Mat Face Fada_u1

Unidad 1: Nmeros Reales

1

n

Qu son los conjuntos numricos Q e I? Sabemos que nmero racional es todo nmero que puede ser expresado como fraccin. Asimismo, a cada fraccin le corresponde una expresin decimal, que es seguramente aqulla que estamos acostumbrados a usar en nuestra vida diaria. Estos nmeros surgen de la necesidad de expresar divisiones no exactas y constituyen el conjunto Q (Racionales). La fraccin es la expresin de una divisin indicada. En consecuencia:

ba

a : b ( recordar que siempre b 0)

Cada nuevo conjunto numrico que aparece en la historia, trae como consecuencia una revolucin en el mundo filosfico matemtico. As fue con la aparicin de los nmeros irracionales. Estos vieron la luz en el preciso momento en el que los Pitagricos (seguidores

de Pitgoras), se enfrentaron con la dificultad de representar 2 como un nmero entero. Este acontecimiento provoc un terrible cataclismo en su mundo filosfico y fue Euclides capaz de probar la imposibilidad de expresarlo como un nmero racional. Como todo lo que no puede ser expresado por una razn o cociente termina siendo i racional, as nacieron estos nmeros, casi por oposicin. El trmino griego del cual se deriva y es traduccin irracional, significaba sin medida. No por haber aparecido por oposicin los irracionales son menos famosos que los restantes; por el contrario, el nmero pi ( ) es ms que conocido simplemente por su nombre. A este conjunto numrico se lo llama I (Irracionales). Entonces, los nmeros irracionales son aquellos que tienen infinitas cifras decimales no peridicas. Observen:

racionales

racionales

racionales

428

....66666,032

75,043

INTRODUCCION


2

Q I =

Sin embargo tienen infinitas cifras decimales no peridicas, por ejemplo:

Y los famosos nmeros irracionales: = 3,141592654... y e = 2,7182818.... Como unin de estos conjuntos numricos ( Q e I ) surge el conjunto de nmeros

reales La representacin de Q sobre la recta numrica no llega a cubrirla totalmente, pues existen algunos puntos que no corresponden a ningn nmero racional. Al incorporar al conjunto I, la recta queda completa. Existe pues una correspondencia biunvoca entre los nmeros reales y los puntos de la recta numrica. Esto quiere decir que cada nmero real tiene asignado un nico punto sobre la recta y recprocamente.

13;11;5

........7320508,13

........4142135,12

3

Q I

23


3

Por qu usaremos Intervalos sobre la recta real? En muchos de los ejercicios que se plantearn en este curso, se debe expresar el conjunto solucin con una inecuacin; es decir, con un subconjunto de nmeros de la recta real. Puesto que en la mayora de los casos es un conjunto de infinitos elementos, no se los puede enumerar; por lo cual resulta muy til trabajarlos con intervalos.

Ejemplo 1:

Si el conjunto solucin es { x / x } quiere decir que consideramos dentro de este conjunto todos los nmeros reales menores o iguales a 2. La representacin grfica de este conjunto es:

Cuya notacin con intervalos se indica: ( - ; 2 ] Observamos que el corchete al final del intervalo indica que el extremo pertenece al conjunto solucin. Mientras que siempre el smbolo est precedido o seguido (como veremos en el siguiente ejemplo) por un parntesis. Esto se debe a la interpretacin de este smbolo puesto que no es un nmero sino que representa la idea de que los nmeros crecen o decrecen indefinidamente en forma positiva o negativa segn el signo que lo acompaa y de acuerdo al sentido de la recta a la que nos referimos.

Ejemplo 2:

Si el conjunto que trabajamos es { x / x > a } quiere decir que consideramos en este conjunto todos los nmeros reales mayores que a. La representacin grfica de este conjunto es:

Cuya notacin con intervalos se indica: (a; + )

Observamos que el parntesis al inicio del intervalo indica que el extremo no pertenece al conjunto solucin. Mientras que siempre el smbolo + est seguido de un parntesis por la explicacin del ejemplo anterior.

