MANUAL DEL DOCENTE - INACAP

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MANUAL DEL DOCENTE

“FUNCIONES EXPONENCIAL Y

LOGARÍTMICA”

ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS

VICERRECTORÍA ACADÉMICA 2020

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CHILE - INACAP

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2 UNIDAD FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

UNIDAD FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA EDICIÓN 2019 Creación Lorena Rosas Toro Germán Osses Romano Dirección Alejandro García Miño EDICIÓN 2020 Creación Germán Osses Romano Validación XXX Dirección Alejandro García Miño Juan Pablo Vargas

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PRESENTACIÓN MATEMÁTICA tiene dos propósitos fundamentales, primero nivelar a los alumnos de las áreas de Ingeniería en habilidades matemáticas necesarias para la vida, mediante estrategias de clase expositiva, solución de ejercicios y problemas y, segundo, contribuir en la formación técnica de los alumnos, mediante el desarrollo de destrezas que mejoren su desempeño profesional. Para ello esta asignatura busca promover el desarrollo de la competencia genérica de resolución de problemas. Competencia que busca promover en los estudiantes el desarrollo del razonamiento lógico necesario para asumir desafíos del mañana como futuro profesional. El MANUAL DEL DOCENTE “FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA” ofrece una variedad de problemas y ejercicios asociados a los objetivos de aprendizaje presentes en la unidad de Resolución de Problemas presente en el programa de la asignatura. La propuesta constituye una guía para organizar, orientar y complementar el trabajo del docente.

Esperamos que este material sea de ayuda tanto para el estudiante como para el docente.

Éxito en esta etapa de la asignatura

ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS

VICERRECTORÍA ACADÉMICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CHILE INACAP – 2020

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UNIDAD FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

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FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA.

Los logaritmos se inventaron alrededor de 1590 por John Napier (1550-1617) y Jobst Bürgi (1552-1632) de manera independiente. Napier, cuyo trabajo tuvo mayor influencia, era un lord escocés, de carácter muy reservado cuyos vecinos pensaban que tenía un pacto con el diablo. Su enfoque de los logaritmos era muy diferente al nuestro; se basaba en la relación entre secuencias aritméticas y geométricas y no en la actual como función inversa (recíproca) de las funciones exponenciales. Las tablas de Napier, publicadas en 1614, contenían los llamados logaritmos naturales y eran algo difíciles de usar. Un profesor londinense, Henry Briggs, se interesó en las tablas y visitó a Napier. En sus conversaciones, ambos desarrollaron la idea de los logaritmos comunes y Briggs convirtió las tablas de Napier en las tablas de logaritmos comunes que fueron publicadas en 1617. Su importancia para el cálculo fue inmediatamente reconocida y alrededor de 1650 se imprimían en lugares tan lejanos como China. Dichas tablas siguieron siendo una poderosa herramienta de cálculo hasta el advenimiento de las calculadoras manuales de bajo precio alrededor de 1972, lo que ha disminuido su importancia como instrumento de cálculo, pero no su importancia teórica. Un efecto colateral de la invención de los logaritmos fue la popularización de la notación del sistema decimal para los números reales. Las tablas de logaritmos se fueron perfeccionando a través de los años, y fueron utilizadas en los cálculos y en la enseñanza hasta hace relativamente poco tiempo. La era de la computación fue haciendo que las tablas fueran más fáciles de elaborar, pero también las hizo innecesarias, pues ahora es más simple presionar un par de teclas en la calculadora, que buscar mantizas y características. Con el nacimiento del Cálculo Infinitesimal, las funciones exponencial y logarítmica comienzan a tener importancia desde un punto de vista teórico, al comenzar a ser estudiadas sus propiedades diferenciales. La importancia teórica de estas funciones ha invadido casi la totalidad de las áreas de la Matemática, sobre todo aquellas en que las nociones del cálculo diferencial e integral están presentes. Por otro lado, su importancia desde un punto de vista aplicado va mucho más allá de su uso en los cálculos numéricos. Estas funciones ya no se enseñan más como simple herramienta de cálculo numérico, sino como base de modelos sofisticados y poderosa herramienta teórica en diferentes áreas del quehacer científico.

APRENDIZAJES ESPERADOS

2.- Resuelve problemas de la especialidad o disciplina, a través de la aplicación de estrategias propias del uso de la función exponencial y logarítmica. (Integrada Competencia Genérica Resolución de Problemas)

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

2.1.1.- Representar la función exponencial y/o logarítmica, mediante sus registros algebraico, pictórico, literal o gráfico. 2.1.2.- Considerar el cálculo de imágenes y/o preimágenes, según la función dada.

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2.1.3.- Determinar la tendencia de una función exponencial y/o logarítmica, mediante el análisis de razones de cambio y/o concavidades. 2.1.4.- Integrar las habilidades matemáticas fundamentales (Resolver problemas, Argumentar y comunicar, Modelar, Representar) necesarias para dar solución diversas situaciones problemáticas. 2.1.5.- Identificando situaciones problemáticas 2.1.6.- Estableciendo propuestas de solución viables

CONTENIDOS

Habilidades matemáticas fundamentales.

Introducción a las funciones exponenciales y logarítmicas.

Uso de calculadora científica y/o Geogebra como herramienta para la resolución de problemas que involucren tópicos de funciones exponenciales y logarítmicas.

