MANUAL DOCENTE - INACAP

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TRIGONOMETRÍA

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UNIDAD TRIGONOMETRÍA

MANUAL DOCENTE

INACAP

Ciencias Básicas

Vicerrectoría de Académica de Pregrado

2016

MANUAL DOCENTE

“TRIGONOMETRÍA”

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CHILE - INACAP

UNIDAD

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TRIGONOMETRÍA

UNIDAD TRIGONOMETRÍA EDICIÓN 2019 Creación Lorena Rosas Toro Germán Osses Romano Dirección Alejandro García Miño EDICIÓN 2020 Creación Bernardita Pérez Ureta Validación María Verónica Férnandez Dirección Alejandro García Miño Juan Pablo Vargas

UNIDAD

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TRIGONOMETRÍA

PRESENTACIÓN MATEMÁTICA tiene dos propósitos fundamentales, primero nivelar a los alumnos de las áreas de Ingeniería en habilidades matemáticas necesarias para la vida, mediante estrategias de clase expositiva, solución de ejercicios y problemas y, segundo, contribuir en la formación técnica de los alumnos, mediante el desarrollo de destrezas que mejoren su desempeño profesional. Para ello esta asignatura busca promover el desarrollo de la competencia genérica de resolución de problemas. Competencia que busca promover en los estudiantes el desarrollo del razonamiento lógico necesario para asumir desafíos del mañana como futuro profesional. El MANUAL DOCENTE “TRIGONOMETRÍA” ofrece una variedad de problemas y ejercicios asociados a los objetivos de aprendizaje presentes en la unidad de Resolución de Problemas presente en el programa de la asignatura. La propuesta constituye una guía para organizar, orientar y complementar el trabajo del docente. Esperamos que este material sea de ayuda tanto para el estudiante como para el docente.

Éxito en esta etapa de la asignatura

ÁREA DE CIENCIAS BÁSICAS

VICERRECTORÍA ACADÉMICA UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE CHILE INACAP – 2020

UNIDAD

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TRIGONOMETRÍA

TRIGONOMETRÍA La trigonometría, al igual que cualquier otra rama de la matemática, fue el resultado de la labor de muchos matemáticos. Su historia se remonta a los astrónomos babilónicos de los siglos V y IV a.c., quienes acumulando una cantidad de datos astronómicos y astrológicos permitirían a los matemáticos griegos construir la trigonometría gradualmente. El aporte de los griegos fue un estudio sistemático de las relaciones entre los ángulos centrales (o sus arcos correspondientes) en un círculo y las longitudes de las cuerdas que los subtienden. Los astrónomos de la época Alejandrina ya habían empezado a trabajar en problemas que apuntaban de una manera cada vez más urgente a la necesidad de establecer sistemáticamente relaciones entre los ángulos y las cuerdas. Estas relaciones les permitieron calcular, a través de las proporciones, el tamaño de la Tierra y las distancias relativas al Sol y a la Luna. Hiparco de Nicea (140 a.C.), es considerado como el padre de la trigonometría, en efecto durante varios siglos los griegos se habían dedicado a estudiar las relaciones entre rectas y circunferencias y habían aplicado estas relaciones a gran cantidad de problemas astronómicos, pero de todo ello no había resultado nada que pudiera llamarse una trigonometría más o menos sistemática. Todo parece indicar que a mediados del siglo II a.C. fue armada la primera tabla trigonométrica por obra del astrónomo Hiparco de Nicea. Sin embargo, no es sino hasta principios del siglo XVII, el matemático John Napier inventó los logaritmos y gracias a esto los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje. A mediados de este siglo Isaac Newton, utilizando series infinitas, encontró la serie para el sen(x) y series similares para el cos(x) y la tan(x). Finalmente, en el siglo XVIII, el matemático Leonhard Euler encontró la relación entre las propiedades trigonométricas y los números complejos.

APRENDIZAJES ESPERADOS

Resuelve problemas de la disciplina y/o especialidad, que involucren tópicos introductorios de trigonometría. (Integrada Competencia Genérica Resolución de Problemas)

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

1. Transformando medidas angulares de un sistema a otro. 2. Calculando razones trigonométricas en triángulos rectángulos. 3. Utilizando el teorema del seno y/o teorema del coseno en diversos triángulos.

UNIDAD

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TRIGONOMETRÍA

4. Representando la función seno, con traslaciones y/o deformaciones, mediante su registro algebraico y/o gráfico. 5. Representando la función coseno, con traslaciones y/o deformaciones, mediante su registro algebraico y/o gráfico. 6. Calculando imágenes y/o preimágenes de funciones seno y coseno. 7. Identificando las características principales de las funciones seno y coseno.

CONTENIDOS

1. Trigonometría en el triángulo rectángulo:

Razones trigonométricas.

Razones trigonométricas de ángulos notables. 2. Teoremas fundamentales:

Teorema del seno.

Teorema del coseno. 3. Funciones seno y coseno:

Definición de funciones seno y coseno.

Representación gráfica de la función seno y coseno.

Representando la función coseno y seno, con traslaciones y/o deformaciones.

Cálculo de imágenes y preimágenes de funciones seno y coseno.

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TRIGONOMETRÍA

PLANIFICACIÓN DE UNIDAD UNIDAD: TRIGONOMETRÍA

APRENDIZAJE ESPERADO

CRITERIOS DE EVALUACIÓN

CONTENIDOS HORAS SUGERIDAS

ACTIVIDADES MÍNIMAS OBLIGATORIAS EN EL AULA (A.M.O.)

ACTIVIDADES ON LINE Y EJERCITACIÓN MATEMÁTICA FUERA DEL AULA

Resuelve problemas de la disciplina y/o especialidad, que involucren tópicos introductorios de trigonometría. (Integrada Competencia Genérica Resolución de Problemas)

1. Transformando medidas angulares de un sistema a otro. 2. Calculando razones trigonométricas en triángulos rectángulos. 3. Utilizando el teorema del seno y/o teorema del coseno en diversos triángulos. 4. Representando la función seno, con traslaciones y/o deformaciones, mediante su registro algebraico y/o gráfico. 5. Representando la función coseno, con traslaciones y/o deformaciones, mediante su registro algebraico y/o gráfico.

1. Trigonometría en el triángulo rectángulo: •Razones trigonométricas. •Razones trigonométricas de ángulos notables. 2. Teoremas fundamentales: •Teorema del seno. •Teorema del coseno. 3. Funciones seno y coseno: •Definición de funciones seno y coseno. •Representación gráfica de la función seno y coseno. •Representando la función coseno y seno, con

24 horas:

22 horas

clases lectivas

2 horas

evaluación sumativa

ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA 01: - Actividad: “Quién tiene la razón” - Análisis de ángulos y el sentido horario y antihorario de transformación de grados a radianes y configuración de la calculadora. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de análisis, en la primera parte el objetivo es que discutan y analicen el significado de medidas angulares y el sentido horario y antihorario. En la segunda parte el objetivo es que el estudiante a través de la observación llegue a obtener una relación entre grados y radianes y obtenga una forma de calcular las transformaciones de un sistema a otro. Posterior al momento de discusión entre los pares, se sugiere formalizar los conceptos de medidas angulares, sistemas de medición y el sentido horario y antihorario de los ángulos. Duración estimada: 45 minutos aprox.

• ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA 02: - Problema “Las cerchas” - Discusión sobre estrategias y/o conceptos implicados en la situación. Se recomienda recordar el teorema de Thales y algunas propiedades de semejanzas entre triángulos.

- Las medidas angulares I (AOL01.) - Las medidas angulares II (AOL02) - Ángulos y razones Trigonométricas (AOL03) - Expresiones Trigonométricas (AOL04) - El avión (AOL05) - El faro (AOL06) - Los segmentos (AOL07) - Los segmentos (AOL08) Desafío On Line: Las áreas (DES01) Actividades de Trabajo Autónomo

Ejercitación con problemas rutinarios y no rutinarios del manual del estudiante.

UNIDAD

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TRIGONOMETRÍA

6. Calculando imágenes y/o preimágenes de funciones seno y coseno. 7. Identificando las características principales de las funciones seno y coseno. 8. Estableciendo propuestas de solución pertinentes.

traslaciones y/o deformaciones. •Cálculo de imágenes y preimágenes de funciones seno y coseno.

Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de descubrimiento. Se sugiere implementar previo a la enseñanza de las razones trigonométricas. Posterior al momento de discusión, se sugiere formalizar las razones trigonométricas y sus recíprocos. Duración estimada: 45 minutos aprox.

• ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA 03: - Problema “Midamos INACAP” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad con una doble finalidad, por una parte, profundizar el trabajo con razones trigonométricas y por otra parte reforzar la resolución de situación problemáticas aplicadas a contextos reales, de tal forma que el estudiante reconozca la importancia de trazar una estrategia para resolver una situación problema y luego ponga en práctica los conocimientos adquiridos. Duración estimada: 45 minutos aprox.

• ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA 04: - Problema “El mapa” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad con una doble finalidad, por una parte, profundizar el trabajo con razones trigonométricas y

UNIDAD

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TRIGONOMETRÍA

por otra parte, introducir los teoremas del seno y coseno. Posterior al momento de discusión de estrategias, se sugiere formalizar los teoremas del seno y coseno y/o profundizar nociones nuevas e importantes, relacionadas con el teorema del seno y coseno, que emerjan de su solución y sean relevantes para la comprensión del problema. Duración estimada: 45 minutos aprox.

• ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA 05: - Problema “El lote 38”. - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de profundización. Se sugiere implementar para ahondar el estudio de los teoremas del seno y coseno. Posterior al momento de discusión de estrategias, se sugiere formalizar y/o profundizar nociones nuevas e importantes, relacionadas con los teoremas del seno y coseno, que emerjan de su solución y sean relevantes para la comprensión del problema. Duración estimada: 45 minutos aprox.

• ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA 06: - Problema “La rueda hidráulica” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de introducción a la gráfica de la función seno y coseno. Se sugiere implementar para iniciar el estudio de las gráficas de la función seno y coseno,

UNIDAD

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TRIGONOMETRÍA

para lo que se recomienda finalizar con la actividad de ampliación de conocimientos que facilitará la formalización y/o profundización de nociones nuevas e importantes, relacionadas con las funciones del seno y coseno, que emerjan de su solución y sean relevantes para la comprensión del problema. Duración estimada: 45 minutos aprox.

• ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA 07: - Actividad “Experimentando con Geogebra I” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de análisis de la gráfica de la función seno y coseno, respecto del cambio de amplitud de estas ondas. Se sugiere implementar para iniciar el estudio de las deformaciones de las gráficas de la función seno y coseno. Posterior al momento de discusión de estrategias, se sugiere formalizar y/o profundizar nociones nuevas e importantes, relacionadas con la amplitud de las funciones seno y coseno, que emerjan de su solución y sean relevantes para la comprensión del problema. Duración estimada: 45 minutos aprox.

• ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA 08: - Actividad “Manecillas del reloj” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de análisis de la gráfica de la función seno y coseno, respecto del cambio en el periodo de estas

UNIDAD

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TRIGONOMETRÍA

ondas. Se sugiere implementar para continuar el estudio de las deformaciones de las gráficas de la función seno y coseno. Posterior al momento de discusión de estrategias, se sugiere formalizar y/o profundizar nociones nuevas e importantes, relacionadas con el periodo, que emerjan de su solución y sean relevantes para la comprensión del problema. Duración estimada: 45 minutos aprox.

• ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA 09: - Actividad “Experimentando con Geogebra II” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de análisis de la gráfica de la función seno y coseno, respecto de las traslaciones de ellas en el eje x y en el eje y. Se sugiere implementar para continuar el estudio de las deformaciones de las gráficas de la función seno y coseno. Posterior al momento de discusión de estrategias, se sugiere formalizar y/o profundizar nociones nuevas e importantes, relacionadas con las traslaciones de las funciones sen y cos, que emerjan de su solución y sean relevantes para la comprensión del problema. Duración estimada: 45 minutos aprox.

• ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA 10: - Actividad “Los engranajes” - Discusión sobre estrategias y conceptos implicados en la situación. Orientación: Esta situación corresponde a una actividad de análisis de la gráfica de la función seno y coseno, respecto de las traslaciones, cambios en el

UNIDAD

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TRIGONOMETRÍA

período y amplitud. Se sugiere implementar como una actividad integradora del análisis de las gráficas o como una evaluación formativa respecto de las funciones sen y cos en torno a los valores de la imagen y preimagen y el análisis gráfico. Duración estimada: 45 minutos aprox.

Evaluación formativa

Orientación: Esta evaluación corresponde a una actividad de tipo formativa, para que tanto el docente como los estudiantes logren visualizar aquellos contenidos que se deben reforzar previos a la evaluación de la unidad. Se sugiere implementar como una actividad de tipo individual y posteriormente el docente deberá realizar la corrección en pizarra de esta evaluación, conversando con los estudiantes las dificultades que se presentaron para reforzar aquellos contenidos. Duración estimada: 45 minutos aprox.

Evaluación Sumativa En esta clase el docente deberá aplicar el instrumento evaluación de la unidad trigonometría, evaluación de tipo sumativa que debe desarrollarse en forma individual. Duración estimada: 90 minutos aprox. Posteriormente a la entrega de resultados el docente deberá realizar la corrección de esta evaluación con los estudiantes.

UNIDAD

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TRIGONOMETRÍA

ORGANIZACIÓN SUGERIDA PARA LA UNIDAD

A continuación, se muestra una organización de las actividades considerando bloques de 45 minutos cada una.

HORAS HORAS

ACUMULADAS SUB-UNIDAD ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA OTRAS ACTIVIDADES

1 1

Introducción a la trigonometría

Sistema de medición y

medidas angulares

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD - A.M.O. N°01

1 2 Sistema de medición y

medidas angulares

Problemas y ejercicios resueltos y propuestos de cálculo de razones trigonométricas.

1 3 Razones trigonométricas A.M.O. N°02

1 4 Razones trigonométricas

Problemas y ejercicios resueltos y propuestos de transformación de medidas angulares

1 5 Razones trigonométricas A.M.O. N°03

1 6 Razones trigonométricas Problemas y ejercicios resueltos y propuestos de situaciones problemáticas.

1 7 Razones trigonométricas y

Teorema del seno y coseno

A.M.O. N°04

1 8 Razones trigonométricas y


Problemas y ejercicios resueltos y propuestos de aplicación del teorema del seno y coseno y situaciones problemáticas de teorema del seno y coseno

1 9 Teorema del seno y

coseno A.M.O. N°05

1 10 Teorema del seno y

coseno

Problemas y ejercicios resueltos y propuestos de teorema del seno, coseno y razones trigonométricas.

1 11 Funciones trigonométricas A.M.O. N°06

1 12 Funciones trigonométricas Problemas y ejercicios resueltos y propuestos de función del seno y coseno.

1 13 Amplitud de las funciones

sen y coseno A.M.O. N°07

1 14 Amplitud de las funciones

sinusoidales

Problemas y ejercicios resueltos y propuestos de amplitud de función del seno y coseno.

UNIDAD

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TRIGONOMETRÍA

1 15 Periodo de las funciones

sinusoidales A.M.O. N°08

1 16 Periodo de las funciones

sinusoidales

Problemas y ejercicios resueltos y propuestos de periodo de función del seno y coseno.

