Los libros de ´algebra escritos por colombianos en el ...

Los libros de algebra escritos por colombianos en el siglo XIX

Deisy Yanira Camargo Galvis

30 de Mayo de 2008

Los libros de algebra escritos por colombianos en el siglo

XIX

Deisy Yanira Camargo Galvis

Trabajo de Tesis presentado a la Maestrıa en Historia como requisito

parcial de grado para optar al tıtulo de

Magister en Historia

Director

Profesor Dr. Vıctor Samuel Albis Gonzalez

Universidad de los Andes

Maestrıa en Historia

Bogota

Agradecimientos

Agradezco enormemente la colaboracion de la profesora Margarita Garrido y la del

profesor Sergio Mejıa que en su momento me escucharon y resolvieron todas mis dudas

alrededor de esta tesis. Pero sobre todo quiero agradecer al profesor Vıctor Albis quien no

solo fue el director de esta tesis sino en muchos momentos la persona que mas creyo en

este proyecto de investigacion. La colaboracion que el me presto como asesor y en muchas

ocasiones como companero de investigacion es invaluable.

Indice

Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1. La ensenanza de las matematicas y en particular del algebra

anterior al Colegio Militar (1762-1845) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1. La ensenanza de las matematicas en el periodo colonial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.1. Los manuales de ensenanza de las matematicas utilizados en

este periodo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.2. Las matematicas en los cursos de filosofıa: la reforma educativa

de Francisco de Paula Santander. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .18

1.3. Las matematicas para las carreras en ciencias: La reforma

educativa de Mariano Ospina Rodrıguez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3.1. Los textos utilizados en este periodo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2. El Colejio Militar y la publicacion del primer texto de

algebra colombiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.1. La ensenanza de las matematicas desde el flanco militar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

2.2. El Colegio Militar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.3. El texto de algebra de Lino de Pombo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2.3.1. El contenido de las Lecciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3. Analisis de los otros manuales de ensenanza del algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1. La ensenanza de las matematicas entre 1845 y 1860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.1.1. Las reformas de medio siglo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.2. La reforma de los radicales y la creacion de la Universidad Nacional . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

3.3. Los textos de algebra escritos por colombianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3.1. El tratado de algebra de Indalecio Lievano. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3.2. El catecismo de algebra de Dionisio H. Araujo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.3.3. El texto de algebra elemental de Suarez . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

3.3.4. El tratado elemental de algebra de Rafael Celedon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

3.3.5. Los textos de algebra de Manuel Antonio Rueda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

3.3.6. Compendio de algebra para los jovenes de los seminarios. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .70

Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

Bibliografıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

Anexo 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

Anexo 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

IntroduccionEste trabajo forma parte del programa de investigaciones en la historia de las mate-

maticas en Colombia, iniciado en 1974 y dirigido por el profesor Vıctor S. Albis1 y en el

cual han contribuido, en una u otra forma y en diversos momentos, los profesores Luis

C. Arboleda, Regino Martınez–Chavanz, Luis Moreno Armella, Clara H. Sanchez y Luis I.

Soriano Lleras (q.e.p.d). Uno de los temas de este programa es la recuperacion, conservacion

y analisis de los textos (manuscritos, artıculos y libros) escritos en Colombia por naturales

y extranjeros, a lo largo de su historia.

En este estudio nos ocuparemos de los textos de algebra destinados esencialmente a la

ensenanza secundaria y universitaria, publicados en Colombia en el siglo XIX. Este periodo,

deja por fuera las notas policopiadas de Delio Cifuentes Porras, publicadas entre 1911 y

19122, las cuales continuan los temas fundamentales que, con marcada influencia europea,

Lino de Pombo, Indalecio Lievano y Manuel Antonio Rueda desarrollaron en sus textos

(analizados aquı), temas que tambien formaron parte de los currıculos de la Universidad

Nacional y de los “colleges” norteamericanos hasta adentrado el siglo XX. Estos cuatro

textos contienen lo que aquı se conocio como algebra superior3, mientras que los cinco

restantes corresponden, por contraposicion, al algebra elemental, destinada a la ensenanza

de lo que hoy llamamos en Colombia bachillerato.

Los trabajos publicados hasta ahora relacionados con la historia del algebra en Colom-

bia, hasta donde alcanza nuestro conocimiento, son los siguientes:

1. De caracter general y bibliografico

a) Jazmın Abu-Abara Perez, Ivan Bermudez Aya & Urbano Ferreira

Pradilla, Historia de la educacion matematica en Colombia durante el periodo

de 1820 a 1886. Trabajo de Grado, Universidad Nacional de Colombia, 1981.

b) Hilda Marina Boada Ortiz & Marıa Aracely Garcıa Rodrıguez,

Historia de la educacion matematica en Colombia durante el periodo de 1886 a

1954. Trabajo de Grado, Universidad Nacional de Colombia, 1983.

c) Vıctor S. Albis & Clara H. Sanchez, The Bibliographia Mathematica

Colombiana: Database Preservation of the Colombian Mathematical Heritage.

Congreso Internacional de Historia y Filosofıa de la Ciencia, Beijing (2006).

1Vease: Vıctor S. Albis, “Un programa de investigacion en la historia de la matematica de un paıs

latinoamericano”, Quipu: Revista Latinoamericana de Historia de las Ciencias y la Tecnologıa No. 1 (1984):

391-400.2Delio Cifuentes Porras, Lecciones de algebra superior (Bogota: Lazcano Tovar & Piedrahita,

1912) primera parte. La segunda parte fue publicada en 1911.3En el ambito anglosajon, la teorıa de ecuaciones se llamaba tambien “Higher Algebra”.

4

2. De caracter monografico

a) Vıctor S. Albis & Luis I. Soriano Lleras, “The work of Indalecio Lievano

on the foundations of the real numbers system”. Historia Mathematica Vol. 3

(1976): 161-166.

b) Gabriela Arbelaez, “Las nociones de infinito y continuo en la obra del

matematico Indalecio Lievano Reyes (1834–1913)”, Formacion de la cultura

cientıfica en Colombia: ensayos sobre matematicas y fısica, eds. Luis Carlos

Arboleda & Michel Paty, Cali: Instituto de educacion y pedagogıa, 2004.

c) Deisy Camargo, Dilucidaciones alrededor del trabajo de Pedro Jose Sosa sobre

el calculo de los cuaternios en 1890. Trabajo de Grado, Universidad Nacional,

2005.

d) Vıctor S. Albis & Deisy Camargo, “Pedro Jose Sosa. Un gran ingeniero

matematico”, Revista de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas Fısicas

y Naturales, Vol: 29, No. 113, (2005): 525-534.

e) Deisy Camargo “Pedro Jose Sosa y su contribucion a la matematica y la

ingenierıa colombiana”, Lecturas Matematicas, Vol. Especial (2006) 333-346.

f ) Clara H. Sanchez, Los ingenieros matematicos colombianos del siglo XIX y

comienzos del XX. Bogota: Universidad Nacional de Colombia, 2007.

Los trabajos a) y b), del primer numeral, inclinados a la parte pedagogica, tienen un

pobre manejo documental, aunque contienen informacion aparentemente valiosa, difıcil de

verificar precisamente por el manejo descuidado de las fuentes y solo tocan tangencialmente

el tema del algebra. El c) describe la gran base de informacion bibliografica de la produc-

cion matematica colombiana, donde aparece, por supuesto, todavıa de manera parcial la

informacion bibliografica comentada de lo escrito por los colombianos sobre algebra, hasta

el dıa de hoy.

Los trabajos a) y b) del segundo numeral, se refieren al trabajo de Indalecio Lievano

sobre la teorıa de los numeros inconmensurables, base del analisis y el algebra modernos.

De hecho, Lievano usa esta teorıa para desarrollar en su texto de algebra la identidad

de las expresiones algebraicas enteras o polinomios. Los trabajos c), d) y e) examinan el

trabajo del neogranadino Pedro Jose Sosa, nacido en Panama, sobre la teorıa algebraica

de los cuaternios de Hamilton, que en su epoca era uno de los temas de investigacion de

“punta”. Por ultimo, en el trabajo f) se analizan las tesis presentadas por los estudiantes

de ingenierıa para optar por el tıtulo de Profesor de matematicas a finales del siglo XIX,

en particular las que tienen temas algebraicos.

5

Lo anterior nos muestra, que hasta el momento, los trabajos publicados sobre historia

del algebra en Colombia son muy pocos. Casi todos ellos apuntan a dar cuenta de eventos

puntuales de esta historia. Por esta razon y para anadir un nuevo capıtulo, que creemos

significativo, esta tesis tiene como objetivo el analisis de los textos de algebra publicados

en el paıs en el siglo XIX, enmarcado en las vicisitudes generales de la ensenanza de las

matematicas y la reglamentacion de la instruccion publica.

La preocupacion por ensenar bien y al alcance de un publico lo mas amplio posible el

lenguaje del algebra y su manejo, es una constante en todos los textos analizados, sea por

sus eventuales aplicaciones a las otras ciencias o tecnicas, o por la ciencia misma (como

es el caso de Lievano). Consideramos que esta preocupacion es una incursion involuntaria

en la epistemologıa de las matematicas en cuanto valida su ensenanza y conocimiento a

traves de textos escritos por ingenieros.

Ademas del analisis de los textos, intentamos aquı reconstruir sucintamente, apoyados

en documentos oficiales y privados, las vicisitudes de la ensenanza universitaria en el paıs

relativa a las ciencias, con el fin de ambientar nuestras argumentaciones. En esta cuestion

los libros de Guillermo Hernandez de Alba se nos hicieron invaluables, especialmente en el

capıtulo 1.

Por otro lado cuando se tiene una sucesion de libros como estos en el tiempo, publicados

en el particular ambiente academico de la Nueva Granada es natural preguntarse por las

similitudes o intersecciones entre ellos, por sus niveles de exposicion y, como ya lo hemos

senalado, por el publico al que van dirigidos. Preguntas que son atendidas a lo largo de

este trabajo.

En el primer capıtulo veremos que en la Colonia la ensenanza del algebra era validada

como algo necesario para entender la filosofıa natural. Tambien veremos que a pesar del

caracter opcional de la ensenanza del algebra en los colegios esta estuvo viva como es

posible determinarlo en los carteles de la primera mitad del siglo XIX. Solo en la reforma

educativa de Mariano Ospina Rodrıguez aparece como obligatoria su ensenanza en los

colegios y universidades, aunque ya formaba parte de la educacion de ingenieros militares

como lo indicamos en el capıtulo 2.

Esta instruccion a los militares continuo, por lo menos, hasta 1836, cuando se celebro un

certamen en algebra y geometrıa de la “Clase de matematicas de instruccion militar”, bajo

la direccion de Blas Bruzual, un venezolano exiliado en Colombia, y exalumno de Juan

Manuel Cajigal en la Academia de Matematicas de Caracas. Cabe anotar que un proyecto

detallado de una Academia o Escuela de matematicas, para la Universidad Central de

Venezuela, fue enviado por Cajigal en 1829 al gobierno central en Bogota4 cuyo contenido

4Rafael Fernandez Heres, “La unidad del saber como base del proyecto cientıfico–educativo de

6

en matematicas es semejante al que aparece en el plan de la Facultad de Ciencias presen-

tado en 1842 por Ospina Rodrıguez. Existen pues aparentes coincidencias curriculares y

epistemologicas entre los proyectos de Pombo y Cajigal, que quiza ameriten posteriormente

un estudio comparativo.

En el capıtulo 2 recreamos las condiciones de formacion y puesta en funcionamiento del

Colegio Militar y la importancia de Lino de Pombo en sus actividades, para adentrarnos

luego en el analisis del texto de algebra de este personaje.

Finalmente, en el capıtulo 3, analizamos las reformas educativas del periodo compren-

dido entre 1845–1888, y su incidencia en la ensenanza de las ciencias, en particular de

las matematicas. En este ambito estudiamos los textos de Indalecio Lievano, Manuel A.

Suarez, Rafael Celedon, Manuel Antonio Rueda y Anıbal Brito, Manuel Antonio Rueda y

J. M. Ch.

Juan Manuel Cajigal”, Boletın de la Academia de Ciencias Fısicas, Matematicas y Naturales Vol: LXIII,

No. 3–4 (2003) p. 12.

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Capıtulo 1.

La ensenanza de las matematicas y en particular delalgebra anterior al Colegio Militar (1762-1845)

Una de las primeras preguntas que surgio cuando comenzamos a estudiar estos libros

fue ¿por que no se habıan publicado antes, en Colombia, libros de ensenanza del algebra?

Y para responderla vamos a analizar el desarrollo de la ensenanza de las matematicas,

y en particular del algebra, anterior a la publicacion de los textos de algebra, es decir

la ensenanza de las matematicas anterior a 1858. Este analisis nos permitira, ademas,

conocer la legislacion educativa que intervino la ensenanza de las matematicas; conocer la

formacion educativa de Lino de Pombo, el primero de nuestros autores y subrayar la serie

maestro–alumno que se genero a lo largo del siglo XIX, en el sistema educativo colombiano.

En este capıtulo vamos, pues, a desarrollar el devenir de la ensenanza de las matemati-

cas desde las catedras opcionales en el periodo colonial tardıo hasta la creacion del Colegio

Militar en 1848. Somos conscientes que es un periodo muy largo el que vamos a analizar

a lo largo de este trabajo, pero consideramos que los cambios profundos que se dieron

en la sociedad Granadina con respecto a la matematica solo son explicables enmarcados

en un periodo de largo aliento. Adoptar esta temporalidad nos permita ver las multiples

respuestas, cambios y adaptaciones del sistema educativo con respecto a las matematicas y

facilitara el entendimiento de estos textos como respuestas a particularidades del desarrollo

de nuestro sistema educativo.

1.1. La ensenanza de las matematicas en el periodo colonial

A mediados del siglo XVII en la Nueva Granada se fundaron los colegios mayores

de Nuestra Senora del Rosario y el Seminario Colegio Mayor San Bartolome, que junto

con la Universidad Tomıstica representaban las instituciones de educacion superior de

Santafe5. En estas instituciones funcionaron las facultades de filosofıa, derecho y teologıa,

y posteriormente la de medicina, en concordancia con el escolasticismo europeo.

Esta educacion superior cuyo objetivo sobrepasaba la ensenanza de la lectura, escritura

y los rudimentos aritmeticos6, temas que se aprendıan con los padres o maestros particu-

5Renan Silva, Los ilustrados de Nueva Granada 1760–1808: genealogıa de una comunidad de inter-

pretacion (Medellın: Universidad EAFIT, 2002), p. 33.6Con rudimentos aritmeticos me refiero a: contar, las cuatro operaciones aritmeticas: sumar, restar,

multiplicar y dividir; la utilizacion de fracciones o quebrados, de porcentajes y de la regla de tres, tanto

simple como compuesta.

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lares en casa7, estuvo dominada por las ordenes religiosas, especialmente dominicos, jesuitas

y franciscanos, y tuvo lugar dentro de los colegios mayores, lo que impidio por muchos anos

la apropiacion de la ciencia que habıa crecido fuera del escolasticismo y en particular de

la matematica entendida como instrumento para el aprendizaje de la “filosofıa natural”8.

Aunque la fısica era parte del trienio filosofico y constituıa generalmente el segundo

curso desde el siglo XVII, lo que nos puede llevar a pensar en un estudio soterrado de las

matematicas en este periodo, el estudio de Regino Martınez–Chavanz9 y el de Ana Celina

Lertora10 nos muestran que el modelo aristotelico–escolastico se mantuvo como comun

denominador, incluso hasta mediados del siglo XVII, en el desarrollo de la ensenanza de

la fısica, tanto por la companıa de Jesus, como por los franciscanos y los dominicos. Por

lo tanto creemos que la ensenanza de las matematicas en ese momento aun no adquiere la

importancia como estudio independiente, status que sı obtienen en la catedra ofrecida por

Mutis.

El 13 de marzo de 1762 comenzo formalmente el primer curso de matematicas ofrecido

en Santafe, a cargo de Jose Celestino Mutis. Este curso se creo en principio para satisfacer

el interes de algunos oficiales que acompanaron a Mutis en su viaje de Cadiz a Santafe11.

Pero la pronta acogida de Mutis en las altas esferas santaferenas y la aceptacion de la

importancia de este curso por algunos hombres notables de Santafe, la convirtio en una

catedra publica dictada en el Colegio de Nuestra Senora del Rosario, lo que en parte se

debio al reconocimiento de las luces de la ilustracion en la figura de Mutis.

La catedra se ofrecio en dos periodos: el primero entre 1762 y 1766 y el segundo entre

1770 y 1774, ambos interrumpidos por los viajes de Mutis a las Minas de Montuosa y del

Sapo12.

7Alberto Martınez Boom, “El maestro y la instruccion publica en el Nuevo Reino de Granada

(1767–1809)”, en Dos estudios sobre educacion en la colonia, eds. Gloria Calvo de Mina (Bogota: Univer-

sidad Pedagogica Nacional, 1984), p. 15–16.8Isaac Newton y sus contemporaneos entendıan por “filosofıa natural” al estudio de los fenomenos

fısicos. Precisamente la principal obra de Newton se titula: Philosophiæ naturalis principia mathematica

(Londres: S. Pepis, 1686), lo cual traduce: Principios matematicos de la filosofıa natural, y cuyo libro

tercero se denomina Sistema del mundo matematicamente tratado.9Regino Martınez–Chavanz, “La fısica en Colombia: su historia y su filosofıa”, en Historia Social de

la Ciencia en Colombia, eds. Carlos Eduardo Vasco, Diana Obregon & Luis Orozco (Bogota: Colciencias,

1993, Tomo VI)10Ana Celina Lertora, Fuentes para el estudio de las ciencias exactas en Colombia (Bogota:

Academia Colombiana de Ciencias Exactas Fısicas y Naturales, 1995), pp. 19–23.11Luis Carlos Arboleda, “Mutis y la ensenanza de las matematicas”, en Historia Social de la Ciencia

en Colombia, eds. Carlos Eduardo Vasco, Diana Obregon & Luis Orozco (Bogota: Colciencias, 1993, Tomo

II), p. 33.12Diana Soto Arango, Mutis educador de la elite neogranadina (Tunja: Buhos editores, 2005), p. 75.

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Capıtulo 1. La ensenanza de las matematicas y en particular del algebra anterior al Colegio Militar

La catedra de matematicas dependıa del tiempo que Mutis dispusiese para la ensenanza,

por lo cual cuando el se desplazaba a otras ciudades o comenzaba otros proyectos mas

cercanos a sus intereses, la catedra se suspendıa. Ademas, la catedra no era obligatoria por

lo que no tenıa continuidad. Esta situacion cambio cuando se puso en funcionamiento el

primer plan de estudios, propuesto por Francisco Antonio Moreno y Escandon, que incluıa

estudios de fısica newtoniana y por ende de matematicas.

En principio el Fiscal Protector de la Real Audiencia Francisco Antonio Moreno y

Escandon presento, en 1768, un “Proyecto para la ereccion en la ciudad de Bogota de una

Universidad de estudios generales”13 el cual tenıa como proposito: “fomentar el estudio

de las ciencias, instruir la juventud y adornar al Reino y al Estado con sujetos capaces

de aliviar la republica y el gobierno”14, tal y como, segun el, habıan sido creadas las

universidades en Mexico y Lima. El proyecto no solo promovıa la inclusion de la filosofıa

natural en el sistema educativo, sino que ademas ponıa en duda la prosperidad futura del

reino si la educacion seguıa en manos de las comunidades religiosas.

La propuesta de Moreno y Escandon provoco la reaccion de una gran cantidad de

detractores, pero el virrey Manuel Guirior (1773–1776) inclino la balanza hacia Moreno y

Escandon y apoyo el proyecto. Presento Moreno y Escandon en 1774 el “Metodo provisional

e interino de los estudios que han de observar los colegios de Santafe por ahora y hasta

tanto se erige Universidad Publica, o su Majestad dispone otra cosa”15, el cual intervenıa

considerablemente el funcionamiento de los colegios mayores, pues establecıa que la catedra

de filosofıa debıa ser ensenada en tres anos, de modo que en el primero se diera logica

y algunos principios de aritmetica, algebra, geometrıa y trigonometrıa16, suficientes para

poder comenzar el estudio de la fısica en el segundo y tercer ano. En el plan no contemplaba

una catedra de matematicas, sino el estudio de algunas areas de la matematica en el curso

de filosofıa. Aun ası el colegio de Nuestra Senora del Rosario reabrio la catedra de mate-

maticas, como primer ano en el curso de filosofıa bajo la direccion de Eloy Valenzuela17.

El plan de estudios elaborado por Moreno y Escandon funciono entre 1774 y 1779 y se

suspendio debido a la Real Cedula del 18 de julio de 1778 en la que el rey expresaba la

utilidad de la Universidad de estudios generales, pero quedaba sin aprobacion el plan de

13Guillermo Hernandez de Alba (Comp.) Documentos para la historia de la educacion en Colombia

1767-1776 (Bogota: Editorial Kelly, 1980, Tomo IV), p. 26.14Guillermo Hernandez de Alba, Documentos para la historia de la educacion en Colombia, Tomo

IV, p. 29.15Guillermo Hernandez de Alba, Documentos para la historia de la educacion en Colombia, Tomo

IV, p. 195.16Guillermo Hernandez de Alba, Documentos para la historia de la educacion, Tomo IV, p. 202.17Guillermo Hernandez de Alba (Comp.) Documentos para la historia de la educacion en Colombia

1777–1800 (Bogota: Editorial Kelly, 1983, Tomo V), p. 1.

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estudios provisionales. Este hecho ocasiono que la Junta de Estudios suspendiera el plan

de Moreno y Escandon y se pusiera en funcionamiento el plan de Caycedo Velez18, el cual

no incluıa el estudio de la filosofıa natural, sino que regresaba al estudio de la filosofıa

escolastica lo cual obligo al cierre de la catedra de matematicas.

Fernando Vergara, apoyado por Jose Celestino Mutis, solicito la reapertura de la catedra

de matematicas en el Colegio del Rosario, la cual se restablecio en 1787 y la direccion de

la misma se puso en manos del mismo Vergara. Su reapertura estuvo condicionada a que

funcionara bajo las mismas condiciones en que fue ofrecida, anos atras, por Mutis, es decir:

“como estudio supernumerario y sin que por el puedan optar grados los jovenes sirviendo

para la diversion de los estudiantes aplicados y no para la necesidad de su carrera”19.

En efecto, la catedra de matematicas no era obligatoria para ninguna carrera o estudio

ofrecido en Santafe, porque cuando se llevo a cabo el proceso de su restablecimiento, aun

estaba vigente la medida de la Junta de Estudios que suspendio el plan de Moreno y

Escandon, como se explica en documentos del proceso:

Bien se conoce cuan ventajoso serıa para las artes y ciencias sustituir en lugar de

la Filosofıa Escolastica, las deliciosas y evidentes demostraciones de matematica[...]

Pero como el hacer de este estudio una carrera que pueda habilitar a los grados

este prohibido por la junta celebrada a consecuencia de la real cedula del 18 de julio

de 78, es necesario por ahora, caso que se gradue como util su restablecimiento, que

la catedra de Matematicas no entre en el cuerpo de la Universidad, ni de los estudios

generales20.

Su reapertura estaba, pues, condicionada a ser un estudio opcional, solo para los in-

teresados en aprender o profundizar sus conocimientos en matematicas y de ninguna forma

declararlo obligatorio. En realidad su reapertura se debe mas a la insistencia de Vergara

sobre la utilidad de esta, que a algun cambio con respecto a la legislacion existente, lo

que pudo ser la causa de que la restablecida catedra de matematicas no contara con la

suficiente acogida y fuese cerrada posteriormente por falta de estudiantes interesados21.

En 1802 la catedra de matematicas del Colegio del Rosario se reabrio y se puso en

manos de Jorge Tadeo Lozano22. A el anteriormente lo habıan nombrado para la catedra de

18Diana Soto Arango, Mutis educador de la elite neogranadina, p. 77.19Guillermo Hernandez de Alba (Comp.) Documentos para la historia de la educacion, Tomo V,

p. 103.20Guillermo Hernandez de Alba, Documentos para la historia de la educacion en Colombia, Tomo

V, 103.21Guillermo Hernandez de Alba (comp.) Documentos para la historia de la educacion en Colombia

1800–1806 (Bogota: Editorial Kelly, 1985, Tomo VI), 213.22Guillermo Hernandez de Alba (comp. y ed.) Archivo epistolar del sabio naturalista don Jose Ce-

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quımica y mineralogıa y como Mutis por la real orden del 4 de marzo de 1787, fue promovido

a la condicion de profesor y director perpetuo de la catedra de matematicas del Rosario,

habilitandolo para en general dirigir y controlar la ensenanza de las “ciencias exactas”

tanto en el Colegio del Rosario como en las demas escuelas de la capital23, sugirio Mutis a

Lozano como nuevo catedratico de matematicas24.

Por ultimo en 1809 se eligio como responsable de la catedra de matematicas del Colegio

de Nuestra Senora del Rosario a Francisco Jose de Caldas25. Esta le fue asignada por su

cercanıa a Mutis, porque ya estaba a cargo, para ese entonces, del Observatorio Astronomi-

co26 y por sus conocimientos en matematicas notables tanto en sus trabajos de observacion

astronomica, como en sus trabajos sobre medicion de alturas.

