LOS PROBLEMAS DE LA MEDIDA, LA INVARIANZA A LOS CAMBIOS DE

ESCALA Y LA GEOMETRIA FRACTAL.

Juan José Ibáñez

Muchos fenómenos geológicos, al menos en determinadas circunstancias, son invariantes a los cambios de escala. Entre otros ejemplos cabe citar la distribución de frecuencia-tamaño de los fragmentos de rocas, fallas, terremotos, erupciones volcánicas, depósitos minerales, campos petrolíferos, la distribución por tamaños de islas y lagos, descargas fluviales, ciertas propiedades físicas de los suelos, la morfología de dunas, los ripples en arenas de las playas, la estructura de las nubes, ciertos patrones de los cambios climáticos, etc. (Burrough, 1985; Turcotte, 1992). Una distribución fractal requiere que el número de objetos se ajuste a una ley potencial dependiente del tamaño (el número de elementos disminuye potencialmente al aumentar su tamaño). La aplicación de las leyes potenciales en geología precedió al desarrollo de la geometría fractal. No obstante solían tener carácter empírico.

Las distribuciones potenciales no son las únicas clases de distribuciones estadísticas que se aplican en geología. Sin embargo, si son las únicas que no incluyen una longitud de escala característica. Por estas razones son aplicables a los fenómenos que exhiben invarianza a los cambios de escala, es decir a los objetos o procesos . Así, por ejemplo, por citar algunos ejemplos cabe señalar como Plotnick (1986) ha argumentado que la distribución de los hiatos estratigráficos es fractal. Bajo muchas circunstancias la porosidad en secuencias sedimentarias es fractal (Turcotte, 1992). Por su parte, Hewett (1986) ha mostrado que la porosidad de los campos petrolíferos también es fractal.

Mandelbrot (1977) introdujo el término fractal para definir aquellos objetos o fenómenos espaciales y/o temporales que son continuos pero no diferenciables, y que exhiben correlaciones parciales sobre muchas escalas. La definición estricta del término fractal se refiere a aquellas series de medidas en las cuales la dimensión de Hausdorff-Besicovitch excede la dimensión topológica (Burrough, 1985).

Un elemento esencial de la geometría fractal es lo que se denomina dimensión fractal . En un espacio euclidiano, los puntos tienen dimensión , las líneas dimensión , los planos dimensión y los volúmenes dimensión . La dimensión fractal, por el contrario adopta valores fraccionales. Así, una curva que se retuerce indefinidamente hasta parecer que llega a ocupar un plano de referencia, poseería una dimensión, tanto más cercana a dos cuanto más se acercara a este objetivo. Análogas consideraciones podrían realizarse en lo que concierne a un plano respecto a un volumen de referencia. En otras palabras, la dimensión fractal ofrece una medida de la tortuosidad de líneas, planos, etc. Para un objeto o proceso fractal, la estimada no se altera al variar la escala de observación. En la naturaleza, por lo general, los fenómenos sólo son fractales entre ciertos intervalos escalares u órdenes de magnitud. Asimismo, en nuestro mundo, la invarianza a los cambios de escala suele aparecer en las propiedades estadísticas de las series de datos, sin que ello equivalga a que su forma sea exacta, como en el caso de ciertos constructos matemáticos. Se trata de lo que se denominan fractales estocásticos o estadísticos.

Las relaciones entre geometría fractal y los sistemas que demuestran un comportamiento caótico son hoy incuestionables. El ejemplo más universal de comportamiento caótico es la turbulencia. Los flujos turbulentos deben tratarse estadísticamente y la estádística espectral apropiada es fractal. Ya que se sospecha que los flujos del nucleo terrestre son turbulentos, no debería sorprender que ellos también fueran caóticos. De hecho las inversiones del campo magnético terrestre así parecen demostrarlo (Cook and Roberts, 1970; Valet & Courtillot, 1992).

