PARTICULA EN MOVIMIENTO PARTICULA EN MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLEARMÓNICO SIMPLE

El movimiento descrito en sección precedente se presenta con tanta frecuencia que El movimiento descrito en sección precedente se presenta con tanta frecuencia que se considera el modelo de partícula en movimiento armónico simple para se considera el modelo de partícula en movimiento armónico simple para representar tales situaciones . Con el fin de elaborar una representación matemática representar tales situaciones . Con el fin de elaborar una representación matemática para este modelo ,primero se reconoce aquel bloque es una partícula bajo una fuerza para este modelo ,primero se reconoce aquel bloque es una partícula bajo una fuerza neta , como se describe en la ecuación 15.1 . Por lo general se elegirá x como eje a neta , como se describe en la ecuación 15.1 . Por lo general se elegirá x como eje a lo largo del que se representa la oscilación ; por eso ,en esta explicación se eliminara lo largo del que se representa la oscilación ; por eso ,en esta explicación se eliminara la notación de subíndice x. recuerde que , por definición .a=dv/dt=d elevado al 2 x/ la notación de subíndice x. recuerde que , por definición .a=dv/dt=d elevado al 2 x/ dt elevado al 2, y así l ecuación 15.2 se puede expresar comodt elevado al 2, y así l ecuación 15.2 se puede expresar como

Si la relación k/m se indica con el símbolo w elevado al 2 (se elige w elevado al 2 en Si la relación k/m se indica con el símbolo w elevado al 2 (se elige w elevado al 2 en lugar de w para que la solución que se desarrolle a continuación sea mas simple en lugar de w para que la solución que se desarrolle a continuación sea mas simple en forma), en tal caso:forma), en tal caso:

Y la ecuación 15.3 se puede escribir en la forma :Y la ecuación 15.3 se puede escribir en la forma :

Ahora encuentre una solución matemática a la ecuación 15.2 , esto es , es una Ahora encuentre una solución matemática a la ecuación 15.2 , esto es , es una funcion que satisfaga la ecuación diferencial de segundo orden y se a una funcion que satisfaga la ecuación diferencial de segundo orden y se a una representación matemática de la posición de la partícula como funcion del tiempo . representación matemática de la posición de la partícula como funcion del tiempo . Se busca una funcion cuya segunda derivada sea la misma de la funcion original Se busca una funcion cuya segunda derivada sea la misma de la funcion original como un signo negativo y multiplicado por w elevado al 2 . Las funciones como un signo negativo y multiplicado por w elevado al 2 . Las funciones trigonometrías seno y coseno muestran este comportamiento ,así que se puede trigonometrías seno y coseno muestran este comportamiento ,así que se puede construir una solución alrededor de una de ellas o de ambas .la funcion coseno que construir una solución alrededor de una de ellas o de ambas .la funcion coseno que aparece enseguida es una solución a la ecuación diferencial :aparece enseguida es una solución a la ecuación diferencial :

Donde A,w y nulo son constantes . Para mostrar explícitamente que esta solución Donde A,w y nulo son constantes . Para mostrar explícitamente que esta solución satisface la ecuación 15.5 , note que :satisface la ecuación 15.5 , note que :

xmk

dxd 2

2

mk2

xdxd 2

2

2

)cos()( tAtx

)()(

)()cos(

22

2

tAsentsendtd

Adtxd

tAsentdtd

Adtdx

Al comparar la ecuación 15.6 y 15.8 , es claro que d elevado al 2 x/ dt Al comparar la ecuación 15.6 y 15.8 , es claro que d elevado al 2 x/ dt elevado al 2 =w elevado al2 x y se satisface la ecuación 15.5.elevado al 2 =w elevado al2 x y se satisface la ecuación 15.5.

Los parámetros A,w y nulo son constantes del momento . Para dar un Los parámetros A,w y nulo son constantes del momento . Para dar un significado físico a dichas constantes , es conveniente formar una significado físico a dichas constantes , es conveniente formar una representación del movimiento al graficar x como funcion de como en la representación del movimiento al graficar x como funcion de como en la figura 15.2ª. Primero ,A, llamada la amplitud del movimiento , es figura 15.2ª. Primero ,A, llamada la amplitud del movimiento , es simplemente el máximo valor de la posición de la partícula en la direccion x simplemente el máximo valor de la posición de la partícula en la direccion x posición o negativa . La constante w se llama frecuencia angular y tiene posición o negativa . La constante w se llama frecuencia angular y tiene unidades de rad./s .es una medida que tan rápido se presentan las unidades de rad./s .es una medida que tan rápido se presentan las oscilaciones; mientras mas oscilaciones por unidad de tiempo haya ,mas alto oscilaciones; mientras mas oscilaciones por unidad de tiempo haya ,mas alto es el valor de w . A partir de la ecuación 15.4 , la frecuencia angular es :es el valor de w . A partir de la ecuación 15.4 , la frecuencia angular es :

El Angulo constante es nulo se llama constante de fase (o ángulo inicial )y, El Angulo constante es nulo se llama constante de fase (o ángulo inicial )y, junto con la amplitud A, se determina de manera univoca por la posición y la junto con la amplitud A, se determina de manera univoca por la posición y la velocidad de la partícula en t=0 . Si la partícula esta en su posición máxima velocidad de la partícula en t=0 . Si la partícula esta en su posición máxima x = A 3n t=0 , la constante de fase es nulo=0 y la representación grafica del x = A 3n t=0 , la constante de fase es nulo=0 y la representación grafica del movimiento es como se exhibe en la figura 15.2b . La cantidad (wt+ nulo) se movimiento es como se exhibe en la figura 15.2b . La cantidad (wt+ nulo) se llama fase del movimiento . Note que la funcion x (t) es periódica y su valor llama fase del movimiento . Note que la funcion x (t) es periódica y su valor es el mismo cada vez que wt aumenta en 2r radianes .es el mismo cada vez que wt aumenta en 2r radianes .

