Modelado Procedural Geometría fractal Gramáticas de...

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Modelado ProceduralModelado Procedural

•• Geometría fractalGeometría fractal•• Gramáticas de formasGramáticas de formas•• Sistemas de partículasSistemas de partículas•• Modelado basado en característicasModelado basado en características

Prof. Sandra Baldassarri

FractalesFractales

• La geometría fractal es en primer término un nuevo lenguaje matemático que permite expresar cierto tipo delenguaje matemático que permite expresar cierto tipo de formas que no son expresables mediante la geometría euclídea.

• Esta geometría permite describir, de forma concisa yEsta geometría permite describir, de forma concisa y apropiada, objetos complejos del entorno natural (plantas, nubes, montañas, etc).

Mediante el lenguaje fractal, la descripción de una nube se hace tan precisa como lo es la descripción de una casa utilizandotan precisa como lo es la descripción de una casa utilizando geometría analítica.

Geometría Fractal

El lenguaje de los fractalesEl lenguaje de los fractales

• La geometría fractal se expresa por medio de• La geometría fractal se expresa por medio de algoritmosalgoritmos, es decir, por medio de reglasreglas e instrucciones de procedimientode procedimiento

• Por lo tanto requieren la ayuda de un ordenador para convertirse en formas y estructuras.y

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Breve reseña históricaBreve reseña histórica

Geometría Fractal

Geometría fractalGeometría fractal

• La personalidad más conocida dentro del mundo de los fractales es Benoît Mandelbrot quien inició el desarrollofractales es Benoît Mandelbrot quien inició el desarrollo de la geometría fractal.

• Benoît B. Mandelbrot puso en marcha una nueva forma de pensar dentro de la matemática y la ciencia naturalde pensar dentro de la matemática y la ciencia natural, una ola que, por su amplitud, fuerza y creatividad extraordinarias, se ha convertido en un conocimiento aplicado interdisciplinar de primer orden.

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• La esencia del mensaje de Mandelbrot es que muchas estructuras naturales que aparentan tener unaestructuras naturales que aparentan tener una complejidad extraordinarias, poseen en realidad una propiedad de regularidad geométrica que se denomina invarianzainvarianza de escala o de escala o autosimilaridadautosimilaridad– Si se analizan estructuras con esta propiedad a distintas

escalas se encuentran una y otra vez formas similaresescalas, se encuentran una y otra vez formas similares

• Debido a esa propiedad, el algoritmo que describa la forma de un objeto fractal debe exhibir recursividad

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forma de un objeto fractal debe exhibir recursividad.


En realidad existen varios tipos de fractales:

• Autosimilares exactos: tienen partes que son versiones a• Autosimilares exactos: tienen partes que son versiones a escala reducida exacta del objeto completo.

• Autosimilares estadísticos: tienen partes que son• Autosimilares estadísticos: tienen partes que son versiones a escala reducida estadísticamente iguales al objeto completoj p

• Autoafines exactos: tienen partes que son versiones a escala reducida exacta del objeto completo, pero se forman con diferentes valores de escalado en las distintas direcciones del espacio.

A fi dí i i i• Autoafines estadísticos: tienen partes que son versiones a escala reducida estadísticamente iguales al objeto completo pero se forman con diferentes valores de

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completo, pero se forman con diferentes valores de escalado en las distintas direcciones del espacio.

Ejemplos de geometría fractalEjemplos de geometría fractal

Algunos ejemplos de fractales autosimilares exactos :

Curva de Koch (Helge von Koch 1904)- Curva de Koch (Helge von Koch, 1904)

- Curva de Peano (Giuseppe Peano, 1890)

Polvo de Cantor (Georg Cantor 1883)- Polvo de Cantor (Georg Cantor, 1883)

- Triángulo de Sierpinski (Waclaw Sierpinski, 1919)

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• Curva de Koch

ConstrucciónConstrucción- Cada lado se divide en 3 partes iguales.

- La parte central se sustituye por 2 lados triangularesLa parte central se sustituye por 2 lados triangulares

- Se repite de nuevo para cada segmento

Dimensión: log 4 / log 3 = 1,2618 Longitud: infinitag g g

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• Curva de Koch

Cuando se crea una curva de Koch sobre los lados deCuando se crea una curva de Koch sobre los lados de un triángulo equilátero se forma una isla o copo de nieve de Koch.de Koch.

