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UNIDAD TRIGONOMETRÍA

MANUAL DOCENTE

INACAP

Ciencias Básicas

Vicerrectoría de Académica de Pregrado

2016

MANUAL ESTUDIANTE

“VECTORES Y MATRICES”

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CHILE - INACAP

UNIDAD

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VECTORES Y MATRICES

UNIDAD VECTORES Y MATRICES EDICIÓN 2019 Creación Lorena Rosas Toro Germán Osses Romano Dirección Alejandro García Miño EDICIÓN 2020 Creación Bernardita Pérez Ureta Validación María Verónica Fernández Dirección Alejandro García Miño Juan Pablo Vargas

UNIDAD

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VECTORES Y MATRICES

PRESENTACIÓN MATEMÁTICA tiene dos propósitos fundamentales, primero nivelar a los alumnos de las áreas de Ingeniería en habilidades matemáticas necesarias para la vida, mediante estrategias de clase expositiva, solución de ejercicios y problemas y, segundo, contribuir en la formación técnica de los alumnos, mediante el desarrollo de destrezas que mejoren su desempeño profesional. Para ello esta asignatura busca promover el desarrollo de la competencia genérica de resolución de problemas. Competencia que busca promover en los estudiantes el desarrollo del razonamiento lógico necesario para asumir desafíos del mañana como futuro profesional. El MANUAL DEL ESTUDIANTE “VECTORES Y MATRICES” ofrece una variedad de problemas y ejercicios asociados a los objetivos de aprendizaje presentes en la unidad de Vectores y Matrices presente en el programa de la asignatura. La propuesta constituye una guía para organizar, orientar y complementar el trabajo del docente. Esperamos que este material sea de ayuda tanto para el estudiante como para el docente.

Éxito en esta etapa de la asignatura

ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS

VICERRECTORÍA ACADÉMICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CHILE INACAP – 2020

UNIDAD

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VECTORES Y MATRICES

VECTORES Y MATRICES Seguramente pensarás que la historia de los vectores es previa a la historia de las matrices, porque las matrices pueden representar un conjunto de vectores; sin embargo, no es así, la historia de las matrices es mucho más antigua a la aparición de vectores. La primera aparición de una representación matricial de la cual se tiene registro es entre los años 200 y 100 a.C. en China, en el libro "Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático", escrito durante la dinastía Han, donde se expone el primer ejemplo conocido de método matricial (arreglo cuadrado) para resolver un problema lineal, sin embargo, se tienen algunos registros aún más antiguos en esta cultura donde se utilizaba esta representación para la resolución de cuadrados mágicos (650 a.C.)

Fig. 1 Placa de hierro con un cuadrado mágico

de orden 6 de la dinastía Yuan (1271–1368)

Fue James Joseph Sylvester quien utilizó por primera vez el término “matriz”, muchísimo más adelante en la historia de las matemáticas, en 1848 y 1850 en dos memorias, al respecto menciona: “He definido en una publicación anterior una "Matriz" como una sucesión rectangular de términos de la que distintos sistemas de determinantes pueden engendrarse, como del útero de una misma madre…” y utiliza esta notación para su representación matricial:

{𝑎1, 𝑎2, ……… . , 𝑎𝑛𝑎1, 𝑎2, ……… . , 𝑎𝑛

}

En cambio, los vectores surgieron en las primeras dos décadas del siglo XIX con las representaciones geométricas de números complejos. Caspar Wessel (1745-1810), Jean Robert Argand (1768-1822) y Carl Friedrich Gauss (1777-1855) concibieron los números complejos como puntos en el plano de dos dimensiones, es decir, como vectores de dos dimensiones. En 1837, William Rowan Hamilton (1805-1865) demostró que los números complejos se podrían considerar como pares de números (a,b). Esta idea era una parte de la campaña de muchos matemáticos, incluyendo al mismo Hamilton, para buscar una manera de ampliar los "números de dos dimensiones" a tres dimensiones. Finalmente, el propio Hamilton introdujo en 1843 el concepto de vector, precisamente como un segmento orientado en el espacio.

UNIDAD

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VECTORES Y MATRICES

APRENDIZAJES ESPERADOS

Resuelve problemas de la especialidad o disciplina, a través de la aplicación de estrategias propias del uso de vectores y matrices. (Integrada Competencia Genérica Resolución de Problemas)

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

1. Representar geométricamente vectores, considerando el plano y/o el espacio. 2. Operar vectores en el plano o en el espacio, utilizando su representación analítica y/o

gráfica. 3. Calcular la determinante de una matriz cuadrada, a través de diferentes métodos. 4. Aplicar operaciones matriciales básicas necesarias para la solución de situaciones

problemáticas. 5. Determinar matrices inversas, a través de operaciones elementales.

CONTENIDOS

1. Habilidades matemáticas fundamentales. 2. Vectores. 3. Matrices. 4. Uso de calculadora científica y/o Geogebra como herramienta para la resolución de

problemas que involucren tópicos de vectores y matrices.

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PLANIFICACIÓN DE UNIDAD UNIDAD: TRIGONOMETRÍA

APRENDIZAJE ESPERADO

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

CONTENIDOS HORAS SUGERIDAS

ACTIVIDADES MÍNIMAS OBLIGATORIAS EN EL AULA (A.M.O.)

ACTIVIDADES ON LINE Y EJERCITACIÓN MATEMÁTICA FUERA DEL AULA

Resuelve problemas de la especialidad o disciplina, a través de la aplicación de estrategias propias del uso de vectores y matrices. (Integrada Competencia Genérica Resolución de Problemas)

1. Representar geométricamente vectores, considerando el plano y/o el espacio. 2. Operar vectores en el plano o en el espacio, utilizando su representación analítica y/o gráfica. 3. Calcular la determinante de una matriz cuadrada, a través de diferentes métodos. 4. Aplicar operaciones matriciales básicas necesarias para la solución de situaciones problemáticas. 5. Determinar matrices inversas, a través de operaciones elementales.

1. Habilidades matemáticas fundamentales. 2. Vectores. 3. Matrices. 4. Uso de calculadora científica y/o Geogebra como herramienta para la resolución de problemas que involucren tópicos de vectores y matrices.

30 horas:

28 horas

clases lectivas

2 horas

evaluación sumativa

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD

PROBLEMA 01: - Problema “Recorrido en bicicleta” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación como son el uso de razones trigonométricas, teorema de Pitágoras, entre otros. Orientación: La situación corresponde a una actividad de redescubrimiento, ya que se busca que el estudiante responda a las preguntas utilizando conceptos ya abordados en unidades y cursos anteriores, y en la formalización de los conceptos descubra nuevos asociados a los vectores. Debe ser aplicada previo a toda enseñanza de conceptos relacionados con vectores.

• PROBLEMA 02: - Problema: “Traslado al trabajo” - Visualización de los videos tutoriales de transformación de grados a radianes y configuración de la calculadora. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de profundización de la representación de vectores en forma gráfica y sus características principales (distancia, dirección y sentido) en la que se busca que el estudiante sea capaz de representar un vector en el plano y de comprender el significado del módulo y ángulo de este, un segundo objetivo es que el estudiante logre deducir cómo se suman vectores y cuál es su representación gráfica.

Actividades On Line de Profundización y Ejercitación Matemática. Actividades de Trabajo Autónomo Docente recomienda problemas y/o ejercicios resueltos y propuestos del manual del estudiante para profundizar en su aprendizaje.

UNIDAD

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VECTORES Y MATRICES

Duración estimada: 45 minutos aprox.

• PROBLEMA 03: - Problema: “Productos con vectores I” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación relacionados con el producto por un escalar y producto punto. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de análisis de las representaciones gráficas del producto por un escalar y el producto punto, y que esto permita determinar los procedimientos de cálculo de cada uno de los productos mencionados. Se sugiere implementar para introducir el producto por un escalar y el producto punto. Duración estimada: 45 minutos aprox.

• PROBLEMA 04: - Problema: “Productos con vectores II” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación relacionados con la representación del producto cruz y su módulo. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de análisis de la gráfica del producto cruz, de tal forma de interpretarlo, y de deducir algunas de sus propiedades. Se sugiere antes de ver los contenidos del producto cruz. Duración estimada: 45 minutos aprox.

UNIDAD

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VECTORES Y MATRICES

• PROBLEMA 05: - Problema: “Cuadrados mágicos” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación relacionados con los elementos básicos de las matrices. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de construcción del concepto matricial como un arreglo numérico. Se sugiere implementar al inicio de la unidad. Duración estimada: 45 minutos aprox.

• PROBLEMA 06: - Problema: “Operando matrices” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación relacionados con la operatoria básica de matrices. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de construcción de las operaciones de multiplicación involucradas en las matrices, el objetivo es que el alumno comprenda los procedimientos involucrados y que comprenda las condiciones para poder multiplicar dos matrices. Se sugiere implementar antes de formalizar los conceptos de multiplicación matricial. Duración estimada: 45 minutos aprox

• PROBLEMA 07: - Problema: “Preparemos un coctel” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación relacionados con la operatoria básica de matrices.

UNIDAD

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VECTORES Y MATRICES

Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de interpretación de la multiplicación cuando hay un contexto de representación matricial, el objetivo es que el estudiante vaya incorporando estas representaciones para avanzar hacia el modelado de situaciones problemas a través de matrices. Se sugiere implementar en forma posterior a la enseñanza la multiplicación de matrices. Duración estimada: 45 minutos aprox.

• PROBLEMA 08: - Problema: “Determinantes” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación relacionados con el cálculo de determinantes. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de profundización del cálculo de los determinantes de una matriz, asociando la matriz a un sistema de ecuaciones y el valor del determinante a la condición para que tenga o no solución. Se sugiere implementar en forma posterior a la enseñanza de la técnica para obtener el determinante de una matriz. Duración estimada: 45 minutos aprox.

• PROBLEMA 09: - Problema: “Códigos Secretos” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación relacionados con la inversa de una matriz. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de profundización del cálculo de la matriz

UNIDAD

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VECTORES Y MATRICES

inversa y la relación entre vectores y matrices. Se sugiere implementar en forma posterior a la formalización del cálculo de la matriz inversa. Duración estimada: 45 minutos aprox.