Las ecuaciones 15.1,15.5 y 15.6 forman la base de la representación Las ecuaciones 15.1,15.5 y 15.6 forman la base de la representación matemática de la encuentra que la fuerza sobre una partícula tiene la forma matemática de la encuentra que la fuerza sobre una partícula tiene la forma matemática de la ecuación 15..1 , usted sabrá que el movimiento es de un matemática de la ecuación 15..1 , usted sabrá que el movimiento es de un oscilador armónico simple y la posición de la partícula ecuación diferencial oscilador armónico simple y la posición de la partícula ecuación diferencial de la forma de la ecuación 15.5 , el movimiento es el de un oscilador de la forma de la ecuación 15.5 , el movimiento es el de un oscilador armónico simple . Si analiza una situación y ubica la posición de una armónico simple . Si analiza una situación y ubica la posición de una partícula mediante la ecuación 15.6 , sabrá que la partícula se somete a un partícula mediante la ecuación 15.6 , sabrá que la partícula se somete a un movimiento armónico simple . movimiento armónico simple .

mk

Pregunta rápida 15.2Pregunta rápida 15.2

Considere una representación grafica (figura 15.3) de movimiento armónico simple , Considere una representación grafica (figura 15.3) de movimiento armónico simple , como se describe matemáticamente en la ecuación 15.6 .cuando el objeto esta en el como se describe matemáticamente en la ecuación 15.6 .cuando el objeto esta en el punto A de la grafica, ¿Qué puede decir acerca de su posición y vel0ocidad ? a) la punto A de la grafica, ¿Qué puede decir acerca de su posición y vel0ocidad ? a) la posición y su velocidad son positivas . b) la posición y la velocidad son negativas . c) posición y su velocidad son positivas . b) la posición y la velocidad son negativas . c) la posición es positiva y la velocidad es cero . d) la posición es negativa y su la posición es positiva y la velocidad es cero . d) la posición es negativa y su velocidad es cero . e) la posición es positiva y su velocidad es negativa . f) la posición velocidad es cero . e) la posición es positiva y su velocidad es negativa . f) la posición es negativa y su velocidad es positiva. es negativa y su velocidad es positiva.

Pregunta rápida 15.3Pregunta rápida 15.3

La figura 15.4 muestra dos curvas que representan el movimiento armónico simple La figura 15.4 muestra dos curvas que representan el movimiento armónico simple al que se someten dos objetos . La descripción correcta de estos dos movimientos es al que se someten dos objetos . La descripción correcta de estos dos movimientos es que el movimiento armónico simple del objeto B es , a) de mayor frecuencia angular que el movimiento armónico simple del objeto B es , a) de mayor frecuencia angular y mayor amplitud que el objeto A, b) de mayor frecuencia angular y menor amplitud y mayor amplitud que el objeto A, b) de mayor frecuencia angular y menor amplitud que el objeto A, c) de menor frecuencia angular y menor amplitud que el del objeto que el objeto A, c) de menor frecuencia angular y menor amplitud que el del objeto A. A.

Investigue un poco mas de la descripción matemática del movimiento armónico Investigue un poco mas de la descripción matemática del movimiento armónico simple . El periodo t del movimiento es el intervalo de tiempo requerido para que la simple . El periodo t del movimiento es el intervalo de tiempo requerido para que la partícula pase a través de un ciclo completo de su movimiento (figura 15.2ª ). Es partícula pase a través de un ciclo completo de su movimiento (figura 15.2ª ). Es decir , los valores de x y v para una partícula en el tiempo iguala los valores de x y v decir , los valores de x y v para una partícula en el tiempo iguala los valores de x y v en el tiempo t +T . Porque la fase aumenta en 2 r radianes en un intervalo de tiempo en el tiempo t +T . Porque la fase aumenta en 2 r radianes en un intervalo de tiempo deT. deT.

Al simplificar esta expresión se obtiene w T=2r,oAl simplificar esta expresión se obtiene w T=2r,o

El inverso del periodo se llama frecuencia del movimiento . Mientras que el periodo El inverso del periodo se llama frecuencia del movimiento . Mientras que el periodo

es el intervalo de tiempo por oscilación , la frecuencia representa el numero de es el intervalo de tiempo por oscilación , la frecuencia representa el numero de oscilaciones que experimenta la partícula por unidad de intervalo de tiempo :oscilaciones que experimenta la partícula por unidad de intervalo de tiempo :

las unidades de f son ciclos por segundo , o hertz (hz.). Reordenar la ecuación las unidades de f son ciclos por segundo , o hertz (hz.). Reordenar la ecuación 15.11m produce 15.11m produce

las ecuaciones 15.11 ,15.10 y 15.9 se usan para expresar el periodo y la frecuencia las ecuaciones 15.11 ,15.10 y 15.9 se usan para expresar el periodo y la frecuencia del movimiento armónicos simple en términos de las características m y k del del movimiento armónicos simple en términos de las características m y k del sistema como sistema como

r

T2

2)()( tTt

rTf

2

1

Tr

rf2

2

mk

rTf

km

rr

T

211

22

De este modo el periodo y la frecuencia dependen solamente de la masa de la De este modo el periodo y la frecuencia dependen solamente de la masa de la partícula de la constante de fuerza del resorte y no de los parámetros del partícula de la constante de fuerza del resorte y no de los parámetros del movimiento , como A . Como es de esperar , la frecuencia es mayor para un resorte movimiento , como A . Como es de esperar , la frecuencia es mayor para un resorte mas rígido y disminuye con la masa creciente de la partícula .mas rígido y disminuye con la masa creciente de la partícula .

Es posible obtener la velocidad y la aceleración elevado al 2 de una partícula Es posible obtener la velocidad y la aceleración elevado al 2 de una partícula sometida a movimiento armónico simple a partir de las ecuaciones 15.7 y 15.8:sometida a movimiento armónico simple a partir de las ecuaciones 15.7 y 15.8:

a partir de la ecuación 15.15 se ve que , puesto de las funciones seno y coseno a partir de la ecuación 15.15 se ve que , puesto de las funciones seno y coseno oscilan entre -+1 , los valores extremos de la velocidad v son -+w A . Del mismo oscilan entre -+1 , los valores extremos de la velocidad v son -+w A . Del mismo modo , la ecuación 15.16 muestra que los valores extremos de la aceleración a son -modo , la ecuación 15.16 muestra que los valores extremos de la aceleración a son -+w2 A . En consecuencia ,los valores máximos de las magnitudes de la velocidad y la +w2 A . En consecuencia ,los valores máximos de las magnitudes de la velocidad y la aceleración son : aceleración son :

La figura 15.5ª grafica la posición con el tiempo para un valor arbritado de la La figura 15.5ª grafica la posición con el tiempo para un valor arbritado de la constante de la fase . En las figuras 15.5b y 15.5c se ilustran las curvas asociadas constante de la fase . En las figuras 15.5b y 15.5c se ilustran las curvas asociadas de velocidad defiende la fase aceleración-tiempo . Las cuales muestran que la fase de velocidad defiende la fase aceleración-tiempo . Las cuales muestran que la fase de la velocidad defiere de la posición en r/2 rad., o 90 grados . Es decir , cuando x es de la velocidad defiere de la posición en r/2 rad., o 90 grados . Es decir , cuando x es un máximo o un mínimo l la velocidad es cero . Del mismo modo , cuando x es un máximo o un mínimo l la velocidad es cero . Del mismo modo , cuando x es cero , la rapidez es un máximo . Además , note que la fase de la aceleración defiere cero , la rapidez es un máximo . Además , note que la fase de la aceleración defiere de la fase de la posición en r radianes , o 180 grados . Por ejemplo , cuando x es un de la fase de la posición en r radianes , o 180 grados . Por ejemplo , cuando x es un máximo , a tiene una magnitud máxima en la direccion opuesta .máximo , a tiene una magnitud máxima en la direccion opuesta .

