Madrid, viernes,25 de agosto de 2006

tuve la enorme suerte de conocer en persona aBenoît Mandelbrot en el mes de agosto de 2006y de pasar con él y con su mujer Aliette unosdías inolvidables en Madrid. La cita con Man-delbrot era a las 10 de la mañana en el HotelMeliá-Los Galgos de la calle Claudio Coello deMadrid. Puntuales como clavos aparecimos enla recepción del hotel Aurora, mi mujer, y yo,dispuestos a ser los anfitriones, acompañantes yguías en Madrid durante varios días de una le-yenda viva de las matemáticas del siglo XX.

La segunda quincena de ese caluroso mes deagosto, Madrid era el centro del universo mate-mático. Más de 3.000 de las cabezas más brillantesde las matemáticas se reunía en la capital conmotivo de la celebración del Congreso interna-cional de Matemáticos, el iCM 2006.

no fue un iCM cualquiera. Dentro de muchosaños los matemáticos seguirán hablando de él. Lastelevisiones españolas y alguna extranjera cubrieronuna sesión inaugural que fue más importante porlas ausencias (por la ausencia) que por las presen-cias. Y eso que las autoridades políticas se pelearonpor las pocas plazas de la mesa presidencial: el

Artículo solicitado por Suma en noviembre de 2015 y aceptado en enero de 2016

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Mandelbrot: tres díasen Madrid con el padrede la geometría fractal

Antonio Pérez SAnz

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pp. 1-13

En puertas deltercer milenio

La práctica totalidad de los patrones comunes en la na-turaleza son irregulares. Su aspecto es exquisitamente de-sigual y fragmentario, no sólo más elaborado que lageometría de Euclides, sino de una complejidad enorme-mente superior.

Benoît Mandelbrot

rey Juan Carlos i, esperanza Aguirre (Presidentade la Comunidad de Madrid), Alberto ruíz-Ga-llardón (Alcalde de Madrid)... el rey entregaría enesa sesión las Medallas Fields de Matemáticas: eltesoro más preciado de los matemáticos, al menosde los de menos de 40 años, el nobel de matemá-ticas, la cima del reino de los números.

todo el mundo estaba allí, en ese monumentalsalón de actos del Palacio de Congresos deliFeMA madrileño. ¿todo el mundo? no. Faltabaalguien. La ausencia más sonada de la historia delas medallas Fields. toda la prensa, especializadao no, estaba a la espera del matemático más po-pular del momento, Gregori Perelman, que unosmeses antes había demostrado uno de los retosmatemáticos del milenio: la conjetura de Poincaré.

Pero «Grisha» Perelmann nunca llegó a Ma-drid. Los que sí llegaron a recoger su medallaFields fueron otros tres jóvenes genios matemá-ticos: terence tao (al que ya presentamos enSuma 74), Wendelin Werner y Andrei okounkov.

también llegó, aunque pasó por el iCM sin ex-cesivo ruido mediático, el padre de los fractales:Benoît Mandelbrot. Uno de los matemáticos másemblemáticos, a la vez que polémico, del siglo XX.

Yo estaba en el comité de actividades cultu-rales del iCM-2006 y como tal me tocó ser orga-nizador y comisario, junto a raúl ibáñez (sí, elde Órbita laika), de las tres exposiciones mate-máticas que se montaron en el centro culturalConde-Duque de Madrid. Una de ellas se titulabaArte fractal: belleza y matemáticas. Una impresionantecolección de 49 cuadros de fractales selecciona-dos entre los cientos que participaron en el Con-

curso internacional de Arte Fractal. en el catá-logo de la exposición hay una introducción delpropio Mandelbrot, con un reconocimiento ex-preso a Pierre Fatou y a Gaston Julia, su profesoren la école Polythecnique de París, a Paul Montely a su tío Szolem, junto a la introducción de raúly mía explicando el origen y contenido de la ex-posición. Aunque modesta, puedo decir que com-parto una publicación con Mandelbrot.

A algunos de los miembros de los distintoscomités nos pidieron actuar de acompañantesde algunas de las personalidades asistentes al con-greso. Cuando me propusieron hacer de guía-anfitrión de Mandelbrot no lo dudé ni un mo-mento aunque eso significase que me perderíaalguna de las conferencias interesantes del con-greso. Un sueño hecho realidad: pasar varios díascon un genio vivo de las matemáticas.

Pero empecemos por el principio.

infancia y adolescencia de película:«un canto rodado no coge musgo»

Benoît Mandelbrot nació en Varsovia el 20 denoviembre de 1924, hijo de una familia judía deorigen lituano. Una familia culta, amante de lasobras de la mente más que de los bienes mate-riales. Su padre era un acomodado comerciantey su madre era dentista con consulta propia, aun-que la influencia científica más directa sobre eljoven Mandelbrot la ejercería, en esa época y du-rante mucho tiempo, su tío Szolem, ya entoncesprofesor del Collège de France en el que había

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Mandelbrot, invitado de honor del ICM de Madrid

Y allí estaba, sentado junto a una mesa baja del hall del hotel, con su enorme altura y su rostro inconfundible de joven empollón,a pesar de sus 81 años, Benoît Mandelbrot, junto a su inteligente y entrañable mujer Aliette. Tras unas palabras de saludo y pre-sentación en inglés, decidimos comunicarnos en francés. Benoit y Aliette se sorprendieron del francés parisino de Aurora. elhecho de que Aurora compartiese con Mandelbrot la experiencia vital de haber sido hija de exiliados políticos en una de lasciudades de la periferia de París contribuyó a crear entre los cuatro un clima de complicidad desde el primer momento, muy lejosde la habitual rigidez protocolaria de estos eventos. La familia de Mandelbrot había vivido, tras su huida a Francia en 1936, en Be-lleville, una de esas ciudades satélites situada al noroeste de París durante tres años; Aurora y su familia, en Vitry, al sureste.como decía Benoît, el acento francés de les banlieues deja una huella indeleble que pervive a lo largo del tiempo. Lo decía alguienque hablaba polaco, inglés, francés, alemán, un poco de italiano…

sucedido en el puesto al mismísimo Jacques Ha-damard (1985-1963).