• PROBLEMA 10: - Problema: “Operaciones elementales” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación relacionados con los métodos matriciales de resolución de sistemas de ecuaciones. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de resolución donde los estudiantes deberán utilizar el método de reducción por filas (método de Gauss) para resolver un sistema de ecuaciones. Se sugiere implementar para introducir la resolución de un sistema de ecuaciones. Duración estimada: 45 minutos aprox.

• PROBLEMA 11: - Problema: “¿Y dónde está la solución?” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación relacionados con la solución de sistemas de ecuaciones en forma matricial. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de análisis de las matrices que representan un sistema de ecuaciones lineales y de la matriz reducida por filas que se obtiene al resolverlo. Se sugiere implementar para profundizar en el tipo de soluciones de un sistema de ecuaciones. Duración estimada: 45 minutos aprox.

UNIDAD

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VECTORES Y MATRICES

• PROBLEMA 12: - Problema: “Resolviendo en 3D” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación relacionados con la solución de sistemas de ecuaciones en forma matricial. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de análisis de la gráfica de un sistema de ecuaciones con tres incógnitas, del determinante de la matriz principal que representa los coeficientes de 𝑥, 𝑦, 𝑧 del sistema y de la matriz reducida por filas en base a la matriz ampliada del sistema. Se sugiere implementar para continuar el estudio de los sistemas de ecuaciones e integrar tecnologías en su cálculo utilizando los conceptos vistos anteriormente. Duración estimada: 45 minutos aprox.

• PROBLEMA 13: - Problema: “Planificando la Construcción” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación relacionados con la solución de sistemas de ecuaciones en forma matricial. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de resolución donde los estudiantes deberán utilizar el método de reducción por filas (método de Gauss) u otro para resolver un sistema de ecuaciones. Se sugiere implementar para profundizar en la resolución de un sistema de ecuaciones en contexto. Duración estimada: 45 minutos aprox.

UNIDAD

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VECTORES Y MATRICES

Evaluación formativa Orientación: Esta evaluación corresponde a una actividad de tipo formativa, para que tanto el docente como los estudiantes logren visualizar aquellos contenidos que se deben reforzar previos a la evaluación de la unidad. Se sugiere implementar como una actividad de tipo individual y posteriormente el docente deberá realizar la corrección en pizarra de esta evaluación, conversando con los estudiantes las dificultades que se presentaron para reforzar aquellos contenidos. Duración estimada: 45 minutos aprox.

Evaluación Sumativa En esta clase el docente deberá aplicar el instrumento evaluación de la unidad trigonometría, evaluación de tipo sumativa que debe desarrollarse en forma individual. Duración estimada: 90 minutos aprox. Posteriormente a la entrega de resultados el docente deberá corregir esta evaluación con los estudiantes.

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ORGANIZACIÓN SUGERIDA PARA LA UNIDAD

A continuación, se muestra una organización de las actividades considerando bloques de 45 minutos cada una.

HORAS HORAS

ACUMULADAS SUB UNIDAD ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA OTRAS ACTIVIDADES

1 1 Representación gráfica de

Vectores y elementos básicos.

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD - A.M.O. N°01

1 2

Vectores: representación gráfica de vectores en IR2, módulo, dirección y

sentido de un vector, vector opuesto.

1 3 Suma de vectores A.M.O. N°02

1 4 Suma de vectores, propiedades del módulo.

1 5 Producto por un escalar y

producto punto representación geométrica

A.M.O. N°03

1 6 Producto por un escalar, producto escalar (producto punto)

1 7 Interpretación gráfica de

Producto cruz A.M.O. N°04

1 8 Producto cruz

1 9 Elementos básicos de

matrices y adición A.M.O. N°05

1 10

Matrices: orden de una matriz, elementos de una matriz, matriz traspuesta, operaciones filas y columnas (cambio de filas y columnas), suma de matrices, resta de matrices.

1 11 Multiplicación de matrices A.M.O. N°06

1 12

Interpretación en situaciones problemáticas de la suma, resta, multiplicación por un escalar y multiplicación de matrices.

1 13 Interpretación de operatoria básica

A.M.O. N°07

1 14 Interpretación de la multiplicación de matrices en contexto

1 15 Determinante A.M.O. N°08

1 16 Análisis del determinante y su relación con la solución de un sistema de ecuaciones

1 17 Matriz inversa A.M.O. N°09

1 18 Matriz inversa

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TRIGONOMETRÍA

1 19 Matriz reducida por filas

(método de Gauss) A.M.O. N°10

1 20 Matriz reducida por filas (método de Gauss)

1 21 Resolución de sistemas de

ecuaciones en forma matricial

A.M.O. N°11

1 22 Análisis de la matriz reducida por filas en la resolución de sistemas de ecuaciones.

1 23 Resolución de sistemas de

ecuaciones en forma matricial

A.M.O. N°12

1 24 Solución de sistemas de ecuaciones con tres incógnitas: representación en el espacio y cálculo matricial.

1 25 Resolución de sistemas de

ecuaciones en forma matricial

A.M.O. N°13

1 26

1 27 Matrices A.M.O. N°14 EVALUACIÓN FORMATIVA

1 28 Matrices Revisión de evaluación formativa

1 29 Matrices EVALUACION SUMATIVA

1 30 Matrices EVALUACION SUMATIVA

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TRIGONOMETRÍA

FORMALIZACIÓN

DE CONTENIDOS

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TRIGONOMETRÍA

VECTORES

Los vectores en IR2 se representan en el plano cartesiano a través de sus componentes que están formadas por el punto de inicio del vector y el punto de término del vector de forma similar ocurre en IR3. Ejemplo 1: El vector cuyo punto de inicio es el origen del sistema coordenado y cuyo punto final es el (2,5) se representa como se muestra e la imagen. Un vector se puede obtener a través de sus componentes: Sea el vector �� cuyo punto de inicio es (𝑥1, 𝑦1) y cuyo punto final es (𝑥2, 𝑦2), entonces el vector queda determinado por:

�� = (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1) En el ejemplo anterior el vector dado por su punto de inicio (𝑥1, 𝑦1) = (0,0) y cuyo punto final es (𝑥2, 𝑦2) =(2,5). Entonces el vector queda determinado por las coordenadas:

�� = (2 − 0, 5 − 0) = (2,5) Ejemplo 2: El vector cuyo punto de inicio es el punto (6,1,5) y cuyo punto final es el (4,1,−2) se representa como se muestra e la imagen.

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TRIGONOMETRÍA

En IR3 sea el vector �� cuyo punto de inicio es (𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) y cuyo punto final es (𝑥2, 𝑦2, 𝑧2), entonces el vector queda determinado por:

�� = (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1, 𝑧2 − 𝑧1) Ejemplo 2: El vector representado en la imagen tiene coordenadas de inicio (2,3) y coordenadas finales (5,7), por lo tanto, el vector queda determinado por las coordenadas:

�� = (5 − 2, 7 − 3) = (3,4) Observaciones:

Las componentes del vector indican cuantas unidades se mueve desde, su origen, en el eje x y en el eje y.

El vector obtenido es un vector equivalente al inicial, que parte desde el (0,0) y termina en la coordenada (3,4). Se dice que es equivalente ya que la distancia que recorre es igual, el ángulo que determinan es igual y el sentido de la flecha es el mismo.

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TRIGONOMETRÍA

MÓDULO DE UN VECTOR El módulo de un vector es a un número que es coincidente con la longitud de la representación del vector, y se calcula de la siguiente forma. Sea el vector �� cuyo punto de inicio es (𝑥1, 𝑦1) y cuyo punto final es (𝑥2, 𝑦2), entonces el vector queda determinado por:

�� = (𝑥2 − 𝑥1, 𝑦2 − 𝑦1) Entonces el módulo se calcula de la siguiente forma:

|��| = √(𝑥2 − 𝑥1)2 + (𝑦2 − 𝑦1)

2 Ejemplo 3: En el ejemplo 2 el módulo será:

|��| = √(5 − 2)2 + (7 − 3)2 = √(3)2 + (4)2 = √25 = 5 Por lo tanto, la distancia total que recorre el vector es 5 unidades. Ejemplo 4: El vector �� = (2,5) tiene por módulo:

|2 + 5𝑖| = √22 + 52 = √29 unidades Observación: Como el módulo es una distancia, siempre es positivo. DIRECCIÓN DE UN VECTOR EN IR2

La dirección de un vector queda determinada por el ángulo que describe el vector a partir del eje x positivo hasta donde esté ubicada la flecha(el ángulo se mide en sentido anti horario, a partir del eje descrito), a este ángulo se le llama el argumento del vector (Arg). Sea el vector cuyas componentes finales son:

�� = (𝑥, 𝑦) Entonces el ángulo que forma con respecto al eje x positivo (argumento del vector) queda determinado por:

𝐴𝑟𝑔(��) = 𝑡𝑎𝑛−1 (𝑦

𝑥)

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TRIGONOMETRÍA

Ejemplo 4: El vector �� = (2,5) tiene por argumento:

𝐴𝑟𝑔(��) = 𝑡𝑎𝑛−1 (5

2) ≈ 68,2°

SENTIDO DE UN VECTOR El sentido del vector es hacia donde está indicando la flecha, si no calculamos el ángulo tenemos una idea intuitiva hacia donde está orientada, pero al tener el ángulo tendremos un sentido del vector más exacto. Ejemplo 5: El ángulo del vector es de 68,2°, observa que la dirección Noreste (NE) está justo en la mitad entre el Este y El Norte por lo tanto un ángulo de un vector cercano a los 45° se puede decir que tiene sentido Noreste, en este caso la flecha pasa de los 45° por lo tanto el sentido es más cercano al Nornoreste (NNE).

Finalmente, el vector �� = (2,5) recorre una distancia de √29 unidades (aproximadamente 5,4 unidades) y tiene una dirección de 68,2° en sentido Nornoreste.

