Marco Teorico Empuje Fluidos

7/17/2019 Marco Teorico Empuje Fluidos

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PARADOJA DE ARQUIMIDES:

La an+cdota más conocida sobre "rqu#medes( matemático griego(

cuenta c!mo invent! un m+todo para determinar el volumen de un

objeto con una forma irregular. ,e acuerdo a -itruvio( arquitecto de la

antigua oma( una nueva corona con forma de corona triunfal hab#a

sido fabricada para /ier!n 00( tirano gobernador de *iracusa( el cual le

pidi! a "rqu#medes determinar si la corona estaba hecha de oro s!lido

o si un orfebre deshonesto le hab#a agregado plata. "rqu#medes ten#a

que resolver el problema sin da1ar la corona( as# que no pod#a

fundirla y convertirla en un cuerpo regular para calcular su densidad.

2ientras tomaba un ba1o( not! que el nivel de agua sub#a en la tina

cuando entraba( y as# se dio cuenta de que ese efecto podr#a usarse

para determinar el volumen de la corona. ,ebido a que la compresi!n

del agua ser#a despreciable( la corona( al ser sumergida( desplazar#a

una cantidad de agua igual a su propio volumen. "l dividir la masa de

la corona por el volumen de agua desplazada( se podr#a obtener ladensidad de la corona. La densidad de la corona ser#a menor si otros

metales más baratos y menos densos le hubieran sido a1adidos.

)ntonces( "rqu#medes sali! corriendo desnudo por las calles( tan

emocionado estaba por su descubrimiento para recordar vestirse(

gritando 34)ure5a63 7)n griego antiguo8 39:;<=>3 que significa 34Lo he

encontrado6?3

La historia de la corona dorada no aparece en los trabajos conocidosde "rqu#medes( pero en su tratado *obre los cuerpos otantes +l da el



principio de hidrostática conocido como el principio de "rqu#medes.

)ste plantea que todo cuerpo sumergido en un uido eperimenta un

empuje vertical y hacia arriba igual al peso del volumen de uido

desalojado es decir dos cuerpos que se sumergen en una super@cie

7ej.8 agua?( y el más denso o el que tenga compuestos más pesados

se sumerge más rápido( es decir( tarda menos tiempo( aunque es

igual la distancia por la cantidad de volumen que tenga cada cuerpo

sumergido.

/ab#a descubierto el principio f#sico que lleva su nombre(

generalizado para todos los uidos( y que se puede epresar as#8

3Aodo cuerpo sumergido en un l#quido pierde una parte de su peso( o

sufre un empuje de abajo hacia arriba( igual al del volumen del agua

que desaloja3.

0nici! el estudio de la estática( avanz! en m+todos de cálculo

in@nitesimal y sent! las bases de la hidrostática.

)ntre sus inventos se cuentan la rueda dentada y el tornillo sinf#n.

La historia cuenta tambi+n que( cuando los romanos sitiaron *iracusa(

construy! enormes espejos c!ncavos para concentrar en ellos los

rayos del sol y dirigirlos hacia las naves romanos para incendiarlas.

"demás( construy! una serie de máquinas( grandes catapultas( que

arrojaban una lluvia de proyectiles de gran tama1o sobre el enemigo.

'on ellas logr! defender su ciudad durante tres a1os.



,e +l se conservan ocho libros que tratan de diversas cuestiones de

f#sica( mecánica y geometr#a8 3*obre la esfera y el cilindro3( 32edida

del c#rculo3( 3"cerca de los cuerpos otantes3( @guran entre ellos

PRINCIPIO DE ARQUÍMEDES

Aodo cuerpo sumergido en un l#quido recibe un empuje( de abajo

hacia arriba( igual al peso del l#quido desalojado.

)sta fuerza recibe el nombre de empuje hidrostático o de

"rqu#medes( y se mide en NeBton. )l principio de "rqu#medes se

formula as#8

o bien

,onde ) es el empuje( ;f es la densidad del fluido( - el Cvolumen de

uido desplazadoD por algún cuerpo sumergido parcial o totalmente

en el mismo( g la aceleraci!n de la gravedad y m la masa( de estemodo( el empuje depende de la densidad del uido( del volumen del

La cata!"ta# i$%e$io &'"ico



cuerpo y de la gravedad eistente en ese lugar. )l empuje actúa

verticalmente hacia arriba y está aplicado en el centro de gravedad

del uido desalojado por el cuerpoE este punto recibe el nombre de

centro de carena.