Lino de Pombo, el primero en publicar en Colombia un manual de algebra27, fue uno de

los alumnos de Caldas28 en esta ultima etapa de la catedra de matematicas en el Rosario,

antes de las guerras de independencia. Pombo, ademas, era uno de los pocos hombres

que podıa ingresar al Observatorio Astronomico a acompanar a Caldas en la elaboracion

de sus observaciones astronomicas, lo que nos dice mucho de la cercanıa entre Caldas y

Pombo, ya que es bien conocida la obstinacion de Caldas por no dejar ingresar a nadie al

Observatorio29.

Aunque la catedra de matematicas del Rosario fue inestable y sus periodos de fun-

cionamiento fueron cortos, esta catedra fue de enorme utilidad al senalar el vacıo existente

en el sistema educativo con respecto a la ensenanza de las ciencias y en particular de las

matematicas. Es importante senalar que el Colegio del Rosario no fue la unica institucion

en la que se ofrecieron clases de matematicas a los jovenes del Nuevo Reino de Granada.

En el Colegio de San Bartolome, Felix de Restrepo se desempeno como pasante de filosofıa

de 1778 a 178030 y aunque era su primera experiencia docente, consideramos que con los

lestino Mutis (Bogota: Instituto Colombiano de Cultura Hispanica, 1968-1975, Tomo IV), pp. 50-51.23Guillermo Hernandez de Alba (comp. y ed.) Archivo epistolar del sabio naturalista don Jose Ce-

lestino Mutis (Bogota: Instituto Colombiano de Cultura Hispanica, 1968-1975, Tomo III), pp. 74-75.24Guillermo Hernandez de Alba, Cronica del muy ilustre Colegio Mayor de Nuestra Senora del

Rosario en Santa fe de Bogota (Bogota: Editorial del Centro, 1940), p. 335.25Lino de Pombo, Estudios varios, precedidos de la biografıa del sabio (Bogota: Imprenta Nacional,

1941), p. 28.26Frank Safford, El ideal de lo practico: El desafıo de formar una elite tecnica y empresarial en

Colombia Trads. Margarita Gonzalez y Marıa Victoria Gussoni, (Bogota: Ancora & Universidad Nacional

de Colombia, 1989), 143.27Lino de Pombo, Lecciones de aritmetica y aljebra (Bogota: Imprenta Nacional, 1858).28Jose Maria de Mier, El ingeniero don Lino de Pombo (Bogota: Sociedad Colombiana de Ingenieros,

2001-2003), p. 26.29Jose Marıa Samper, Galeria Nacional de hombres ilustres o notables, o sea coleccion de bocetos

biograficos (Bogota: Imprenta de Zalamea, por F. Ferro, 1879, Tomo I), p. 364.30Daniel Herrera Restrepo, “Jose Felix de Restrepo, maestro de Caldas”, en Caldas 1768–1816:

12


estudiantes del San Bartolome comenzo el proceso que lo llevo a ser reconocido como uno

de los hombres que mas trabajo por la secularizacion de la filosofıa natural, es decir, de la

fısica y su matematizacion.

Despues de la partida de Restrepo para Envigado en 178031, en el Colegio de San

Bartolome, casi nueve anos despues, se ofrecio una catedra de matematicas a peticion de

los estudiantes como informa el Arzobispo–Virrey don Antonio Caballero y Gongora en la

relacion de mando del 20 de febrero de 1789:

contentandome con fundar una catedra de matematicas en el Colegio de Nuestra

Senora del Rosario; y por un efecto de esta laudable emulacion de la juventud, el

catedratico de Artes del de San Bartolome se empeno voluntariamente leer a los

discıpulos los mas utiles tratados de las matematicas.32

El establecimiento de esta catedra en el San Bartolome se debio mas al interes de los

estudiantes, que a una verdadera iniciativa por parte de esta institucion en establecer

estudios en matematicas, por lo cual la catedra se hizo debil ante el albedrıo de los jovenes,

y solo funciono mientras los estudiantes ası lo quisieron.

En Popayan, Felix de Restrepo fue nombrado en 1782 como catedratico de filosofıa33 en

el Real Colegio Seminario de Francisco de Asıs. Allı el no ofrecio propiamente una catedra

de matematicas, pero el curso de filosofıa a su cargo sı ofrecio a sus estudiantes numerosos

conocimientos en matematicas, en particular en aritmetica, geometrıa, trigonometrıa y

algebra34. Tal curso sı era obligatorio en los estudios de filosofıa por decision del catedratico,

mas que por algun cambio en el sistema educativo. Ademas, Restrepo no solo fue reconocido

por su esfuerzo por secularizar el estudio de la filosofıa natural, sino porque entre sus

estudiantes podemos contar a Francisco Jose de Caldas, los hermanos Torres (Camilo,

Ignacio y Jeronimo), Manuel Jose Caicedo, Miguel Pombo, Jose Marıa Cabal, Joaquın

Caicedo y Cuero, entre otros35. Todos ellos hombres de enorme influencia en el proceso

independentista del Nuevo Reino de Granada.

En resumen, en el periodo colonial la ensenanza de las matematicas fue siempre entendi-

da como instrumental al estudio de la filosofıa natural, por lo cual los temas de matematicas

Francisco Joseph de Caldas y Thenorio, eds. Luis Carlos Arboleda, Santiago Dıaz–Piedrahita & Rosario

Molinos (Bogota: Colciencias - Molinos Vasquez Editores, 1994), 23.31Guillermo Hernandez de Alba, Vida y escritos del doctor Jose Felix de Restrepo (Bogota: Im-

prenta Nacional, 1935), p. 15.32Guillermo Hernandez de Alba, Documentos para la historia de la educacion en Colombia, Tomo

V, p. 166.33Guillermo Hernandez de Alba, Vida y escritos del doctor Jose Felix de Restrepo, p. 17.34Daniel Herrera Restrepo, “Jose Felix de Restrepo, maestro de Caldas”, 23.35Daniel Herrera Restrepo, “Jose Felix de Restrepo, Maestro de Caldas”, 23.

13


a ensenar estaban subordinados a la utilidad que tenıan para facilitar el aprendizaje de

los temas escogidos en fısica. Ademas, la catedra se ofrecio de manera intermitente, pues

dependıa de que la institucion contase con los recursos para pagar un profesor que se res-

ponsabilizara por su ensenanza y de la cantidad de estudiantes interesados en recibirla. De

otro lado, en muchas instituciones, como el Colegio Seminario de Francisco de Asıs, no exis-

tıa una catedra de matematicas independiente, sino que se ensenaba la matematica como

estudios preliminares obligatorios para el entendimiento de la fısica dentro de la catedra

de filosofıa. En realidad la catedra de matematicas solamente se ofrecio de forma separada

y continua cuando se hizo obligatoria su ensenanza por el plan de Moreno y Escandon.

Este recorrido por los diferentes momentos de los estudios en matematicas en el periodo

colonial tardıo nos muestra, ademas, una interesante serie que describe la relacion entre

maestro y alumno y que, como veremos a lo largo de este trabajo, puede extenderse hasta

comienzos del siglo XX. Me refiero a la existencia, en la ensenanza de las matematicas en

Colombia, de una “escuela en el tiempo”de hombres que pasaron su curiosidad e interes

por las matematicas a la siguiente generacion de alumnos y esta generacion a la siguiente,

y ası sucesivamente.

Consideramos que esta escuela comenzo con Jose Celestino Mutis, continuo con Felix

de Restrepo36, luego con Francisco Jose de Caldas y despues con Lino de Pombo, el cual

a mediados del siglo XIX se desempeno como profesor de los primeros ingenieros del paıs,

prolongando ası la sucesion.

Es importante aclarar que nuestro interes por resaltar este vınculo estriba en que esto

nos permite recrear las relaciones a largo plazo que se establecieron en el sistema educativo

neogranadino. Ademas, parte del argumento que sostendremos en este trabajo consiste en

que la publicacion de los textos de algebra, centro de este analisis, se dio por un efecto

de imitacion y simulacion de alumnos a maestros, de lo que se considero como conductas

favorables al desarrollo de las ciencias en el paıs.

36Aunque Restrepo adelanto sus estudios filosoficos y jurıdicos en el Colegio Mayor de San Bartolome,

Herrera sostiene que el “supo aprovechar en forma sobresaliente la oportunidad brindada por Mutis de

seguir sus cursos privados”, vease: Daniel Herrera Restrepo, “Jose Felix de Restrepo, maestro de

Caldas”, 25. y aunque no hubiese sido ası, Caldas es depositario del conocimiento de Restrepo por sus estu-

dios en Popayan y del conocimiento de Mutis por cuenta del Observatorio Astronomico y de la Expedicion

Botanica. Por esto es permisible colocar a Restrepo en esta posicion de la serie.

14


1.1.1. Los manuales de ensenanza de las matematicas utilizados

en este periodo

En esta seccion trataremos los libros utilizados en las catedras de matematicas o aque-

llos que tuvieron algun tipo de circulacion en el Nuevo Reino de Granada con el fin de

hacer mas clara la importancia de la publicacion de los textos de algebra, centro de este

analisis, y de entender un poco el tipo de texto o manual que se utilizaba comunmente en

el sistema educativo colonial colombiano.

Aunque en la Nueva Granada, como en casi todo el mundo, la obra de Euclides estaba

presente en las principales bibliotecas, tal como la de la companıa de Jesus37, lo que nos

indica que probablemente se uso para la ensenanza de la geometrıa; en areas como la

aritmetica y el algebra era muy comun que se utilizaran tıtulos muy especıficos, lo cual

se debio a la proliferacion de obras y de traducciones sobre estas areas y a su limitada

circulacion.

Al respecto es importante aclarar que, a diferencia de otras areas de las ciencias y las

artes, en las matematicas los unicos medios de circulacion de informacion en este periodo

eran los textos y las cartas personales, ya que la escasez de tipos para la edicion de formulas

matematicas en el paıs no permitio difundir adecuadamente, mediante periodicos o revistas,

conocimientos matematicos hasta la aparicion de los Anales de ingenierıa, organo difusor

de la Sociedad Colombiana de Ingenieros, en 188638.

Los libros de matematicas que fueron utilizados en este periodo pueden ser clasifica-

dos en dos categorıas, los textos de aritmetica y los compendios de matematicas. De los

primeros sabemos que su objetivo era ensenar los conocimientos aritmeticos y la forma de

utilizar estos conocimientos en la vida practica. Muchos de ellos incluıan extensas tablas

de multiplicacion (del 1 al 100), otros incluıan las propiedades de la potenciacion y la

radicacion, al igual que algunos casos de divisibilidad en los enteros.

En los compendios de caracter enciclopedico que circularon en nuestro medio se encuen-

tran relacionadas muchas mas areas de la matematica, como aritmetica, algebra, geometrıa,

geometrıa practica, trigonometrıa rectilınea, trigonometrıa esferica, etc. Pero el nivel al-

canzado no era muy alto y su extension en paginas los hacıa costosos. Ejemplo de esto es

el texto de Bails Elementos de Matematicas en 10 tomos, cada tomo de casi 450 paginas.

37Renan Silva, Los ilustrados de Nueva Granada 1760–1808, p. 234.38Incluso los Anales de ingenierıa tuvieron problemas para publicar artıculos de matematicas, por lo

cual Pedro Jose Sosa envio desde New York en 1889 una caja de tipos matematicos para la revista. Vease:

Deisy Camargo Galvis y Vıctor Samuel Albis “Pedro Jose Sosa: un gran ingeniero matematico”,

Revista de La Academia Colombiana de Ciencias Exactas Fısicas y Naturales Vol: XXIX, No. 113, (2006)

pp. 525-534.

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De los tıtulos de los manuales utilizados en este periodo sabemos que Mutis, mientras

estuvo a cargo de la catedra de matematicas del Rosario, se guio por el texto de Chris-

tian Wolf39 Compendium elementorum matheseos universae: in usum studiosae juventutis

adornatum40, o por lo menos ası lo demuestra el analisis hecho por Arboleda de las notas de

clase de la primera leccion41. Este texto tambien es recomendado por Moreno y Escandon

en su plan provisional para la ensenanza en el primer ano de la clase de filosofıa42.

Anos despues, cuando Fernando Vergara se hizo cargo de la catedra debio seguir las

recomendaciones hechas por Mutis en el Plan provisional para la ensenanza de las ma-

tematicas en el Colegio de Nuestra Senora del Rosario43, en el cual Mutis recomendo la

utilizacion del Compendio de Benito Bails44 Principios de Matematica de la Real Academia

de San Fernando45, el cual tambien sirvio, como guıa, a Lozano cuando se responsabilizo de

la catedra.

El contenido tematico del compendio de Wolf, en sus dos volumenes, es el siguiente:

volumen 1: aritmetica, geometrıa, trigonometrıa, mecanica, hidrostatica, aerometrıa, hi-

draulica, optica, catoptrica, dioptrica y perspectiva. Volumen 2: astronomıa, geografıa,

39Christian von Wolf (1679–1754) filosofo racionalista y matematico aleman. Nacio en Breslau (Polonia)

y estudio teologıa y filosofıa en la Universidad de Jena. Fue alumno de Leibniz y recomendado por este

ocupo el puesto de profesor de ciencias exactas y filosofıa en Halle, en 1706. En 1710 es designado como

miembro de la Academia de Ciencias de Berlın y de la Royal Society de Londres, en 1733 de la academia de

Parıs y murio el 9 de abril de 1754 en Halle. Vease: Jorge Eliecer Quintero Esquivel, “La huella de

Christian Wolff en la educacion neogranadina”, en Recepcion y difusion de textos ilustrados: intercambio

cientıfico entre Europa y America en la ilustracion, eds. Diana Soto Arango, Miguel Angel Puig–Samper,

Martina Bender & Marıa Dolores Gonzalez-Ripoll (Bogota: Rudecolombia, 2003) p. 134.40Christian von Wolf, Compendium elementorum matheseos universae: in usum studiosae juven-

tutis adornatum [Compendio elemental de matematicas universales] (Genova: Sumtibus Joannis Samuelis

Cailler, 1773) Para el desarrollo de este trabajo fue revisada la segunda edicion de 1778.41Luis Carlos Arboleda, “Mutis y la ensenanza de las matematicas”, Tomo II, 45.42Guillermo Hernandez de Alba, Documentos para la historia de la educacion, T. IV, p. 202.43Guillermo Hernandez de Alba, Documentos para la historia de la educacion en Colombia, Tomo

V, 110.44Benito Bails (1731–1797) teologo y matematico espanol. Nacio en San Adrian de Besos (Barcelona) y

estudio en la Universidad de Tolosa matematicas y teologıa. En 1776 fue admitido a la Academia Espanola

de San Fernando y allı recibio el encargo de organizar, ensenar y escribir los tratados de matematicas para

el uso en esta institucion. Vease: Francisco Arriaga Maertitegui, “La carpinterıa en el tratado de

arquitectura civil de Benito Bails”, Boletın de informacion tecnica No. 191 (1998): 46-47.45En el plan, Mutis no especifica a cual de las obras de Bails se esta refiriendo, si a: Benito Bails,

Elementos de matematica (Madrid: Joachim Ibarra, 1772-1776), en 10 volumenes, o, a los Principios de

Matematica de la Real Academia de San Fernando (Madrid: Viuda de Ibarra, 1776), en 3 volumenes.

Suponemos que se refiere a este ultimo debido a que comenta: “su compendio el mas bien reducido ”.

Vease: Guillermo Hernandez de Alba, Documentos para la historia de la educacion en Colombia,

Tomo V, p. 111.

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cronologıa, gnomonica, pirotecnia, arquitectura militar y arquitectura civil, y algebra46.

Todos estos temas eran considerados parte de la matematica y sobre todo parte de

la matematizacion de los fenomenos fısicos, tal como lo planteaba la filosofıa natural. El

objetivo de Wolf con su texto era ensenar lo absolutamente necesario en matematicas para

llegar al conocimiento de los fenomenos fısicos.

En la seccion de algebra, la cual Wolf incluyo casi como un apendice al final de su

segundo volumen y que no incluyo en la primera obra que sobre matematicas publico47,

podemos encontrar los siguientes temas: notacion y signos de las operaciones en el algebra;

operaciones basicas entre cantidades algebraicas48; potenciacion, radicacion y la radicacion

como un caso especial de la potenciacion; algunos problemas cuya resolucion requiere pasar

a cantidades algebraicas y operar entre ellas; expresiones binomias, trinomias, cuadrinomias

y polinomias; raıces de ecuaciones cuadraticas y algunos ejemplos; progresiones aritmeticas

y propiedades de las progresiones aritmeticas, proporcion geometrica y propiedades de las

proporciones geometricas. Raıces racionales y division entre polinomios49.

Por su parte el contenido del texto de Bails Principios de Matematica de la Real

Academia de San Fernando, en 3 volumenes, es el siguiente: volumen 1: principios de

aritmetica, principios de geometrıa, principios de trigonometrıa y geometrıa practica. Vo-

lumen 2: principios de algebra, principios de secciones conicas, principios de las series,

principios de calculo diferencial y de calculo integral y principios de trigonometrıa esferica;

y en el volumen 3: principios de dinamica, principios de hidrodinamica, principios de optica

y principios de astronomıa50.

En los principios de algebra, se presentan los siguientes temas: la notacion usada en el

algebra, expresiones o cantidades algebraicas, aritmetica de cantidades algebraicas; poten-

cias y raıces de: cantidades literales y de monomios; cantidades imaginarias y potencias

de los polinomios; ecuaciones, ecuaciones de primer grado determinadas e indeterminadas

y sistemas de ecuaciones; ecuaciones de segundo grado: determinadas e indeterminadas;

principios de aplicacion de las ecuaciones de primer y segundo grado a la geometrıa51.

En el texto de Bails encontramos mayor cantidad de areas de las matematicas y menos

aplicaciones que en el texto de Wolf. Pero como la catedra de matematicas fue ofrecida

intermitentemente en este periodo y esta solo tenıa sentido como preliminar al estudio

46Christian von Wolf, Compendium elementorum matheseos universae. (s.n.)47Christian Wolf, Elementa matheseos universae (Genova: Apud Henricum–Albertum Gosse et So-

cios, 1743–1757) en cinco tomos.48En la cual remite a la seccion de aritmetica senalando que paragrafo se debe releer.49Christian Wolf. Compendium elementorum matheseos universae, Tomo 2, 392-44250Benito Bails, Principios de Matematica. (s.n.)51Benito Bails, Principios de Matematica. p. iv–v.

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de la filosofıa natural, consideramos que el texto de Bails implicaba un mayor esfuerzo de

comprension y de dedicacion, pues incluıa muy pocas aplicaciones, lo que pudo dificultar su

escogencia en un ambiente academico donde estaba continuamente en discusion la utilidad

practica de los conocimientos cientıficos. Aun ası, el texto de Bails estaba en espanol, lo que

facilitaba el aprendizaje autodidacta de aquellos que supieran leer y estuvieran interesados

en estos temas, mientras que el texto de Wolf estaba en latın.

Con un sistema educativo que reconocıa el estudio de las matematicas como importante,

pero aun ası opcional, y una escasa circulacion de textos en areas de las matematicas

diferentes a la aritmetica, termino el periodo colonial y comenzo el proceso independentista.

1.2. Las matematicas en los cursos de filosofıa: la reforma

educativa de Francisco de Paula Santander

La inestabilidad polıtica de los primeros anos del siglo XIX, repercutio en el fun-

cionamiento del sistema educativo colonial colombiano. Solo luego del congreso de Cucuta

y de las primeras reformas educativas establecidas por Santander, como vicepresidente de

la naciente republica, se logro el establecimiento de un sistema nacional de educacion, el

crecimiento y mejoramiento del sistema educativo existente y con ello de la ensenanza de

las matematicas.

Santander distinguio cuatro tipos de instituciones educativas todas ellas de caracter

publico. Las escuelas de primeras letras; las casas de educacion, que eran instituciones que

combinaban la educacion primaria con la secundaria dependiendo de los recursos que pose-

yeran los lugares en donde se establecieran; los colegios y las universidades. Distinguio dos

tipos de universidades: las centrales y las departamentales, refiriendose con centrales a

las que funcionarıan en Bogota, Caracas y Quito, y con departamentales a las demas52.

Ademas, separo formalmente los colegios de las universidades, elimino el tıtulo en filosofıa

y reservo todos los cursos de derecho, teologıa y medicina a las universidades53.

Las escuelas de primeras letras, que tambien fueron llamadas “escuelas de parroquia”

ofrecıan ensenanzas comparables a lo que hoy llamamos educacion primaria. Debıan fun-

cionar en cada ciudad de 100 o mas familias54, y tenıan por objetivo, como lo menciona

el artıculo 8 del decreto del 6 de octubre de 1820, “ensenar a los ninos a leer, escribir,

52Adolfo Montenegro Arrieta, “La educacion en la Nueva Granada 1819–1850”(Tesis doctoral en

Historia, Pontificia Universidad Javeriana, Bogota, 1984), p. 65.53John Lane Young, La reforma universitaria de la Nueva Granada, 1820-1850. Trad. Gloria Rincon

Cubides (Bogota: Instituto Caro y Cuervo & Universidad Pedagogica Nacional, 1994), p. 39.54Segun decreto del congreso de Cucuta en 1821. En 1826 se decreto que debıan funcionar en cada

parroquia del paıs, sin importar el tamano. Vease: Frank Safford, El ideal de lo practico, p. 80.

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los principios de aritmetica, y los dogmas de la religion y de la moral cristiana”55. Lo que

constituyo por algun tiempo el plan de estudios de las escuelas primarias.

Especıficamente, los “principios de aritmetica” se referıan a “las cuatro reglas princi-

pales de la aritmetica, tanto con respecto a numeros enteros, como a decimales i denomina-

dos [tambien llamados complejos56], i la regla de tres”57, que son menos que los temas que

eran ofrecidos en la epoca colonial y que habıamos denominado “rudimentos aritmeticos”.

Con respecto a las casas de educacion y los colegios, el decreto del 6 de agosto de

1821 ordenaba que en cada provincia debıa existir por lo menos un colegio o una casa de

educacion que ofreciese educacion secundaria. Allı debıan ofrecerse al menos dos catedras,

una de gramatica espanola, latın y principios de retorica y otra de filosofıa y de las ramas

de las matematicas que considerasen prioritarias para cada provincia58. Los temas abar-

cados en las catedras de matematicas quedaban a decision de los rectores o directores de

los respectivos colegios o de las casas de educacion. Esta decision estaba sujeta a varios

factores como el presupuesto de que dispusiesen, el nivel educativo de los profesores y a la

posibilidad de encontrar textos para la ensenanza de las matematicas, ası como tambien a

los conocimientos que aspirasen que los estudiantes debıan tener en ciencias. Recordemos

que, como lo habıamos mencionado antes, las matematicas eran entendidas como instru-

mentales a la fısica desde la epoca colonial, por lo cual no es extrano que la decision de

ensenar o no matematicas dependiera del deseo o de la posibilidad de ensenar fısica u otras

ciencias naturales.

A nivel universitario las reformas no mejoraron la situacion de la ensenanza de las ma-

tematicas. Las carreras ofrecidas seguıan siendo derecho, medicina y teologıa, y la adicion

de la matematica a los currıculos, de nuevo, fue a traves de las clases de filosofıa.

Para ser estudiante en la universidad, los jovenes debıan pasar un examen en que de-

mostraran “saber leer i escribir correctamente; los fundamentos de la relijion, los principios

elementales de la gramatica i ortografıa castellana i los de la aritmetica”59. Para su ingreso

solo se les pedıa saber un poco de aritmetica, por lo cual no era prioridad en los colegios

mejorar o incluir otras areas de la matematica en los cursos de filosofıa como la geometrıa

o el algebra, pues con la aritmetica era suficiente para que sus alumnos ingresaran a la

55Felipe Osorio Racines, Compilacion de los decretos del General Santander, 1819–1921 (Bogota:

Imprenta Nacional & Universidad Nacional de Colombia, 1969), p. 156.56Estos numeros complejos son diferentes a los que hoy llevan este nombre, los cuales en los textos

examinados se denominan usualmente imaginarios.57Codificacion Nacional de todas la leyes de Colombia desde 1821 (Bogota: Imprenta Nacional, 1924,

Tomo VII), p. 51. Citada de ahora en adelante como Cod. Nal., el tomo y las paginas.58Evelyn Ahern, “El desarrollo de la educacion en Colombia 1820-1850”, Revista Colombiana de

educacion No. 23–24 (1991) p. 22.59Cod. Nal. T. VII, p. 73.

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universidad.

