadores de 3 empresas distintas. Ellos son:

Empresa 1: el ingreso es de $11.000 en todos los casos.

Empresa 2: 9.000,9.000, 10.000, 10.000, 11.000, 11.000,12.000, 12.000, 13.000, 13.000

Empresa 3: 7.000, 7.000, 7.800, 8.000, 9.000, 10.000, 11.600, 12.500, 16.100, 21.000

Si se calcula la media de las tres distribuciones se tiene que es la misma: 11.000, pero sinembargo, a simple vista se nota que las caractersticas de los trabajadores en cuanto al ingreso,son distintas. Si se grafican los datos, se tiene:

Por eso, suelen utilizarse otras medidas de resumen tales como:

Rango:es la amplitud de la distribucin. Se calcula como la diferencia entre el valormayor de la variable y el valor menor.

Varianza (o variancia):Es una especie de promedio de las diferencias entre los valoresobservados y la media, elevados al cuadrado (porque de lo contrario, estas diferencias

se compensan y el total da cero). La frmula de clculo es la siguiente: se hallan la

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Empresa 1

Sueldo ($)

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Empresa 2

Sueldo ($)

0

5000

10000

15000

20000

25000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Empresa 3

Sueldo ($)


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diferencia de cada dato y la media y se eleva al cuadrado. Posteriormente se suman losvalores obtenidos y este resultado se divide entre el nmero de datos menos 1.

=

1

Desvo estndar o desviacin estndarDebido a que para obtener la variancia esnecesario elevar al cuadrado, la unidad de medida de la misma es el cuadrado de laoriginal. Por este motivo, suele usarse la raz cuadrada de la variancia, que se llamadesvo o desviacin estndar. En este caso, la unidad de medida de los datos semantiene. Por ejemplo, si la variable es la altura de un grupo de estudiantes, la unidadde medida es el metro. Por los clculos realizados, la unidad de medida de la varianciaes el metro cuadrado, por lo que es ms fcil de interpretar el nmero que determina eldesvo estndar, ya que nuevamente la unidad de medida es el metro.

Distribuciones de variables aleatoriasLos elementos del espacio muestral son elementos abstractos y, en consecuencia, tambin loson los sucesos definidos a partir de ellos. La probabilidad es una funcin cuyo dominio es elconjunto de los sucesos y cuyo codominio es el intervalo [0,1] de los nmeros reales. Para poderaplicar el clculo matemtico es conveniente que el dominio pertenezca tambin a un conjuntonumrico. Para solucionar este problema suele asignarse una funcin del conjunto de lossucesos en el conjunto de los nmeros (reales en general) y a estos nmeros asignarle unaprobabilidad. A estas funciones se les llama variables aleatorias. La funcin que le asigna a cadavalor de la variable una probabilidad, se llama funcin de probabilidad o distribucin deprobabilidadde la variable aleatoria.

Dependiendo del conjunto numrico considerado, las variables aleatorias pueden ser discretas

(en general, son nmeros naturales y pueden ser de recorrido finito o infinito) o continuas(sonnmeros reales).

Variables discretas

DistribucindeBernoulli

Una variable aleatoria tiene distribucin de Bernoulli si puede tomar nicamente dos valores (engeneral representados por 0 y 1) y que son considerados tradicionalmente como fracaso y

xito respectivamente. Se caracteriza a estas variables por la probabilidad de xito.Por ejemplo: el caso del gnero de una persona es de una variable aleatoria con distribucinBernoulli.

En smbolos: una variable X tiene distribucin Bernoulli si:

~ { 1 0 1 O sea, la probabilidad de xito (P{X=1} = p) es lo que define la distribucin (por lo tanto, 0p1).Se denomina parmetro de la distribucin.

Se puede demostrar que si una variable se distribuye Bernoulli, entonces

1 Distribucinbinomial

Si un experimento consta de varias pruebas independientes repetidas, teniendo cada una deellas distribucin Bernoulli, y se requiere el nmero de xitos, la variable aleatoria asociada al

experimento tiene una distribucin binomial. Son necesarios dos datos: el total de pruebas y laprobabilidad de xito en cada una de ellas.