PLANIFICACIÓN DE UNIDAD UNIDAD: FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

APRENDIZAJE ESPERADO CRITERIOS DE EVALUACIÓN CONTENIDOS HORAS

SUGERIDAS ACTIVIDADES MÍNIMAS OBLIGATORIAS

EN EL AULA (A.M.O.) SUGERENCIAS PARA ACTIVIDADES DE TRABAJO AUTÓNOMO FUERA DEL AULA

2.- Resuelve problemas de la especialidad o disciplina, a través de la aplicación de estrategias propias del uso de la función exponencial y logarítmica. (Integrada Competencia Genérica Resolución de Problemas)

2.1.1.- Representar la función exponencial y/o logarítmica, mediante sus registros algebraico, pictórico, literal o gráfico. 2.1.2.- Considerar el cálculo de imágenes y/o preimágenes, según la función dada. 2.1.3.- Determinar la tendencia de una función exponencial y/o logarítmica, mediante el análisis de razones de cambio y/o concavidades. 2.1.4.- Integrar las habilidades matemáticas fundamentales (Resolver problemas, Argumentar y comunicar, Modelar, Representar) necesarias para dar solución diversas situaciones problemáticas. 2.1.5.- Identificando situaciones problemáticas 2.1.6.- Estableciendo propuestas de solución viables

1.- Habilidades matemáticas fundamentales. 2.- Introducción a las funciones exponenciales y logarítmicas. 3.- Uso de calculadora científica y/o Geogebra como herramienta para la resolución de problemas que involucren tópicos de funciones exponenciales y logarítmicas.

16 horas:

14 horas

clases lectivas

2 horas

evaluación sumativa

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD

SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 01: LA CAMIONETA.

Duración estimada: 45 minutos aprox.

SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 02: CARBONO 14


SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 03: LA INVERSIÓN BANCARIA


SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 04: LOS TERREMOTOS, LA RELACIÓN ENTRE MAGNITUD Y ENERGÍA LIBERADA


SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 05: CRECIMIENTO DE UN NIÑO


Actividades On Line de Profundización y Ejercitación Matemática Actividades On Line AOL01. Crecimiento poblacional AOL02. El estroncio AOL03. Los depósitos AOL04. La altura de la planta Desafío On Line DES01. Intersección de funciones Actividades de Trabajo Autónomo Docente debe recomendar problemas y/o ejercicios del manual del estudiante para profundizar en su aprendizaje.

ORGANIZACIÓN SUGERIDA PARA LA UNIDAD

A continuación, se muestra una organización de las actividades considerando bloques de 45 minutos cada una.

HORAS HORAS

ACUMULADAS UNIDAD (O SUB UNIDAD) ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA

OTRAS ACTIVIDADES

1 1 Funciones exponencial y

logarítmica PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD - A.M.O.

N°01


logarítmica A.M.O. N°02


logarítmica




logarítmica


logarítmica




logarítmica


logarítmica




logarítmica


logarítmica


logarítmica


logarítmica


logarítmica

EVALUACION SUMATIVA


logarítmica

EVALUACION SUMATIVA

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ACTIVIDADES MÍNIMAS OBLIGATORIAS

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PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD TIEMPO ESTIMADO: 15 MINUTOS. El docente deberá realizar una presentación de la Unidad, mencionando sus objetivos, contenidos, criterios de

evaluación y aspectos históricos epistemológicos que están presenten desde sus orígenes. Además, deberá indicar

la estrategia metodológica para el logro de los aprendizajes esperados, unido a otros aspectos que considere

relevantes de comunicar a los estudiantes. Posteriormente presenta y da inicio a la Situación de aprendizaje 01.

Se recomienda que antes de comenzar la ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA Nº01, el docente genere en el aula,

la distribución de grupos al azar de 3 a 4 estudiantes, para comenzar con el trabajo de resolución de problemas

después de la presentación.

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ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA N°01

SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 01: LA VENTA DE LA CAMIONETA

Roberto compró en enero de 2016 una camioneta 4x4 nueva en $ 12.000.000. De ahí en adelante, cada mes se deprecia un 2%. a. Por problemas económicos Roberto necesita vender su camioneta. Si quisiera hacerlo en octubre de 2019. ¿Cuál sería su precio de venta? b. Roberto ha estimado que desea conservar su camioneta sólo hasta que su precio sea $8.000.000. ¿En qué año y mes podrá venderla a ese valor? c. ¿Cuántos meses habrá que esperar para que el valor de la camioneta sea la décima parte del valor de compra? d. Realiza un gráfico que represente la información correspondiente al precio de la camioneta a partir de enero del año 2016, haciendo la proyección hasta Enero de 2026. Luego realiza una breve descripción de la información plasmada en él.

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e. Encuentre el modelo exponencial que permite calcular el valor de la camioneta 4x4 a partir de enero de 2016.

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PROBLEMA LA VENTA DE LA CAMIONETA

CÓDIGO U02SA01

TIEMPO ESTIMADO 45 minutos.

CONOCIMIENTOS PREVIOS Regularidades exponenciales – Imagen y preimagen de una función – Representación gráfica de una función – Noción de ecuación

INTEGRACIÓN CON OTRAS UNIDADES 1. Funciones polinómicas

CONOCIMIENTO MATEMÁTICO (CONSTRUIR – PROFUNDIZAR)

1. Construcción de una función exponencial. 2. Representación gráfica de una función exponencial. 3. Imagen y preimagen de una función exponencial. 4. Introducción al uso de logaritmos. 5. Ecuaciones exponenciales.

CONTENIDOS SUGERENCIAS DIDÁCTICAS


Sugerencias para la aplicación del problema en aula: Este problema constituye una secuencia didáctica para la introducción de la noción de función exponencial. La situación planteada inicia el estudio del cambio exponencial a través de su representación verbal, transitando posteriormente por la gráfica, analítica y numérica (a través de tablas), con el objetivo de aportar a la comprensión de este contenido matemático. Se espera que el estudiante logre una comprensión cabal de este objeto matemático a través de su planteamiento, con el fin de comprender y abordar procesos de resolución posteriormente.

Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes, deben encontrar la solución a las preguntas planteadas en el problema:

a) Por problemas económicos Roberto necesita vender su camioneta. Si quisiera hacerlo en octubre de 2016. ¿Cuál sería su precio de venta? Esta pregunta busca que el estudiante se familiarice con la situación a través del estudio del decrecimiento exponencial del valor de un vehículo. Esto puede ser a través de métodos aritméticos, gráficos o algebraicos. Posterior a la respuesta de los estudiantes, el docente podría introducir el concepto de imagen de una función. Nota: Dado que esta actividad es de descubrimiento no es necesario que se haga notar al estudiante que la situación corresponde a un modelo exponencial, ni mucho menos que se vuelva el objetivo la búsqueda de un modelo algebraico. b) Roberto ha estimado que desea conservar su camioneta sólo hasta que su precio sea $8.000.000. ¿En qué año y mes podrá venderla a ese valor? c) ¿Cuántos meses habrá que esperar para que el valor de la camioneta sea la décima parte del valor de compra? Las preguntas b) y c) están dirigidas al trabajo con el concepto de preimagen de una función exponencial. A partir del trabajo con la variable

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dependiente (valor del vehículo), el estudiante debe encontrar el tiempo de venta del vehículo. Esto puede ser a través de métodos aritméticos, gráficos o algebraicos. Posterior a la respuesta de los estudiantes, el docente podría introducir el concepto de preimagen de una función exponencial. d. Realiza un gráfico que represente la información correspondiente al precio de la camioneta a partir de enero del año 2016, haciendo la proyección hasta Enero de 2026. Luego realiza una breve descripción de la información plasmada en él. Esta pregunta tiene como finalidad que el estudiante realice un análisis de la representación gráfica de una situación de cambio exponencial decreciente. Se recomienda que los estudiantes concluyan que es conveniente evaluar las imágenes de 0, 6, 12, 18, …, 114, 120. Posterior a la respuesta de los estudiantes, el docente podría introducir el trabajo con la gráfica de la función exponencial: corte con el eje vertical, dominio, recorrido, etc. e. Encuentre el modelo exponencial que permite calcular el valor de la camioneta 4x4 a partir de enero de 2016. Esta pregunta está orientada a encontrar un modelo algebraico que permita relacionar el tiempo y el valor del vehículo. A esta altura del trabajo con el enfoque de resolución de problemas los estudiantes serán capaces de encontrar el método más adecuado para formular la regularidad pedida.

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SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 02: CARBONO 14

La aplicación más conocida del Carbono-14 es el método de datación o determinación de la edad de un vestigio orgánico basado en la cantidad de carbono radiactivo que contiene. La masa de carbono 14 de cualquier fósil disminuye a un ritmo exponencial, que es conocido. Sabiendo la cantidad de carbono 14 que debería contener un fósil si aún estuviese vivo (semejante a la de la atmósfera en el momento en el que murió) y la que realmente contiene, se puede conocer la fecha de su muerte. La variación de la masa de cierta cantidad de carbono 14 de un fósil a través del tiempo puede calcularse, aproximadamente, aplicando el siguiente modelo:

𝑀(𝑡) = 𝑀0 ∙ 0,886𝑡 𝑀0: 𝑚𝑎𝑠𝑎 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑒𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑡: 𝑡𝑖𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑠𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑟𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑀: 𝑀𝑎𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝑐𝑎𝑟𝑏𝑜𝑛𝑜 𝑒𝑛 𝑔𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑐𝑡𝑖𝑣𝑎 Texto Extraído de: https://sites.google.com/site/483funcionexponencial/actividades-funcion-exponencial a. Supongamos que se encontró un fósil de 10.000 años cuya masa de carbono-14 cuando estaba vivo era de 400 gramos. ¿Cuánta masa de carbono-14 quedará en el fósil? b. En el año 2017 se encontró un fósil con una masa de 0,1722 gramos de carbono-14. Si originalmente esta especie tenia 300 gramos de carbono-14, ¿Cuántos años tenía el fósil encontrado? c. Completa la siguiente tabla usando el modelo algebraico, considerando que se encontró un fósil cuya masa de carbono 14 cuando estaba vivo era de 500 gramos.

Tiempo (en miles de años) Masa (en gramos)

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https://sites.google.com/site/483funcionexponencial/actividades-funcion-exponencial

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d. Construye un gráfico de la situación usando los datos de la tabla anterior. Luego realiza una breve descripción de la información plasmada en él.

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PROBLEMA CARBONO 14

CÓDIGO U02SA02





1. Representación gráfica de una función exponencial. 2. Imagen y preimagen de una función exponencial. 3. Introducción al uso de logaritmos. 4. Ecuaciones exponenciales.


1. Representación gráfica de una función exponencial. 2. Imagen y preimagen de una función exponencial. 3. Introducción al uso de logaritmos. 4. Ecuaciones exponenciales.

Sugerencias para la aplicación del problema en aula: Este problema constituye una secuencia didáctica para el trabajo con la noción de función exponencial. La situación planteada inicia el estudio del cambio exponencial a través de su representación gráfica, transitando posteriormente por la gráfica y numérica (a través de tablas), con el objetivo de aportar a la comprensión de este contenido matemático. Se espera que el estudiante logre una comprensión cabal de este objeto matemático a través de su planteamiento, con el fin de comprender y abordar procesos de resolución posteriormente.

Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al azar, deben encontrar la solución a las preguntas planteadas en el problema:

a. Supongamos que se encontró un fósil de 10.000 años cuya masa de carbono-14 cuando estaba vivo era de 400 gramos. ¿Cuánta masa de carbono-14 quedará en el fósil? Esta pregunta está formulada para que los estudiantes realicen un estudio de la situación, asignando distintos períodos de tiempo hasta que logren una comprensión del problema. Posterior a la respuesta de los estudiantes, el docente podría tratar el concepto de imagen de una función exponencial. b. En el año 2017 se encontró un fósil con una masa de 0,1722 gramos de carbono-14. Si originalmente esta especie tenia 300 gramos de carbono-14, ¿Cuántos años tenía el fósil encontrado? Esta pregunta está formulada para que los estudiantes realicen un estudio de la situación, asignando distintos períodos de tiempo hasta que logren comprender que se trata de la solución de una ecuación exponencial. Posterior a la respuesta de los estudiantes, el docente podría tratar el concepto de preimagen de una función exponencial.

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c. Completa la siguiente tabla usando el modelo algebraico, considerando que se encontró un fósil cuya masa de carbono 14 cuando estaba vivo era de 500 gramos.