IGUALDAD DE VECTORES

Dos o más vectores son iguales si tienen la misma magnitud, dirección y sentido, no importa que sus orígenes no coincidan. Es por esto por lo que se dice que los vectores son libres, ya que no importa donde pongas como punto de inicio al vector, si este conserva su magnitud, dirección y sentido se dice que es el mismo. SUMA Y RESTA DE VECTORES Para sumar dos vectores lo que hacemos es sumar coordenada a coordenada como se muestra en los ejemplos de sumas en IR2 y IR3

Ejemplo 1: Sean los vectores �� = (2, 3) y �� = (4,−5) el vector suma es:

�� + �� = (2, 3) + (4,−5) = (2 + 4, 3 + −5) = (6,−2) Ejemplo 2:

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TRIGONOMETRÍA

Sean los vectores �� = (2, 3,4) y �� = (5, 6,7) el vector suma es: �� + �� = (2, 3,4) + (5, 6,7) = (2 + 5, 3 + 6,4 + 7 ) = (7,9,11)

Para la resta es el mismo procedimiento, es decir se resta coordenada a coordenada.

PRODUCTO EN LOS VECTORES Revisaremos tres tipos de productos que se puede realizar con los vectores:

1) PRODUCTO POR UN ESCALAR La multiplicación de un vector �� por un escalar n es otro vector 𝑛 ∗ ��:

𝑛 ∗ �� = 𝑛 ∗ (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, … , 𝑣𝑛) = (𝑛𝑣1, 𝑛𝑣2, 𝑛𝑣3, … , 𝑛𝑣𝑛) La multiplicación gráficamente agranda un vector o lo reduce (en el caso de multiplicar por un número entre 0 y 1)

Si n es positivo, el vector producto tendrá el mismo sentido.

Si n es negativo, el vector producto tendrá el sentido opuesto.

La división de un vector por un escalar, corresponde a la multiplicación por el inverso multiplicativo del escalar.

2) PRODUCTO PUNTO

El producto punto de dos vectores que forman entre sí un ángulo α, es un número escalar (no un vector) y se calcula de cualquiera de las dos formas siguientes, dependiendo de los datos dados:

�� ∙ �� = 𝑢1 ∙ 𝑣1 + 𝑢2 ∙ 𝑣2 + 𝑢3 ∙ 𝑣3 +⋯+ 𝑢𝑛 ∙ 𝑣𝑛 Es decir, se multiplican coordenada a coordenada los vectores y luego se suman esos resultados. Ejemplo 1:

(2,9) ∙ (5,3) = 2 ∙ 5 + 9 ∙ 3 = 10 + 27 = 37

Otra forma de obtener el producto punto es utilizando la siguiente fórmula:

�� ∙ �� = |��| ∙ |��| ∙ cos (𝛼)

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TRIGONOMETRÍA

Donde 𝛼 es el ángulo que se forma entre los dos vectores.

Ejemplo 2: �� ∙ �� = |��| ∙ |��| ∙ cos (𝛼)

�� ∙ �� = 9.22 ∙ 5.83 ∙ cos(46.51) = 37

Como puedes ver obtenemos el mismo valor.

Gráficamente el producto escalar de dos vectores es igual al módulo de uno de los vectores por la proyección del otro sobre él.

Ejemplo 3:

En el ejemplo anterior, esta representación geométrica es:

Observa que al multiplicar el módulo del vector 𝑣 por la distancia de la proyección del vector 𝑢 sobre el 𝑣 (marcada en rojo en la imagen) obtienes el valor dado del producto punto (6.35 ∗ 5.83 ≈ 37)

3) PRODUCTO CRUZ Se llama producto cruz de dos vectores �� y �� a otro vector �� cuyo módulo es igual al producto de los módulos de los dos primeros por el seno del ángulo que forman.

|�� × ��| = |��| ∙ |��| ∙ sen (𝛼)

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TRIGONOMETRÍA

El producto cruz o producto vectorial es un vector, perpendicular a los otros dos vectores

dados y se denota como �� × ��. La dirección del vector producto vectorial es perpendicular al

plano que forman �� y �� y su sentido lo marca la regla de la mano derecha (o regla del sacacorchos). El valor del módulo del vector �� coincide con la superficie del paralelogramo formado a partir de los dos vectores iniciales, que puedes ver en la imagen marcado en verde. Para calcular el vector �� paso a paso, más adelante utilizaremos las matrices, ya que este vector se calcula utilizando algunas propiedades de ellas. Algunas propiedades del producto cruz:

i. Si dos vectores son perpendiculares entre sí, el módulo de su producto vectorial será igual al producto de sus módulos (sen 90° = 1).

ii. Si los vectores están en rectas paralelas o coincidentes, su producto vectorial es cero. Por lo tanto, será nulo el producto vectorial de un vector por sí mismo o por su opuesto (sen 0° = 0 y sen 180° = 0).

iii. El producto vectorial no tiene la propiedad conmutativa, porque si se permutan los factores, el vector resultante, aunque tiene el mismo módulo, su dirección es la opuesta.

MATRICES

Una matriz de orden 𝑚 × 𝑛 (donde m es la cantidad de filas y n es la cantidad de columnas) es un arreglo rectangular de números reales de la siguiente forma:

[

𝑎11 𝑎12 𝑎13⋯ 𝑎1𝑛𝑎21⋮ ⋱ ⋮𝑎𝑚1 𝑎𝑚2 𝑎𝑚3⋯ 𝑎𝑚𝑛

] = 𝐴𝑚×𝑛

El elemento situado en la fila i y la columna j se escribe como 𝑎𝑖𝑗

Ejemplo:

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TRIGONOMETRÍA

El primer número nos indica el número de filas que tiene la matriz. El segundo indica la cantidad de columnas que tiene la matriz.

En esta matriz el número 7 está en la posición 𝑎23

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TRIGONOMETRÍA

OPERATORIA CON MATRICES Suma de matrices Para poder sumar matrices deben de tener el mismo orden, ambas matrices deben tener el mismo número de filas y columnas. Definición de suma: Si A = (aij)mxn y B = (bij)mxn entonces su suma es A + B = (aij + bij)

Ejemplo: Suma las matrices A + B

A = [1 35 7

] B = [4 83 2

] A + B = [1 35 7

] + [4 83 2

] = [ 5 ]

A + B = [1 35 7

] + [4 83 2

] = [5 11

] A + B = [1 35 7

] + [4 83 2

] = [5 118 9

]

Propiedades:

Ley asociativa (𝐴 + (𝐵 + 𝐶) = (𝐴 + 𝐵) + 𝐶

Ley conmutativa 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴

Elemento neutro: Matriz en la cual todos sus elementos son cero.

Producto por un escalar Definición: Si k · A = k · (aij) Debes multiplicar cada número de la matriz por el escalar. Ejemplo: 2·A

A = [1 53 4

] 2A = 2 [1 53 4

] = [2 106 8

]

Inverso aditivo

Sea aij un elemento de la matriz A, su inverso aditivo es – (aij)

1 + 4 = 5

3 + 8 = 11

5 + 3 = 8 7 + 2 = 9

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TRIGONOMETRÍA

Ejemplo: A – B

A = [2 −34 −1

] 𝐵 = [−4 5−1 2

] 𝐴 − 𝐵 = [2 −34 −1

] − [−4 5−1 2

] = [6 −85 −3

]

El orden es igual que en la suma, pero debes fijarte muy bien en los signos. Multiplicación de matrices

Para poder multiplicar debemos revisar primero el número de filas x columnas. Sea una matriz 𝐴𝑚×𝑛 y otra matriz 𝐵𝑛×𝑟 estas se pueden multiplicar ya que la cantidad de columnas de la matriz A es iguala a la cantidad de filas de la matriz B.

Ejemplo: Si tenemos una matriz de orden 3 x 5 y otra de orden 5 x 2, sí se pueden multiplicar Matriz A Matriz B 3 x 5 5 x 2 Resuelve el siguiente ejercicio e indica si se puede multiplicar las matrices o no, y cuál es el tamaño de la matriz de la respuesta.

Matriz A Matriz B ¿Se puede multiplicar? Tamaño de respuesta

3 x 4 4 x 5

5 x 6 6 x 2

5 x 3 4 x 6

7 x 8 8 x 2

4 x 2 3 x 4

5 x 7 7 x 2

3 x 1 1 x 4

4 x 3 4 x 3

2 x 5 5 x 4

Ejemplo:

Debe ser igual para que se

pueda multiplicar

Si los números centrales son iguales entonces

se puede multiplicar y el tamaño de la

respuesta serán los extremos 3 x 2

El tamaño de la

respuesta es 3 x 2

26

TRIGONOMETRÍA

Se opera así: (0 × 6) + (1 × 9) + (2 × 12) = 0 + 9 + 24 = 33 Luego se toma la fila 1 y columna 2 marcadas y se realizan las mismas operaciones en forma sucesiva:

Definición: Las matrices A y B conmutan si y sólo si, A·B = B·A Ejemplo: En este caso es posible realizar el producto en ambos sentidos, pero no es conmutable ya que el resultado no es el mismo.

[2 36 1

] [1 26 3

] = [2 + 18 4 + 96 + 6 12 + 3

] = [20 1312 15

]

[1 26 3

] [2 36 1

] = [2 + 12 3 + 212 + 18 18 + 3

] = [14 530 21

]

Importante: El producto de las matrices en general no es conmutativo.

Matriz Transpuesta (At)

1) Reviso el tamaño de la matriz A = 2 x 3 B = 3 x 3

Como son iguales se puede multiplicar.

El tamaño de la matriz de la respuesta es 2 x 3

2) Siempre se toma la primera matriz con la fila 1 (horizontal) con la columna 1 (vertical) marcada en la

segunda matriz.

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TRIGONOMETRÍA

Dada una matriz, su matriz transpuesta es la matriz cuyas filas y columnas se intercambian, la denotamos como At. Ejemplo:

𝐴 = [3 −1 0 4−1 0 3 12 5 −1 0

]𝐴𝑡 = [

3 −1 2−1 0 50 3 −14 1 0

]

Matriz Simétrica (A = At)

Una matriz es simétrica, si es una matriz cuadrada (m = n) y aij = aji para todo i, j =1,2,3,4,...,n. Nótese que la simetría es respecto a la diagonal principal y que A es también, la matriz traspuesta de sí misma: At = A. Ejemplo:

[1 −1 3−1 2 43 4 7

]𝐴𝑡 = [1 −1 3−1 2 43 4 7

] Entonces A es simétrica

Matriz Antisimétrica (-A)

Una Matriz es antisimétrica, si es una matriz cuadrada (m = n) y aji = − aij para todo i, j =1,2,3,...,n. En consecuencia, aii = 0 para todo i. Por lo tanto, la matriz A asume la forma:

[ 0 𝑎12 𝑎13 ⋯ 𝑎1𝑛

−𝑎12 0 𝑎23 ⋯ 𝑎2𝑛−𝑎13 −𝑎23 0 ⋯ 𝑎3𝑛⋮ ⋮ ⋮ ⋯ ⋮

−𝑎1𝑛 −𝑎2𝑛 −𝑎3𝑛 ⋯ 0 ]

Ejemplo:

𝐴 = [0 −2 42 0 2−4 −2 0

] −𝐴 = [0 2 −4−2 0 −24 2 0

]

La diagonal principal se conserva y todos los otros números son cambiados de signo al inverso.