+ -

Tema 1: Intervalos sobre una recta real


4

Ejemplo 3:

Si el conjunto de nmeros reales es { x / a < x < b } quiere decir que consideramos en este conjunto todos los nmeros reales comprendidos entre a y b. La representacin grfica de este conjunto es:

Cuya notacin con intervalos se indica: (a ; b ) Observamos que el parntesis al inicio y al final del intervalo indica que los extremos no pertenecen al conjunto solucin, pero s todos los nmeros reales comprendidos entre ellos, por eso a este intervalo se lo llama abierto.

Ejemplo 4:

Si el conjunto es { x / a x b } quiere decir que consideramos en este conjunto todos los nmeros reales menores o iguales a b y que al mismo tiempo sean mayores o iguales que a. La representacin grfica de este conjunto es:

Cuya notacin con intervalos se indica: [a ; b ] Observamos que el corchete al inicio y al final del intervalo indica que ste es cerrado, es decir, los extremos pertenecen al conjunto.

Ejemplo 5:

Si el conjunto solucin es { x / a < x b } quiere decir que consideramos en este conjunto todos los nmeros reales menores o iguales a b y que, al mismo tiempo, son mayores que a. La representacin grfica de este conjunto es:

+ -

+ -

+ -


5

Cuya notacin con intervalos se indica: (a ; b ] Observamos que el parntesis al inicio del intervalo indica que el extremo a no pertenece al conjunto solucin; mientras que el corchete al final del mismo indica que el extremo b pertenece al conjunto solucin.

Repasamos el trabajo con conjuntos numricos:

Ejemplo: Si S = { 1, 2, 3, 4, 5}, T = { 4, 5, 6, 7} y V = {6, 7, 8} obtengamos los conjuntos ST, ST, y SV. Solucin: Si S y T son conjuntos, entonces su unin ST es el conjunto formado por todos los elementos que estn en S, en T o en ambos.

ST= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

Si planteamos ahora la interseccin de S y T es el conjunto formado por todos los elementos que estn tanto en S como en T. Es decir, ST es la parte comn a ambos conjuntos. ST= {4, 5} El conjunto vaco (que se denota o { } ) es el conjunto que no tiene ningn elemento. Por ejemplo como S y V no tienen ningn elemento en comn: S V =

Determinacin de uniones e intersecciones de intervalos: Veamos los siguientes ejemplos

Ejemplo 1: (1; 3) 2; 7 Solucin: La solucin de la interseccin de dos intervalos est formada por el subconjunto de nmeros reales que se encuentra en ambos: (1; 3) 2; 7 = { x / 1


6

)2;1[1;1 )2

7;5()4;2[

La solucin de la unin de dos intervalos est formada por el subconjunto de nmeros reales que se encuentra en (-2; -1) o en (1; 2), por lo que (-2; 1 (1; 2)= { x / -2< x 1 o 1< x < 2 } = { x / -2


7

Ejercicio 2: Indicar, en cada caso, el conjunto solucin de lo representado en la recta real. Expresarlo en notacin de intervalos. (Observar la resolucin del ejercicio 1 como ejemplo). Las respuestas de los ejercicios se las deben enviar al TUTOR

Representa (- ; 2

1) 2; 2) 1;4 3) (-3 ; 4) 4) 5;2

5) ;1 6) (-1; 6)


8

Ejercicio 3: Determinar los siguientes conjuntos, expresarlos utilizando la notacin de intervalos y representarlos sobre la recta real.

5;7;3)

3;125;2)

18;213;5)14;37;2)

d

c

ba

a) )14;2(14x3o7x2/Rx14;3)7;2( b) 13;5 c)

25;1

d) ;7


9

Repasemos algunas propiedades de las operaciones suma y producto para los nmeros reales. Observen el cuadro a continuacin:

Propiedades Ejemplos

Otras La operacin de divisin se define en trminos de multiplicacin. Recordar que el inverso

multiplicativo de un nmero real distinto de cero es b1

, que tambin se escribe b 1 .

Entonces,

a. b1

= ba

y se dice que a se divide entre b. Algunas propiedades importantes de esta operacin (las que siempre se deben tener en cuenta para no cometer errores) son las siguientes:

Propiedades Ejemplos

5.23.253.2...51.

73.

31

51.

73.