Otra cuestión interesante es si el clima obedece a estadísticas fractales (Nicolis & Nicolis, 1984). Fluigeman and Snow (1989) han mostrado que la distribución espacial de las razones isotópicas de oxígeno analizadas en los sedimentos oceánicos obedecen a las estadísticas espectrales fractales. Ya que es generalmente aceptado que las razones isotópicas son proporcionales a las temperaturas locales, los resultados previamente mencionados pueden ser tomados como evidencia de que el clima, y más concretamente ciertos aspectos de los cambios climáticos, obedece, a las leyes fractales.

La geometría fractal está asociada al problema de la medida. Así, por ejemplo, al medir la longitud del contorno de una superficie, tal como una linea costera, puede comprobarse como la estima de esta variable aumenta al incrementarse la escala de resolución sobre la cual se estima. En otras palabras no es posible obtener una valor específico de la longitud de una costa, dada todas las pequeñas irregularidades (indentations) a la escala de milimetros y aún menores. Pero como consecuencia de su reconocida invarianza de escala, la longitud de una línea costera aumenta de acuerdo con una ley potencial al incrementar la escala de resolución empleada (por ejemplo, mediante el método de la varilla: ). La potencia obtenida determina la dimensión fractal de la línea costera (Mandelbrot 19 ).

Quizás un ejemplo paradigmático del problema de la medida se encuentre al analizar la superficie de ciertas partículas diminutas muy abundantes en la naturaleza. Este es el caso de aluminosilicatos como las arcillas. Así, por ejemplo un kilogramo de esmectita puede llagar a tener una superficie de contacto de 500 km2. Basándose en la enorme superficie que pueden alcanzar las arcillas, así como en algunos conceptos de la geometría fractal, J.Thorez (en Laszlo, 1990) ha desarrollado el concepto de interferón arcilloso. Se trata de una teoría unificadora de los distintos aspectos y el comportamiento de estos materiales en la naturaleza. Según Thorez, las arcillas conservan la misma estructura, topología y propiedadades para la retención de agua y electrolitos a diversas escalas, desde las escalas de cientos de kilómetros (por ejemplo, paisajes de badlands) hasta la decena de micras (los tactoides). Nueve órdenes de magnitud en total. Así Thorez llama la atención sobre posibles similitudes físicas de la capacidad de deslizamiento de las láminas de arcilla y los grandes corrimientos de tierras. También compara la tendencia a la disposición laminar de estos materiales desde, escalas de angströns a su agrupación en horizontes dentro de los perfiles de suelos. También, este mismo autor argumenta, que con cierta prudencia, es posible proponer una analogía entre el almacenamiento de petróleo en una roca sedimentaria (que como ya se ha señalado posee propiedades fractales) y la existencia momentánea, dentro de los tactoides, de receptáculos para las moléculas orgánicas Laszlo, 1990).

En todo caso, la dimensión fractal es útil como indicador de la rugosidad de una curva, y así, cuanto mayor es la dimensión fractal, mayor es su longitud.

Durante las dos últimas décadas la geometría fractal ha progresado hasta llegar a desarrollar un aparato conceptual y metodológico muy importante. De este modo hoy se habla de diversos tipos de fractales, tales como los fractales autosimilares, autoafines y los multifractales. Así mismo, se han propuesto diversos métodos de estimar las dimensiones fractales. Muchos de ellos dan valores diferentes, por lo que, a la hora de hacer comparaciones, hay que analizar los datos con mucho cuidado. Así, por ejemplo, los métodos de tipo espectral basados en el análisis de series temporales o geoestadística, dan estimas superiores a otros como el método de la rejilla (grid method) el de la varilla (rod method) o el del perímetro/área (perimeter/area method).

La invarianza de escala ofrece una base racional para la aplicación de la geometría fractal. Sin embargo, los conceptos y técnicas de la geometría fractal también pueden aplicarse a distribuciones de tipo continuo como lo es la topografía.

Aunque resulta más complicado obtener las dimensiones fractales bidimensionales que las monodimensionales, en general, la relación D2 = D1 + 1, (siendo D2 la dimensión fractal de una superficie y D1 la de una línea) es una buena aproximación.