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Un ejemplo de variable con distribucin binomial, es el caso siguiente:

En una prueba de 10 tems, cada uno tiene 4 opciones como respuesta, de las cuales solo unaes la correcta. Si un alumno no estudi y contesta al azar, la probabilidad de acierto es de 0.25.Con estos datos puede calcularse la probabilidad de que un alumno que conteste al azar tengadeterminado nmero de respuestas correctas. Estas probabilidades se muestran en el siguiente

grfico:

La distribucin Binomial tiene dos parmetros: el nmero de tiradas (veces que se repite elexperimento) y la probabilidad de xito de cada una de las pruebas Bernoulli.

Si se tiene que calcular la probabilidad de que, al repetir n veces un experimento Bernoulli, lacantidad de xitos sea j, se usa la siguiente frmula:

~, , } 1 Puede demostrase que:

1

Ejercicio 49

Una prueba contiene 5 preguntas de opcin mltiple. Cada pregunta tiene 4 respuestas. Slouna de ellas es correcta. Cul es la probabilidad de que un estudiante conteste todas laspreguntas bien, sin haber estudiado y slo adivinando las respuestas?

Ejercicio 50

Durante una epidemia de gripe, la probabilidad de que una persona est enferma es de 0.12.Suponiendo que cada persona que llega a un consultorio no tiene relacin con las dems, cul

es la probabilidad de que exactamente 6 personas estn enferma si al consultorio concurren 25personas? Calcula la media y la variancia de la distribucin para este caso.

Ejercicio 51

Un estudio de una asociacin de vigilantes de caminos, revel que 60% de los conductores deEstados Unidos usa el cinturn de seguridad. Se seleccion una muestra de 10 conductores enuna carretera.

a) Cul es la probabilidad de que exactamente 7 conductores lleven puesto el cinturn?b) Cul es la probabilidad de que 4 o menos de los conductores lleven puesto el cinturn?

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10


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DistribucindePoisson

Una variable con distribucin de Poisson cuenta la cantidad de sucesos ocurridos durante unperodo determinado de tiempo. El recorrido de esta variable es el conjunto de los nmerosnaturales.

Si, por ejemplo se considera un perodo fijo de un da, una variable que cuente la cantidad dealumnos que faltaron a clase tiene distribucin de Poisson. Otros ejemplos son: cantidad de autosque pasaron por un peaje en un fin de semana, cantidad de personas que concurren a un bancoen el horario de atencin, etc. Existe una rama de la estadstica, denominada Teora de Colas,que tiene su fundamento en este tipo de problemas.

El parmetro de la distribucin de Poisson se identifica generalmente con la letra griegaminscula lamda (). Representa el nmero de ocurrencias del evento durante un intervalo detiempo prefijado. Se denomina tambin parmetro de intensidad.

Variables continuasDistribucinNormal

La distribucin de una variable normal se caracteriza por dos valores: la media y la variancia(ambos conceptos ya vistos). Tiene muchas aplicaciones en Estadstica y la grfica de su funcinde probabilidad tiene una forma conocida por Campana de Gauss. En una distribucin normal,

el 68% de los valores se encuentran en el intervalo determinado por la media ms y menos eldesvo estndar y el 99% de los valores estn en el intervalo determinado por la media ms ymenos tres veces el desvo.

La distribucin Normal se caracteriza por dos parmetros representados con letras griegas: (que representa la media de la distribucin) y 2(que representa la variancia de la distribucin).Se llama Normal tpica o Normal estndar a una distribucin Normal en la cual = 0 y 0 1(como en la grfica anterior).

Si se quiere calcular la probabilidad de que un valor de la distribucin Normal sea menor quecierto valor x, la forma es:

~, , } 12 /

No existe un mtodo analtico para resolver esa integral, por lo que hay tablas que dan elresultado para distintos casos. Tambin pueden usarse distintos programas informticos.

Dado que no pueden plantarse todas las posibles variables normales, se utiliza una

transformacin de manera de usarse nicamente la variable normal tpica. Esa transformacines la siguiente.

-4 -2 0 2 4

0.0

0.

1

0.2

0.3

0.4

x

z


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~0,1;~, De esta manera, el uso de la tabla de la normal estndar se extiende a cualquier otra distribucinnomal.

Existe una propiedad muy importante, llamada Teorema Central del Lmiteque dice que si se

tiene la media de un nmero muy importante de variables aleatorias independientes eidnticamente distribuidas, entonces, la distribucin de estas medias tiende a ser normal.(Cuidado: las variables originales siguen teniendo la distribucin original, lo que tiende a sernormal es la nueva variable aleatoria determinada por las medias).