El decreto del 3 de octubre de 1826 que reglamentaba la ley de 18 de marzo de ese

mismo ano, establecio la organizacion de la ensenanza en las universidades tanto centrales

como departamentales por medio de cinco clases: la primera de literatura, la segunda de

filosofıa o ciencias naturales, la tercera de medicina, la cuarta de jurisprudencia y la quinta

de teologıa60. En la clase de filosofıa o ciencias, el decreto tenıa contemplado ensenar las

siguientes catedras:

Una de matematicas; una de fısica jeneral i particular; una de jeografıa i cronolo-

jia; una de ideolojia i metafısica, gramatica jeneral y lojica; i una de moral i derecho

natural. La historia natural comprendera tres catedras: una de mineralojia, arte de

minas i jeonosia; otra de botanica i agricultura i una de zoolojia. Una de quımica i

fısica esperimental.61

En la catedra de matematicas, un catedratico “debera ensenar todos aquellos ramos que

sean mas necesarios para las demas ciencias, i que permita la estension de los cursos”62.

Es decir, la catedra de matematicas debıa servir de introduccion a las demas catedras

de ciencias que se tenıa contemplado ensenar, el cual era el mismo esquema que se venıa

utilizando desde la epoca colonial.

Desde el punto de vista legislativo, las matematicas fueron contempladas para ser

ensenadas elementalmente en las instituciones de educacion primaria, en los colegios y

casas de educacion. Las areas que se ensenaban se decidıan a partir de parametros estable-

cidos por los colegios, dependiendo de los recursos de que dispusiesen para la contratacion

de maestros, la consecucion de libros y del lugar que ocuparıan sus estudiantes en el sis-

tema social de la Nueva Granada. En las universidades, ya sea centrales o departamentales,

se ensenaba la matematica que servıa para entender los ramos de las ciencias, cuando la

institucion tenıa los recursos para ofrecer las catedras en ciencias.

Por algun tiempo poder determinar que otras areas de la matematica, ademas de la

aritmetica, se ensenaron realmente en las instituciones despues de la reglamentacion de la

educacion por Santander, fue para nosotros un problema. La solucion a este lo encontramos

en la utilizacion de los carteles y asertos que anunciaban los certamenes o examenes publicos

de las casas de educacion, los colegios y las universidades de la Nueva Granada.

Los examenes o certamenes publicos eran eventos ofrecidos por los establecimientos

educativos, en los que los estudiantes mas sobresalientes en los examenes finales del cole-

gio, de algunos cursos, presentaban a un publico conformado por padres, companeros e

60Cod. Nal. T. VII, p. 83.61Cod. Nal. T. VII, p. 84.62Cod. Nal. T. VII, p. 87.

20


invitados, un discurso sobre la materia en que sobresalieron o contestaban en frente de

todos una serie de preguntas sobre la misma. Estos certamenes estaban constituidos por

materias en que los estudiantes hacıan lucir al colegio o casa de educacion ante sus invi-

tados, para ası mostrar la calidad de la ensenanza ofrecida en la institucion. Por lo que

concluimos que las materias que se presentaban allı eran las que en la institucion se habıa

logrado mayor adelanto y no necesariamente todas las materias que ofrecıa la institucion.

Los carteles, eran hojas de diversas dimensiones en en las que se invitaba al evento y

en donde figuraba el nombre de la institucion, el dıa o dıas en que se realizarıa el evento,

el lugar, las materias que se presentarıan, el orden en que se presentarıan tales materias y

el catedratico responsable de cada una. Entre mas grande era el cartel, mas informacion

contenıa. En algunos de ellos podemos encontrar los temas a evaluar en cada materia, o el

nombre del texto del que se tomarıan los temas del certamen, o la lista de los estudiantes

que presentarıan examen en cada materia.

Los asertos, por su parte, eran cuadernillos en los que se proporcionaba la misma infor-

macion que en los carteles pero de forma mas extensa y en muchas ocasiones se exponıan

todas las proposiciones que sostendrıan los alumnos en cada una de las materias. Por es-

to consideramos que estas fuentes son de gran valor historico, pues permiten corroborar

que parte de la legislacion educativa fue efectiva en la practica de las instituciones. Su

estudio nos permitio, ademas, determinar que en algunas instituciones ciertos ramos de

las matematica distintos de la aritmetica, contemplada ya en la reforma, alcanzaron el

suficiente adelanto como para incluirlos en estos certamenes, como es el caso del algebra y

la geometrıa.

Los carteles y asertos encontrados, publicados antes de 184263, nos muestran como,

aunque no era obligatorio, muchos colegios adoptaron como materias mınimas de ensenan-

za en la seccion de matematicas de las catedras de filosofıa a la aritmetica, el algebra y

la geometrıa. Por ejemplo, los estudiantes del colegio San Bartolome en el ano de 1825

presentaron conclusiones en las areas de aritmetica inferior, aritmetica superior, algebra y

logica64. En 1834 los estudiantes de la clase de filosofıa, de este mismo colegio, presentaron

proposiciones en aritmetica, algebra, geometrıa, geometrıa elemental y trigonometrıa rec-

tilınea65. En 1833 los alumnos de la Primera Casa de Educacion presentaron conclusiones

63En principio solo nos vamos a referir a los carteles y asertos publicados antes de 1842, pues la reforma

educativa establecida por Mariano Ospina Rodrıguez en 1842 intervino el modelo de ensenanza secundaria

y universitaria.64B.N. El colegio Seminario de San Bartolome Bogota: Imprenta de la republica por Nicomedes Lora.

1825.65B.N. Coleccion de asertos de las materias que se defenderan en certamenes publicos en el Colejio de

San Bartolome. Bogota: Imprenta de la Universidad–por Nicolas Gomez, 1835. p. 6-11.

21


unicamente en aritmetica y algebra66. En el aserto de los actos literarios del Colegio del

Rosario en el ano de 1836, los estudiantes del primer ano de filosofıa presentaron proposi-

ciones en aritmetica, algebra y geometrıa, y los estudiantes del segundo ano de filosofıa

presentaron proposiciones en geometrıa y trigonometrıa rectilınea67.

En lo que se refiere a las instituciones fuera de Bogota, por ejemplo, los estudiantes de

la clase de filosofıa de segundo ano del Colegio San Pedro Apostol de Mompox presentaron

proposiciones en aritmetica superior, algebra, geometrıa, trigonometrıa plana y geometrıa

practica68. En 1833 los estudiantes de primer ano de la catedra de matematicas de la

Universidad del Cauca presentaron certamenes publicos en el area de aritmetica, algebra

y geometrıa69. En 1835 los estudiantes de las escuelas publicas de ninos y ninas y los

del Colegio de Velez presentaron conclusiones en un certamen literario sobre aritmetica y

algebra70.

Aunque tambien habıa instituciones en donde solo se presentaban conclusiones en arit-

metica como el Colegio de Ninas de la Capital71 o donde no se anunciaba la presentacion

areas de las matematicas como en los certamenes de la Universidad Central en el ano de

184072 o en el Colegio de Panama73 en ese mismo ano.

Como lo mencionamos anteriormente, estos carteles muestran que la ensenanza de otros

temas distintos de la aritmetica como el algebra, la geometrıa e incluso la trigonometrıa

(rectilınea), era algo usual no solamente en establecimientos de la capital, sino tambien en

las regiones.

66B.N. Los alumnos de la primera casa de educacion Bogota: Imprenta de Nicomedes Lora. 1833.67B.N. Recopilacion de las doctrinas i principios que en los diferentes ramos de las ciencias han adquirido

los alumnos del Colegio Mayor de Nuestra Senora del Rosario. Bogota: Imprenta de la Universidad-por

Nicolas Gomez, 1836.68B.N. Certamen de la clase de filosofia de segundo ano del Colejio San Pedro Apostol de Mompox, (s.e.)

(s.f.) La Biblioteca Nacional catalogo este documento en el ano de 1834.69B.N. Coleccion de programas para los certamenes publicos de las clases de la Universidad del Cauca.

Popayan: Imprenta de la Universidad por Benito Zizero. 1833.70B.N.Certamenes literarios que en el presente ano de 1835 sostendran las escuelas publicas de Ninas y

Ninos, y las clases del colejio de Velez. Bogota: Imprenta por Jose Ayarza, 1835.71B.N. Las jovenes alumnas del Colejio de Ninas de esta Capital.Bogota: Imprenta de N. Lora; por Juan

N. Barros, 1828.72B.N. Programa de los principios que los cursantes de la Universidad Central expondran en los

certamenes publicos de las diferentes clases de ensenanza que se dan en el establecimiento. Bogota: Im-

prenta por Valentın Martınez, 1840.73B.N. Coleccion de Asertos de las materias que se defenderan en certamenes publicos por los alumnos del

Colejio de Panama (Panama: Por Jaime Bousquet, 1840.). Aunque un ano despues esta misma institucion

convertida en Universidad presento conclusiones en Fısica, aritmetica, algebra y geometrıa elemental.

Vease: B.N. Coleccion de asertos de las materias que se defenderan en certamenes publicos por los alumnos

de la Universidad de Panama, Panama: Por Jaime Bousquet, 1841.

22


En conclusion la reforma educativa de Santander trajo consigo la generalizacion de la

ensenanza elemental de la matematica y un amplio crecimiento de la cantidad de estu-

diantes que conocıan tales nociones. Pero la ensenanza o profundizacion de otros temas

dependio de los catedraticos que en cada institucion ofrecieron estas clases y de las polıticas

educativas de cada institucion, mas que de la misma reforma. Ademas, la ensenanza de las

matematicas en la reforma de Santander sigue siendo instrumental ya no solo a la fısica

sino tambien a las demas ciencias, pues las matematicas no son entendidas por sı mismas

como ciencia.

La siguiente reforma educativa fue establecida por Mariano Ospina Rodrıguez como

secretario del Interior en la administracion de Pedro Alcantara Herran (1841–1845). Esta

reforma intervino el modelo la ensenanza universitaria drasticamente, pues Ospina intento

establecer carreras en ciencias y de esta forma tambien fueron alteradas los decretos que

establecıan la ensenanza de las matematicas.

1.3. Las matematicas para las carreras en ciencias: La reforma

educativa de Mariano Ospina Rodrıguez

En la exposicion que Mariano Ospina Rodrıguez realizo como Secretario del Interior en

1842, afirmaba que:

Como la riqueza no viene sino del trabajo y de la industria, y la polıtica y la

abogacıa apartan a la juventud del trabajo y de la industria productivos de riqueza,

aquella tendencia en el sistema de instruccion publica es funesta a la dicha y pros-

peridad de la Nacion74

Este pensamiento es parte de la preocupacion de muchos de los hombres neogranadinos

que estaban en pos de la cientifizacion de los currıculos y de incentivar un cambio en

el pensamiento granadino con respecto al trabajo, para de esta forma halar el desarrollo

economico de la nacion75. La reforma educativa de Ospina Rodrıguez plasmo todas las

iniciativas cientificistas de estos hombres que Safford llamo neo–borbones y aunque este

decreto solo intervino la ensenanza universitaria, la ejecucion de este termino alterando

todo el sistema educativo.

El plan de estudios de Ospina Rodrıguez, plasmado en el decreto del 1 de diciembre de

184276, clausuro la Universidad Central de Bogota, dividio el territorio de la Republica en

74Doris Wise de Gouzy, (Comp.) Antologıa del pensamiento de Mariano Ospina Rodrıguez (Bogota:

Banco de la Republica, 1990, Tomo I), p. 531.75Vease: Frank Safford, El ideal de lo practico, p. 177.76Cod. Nal. T. IX, pp. 593–654.

23


tres distritos universitarios, cada uno con una universidad que los representara, el primero

en Bogota, el segundo en Cartagena y el tercero en Popayan77. Ademas, reglamento que en

cada universidad la ensenanza se debıa dividir en 5 facultades: literatura y filosofıa, fısica

y matematicas, medicina, jurisprudencia y ciencias eclesiasticas78, y los jovenes que ingre-

saran a la universidad debıan comenzar en la facultad de literatura y filosofıa para obtener

el tıtulo de bachiller y de esta forma ingresar a cualquiera de las facultades mayores79.

El plan dispuso que la ensenanza en la facultad de literatura y filosofıa estuviera dividida

en dos secciones: una de literatura y la otra de filosofıa80, y que en la seccion de filosofıa

se debıa ensenar:

Aritmetica, tenedurıa de libros, algebra, geometrıa elemental, trigonometrıa rec-

tilınea, topografıa, dibujo lineal, psicologıa, teodicea, metafısica, logica, moral, prin-

cipios de religion, fısica, quımica, mineralogıa, geologıa, geografıa y cronologıa81

La reforma intensifico el numero de cursos en matematicas a ensenar, establecio que en

todos los colegios se debıa crear la facultad de literatura y filosofıa, y que los colegios con

mayores recursos deberıan tambien establecer la facultad de ciencias fısicas y matemati-

cas82.

El plan de estudios de la facultad de ciencias lo esquematizamos en el cuadro que aparece

en la pagina 25 siguiente, a partir de los artıculos 144 a 149 del decreto del primero de

diciembre de 184283.

El plan, ademas, establecio que la ensenanza, en las facultades de literatura y filosofıa

y en la de ciencias fısicas y matematicas, no se podıa reducir a los conocimientos teoricos,

sino que se debıan ensenar las aplicaciones practicas de estos conocimientos y continua-

mente ejercitar a los jovenes en la resolucion de problemas a partir de lo ensenado84, lo

que implicaba la construccion y adecuacion de laboratorios y talleres de practica en las

instituciones.

La reforma educativa de Ospina Rodrıguez, fue un salto descomunal en el sistema edu-

cativo. De ensenar matematicas segun las necesidades y posibilidades de cada institucion

77Cod. Nal. T. IX, p. 594.78Cod. Nal. T. IX, pp. 594–595.79Cod. Nal. T. IX, p. 610.80Cod. Nal. T. IX, p. 611.81Cod. Nal. T. IX, p. 611.82Cod. Nal. T. IX, p. 595.83Cod. Nal. T. IX, p. 614. Vease tambien Jorge Arias de Greiff & Clara Helena Sanchez, “An-

tecedentes de la Facultad de Ciencias”, en Facultad de Ciencias: fundacion y consolidacion de comunidades

cientıficas, ed. German Cubillos (Bogota: Universidad Nacional de Colombia, 2006), p. 18.84Cod. Nal. T. IX, p. 613.

24


se paso a tener toda una facultad dedicada a la ensenanza de las matematicas, la fısica, la

quımica, la biologıa y la geologıa. Ademas, en el esquema de ensenanza de la facultad de

literatura y filosofıa o en el de la facultad de ciencias fısicas y matematicas se especificaba

la ensenanza del algebra. En la reforma de Santander no aparecıa el algebra como parte

de los catedras a ofrecer, aunque como lo vimos habıa algunos colegios que la ofrecıan.

Mientras que en la reforma de Ospina Rodrıguez, sı aparece especificada su ensenanza,

no solo teorica sino tambien sus aplicaciones y esto se debe a que la reforma de Ospina

hace obligatorias areas en ciencias que necesitan ser ensenadas sobre solidos conocimien-

tos en algebra, como la trigonometrıa, el calculo diferencial, la fısica, la mineralogıa y la

cronologıa.

Plan de estudios de la Facultad de Ciencias fısicas

y matematicas.

Seciones Primera: Segunda: Tercera:

Matematicas Ciencias fısicas Ciencias naturales

Cursos

primer y

segundo

ano

Los siguientes cursos seran comunes a las tres secciones:

algebra, aplicaciones del algebra a la geometrıa, calculo

diferencial e integral, trigonometrıa esferica, geometrıa des-

criptiva, fısica experimental y quımica general

Cursos

tercer

ano

Secciones

conicas, estatica

y mecanica.

Analisis, quımica y

mineralogıa.

Botanica, fısica vegetal

y agricultura.

Cursos

cuarto

ano

Mecanica, ar-

quitectura y

astronomıa.

Quımica vegetal

y animal, apli-

caciones de la

quımica a industria

y geologıa.

Anatomıa, zoologıa y

fisiologıa.

Tıtulo de Licenciado

Cuadro 1. Plan de estudios de la facultad de ciencias fısicas y matematicas

La diversidad de areas de las matematicas que incluıa las facultades de literatura y

filosofıa y la de ciencias fısicas y matematicas, pudo haber sido el detonante para el aumento

en el nivel educativo en matematicas de los neogranadinos y para la publicacion de textos

en estas areas, pero no fue ası. La facultad de ciencias fısicas y matematicas se quedo en

el papel. El cuerpo de profesores, los instrumentos y laboratorios necesarios para poner en

funcionamiento el plan en los colegios era insostenible para las pobres recursos financieros

de la mayorıa de los colegios de la republica y de las tres universidades85.

La revision final del plan en 1844, en la que se tuvieron en cuenta las dificultades

que muchos establecimientos afrontaron para poner en funcionamiento el plan inicial, de-

creto que se debıan distinguir dos tipos de colegios: aquellos que podıan ofrecer un tıtulo

85Frank Safford, El ideal de lo practico, p. 179.

25


y aquellos que no86. Las elevadas exigencias del plan de 1842 y la ineficacia de la revision

final de 1844 para facilitar la adopcion del plan inicial por las instituciones, provocaron

que la mayorıa de colegios provinciales optaran por no buscar la acreditacion para otorgar

tıtulos, sino preparar a sus estudiantes para que al terminar los estudios se desplazaran

hasta la correspondiente universidad del distrito y presentaran los respectivos examenes

para obtener el tıtulo87.

Otras instituciones se negaron a acatar el plan no solo porque sus recursos eran insufi-

cientes, sino porque consideraban que el plan hacıa obligatorias muchas areas que no eran

utiles a un paıs pobre y sin una economıa o industria desarrollada88. Pero pese a todas

las protestas el plan de Ospina estuvo vigente hasta la proclamacion de la ley de la libre

ensenanza en 1848, efectiva solo hasta 185089.

La revision de los carteles y asertos en este periodo nos muestra que, tal y como lo

habıamos mencionado anteriormente, las instituciones no lograron llevar a la practica todo

lo contemplado en el Plan de Ospina. Proyectos, como la facultad de ciencias fısicas y

matematicas no fueron puestos en funcionamiento en ninguna institucion del paıs. Con

respecto a la facultad de literatura y filosofıa, los carteles y asertos muestra que aunque

no bajo este tıtulo, algunas instituciones lograron aumentar el numero de areas de las

matematicas como es el caso del Colegio Nacional de Santa Librada, que en el ano de

1849 los estudiantes de la clase de matematicas presentaron conclusiones en: geometrıa

descriptiva y sus aplicaciones, teorıa general de las ecuaciones (que es un area del algebra),

calculo diferencial y las aplicaciones del calculo diferencial a la geometrıa, calculo integral

y principios del calculo de variaciones90. Pero los carteles y asertos encontrados, de otras

instituciones, nos muestran que la mayorıa de instituciones optaron por continuar con las

areas que venıan ofreciendo desde antes de la reforma de Ospina, por ejemplo en 1842 lo

estudiantes de la clase de filosofıa de la Universidad del Magdalena e Istmo presentaron

conclusiones en ideologıa, aritmetica y geometrıa91; los estudiantes de la clase de la Escuela

de filosofıa y literatura del Seminario Conciliar de San Jose en Bogota, en el ano de 1843,

86John Lane Young, La reforma universitaria de la Nueva Granada, p. 84.87John Lane Young, La reforma universitaria de la Nueva Granada, p. 84.88Frank Safford, El ideal de lo practico, pp. 182-184.89Olga Lucia Zuluaga et al., “La instruccion publica en Colombia, 1819–1902: surgimiento y desa-

rrollo del sistema educativo”, en Genesis y desarrollo de los Sistemas Educativos Iberoamericanos, Siglo

XIX, eds. Olga Lucia Zuluaga Garces & Gabriela Ossenbach Sauter (Bogota: Magisterio, 2004, Tomo 1),

p. 227.90B.N. Coleccion de programas para los certamenes publicos que las clases del colegio Nacional de Santa

Librada de Cali presentan en el mes de Junio de 1849. Cali: Imprenta de Velasco, 1849.91B.N. Coleccion de programas para los certamenes literarios presentados al publico por las diversas

clases de ensenanza de la Universidad del Magdalena e Istmo. Cartagena: Imprenta de los herederos de

Juan A. Calvo, 1842.

26


presentaron conclusiones en aritmetica, algebra y geometrıa92, o las estudiantes del Colegio

de la Merced, que en 1847 presentaron conclusiones en: aritmetica, tenedurıa de libros93,

geometrıa y fısica94.

El plan de Ospina Rodrıguez, aunque ambicioso, no pudo ser llevado a la practica

porque, como ya lo hamos mensionado, casi que ninguna institucion en el paıs conta-

ba con los recursos para la contratacion de maestros extranjeros, ya que en el paıs no

habıan suficientes hombres capacitados para ofrecer las catedras establecidas por el plan,

la construccion de laboratorios para llevar a cabo las practicas y la compra de los libros

necesarios para ensenar estos temas. En la practica las instituciones que se acogieron al

plan, lograron ofrecer algunas de las catedras del plan de estudios de la facultad de literatu-

ra y filosofıa, sobre todo las areas de las matematicas, porque no necesitaba de laboratorios

para la ensenanza y las instituciones que no se acogieron al plan mantuvieron el nivel de

ensenanza que ofrecıan desde antes de la reforma de Ospina.

1.3.1. Los textos utilizados en este periodo

Como lo dijimos en la descripcion de los carteles y asertos, en algunos de estos documen-

tos se menciona los textos usados en los colegios para ensenar estos ramos. En el caso del

algebra se menciona el texto Compendio de Matematicas puras y mixtas95 de Jose Mariano

Vallejo96 y el Catecismo de Algebra97 de Nunez de Arenas98.

92B.N. Coleccion de programas para los examenes y certamenes del Seminario Conciliar de San Jose,

(Bogota: Impreso por Nicolas Gomez, 1843).93Area que es llamada ahora: contabilidad.94B.N. Programa para lo certamenes del Colegio de la Merced. Bogota: Imprenta de Nicolas Gomez,

1847.95Jose Mariano Vallejo, Compendio de Matematicas puras y mixtas (Parıs: Librerıa de A. Bouret

y Morel, 1835, Tomo 1). La primera edicion de esta obra fue en 1819, pero para efectos de este trabajo se

va a consultar la edicion de 1847, que solo difiere de la primera en la seccion de geometrıa especulativa.96Jose Mariano Vallejo (1779–1846) Nacio en Albanuelas (Granada) el 30 de mayo de 1779. Estudio en

la universidad de Granada y en 1801 ingreso como profesor sustituto de catedras en la seccion de mate-

maticas de la Real Academia de San Fernando. En 1802 se gana por oposicion la catedra de matematicas

en el Real Seminario de Nobles, la cual desempena hasta 1823. Fue diputado y senador, y contribuyo a

fundar el Ateneo de Madrid y la Real Academia de Ciencias Naturales. Murio el 4 de marzo de 1846

en Madrid. Vease: Ernesto Garcıa Camarero, “El matematico Vallejo y la ciencia en el Ateneo de

Madrid”, en Ateneistas ilustres, eds. Daniel Pacheco, Alejandro R. Dıez Torre & Alejandro Sanz (Madrid:

Ateneo cientıfico y artıstico de Madrid, 2004), pp. 706-707.97Jose Nunez de Arenas, Catecismo de Algebra (Londres: R. Ackermann, 3a. Ed. 1826).98Jose Nunez de Arenas (circa 1787–?). Fue capitan de artillerıa en Espana, pero fue acusado de cons-

pirador en 1817. Su pasado como partidario frances le causo ciertas dificultades hasta que fue incluido,

en 1823, en la lista Wellington lo que le permitio recibir ayuda del gobierno ingles, formando parte de

los exiliados espanoles en Londres. Despues de esto comenzo a ganarse la vida como profesor de mate-

27


El compendio de Vallejo viene en la misma lınea que los compendios utilizados en

la epoca colonial, mientras que el Catecismo de algebra de Nunez de Arenas es el primer

manual en espanol que circulo en la Nueva Granada, cuyo proposito era presentar solamente

temas de algebra. Este texto se denomina “catecismo”porque el formato en que presenta

sus contenidos se parece a los catecismos religiosos en los que se ensenaba a partir de una

sucesion de preguntas y respuestas. Para hacer mas claro esto, a continuacion se extrae un

fragmento del texto que puede ilustrar de forma mas clara esta situacion:

P. 10. ¿Que division se hace de las cantidades algebraicas?

R. Las cantidades algebraicas se dividen en monomias y polinomias.

P. 11. ¿A que damos el nombre de cantidad monomia?

R. Cantidad monomia o monomio es una expresion algebraica, a la cual precede un

solo signo, mas o menos, sea tacito o expreso; tales son estas a, −ab, −mnpq, etc.

P. 12. ¿Como se llaman las letras que componen un monomio?

R. Se llaman dimensiones de el; −a es un monomio de una dimension; −ab lo es de

dos dimesiones; y +abc lo es de tres, etc. 99

Esta forma de presentacion fue el sello que caracterizo los manuales escolares que los

espanoles liberales exiliados en Londres, a principio del siglo XIX, produjeron para las

republicas americanas y que fueron publicadas por la imprenta de Rudolph Ackermann100.