El hecho de que la estadística fractal sea una buena aproximación a la topografía permite elaborar mapas fractales sobre imágenes digitalizadas de una región de tectónica diversa, de tal modo que se ofrezca una imagen sintética de su textura (Turcotte, 1992). Seguidamente este autor compara los mapas fractales con los mapas de rugosidades. Así llega a la conclusión de que, utilizando este procedimiento, se observa que, para regiones pequeñas, los errores al determinar la dimensión fractal y rugosidades son substancialmente grandes. Por el contrario, para regiones muy grandes, la resolución espacial de los mapas es muy pobre. Tras varios pasos Turcotte obtiene que, en dos dimensiones, la dimensión fractal del estado de Oregón es D2 = 2,586, la cual se parece mucho a la obtenida por Huang y Turcotte (1989) para Arizona D2 = 2.59. Cuando se comparan los mapas de dimensiones fractales con los de rugosidad se comprueba que, en los primeros la variabilidad (2,40<D< 2,90) es mucho menor que en los segundos. A pesar de ello, el análisis fractal da una muy buena medida cuantitativa de la rugosidad del paisaje.

EROSION Y GEOMETRIA FRACTAL

La topografía ha sido creada por fuerzas frecuentemente contrapuestas. Más concretamente, el modelado terrestre y su expresión topográfica son el resultado de la acción de los procesos tectónicos, así como de los erosivos y sedimentarios.

Hay evidencias empíricas considerables de que la erosión es un proceso invariante a los cambios de escala y por tanto fractal. En otras palabras, aunque aparentemente caótica, la topografía es un ejemplo de orden complejo y sutil. También una red de drenaje es el clásico ejemplo de árbol fractal (Turcotte, 1992). Una aproximación al análisis de funciones contínuas, tales como la topografía, a lo largo de trayectorias lineales consiste en la aplicación del análisis de Fourier. Mediante ellas puede conocerse si la topografía de una determinada región es

fractal. Esto también es cierto para el ruido Browniano, el cual puede ser generado por un proceso de rutas o caminos aleatorios.

En general los paisajes parecen obedecer a las reglas de la estadística fractal (Turcotte, 1992). Existen evidencias de que los mecanismos responsables de la evolución del paisaje son invariantes a los cambios de escala, pero ello no explicita los mecanismos físicos implicados. El mecanismo principal de la evolución del paisaje es la erosión. En muchas circunstancias, los ríos y las corrientes disectan el paisaje configurando árboles fractales. Si se proyecta gráficamente el número de ríos de determinado orden o rango frente a su longitud media se observa que la estadística del número-orden es una relación fractal con D=1.83. En la monografía de Turcotte (1982) aparece el algoritmo utilizado, en esta caso, para la obtención de D (según el algoritmo 2.1 que Turcotte presenta en su pag. 6).

Otra correlación fractal de las redes de drenaje es obtenida al proyectar gráficamente la longitud del río principal de una cuenca frente al área que drena. Turcotte presenta una gráfica con los datos previamente obtenidos por Hack (1957). Se obtiene así para P= C.AD/2 (donde P=longitud del río principal y A= área de la cuenca) donde D= 1,22.

En áreas tectónicamente activas, los paisajes juveniles apenas han sido retocados por la erosión. Sin embargo, con el transcurso del tiempo estos últimos van ganando en importancia. En el archipiélago volcánico Hawaiano, una isla joven, tal como Hawaii, está construida por estructuras cónicas deterministas asociadas a los escudos volcánicos. Su paisaje no es fractal. Sin embargo, cuando los procesos de erosión han actuado durante unos pocos millones de años, tal como en las islas de Maui y Oahu, se desarrolla una morfología irregular, invariante a los cambios de escala (Turcotte, 1992).