Tiempo (en miles de años) Masa (en gramos)

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Esta pregunta busca que el estudiante se familiarice con el modelo algebraico a través del estudio del decrecimiento exponencial de la masa de carbono 14 en un fósil. Esto puede ser a través de métodos aritméticos, gráficos o algebraicos.

d. Construye un gráfico de la situación usando los datos de la tabla. Luego realiza una breve descripción de la información plasmada en él. Esta pregunta tiene como finalidad que el estudiante realice un análisis de la representación gráfica de una situación de cambio exponencial decreciente. Posterior a la respuesta de los estudiantes, el docente podría trabajar el trabajo con la gráfica de la función exponencial: corte con el eje vertical, dominio, recorrido, etc.

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SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 03: LA INVERSIÓN BANCARIA

Juan y Alfredo han decidido abrir cuentas de ahorro en distintas entidades bancarias. Juan invertirá en el Banco Mundial con un 6,5% de interés mensual (Línea segmentada) y Alfredo en el Banco Cordillera con un 3% de interés mensual (Línea continua), de acuerdo a la representación gráfica mostrada a continuación.

Suponiendo que el precio a pagar está en pesos, a. ¿Cuál es el monto de inversión inicial de Juan y de Alfredo? b. ¿A cuánto asciende la inversión de Juan si su dinero permanece en el banco 11 meses? c. ¿A cuánto asciende la inversión de Alfredo si su dinero permanece en el banco 1 año 8 meses? d. Si Alfredo desea tener su dinero hasta obtener $ 1.000.000 ¿Cuántos meses permaneció su dinero en el banco? e. Realiza una tabla que compare el avance de las inversiones de Juan y Alfredo en un año (mes a mes). f. Basándote en la gráfica. ¿En qué período de tiempo ambos amigos tienen la misma inversión? Pruébalo algebraicamente. g. Determine un modelo lineal que relacione el tiempo y el valor de la inversión de Juan y de Alfredo en sus respectivos bancos.

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PROBLEMA LA INVERSIÓN BANCARIA

CÓDIGO U02SA03








Sugerencias para la aplicación del problema en aula: Este problema constituye una secuencia didáctica para el trabajo con la noción de función exponencial. Se entrega dos modelos gráficos de crecimiento exponencial que representan el valor de una inversión de dinero en dos entidades bancarias que ofrecen distinto interés mensual. Las preguntas están dirigidas para que el estudiante trabaje con imágenes, preimágenes, representación gráfica y la búsqueda de un modelo algebraico para cada una de las curvas. La situación planteada inicia el estudio del cambio exponencial a través de su representación gráfica, transitando posteriormente por la gráfica y numérica (a través de tablas), con el objetivo de aportar a la comprensión de este contenido matemático. Se espera que el estudiante logre una comprensión cabal de este objeto matemático a través de su planteamiento, con el fin de comprender y abordar procesos de resolución posteriormente.

Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes, deben encontrar la solución a las preguntas planteadas en el problema:

a) ¿Cuál es el monto de inversión inicial de Juan y de Alfredo? Esta pregunta está formulada para que los estudiantes realicen un estudio de la situación a través de la gráfica. Para ello deben poner atención al corte con el eje y. b) ¿A cuánto asciende la inversión de Juan si su dinero permanece en el banco 11 meses? c) ¿A cuánto asciende la inversión de Alfredo si su dinero permanece en el banco 1 año 8 meses? Las preguntas b) y c) buscan que el estudiante se familiarice con la situación a través del estudio del crecimiento exponencial del valor de una inversión bancaria. Esto puede ser a través de métodos aritméticos, gráficos o algebraicos.

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Posterior a la respuesta de los estudiantes, el docente podría introducir el concepto de imagen de una función. d) Si Alfredo desea tener su dinero hasta obtener $ 1.000.000 ¿Cuántos meses permaneció su dinero en el banco? La pregunta d) está dirigida al trabajo con el concepto de preimagen de una función exponencial. A partir del trabajo con la variable dependiente (valor de la inversión), el estudiante debe encontrar el tiempo de inversión. Esto puede ser a través de métodos aritméticos, gráficos o algebraicos. e) Realiza una tabla que compare el avance de las inversiones de Juan y Alfredo en un año (mes a mes). f) Basándote en la gráfica. ¿En qué período de tiempo ambos amigos tienen la misma inversión? Pruébalo algebraicamente. Las preguntas e) y f) tienen como finalidad que el estudiante realice un análisis de la representación numérica (tabla) y gráfica de una situación de cambio exponencial creciente. Posterior a la respuesta de los estudiantes, el docente podría trabajar el trabajo con la gráfica de la función exponencial: corte con el eje vertical, dominio, recorrido, etc. g) Determine un modelo lineal que relacione el tiempo y el valor de la inversión de Juan y de Alfredo en sus respectivos bancos Esta pregunta está orientada a encontrar un modelo algebraico que permita relacionar el tiempo y el dinero invertido. A esta altura del trabajo con el enfoque de resolución de problemas los estudiantes serán capaces de encontrar el método más adecuado para formular la regularidad pedida.

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SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 04: LOS TERREMOTOS, LA RELACIÓN ENTRE MAGNITUD Y ENERGÍA LIBERADA.

La magnitud de los terremotos se puede modelar de acuerdo al siguiente modelo logarítmico:

𝑀(𝐸) =𝑙𝑜𝑔 (𝐸) − 11,8

1,5

donde M(E) es la magnitud del terremoto en la escala de Richter (de 0 a 10) y E la energía liberada (expresada en ergios) a) Encuentra la magnitud de un terremoto si su energía liberada fue de:

0,000009 ergios

0,0001 ergios

0,1 ergios.

0,9 ergios b) Calcula la energía liberada (E) (en notación científica) para los siguientes terremotos:

ESPAÑA (Granada) año 1956 magnitud 5

EEUU (California) año 1992 de magnitud 7,5,

CHILE (Valdivia) año 1960 de magnitud 9,5.

INDONESIA (Sumatra) año 2004 de magnitud 9,3.

