Logica Completo

LA PROPOSICIN Lic. Csar Orihuela Sols 1

PROPSITO DE LA CLASE

Identifica y caracteriza a la proposicin lgica,

distinguiendo entre los tipos de proposiciones.

2

QU ES UNA PROPOSICIN

LGICA?

Una Proposicin para considerarse como tal debe

cumplir las siguientes condiciones:

1. Se trata de un enunciado en funcin informativa.

Ejemplo: El proyecto conga qued paralizado.

Adems debe estar en sentido aseverativo, ya que no

sera proposicin cuando decimos:

Sabas que la minera informal contamina ms?

Pues no afirma, ni niega, esta en sentido interrogativo.

3


LGICA?

2. Lo que se informa, debe tener sentido lgico.

Ejemplo:

a) El lpiz esta alegre.

b) El lpiz pesa 1 gramo.

En el primer caso se trata de un absurdo, ya que no se puede contrastar la alegra de un lapicero, en el segundo caso es proposicin, puesto que el peso si es atribuible y contrastable cuando se informa acerca de un objeto como el lapicero.

c) Pablo es un nmero primo.

d) Pablo tiene 95 aos.

En cul de los casos descritos es una proposicin?

4


LGICA?

3. Finalmente es proposicin cuando puede

describirse como verdadero o falso (no ambos a la

vez)

Ejemplo:

a) 7 es un nmero primo.

b) Pars es la capital de Espaa.

A esta ltima condicin se le llama tambin la

propiedad de aleticidad.

5

CUNDO NO ES PROPOSICIN?

1. Los enunciados afectivos o emotivos:

Ejemplo: Yo quiero mucho a mis padres.

(las expresiones afectivas pueden ser descritas

como sinceras o no sinceras, mas no como

verdaderas o falsas)

2. Las rdenes, peticiones o mandatos.

Ejemplo: Cierra la puerta, psame el libro.

3. Los enunciados en funcin mixta.

Ejemplo: Cuidado!, el perro muerde.

6


4. Cuando se menciona situaciones ficticias,

absurdas o imaginarias:

Ejemplo: Hansel y Gretel fueron engaados por la

bruja.

5. Los enunciados metalingsticos.

Ejemplo: Murcilago contiene las 5 vocales.

6. El uso de figuras literarias, refranes, parfrasis.

Ejemplo: Tu mirada me transporta al paraso, A

caballo regalado no se le mira el diente

7


7. Los enunciados metafsicos (por ser incontrastables).

Ejemplo: Dios existe, Hay un espritu universal.

8. Los juicios de valor, juicios morales, estticos, etc.

Ejemplo: Aquella escultura es bella, Luca es una mujer bondadosa.

9. Los enunciados desiderativos.

Ejemplo: Espero que te vaya bien, ojal regreses pronto, te deseo lo mejor.

8

CASOS ESPECIALES

1. La proposicin elptica o abreviada:

Ejemplo:

a) Llueve (esta lloviendo)

b) Fuego! (Est producindose un incendio)

2. Las expresiones algebraicas:

Ejemplo:

a) 4x + 5 = 25

b) (X+5)(x+4) = 25

9

TIPOS DE PROPOSICIONES

1. Proposiciones de sujeto y predicado (S es P)

Ejemplo:

a) Concepcin es una ciudad turstica.

b) Roberto es ingeniero electricista.

2. Proposiciones de esquema relacional (Rab)

a) Huancayo est al sur de concepcin.

b) Roberto es hermano de Ricardo.

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3. Proposiciones de pertenencia a grupos o clases

(A en G)

Ejemplo:

a) Los peruanos son latinoamericanos.

b) Los gatos son felinos.

4. Proposiciones atmicas y moleculares (simples y

compuestas)

Esta divisin fue propuesta inicialmente por los

estoicos y profundizadas por Bertrand Russell.

11


4.1. Proposiciones atmicas (simples)

a) No pueden estar negadas.

b) No poseen conectivos lgicos.

c) No pueden descomponerse.

Ejemplo:

Huancayo es una ciudad comercial.

p

12


TEMA 01

4.2. Proposiciones moleculares (compuestas,

coligativas)

a) Pueden estar negadas.

b) Poseen conectivos lgicos.

c) Pueden descomponerse.

Ejemplo:

Huancayo es una ciudad comercial, adems

turstica.

(p q) 13

EL LENGUAJE LGICO

TEMA 02 Lic. Csar Orihuela Sols 14


Caracteriza los diferentes conectores lgicos en la

formacin de proposiciones moleculares.

Elabora esquemas moleculares, distinguiendo las

formulas bien formadas de las mal formadas.

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QU ES LENGUAJE LGICO?

Es el lenguaje formalizado que podemos

realizar de cualquier contenido

informativo, siempre y cuando se traten

de proposiciones.

El lenguaje lgico es la simbolizacin de

las proposiciones.

Cabe recordar que la ciencia est

compuesta por proposiciones, de modo

que se puede expresar los contenidos de

la ciencia en lenguaje lgico.

16

ELEMENTOS DE LA

SIMBOLIZACIN I. Variables proposicionales:

Nos permite representar a las proposiciones y se

representan con las letras:

p, q, r, s, ..

En caso de que falte variables, se puede utilizar

variables con sub ndice:

P1, p2, p3, p4, .. etc.

17

ELEMENTOS DE LA

SIMBOLIZACIN

II. Conectivos lgicos:

Sirven para representar los trminos de enlace, se

subdividen en:

a) mondico: la negacin (~)

- Antecede a una proposicin simple o compuesta,

pero nunca va al medio de dos proposiciones,

tampoco al final.

b) Didicos: , v, v, , , , , etc. - Va al medio de dos proposiciones, pero nunca antes

o despus. 18

ELEMENTOS DE LA

SIMBOLIZACIN

III. Signos de agrupacin:

Sirven para ordenar y jerarquizar a las

proposiciones, al simbolizar van en el orden

siguiente:

( ), [ ], { }, I I, .

De utilizarse hasta barras, se utiliza ms barras

indefinidamente.

19

ELEMENTOS DE LA

SIMBOLIZACIN

IV. Metavariables lgicas:

Resultan ser la simbolizacin de la simbolizacin

lgica. Son variables que simbolizan a otros

esquemas lgicos, se representa con las letras

maysculas:

A, B, C, D, E, F.

Permiten abreviar esquemas extensos y facilitar la operacin

entre ellos.

20

SMBOLOS USUALES

En funcin a los tipos de proposiciones moleculares

tenemos:

21

JERARQUA DE LOS CONECTIVOS

LGICOS

Si en una proposicin compuesta no aparecen los

signos de agrupacin como parntesis, llaves o

corchetes, la jerarqua que debe tenerse en

cuenta es:

(Mayor) (menor)

,,,

22

FRMULAS BIEN FORMADAS

Pasos para realizar una frmula bien formada:

1. Identificar las proposiciones existentes en la expresin a

simbolizar.

2. Reconocer los conectores por medio de las cuales se hayan

unidas las proposiciones.

3. Colocar los signos de agrupacin segn sea necesario,

respetando la jerarquizacin de estos.

Ejemplo:

Julin Assange est aislado en la embajada de Ecuador,

porque es un perseguido poltico; adems, Inglaterra y EEUU

solicitan que sea detenido

(q p) (r s)

23

PROPIEDADES DE UNA FBF

1. Toda variable proposicional es una FBF.

2. Si A es una FBF, entonces ~A tambin lo es.

3. Si A y B son FBF, tambin lo son:

a) A B

b) A v B

c) A B

d) A B

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CUNDO UN ESQUEMA ES UNA

FRMULA MAL FORMADA (FMF)?

1. Cuando no se ha respetado la sucesin en el uso

de variables proposicionales.

Ejemplo: (p t) v r

2. Si no se ha tomado en cuenta las reglas sobre el

uso de los conectores.

Ejemplo: (p ~ q) (r s)

3. Si los signos de agrupacin, no estn

debidamente colocados o jerarquizados.