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• Curva de Koch: Variantes

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• Curva de Peano

ConstrucciónConstrucción– Se parte de un segmento de longitud unidad

– Se deducen 9 nuevos segmento de longitud 1/3Se deducen 9 nuevos segmento de longitud 1/3

– Cada segmento se coloca como indica la figura

– Se reitera el proceso para cada segmento

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• Curva de Peano

C d Hilb t• Curva de Hilbert

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• Polvo de Cantor

ConstrucciónConstrucción– Se toma un segmento de tamaño unidad, S1=[0,1]

– Se divide el segmento en 3 partes igualesSe divide el segmento en 3 partes iguales

– Se borra el segmento central

– Se reitera el proceso para los segmentos restantes

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• Triángulo de Sierpinski

ConstrucciónConstrucción– Se parte de un triángulo equilátero de lado unidad

– Se toman los puntos medios de cada lado y se construye unSe toman los puntos medios de cada lado y se construye un triángulo equilátero invertido de lado ½

– Se recorta

– Se repite el proceso con cada triángulo

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• Tetraedro de Sierpinski

Alf b d Si i ki• Alfombra de Sierpinski

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Algunos ejemplos de fractales autoafines estadísticos:

- Árbol

Coral- Coral

- Col

C h- Cuerpo humano

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• Fractales en la naturaleza: árbol

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• Fractales en la naturaleza: coral

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• Fractales en la naturaleza: col

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• Fractales en la naturaleza: Cuerpo humano

P l ó Si t t i lPulmón Sistema venoso-arterial

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Algunos ejemplos de fractales sintéticos:

- Paisajes

Helecho de Barnsley- Helecho de Barnsley

- Nubes

Pl t- Plantas

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• Fractales sintéticos: paisajes: terrenos

Para controlar el crecimiento del fractal se utilizan superficies de control

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• Fractales sintéticos: paisajes: terrenos

Construcción:Construcción:– Se marcan los puntos medios de los lados del triángulo

– Se trazan rectas perpendiculares al plano por dichos puntos y seSe trazan rectas perpendiculares al plano por dichos puntos y se marca aleatoriamente un punto arbitrario (hacia arriba o abajo).

– Con el nuevo punto obtenido en cada lado se forman tres t iá l b l f tú l i t f iótriángulos, sobre los que se efectúa la misma transformación.

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• Fractales sintéticos: paisajes

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• Fractales sintéticos: helecho de Barnsley

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• Fractales sintéticos: nubes

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• Fractales sintéticos: nubes

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• Fractales sintéticos: plantas

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• Fractales sintéticos:

plantasplantas

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Fractales sintéticos: plantas, su crecimiento

• Vídeo de crecimiento de plantas fractalesbasipetal mov field mov– basipetal.mov, field.mov

• Vídeo de crecimiento acotado a un entorno:– leaves movleaves.mov

• Vídeo de crecimiento de dos árboles compitiendo por el mismo espaciop– two.mov

• Vídeo de crecimiento de raíces– root3D.mov

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• Virtual Garden Creado por medio de agentes que se plantan y abandonanplantan y abandonan

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Arte fractal

• Aplicando tonos de color a algunos objetos matemáticosque están relacionados con el mundo de los fractales sepuede llegar a interesantes resultados estéticospuede llegar a interesantes resultados estéticos.

• Las galerías de imágenes fractales y sus artistas inundan la redinundan la red.

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Arte fractal

A continuación aparecen dos partes del conjunto deMandelbrot llevadas a 3D.

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Arte fractal

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Arte fractal

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Ejemplos de geometría FractalEjemplos de geometría Fractal

• Conjunto de Mandelbrot

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Dimensión fractalDimensión fractal

• La caracterización matemática de un objeto fractal se realiza en base a lo que se denomina su dimensiónrealiza en base a lo que se denomina su dimensión fractal.

Partimos de un segmento de longitud 1 y loPartimos de un segmento de longitud 1, y lo subdividimos en segmentos de longitud L, obteniendo N(L) partes de manera que:( ) p q

N(L).L1 = 1

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• Partiendo de un cuadrado de superficie 1 y subdividiéndolo en unidades cuadradas de lado L se obtienen N(L) subunidades

de manera que: N(L).L2 = 14 . (1/2)2 = 14 . (1/2) 19 . (1/3)2 = 116 . (1/4)2 = 1

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• De forma general, la dimensión de un objeto podría expresarse bajo la forma de la ley de la escala a = sDexpresarse bajo la forma de la ley de la escala a s

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• Por lo tanto, se puede generalizar que la dimensión deuna forma geométrica es el número D que en a = sDuna forma geométrica es el número D que, en a s ,cumple:

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• Sin embargo, si las figuras no son subsimilares(cualquier parte de un objeto arbitrariamente elegida(cualquier parte de un objeto, arbitrariamente elegida,por pequeña que sea, proporciona el objeto completo) elcálculo no es tan simple.

• En ese caso, la dimensión fractal o dimensión deHaussodorf-Besucovic no es un número entero sino unnúmero decimal, referido al grado de ocupación delespacio o a la rugosidad del objeto fractal.