Matriz Diagonal En una matriz diagonal todos los elementos situados por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos, y los de la diagonal pueden ser no nulos. Ejemplo:

28

TRIGONOMETRÍA

[2 0 00 1 00 0 6

]

Toda matriz diagonal es también una matriz simétrica, triangular (superior e inferior), triangular superior es aquella donde los términos por debajo de la diagonal son nulos, y una matriz triangular inferior es aquella donde los términos por encima de la diagonal son nulos.

DETERMINANTES Asociado a cada matriz cuadrada A hay un número llamado determinante de A. Determinante de A se puede escribir de dos formas:

|𝐴| determinante de A (no lo confundan con el signo del valor absoluto de un número real) 𝐷𝑒𝑡(𝐴) Esta se utiliza a veces en lugar de |𝐴| para evitar la confusión.

Una matriz es de primer orden cuando únicamente tiene un solo elemento y 𝐴 = [𝑎11] y definimos la determinante de A como |𝐴| = 𝑎11 Ahora si la matriz A es una matriz cuadrada de segundo orden tendremos una matriz de 2 x 2 de modo que

A = [𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

] es una matriz cuadrada de segundo orden.

Para hallar el determinante de esta matriz se realiza de la siguiente manera:

A = [𝑎11 𝑎12𝑎21 𝑎22

] |𝐴| = (𝑎11 × 𝑎22) − (𝑎21 × 𝑎12)

Ejemplo:

Encuentre |𝐴| si A = [5 −72 1

] |𝐴| = (5 × 1) − (2 × −7) = 5 − −14 = 5 + 14 = 19

DETERMINATE DE UNA MATRIZ 3X3 Te mostraremos el método mediante un ejemplo:

𝐴 = [3 1 2−1 0 51 7 0

]

29

TRIGONOMETRÍA

Para calcular su determinante copiamos las dos primeras filas al final de la matriz

[3 1 2−1 0 51 7 0

]3 1−1 01 7

Y multiplicamos todas las diagonales completas en este sentido

(3 × 0 × 0) + (1 × 5 × 1) + (2 × −1 × 7) = 0 + 5 − 14 = −9 Procedemos de la misma forma con las diagonales en este sentido

(2 × 0 × 1) + (3 × 5 × 7) + (1 × −1 × 0) = 0 + 105 + 0 = 105 Luego restamos los resultados de la siguiente forma: − Y obtenemos el determinante de la matriz: |𝐴| = −9 − 105 = −114 Teorema sobre una fila o columna de ceros Si todo elemento de una fila (o columna) de una matriz cuadrada A es cero, entonces |𝐴| = 0 El método anteriormente visto se denomina Regla de Sarrus y se puede utilizar para cualquier matriz cuadrada

de orden mayor que 2.

INVERSA DE UNA MATRIZ

Operaciones Elementales Dada una matriz A de orden 𝑛 × 𝑚. Llamaremos Operaciones Elementales Filas (OEF), sobre A a cada una de las siguientes operaciones con filas de la matriz A.

1. Denotamos 𝐹𝑖𝑗 al intercambio solamente de la fila i con la fila j.

2. Denotamos 𝐹𝑖(𝑟) al reemplazo de la fila i por r veces la fila i, con 𝑟 ≠0. 3. Denotamos 𝐹𝑖𝑗 (𝑘) al reemplazo de la fila j por la suma de la fila j más k veces la fila i, con 𝑖 ≠ 𝑗.

30

TRIGONOMETRÍA

Las mismas operaciones podemos hacerlas por columnas (OEC): 1. Denotamos 𝐶𝑖𝑗 al intercambio solamente de la columna i con la columna j.

2. Denotamos 𝐶𝑖(𝑟) al reemplazo de la columna i por r veces la columna i, con 𝑟 ≠0. 3. Denotamos 𝐶𝑖𝑗 (𝑘)al reemplazo de la columna j, por la suma de la columna j más k veces la columna i, con

𝑖 ≠ 𝑗. Notación: Si A, B son matrices de orden 𝑛 ×𝑚 y 𝐵 se obtiene desde la matriz 𝐴 efectuando sobre ésta la operación elemental 𝐸 entonces anotamos:

𝐴𝐸→𝐵

Ejemplo:

[1 2 34 5 67 8 9

]𝐶21→ [

2 1 35 4 68 7 9

] 𝐹3(−1)→ [

2 1 35 4 6−8 −7 −9

]𝐹23(2)→ [

2 1 3−11 −10 −12−8 −7 −9

]

Mediante las operaciones elementales podemos encontrar la inversa de una matriz, como se mostrará a continuación. Propiedades: Sean A, B en Mn (una matriz tal que i = j, es decir el número de filas es igual al número de columnas), donde la matriz A tiene su determinante distinto de cero.

a) Se dice que B es la matriz inversa de A en Mn si y sólo si: AB =BA = In b) Una matriz se dice regular (o invertible) si y sólo si existe la inversa de ella. c) Una matriz se dice singular si no es regular, es decir si no es invertible. Notación: Si A es regular, anotamos A-1 para la inversa de A.

31

TRIGONOMETRÍA

1) MÉTODO MATRIZ AMPLIADA CON LA IDENTIDAD La matriz identidad es aquella donde si i = j entonces toma el valor 1, y si i ≠ j toma el valor 0. Ejemplos:

I2 = [1 00 1

] I3 = [1 0 00 1 00 0 1

]

Ahora para encontrar la inversa de una matriz trabajamos con la matriz ampliada con la identidad. Se busca convertir la matriz inicial A en la identidad y a su vez lo que quede en el lado de la matriz identidad será la inversa buscada. Ejemplo 1:

Encontrar A-1 con A = [0 1−1 3

]

[0 1−1 3

|1 00 1

] 𝐹12→ [

−1 30 1

|0 11 0

] 𝐹1(−1)→ [

1 −30 1

|0 −11 0

] 𝐹21(3)→ [

1 00 1

|3 −11 0

]

Luego: A-1 = [3 −11 0

]

Ejemplo 2:

Encontrar A-1 con A = [0 1 2−1 3 01 −2 1

]

[0 1 2−1 3 01 −2 1

|1 0 00 1 00 0 1

] 𝐹13→ [

1 −2 1−1 3 00 1 2

|0 0 10 1 01 0 0

] 𝐹12(1)→ [

1 −2 10 1 10 1 2

|0 0 10 1 11 0 0

]

𝐹21(2)→ [

1 0 30 1 10 1 2

|0 2 30 1 11 0 0

] 𝐹23(−1)→ [

1 0 30 1 10 0 1

|0 2 30 1 11 −1 −1

] 𝐹32(−1)→

[1 0 30 1 00 0 1

|0 2 3−1 2 21 −1 −1

] 𝐹31(−3)→ [

1 0 00 1 00 0 1

|−3 5 6−1 2 21 −1 −1

] A-1 = [−3 5 6−1 2 21 −1 −1

]

2) MÉTODO DE LA ADJUNTA

𝐴−1 =1

|𝐴|(𝐴𝑑𝑗(𝐴))𝑇

Nota: La matriz adjunta es la que se obtiene de los cofactores de cada término de la matriz

32

TRIGONOMETRÍA

Ejemplo 1:

Calcularemos la matriz inversa de la misma matriz dada en el ejemplo de la matriz ampliada A = [0 1−1 3

] con

el método de la adjunta, para que observes que obtenemos lo mismo. 1º) Calculamos la 𝐴𝑑𝑗(𝐴), para ello calculamos TODOS los cofactores de la matriz A.

𝐴11 = (−1)1+1 × 3 = 3 𝐴12 = (−1)

1+2 × −1 = 1

𝐴21 = (−1)2+1 × 1 = −1 𝐴22 = (−1)

2+2 × 0 = 0 2º) Con los cofactores formamos la matriz B 𝐴𝑑𝑗(𝐴) y luego obtengo (𝐴𝑑𝑗(𝐴))𝑇

𝐴𝑑𝑗(𝐴) = [3 1−1 0

] (𝐴𝑑𝑗(𝐴))𝑇 = [3 −11 0

]

Nota: observe que la adjunta de una matriz de orden 2 es: 𝐴 = [𝑎 𝑏𝑐 𝑑

] ⇒ 𝐴𝑑𝑗(𝐴) = [𝑑 −𝑐−𝑏 𝑎

]

3º) Calculamos el determinante de A = [0 1−1 3

] 0 − −1 = 1

4º) Reemplazamos en la fórmula:

𝐴−1 =1

|𝐴|(𝐴𝑑𝑗(𝐴))𝑇

𝐴−1 =1

1[3 −11 0

]

𝐴−1 = [3 −11 0

]

Observaciones:

- La inversa es única. - Una matriz es invertible sólo si el determinante es distinto de cero.

SOLUCIÓN DE SISTEMAS CON MATRICES Resolveremos el siguiente sistema utilizando distintos métodos.

{

𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 42𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 3−3𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = −2

33

TRIGONOMETRÍA

1) MÉTODO DE LA MATRIZ INVERSA 1º) Llevamos este sistema a una matriz en la cual colocamos en la primera columna los coeficientes de “x”, en la segunda columna los coeficientes de “y”, y en la tercera columna los coeficientes de “z”. Otra matriz (o vector fila) con las incógnitas y finalmente una con los coeficientes libres.