1 17 Traslaciones y desfases de las funciones sinusoidales

A.M.O. N°09

1 18 Traslaciones y desfases de las funciones sinusoidales

Problemas y ejercicios resueltos y propuestos de traslaciones de función del seno y coseno.

1 19 Deformaciones de las funciones sinusoidales

A.M.O. N°10

1 20 Deformaciones de las funciones sinusoidales

Problemas y ejercicios resueltos y propuestos de deformaciones y traslaciones de función del seno y coseno.

1 21 Trigonometría A.M.O. N°11 EVALUACIÓN

FORMATIVA

1 22 Trigonometría Revisión de evaluación formativa

1 23 Trigonometría EVALUACION SUMATIVA

1 24 Trigonometría EVALUACION SUMATIVA

UNIDAD

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TRIGONOMETRÍA

ACTIVIDADES

MÍNIMAS

OBLIGATORIAS

UNIDAD

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TRIGONOMETRÍA

ASPECTOS METODOLÓGICOS A CONSIDERAR

Las ACTIVIDADES MÍNIMAS OBLOGATORIAS (AMO), corresponden a Actividades de Resolución de

Problemas que deben ser realizadas en las clases de matemáticas, idealmente en la sesión que se indica

en la planificación. Cada Actividad de Resolución de Problema contempla un problema matemático y las

sugerencias didácticas para el docente. Estas actividades tienen como objetivo que los estudiantes hagan

matemática, se enfrenten a situaciones nuevas, y desarrollen sus habilidades de comunicación y trabajo

colaborativo, entre otros. Además, están diseñadas para permitir la construcción de conocimientos o

bien, la profundización de algún contenido de manera que los estudiantes puedan fortalecer y establecer

nuevas relaciones que potencien su comprensión. Es importante señalar que el elemento central es el

problema, que lo entendemos como “una actividad matemática para la cual la persona que la enfrenta

no conoce un procedimiento que le conduzca a la solución”.

Antes de la implementación de cada una de estas actividades se debe realizar lo siguiente:

Es importante señalar que el profesor debe resolver el problema previamente a la clase, conocer

al menos una estrategia que permita llegar a la solución del problema.

Revisar las sugerencias didácticas del problema que contemplan algunas de las posibles

estrategias de solución, preguntas que permiten activar u orientar el trabajo de los estudiantes,

simplificaciones y extensiones del problema.

La implementación de una Actividad de Resolución de Problemas comienza con la formación de grupos

de forma aleatoria para favorecer el trabajo colaborativo. Si el curso no supera los 20-25 estudiantes, se

proponen grupos de 3 integrantes, y en caso de un número mayor se propone formar grupos de 4

integrantes. En esta actividad, los estudiantes trabajan en grupo y con el apoyo del docente, quién

fomenta el trabajo autónomo y colaborativo de los estudiantes por sobre el individual. Desde que se

entrega el problema a los estudiantes hasta que lo resuelven, el docente da la oportunidad para que

cada grupo encuentre la solución, interactuando con ellos con preguntas orientadoras y sin dar la

solución a los estudiantes. Decimos que un grupo ha resuelto el problema cuando cada uno de sus

integrantes comprende la estrategia de resolución y es capaz de explicarla, por tanto si un estudiante del

grupo no comprende ni puede explicar la solución, el problema no ha sido resuelto. Lo que se espera es

que todos los grupos sean capaces de resolver el problema. Para finalizar la actividad, el docente

organiza una plenaria donde los estudiantes explican sus soluciones a sus compañeros/as, durante unos

10 a 15 minutos.

UNIDAD

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TRIGONOMETRÍA

Para la implementación de cada Actividad de Resolución de Problemas se deben realizar algunas

prácticas pedagógicas que promueve la metodología ARPA y se organizan en los siguientes momentos o

etapas:

Entrega: aquí el docente organiza los grupos al azar, motiva la participación, el trabajo colaborativo y la

autonomía de los grupos, entrega el problema en una hoja a cada estudiante, los estudiantes leen el

problema. No es recomendable que docente o algún estudiante lea el problema en voz alta.

Activación: en esta etapa los grupos comienzan a trabajar en el problema, la interacción con el docente

es principalmente en base a preguntas, en las sugerencias didácticas encontrará algunas propuestas

(preguntas de activación), las que tienen por objetivo activar el trabajo de los estudiantes y favorecer la

interacción entre ellos. Si un grupo no logra avanzar en la resolución del problema a pesar de que el

docente hizo preguntas de activación, se le puede entregar una simplificación que es un problema que

mantiene la esencia del original pero de menor dificultad.

Consolidación: en esta etapa los estudiantes han resuelto el problema o creen haberlo hecho, ante lo

cual llamarán al docente para dar a conocer su trabajo. El docente se debe cerciorar que todos puedan

explicar el procedimiento y puedan justificar sus acciones (por ejemplo, el docente puede pedir a un

estudiante que explique la primera parte de la solución y a otro estudiante la parte final). Si en esta

interacción el docente nota que la solución del grupo es errada, debe plantear preguntas que permitan

al grupo darse cuenta y salir del error. Por otro lado, si el docente se cerciora que el problema ha sido

correctamente resuelto o si todos comprenden, el docente puede hacer una extensión (un problema de

mayor dificultad que el problema original, para que los estudiantes profundicen o generalicen), las que

también se proponen en las sugerencias didácticas. No es necesario que todos los grupos alcancen las

preguntas de extensión.

Discusión (o Plenaria): este espacio está destinado para que los estudiantes presenten al curso las

diferentes estrategias y soluciones, promoviendo la reflexión y discusión entre los estudiantes. Deje el

espacio para que sean ellos los que expliquen y argumenten, usted puede realizar preguntas que

permitan la discusión (encontrará propuestas en las sugerencias didácticas). Se recomienda seleccionar

los estudiantes para presentar desde la estrategia más simple a la óptima y que permite profundizar y

generalizar.

UNIDAD

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TRIGONOMETRÍA

ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA N°00

PRESENTACIÓN DE LA UNIDAD TIEMPO ESTIMADO: 15 MINUTOS. El docente deberá realizar una presentación de la Unidad, mencionando sus objetivos, contenidos,

criterios de evaluación y aspectos históricos epistemológicos que están presenten desde sus orígenes.

Además, deberá indicar la estrategia metodológica para el logro de los aprendizajes esperados, unido a

otros aspectos que considere relevantes de comunicar a los estudiantes. Posteriormente presenta y da

inicio a la Actividad mínima obligatoria 01.

Se recomienda que antes de comenzar la ACTIVIDAD MÍNIMA OBLIGATORIA Nº01, el docente genere en

el aula, la distribución de grupos al azar de 3 a 4 estudiantes, para comenzar con el trabajo de resolución

de problemas después de la presentación.

UNIDAD

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TRIGONOMETRÍA


PROBLEMA 01: EL RELOJ

ACTIVIDAD 1

¿Cuántos radianes ha recorrido el minutero cuando la manecilla se encuentra en el minuto 20, sabiendo

que 360°equivalen a 2𝜋 radianes?

UNIDAD

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TRIGONOMETRÍA

PROBLEMA EL RELOJ

TIEMPO ESTIMADO 15 minutos para la presentación y 45 minutos para la actividad.

CONOCIMIENTOS PREVIOS Cuarta proporcional, razones trigonométricas.

INTEGRACIÓN CON OTRAS UNIDADES Números complejos, Vectores

CONOCIMIENTO MATEMÁTICO (CONSTRUIR – PROFUNDIZAR)

Sentido horario y antihorario de los ángulos, correspondencia entre sistema sexagesimal y radian.

SUGERENCIAS DIDÁCTICAS

Sugerencias para la aplicación de la A.M.O en aula: La situación corresponde a una actividad de discusión en la cual por medio del cálculo de proporcionalidad, el estudiante deberá obtener el ángulo que describen las manecillas del reloj; por lo tanto, se recomienda que al término de la actividad el docente formalice los contenidos de medición de ángulos explicando que estos se miden en sentido antihorario y que de acuerdo a esto les solicite que vuelvan a decir cuál es la medida del ángulo que describen las manecillas pensando en los ángulos negativos y su equivalencia en positivo. El objetivo es que el estudiante discuta sobre la importancia de definir en qué sentido se miden los ángulos; y que logre determinar la equivalencia entre grados y radianes. Debe ser aplicada al inicio de la clase, previo a toda enseñanza de conceptos de transformación de medidas angulares. Posterior al momento de discusión, se sugiere formalizar dicho tópico y/o profundizar nociones nuevas e importantes que emerjan de su solución como puede ser el valor de los ángulos en negativo. Las preguntas se abocan a la transformación de medidas angulares y la comprensión del sentido de los ángulos. Las posibles estrategias:

1) El estudiante podría hacer la equivalencia entre los 60 minutos y los 360° obteniendo a través de una relación de proporcionalidad el ángulo entre las manecillas al marcar los 20 minutos, obteniendo un ángulo de 120°. Pero también podría ir en sentido antihorario si conoce el sentido en que se miden los ángulos obteniendo un ángulo de 240°.

2) El estudiante podría aplicar subdivisiones a la circunferencia para que represente los ángulos pedidos (a modo de la repartición de una torta) para dibujarlos, o que aplique una cuarta proporcional para calcular los ángulos en grados o radianes.

Preguntas sugeridas para la activación:

UNIDAD

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TRIGONOMETRÍA

¿Cuál es la manecilla de los minutos? ¿Cuánto tiempo le lleva a la manecilla de los minutos dar un círculo completo (360°)? ¿Cuánto tiempo le lleva a la manecilla de los minutos dar una vuelta completa las 24 horas? ¿Cuántos grados pasa la manecilla de minutos en una hora? ¿Cuántos grados pasa en 15 minutos? ¿En 10 minutos? Entonces, ¿cuántos grados pasa en 5 minutos? Preguntas sugeridas para la simplificación del problema:

1) Si te fijas en las agujas del reloj ¿es lo mismo ir en el sentido de ellas que en sentido

contrario?

2) Imagínate que tienes una torta y la divides equitativamente para 8 personas ¿cuánto mide el ángulo que representa cada trozo de esa torta? ¿En cuántos trozos debieras dividir tu circunferencia (si seguimos imaginando que es una torta) para que al repartir la torta en algún momento hayamos repartido 110° de la torta?

Preguntas sugeridas para la extensión del problema:

Averigua como obtener en tu calculadora la transformación de grados a radianes y viceversa.

UNIDAD

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TRIGONOMETRÍA


PROBLEMA 02: LAS CERCHAS

Una empresa dedicada a la construcción

de techumbres fabrica cerchas de madera

como la que aparece en la Figura 01.

Figura 01

Un cliente de la zona realizó un pedido cuya mitad es como la que aparece en la figura 02. Las

características básicas de la cercha son las siguientes:

Su base y su altura deben medir 6 metros.

Los ángulos BAC, BDG y BEF son rectos.

Los segmentos AD, DE y EB tienen la misma medida.

Figura 02

ACTIVIDAD ¿Qué relación puedes observar entre las medidas de los lados y la medida de los ángulos en los

triángulos ABC y DBG que se forman en la cercha?

UNIDAD

22

TRIGONOMETRÍA

PROBLEMA LAS CERCHAS

TIEMPO ESTIMADO 45 minutos.

CONOCIMIENTOS PREVIOS Teorema de Pitágoras y teorema de Thales, concepto de razón.

INTEGRACIÓN CON OTRAS UNIDADES Números complejos, Vectores


Razones trigonométricas: sen, cos, tan en el triángulo rectángulo.


Sugerencias para la aplicación de la A.M.O en aula: La situación corresponde a una actividad de descubrimiento, en la cual se busca que el estudiante observe que al tener triángulos semejantes la razón no cambia. Debe ser aplicada al inicio de la unidad, previo a toda enseñanza de conceptos. Posterior al momento de discusión, se sugiere formalizar dicho tópico y/o profundizar nociones nuevas e importantes que emerjan de su solución y sean relevantes para la comprensión del problema relacionadas con el concepto de razón trigonométrica. Esta actividad está organizada en dos partes de tal forma que la segunda parte requiere haber comprendido como obtener las razones (en la primera parte), para lograr un conocimiento más profundo en la segunda parte. Las preguntas se abocan a la escritura de razones entre los lados de un triángulo rectángulo y la aplicación del teorema de Pitágoras y teorema de Thales para obtener la medida de los lados faltantes, para estos dos últimos teoremas se recomienda al docente recordarlos previamente para permitir que el estudiante se centre en los conceptos de razones. Las posibles estrategias:

1) El estudiante podría calcular las medidas de los segmentos y los ángulos y luego buscar

la relación: AD, DE y EB = 2 metros cada segmento

BC = √72 ≈ 8,5 metros aproximadamente. EF = 2 metros, DG = 4 metros

DF = √8 ≈ 2,8 metros, AG = √20 ≈ 4,5 metros

UNIDAD

23

TRIGONOMETRÍA

Medidas de los ángulos interiores presentes en la Figura 02:

La relación: Si la razón entre los lados se mantiene, la medida de los ángulos es la misma, es decir se tienen triángulos semejantes.

2) El estudiante podría utilizar el teorema de Thales o teoremas de semejanza de triángulos para obtener alguna de las relaciones entre los lados y los ángulos.

Preguntas sugeridas para la simplificación del problema:

I) ¿Cuál es la relación entre los trazos AB y AC, con DB y DG? Para que observe el teorema de Thales.

II) ¿Qué tipos de triángulos son los que se forman dentro del triángulo mayor? ¿Qué características tienen en común? Para que determine la semejanza de los triángulos.

III) En el siguiente triángulo sabiendo que el lado b =2 y el lado a =4 Responde a continuación:

UNIDAD

24

TRIGONOMETRÍA

1) Si te posicionas en el vértice donde se forma el ángulo de 30° ¿Cuál es el valor del lado

opuesto a este ángulo? ¿Cuál es el valor del lado adyacente a este ángulo? Nota: estas preguntas tienen como objetivo que el estudiante sitúe correctamente los lados para no cometer errores en las razones trigonométricas.

2) Si te posicionas en el vértice donde se forma ángulo de 60° ¿Cuál es el valor del lado opuesto a este ángulo? ¿Cuál es el valor del lado adyacente a este ángulo?

3) Escribe las razones pedidas y el valor de cada razón:

Triángulo Razón 1 Razón 2 Razón 3

Triángulo ABC

𝐴𝐶

𝐴𝐵= =

𝐴𝐶

𝐵𝐶= =

𝐴𝐵

𝐵𝐶= =

4) Si sacaras una fotocopia que amplía 4 veces la imagen de este triángulo.

a) ¿Cuáles son las medidas de los lados del nuevo triángulo? b) Compara las razones de los lados nuevos, con lo obtenido anteriormente.

5) Si sacaras una fotocopia que reduce a la mitad la imagen de este triángulo. a) ¿Cuáles son las medidas de los lados del nuevo triángulo? b) Compara las razones de los lados nuevos, con lo obtenido anteriormente.