)cos(

)(

22

2

tAdtxd

a

tAsendtdx

v

Amk

Aa

Amk

Av

2max

max

Pregunta rápida 15.4Pregunta rápida 15.4

Un objeto de masa m cuelga de un resorte y se pone en oscilación . El periodo de la Un objeto de masa m cuelga de un resorte y se pone en oscilación . El periodo de la oscilación se mide y registro como T. el objeto de masa m se retira y se sustituye oscilación se mide y registro como T. el objeto de masa m se retira y se sustituye con un objeto de masa 2m . Cuando este objeto se pone en oscilación ,¿Cuál es el con un objeto de masa 2m . Cuando este objeto se pone en oscilación ,¿Cuál es el periodo del movimiento ? A)2T,b) raíz 2T,c) T, d) T/raíz 2 , e) T/2periodo del movimiento ? A)2T,b) raíz 2T,c) T, d) T/raíz 2 , e) T/2

La ecuación . Describe el movimiento armónico simple de una partícula en general . La ecuación . Describe el movimiento armónico simple de una partícula en general . Ahora vea como evaluar las constantes del movimiento. La frecuencia angular w se Ahora vea como evaluar las constantes del movimiento. La frecuencia angular w se evalúa con la ecuación 15.9 . Las consonantes =A y nulo se evalúan a partir de las evalúa con la ecuación 15.9 . Las consonantes =A y nulo se evalúan a partir de las ecuaciones iniciales ,es decir , del estado de oscilador en t=0.ecuaciones iniciales ,es decir , del estado de oscilador en t=0.

Suponga que la partícula se pone en movimiento al jalarla desde el equilibrio una Suponga que la partícula se pone en movimiento al jalarla desde el equilibrio una distancia A y liberada desde el reposo en t= 0, como en la figura 15.6. después se distancia A y liberada desde el reposo en t= 0, como en la figura 15.6. después se deben requerir soluciones para x (t) y v (t)(ecuaciones 15.6 ,15.15 )para obedecer deben requerir soluciones para x (t) y v (t)(ecuaciones 15.6 ,15.15 )para obedecer las condiciones iniciales x(0)=A y v(0)=0.las condiciones iniciales x(0)=A y v(0)=0.

estas condiciones se satisfacen si nulo =0 ,lo que da x=A cos w t como solución . Si estas condiciones se satisfacen si nulo =0 ,lo que da x=A cos w t como solución . Si busca comprobar esta solución , advierta que satisface la condición x(0)=A porque busca comprobar esta solución , advierta que satisface la condición x(0)=A porque cos 0 =1 .cos 0 =1 .

La posición , velocidad y n aceleración con el tiempo se grafican en la figura 15.7ª La posición , velocidad y n aceleración con el tiempo se grafican en la figura 15.7ª para este caso especial .la aceleración alcanza valores extremos de -+w2 A cuando para este caso especial .la aceleración alcanza valores extremos de -+w2 A cuando la posición tiene valores extremos de +-A . Además, la velocidad tiene valores la posición tiene valores extremos de +-A . Además, la velocidad tiene valores extremos de-+ wA , que se presentan en x = 0 . Por lo tanto , la solución cualitativa extremos de-+ wA , que se presentan en x = 0 . Por lo tanto , la solución cualitativa concuerda con la descripción cualitativa de este sistema .concuerda con la descripción cualitativa de este sistema .

considere otra posibilidad . Suponga que el sistema oscila y se define t=0 como el considere otra posibilidad . Suponga que el sistema oscila y se define t=0 como el instante cuando la partícula pasa a través de la posición no es estirada del resorte instante cuando la partícula pasa a través de la posición no es estirada del resorte mientras se mueve a la derecha . En este caso , las soluciones para x (t) y v (t) mientras se mueve a la derecha . En este caso , las soluciones para x (t) y v (t) deben obedecer las condiciones iniciales x(0) =09 y v(0)=vi :deben obedecer las condiciones iniciales x(0) =09 y v(0)=vi :

0 sen A -v(0)

A cos )0(

Ax

i

Ax

v sen A -v(0)

0 cos )0(

La primera de estas condiciones diceLa primera de estas condiciones dice que nulo=+-r/2 . Con esas opciones para nulo, que nulo=+-r/2 . Con esas opciones para nulo, la segunda condición dice que A=-+vi/w . Porque la velocidad inicial es positiva y la la segunda condición dice que A=-+vi/w . Porque la velocidad inicial es positiva y la amplitud es positiva ,se debe tener nulo = -r/2. En consecuencia , la solución es: amplitud es positiva ,se debe tener nulo = -r/2. En consecuencia , la solución es:

Las graficas de posición ,velocidad y aceleración de tiempo para esta opción de t=0 Las graficas de posición ,velocidad y aceleración de tiempo para esta opción de t=0 se muestran en la figura 15.7b. Note que estas curvas son las mismas que en la se muestran en la figura 15.7b. Note que estas curvas son las mismas que en la figura 15.7ª ,pero desplazadas a la derecha en un cuarto de ciclo . Este corrimiento figura 15.7ª ,pero desplazadas a la derecha en un cuarto de ciclo . Este corrimiento se describe matemáticamente por la constante de fase nulo = -r/2, que es un cuarto se describe matemáticamente por la constante de fase nulo = -r/2, que es un cuarto de ciclo completo de 2r.de ciclo completo de 2r.

2cos

rt

vx i

Ejemplo 15.1 un sistema Ejemplo 15.1 un sistema bloque -resorte bloque -resorte

Un bloque de 200 g conectado a un resorte ligero tiene una constante de fuerza de Un bloque de 200 g conectado a un resorte ligero tiene una constante de fuerza de 5.00 N/m y se libere de oscilar sobre una superficie horizontal sin fricción . El bloque 5.00 N/m y se libere de oscilar sobre una superficie horizontal sin fricción . El bloque se desplaza 5.00 cm. Desde el equilibrio y se libera del reposo como en la figura .se desplaza 5.00 cm. Desde el equilibrio y se libera del reposo como en la figura .