Los catecismos cientıficos tuvieron abundante circulacion en los paıses latinoameri-

canos por varias razones. La primera es que el mercado de circulacion era precisamente

Latinoamerica y Rudolph Ackermann se encargo de hacer llegar los catalogos de los textos

y catecismos que ofrecıa a las nuevas republicas101 y porque su esquema de preguntas y

respuestas simplificaba y facilitaba las explicaciones y evaluaciones, y sus pequenas dimen-

siones (9 cm× 15 cm) los hacıa economicos102. Estas propiedades favorables a la comercia-

lizacion de este tipo de texto fueron algunas de las razones por las cuales a finales del siglo

maticas en Londres, primero como un instructor privado y luego como profesor en el Ateneo Espanol,

un establecimiento creado en 1829 para la educacion libre de los hijos de espanoles exiliados en Londres.

Vease: Elena Ausejo y Mariano Hormigon, “Mathematics for Independence: From Spanish Liberal

Exile to the Young American Republics”, Historia Mathematica Vol: 26 (1999), p. 323.99Jose Nunez de Arenas, Catecismo de algebra, p. 4. Se respeto la ortografıa del documento.

100Elena Ausejo y Mariano Hormigon, “Mathematics for independence: from Spanish Liberal Exile

to the Young American Republic”, p. 314.101Rudolph Ackermann, el 18 de marzo de 1828, envio desde Londres una carta a Simon Bolivar, ofre-

ciendole una copia del catalogo de textos que vendıa. Vease: Elena Ausejo y Mariano Hormigon,

“Mathematics for independence: from Spanish Liberal Exile to the Young American Republic”, pp. 324–

325.102Los precios de los catecismos cientıficos ofrecidos por Ackermann variaban entre 2 chelines o 3 reales.

Vease: Elena Ausejo y Mariano Hormigon, “Mathematics for independence: from Spanish Liberal

Exile to the Young American Republic”, p. 321.

28


XIX, el cartagenero Dionisio H. Araujo publico su Tratado de algebra103, con formato de

catecismo, pero esto lo veremos con mas detalle mas adelante.

El contenido tematico del compendio de Vallejo es el siguiente: aritmetica, algebra,

geometrıa, trigonometrıa rectilınea y geometrıa practica104. Con respecto al algebra, la

seccion que la contiene, esta subdividida en dos partes. En la primera parte se presentan:

las nociones preliminares y notacion del algebra, las cuatro operaciones aritmeticas sobre

cantidades algebraicas, la elevacion a potencias y extraccion de raıces de cantidades li-

terales y la explicacion de las cantidades imaginarias. En la segunda parte se presentan

la resolucion de las ecuaciones de primer grado; la elevacion al cuadrado y extraccion de

raıces cuadradas de un polinomio, y la elevacion de un polinomio a una potencia cualquiera;

la resolucion de las ecuaciones determinadas de segundo grado y el metodo general para

resolver las de grados superiores; las razones y proporciones; la regla de tres y de companıa;

la regla de falsa posicion; las progresiones aritmeticas y geometricas; los logaritmos y la

aplicacion de estos para la extraccion de raıces; las ecuaciones indeterminadas de primer

grado y las permutaciones y combinaciones105.

Por su parte, en el Catecismo de algebra de Nunez de Arenas se encuentran los siguien-

tes temas: caracterısticas y sımbolos del algebra; las cuatro operaciones aritmeticas entre

cantidades algebraicas; potenciacion y radicacion de cantidades algebraicas; las cantidades

radicales y las operaciones aritmeticas entre cantidades radicales; las cantidades imagi-

narias y las operaciones aritmeticas entre cantidades imaginarias. Razones, proporciones,

progresiones aritmeticas y geometricas; logaritmos, la regla de tres simple y compuesta,

regla de companıa, aligacion, falsa posicion y regla de interes; ecuaciones de primer y

segundo grado y su resolucion106.

Al comparar los contenidos de las secciones de algebra en los compendios y los textos

de algebra, vamos a encontrar muchos temas en comun que surgen de la traduccion o

adaptacion de otros textos, cosa que no es extrano en este tipo de manuales. En realidad

la comparacion nos es util para resaltar los temas que se dejan de explicar en uno u

otro libro, o aquellos en que la explicacion es somera o profunda, pues esto nos permite

concluir aspectos sobre el manual, sobre su autor y sobre el tipo de publico al que estaban

dirigidos. En este caso al comparar el Compendio de Vallejo con el Catecismo de Nunez de

Arenas podemos notar que el Compendio de Vallejo trata los mismos temas que venıamos

viendo desde los Principios de matematica de Bails, excepto la solucion de los sistemas de

103Dionisio H. Araujo, Tratado de algebra, destinado a la ensenanza (Cartagena: Tipografıa de Antonio

Araujo, 1877), p. 1.104Jose Mariano Vallejo Compendio de matematicas puras y mixtas, pp. 481–483.105Mariano Vallejo, Compendio de matematicas puras y mixtas, pp. 481-482.106Jose Nunez de Arenas, Catecismo de algebra, p. 135.

29


ecuaciones lineales. De otro lado los temas en el Catecismo de Nunez de Arenas se enfocan

principalmente en el manejo de expresiones algebraicas y en la aplicacion del algebra a

problemas comerciales por medio de la regla de tres, de companıa, de interes, de aligacion,

etc; descuidando las explicaciones de la teorıa de ecuaciones. Es decir que mientras que el

manual de Vallejo se presenta como una continuidad en el estilo de Bails, el catecismo se

enfoca mas en el manejo basico de las expresiones algebraicas, util en un curso de inferior

o para instituciones cuyo proposito fuese la ensenanza mınima del algebra.

En conclusion, la ensenanza de las matematicas se abrio poco a poco un lugar en los

planes de estudio de colegios y universidades. Primero como instrumental a la filosofıa

natural y posteriormente a la ciencia, pero siempre bajo la sombra de un area que sı fuese

productiva para el beneficio del paıs.

Las matematicas, que como conjunto fueron tratadas en el periodo colonial, en la refor-

ma de Santander y mucho mas en la de Ospina Rodrıguez, se fragmenta en una variedad

de areas como lo son: la aritmetica, el algebra, la geometrıa, la trigonometrıa, la tenedurıa

de libros, etc. Tales areas reunidas en una sola categorıa como es las matematicas, pero

por separado despues de la reforma de Santander fueron ganado poco a poco un ligar

en los planes de estudio; puesto, que ganaban sobre todo cuando lograban acreditar su

importancia para el desarrollo de las ciencias.

30

Capıtulo 2.

El Colejio Militar y la publicacion del primer texto dealgebra colombiano

En Colombia no se ha realizado un estudio que profundice sobre la intervencion de los

cuerpos militares en las ciencias, ni en las matematicas, o sobre el tipo de ciencia que fue

promovida y ensenada por ellos. La mayor parte de la historia militar que se ha hecho en

Colombia apunta a la biografıa de los hombres involucrados en las guerras y a la narracion

de las batallas, por lo cual aun desconocemos el papel historico de los adelantos cientıficos y

tecnicos, tales como: la fortificacion, la artillerıa, la arquitectura, la geometrıa descriptiva,

la mecanica y la hidraulica, tuvieron en las multiples batallas acontecidas en Colombia.

Por esta razon en este capıtulo nos proponemos presentar algunas generalidades sobre los

intentos desde el flanco militar de establecer una educacion tecnica para los oficiales a

principios del siglo XIX, hasta la fundacion del Colegio Militar, la primera institucion en

formar ingenieros civiles y militares en el paıs. Queremos, pues, contribuir al estudio de

las relaciones entre la ciencia y la tecnica con las fuerzas militares en el siglo XIX.

El Colegio Militar cambio el panorama de la ensenanza de las matematicas, porque la

formacion tecnica que esta institucion querıa ofrecer a sus estudiantes, requerıa establecer

altos estandares en matematicas diferentes a los que las instituciones educativas civiles

ofrecıan en ese momento. Ademas, dado que en el paıs la circulacion de manuales de

ensenanza de las matematicas era reducido, algunos de los profesores de esta institucion

optaron por utilizar sus apuntes de clase para publicar textos en diversas areas de las

matematicas. Este fue el caso de Lino de Pombo quien en 1850 publica las Lecciones de

jeometrıa analıtica107 y ocho anos despues, las Lecciones de aritmetica i aljebra108, el primer

manual de ensenanza del algebra escrito por un colombiano y publicado en Colombia. En

la segunda parte de este capıtulo estudiaremos el texto de Lino de Pombo, haremos un

pequeno esbozo biografico de su autor y analizaremos como permite la continuacion de la

escuela en el tiempo de la que habıamos hablado en el capıtulo anterior.

2.1. La ensenanza de las matematicas desde el flanco militar

A principios del siglo XIX se presento a consideracion el “Plan razonado de un cuerpo

militar de ingenieros mineralogicos en el Nuevo Reino de Granada”109, documento que se

107Lino de Pombo, Lecciones de jeometrıa analıtica (Bogota: Imprenta del Dıa, por Jose Ayarza, 1850).108Lino de Pombo, Lecciones de aritmetica i aljebra. op. cit.109Guillermo Hernandez de Alba (comp.) Documentos para la historia de la educacion en Colombia

1800-1806 (Bogota: Editorial Kelly, 1985, Tomo VI), p. 208.

31

Capıtulo 2. El Colejio Militar y la publicacion del primer texto de algebra colombiano

databa entre 1812–1815 y cuya autorıa era atribuida a Francisco Jose de Caldas. Pero el

analisis hecho por Jose Antonio Amaya a este documento, muestra que el plan debio ser

escrito a finales de 1802 por un hombre con formacion militar, probablemente un coronel110.

El plan tenıa como proposito presentar los beneficios economicos de fundar en el Nuevo

Reino de Granada una escuela de mineralogıa, porque ası se aprovecharıan los vastos

recursos existentes en las minas y se reactivarıa la economıa del Nuevo Reino de Granada111.

En el plan no especifica que areas se debıan tener en cuenta en la formacion de los

cadetes, pero se hace alusion a los estudios de las ciencias utiles y al estudio de la filosofıa

natural112. Aunque no se ejecuto, hace parte de las iniciativas desde el ala militar del

gobierno de utilizar la filosofıa natural para la reactivacion de la economıa en la Nueva

Granada.

Algunos anos despues, el primer presidente de la naciente republica, Antonio Narino,

creo el cuerpo de ingenieros cosmografos en 1811 y nombro a Caldas como capitan para

el Estado de Cundinamarca113. Este nombramiento llevo a Caldas a dedicarse a estudios

alejados de sus intereses, pero en los que alcanzo notables adelantos como nos lo explica

Lino de Pombo en la biografıa que hizo de Caldas:

Caldas tuvo que dedicarse a estudios militares: a la artillerıa, la fortificacion

permanente y de campana, el ataque y defensa de plazas, las construcciones militares

y la ciencia de la guerra, por los libros que pudo encontrar; y pronto se vera que hizo

en esos estudios, tan extranos de sus inclinaciones, notabilısimos adelantos114

La formacion del arma de ingenieros en los cuerpos militares, no corresponde a las

instituciones o planes educativos que hemos venido estudiando, pero consideramos que es

110Jose Antonio Amaya, Cuestionamientos internos e impugnaciones desde el flanco militar a la

Expedicion Botanica, inedito, p. 3.111Guillermo Hernandez de Alba, Documentos para la historia de la educacion en Colombia, T. VI,

p. 213.112Guillermo Hernandez de Alba, Documentos para la historia de la educacion en Colombia, T. VI,

p. 213.113Lino de Pombo, Estudios varios, precedidos de la biografıa del sabio (Bogota: Imprenta Nacional,

1941), p. 39. A este cuerpo tambien pertenecıa Jose M. Gutierrez como teniente y Luciano D’Elhuyar como

alferez. Vease: Camilo Riano “El coronel Francisco Jose de Caldas”, en Caldas 1768–1816: Francisco

Joseph de Caldas y Thenorio, eds. Luis Carlos Arboleda, Santiago Dıaz–Piedrahita & Rosario Molinos

(Bogota: Colciencias - Molinos Vasquez Editores, 1994), p. 148.114Lino de Pombo, Estudios varios, precedidos de la biografıa del sabio, p. 39. Pero no fue el unico,

Lino de Pombo siendo ya cadete, saco tiempo de sus ocupaciones como estudiante del Colegio del Rosario

para, como el mismo menciona, traducir “ıntegro el tratado de artillerıa de Le Blond, [extractando] los de

ataques y defensa de plazas del mismo autor”. Vease: Jose M. de Mier, El ingeniero don Lino de Pombo

(Bogota: Sociedad Colombiana de Ingenieros, 2001-2003), p. 9.

32


importante traerlo a discusion porque la formacion de este cuerpo eventualmente permitirıa

la formacion de cadetes para la asignacion de misiones y la consecucion de libros para su

formacion y para la construccion de una biblioteca militar, lo que efectivamente sucedio en

el Estado de Antioquia.

Cuando Caldas deserto de las filas centralistas y se refugio en el estado de Antioquia,

fue acogido por el dictador Juan del Corral quien lo incluyo en distintos proyectos entre

ellos el diseno y fundacion de una Academia de Ingenieros Militares para la instruccion

cientıfica de doce alumnos, todos ellos cadetes del ejercito115.

La “Escuela Militar de Cuerpos Facultativos” funciono en Medellın desde agosto de

1814 hasta septiembre de 1815, epoca en la que Caldas se traslado a Bogota con seis

cadetes, con el proposito de fundar otra escuela militar en la capital116. Aunque la escuela

en Medellın continuo sus labores despues de la partida de Caldas, pocas semanas despues

cerro sus puertas.

En el discurso ofrecido por Caldas el primer dıa de clases de la escuela en Antioquia,

resalto la importante labor social y polıtica que les esperaba a los jovenes cadetes y les

explico los cursos que tenıa planeado ofrecer en la recien creada institucion y sobre todo los

preliminares en matematicas que deberıan superar para poder avanzar en el arte militar:

[El curso militar] se compondra de seis tratados, sin contar con los preliminares

de aritmetica, geometrıa, trigonometrıa, algebra hasta el segundo grado [ecuaciones

de segundo grado], y el conocimiento de la parabola117.

Como vimos, estos temas no corresponden a la ensenanza promedio dada en las institu-

ciones educativas civiles. El caracter tecnico de esta instituciones fue lo que impulso la

intensificacion de la ensenanza de temas de matematicas, y aunque el funcionamiento de la

escuela fue corto, representaba el interes desde el flanco militar de utilizar la ciencia para

el desarrollo del arte de la guerra y por supuesto para el beneficio economico del paıs.

En la segunda republica se pueden observar nuevos intentos por establecer una edu-

cacion tecnica y cientıfica para los cuerpos militares. En 1822 se decreto la fundacion de

una Escuela Nautica en Cartagena118, en la que los alumnos debıan recibir lecciones de

115Lino de Pombo, Estudios varios, precedidos de la biografıa del sabio, pp. 41-42.116Camilo Riano, “El coronel Francisco Jose de Caldas”, p. 151.117Francisco Jose Caldas, “Discurso preliminar que leyo el ciudadano Coronel Francisco Jose de

Caldas el dıa en que dio principio al curso militar del cuerpo de ingenieros de la republica de Antioquia”,

en Obras Completas de Francisco Jose de Caldas (Bogota: Universidad Nacional de Colombia, 1966), pp.

77-78. El conocimiento de la parabola y de necesidad de las ecuaciones de segundo grado (ax2+bx+c = 0),

aparece remarcado fuera de los temas del algebra y la geometrıa analıtica, pues su conocimiento era

indispensable para comprender la trayectoria de las balas disparadas por un canon.118Esta medida en realidad es la reapertura de la escuela Nautica que habıa funcionado en Cartagena

33


aritmetica y algebra, de artillerıa, de geometrıa especulativa y practica, de geografıa, de

trigonometrıa rectilınea y metrica, de cosmografıa, de navegacion, de dibujo, de los idiomas

frances e ingles y de maniobras y de faenas119.

De nuevo la formacion en matematicas que se esperaba dar sobrepasa la ofrecida para

las instituciones de educacion civil. Pero la Escuela Nautica tambien pasa por los problemas

economicos que las escuelas civiles enfrentan cuando intentan ofrecer ensenanzas tecnicas

en un paıs sin los recursos suficientes para mantener a flote la educacion primaria propuesta

en la reforma de Santander, por lo cual la Escuela fue cerrada en 1831120 y posteriormente

fue adicionada como dependencia de la Universidad del Magdalena, en 1833121.

Poco despues, la ley primera de 29 de abril de 1836 dispuso que en cada una de las

universidades de la Republica se ofreciesen “ensenanzas militares” a los jovenes122. Estas

ensenanzas estaban compuestas de nautica, matematicas puras, artillerıa, fortificaciones y

practica militar y ciencias de la guerra, que debıan ofrecerse de acuerdo a la posibilidades

en la Universidad Central, del Magdalena y del Cauca123, la ley tambien expresaba que para

ingresar a las clases militares los estudiantes debıan certificar “haber estudiado gramatica

espanola, lojica, ideologıa, moral, principios elementales de matematicas i fısica, i obtener

aprobacion de un examen de estas materias”124. En principio supusimos que esta hacia

parte de las muchas iniciativas gubernamentales poco exitosas, pero en un cartel que se

encuentra en el Fondo Pineda de la Biblioteca Nacional pudimos apreciar que no fue ası. El

cartel lleva por tıtulo La clase de matematicas de Instruccion Militar125 y en el se anuncia

un certamen publico donde 4 alumnos de la clase de matematicas de instruccion militar

presentaran conclusiones en algebra y geometrıa especulativa126. Este cartel es la prueba

de la existencia de las clases de instruccion militar y que tales lecciones no se quedaron en

el papel, o que por lo menos fueron llevadas a cabo las clases de matematicas de todos los

cursos que se esperaban ofrecer.

desde el periodo colonial. Vease: Guillermo Hernandez de Alba, Documentos para la historia de la

educacion en Colombia, T. IV p. 338.119Luis Horacio Lopez, Obra Educativa de Santander 1819-1926. (Bogota: Biblioteca de la presidencia

de la Republica, 1990, Tomo I), p. 65120Evelyn Ahern, “El desarrollo de la educacion en Colombia 1820-1850”, p. 24.121Luis Horacio Lopez, Obra Educativa de Santander 1819-1926., T. II, p. 150.122Felipe Perez, Geografıa general fısica y polıtica de los Estados Unidos de Colombia y geografıa

particular de la ciudad de Bogota (Bogota: Imprenta de Echeverrıa Hermanos, 1883), p. 275.123Lino de Pombo, Recopilacion de leyes de la Nueva Granada (Bogota: Imprenta de Zoilo Salazar, por

Valentın Martınez, 1844), p. 400.124Lino de Pombo, Recopilacion de leyes de la Nueva Granada, p. 401.125B.N. La clase de matematicas de Instruccion Militar,(s.n.), circa 1836. Vease: Anexo 1.126Los alumnos estaban bajo la direccion de Blas Bruzual, un militar venezolano refugia-

do en Bogota desde 1835. Vease: Frank Rodrıguez, eds. Blas Bruzual (Caracas, 2002),

htpp://www.venezuelatuya.com/biografıas/blas bruzual.htm

34


En este intento, de nuevo, las iniciativas cientificistas del ala militar, contrastan con la

realidad de la educacion civil y con la precariedad de los fondos para llevar a cabo tales

proyectos.

Aunque las iniciativas descritas anteriormente, no tuvieron la continuidad suficiente

para afirmar la formacion continua de los oficiales militares, el arma de ingenieros, fundado

por Narino, funciono continuamente en todo el siglo XIX127.

Solo hasta 1848 se logro el establecimiento de un colegio militar que ofreciera una

educacion tecnica y cientıfica capaz de formar ingenieros civiles y militares. Esta institucion

cambio el panorama de la ensenanza de las ciencias y de las matematicas y es de enorme

importancia para entender las relaciones que se tejen entre algunos de los textos de algebra,

centro de este analisis, y sus autores.

2.2. El Colegio Militar

El Colegio Militar, fue una institucion creada y puesta en funcionamiento en la primera

administracion del General Tomas Cipriano de Mosquera (1845-1849), pero a diferencia

de las anteriores iniciativas de cientifizacion de los cuerpos militares, esta institucion tuvo

continuidad y sirvio de modelo a las futuras escuelas de ingenierıa del paıs, y es segun

nuestra opinion, una de las instituciones cientıficas mas solidas de las primeras seis decadas

siglo XIX.

El Colegio Militar se establecio por la Ley 6.a del primero de Junio de 1847128, bajo

la direccion de la Secretaria de Guerra y Marina, con el proposito de formar “Oficiales

cientıficos de Estado mayor, de ingenieros, de artillerıa, de caballerıa e infanterıa, e inge-

nieros civiles”129, es decir, su proposito era la formacion de militares con conocimientos

cientıficos en ingenierıa, tal como en su momento fue pensada la Academia de Ingenierıa

Militar que Caldas fundo en Medellın en 1814. Y aunque su periodo de existencia fue corto

(1848–1854), esta institucion fue el nicho de formacion de los primeros ingenieros prac-

ticantes del paıs y de esta forma facilito la aceptacion de la ingenierıa como una nueva

alternativa de profesion para los jovenes neogranadinos, la cual era una de las principales

metas del plan de Ospina Rodrıguez.

Esta institucion logro establecer altos parametros en la ensenanza de las matematicas,

lo que hasta el momento ninguna institucion habıa logrado, incluso despues de la reforma

127Vease: Escuela de los Ingenieros Militares, Historia de los ingenieros militares de Colombia (Bogota:

Tempora Impresores, 1992), p. 16.128Jose Antonio de Plaza, Apendice de la recopilacion de las leyes de la Nueva Granada (Bogota:

Imprenta del Neogranadino, por Ramon Gonzalez, 1850), p. 251129Jose Antonio de Plaza, Apendice de la recopilacion de las leyes de la Nueva Granada, p. 251.

35


educativa de Ospina Rodrıguez. Desde el ingreso, los jovenes aspirantes al colegio debıan

presentar un examen de admision donde demostraran sus conocimientos en:

en traduccion de frances e ingles, aritmetica, aljebra i jeometrıa [...] Abrazara el

examen de aritmetica, el sistema de numeracion, las operaciones fundamentales con

numeros enteros, simples i complejos, con fracciones decimales i comunes, las pro-

porciones i progresiones, i la esposicion del sistema metrico decimal; en aljebra hasta

la resolucion de las ecuaciones determinadas de segundo grado, la formacion de po-

tencias i la estraccion de las raices cuadrada i cubicas de las cantidades numericas; i

en geometrıa, ademas de los principios fundamentales, las teorıas de las lıneas com-

binadas entre sı i con las lıneas rectas, sobre los cuerpos poliedros i de revolucion, i

sobre la medicion i comparacion de volumenes130.

De ninguna forma lo exigido en este examen de admision corresponde al nivel exigido

en las escuelas de primeras letras, como lo vimos en secciones anteriores, de modo que

solo un joven que hubiese salido de un colegio o casa de educacion con un alto nivel en

matematicas o que se dedicara a un estudio serio de esta ciencia de forma autodidacta

podrıa pasarlo. Esta exigencia que no se ajustaba a la realidad forzo la apertura de cursos

preparatorios que permitieran posteriormente el ingreso formal al Colegio, es muy diciente

del nivel al que se aspiraba en la institucion.

En este decreto tambien se establece la organizacion de la ensenanza de las matemati-

cas:

Habra tres cursos sucesivos de matematicas, a saber: Curso 1.o Aritmetica, alje-

bra, jeometrıa especulativa, jeometrıa practica, trigonometrıa rectilınea y trigonome-

trıa esferica.

Curso 2.o Jeometrıa analıtica, secciones conicas, jeometrıa descriptiva con sus apli-

caciones, i los principios de optica aplicables a la perspectiva i a la teorıa de las

sombras.

Curso 3.o Calculo diferencial e integral, mecanica i maquinaria, cosmografıa, caminos,

puentes i calzadas.131.

El primer y segundo ano de matematicas era obligatorio para todos los alumnos y

dependiendo a que cuerpo militar quisieran ingresar despues del grado, los ultimos tres

anos variaban132.

130A.G.N. Copia del decreto ejecutivo, organico del Colejio Militar Julio de 1847. Fondo: Enrique Ortega

Ricaurte. Seccion: Coleccion. Caja: 12. Rollo: 6. Folio 15.131A.G.N. Copia del decreto ejecutivo, organico del Colejio Militar. Folio 27.132A.G.N. Copia del decreto ejecutivo, organico del Colejio Militar. Folio 27-28.

36


El Colegio comenzo clases el 2 de enero de 1848 con 18 alumnos133 admitidos a las clases

regulares y 16 jovenes134 admitidos a la clase preparatoria. La administracion quedo orga-

nizada de la siguiente forma: el director era el general Jose Marıa Ortega, Lino de Pombo

era el profesor de matematicas, Jose Marıa Galavis el profesor de legislacion militar, San-

tiago Fraser el inspector y Miguel Bracho el profesor de dibujo135. Poco tiempo despues,

ingreso como alumno a este colegio Indalecio Lievano, el segundo en publicar un texto de

algebra136 en Colombia y uno de los alumnos mas sobresalientes de Lino de Pombo. Este lo

consideraba un ejemplo de cientıfico e investigador, digno de incentivar, lo cual explicarıa

la inclusion de un pequeno artıculo de Lievano sobre bases numericas en el texto de algebra

de Pombo137.