Ejemplo: ([ p v q] r ) s

25

RBOLES SINTCTICOS O DE

CONSTRUCCIN

1. Es un procedimiento para determinar si un

esquema molecular es una FBF o se trata de

una FMF.

2. Consiste en descomponer el esquema, partiendo

del conectivo principal, hasta terminar en las

variables proposicionales que la conforman.

3. Si se termina en las variables proposicionales,

entonces es FBF, pero si se genera ?, al

infringir una regla, entonces es FMF.

26

FORMULACIN DE

INFERENCIAS

Lic. Csar Orihuela Sols. 27

PROPSITO DE LA CLASE Reconoce los elementos y procedimientos para

formalizar proposiciones.

Elabora esquemas moleculares para representar

inferencias.

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QU ES FORMALIZAR?

Consiste en trasladar las expresiones del

lenguaje natural al lenguaje lgico.

En la formalizacin se simboliza la estructura del

razonamiento, independiente del contenido

semntico de este.

Ejemplo:

Si se firma el TLC, aumentarn las exportaciones;

sin embargo, tambin aumentar las

importaciones.

rqp )(

29

ESQUEMA CONJUNTIVO

Definicin:

Una conjuntiva es cuando se refiere la ocurrencia

de dos hechos o informaciones distintas una a

continuacin de otra.

Trminos referenciales:

Pero, sin embargo, no obstante, adems, tambin, a

la vez, asimismo, aunque, empero, etc.

Simbolizacin:

)( qp

),,&(

30

SIMBOLICE

Ejercicios:

1. As como fue periodista, Mario tambin fue

escritor.

2. Eliane y Alejandro son esposos, adems ambos

incursionaron en la poltica.

3. Per y Ecuador son pases andinos, adems son

pases vecinos.

4. No solo los gatos son felinos, tambin lo son los

leones, adems ambos son mamferos.

5. Mercedes lava, cocina, plancha, barre la casa y

lleva a su hija al jardn.

31

ESQUEMA DISYUNTIVO DEBIL O

INCLUSIVA

Definicin:

Una disyuncin refiere a la ocurrencia probable de

dos o ms posibilidades. En una disyuncin

inclusiva se puede incluir las dos o ms

posibilidades a la vez.


O, u.

Simbolizacin:

Ejemplo:

Carlos Marx fue economista o filsofo.

)(

)( qp

32

ESQUEMA DISYUNTIVO FUERTE O

EXCLUSIVA

Definicin:

Una disyuncin exclusiva ocurre cuando dadas dos o

ms posibilidades, solo puede aceptarse una a la

vez, de ah que la aceptacin de una de las

posibilidades excluye la otra u otras.


O, O..o, O bien.. o bien, etc.

Simbolizacin:

Ejemplo:

Carlos Marx naci en Inglaterra o Alemania. )( qp

),(

33

SIMBOLICE Ejercicios:

1. Caminas por la pista o caminas por la vereda,

adems usas tu celular o caminas por la vereda.

2. Estudias o trabajas, pero no ambas cosas.

3. El presidente viaj a China o se encuentra en

nuestro pas, asimismo enfrenta una crisis poltica o

tiene escasa popularidad.

4. O bien vas de paseo y ya no estudias para el examen,

o bien estudias para el examen y ya no vas de paseo.

5. Estas enfermo o desanimado, en consecuencia, vas a

la fiesta o te quedas en casa.

34

ESQUEMA CONDICIONAL

Definicin:

En una condicional se presenta dos proposiciones que estn en relacin de causa y efecto. Al trmino que contiene a la causa se le lama antecedente y al que posee el efecto se le denomina consecuente.


Entonces, sientonces, por lo tanto, en consecuencia, por ende, de ah que, de modo que, puesto que, ya que, porque, de tal manera que, etc.

Simbolizacin:

,

35

ESQUEMA CONDICIONAL DIRECTA U

ORDENADA

Definicin:

En toda condicional directa, se presenta primero el

antecedente y luego el consecuente. Es la manera

clsica en la que se presenta una condicional.

Ejemplo:

Si solea demasiado, entonces hace calor.

Simbolizacin:

)( qp

36

ESQUEMA CONDICIONAL INVERSA O

DESORDENADA

Definicin:

Es cuando primero se presenta el efecto y luego la

causa. Una vez simbolizado debe ordenarse.

Ejemplo:

Me abrigo, porque esta haciendo fro.

Simbolizacin:

)( pq )( qp

37


1. Como hay capacidad de consumo y gran cantidad de poblacin en Huancayo, Los supermercados Plaza Vea abrieron una sede en esta ciudad.

2. Ya que hay dinero, se hacen obras pblicas; todo esto porque existe una adecuada recaudacin tributaria.

3. Reparas radios y televisores, puesto que eres un tcnico electrnico.

4. El turismo ha sido afectado en Madre de Dios, a causa de las protestas y bloqueos por parte de los mineros informales.

5. Existe corrupcin porque no hay sanciones drsticas, adems no hay sanciones drsticas, porque no hay una adecuada legislacin.

38

ESQUEMA BICONDICIONAL O

COIMPLICADOR

Definicin:

Una bicondicional se define como una doble

condicional, donde ambos trminos juegan el rol de

antecedente y consecuente.


Si y solo si, si entonces y solo entonces, si y

solamente si, siempre y cuando que, cuando y solo

cuando, etc.

Simbolizacin:

),(

39

RECONOCE LA BICONDICIONAL

Cules son realmente bicondicional?

1. Tomas pastillas si y solo si ests enfermo.

2. El agua se congela si y solo si la temperatura

esta bajo 0 C.

3. Usas paraguas si y solamente si est lloviendo.

4. Eres abogado si y solo si estudiaste Derecho.

5. Luces un fsico esbelto si solo si eres una

persona saludable.

40

ESQUEMA NEGACIN

Definicin:

La negacin se utiliza para rechazar la ocurrencia

de un hecho o informacin.


No, no es cierto, es falso, no ocurre, no es el caso, es

falso, no es verdad, es mentira, es imposible, es

increble, es inadmisible, nunca, jams, etc.

Simbolizacin:

(-, ~) ),( N

41

TIPOS DE NEGACIN

Negacin simple:

Cuando la proposicin simple es antecedido por un

trmino referencial de la negacin.

Ejemplos:

- No es cierto que, Pars sea la capital de Espaa.

- Jams los mamferos ponen huevos.

Simbolizacin:

)( p

42

TIPOS DE NEGACIN

Negacin compleja:

Cuando la negacin antecede a una proposicin

compuesta.

Ejemplos:

- Es imposible que, llueve y hace calor.

- No es cierto que, si inviertes en turismo,

obtendrs grandes ganancias.

Simbolizacin:

)(

)(

qp

qp

43

TIPOS DE NEGACIN

Negacin por antnimo absoluto:

Cuando la proposicin seala un antnimo absoluto

con respecto a otra proposicin.

Ejemplos:

p ~p

Javier esta vivo Javier esta muerto

Per gan el partido. Per perdi el partido.

Ana dice la verdad. Ana miente.

Alejandro est cuerdo. Alejandro est loco.

El presidente se fue. El presidente se qued.

44

TIPOS DE NEGACIN

Negacin por prefijo:

Cuando en la proposicin hay un trmino con prefijo

negativo, como des_, in_, a_, etc.

Ejemplos:

p ~p

Aquel poltico es honesto. Aquel poltico es

deshonesto.

Robar es legal. Robar es ilegal.

Su conducta es normal. Su conducta es anormal.

Los amigos son leales. Los amigos son desleales.

Las mujeres son decididas. Las mujeres son indecisas.

45

TIPOS DE NEGACIN

Negacin direccional:

Cuando se seala una situacin con un significado

en sentido inverso.

Ejemplos:

p ~p

Per gan a Chile. Chile gan a Per.

Pedro es ms alto que

Juan.

Juan es ms alto que

Pedro.

Lima es ms poblado que

Quito.

Quito es ms poblado que

Lima.

Mara es mayor que

Cecilia.

Cecilia es mayor que

Mara.

46


1. Es imposible que, haya agua o vida en Marte; sin embargo hay agua. De ah que hay vida en Marte o estamos desinformados.