A) Hallar el periodo de su movimiento . A) Hallar el periodo de su movimiento . SOLUCIONSOLUCION CONCEPTUALIZAR . Estudie la figura . E imagine el bloque que se mueve de atrás CONCEPTUALIZAR . Estudie la figura . E imagine el bloque que se mueve de atrás

para delante en movimiento armónico simple una vez que se libera . Establezca un para delante en movimiento armónico simple una vez que se libera . Establezca un modelo experimental en la direccion vertical al colgar un objeto pesado , como una modelo experimental en la direccion vertical al colgar un objeto pesado , como una engrampadota , de una banda de hule resistente .engrampadota , de una banda de hule resistente .

Aplique la ecuación 15.9 para hallar la frecuencia angular delAplique la ecuación 15.9 para hallar la frecuencia angular del sistema bloque-resorte:sistema bloque-resorte:

Use la ecuación 15.13 para encontrar el periodo del sistema:Use la ecuación 15.13 para encontrar el periodo del sistema:

B) Determine la rapidez máxima del bloque.B) Determine la rapidez máxima del bloque.

SOLUCIONSOLUCION

Use la ecuación 15.17 para hallar v máx.. Use la ecuación 15.17 para hallar v máx..

sradkgmN

mk

/00.510200

/00.53

smmsradAvmáx /250.0)1000.5)(/00.5( 2

ssrad

rrT 26.1

/00.522

C)¿Cuál es la máxima aceleración del bloque ?C)¿Cuál es la máxima aceleración del bloque ?

SOLUCIONSOLUCION

Use la ecuación 15.18 para hallar a máx.. :Use la ecuación 15.18 para hallar a máx.. :

D) exprese la posición , velocidad y aceleración como funciones de tiempo.D) exprese la posición , velocidad y aceleración como funciones de tiempo.

SOLUCIONSOLUCION

Encuentre la constante de fase a partir de la condición inicial Encuentre la constante de fase a partir de la condición inicial de que x=A en t=0:de que x=A en t=0:

Aplique la ecuación para escribir una expresión para X (T):Aplique la ecuación para escribir una expresión para X (T):

Use la ecuación 15.15 para escribir una expresión para v (t):Use la ecuación 15.15 para escribir una expresión para v (t):

Aplique la ecuación 15.16 para escribir una expresión Aplique la ecuación 15.16 para escribir una expresión para a (t): para a (t):

¿Qué pasaría si ?¿y si el bloque se libera desde la misma posición inicial ,x i =500 ¿Qué pasaría si ?¿y si el bloque se libera desde la misma posición inicial ,x i =500 cm. ,pero con una velocidad inicial de v i=-0.100 m/s?¿que partes de la solución cm. ,pero con una velocidad inicial de v i=-0.100 m/s?¿que partes de la solución cambian y cuales son las nuevas respuestas para estas ? cambian y cuales son las nuevas respuestas para estas ?

RESPUESTAS . La parte A) no cambia porque el periodo es independiente de cómo se RESPUESTAS . La parte A) no cambia porque el periodo es independiente de cómo se pone en movimiento el oscilador . Los incisos B),C) y D) cambiaran .pone en movimiento el oscilador . Los incisos B),C) y D) cambiaran .

Escriba las expresiones de posición y velocidad para lasEscriba las expresiones de posición y velocidad para las Indicaciones iniciales : Indicaciones iniciales :

2222 /250.0)1000.5()/00.5( smmsradAamáx

5.00t)sen m/s (1.50) t( cosA v 22

0A cos)0( Ax

5.00t m)cos (0.050)t( cosA x

5.00tm/s)sen (0.250) t(sen A v

i

i

vsen A - v(0))2

x cosA x(0))1

Divida la ecuación 2) entre la ecuación 1) para Divida la ecuación 2) entre la ecuación 1) para Encontrar la constante de fase:Encontrar la constante de fase:

Use la ecuación 1) para hallar A:Use la ecuación 1) para hallar A:

Encuentre la nueva rapidez máxima :Encuentre la nueva rapidez máxima :

Encuentre la nueva magnitud de la aceleración máxima:Encuentre la nueva magnitud de la aceleración máxima:

Encuentre nuevas expresiones para posición , velocidad yEncuentre nuevas expresiones para posición , velocidad y aceleración :aceleración :

como aprendió en los capítulos 7 y 8 , muchos problemas son mas fáciles de como aprendió en los capítulos 7 y 8 , muchos problemas son mas fáciles de resolver al aplicar una aproximación energética en lugar de usar uno en funcion de resolver al aplicar una aproximación energética en lugar de usar uno en funcion de variables de movimiento . La condicional ¿Qué pasaría si? Es mas fácil de resolver a variables de movimiento . La condicional ¿Qué pasaría si? Es mas fácil de resolver a partir de una aproximación energética . Por lo tanto , en la siguiente sección se partir de una aproximación energética . Por lo tanto , en la siguiente sección se investigara la energía del oscilador armónico simple. investigara la energía del oscilador armónico simple.

i

i

xv

A

cossen A -

400.0m) 0 050.0)(/00.5(

/100.0 tan

sradsm

xv

i

i

0.127r

m 3 054.0)127.0cos(

0m 050.0 cos

xA i

r

)127.000.5cos()m/s -(1.36a

0.127)(5.00tsen m/s) -(0.271v

0.127r)(5.00t cos 3m) 054.0(

2 rt

x

smmsradAv /271.0)1043.5)(/00.5( 2max

2222max /36.1)1043.5()/00.5( smmsradAa

Ejemplo 15.2 ¡Cuidado con los Ejemplo 15.2 ¡Cuidado con los haches ¡haches ¡

Un automóvil con una masa de 1 300 Kg. Se construye de modo que su chasis esta Un automóvil con una masa de 1 300 Kg. Se construye de modo que su chasis esta sostenido mediante cuatro amortiguadores . Cada amortiguador tiene una constante de sostenido mediante cuatro amortiguadores . Cada amortiguador tiene una constante de fuerza de 20 000 n/m . Dos personas que viajan en el automóvil tienen una masa fuerza de 20 000 n/m . Dos personas que viajan en el automóvil tienen una masa combinada de 160 Kg. Encuentre la frecuencia de vibración del automóvil después de que combinada de 160 Kg. Encuentre la frecuencia de vibración del automóvil después de que pasa sobre un bache en el camino. pasa sobre un bache en el camino.