En principio el Colegio Militar estaba destinado a la formacion militar, pero Lino de

Pombo y parte de los profesores del colegio, poco a poco desviaron la formacion a la de

una institucion de ingenierıa civil138, al punto de lograr derogar la ley que exigıa que los

estudiantes del colegio debıan presentar servicio militar posterior a la obtencion del grado

de Alferez o del certificado, emitido por el ejecutivo, como ingeniero civil139. Aunque el

colegio no cambio de nombre, los estudiantes correspondıan mas al perfil de ingeniero civil,

que al de militar.

La formacion ofrecida, con un riguroso enfasis en matematicas provoco la desercion

de muchos jovenes al finalizar el primer ano, pero los que permanecieron constituyeron

un grupo relativamente selecto de jovenes con altos conocimientos en matematicas, com-

parados con lo ofrecido por los establecimientos educativos civiles del momento. Esto co-

rrespondıa a las aspiraciones de Lino de Pombo de mantener un elevado nivel academico.

Con respecto a esto, Frank Safford comenta: “Los informes del Colegio Militar muestran

133Estos alumnos eran: Joaquin Barriga, Antonio Merizalde, Rafael Pombo (hijo de Lino de Pombo),

Miguel Pradilla, Jose Maria Arrubla, Ysac Arias Vargas, Pedro Herrera i Arce, Manuel Ponce, Juan Fran-

cisco Urrutia, Ignacio Ortega, Jose Cornelio Borda, Manuel Garcia Herreros, Alejo Hinestrosa, Celestino

Castro, Feliz Caro, Sisto Barriga. Vease: A.G.N. Seccion: Republica. Fondo: Secretaria de Guerra y Marina,

Tomo 715, folio. 922. Se respeto la ortografıa del documento.134Federico Rash, Antonio Ibanez (nieto de Antonio Narino), Jenaro Gaitan, Ramon del Castillo, Ignacio

Beltran, Ramon Posadas, Mario Padilla (tachado y remplazado por Gonzales Cararo), Aurelio Froes,

Francisco Maria Garcia Tejada, Isac Sanchez Rendon, Limon Salon, Leonidas Saledo, Ramos Espinas,

Gregorio Fernandes (tachado y remplazado por Simon Quevedo), Alejandro Ortega, Nicolas Caycedo.

Vease: A.G.N. Seccion: Republica. Fondo: Secretaria de Guerra y Marina, Tomo 715, folio. 932. Se respeto

la ortografıa del documento.135A.G.N. Noticias historicas. Seccion Republica. Fondo: Secretaria de Guerra y Marina, Tomo 747. folios

222–222r.136Indalecio Lievano, Tratado de algebra (Bogota: Imprenta de Medardo Rivas, 1875).137Lino de Pombo, Lecciones de aritmetica i aljebra, p. 174.138Frank Safford, El ideal de lo practico, p. 260.139John Lane Young, La reforma universitaria de la Nueva Granada, p. 97.

37


claramente que aunque Pombo nunca se desempeno como director del colegio, fue, en rea-

lidad, el alma de la empresa. Su liderazgo es evidente en todos los ambitos”140. Esto se

debe a que Pombo conocıa bien el funcionamiento de una escuela de ingenierıa, puesto que

habıa estudiado en la Escuela de Ingenierıa de Alcala de Henares, en Espana, entre 1818 y

1820, en donde recibio el tıtulo de “Subteniente aspirante al Cuerpo Nacional de Ingenieros

de Ejercitos, plazas y fortalezas con agregacion al Regimiento de Zapadores, minadores y

pontoneros”141.

El avance de los cursos de matematicas provoco que Lino de Pombo solicitara el nom-

bramiento de un segundo profesor de matematicas, la cual fue aceptada y el cargo fue

ocupado, en 1849, por Aime Bergeron142, quien era un ingeniero frances que hacıa poco

habıa llegado a la Nueva Granada143. Las clases de matematicas se dividieron entre ellos

dos y a finales de 1849 el colegio presento un certamen publico de las Clases de Instruc-

cion Cientıfica en el cual, los estudiantes del primer curso bajo la direccion del profesor

Aime Bergeron presentarıan conclusiones en aritmetica y algebra inferior y superior, geo-

metrıa y trigonometrıa, y los estudiantes del segundo curso de matematicas a cargo de

Lino de Pombo presentarıan conclusiones en geometrıa analıtica, geometrıa descriptiva y

sus aplicaciones a la teorıa de las sombras y a la perspectiva lineal144. La cantidad de cursos

en matematicas que se ofrecieron en esta institucion es mucho mas notoria en el aserto de

los examenes publicos del ano de 1852, en el que se anunciaba que los estudiantes de la

clase preparatoria, a cargo de Manuel Ponce de Leon145, presentarıan conclusiones en arit-

metica, algebra y geometrıa; los estudiantes del primer curso, a cargo de Aime Bergeron,

presentarıan conclusiones en aritmetica, algebra, geometrıa y trigonometrıa rectilınea; los

alumnos del segundo curso, a cargo de Lino de Pombo, presentarıan conclusiones en geome-

trıa practica y topografıa, geometrıa analıtica del plano, geometrıa analıtica del espacio y

geometrıa descriptiva; y por ultimo los alumnos del cuarto ano, a cargo de Aime Bergeron,

presentarıan conclusiones en maquinaria, construcciones, corte de piedras, astronomıa y

geodesia146.

140Frank Safford, El ideal de lo practico, p. 262.141Ramon Guerra Azuola, “Don Lino de Pombo: tributo en su centenario”, Anales de Ingenierıa.

Vol. 9, No. 101–102 (1897), p. 9.142Frank Safford, El ideal de lo practico, p. 262.143Vıctor Samuel Albis, “A falta de una iconografıa de Aime Bergeron”, Revista de la Academia

Colombiana de Ciencias Exactas Fısicas y Naturales, Vol: 22, No. 85 (1999), p. 588.144B.N. Colegio Militar: Programa de los examenes de las clases de instruccion cientıfica de dicho es-

tablecimiento, Bogota: [s.n.], 1849.145Uno de los primeros alumnos graduados como ingeniero civil. Vease: Gabriel Poveda Ramos,

“Ingenierıa e historia de las tecnicas”, en Historia Social de la Ciencia en Colombia, eds. Carlos Eduardo

Vasco, Diana Obregon & Luis Orozco (Bogota: Colciencias, 1993, Tomo IV), p. 75.146Programa de materias para los examenes de matematicas del Colejio Militar, Bogota: [s.n.], 1852.

Vease: Anexo 2.

38


Muchas de estas materias fueron dictadas por primera vez en Colombia en esta institu-

cion y como lo senala Gabriel Poveda Ramos los primeros ingenieros colombianos fueron

los alumnos del Colegio Militar147. El colegio cerro sus puertas en 1854, despues de la ley

de 10 de octubre del mismo ano, que suprimio entre otros creditos el que correspondıa al

personal y material del colejio148, debido a la guerra que se presento en ese mismo ano.

Consideramos que esta institucion fue coyuntural al desarrollo de la ensenanza de las ma-

tematicas en el siglo XIX, en Colombia. Su establecimiento no solo sirvio de modelo a las

futuras escuelas de ingenierıa del paıs, sino que ademas sus altos parametros de formacion

en matematicas provocaron que algunos de sus profesores y ex-alumnos escribieran textos

para el servicio del Colegio Militar o de cualquier otra institucion que estuviera interesada

en aumentar su nivel en matematicas. Tal es el caso de los textos:

• Lecciones de Matematicas, primera parte: Aritmetica, de Aime Bergeron149.

• Curso de matematicas para uso de las universidades i colejios de la Nueva Granada:

Aritmetica, de Miguel Bracho150.

• Lecciones de jeometrıa analıtica, de Lino de Pombo151.

Y aunque el Colegio Militar ya habıa cerrado sus puertas, Lino de Pombo publica

en 1858, un segundo texto de matematicas titulado Lecciones de aritmetica i aljebra, el

cual se constituye como el primer texto algebra escrito por un colombiano y publicado en

Colombia. En la siguiente seccion haremos una analisis de este y de su autor.

En 1866 Tomas Cipriano de Mosquera, de nuevo como presidente de la Republica,

intenta reabrir el Colegio Militar, esta vez bajo el nombre de Escuela Politecnica y Colegio

Militar, pero tal Escuela solo funciono por un ano y posteriormente fue anexada como

Escuela de Ingenierıa a la Universidad Nacional, pero esto lo veremos con mas detalle mas

adelante.

147Los estudiantes graduados de ingenierıa civil del Colegio Militar fueron: Joaquın B. Barriga, Jose Cor-

nelio Borda, Ignacio Ortega, Rafael Pombo, Nicolas Caicedo D’Elhuyar, Antonio Dussan Manrrique, Juan

Nepomuceno Gonzales Vasquez, Juan Manuel Ponce de Leon, Juan Francisco Urrutia, Juan Esteban Za-

marra, Alejandro Ortega, Indalecio Lievano, Manuel H. Pena y Fidel Pombo. Vease: Gabriel Poveda

Ramos, “Ingenierıa e historia de las tecnicas”, Tomo IV, p. 75.148A.G.N. Noticias historicas. Seccion: Republica. Fondo: Secretaria de Guerra y Marina, Tomo 747.

Folios 222r-223.149Aime Bergeron, Lecciones de Matematicas, primera parte: Aritmetica (Bogota: Imprenta de Ancizar,

1848).150Miguel Bracho, Curso de matematicas para uso de las universidades i colejios de la Nueva Granada:

Aritmetica (Bogota: Imprenta de Ancizar, 1848).151Lino de Pombo, Lecciones de jeometrıa analıtica Bogota: Imprenta del Dıa, por Jose Ayarza, 1850.

39


2.3. El texto de algebra de Lino de Pombo

Como lo habıamos mencionado anteriormente, a diferencia de otras ciencias, los con-

tenidos de estos libros no cambian drasticamente, ni sus autores pueden reinventar o re-

definir contenidos, por lo tanto la comparacion con textos extranjeros solo nos indicarıa

traduccion y adaptacion. Lo que hace relevante los contenidos de los libros es la distribucion

de sus contenidos, el orden en que se propone la ensenanza de sus temas, las explicaciones

de los conceptos y los ejemplos, al igual que los conceptos que omiten o lo que se esfuerzan

por explicar.

En la segunda mitad del siglo XIX se publicaron nueve textos de algebra, de los cuales

haremos, mas adelante, una descripcion detallada. Por ahora nos ocuparemos del texto de

Lino de Pombo.

El texto Lecciones de aritmetica i aljebra escrito por Lino de Pombo y publicado en

Bogota por la Imprenta de la Nacion en 1858, es, al parecer, el primer texto de algebra

escrito por un colombiano y el unico de los libros a estudiar en que se incluyen temas de

la aritmetica.

Pagina titular del texto Lecciones de aritmetica i aljebra152

Pombo fue la cabeza de la planeacion y direccion del colegio Militar y como profesor de

152Tomada del ejemplar existente en la biblioteca de la Sociedad Colombiana de Ingenieros.

40


este, se encargo de las clases de aritmetica, algebra, geometrıa, trigonometrıa, topografıa,

geometrıa analıtica y geometrıa descriptiva, y en ocasiones calculo diferencial e integral153,

como se pudo apreciar en los asertos descritos en la seccion anterior.

Para el desarrollo de estas catedras, Pombo se guio por cuadros sinopticos que constru-

yo154. Pero cansado de los cuadros, publico en 1850 las Lecciones de jeometrıa analıtica155

que sirvieron de texto guıa en los ultimos anos de funcionamiento del Colegio.

Para Pombo:

La falta de testos adecuados para la ensenanza o solitario aprendizaje de varios

ramos de las matematicas puras en su estado actual de adelanto, falta lamentable en

la presente epoca en que principia a estar en boga en el paıs el estudio reflexivo de

las ciencias esactas, es lo que ha motivado la publicacion de esta obra, como ensayo

para otras de la misma especie156

Ocho anos despues de la publicacion del texto de geometrıa analıtica, publica el texto

Lecciones de aritmetica i aljebra. La pregunta que surge inmediatamente es: ¿por que incluir

en un solo libro estas dos materias y no mas bien publicarlas por separado? A lo que Pombo

responde en las primeras lıneas de la introduccion del libro:

No es cosa inusitada la combinacion de la Aritmetica con el Aljebra, para la

mejor ensenanza de estos dos ramos de las Matematicas que en realidad constituye

uno solo, la ciencia elemental del calculo157

Al publicar un texto que incluye aritmetica y algebra, esta utilizando la estrecha relacion

entre estas dos areas, para mejorar la comprension de su texto. Ademas, de las 35 lecciones

en que esta dividido este texto, solo 8 corresponden a la aritmetica y las restantes 27 al

algebra.

El algebra requiere de la abstraccion de cantidades. Ya no se refiere como en la aritme-

tica a cantidades fijas como 3 o 3891, sino a expresiones arbitrarias como a o

1290 · a + a2. Esto no implica que el trabajo deje de hacerse sobre cantidades numeri-

cas, pero la abstraccion confunde y Pombo intenta mostrar en su introduccion que las

herramientas de analisis ofrecidas por el algebra facilitan el entendimiento de variados

problemas y generalizan lo aprendido en la aritmetica.

153Guerra Azuola, Ramon. “Don Lino de Pombo: tributo en su centenario”, p. 18.154Lino de Pombo, Lecciones de aritmetica y aljebra, p. v.155Lino de Pombo Lecciones de jeometrıa analıtica, Bogota: Imprenta del dıa, por Jose Ayarza. 1850.156Lino de Pombo, Lecciones de jeometrıa analıtica, p. iii.157Lino de Pombo, Lecciones de aritmetica y aljebra, p. v.

41


... al tratarse de las operaciones con las diversas clases de numeros, quedan atras

las cuatro fundamentales, los raciocinios a los que hai que ocurrir se complican i

oscurecen, e insuficientes al fin tienen que ser suplidos o complementados por esfuer-

zos de memoria con detrimento de las facultades intelectuales si no interviene con

oportunidad el Aljebra. Esta aclara, simplifica i generaliza las cuestiones, pone en

evidencia para su resolucion el enlace de los datos, fija con rigor los principios, abre

certera via para establecer y perfeccionar las reglas de procedimiento.158

Con la aritmetica se obtiene un numero como solucion de un problema especıfico, mien-

tras que con el algebra se entiende el problema, se expresa y se generaliza a otros problemas

con similares condiciones, asignandole el mismo procedimiento general de solucion.

Ya habiendo demostrado Pombo la importancia de los temas que escogio para su texto,

debıa demostrar su idoneidad para desarrollar y exponer estos temas, y exhibir que factores

o caracterısticas lo capacitaban para desarrollar esta labor de forma clara y provechosa para

el lector.

El Autor de esta obra confıa en que algunos anos de esperiencia profesional en

establecimientos publicos, el estudio reflexivo de los grandes maestros i no pocas

investigaciones propias, le habran hecho capaz de escoger i encadenar bien las mate-

rias comprendidas dentro de los forzosos lımites de su plan, darles en ciertos puntos

diverso jiro o mas ventajosa forma, i facilitar el acceso a ellas para toda regular

inteligencia esponiendolas con laconismo sin perjuicio de la claridad.159

Su experiencia como docente, el estudio autonomo de los “grandes maestros” y sus

investigaciones personales, parecen ser factores suficientes para demostrar su idoneidad

como autor de este tipo de publicacion. Llama la atencion el hecho de que se refiera

a “investigaciones propias”, lo que muestra que el se suscribe al plano academico de la

investigacion y no se ve ası mismo como un simple educador y escritor de libros. Podemos

suponer que la palabra no fue ingenuamente utilizada, sino mas bien, intenta subrayar que

su conocimiento de los problemas practicos y de la resolucion de ellos con las herramientas

de la matematica lo capacita para escoger y exponer los temas de mayor utilidad. Al

mencionar su conocimiento de los grandes maestros, suponemos que se refiere a: Benito

Bails, Principios de Matematica de la Real Academia de San Fernando160, que era de

frecuente uso en la epoca en que estudio en el Colegio de Nuestra Senora del Rosario, a

Jose Mariano Vallejo, Compendio de Matematicas puras y mixtas161, que hacıa parte de

158Lino de Pombo, Lecciones de aritmetica y aljebra, p.v.159Lino de Pombo, Lecciones de aritmetica y aljebra, p. v.160Benito Bails, Principios de Matematica de la Real Academia de San Fernando, op. cit.161Jose Mariano Vallejo, Compendio de Matematicas puras y mixtas, op. cit.

42


la biblioteca del Colegio Militar162, y posiblemente otros muy en boga en su tiempo como

Elemens d’Algebre163 de Louis Pierre Marie Bourdon, o a Elemens d’algebre: a l’usage

de l’ecole centrale des quatre-nations164 de Silvestre Francois Lacroix. Por otra parte, en

su libro Pombo menciona el libro de algebra de Mayer y Choquet165 para explicar por

que prefiere un metodo debido a Euler al expuesto por estos autores.

Describe la escritura de su trabajo como laconica, pero no le parece que esto entorpez-

ca el claro entendimiento de los temas allı expuestos. Ademas, para el, su texto facilita

el entendimiento de los temas para cualquier “regular inteligencia”, expresando que no

esta dirigido a mentes privilegiadas sino a todo aquel que se interese por aprender.

La compra de textos para el aprendizaje autonomo era una practica comun y dado

que la publicacion de este texto no tiene en principio un mercado de compra, pues no fue

publicado para una institucion en particular, como sı lo tenıan las Lecciones de jeometrıa

analıtica que publico para los alumnos del Colegio Militar, pudo ser muy util para su

eventual comercializacion enunciar que este texto podıa se utilizado por cualquier persona

interesada en estos temas.

Parte de los problemas que tuvo que enfrentar el Colegio Militar fueron las quejas sobre

el alto nivel en matematicas exigido a sus alumnos y que solo era cumplido por unos pocos

jovenes166. Pombo habıa tenido que enfrentar tales quejas, que por cierto eran justificadas

como lo vimos en la seccion anterior, y si deseaba comercializar su texto, debıa explicar

que aunque este era fruto de su trabajo en el Colegio, lo habıa disenado de forma que

pudiera ser entendido por un publico mas amplio.

Aun ası debıa senalar a quien estaba dirigido su texto, senalar un mercado de compra

y la mejor forma era llamando la atencion sobre donde y como debıa ser utilizado:

Con abundante fondo en pocas pajinas para un estudio serio, encierra este li-

bro mas de lo que conviene o puede ensenarse en algunas casas de educacion de la

Republica: no se juzgue por esto impropia o embarazosa su adopcion por los Direc-

tores o Profesores i para los alumnos de aquellos establecimientos [...] Facil es para un

162Vease: Carta remitida por Lino de Pombo, el 28 de octubre de 1847 a la Secretaria de Guerra y Marina.

Seccion: Republica, Fondo: Guerra y Marina, Tomo 715, folio: 869. En esta carta obsequiaba al Colegio

Militar un ejemplar de este libro.163Louis Pierre Marie Bourdon, Elemens d’Algebre (Paris: Bachelier, 1837). Para efectos de este

trabajo se reviso la edicion en espanol de 1876.164Silvestre Francois Lacroix, Elemens d’algebre : a l’usage de l’ecole centrale des quatre-nations

(Paris: Chez Courcier, 1807), sexta edicion.165Mayer & Choquet, Traite elementaire d’algebre (Paris: Bachelier, 1836, 2a. edicion). Pombo se

refiere en el texto a la cuarta edicion de 1845.166Frank Safford, El ideal de lo practico. pp. 263 y 266.

43


maestro apto tomar de aquı para sus lecciones lo que admita cabida en su programa

pedagogico: i este seguro de que encontrara esplanado ıntegra i concisamente cuanto

fuere del caso.167

La distribucion del contenido del texto por lecciones facilita la adaptacion de este texto

a las necesidades particulares de las instituciones y de los alumnos. Prueba de ello es que

en las instituciones en que fue utilizado, los carteles o asertos en que se invitaba a los

examenes publicos, no se publicaba la lista de preguntas sino que los temas de evaluacion

se remitıan a secciones del texto de Pombo168 y aunque el mismo Pombo advierte que

encierra mas temas de los necesarios, esto tambien pudo facilitar la adopcion de este texto

en distintos niveles de ensenanza.

Pombo en el prologo de las Lecciones de jeometrıa analıtica se quejaba de la falta de

textos adecuados y sobre todo actualizados, por lo cual su texto lo presenta como una

mejor alternativa a otros textos que circulan por el paıs y a los cuales el se refiere en los

siguientes terminos:

...peor sera mil veces continuar echando mano de los insustanciales catecismos

de importacion estranjera que han estado en boga, apenas adaptables a las escuelas

primarias, en que la voz viva tiene tanto que suplir o comentar.169

Al catecismo al que se refiere es el Catecismo de Algebra de Jose Nunez de Arenas170.

Este texto expone los temas por medio de preguntas y respuestas cortas, lo que hace

mecanico el aprendizaje de los temas, simplifica enormemente las explicaciones, dificulta

la ensenanza de temas que no pueden ser ensenados al recitar un parrafo de memoria y que

merecen una explicacion mas detallada, al igual que impide realizar ejercicios interesantes

y calculos largos.

2.3.1. El contenido de las Lecciones

La aritmetica en las Lecciones

El texto, como lo habıamos senalado antes, comprende 35 lecciones y un apendice. Las

primeras ocho corresponden a las lecciones de aritmetica, las restantes 27 al algebra y el

167Lino de Pombo, Lecciones de aritmetica i aljebra, p. vi.168Vease: B. N. Coleccion de los programas para los certamenes publicos que han de presentar los alumnos

del colejio de San Jose de Marinilla (Medellın: Imprenta de Balcazar, 1859); o Ejercicios literarios del

seminario menor i colejio de los Padres de la companıa de Jesus (Bogota: Imprenta de F. Torres Amaya,

1859).169Lino de Pombo, Lecciones de aritmetica i aljebra, p. vi.170Jose Nunez de Arenas, Catecismo de Algebra, op. cit.

44


apendice comprende algunas propiedades de los sistemas numericos que son demostradas

con herramientas del algebra, y que corresponden a lo que hoy llamamos teorıa de numeros,

pero que Pombo denomina “[aritmetica] bajo mas importante aspecto i con la espansion

que le corresponde”171.

En las lecciones de aritmetica explica las nociones de cantidad, el sistema de numeracion

decimal, la adicion, sustraccion, multiplicacion y division en este sistema. A la par familia-

riza al lector con la nocion de orden y con los signos y sımbolos utilizados para representar

las operaciones. Al introducir el sistema decimal, se toma el cuidado de mostrar el mane-

jo de los numeros con desarrollo decimal y de esta forma desarrolla ejercicios con estas

operaciones utilizando tanto enteros como numeros con desarrollo decimal. Despues de

introducir la division, explica la nocion de divisibilidad, maximo comun divisor, mınimo

comun multiplo, fraccion o quebrado, las operaciones de suma, resta, multiplicacion y di-

vision de fracciones y el concepto de fraccion continua. Define numero conmensurable y

numero irracional o inconmensurable, el sistema metrico decimal, al igual que el sistema

de pesas, medidas y monedas vigente en la Nueva Granada y sus unidades de conversion,

al igual que algunas medidas, pesas y monedas espanolas, inglesas y norteamericanas.

Suponemos que este ultimo tema fue incorporado a la exposicion porque le facilitaba al

lector encontrar un primer ejemplo de aplicabilidad de lo estudiado en las lecciones prece-

dentes. Ademas, para la epoca de publicacion de este trabajo Pombo ya habıa desempenado

varios cargos publicos, en los que debıa manejar correctamente esta informacion.

En el cuadro a continuacion presentamos todos los cargos publicos en que se de-

sempeno Lino de Pombo. Este esquema es realizado a partir de la informacion ofrecida

en la biografıa de Lino de Pombo escrita por Jose M. de Mier.

Cargo Periodo Administracion

Secretario del Interior y Relaciones Exteriores 1833–1836 F. de P. Santander

” ” 1837,1838, 1840 J. I. de Marquez

” ” 1855–1857 M. M. Mallarino

Ministro ante los gobiernos de Peru, Ecuador y

Bolivia

1839 J. I. de Marquez

Representante a la Camara por Bogota 1839–1840 J. I. de Marquez

Ministro ante el gobierno de Venezuela 1841–1843 P. A. Herran

Senador por Cartagena 1844-1845 P. A. Herran

” ” 1847–1850 M. M. Mallarino

Secretario de Hacienda 1845–1847 T. C. de Mosquera

Director de la Caja de Ahorros de Bogota 1845, 1847–1849 T. C. de Mosquera.

171Lino de Pombo, Lecciones de aritmetica i aljebra, p. vi.

45


El algebra en las Lecciones

La seccion de algebra comienza con la explicacion, que ofrece Pombo sobre de por

que no incluyo en este texto aritmetica superior:

... [teorıas de la aritmetica superior] aunque pudieran ser fundadas i desenvueltas

sobre raciocinios directos, para que formen un solo cuerpo independiente con las

anteriores, es preferible tratarlas como emanaciones o casos particulares del algebra.172

A continuacion explica la notacion utilizada, y la simplificacion de formulas algebraicas,

por repeticion. Define termino, monomio, binomio, polinomio y la forma de determinar la

dimension o grado de estos. Explica las cuatro operaciones elementales con monomios para

luego extender los resultados a polinomios, y algunos productos notables.