2. La seleccin peruana gan a Colombia entonces tenemos un entrenador capaz, sin embargo Colombia gan a la seleccin peruana. En consecuencia tenemos un entrenador incapaz o la seleccin no entren.

3. Me voy o me quedo, pero si me quedo, entonces no me voy. En consecuencia, me voy y no me quedo.

4. Tras el accidente Pedro falleci, sin embargo; como no se encontr su cadver, se deduce que Pedro vive, pero no esta bien de salud.

5. El comercio de drogas es ilegal; no obstante algunos medicamentos contienen drogas, entonces el comercio de drogas es legal y no hay razn para prohibir su venta.

47

INFERENCIAS COMPLEJAS

Definicin:

Son aquellas que estn conformadas por varias

proposiciones compuestas.

Ejemplo:

Como ha subido la gasolina y los lubricantes, se ha

elevado el precio de los pasajes de transporte

interurbano o interprovincial.

Simbolizacin:

)()( srqp

48

SIMBOLICE

Ejercicios:

1. La Historia no es ciencia natural, porque no es una ciencia experimental. No obstante la Historia es ciencia social.

2. Tomas una combi o te vas en taxi, pero te vas en taxi, si es que te hiciste tarde para llegar a clases.

3. Si regalas cien soles, entonces significa, que ests loco, te ganaste la lotera o eres una persona dadivosa.

4. 12 y 20 son nmeros pares, pero ninguno de estos es divisible entre 7.

5. Kepler al igual que Galileo estaban de acuerdo con el heliocentrismo, ambos impulsaron la Fsica moderna.

6. Per tiene crecimiento econmico, entonces hay empleo y bienestar en la poblacin. Pero ocurre todo lo contrario.

49

TABLAS DE VERDAD Lic. Csar Orihuela Sols 50


Construir tablas de verdad respetando las reglas y el

orden que le son inherentes.

Realizar operaciones con tablas de verdad para

demostrar los valores de verdad o falsedad en

esquemas moleculares lgicos.

51

TABLAS DE VERDAD

Es un mtodo decisorio para establecer la validez

o invalidez de los argumentos, que previamente

han sido simbolizados.

Este procedimiento fue introducido por el lgico

matemtico Ludwig Wittgenstein en su obra

Tractatus lgico philosophicus, publicado en el

ao 1921.

52

TABLAS DE VERDAD

1. La conjuncin.- En una conjuncin resulta el valor de verdadero cuando ambas proposiciones son verdaderas, en los dems casos resulta falso. La tabla queda as:

Propiedades:

Conmutativa:

Ley de Morgan:

p q

V V V

V F F

F V F

F F F

)( qp

)()( pqqp

)()( qpqp

53

TABLAS DE VERDAD

2. La disyuncin dbil o inclusiva.- Resulta falso cuando ambas proposiciones son falsas, en los dems casos resulta verdadero. La tabla queda as:

Propiedades:

Conmutativa:

Ley de Morgan:

p q

V V V

V F V

F V V

F F F

)( qp

)()( pqqp

)()( qpqp

54

TABLAS DE VERDAD

3. Condicional.- En una condicional resulta falso, nicamente

cuando el antecedentes es verdadero y el consecuente falso, en

los dems casos es verdadero. La tabla queda as:

Propiedades:

Implicacin material:

Recproco:

Contra recproco:

p q

V V V

V F F

F V V

F F V

)( qp

)()( qpqp

)()( pqqp

)()( qppq 55

TABLAS DE VERDAD

4. Bicondicional.- Resulta verdadero cuando ambas proposiciones son equivalentes, de lo contrario resulta falso. La tabla queda as:

Propiedades:

Conmutativa:

Definicin bicondicional:

p q

V V V

V F F

F V F

F F V

)( qp

)()( pqqp

)()()( pqqpqp 56

TABLAS DE VERDAD

5. Disyuncin fuerte o exclusiva.- Resulta falso cuando ambas proposiciones son equivalentes, de lo contrario resulta verdadero. La tabla queda as:

Propiedades:

Conmutativa:

Definicin disyuncin fuerte:

p q

V V F

V F V

F V V

F F F

)( qp

)()( pqqp

)()()( qpqpqp 57

TABLAS DE VERDAD

6. La negacin.- Acta como inversor de valores, de modo

que lo verdadero pasa a ser falso y lo falso, verdadero. La

tabla queda as:

Propiedades:

Doble negacin:

p

V F

F V

p

pp

pp

58

TABLAS DE VERDAD

7. Negacin conjuntiva o binegacin.- En la binegacin,

resulta falso cuando ambas proposiciones son falsas. La

tabla queda as:

Propiedades:

Conmutativa:

Definicin binegacin:

p q

V V F

V F F

F V F

F F V

)( qp

)()( pqqp

)()( qpqp 59

TABLAS DE VERDAD

7. Negacin disyuntiva o incompatibilidad.- En la

negacin disyuntiva, resulta falso cuando ambas

proposiciones son verdaderas. La tabla queda as:

Propiedades:

Conmutativa:

Definicin negacin disyuntiva:

p q

V V F

V F V

F V V

F F V

)( qp

)/()/( pqqp

)()/( qpqp 60

ESTRUCTURA DE LA TABLA DE VERDAD

61

REGLAS PARA OPERAR TABLAS DE VERDAD

1. Trazar una lnea horizontal y vertical en el que se generen las 4 regiones de la tabla de verdad.

2. Identificar el nmero de variables proposicionales.

3. Hallar el nmero de combinaciones con la frmula:

2n = N de combinaciones

En donde n es el nmero de variables proposicionales.

4. Identificar el conectivo principal del esquema molecular.

5. Operar la tabla respetando las conectivas dominantes y el orden de prioridad de los enunciados moleculares.

62

OPERANDO UNA TABLA DE VERDAD

1. Evaluar la matriz resultante de:

)()( qpqp

p q

V V V F F V V V V

V F V V V V V F F

F V F V V V F F V

F F F V V V F F F

)()( qpqp

63

TIPOS DE MATRIZ RESULTANTE

1. Tautologa: (T).- Cuando en el resultado final, se

obtiene una columna de valores verdaderos. En

este caso concluimos que el razonamiento o

argumento evaluado es vlido.

Ejemplo:

p q

V V F V V V V V V

V F F V F V V V F

F V V V V V F V V

F F V F F V F F F

)()( qpqp

64


2. Contradiccin: (C).- Cuando en el resultado final,

se obtiene una columna de valores falsos. En este

caso concluimos que el razonamiento o argumento

evaluado no es vlido.

Ejemplo:

p q

V V F V F F V V

V F V F F F F F

F V F V F V V V

F F F V F V V F

)()( qpqp

65


3. Contingencia: (C).- Cuando en el resultado final,

se obtiene una columna de valores alternados entre

verdadero y falso. En este caso concluimos que el

razonamiento o argumento evaluado tampoco es

vlido.

Ejemplo:

p q

V V V V V V V V F

V F F V V V V V V

F V V F F F F F F

F F F V F V F V V

)()( qppq

66

OTROS MTODOS

PARA

DETERMINAR LA

VALIDEZ DE LOS

ARGUMENTOS Lic. Csar Orihuela Sols. 67

PROPSITO DE CLASE

Utilizar el mtodo de diagramas semnticos para

demostrar los valores de verdad y falsedad de

esquemas moleculares lgicos y argumentos.

68

EL MTODO ABREVIADO O

CRITERIO DE POST

Consiste en establecer la validez de un argumento, a

partir de la deduccin de los valores de las variables

proposicionales que conforman un esquema molecular.

69

PASOS PARA EJECUTAR EL MTODO

ABREVIADO

1. Se debe suponer el valor de falsedad de la totalidad de la frmula lgica a ser evaluado.

2. Pasamos a construir el esquema de problema, colocando un crculo en el lugar donde irn los posibles valores veritativos.