SOLUCIONSOLUCION

CONCEPTUALIZAR . Piense en sus experiencias en los automóviles . Cuando se sienta en CONCEPTUALIZAR . Piense en sus experiencias en los automóviles . Cuando se sienta en un automóvil , se mueve hacia abajo una distancia pequeña porque su peso comprime a un automóvil , se mueve hacia abajo una distancia pequeña porque su peso comprime a un mas losa amortiguadores . Si usted presiona la defensa frontal y la libera , el frente del un mas losa amortiguadores . Si usted presiona la defensa frontal y la libera , el frente del automóvil oscila algunas veces .automóvil oscila algunas veces .

CATEGORIZAR . Imagine que el automóvil esta sostenido mediante un sollo amortiguador CATEGORIZAR . Imagine que el automóvil esta sostenido mediante un sollo amortiguador y modele al automóvil como una partícula en movimiento armónico simple .y modele al automóvil como una partícula en movimiento armónico simple .

ANALIZAR . Primero determine la constante de resorte efectiva de los cuatro ANALIZAR . Primero determine la constante de resorte efectiva de los cuatro amortiguadores combinados . Para una cierta extensión x de los amortiguadores , la fuerza amortiguadores combinados . Para una cierta extensión x de los amortiguadores , la fuerza combinada sobre un automóvil es la suma de las fuerzas de los amortiguadores combinada sobre un automóvil es la suma de las fuerzas de los amortiguadores individuales .individuales .

Encuentre una expresión para la fuerza total sobre el automóvil:Encuentre una expresión para la fuerza total sobre el automóvil: xkkxFtotal )()(

En esta expresión , x se factorizo de la suma porque es la misma para los cuatro En esta expresión , x se factorizo de la suma porque es la misma para los cuatro amortiguadores . La constante del resorte efectiva para las amortiguadores amortiguadores . La constante del resorte efectiva para las amortiguadores combinados es la suma de las constantes del amortiguador individual .combinados es la suma de las constantes del amortiguador individual .

Evalué la constante de resorte efectiva :Evalué la constante de resorte efectiva :

Use la ecuación 15.14 para encontrar la frecuencia Use la ecuación 15.14 para encontrar la frecuencia de vibración :de vibración :

FINALIZAR. La masa que se utiliza en este caso es el del automóvil mas las FINALIZAR. La masa que se utiliza en este caso es el del automóvil mas las personas ,porque es la masa total que oscila . Advierta también que solo se exploro personas ,porque es la masa total que oscila . Advierta también que solo se exploro el movimiento hacia arriba y hacia del automóvil . Si se establece una oscilación en el movimiento hacia arriba y hacia del automóvil . Si se establece una oscilación en la que el automóvil se mece de atrás para adelante tal que el extremo frontal sube la que el automóvil se mece de atrás para adelante tal que el extremo frontal sube cuando el extremo posterior baja , la frecuencia será diferente .cuando el extremo posterior baja , la frecuencia será diferente .

¿QUÉ PASARIA SI ? El sistema de suspensión del automóvil se detiene al lado del ¿QUÉ PASARIA SI ? El sistema de suspensión del automóvil se detiene al lado del camino y las dos personas salen del auto . Una de ellas presiona hacia abaj9o el camino y las dos personas salen del auto . Una de ellas presiona hacia abaj9o el automóvil y lo libera de modo que oscile a la vertical.¿ la frecuencia de oscilación es automóvil y lo libera de modo que oscile a la vertical.¿ la frecuencia de oscilación es la misma que el valor recién calculado ?la misma que el valor recién calculado ?

RESPUESTA . El sistema de suspensión del automóvil es el mismo , pero la masa que RESPUESTA . El sistema de suspensión del automóvil es el mismo , pero la masa que oscila es menor; que no incluye la masa de las dos personas . Por lo tanto , la oscila es menor; que no incluye la masa de las dos personas . Por lo tanto , la frecuencia debe ser mayor . Calcule l nueva frecuencia considerando la masa como frecuencia debe ser mayor . Calcule l nueva frecuencia considerando la masa como 1 300 Kg.: 1 300 Kg.:

´́

Como se predijo , la nueva un poco mayor.Como se predijo , la nueva un poco mayor.

Hzkg

mN

rm

k

rf

mNmNkk

ef

ef

18.11460

/800000

2

1

2

1

/80000/200004

HzkgmN

rm

k

rf ef 25.1

1300/800000

21

21

Energía del oscilador armónico Energía del oscilador armónico simple simple

Examine la energía mecánica del sistema bloque-resorte que se ilustra en la figura Examine la energía mecánica del sistema bloque-resorte que se ilustra en la figura 15.1. ya que la superficie no tiene fricción , el sistema esta aislado y es de esperar que 15.1. ya que la superficie no tiene fricción , el sistema esta aislado y es de esperar que la energía mecánica total del sistema sea constante . Ahora suponga un resorte sin la energía mecánica total del sistema sea constante . Ahora suponga un resorte sin masa , de modo que la, energía cinética del sistema solo corresponde a la del bloque ; masa , de modo que la, energía cinética del sistema solo corresponde a la del bloque ; puede usar la ecuación 15.15 para expresar la energía cinética del bloque como :puede usar la ecuación 15.15 para expresar la energía cinética del bloque como :

La energía potencial elástica almacenada en el resorte para cualquier elongación x se La energía potencial elástica almacenada en el resorte para cualquier elongación x se conoce por ½ kx 2(véase la ecuación 7.22). Si usa la ecuación 15.6 produce :conoce por ½ kx 2(véase la ecuación 7.22). Si usa la ecuación 15.6 produce :

Se ve que K y U siempre son cantidades positivas o cero . Puesto de w2 = K/m, la Se ve que K y U siempre son cantidades positivas o cero . Puesto de w2 = K/m, la energía mecánica total del oscilador armónico simple se expresa como :energía mecánica total del oscilador armónico simple se expresa como :

A partir de la identidad sen2 0+cos20=1, se ve que la cantidad entre corchetes es la A partir de la identidad sen2 0+cos20=1, se ve que la cantidad entre corchetes es la unidad . En consecuencia ,esta ecuación se reduce a :unidad . En consecuencia ,esta ecuación se reduce a :

)(cos222212

21 tAkAkxU m

)(222212

21 tsenAmmvK m

))(cos)( 2221 tttsenkAUKE

221 kAE

Esto es: la energía mecánica total de un oscilador armónico simple es una constante de Esto es: la energía mecánica total de un oscilador armónico simple es una constante de movimiento y es proporcional al cuadrado de la amplitud . La energía mecánica total es movimiento y es proporcional al cuadrado de la amplitud . La energía mecánica total es igual a la energía potencial máxima almacenada en el resorte cuando x =+-A porque igual a la energía potencial máxima almacenada en el resorte cuando x =+-A porque v=0 , la energía total , toda forma de energía cinética , de nuevo es ½ KA2 .v=0 , la energía total , toda forma de energía cinética , de nuevo es ½ KA2 .