Del contenido queremos resaltar los siguientes temas: numeros imaginarios (operacion,

nocion de modulo y de conjugado), combinatoria elemental (ordenaciones, permutaciones

y combinaciones, con sus respectivas formulas). Binomio de Newton, teorıa de ecuaciones,

resolucion de ecuaciones de primer y segundo grado y sistemas lineales de dos o mas

variables utilizando el metodo de eliminacion, la regla de Cramer y el metodo de Bezout.

Desigualdades de primer grado y ecuaciones de segundo grado.

Calculo de maximos y mınimos de ecuaciones de segundo grado, progresiones e ideas

sobre la convergencia y divergencia de series. Numeros figurados, ecuaciones diofanticas de

primer grado, ecuaciones de tercer grado y la respectiva formula para la consecucion de

sus raıces. Derivada de una funcion algebraica, teorema fundamental del algebra y regla de

los signos de Descartes. Ecuaciones recıprocas, metodo de coeficientes indeterminados para

hallar el desarrollo en serie y en fracciones parciales de un cociente algebraico. Resolucion

de las ecuaciones numericas de todos los grados, formulas de Euler, acotacion de raıces

reales, raıces inconmensurables, metodos de Newton y de Lagrange y teorema de Sturm.

Teorıa de eliminacion entre dos ecuaciones de grados arbitrarios, metodo de Euler.

Los ıtems presentados anteriormente muestran la actualidad, de los temas presentados

por Pombo, comparables en explicacion y presentacion, con cualquier texto de algebra

publicado en el mismo periodo en Europa. Es importante anotar que todavıa los mismos

temas aparecen aun en textos universitarios ingleses y norteamericanos de la primera mitad

del siglo XX173

En el apendice encontramos los siguientes temas: el sistema duodecimal, la conversion

de cantidades numericas del sistema decimal a cualquier otro sistema, y viceversa. De-

172Lino de Pombo, Lecciones de aritmetica i aljebra, p. 30.173J. V. Uspensky, Theory of equations, (New York: MacGraw–Hill, 1948).

46


mostracion de la invariabilidad de las propiedades de la multiplicacion y la division en

cualquier sistema numerico. Menor multiplo y maximo comun divisor, entre cantidades

irreducibles, proposicion que figura como comunicada por Indalecio Lievano174. Como lo

habıamos mencionado anteriormente, Indalecio Lievano fue alumno distinguido del Colejio

Militar y pupilo de Lino Pombo, quien lo consideraba un ejemplo de cientıfico e investi-

gador, digno de incentivar. Esto explicarıa la inclusion en su trabajo en el libro.

En resumen desde la catedra de matematicas ofrecida por Mutis en 1762 hasta la

reforma educativa de Mariano Ospina Rodrıguez en 1842, la ensenanza de las matematicas

estuvo condicionada a su utilidad para el aprendizaje de la filosofıa natural, la economıa

domestica y comercial, la fısica, las ciencias o la tecnica. Las catedras de matematicas

fueron un instrumento para aprender otras ciencias, pero en sı mismas no representaban

un conocimiento importante.

Las matematicas fueron adquiriendo mayor importancia entre mas areas de estas era

necesario ensenar. En la epoca colonial y los anos de la primera republica, el conocimiento

de la aritmetica era suficiente. Incluso la reforma educativa de Francisco de P. Santander,

solo exigıa la ensenanza de esta area y de la geometrıa, porque los grados universitarios

seguıan siendo en leyes, filosofıa y medicina. Solo cuando se intento ofrecer grados en

ciencias o cuando el Colegio Militar comenzo a ofrecer grados en ingenierıa civil es que otras

areas de las matematicas se hacen presentes en los currıculos de colegios y universidades. El

Colegio Militar demostro que una educacion tecnica requerıa de la ensenanza de diversas

areas de la matematica, por lo cual se hizo evidente la necesidad de ensenarlas en los

colegios para facilitar el ingreso de los estudiantes a la carrera de ingenierıa.

Cuando Pombo publica sus lecciones de algebra en 1858 es conciente de que el Cole-

gio Militar abrio el panorama de la ensenanza de las matematicas y que el esfuerzo de

adaptacion, concrecion y simplificacion que como profesor tuvo que hacer en sus catedras

en el colegio, plasmadas en el texto que publico, serıan de enorme utilidad para otros

profesores.

Otro punto importante es que la escuela en el tiempo que se desarrollo desde la catedra

de Mutis como iniciador, luego Felix de Restrepo, Francisco Jose de Caldas, Lino de Pombo,

ahora es continuada gracias a las ensenanzas de Pombo en el Colegio Militar, con Rafael

Celedon e Indalecio Lievano y posteriormente, gracias a Lievano, con Manuel Antonio

Rueda, Manuel Antonio Suarez, Anıbal Brito y Delio Cifuentes Porras.

174Lino de Pombo, Lecciones de aritmetica i aljebra, p. 175

47

Capıtulo 3.

Analisis de los otros manuales de ensenanza del algebra

Despues de la publicacion del primer texto de algebra, en Colombia se publicaron siete

textos mas de ensenanza de esta area, todos ellos en los ultimos 15 anos del siglo XIX. El

analisis de los mismos nos permitio determinar que no solo existe entre ellos coincidencias

en los temas que presentan, sino que ademas se pueden establecer diversas relaciones entre

sus autores.

El proposito de este capıtulo es continuar presentado las reformas educativas que inter-

vinieron con la ensenanza de las matematicas entre 1845 y 1900, es decir, desde la primera

administracion de Mosquera hasta la regeneracion conservadora, para determinar si se

presento algun cambio con respecto a la ensenanza de las matematicas. Ademas, realizar

una descripcion y analisis de los siete textos de algebra y de sus autores, para establecer

las relaciones que se tejen entre ellos.

3.1. La ensenanza de las matematicas entre 1845 y 1860

Despues del fracaso que significo la ejecucion de la reforma educativa de Ospina Ro-

drıguez, el siguiente Secretario de Gobierno, Jose Ignacio de Marquez, opto por regresar

al sistema educativo anterior a la reforma de Ospina y promulgo que los cursos que se

requerıan para ingresar a la universidad serıan: logica, latın, derecho natural y religion175,

y que al comenzar el cuarto ano tambien se les evaluarıa “un poco de aritmetica, algebra,

geometrıa, trigonometrıa y fısica”176. Esto significo un paso atras en el desarrollo de la

ciencia y la tecnica en el paıs, pues los colegios podıan volver al esquema de ensenar las

areas de las matematicas que considerasen necesarias y en las universidad a ensenar las

matematicas necesarias para pasar el requisito del cuarto ano.

La siguiente administracion a cargo del General Tomas Cipriano de Mosquera (1845-

1849), como lo vimos en el capıtulo anterior, logro establecer la primera escuela de inge-

nierıa en el paıs. Pero dado que los recursos para esta eran tomados de los fondos de la

Secretarıa de Guerra y Marina, incluso despues de que se decreto que la institucion no

obligarıa a sus estudiantes a seguir la carrera militar, esta institucion no hacıa parte de las

instituciones de educacion civil o por lo menos no se consideraba como parte de las ins-

tituciones civiles, por lo que las universidades y colegios, publicos, no sintieron necesidad

de imitar el nivel educativo ofrecido por el Colegio Militar. Esto ocasiono que el gobierno

175Cod. Nal. T. XI, p. 178.176Cod. Nal. T. XI, p. 178.

48


tuviera que disenar otro tipo de estrategia para integrar los estudios en ciencias en los

currıculos de colegios y universidades.

El gobierno de Mosquera, a diferencia de las anteriores administraciones, no busco el

cambio de actitud con respecto a la ensenanza de las ciencias por medio de reformas

educativas, sino que facilito los medios para que las instituciones establecieran catedras en

ciencias por su propia cuenta, lo que indirectamente aumentarıa el nivel de ensenanza de

las matematicas.

Como parte de los esfuerzos del gobierno para estimular el estudio de las ciencias

naturales, se contrataron a varios profesores extranjeros, entre ellos a: Ignacio Gomila,

chileno, quien fue nombrado como profesor de fısica en la universidad de Bogota177; Bernard

Lewy, un franco–danes, para dictar las catedras de quımica y metalurgia en la universidad

de Bogota178 y a Jose Eboli, un italiano, para dictar la clase de quımica en Popayan179.

Ademas, se contrataron ingenieros y arquitectos, tanto para la ensenanza como para las

obras nacionales. Entre estos estan: Tomas Reed, arquitecto y Antoine Poncet, ingeniero,

ambos encargados de la construccion del capitolio nacional; Stanislas Zawadsky contratado

para las obras en el Valle del Cauca180 y a Aime Bergeron contratado en principio para el

Instituto de Ciencias181, pero que, como vimos anteriormente, se desempeno en el Colegio

Militar.

Ademas el gobierno importo de Francia el mejor laboratorio de quımica y fısica que la

Nueva Granada habrıa de tener hasta finales del siglo XIX182 y restauro el Observatorio

de Bogota, que puso en manos del Colegio Militar, para que sirviera como laboratorio a

sus estudiantes183

A excepcion del colegio Santa Librada, en Cali, que como lo habıamos mencionado

anteriormente hizo diversos esfuerzos por acogerse al plan de Ospina y ofrecer algunas de las

catedras dispuestas en la Facultad de Ciencias fısicas y matematicas; y del Colegio Espıritu

Santo, en Bogota, que fundado en 1848, por Lorenzo Marıa Lleras, ofrecıa en la seccion

de filosofıa las clases de aritmetica, algebra, contabilidad mercantil, geometrıa elemental,

177J. Leon Helguera, “La educacion durante el primer gobierno de Mosquera: 1845-1849”, en Revista

Colombiana de Educacion, No. 26, (1993), p. 14. Este documento es la traduccion del capıtulo 6 de: J.

Leon Helguera, The First Mosquera Administration in Nueva Granada (Tesis doctoral, U. of North

Carolina, 1958).178J. Leon Helguera, “La educacion durante el primer gobierno de Mosquera: 1845-1849”, p. 14.179John Jane Young, La reforma universitaria de la Nueva Granada, pp. 88-89.180Frank Safford, El ideal de lo practico, p. 259.181Frank Safford, El ideal de lo practico, p. 259.182J. Leon Helguera, “La educacion durante el primer gobierno de Mosquera: 1845-1849”, p. 14.183Jorge Arias de Greiff, “Astronomıa en la Republica”, en Historia Social de la Ciencia en Colom-

bia, eds. Carlos Eduardo Vasco, Diana Obregon & Luis Orozco (Bogota: Colciencias, 1993, Tomo II), p.

244.

49

Capıtulo 3. Analisis de los otros manuales de ensenanza del algebra

geometrıa practica, trigonometrıa rectilınea y esferica, mecanica: estatica y dinamica, geo-

grafıa, cosmografıa, cronologıa, geografıa descriptiva, logica, psicologıa y teodicea184; y

algunas catedras de ingenierıa ya que contrato a los mismos profesores que trabajaban

en el Colegio Militar185. En los demas establecimientos educativos, incluso despues de las

medidas tomadas por la administracion de Mosquera, las catedras de matematicas que se

ofrecıan en los colegios y en las universidades seguıan siendo: aritmetica, algebra y geome-

trıa186, pues la reforma de Ospina y sobre todo la imposicion de la facultad de Ciencias

fısicas y matematicas habıa sembrado en el ambiente educativo, desconfianza con respecto

al intervencionismo y centralismo del gobierno, desconfianza que no fue apaciguada por

el gobierno de Mosquera y que desemboco en la aprobacion de las reformas liberales de

medio siglo.

3.1.1. Las reformas de medio siglo

Al llegar al poder los liberales, en la administracion del general Jose Hilario Lopez

(1849–1853), se pusieron en marcha diversos proyectos que tenıan como proposito llevar

hasta las ultimas consecuencias los ideales liberales. Entre tales proyectos se encontraba el

de la libre ensenanza, que fue aprobado por ley el 15 de mayo de 1850 y que establecıa:

Art. 1.o Es libre en la Republica la ensenanza de todas las ciencias, las artes y las

letras;

Art.2.o El grado o tıtulo cientıfico no sera necesario para ejercer las profesiones

cientıficas, pero podran obtenerlo las personas que lo quieran del modo que se es-

tablece en la presente ley;

Art. 16. Suprimense las universidades. Los edificios, bienes y rentas de que hoy dis-

frutan se aplicaran para el establecimiento de los colegios regionales187

La libertad de catedra en las instituciones y la conversion de las universidades en

colegios, fue la salida para descentralizar la obtencion de tıtulos ya que de esta forma

la educacion se volcarıa a ser una empresa de libre competencia entre los colegios188. En

principio, esta reforma desmantelarıa la educacion jerarquizada y circunscrita a un selecto

grupo de la elite con los recursos para pagarla y acercarıa al hombre del comun al quehacer

184B.N. Cronica Mensual: organo difusor del Colegio Espıritu Santo, Vol: 1, No. 13 (1848), p. 3.185B.N. “Quinto certamen anual de los alumnos del colegio del Espıritu Santo”, Cronica Mensual, Vol:

2, No. 27 (1850), p. 4.186Frank Safford, El ideal de lo practico, p. 197.187Jaime Jaramillo Uribe, “El proceso de la educacion. Del virreinato a la epoca contemporanea”,

Manual de Historia de Colombia (Bogota: Instituto Colombiano de Cultura, 1984, Tomo III) p. 309.188Olga Lucia Zuluaga, “La instruccion publica en Colombia, 1819–1902”, p. 231.

50


manual y a las carreras tecnicas, porque liberaba a los hombres de la necesidad de obtener

un tıtulo, para desempenar un cargo u oficio. Pero la reforma tambien provoco una dis-

minucion en la demanda educativa y por consiguiente en las rentas de los colegios, con lo

cual muchos de estos tuvieron que restringir la planta de profesores como fue el caso del

Colegio de Medellın, o cerrar como fue el caso del Colegio del Espıritu Santo en el ano de

1852189. Pero pese a esto muchas otras instituciones se mantuvieron a flote y continuaron

con sus catedras de filosofıa y por ende de matematicas, como el Colegio Academico de

Boyaca, pues en el ano de 1852 los estudiantes de la escuela de filosofıa, de primer ano,

presentaron conclusiones en aritmetica, algebra, geometrıa elemental y tenedurıa de libros,

y los estudiantes del segundo ano en trigonometrıa, geometrıa practica i agrimensura190;

en ese mismo ano los estudiantes del la clase de filosofıa del Colegio de la Independencia

presentaron conclusiones en aritmetica y algebra191, y un ano despues, es decir en 1853,

en esa misma institucion los estudiantes de la clase de matematicas a cargo de Lino de

Pombo presentaron conclusiones en aritmetica, algebra y geometrıa teorica192; en 1855 los

estudiantes del Liceo de Familia presentaron conclusiones en aritmetica y algebra193 y en

ese mismo ano las senoritas del colegio Sagrado Corazon de Jesus, presentaron conclu-

siones en aritmetica, tenedurıa de libros y geometrıa elemental y practica194; en 1856 los

estudiantes de la catedra de matematicas del Colegio Academico de Boyaca, presentaron

conclusiones en aritmetica, algebra, geometrıa elemental, geometrıa practica, trigonometrıa

y tenedurıa de libros195 y en 1857, los estudiantes del Colegio de Estado de Antioquia pre-

sentaron conclusiones en aritmetica, algebra, geometrıa elemental, geometrıa analıtica y

agrimensura196.

Lo que nos permite concluir que aunque en este periodo por causa de las reformas

de medio siglo, el numero de estudiantes decrecio considerablemente y se anularon las

universidades y por ende la preocupacion por las carreras en ciencias, muchos colegios

ofrecieron educacion secundaria sin tropiezos y se generalizo la ensenanza de la tenedurıa

de libros y la trigonometrıa, adicionandolas a las de aritmetica, algebra y geometrıa, que

189Frank Safford, El ideal de lo practico, p. 210.190B.N. Cronica del colegio de Boyaca (Tunja: Impreso en Tunja por Vicente Banos; 1852).191B.N. Actos literarios del Colejio de la Independencia (Bogota: Imprenta del Neo-Granadino, 1852).192B.N. Actos literarios del Colejio de la Independencia (Bogota: Imprenta del Neo–Granadino, 1853).193B.N. Liceo de Familia, (Bogota: Imprenta de Neo–Granadino, 1855).194B.N. Programa de las materias sobre que versa la ensenanza de las senoritas educadas en el colegio

del Sagrado Corazon de Jesus; i por las que deberan ser examinadas respectivamente en los actos literarios

publicos, Bogota: Imprenta de Francisco Torres Amaya, 1855.195B.N. Programas de las materias que se han ensenado en el Colegio Academico de Boyaca para los

certamenes que tendran lugar en el mes de noviembre de 1856 (Bogota: Imprenta de Francisco Torres

Amaya, 1856).196B.N. Coleccion de los asertos del Colejio del Estado de Antioquia, Medellın: Imprenta de Balcazar,

1857.

51


como lo habıamos visto anteriormente eran comunes desde los anos treinta, en los colegios.

3.2. La reforma de los radicales y la creacion de la Universidad

Nacional

Los liberales que controlaron el gobierno nacional desde 1863 hasta 1880, retomaron

las iniciativas de establecer carreras en ciencias.

Como lo habıamos mencionado antes, Tomas Cipriano de Mosquera como presidente

de la Union intento restablecer el Colegio Militar a traves del establecimiento de la Escuela

Politecnica y el Colegio Militar, en 1866. En esta institucion se ensenarıan “las matematicas

puras, y sus aplicaciones a la ingenierıa militar y a la civil”197 y se otorgarıan los tıtulos

de: Oficial del Estado Mayor en: Ingenieros, artillerıa, infanterıa, caballerıa; o del de profe-

sor de: matematicas puras, arquitectura civil, astronomıa, agrimensura y quımica198. Esta

institucion serıa parte del Instituto Nacional de Ciencias y Artes199, pero como la adminis-

tracion de Mosquera duro por tan poco tiempo, la siguiente administracion no apoyo a la

institucion y poco tiempo despues cuando se creo la Universidad Nacional los estudiantes

y materiales de esta Academia pasaron a la Universidad200.

La Universidad Nacional de los Estados Unidos de Colombia se creo por decreto en

el ano de 1868 y se organizo su ensenanza en las siguientes 6 escuelas: Jurisprudencia,

Medicina, Ciencias naturales, Ingenierıa, Artes y oficios, y Literatura y filosofıa201. En la

universidad habıa tres modalidades de ingreso, la primera consistıa en ingresar a la Escuela

de Literatura y filosofıa al demostrar que se era mayor de nueve anos y que se sabia leer y

escribir, de tal forma que al graduarse como bachiller se podıa ingresar a cualquiera de las

otras escuelas202; la segunda forma era ingresar a cualquiera de las Escuelas demostrando

que ya se era bachiller en Literatura y filosofıa203; y la tercera era acreditar las mismas

condiciones que para el ingreso a la Escuela de Literatura y filosofıa, para ingresar a la

Escuela de Artes y oficios204.

La ensenanzas en las escuelas estaba organizadas por anos y cada ano por cursos. En

la Escuela de literatura y filosofıa las ensenanzas estaban organizadas en cinco anos y

197Cod. Nal. T. XXII, p. 221.198Cod. Nal. T. XXII, p. 222.199Cod. Nal. T. XXIII, p. 8.200Cod. Nal. T. XXIII, p. 158.201Jaime Jaramillo Uribe, “El proceso de la educacion. Del virreinato a la epoca contemporanea”, p.

310.202Anales de la Universidad, 1868, Tomo 1, p. 42. De ahora en adelante citado como A.U. tomo y paginas203A.U. Tomo 1, pp. 35–38.204A.U. Tomo 1, pp. 38.

52


los cursos de matematicas que se ofrecıan eran: aritmetica elemental en el primer ano;

aritmetica superior y algebra en el segundo ano y contabilidad y geometrıa, plana y del

espacio, en el tercer ano205. Como podemos apreciar, estos cursos corresponden a los cursos

que se venıan ofreciendo en los colegios en anos anteriores. Incluso habıa colegios en donde

se ofrecıa trigonometrıa la cual no es mencionada en este plan de estudios.

La Escuela de Jurisprudencia y la de Medicina, no ofrecıan cursos en matematicas206.

La Escuela de Ciencias Naturales ofrecıa un solo curso en el primer ano denominado “Fısica

matematica y medica”207, la Escuela de Artes y oficios ofrecıa aritmetica inferior y geo-

metrıa elemental en el primer ano, aritmetica en el segundo ano y tenedurıa de libros en

el tercer ano208 y por ultimo en la Escuela de Ingenierıa se ofrecıan estudios superiores

de aritmetica, algebra y geometrıa, y trigonometrıa rectilınea y esferica en el primer ano;

geometrıa practica, geometrıa analıtica, geometrıa descriptiva y sus aplicaciones a la teorıa

de sombras y a la perspectiva en el segundo ano, y calculo diferencial e integral en el

tercer ano209. Cabe anotar que los cursos de matematicas ofrecidos en la Universidad

para la escuela de ingenierıa no difieren en nada de los cursos en el plan de estudios

del Colegio Militar, e incluso muchos de los egresados del Colegio Militar hacıan parte

del cuerpo administrativo de la Escuela de Ingenierıa. Por ejemplo Antonio Narvaez era el

rector, Antonio Dussan el vicerector, y Fidel Pombo, Manuel Ponce de Leon y Nepomuceno

Gonzalez Vasquez eran profesores de la Escuela210.

Otra de las reformas importantes a la educacion, en este caso a la educacion primaria, se

dio con el Decreto Organico de Instruccion Publica, el cual tenıa como proposito organizar

hasta el mınimo detalle el sistema nacional de educacion211 y masificar la educacion pri-

maria publica y laica. En el decreto se establecio que la ensenanza en las escuelas primarias

elementales ofrecerıa las siguientes materias: lectura, escritura, aritmetica, el sistema le-

gal de pesas y medidas, elementos de la lengua castellana, ejercicios de composicion y

recitacion, y nociones generales de higiene y de geografıa e historia patria212. Este plan

es mucho mas completo que los establecidos en anos anteriores por Francisco de Paula

Santander y por Mariano Ospina Rodrıguez.

Este decreto tambien establecio los parametros para la compra y distribucion de textos

205A.U. 1868, Tomo 1, pp. 41–42.206A.U. Tomo 1, pp. 34–37.207A.U. Tomo 1, pp. 37.208A.U. Tomo 1, pp. 39.209A.U. Tomo 1, pp. 38.210A.U. 1868, Tomo 1, pp. 75. Vease tambien, Cod. Nal. T. XXIII, pp. 260–266.211Jaime Jaramillo Uribe, “Decreto organico de instruccion publica”, Revista colombiana de educacion

No. 5 (1980) p. 65.212Jaime Jaramillo Uribe, “Decreto organico de instruccion publica”, p. 74.

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para la ensenanza:

Art. 290. La Direccion jeneral de Instruccion publica podra celebrar contratos, por

un termino que no exceda de dos anos, con casas conocidas i respetables de dentro

o fuera del paıs, que se encarguen de suministrar gradualmente, a medida que se

necesiten, los libros ı utiles necesarios a las escuelas de la Nacion. Dichos contratos

no podran llevarse a efecto sino despues de aprobados por el Poder Ejecutivo.

Art. 291. Los libros, utiles i demas objetos destinados a la ensenanza se distribuiran

por la Direccion jeneral a los Directores de la Instruccion publica de los Estados,

quienes los repartiran segun las necesidades de cada escuela213.

Pero a diferencia de anteriores administraciones, se destino efectivamente una conside-

rable cantidad de dinero para la compra de textos de tal forma que para el ano de 1872 la

Direccion general de instruccion publica, habıa distribuido mas de 87.000 libros en todo el

paıs214. Lo que pudo ser un primer paso para la creacion de un ambiente favorable para la

publicacion de textos de ensenanza, y en este caso en particular de ensenanza del algebra.

Las siguientes reformas educativas hasta comienzos del siglo XX fueron del tipo admi-

nistrativo y no alteraron las ensenanza de las matematicas. Por ejemplo, el 28 de septiembre

de 1872 se decreto trasladar la Escuela de ciencias naturales al edificio de la Escuela de

ingenierıa, para formar una sola Escuela de Ingenierıa y Ciencias Naturales215. En 1876-

1877 se paso el funcionamiento de la Escuela de ingenierıa de la Universidad Nacional a

las manos de los militares. Esta decision tan abrupta por parte del gobierno provoco la

desercion de una gran cantidad de estudiantes y la disminucion del numero de peticiones

de admision a la escuela216. Las multiples protestas de los afectados ocasionaron que en el

ano de 1880 la Escuela de Ingenierıa volviera a ser parte de la Universidad Nacional217.