3. A partir del valor de falsedad del esquema deducimos los dems valores.

4. Si en el proceso no surge ninguna contradiccin, entonces EL ESQUEMA CUMPLE, pero NO ES VLIDO.

5. Pero si en el proceso surge una contradiccin, entonces EL ESQUEMA NO CUMPLE, pero es cuando diremos que el razonamiento ES VLIDO.

70

EJERCICIO 1:

Determinar la validez del esquema:

)()()( pqqpqp F V V F F F

V V

V

F

F El esquema cumple,

pero NO ES VLIDO

71

EJERCICIO 2:

Determinar la validez del esquema:

)()()( prrqqp F ? ? V V F

F V

F

F

F El esquema no

cumple, pero entonces

ES VLIDO

V

72

EJERCICIO 3:

Determinar la validez de:

)()()( prsrqp F ? V ? F F

F F

V

F

F

V

73

EJERCICIO 3:

Determinar la validez de:

)()()( prsrqp F ? V ? F F

V V

V

F

F

F

En ambos casos NO

CUMPLE, entonces ES

VLIDO

74

DIAGRAMAS SEMNTICOS

Es otro mtodo alternativo al uso de las tablas de

verdad, consiste en anteponer el valor veritativo

del esquema y luego deducir a partir de las reglas

que rigen para cada tipo de proposicin

compuesta.

75

DIAGRAMAS SEMNTICOS

Consideraciones previas: Cmo se lee un diagrama

semntico?

a) Sea se lee: sea la variable p, verdadera

b) Sea se lee: sea el esquema conjuntivo,

falso

c) Cuando se tiene dos variables en posicin vertical

uno por encima de otro se lee y.

d) Pero cuando las variables estn en paralelo de forma

horizontal, se lee o.

Ejemplo:

pV )( qpF

A y B son verdaderos A o B son falsos 76

REPRESENTACIN DE LOS VALORES DE

VERDAD POR DIAGRAMAS SEMNTICOS.

1. LA NEGACIN: Recordemos que acta como

inversor de valores, de modo que se tiene:

77



2. LA CONJUNCIN: Verdadera cuando ambas

proposiciones son verdaderas y falsa si una de ellas

es falsa, quedando as:

78



3. LA DISYUNCIN: Es falso cuando ambos son

falsos y verdadero si una de las proposiciones es

verdadera:

79



4. LA CONDICIONAL: Es falso solo si el antecedente es verdadero y el consecuente falso. Quedando de la siguiente manera:

Se lee:

a) es falso, si el primero es verdadero y el segundo, falso.

b) es verdadero si el primero es falso o el segundo es verdadero.

)( BA

)( BA80



5. LA BICONDICIONAL: Es verdadero, si ambos son verdaderos o ambos son falsos y es falso si los valores son alternados, quedando as:

Se lee:

a) es verdadero, si el 1ro y el 2do son verdaderos o el 1ro y el 2do son falsos.

b) es falso si el primero es verdadero y el segundo falso o el primero falso y el segundo es verdadero.

)( BA

)( BA

81



6. DISYUNCIN FUERTE: Es falso, si ambos son verdaderos o ambos son falsos y es verdadero si los valores son alternados, quedando as:

Se lee:

a) es falso, si el 1ro y el 2do son verdaderos o el 1ro y el 2do son falsos.

b) es erdadero si el primero es verdadero y el segundo falso o el primero falso y el segundo es verdadero.

)( BA

)( BA

82

PASOS PARA OPERAR DIAGRAMAS

SEMNTICOS

1. Asignar un valor veritativo al esquema a

analizar.

2. En base al valor dado, analizar cada variable o

sub esquema.

3. Numerar el orden en que se van analizando las

variables o sub esquemas.

4. Establecer cuantas ramas quedan al final del

esquema.

5. Realizar el anlisis de los estados posibles del

mundo (EPM), el cual permitir determinar si

sale una tautologa, contingencia o

contradiccin. 83

EJERCICIO 1:

84

LAS LEYES LGICAS Lic. Csar Orihuela Sols 85


Emplear las leyes lgicas y equivalencias notables

para establecer la equivalencia entre dos

proposiciones moleculares.

86

QU SON LAS LEYES LGICAS?

Son frmulas lgicas que

representan una relacin

necesaria entre dos o ms

esquemas moleculares.

Las leyes lgicas son formas

vlidas de razonamiento, por lo

tanto llevados a las tablas de

verdad resultan ser tautolgicas.

87

PRINCIPIOS LGICOS

Son los que rigen a la totalidad de la lgica

formal, cualquier esquema que se acepte como

vlido debe atenerse a estos principios, estos son:

Ley de Identidad p p T

Ley de no contradiccin (p p) T

Ley del tercio excluido p p T 88

PRINCIPALES LEYES LGICAS

1. Ley de doble negacin o involucin.-Una doble

negacin termina por convertirse en una

afirmacin, sin embargo si el nmero de

negaciones es impar, entonces prevalece la

negacin.

DENOMINACI

N

FORMA

ATOMICA

FORMA

MOLECULAR

Doble negacin (p)p (A)A

p p A A 89

PRINCIPALES LEYES LGICAS 2. Propiedad conmutativa.-Una proposicin

compuesta de variables p y q, resulta

equivalente a otra en el que el orden de las

proposiciones est a la inversa. Esta propiedad

se cumple para la conjuncin, disyuncin,

bicondicional y disyuncin fuerte.

DENOMINACI

N FORMA ATOMICA

FORMA

MOLECULAR

PC conjuntiva (pq) (qp) AB BA

PC disyuntiva (pq) (qp) AB BA

PC Bicondicional (pq) (qp) AB BA 90


3. Propiedad asociativa.-En una secuencia de

conjuncin y disyuncin se puede asociar de

distintas maneras, sin que se altere el valor de los

esquemas.

DENOMINACIN FORMA ATOMICA FORMA

MOLECULAR

Propiedad

asociativa de la

conjuncin

[p (qr) ] [ (pq)r] A(BC) (AB)C

Propiedad

asociativa de la

disyuncin

[p (qr) ] [ (pq)r] A(BC) (AB)C

91


4. Propiedad distributiva.-Es una equivalencia que

se aplica con una conjuncin esta antecedida por

una disyuncin o viceversa, quedando as:

DENOMINA

CIN FORMA ATOMICA FORMA MOLECULAR

Propiedad

distributiva

p (q r) (p q) (p r) A (B C) (A B) (A C)

p (q r) (p q) (p r) A (B C) (A B) (A C)

92


5. Leyes de Morgan.-Similar al proceso de

factorizacin en el lgebra, un esquema negado

altera el valor de cada una de las proposiciones que

contiene adems de su conectivo lgico. Del

siguiente modo:

DENOMINACIN FORMA ATOMICA FORMA MOLECULAR

Leyes de

Morgan

[(pq) ] [ (p) (q) ] (AB) (A) (B)

[(pq) ] [ (p) (q) ] (AB) (A) (B)

93


6. Definicin del implicador.-Una

condicional equivale a la negacin de su

antecedente en disyuncin con su

consecuente. Quedando del siguiente modo.


MOLECULAR

Definicin del

implicador.

(pq) (pq) AB = AB

(pq) (pq) (AB) (AB)

94


7. Recproco, contrarecproco del implicador

(transposicin, contraposicin).-Funciona similar a

la conmutacin solo que negando ambos trminos

de la condicional.


MOLECULAR

Transposicin (pq) (qp) AB = BA

Contransposicin (qp) (pq) BA = AB

95


8. Definicin del coimplicador (bicondicional)-

Permite establecer la procedencia de una

bicondiconal. Resulta ser la conjuncin de una

condicional directa y una condicional inversa.

DENOMIN

ACIN FORMA ATOMICA FORMA MOLECULAR

Definicin

bicondicional

(pq) [ (pq)(qp) ] AB = (AB)(BA)

(pq) [ (pq)(qp) ] AB = (AB)(BA) 96


9. Definicin disyuncin fuerte-Permite establecer

la procedencia de una disyuncin exclusiva.