ACTIVIDAD 2

Completa la siguiente tabla con las medidas de los triángulos. Anota las medidas como fracción y luego como decimal. (si una medida es el valor de una raíz anótala de esa forma, sólo aproxima el valor final de la razón)

Triángulo Razón 1 Razón 2 Razón 3 Triángulo

ABC

𝐴𝐶

𝐴𝐵= =

𝐴𝐶

𝐵𝐶= =

𝐴𝐵

𝐵𝐶= =

Triángulo BDG

𝐷𝐺

𝐷𝐵= =

𝐷𝐺

𝐵𝐺= =

𝐷𝐵

𝐵𝐺= =

UNIDAD

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TRIGONOMETRÍA

Triángulo EBF

𝐸𝐹

𝐸𝐵= =

𝐸𝐹

𝐵𝐹= =

𝐸𝐵

𝐵𝐹= =

a) ¿Qué característica en común tienen los triángulos ABC, BDG y BEF?

b) ¿Qué puedes concluir de los resultados de la columna Razón 1? ¿de la columna Razón 2? ¿Y de la columna Razón 3? ¿Por qué sucederá esto?

Solución:

Triángulo Razón 1 Razón 2 Razón 3

Triángulo ABC

𝐴𝐶

𝐴𝐵=

6

6= 1

𝐴𝐶

𝐵𝐶=

6

√72≈ 0,71

𝐴𝐵

𝐵𝐶=

6

√72≈ 0,71

Triángulo BDG

𝐷𝐺

𝐷𝐵=

4

4= 1

𝐷𝐺

𝐵𝐺=

4

√32≈ 0,71

𝐷𝐵

𝐵𝐺=

4

√32≈ 0,71

Triángulo EBF

𝐸𝐹

𝐸𝐵=

2

2= 1

𝐸𝐹

𝐵𝐹=

2

√8≈ 0,71

𝐸𝐵

𝐵𝐹=

2

√8≈ 0,71

a) ¿Qué característica en común tienen los triángulos ABC, BDG y BEF? Los valores de las razones son los mismos.

b) ¿Qué puedes concluir de los resultados de la columna Razón 1? ¿de la columna Razón 2? ¿Y de la columna Razón 3? ¿Por qué sucederá esto?

Esto ocurre debido a que se tienen triángulos semejantes, es decir los ángulos se mantienen iguales y los lados aumentan o disminuyen en forma proporcional.

UNIDAD

26

TRIGONOMETRÍA


PROBLEMA 03: MIDAMOS INACAP

Realiza en grupo de 3 a 4 compañeros y respondan ¿cuál es la altura del edificio donde estudias? (Deberás

trazar tu propia estrategia para calcular lo pedido)

Compara la altura obtenida con los otros grupos. ¿Quién estuvo más cerca de la altura real?

UNIDAD

27

TRIGONOMETRÍA

PROBLEMA MIDAMOS INACAP


CONOCIMIENTOS PREVIOS Razones trigonométricas en el triángulo rectángulo

INTEGRACIÓN CON OTRAS UNIDADES Geometría en el plano, Números complejos, Vectores


Resolución de situaciones reales utilizando razones trigonométricas.


Sugerencias para la aplicación de la A.M.O en aula: La situación corresponde a una actividad de profundización de las razones trigonométricas, en la cual se busca que el estudiante sea capaz de resolver una situación problemática real utilizando los conocimientos adquiridos previamente. Debe ser aplicada luego de trabajar los conceptos de razones trigonométricas en triángulos rectángulos. Posterior al momento de discusión, se sugiere profundizar en la discusión respecto de los instrumentos de medición, la precisión en los cálculos con decimales y como todos estos influyen en el cálculo final de la medida del edificio. Las preguntas tienen como objetivo que el estudiante sea capaz de organizar información relevante (como medida de la sombra, ángulo de elevación del sol, medida de una distancia, etc.) para la resolución de la situación presentada, trace un plan de solución y lo ejecute y finalmente sea capaz de trasmitir la información obtenida. Las posibles respuestas a las preguntas planteadas son las siguientes: Las estrategias son diversas, una de las que podría utilizar el alumno es medir el ángulo utilizando un transportador como se muestra a continuación:

O podría utilizar un instrumento de medición (teodolito o medición con instrumento láser) si en la sede disponen de ellos. Luego medir la distancia a la que el se encuentra desde la base del edificio y con esto lograr medir la altura del edificio utilizando razones trigonométricas.

UNIDAD

28

TRIGONOMETRÍA


1) Realiza un dibujo de la situación planteada y determina que datos necesitas y puedes obtener

para obtener la altura del edificio.

2) Si observas el siguiente triángulo rectángulo ¿Cómo se relaciona cada dato del triángulo con alguno de los datos de tu situación problema?

3) ¿Cuál de los datos anotados en el triángulo puedes obtener con alguna herramienta a tu disposición?


Si un edificio se encuentra inclinado (como la torre de Pisa) ¿Cómo podrías calcular la altura del edificio? Considera que no te puedes acercar a más de 500 metros de su base por el peligro de derrumbe que hay.

UNIDAD

29

TRIGONOMETRÍA


PROBLEMA 04: EL MAPA

Mario, un viajero, desea visitar 5 ciudades de

Sudamérica en este orden:

Ciudad A: Ubicada en Venezuela.

Ciudad B: Ubicada en Perú.

Ciudad C: Ubicada en Argentina.

Ciudad D: Ubicada en Brasil.

Ciudad E: Ubicada en Brasil.

Y al finalizar su recorrido debe volver a Venezuela

para volver a su país.

Al buscar información sobre la distancia entre

ellas, Mario encuentra lo siguiente:

Las ciudades B, C y E, equidistan entre sí.

La ciudad D se encuentra en la mitad del camino entre la ciudad C y E.

La distancia entre B y D es 2.373 km

¿Cuál es la distancia total en km que recorrerá el

viajero?

UNIDAD

30

TRIGONOMETRÍA

PROBLEMA EL MAPA


CONOCIMIENTOS PREVIOS Características y propiedades de los triángulos: equiláteros, isósceles, rectángulos.



Profundizar: las razones trigonométricas Construir: teorema del seno y coseno.


Sugerencias para la aplicación de la A.M.O en aula: Esta situación corresponde a una actividad con una doble finalidad, por una parte, profundizar el trabajo con razones trigonométricas y por otra, introducir (o incluso construir) los teoremas del seno y coseno (para aquellos alumnos que logren llegar a la extensión y profundización de la situación). Debe ser aplicada luego de trabajar los conceptos de razones trigonométricas en triángulos rectángulos y se sugiere aplicar antes de ver los teoremas del seno y coseno. Posterior al momento de discusión de estrategias, se sugiere formalizar los teoremas del seno y coseno. Las preguntas se abocan al cálculo de distancias utilizando razones trigonométricas y las propiedades de triángulos. Las posibles estrategias:

1) El estudiante podría utilizar como estrategia el descomponer en triángulos más pequeños a partir de la información dada, y encontrar triángulos equiláteros (como el formado por las tres ciudades equidistantes) y así determinar las distancias pedidas, es decir sólo utilizando propiedades de los triángulos; o bien podría resolver utilizando razones trigonométricas en los triángulos rectángulos hallados (por ejemplo, los formados con la altura del triángulo equilátero)

2) Podría completar una tabla para visualizar para ayudar a Mario, descomponiendo incluso en

pequeños triángulos rectángulos.

Ciudad A B C D E

A 0 km

B 2.740 km 0 km

C 5.293 km 2.740 km 0 km

D 4.432 km 2.373 km 1.370 km 0 km

E 3.875 km 2.740 km 2.740 km 1.370 km 0 km

UNIDAD

31

TRIGONOMETRÍA


I) ¿Qué triángulos puedes formar dentro de la figura marcada en el mapa?

¿Qué tipos de triángulos son los formados? ¿Qué datos puedes obtener a través de las características de esos triángulos?

II) 1) Si se sabe que la altura del triángulo desde el punto C a la base AB tiene una medida de 5 metros

¿Cuál es la medida de los otros lados?

2) Si se sabe que la medida del segmento DE es de 8 metros ¿Cuál es la medida de los otros lados? Preguntas sugeridas para la extensión del problema:

Observa el triángulo formado por los puntos ACE. Justifica la siguiente afirmación:

𝑎

𝑠𝑒𝑛(𝛼)=

𝑏

𝑠𝑒𝑛(𝛽)=

𝑐

𝑠𝑒𝑛(𝛾)

UNIDAD

32

TRIGONOMETRÍA


PROBLEMA 05: EL LOTE 38

La figura muestra el plano de emplazamiento de un terreno. La información que contiene se obtuvo de

un levantamiento que se hizo en terreno.

¿Cuál sería el valor de una cerca perimetral si el metro tiene un valor de $1.800?

UNIDAD

33

TRIGONOMETRÍA

PROBLEMA EL LOTE 38


CONOCIMIENTOS PREVIOS Cálculo de área, altura de un triángulo.





Sugerencias para la aplicación de la A.M.O en aula: Esta situación corresponde a una actividad de profundización. Se sugiere implementar para ahondar el estudio de los teoremas del seno y coseno y en forma posterior a los conceptos relacionados con estos teoremas. Las preguntas se abocan la aplicación del teorema del seno y coseno a través de una situación problema. Las posibles estrategias: Para responder a las preguntas planteadas el estudiante podría dividir el polígono en dos triángulos como se muestra a continuación. Podría trazar las diagonales del polígono y con ellas establecer relaciones entre los lados para calcular los lados faltantes. Preguntas sugeridas para la simplificación del problema: Pidale al alumno que calcule el perímetro del lote que se forma en el triángulo ACD.

UNIDAD

34

TRIGONOMETRÍA

En este caso los alumnos podrían trazar la altura (H) desde el vértice C al lado AB y decir que las medidas posibles para el triángulo que se forma (AHC) es 3 km, 4 km y 5 km pensando en un triángulo pitagórico y con ello obtener las otras medidas, el docente en este caso podría pedirles que piensen si existen otras medidas que también cumplan y que los haga pensar en cómo obtener las medidas de los ángulos. Preguntas sugeridas para la extensión del problema: ¿Cuál es el valor del terreno si una hectárea cuesta $17.000.000? Sabiendo que una hectárea es equivalente a 10.000 metros cuadrados.

UNIDAD

35

TRIGONOMETRÍA


PROBLEMA 06: LA RUEDA HIDRÁULICA

En una casa de campo se ha ubicado una rueda hidráulica con el objetivo de recoger agua desde un río

que se encuentra junto a ella. El diámetro de la rueda mide 2 metros, encontrándose la mitad de ella

sumergida. Se sabe que la rueda gira en contra de las manecillas del reloj y tiene 8 vasijas distribuidas

uniformemente con las cuales recoge el agua.

Grafica la altura de una vasija respecto al ángulo que determina su

trayectoria.

UNIDAD

36

TRIGONOMETRÍA

PROBLEMA LA RUEDA HIDRÁULICA


CONOCIMIENTOS PREVIOS Representación geométrica de ángulos, imágenes y preimágenes de una función, razones trigonométricas.

INTEGRACIÓN CON OTRAS UNIDADES Funciones


Funciones trigonométricas: seno y coseno


Sugerencias para la aplicación de la A.M.O en aula: Esta situación corresponde a una actividad de introducción a la gráfica de la función seno y coseno (para la extensión). Se sugiere implementar para iniciar el estudio de las gráficas de la función seno y coseno, e indagar en aquellos elementos relevantes: ángulos (sistema sexagesimal y radián), escritura funcional, representación gráfica. Las preguntas se abocan la representación de las funciones seno y coseno (para extensión) en el plano cartesiano. Las posibles estrategias:

1) El estudiante podría realizar una tabla para organizar la información

Giro en grados

0 45 90 135 180 225 270 315 360 405

Nivel en metros

0 0.7 1 0.7 0 -0.7 -1 -0.7 0 0.7

Para calcular estos valores debe trabajar con las razones trigonométricas como se muestra en el ejemplo:

𝑠𝑒𝑛(45°) =𝑦

1 de lo cual obtiene el valor de y aproximado a 0,7 (nivel en metros de la vasija respecto

del nivel del agua)

2) también podría resolver utilizando la ecuación de la circunferencia con geometría analítica, en la cual el radio es 1.

La gráfica obtenida será:

UNIDAD

37

TRIGONOMETRÍA

Preguntas sugeridas para la simplificación del problema: Muestre al estudiante qué es lo que se desea obtener, trazando la siguiente figura:

¿Cómo puede calcular el lado azul marcado en la figura y qué representa este lado según la situación? ¿Si la vasija tiene altura de 30 cm cómo puedes calcular el ángulo? Preguntas sugeridas para la extensión del problema:

1) ¿Cómo cambia la altura de la vasija que inicia el movimiento en la parte superior de la rueda, respecto del ángulo que determina su trayectoria?

2) Realiza una gráfica del movimiento de la vasija, escribiendo en el eje x el ángulo de giro y en el eje y la altura de la vasija respecto el nivel del agua. Compara la gráfica obtenida con la anterior.

UNIDAD

38

TRIGONOMETRÍA


PROBLEMA 07: Ondas

Observa la imagen, la línea morada es el gráfico 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

1) ¿Puedes identificar las coordenadas de los puntos donde cada onda cruza los ejes?

2) ¿Dónde alcanza cada onda sus valores máximo y mínimo?

UNIDAD

39

TRIGONOMETRÍA

PROBLEMA Ondas


CONOCIMIENTOS PREVIOS Funciones seno y coseno: gráfica en el plano cartesiano

INTEGRACIÓN CON OTRAS UNIDADES Movimiento circular (física)


Análisis de la amplitud de la función seno.


Sugerencias para la aplicación de la A.M.O en aula: Esta situación corresponde a una actividad de análisis de la gráfica de la función seno y coseno, respecto del cambio de amplitud de estas ondas. Se sugiere implementar para iniciar el estudio de las deformaciones de las gráficas de la función seno y coseno. Las preguntas se abocan a la representación de las funciones seno y coseno en el plano cartesiano y la identificación de sus características principales tales como: mínimo, máximo, dominio, recorrido, periodo, el docente podría plantear las siguientes preguntas para que el estudiante active sus estrategias: ¿Cuáles son las características interesantes de la gráfica de y = sin(x)?, ¿Qué le sucede al gráfico más allá de 360°?, ¿Cómo describirías el efecto en el gráfico cuando x cambia a 2x? 3x? Las posibles estrategias:

1) Pueden dividir en fracciones los sectores donde corta cada onda respecto a la onda de color morado que representa sen(x) estableciendo de esta forma las intersecciones con el eje x.

2) Podrían plantear la ecuación sen(x)=0 e intentar plantear similares que les permitan encontrar más ángulos (a través del tanteo) donde la onda se hace cero, esta estrategia también les permitiría determinar cómo cambia la ecuación.

Preguntas sugeridas para la simplificación del problema: Grafica la parábola 𝑓(𝑥) = −𝑥2 + 1 en el intervalo [-1,1] y repite su grafica para generar una onda con forma parabólica. Si reducimos a la mitad la onda ¿en qué valores intersecta al eje x? Preguntas sugeridas para la extensión del problema: 1. ¿Puedes encontrar la gráfica roja a partir de la gráfica morada? 2. Imagina que tienes una calculadora gráfica pero el botón “seno” está roto. ¿Puedes dibujar los mismos patrones usando la función coseno en su lugar? Explica cómo puedes transformar un gráfico de coseno en un gráfico de seno. 3. Realiza tu propio patron usando una combinación de gráficos de seno, coseno y tangente, y desafía a otros compañeros a encontrar las ecuaciones.