[1 −2 32 1 −4−3 4 −1

] · [𝑥𝑦𝑧] = [

43−2]

A · X = B

2º) Si el determinante de la matriz A es distinto de cero, la matriz A tiene inversa. Por lo tanto, podemos calcular la matriz de las incógnitas X del siguiente modo:

𝐴 · 𝑋 = 𝐵 𝐴−1 · 𝐴 · 𝑋 = 𝐴−1 · 𝐵

𝑋 = 𝐴−1 · 𝐵

Observación: es importante respetar el orden de la multiplicación, en este caso se multiplica por la izquierda la matriz inversa, recuerde que las matrices no son conmutativas. 3º) Aplicamos el método de la siguiente forma: Buscamos la inversa de la matriz A:

𝐴−1 = [

3/4 1/2 1/47/10 2/5 1/211/20 1/10 1/4

]

Entonces según el método:

[

3/4 1/2 1/47/10 2/5 1/211/20 1/10 1/4

] · [1 −2 32 1 −4−3 4 −1

] · [𝑥𝑦𝑧] = [

3/4 1/2 1/47/10 2/5 1/211/20 1/10 1/4

] [43−2]

[1 0 00 1 00 0 1

] · [𝑥𝑦𝑧] = [

3/4 1/2 1/47/10 2/5 1/211/20 1/10 1/4

] [43−2]

[𝑥𝑦𝑧] = [

432]

Por lo tanto: 𝑥 = 4, 𝑦 = 3, 𝑧 = 2

34

TRIGONOMETRÍA

2) MÉTODO DE CRAMER Un sistema de ecuaciones lineales recibe el nombre de sistema de Cramer cuando se cumplen las dos condiciones siguientes:

El número de ecuaciones es igual al número de incógnitas. El determinante de la matriz de los coeficientes (matriz del sistema) es distinto de cero. Es un sistema lineal no homogéneo, un sistema es homogéneo cuando todos los términos

independientes de las ecuaciones que lo componen son cero.

Si 𝐴𝑋 = 𝐵 es un sistema de ecuaciones. A es la matriz de coeficientes del sistema, X es el vector columna de las incógnitas y B es el vector columna de los términos independientes. Entonces la solución al sistema se presenta así:

𝑥𝑗 =det (𝐴𝑗)

det(𝐴)

Donde Aj es la matriz resultante de reemplazar la j-ésima columna de A por el vector columna B.

Resolveremos el sistema anterior ahora utilizando este método:

[1 −2 32 1 −4−3 4 −1

] · [𝑥𝑦𝑧] = [

43−2]

A · X = B

𝑥 =|4 −2 33 1 −4−2 4 −1

|

|1 −2 32 1 −4−3 4 −1

|

=80

20= 4 𝑦 =

|1 4 32 3 −4−3 −2 −1

|

|1 −2 32 1 −4−3 4 −1

|

=60

20= 3 𝑧 =

|1 −2 42 1 3−3 4 −2

|

|1 −2 32 1 −4−3 4 −1

|

=40

20= 2

3) MÉTODO DE GAUSS

Para resolver un sistema de ecuaciones utilizando el método de Gauss, realizamos las operaciones elementales necesarias que nos permitan despejar completamente una incógnita, esto es transformar la matriz en una matriz triangular ya sea superior o inferior.

{

𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 42𝑥 + 𝑦 − 4𝑧 = 3−3𝑥 + 4𝑦 − 𝑧 = −2

35

TRIGONOMETRÍA

1º) Llevamos este sistema a una matriz en la cual colocamos en la primera columna los coeficientes de “x”, en la segunda columna los coeficientes de “y”, y en la tercera columna los coeficientes de “z”

143

412

321

2º) Ampliamos la matriz anterior con los valores constantes de cada ecuación.

2143

3412

4321

3º) Se comienza a realizar las operaciones elementales, para obtener la matriz identidad:

---------

---------

31

21F F

F

F )2(

10820

1210

4321

)5/1(

10820

51050

4321

)3(

)2(

2143

3412

4321

322

8400

1210

4321

De aquí obtenemos las siguientes ecuaciones: 1º) 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 4 2º) 𝑦 − 2𝑧 = −1 3º) 4𝑧 = 8 Esto significa que: 3º) 4𝑧 = 8 → 𝑧 = 2 Luego vamos reemplazando en las otras ecuaciones, hasta resolver completamente el sistema: 2º) 𝑦 − 2𝑧 = −1 → 𝑦 − 2 ∗ 2 = −1 → 𝑦 = 3 1º) 𝑥 − 2𝑦 + 3𝑧 = 4 → 𝑥 − 2 ∗ 3 + 3 ∗ 2 = 4 → 𝑥 = 4 Así finalmente encontramos las soluciones del sistema. Observaciones:

36

TRIGONOMETRÍA

Si alguna de las ecuaciones es del tipo 0 = k (siendo k un número real distinto de cero), el sistema es incompatible y no tiene solución.

Si no hay ecuaciones del tipo 0 = k, y además el número de ecuaciones del sistema equivalente es igual al número de incógnitas, el sistema es compatible determinado y, por lo tanto, tiene una única solución.

Si no hay ecuaciones del tipo 0 = k y el número de ecuaciones es menor que el número de incógnitas, el sistema es compatible indeterminado y, en consecuencia, tiene infinitas soluciones. En este caso, tenemos que separar las incógnitas principales de las no principales. Pero, ¿cuáles son las incógnitas principales? Se puede dar el siguiente criterio: Si el sistema es escalonado y tiene k ecuaciones, las k primeras incógnitas serán las principales y las n - k restantes serán las no principales que pasaremos al segundo miembro como parámetros.

37

TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS

RESUELTOS

VECTORES

1) Completa la tabla escribiendo un ejemplo para cada caso como se muestra en el ejemplo y determina

si corresponde a un vector o no, justifica tu respuesta.

Cantidad Ejemplo ¿Es un vector o no? Justifica

Distancia 5 metros

Desplazamiento 20 metros hacia el norte

Tiempo

Altura

Fuerza

38

TRIGONOMETRÍA

Masa

Velocidad

Rapidez

Volumen

2) Demuestra que los vectores �� = (6,−10) y �� = (−6,10) son paralelos a �� = (3,−5). ¿Si son paralelos por qué el ángulo que forman con �� es distinto?

3) Un vector unitario es aquel cuyo módulo es 1 ¿Cuántos vectores unitarios puedes construir?

4) En las siguientes imágenes ¿qué representa el vector de color rojo en cada caso? a)

b)

5) En la imagen se muestran cuatro fuerzas que actúan sobre una partícula que se ubica en el origen del sistema coordenado.

39

TRIGONOMETRÍA

a) ¿Qué representan las fuerzas (Newton = N) en cada caso? b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza total que está recibiendo la partícula? c) Si la partícula pudiera moverse, ¿en qué dirección saldría disparada? d) Si queremos que la partícula permanezca sin moverse al aplicarle una quinta fuerza, ¿cuál deberán

ser la magnitud y dirección de la quinta fuerza? Justifica tu respuesta.

6) Calcula el valor de las coordenadas del vector 𝑢 sabiendo que el producto punto entre los vectores

�� = (𝑥, 𝑦) y �� = (2,−1) es 0 y que sus módulos son iguales.

40

TRIGONOMETRÍA

Desarrollos y soluciones:

1) Las cantidades mencionadas son vectores si tienen magnitud, dirección y sentido; si sólo tienen magnitud entonces son escalares, de acuerdo con esto la clasificación es la siguiente:

Cantidad Ejemplo ¿Es un vector o no?

Distancia 5 metros No

Desplazamiento 20 metros hacia el norte Sí

Tiempo 5 minutos No

Altura 3 metros No

Fuerza 40 Newton en dirección inclinada 30° con respecto al eje x positivo Sí

Masa 4 kilos No

Velocidad 80 m/s en dirección vertical hacia arriba Sí

Rapidez 20 m/s No

Volumen 30 m3 No

2) Observemos que los tres vectores son proporcionales:

�� = 2 �� y �� =−2 ��

El vector �� tiene la misma dirección y sentido que ��. La diferencia es que su módulo es el doble:

|��| = |2 ��| ⟺ |��|= |2|| ��| ⟺ |��|= 2| ��|

El vector �� tiene la misma dirección que �� pero sentido opuesto. Su módulo también es el doble:

|��|= |−2 ��| ⟺ |��|= |−2|| ��| ⟺ |��|= 2| ��|

Como los tres vectores tienen la misma dirección, son paralelos. El vector �� forma un ángulo de 0° porque tiene el mismo sentido que ��, mientras que el vector �� forma un ángulo de 180° porque tiene sentido opuesto.

3) Un vector unitario es aquel cuyo módulo es 1 , por lo tanto podemos construir infinitos vectores (x,y)

que cumplan esta condición: √𝑥2 + 𝑦2 = 1.

Observa que si reescribimos la expresión para calcular el módulo (elevando al cuadrado cada lado de

la igualdad) de la siguiente forma: 𝑥2 + 𝑦2 = 1 obtenemos la ecuación de una circunferencia de radio

41

TRIGONOMETRÍA

1, por lo tanto, todos los vectores que se forman desde el centro de la circunferencia, con radio 1

cumplen con ser vectores unitarios, según muestra la imagen:

4) a) Representa la suma de los vectores: C + A + D + B por regla del paralelógramo.

b) Representa la operación B – A por regla del paralelógramo.