CUERPOS SUMER(IDOS:

*obre un cuerpo sumergido actúan dos fuerzasE su peso( que es

vertical y hacia abajo y el empuje que es vertical pero hacia arriba.

*i queremos saber si un cuerpo ota es necesario conocer su peso

espec#@co( que es igual a su peso dividido por su volumen.

)ntonces( se pueden producir tres casos8

F. si el peso es mayor que el empuje 7G H )?( el cuerpo se hunde.

)s decir( el peso espec#@co del cuerpo es mayor al del l#quido.

I. si el peso es igual que el empuje 7G & )?( el cuerpo no se hunde

ni emerge. )l peso espec#@co del cuerpo es igual al del l#quido.

J. *i el peso es menor que el empuje 7G K )?( el cuerpo ota. )l peso

espec#@co del cuerpo es menor al del l#quido.



C!ero)

)!*er%i+o):

tre) ca)o),

E-e*"o# co$ !$ ca)o r.ctico: /or 0!' "o) &arco) $o )e

1!$+e$2

Los barcos no se hunden porque su peso espec#@co es menor al peso

espec#@co del agua( por lo que se produce un empuje mayor que

mantiene el barco a ote.

)sto a pesar de que el hierro o acero con que están hechos

generalmente los barcos es de peso espec#@co mayor al del agua y se

hunde 7un pedazo de hierro en el agua se va al fondo?( pero si

consideramos todas las partes del barco incluyendo los

compartimientos vac#os( el peso espec#@co general del barco

disminuye y es menor al del agua( lo que hace que +ste se mantenga

a ote.



ESTABILIDAD DE CUERPOS FLOTANTES O

SUMER(IDOS

La estabilidad de un cuerpo parcial o totalmente sumergido es vertical

y obedece al equilibrio eistente entre el peso del cuerpo 7 ? y la

fuerza de otaci!n 7 $?8

$$ & 7en el equilibrio?

"mbas fuerzas son verticales y actúan a lo largo de la misma l#nea.La fuerza de otaci!n estará aplicada en el centro de otaci!n 7'$? y

el peso estará aplicado en el centro de gravedad 7'M?.

La estabilidad de un cuerpo parcialmente o totalmente sumergido es

de dos tipos8

• ESTABILIDAD LINEAL: *e pone de mani@esto cuandodesplazamos el cuerpo verticalmente hacia arriba. )ste

desplazamiento provoca una disminuci!n del volumen de

uido desplazado cambiando la magnitud de la fuerza de

otaci!n correspondiente. 'omo se rompe el equilibrio

eistente entre la fuerza de otaci!n y el peso del cuerpo 7$$

?( aparece una fuerza restauradora de direcci!n vertical y

sentido hacia abajo que hace que el cuerpo regrese a suposici!n original( restableciendo as# el equilibrio. ,e la misma



manera( si desplazamos el cuerpo verticalmente hacia abajo(

aparecerá una fuerza restauradora vertical y hacia arriba que

tenderá a devolver el cuerpo a su posici!n inicial. )n este caso

el centro de gravedad y el de otaci!n permanecen en la

misma l#nea vertical.

• ESTABILIDAD ROTACIONAL: )ste tipo de estabilidad se pone

de mani@esto cuando el cuerpo sufre un desplazamiento

angular. )n este caso( el centro de otaci!n y el centro de

gravedad no permanecen sobre la misma l#nea vertical( por lo

que la fuerza de otaci!n y el peso no son colineales

provocando la aparici!n de un par de fuerzas restauradoras. )l

efecto que tiene dicho par de fuerzas sobre la posici!n del

cuerpo determinará el tipo de equilibrio en el sistema8

° E0!i"i&rio e)ta&"e: cuando el par de fuerzas

restauradoras devuelve el cuerpo a su posici!n original.

)sto se produce cuando el cuerpo tiene mayor densidad

en la parte inferior del mismo( de manera que el centro

de gravedad se encuentra por debajo del centro de

otaci!n.

° E0!i"i&rio i$e)ta&"e: cuando el par de fuerzas tiende a

aumentar el desplazamiento angular producido. )sto

ocurre cuando el cuerpo tiene mayor densidad en la



parte superior del cuerpo( de manera que el centro de

gravedad se encuentra por encima del centro de

otaci!n.