EE.UU (Alaska) año 1964 de magnitud 9,2. c) ¿Cuántas veces mayor fue el terremoto en Chile que el de Indonesia en cuanto a la energía liberada? d) ¿cuántas veces es más intenso un terremoto de magnitud 9 en la escala de Richter que otro de magnitud 7? e) Con algún software, construya un gráfico que represente la información correspondiente a la magnitud y energía liberada por un terremoto. Luego realiza una breve descripción de la información plasmada en él. ¿Qué dificultad tiene la construcción de esta representación? ¿Cómo se puede solucionar tal dificultad?

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PROBLEMA LOS TERREMOTOS, LA RELACIÓN ENTRE MAGNITUD Y ENERGÍA LIBERADA

CÓDIGO U02SA04


CONOCIMIENTOS PREVIOS Imagen y preimagen de una función – Representación gráfica de una función – Noción de ecuación



1. Representación gráfica de una función logarítmica. 2. Imagen y preimagen de una función logarítmica. 3. Ecuaciones logarítmicas.


1. Representación gráfica de una función logarítmica. 2. Imagen y preimagen de una función logarítmica. 3. Ecuaciones logarítmicas.

Sugerencias para la aplicación del problema en aula: Este problema constituye una secuencia de aprendizaje para la introducción de la noción de función logarítmica. Se entrega un modelo algebraico que relaciona las variables magnitud y energía liberada de un terremoto con el objetivo de aportar a la comprensión de este contenido matemático a través de una situación de modelación matemática. Se espera que el estudiante logre una comprensión cabal de este objeto matemático a través de su planteamiento, con el fin de comprender y abordar procesos de resolución posteriormente. • Los estudiantes reunidos en grupos de 3 a 4 estudiantes elegidos al azar, deben encontrar la solución a las preguntas planteadas en el problema: a) Encuentra la magnitud (𝑴) de un terremoto si su energía liberada fue de: • 0,000009 ergios • 0,0001 ergios • 0,1 ergios. • 0,9 ergios Esta pregunta busca que el estudiante se familiarice con la situación a través del estudio de un cambio logarítmico de la magnitud de un terremoto. Posterior a la respuesta de los estudiantes, el docente podría introducir el concepto de imagen de una función logarítmica. b) Calcula la energía liberada (𝑬) (en notación científica) para los siguientes terremotos: • ESPAÑA (Granada) año 1956 magnitud 5 • EEUU (California) año 1992 de magnitud 7,5, • CHILE (Valdivia) año 1960 de magnitud 9,5. • INDONESIA (Sumatra) año 2004 de magnitud 9,3. • EE.UU (Alaska) año 1964 de magnitud 9,2.

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La pregunta b) está dirigida al trabajo con el concepto de preimagen de una función logarítmica. A partir del trabajo con la variable dependiente (M) magnitud de un terremoto, el estudiante debe encontrar la variable independiente (E) energía liberada. Esto puede ser a través de métodos aritméticos, gráficos o algebraicos. Posterior a la respuesta de los estudiantes, el docente podría introducir el concepto de preimagen de una función. c) ¿Cuántas veces mayor fue el terremoto en Chile que el de Indonesia en cuanto a la energía liberada? d) ¿cuántas veces es más intenso un terremoto de magnitud 9 en la escala de Richter que otro de magnitud 7? Las preguntas c) y d) tiene una doble finalidad, por una parte están orientadas a continuar el trabajo con preimágenes, y por otra parte para analizar la relación existente entre magnitud y energía liberada de un terremoto. e) Con algún software, construya un gráfico que represente la información correspondiente a la magnitud y energía liberada por un terremoto. Luego realiza una breve descripción de la información plasmada en él. ¿Qué dificultad tiene la construcción de esta representación? ¿Cómo se puede solucionar tal dificultad? Esta pregunta tiene como finalidad que el estudiante realice un análisis de la representación gráfica de una situación de cambio logarítmico y las dificultades que se presentan al graficar este tipo de funciones. Posterior a la respuesta de los estudiantes, el docente podría introducir el trabajo con la gráfica de la función logarítmica: corte con el eje vertical, dominio, recorrido, etc., además de mencionar el uso de escalas logarítmica para algunos fenómenos. Pueden trabajar con papel milimetrado logarítmico.

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SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 05: CRECIMIENTO DE UN NIÑO

Las curvas de crecimiento son una valiosa herramienta que se utiliza como referencia para evaluar el crecimiento y el desarrollo que se alcanzan durante la niñez y la adolescencia. Permiten evaluar el ritmo o velocidad de crecimiento y comprobar si éste se realiza de acuerdo con el proceso madurativo.

Los modelos de Count y de Jenss son funciones que se pueden usar para predecir la talla en niños de edad preescolar. Si h es la altura en centímetros y t la edad en años, entonces:

El modelo de Count queda expresado por:

ℎ(𝑡) = 70,228 + 5,104𝑡 + 9,222 ln 𝑡 /para 1

4≤ 𝑡 ≤ 6

El modelo de Jenss queda expresado por:

ℎ(𝑡) = 70,041 + 6,39𝑡 − 𝑒3,261−0,99𝑡 /para 1

4≤ 𝑡 ≤ 6

a. Calcule la estatura de un niño de 3 años usando ambos modelos.

b. A continuación, se presenta la gráfica de ambos modelos. El Modelo de Count con una línea punteada y el Modelo de Jenss con una línea continua. ¿Qué puedes concluir sobre cada uno de ellos?

c. De acuerdo a los modelos de Count y de Jenss ¿A qué edad, aproximadamente, se espera que un niño mida 90 cm?

d. Se dice que el modelo de Count es uno de los más precisos. ¿Por qué crees que ocurre esto?

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PROBLEMA CRECIMIENTO DE UN NIÑO

CÓDIGO U02SA05


CONOCIMIENTOS PREVIOS Imagen y preimagen de una función – Representación gráfica de una función – Noción de ecuación



1. Análisis gráfico de una función logarítmica. 2. Imagen y preimagen de una función logarítmica. 3. Ecuaciones logarítmicas.