UNIDAD

40

TRIGONOMETRÍA


PROBLEMA 08: MANECILLAS DEL RELOJ

Observa el siguiente reloj que marca las 12:00

En el plano a continuación, realiza la gráfica del minutero y el segundero

(utiliza colores distintos), representando en el 𝑒𝑗𝑒 𝑥 el tiempo

transcurrido (elige tu unidad de medida), y en el 𝑒𝑗𝑒 𝑦 la altura que tiene

el punto P respecto del centro según se muestra en la figura. ¿Qué

observas al comparar ambas gráficas?

UNIDAD

41

TRIGONOMETRÍA

PROBLEMA MANECILLAS DEL RELOJ





Análisis del periodo de las funciones seno y coseno.


Sugerencias para la aplicación de la A.M.O en aula: Esta situación corresponde a una actividad de análisis de la gráfica de la función seno y coseno, respecto del cambio en el periodo de estas ondas. Se sugiere implementar para continuar el estudio de las deformaciones de las gráficas de la función seno y coseno. Las preguntas se abocan al cálculo de periodo de las funciones seno y coseno. Las posibles estrategias:

1) Seccionar el plano a partir de la gráfica 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) como se muestra a continuación: La grafica en color naranjo se muestra la grafica del minutero y en color verde la del segundero.

En este caso la dificultad tiene relación con escoger la unidad de medida a representar, ¿serán los segundos o los minutos? Y la escala que permita observar la imagen, en este caso representar los minutos de 1 en 1 permitirá tanto observar la gráfica del segundero como del minutero.

2) Utilizar tablas de valores para cada aguja similar a lo realizado en la rueda hidráulica y luego graficar cada caso por separado.


1) ¿Cuánto tiempo demora el segundero en dar una vuelta completa? 2) ¿Cuánto tiempo demora el minutero en dar una vuelta completa? 3) Si te posicionas en los 30 minutos ¿Cuántas vueltas ha dado el minutero? 4) Si te posicionas en los 5 minutos ¿Cuántas vueltas ha dado el segundero?

UNIDAD

42

TRIGONOMETRÍA

5) ¿Qué relación tiene este problema con el que vimos de la rueda hidráulica? ¿Qué elementos son distintos?

Preguntas sugeridas para la extensión del problema: 1) Observa la gráfica a continuación de la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) y escribe que es lo que se

debe agregar a la expresión algebraica de la función para obtener la gráfica de color azul.

2) Si se tiene la gráfica de una onda sinusoidal que se completa al llegar a 4𝜋 y cuya amplitud

es 1 unidad ¿Cuál sería la ecuación que la representa? Realiza su gráfico. 3) Dada la ecuación 𝑓(𝑥) = 𝐴 𝑠𝑒𝑛 (𝐵𝑥) . Escribe una fórmula que te permita calcular el periodo.

UNIDAD

43

TRIGONOMETRÍA


PROBLEMA 09: MOSAICO

En esta imagen, uno de los gráficos corresponde a la función seno. Encuentra las ecuaciones de los otros

gráficos para reproducir el patrón.

UNIDAD

44

TRIGONOMETRÍA

PROBLEMA MOSAICO





Análisis de las traslaciones de las funciones seno y coseno.


Sugerencias para la aplicación de la A.M.O en aula: Esta situación corresponde a una actividad de análisis de la gráfica de la función seno, respecto de las traslaciones de ellas en el eje x y en el eje y. Se sugiere implementar para continuar el estudio de las deformaciones de las gráficas de la función seno y coseno. Las preguntas se abocan al análisis de las traslaciones de la función seno. Las posibles estrategias:

1) En las siguientes expresiones realizar cambios a los coeficientes A, B, C y D con algún graficador hasta obtener lo pedido.

𝑓(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝐵𝑥 − 𝐶) + 𝐷 ℎ(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝐵𝑥 − 𝐶) + 𝐷

2) Observar que la amplitud no cambia y que al ser un parámetro ya analizado determinar que el

número que multiplica a sen(x) es 1, determinar la intersección con el eje y, esto le permitiría realizar un símil a las funciones polinomiales analizadas con anterioridad en el curso o cursos previos para saber que se debe sumar o restar algún factor numérico.


1) Si la recta 𝑓(𝑥) = 2𝑥 se traslada 4 unidades hacia arriba ¿cómo quedaría la ecuación? 2) Si la parábola 𝑓(𝑥) = 𝑥2 se traslada 2 unidades hacia abajo ¿cómo quedaría la ecuación?

Preguntas sugeridas para la extensión del problema: En las siguientes expresiones:

𝑓(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝐵𝑥 − 𝐶) + 𝐷 ℎ(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝐵𝑥 − 𝐶) + 𝐷

Determina cómo se calculan los valores de 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷 teniendo sólo la gráfica.

UNIDAD

45

TRIGONOMETRÍA


PROBLEMA 10: LOS ENGRANAJES

La imagen muestra tres engranajes que se mueven en forma conjunta.

1) Realiza la gráfica de los movimientos de los engranajes.

2) Determina la amplitud, periodo, y ecuación de línea media de cada onda, a partir de las gráficas

de cada engranaje, donde se comparen las alturas de los puntos I’, K’, J’ con respecto al ángulo de

rotación.

UNIDAD

46

TRIGONOMETRÍA

PROBLEMA LOS ENGRANAJES





Análisis del periodo de las funciones seno y coseno.


Sugerencias para la aplicación de la A.M.O en aula: Esta situación corresponde a una actividad de análisis de la gráfica de la función seno y coseno, respecto de las traslaciones, cambios en el período y amplitud. Se sugiere implementar como una actividad integradora del análisis de las gráficas o como una evaluación formativa respecto de las funciones sen y cos en torno a los valores de la imagen y preimagen y el análisis gráfico. Las preguntas se abocan al cálculo (u observación) de distancias utilizando razones trigonométricas y las propiedades de triángulos (o la observación mediante las coordenadas). Las posibles estrategias: El estudiante podría graficar los movimientos por separado a partir de lo realizado en actividades anteriores o utilizando tablas de valores, se muestra un ejemplo a continuación:

UNIDAD

47

TRIGONOMETRÍA

En este caso los valores pedidos son: Onda de la circunferencia roja:

1) Amplitud: 0.97 2) Periodo de cada onda: 3.88 aproximadamente 3.9 3) Ecuación de la línea media: y=1

Onda de la circunferencia verde:

1) Amplitud: 2.2 2) Periodo de cada onda: 8.8 aproximadamente 3) Ecuación de la línea media: y=0

Onda de la circunferencia azul:

1) Amplitud: 2.7 2) Periodo de cada onda: 10.8 aproximadamente 3) Ecuación de la línea media: y=-2.44

Con estos elementos el estudiante podrá en la extensión armar las ecuaciones correspondientes a cada una de las gráficas. En los casos dados de ejemplo, las ecuaciones pueden ser: Ecuación del movimiento de la circunferencia roja:

0,97𝑠𝑒𝑛(1,6𝑥 − 4,8) + 1 Ecuación del movimiento de la circunferencia verde:

2,2𝑠𝑒𝑛(0,7𝑥) Ecuación del movimiento de la circunferencia azul:

2,7𝑠𝑒𝑛(0,6𝑥 − 2,5) − 2.44

UNIDAD

48

TRIGONOMETRÍA

También podrían ser coseno y trasladarse en otros valores. Preguntas sugeridas para la simplificación del problema:

1) Realiza un resumen de los elementos que viste en las clases anteriores que permiten identificar: periodo, cambios de fase y amplitud para el engranaje verde

2) Completa la tabla a continuación con los valores pedidos:

Circunferencia Radio Ecuación línea media

Verde 𝑦 =

3) Completa las tablas de valores con las imágenes de 𝑥 para la circunferencia de color verde,

donde 𝑓(𝑥) es la altura de los puntos I’, K’, J’ respectivamente: Nota: considera la altura del punto como la coordenada “y” del punto.

Valor de x f(x) Circunferencia verde

0

90°

180°

270°

360°

450°

540°


1) Todas las gráficas realizadas son del tipo sinusoidal de la forma: 𝑓(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝐵𝑥 − 𝐶) +𝐷 ó ℎ(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝐵𝑥 − 𝐶) + 𝐷. Determina si son del tipo sen o cos y cada uno de los valores de 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷 respectivamente.

2) ¿Qué relación tienen los valores de 𝐴, 𝐵, 𝐶 y 𝐷 en las ecuaciones antes descritas con los valores que aparecen en cada una de las ecuaciones de las circunferencias?

3) Si hicieras un gráfico donde 𝑥 es el tiempo que transcurre mientras da vuelta cada engrane, y 𝑓(𝑥) continúa representando la coordenada “𝑦” del punto 𝑃. ¿Continúa siendo una gráfica de tipo sinusoidal? Si es así, ¿Cómo afecta esto a los coeficientes 𝐴,𝐵,𝐶, 𝐷?

UNIDAD

49

TRIGONOMETRÍA


EVALUACIÓN FORMATIVA

A continuación, se presenta una evaluación de tipo formativa cuyo objetivo es que el alumno pueda

identificar aquellos conocimientos que necesita reforzar.

Tiempo: 45 minutos

1) Para resolver un triángulo del cuál se conocen dos ángulos y el lado opuesto a uno de estos

ángulos, ¿Qué utilizas para resolver?:

a) Razones trigonométricas

b) Teorema del seno

c) Teorema del coseno

2) Para resolver un triángulo del cuál se conocen dos lados y el ángulo que está entre ellos, ¿Qué

utilizas para resolver?:

a) Razones trigonométricas

b) Teorema del seno

c) Teorema del coseno

3) Andrés construye una cabaña de madera. La cabaña mide 30

metros de ancho, en la cual el techo tendrá varias vigas de madera

de 17 metros de largo. Andrés quiere poner las vigas a un ángulo

tal que cada par de vigas opuestas se encuentren exactamente en

el medio.

a) ¿Cuál es el ángulo de elevación de las vigas del techo en

grados?

b) ¿Cuál es la altura total de la cabaña desde el piso hasta el

ángulo tope del techo marcada con línea punteada en la figura,

sabiendo que la altura de la pared es de 2,5 metros?

UNIDAD

50

TRIGONOMETRÍA

4) Calcula lo pedido en cada triángulo:

a) El valor del ángulo ABC

b) El valor del lado AB

5) En cada una de las siguientes gráficas determina: amplitud, periodo, ecuación de la línea media,

desfases.

a) b)

c)

6) Determina la ecuación que representa cada una de las gráficas anteriores.

UNIDAD

51

TRIGONOMETRÍA

PROBLEMA EVALUACIÓN FORMATIVA


CONOCIMIENTOS PREVIOS Trigonometría en el triángulo rectángulo. Teoremas fundamentales: Teorema del seno, Teorema del coseno. Funciones seno y coseno.

INTEGRACIÓN CON OTRAS UNIDADES


Evaluar los aprendizajes adquiridos sobre los conceptos trigonométricos trabajados en la unidad.


Es importante señalar que el profesor debe resolver la evaluación formativa previo a la revisión de las sugerencias didácticas.

Esta actividad corresponde a una situación de evaluación formativa cuyo objetivo es verificar si los conceptos trabajados durante la unidad han sido asimilados por los estudiantes y poder reforzarlos en caso contrario.

Los estudiantes en forma individual deben responder las preguntas planteadas en la evaluación formativa.

Sugerencias para la aplicación de la evaluación formativa en aula: Esta situación corresponde a una actividad de análisis de evaluación formativa de los contenidos trabajados durante la unidad. Se sugiere implementar como una actividad integradora que permita evidenciar los conceptos asimilados por los estudiantes o aquellos que necesitan reforzar. Las preguntas se abocan al cálculo de razones trigonométricas, aplicación del teorema del seno y coseno, análisis de las funciones seno y coseno. Las posibles respuestas a las preguntas planteadas son las siguientes:

1) Teorema del seno 2) Teorema del coseno 3) a) El ángulo es de 28,1° b) Altura del techo + altura de la pared = 8 + 2,5 =10,5 metros 4) a) 44,95° b) 14,3 unidades

5) a) amplitud=1/5 periodo=1 ecuación de la línea media: y=0 desfases= 𝜋

4 unidades hacia la

izquierda en el eje x. b) amplitud=3.5 periodo=2 ecuación de la línea media: y=4 desfases= 4 unidades hacia arriba en el eje y. c) amplitud=0.1 periodo=2.5 ecuación de la línea media: y=-0.1 desfases: 0.1 unidades hacia abajo en el eje y; 1 unidad hacia la derecha en el eje x.

6) a) 𝑓(𝑥) =1

5∙ 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 −

𝜋

4) b) 𝑔(𝑥) = 3.5 ∙ 𝑠𝑖𝑛(2𝑥) + 4

c) ℎ(𝑥) = 0.1 ∗ (𝑠𝑖𝑛(2.5𝑥 − 1)) − 0.1

UNIDAD

52

TRIGONOMETRÍA

FORMALIZACIÓN

DE CONTENIDOS

UNIDAD

53

TRIGONOMETRÍA

TRIGONOMETRÍA

La trigonometría es una ciencia que se preocupa de la resolución de triángulos, esta ciencia comenzó debido a la necesidad que tenía el hombre para calcular distancias muy grandes, por ejemplo, la distancia de la Tierra al Sol o a la Luna o la distancia entre dos puntos muy lejanos en la Tierra.

Comenzaremos esta unidad entregándote algunas definiciones básicas que necesitarás para comenzar a trabajar con la trigonometría.

ÁNGULOS Un ángulo se forma cuando dos rayos tienen un punto de inicio en común. Este punto se llama el vértice. El ángulo queda determinado por la apertura de estos rayos. Tipos de ángulos Ángulo agudo: la medición de un ángulo inferior a 90 grados.

Ángulo recto: un ángulo que mide exactamente 90 grados; los dos lados son perpendiculares.

Ángulo obtuso: un ángulo de medición superior a 90 grados y menos de 180 grados.

Ángulo llano o extendido: un ángulo que mide exactamente 180 grados.

UNIDAD

54

TRIGONOMETRÍA

SISTEMAS Y MEDIDAS ANGULARES Para medir ángulos utilizaremos los siguientes sistemas de medición son: el sistema sexagesimal y el sistema circular. También existe un sistema de medición que divide a la circunferencia en 400 grados centesimales, en donde los ángulos rectos miden 100 grados centesimales o gonios (100g) Las calculadoras científicas poseen los tres sistemas de medición:

Sexagesimal: degree Centesimal: grade Circular: rad El Sistema Sexagesimal: la unidad de medida es un grado sexagesimal, denotado 1°. Para definirla se considera una circunferencia de centro C que se divide en 360 arcos de la misma longitud, es como tomar la circunferencia como si fuera una torta y sacarle 360 rebanadas iguales (muy delgaditas). Cada uno de estos arcos, junto con el centro C, origina un ∡𝐴𝐶𝐵 que mide 1°. Observación: 1 grado sexagesimal es equivalente a 1 minuto, y a su vez un minuto es equivalente a 60 segundos.