Por ultimo en 1888 la Escuela de ingenierıa ofrece la posibilidad de titularse como

ingeniero y como profesor de matematicas. Esto se dio a partir de una discusion que

surge al interior de la escuela de ingenierıa sobre la respuesta a la pregunta: ¿Que tanta

matematica debe conocer un ingeniero? Esta querella interna ocasiono que desde 1888 en

la Escuela de ingenierıa funcionara un Instituto de matematicas y que la escuela ofreciera

titulacion como ingeniero civil y como profesor de matematicas218. Esta ultima reforma

213Jaime Jaramillo Uribe, “Decreto organico de instruccion publica”, p. 109.214Jane Meyer Loy, “La educacion primaria durante el federalismo: la reforma escolar de 1870”, Revista

Colombiana de Educacion No. 3 (1979) p. 48.215A.U. Tomo VI, p. 385–386.216Frank Safford, El ideal de lo practico, p. 297–298.217Frank Safford, El ideal de lo practico, p. 298.218Clara Helena Sanchez, Los ingeniero–matematicos colombianos del siglo XIX y comienzos del

siglo XX (Bogota: Universidad Nacional de Colombia, 2007), pp. 26–28. Vease tambien: Clara Helena

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tambien fue de tipo administrativo, pues el programa no fue cambiado solo redistribuido,

y el algebra y el calculo diferencial e integral seguıan siendo las area mas avanzadas de las

matematicas que se ensenaban219.

En resumen, la ensenanza de las matematicas y especialmente del algebra no se vieron

drasticamente afectadas por las reformas de medio siglo, ası como tampoco por las reformas

de los radicales o las medidas en la regeneracion. Aunque cabe anotar que la fundacion

de la Universidad Nacional y sobre todo el establecimiento de la Escuela de ingenierıa

sı proporcionaron a la ensenanza de las matematicas un ambiente favorable para lograr

ocupar un puesto como ciencia, cosa que solo se dara plenamente a mediados del siglo XX.

3.3. Los textos de algebra escritos por colombianos

En la segunda mitad del siglo XIX, despues de la publicacion del texto de algebra de

Pombo se publicaron en Colombia siete textos de ensenanza del algebra. De ellos haremos,

en lo que sigue, una descripcion detallada, organizandolos por la fecha de publicacion y

analizando el publico al que fueron dirigidos y las relaciones que se establecen entre los

autores.

3.3.1. El tratado de algebra de Indalecio Lievano

El segundo texto en publicarse en Colombia fue el Tratado de aljebra, escrito por In-

dalecio Lievano y publicado en Bogota en el ano de 1875.

Indalecio Lievano nacio en Carmen de Apicala (Tolima) el 21 de mayo de 1834 y

murio en Bogota el 20 de noviembre de 1913. Su formacion academica la recibio en el

Colegio Militar, en el cual fue admitido en el ano de 1849, donde se gradua como Ingeniero

civil. En Bogota desempeno diversos cargos entre los que podemos contar los siguientes:

director del Observatorio Astronomico entre 1866-1867220; por orden del gobierno, se en-

cargo del estudio cientıfico y economico de la construccion de la vıa mas conveniente para

comunicar a Bogota con el rıo Magdalena221 y como profesor del Colegio San Bartolome y

Sanchez, “Matematicas e ingenierıa en la Republica conservadora”en Miguel Antonio Caro y la Cultura

de su epoca, ed. Ruben Sierra Mejıa (Bogota: Universidad Nacional de Colombia, 2002), pp. 350–352.219Rafael Espinoza Escallon, “Instituto Central de Matematicas”, Anales de Ingenierıa Vol. 1, No.

11 (1888) p. 327.220Jorge Arias de Greiff, “Astronomıa en Colombia”, p. 244.221Julio Garavito, “Indalecio Lievano (1834–1913)”Anales de Ingenierıa Vol: XXII, No. 257–258 (1914)

p. 2.

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de la Universidad Nacional222.

Las principales publicaciones de Lievano son:

• Almanaque para el ano de 1870, 1869223.

• Instruccion popular sobre meteorolojıa agrıcola, i especialmente sobre el anil i el cafe,

1868224.

• Exploraciones y estudios de las mejores lıneas para construir caminos carreteros y

ferrocarriles de Bogota al rıo Magdalena, 1895225.

• Tratado elemental de aritmetica, tres ediciones 1856226, 1872227 y 1878228.

• Tratado de aljebra, 1875229.

• Investigaciones cientıficas, 1871230.

• Apendice a las investigaciones cientıficas, 1875231.

Las publicaciones de Lievano pueden clasificarse en dos tipos: las que son resultado

de su formacion como ingeniero y las que son resultado de su gusto por las matemati-

cas. En este caso, las primeras tres, en la lista, son resultado de su labor como ingeniero

y las cuatro ultimas, de su trabajo como profesor de matematicas, pero tambien como

investigador en matematicas. Indalecio Lievano fue uno de los pocos hombres que en el

siglo XIX se planteo un proyecto de investigacion en matematicas, del cual publica sus

resultados en las Investigaciones cientıficas y sustenta al responderles a los que no estan

de acuerdo con sus resultados en el Apendice a las investigaciones cientıficas232.

222Julio Garavito, “Indalecio Lievano (1834–1913)”, p. 4.223Indalecio Lievano, Almanaque para el ano de 1870 (Bogota : Imprenta i estereotipia de Medardo

Rıvas, 1869).224Indalecio Lievano, Instruccion popular sobre meteorolojıa agrıcola, i especialmente sobre el anil i

el cafe (Bogota : Imprenta de la Nacion, 1868).225Indalecio Lievano, Exploraciones y estudios de las mejores lıneas para construir caminos carreteros

y ferrocarriles de Bogota al rıo Magdalena (Bogota : Imprenta de Vapor de Zalamea hermanos, 1895).226Indalecio Lievano, Tratado elemental de aritmetica (Bogota : Echeverrıa, 1856).227Indalecio Lievano, Tratado elemental de aritmetica (Bogota : Imprenta de Medardo Rivas, 1872).228Indalecio Lievano, Tratado elemental de aritmetica: adoptado como texto para la ensenanza en la

Universidad Nacional (Bogota : Imprenta de Zalamea, 1878).229Indalecio Lievano, Tratado de aljebra, op. cit.230Indalecio Lievano, Investigaciones cientıficas (Bogota : Focion Mantilla, 1871).231Indalecio Lievano, Apendice a las investigaciones cientıficas (Bogota: Imprenta de Medardo Rivas,

1875).232Para encontrar un analisis mas completo sobre las investigaciones de Lievano. Vease: Vıctor Albis

Gonzalez y Luis Soriano Lleras, “The work of Indalecio Lievano on the fundation of real numbers”,

Historia mathematica Vol. 3 (1976) p. 161–166; Gabriela Arbelaez, “Las nociones de infinito y continuo

en la obra del matematico Indalecio Lievano Reyes (1834–1913)”, en Formacion de la cultura cientıfica en

Colombia: ensayos sobre matematicas y fısica, eds. Luis Carlos Arboleda & Michel Paty (Cali: Instituto

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Pagina titular del texto Tratado de aljebra233

Con respecto al texto de algebra, el texto no tiene prologo sino advertencia la cual

comienza con el siguiente parrafo: “El presente tratado de aljebra es una continuacion de

mi aritmetica, i todas las citas a dicha aritmetica, que se hacen aquı, se refieren a la segunda

edicion publicada en 1872”234, que estaba en concordancia con lo que anteriormente habıa

comentado en la introduccion de las investigaciones cientıficas:

Habiendome propuesto llenar todos los vacıos que existıan en aritmetica, algebra

y geometrıa, creo haberlo logrado completamente; y mientras que publico el alge-

bra y la geometrıa, he resuelto publicar algunas cosas de las mas notables de estas

investigaciones235 .

Por lo cual la publicacion del texto de algebra corresponde a la ejecucion de una de las

partes del proyecto de investigacion que se habıa propuesto. Para que el proyecto de in-

vestigacion de Lievano tuviera sentido, necesitaba que sus contemporaneos conocieran las

areas que el estaba investigando, cuyos resultados de encuentran en sus textos de aritmetica

(teorıa de los inconmensurables), algebra (teorıa de la proporcionalidad y la identidad de

de educacion y pedagogıa, 2004) y Vıctor Albis Gonzalez, “Vicisitudes del postulado euclideo en

Colombia”, Revista de la Academia Colombiana de Ciencias Exactas fısicas y naturales Vol: 21, No. 80

(1997) pp. 281–293.233Tomada del ejemplar existente en la biblioteca de la Sociedad Colombiana de Ingenieros.234Indalecio Lievano, Tratado de aljebra, p. iii.235Indalecio Lievano, Investigaciones Cientıficas, p. 3.

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las expresiones algebraicas) y geometrıa, el cual nunca publico, pero cita con desparpajo,

en el aparte sobre la teorıa de las paralelas, en sus Investigaciones cientıficas236.

Aun ası, Lievano no desconoce la importancia pedagogica de su publicacion, pues co-

menta en la advertencia:

Me he propuesto hacer la esposicion del aljebra con el mayor rigor, sencillez i

claridad que es posible; i he procurado que tenga este Tratado unicamente lo indis-

pensable i nada mas, para adaptarlo a la ensenanza. Si me hubiere aproximado a

conseguirlo, aunque a costa de muy grandes esfuerzos, habre alcanzado a la mejor

recompensa a la que he aspirado: la de satisfacer el deseo de contribuir al cultivo de

las ciencias matematicas en Colombia237.

Que en esencia es el mismo argumento que esgrime Pombo, y que como veremos es uno de

los invariantes en los prologos de los textos de algebra.

Observemos que Lievano expresa claramente su deseo de contribuir al cultivo de las

ciencias matematicas, contrastando con lo que hemos visto a lo largo de este trabajo: las

matematicas son entendidas como instrumentales, desde el periodo colonial a la fısica y en

la republica a las ciencias y la ingenierıa, y no como una ciencia independiente. En realidad

Lievano se refiere de esta forma a las matematicas, porque su vision como investigador lo

habıa llevado a ver a las matematicas como todo un campo de investigacion, como una

ciencia.

Con respecto al contenido del texto, el Tratado de aljebra de Indalecio Lievano esta di-

vidido en dos partes: La primera parte, de 7 capıtulos, que Lievano denomino como “la

parte elemental”238 de su texto, pero en los cuales se ofrecen los siguientes temas:

Capıtulo 1: definicion del algebra, notacion algebraica, aritmetica de las cantidades

negativas, aritmetica de las cantidades algebraicas, quebrados literales y exponentes nega-

tivos239.

Capıtulo 2: Ecuaciones y problemas de primer grado, sistemas de ecuaciones de primer

grado, resolucion de ecuaciones de primer grado por el metodo de Bezout y principios sobre

las desigualdades240.

Capıtulo 3: Potencias y raıces de monomios; ordenaciones, permutaciones y combi-

naciones; binomio de Newton; potencias de polinomios, y cuadrado y raız cuadrada de

236Vıctor Albis Gonzalez, “Vicisitudes del postulado euclideo en Colombia”, pp. 286-287237Indalecio Lievano, Tratado de aljebra, p. iii.238Indalecio Lievano, Tratado de aljebra, p. 279.239Indalecio Lievano, Tratado de aljebra, p. 279.240Indalecio Lievano, Tratado de aljebra, p. 280.

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polinomios241.

Capıtulo 4: Definicion de raız aritmetica y raız algebraica, expresiones imaginarias,

calculo de radicales de segundo grado, resolucion de las ecuaciones de segundo grado con

una incognita, descomposicion de una ecuacion de segundo grado en factores de primer

grado, problemas, ecuacion bicuadrada, reduccion de la expresion√

a +√

b a la forma√

p +√

q, resolucion de ecuaciones de segundo grado con varias incognitas, teorıa de las

imaginarias de segundo grado y calculo de radicales algebraicos242.

Capıtulo 5: Progresiones aritmeticas y geometricas, pilas de balas, fracciones continuas

y analisis indeterminado de primer grado243.

Capıtulo 6: Exponentes de cualquier naturaleza, logaritmos y aproximaciones de los

logaritmos244.

Capıtulo 7: Interes compuesto, regla de anualidad, regla de poblacion, binomio de New-

ton para el caso de exponente fraccionario y negativo, aplicacion del metodo de los coefi-

cientes indeterminados, maximo comun divisor de cantidades algebraicas enteras245.

La segunda parte del texto esta dividida en 5 capıtulos, la cual Lievano la presenta

como “teorıa jeneral de ecuaciones de una sola incognita”y en la cual se presentan los

siguientes temas:

Capıtulo 8: Definiciones, polinomios derivados, desarrollo de f(x + h), desarrollo de

f(x + h, y + k), desarrollo de f(x + h, y + k, z + l), derivada de un producto246.

Capıtulo 9: Propiedades generales de las ecuaciones con una sola incognita247.

Capıtulo 10: Transformacion de las ecuaciones (aumentar, disminuir, multiplicar, tomar

el inverso aditivo o multiplicativo de las raices de una ecuacion), determinacion del maximo

comun divisor de dos polinomios enteros en x, teorıa de las raıces iguales, Teorema de

Descartes, Teorema de Sturm, los lımites de las raices248.

Capıtulo 11: Modo de hallar las raıces enteras y fraccionarias de una ecuacion de coefi-

cientes conmensurables, calculo de las raıces inconmensurables por los metodos de Newton

i de Lagrange249.

Capıtulo 12: Ecuaciones binomias, trinomias, irracionales, recıprocas y resolucion de

241Indalecio Lievano, Tratado de aljebra, p. 280.242Indalecio Lievano, Tratado de aljebra, p. 281.243Indalecio Lievano, Tratado de aljebra, p. 282.244Indalecio Lievano, Tratado de aljebra, p. 282.245Indalecio Lievano, Tratado de aljebra, p. 282.246Indalecio Lievano, Tratado de aljebra, p. 283.247Indalecio Lievano, Tratado de aljebra, p. 283.248Indalecio Lievano, Tratado de aljebra, p. 284.249Indalecio Lievano, Tratado de aljebra, p. 285.

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las ecuaciones de tercer grado250.

El libro de Lievano en la primera parte trata los mismos temas, que los mencionados en

la descripcion del libro de Pombo, pero la segunda parte del texto de Lievano se distancia

del de Pombo, porque la distribucion en que se presentan los temas es distinta y porque

en el Tratado de Lievano se nota claramente que su distribucion esta al servicio de la

aprehension de toda las nociones conducentes a la resolucion de ecuaciones lineales o de

grado superior, de una o varias variables, mientras que en Pombo no hay separacion.

3.3.2. El catecismo de algebra de Dionisio H. Araujo

El Tratado de algebra escrito por Dionisio Hermenegildo Araujo y publicado en Carta-

gena en la tipografıa de Antonio Araujo L. en 1877, es el tercer texto de algebra que

se publico en Colombia, supuestamente dirijido a los estudiantes del colegio del cual era

director251.

Pagina titular del texto Tratado de aljebra252

Araujo tambien publico los siguientes textos destinados a la ensenanza en el mismo

colegio:

250Indalecio Lievano, Tratado de aljebra, p. 285.251Dionisio H. Araujo, Tratado de algebra, p. 1252Tomada del ejemplar existente en la biblioteca personal del Dr. Vıctor Albis.

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• Tratado de ortografıa espanola destinado a la ensenanza, 1865253.

• Compendio de analojıa espanola espanola, para las clases inferiores, 1867254.

• Tratado de Sintaxis espanola, dedicado a la ensenanza, 1867255.

• Tratado de prosodia espanola: destinado a la ensenanza, 1867256.

• Sistema metrico decimal frances: con un apendice sobre arqueos, 1876257.

Lo que nos lleva a pensar que Araujo diseno estos textos, incluso el de algebra, para

los estudiantes del colegio a su cargo.

Se trata de un texto de ensenanza elemental del algebra, en el que se presentan los si-

guientes temas: la definicion de algebra, su notacion, la definicion de expresion algebraica,

termino, binomio, trinomio y polinomio, y las operaciones fundamentales entre expresiones

algebraicas; la definicion de quebrados literales y la explicacion de las operaciones funda-

mentales entre quebrados literales; la explicacion de las operaciones de elevar a potencias y

extraer raıces de expresiones algebraicas y como operar con cantidades radicales e imagina-

rias; la explicacion de la resolucion de ecuaciones de primer grado con una o mas incognitas,

las ecuaciones de segundo grado con una sola incognita y las ecuaciones superiores al se-

gundo grado con una sola incognita. Ası como las definiciones de: fracciones continuas, la

fraccion de Lambert, los numeros poligonales, los numeros figurados, los numeros amigos,

los numeros perfectos y los cuadros magicos helenicos, y la explicacion del triangulo de

Pascal, del binomio de Newton y de las permutaciones y combinaciones.

Araujo escogio el formato de catecismo, al estilo de Nunez de Arenas, porque esto

simplificaba las explicaciones y abarataba los precios de fabricacion y venta. Al comparar

estos catecismos no se observa plagio alguno, salvo en la forma.

253Dionisio H. Araujo, Tratado de ortografıa espanola destinado a la ensenanza (Cartagena: Imprenta

de Ruiz e Hijo, 1865).254Dionisio H. Araujo, Compendio de analojıa espanola espanola, para las clases inferiores (Cartagena:

Imprenta de Ruiz e Hijo, 1867)255Dionisio H. Araujo, Tratado de Sintaxis espanola, dedicado a la ensenanza (Cartagena: Imprenta

de Ruiz e Hijo, 1867).256Dionisio H. Araujo, Tratado de prosodia espanola: destinado a la ensenanza (Cartagena: Imprenta

de Ruiz e Hijo, 1867).257Dionisio H. Araujo, Sistema metrico decimal frances: con un apendice sobre arqueos (Cartagena:

Imprenta del colegio, 1876).

61


3.3.3. El texto de algebra elemental de Suarez

El texto Algebra elemental258 de Manuel Antonio Suarez publicado en Bogota por la

imprenta de vapor de Zalamea Hermanos en 1883, es el cuarto texto de algebra publicado

en Colombia.

Pagina titular del texto Algebra elemental259

En el prologo del texto, Suarez explica las condiciones en que surge la necesidad de

escribir su propio libro de algebra:

Siendo profesor de Algebra, tropece con el inconveniente de que los textos ge-

neralmente conocidos, tanto nacionales como extranjeros, parecıan confusos a mis

alumnos, por lo cual me vı precisado a estudiar con detenimiento en varios autores

la leccion de cada dıa, para exponerla luego oralmente en la clase y dejarla escrita.

Estas lecciones coleccionadas, del todo elementales, son las que tengo el honor de

ofrecer al publico260

258Manuel Antonio Suarez, Algebra elemental (Bogota: Imprenta de Zalamea Hermanos, 1883).259Tomada del ejemplar existente en la biblioteca de la Sociedad Colombiana de Ingenieros.260Manuel Antonio Suarez, Algebra elemental, p. 3.

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Aunque estas lecciones surgen de las experiencias de Suarez como docente en un colegio de

Ibague261 y como el mismo menciona las escribio a partir de las lecciones que ofrecio a los

estudiantes inconformes con los textos que circulaban en el mercado, el texto no esta de-

dicado solamente a sus alumnos. Suarez pretende que sirva a cualquier tipo de publico,

que, como sus alumnos, no se sienta conforme con las explicaciones ofrecidas por los otros

textos de ensenanza que circulan en el paıs.

Manuel Suarez fue uno de los alumnos de Indalecio Lievano en el Colegio de San Bar-

tolome, fue companero de estudios de Manuel Antonio Rueda en la Escuela de Ingenierıa de

la Universidad Nacional262 y fue promovido a miembro de numero en la Sociedad Colom-

biana de Ingenieros, pues presento el texto de algebra como tesis de promocion263.

El contenido del texto de Suarez tiene muchas mas similitudes en cuanto a temas con

el Tratado de Araujo o el catecismo de algebra de Nunez de Arenas, que con los textos de

Pombo y Lievano. Ademas, Suarez presenta de forma mas detallada los temas que Araujo

presenta en su trabajo, y avanza un poco mas al incluir: las potencias y raıces de cualquier

grado de los polinomios. Las definiciones y propiedades de razon, proporcion, progresion

aritmetica, y geometrica. Ademas de la teorıa elemental de logaritmos y la aplicacion del

algebra en el interes simple y compuesto, la anualidad, la amortizacion, la poblacion y la

aligacion. Pero en cuanto a presentacion difiere de todos los demas libros presentados hasta

el momento, ya que mientras los libros de Pombo y Lievano no traen ejercicios sin resolver

y el de Araujo trae algunos ejercicios sin resolver al final del libro, el libro de Suarez trae

ejercicios sin resolver al final de cada capıtulo.

3.3.4. El tratado elemental de algebra de Rafael Celedon

El quinto texto de algebra publicado en Colombia es el Tratado elemental de algebra:

arreglado para los colegios hispano–americanos, escrito por el presbıtero Rafael Celedon y

publicado en Nueva York por D. Appleton y Compania, en 1885.

Rafael Celedon nacio en San Juan del Cesar en el antiguo Estado del Magdalena el 3 de

Septiembre de 1833 y murio en la Cruz el 1 de diciembre de 1902. Ingreso al Colegio Militar

pero dado que fue cerrado en 1853, reanudo sus estudios en el Colegio Mayor de Nuestra

Senora del Rosario, del cual se graduo como abogado en el ano de 1858. Dos anos despues

261Manuel Antonio Suarez, Algebra elemental, p. 1.262Manuel Antonio Rueda J., “Manuel Antonio Suarez M.”, Anales de Ingenierıa Vol: 12, No. 137

(1991) p. 8263En la copia del texto de algebra encontrada en la biblioteca de la Sociedad Colombiana de Ingenieros,

se puede ver la carta de aceptacion de la tesis y el sello de la Sociedad Colombiana de Ingenieros, fechada

el 4 de marzo de 1898.

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se vincula al Seminario de Santo Toribio, en Lima, y pocos anos despues se consagra como

sacerdote.

Pagina titular del texto Tratado elemental de algebra264

El prologo del texto de algebra de Celedon, comienza dedicando su trabajo a los

“Amantes de la educacion de la juventud hispano–americana”265, y al igual que los an-

teriores autores se esmera por explicar que los temas en su texto son suficientes y estan

expresados de forma clara de tal manera que pueden ser utilizados por cualquier institucion:

Ni tan extenso que casi agote la materia y sea difıcil adquirirlo por lo crecido

de su precio; ni tan conciso que deje por alto puntos importantes, o sin el desen-

volvimiento indispensable para la facil comprension, este compendio evita ambos

inconvenientes266

Ademas, Celedon explica que el texto de algebra que presenta es fruto de su esfuerzo por

“escoger y ordenar lo que nos ha parecido mas adecuado de los tratados de algebra de

Puissant, Lievano y Davies”267, refiriendose a los textos: Cours de Mathematiques268 de

264Tomada del ejemplar existente en la Biblioteca Luis Angel Arango.265Rafael Celedon, Tratado elemental de algebra (Nueva York: D. Appleton y Compania, 1885), p. iv.266Rafael Celedon, Tratado elemental de algebra, p. iv.267Rafael Celedon, Tratado elemental de algebra, p. iv.268Luis Puissant, Cours de Mathematiques (Paris: Anselin, 1843), 13.a edicion

64


Louis Puissant, Elementary Algebra269 de Charles Davies y por supuesto al Tratado de

algebra270 de Indalecio Lievano. Como lo decıamos anteriormente no es extrano que en los

manuales de ensenanza del algebra se presente copia, trascripcion o adaptacion, lo que nos

parece relevante es el hecho de que efectivamente Celedon exprese de que textos se guio ya

que ninguno de los autores tratados anteriormente lo hace. Ademas el hecho de Celedon

mencione la utilizacion del texto de Lievano nos permite ver que este texto se conecta con

la tradicion academica dejada por el colegio Militar.

Celedon divide los temas de su texto en cuatro secciones. En la primera seccion: pre-

senta las definiciones y notacion del algebra, la aritmetica entre expresiones algebraicas,

determina el maximo comun divisor y el mınimo comun multiplo entre expresiones alge-

braicas y la aritmetica entre fracciones literales. En la segunda seccion: Define ecuacion

y explica la forma de manipular las ecuaciones y de despejar las incognitas; presenta la

resolucion de las ecuaciones de primer grado y de los sistemas de ecuaciones de primer

grado, por el metodo de eliminacion de variables; las desigualdades y sus soluciones. En la

tercera seccion: explica la elevacion a potencias de monomios, fracciones literales y poli-

nomios, define y explica la formula del binomio de Newton, explica la extraccion de raıces

de monomios, la raız cuadrada de polinomios, la raız cuadrada de los numeros y las raıces

cubicas de los numeros. Por ultimo en la seccion cuatro: Define cantidad radical; explica las

operaciones aritmeticas entre cantidades radicales; las cantidades imaginarias; la resolucion

de las ecuaciones de segundo grado completas e incompletas; las razones y proporciones,

las progresiones aritmeticas y geometricas y los logaritmos.

El Tratado de Celedon tiene un orden diferente a los textos que habıamos mencionado

hasta ahora, pero aun ası los temas son los mismos que en los ofrecidos por Suarez o

Araujo, e incluye ejercicios al final de los temas como el texto de Suarez.