Ejercicio 52

La calificacin media en una prueba de admisin a un instituto de estudios superiores es de 500,la desviacin estndar es 75. Las calificaciones se distribuyen normalmente.

a) Qu porcentaje de los estudiantes obtuvo 320 o menos?b) 20% de los estudiantes tuvo una calificacin igual o por encima de que valor?c) 10% de los estudiantes obtuvo una calificacin igual o inferior a que valor?

Ejercicio 53

Una estacin de radio FM, halla que el tiempo medio en que una persona sintoniza la estacines de 15,0 minutos, con una desviacin estndar de 3,5 minutos. Cul es la probabilidad deque un oyente en particular sintonice la emisora

a) Durante 20 minutos o ms?b) Durante 20 minutos o menos?c) Entre 10 y 12 minutos?

DistribucinExponencial

La distribucin exponencial se utiliza bsicamente para medir tiempos o distancias entre dossucesos del mismo tipo.Existe una relacin muy importante entre la distribucin Exponencial y la Poisson: si una variabletiene distribucin de Poisson, el tiempo que separa la ocurrencia de dos eventos es una variablecon distribucin Exponencial.

Otrasdistribuciones

Algunas de las distribuciones continuas ms usadas en Estadstica se refieren a variables queson necesarias para la solucin de problemas, tales como la independencia de variables overificacin de hiptesis de trabajo. Entre ellas se destacan la distribucin 2(chi cuadrado), ladistribucin t de Studenty la distribucin f de Fisher-Snedecor.

En general, para comprobar que una variable tiene determinada distribucin, deben realizarseuna serie de pruebas, llamadaspruebas de bondad de ajuste.

Intervalos de confianzaLa media y la mediana de la distribucin de una variable aleatoria son valores puntuales.Si estos valores provienen de una muestra aleatoria, pueden existir diferencias entre lasdiferentes muestras tomadas.En Estadstica, muchas veces es conveniente trabajar con Intervalos de Confianza. Para ello, sedeterminan dos nmeros (utilizando ciertas reglas), llamados extremos del intervalo. De acuerdoa las reglas utilizadas, se puede determinar que el valor real de la poblacin que estamosbuscando, se encuentra en ese intervalo con una probabilidad conocida (denominada nivel deconfianza) que se anota en general como 1 - . La probabilidad de que el verdadero valor del

parmetro buscado no est en el intervalo hallado es , que se denomina nivel de significacin.


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Si Z es una variable con distribucin Normal tpica (= 0 y 2=1), se cumple que:P{-1.96 < z < 1.96} = 0.95Si se est trabajando con una variable aleatoria X que tiene distribucin Normal con media = yvarianza =2, se puede transformar en una Normal tpica, como ya se vio anteriormente.

Si se quiere hallar el valor de la media poblacional, se puede asegurar con una probabilidad del

95%, que ese valor se encontrar en el intervalo:

n

X

n

X

*96.1*96.1

Siendo: Xel valor de la media de la muestra, n el tamao de muestra, el desvo estndar dela poblacin y la media poblacional buscada.

Anlisis multivariado

Relaciones entre dos variablesEn ocasiones, es necesario realizar el anlisis de los datos vinculando dos o ms variables. Si

estas variables son cualitativas o, siendo numricas se pueden modificar creando modalidades,la forma tradicional de tratarlas es mediante tabla de datos cruzados o Tablas de Contingencia.Tambin pueden usarse grficos que vinculen dos variables.

Estadsticadescriptiva

Tablas de contingencia

Como regla general, es conveniente que la tabla sea ms larga que ancha. O sea, la variableque tiene ms categoras debe presentarse en las filas y la de menos categoras en las columnas.Es simplemente un aspecto visual: ayuda en la interpretacin de los datos. No es aconsejableque las tablas sean muy extensas ni incluir ms de tres variables (siempre que dos de ellastengan muy pocas categoras). Con estas tablas no se pretende, en general, que una variable

explique a la otra, sino que la intencin es ver cmo se corresponden las distintas modalidadesde cada una de las variables (por ejemplo, si los datos que corresponden a una de lasmodalidades de una de las variables estn concentrados o distribuidos en las modalidades de laotra variable).

Ejercicio 54

Crear una tabla de contingencia utilizando los datos de edad y gnero de los alumnosdel grupo.