1° = 60′ y 1′ = 60′′ Ejemplo: Si divides la circunferencia en 4 arcos iguales, ¿cuánto mide cada uno de los ángulos que se forman? Observa que si dividimos la circunferencia en 4 partes obtenemos:

360°: 4 = 90° Es decir, cada arco origina un ángulo que mide 90°

UNIDAD

55

TRIGONOMETRÍA

El Sistema Circular: la unidad de medida es un radián, que es la medida de un ∡𝐴𝐶𝐵 de vértice en el centro C de una circunferencia y que subtiende un arco de longitud igual al radio de esta. Si R es el radio de la circunferencia la longitud de esta es 2𝜋 veces el radio y cada radio corresponde a un ángulo del centro de 1 rad. Luego para la totalidad de la circunferencia, se tiene:

360° = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑 Ejemplo: Transforma 90° a radianes. Resolvemos utilizando una cuarta proporcional sabiendo que 360° = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

Ahora resolvemos:

𝑥 =90° × 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

360°⟹ 𝑥 =

𝜋

2𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

Por lo tanto 90° equivalen a 𝜋

2 radianes

Ejemplo: Transforma 5𝜋

3 radianes a grados

Resolvemos utilizando una cuarta proporcional sabiendo que 360° = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

Ahora resolvemos:

𝑥 =180° ×

5𝜋 3 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠⇒ 𝑥 = 300°

Por lo tanto 5𝜋

3 radianes equivalen a 300°

360° = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

𝑥° =5𝜋

3 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

360° = 2𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

90° = 𝑥 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

UNIDAD

56

TRIGONOMETRÍA

Comprueba los valores obtenidos utilizando tu calculadora en modo Deg y Rad para las conversiones

como se muestra a continuación:

Paso 1: Al presionar la tecla más de tres veces se muestran pantallas de configuración adicionales. Selecciona la opción Deg (1)

Paso 2: Transforme

Ejemplo: Convertir 𝜋

3 radianes a grados

･････ (Deg)

(𝜋/3) (DRG ) (R)

Ejemplo: Convertir 45 grados a radianes

･････ (Rad)

45 (DRG ) (D)

UNIDAD

57

TRIGONOMETRÍA

GRADOS, MINUTOS Y SEGUNDOS

Para desglosar una medida en el sistema sexagesimal de grados en forma decimal y calcular los minutos y

segundos equivalentes también trabajamos con la cuarta proporcional.

Si quieres saber cuántos minutos, grados y segundos tiene 148,34° desglosamos de la siguiente forma:

Tenemos 148° y queremos saber cuántos minutos y segundos son 0,34°, sabiendo que 1° es equivalente a

60’ (minutos) resolvemos:

Ahora resolvemos:

𝑥 =0,34° × 60 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

1°

𝑥 = 20,4 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

Por lo tanto 0,34° equivalen a 20,4′

Luego procedemos de la misma forma para calcular los segundos, desglosamos 20,4 en 20 minutos y 0,4

minutos y transformamos este último en segundos:

Ahora resolvemos:

𝑥 =0,4′ × 60′′

1′

𝑥 = 24 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠

Por lo tanto 148,34° equivalen a 148° 20’ y 24’’

1° = 60 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

0,34° = 𝑥 𝑚𝑖𝑛𝑢𝑡𝑜𝑠

1′ = 60 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠

0,4′ = 𝑥 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜𝑠

UNIDAD

58

TRIGONOMETRÍA

Los ángulos se miden en sentido antihorario, esto significa que van en sentido contrario a las agujas del

reloj, así definimos ángulos positivos.

Si lo mides en sentido de las agujas el ángulo será negativo.

UNIDAD

59

TRIGONOMETRÍA

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Una razón trigonométrica es una razón entre las longitudes de dos lados de un triángulo rectángulo. Son seis razones trigonométricas: seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, las que se abrevian: sen, cos, tan, sec, cotan y csc, respectivamente. Cada razón trigonométrica tiene asociada una razón recíproca (que corresponde a su inverso multiplicativo), en el siguiente cuadro te mostramos cuales son las recíprocas de cada una:

Razón trigonométrica Razón trigonométrica recíproca

𝑠𝑒𝑛(𝛼) =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑠𝑐(𝛼) =

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑜𝑠(𝛼) =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑠𝑒𝑐(𝛼) =


𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑡𝑎𝑛(𝛼) =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(𝛼) =



Observaciones:

Si bien la cosecante es la razón recíproca de seno, también funciona al revés, es decir, el seno es la razón recíproca de la cosecante y lo mismo para todas las razones trigonométricas. Esto quiere decir que si multiplicamos una razón por su recíproca obtenemos como resultado el neutro multiplicativo 1.

Que una razón sea la recíproca de la otra significa que si una de ellas tiene valor 4/5 la razón recíproca será 5/4.

El valor de la razón trigonométrica depende sólo de la medida del ángulo. No depende del tamaño del triángulo, ya que al aumentar de tamaño el triángulo en forma proporcional o disminuir en forma proporcional tenemos triángulos semejantes, lo que implica que la medida de los ángulos se mantiene.

Entonces para calcular las razones trigonométricas necesitamos los lados del triángulo, observa los siguientes ejemplos: Ejemplo 1: Determina las razones trigonométricas sen, cos y tan para el ángulo 𝛼:

UNIDAD

60

TRIGONOMETRÍA

Primero calculamos la hipotenusa del triángulo rectángulo dado pues se desconoce su valor y la necesitaremos para calcular las razones trigonométricas, para esto utilizamos el teorema de Pitágoras:

(𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜1)2 + (𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜2)2 = (ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2 32 + 42 = 𝑥2 9 + 16 = 𝑥2

25 = 𝑥2

√25 = 𝑥 5 = 𝑥

Entonces:


ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎=

4

5 𝑐𝑜𝑠(𝛼) =



3

5 𝑡𝑎𝑛(𝛼) =


𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒=

4

3

Observación: Recuerda que el cateto opuesto es aquel que se encuentra enfrente del ángulo dado y el cateto adyacente es aquel que junto a la hipotenusa forman el ángulo, por lo mismo su ubicación depende del ángulo que estés mirando:

Ejemplo: Si miras el ángulo 𝛼 el cateto opuesto mide 4 unidades y el cateto adyacente mide 3 unidades, en cambio si miras el ángulo 𝛽 el cateto opuesto mide 3 unidades y el cateto adyacente mide 4 unidades.

Ejemplo 2: Sabiendo que sen(𝛼) =1

5, calcule el cos(𝛼)

Recuerda que sen 𝛼 =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎, entonces si dibujamos un triángulo rectángulo, nos están dando

las medidas del cateto opuesto y la hipotenusa.

Recuerda que la medida del

cateto sólo puede ser positiva,

ya que es la medida de un lado

del triángulo, es decir es una

distancia.

UNIDAD

61

TRIGONOMETRÍA

Debemos calcular la medida del cateto faltante utilizando el teorema de Pitágoras, ya que lo necesitamos para calcular el coseno del ángulo 𝛼:

(𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜1)2 + (𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜2)2 = (ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎)2 12 + 𝑥2 = 52 𝑥2 = 25 − 1

𝑥2 = 24

𝑥 = √24

Por lo tanto, el cateto adyacente al ángulo 𝛼 tiene una medida de √24 unidades (pues podrían ser metros, centímetros, kilómetros, etc.)

Entonces el 𝑐𝑜𝑠(𝛼) =√24

5≈ 0,98

Observación: Las razones trigonométricas también se asocian a funciones de tal forma que x es el ángulo y la función es sen, cos o tan. Más adelante profundizaremos en el concepto de función trigonométrica, sin embargo, para calcular los ángulos a veces necesitarás las funciones trigonométricas inversas llamadas arcoseno, arcocoseno y arcotangente, en tu calculadora las encontrarás como: 𝑠𝑒𝑛−1, 𝑐𝑜𝑠−1, 𝑡𝑎𝑛−1 En tu calculadora puedes encontrar estas funciones aplicando (Shift) y estas te permiten determinar un ángulo.

Ejemplo: En el triángulo anterior sen(𝛼) =1

5, por lo tanto 𝛼 = 𝑠𝑒𝑛−1 (

1

5) → 𝛼 ≈ 11,5°

UNIDAD

62

TRIGONOMETRÍA

RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS

A continuación, te mostramos una estrategia para resolver problemas:

Analicemos el siguiente problema y como resolverlo paso a paso: Una persona que mide 1.7 m de altura vé con un ángulo de elevación de 38° la punta de un poste, sabiendo que la persona se e encuentra a una distancia de 8 m desde el pie del poste. Calcula la altura del poste de luz.

a) Identificación de datos:

- Ángulo de elevación del observador al objeto ∝= 38°. - Distancia horizontal del observador al objeto 𝑑 = 8𝑚 - Altura del observador 𝑙 = 1.7𝑚. - Altura del objeto 𝐻 la incógnita.

Incluso puedes hacer un dibujo de la situación si esto te

ayuda a organizar los datos:

1° Leer y comprender

•Leer el enunciado del problema.

•Identificar datos y pregunta del problema.

2° Proponer y fundamentar

•Buscar una estrategia de resolución.

3° Resolver y comprobar

•Explicar la estrategia y justificarla.

•Comprobar que el resultado que obtuviste da respuesta al problema.

4° Comunicar

•Comunicar los resultado de manera acorde a la situación e interlocutores.

UNIDAD

63

TRIGONOMETRÍA

b) Estrategia de resolución: - Interpretar la información y los datos dentro de los elementos de un triángulo rectángulo. - Aplicar la razón trigonométrica adecuada en este caso la tangente del ángulo de elevación,

ya que la tangente es el lado opuesto (un valor incógnito) sobre el lado adyacente al ángulo (cuyo valor tenemos que es de 8 m)

c) Resolución: Interpretamos geométricamente la figura incorporando los datos y variables.

- Utilizamos la tangente de α = 38°

tan 𝛼 =𝑐𝑎𝑡. 𝑜𝑝.

𝑐𝑎𝑡. 𝑎𝑑𝑦.

tan 38° =𝑥

8𝑚

8m ∙ tan 38° = 𝑥

8m ∙ 0.7813 = 𝑥

6.25m = 𝑥

- Pero 𝐻 = 1.7𝑚 + 𝑥

- Luego 𝐻 = 1.7𝑚 + 6.25𝑚

𝐻 = 7.95𝑚

d) Comunicación de resultados: La altura del poste es 7.95m

UNIDAD

64

TRIGONOMETRÍA

FUNCIONES SENO Y COSENO

Las funciones seno y coseno tienen como dominio el valor de un ángulo que puede tomar cualquier valor

en el conjunto de los números reales y por imagen tendrá también un valor real.

Para graficar estas funciones realizaremos una tabla de valores, con las preimágenes de la función, es decir

los valores de 𝑥 (ángulos), y las imágenes de la función, es decir los valores de 𝑦 ó 𝑓(𝑥).

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

𝒙 0 𝜋

6

𝜋

4

𝜋

3

𝜋

2

2𝜋

3

3𝜋

4

5𝜋

6

𝜋 7𝜋

6

4𝜋

3

3𝜋

2

5𝜋

3

7𝜋

4

11𝜋

6

2𝜋

𝑓(𝑥) 0 1

2 √2

2

√3

2

1 √3

2

√2

2

1

2

0 −

1

2 −

√3

2

−1 −

√3

2 −

√2

2 −

1

2

0

Observa:

Las imágenes de la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) están en el intervalo [-1,1]

El máximo de la función se alcanza cuando 𝑥 =𝜋

2+ 2𝑘𝜋, con 𝑘 ∈ ℤ

El mínimo de la función se alcanza cuando 𝑥 =3𝜋

2+ 2𝑘𝜋, con 𝑘 ∈ ℤ

Los ceros de la función se obtienen cuando 𝑥 = 𝑘𝜋, con 𝑘 ∈ ℤ

La gráfica de la función es periódica, se repite cada 𝑥 = 2𝑘𝜋, con 𝑘 ∈ ℤ

La función seno es una función impar, lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una rotación de 180 grados alrededor del origen.

La función seno es creciente en [0,𝝅

𝟐] y decreciente en [

𝜋

2, 𝜋]

UNIDAD

65

TRIGONOMETRÍA

𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)

𝒙 0 𝜋

6

𝜋

4

𝜋

3

𝜋

2

2𝜋

3

3𝜋

4

5𝜋

6

𝜋 7𝜋

6

4𝜋

3

3𝜋

2

5𝜋

3

7𝜋

4

11𝜋

6

2𝜋

𝑓(𝑥) 1 √3

2

√2

2

1

2

0 −

1

2 −

√2

2 −

√3

2

−1 −

√3

2 −

1

2

0 1

2 √2

2

√3

2

1

Observa:

Las imágenes de la función 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥) están en el intervalo [-1,1]

El máximo de la función se alcanza cuando 𝑥 = 2𝑘𝜋, con 𝑘 ∈ ℤ

El mínimo de la función se alcanza cuando 𝑥 = 𝜋 + 2𝑘𝜋, con 𝑘 ∈ ℤ

Los ceros de la función se obtienen cuando 𝑥 =𝜋

2+ 𝑘𝜋, con 𝑘 ∈ ℤ

La gráfica de la función es periódica, se repite cada 𝑥 = 2𝑘𝜋, con 𝑘 ∈ ℤ

La función coseno es par (es simétrica con respecto al eje y) lo que quiere decir que su gráfica no se altera luego de una reflexión sobre el eje y.

La función seno es decreciente en [0,𝜋] y creciente entre [𝜋, 2𝜋]

UNIDAD

66

TRIGONOMETRÍA

AMPLITUD DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO

La amplitud es la distancia vertical entre la línea media y uno de los puntos extremos, pero ¿qué es la

línea media?, es la recta horizontal de la forma: 𝑦 = 𝑐, 𝑐 ∈ ℝ, que pasa en medio de los puntos máximos

y mínimos de la gráfica.

Entonces, la amplitud la podemos calcular de la siguiente forma:

𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜

2

De acuerdo con lo anterior ¿cuál es la amplitud de las gráficas realizadas en la actividad anterior?

Ejemplo:

La siguiente gráfica muestra la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) y ℎ(𝑥) = 4𝑠𝑒𝑛(𝑥)

La amplitud de estas funciones es 1 y 4 respectivamente, esto lo puedes observar en la gráfica, ya que la

línea media en ambos casos está ubicada en 𝑦 = 0, por lo tanto, la distancia desde ese punto a un punto

máximo cualquiera o mínimo cualquiera es de 1 unidad para 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) y será de 4 unidades para

ℎ(𝑥) = 4𝑠𝑒𝑛(𝑥)

Y si utilizas los valores máximos y mínimos también obtendrás las mismas amplitudes anteriores:

𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 =1—1

2=

2

2= 1

ℎ(𝑥) = 4𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑎𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 =4−−4

2=

4+4

2=

8

2= 4

UNIDAD

67

TRIGONOMETRÍA

PERIODO DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO

Las funciones trigonométricas son periódicas, es decir cada cierto tramo se repiten.

El periodo es la distancia que hay entre dos puntos máximos o mínimos consecutivos, gráficamente el

periodo nos muestra cada cuántos grados (o radianes) se repiten las funciones seno y coseno.