DENOMIN

ACIN FORMA ATOMICA FORMA MOLECULAR

Definicin

Disyuncin

fuerte

(pq) [ (pq) (pq) ] AB (AB) (AB)

(pq) [ (pq)(p q) ] AB (AB)(A B)

97

PRINCIPALES LEYES LGICAS 10. Leyes de Absorcin.-Sirve para simplificar esquemas moleculares a partir de sus equivalentes. Se da en la conjuncin y en la disyuncin.

DENOMI

NACIN FORMA ATOMICA FORMA MOLECULAR

Ley de

abosrci

n

p ( p q ) p A ( A B ) A

p ( p q ) p A ( A B ) A

p (p q ) p q A (A B ) A B




98


11. Idempotencia.-Consiste en la simplificacin de

dos o ms proposiciones idnticas que se hallan

unidas en conjuncin o disyuncin.

DENOMINACIN FORMA

ATOMICA

FORMA

MOLECULAR

idempotencia

p p p A A A

p p p A A A

99

PRINCIPALES LEYES LGICAS 12. Elementos neutros.-Aplquese en el caso de

tener que combinar una proposicin con un matriz

ya sea tautolgica o contradictoria.

DENOMINACIN FORMA

ATOMICA

FORMA

MOLECULAR

Elementos

neutros

p T T A T T

p T p A T A

p C p A C A

p C C A C C 100

DEMOSTRACIONES

POR LEYES LGICAS

Lic. Csar Orihuela Sols

101

PROPOSITO DE LA

CLASE

Demuestra la validez de las equivalencias

haciendo uso de las leyes lgicas.

102

QU ES UNA DEMOSTRACIN

LGICA?

Es un proceso por medio del cual se

busca justificar una equivalencia

propuesta.

Los procesos de demostracin nos

ayudan a confirmar la correspondencia

y validez de las distintas reglas que

hemos analizado.

En el resultado de una demostracin

deben quedar equiparados las frmulas

de la equivalencia propuesta.

103

DEMOSTRACIN LGICA

Ejemplo 1: Demostrar la siguiente equivalencia:

ppqp )(

pqp )( (IMPLICADOR)

pqp )((IMPLICADO

R)

pqp )( (MORGAN)

p (ABSORCIN)

104

DEMOSTRACIN LGICA

Ejemplo 2: Demostrar la siguiente equivalencia:

)()( rpqrqp

)( rqp (IMPLICADOR)

(ASOCIATIVA)

(CONMUTATI

VA)

(ASOCIATIVA)

rqp )(

rpq )(

)( rpq

)( rpq (IMPLICADOR)

105

DEMOSTRACIN LGICA

Ejercicios 1: Demostrar las siguientes

equivalencias:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

pqpp )(

)()()()( qppqqpqp qppqp )(

qppqqp )()(

)()( qprrqp

)()()()()( qpppqppqqp 106

HABILIDAD LGICA CON LEYES

LGICAS

Ejemplo 1: Se tiene el siguiente operador lgico

que se define: , hallar:

Solucin:

)()*( qpqp

(Aplicando

Operador)

pqp *)*(

)()*(*)*( pqppqp

pqp )((Ap. Operador y

DN)

pqp )( (Implicador)

pqp )( (Implicador)

pqp )( (DN)

qpp )(

)( qp

(ASOCIATIVA)

(IDEMPOTENCI

A)

107

DEMOSTRACIN LGICA Ejercicios 2:

1. Descubrir el conectivo que est actuando en:

2. Si: , hallar :

3. El esquema , tiene la cualidad de que si se afirma, su equivalente es una disyuncin y si se niega resulta ser una conjuncin. Qu conectivo es ?

4. Tenemos que: ,

Hallar:

)()()( pqqpqp

)()( qpqp ppq )(

)( qp

""

)()()( qpppqqp )()( pqqp

108

SIMPLIFICACIN DE ESQUEMAS

MOLECULARES Y PRUEBA FORMAL

Lic. Csar Orihuela Sols.

109


Simplificar esquemas moleculares para

reducirlas a esquemas bsicos.

110

RESUMEN DE LAS PRINCIPALES LEYES LGICAS

LEYES LGICAS FRMULA (CASO 1) FRMULA (CASO 2)

CONMUTATIVA (p q) (q p) (p q) (q p)

ASOCIATIVA [p (q r ) ] [ (p q)r] [p (q r) ] [ (p q)r]

DISTRIBUTIVA p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r)

MORGAN (p q) p q (p q) p q

IMPLICADOR (p q) (p q) (p q ) (pq)

RECP-CONTRAR (p q) (q p) (q p) (p q)

DEF.BICONDIC. (p q) [(p q)(q p)] (p q) [(p q)(q p)]

DEF.DISY.FUERT. (p q) [(p q) (p q)] (p q) [(p q)(p q)]

ABSORCIN p ( p q ) p p ( p q ) p

p (p q ) p q p (p q ) p q

p (p q ) p q p (p q ) p q

IDEMPOTENCIA p p p p p p

ELEM.NEUTRO p T T ; p T p p C p ; p C C

PRINC.LGICOS p p T ; (p p) T p p T 111

SIMPLIFICACIN O REDUCCIN DE ESQUEMAS

MOLECULARES POR LEYES LGICAS

Consiste en aplicar leyes lgicas en esquemas

moleculares para obtener esquemas ms bsicos.

Ejemplo: Simplificar el siguiente esquema:

)()( qppqp

)()( qppqp (IMPLICADOR) )( qpp (ABSORCIN)

)()( qpp (IMPLICADOR) )( qpp (DOBLE NEGAC.)

p (ABSORCIN) 112



Ejemplo 2: Reducir la siguiente expresin:

pqpqpp )()(

pqpqpp )()( (IMPLICADOR)

pqpqp )()( (ABSORCIN, MORGAN) pqp )( (ABSORCIN)

qpp )( (ASOCIATIVA)

)( qp (IDEMPOTENCIA)

)( qp (IMPLICADOR)

113



EJERCICIOS 1: Simplificar los siguientes esquemas.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

qpqp )(

)()( qpprqp

)()( prrqp )()( qpppqp

)()( qpqp

)()()( pqqpqp

114

PRUEBA FORMAL

Es un procedimiento para determinar la validez de un

razonamiento, aplicando leyes lgicas, incluso

podemos establecer si se obtiene una tautologa,

contradiccin o consistencia.

Ejemplo: Determinar por prueba formal, la validez del

siguiente esquema:

ppqp )( ppqp )( (IMPLICADOR)

ppqp )( (MORGAN)

pp (ABSORCIN) T (IDENTIDAD)

ES VLIDO

SALE

TAUTOLOGA

115

PRUEBA FORMAL

Ejercicio 2: Por PF, establece la validez de:

qpqp )(

qpqp )( (MORGAN) qpqp )( (IMPLICADOR)

qpqp )( (MORGAN)

qp (ABSORCIN)

)( qp (IMPLICADOR)

NO ES

VLIDO

SALE

CONTINGENCIA

116

PRUEBA FORMAL

EJERCICIOS 2: Determina la validez de los siguientes

esquemas moleculares por la prueba formal.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

pqqp )( pqqp )( pqqp )( )()( pppqp )()( rppqp pqqp )(

117

DEDUCCIN NATURAL

Lic. Csar Orihuela Sols

118


Identifica las reglas y procedimientos de la

Deduccin natural y las aplica a la demostracin de

formas vlidas de razonamiento.

119

DEDUCCIN NATURAL

La deduccin natural

permite representar ciertos

razonamientos tpicos que

desarrollan los seres

humanos, para poder luego

convertirlas en constantes

lgicas.

Del anlisis de la deduccin

natural, surgen las llamadas

reglas de inferencia.

120

ASPECTOS PRELIMINARES

Recordemos la estructura general de una inferencia:

Hay 2 tipos de inferencia segn el nmero de premisas:

a) Inferencia Inmediata: b) Inferencia Mediata:

P1 P2 P3Pn C

P1 C

P1 P2 Pn C

121

Reglas de inferencia

Una regla de inferencia se define por ser una

implicacin notable, en donde las premisas implican

a la conclusin.

