M ACROECONOMÍA © 2008 by W. W. Norton & Company. All rights reserved Charles I. Jones 5 El modelo...

MACROECONOMÍA

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Charles I. Jones

5El modelo de crecimiento de Solow

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CAPÍTULO 5 El modelo de crecimiento de Solow

5.1 Introducción En este capítulo, Veremos cómo se acumula el capital con el paso del tiempo,

lo que nos ayudará a comprender el crecimiento económico. Sabremos cuál es el papel del producto marginal decreciente

del capital en la explicación de las diferencias internacionales entre las tasas de crecimiento.

Conoceremos el principio de la dinámica de la transición: cuanto más por debajo del estado estacionario se encuentre un país, más deprisa crecerá.

Sabremos cuáles son las limitaciones de la acumulación de capital humano y veremos que deja sin explicar una parte significativa del crecimiento económico.

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El modelo de crecimiento de Solow es el punto de partida para saber por qué el crecimiento varía de unos países a otros.

Se basa en el modelo de producción añadiendo una teoría de la acumulación de capital

Fue desarrollado a mediados de los años 50 por Robert Solow, profesor del MIT

Es la razón por la que recibió el premio Nobel en 1987

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El modelo de crecimiento de Solow

El stock de capital ya no es exógeno

El stock de capital se “endogeneiza”: pasa de ser una variable exógena a ser una variable endógena

La acumulación de capital puede ser un motor de crecimiento económico a largo plazo

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5.2 Formalización del modeloPartamos del modelo de producción del capítulo 4 y añadámosle una ecuación que describa la acumulación de capital con el paso del tiempo.

ProducciónLa función de producción:

es una función Cobb-Douglasel trabajo y el capital tienen rendimientos constantes

de escalael exponente del capital es 1/3

Las variables tienen un subíndice temporal, ya que pueden variar con el paso del tiempo

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La producción puede destinarse a consumo (Ct) o a inversión (It)

Una restricción de los recursos describe cómo puede utilizar una economía sus recursos

Acumulación de capital

ecuación de acumulación de capital: el próximo año el stock de capital será igual a la suma de la cantidad de capital con la que empezamos este año más la cantidad de inversión realizada este año menos la depreciación

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La depreciación es la cantidad de capital que se desgasta en cada periodo.Se considera que la tasa de depreciación es de un 10

por ciento aproximadamente.

Por tanto, la variación del stock de capital es igual a la inversión menos la depreciación.

Representa la variación que experimenta el stock de capital entre hoy, el periodo t, y el próximo año, el periodo t+1.

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El trabajo La cantidad de trabajo de la economía viene dada

exógenamente y su nivel es constante, .

La inversiónLa cantidad de inversión de la economía es igual a

una tasa constante de inversión multiplicada por la producción total.

Recuérdese que la producción total se destina a consumo o a inversión.

Por tanto, el consumo es igual a la producción multiplicada por uno menos la tasa de inversión

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Resumen del modelo

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5.3 Los precios y el tipo de interés real Si añadiéramos ecuaciones del salario y del precio de

alquiler, éstas establecerían que el salario es igual al PML y el precio de alquiler es igual al PMK; si no se añadieran, no cambiaría nada.El tipo de interés real es la cantidad que puede ganar

una persona ahorrando una unidad de producción durante un año.

O lo que es lo mismo, la cantidad que debe pagar una persona para pedir prestada una unidad de producción durante un año.

Se expresa en unidades monetarias constantes, no nominales.

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El ahorro es la diferencia entre la renta y el consumo.

El ahorro es igual a la inversión:

Una unidad de ahorro es una unidad de inversión y una unidad de inversión se convierte en una unidad de capital; por tanto, el rendimiento del ahorro debe ser igual al precio de alquiler del capital.

El tipo de interés real de una economía es igual al precio de alquiler del capital, que es igual al producto marginal del capital.

ahorro inversión

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Para resolver el modelo, expresamos las variables endógenas en función de los parámetros del modelo y mostramos gráficamente cómo es la solución y resolvemos el modelo a largo plazo.Combinamos la ecuación de asignación de la inversión

con la ecuación de acumulación de capital.