A los seis años de edad es testigo, sin dudainconsciente, de una cena familiar que marcarásu trayectoria científica. en esa cena, en la casafamiliar, se reúnen junto a su abuelo, sus padresy sus tíos, el propio Szolem, Paul Montel, ArnaudDenjoy y Hadamard.éstos iban de camino alPrimer Congreso de Matemáticas de la UrSSque se celebró en junio de 1930 en Járkov. Losque con el tiempo serían sus referentes matemá-ticos estaban sentados en la mesa familiar. Dosde los asistentes su tío y profesor en sus primerosaños Loterman y su mujer Helena desapareceríandurante el Holocausto.

La vida en Varsovia en la década de 1930, enplena Depresión, no era fácil. De hecho su padre,comerciante de profesión dedicado a la industriatextil tuvo que emigrar a Francia en 1931, lle-vándose a la familia, por fortuna para todos, en1936. el especial olfato del padre de Mandelbrotpara detectar los peligros que acechaban a la fa-milia y su determinación a cambiar de vida y deresidencia sin pensarlo dos veces, salvaría la vidaa Benoît y a su hermano Léon en más de unaocasión. entre 1914 y 1920 los Mandelbrot vi-vieron en Varsovia (Polonia), en Járkov (UrSS),en Sebastopol (Crimea), en Constanza (rumanía)y de nuevo en Varsovia.

Su madre había nacido en una ciudad al no-roeste de Vilna (Lituania), entonces territorio po-laco, aunque vivió en San Petersburgo, desdedonde, huyendo del frio y la humedad, su familiase trasladó a Varsovia. Allí estudió medicina es-pecializándose en odontología, lo que permitiría

a la familia sobrevivir entre 1931 y 1936 en plenaGran Depresión y cuando su padre ya había emi-grado a París, gracias a su consulta de dentistaen el domicilio familiar.

Benoît tuvo una educación un tanto hetero-doxa. Aprendió a leer y a escribir en su casa demanos de su tío Loterman, quien también le in-culcó la afición al ajedrez y a los mapas. A losseis años se incorporó a una escuela primaria ca-tólica en la que permaneció cuatro años. en ladécada de 1920, en Polonia, declarado país mul-tinacional con gran diversidad étnica y los pri-meros conatos de persecución a los judíos, lasescuelas eran confesionales. Pero la familia deci-dió apuntar a Benoît y a Léon a una escuela ca-tólica por proximidad a su casa, fuera del barriojudío. Y en ella permaneció hasta su marcha aFrancia en 1936.

Las aventuras del joven Mandelbroten Francia durante la ii Gran Guerra

Justo cuando la situación de los judíos en Poloniaempezaba a hacerse insostenible, su padre con-siguió los visados para toda la familia. Su madremalvendió los muebles de la casa y los enseresde su consulta y Lurie, Benoît y Léon iniciaronsu viaje a Francia. Atravesaron la Alemania nazien un viejo y destartalado tren, con frecuentesparadas para dejar paso a otros trenes, cuyaspuertas cerraron por fuera con candados paraevitar que nadie pudiese salir del tren o, lo másprobable, entrar en él.

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Mandelbrot, Aliette, raúl ibáñez y Antonio Pérez

Les llevamos al Palacio de congresos del iFeMA, cuyaentrada estaba presidida por una estatua geométrica de gra-nito: un toro partido longitudinalmente de más de una to-nelada de peso, que el incansable y simpático escultor KeizoUshio había creado in situ en la sede del cSiF de la calle Se-rrano y montado con gran expectación y revuelo ante lapuerta principal del Palacio. Sé su peso exacto pues me tocóhacer las gestiones para su adquisición y transporte desdeGalicia, asesorado por mi amigo el escultor Alberto Bañuelosal que nunca estaré suficientemente agradecido.

La situación económica de la familia en Parísera un tanto precaria: el padre intentando montarun nuevo negocio, la madre sin poder ejercer lamedicina y las secuelas de la Gran Depresióngolpeando en toda europa. Se instalaron en elpequeño apartamento de Belleville: dos habita-ciones y cocina, sin agua caliente ni cuarto debaño y, como era habitual en la época, con unservicio compartido para cuatro viviendas.

en la escuela primaria del barrio aprendió ahablar el francés de la periferia parisina y obtuvoal cabo de un año el Certificat d´études élé-mentaires e inicio los estudios de secundaria enel Lycée rollin de París durante poco menos dedos años antes de marchar hacia tulle. Fue unexcelente alumno en todas las asignaturas menosen gimnasia, algo que a muchos nos suena.

el padre aprovechaba las mañanas de los do-mingos para enseñar a la familia los monumentosde París y, sobre todo, sus museos: el Louvre, elviejo museo de Ciencias... era un ferviente ad-mirador de tiziano.