Para las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑏𝑥) y ℎ(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑏𝑥) se define como:

𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑑𝑜 =2𝜋

|𝑏|

Entonces la función 𝑠𝑒𝑛(𝑥) y 𝑐𝑜𝑠(𝑥) tienen periodo: 2𝜋

|1|= 2𝜋, es decir cada 2𝜋 ó cada 360° se repiten.

Ejemplo:

Para la función ℎ(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(3𝑥) que se muestra en la gráfica a continuación junto a la función 𝑓(𝑥) =

𝑐𝑜𝑠(𝑥), su periodo será: 2𝜋

|3|=

2𝜋

3 a diferencia de la función 𝑓(𝑥) cuyo periodo es 2𝜋.

UNIDAD

68

TRIGONOMETRÍA

TRASLACIONES DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO

Dadas las funciones: 𝑓(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝐵𝑥 − 𝐶) + 𝐷 ó 𝑔(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝐵𝑥 − 𝐶) + 𝐷, con 𝐴, 𝐵, 𝐶 y D

coeficientes que pertenecen al conjunto de los números reales.

Las traslaciones en el 𝑒𝑗𝑒 𝑦 están determinadas por el coeficiente 𝐷:

Si 𝐷 > 0, la gráfica se desplazara 𝐷 unidades hacia arriba respecto de la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

Si 𝐷 < 0, la gráfica se desplazara 𝐷 unidades hacia abajo respecto de la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥).

Ejemplo:

En la función ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 2 al compararla con la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), puedes observar que es la

misma curva, es decir no se ha deformado: su periodo y amplitud son los mismos, pero se ha trasladado

dos unidades hacia arriba.

Las traslaciones en el 𝑒𝑗𝑒 𝑥 (también llamadas cambio de fase) están determinadas por el valor de 𝐶:

Si 𝐶 > 0, la gráfica se desplazara 𝐶

𝐵 unidades hacia la derecha respecto de la función respecto de

la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

Si 𝐶 < 0, la gráfica se desplazara 𝐶

𝐵 unidades hacia la izquierda respecto de la función respecto de

la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

UNIDAD

69

TRIGONOMETRÍA

Ejemplo 1:

En la función ℎ(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +𝜋

2) al compararla con la función 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥), puedes observar

que es la misma curva, es decir no se ha deformado: su periodo y amplitud son los mismos, pero

se ha trasladado 𝜋

2 unidades hacia la izquierda.

Nota: Observa que C es negativo ya que 𝑥 − −𝜋

2= 𝑥 +

𝜋

2

Ejemplo 2:

En la función ℎ(𝑥) = −3𝑠𝑒𝑛(4𝑥 − 2) al compararla con la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥), puedes

observar que no es la misma curva, se ha deformado: su periodo es 2𝜋

4=

𝜋

2 esto quiere decir que

cada 𝜋

2 (1,6 unidades aproximadamente) se completa una onda, su amplitud es de 3 unidades,

pero como la amplitud va acompañada de un signo negativo significa que la onda se invierte (se

produce una simetría respecto del eje x) , además se ha trasladado 𝐶

𝐵=

2

4=

1

2 unidades hacia la

derecha.

UNIDAD

70

TRIGONOMETRÍA

RESUMEN DE LAS DEFORMACIONES Y TRASLACIONES DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO

De acuerdo con lo que hemos desarrollado respecto del periodo, amplitud, cambios de fase (traslaciones

en el eje x) y traslaciones en el eje y, resumiremos:

𝑓(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝐵𝑥 − 𝐶) + 𝐷

ℎ(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝐵𝑥 − 𝐶) + 𝐷

1) En ambas funciones los parámetros A, B, C, D afectan de la misma forma a la gráfica. 2) La amplitud es: |𝐴| 3) Si 𝐴 es negativo se produce una reflexión de la gráfica, respecto de su línea media.

4) El periodo se calcula: 2𝜋

𝐵

5) La traslación en el eje y depende del valor de D

6) El desfase (traslación en el eje x) se calcula: 𝐶

𝐵

7) No debemos olvidar que si C es negativo la expresión (𝐵𝑥 − 𝐶) se verá de la forma: (𝐵𝑥 + 𝐶) y la gráfica se trasladará hacia la izquierda.

Ejemplos:

1) 𝑓(𝑥) = 3 ∙ 𝑠𝑒𝑛(8𝑥 − 9) − 1 a) Los factores son: 𝐴 = 3, 𝐵 = 8, 𝐶 = 9 𝑦 𝐷 = −1 b) La amplitud es: |𝐴| = |3| = 3 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠, esto quiere decir que desde el valor máximo al

mínimo hay una distancia total de 6 unidades.

c) El periodo se calcula: 2𝜋

𝐵=

2𝜋

8=

𝜋

4, esto quiere decir que una onda se completa en un giro de

45° o 𝜋


d) La traslación en el eje y es: D = -1, esto quiere decir que la onda se traslada una unidad hacia abajo en el eje y.

e) El desfase (traslación en el eje x) se calcula: 𝐶

𝐵=

9

8 unidades, esto quiere decir que la onda se

traslada 9/8 unidades hacia el lado positivo del eje x.

2) ℎ(𝑥) = 0.2 ∙ 𝑐𝑜𝑠 (2𝑥 +𝜋

3) + 4

a) Los factores son: 𝐴 = 0.2, 𝐵 = 2, 𝐶 =𝜋

3 𝑦 𝐷 = 4

b) La amplitud es: |𝐴| = |0.2| = 0.2 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 , esto quiere decir que desde el valor máximo al mínimo hay una distancia total de 0.4 unidades.

c) El periodo se calcula: 2𝜋

𝐵=

2𝜋

2= 𝜋, esto quiere decir que una onda se completa en un giro de

180° o 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

UNIDAD

71

TRIGONOMETRÍA

d) La traslación en el eje y es: D = 4, esto quiere decir que la gráfica de la onda se traslada hacia arriba cuatro unidades en el eje y.

e) El desfase (traslación en el eje x) se calcula: 𝐶

𝐵=

𝜋

3

2=

𝜋

6 unidades, esto quiere decir que la onda

inicia en 𝜋

6, pero como C es negativo ya que la expresión dada es de la forma (𝐵𝑥 + 𝐶)

significa que la onda se desfasa hacia el lado negativo del eje x 𝜋

6 unidades.

UNIDAD

72

TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS

RESUELTOS

UNIDAD

73

TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS DE CALCULO DE RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

1) Determina todas las razones trigonométricas para el ángulo 𝛼:

Para determinar las razones trigonométricas primero necesitamos determinar todos los lados del triángulo:

152 + 𝑥2 = 162 𝑥2 = 256 − 225

𝑥 = √31 Luego, las razones trigonométricas para el ángulo 𝛼 serán:

Razón trigonométrica Razón trigonométrica opuesta



√31

16 𝑐𝑠𝑐(𝛼) =


𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜=

16

√31

racionalizando: 16√31

31

𝑐𝑜𝑠(𝛼) =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒


15

16 𝑠𝑒𝑐(𝛼) =



16

15

𝑡𝑎𝑛(𝛼) =𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜


√31

15 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(𝛼) =


𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜 𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜=

15

√31

racionalizando: 15√31

31

2) Sabiendo que tan 𝛽 =2

3, calcule el resto de las razones trigonométricas para el ángulo 𝛽

Representaremos las medidas dadas (opuesto =2, adyacente = 3) en un triángulo rectángulo:

UNIDAD

74

TRIGONOMETRÍA

Y calcularemos la medida faltante de la hipotenusa:

22 + 32 = 𝑥2 4 + 9 = 𝑥2

√13 = 𝑥 Por lo tanto, el resto de las razones trigonométricas del ángulo dado son:

sen 𝛽 =2√13

13 cos 𝛽 =

3√13

13 csc 𝛽 =

√13

2 sec 𝛽 =

√13

3 ctg 𝛽 =

3

2

EJERCICIOS DE TRANSFORMACIÓN DE MEDIDAS ANGULARES

1) Transforma de grados a radianes:

a) 30° Recuerda que 180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 con esto armamos nuestra cuarta proporcional: Ahora resolvemos:

𝑥 =30° × 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

180°

𝑥 =𝜋

6𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

Por lo tanto 30° equivalen a 𝜋

6 radianes

De la misma forma transformamos los siguientes ángulos:

b) 45° Respuesta: 𝜋

4 radianes

c) 125° Respuesta: 25 𝜋

36 radianes

d) 240° Respuesta: 4𝜋

3 radianes

e) 310° Respuesta: 31𝜋

18 radianes

180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

30° = 𝑥 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

UNIDAD

75

TRIGONOMETRÍA

2) Transforma de radianes a grados:

a) 𝜋

5 rad

Recuerda que 180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠 con esto armamos nuestra cuarta proporcional. Ahora resolvemos:

𝑥 =180° ×

𝜋 5

𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

𝑥 = 36°

Por lo tanto 𝜋

5 radianes equivalen a 36°

De la misma forma transformamos los siguientes ángulos:

b) 2𝜋

9 rad Respuesta: 40°

c) 7𝜋

4 rad Respuesta: 315°

d) 6𝜋

7 rad Respuesta: 154,3° aproximadamente

180° = 𝜋 𝑟𝑎𝑑𝑖𝑎𝑛𝑒𝑠

𝑥° =𝜋


76

TRIGONOMETRÍA

EJERCICIO DE SITUACION PROBLEMÁTICA DE RAZONES EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Hallar la altura de una antena sabiendo que a una distancia de 18 m se ve la parte superior de ella bajo un ángulo de 30°.

Recordemos los pasos para aplicar la estrategia de resolución de problemas:

a) Identificación de datos: En este caso siempre es útil realizar un esquema que permita identificar los

datos y comprender la situación.

b) Estrategia de resolución: - Interpretar la información y los datos dentro de los elementos de un triángulo rectángulo. - Aplicar la razón trigonométrica adecuada en este caso la tangente del ángulo de elevación.

c) Resolución: Interpretamos geométricamente la figura incorporando los datos y variables.

tan 30° =𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎

18

18 ∗ tan 30° = 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎

10,4 ≈ 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑛𝑎

d) Respuesta:

La altura de la antena es de 10,4 metros.

77

TRIGONOMETRÍA

EJERCICIO DE SITUACION PROBLEMÁTICA DE TEOREMA DEL SENO Y COSENO

Una montaña de 540 m de altura separa 2 pueblos A y B. Desde A, se ve la cima C de la montaña con un ángulo de elevación de 27°; Desde B el ángulo de elevación es de 34° ¿Cuál es la distancia entre los pueblos?

a) Identificación de datos: Realizaremos un esquema con los datos del problema.

b) Estrategia de resolución: - Interpretar la información y los datos dentro de los elementos de un triángulo rectángulo. - Aplicar la razón trigonométrica adecuada en este caso la tangente del ángulo de elevación o el

teorema del seno o coseno.

c) Resolución: Este problema se puede resolver aplicando razones trigonométricas, en particular la tangente para obtener cada tramo

desde el pueblo A al pueblo B, pero también se puede utilizar el teorema del seno, observa:

sen 27° =540

𝑥→ 𝑥 = 1.189

Con esto obtenemos la distancia desde el pueblo A, hasta la cima de la

montaña: 1.189 metros.

Luego para encontrar la distancia de A hasta B, aplicaremos el teorema del seno:

1.189

𝑠𝑒𝑛(34°)=

𝑦

𝑠𝑒𝑛(119°)→ 𝑦 ≈ 1.860

d) Respuesta: La distancia entre los pueblos es de 1.860 metros.

78

TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO

¿Cuál de las siguientes afirmaciones son verdaderas en cada caso?

1) Si comparamos las gráficas de seno y coseno podemos decir:

a) Son iguales.

b) Si la gráfica de la función seno se desplaza 𝜋

2 unidades a la derecha será igual a la gráfica de

coseno.

c) Si la gráfica de la función seno se desplaza 𝜋 unidades a la derecha será igual a la gráfica de la

función coseno.

d) Si la gráfica de la función seno se desplaza 𝜋

2 unidades a la izquierda será igual a la gráfica de

coseno.

2) Cuál de los siguientes valores puede ser un valor de la imagen de la función 𝑦 = cos (𝑥)

a) 1

4

b) 0

c) √3

d) -0,9

Soluciones y explicaciones:

1) a) Falso. Las dos gráficas tienen el mismo patrón repetitivo o la misma forma general, pero no son

idénticas ya que sus imágenes para un valor determinado del ángulo son distintas.

b) Falso. Si cambias seno por coseno en esta opción obtienes un enunciado correcto. Las dos gráficas

descritas tienen la misma forma, pero los máximos y mínimos no concuerdan.

c) Falso. Si desplazas la gráfica de la función seno 𝜋 unidades a la derecha, obtienes una gráfica que

inicia en cero para el valor de y, en cambio la gráfica de coseno inicia en 1 para el valor de y.

d) Verdadero. Si la gráfica de la función seno se desplaza 𝜋

2 unidades a la izquierda será igual a la

gráfica de coseno, pues cada uno de los valores de sus imágenes coincidirán para cada ángulo.

2) El recorrido de la función coseno está definido para valores entre -1 y 1, por lo que todos aquellos

valores que estén fuera de ese rango no son parte de las imágenes de la función, en este caso el único

valor que no cumple es √3.

79

TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS DE AMPLITUD DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO

Observa las siguientes gráficas y determina cuál es la amplitud de cada una de ellas según los datos dados y ecuación de la línea media en cada caso.

a) b)

Soluciones y explicaciones:

a) Amplitud = 5 unidades ecuación línea media: y= -2

Recordemos que la amplitud es igual a:

𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 =𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜

2=

3 − −7

2=

10

2= 5

A partir del valor de la amplitud determinamos la ecuación de la línea media ya que contamos las unidades a partir del valor máximo (o del mínimo) y determinamos el punto medio en y = -2

b) Amplitud = 2 unidades ecuación línea media: y= 1.5

En este caso no tenemos el valor mínimo, tenemos un valor medio (ya que está sobre la línea media, por lo que esa distancia es la amplitud: 3.5 -1.5= 2. Y la ecuación de la línea media viene dada por el valor de y en el punto (0, 1.5), es decir la ecuación de la línea media es: y = 1.5

80

TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS DE PERIODO DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO

1) Observa la gráfica y luego determina:

a) Amplitud. b) Periodo. c) Expresión algebraica de la función.

a) Amplitud = 2 unidades

𝐴𝑚𝑝𝑙𝑖𝑡𝑢𝑑 =𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 − 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜

2=

2 − −2

2=

2 + 2

2=

4

2= 2

O si observas la gráfica, la distancia desde la línea media hasta un punto extremo (máximo o mínimo)

es de 2 unidades.

b) Periodo = 4 unidades El periodo es la distancia (en el eje x) que hay entre dos puntos máximos o mínimos consecutivos,

por lo tanto, si observamos esa distancia entre los puntos (1,2) y (5,2) es de 4 unidades. También

puedes observar a partir desde el (0,0) cuando la gráfica se vuelve a repetir esto ocurre en el punto

(4,0).

c) Expresión algebraica

Recordemos que la expresión algebraica de las funciones sen y coseno son:

𝑓(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝐵𝑥 − 𝐶) + 𝐷

ℎ(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝐵𝑥 − 𝐶) + 𝐷

En las cuales:

La amplitud es: |𝐴| (Si 𝐴 es negativo se produce una reflexión de la gráfica, es decir todos los valores de y cambian a sus opuestos.