Seguidamente Turcotte (1992) aborda el problema si es posible construir una teoría básica o de la evolución del paisaje o si es sólo posible considerar problemas concretos. Turcotte argumenta que ninguna teoría lineal (como la basada en una ecuación de difusión lineal propuesta por Culling 1960) puede producir una topografía autosimilar. Seguidamente propone un esbozo de modelo de evolución caótica del paisaje (pp 99-102), aunque reconoce que este no proporciona los mecanismos físicos subyacentes. Algunos de sus principales rasgos y suposiciones son expuestos a continuación.

Las tasas de erosión estimadas a una escala espacial dada dependen de la distribución de los rasgos topográficos del relieve en escalas del mismo rango y en las inmediatamente adyacentes de mayor y menor resolución. Así, Turcotte (1992) señala (p. 101) que para los procesos de erosión hídrica las cárcavas grandes generan cárcavas más pequeñas (o viceversa) en un proceso contínuo que podría conceptualizarse como un modelo en cascada invariante a los cambios de escala. El postula que los rasgos erosivos son generados por las tormentas de mayor magnitud o catastróficas, con largos periodos de retorno. Este hecho, entonces, debería correlacionarse con que una gran parte de la erosión tuviera lugar durante las inundaciones mayores.

Turcotte también opina que los paisajes erosivos estan caracterizados por rasgos de drenaje que son continuamente renovados. Esta renovación también debería tener lugar durante las tormentas mayores, es decir, con mayores flujos. Finalmente Turcotte se pregunta si las tormentas y las inundaciones que pueden generar tienen una distribución fractal. Si esto fuera así, la razón de las inundaciones medias mayores en 1000 años respecto a las que se dan en 100 años serían la misma que la razón considerada para el mismo evento para 100 años frente a 10 años, etc.

Conviene recordar aquí, que la deposición de las secuencias sedimentarias suele estar condicionada por las tormentas de mayor magnitud. Una implicación de las secuencias sedimentarias fractales previamente mencionadas, es que la distribución magnitud-frecuencia de las tormentas también debería ser fractal. Una medida de la severidad de las tormentas es la magnitud de la inundación resultante. El problema es la dificultad de estudiar la estadística de las frecuencias-magnitudes de las inundaciones ya que suelen restringirse a observaciones históricas. Cuando estas se asocien a buenas estimaciones de paleo-inundaciones, podrán obtenerse soluciones a estas preguntas Por último, no debe olvidarse que la estadística fractal generalmente predice tormentas más severas que la estadística exponencial, que es la más frecuentemente aplicada.

FRACTALES AUTO-SIMILARES Y AUTO-AFINES: EL EJEMPLO DE LA TOPOGRAFIA.

Como ya se comentó en un apartado anterior, desde ciertas perspectivas, los objetos y/o procesos fractales pueden dividirse en dos tipos diferentes: fractales auto-similares y fractales auto-afines. La topografía es un ejemplo de ambos tipos de fractales.

Un fractal autosimilar estadístico es por definición isótropo. En dos dimensiones (definidas por las coordenadas x e y), como pueden ser las coordenadas de un sistema cartográfico cualquiera, el resultado no depende de la orientación geométrica de los ejes x e y. Así, por ejemplo la estimación de la dimensión fractal de una costa mediante él no depende de la orientación de los rectángulos que la cubren.

Una definición formal de fractal auto-similar en un espacio bidimensional x,y se obtiene cuando f(rx,ry) es estadísticamente similar a f(x,y), siendo r es el factor de escala. En este caso, para el la dimensión fractal se obtiene mediante el algoritmo Nn = C/rnD, siendo Nn el número de cuadrículas de tamaño rn necesario para cubrir la curva y C una constante de proporcionalidad. En otras palabras, la curva es autosimilar si N2/N1 = r-D, siendo la dimensión fractal; N1 el número de cuadrículas con dimensiones x1, y1 requerido para cubrir una curva y N2 el número de rectángulos con dimensiones x2 = rx1, y2 = ry1 requerido para cubrir la misma curva (Turcotte, 1992).