Sábado, 26 de agosto de 2006

esa mañana habíamos recogido temprano a Man-delbrot y a Aliette en su hotel para llevarlos alPalacio de Congresos del iFeMA, donde teníauna rueda de prensa antes los medios acreditadosen el iCM. todos los congresistas que impartíanuna conferencia plenaria daban el día antes unarueda de prensa para facilitar el trabajo a los pe-riodistas y a los medios que cubrían el congreso.La sala estaba repleta. La expectación en torno aMandelbrot seguía siendo muy alta a pesar desus años. Pero volvamos a su infancia…

en 1939, ante la inminente ocupación de Paríspor los nazis y gracias a la mediación de Szolemante los padres de una colega suya de la univer-sidad de Clermont-Ferrand, la familia se trasladaa tulle, una ciudad pequeña y montañosa de laregión de Lemosín, en el sur-este de Francia. Ahíuna familia judía podía pasar más desapercibida,pero siempre con el temor de una delación a lasautoridades del gobierno de Vichy. Discretos, se-miocultos y protegidos vivieron los Mandelbroten tulle hasta 1943. Allí, en el liceo edmondPerrier, destacará en matemáticas y… en historia.

Asiduo visitante de la biblioteca pública y dela librería católica descubrirá en los libros viejosde matemáticas plagados de figuras y construc-ciones geométricas su capacidad para visualizarde forma geométrica problemas en aparienciaalejados de esta rama de las matemáticas. Comono podía ser de otra forma aprobó el examen debac, una especie de reválida que abre las puertasde la Universidad, con summa cun laude, siendo elprimero de la historia del liceo. el genio empiezaa aflorar.

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rueda de prensa en el icM

Admiración por Tiziano heredada de su padre

Me lo contó el propio Mandelbrot durante la rápida visita que hicimos al museo del Prado el segundo día de su estancia enMadrid al aconsejarle un itinerario rápido por los pintores estrellas del museo: Goya, Velázquez, el Greco, los maestros flamen-cos… Me dijo que ya tenía su selección hecha, que quería ver los cuadros de Tiziano, además de los de Goya. Y entre ellos noprestó demasiada atención a los más conocidos. Se centró en los retratos: en el fabuloso autorretrato de un Tiziano envejecido yen los retratos de carlos V con un perro, de Felipe ii y de Federico Gonzaga. el recuerdo de su padre y de su primera visita alLouvre con él seguía vivo sin duda.

Al finalizar su rueda de prensa le pregunté si tenía intención de asistir a alguna de las conferencias y ponencias de ese día enel congreso o prefería hacer una breve visita por Madrid. Para mi sorpresa, eligió esto último. dijo que quería hacer una visita

Au revoir les enfants(Louis Malle, 1987)

este es el título de una película de Louis Malleque narra las vivencias del director cuando eraadolescente en un internado dominico cerca deFontainebleau durante la Segunda Guerra Mun-dial. en el colegio un alumno judío intenta pasardesapercibido ante las autoridades colaboracio-nistas con los nazis. La películaobtuvo el León de oro del festivalde Venecia en 1987.

A finales de 1942, la ocupaciónalemana del sur de Francia y ladesaparición de su protector entulle van a complicar sobrema-nera la vida de la familia de refu-giados judíos en tulle. Y otra vez el olfato para elpeligro del padre de Benoît va a ser decisivo. De-cide en el otoño de 1943 que la familia ha de se-pararse para sobrevivir: los hijos adolescentes porun lado y los padres por otro. Quizás esta decisiónlibró a los cuatro de acabar en un campo de con-centración alemán.

Con documentación falsa, aparecían comonacidos en Bastia (Córcega). Léon y Benoît aca-baron de aprendices en una fábrica de herra-mientas en el Périgueux y dormían en un barra-cón dentro de la misma fábrica. A finales de1943, ante la persecución policial tras un atentadode la resistencia, deciden huir a Lyon, donde unprotector les permitirá estudiar y vivir como in-ternos en el Lycée du Parc. Allí pasaron unosmeses interminables sin apensas pisar las calles.toda precaución era poca.

el jefe alemán de Lyon se llamaba Klaus Bar-bie, famoso miembro de las SS y la Gestapo, queterminaría sus días en 1991 en la prisión de Lyontras ser juzgado y condenado en 1987. entre suscrímenes estaba la deportación a campos de con-centración de más de 7.000 personas, entre ellos44 niños judíos y la muerte de más de 4.000hombres y mujeres. La vida de los hermanosMandelbrot pendía de un hilo muy fino.

Como en la película de Malle,el director del liceo hizo la vistagorda con los papeles falsos y lasfalsas cartillas de razonamientode los dos hermanos. en el liceose encontró con otro alumno pro-veniente de tulle al que conocía,se presentó con su nombre falso

y su compañero le saludó como si se hubiese lla-mado así toda su vida. no le iba a delatar. Susnotas de secundaria también eran falsas: las habíarebajado de summa a magna cum laude como pre-caución. De hecho, al saber que venía de tulleun alumno le preguntó si conocía a Benoît Man-delbrot el genio que había sacado la mejor notaen el examen de bac. Por supuesto él afirmó quele conocía muy bien.

en el Lycée du Parc Mandelbrot preparó eltaupe, una serie de exámenes terroríficos parecidosa un curso selectivo que eran condición impres-cindible para poder acceder a las dos grandesécoles: la école normal y la école Polytechni-que, los dos centros de formación de las élitesfrancesas. Allí desarrolló definitivamente esa rarahabilidad de traducir cualquier problema mate-mático a términos geométricos, a visualizarlogeométricamente.

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Para su futuro él no queríauna ciencia formal, académicay cerrada; lo suyo serían lasfronteras de la ciencia.

rápida al Museo del Prado y que después podíamos dar una vuelta por el Madrid antiguo, comer algo y retornarle después alhotel. Así lo hicimos. Una rápida visita a algunas de las esculturas geométricas del Museo al aire libre de la castellana, media horao poco más en el Museo del Prado, una rápida excursión a pie por la Plaza Mayor de Madrid, la calle Mayor, la Plaza de la Villa yel Madrid de los Austrias.

