5/10/2018 Fractales Mandelbrot y Julia - slidepdf.com

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FRACTALES 

CONJUNTO DE JULIA

Los conjuntos de Julia surgen como resultado de la aplicación reiterada de funciones holomorfas, inventados por el

matemático Gaston Julia es una familia de conjuntos fractales parametrizados por un complejo c así:

Para todo complejo z se construye la sucesión por inducción: 

Si esta sucesión queda acotada, entonces se decide que z pertenece al conjunto de Julia de parametro c , donde

z(n) representa el valor del complejo z en el n-ésimo cálculo y c representa un número cualquiera. Para casi

cualquier valor de c se puede definir un fractal de esta familia. Dos excepciones a esta regla son c=0 y c=-2, que no

generan un fractal. Estos son algunos ejemplos de la familia cuadrática para distintos valores de c: 

Al conjunto de valores de que no escapan al infinito mediante esta operación se le denomina conjunto de

Julia relleno, y a su frontera, simplemente conjunto de Julia.

Estos conjuntos se representan mediante un algoritmo de tiempo de escape, en que cada pixel se colorea según el

número de iteraciones necesarias para escapar. Suele usarse un color especial, a menudo el negro, para

representar los puntos que no han escapado tras un número grande y prefijado de iteraciones.

Cuando el valor de c se hace muy pequeño (mucho menor que uno) el conjunto de Julia se hace no computable.

Este es el caso del fractal de Mandelbrot.

FRACTALES MANDELBROT

Mandelbrot sostiene que los fractales, en muchos aspectos, son más naturales, y por tanto mejor comprendidos

intuitivamente por el hombre, que los objetos basados en la geometría euclidiana, que han sido suavizados

artificialmente.

El llamado conjunto de Mandelbrot es el más conocido de los conjuntos fractales, y el más estudiado y ha sido

denominado por muchos "La huella digital de Dios".

c = -2 c = -1 c = 0 c =1 c = 2 c = 3

Nombre: Hilda Sisalima. Código: 4463 Grupo: 1

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Es una figura geométrica de complejidad infinita obtenida a partir de una fórmula matemática y un pequeño

algoritmo recursivo. Una de las características más espectaculares de estos fractales, es que son no derivables

en todos sus puntos.

El fractal de Mandelbrot es la visualización de un objeto matemático. Se trata en realidad de una matriz de

números, donde el valor de cada cifra es representada por un color. Cada punto de la imagen es un número

calculado por computadora según la ecuación muy simple:

 

Zn+1 = Zn

2

+ C

Un fractal de Mandelbrot de orden n, se calcula operando sobre una ecuación de números complejos (la ecuación

de Mandelbrot

Estos son algunos ejemplos de fractales de Mandelbrot:

La ecuacion de Mandelbrot 

Tomando un número complejo z = x + yi y otro complejo c = a + bi tal que c pertenece al conjunto de Mandelbrot

C, la ecuación de Mandelbrot se define como:

Zn+1 = Zn2

+ C Es decir, para conseguir el valor de z en la iteración n+1 el complejo z en la iteración n se eleva al cuadrado y se le

suma el complejo c. Como se ha visto anteriormente, esta es la ecuación de los fractales correspondientes a los

conjuntos de Julia de la familia cuadrática.

Viendo este proceso con los complejos descompuestos en sus partes reales e imaginarias respectivamente se

tiene:

( x + yi ) -> ( x + yi )^2 + a + bi = x^2 + 2xyi - y^2 + a + bi

Separando partes reales e imaginarias se comprueba que la parte real de z (es decir, x) pasa a ser

x(n+1) = x(n)^2 – y(n)^2 + a

y la parte imaginaria de z (es decir, y) pasa a ser

y(n+1) = 2*x(n)*y(n) + b

FRACTALES Fractal Mandelbrot Zoom1 Zoom2 Imagen Fractal

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