1. Análisis gráfico de una función logarítmica. 2. Imagen y preimagen de una función logarítmica. 3. Ecuaciones logarítmicas.

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FORMALIZACIÓN DE CONTENIDOS

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A Continuación, encontrarás una breve descripción de algunos de los conceptos que se trabajarán en la Unidad de FUNCIONES

EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA.

FUNCIÓN EXPONENCIAL

Una función exponencial de base 𝑏 es una función real positiva definida de la siguiente manera

exp𝑏: ℝ ⟶ ]0 , +∞ [

𝑥 ⟶ exp𝑏(𝑥) = 𝑏𝑥

donde 𝑏 ∈ ℝ, 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1.

Observaciones: Cualquiera sea el valor de 𝑏 tal que 𝑏 ∈ ℝ, 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1, se cumple lo siguiente:

La gráfica de exp𝑏 es asintótica respecto de al eje horizontal.

Todas las gráficas de exp𝑏 pasan por el punto (1, 𝑏), es decir, exp𝑏(1) = 𝑏1 = 𝑏

Todas las gráficas de exp𝑏 pasan por el punto (0,1), es decir, exp𝑏(0) = 𝑏0 = 1 (intersecta al eje vertical en 1)

La expresión exp𝑏(−𝑥) =1

exp𝑏(𝑥), es decir, 𝑏−𝑥 =

1

𝑏𝑥

La expresión exp𝑏(𝑥1 + 𝑥2) = exp𝑏(𝑥1) ∙ exp𝑏(𝑥2), es decir, 𝑏𝑥1+𝑥2 = 𝑏𝑥1 ∙ 𝑏𝑥2

La expresión exp𝑏(𝑥1 − 𝑥2) = exp𝑏(𝑥1) ÷ exp𝑏(𝑥2) = exp𝑏(𝑥1) ∙ exp𝑏(−𝑥2), es decir, 𝑏𝑥1+𝑥2 = 𝑏𝑥1 ∙ 𝑏𝑥2

Si 𝑏 es el número de Euler, es decir, 𝑏 = 𝑒 ≈ 2.718281.. , la función exponencial se denomina “función

exponencial natural”. Así, exp𝑒(𝑥) = 𝑒𝑥.

Si 𝑏 > 1 la función exp𝑏(𝑥) = 𝑏𝑥 es estrictamente creciente. Algunos ejemplos son los siguientes:

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Si 0 < 𝑏 < 1 la función exp𝑏(𝑥) = 𝑏𝑥 es estrictamente decreciente. Algunos ejemplos son los siguientes:

Las funciones exponenciales de base recíproca, exp𝑏(𝑥) y exp1

𝑏

(𝑥), son simétricas respecto del eje vertical.

Algunos ejemplos son los siguientes:

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FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Una función logarítmica de base 𝑏 es una función real positiva definida de la siguiente manera

log𝑏: ]0 , +∞ [ ⟶ ℝ

𝑥 ⟶ log𝑏(𝑥)

donde 𝑏 ∈ ℝ, 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1.

Observaciones: Cualquiera sea el valor de 𝑏 tal que 𝑏 ∈ ℝ, 𝑏 > 0, 𝑏 ≠ 1, se cumple lo siguiente:

La gráfica de log𝑏 es asintótica respecto de al eje vertical.

Todas las gráficas de log𝑏 pasan por el punto (𝑏, 1), es decir, log𝑏(𝑏) = 1

Todas las gráficas de log𝑏 pasan por el punto (1,0), es decir, log𝑏(1) = 0 (intersecta al eje horizontal en 1)

La función logaritmo no está definida para valores menores o iguales a cero.

La expresión log𝑏(𝑥) = − log1

𝑏

(𝑥) y la expresión log𝑏 (1

𝑥) = − log𝑏(𝑥)

La expresión log𝑏(𝑥1 ∙ 𝑥2) = log𝑏(𝑥1) + log𝑏(𝑥2).

La expresión log𝑏(𝑥1 ÷ 𝑥2) = log𝑏(𝑥1) − log𝑏(𝑥2).

La expresión 𝑎 ∙ log𝑏(𝑥) = log𝑏(𝑥𝑎), donde 𝑎 ∈ ℝ.

Si 𝑏 es el número de Euler, es decir, 𝑏 = 𝑒 ≈ 2.718281.. , la función logarítmica se denomina “función logarítmica

natural” y se escribe log𝑒(𝑥) = ln (𝑥). Si 𝑏 = 10 , la función logarítmica en base 10 se escribe log10(𝑥) = log(𝑥).

Si 𝑏 > 1 la función log𝑏(𝑥) es estrictamente creciente. Algunos ejemplos son los siguientes:

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Si 0 < 𝑏 < 1 la función log𝑏(𝑥) es estrictamente decreciente. Algunos ejemplos son los siguientes:

Las funciones logarítmicas de base recíproca, log𝑏(𝑥) y log1

𝑏

(𝑥), son simétricas respecto del eje horizontal.

Algunos ejemplos son los siguientes:

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RELACIÓN FUNDAMENTAL ENTRE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA

Para todo valor 𝑏 ∈ ℝ, con 𝑏 > 0 y 𝑏 ≠ 1, se cumple la siguiente relación fundamental

log𝑏(𝑥) = 𝑦 ⟺ 𝑏𝑦 = 𝑥

Esta relación fundamental es muy útil al momento de resolver alguna ecuación exponencial o logarítmica, pues nos permite,

en ciertos casos, despejar la variable en cuestión.