Se mostró sorprendido por el nombre de uno de los restaurantes, el Museo del Jamón, cerca de la Plaza Mayor. ¿cómo un bar-restaurante podía llamarse «museo»? Para desvanecer sus dudas, la sed y el cansancio de los cuatro, (ese día el sol pegaba bien enMadrid), decidimos entrar a beber algo y a probar el jamón del «museo». el aperitivo se convirtió en una comida en toda reglahasta que el término «museo» quedó suficientemente justificado. imagino que la siesta posterior también, pues tras la comidapidió acompañarlos a su hotel donde dedicaría la tarde a descansar y a dar un último repaso a su conferencia del día siguiente.

tras el desembarco de normandía, el liceocerró a toda prisa en junio de 1944 y Benoîtacabó cuidando caballos de raza en el castillo delSr. de rivière, quien nunca sospecharía a quiénhabía cobijado.

Al acabar la guerra los cuatro miembros de lafamilia se volvieron a reunir en tulle. el plan desepararse había funcionado. Mu-chos de sus amigos y conocidosno tuvieron tanta suerte y desa-parecieron en el Holocausto.

école normaleo école Polytechnique

en septiembre de 1944, acabada la ocupaciónen Francia, Mandelbrot es uno de los afortunadosdoscientos aspirantes a las escasas veinte plazaspara acceder a la école normale y al mismotiempo uno de los dos mil para poder conseguiruna plaza en la école Polytechnique. Los exá-menes fueron casi simultáneos y se hicieron entrediciembre y enero. en el examen de matemáticasde la Polytechnique obtuvo un 19,75 sobre 20.¡La nota más alta! nunca nadie ha sacado un 20.Definitivamente era al número uno. ¡Podía in-gresar en cualquiera de los dos santuarios de laeducación superior francesa!

¿Cuál elegir? La école normale era la mejoropción para alguien que desease dedicarse a laciencia pura, aunque en matemáticas las primerasinfluencias de los bourbakistas empezaban a ha-cerse notar entre el profesorado. en la Polyte-

chnique se formaban las élites que acabarían di-rigiendo Francia. Su tío Szolem, miembro fun-dador del grupo Bourbaki no lo dudaba: la elec-ción era obvia, la normale.

Benoît le hizo caso… pero sólo duró allí undía. Bourbaki ya imperaba allí y la ciencia que sepodía aprender en la normale no era la que bus-

caba Benoît. Para su futuro él noquería una ciencia formal, acadé-mica y cerrada; lo suyo serían lasfronteras de la ciencia.

tuvo que esperar nueve meseshasta encontrar plaza en la Poly-technique, conocida coloquial-mente como «Carva» y que era

una institución de carácter militar. De hecho losalumnos vestían, dentro y fuera de su recinto,con un elegante uniforme militar; su lema nodeja lugar a dudas: «Pour la Patrie, les Scienceset la Gloire». Benoît era extranjero. en los diezaños siguientes fue el único alumno extranjero.Durante esos meses de espera comía frecuente-mente en el comedor de caridad de Belleville.

Sobrevivió entre los hijos de la élite francesagracias a una ayuda como alumno extranjero queperdió al obtener en 1946 la nacionalidad francesay, a partir de entonces, gracias a la solidaridad delos compañeros de la Carva, entre los que estabanfuturos personajes destacados de la política fran-cesa como el joven Giscard d´estaing. La historiade la geometría fractal le debe mucho a dos delos profesores de matemáticas de la Carva en esaépoca y que marcaron las ideas de Mandelbrot:Gaston Julia y Paul Lévy.

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Experto en Historia

La historia fue una de sus pasiones a lo largo de su vida. en la visita al Madrid de los Austrias me sorprendió su dominio de lahistoria de españa. Buscando una sombra al mediodía, huyendo del terrible sol madrileño de agosto, (Mandelbrot era especialmentesensible al sol y de hecho se paseó por Madrid sin rubor sujetando un pañuelo blanco de bolsillo cubriéndose la cabeza), me de-mostró sus conocimientos cuando en la Plaza de la Villa le comenté algo sobre la estatua de Álvaro de Bazán que preside el jardíncentral frente al antiguo ayuntamiento de la capital y de don Juan de Austria, el hijo bastardo de carlos V. Me destacó una seriede datos sobre el almirante de la batalla de Lepanto y sobre sus ideas sobre la invasión de inglaterra que me dejaron sorprendido.cuando le mostré el palacio-convento donde residió el conde-duque de olivares, el valido de Felipe iV, me comentó de forma la-pidaria: «uno de los más grandes estadistas europeos, una pena que le tocase vivir en la misma época que richelieu».

«Quería sentir la emoción deser el primero en encontrarcierto orden en algún áreareal, concreta y complejadonde todos los demás viesenun caos sin reglas»

Al licenciarse en 1947 surge otra difícil deci-sión de cara al futuro del joven Benoît. él no as-pira a ser un alto funcionario del estado, comomuy bien resume en su biografía:

Quería sentir la emoción de ser el primero en en-contrar cierto orden en algún área real, concreta ycompleja donde todos los demás viesen un caossin reglas.

esa emoción le llevó directamente a elegir lamecánica de fluidos como campo de investiga-ción. Y el mejor sitio para encontrar las matemá-ticas adecuadas para enfrentarse a temas de grancomplejidad era… el Caltech (California instituteof technology) en Los Ángeles, donde impartíaclases von Kármán. Allí, en uno de los centrosde vanguardia de las técnicas aeronáuticas pasódos años con una beca del Carva sin las clases dedinámica de fluidos de Kármán, que estaba deexcedencia en ¡París!, ni las de física de J. r. op-penheimer, uno de los padres de la bomba ató-mica, aunque pudo disfrutar de las excursionesen la historia de las matemáticas con eric templeBell y del nacimiento del estudio de las turbulen-cias y del análisis espectral o armónico. Los ci-mientos de la teoría del caos se estaban poniendoen Caltech, aunque aún nadie lo sabía.