• E0!i"i&rio $e!tro: cuando no aparece ningún par de

fuerzas restauradoras a pesar de haberse producido un

desplazamiento angular. Godemos encontrar este tipo de

equilibrio en cuerpos cuya distribuci!n de masas es

homog+nea( de manera que el centro de gravedad

coincide con el centro de otaci!n.

ESTABILIDAD DE CUERPOS PRISM3TICOS

/ay ciertos objetos otantes que se encuentran en equilibrio

estable cuando su centro de gravedad está por encima del centro

de otaci!n. )sto entra en contradicci!n con lo visto anteriormente

acerca del equilibrio( sin embargo este fen!meno se produce de

manera habitual( por lo que vamos a tratarlo a continuaci!n.



-amos a considerar la estabilidad de cuerpos prismáticos otantes

con el centro de gravedad situado encima del centro de otaci!n(

cuando se producen peque1os ángulos de inclinaci!n.

La siguiente @gura muestra la secci!n transversal de un cuerpo

prismático que tiene sus otras secciones transversales paralelas

id+nticas. )n el dibujo podemos ver el centro de otaci!n '$( el

cual está ubicado en el centro geom+trico 7centroide? del volumen

sumergido del cuerpo 7-d?. )l eje sobre el que actúa la fuerza de

otaci!n está representado por la l#nea vertical "" que pasa

por el punto '$.

-amos a suponer que el cuerpo tiene una distribuci!n de masas

homog+nea( por lo que el centro de gravedad 'M estará ubicado

en el centro geom+trico del volumen total del cuerpo 7-?. )l eje

vertical del cuerpo está representado por la l#nea %% y pasa por el

punto 'M.

'uando el cuerpo está en equilibrio( los ejes "" y %% coinciden y

la fuerza de otaci!n y el peso actúan sobre la misma l#nea

vertical( por tanto son colineales( como muestra la @gura.

"hora inclinamos el cuerpo un ángulo peque1o en sentido

contrario a las agujas del reloj. 'omo vemos( el volumen

sumergido habrá cambiado de forma( por lo que su centroide '$

habrá cambiado de posici!n. Godemos observar tambi+n que el eje

"" sigue estando en direcci!n vertical y es la l#nea de acci!n de lafuerza de otaci!n.



Gor otro lado( el eje del cuerpo %% que pasa por el centro de

gravedad 'M habrá rotado con el cuerpo. "hora los ejes "" y %%

ya no son paralelos( sino que forman un ángulo entre s# igual al

ángulo de rotaci!n. )l punto donde intersectan ambos ejes se

llama 2)A"')NAO 72?. )n la @gura siguiente podemos ver que el

metacentro se encuentra por encima del centro de gravedad y

actúa como pivote o eje alrededor del cual el cuerpo ha rotado.

'omo sabemos( la fuerza de otaci!n actúa verticalmente en el

centroide '$ y a lo largo del eje ""( mientras que el peso actúasobre el centro de gravedad 'M y tambi+n en direcci!n vertical. )n

esta con@guraci!n ambas fuerzas no son colineales( por lo que

actúan como un par de fuerzas restauradoras que hacen girar el

cuerpo en sentido contrario a la rotaci!n producida en un principio(

devolviendo al cuerpo a su posici!n inicial. *e dice entonces que el

cuerpo se encuentra en equilibrio estable.



'uando inclinamos el cuerpo( puede ocurrir que el metacentro 2

est+ ubicado ahora por debajo del centro de gravedad. 'omo el

metacentro actúa de eje de rotaci!n alrededor del cual el cuerpo

gira( el par de fuerzas actúan como un par de fuerzas

restaurador( haciendo girar el cuerpo en el mismo sentido en el

que se realiz! la rotaci!n y dándole la vuelta( sin alcanzar la

posici!n que ten#a inicialmente. *e dice entonces que el cuerpo

presenta equilibrio inestable.

)n resumen( cuando el metacentro 2 se encuentra por encima del

centro de gravedad 'M, el cuerpo presenta equilibrio estable.

'uando el metacentro se encuentra por debajo de 'M el equilibrio

es inestableE y cuando el metacentro coincide con 'M, está en

equilibrio neutro.

La distancia entre el metacentro y el centro de otaci!n se conoce

como Paltura metac+ntricaQ y es una medida directa de la

estabilidad del cuerpo. )sta distancia se calcula mediante la

siguiente epresi!n8

,onde 0 es el momento de inercia de la secci!n horizontal del

cuerpo otante y -d es el volumen de uido desplazado por el

cuerpo.

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