Se dice que una implicacin es notable cuando se

obtiene una tautologa, de modo que se define por

la frmula:

TBA

122

PRINCIPALES REGLAS DE INFERENCIA

1. MODUS PONENDO PONEMS (MPP).- Dada una

condicional, se tiene que si se afirma el

antecedente en la 2da premisa, se concluye en la

afirmacin del consecuente. El esquema queda as:

123


2. Modus Tolendo Tollens (MTT).-Dada una condicional

al negarse el consecuente, se concluye en la negacin

del antecedente. El esquema queda as:

124


3. Silogismo disyuntivo (SD)(MTP).-Dada una

disyuncin, si se niega un de los trminos en la

premisa 2, se concluye en la aceptacin del trmino

que qued. Hay dos modos de Silogismo disyuntivo:

125


4. Silogismo hipottico (SH).-Similar a una regla

transitiva, dada una condicional, si en la premisa 2

tenemos que el consecuente de la premisa 1 es el

antecedente de una nueva condicional; entonces se

concluye en el antecedente de la premisa 1 unida al

consecuente de la premisa 2. la frmula queda as:

126


5. Ley de adicin (LA).- Dada una proposicin se

puede concluir la misma proposicin adicionada

cualquier otra proposicin. El esquema queda as:

127


6. Regla de Adjuncin (A).-Como si se tratara de suma

de proposiciones, dada una proposicin en la premisa

1 y otra en la premisa 2, se concluye en la unin de

las dos en una conjuncin.

128


7. Simplificacin conjuntiva (SC).-Dada una conjuncin

de proposiciones, se puede concluir en cualquiera de

las proposiciones que la conforman. El esquema

queda as:

129


8. Ley de expansin (Expan.).-Dada una condicional,

se concluye en la implicacin del antecedente con la

conjuncin del antecedente y el consecuente. El

esquema queda as:

130


9. Dilema constructivo (DC).-Dada dos condicionales,

si se afirman los antecedentes, se concluye en la

afirmacin de los consecuentes. El esquema queda as:

131


10. Dilema destructivo (DD).-Dada dos condicionales,

si se niegan los consecuentes, se concluye en la

negacin de los antecedentes. El esquema queda as:

132

Mtodos de Deduccin Natural Lic. Csar Orihuela Sols.

133


Utiliza las reglas de inferencia para

demostrar si la conclusin de un

argumento se sigue lgicamente de las

premisas.

134

PRUEBA DIRECTA (PD)

Consiste en proponer una

conclusin anticipada, luego

aplicando el mtodo de

derivaciones debe llegarse a

dicha conclusin, de ser as

queda demostrada que la

conclusin propuesta se deriva

de las premisas dadas.

135

PRUEBA DIRECTA (PD)

Ejemplo: Demostrar q

P1: pq

P2: ~r

P3: qr

P4: p v q

P5: pr SH (1,3)

P6: ~p MTT(2,5)

q SD(4,6)

136

PRUEBA CONDICIONAL (PC)

Esto se aplica cuando la conclusin que se propone es implicativa (pq), consiste en agregarle el antecedente de la conclusin al conjunto de premisas como premisa adicional (PA), luego se aplica derivaciones y se une nuevamente en condicional la PA y la conclusin obtenida.

137

PRUEBA CONDICIONAL (PC)

Ejemplo: Demostrar ~rq

P1: p v q

P2: pr

P3: ~ r PA

P4: ~ p MTT (2,3)

P5: q SD (1,4)

~ r q PC (3,5)

138

PRUEBA DE REDUCCIN AL

ABSURDO (PRA) Consiste en agregar al razonamiento la conclusin propuesta como premisa adicional (PA), pero negada; luego aplicamos derivaciones; al resultado le aplicamos prueba condicional (PC) y finalmente la prueba de reduccin al absurdo (PRA) debiendo obtenerse la conclusin propuesta inicialmente.

139

PRUEBA DE REDUCCIN AL

ABSURDO (PRA) Ejemplo: Demostrar ~p

P1: p q

P2: ~p

P3: p v ~ q

P4: p PA

P5: q MPP (1,4)

P6: p SD (3,5)

P7: (~p p) Adj (2,6)

P8: p (~p p) PC (4,7)

~ p PRA(8)

140

L I C . C S A R O R I H U E L A S O L S

LGICA CUANTIFICACIONAL

14

1


Reconocer las caractersticas de la Lgica

Cuantificacional en la formalizacin de

enunciados, haciendo uso de los signos,

variables y smbolos de este lenguaje.

142

CMO SIMBOLIZARAMOS LOS SIGUIENTES RAZONAMIENTOS?

Erick y Csar son estudiantes universitarios.

Erick y Csar son ingenieros de sistemas.

Carlos e Hilda son abogados.

Carlos e Hilda son contadores pblicos.

Cmo distinguiramos una proposicin de otra?

143

QU ES LA LGICA CUANTIFICACIONAL?

Rama de la Lgica en el se realiza un anlisis ms

profundo y riguroso de las proposiciones, tomando

en cuenta sus propiedades de cantidad y calidad.

Ejemplo:

- Todos los hombres son mortales.

Lgica proposicional Lgica cuantificacional

p

Se lee: p Se lee: Para Todo x,

cumple que x es mortal

Mxx)(

144

IMPORTANCIA DE LA LGICA CUANTIFICACIONAL

Nos permite una representacin ms

precisa de las proposiciones a nivel de

sus trminos internos.

No solo analiza la relacin entre una

proposicin con otras, sino que

tambin analiza la estructura interna

de los mismos.

Permite superar las limitaciones de la

Lgica proposicional al momento de

representar razonamientos y/o

argumentos.

145

ELEMENTOS DEL LENGUAJE DE LA LGICA CUANTIFICACIONAL

1. Estructura de una proposicin en el LC

Javier estudia en la universidad.

En la LC en una proposicin se reconoce dos

trminos aquellos que representan individuos

(sujetos) y aquellos que representan propiedades

(predicados).

Sujeto Predicado

146


2. Clasificacin de las proposiciones predicativas: a. Proposiciones singulares: cuando hacen referencia a

un individuo especfico.

Ejemplo: Hernn es ingeniero civil.

b. Proposiciones particulares: Si hace referencia a parte de los individuos pertenecientes a una clase o predicado.

Ejemplo: Algunos profesionales son ingenieros.

c. Proposiciones universales: Cuando se hace referencia a la totalidad de sujetos o individuos de una clase o predicado.

Ejemplo: Todos los ingenieros son matemticos.

147


3. Smbolos utilizados en la LC: a. Variables individuales: Representan a individuos

indeterminados. Ejemplos: w, x, y, z

b. Constantes individuales: Representan a individuos determinados. Ejemplos: a, b, c, d, e

c. Variables predicativas: Sirven para representar predicados indeterminados. Ejemplos: F, G, H

d. Constantes predicativas: Permiten representar predicados determinados. Ejemplos: A, B, C

e. Los cuantificadores: Sirven para representar la propiedad de calidad de las proposiciones (universal y particular).

La unin de una cuantor y una variables es lo que forma al cuantificador.

)(

)(

x

x

148

PROCESO GENRICO DE FORMALIZACIN DE ENUNCIADOS EN LA LC

1. Formalizacin de trminos predicativos.- Primero se coloca en letra mayscula la primera letra del trmino predicativo, luego se le acompaa la primera letra del trmino sujeto, ero en minscula.

Ejemplos:

Federico es empresario.

Huancayo es una ciudad.

Pablo es artista y Vernica cientfica

Hilda es madre de Cecilia

Richard y Carlos son hermanos

Japn es un archipilago o

Sumatra es una isla.

Ef

Ch

Ap Cv

Mhc

Hrc Hcr

Aj v Is

149


Ejercicios 1: Simbolice las siguientes proposiciones en

LC

1. Gerardo es un reconocido Economista.

2. Per es un pas andino, tambin Bolivia.

3. Aristteles es considerado padre de la Lgica.

4. Bertrand y Ludwig fueron amigos por muchos aos.

5. Como la Lgica es una ciencia formal, es

abstracta.