tras dos años en Los Ángeles y al no encon-trar en Caltech a nadie con suficiente «calidad»científica para dirigirle la tesis doctoral (curiosa-mente pocos años más tarde Caltech produciríaun buen número de premios nobel), decide en1949 regresar a París, donde se llevaría una desa-gradable sorpresa. Su estancia en Carva, hechoque no solo eximía de la realización del servicio

militar, sino que equivalía a un grado de oficial,no le eximió de ello, ya que como alumno ex-tranjero no había realizado los seis meses de ins-trucción militar que sí hicieron sus compañerosfranceses. Y eso pese a que estuvo dos años pa-seando el uniforme militar de la Polytechniquepor las calles de París. Un extraño viaje, de Cal-tech al ejército del Aire francés, en una situaciónatípica y caótica por su situación administrativa.La agilidad de los militares con las situacionesburocráticas nuevas en todos los países no esmuy destacada.

Un doctorado «extraño»

Con 26 años y sin título de doctor que le abrieselas puertas de universidades e instituciones cien-tíficas para trabajar, decide hacer la tesis doctoralen la Universidad de París. Despreciando el temaque le sugiere su tío Szolem (la teoría de Julia-Fatou sobre dinámica cuadrática, que, curiosa-mente unas décadas más tarde, le abriría las puer-tas de par en par para el nacimiento del famosoconjunto de Mandelbrot) decide escribir una tesisen dos partes. La primera trataba de la distribu-ción universal de la ley de los rangos de las pala-bras, de George Kingsley zipf. Su título, Juegos de

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Sólo me extrañó que porfiase conmigo cuando le habléde los restos de la muralla árabe de la capital. Muy seriome dijo que Madrid no había sido nunca una ciudad mu-sulmana. Me costó trabajo, y no sé si lo conseguí, conven-cerle de que los restos que lo acreditan se podían ver aúntras la catedral de la Almudena y que incluso había un ma-temático musulmán, Maslama al Mayriti (el madrileño),astrónomo y matemático nacido en Madrid en el siglo X,en pleno califato de córdoba.

Benoit, Aliette y Antonio ante los Toros ibéricos deAlberto Sánchez

referirse a la comunicación y control de las má-quinas y autor de la teoría matemática del movi-miento browniano. Dos campos estos que serándeterminantes en la obra posterior de Mandel-brot. Allí conoció a Claude Shannon, uno de losimpulsores de la teoría de la información, y a unjoven norman Chomsky, el padre de la gramáticagenerativa y ya entonces activista radical opuestoa la política exterior norteamericana. Mandelbrotcomienza a explorar terrenos situados en las fron-teras de las ciencias, lejos de las ciencias puras yacadémicas. Y lo hace siempre de la mano depersonalidades que, como él, marcarán el desa-rrollo de nuevos campos científicos a lo largo dela segunda mitad del siglo XX.

Con John von newmann, el padre de la teoríade juegos, pasó en el iAS (instituto de estudiosAvanzados) de Princeton el año siguiente. Fuede hecho el último investigador postdoctoral devon newmann en Princeton.

en Princeton Mandelbrot oiría hablar porprimera vez de la dimensión de Hausdorff-Besi-covitch aplicada a los valores de un proceso deLévy. Las piedras iban dejando pistas en el ca-mino. Solo había que juntarlas todas para descu-brir el tesoro.

de vuelta en Francia

1955 será un año clave en su vida. Y no precisa-mente, que también, por poder disfrutar de unaserie de seminarios impartidos por su ídolo elmatemático Paul Lévy, que tanta influencia ten-drían en sus trabajos posteriores. ese año el cien-tífico viajero volverá a europa y podrá poner fina un largo noviazgo en la distancia que duraba

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comunicación, le abriría muchas puertas al otro ladodel Atlántico.

Mandelbrot descubrió que la constante dezipf, 1/10, no era tal, sino que de hecho podíamedir la «temperatura del discurso» y que refle-jaba la riqueza del vocabulario del texto. era dehecho una medida de la erudición de un autor.intuyó que aquella ley podía guardar un vínculoprofundo con la teoría de la información deShannon y, por tanto, con la dinámica estadística.Y eso sirvió para convertirle en un forofo de lasdistribuciones de ley de potencias. Poco podíaimaginar que por estas ideas pioneras, a principiosdel siglo XXi le acabarían llamando el «Keplerde las frecuencias de palabras» y «el padre de lascolas largas».

La segunda parte de la tesis era más clásica ytrataba sobre una avieja rama de la física: la ter-modinámica estadística generalizada. el presi-dente del tribunal fue el príncipe Louis de Broglie.

Mientras escribía su tesis, sus estudios en Cal-tech sobre análisis espectral le permitirán encontrarun trabajo en una empresa en alza y en un sectorde vanguardia: las primeras investigaciones sobrela televisión en color en la mismísima Philips.