En estas tablas hay varias opciones: los totales pueden aparecer tanto al inicio de la tabla (msusados en las presentaciones internacionales) como al final. Se acostumbra a usar totales defilas y de columnas.En este caso, la tabla se debe titular Nmero de alumnos por sexo, segn edad. En cuanto a la presentacin de los datos de la tabla mediante porcentajes, depende del objetivode la misma: porcentajes correspondientes a cada fila, o sea, el 100% es el nmero de observaciones de

cada categora de la variable que ocupa las filas. porcentajes correspondientes a columnas, o sea, el 100% es el total de observaciones de

cada modalidad de la variable que ocupa las columnas. porcentaje de tabla, o sea, el 100% es el total de observaciones.

Cuando la tabla se presenta con los totales de observaciones, la persona que est leyendo elinforme puede calcular las otras tablas segn sus necesidades. Si solo se presentan los

porcentajes, esto no es posible, salvo que se brinden los valores totales de las filas, las columnaso de tabla segn corresponda.


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Grficos

Cuando se necesita mostrar la informacin correspondiente a dos variables, se pueden usargrficos de barras acumuladas: o sea, la barra correspondiente a cada modalidad de una de lasvariables se divide (en diferentes colores generalmente) para indicar las proporcionescorrespondientes a cada una de las modalidades de la otra variable.

Estos grficos pueden confeccionarse tanto con valores absolutos (nmero de observaciones,cada grfica tiene la altura proporcional al nmero de observaciones de la modalidad querepresenta) como con valores relativos (cada barra representa el 100%, por lo que todas tienenla misma altura)

Ejercicio 55

Realiza un grfico de barras acumuladas que muestre la distribucin de los alumnos delgrupo por edad y sexo.

Cuidado: el grfico debe respetar lo ms fielmente posible la descripcin de los datos obtenidosen la investigacin, por lo cual su eleccin debe ser cuidadosa.

Test de independencia para dos variables Variablescualitativas

En algunas ocasiones interesa saber si dos variables son o no independientes.4Se trabaja en estos casos con una prueba de hiptesis especial, en la cual la H 0es que lasvariables son independientes y la H1que no lo son. Se denominan test de independencias dePearson.En este test se trabaja con tablas de doble entrada, en las cuales se coloca las distintasmodalidades de una variable como filas y las modalidades de la otra variable como columnas.La condicin principal es que no haya datos faltantes, ya que se necesitan los diferentescruzamientos de las mismas (o sea, cuantos elementos de la muestra comparten cadacombinacin de las diferentes modalidades de ambas variables). Tambin debe elegirse un valorde significacin del test (o sea, cual es el mayor error que se permite).

Ejemplo:

La pregunta es si las diferencias se deben a la muestra o si es que las variables no sonefectivamente independientes. El matemtico Karl Pearson demostr en 1901 que si se efectanlas siguientes operaciones:

esperadovalor

observadovaloresperadovalor

.

.. 2

la variable aleatoria obtenida se distribuye 2

cuyos grados de libertad se obtienen como (N filas1)(N columnas1)

Variablescuantitativas

Si dos variables aleatorias referidas a datos sobre los mismos elementos de la poblacin soncuantitativas, puede establecerse que grado de relacin tienen mediante el llamado coeficientede correlacin. Es un nmero entre 1 y 1 y sus valores se pueden interpretar de la siguienteforma:

Si el coeficiente de correlacin es 0, las variables son independientes. Si el coeficiente de correlacin es 1, las variables estn correlacionadas positivamente

(o sea, a mayores valores de una de ellas corresponden mayores valores de la otra).

4Dos variables son independientes si la informacin que se posee sobre una de ellas no influyeen el resultado de la otra.


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Si el coeficiente de correlacin es1, las variables estn correlacionadas negativamente(o sea, a mayores valores de una de ellas corresponden menores valores de la otra)

Para los valores intermedios, no hay correlacin o independencia perfecta, pero engeneral, si el valor es cercano a 1 o a1, se acostumbra a decir que las variables tienencorrelaciones altas. No existe un valor lmite para separar estos conceptos, pero puedeconsiderarse que valores mayores a 0,7 ya indican altas correlaciones y valores menores

a 0,3 indicaran la ausencia de correlacin (o cuasi independencia).

Grficamente, puede usarse el llamado diagrama de dispersino dispersograma, en el cualcada variable se representa en uno de los ejes y cada punto queda determinado por los valoresde cada variable para una observacin.