5) Actividad de fuerzas sobre una partícula

a) Los Newton representan los módulos de cada vector.

b) La magnitud de la fuerza total es la suma de todas las fuerzas, que en este caso será la suma de todos los vectores, para lo cual necesitaremos utilizaremos su forma trigonométrica ya que tenemos los ángulos y magnitudes de cada vector y luego lo transformaremos en su forma de par ordenado para realizar la operación suma:

El vector u es (80,0) aquí no necesitamos llevarlo a su forma trigonométrica. El vector v tiene magnitud 100 y ángulo de 45°, por lo tanto, su forma trigonométrica es:

100(cos(45°) + 𝑖 ∗ sen(45°) ≈ (70,7 ; 70,7) El vector w tiene magnitud 110 y ángulo de 160°, por lo tanto, su forma trigonométrica es:

110(cos(160°) + 𝑖 ∗ sen(160°) ≈ (−103,4 ; 37.6) El vector a tiene magnitud 160 y ángulo de 200°, por lo tanto, su forma trigonométrica es:

160(cos(200°) + 𝑖 ∗ sen(200°) ≈ (−150 ;−54) Luego, la suma de los vectores será: (80,0) + (70,7 ; 70,7) + (−103,4 ; 37.6) + (−150 ;−54) =(−102.7 ; 54.3)

42

TRIGONOMETRÍA

La magnitud del vector es el módulo, por lo tanto, debemos calcular el módulo del vector suma:

√(−102.7)2 + 54.32 ≈ 116.2 Finalmente, la magnitud de la fuerza total ejercida es 116.2 Newton.

c) Para saber en qué dirección sale disparada basta con representar el vector suma en el plano o calcular su ángulo:

𝑡𝑎𝑛−1 (54.3

102.7) ≈ 27.9° ⇒

180° − 27.9° ≈ 152.1°

Entonces la dirección con la que sale disparada la partícula es de 152,1° aproximadamente. (Oeste Noroeste) d) Si queremos que la partícula permanezca sin moverse al aplicarle una quinta fuerza debe tener la

magnitud y dirección de la quinta fuerza opuesta al vector fuerza (f) calculados anteriormente, es decir el vector opuesto, por lo tanto, su ángulo debe ser de 332.1° (360°-27,9°) y su magnitud la misma 116.2. Las coordenadas de este vector serán las del vector opuesto a f (102.7 ; −54.3).

6) Como el producto punto entre los vectores �� = (𝑥, 𝑦) y �� = (2,−1) es 0, esto implica que el ángulo que se forma entre ellos es de 90° o es de 270° (recuerda que el producto punto es la sombra que proyecta el vector por el módulo del vector sobre el cuál se proyecta, por lo tanto para que su sombra sea cero debe estar en los ángulos mencionados), por lo que tendremos las siguientes situaciones:

Como sus módulos son iguales, obtendremos dos opciones para el vector 𝑣: �� = (1,2) o

�� = (−1,−2).

43

TRIGONOMETRÍA

MATRICES

1) Calcula las operaciones indicadas si es posible, si no es posible realizar la operación justifica por qué.

Sean las matrices:

𝐴 = (2

1

23

7−4

) 𝐵 = (−3

55

0 −1

) 𝐶 = (2 5 −

1

2

04

70

) 𝐷 = (−2 30 −21 5

)

a) 𝐴 + 𝐵

b) 𝐴 + 𝐶

c) 𝐵 − 𝐴

d) 𝐴 − 𝐵

e) 𝐴 ∙ 𝐶

f) 𝐶 ∙ 𝐴

g) 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐶 ∙ 𝐷

h) Calcula los determinantes de cada una de las matrices dadas.

i) Calcula la matriz inversa de cada una de las matrices dadas.

2) La matriz A es mágica, ¿por qué?

𝐴 = [16 6 82 10 1812 14 4

]

44

TRIGONOMETRÍA

a) Si realizas la operación A2, el resultado obtenido ¿es una matriz mágica? b) Si realizas la operación A3, el resultado obtenido ¿es una matriz mágica? c) ¿Y si realizas la operación A4, A5? ¿El resultado es una matriz mágica?

d) Obtén una generalización de cuándo obtienes una matriz mágica para potencias de matrices

mágicas.

3) ¿Para qué valores de m la siguiente matriz tiene inversa?

[𝑚 −1 43 𝑚 0−1 0 1

]

4) Resolviendo en 3D: Ingresa a https://www.geogebra.org/classic?lang=es y selecciona

En la sección marcada, escribe cada una de las ecuaciones dadas

Ecuaciones:

𝑥 + 2𝑦 − 𝑧 = 1−𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 32𝑥 + 10𝑦 = 10

}

ACTIVIDAD 1

a) ¿Qué representa geométricamente cada ecuación? b) ¿Qué representa geométricamente la solución del sistema de ecuaciones?

45

TRIGONOMETRÍA

ACTIVIDAD 2

Selecciona en la ventana, la opción HOJA DE CÁLCULO

Ingresa la matriz ampliada que representa el sistema de ecuaciones.

Selecciona el recuadro con los datos y crea la matriz.

En la ventana:

a) Calcula el determinante de la matriz principal con el comando: ¿Qué

significa lo obtenido? Si calculas el determinante de la matriz ampliada ¿qué obtienes? ¿Por qué?

b) Utiliza el comando: e interpreta lo obtenido.

c) ¿El sistema tiene solución? Si la tiene ¿Cuál es?, si no la tiene ¿Por qué no la tiene?

5) Una constructora realiza tres tipos de viviendas, el ingeniero desea programar la compra de las ventanas de cada una de ellas.

Vivienda tipo Alerce Vivienda tipo Bosques Vivienda tipo Mediterránea

Tiene 1 ventana grande, 7 medianas y 1 pequeña

Tiene 2 ventanas grandes, 9 medianas y 2 pequeñas

Tiene 4 ventanas grandes, 10 medianas y 3 pequeñas

Cada ventana grande tiene 4 cristales y 8 bisagras, cada ventana mediana tiene dos cristales y 4 bisagras; y cada ventana pequeña tiene 1 cristal y 2 bisagras.

46

TRIGONOMETRÍA

a) Escribir una matriz que describa el número y tamaño de ventanas en cada tipo de vivienda; y otra

matriz que exprese el número de cristales y el número de bisagras en cada tipo de ventana. b) Calcular una matriz que exprese el número de cristales y de bisagras necesarias en cada tipo de

vivienda.

6) Para calcular el producto cruz entre dos vectores utilizamos matrices mediante la siguiente fórmula:

�� × 𝑣 = |𝑖 𝑗 ��𝑢1 𝑢2 𝑢3𝑣1 𝑣2 𝑣3

| = 𝑖 |𝑢2 𝑢3𝑣2 𝑣3

| − 𝑗 |𝑢1 𝑢3𝑣1 𝑣3

| + �� |𝑢1 𝑢2𝑣1 𝑣2

|

Donde: 𝑖 = (1,0,0) 𝑗 = (0,1,0) �� = (0,0,1) son vectores unitarios, un vector unitario es aquel que su modulo es 1. a) Calcula el producto cruz entre los vectores �� = (1,2,3) y 𝑣 = (−1,1,2) ¿Qué interpretación

gráfica tiene lo obtenido? ¿Obtienes lo mismo si calculas �� × 𝑣 que 𝑣 × ��?

b) Calcula el módulo del producto cruz anterior ¿Qué interpretación gráfica tiene lo obtenido?

7) Determina las condiciones que debe cumplir k para que el sistema de ecuaciones:

3𝑥 + 𝑦 + 𝑘𝑧 = 1𝑥 − 𝑦 + 2𝑧 = −2

5𝑥 + (𝑘 + 1)𝑦 + 2𝑧 = 4}

a) Tenga solución única b) No tenga solución c) Tenga infinitas soluciones

Desarrollos y soluciones:

1) Solución de las operaciones:

a) 𝐴 + 𝐵 = (2

1

23

7−4)+ (

−3

55

0 −1) = (

2 −3

5

1

2+ 5

3

7+ 0 −4 − 1

) = (7/5 11/23/7 −5

)

47

TRIGONOMETRÍA

b) 𝐴 + 𝐶: No es posible realizar esta operación ya que el orden (cantidad de filas y columnas) de ambas matrices es distinto.

c) 𝐵 − 𝐴 = (−3

55

0 −1) − (

21

23

7−4) = (

−3

5− 2 5 −

1

2

0 −3

7−1 + 4

) = (−13

5

9

2

−3

73)

d) 𝐴 − 𝐵 = (2

1

23

7−4)− (

−3

55

0 −1) = (

2 +3

5

1

2− 5

3

7− 0 −4 + 1

) = (

13

5−9

23

7−3)

e) 𝐴 ∙ 𝐶 = (2

1

23

7−4) ∙ (

2 5 −1

2

04

70) = (

2 ∙ 2 +1

2∙ 0 2 ∙ 5 +

1

2∙4

72 ∙ −

1

2+1

2∙ 0

3

7∙ 2 − 4 ∙ 0

3

7∙ 5 − 4 ∙

4

7

3

7∙ −

1

2− 4 ∙ 0

) =

(4

72

7−1

6

7−1

7−3

14

)

f) 𝐶 ∙ 𝐴: No es posible resolver, la que la cantidad de columnas de la primera matriz es distinta de la

cantidad de filas de la segunda matriz.

g) 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐶 ∙ 𝐷 = (2

1

23

7−4) ∙ (

−3

55

0 −1) + (

2 5 −1

2

04

70) ∙ (

−2 30 −21 5

) =

(2 ∙ −

3

5+1

2∙ 0 2 ∙ 5 +

1

2∙ −1

3

7∙ −

3

5− 4 ∙ 0

3

7∙ 5 − 4 ∙ −1

) + (2 ∙ −2 + 5 ∙ 0 −

1

2∙ 1 2 ∙ 3 + 5 ∙ −2 −

1

2∙ 5

0 ∙ −2 +4

7∙ 0 + 0 ∙ 1 0 ∙ 3 +

4

7∙ −2 + 0 ∙ 5

) =

(−6

5

19

2

−9

35

22

7

)+ (−9

2−13

2

0 −8

7

) = (−57

10

6

2

−9

352)

h) Solo las matrices A y B son cuadradas, por lo tanto, para C y D no es posible calcular el determinante.

det(𝐴) = det(2

1

23

7−4

) = 2 ∙ −4 −3

7∙1

2= −

115

14

det (𝐵) = det (−3

55

0 −1

) = −3

5∙ −1 − 0 ∙ 5 =

3

5

48

TRIGONOMETRÍA

i) La matriz inversa sólo se puede calcular para matrices cuadradas, por lo tanto, sólo es posible para

A y B, además sus determinantes son distintos de cero, por lo tanto, las inversas existen en ambos casos.