La inversión neta es la inversión menos la depreciación.Introducimos la oferta de trabajo en la función de

producción:

(variación del capital) (inversión neta)

5.4 Resolución del modelo de Solow

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Ahora hemos reducido nuestro sistema de cinco ecuaciones y cinco incógnitas a dos ecuaciones y dos incógnitas:

Las ecuaciones fundamentales del modelo de Solow son:La función de producciónY la ecuación de acumulación de capital

¿Cómo resolvemos este modelo?Lo representamos gráficamente, dividiendo las dos

partes de la ecuación de acumulación de capital en dos elementos: ahorro = inversión y depreciación

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Inversión, Depreciación

Capital, Kt

En este punto, dKt = sYt, por lo que

El diagrama de Solow representa gráficamente estas dos partes, colocando Kt en el eje de abscisas:

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Figura 5.1 El diagrama de Solow

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Utilización del diagrama de Solow

La cantidad de inversión es mayor que la cantidad de depreciación, el stock de capital aumentará

El stock de capital aumentará hasta que la inversión sea igual a la depreciación: en este punto, la variación del capital es igual a 0 y, en ausencia de perturbaciones, el stock de capital permanecerá en este valor del capital indefinidamente

El punto en el que la inversión es igual a la depreciación se llama estado estacionario

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Supongamos que la economía comienza

encontrándose en K0:Inversión,

Depreciación

Capital, KtK0

•Vemos que la línea roja se encuentra por encima de la verde en K0:

•Ahorro = inversión es mayor que la depreciación

•Por tanto, ∆Kt > 0 ya que

•Dado que ∆Kt > 0, Kt aumenta de K0 a K1 > K0

K1

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Imaginemos ahora que partimos de K0:

Inversión, Depreciación

Capital, Kt

K0

•En K0, la línea verde se encuentra por encima de la roja

•Ahorro = inversión ahora es menor que la depreciación

•Por tanto, ∆Kt < 0 ya que

•Dado que ∆Kt < 0, Kt disminuye de K0 a K1 < K0

K1

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Llamamos a este proceso dinámica de la transición: la economía transita de cualquier Kt a la K* del estado estacionario de la economía, donde ∆Kt = 0Inversíón,

Depreciación

Capital, Kt

En este valor de K, dKt = sYt, por lo que

K*

Independientemente de dónde partamos, ¡haremos la

transición a K*!

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Cuando la economía no se encuentra en un estado estacionario, sigue la dinámica de la transición o, en otras palabras, el movimiento del capital hacia un estado estacionario.

Obsérvese que cuando la depreciación es mayor que la inversión, la economía converge hacia el mismo estado estacionario que antes.

En el punto de reposo de la economía, todas las variables endógenas están estacionarias.

La dinámica de la transición lleva a la economía de su nivel inicial de capital al estado estacionario.

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Utilizando la función de producción, es evidente que cuando la dinámica de la transición lleva a K hacia su estado estacionario, también lleva a la producción a su correspondiente estado estacionario.

Obsérvese que el consumo es la diferencia entre la producción y la inversión.

La producción y el consumo en el diagrama de Solow

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Podemos ver qué ocurre con la producción, Y, y, por tanto, con el crecimiento si redimensionamos el eje de ordenadas:

Inversión, Depreciación, Renta

Capital, KtK*

• Ahorro = inversión y depreciación ahora aparecen aquí

• Ahora la producción puede representarse gráficamente en la parte superior del gráfico

• Seguimos teniendo una dinámica de la transición hacia K*

• Por tanto, también tenemos una dinámica hacia un nivel de renta del estado estacionario, Y*

Y*

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Figura 5.2 El diagrama de Solow con producción

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En el estado estacionario, la inversión es igual a la depreciación. Si evaluamos esta ecuación en el nivel de capital del estado estacionario, podemos resolverla matemáticamente.El nivel de capital del estado estacionario está

relacionado positivamente con la tasa de inversión, el tamaño de la población trabajadora y la productividad de la economía.

El nivel de capital del estado estacionario está correlacionado negativamente con la tasa de depreciación.

Obtención matemática del estado estacionario

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¿Qué determina el estado estacionario?

Podemos hallar matemáticamente K* y Y* en el estado estacionario; de esa forma comprenderemos mejor el modelo.

En el estado estacionario:

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Si sabemos cuál es el valor de K*, podemos hallar Y* utilizando la función de producción:

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Esta ecuación también nos permite calcular la renta per cápita, y, en el estado estacionario:


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Obsérvese que el exponente del parámetro de la productividad es mayor que en el modelo del capítulo 4:debido a que un aumento del parámetro de la

productividad eleva la producción como en el modelo de producción.

sin embargo, un aumento de la productividad también implica que la economía acumula más capital.

el propio nivel del stock de capital depende de la productividad

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La relación capital-producto

La relación capital-producto viene dada por el cociente entre la tasa de inversión y la tasa de depreciación:

Mientras que las tasas de inversión varían de unos países a otros, se supone que la tasa de depreciación se mantiene relativamente constante

5.5 Análisis de los datos a través de la lente del modelo de Solow

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Empíricamente, los países que tienen una tasa de inversión más alta tienen una relación capital-producto mayor:

Figura 5.3 Explicación del capital en el modelo de Solow

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Diferencias de Y/L

El modelo de Solow da más peso que el modelo de producción a la PTF en la explicación de la producción per cápita.