81

TRIGONOMETRÍA

El periodo se calcula: 2𝜋

𝐵

La traslación en el eje y es: D

El desfase (traslación en el eje x) se calcula: 𝐶

𝐵

No debemos olvidar que si C es negativo la expresión (𝐵𝑥 − 𝐶) se verá de la forma: (𝐵𝑥 + 𝐶) y la gráfica se trasladará hacia la izquierda.

En este caso 𝑓(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝐵𝑥 − 𝐶) + 𝐷 la función no está trasladada en el eje x ni en el y, por lo que nos quedaremos con la expresión: 𝑓(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝐵𝑥), la amplitud es 2, y el valor de B lo obtenemos del

periodo, sabiendo que este es: 2𝜋

𝐵

Como sabemos que el periodo es 4, entonces resolvemos: 2𝜋

𝐵= 4 ⇒ 𝐵 =

2𝜋

4⇒ 𝐵 =

𝜋

2 ó 0.5𝜋

Por lo tanto, la ecuación es: 𝑓(𝑥) = 2𝑠𝑒𝑛(0.5𝜋𝑥)

Podemos comprobar lo obtenido reemplazando un par de puntos en nuestra ecuación, por ejemplo:

Si x=0, y=0 𝑓(0) = 2𝑠𝑒𝑛(0.5𝜋 ∗ 0) ⟹ 𝑓(0) = 2 ∗ 0 = 0 (Recuerda configurar tu calculadora en radianes)

Si x=1, y=2 𝑓(1) = 2𝑠𝑒𝑛(0.5𝜋 ∗ 1) ⟹ 𝑓(1) = 2 ∗ 1 = 2

Que coinciden con la gráfica.

EJERCICIOS DE TRASLACIONES DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO

1) Determina cuántas unidades se traslada en el eje x e y, la función dada respecto de las funciones 𝑠𝑒𝑛(𝑥) y 𝑐𝑜𝑠(𝑥).

a) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 −𝜋

3)

b) 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 3) − 1.5 c) ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝜋) + 1 d) 𝑚(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(3𝑥 + 5) − 3

e) 𝑡(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (4𝑥 +𝜋

2) + 7

Recordemos que la forma general de la función seno y coseno es:

𝑓(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝑠𝑒𝑛(𝐵𝑥 − 𝐶) + 𝐷 ℎ(𝑥) = 𝐴 ∙ 𝑐𝑜𝑠(𝐵𝑥 − 𝐶) + 𝐷 La La traslación en el eje y es: D

El desfase (traslación en el eje x) se calcula: 𝐶

𝐵

82

TRIGONOMETRÍA

No debemos olvidar que si C es negativo la expresión (𝐵𝑥 − 𝐶) se verá de la forma: (𝐵𝑥 + 𝐶) y la gráfica se trasladará hacia la izquierda.

Entonces:

a) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 −𝜋

3)

Como 𝐷 = 0, en este caso no hay traslación en el eje y.

La traslación en el eje x (desfase) se calcula: 𝐶

𝐵=

𝜋

3

1=

𝜋

3 , es decir se traslada

𝜋

3 unidades hacia la derecha en el

eje x.

b) 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 3) − 1.5 Como 𝐷 = −1.5, se traslada 1.5 unidades hacia abajo en el eje y.


𝐵=

−3

1= −3 , es decir se traslada 3 unidades hacia la izquierda en

el eje x.

c) ℎ(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥 + 𝜋) + 1 Como 𝐷 = 1, se traslada 1 unidades hacia arriba en el eje y.


𝐵=

−𝜋

1= −𝜋 , es decir se traslada 𝜋 unidades hacia la izquierda en

el eje x.

d) 𝑚(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(3𝑥 + 5) − 3 Como 𝐷 = −3, se traslada 3 unidades hacia abajo en el eje y.


𝐵=

−5


5

3 unidades hacia la izquierda en el eje

x.

e) 𝑡(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (4𝑥 +𝜋

2) + 7

Como 𝐷 = 7, se traslada 7 unidades hacia arriba en el eje y.


𝐵=

−𝜋/2

4= −

𝜋


𝜋

8 unidades hacia la izquierda

en el eje x.

83

TRIGONOMETRÍA

2) Analiza los datos a continuación y determina cuál es la ecuación que representa cada función. a) Si la función seno tiene su línea media en y =7.5 y su valor máximo se alcanza en y = 12,

considerando que el periodo no cambia.

La distancia entre la línea media y el valor máximo es de 12 – 7.5 = 4.5 unidades que es la amplitud.

Como el periodo no cambia B=1

Y la ecuación de la línea media también nos indica que se trasladó desde el 0 hasta el 7.5.

Por lo tanto, tenemos la ecuación: ℎ(𝑥) = 4.5𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 7.5

b) Si la función coseno tiene su línea media en y =3 y su valor máximo se alcanza en y = 6.8, y su

periodo= 3𝜋 unidades.

La distancia entre la línea media y el valor máximo es de 6.8 – 3 = 3.8 unidades que es la amplitud.

El valor de D es de 3 unidades ya que su línea media se trasladó desde y= 0 hasta y=3

Como el periodo es 3𝜋 , entonces el valor de B lo obtenemos despejando la

igualdad: 2𝜋

𝐵= 3𝜋 ⟹ 𝐵 =

2

3.

Para determinar C, necesitamos saber cuántas unidades se ha traslado en el eje x, como no hay información sobre dicha traslación asumiremos que no la hay, por lo tanto, C=0.

Finalmente, tenemos la ecuación: 𝑔(𝑥) = 3.8cos (2

3𝑥) + 3

c) Si la función seno tiene su línea media en y =-2 y su valor máximo se alcanza en y = 4, su periodo= 6 unidades, se ha trasladado 2 unidades en el eje x hacia el lado positivo.

La distancia entre la línea media y el valor máximo es de 4 – –2 = 6 unidades que es la amplitud.

El valor de D es de -2 unidades ya que su línea media se trasladó desde y= 0 hasta y=-2

Como el periodo es 6, entonces el valor de B lo obtenemos despejando la

igualdad: 2𝜋

𝐵= 6 ⟹ 𝐵 =

2𝜋

6⟹ 𝐵 =

𝜋

3.

Sabiendo que el desfase es de 2 unidades en el eje x hacia el lado positivo, para calcular

el valor de C utilizamos la igualdad: 𝐶

𝐵= 2 ⟹

𝐶𝜋

3

= 2 ⟹ 𝐶 = 2 ∗𝜋

3⟹ 𝐶 =

2𝜋

3.

Finalmente, tenemos la ecuación: ℎ(𝑥) = 6𝑠𝑒𝑛 (𝜋

3𝑥 −

2𝜋

3) − 2

84

TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS

PROPUESTOS

(con solución)

85

TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS N°01 TRANSFORMACIÓN DE MEDIDAS ANGULARES

1) Escribe en grados los ángulos marcados en la siguiente figura:

2) Representa en la siguiente circunferencia los ángulos de -345° y de 𝜋/12 radianes ¿Qué relación hay entre ambos ángulos?

3) A continuación, te mostramos un tutorial para que aprendas

cómo utilizar tu calculadora cuando quieres trabajar operatoria

con grados sexagesimales y cómo configurar tu calculadora en

grados sexagesimales y radianes.

Haz click en los siguientes enlaces para revisar los videos:

https://www.youtube.com/watch?v=DisYVq7MD1A

https://www.youtube.com/watch?v=R8J6Y-Fx5aY&feature=youtu.be Escribe en tu calculadora los siguientes ángulos y determina cuántos grados, minutos y segundos tienen y trasforma cada ángulo del sistema sexagesimal al radián:

a) 20,5° b) 108,76° c) 193,454°

https://www.youtube.com/watch?v=DisYVq7MD1A

https://www.youtube.com/watch?v=R8J6Y-Fx5aY&feature=youtu.be

86

TRIGONOMETRÍA

Soluciones:

1) 3π

4rad = 135°

5π

4rad = 225°

7π

4rad = 315°

2) La representación de -315° es equivalente a 15° (360°-315°), para representar entonces se puede

dividir el primer cuadrante en 6 partes iguales y se obtiene un ángulo de 15°. De forma similar para 𝜋/12 radianes se divide el ángulo de 180° en 12 partes iguales y la primera parte representa el ángulo dado, que es equivalente a los mismos 15° dibujados anteriormente.

3)

a) 20,5° = 20° 30´ en radianes: 41

360𝜋 𝑟𝑎𝑑

b) 108,76° = 108° 45´36” en radianes: 2719

4500𝜋 𝑟𝑎𝑑

c) 193,454° = 193° 27´14.4” en radianes: 1,074̅̅̅̅ 𝜋 𝑟𝑎𝑑

87

TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS N°02 RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

1) Dado el triángulo isósceles EFG, cuyos lados

congruentes miden 3 cm.

a) Determina el valor exacto del sen(45°). b) Determina el valor exacto del cos(45°). c) Determina el valor exacto de la tan(45°).

2) Si tan(𝛼) =7

16, determina 𝑠𝑒𝑛(𝛼), cos(𝛼). Entrega los valores simplificados y racionalizados.

3) Si cos(𝛽) =√3

5, determina sec(𝛽) , 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝛽), 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(𝛽). Entrega los valores simplificados y

racionalizados.

4) Resolver el triángulo rectángulo para los datos dados. Usa calculadora.

a) 𝛼 = 20°, 𝑐 = 12 b) 𝛾 = 87°, 𝑎 = 10

Soluciones:

1) a) 𝑠𝑒𝑛(45°) =√2

2 b) 𝑐𝑜𝑠(45°) =

√2

2 c) 𝑡𝑎𝑛(45°) = 1

2) 𝑠𝑒𝑛(𝛼) =7√305

305 𝑐𝑜𝑠(𝛼) =

16√305

305

3) 𝑠𝑒𝑐 (𝛽) =5√3

3 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐(𝛼) =

5√22

22 𝑐𝑜𝑡𝑎𝑛(𝛼) =

√66

22

4) a) Los lados que faltan miden 4,4 y 12,8 unidades y el ángulo que falta mide 70°

b) Los lados que faltan miden 190,8 y 191,1 unidades y el ángulo que falta mide 3°

88

TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS N°03 PROBLEMÁTICAS DE RAZONES EN EL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Luego de la clase de Trigonometría en la que los estudiantes han aprendido sobre las razones trigonométricas, el profesor ha enviado a sus alumnos una tarea: ¡Midan grandes alturas, cosas que no pueden medir con una regla! Y para esto les ha enseñado como construir un simple instrumento que les permitirá calcular ángulos de elevación y depresión en forma aproximada según se muestra en la imagen, si no tienen instrumentos más avanzados.

1) Ernesto siempre ha tenido curiosidad por determinar cuál es la altura que mide el árbol que se encuentra en la plaza Victoria de Valparaíso, por lo que aprovecha esta oportunidad para averiguarlo. Para esto cuenta 150 pasos (pegaditos uno tras otro) desde el pie del árbol hasta un punto donde puede ver la cima de este mismo, luego desde ese punto observa con un ángulo de elevación de 40° la copa del árbol recostado sobre el suelo. Observación: Ernesto mide la huella que deja su calzado obteniendo una huella de 26 cm. ¿Cuál es la altura del árbol que calculó Ernesto?

2) Daniela desea saber cuál es el largo de la aguja del reloj de sol que se encuentra ubicado en Viña del Mar, pero se da cuenta que olvidó llevar el instrumento para medir ángulos, así que sólo toma con una huincha de medir las medidas indicadas en la figura en color rojo y en color azul.

Las medidas tomadas son: AB = 30 cm BC = 15 cm AD = 5,4 metros a) ¿Cuál es la medida del largo de la aguja del reloj de sol que

obtuvo Daniela? b) ¿Cuál es la medida del ángulo que se forma entre la base del

reloj y la aguja (ángulo BAC)?

89

TRIGONOMETRÍA

3) Patricio viene desde Puerto Montt y en la isla Tenglo hay una cruz donde mucha gente todos los años viaja por su fé y quiere averiguar su altura. Le pide a su tío que es ingeniero en construcción que justamente está trabajando en reforzar la cruz, que tome dos ángulos con sus instrumentos y se los envíe (pidiéndole que por favor no le revele la altura de la cruz), los ángulos y distancia enviados por el tío de Patricio se marcan en la imagen. ¿Cuál es la altura de la cruz calculada por Patricio?

4) Jaime ese fin de semana viaja a visitar a su familia que vive en Arica, y por lo tanto hará la tarea que les dio el profesor midiendo el Morro. Para lograrlo escoge un punto del paseo que se muestra en la imagen en línea recta, para medir el primer ángulo de elevación hasta la cima del morro el que da un valor de 30° y luego se acerca 8 metros y vuele a medir su ángulo de elevación obteniendo 32° Sabiendo que todos los ángulos de observación los tomó Jaime de pie y que su altura es de 1,64 metros ¿Cuál es la medida de la altura del Morro de Arica que obtuvo Jaime?

90

TRIGONOMETRÍA

5) Karina vive en el edificio A marcado en la imagen que está situado a 370 metros en línea recta del Costanera Center (según Google maps), como está trabajando la unidad de trigonometría ha decidido que calculará la altura del Costanera Center utilizando los conocimientos adquiridos en clase. Para lograr su objetivo sube a la azotea del edificio en el que vive y con un simple instrumento fabricado por ella para medir ángulos de observación, registra los siguientes ángulos (acostada sobre el piso de la azotea):

Desde la cima del edificio A hasta la cima del Costanera su instrumento marca un ángulo de 50° y desde el mismo punto de medición hacia el extremo inferior del Costanera su instrumento marca un ángulo de 25°.

a) ¿Cuál es la altura del Costanera Center que calculó Karina con sus datos?

b) Busca en internet la altura real del Costanera Center y determina el porcentaje de error del cálculo realizado por Karina. En base a lo obtenido determina la altura real del edificio donde vive Karina.

Soluciones:

1) Ernesto calculó que el árbol de la Plaza Victoria mide aproximadamente 32,7 metros.

2) a) Daniela determina que la medida del largo de la aguja del reloj de sol es de 6 metros aprox. b) La medida del ángulo BAC es de 26,6° aprox.

3) Patricio determina que la cruz tiene una altura de 25 metros aprox.

4) Jaime obtuvo que el morro de Arica mide 101,64 metros aprox.

5) a) La altura que calculó Karina del Costanera Center es de 281,9 metros. b) La altura real del Costanera Center es de 300 metros por lo que el porcentaje de error de cálculo cometido por Karina (debido a que su instrumento de medición no es exacto) es de 6,03% aproximadamente, por lo que la altura del edificio A en el que vive Karina es de 84,4 metros aproximadamente (con los datos tomados la altura es de 79,3 metros sin ajustar el porcentaje de error)

91

TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS N°04 APLICACIÓN DEL TEOREMA DEL SENO Y COSENO

Resuelve los triángulos en cada caso:

a)

b)

c)

Soluciones:

a) 𝑎 = 4,38 𝑐 = 4 𝛾 = 115,3° b) 𝑑 = 6,49 𝜀 = 88° 𝜁 = 75,91° c) 𝜂 = 30,05° 𝜃 = 90,21° 𝜄 = 59,74°

92

TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS N°05 PROBLEMÁTICAS DE TEOREMA DEL SENO Y COSENO

1) Andrés realiza el recorrido que se

muestra en la imagen, partiendo desde su casa, primero va a dejar a sus hijos a la escuela, luego va al supermercado y finalmente pasa a dejar plásticos, latas, etc. a un punto limpio, para finalmente regresar a su casa. Sabiendo que sólo pasa una vez por los lugares antes mencionados y que elige el camino más corto para volver a su hogar. ¿Cuántos metros en total camina Andrés diariamente?