6. La minera es rentable o los inversionistas son

capitalistas.

150


2. Formalizacin de cuantificadores.-Para el caso en

que se represente la propiedad de cantidad y

calidad. Para el caso de todos utilizamos ( ) y en

el caso de algunos ( )

Ejemplos:

Todos los turistas son extranjeros.

Algunos peruanos son turistas.

Ciertos economistas son funcionarios.

Los Huancainos son hospitalarios.

Exx)(

Txx)(

Fxx)(

Hxx)(

151


3. Las 4 proposiciones categricas bsicas:

Donde: x representa el sujeto (variable individual indeterminada) y P el predicado (variable predicativa indeterminada).

Tipo de proposicin

categrica

Forma general Simbolizacin en

el LC

Universal afirmativa Todos los x son P

Universal negativa Ningn x es P

Particular afirmativa Algunos x son P

Particular negativa Algunos x no son P

Pxx)(

Pxx )(

Pxx)(

Pxx )(

152


Ejercicios 2: Simbolice las siguientes proposiciones

categricas. Utilice los cuantificadores.

1. La gran mayora de comerciantes son

emprendedores.

2. Ningn adolescente es prudente.

3. Los mdicos son profesionales humanistas.

4. Pocos religiosos son crticos.

5. El 15% de la poblacin peruana est

desempleada.

6. No existe filsofos que sean dogmticos.

153

EL CUADRO DE OPOSICIN LGICA

El cuadro de oposicin nos permite establecer las

relaciones que hay entre las 4 proposiciones

categricas bsicas, para de esa manera identificar

rpidamente equivalencias entre ellas.

154


Ejemplos:

1. Hallar la contraria de Todos los futbolistas son

deportistas

2. Determina la subcontraria de Ciertos periodistas

no son objetivos

3. Establece la subalterna de: Ninguna autoridad

publica es humanista

DxxDxx )()(

OxxOxx )()(

HxxHxx )()(

155


Ejercicios 3: Hallar utilizando el cuadro de oposicin

lgica, los siguientes ejercicios:

1. La contradictoria de Todos los contadores son

ahorradores

2. La contraria de No hay ave que sea mamfera

3. La subalternante de ciertos escritores son poetas

4. La subcontraria de El 99% de varones no son fieles

5. La subalterna de Ninguna mujer es ruda

6. La contradictoria de Pocos seres vivos son omnvoros

156

EQUIVALENCIAS SUCESIVAS CON EL CUADRO DE OPOSICIN LGICA

Para desarrollar de dos a ms equivalencias a la

vez empleando el cuadro de oposicin lgica, se

procede de la ltima a la primera, de la siguiente

manera.

Ejemplo: Hallar la contraria de la contradictoria de

la subcontraria de ciertos empresarios son pobres

Rta: Ningn empresario es pobre.

157


Ejercicios 4: Hallar equivalencias sucesivas en el

cuadro de oposicin lgica:

1. Hallar la subalterna de la contradictoria de la

subcontraria de la contradictoria de Ningn

motor es liviano

2. Determina la subcontraria de la contradictoria de

la subalternante de la subcontraria de el 30% de

comerciantes del mercado mayorista son

informales

158

L I C . C E S A R O R I H U E L A S O L S

PROPIEDADES LGICAS DE LOS CUANTIFICADORES

15

9


- Aplica las propiedades de ,los cuantificadores para establecer equivalencia entre proposiciones categricas.

- Simboliza proposiciones categricas en su forma funcional y determina el alcance de los cuantificadores.

160

REGLAS DE INTERCAMBIO PARA LOS CUANTIFICADORES

1RA REGLA

Una forma universal afirmativa equivale a la negacin de un cuantificador particular y la negacin del predicado.

Ejemplo:

Todos los lgicos son racionalistas, equivale a decir que es falso que algunos lgicos no son racionalistas.

Simbolizando resultara:

))(())(( PxxPxx

))(())(( RxxRxx

161


2DA REGLA

Una forma particular afirmativa equivale a la negacin de un cuantificador universal y la negacin de su predicado.

Ejemplo:

Algunos filsofos son idealistas equivale a decir que es falso que ningn filsofo es idealista.


))(())(( PxxPxx

))(())(( IxxIxx

162


3RA REGLA

La negacin de una forma universal afirmativa, resulta equivalente a una particular negativa.

Ejemplo:

Es falso que todos los varones son trabajadores equivale a decir que algunos varones no son trabajadores.


))(())(( PxxPxx

))(())(( TxxTxx

163


4TA REGLA

La negacin de una forma particular afirmativa, resulta equivalente a una universal negativa.

Ejemplo:

Es falso que algunas mujeres son agresivas equivale a decir que ninguna mujer es agresiva.


))(())(( PxxPxx

))(())(( AxxAxx

164


Ejercicios 1: Aplicando las reglas de intercambio de

los cuantificadores hallar el equivalente de:

1. Ningn religioso es tolerante.

2. Es falso que algunos juristas son abogados.

3. Todos los empresarios son progresistas.

4. No ocurre que los futbolistas sean matemticos.

5. El 45% de estudiantes de esta seccin aprobaron

el examen.

6. No es cierto que pocos polticos sean honestos.

7. No todo amigo es leal.

8. No existe psiclogo que este loco.

165

SIMBOLIZACIN POR EL CRITERIO DE FUNCIONES PROPOSICIONALES

1. UNIVERSAL AFIRMATIVA (A)

En su forma tradicional se simboliza como:

Ejemplo: Todas las selvtica son calurosas.

Su representacin funcional sera:

Ejemplo: De lo anterior, Todas las selvticas son

calurosas, se cumplira:

Para todo x, si x es selvtica, entonces x es calurosa.

La frmula resultante sera:

))(( Pxx

))(( Cxx))(( GxFxx

)( x Sx Cx

))(( CxSxx 166


2. UNIVERSAL NEGATIVA (E)


Ejemplo: Ninguna costea es tmida.


Ejemplo: De lo anterior, Ninguna costea es tmida,

se cumplira:

Para todo x, si x es costea, entonces x no es tmida.


))(( Pxx

))(( Txx ))(( GxFxx

)( x Cx Tx

))(( TxCxx 167


3. PARTICULAR AFIRMATIVA (I)


Ejemplo: Algunos nios son cariosos.


Ejemplo: De lo anterior, Algunos nios son cariosos,

se cumplira:

Existe por lo menos un x tal que, x es nio y x es carioso.


))(( Pxx

))(( Cxx))(( GxFxx

)( x Nx Cx

))(( CxNxx 168


4. PARTICULAR NEGATIVA (O)


Ejemplo: Algunos nios no son malcriados.


Ejemplo: De lo anterior, Algunos nios no son

malcriados, se cumplira:

Existe por lo menos un x tal que, x es nio y x es no es malcriado.


))(( Pxx

))(( Mxx ))(( GxFxx

)( x Nx Mx

))(( MxNxx 169


Tabla de resumen de las proposiciones categricas

TIPO DE

PROPOSICIN

CATEGRICA

FORMA TRADICIONAL FORMA FUNCIONAL

UNIVERSAL

AFIRMATIVA (A)

UNIVERSAL

NEGATIVA (E)

PARTICULAR

AFIRMATIVA (I)

PARTICULAR

NEGATIVA (O)

))(( Pxx ))(( GxFxx

))(( Pxx ))(( GxFxx

))(( Pxx ))(( GxFxx

))(( Pxx ))(( GxFxx

170


Ejercicios 2: Representa en su forma funcional, las

siguientes proposiciones:

1. Ningn torero es cobarde.

2. Algunos mdicos son solidarios.

3. Los brujos son charlatanes.

4. El 100% de comerciantes son adinerados.

5. Ciertos medicamentos no son recomendables.

6. Algunos delincuentes son psicpatas.

171


Ejercicios 3: Simboliza en la forma tradicional y al

costado en su forma funcional las siguientes

proposiciones:

1. Todo los mineros son trabajadores.

2. Ciertos artesanos son comerciantes.

3. Ningn jinete es gordo.

Forma tradicional Forma funcional



172

ALCANCE DE LOS CUANTIFICADORES

Para determinar el alcance de los cuantificadores

tenemos que contemplar los siguientes casos:

1) Si un cuantificador no va seguido de un signo de

agrupacin su alcance solo llega hasta la

variable de la primera letra del predicado a su

derecha.