Podemos utilizar esta fórmula para comprender por qué algunos países son mucho más ricos, exactamente igual que hicimos antes con el modelo básico de producción.

Tomemos el cociente entre la y* de un país rico y la y* de un país pobre y supongamos que la tasa de depreciación es la misma en todos los países:

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Ahora observamos que la cifra de 45 veces que separa la renta per cápita de un país rico de la renta per cápita de un país pobre puede descomponerse en:Una cifra de 103/2 = 18 veces las diferencias de

productividadUna cifra de (30/5)1/2 = 61/2 = 2,5 veces las

diferencias entre las tasas de inversión

En el modelo de Solow, ¡la productividad explica el 18/20 = 90% de las diferencias!

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La economía se estabiliza en un estado estacionario porque la curva de inversión tiene rendimientos decrecientes. Sin embargo, la tasa a la que aumentan la producción y

la inversión es menor conforme es mayor el stock de capital.

En cada periodo se deprecia una proporción constante del stock de capital, lo cual implica que la depreciación no disminuye conforme aumenta el capital.

5.6 Comprensión del estado estacionario

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En suma, a medida que aumenta el capital, los rendimientos decrecientes implican que la producción y la inversión aumentan cada vez menos, pero la depreciación aumenta en la misma cantidad .

Finalmente, la inversión neta es cero y la economía se estabiliza en el estado estacionario.El capital tiene rendimientos decrecientes: menos Yt

por Kt adicional.Eso significa que la nueva inversión también disminuye:

menos sYt = It.Pero la depreciación NO disminuye; es una proporción

constante de Kt

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En el modelo de Solow no hay crecimiento económico a largo plazo.

En el estado estacionario, la producción, el capital, la producción por persona y el consumo por persona son todos constantes y el crecimiento se detiene.

ambos constantes

5.7 El crecimiento económico en el modelo de Solow

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Empíricamente, parece que las economías continúan creciendo con el paso del tiempo.Por tanto, la acumulación de capital no es un motor

de crecimiento económico a largo plazo.El ahorro y la inversión son beneficiosos a corto

plazo, pero los rendimientos decrecientes del capital no mantienen el crecimiento a largo plazo.

En otras palabras, una vez que alcanzamos el estado estacionario, no hay crecimiento a largo plazo de Yt (a menos que Lt o A aumenten).

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Aunque el modelo de Solow no explica el crecimiento económico a largo plazo, sí ayuda a explicar algunas diferencias entre los países.

Los economistas pueden experimentar con el modelo cambiando los valores de los parámetros.

Un aumento de la tasa de inversión

La tasa de inversión aumenta permanentemente por razones exógenas.

La tasa de inversión gira hacia arriba, pero la curva de depreciación no varía.

5.8 Algunos experimentos económicos

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Figura 5.4 Un aumento de la tasa de inversión

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Ahora la economía se encuentra por debajo de su nuevo estado estacionario y el stock de capital y la producción aumentan con el paso del tiempo como consecuencia de la dinámica de la transición.

El capital del estado estacionario y la producción del estado estacionario a largo plazo son mayores.

¿Qué ocurre con la producción en respuesta a este aumento de la tasa de inversión?El aumento de la inversión provoca la acumulación de

capital a lo largo del tiempo.Este aumento del capital hace que la producción

también aumente.La producción aumenta de su nivel del estado

estacionario inicial Y* al nuevo estado estacionario Y**.

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Figura 5.5 El comportamiento de la producción tras un aumento de s

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Un aumento de la tasa de depreciación

La tasa de depreciación aumenta como consecuencia de una perturbación exógena.

La curva de depreciación gira hacia arriba y la curva de inversión no varía.

El nuevo estado estacionario se encuentra a la izquierda: eso significa que la depreciación es mayor que la inversión.

El stock de capital disminuye como consecuencia de la dinámica de la transición hasta que alcanza el nuevo estado estacionario.Obsérvese que la producción disminuye rápidamente al

principio, pero menos a medida que converge hacia el nuevo estado estacionario.

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Figura 5.6 Un aumento de la tasa de depreciación

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¿Qué ocurre con la producción en respuesta a este aumento de la tasa de depreciación?La disminución del capital reduce la producción.La producción disminuye rápidamente al principio y

después se estabiliza gradualmente en su nuevo nivel más bajo del estado estacionario Y**.


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Figura 5.7 El comportamiento de la producción tras un aumento de d

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Figura 5.7 El comportamiento de la producción tras un aumento de d

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Trate de experimentar con todos los parámetros del modelo:

1. Averigüe si se desplaza alguna curva y, en caso afirmativo, cuál.

2. Siga la dinámica de la transición del modelo de Solow.3. Analice los valores del capital, la producción y la

producción por persona del estado estacionario.