Por ejemplo, consideremos la siguiente ecuación exponencial

2 + 82𝑥+4 = 8273

Para resolverla, podemos proceder de la siguiente manera

2 + 82𝑥+4 = 8273 ⟺ 82𝑥+4 = 8273 − 2

⟺ 82𝑥+4 = 8271

⟺ log8(8271) = 2𝑥 + 4 (Relación fundamental para 𝑏 = 8)

⟺ log8(8271) − 4 = 2𝑥

⟺ log8(8271)−4

2= 𝑥

Luego, la solución es 𝑥 =log8(8271)−4

2≈ 0.168974

Análogamente, consideremos la siguiente ecuación logarítmica

12 ln(3𝑥 − 5) + 10 = 118

Para resolverla, podemos proceder de la siguiente manera

12 ln(3𝑥 − 5) + 10 = 118 ⟺ 12 ln(3𝑥 − 5) = 118 − 10

⟺ 12 ln(3𝑥 − 5) = 108

⟺ ln(3𝑥 − 5) =108

12

⟺ ln(3𝑥 − 5) = 9

⟺ e9 = 3𝑥 − 5 (Relación fundamental para 𝑏 = 𝑒)

⟺ e9 + 5 = 3𝑥

⟺ e9+5

3= 𝑥

Luego, la solución es 𝑥 =𝑒9+5

3≈ 2702.69.

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SITUACIONES DE APRENDIZAJE RESUELTAS

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SITUACIÓN DE APRENDIZAJE RESUELTA N°01

SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 01: LAS BACTERIAS

En el laboratorio CAPANI se investiga la reproducción de cierta población de bacterias. Para ello se aísla una bacteria y se observa que se duplica cada 5 minutos. a. ¿Cuántas bacterias hay al cabo de 5 minutos?

b. ¿Cuántas bacterias hay al cabo de 30 minutos?

c. ¿Cuántas bacterias hay al cabo de 1 hora?

d. Exprese un modelo matemático que permita determinar la cantidad de bacterias al cabo de N minutos.

e. ¿Cuántos minutos deben transcurrir para que la cantidad de bacterias sea de 1.048.576?

f. Considere ahora que la cantidad inicial de bacterias estudiadas es de 4 bacterias. Exprese el modelo matemático

que permita determinar la cantidad de bacterias al cabo de N minutos. Realice una tabla de los primeros 30

minutos de reproducción.

g. Realice una gráfica que relacione la cantidad de bacterias en ambos modelos (hasta los 30 minutos).

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SOLUCIONES

a. Solución:

Cantidad de minutos Cantidad de bacterias

0 1

5 2

Por lo tanto, a los 5 minutos la cantidad de bacterias es 2. b. Solución:

Cantidad de minutos Cantidad de bacterias

0 1

5 2

10 4

15 8

20 16

25 32

30 64

Por lo tanto, a los 30 minutos la cantidad de bacterias es 64. c. Solución: Con la tabla anterior, es posible construir un modelo algebraico considerando la siguiente información:

Cantidad de minutos (N)

Cantidad de bacterias (B)

0 1

5 2

10 4

15 8

20 16

25 32

30 64

Por lo cual, la función exponencial queda definida de la siguiente manera

𝐵(𝑁) = 2𝑁5

Así, la cantidad de bacterias que hay en 1 hora (60 minutos) es

𝐵(60) = 2605 = 212 = 4096

Por lo tanto, a los 60 minutos hay 4096 bacterias.

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d. Solución: De acuerdo al problema anterior, el modelo queda definido de la siguiente manera

𝐵(𝑁) = 2𝑁5

Donde 𝑁 es la cantidad de minutos transcurridos. e. Solución: Para este problema se plantea la siguiente ecuación exponencial

2𝑁5 = 1048576

Luego, aplicando la relación fundamental para la base 2, se tiene

2𝑁5 = 1048576 ⟺ log2(1048576) =

𝑁

5 ⟺ 5 log2(1048576) = 𝑁 ⟺ 100 = 𝑁

Por lo tanto, para que haya 1048576 bacterias deberían haber transcurrido 100 minutos. f. Solución:

Cantidad de minutos (N)

Cantidad de bacterias (B)

0 4 ∙ 1 = 4

5 4 ∙ 2 = 8

10 4 ∙ 4 = 16

15 4 ∙ 8 = 32

20 4 ∙ 16 = 64

25 4 ∙ 32 = 128

30 4 ∙ 64 = 256

Por lo cual, la función exponencial queda definida de la siguiente manera

𝐵(𝑁) = 4 ∙ 2𝑁5

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g. Solución: La representación gráfica de ambos modelos queda de la siguiente manera:

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SITUACIÓN DE APRENDIZAJE RESUELTA N°02

SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 02: LOS FÁRMACOS

Existen fármacos llamados “fármacos hipnóticos” que son sedantes o anestésicos, como, por ejemplo, paracetamol, lidocaína, lorazepam, diazepam, entre muchos otros. Su efecto comienza cuando estos llegan al torrente sanguíneo y después nuestro organismo los elimina. El modelo de eliminación de un fármaco está dado por

log(𝐶) = log(𝐶0) −𝐾

2,303∙ 𝑡

donde

𝑡 es el tiempo en horas

𝐶 es la cantidad presente del fármaco (en mg) en cualquier instante de tiempo 𝑡.

𝐶0 es la cantidad o dosis inicial (en mg) del fármaco.

𝐾 es la contante de eliminación del fármaco. Si se administra a un adulto 250 mg de paracetamol con una constante de eliminación 0,43. Responde las siguientes situaciones: a. ¿Cuántos mg de paracetamol hay presente a las 3,5 horas?

b. ¿En cuántas horas la cantidad presente de paracetamol es de 200 mg?

c. ¿Cuántos mg de paracetamol ha absorbido el cuerpo entre 3,5 y 5,5 horas?

d. Despeje la variable 𝐶 y construye un gráfico que relacione 𝐶 en función de 𝑡.

e. Al analizar la representación gráfica, ¿En cuánto tiempo aproximadamente los mg de paracetamol son

absorbidos completamente?

SOLUCIONES

a. Solución:

En este problema se reemplaza 𝑡 = 3,5 horas, 𝐾 = 0,43 y 𝐶0 = 250 mg. Esto es,

log(𝐶) = log(250) −0,43

2,303∙ (3,5) = 1.7444

Luego, log(𝐶) = 1.7444. Esta ecuación se resuelve aplicando la relación fundamental para una base igual a 10. En efecto,

log(𝐶) = 1.7444 ⟺ 101.7444 = 𝐶 ⟺ 55.51 = 𝐶 Por lo tanto, a las 3,5 horas la cantidad de paracetamol que hay en el cuerpo es de 55,51 mg.