31).(.)..(

)12(2112

21)()(

3.55.3..7337

cabacba

cbacba

cbacba

abbaabba

53

7.57.30,

.

.

3529

355.37.2

73

520,

...

27

414

4113

411

430

5.73

51:

730,,.:

5.34.2

54.

320,

...

cbba

cbca

dbdb

cbdadc

ba

cc

bacb

ca

dcbcd

ba

dc

ba

dbdbca

dc

ba

Tema 2: Operaciones y propiedades en el conjunto de nmeros reales


10

Recordar algunas propiedades que se cumplen con el nmero cero que conviene tener presentes: Se resuelven algunos ejemplos con la utilizacin de las propiedades enunciadas.

Recordar que las variables deben estar

restringidas de modo que se excluya la

00000

1)4(01

120)1).(2(000.

707

00.7

0

00.

4

00

asi

asia

xxentoncesxxbaentoncesbaSi

aa

a

a

1.2

1...1.

.1.1

)

3683

366320

4.99.74.5

47

95)

47

4103

410

43)

.22.)

0,1,0.1.1

1.11:1)

4,243

4.23.2)

24102.14)

yyxyx

yyyxxyx

yyyxyx

yx

yxg

f

e

wuvuwvud

yyxsiyyxxy

xy

xx

yy

xc

xxsixx

xxxxb

xxentoncesxxa


11

Ejercicio 1: Ha llegado el momento de resolver los siguientes ejercicios teniendo en cuenta las propiedades vistas, ver en Respuestas y constatar la solucin.

a. b.

c.

d. e.

48141:

1541.

85

321.

43

7321

31

412

764

51

3

3

43

)8.(64

0625,081

12

21:21

53

5,032)5,01()1(

133

a) Recordamos

positivoenterony

asia

a nn 01

a) 1 b) 6,31 c) 0 d) 1/3 e) 4,375

f) 100x41 10

g) 4x2x12x6x9x29 4589

h) 4x4x3 2


12

Un producto de nmeros iguales se escribe por lo general con notacin exponencial. Por ejemplo: 5 . 5. 5= 5 3 . En general se tiene la siguiente definicin:

Ejemplos:

813.3.3.33)

813.3.3.3)3()321

21.

21.

21.

21.

21

21)

4

4

5

cb

a

Como recordamos en los ejercicios del tema 2:

Si a es un nmero real y n es un entero positivo, entonces la n-sima potencia de a es.

a n = a. a .a .a....a

(n factores)

El nmero a es la base y n es el exponente.

Notar la diferencia entre (-3)4 y -34

En el primero el exponente se aplica a (-3), mientras que en el segundo a 3 (el signo se aplica

al resultado).

positivoenteronyasia

a

asia

nn 01

010

Tema 3: Exponentes y radicales. Definicin, propiedades


13

Otras propiedades tiles de los exponentes ( a ; m, n enteros positivos):

Propiedades

Ejemplos

Veamos la aplicacin de estas propiedades en ejercicios de mayor complejidad:

4

57

34

843

4

48

3

3

4

442

3

3423

146

12233

12323

3433233423

...

.

....)2

.54...54

..27.2..3.23.2)1

zyx

yzyxx

zxy

yx

zxy

yx

zxy

yx

babbaa

babababababa

Otras propiedades adicionales que sern tiles para la simplificacin de expresiones (siendo a 0 y b 0 ) con exponentes negativos son:

2733)0(

16.22..

)0(

..

3

3

33

4444

153.535.

64

10

53232

xxxbba

ba

xxxbabaxxxaa

xxxaa

aa

xxxxaaa

n

nn

nnn

nmnm

nmn

m

nmnm

n

m

m

n

nn

ab

ba

ab

ba

Cuidado con estas

propiedades, cambia el

signo del exponente pero

(y z )


14

Ejemplos:

Ejercicio1: De acuerdo con las propiedades vistas, resolver los siguientes

ejercicios. Simplificar la expresin y expresar el resultado con potencias positivas. (si t 0) ( si y 0) ( si x 0) ( si m 0) (si s 0) (si y 0) (si x 0; y 0) (si x 0; y 0; z 0)