– P: tamaño del objeto

N: número de partes que forman el objeto

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– N: número de partes que forman el objeto

– p: tamaño de cada parte


• La dimensión fractal se halla dividiendo el espacio ydividiendo el espacio y considerando los elementos que contienen algún trozo del objeto (N) y el tamaño de los elementos de la malla.

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• Los valores de la dimensión fractal indican que lamisma estructura (determinista o estadística) se halla amisma estructura (determinista o estadística) se halla acualquier escala.

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Modelado por gramáticas de formasModelado por gramáticas de formas

• Gramáticas de formas: método procedural definido por conjuntos de reglas de producción que se aplican en unconjuntos de reglas de producción que se aplican en un objeto inicial para agregar niveles de detalle que concuerdan con la forma original. Se pueden aplicar transformaciones para alterar la geometría del objeto, modificar el color o la textura de la superficie.

Modelado procedural


• Gramáticas Lindermayer o gramáticas L: utilizadas para la descripción de plantas Las reglas ofrecen la conexiónla descripción de plantas. Las reglas ofrecen la conexión entre el tronco, las ramas y las hojas de cada ramificación individual.

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• Sistemas Lindermayer

Modelado procedural


Ejemplo: Más allá de los sueños

• Plantas generadas por sistemas Lindermayer• Plantas generadas por sistemas Lindermayer

• Superficie NURB para la descripción del terreno

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• Plantas generadas por sistemas Lindermayer:• Plantas generadas por sistemas Lindermayer:

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• Plantas generadas por sistemas Lindermayer:• Plantas generadas por sistemas Lindermayer:

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Sistemas de partículasSistemas de partículas

• Sistemas de partículas: permiten modelar objetos naturales o con formas irregulares que presentan g q ppropiedades de tipo “fluido” u objetos que cambian con el paso del tiempo (nubes, humo, fuego, cascadas, etc)

• En objetos como agua, polvo, nieve o lluvia, el efecto visual que el ser humano observa proviene de lavisual que el ser humano observa proviene de la interacción de millones de partículas que reaccionan antes otros objetos, la gravedad, el aire, el viento, para

l tcrear los patrones que vemos.

• Los modelos realistas deben trabajar con gran número• Los modelos realistas deben trabajar con gran número de partículas para ser creíbles.

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Modelo básico de comportamiento de un sistema de partículas:partículas:

• Se utiliza el proceso aleatorio para generar partículasen alguna región del espacio. A cada partícula se leen alguna región del espacio. A cada partícula se le asigna una serie de atributos que pueden variar con el paso del tiempo.

• En algún momento al azar la partícula se suprime.

• Durante la vida de la partícula, las características de su trayectoria y superficie se basan en leyes dinámicas y pueden tener códigos de colores, transparencia, desplegarse etcdesplegarse, etc..

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• Las formas de las partículas pueden ser esferas, elipsoides recuadros pequeños etcelipsoides, recuadros pequeños, etc.

• Cada partícula suele tener los siguientes atributos:• Cada partícula suele tener los siguientes atributos: – Posición

– Velocidad

– Color

– Tiempo de vida

– Edad

– Forma

Tamaño– Tamaño

– Transparencia

– …

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• Sistema de partículas para la realización de las crestas de las olas la bruma y las gotas en cada golpe de la olade las olas, la bruma y las gotas en cada golpe de la ola

– Ejemplo: La tormenta perfecta

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• Ejemplos:

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• Ejemplos:

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Modelado basado en característicasModelado basado en características

• Modelado basado en las características físicas del objetos: se describe el comportamiento del objeto enobjetos: se describe el comportamiento del objeto en términos de la interacción entre las fuerzas externas e internas.

• Ejemplos: telas, pelota de hule, gelatina, etc.j p p g

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• El objeto se modela como una red de nodos con conexiones flexibles entre los nodos generalmenteconexiones flexibles entre los nodos, generalmente representados por resortes. Sistema masa-muelle.

• Los objetos pueden ser homogéneos o tener diferentes tipos de resortes (o en distintas direcciones)

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tipos de resortes (o en distintas direcciones)


Elasticidad de Trama 16 67 N m-1

lycraElasticidad de Trama 16.67 N.m 1

Elasticidad de Urdimbre 10 N.m-1

Cizalladura 217 N.m-1

6Curvatura de Trama 17 10-6 N.m

Curvatura de Urdimbre 6.5 10-6 N.m

Densidad 156 10-3 Kg.m-2

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• Animación por medio de un modelo basado en las características físicas del objeto (sistema masa-muelle)características físicas del objeto (sistema masa muelle)

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• Ejemplos

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