En la figura 15.9ª aparecen graficas de las energía cinética y potencial en funcion del En la figura 15.9ª aparecen graficas de las energía cinética y potencial en funcion del tiempo, donde se considero nulo=0 . En todo ,momento la suma de las energías cinética y tiempo, donde se considero nulo=0 . En todo ,momento la suma de las energías cinética y potencial es una constante igual a ½ KA2 ,la energía total del sistema.potencial es una constante igual a ½ KA2 ,la energía total del sistema.

Las variaciones de K y U con la posición x del bloque se grafican en la figura 15.9b . La Las variaciones de K y U con la posición x del bloque se grafican en la figura 15.9b . La energía se transforma continuamente entre energía potencial almacenada en el resorte y energía se transforma continuamente entre energía potencial almacenada en el resorte y energía cinética del bloque .energía cinética del bloque .

La figura 15.10 ilustra la posición , velocidad, aceleración , energía cinética y energía La figura 15.10 ilustra la posición , velocidad, aceleración , energía cinética y energía potencial del sistema bloque- resorte para un periodo completo de movimiento . La potencial del sistema bloque- resorte para un periodo completo de movimiento . La mayoría de ideas explicadas hasta el momento se imconprora en esta importante figura . mayoría de ideas explicadas hasta el momento se imconprora en esta importante figura . Estúdiela cuidadosamente .Estúdiela cuidadosamente .

Por ultimo , la velocidad del bloque es una posición arbritaria se obtiene al expresar la Por ultimo , la velocidad del bloque es una posición arbritaria se obtiene al expresar la energía total del sistema en alguna posición arbitraria x como :energía total del sistema en alguna posición arbitraria x como :

Al comprobar la ecuación 15.22 para ver si concuerda con casos conocidos , se encuentra Al comprobar la ecuación 15.22 para ver si concuerda con casos conocidos , se encuentra que verifica x =+-A.que verifica x =+-A.

Es posible que se pregunte por que se pasa tanto tiempo en el estudio de los osciladores Es posible que se pregunte por que se pasa tanto tiempo en el estudio de los osciladores armónicos simples . La respuesta es que son buenos modelos de una amplia variedad de armónicos simples . La respuesta es que son buenos modelos de una amplia variedad de fenómenos físicos . Por ejemplo, recuerde ese potencial Lennard – Jones explicado en el fenómenos físicos . Por ejemplo, recuerde ese potencial Lennard – Jones explicado en el ejemplo 7.9. esta complicada funcion describe las fuerzas que mantienen unidos a los ejemplo 7.9. esta complicada funcion describe las fuerzas que mantienen unidos a los átomos . La figura 15.11ª muestra que , para pequeños desplazamientos desde la átomos . La figura 15.11ª muestra que , para pequeños desplazamientos desde la posición de equilibrio , la curva de energía potencial para esta funcion se aproxima a un posición de equilibrio , la curva de energía potencial para esta funcion se aproxima a un parábola , que representa la funcion de energía potencial para un oscilador armónico parábola , que representa la funcion de energía potencial para un oscilador armónico simple .por lo tanto , las fuerzas complejas de enlace atómico se modelan como debida a simple .por lo tanto , las fuerzas complejas de enlace atómico se modelan como debida a pequeños resortes , como se bosqueja en la figura 15.11b.pequeños resortes , como se bosqueja en la figura 15.11b.

2222

2212

212

21

)( xAxAmk

v

kAkxmvUKE

Las ideas presentadas en este capitulo no solo se aplican a sistemas bloque-resorte Las ideas presentadas en este capitulo no solo se aplican a sistemas bloque-resorte y átomos , también funcionan con una amplia gama de situaciones que incluyen el y átomos , también funcionan con una amplia gama de situaciones que incluyen el salto bungee , la sintonía en una estación de televisión y la visión de la luz emitada salto bungee , la sintonía en una estación de televisión y la visión de la luz emitada por un láser .usted vera mas ejemplos de osciladores armónicos simples mientras por un láser .usted vera mas ejemplos de osciladores armónicos simples mientras trabaja a lo largo de este libro .trabaja a lo largo de este libro .

Ejemplo 15.3 Oscilaciones Ejemplo 15.3 Oscilaciones sobre una superficie sobre una superficie

horizontal horizontal Un carro de 0.500 Kg. Conectado a un resorte ligero para que la constante de fuerza Un carro de 0.500 Kg. Conectado a un resorte ligero para que la constante de fuerza es 20.0 N/m oscila sobre una pista de aire horizontal sin fricción .es 20.0 N/m oscila sobre una pista de aire horizontal sin fricción .

A) Calcule la energía total del sistema y la rapidez máxima del carro si la amplitud A) Calcule la energía total del sistema y la rapidez máxima del carro si la amplitud del movimiento es 3.00 cm. del movimiento es 3.00 cm.

SOLUCIONSOLUCION CONCEPTUALIZAR . El sistema oscila exactamente en la misma forma que el bloque CONCEPTUALIZAR . El sistema oscila exactamente en la misma forma que el bloque

de la figura 15.10.de la figura 15.10.

CATEGORIZAR . El carro se modela como una partícula en movimiento armónico CATEGORIZAR . El carro se modela como una partícula en movimiento armónico simple .simple .

ANALIZAR . Use la ecuación 15.21 para encontrar la energíaANALIZAR . Use la ecuación 15.21 para encontrar la energía del oscilador:del oscilador:

Cuando el carro esta en x=0, la energía del oscilador es Cuando el carro esta en x=0, la energía del oscilador es completamente cinética, así se establece E=1/2 mv2 máx.. : completamente cinética, así se establece E=1/2 mv2 máx.. :

Resuelva para la rapidez máxima:Resuelva para la rapidez máxima:sm

kgJ

v /190.0500.0

)1000.9(2 3

max

22212

21 )1000.3)(/0.20( mmNkAE

J3-109.00

Jmv 3max

2

21 1000.9

B) ¿Cuál es la velocidad del carro cuando la posición es 2.00 cm.?B) ¿Cuál es la velocidad del carro cuando la posición es 2.00 cm.?

SOLUCIONSOLUCION Use la ecuación 15.22 para evaluar la velocidad :Use la ecuación 15.22 para evaluar la velocidad :

Los signos positivo y negativo indican que el carro podría moverse hacia la derecha Los signos positivo y negativo indican que el carro podría moverse hacia la derecha o la izquierda en este instante .o la izquierda en este instante .