3.3.5. Los textos de algebra de Manuel Antonio Rueda

Manuel Antonio Rueda es el autor del sexto y septimo libro de algebra publicado en

Colombia en el siglo XIX. El primer libro de Rueda, que corresponde al sexto de nuestra

lista, se titulo Lecciones de algebra, y fue escrito en companıa de Anıbal Brito y publicado

en Bogota por la imprenta de Fernando Ponton, en 1887.

Manuel Antonio Rueda Jara, nacio el 10 de enero de 1858 en el Rosario de Cucuta

(Santander) y murio el 24 de Mayo de 1907, en Bogota. A la edad de 11 anos se trasla-

do a Bogota para comenzar sus estudios de ingenierıa en la Universidad Nacional y se

graduo como Ingeniero Civil en el ano de 1876. Su vida academica la desarrollo en torno

269Charles Davies, Elementary Algebra (New York: Published by A. S. Barnes & Co, 1850).270Indalecio Lievano, Tratado de algebra, op. cit.

65


a la educacion: fue profesor de la Universidad Nacional, fundador y director del Colegio

Academico de Bogota, co-fundador de la Universidad Republicana, hoy conocida como

Universidad del Externado, y del Liceo Mercantil, y director de la Revista Anales de Inge-

nierıa. Pero ademas de todos estos cargos fue un prolıfico escritor de libros de ensenanza

entre los que se cuentan:

• Compendio de aritmetica271, del cual hemos encontrado 32 ediciones hasta el ano de

1951.

• Lecciones de trigonometrıa272, del que se conocen solamente dos ediciones hasta el

ano de 1926.

• Las cuatro operaciones de la aritmetica273 del cual hemos encontrado que se publi-

caron 16 ediciones hasta el ano de 1949.

• Tratado de aritmetica analıtica y comercial274, del que hasta el momento hemos

encontrado 16 ediciones hasta el ano de 1935.

• Contabilidad Mercantil275, del cual se han encontrado hasta el momento 15 ediciones

hasta el ano de 1945.

• El juguete de los numeros276, del que solo hemos encontrado una reimpresion en la

Librerıa espanola de Garnier Hermanos, en el ano de 1892.

Los libros que publico en companıa de otros escritores, fueron:

• Citolegia Cientıfica, escrito en companıa de Lorenzo Maria Lleras277.

• Primer curso de ingles, con Roberto McDoual278; del que hasta ahora se han encon-

trado 13 ediciones hasta el ano de 1943.

• Curso de Geografıa Universal, con Francisco Montoya M.279; del cual se han encon-

271Manuel Antonio Rueda, Compendio de aritmetica (Bogota: Imprenta de Vapor de Zalamea Her-

manos, 1884)272Manuel Antonio Rueda, Lecciones de trigonometrıa (Bogota: Librerıa Colombiana, 1926, 2a. ed)273Manuel Antonio Rueda, Las cuatro operaciones de la aritmetica (Bogota: Imprenta Electrica,

1908, 4a. Ed)274Manuel Antonio Rueda, Tratado de aritmetica analıtica y comercial (Bogota: Imprenta de Eche-

verrıa Hermanos, 1883). Algunas ediciones fueron publicadas con el tıtulo de Tratado de aritmetica simple-

mente, pero el contenido era el mismo y en los libros habıa continuidad con los numeros de las ediciones.275Manuel Antonio Rueda, Contabilidad Mercantil (Bogota: Imprenta de Torres Amaya, 1890)276Manuel Antonio Rueda, El juguete de los numeros (Bogota: Editorial Echeverry Hermanos, 1891)277Lorenzo Maria Lleras y Manuel Antonio Rueda, Citolejia Cientıfica (Bogota: Imprenta de

Medardo Rivas, 1899)278Roberto McDoual y Manuel Antonio Rueda, Primer curso de Ingles (Bogota: Librerıa Cama-

cho Roldan, 1909, 4a. Ed.)279Francisco Montoya M. y Manuel Antonio Rueda, Curso de Geografıa Universal (Bogota:

Imprenta de Vapor, 1904)

66


trado 7 ediciones hasta el ano de 1930.

Y por supuesto los dos textos de algebra que describimos en esta seccion.

Pagina titular del texto Lecciones de algebra280 Pagina titular del texto Curso de algebra281

Anıbal Brito, por su parte, fue un alumno de Rueda en la Universidad Nacional y al

terminar sus estudios se vinculo como profesor de matematicas en el Colegio Academico

de Bogota, propiedad de Rueda282.

El prologo de las lecciones tiene dos parrafos, en el primero explica de donde provienen

las lecciones que publica:

He recogido las lecciones de Algebra que durante algunos anos dicte oralmente

en la Universidad Nacional, y me he asociado con mi antiguo discıpulo, el senor Don

Anıbal Brito, para el objeto de complementarlas, ordenarlas y publicarlas283.

y en el segundo parrafo explica el proposito al publicarlas:

280Tomada del ejemplar existente en la biblioteca de la Sociedad Colombiana de Ingenieros.281Tomada del ejemplar existente en la biblioteca personal del Dr. Vıctor Albis.282Manuel Antonio Rueda & Anıbal Brito, Lecciones de algebra (Bogota: Imprenta de Fernando

Ponton, 1887), pp. 1–4.283Manuel Antonio Rueda & Anıbal Brito, Lecciones de algebra, p. 3.

67


Emprendo el trabajo con el proposito de servır a la instruccion en Colombia, y

animado de un grande deseo; que con el estudio de este texto llegue a formarse un

joven como el que hoy me acompana en la redaccion de la obra284.

Este texto es, pues, tambien el resultado de la experiencia docente de Rueda y de las

lecciones acumuladas con la experiencia, al igual que el texto de Pombo y el de Suarez.

El texto esta subdividido en 22 lecciones en las cuales se presentan los siguientes temas:

nociones preliminares; aritmetica de cantidades algebraicas; fracciones algebraicas; per-

mutaciones, ordenaciones y combinaciones; Potencias y raıces de monomios, Binomio de

Newton; Potencias y raıces de Polinomios; Ecuaciones de primer grado con una sola incogni-

ta y sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incognitas o con varias incognitas;

teorıa de los radicales, imaginarias de segundo grado, ecuaciones de segundo grado con

una sola incognita; desigualdades; progresiones aritmeticas y geometricas; teorıa de los

logaritmos; interes compuesto y anualidad; fracciones continuas y analisis indeterminado.

Los temas de este texto son los mismos que los ofrecidos por Araujo, Suarez y Celedon;

y al igual que Suarez y Celedon, este texto presenta ejercicios al final de cada tema.

El segundo texto de algebra de Rueda, que corresponde al septimo de nuestra lista,

se titula Curso de algebra y fue publicado y reeditado en nueve ocasiones, de la siguiente

manera: la 1a. edicion fue publicada por la imprenta de Echeverrıa hermanos en 1891.

Las restantes ediciones son publicadas por la librerıa Camacho Roldan & Tamayo, de la

siguiente manera: la 2a. edicion en 1893, la 3a. edicion en 1905, la 4a. edicion en 1912, la

5a. edicion en 1919 y la 9a. edicion en 1948285.

El curso comienza con una advertencia, a manera de prologo, en la que se explica:

Este libro esta destinado a servir de texto de ensenanza. En consecuencia, no

contiene menos de lo necesario ni mas de lo suficiente.

La obra esta dividida en dos partes: curso inferior y curso superior. El curso infe-

rior es adecuado para la ensenanza elemental del algebra en las escuelas de Literatura.

El superior sirve para los estudiantes de ingenierıa286

Al igual que casi todos los autores, Rueda en su segundo texto aclara que no hay en el

excesos en los contenidos y que su texto se amolda a la ensenanza en la Universidad Na-

cional. Lo que puede resultar un beneficio para las instituciones que estuvieran interesadas

en ofrecer el mismo nivel que en la Universidad.

284Manuel Antonio Rueda & Anıbal Brito, Lecciones de algebra, p. 3.285Las ediciones 6a., 7a. y 8a. no fueron encontradas por lo que desconocemos el ano de publicacion, pero

dado que la quinta y novena edicion no difieren en nada, consideramos que de igual forma sucede con las

tres ediciones faltantes286Manuel Antonio Rueda, Curso de algebra (Bogota: Imprenta de Echeverıa Hermanos, 1891), p. 3.

68


El texto esta dividido en dos secciones. La primera seccion consta de veinticinco lec-

ciones y 234 artıculos. Por su parte, la segunda seccion esta dividida en 15 lecciones y en

95 artıculos. Los temas de la primera seccion del Curso de algebra, son los mismos que se

ofrecen en las Lecciones de algebra, pero presentados de manera mas extensa. Los temas

que corresponden a la segunda seccion son: definicion de lımite y de serie, clasificacion

de las series y condiciones necesarias de convergencia, manera de encontrar un termino

cualquiera de una serie y suma de los terminos de una serie, principio de los coeficientes in-

determinados, serie logarıtmica y exponencial, descomposicion de las fracciones racionales

y generalizacion de la formula del Binomio. Definicion y clasificacion de las funciones; serie

de Taylor; definicion de derivada; derivada de una funcion, derivada: de una funcion loga-

rıtmica, de una funcion exponencial, de una suma, de un producto, de un cociente, de una

potencia y de un radical de segundo grado. Funciones crecientes y decrecientes, y maximo

y mınimo de una funcion. Cantidades imaginarias, imaginarias conjugadas, modulo y argu-

mento, aritmetica de cantidades imaginarias, potencias y raıces de cantidades imaginarias.

Forma general de una funcion entera, teorema de Cauchy, otros teoremas relacionados,

relaciones entre las raıces y los coeficientes de una ecuacion, teorema de Descartes y teo-

rema de Rolle. Transformacion de las ecuaciones, raıces iguales, descomposicion de una

ecuacion que tenga raıces iguales, limites de las raıces, teorema de Sturm, demostracion y

ejercicios. Clasificacion de las raıces de una ecuacion, determinacion de las raıces enteras

y fraccionarias, y raıces inconmensurables. Resolucion de las ecuaciones de tercer grado, y

ecuaciones recıprocas, binomias y trinomias287

Todas las ediciones del texto de algebra de Rueda son iguales, la unica diferencia

radica en que desde la quinta edicion los editores de la Librerıa Colombiana adicionaron

un apendice escrito por Vıctor Caro, hijo de Miguel Antonio Caro.

En el apendice se presentan los siguientes temas: Teoria elemental de los determi-

nantes: inversiones, determinantes menores, multiplicacion de determinantes, aplicaciones.

Nociones sobre la representacion grafica de las funciones algebraicas: representacion grafica

de una ecuacion de primer grado con dos incognitas, representacion grafica de la variaciones

del trinomio de segundo grado, representacion grafica de las variaciones de una ecuacion

de tercer grado de la forma x3 + px2 + qx + r. Transformacion de la serie logaritmica,

Propiedades del numero e, representacion grafica de la primera derivada de una funcion

y = f(x) y derivadas de las funciones circulares directas y de las funciones circulares

inversas.

El Curso de algebra de Rueda, sin el apendice, se parece mucho mas al texto de Pombo y

al de Lievano que a los demas, sobre todo por los temas presentados en la segunda seccion,

287Manuel Antonio Rueda, Curso de Algebra, pp. 283–287.

69


ya que los tres desarrollan en sus textos lo que hoy se conoce como teorıa algebraica de

ecuaciones.

3.3.6. Compendio de algebra para los jovenes de los seminarios

El octavo libro en publicarse fue el Compendio de algebra escrito por un sacerdote de

la Congregacion de la Mision, quien firma con las siglas J. M. CH., y publicado en Tunja

por la imprenta del Departamento, en 1894.

Pagina titular del texto Compendio de algebra288

El autor, en el prologo, al igual que Celedon, tambien aclara en que obras se baso para

construir su trabajo, pues el explica que su texto: “en su mayor parte, ha sido extractado

de obras que hemos tenido a la mano, tales como la de Celedon, Rueda y Vallejo a quienes

reconocemos como sabios y maestros de esta ciencia”289. El sacerdote se refiriere: al Tratado

elemental de algebra de Rafael Celedon, al Curso de algebra290 de Manuel Antonio Rueda

288Tomada del ejemplar existente en la biblioteca personal del Dr. Vıctor Albis.289J. M. Ch, Compendio de algebra (Tunja: Imprenta del Departamento, 1894), p. vii.290Consideramos que se trata del Curso y no de las Lecciones, ya que no hay mencion alguna a Anıbal

Brito

70


y al Compendio de Matematicas puras y mixtas de Mariano Vallejo; lo cual nos muestra la

amplia circulacion y aceptacion de estos textos en Colombia.

Posterior a esto, explica el proposito pedagogico de su trabajo pues comenta: “la sola

mira que nos hemos propuesto ha sido ofrecer a los jovenes, especialmente de los seminarios,

un conjunto claro, completo y facil de las cosas mas generales y necesarias del algebra”291,

la cual parece ser una explicacion recurrente en todos los manuales de algebra, lo que nos

lleva a pensar que aunque el algebra era una materia en los currıculos de los colegios desde

los anos treinta, del siglo XIX, continuamente habıa que recordarle al lector que el texto

que se ofrece para su servicio no tiene mas de lo necesario, es decir que no presentan temas

que sean demasiado complejos o que no se consideren utiles. Con respecto a la claridad

de su texto mas adelante afirma: “Si en alguna cosa puede, sı, competir nuestra obrita

con cualesquiera otras de su genero, es ciertamente en claridad, por el hecho de habernos

concretado a lo util y necesario”292

Ademas, el hecho de que lo escriba “especialmente”para el beneficio de los jovenes en

los seminarios, no es mas que la forma como colabora con la formacion de los jovenes de

su gremio, de igual forma como Rueda escribe su Curso de algebra, para que pueda ser

utilizado por los estudiantes de la Escuela de ingenierıa.

Con respecto a su contenido, el texto esta dividido en 12 capıtulos en los que se rela-

cionan los siguientes temas: nociones preliminares y notacion, las cuatro operaciones fun-

damentales con cantidades algebraicas, maximo comun divisor y mınimo comun multiplo,

fracciones literales. Ecuaciones de primer grado con una sola incognita y su resolucion,

problemas; sistemas de ecuaciones de primer grado con dos o mas incognitas, y resolucion

por los metodos de igualacion, sustitucion, entre otros; problemas con sistemas de dos

incognitas o mas. Desigualdades y analisis indeterminado de primer grado. Elevacion a po-

tencias de monomios y polinomios, raıces de polinomios, cantidades radicales, aritmetica

de cantidades radicales, elevacion a potencias y raıces de cantidades radicales. Cantidades

imaginarias, aritmetica de cantidades imaginarias. Ecuaciones de segundo grado, comple-

tas e incompletas, problemas, ecuaciones bicuadradas. Relaciones, equidiferencias, propor-

ciones, regla de tres, interes simple, descuento por fuera y por dentro, regla de companıa y

de mezclas. Progresiones por diferencia (progresion aritmetica) y por cociente (progresion

geometrica). Logaritmos., aplicaciones de los logaritmos, potencias y raıces por logaritmos

e interes compuesto. Permutaciones, ordenaciones y combinaciones.

Estos son los mismos temas presentes en Araujo, Suarez, Celedon y Rueda y Brito.

291J. M. Ch, Compendio de algebra (Tunja: Imprenta del Departamento, 1894), p. vii.292J. M. Ch, Compendio de algebra (Tunja: Imprenta del Departamento, 1894), p. viii.

71


Ya en el siglo XX, se publica el texto de Delio Cifuentes Porras, titulado Lecciones

de algebra superior en dos partes, la primera parte publicada en 1912 y segunda parte en

1911. Segun el analisis hecho por Clara Sanchez, este texto corresponde a la tesis que Delio

Cifuentes presento en el ano de 1891, para optar por el tıtulo de Profesor de matematicas293,

sin que se pueda afirmar que los dos textos, el de la tesis (desaparecido) y el de las lecciones,

sean el mismo pues media una diferencia de 20 anos entre su escritura y posiblemente a

su mejoramiento a traves de su experiencia docente. Ademas tiene la particularidad de

estar publicado en mimeografo con originales manuscritos, lo que consideramos que se dio

a que solo era utilizado por los estudiantes de la Universidad Nacional, que eran alumnos

de Cifuentes.

293Clara Helena Sanchez, Los ingenieros matematicos colombiano del siglo XIX, p. 165–166. Ci-

fuentes fue estudiante de la Universidad Nacional en la epoca en que Rueda se desempenaba como profesor

de la carrera de ingenierıa, por lo que suponemos que Rueda fue efectivamente profesor de Cifuentes

72

Conclusiones

Las matematicas desde el periodo colonial fueron siempre entendidas como instrumen-

tales. A la filosofıa natural en el periodo colonial, a las ciencias y al arte de la guerra en las

primeras decadas del siglo XIX y a las ciencias, el arte de la guerra y la ingenierıa desde

mediados hasta finales del siglo XIX. Es por esto que cada vez que se daba un paso en

pos de la cientifizacion de los currıculos o del establecimiento de ensenanzas tecnicas, las

matematicas tambien ganaban un espacio es estos currıculos.

Los espacios ganados por las matematicas en los currıculos de la educacion supe-

rior en Colombia, fueron dandose progresivamente. Primero se establecieron catedras de

matematicas en el periodo colonial, las cuales abarcaban diversos ramos de lo que se en-

tendıa en ese momento como parte de las matematicas, entre los que podemos contar:

aritmetica, algebra, geometrıa, trigonometrıa, astronomıa, optica, cronologıa, etc. En la

Republica, se logro la separacion de la monolıtica catedra de matematicas en cursos separa-

dos de aritmetica, algebra y geometria, y gracias a la reforma de Santander y se generalizara

la ensenanza de estos cursos en muchos de los colegios del paıs, pero no en las universi-

dades. Por ultimo, gracias al establecimiento de la carrera de ingenierıa civil, primero en

el Colegio Militar y posteriormente en la Universidad Nacional, se logro un aumento en la

cantidad y el nivel de los cursos de matematicas, al punto de que fue necesaria la distincion

entre los cursos elementales y los superiores.

El establecimiento del Colegio Militar fue coyuntural en la ensenanza de las matematicas

y en este caso particular al algebra, ya que su funcionamiento establecio un modelo edu-

cativo muy diferente a lo que venıa sucediendo en la educacion en Colombia. Ademas sus

egresados demostraron que la ingenierıa era una honorable salida laboral, pero que debıan

someterse a un estudio concienzudo de las matematicas. Es precisamente este ambiente

favorable el que genera la produccion, compra y venta de textos de matematicas, en par-

ticular de los textos de algebra descritos en este analisis. Ambiente que es fortalecido con

la creacion de la Escuela de Ingenierıa en la Universidad Nacional.

Con respecto a los textos es claro que podemos separarlos en dos categorıas a partir de

los temas que ofrecen. Aquellos que pueden ser utilizados con exclusividad en la ensenanza

elemental del algebra: Araujo, Suarez, Celedon, Rueda y Brito, y J. M. Ch. Ya que en ellos

se puede ver un preocupacion por hacer el estudio del algebra lo mas sencillo posible y sus

contenidos no van mas alla de las ecuaciones de segundo grado y el analisis indeterminado.

De otro lado estan, aquellos que sus contenidos pueden ser utilizados en un curso de

algebra superior: Pombo, Lievano y Rueda. En ellos se puede encontrar una mayor cantidad

de temas, ademas de los elementales, tales como la teorıa de ecuaciones algebraicas, las

series, las derivadas y la solucion de ecuaciones por metodos numericos.

73

Por ultimo quisiera llamar la atencion con respecto a los diversos lazos que se establecen

entre los autores. Me refiero a que: Pombo fue profesor de Lievano y de Celedon, Lievano

a su vez fue profesor de Rueda y de Suarez, y Rueda fue profesor de Brito y de Cifuentes.

Lo que hace que la serie maestro-alumno que habıamos mencionado en el primer capıtulo,

gracias a Pombo se ramifique.

74

Fuentes primariasBiblioteca Nacional

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El colegio Seminario de San Bartolome Bogota: Imprenta de la republica por Nicomedes Lora. 1825.

Coleccion de asertos de las materias que se defenderan en certamenes publicos en el Colejio de San

Bartolome. Bogota: Imprenta de la Universidad–por Nicolas Gomez, 1835

Los alumnos de la primera casa de educacion Bogota: Imprenta de Nicomedes Lora. 1833

Recopilacion de las doctrinas i principios que en los diferentes ramos de las ciencias han adquirido

los alumnos del Colegio Mayor de Nuestra Senora del Rosario. Bogota: Imprenta de la Universidad-porNicolas Gomez, 1836.

La clase de matematicas de Instruccion Militar,(s.n.), circa 1836

Certamen de la clase de filosofia de segundo ano del Colejio San Pedro Apostol de Mompox, (s.e.) (s.f.)

Coleccion de programas para los certamenes publicos de las clases de la Universidad del Cauca.Popayan: Imprenta de la Universidad por Benito Zizero. 1833.

Certamenes literarios que en el presente ano de 1835 sostendran las escuelas publicas de Ninas y

Ninos, y las clases del colejio de Velez. Bogota: Imprenta por Jose Ayarza, 1835.

Las jovenes alumnas del Colejio de Ninas de esta Capital.Bogota: Imprenta de N. Lora; por Juan N.Barros, 1828.

Programa de los principios que los cursantes de la Universidad Central expondran en los certamenes

publicos de las diferentes clases de ensenanza que se dan en el establecimiento. Bogota: Imprenta porValentın Martınez, 1840.

Coleccion de Asertos de las materias que se defenderan en certamenes publicos por los alumnos del

Colejio de Panama. Panama: Por Jaime Bousquet, 1840.

Coleccion de programas para los certamenes publicos que las clases del colegio Nacional de Santa

Librada de Cali presentan en el mes de Junio de 1849. Cali: Imprenta de Velasco, 1849.

Coleccion de programas para los certamenes literarios presentados al publico por las diversas clases

de ensenanza de la Universidad del Magdalena e Istmo. Cartagena: Imprenta de los herederos de Juan A.Calvo, 1842.

Coleccion de programas para los examenes y certamenes del Seminario Conciliar de San Jose, Bogota:Impreso por Nicolas Gomez, 1843.

Programa para lo certamenes del Colegio de la Merced. Bogota: Imprenta de Nicolas Gomez, 1847.

Colegio Militar: Programa de los examenes de las clases de instruccion cientıfica de dicho estableci-

miento, Bogota: [s.n.], 1849.

Coleccion de los programas para los certamenes publicos que han de presentar los alumnos del colejio

de San Jose de Marinilla. Medellın: Imprenta de Balcazar, 1859.

Ejercicios literarios del seminario menor i colejio de los Padres de la companıa de Jesus Bogota:Imprenta de F. Torres Amaya, 1859.

Cronica Mensual: organo difusor del Colegio Espıritu Santo, Vol: 1, No. 13 (1848).

“Quinto certamen anual de los alumnos del colegio del Espıritu Santo”, Cronica Mensual, Vol: 2, No.27 (1850).

Cronica del colegio de Boyaca Tunja: Impreso en Tunja por Vicente Banos; 1852.

Actos literarios del Colejio de la Independencia (Bogota: Imprenta del Neo-Granadino, 1852

Actos literarios del Colejio de la Independencia (Bogota: Imprenta del Neo–Granadino, 1853

75

Liceo de Familia, Bogota: Imprenta de Neo–Granadino, 1855

Programa de las materias sobre que versa la ensenanza de las senoritas educadas en el colegio del

Sagrado Corazon de Jesus; i por las que deberan ser examinadas respectivamente en los actos literarios

publicos, Bogota: Imprenta de Francisco Torres Amaya, 1855

Programas de las materias que se han ensenado en el Colegio Academico de Boyaca para los certamenes

que tendran lugar en el mes de noviembre de 1856 Bogota: Imprenta de Francisco Torres Amaya, 1856

Coleccion de los asertos del Colejio del Estado de Antioquia, Medellın: Imprenta de Balcazar, 1857.

Archivo General de la Nacion

Noticias historicas. Seccion Republica. Fondo: Secretaria de Guerra y Marina, Tomo 747.

Seccion: Republica. Fondo: Secretaria de Guerra y Marina, Tomo 715.

Copia del decreto ejecutivo, organico del Colejio Militar Julio de 1847. Fondo: Enrique Ortega Ricaurte.

Seccion: Coleccion. Caja: 12. Rollo: 6. Folio 15.

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Bails, Benito. Principios de Matematica de la Real Academia de San Fernando (Madrid: Viuda deIbarra, 1776.

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Cifuentes Porras, Delio. Lecciones de algebra superior: primera parte. Bogota: Lazcano Tovar &Piedrahita, 1912.

Cifuentes Porras, Delio. Lecciones de algebra superior: segunda parte. Bogota: Lazcano Tovar &Piedrahita, 1911.

J. M. Ch, Compendio de algebra. Tunja: Imprenta del Departamento, 1894.

Lievano, Indalecio. Tratado de algebra. Bogota: Imprenta de Medardo Rivas, 1875.

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Anexo 1: Cartel sobre instruccion Militar en las Universidades (1836)

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Anexo 2: Aserto del Colegio Militar (1852)

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Los libros de ´algebra escritos por colombianos en el ...

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