(2

1

23

7−4)

−1

Ampliaremos la matriz con la identidad para calcular la inversa realizando

operaciones elementales filas:

(2

1

23

7−4

| 1 00 1

)𝐹1 (1

2)

(1

1

43

7−4

| 1

20

0 1)𝐹12 (−

3

7)

(1

1

4

0 −115

28

|

1

20

−3

141

)

𝐹2 (−28

115)

(1

1

40 1

|

1

20

6

115−28

115

)𝐹21 (−1

4)

(1 00 1

|

56

115

7

1156

115−28

115

)

Por lo tanto (2

1

23

7−4)

−1

= (

56

115

7

1156

115−28

115

)

En el segundo caso, procedemos de la misma forma, con lo cual obtenemos:

(−3

55

0 −1

)

−1

=

(−3

55

0 −1| 1 00 1

)𝐹1 (−5

3)

(1 −

25

30 −1

| −5

30

0 1

)𝐹2(−1) (1 −25

30 1

| −5

30

0 −1

)𝐹21 (25

3)

(1 00 1

| −5

3−25

30 −1

)

Por lo tanto (−3

55

0 −1)

−1

= (−5

3−25

3

0 −1)

2) Matriz mágica:

a) 𝐴2 = [364 268 268268 364 268268 268 364

] No es una matriz mágica ya que al sumar las diagonales, horizontales y

verticales no se obtiene el mismo (en forma vertical y horizontal se obtiene 900, pero en una de

las diagonales se obtiene 1092)

49

TRIGONOMETRÍA

b) 𝐴3 = [9576 8616 88088232 9000 97689192 9384 8424

] es una matriz mágica su constante es 27.000

c) 𝐴4 = [276.144 266.928 266.928266.928 276.144 266.928266.928 266.928 276.144

] no es matriz mágica ya que la suma de las diagonales,

verticales y horizontales no es la misma.

𝐴5 = [8.155.296 8.063.136 8.081.5688.026.272 8.100.000 8.173.7288.118.432 8.136.864 8.044.704

] es una matriz mágica cuya constante es

24.300.000

d) Las matrices que se obtienen, a partir de una matriz mágica, de potencia impar son matrices

mágicas y las de potencia par no serán mágicas.

3) La matriz dada tiene inversa si su determinante es distinto de cero, entonces al calcular el

determinante obtenemos:

𝑚2 + 4𝑚 + 3

Determinamos para que valores esta expresión es cero:

𝑚2 + 4𝑚 + 3 = 0

Para lo que resolvemos la ecuación cuadrática, y calculamos los valores de m: 𝑚 = −3 o 𝑚 = −1

Por lo tanto, la matriz tiene inversa siempre y cuando m sea distinto de -3 y de -1.

4) ACTIVIDAD 1

a) ¿Qué representa geométricamente cada ecuación?

Cada una de ellas representa un plano en el espacio.

b) ¿Qué representa geométricamente la solución del sistema de ecuaciones?

Representa la intersección de los tres planos.

50

TRIGONOMETRÍA

ACTIVIDAD 2

a) Calcula el determinante de la matriz principal ¿Qué significa lo obtenido? El determinante es cero, esto

significa que no podemos calcular la solución utilizando el método de la inversa, y significa que el sistema

puede tener infinitas soluciones como no tener solución (sistema incompatible)

Si calculas el determinante de la matriz ampliada ¿qué obtienes? ¿Por qué?

Indefinido, ya que se está calculando el determinante de una matriz no cuadrada y esto no es posible,

el determinante sólo existe si la matriz es cuadrada.

b) En la matriz reducida por filas se obtiene:

Esto significa que es un sistema con infinitas soluciones ya que la última fila muestra un sistema

compatible, con z como parámetro. Obtenemos:

𝑥 − 1.67𝑧 = −1.67𝑦 + 0.33𝑧 = 1.33

}

c) ¿El sistema tiene solución? Si la tiene ¿Cuál es?, si no la tiene ¿Por qué no la tiene?

El sistema tiene infinitas soluciones: con 𝑧 = 𝑡 ∈ ℝ

𝑥 = −1.67 + 1.67𝑡𝑦 = 1.33 − 0.33𝑡

}

5) a) Matriz que expresa el número y tamaño de ventanas en cada tipo de vivienda.

𝑉𝐺 𝑉𝑀 𝑉𝐶𝐻

𝐴 = (1 7 12 9 24 10 3

)𝑎𝑙𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑜𝑠𝑞𝑢𝑒𝑠

𝑚𝑒𝑑𝑖𝑡𝑒𝑟𝑟á𝑛𝑒𝑜

Matriz que expresa el número de cristales y el número de bisagras en cada tipo de ventana.

𝐶𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝐵𝑖𝑠𝑎𝑔𝑟𝑎𝑠

51

TRIGONOMETRÍA

𝐵 = (4 82 41 2

)𝑎𝑙𝑒𝑟𝑐𝑒𝑏𝑜𝑠𝑞𝑢𝑒𝑠

𝑚𝑒𝑑𝑖𝑡𝑒𝑟𝑟á𝑛𝑒𝑜

b) La matriz que exprese el número de cristales y de bisagras necesarias en cada tipo de vivienda, es la matriz A*B.

𝐶𝑟𝑖𝑠𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝐵𝑖𝑠𝑎𝑔𝑟𝑎𝑠

𝐴 ∙ 𝐵 = (19 3828 5639 78

)𝐴𝑙𝑒𝑟𝑐𝑒𝐵𝑜𝑠𝑞𝑢𝑒𝑠

𝑀𝑒𝑑𝑖𝑡𝑒𝑟𝑟á𝑛𝑒𝑎

6) a) El producto cruz es:

�� × �� = |𝑖 𝑗 ��1 2 3−1 1 2

| = 𝑖 |2 31 2

| − 𝑗 |1 3−1 2

| + �� |1 2−1 1

| = 𝑖 − 5𝑗 + 3��

= (1,0,0) − 5 · (0,1,0) + 3 · (0,0,1) = (1,0,0) − (0,5,0) + (0,0,3) = (1,−5,3)

El vector obtenido es un vector perpendicular a los dos dados inicialmente. Si calculamos �� × �� obtenemos el vector opuesto al anteriormente calculado: (−1,5, −3) Observa:

�� × �� = |𝑖 𝑗 ��−1 1 21 2 3

| = 𝑖 |1 22 3

| − 𝑗 |−1 21 3

| + �� |−1 11 2

| = −𝑖 + 5𝑗 − 3��

= −(1,0,0) + 5 · (0,1,0) − 3 · (0,0,1) = (−1,0,0) + (0,5,0) − (0,0,3) = (−1,5,−3) Que también es perpendicular a los dos vectores dados inicialmente, sólo que va en sentido contrario

del hallado anteriormente.

b) El módulo del producto cruz en ambos casos será el mismo: √(1)2 + (−5)2 + (3)2 = √35 que representa el área (en unidades al cuadrado) del paralelogramo que se forma entre los vectores u y v.

7) Para determina las condiciones que debe cumplir k según cada caso, escribiremos la matriz ampliada que representa el sistema de ecuaciones:

52

TRIGONOMETRÍA

(3 1 𝑘1 −1 25 𝑘 + 1 2

|1−24)

Y aplicando operaciones elementales filas, obtenemos la matriz escalonada reducida:

(

1 −1 20 4 𝑘 − 6

0 0−𝑘2 + 4

4

|

−27

−7𝑘 + 14

4

)

a) Para que el sistema tenga solución única, debemos tener un sistema compatible, es decir el

determinante de la matriz principal debe ser distinto de cero:

𝑑𝑒𝑡 (

1 −1 20 4 𝑘 − 6

0 0−𝑘2 + 4

4

) =−𝑘2 + 4

4

Calculamos cuando este determinante es cero: −𝑘2 + 4

4= 0 ⇒ 𝑘 = 2, 𝑘 = −2

Por lo tanto, si k es distinto de 2 o -2 el sistema tendrá solución y será única.

b) No tenga solución Si k = -2 el sistema no tiene solución, observa que al reemplazar en la última línea de la matriz ampliada reducida por filas, obtienes la siguiente igualdades 0=7, lo que muestra un sistema incompatible.

c) Tenga infinitas soluciones Si k = 2 el sistema tiene infinitas soluciones, observa que al reemplazar en la última línea de la matriz ampliada reducida por filas, obtienes la siguiente igualdades 0=0, lo que muestra un sistema compatible.

53

TRIGONOMETRÍA

54

TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS

PROPUESTOS

ACTIVIDAD SUGERIDA N°01 VECTORES: DISTANCIA, DIRECCIÓN Y SENTIDO

Karen debe ir desde su casa al supermercado como muestra el mapa:

Representa con vectores la ruta marcada en el mapa en el plano cartesiano, tomando

como origen del sistema coordenado la casa de Karen.

1) Construye otra ruta diferente para ir desde la casa al supermercado, avanzando por las calles representadas.

55

TRIGONOMETRÍA

2) Cuenta las cuadras que avanzó a la derecha y las que avanzó hacia arriba (desplazamiento). Si en algún momento avanzó a la izquierda o hacia abajo considera que se movió -1 cuadras a la derecha.

3) Compare los resultados de las rutas anteriores ¿cómo son los resultados de los desplazamientos totales?

4) Calcula el módulo (distancia) de cada vector que representa cada ruta (la dada y la creada), compara la suma de

los módulos de cada una de las rutas con el cálculo del desplazamiento total anteriormente realizado.

5) Suponga que ahora tiene que ir nuevamente desde la casa al supermercado, pero puede moverse solo por las diagonales de las manzanas (imagine que todas las cuadras tienen diagonales), como se muestra en la imagen.

Karen no puede cambiar de dirección en el centro de la manzana, debe completar la diagonal, es decir, no puede moverse como se muestra en la imagen.

Construya gráficamente una ruta para ir desde la casa al supermercado en el plano cartesiano, avanzando por estas diagonales.

6) Cuente las veces que avanzó en cada diagonal, para cada ruta que construyó. De la misma forma anterior si tuvo que avanzar en la dirección ó considérelo como -1 vez la diagonal. Compare los resultados de los desplazamientos totales con lo obtenido anteriormente. Calcule los módulos de cada vector que representa la ruta descrita y compare la suma de los módulos con el desplazamiento total.