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b. Solución: En este problema se reemplaza 𝐶 = 200 mg, 𝐾 = 0,43 y 𝐶0 = 250 mg. Esto es,

log(200) = log(250) −0,43

2,303∙ 𝑡 ⟺ log(200) − log(250) = −

0,43

2,303∙ 𝑡

⟺ log(200) − log(250)

0,43∙ −2,303 = 𝑡

⟺ log(200) − log(250)

0,43∙ −2,303 = 𝑡

⟺ 0,519 = 𝑡

Por lo tanto, el adulto tendrá 200 mg de paracetamol a las 0,519 horas de suministrado. c. Solución: En este problema se reemplaza 𝑡 = 3,5 horas, 𝐾 = 0,43 y 𝐶0 = 250 mg. Este resultado está en la parte a., por lo cual, a las 3,5 horas la cantidad de paracetamol que hay en el cuerpo del adulto es de 55,51 mg. Posteriormente, debemos repetir el procedimiento para 𝑡 = 5,5 horas, 𝐾 = 0,43 y 𝐶0 = 250 mg. Esto es,

log(𝐶) = log(250) −0,43

2,303∙ (5,5) = 1,3710

Luego, log(𝐶) = 1,3710. Esta ecuación se resuelve aplicando la relación fundamental para una base igual a 10. En efecto,

log(𝐶) = 1,3710 ⟺ 101,3710 = 𝐶 ⟺ 23,49 = 𝐶 Así, a las 5,5 horas la cantidad de paracetamol que hay en el cuerpo es de 23,49 mg. Luego, se debe restar la cantidad de paracetamol a las 5,5 horas con la cantidad de paracetamol a las 3,5 horas.

55,51 − 23,49 = 32,02 mg Por lo tanto, la cantidad de paracetamol que ha absorbido el cuerpo entre 3,5 y 5,5 fue de 32,02 mg d. Solución: Para despejar 𝐶 se debe

log(𝐶) − log(𝐶0) = −𝐾

2,303∙ 𝑡 ⟺ log (

𝐶

𝐶0) = −

𝐾

2,303∙ 𝑡

40

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⟺ 𝐶

𝐶0= 10

− 𝐾

2,303∙𝑡

⟺ 𝐶 = 𝐶0 ∙ 10−

𝐾2,303

∙𝑡

Luego, la gráfica de la función 𝐶 = 𝐶0 ∙ 10−

𝐾

2,303∙𝑡

, para 𝐶0 = 250 y 𝐾 = 0,43, es la siguiente:

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e. Solución:

Al analizar la representación gráfica de la parte e., es posible observar que desde la hora 15 la cantidad de

paracetamol se acerca a cero.

Luego, para precisar los valores, se realiza un acercamiento desde las 15 horas, mostrados a continuación:

Al analizar el acercamiento desde las 15 horas en adelante se observa que, a partir de las 20 horas, la cantidad de

paracetamol que permanece en el cuerpo es menor a 0,05 mg, lo cual es despreciable.

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SITUACIONES DE APRENDIZAJE PROPUESTAS (Con soluciones)

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SITUACIÓN DE APRENDIZAJE PROPUESTA N°01

SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 01: LOS DEPÓSITOS

Dos hermanos han decidido depositar en diferentes bancos una cantidad inicial de dinero 𝐶𝑖 (en miles de pesos).

El tiempo 𝑇 (en meses) que debe estar el dinero en el banco para obtener una ganancia 𝐺 (en miles de pesos),

está dada por las siguientes funciones:

Banco Chile: 𝑇1(𝐺) = 12 log1.8 (𝐺+𝐶𝑖

𝐶𝑖)

Banco Estado: 𝑇1(𝐺) = 12 log1.4 (𝐺+𝐶𝑖

𝐶𝑖)

a. Si en el Banco Chile se depositó inicialmente $16000 y en el Banco Estado $15000. Grafique ambas funciones.

b. ¿Cuál es el tiempo mínimo que se debe mantener el ahorro en el Banco Chile para tener una ganancia superior

a $115000?

c. ¿Cuál es el tiempo mínimo que se debe mantener el ahorro en el Banco Estado para tener una ganancia superior

a $100000?

d. Si en el Banco Chile mantiene el dinero durante 2 años y medio. ¿Cuánta ganancia obtendrá?

d. Si en el Banco Chile mantiene el dinero durante 59 meses. ¿Cuánta ganancia obtendrá?

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SOLUCIONES

a. Solución:

b. Solución: Al menos 43 meses. c. Solución: Al menos 73 meses. d. Solución: La ganancia será aproximadamente de $53551. e. Solución: La ganancia será aproximadamente de $63443.

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SITUACIÓN DE APRENDIZAJE PROPUESTA N°02

SITUACIÓN DE APRENDIZAJE 02: LA ALTURA DE UNA PLANTA

La altura de una planta después de haber sido plantada, depende del agua proporcionada, y del clima en el cual

se encuentre. Considerando que estas condiciones son las óptimas para su crecimiento, a medida que transcurran

los días, la planta incrementará su altura de acuerdo a la función

ℎ(𝑡) = 2 + 7 log (𝑡 + 1)

donde ℎ(𝑡) es la altura de la planta (en centímetros) y 𝑡 es el tiempo (en días)

a. ¿Cuál es la altura inicial de la planta?

b. ¿Cuál es la altura de la planta a los 35 días de haber sido plantada?

c. Si una planta tiene una altura de 26,62 cm ¿hace cuántos años aproximadamente fue plantada?

d. Represente gráficamente la función ℎ.

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SOLUCIONES

a. Solución: La altura inicial es de 2 centímetros. b. Solución: La altura es de 12,89 centímetros. c. Solución: La altura inicial es de 2 centímetros. d. Solución: Fue plantada hace 3290 días, es decir, aproximadamente 9 años. e. Solución: La representación gráfica es la siguiente

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