La gira postdoctoral americana

el hecho de contar con un doctorado y ademássobre un tema poco ortodoxo le abrió las puertascomo invitado postdoctoral en las institucionescientíficas americanas de más renombre. Pasó1953 en el Laboratorio de investigación elec-trónica del Mit (instituto tecnológico de Mas-sachusetts), donde trabajó con norbert Wiener,el padre y creador del término «cibernética» para

La fórmula de Zipf-Mandelbrot sobre la distribución de la frecuencia de las palabras

escoja un texto cualquiera (este por ejemplo) y cuente las veces que aparece cada palabra. A la más repetida le damos rango 1, ala segunda rango 2 y así sucesivamente. Por último, lleve a un gráfico la frecuencia de cada palabra frente a su rango. Surge unpatrón extraño y difícil de interpretar. La curva no decrece gradualmente desde la palabra más común a la menos común. Alprincipio la curva desciende de manera vertiginosa, después de modo más gradual, continuando en una cola larga que decae congran lentitud.

en virtud de la definición misma de rango, la frecuencia es inversamente proporcional a aquel. zipf sostenía algo mucho máscontundente:

desde 1950. el 5 de noviembre, Aliette Kagan,una joven polaca que también llegó a Francia en1939 huyendo de la persecución a los judíos y ala que curiosamente había conocido en 1950 gra-cias a... ¡un compañero de Caltech! del que Alietteera pariente, se convertirá en su esposa.

Unos meses antes de la boda la vida de Man-delbrot va a tomar un giro inesperado. el propioJean Piaget, profesor en Ginebra, vino a Paríspara proponerle integrarse en su equipo paracrear el Centro de epistemología Genética, uncentro interdisciplinario bajo los auspicios de laFundación rockefeller. Buscaba un matemáticoy las ideas de su tesis en lingüística le llevaronhasta Mandelbrot.

Por fin un hogar estable. Mandelbrot y Aliettepasarán dos de los mejores años de sus vidas enuna vieja casona solariega rodeada de un inmensojardín a las afueras de Ginebra, La Boverie. Comorecordaban los dos con nostalgia, allí pasarondos años de luna de miel y allí nació su primerhijo: Laurent.

en 1957 consigue su seguro de estabilidad la-boral al obtener una plaza de profesor en la uni-

versidad de Lille, a 200 km de París, compatibili-zándola con otra de profesor de análisis matemáticoen la école Polytechnique. Pero esto no iba a col-mar el ansia de aventuras intelectuales de un espírituinquieto. Y en 1958, en lo que en principio iba aser un trabajo de verano en el departamento de in-vestigación de iBM, se convertiría en un trabajode 35 años y en el inicio de la etapa más creadoray fructífera de un espíritu revolucionario en elmundo científico. tiene 33 años. el 20 de juniomarcará un punto de inflexión en su vida.

La década de los 60 en iBM, Harvard,el MiT y Yale: tras la «irregularidad»

Sí, Mandelbrot estaría vinculado a la multinacio-nal de la informática desde junio de 1958 hastasu jubilación en 1993, y aún después. todo graciasa las palabras (premonitorias) y los hechos conlos que le recibió, junto a otros jóvenes investi-gadores, el primer director de investigación deiBM emanuel Piore:

Quizás, algunos de ustedes, están enganchados ala investigación científica pura. estupendo. exce-lente. La investigación les puede ofrecer un sinfínde tareas emocionantes y bien recompensadas.Puede incluso que alguno de ustedes sueñe conconvertirse en un gran científico. ¡Maravilloso! Po-demos permitirnos el lujo de unos cuantos científi-cos que se dediquen a lo suyo.

Y vaya si Mandelbrot lo hizo. Cuando en 1962iBM le concede la distinción de IBM Fellow lebrindó la oportunidad de divagar, de explorarnuevos campos, de explorar nuevas fronteras delas ciencias existentes o de abrir las puertas deuna nueva ciencia: la ciencia de la irregularidad.Al mismo tiempo le facilitó la participación enseminarios y estancias en Harvard y en Yale yotros centros pioneros en distintos campos, com-patibilizando ese tiempo con las tareas de asesoríapara la empresa. en esta época el departamentode investigación de iBM creó el primer lenguajede programación de alto nivel, el famoso For-trAn y cobijó hasta cinco futuros premios no-bel. Pero iBM no comercializaba impresoras. esepequeño detalle retrasaría hasta principio de lossesenta sus gráficos de costas y paisajes aleatorios.

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«¡La frecuencia de una palabra está en torno a unadécima parte del inverso de su rango!»

es decir, que el producto del rango por la frecuenciaes aproximadamente 1/10.

Si cambiamos de escala y tomamos los logaritmos delrango y de la frecuencia los datos se distribuyen en tornoa una línea recta de pendiente –1.

el conjunto de Mandelbrot mediante fichas perforadas

Un trabajo de investigación sobre la variaciónde los precios especulativos y la distribución dela riqueza le abrirá las puertas de la universidadde Harvard en Cambridge de donde recibió la in-vitación para dar clases de…¡economía! La puertapara el estudio en profundidad de la variación delos precios del algodón estaba abierta y con ellala de la teoría del caos y de la geometría fractal.La fluctuación casi idéntica de los gráficos de losprecios al cambiar el periodo de tiempo, semanas,meses o años era el catalizador de la idea de auto-semejanza. Las variaciones no se ajustaban a lacurva normal de Gauss, seguía un patrón fractal.Las finanzas son fractales. La crisis de 2008 levino a dar la razón de forma dramática. Pero loseconomistas de la época no le hicieron muchocaso. incluso le miraron como un intruso. nodebe uno adelantarse al futuro. este trabajo, juntoa la idea de su tesis sobre la frecuencia de las pa-labras le llevarían, según él mismo, al descubri-miento de la geometría fractal de la irregularidad.

en la década de 1960 las inquietudes científi-cas de Mandelbrot se van a diversificar por loscampos más diversos: las turbulencias en hidro-logía, la distribución de galaxias y cúmulos ga-lácticos en astronomía, la distribución de erroresen las conexiones telefónicas entre ordenadoresen informática o los precios financieros en eco-nomía. Y tras todos ellos una constante: la es-tructura fractal de la irregularidad. iBM, las uni-versidades de Chicago y el Mit serán susescenarios hasta que en 1970 aterriza en Yale,siempre con el colchón de iBM detrás.