C) Calcule las energías cinética y potencial del sistema cuando la posición es 2.00 C) Calcule las energías cinética y potencial del sistema cuando la posición es 2.00 cm.cm.

SOLUCIONSOLUCION Use el resultado del inciso B) para evaluar la energíaUse el resultado del inciso B) para evaluar la energía cinética en x=0.020 0 m: cinética en x=0.020 0 m:

Evalué la energía potencial elástica en x = 0.020 0 m :Evalué la energía potencial elástica en x = 0.020 0 m :

FINALIZAR . Advierta que la suma de las energías cinética y potencial en el inciso C) FINALIZAR . Advierta que la suma de las energías cinética y potencial en el inciso C) es igual a la energía total que se encontró en el inciso A). Esto debe ser cierto para es igual a la energía total que se encontró en el inciso A). Esto debe ser cierto para cualquier posición del carro. cualquier posición del carro.

¿QUE PASARIA SI ? El carro en este ejemplo pudo haberse puesto en movimiento al ¿QUE PASARIA SI ? El carro en este ejemplo pudo haberse puesto en movimiento al liberarlo desde el reposo en x =3.00 cm. ¿y si el carro se libera desde la misma liberarlo desde el reposo en x =3.00 cm. ¿y si el carro se libera desde la misma posición , pero con un a velocidad inicial de v= -0.100 m/s ?¿cuales son las nuevas posición , pero con un a velocidad inicial de v= -0.100 m/s ?¿cuales son las nuevas amplitud y rapidez máxima del carro?amplitud y rapidez máxima del carro?

)( 22 xAmk

v

22 )0200.0()0300.0(500.0

/0.20mm

kgmN

sm /141.0

JsmkgmvK 32212

21 1000.5)/141.0)(500.0(

JmmNkxU 32212

21 1000.4)0200.0)(/0.20(

RESPUESTA . Esta pregunta es del mismo tipo que se planteo al final del ejemplo RESPUESTA . Esta pregunta es del mismo tipo que se planteo al final del ejemplo 15.1 , pero en este caso se aplica a una aproximación energética .15.1 , pero en este caso se aplica a una aproximación energética .

Primero calcule la energía total del sistema en t=0Primero calcule la energía total del sistema en t=0

Iguale esta energía total con la energía potencial cuando Iguale esta energía total con la energía potencial cuando el carro esta en el punto final del movimiento :el carro esta en el punto final del movimiento :

Resuelva para la amplitud A:Resuelva para la amplitud A:

Encuentre la nueva rapidez máxima al igualar la energíaEncuentre la nueva rapidez máxima al igualar la energía total con la energía cinética cuando el carro estetotal con la energía cinética cuando el carro este En la posición de equilibrio:En la posición de equilibrio:

Resuelva para la rapidez máxima :Resuelva para la rapidez máxima :

La amplitud y velocidad máxima son mayores que los valores previos porque el La amplitud y velocidad máxima son mayores que los valores previos porque el carro se le dio una velocidad inicial en t=0. carro se le dio una velocidad inicial en t=0.

J

mmNsmkg

kxmvE

2

2212

21

2212

21

1015.1

)0300.0)(/0.20()/100.0)(500.0(

221 kAE

mmNJ

kE

A 0339.0/0.20

)11015.1(22 2

max2

21 mvE

smkg

JmE

v /214.0500.0

)11015.1(22 2

max

Comparación de movimiento Comparación de movimiento armónico simple con armónico simple con

movimiento circular uniformemovimiento circular uniforme algunos dispositivos comunes en la vida cotidiana muestran una correspondencia algunos dispositivos comunes en la vida cotidiana muestran una correspondencia entre movimiento oscilatorios y movimiento circulatorio . Por ejemplo , el pistón en entre movimiento oscilatorios y movimiento circulatorio . Por ejemplo , el pistón en el motor de un automóvil sube y baja aunque el resultado neto de este movimiento el motor de un automóvil sube y baja aunque el resultado neto de este movimiento es el movimiento circular de las ruedas . En una locomotora antigua , el eje impulsor es el movimiento circular de las ruedas . En una locomotora antigua , el eje impulsor va de atrás para delante en movimiento oscilatorio , lo que provoca un movimiento va de atrás para delante en movimiento oscilatorio , lo que provoca un movimiento circular en las ruedas . En esta sección se explora esta interesante relación entre circular en las ruedas . En esta sección se explora esta interesante relación entre estos dos tipos de movimiento.estos dos tipos de movimiento.

La figura muestra esta correspondencia en una implementación experimental .La figura muestra esta correspondencia en una implementación experimental . Una bola se une al borde de una tórnamela de radio , de que esta iluminada por una Una bola se une al borde de una tórnamela de radio , de que esta iluminada por una

lámpara . La bola protectora una sombra sobre una pantalla a medida que la lámpara . La bola protectora una sombra sobre una pantalla a medida que la tórnamela da vueltas con rapidez angular constante , la sombra de la bola se tórnamela da vueltas con rapidez angular constante , la sombra de la bola se mueve de atrás para adelante en movimiento armónico simple .mueve de atrás para adelante en movimiento armónico simple .

Considere una partícula ubicada en el punto P sobre la circunferencia de un circulo Considere una partícula ubicada en el punto P sobre la circunferencia de un circulo de radio , como en la figura 15.14ª , con la línea que forma un Angulo nulo con eje de radio , como en la figura 15.14ª , con la línea que forma un Angulo nulo con eje x en t=0. este circulo se llama circulo de referencia para comparar el movimiento x en t=0. este circulo se llama circulo de referencia para comparar el movimiento del circulo con rapidez angular constante , la proyección de P sobre el eje x , punto del circulo con rapidez angular constante , la proyección de P sobre el eje x , punto equitetado se mueve de atrás para adelante a lo largo del eje x entre los limites equitetado se mueve de atrás para adelante a lo largo del eje x entre los limites x=+-A.x=+-A.

