Csar Antnez. I Notas de Crecimiento Econmico05120153@unmsm.edu.pe1UNIVERSIDAD NACIONAL MAYOR DE SAN MARCOSFACULTAD DE CIENCIAS ECONMICAS(Universidad del Per, Decana de Amrica)El Modelo de Solow SwanEl modelo de crecimiento con funcin Cobb-Douglas, desarrollado por Solow y Swandemaneraseparada en1956.Estemodelohacereferenciaalos supuestos, deecuaciones fundamental, al examen de cmo se alcanza el equilibrio.Todava en esta parte se supone que no existe progreso tecnolgico en el siguienteCaptulo de este libro (III), veremos como influye la tecnologa en el crecimiento deproduccin de un pas.Supuestos del modeloA los supuestos bsicos del modelo de Solow se le aaden los siguientes supuestosparticulares: Utiliza una funcin de produccin Cobb-Douglas. El stock de capital se deprecia a una tasa constate exgena: Funcin de Produccin agregada (FPA)La funcindeproduccinneoclsica,eshomogneadegradounoolinealmentehomognea,conrendimientosconstantesaescalay,adems,conrendimientosmarginales de cada uno de los factores, positivos y decrecientes.) ( . . ) , , (1I L K A A L K F Yt t t t t = con: 1 0 < < Rendimientos de escala constante.1s.a:Rendimientos decrecientes.Donde:A : ndice de Nivel de tecnologa2.: Elasticidad del producto respecto al capital.tY: Produccin agregada en el instante t.1CharlesCobby PaulDouglas(1928)propusieronunafuncindeproduccin,talque losfactoresdeproduccin cobran sus productos marginales. En su anlisisde la manufactura de los EE.UU.Fue un matemtico amigo de charles.Fue senado por Illinois entre 1949-1966 y profesor de economa.2Generalmente se supone o se asume que el ndice de nivel de tecnolgico es la unidad, donde At= A.Csar Antnez. I Notas de Crecimiento Econmico05120153@unmsm.edu.pe2tK : Stock de capital agregado en el instante t.tL: Fuerza de trabajo agregada.Simultiplicadoalaecuacin( I )por 0 > ,comprobaremosquelafuncineshomognea de grado uno., ), ) = = =1 1 1 1. . . . . . . . . . . . . .t t t t t t t t tL K A Y L K A Y L K A YPor lo tanto queda comprobado que a funcin es homognea de grado uno.Esta funcin tambin puede ser rescrita con la funcin de produccin intensiva (FPI),de la siguiente forma:Dividiendo a la ecuacin ( I ), entretLtt tttLL K ALY =1. . |||

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= =ttt t tLKA y L K A y . . . ) ( . FPI k A yt t=- La productivaza marginal de capita (tk ) es positiva.0 . ) () (1> = ' = t tttk k fdkk df- La funcin es cncava (por que la segunda derivada es negativa)., ) 0 . 1 ) () (222< = ' ' = t tttk k fdkk f d- Satisface las condiciones correspondientes a INADA (Inada, 1964). ~ / 101. ) (1) (= = ' kk f Lmt k t0 / 1 ~ = = '10 ) (1. ) (kk f Lmt k t Crecimiento poblacionalSolow considera que toda la poblacin est empleada y, adems, crece a una tasaconstante determinada exgenamente. Su forma funcional es:nLLtt=-Csar Antnez. I Notas de Crecimiento Econmico05120153@unmsm.edu.pe3Ecuacin Fundamental de Solow - SwanDe la ecuacin fundamental de Solow con depreciacin tenemos:, )t tt k n k f s k . ) ( . + =- , , )t tk f y =Pero la funcin de produccin Cobb-Douglas; ) ( . ) ( . FPI k A k f k A yt t t t = =Reemplazando la (FPI) en la ecuacin de Solow., )t tt k n Ak s k . . + =-, La Ecuacin fundamental de Solow Swan3Estaecuacindiferencialdeacumulacindecapital,dondelatasadecambiodelcapital por trabajador es igual al remanente del ahorro bruto por trabajador respectoa la ampliacin bruta de capital.Estado de Crecimiento ProporcionadoQue lo traducen como estado estacionario (Growth steady state), en este estado decrecimientoproporcionado,cuando 0 =-t k ,entonces , )t tk n Ak s . . = sedetermina-tk .Hallando-tk :ttkknA s=+.=+1.tknA s-||

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+=11.nA sktDonde el asterisco ( - ) denota el valor de equilibrio de la variable.Reemplazando el-tkhallado en la (FPI), nos da el valor de producto por trabajadorde equilibrio (-ty ).t tk A y . =-||