¿cuánto mide la costa de Bretaña?

Las ideas estaban dispersas en cientos de artícu-los, cursos y conferencias. Pero hacía falta reu-nirlas y darlas a conocer a toda la comunidadcientífica. Así nació en 1975 la palabra «fractal»dando título al libro que daba origen a la Geo-metría fractal: Los objetos fractales.

— Pero ¿qué tipo de libro es? ¿Para quién lo hasescrito?- Le recriminó su tío Szolem.

— no lo sé, respondí, pero espero que cree sus pro-pios lectores, y puede que hasta sean muchos.

Desde entonces es uno de los libros de mate-máticas más vendido en todos los idiomas, aun-que superado con creces por el que en un primermomento iba a ser la tercera versión ampliada yque al final se convirtió en un clásico de la litera-tura científica del siglo XX: La geometría fractalde la naturaleza.

Por qué a menudo se describe la geometría comoalgo «frío» y «árido»? Sí, es incapaz de describir laforma de una nube, una montaña, una costa o unárbol, porque ni las nubes son esféricas, ni las mon-tañas cónicas, ni las costas circulares, ni el troncode un árbol cilíndrico, ni un rayo rectilíneo (…). Laexistencia de esas formas representa un desafío (…). en respuesta a ese desafío concebí y desarrolléuna nueva geometría de la naturaleza.

Julio de 1982. Había nacido, oficialmente, lageometría fractal y Benoît Mandelbrot nos la pre-sentaba orgulloso como un padre presenta ensociedad a su primogénito. el libro generó unaformidable ola de interés en los ambientes más

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El conjunto de Mandelbrot

«el proceso fue una transmutación, paso por paso, que comenzó con borrones de tinta desprovistos casi de sentido que se trans-formaron primero en observaciones toscas, después en otras más precisas y finalmente en conjeturas matemáticas plenamenteformuladas. Las imágenes resultantes eran asombrosas» (Mandelbrot).

Harvard 1980. el prodigioso conjunto de Mandelbrot, el objeto más complejo de las matemáticas, veía la luz por primeravez. en sus propias palabras: «su mejor y más conocida contribución al conocimiento».

el conjunto de Mandelbrot está formado por los puntos c del plano complejo construidos a partir de la iteración:

Si la iteración está acotada, el punto c pertenece al conjunto; y en caso contrario, es exterior al mismo. La frontera de esteconjunto, el fractal más popular, es uno de los espectáculos más gloriosos de las matemáticas.

=

= +

+

zz z c0n n

01 2

dispares y un reconocimiento internacional inau-dito: Medalla Barnard (1985), Medalla Franklin(1986), Medalla Steinmetz (1988), Premio Harveyen israel (1989), Premio Wolf de Física (1993),Medalla Vermeil de la Villa de París (1995), Pre-mio de Japón para la Ciencia y latecnología de la Complejidad(2003), Medalla Sierpinki en Var-sovia (2005)…

Premios acompañados de in-vitaciones para impartir conferen-cias sobre fractales en todo elmundo, incluido el iCM de Ma-drid.

Los últimos años de su vida activa, desde1987 hasta 2004, simultaneó su puesto como Fe-llow Emeritus en iBM, donde siempre conservósu despacho, con su cátedra de Ciencias mate-máticas en la universidad de Yale. Primero, comoadjunto; y desde 1999, ocupando la cátedra Ster-ling. Su sueño académico hecho al fin realidad,aunque un poco tarde, a los 75 años.

Mandelbrot frente a «Mandelbrot»

Aunque en el iFeMA había una copia de la ex-posición Arte fractal: belleza y matemáticas, que vi-sitamos de forma rápida la mañana del viernes,

yo no quería dejar pasar la ocasión de mostrarlelas tres exposiciones matemáticas montadas enel Centro Cultural Conde-Duque, en especial lade Arte fractal y darle el catálogo que llevaba suintroducción en inglés y en castellano. Se mostró

encantado, tanto por el entornodonde estaba montada (un anti-guo cuartel militar de la guarni-ción de Madrid convertido encentro cultural por el ayunta-miento) como, sobre todo, por lagran calidad de cuadros presen-tados al concurso. Me confesóque el título le recordaba al de la

primera exposición sobre arte fractal que hacíamás de 30 años, en 1985, había montado la uni-versidad de Bremen y que después daría la vueltaal mundo llegando a ocupar una de las portadasde Scientific American. Se titulaba Beauty of Frac-tals.

Su sorpresa fue grande y su satisfacción tam-bién, como delataba su casi pícara sonrisa, al to-parse al entrar a la sala con un enorme retratosuyo realizado como un collage con las más de350 obras que se habían presentado al concurso.

La cara de sorpresa de los guías de la exposi-ción, estudiantes de último curos de matemáticasde la universidad complutense, y de los numero-sos visitantes constituye uno de los momentos

MAndeLBroT: TreS díAS en MAdrid con eL PAdre de LA GeoMeTríA FrAcTAL

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representación gráfica del conjunto de Mandelbrot

«Los fractales están aquí desdesiempre y ahora tienen unhogar»

más gratificantes de mi trabajo como comisariode las exposiciones. Saludó y estrechó la manode todos cuantos se acercaron a saludarle. Meconfesó que la calidad de las obras expuestas su-peraba con mucho la de la exposición de Bremen.Desde luego, los medios informáticos, tanto losordenadores y las impresoras, como los progra-mas no eran los mismos que en 1985. Conservoel mural de la exposición con el retrato de Man-delbrot en mi casa.