Solución: La representación de la ruta marcada en el mapa utilizando vectores es:

56

TRIGONOMETRÍA

Se han marcado con azul los vectores con orientación positiva y con rojo los con orientación negativa según las instrucciones dadas. Esta actividad tiene múltiples soluciones ya que es una actividad abierta (pues dependerá de las otras rutas que te has dado), sin embargo, para calcular los desplazamientos deberá sumar los movimientos, en el caso de la imagen dada es:

1 – 1 + 2 + 3 − 1 + 2 + 1 = 7 Por lo tanto, el desplazamiento total es de 7 cuadras. Cuando se nos pide calcular los módulos de los vectores obtendremos en el caso de la ruta dada:

1 + 1 + 2 + 3 + 1 + 2 + 1 = 11 Por lo que el recorrido total es de 11 cuadras, entonces el desplazamiento y la distancia total recorrida son conceptos distintos. Pueden existir casos tanto en las rutas diagonales como en las horizontales y verticales en las que el desplazamiento sea igual a la distancia, si no existen vectores con dirección negativa según las indicaciones de la actividad.

57

TRIGONOMETRÍA

ACTIVIDAD SUGERIDA N°02: LA RUTA DEL AVIÓN

Un avión parte de un aeropuerto en la ciudad A, y toma la ruta de la siguiente imagen: Sabiendo que el punto de partida es el aeropuerto desde donde despega con un ángulo de elevación de 30° y que el ángulo de giro que realiza una vez que llega a la ciudad A para dirigirse a la ciudad B es de 260°. Nota: La ciudad C se encuentra en paralelo del aeropuerto.

1) Calcula el ángulo de cada uno de los vectores que muestran la trayectoria del avión.

2) Determina la posición de la ciudad C en relación con el punto de partida.

Solución:

1) El vector que va desde el punto de inicio a la ciudad A tiene un ángulo de 30°, el vector 𝐴𝐵 tiene un

ángulo de 110°, el vector 𝐵𝐶 tiene un ángulo de 180°.

2) La ciudad C tiene coordenadas aproximadas (−89.75; 228.45)

58

TRIGONOMETRÍA

ACTIVIDAD SUGERIDA N°03

En el análisis de las corrientes costeras se utilizan vectores para obtener los datos que permitan analizarlas se observan los desplazamientos de las boyas en el mar. En el siguiente cuadro se muestran los datos de una boya que se coloca en el mar y su posición se registra cada cierto tiempo. Nota: El ángulo es con referencia al Este respecto del último punto donde se tomó el dato anterior.

Tiempo (horas)

Distancia (m)

Ángulo (grados)

0 7 23

1 10 12

2 5 8

1) Realiza un gráfico utilizando vectores que permita observar la trayectoria de la boya. 2) ¿Cuál es la distancia total recorrida por la boya? 3) ¿cuál es la posición final de la boya?

Solución:

1) Gráfico de la trayectoria de la boya

2) La distancia total recorrida por la boya es de 22 metros

3) La posición final de la boya respecto de su punto de inicio es en la coordenada (21,2; 5,5)

aproximadamente.

59

TRIGONOMETRÍA

ACTIVIDAD SUGERIDA N°04 OPERACIONES CON MATRICES

Una compañía de discos para computadoras de alto rendimiento tiene 3 productos a la venta (simple, medio, alto) y tiene 4 empresas a las que provee anualmente (empresas A, B, C y D). El resumen anual de productos vendidos a cada empresa se anota en una matriz, donde cada empresa dispone de un vector fila cuyas componentes indican las cantidades adquiridas de cada producto. Sea M la matriz de ventas de este año:

𝑀 = (

7 3 54 0 35 2 73 4 2

)

1) Interpretar la matriz M, explicando cómo ha sido la venta de productos de la compañía.

2) Durante el año anterior se realizaron las siguientes ventas: la primera empresa ha comprado 5 unidades

del primer producto, 2 del segundo y 3 del tercero; el segundo cliente, 4 unidades de cada uno; el tercero sólo 4 unidades del primer artículo y el cuarto no ha comprado nada. Construye la matriz de ventas del año anterior.

3) Escribe la matriz de las ventas conjuntas de este año y del anterior.

4) Escribe la matriz de la variación de las ventas de este año en relación con las del año anterior.

5) Debido a la baja del dólar se pronostica que la cantidad de ventas del año siguiente aumentarán en un 30% respecto de este año. ¿Cuál será la matriz de la venta esperada para el siguiente año?

6) Si el primer producto tiene un valor de venta de 250 dólares, el segundo 680 dólares y el tercero 420 dólares. ¿Cómo representas en forma matricial la operación que permite obtener la recaudación por empresa de cada uno de los productos vendidos por la compañía durante este año?

60

TRIGONOMETRÍA

Soluciones:

1) A la empresa A le vende 7 productos de rendimiento simple, 3 productos de rendimiento medio y 5 productos de rendimiento alto; a la empresa B le vende 4 productos simple y 3 alto; a la empresa C le vende 5 simple, 2 medio y 7 alto; y a la empresa C le vende 3 productos simple, 4 productos medio y 2 productos alto.

2) La matriz de ventas del año anterior es:

𝑀 = (

5 2 34 4 44 0 00 0 0

)

3) La matriz de las ventas conjuntas de este año y el anterior son: (

12 5 88 4 79 2 7 3 4 2

)

4) La matriz de variación de las ventas de este año en relación con las del año anterior es: (

2 1 20 −4 −11 2 73 4 2

)

5) La matriz de la venta esperada para el siguiente año es: (

9 3 65 0 36 2 93 5 2

)

6) La representación en forma matricial de la operación que permite obtener la recaudación por empresa de cada uno de los productos vendidos por la compañía durante este año es:

61

TRIGONOMETRÍA

(

7 3 54 0 35 2 73 4 2

) ∗ (250680420

) = (

5.8902.2605.5504.310

)

ACTIVIDAD SUGERIDA N°05: EL PROFESOR TURISTA

Un profesor de matemática ha decidido planificar sus vacaciones minuciosamente para aprovechar al máximo

su tiempo y dinero como turista, por lo que ha decidido realizar un esquema de las cuatro ciudades que visitará,

representando con una línea si es posible llegar de una ciudad a otra en algún medio de transporte.

Al ver este esquema el profesor turista se ha dado cuenta que tiene muchas opciones de ruta a seguir, por lo que lleva su esquema a una matriz, representando con 1 si puede llegar de una ciudad a otra con un medio de transporte directo, y con 0 si no puede llegar en forma directa.

1) De acuerdo con la información dada completa la matriz “M” del profesor turista.

A B C D

62

TRIGONOMETRÍA

A 0 1 0 0

B 0

C 0

D 0

Nota: la ciudad con sí misma no está conectada.

2) Calcula la matriz 𝑀2 𝑦 𝑀3 ¿Cómo interpretas lo obtenido en cada caso?

3) Calcula el valor de 𝑀2 +𝑀 e interpreta lo obtenido.

4) Calcula el valor de 𝑀3 +𝑀2 +𝑀 e interpreta lo obtenido.

Soluciones:

1) La matriz 𝑀 es:

A B C D

A 0 1 0 0

B 1 0 1 0

C 0 0 0 1

D 0 1 1 0

2) Calcula la matriz 𝑀2 𝑦 𝑀3 ¿Cómo interpretas lo obtenido en cada caso?

𝑀2 A B C D

A 1 0 1 0

B 0 1 0 1

C 0 1 1 0

D 1 0 1 1

Esta matriz indica todos los caminos de longitud 2, que hay para ir de una ciudad a otra.

63

TRIGONOMETRÍA

𝑀3 A B C D

A 0 1 0 1

B 1 1 2 0

C 1 0 1 1

D 0 2 1 1

Esta matriz indica todos los caminos de longitud 3, que hay para ir de una ciudad a otra.

3) Calcula el valor de 𝑀2 +𝑀 e interpreta lo obtenido. 𝑀2 +𝑀

A B C D

A 1 1 1 0

B 1 1 1 1

C 0 1 1 1

D 1 1 2 1

Esta matriz indica el número de rutas para ir de una ciudad a otra directamente o pasando por una ciudad

intermedia.

4) Calcula el valor de 𝑀3 +𝑀2 +𝑀 e interpreta lo obtenido.

𝑀3 +𝑀2 +𝑀 A B C D

A 1 2 1 1

B 2 2 3 1

C 1 1 2 2

D 1 3 3 2

Esta matriz indica el número de rutas cuya longitud máxima es 3 (pasando directo, pasando por una

ciudad intermedia o pasando por dos ciudades intermedias), que hay para ir de una ciudad a otra a otra.

ACTIVIDAD SUGERIDA N°06

El precio de la entrada a un parque zoológico es de 5.000 para los niños, 7.500 para los adultos y 6.000 para la tercera edad (mayores de 60 años). En una jornada el zoológico fue visitado por 5.900 personas en total, igualando el número de visitantes adultos al de niños y jubilados juntos. La recaudación de dicho día ascendió a $37.350.000.

1) Plantea un sistema de ecuaciones en forma matricial para averiguar cuántos niños, adultos y jubilados visitaron la exposición ese día.

64

TRIGONOMETRÍA

2) Resuelve el problema con alguno de los métodos matriciales vistos.

3) Si el zoológico necesita que ingrese como mínimo $25.000.000 diarios para poder cubrir los gastos y considerando que en promedio cada familia que asiste está compuesta por dos adultos y dos niños ¿Cuántas familias debiesen asistir para cubrir los gastos diarios?

Solución:

1) Sistema de ecuaciones en forma matricial, con x: número de niños, y: número de adultos y z: número de personas de la tercera edad.

(5.000 7.500 6.0001 1 11 −1 1

) ∙ (𝑥𝑦𝑧) = (

37.350.0005.9000

)

2) Al utilizar la matriz reducida por filas se obtiene: x=2.475, y=2.950, z=475, lo que quiere decir que

asistieron 2.475 niños, 2950 adultos y 475 personas de la tercera edad.

3) Como no dice si los adultos son mayores de 60 años o no, consideraremos varias combinaciones:

a) Si cada dos niños asisten dos adultos ambos menores de 60 años, entonces deben asistir al menos

2000 niños y 2000 adultos.

b) Si cada dos niños asisten dos adultos mayores de 60 años, entonces deben asistir 2273 niños y

2273 adultos mayores.

c) Si cada dos niños asisten un adulto mayor y un adulto menor de 60 años, entonces la cantidad de

niños que debe asistir es 2128, la cantidad de adultos menores de 60 años debe ser 1064, y la

cantidad de adultos mayores 1064.

Observa que se ha aproximado por exceso, ya que de lo contrario no se logra obtener la

recaudación necesaria.