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+=1.nA syt3Se recomienda al lector que trate de recordar esta ecuacin ya que ser utilizada a lo largo de este libroen los distintos modelos que se representaran en los captulos siguientes.Csar Antnez. I Notas de Crecimiento Econmico05120153@unmsm.edu.pe4Grfica N 1: Estado Proporcionado de las variablesEn el Grfico N1, podemos apreciar que en el estado de crecimiento proporcionadosedetermina,-tk e-ty .Donde tambinseapreciaquelatasadeahorro, s ,dondeestadeterminaelrepartoentreconsumoportrabajador(tc )yinversinportrabajador(ti ).Enelcualquierniveldetk laproduccines , )tk f ,lainversinportrabajador es , )tk f s. , y el consumo por trabajador es , ) , )t tk f s k f . . Versin de BarroA partir de la ecuacin fundamental de Solow Swan con depreciacin;, )t tt k n k f s k . ) ( . =- , dividiendo a esta ecuacin entre el capital por trabajador deequilibrio (tk ), tenemos:, ) ) ( . . II nkkA skktttt + =-, ) + = nkkA sttk. . , La ecuacin fundamenta Solow-Swan-BarroElmiembroizquierdodelaecuacin ( II ) representalatasadecrecimientodelcapitalper capitayesigualaladiferenciaentre1. tk s (curvadeahorro)y ( + n )(curva de depreciacin).Csar Antnez. I Notas de Crecimiento Econmico05120153@unmsm.edu.pe5En el crecimiento proporcionado la 0 =kg , entonces , ) + =nkk A st. ., se determina-tk .Hallando-tk ; kknA s=+.-||

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+=11.nA sktDonde:k kttgkk= =- : Tasa de crecimiento del capitalGrfica N 2: versin de BarroEn el Grfico N 2, podemos apreciar que la curva de ahorro es decreciente, tiende acero cuandotk se aproxima a infinito y cuando k se acerca a cero (CONDICIONESINADA). Encuantoalacurvadedepreciacineshorizontal,esdecir,esindependientede k . Considerandoquestaesestrictamentepositivaylacurva1. tk s tomavaloresentreceroe infinito,lasdosfunciones(curvas)secruzanunasolavezenlagrfica(puntotE )yla-tk correspondientequerepresentaaestepunto es el capital per capita que existe en el estado proporcionado.Csar Antnez. I Notas de Crecimiento Econmico05120153@unmsm.edu.pe6Acerca de la estabilidadLa economa capitalista en el largo plazo tiende a un estado de crecimientoproporcionado, y esto lo veremos en dos casos: Caso I (-> k k1)En este caso vemos en el Grfico N 3, que, la economa tiene hoy un capital0k , lainversin por trabajador (ahorro neto por trabajador) supera a la ampliacin neta decapita.Estoquieredecirquevaocurrirunaprofundizacin(1k aumentaraconeltiempo), hasta llegar a igualarse con el capital por trabajador*tk , cuando 0 =-t k , lascurvasoriginadounpunto , ) ) ( . .t tk f s k n = + ,queesllamadoelestadoproporcionado, donde la cantidad de capital por trabajador permanece constante.Grfica N 3: La Estabilidad Caso (I)- = < k Lm k kk t ) 0 (*0 Caso II (-< k k2)Si el capital por trabajador se encuentra a la derecha*tk , como se puede apreciar enelGrfico N 4,dondeelcapitalportrabajadorestaexpresadocomo2k .Enestaregin la ampliacin neta de capital supera al ahorro por trabajador, esto quiere decirque el ahorro es menor a la cantidad necesaria para mantener la proporcin capital-trabajo constante.Como 0 k Lm k kk t ) 2 (*2Dinmica de transmisin sobre la convergenciaSeledaelnombredeDinmicadetransmisin,porquehacepreedicionesdelmodeloqueserelacionaconlastasadecrecimiento.Enestesentidoelmodeloneoclsico tratadeexplicarlarapidezconlacual,laeconomaevolucionahaciaelestadoproporcionado.Enestapartetrataremosdeexplicarlasimplicarasdelosdos tipos de convergencia:(a) Hiptesis de la convergencia AbsolutaEsta primera hiptesis fue propuesta por historiadores econmicos como AleksanderGerschenkron (1952)y Moses Abramovitz (1986).Planteanquealargoplazolospasesdelmundoquesolodifieranensurelacincapital trabajo, tendern a un mismo estado de crecimiento proporcionado. En estesentido, aquellas economas que se encontraban en una situacin menos favorable(niveldeingreso percpita inferior),tenderanamostrartasasdecrecimientosuperioresalaseconomasmsdesarrolladas(niveldeingreso percpitasuperior)4. ImplicanciasAquellopases,que elmismotiempo(inicio),tienenrelativamente un menorcapitalpor trabajador, crecen ms rpido, que los pases que tienen al inicio mayor capitalpor trabajador.4Finalmente,porloquerespectaalconcepto,debemencionarsequeenelcasodequelaseconomassean lo suficientemente parecidas si podr esperarse la existencia de convergencia absoluta.Csar Antnez. I Notas de Crecimiento Econmico05120153@unmsm.edu.pe8Grfica N 5: La Convergencia AbsolutaEn el Grfico N 5, podemos apreciar que los pases pobres que tienen menorcapital por trabajador (Ptk ), en el largo plazo crecern a una tasas mayores que lospases ricos con mayor capital por trabajador (Rtk ).RkPkRtPtg g k k