Una definición formal de un fractal auto-afín en un espacio bidimensional x,y se obtiene cuando f(rx,rHy) es estadísticamente similar a f(x,y), donde H es la medida de Hausdorff. Con el , las cuadrículas tienden a ser más rectangulares al aumentar su tamaño. (Turcotte, 1992). Al contrario que los fractales auto-similares, los fractal autoa-fínes no son isótropos. El método de las cuadrículas (box-counting method) puede ser utilizado para medir la medida de Hausdorff y la dimensión fractal. Sin embargo el tamaño del rectángulo debe ser escalado utilizando la medida de Hausdorff. Si N1 es el número de cuadrículas con dimensiones x1 e y1

requerido para cubrir una curva y N2 es el número de rectángulos de dimensiones X2 = rX1, y2 = rHy entonces la curva es un fractal autoafín si N2/N1 = r-D. Un ejemplo típico de fractal auto-afín es un camino aleatorio o ruido browniano (en este caso el fractal autoafín estaría caracterizado por H=1/2 y D=3/2). Los fractales autoafines son generalmente tratados cuantitativamente utilizando técnicas espectrales (series temporales geoestadística, etc.).

Sobre estas técnicas se ha encontrado que la dimensión fractal de la topografía oscila alrededor de 1.5, indicando su parentesco con el mencionado ruido brouniano. El método de la varilla, de grandes afinidades al de las cuadrículas para las mismas condiciones da un valor mucho más bajo (D=1.2). En otras palabras, los métodos de la varilla y cuadrículas dan valores sistemáticamente más bajos que los obtenidos con técnicas espectrales.

La relación entre el ruido browniano fraccional y la topografía también puede expresarse mediante los siguientes formalismos. Consideremos la elevación h2 (de coordenadas x2, y2), del punto 2 con relación a la elevación h1, del punto 1 (de coordenadas x1, y1). Para un ruido fraccional Browniano, siendo la diferencia de altitud h=h, se obtiene que:�

h ¸ (r)H; donde H = h2-h1, r2 = x2 + y2, x = x2 - x1, y y = y2- y1.� � � � � � � �

Ya que la topografía es generalmente muy cercana al ruido browniano es apropiado adoptar H= 1/2 y el cambio de elevación es en promedio proporcional a la raíz cuadrada de la distancia recorrida. Después de diversos cálculos Turcotte (1992) encuentra que la dependencia espectral de la topografía corresponde a un ruido browniano de D= 1,5.

La relación entre topografía y batimetría con el ruido browniano implica que ambas variables son también autosimilares. Así, las razones de altura a anchura de montañas y colinas son las mismas para todas las escalas, aunque al cambiar la escala con la que se analiza la topografía parezca que sus formas no son autosimilares. De hecho, al reducir el grado de resolución la dimensión fractal del paisaje, estimada por el método de las cuadrículas o de la varilla, se reduce.

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(recordar aquí trabajo de mundo científico sobre las arcillas, badlands y fractales)

En los sistemas caóticos, las soluciones a los sistemas de ecuaciones acopladas no lineales que los describen deben ser tratada estadísticamente y la estadística espectral aplicable es frecuentemente fractal.

AÑADIR A CRITICALIDAD ?

El valor de la dimensión fractral es simplemente el doble del valor , es decir D=1.8 para la distribución de seísmos.

Los fenómenos denominados críticos o de tipo también se encuentran asociados al caos y los fractales. El método de rornalización de grupo ofrece una aproximación matemática a los

fenómenos críticos. En esta aproximación los cálculos son realizados sobre modelos simples a pequeña escala y después son renormalizados a escalas sucesivamente mayores. Una de sus aplicaciones más difundidas es al estudio de la permeabilidad en medios porosos.

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Las relaciones de recursión pueden también exhibir comportamiento caótico. El ejemplo más clásico es el mapa de la ecuación logística estudiado por May (1976).

Los exponentes de Lyapunov ofrecen una test cuantitativo de la presencia de comportamientos caóticos. Este ofrece una medida de si las soluciones adyacentes o contiguas convergen o divergen. Si el exponente de liapunov es positivo las soluciones contiguas divergen, lo cual es síntoma de un comportamiento caótico.

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