2) Se quiere construir un parque para conservar especies nativas que tendrá la forma de la figura. Calcula el área total que tendrá el parque.

3) Un foco proyecta luz según se muestra en la imagen. Si la altura a la que está

colgado es de 2,5 metros desde el suelo ¿Cuál es la superficie que ilumina?

93

TRIGONOMETRÍA

4) Dos veleros de juguete parten simultáneamente desde un mismo punto en dirección tal que forman un ángulo de 35°. Uno va a 2 m/min y el otro a 3 m/min. Determina a qué distancia se encuentran separados después de 5 minutos.

5) Un topógrafo encuentra que el ángulo en el punto de A de la figura desde donde observa los puntos B y C, en cada orilla del pantano, es 72° y la distancia AB es de 32 metros y la de AC es 43 metros. Calcular la distancia de B a C.

Soluciones:

1) Andrés camina diariamente 3.135,2 metros.

2) El área total del parque es de 313.136 m2

3) La superficie que ilumina es de aproximadamente 1,5 metros cuadrados.

4) 79 metros aproximadamente es la distancia a la que se encuentran separados después de 5 minutos de viaje.

5) 45 metros es la distancia de B a C.

94

TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS N°06 TEOREMA DEL SENO Y COSENO Y RAZONES TRIGONOMÉTRICAS EN EL TRIÁNGULO

RECTÁNGULO

1) Calcula el área del triángulo

2) Un avión vuela entre dos ciudades A y B que se

encuentran a una distancia de 80 km entre sí. Desde el avión se miden los ángulos que se muestran en la figura ¿A qué altura está el avión?

3) El terrario que se muestra en la imagen tiene forma de pirámide cuya base es un cuadrado de lado 20 cm que forma un ángulo de 51° con las aristas laterales. Las caras laterales son cuatro triángulos isósceles. ¿Cuál es el área total de las paredes y el piso del terrario?

Soluciones: 1) El área del triángulo es de 3,4 unidades2 2) El avión vuela a una altura de 17,9 km aproximadamente 3) El área total de las 4 paredes es de 493,95 cm2 aproximadamente, y el área del piso es de 400 cm2

95

TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS N°07 ELEMENTOS DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO

Ingresa a: https://www.geogebra.org/m/mjaqrtkj

Mueve el punto B; observa qué sucede y responde:

1) ¿En qué cuadrantes 𝑠𝑒𝑛(𝛼) toma valores positivos? ¿Y en qué cuadrantes toma valores negativos?

2) ¿En qué cuadrantes 𝑐𝑜𝑠(𝛼) toma valores positivos? ¿Y en qué cuadrantes toma valores negativos?

3) ¿Qué relación hay entre las coordenadas del punto B y el problema de la rueda hidráulica?

4) ¿Qué relación hay entre las coordenadas del punto B y los valores de sen(α) y cos(α)?

5) De acuerdo con los valores que te entrega la circunferencia ¿cuál de las gráficas realizadas en el

problema de la rueda hidráulica corresponde a la gráfica de la función 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)? ¿Y cuál a la

función 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)?

6) ¿Cuál es el valor del dominio y recorrido de las funciones 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) y 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠(𝑥)?

7) ¿Cuál es el máximo de cada una de las funciones? ¿Para qué valores del dominio lo alcanzan?

8) ¿Cuál es el mínimo de cada una de las funciones? ¿Para qué valores del dominio lo alcanzan?

9) ¿Cuáles son las raíces de las funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥)?

10) ¿Cada cuántos grados las funciones 𝑓(𝑥) y 𝑔(𝑥) se repiten?

https://www.geogebra.org/m/mjaqrtkj

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TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS N°08 FUNCIONES SENO Y COSENO

La siguiente gráfica muestra el movimiento de dos péndulos que se mueven como muestra la imagen con la

mano.

Responde a continuación, justificando en cada caso:

1) ¿Cuántos cm recorre de ida cada péndulo? ¿Y cuántos de vuelta? 2) ¿Cada cuántos segundos se encuentran ambos péndulos en la misma posición? 3) Según la información entregada en el gráfico, marca en la imagen de la mano la posición donde parte

cada péndulo el movimiento. 4) ¿Alguno de los péndulos se mueve más rápido?

Soluciones:

1) Recorre 4 cm de ida y 4 cm de vuelta, ya que la distancia negativa muestra que el péndulo se devuelve, es decir su movimiento es en contra del movimiento inicial.

2) A partir de los 0,5 segundos que es la primera vez que se encuentran, cada dos segundos se vuelven a encontrar, que es donde las gráficas se intersectan.

3) En la imagen se representa dónde parte cada péndulo según su color. El péndulo rojo parte en sentido contrario al movimiento que indica la flecha, y el péndulo azul también parte en sentido contrario a la dirección que indica la flecha

4) No, ambos se mueven con la misma rapidez, ya que si se observa el gráfico se ve que el péndulo azul se demora en ir y venir 4 segundos (que es cuando se completa una figura y luego se repite), lo mismo ocurre con el péndulo rojo.

97

TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS N°09 AMPLITUD DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO

1) Los perímetros de cada uno de los engranes de la imagen son:

Engranaje A = 80 cm

Engranaje B = 65 cm

Engranaje C = 50 cm

Para cada uno de ellos calcula cuál es la amplitud de la onda que queda

determinada por: su giro en grados y la altura de un punto determinado de

ellos, respecto de su eje central de rotación.

2) Realiza la gráfica de las siguientes funciones a partir de la gráfica de cos(x).

a) 𝑓(𝑥) =1

3 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)

b) 𝑔(𝑥) = 4.5 𝑐𝑜𝑠 (𝑥)

98

TRIGONOMETRÍA

Soluciones:

1) La amplitud queda determinada por los radios de cada engranaje, para A su amplitud es de12,7 cm, B

tendrá una amplitud de 10,3 cm y C tendrá una amplitud de 8 cm aproximadamente.

2) Realiza la gráfica de las siguientes funciones a partir de la gráfica de cos(x).

a) 𝑓(𝑥) =1

3 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) (grafica roja)

b) 𝑔(𝑥) = 4.5 𝑐𝑜𝑠 (𝑥) (grafica verde)

99

TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS N°10 AMPLITUD Y PERIODO DE LA FUNCION SENO

En cada una de las siguientes ecuaciones determina amplitud y periodo y grafícalas:

a) 𝑓(𝑥) = 3𝑠𝑒𝑛(7𝑥) b) 𝑔(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) c) ℎ(𝑥) = −6𝑠𝑒𝑛(𝜋𝑥)

d) 𝑡(𝑥) =3

4𝑠𝑒𝑛 (

2

7𝜋𝑥)

Soluciones:

a) Amplitud = 3 unidades periodo = 2

7𝜋 unidades

b) Amplitud = 1 unidad periodo = 2𝜋 unidades

c) Amplitud = 6 unidades periodo = 2 unidades

100

TRIGONOMETRÍA

d) Amplitud = 3

4 unidades periodo = 7 unidades

101

TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS N°11 FUNCIONES SENO Y COSENO PROBLEMAS DE PERIODO

1) Marcelo observa como su perro intenta morderse la cola de modo que

realiza 6 giros en 8 segundos.

a) ¿Cuál es la duración en segundos de un periodo del movimiento?

b) ¿Cuál es la cantidad de giros que realiza el perro si girase 14

segundos?

c) Calcula la amplitud del movimiento descrito.

d) Determina la función que modela el movimiento descrito.

2) El CD de un ordenador gira con una velocidad de 650 r.p.m.

a) ¿Cuál es la duración en segundos de un periodo?

b) Calcula el número de vueltas que da durante la reproducción de

una canción de 4 minutos.

c) ¿Qué información te falta para determinar la función que permita

modelar el giro del CD?

Nota: las r.p.m son las revoluciones por minuto y representan la

cantidad de vueltas que en este caso da el CD en un minuto.

Soluciones:

1) a) Un periodo tiene una duración de 4/3 segundos.

b) Realiza 10.5 giros en 14 segundos

c) La amplitud del movimiento descrito es de 35 cm.

d) Una función que modela el movimiento del perro es: 𝑓(𝑥) = 35 ∙ 𝑠𝑒𝑛 (3𝜋

2𝑥) (suponiendo que el

perro siempre gira en el mismo lugar y nunca se desplaza)

2) a) Un periodo dura aproximadamente 0,092 segundos.

b) Una canción de 4 minutos tiene 2.608 revoluciones (giros).

c) Falta el diámetro del CD para determinar la amplitud, ya que al estar fijo el CD dando vueltas no

existen desfases en el eje x o y.

102

TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS N°12 TRASLACIONES DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO

1) Determina cuántas unidades se traslada en el eje x e y, cada una de las gráficas dadas en color rojo,

respecto de las funciones 𝑠𝑒𝑛(𝑥) y 𝑐𝑜𝑠(𝑥) marcadas en color negro.

a) b)

2) Escribe la expresión algebraica de cada una de las funciones de color rojo representadas en el ejercicio anterior.

Soluciones:

1) a) La gráfica se traslada 5𝜋

4 hacia el lado derecho en el eje x (también sería correcto decir que se

traslada 3𝜋

4 hacia la izquierda) y se traslada 2 unidades hacia arriba en el eje y.

b) La gráfica se traslada 3𝜋

2 hacia el lado derecho en el eje x (también sería correcto decir que se

traslada 𝜋

2 hacia la izquierda) y se traslada 3 unidades hacia abajo en el eje y.

2) Las expresiones algebraicas de cada gráfica de color rojo son:

a) 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 −5𝜋

4) + 2 ó 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠 (𝑥 +

3𝜋

4) + 2

b) 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 −3𝜋

2) − 3 ó 𝑔(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 +

𝜋

2) − 3

103

TRIGONOMETRÍA

EJERCICIOS N°13 DEFORMACIONES Y TRASLACIONES DE FUNCIÓN DEL SENO Y COSENO

1) La ecuación de una onda que se propaga por una cuerda es:

𝑓(𝑥) = 0,05 cos(24𝜋 − 4𝜋𝑥) , donde 𝑥 es la distancia en metros

de un punto en la cuerda respecto del origen y f(x) es la separación

en metros del punto desde la línea central de la onda.

a) ¿Cuál es la separación máxima de un punto respecto de su

línea media?

b) ¿Cuál es la distancia que recorre una onda completa?

2) La siguiente ecuación muestra el movimiento de un resorte con una masa:

𝑦(𝑡) =5

2𝑠𝑒𝑛 (2𝑡 −

𝜋

3)

Donde 𝑦 es el estiramiento del resorte en metros y 𝑡 es el tiempo transcurrido en

segundos.

a) Determina: Amplitud, Periodo, Ecuación de la línea media de la onda, Desfases.

b) ¿Luego de cuántos segundos desde que se inicia el movimiento el resorte alcanza

su máximo estiramiento?

Soluciones:

1) a) La separación máxima de un punto respecto de su línea media es de 0.05 metros. b) La distancia corresponde al periodo de la función que es 0.5 metros.

2) a) la amplitud es 5/2, periodo 𝜋, ecuación de la línea media de la onda y=0, no se desfasa en el eje y,

desfase en x es de 𝜋

6.

b) luego de 1,3 segundos aproximadamente alcanza su máximo estiramiento.

104

TRIGONOMETRÍA

PROBLEMAS NO

RUTINARIOS

105

TRIGONOMETRÍA

1) Observa las medidas del diámetro de cada una de las ruedas de la bicicleta y responde:

Una bicicleta aro 26 significa que tiene 26 pulgadas de diámetro (559 mm aproximadamente) y una bicicleta

aro 29 significa que tiene 29 pulgadas de diámetro (622 mm aproximadamente)

a) Si consideras el giro de sus ruedas, ¿Cuál es la longitud recorrida en un giro completo en cada

bicicleta?

b) ¿Cuál es la función sinusoidal que representa los movimientos rotatorios de las ruedas de ambas

bicicletas?

2) A continuación, se presentan los datos consignados en una bitácora meteorológica, donde se observó durante 24 horas la temperatura de una ciudad. La primera coordenada es la hora en la cual se tomó la temperatura y la segunda es la temperatura en grados Celsius. (7:00,9.0) (8:00,11.0) (9:00,14.0) (10:00,18.0) (11:00,19.5) (12:00,20.0) (13:00,20.0) (14:00,19.0) (15:00,17.0) (16:00,15.0) (17:00,13.0) (18:00,11.5) (19:00,10.0) (20:00,9.0) (21:00,8.0) (22:00,7.0) (22:00,7.0) (24:00,1.2) (1:00,6.0) (2:00,5.5) (3:00,5.5) (4:00,6.0) (5:00,7.0) (6:00,8.5) (7:00,9.0) a) Representa los datos en un plano cartesiano. b) Encuentra una función del tipo sinusoidal que permita estimar el

fenómeno y grafícala. Compara lo obtenido con los puntos originalmente dados. c) Determina la amplitud, el periodo y el desfase de tu función creada.

Solución:

1) a) La longitud recorrida en un giro completo corresponde al perímetro de la rueda, en el caso de la

bicicleta aro 26 es de 175,6 cm aproximadamente, y en el caso de la bicicleta aro 29 es de 195,4 cm

aproximadamente.

106

TRIGONOMETRÍA

b) las funciones que permiten modelar el movimiento rotatorio de la bicicleta aro 26 y aro 29 son

respectivamente:

𝑓(𝑥) = 279.5 ∙ 𝑠𝑒𝑛(0.02𝑥)

𝑔(𝑥) = 311 ∙ 𝑠𝑒𝑛(0.02𝑥)

2) a) Representa los datos en un plano cartesiano.

b) Encuentra una función del tipo sinusoidal que permita estimar el fenómeno y grafícala. Compara lo obtenido con los puntos originalmente dados.

En este caso las respuestas pueden ser diversas, una función que permite seguir la curva y estimar los datos es:

𝑓(𝑥) = 11.07 + 7.26𝑠𝑒𝑛(0.26 + 0.02)

Pero hay muchas más, debido a que los puntos no forman una onda sinusoidal exacta, por lo que buscamos una

función que permita aproximarse a los valores, analizando amplitud, periodo y desfases.

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TRIGONOMETRÍA

En este caso la gráfica de la función creada es:

c) Determina la amplitud, el periodo y el desfase de tu función creada.

De acuerdo con la función creada:

𝑓(𝑥) = 11.07 + 7.26𝑠𝑒𝑛(0.26𝑥 + 0.02)

La amplitud es 7.26

El periodo es 100𝜋

13≈ 24.2

El desfase en el eje y es de 11.07 unidades.

El desfase en el eje x es de 1/13 unidades (0.08 unidades aproximadamente)

También puedes estimar una función sinusoidal utilizando el programa Geogebra.

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TRIGONOMETRÍA

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