Advierta que los puntos P y Q siempre tienen la misma coordenada x. a partir del Advierta que los puntos P y Q siempre tienen la misma coordenada x. a partir del triangulo rectángulo OPQ se ve que esta coordenada x es : triangulo rectángulo OPQ se ve que esta coordenada x es : )cos()( tAtx

Esta expresión es la misma que la ecuación y muestra que el punto Q se mueve con Esta expresión es la misma que la ecuación y muestra que el punto Q se mueve con movimiento armónico simple a lo largo del eje x. esta interpretación geométrica movimiento armónico simple a lo largo del eje x. esta interpretación geométrica muestra que el intervalo de tiempo para una revolución completa del punto P muestra que el intervalo de tiempo para una revolución completa del punto P sobre el circulo de referencia es igual al periodo de movimiento T para movimiento sobre el circulo de referencia es igual al periodo de movimiento T para movimiento armónico simple entre x=+-A. es decir , la rapidez angular w de P es la misma que la armónico simple entre x=+-A. es decir , la rapidez angular w de P es la misma que la frecuencia angular w del movimiento armónico simple a lo largo del eje x . La frecuencia angular w del movimiento armónico simple a lo largo del eje x . La constante de fase nulo para movimiento armónico simple corresponde l Angulo constante de fase nulo para movimiento armónico simple corresponde l Angulo inicial OP que forma con el eje x .inicial OP que forma con el eje x .

Ya que la correspondencia entre la rapidez lineal y angular para el movimiento Ya que la correspondencia entre la rapidez lineal y angular para el movimiento circular es v = rw , la partícula móvil en el circulo de referencia de radio se ve que la circular es v = rw , la partícula móvil en el circulo de referencia de radio se ve que la componente x de esta velocidad conocida por dx/dt . Derivando la ecuación 15.23 componente x de esta velocidad conocida por dx/dt . Derivando la ecuación 15.23 respecto al tiempo , se encuentra que la velocidad de Q es la misma que la respecto al tiempo , se encuentra que la velocidad de Q es la misma que la componente x de la velocidad P.componente x de la velocidad P.

L aceleración de P en el circulo de referencia se dirige racialmente hacia adentro , a L aceleración de P en el circulo de referencia se dirige racialmente hacia adentro , a partir de la geometría de la figura 15.14d , se ve que la aceleración del punto partir de la geometría de la figura 15.14d , se ve que la aceleración del punto proyectado Q a lo largo del eje x , como se puede verificar al tomar la segunda proyectado Q a lo largo del eje x , como se puede verificar al tomar la segunda derivada de la ecuación 15.23.derivada de la ecuación 15.23.

Pregunta rápida 15.5Pregunta rápida 15.5

La figura 15.15 muestra la posición de un objeto de movimiento circular uniforme en La figura 15.15 muestra la posición de un objeto de movimiento circular uniforme en t=0 . Una luz brilla desde arriba y proyecta una sombra del objeto sobre una t=0 . Una luz brilla desde arriba y proyecta una sombra del objeto sobre una pantalla abajo del movimiento circular .¿ cuales son los valores correctos para la pantalla abajo del movimiento circular .¿ cuales son los valores correctos para la amplitud y la constante de fase (en relación con un eje x a la derecha ) del amplitud y la constante de fase (en relación con un eje x a la derecha ) del movimiento armónico simple de la sombra ? A) 0.50 m y 0, b) 1.00 m y 0 , c) 0.50 y movimiento armónico simple de la sombra ? A) 0.50 m y 0, b) 1.00 m y 0 , c) 0.50 y rr , d) 1.00 m y rr . rr , d) 1.00 m y rr .

Ejemplo 15.4 Movimiento Ejemplo 15.4 Movimiento circular con rapidez angular circular con rapidez angular

constante constante Una partícula da vueltas en contra las manecillas del reloj en un circulo de 3.00 m de Una partícula da vueltas en contra las manecillas del reloj en un circulo de 3.00 m de

radio , con una rapidez angular constante de 8.00 rad/s . En t=0 , la partícula tiene radio , con una rapidez angular constante de 8.00 rad/s . En t=0 , la partícula tiene una coordenada x de 2.00 y se mueve hacia la derecha . una coordenada x de 2.00 y se mueve hacia la derecha .

A) Determine la coordenada x de la partícula como funcion del tiempo .A) Determine la coordenada x de la partícula como funcion del tiempo .

SOLUCION SOLUCION CONCEPTUALIZAR . Asegúrese de que comprende la correspondencia entre CONCEPTUALIZAR . Asegúrese de que comprende la correspondencia entre

movimiento circular de una partícula y el movimiento armónico simple de su movimiento circular de una partícula y el movimiento armónico simple de su sombra , como se describe en la figura 15.13 .sombra , como se describe en la figura 15.13 .

ANALIZAR . Use la ecuación 15.23 para escribir unaANALIZAR . Use la ecuación 15.23 para escribir una Expresión para la coordenada x de la partícula enExpresión para la coordenada x de la partícula en Rotación con w =8.00 rad/s:Rotación con w =8.00 rad/s:

Evalué nulo, use la condición inicial x =2.00 m enEvalué nulo, use la condición inicial x =2.00 m en T=0:T=0:

Resuelva para nulo: Resuelva para nulo:

)(0 m)cos (3.00 )tcos( Ax

)(0 m)cos (3.0000.2 m

radmm

841.02.48)667.0(cos00.300.2

cos 11

si se considera nulo=+0.841 rad como la respuesta ,la partícula es móvil hacia la si se considera nulo=+0.841 rad como la respuesta ,la partícula es móvil hacia la izquierda en t=0izquierda en t=0 . Ya que la partícula mueve hacia la derecha en t=0 , se debe elegir nulo . Ya que la partícula mueve hacia la derecha en t=0 , se debe elegir nulo =-0.841 rad.=-0.841 rad.

Escriba la coordenada x como función de tiempo :Escriba la coordenada x como función de tiempo :

B) encuentre las componentes x de velocidad y aceleración de la partícula en B) encuentre las componentes x de velocidad y aceleración de la partícula en cualquier tiempo t.cualquier tiempo t.

SOLUCIONSOLUCION Derivando la coordenada x respecto al tiempo para Derivando la coordenada x respecto al tiempo para Encontrar la velocidad en cualquier tiempo:Encontrar la velocidad en cualquier tiempo:

Derivando la velocidad respecto al tiempo Derivando la velocidad respecto al tiempo para encontrar la velocidad en cualquier tiempo:para encontrar la velocidad en cualquier tiempo:

FINALIZAR . Aunque estos resultados se evaluaron para la partícula móvil en el FINALIZAR . Aunque estos resultados se evaluaron para la partícula móvil en el circulo , recuerde que estos mismos resultados se aplican a la sombra , que se circulo , recuerde que estos mismos resultados se aplican a la sombra , que se mueve en movimiento armónico simple .mueve en movimiento armónico simple .

)841.0(8.00t m)cos (3.00 x

)841.000.8()/00.8)(00.3( tsensradmdtdx

vx

)841.000.8()/0.24( tsensm

)841.000.8cos()/00.8)(/0.24( tsradsmdt

dva xx

)841.000.8cos()/192( 2 tsm