Haga el lector sus propios experimentos

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5.9 El principio de la dinámica de la transición

Cuando la tasa de depreciación y la tasa de inversión sufrían una perturbación, la producción se representaba a lo largo del tiempo en una escala logarítmica.La escala logarítmica nos permite ver que la producción

varía más deprisa cuanto más lejos nos encontremos del estado estacionario.

A medida que la economía se aproxima al estado estacionario, el crecimiento se reduce a cero.

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Según el principio de la dinámica de la transición, cuanto más por debajo de su estado estacionario se encuentra una economía en términos porcentuales, más deprisa crece.

Asimismo, cuanto más por encima de su estado estacionario se encuentra una economía en términos porcentuales, más despacio crece.

Este principio nos permite comprender por qué las economías pueden crecer a tasas distintas al mismo tiempo.

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Explicación de las diferencias entre las tasas de crecimiento Empíricamente, los países de la OCDE que eran relativamente

pobres en 1960 crecieron rápidamente, mientras que los países que eran relativamente ricos crecieron a un ritmo más lento.Si los países de la OCDE tienen el mismo estado estacionario,

el principio de la dinámica de la transición lo predice.

Observando el mundo en su conjunto, los países ricos y pobres crecen, en promedio, a la misma tasa.

Dos consecuencias: (1) la mayoría de los países ya han alcanzado su estado estacionario; y (2) los países no son pobres porque hayan sufrido una perturbación negativa sino porque los parámetros determinantes de su estado estacionario son más bajos.

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Figura 5.8 Tasas de crecimiento en la OCDE, 1960-2000

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Figura 5.9 Tasas de crecimiento en el mundo, 1960-2000

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5.10 Puntos fuertes y puntos débiles del modelo de Solow Los puntos fuertes del modelo de Solow son:

1. Contiene una teoría que determina el nivel de riqueza de un país a largo plazo.

2. El principio de la dinámica de la transición nos ayuda a comprender las diferencias internacionales entre las tasas de crecimiento.

Los puntos débiles del modelo de Solow son:1. Centra la atención en la inversión y en el capital y no

explica la PTF, que es un factor mucho más importante. 2. No explica por qué las tasas de inversión y de

productividad varían de unos países a otros. 3. No contiene una teoría del crecimiento económico a

largo plazo.

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Resumen

1. El punto de partida del modelo de Solow es el modelo de producción del capítulo 4. El modelo de Solow añade a ese modelo una teoría de la acumulación de capital. Es decir, convierte el stock de capital en una variable endógena.

2. El stock de capital es la suma de las inversiones realizadas anteriormente. El stock de capital actual consiste en las máquinas y los edificios que se compraron durante varias décadas.

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3. El objetivo del modelo de Solow es comprender mejor el crecimiento económico, pero sólo lo logra en parte. El hecho de que el capital tenga rendimientos decrecientes significa que el modelo no lleva a un crecimiento económico continuo. A medida que la economía acumula más capital, la depreciación aumenta exactamente en la misma cuantía, pero la producción y, por tanto, la inversión aumentan en menor medida debido al producto marginal decreciente del capital. Finalmente, la nueva inversión sólo es justo la suficiente para compensar la depreciación, por lo que el stock de capital deja de crecer. La producción también deja de crecer y la economía se estabiliza en un estado estacionario.

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4. El modelo de Solow consigue dos importantes logros. En primer lugar, ofrece una teoría satisfactoria de la determinación del capital, prediciendo que la relación capital-producto es igual al cociente entre la inversión y la depreciación. Los países que tienen una elevada tasa de inversión deberían tener, pues, una elevada relación capital-producto, y los datos confirman esta predicción.

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5. El segundo logro importante del modelo de Solow es el principio de la dinámica de la transición, que establece que cuanto más por debajo de su estado estacionario se encuentra una economía, más deprisa crece. Aunque el modelo no puede explicar el crecimiento a largo plazo, el principio de la dinámica de la transición constituye una excelente teoría de las diferencias internacionales entre las tasas de crecimiento. Los aumentos de la tasa de inversión o de la productividad total de los factores pueden elevar la posición del estado estacionario de un país y, por tanto, aumentar el crecimiento, al menos durante unos años. Estos cambios pueden analizarse con la ayuda del diagrama de Solow.

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6. En general, la mayoría de los países pobres tienen una baja PTF y una baja tasa de inversión, que son los dos determinantes fundamentales de las rentas del estado estacionario. Si los valores de las variables fundamentales de un país fueran altos, pero éste fuera pobre porque hubiera sufrido una perturbación negativa, veríamos que crecería rápidamente, según el principio de la dinámica de la transición.

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Figura 5.10 La inversión en Corea del Sur y Filipinas, 1950-2000

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Figura 5.12 Evolución de la producción, 2000-2100

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