Durante la visita comenté que yo había hechoy presentado diez años antes un documental parala televisión pública española sobre la geometríafractal titulado Fractales: la geometría del caos dentrode una serie de documentales de matemáticas. Yunos años más tarde otro sobre la teoría del

Caos, titulado Orden en el caos: la búsqueda de unsueño. Se mostró gratamente sorprendido tantode mi faceta como «actor» como de la emisiónen una televisión pública de documentales defractales. La realizadora de ambos documentales,Ana Martínez de tVe, asistió entusiasmada a laconferencia del día siguiente.

27 de agosto. conferencia en el icM

ese domingo fui a recoger al hotel a Mandelbroty a Aliette. Su conferencia plenaria, impartida enel imponente salón de actos del palacio de con-gresos con capacidad para más de mil personasempezaba a las 12 y queríamos estar mucho antes,pues él sabía de la expectación que había susci-tado. Y efectivamente, el hall estaba en ebullición:cientos de jóvenes y no tan jóvenes matemáticosde todo el mundo se disputaban el honor de ha-ber saludado en persona al padre de los fractales.el salón estaba repleto. Le ofrecí a Aliette unasiento en la primera fila de butacas. Muy discretalo rechazó argumentando que prefería sentarseal final para ver las reacciones del público. Su sa-ber estar, su inteligencia y su encantadora dis-creción me impactaron desde el primer día. Allíse quedó con Aurora hasta que terminó la con-ferencia y los múltiples saludos posteriores.

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La conferencia de Princeton

Mandelbrot había sido invitado por el mismísimo J. robert oppenheimer, al que había conocido en un viaje en tren entrePrinceton y nueva York, y en el que «oppie» se interesó por su tesis y le propuso dar una de las charlas vespertinas que organizabapara un público no especialista, para «historiadores y damas», decía gráficamente.

Mandelbrot reconocía riéndose que fue una de las peores conferencias de su vida. Pensando en un público inexperto preparóuna charla informal, sin fórmulas ni tecnicismos. Pero mientras ultimaba sus papeles antes de la conferencia, empezaron a llenarla sala los santones del iAS, encabezados por von newmann, opennheimer y neugebauer, entre otros. Sudando a lo largo de laconferencia al ver cómo algunos asistentes daban alguna cabezada, lo peor llegó al final cuando neugebauer (una especie deSheldon cooper de la época) le espetó: «¡Protesto enérgicamente! es la peor conferencia que he oído en mi vida. Lo que hemosescuchado no tiene ningún sentido».

Por suerte para el anonadado Benoît, salieron en su defensa el propio opennheimer, que hizo una brillante exposición de lasideas de su tesis que Mandelbrot ya le había expuesto en el tren. Tras él, von newmann, que era su jefe, amplió las ideas que op-penheimer había omitido. con dos valedores de ese calibre nadie osaría poner en duda la valía del joven investigador. Hasta neu-gebauer se disculpó al día siguiente.

Al interesarme por sus actuales investigaciones en Yale, de forma críptica y breve me dijo que su último tema de investigacióngiraba en torna a algo que él llamaba «la dimensión negativa». no profundizó más. ni yo me atreví a volver a intentarlo.

Antonio Pérez y Mandelbrot junto a «Mandelbrot»

Pregunté a Mandelbrot si prefería dar la con-ferencia sentado ante la mesa del escenario o depie en el atril. era una hora de exposición y se lenotaba cansado de unos días intensos. Me dijo,muy digno, que por supuesto lo haría en pie anteel atril. tras un breve presentación, ¿quién noconocía a Mandelbrot?, le brindé mi brazo parasubir las escasas escaleras hasta el escenario. Yallí, con pose de héroe griego y una potente voznos deleitó a los más de mil matemáticos detodos los continentes. el título, no podía ser otro:La naturaleza de la rugosidad en las matemáticas, laciencia y el arte.

«Los fractales están aquí desde siempre yahora tienen un hogar» fue un precioso resumen

con una gran componente autobiográfica del na-cimiento, desarrollo y aplicación de una nuevarama de las matemáticas.

Mandelbrot había conseguido por fin cumplirsu sueño perseguido desde su juventud y confe-sado algunas veces: inscribir su nombre en lahistoria de la ciencia.

estrecharle la mano por última vez en nuestradespedida fue una experiencia extraña, un acon-tecimiento irrepetible. Fue estrechar la mano deuna leyenda de las matemáticas, de un genio.todo el trabajo del mes de agosto en Madrid ha-bía merecido la pena.

Sabía que no le volvería a ver. Falleció víctimade un cáncer de páncreas, en Cambridge, Massa-chusetts cuatro años después: el 14 de octubrede 2010. tenía 85 años, dos hijos y tres nietos.

referencias bibliográficas

MAnDeLBrot, B. (2014), El fractalista. Memorias de uncientífico inconformista, tusquets, Barcelona.

MAnDeLBrot, B. Y HUDSon, r.L. (2006), Fractales yfinanzas, tusquets, Barcelona

MAnDeLBrot, B. (1997), La geometría fractal de la natu-raleza, tusquets, Barcelona.

MAnDeLBrot, B. (1987), Los objetos fractales, tusquets,Barcelona.

Pérez SAnz, A. (2011), Más por menos., libro y DVD,espasa-tVe.

VV.AA. (2006), Arte fractal: belleza y matemáticas, catá-logo de la exposición, iCM-2006 y FeCYt.

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Mandelbrot durante su conferencia en el icM

AnTonio Pérez SAnz

SMPM «Emma Castelnuovo»<tercermilenio@revistasuma.es>