0,0

278

32

23

5

3

3

5

33

yxxy

yx

3 5

2 4 5 1

49

5

4 2 8

3 2 42

43 4

5

4 32 3 4

2 4

3 4

42 2 2

a) t .t1b) 12x y . x y2

x 2xc)

x1d) m . m . 12m3

e) r.s . 2.s . 4.r

6.y .yf )

2.y

x .y . x.yg)

x .yx.y .zh)

x .y .z

a) 2t1 b) 6 x7 y3 c) 16 x8 d) 2m

4

e) 64 r7 s4 f) 648 y3 g) x7 y4 h) 5129

yzx


15

Otros resultados conocidos son los desarrollos de las siguientes potencias de binomios: Es importante no cometer el error comn de distribuir la potencia en una suma de trminos, puesto que las igualdades anteriores evidencian que no se verifica la distributividad de la potencia respecto de la suma. Teniendo en cuenta lo comentado, se resuelven los siguientes ejemplos:

32233

222

33

2

bbabaaba

bababa

Recordar que surge de

(a+b)2=(a+b) (a+b)

y aplicar propiedad

133

1

1

1

1.1)

246

3

32

3

3

2

32

33

aaaa

aa

aaa

aaaa

aaa

9124

)3()3.(2.2)2(

32

32

32

3.232)

24

2

2222

2

22

2

2

2

22

22

bbb

bbb

bb

bb

bb

bbb

bbb

(a 0)

b 0 y 032

bb

Cuando exista suma de

trminos no simplificar

expresiones del numerador

con expresiones del

La potenciacin es distributiva respecto del

cociente


16

Ejercicio 2: Ha llegado el momento de resolver los siguientes

ejercicios, ver en Respuestas y constatar con la solucin. Realizar las operaciones indicadas a continuacin y simplificar

convenientemente indicando las restricciones para cada caso.

No olvidamos los radicales. Definimos la raz n- sima de a

Por Ejemplo:

1.1)1)

1)

1.1)

2

2

2

xxxdbcc

cb

ba

baa

Si n es un nmero entero positivo impar, entonces la raz n-sima de a se define como:

abcumplesesiba nn

Si n es par, es necesario que adems se cumpla a 0 y b 0

Notacin: nn aa1

a) 2b1a (b 0) b) 22

2

)1c(c

01

cc c) 1-2 b + b2

d) h 2 e) x 3 1


17

De acuerdo con la definicin, recordar que el caso en que el ndice de la raz sea par y el radicando sea negativo, no tiene solucin para los nmeros reales. Veamos un ejemplo ilustrativo. Otras reglas para trabajar con races aparecen en el siguiente recuadro (en todos los casos suponemos que las races existen en ) :

Propiedades

Ejemplos

- Racionalizacin de denominadores:

1128

3938153

4

16 (No est definido en el conjunto )

22

3729729729

32

8116

8116)0(

63.227.827.8..

44

323 2

62.33.

4

44

333

aa

xxaa

aa

bba

ba

baba

nn

pmp m

mpp m

n

nn

nnn

Observacin: esta propiedad se cumple si n es impar; si n es par se cumple slo en el caso a 0.


18

Con frecuencia resulta til eliminar el radical en el denominador, multiplicando tanto el numerador como el denominador por una expresin apropiada. Este procedimiento se conoce como racionalizacin de denominadores. Observar estos tres ejemplos ilustrativos:

Este mismo procedimiento se puede aplicar para la racionalizacin de numeradores.

Ejercicio 3: Racionalizar los denominadores

aa

a

a

aac

xx

x

xxx

xxb

a

7 4

7 4

7 4

7 37

3

3

3 3

3

3

3

3 23 2

2

.11)

.11)

33.2

3

3.233.

32

32)

4332)

3)

2)

25)

23)

3)

1)

7251)

5 2

3

2

2

3

xxh

axxg

xyf

axxae

xxd

yyc

yyb

a

(a 0)

(x 0)


19

a) )72()51(31

b) yy

y3

c) y3

)y3(y

d) x4

)x2(x3 2

e) 2

2

a4x)a2x(ax5

f) x

)2y(x3 2

g) xa

ax)x3( 5 43 h)

16x9)4x3()3x2(

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