0,0010,0020,0030,0040,0050,0060,00

70,0080,0090,00

100,00

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00

Correlacin negativa

0,005,00

10,0015,0020,0025,0030,00

35,0040,0045,0050,00

0,00 10,00 20,00 30,00 40,00 50,00 60,00

Correlacin positiva

0,00

20,00

40,00

60,00

80,00

100,00

120,00

0,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00

Variables independientes


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Anexo 1: Tabla de la Distribucin Normal Estndar


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Artculos del Reglamento de Evaluacin y Pasaje de grado para el

Bachillerato

Artculo 28

En todos los casos de inscripcin por asignatura, para lograr la promocin no se podr superar1/6 de las inasistencias fictas. Esa fraccin se determinar en base al total de clases tericas yprcticas que debieron dictarse en cada asignatura.

Artculo 29En 2 y 3 de Bachillerato, la inasistencia a una hora de clase determinar nicamente, elcmputo de una falta en esa asignatura. El estudiante que supere el lmite de inasistenciasestablecido en los Artculos 28 y 51 deber rendir los exmenes en carcter libre. En este caso,perder la categora que le hubiere correspondido.

Artculo 30Previa presentacin del correspondiente justificativo, en un plazo prudencial que no exceda una

semana, la Direccin del Liceo podr justificar las inasistencias originadas en problemas desalud. Asimismo podr justificar aquellas que se originen en situaciones graves o excepcionalesdebidamente probadas. Con el fin de aprobar los cursos se computar el total de faltas fictas,sumando a las no justificadas el cincuenta por ciento de las justificadas, desechndose lasfracciones que resulten de la operacin.

Artculo 48La actuacin del estudiante durante el curso se calificar segn la escala de 1 a 12, en la cuallos niveles 1, 2, 3, 4 y 5 denotan diversos grados de insuficiencia.Segn el criterio de gradualidad en la exigencia acadmica, los valores mnimos de lapromocin sern: 6 o superior para 1er. ao y para asignaturas del Ncleo Comn de 2 y 3 7 o superior para asignaturas especficas de 2 ao, y 8 o superior para asignaturas especficas de 3 ao.Para las instancias de exmenes, en los tres cursos de Bachillerato, la calificacin 5 marcarla suficiencia mnima para la aprobacin. No sern aprobados los exmenes que consten de dospruebas cuando una de ellas tenga calificacin 1 o 2.

Artculo 49La calificacin final en cada asignatura ser el resultado de todo el proceso de aprendizajedesarrollado por el estudiante durante el curso.Las calificaciones de las Evaluaciones Especiales se integrarn a la evaluacin del proceso.

Artculo 50A los efectos de la evaluacin final de un curso de Bachillerato no se tendrn en cuenta lasasignaturas pendientes de cursos anteriores.

Al finalizar los cursos y evaluada la actuacin de los alumnos en cada asignatura, se determinarnlas siguientes categoras:

ASIGNATURAS de 1 de BACHILLERATO y ASIGNATURAS de NCLEO COMN DE 2 y 3A- Calificacin final 6 o superior, promocinB- Calificacin final 5.C- Calificacin final 3 o 4.D- Calificacin final 1 o 2.


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ASIGNATURAS ESPECFICAS de 2 de BACHILLERATOA- Calificacin final de promocin: 7 o superior,B- Calificacin final 6.C- Calificacin final 3, 4 y 5.D- Calificacin final 1 o 2.

ASIGNATURAS ESPECFICAS de 3 de BACHILLERATOA- Calificacin final de promocin: 8 o superior,B- Calificacin final 7.C- Calificacin final 4, 5 y 6.D- Calificacin final 1, 2 o 3.

La categora A habilita a la promocin.La categora B habilita a examen de una prueba complementaria a partir del perodonoviembre-diciembre. (Artculo 58).La categora C habilita a examen de dos pruebas a partir del perodo noviembrediciembre.La categora D habilita a examen de dos pruebas a partir del perodo de febrero.La reglamentacin se mantiene hasta el fin del ao lectivo siguiente - perodo febrero(Circular 2845). Posteriormente el examen pasar a carcter libre.

Artculo 51En 2 y 3 sern promovidos en cada asignatura en la Segunda Reunin de Profesores losestudiantes cuyas inasistencias fictas no superen 1/6 de las clases tericas ni de las clasesprcticas y hayan obtenido Categora A - calificacin final de aprobacin.

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