Ejemplo:

En ambos casos solo llega hasta Fx.

Fxx)(

GxFxx )(

173


2) Si un cuantificador va delante de un signo de

agrupacin su alcance se extiende a toda la

expresin encerrada dentro de dicho signo de

agrupacin.

Ejemplo:

En ambos casos el cuantificador afecta a todo lo

que esta dentro de los signos de agrupacin.

))(( GxFxx

HxGxFxx )()(

174


3) De los casos anteriores se distinguen dos tipos de

variables:

a) Variables libres o abiertas: Son aquellas cuya

ocurrencia no esta bajo el alcance de un

cuantificador.

Ejemplo:

Entonces Gx es variable abierta.

b) Variables ligadas o cerradas: Cuando las

variables estn bajo el alcance del cuantificador.

Ejemplo:

Entonces Fx y Gx son variables ligadas o cerradas.

GxFxx )(

))(( GxFxx

175


Ejercicios 4: En los siguientes esquemas, determinar si

son abiertos o cerrados (esto a partir de la existencia

de variables libres o ligadas).

1.

2.

3.

4.

5.

)()( HxGxFxx HxGxFxx ))((

))(())(( PyyPxx HxGxFxx )()(

))()(( QxPxx

176

MTODOS DECISORIOS EN LA



177


Emplea los mtodos decisorios en el

mbito de la Lgica

cuantificacional.

178

Halla la conclusin del siguiente silogismo

categrico:

P1: Todos los ingenieros civiles son

expertos en el diseo de estructuras.

P2: Ningn ingeniero mecnico es

experto en diseo de estructuras.

C: Ningn ingeniero mecnico es

ingeniero civil.

179

REGLAS DE INTRODUCCIN Y ELIMINACIN

DE LOS CUANTIFICADORES

Si bien es cierto solo es posible operar determinadas reglas cuando los esquemas estn cuantificados, para el empleo de mtodos decisorios (como el mtodo de derivaciones), vamos a requerir en algunos casos introducir o eliminar los cuantificadores, para ello se tiene que aplicar ciertas reglas como EU, IU, EE, y la IE.

180



1) ELIMINACIN DEL UNIVERSAL (EU)

Se define de la siguiente manera:

Ejemplo:

Todos los gitanos son errantes.

Aquel gitano es errante.

Fa

Fxx

)(

GaFa

GxFxx

)(

Fg

Exx

)(

181



2) INTRODUCCIN DEL UNIVERSAL (IU)


Ejemplo:

Sara es romntica.

Toda mujer es romntica.

Fxx

Fa

)( GxFxx

GaFa

)(

Rxx

Rs

)(

182



3) ELIMINACIN DEL EXISTENCIAL (EE)


Ejemplo:

Algunos varones son agresivos.

Pedro es agresivo.

Fa

Fxx

)(

GaFa

GxFxx

)(

Ap

Axx

)(

183



4) INTRODUCCIN DEL EXISTENCIAL (IE)


Ejemplo:

Leonardo Da vinci fue creativo.

Algunos artistas son creativos.

Fxx

Fa

)( GxFxx

GaFa

)(

Cxx

Cl

)(

184



Ejercicios 1: Por reglas de introduccin o

eliminacin de cuantificadores, establece la

conclusin de:

1. Todos los ajedrecistas son inteligentes.

2. Albert Einstein fue pacifista (Por IU)

3. Ricardo Arjona es un poeta. (Por IE)

4. Algunos juguetes son descartables.

5. Los metales son slidos.

185

MTODO DE DERIVACIONES EN LA


Para poder determinar la

validez de los argumentos por

el mtodo de derivaciones se

emplean las 4 reglas estudiadas

(EU, EE, IU y IE). Se afirma que

un razonamiento es vlido si

se comprueba que la

conclusin se ha derivado

lgicamente de las premisas.

186



Ejemplo 1: Determinar la validez de: Todos los

hombres son mortales, resulta que Scrates es

hombre. Entonces Scrates es mortal.

Formalizando se tiene:

P1:

P2:

P3:

))(( MxHxx

Hs

)(Ms

)( MsHs EU (1)

Ms MPP (2,3)

ES VLIDO

187



Ejemplo 2: Establece la validez de: Todos los

bancarios son prsperos, todos los millonarios son

bancarios. Por ende, todos los millonarios son

prsperos.


P1:

P2:

P3:

P4:

P5:

))(( PxBxx

))(( PxMxx

))(( BxMxx

)( PaBa

)( BaMa

EU (1)

EU (2)

)( PaMa SH (3,4)

))(( PxMxx IU (5)

ES VLIDO

188



Ejemplo 3: Establece la validez de: Ningn romano

era brbaro, adems Todos los romanos son cultos.

Por ende, algunos cultos no son brbaros.


P1:

P2:

P3:

P4:

P5: (No se puede operar ninguna regla entre 3 y 4)

))(( BxRxx

))(( BxCxx

EU (1)

EU (2)

NO ES

VLIDO

))(( CxRxx

)( BaRa

)( CaRa

189



Ejercicios 2: Determina la validez de los siguientes argumentos por derivaciones.

1) Todos los gallos son cantores, ningn mamfero es cantor. Por ende ningn mamfero es gallo.

2) Todos los religiosos son pesimistas, ciertos cientficos no son pesimistas; por ende ciertos cientficos no son religiosos.

3) Ciertos griegos son filsofos y todos los filsofos son sabios; entonces, algunos sabios son griegos.

4) Algunos ingenieros son qumicos, pero todos los ingenieros son matemticos; de modo que algunos matemticos son qumicos.

5) Ningn jugador es realista y todos los futbolistas son jugadores. Entonces, ningn futbolista es realista.

190

RELACIONES BINARIAS E

INTERNAS Lic. Csar Orihuela Sols 191


Analiza las principales propiedades de las

relaciones internas como una introduccin a la

teora de grafos.

192

RELACIONES BINARIAS

Se llama relaciones binarias a los vnculos que se puede

establecer entre elementos de 2 conjuntos. El criterio de

relacin surge de situaciones de la vida cotidiana como

comparaciones, deducciones, diferenciaciones, etc.

Ejemplos:

a) Juan es padre de Luis.

b) Los Mochica son anteriores a los Incas.

c) Eduardo es menor que Sofa.

d) 16 es divisible entre 2.

e) 10 < 20.

f) Etc. 193

RELACIONES BINARIAS

Una relacin binaria se puede representar a partir de

una funcin proposicional P(x)

Sea P (x) y dos conjuntos A y B.

Si los elementos de A se vinculan con los de B a travs

del enunciado P (x), entonces los pares ordenados que

satisfacen a P(x) constituyen una relacin binaria de A

en B.

Ejemplo: Sea y tenemos que:

en consecuencia P(x), resulta:

, el cual puede enunciarse

tambin como:

6,5A 8,5,4B

baAxBbaxP /),()(

)5,6(),4,6(),4,5()( xP )5,6(),4,6(),4,5(1 R 194

RELACIONES BINARIAS

La representacin grfica, sera de la siguiente manera:

El producto A x B (Universo de relaciones binarias) tiene

6 pares ordenados y la Relacin R1 tiene 3.

5

6

4

5

8

5

6

4

5

8

AxB baR :1AxBR 1

195

RELACIONES BINARIAS

Ejercicios: Sea y , si se cumple A x B,

hallar las siguientes relaciones con sus grficos:

,

,

,

y

.

6,5,4,3A 12,9,6,3B

baAxBbaR /),(1 baAxBbaR /),(2 baAxBbaR /),(3 baAxBbaR 3/),(4 12/),(5 baAxBbaR

196

RELACIONES BINARIAS Definicin de una relacin binaria: R es una relacin

binaria, si R es sub conjunto de A x B.

Determinacin de una relacin:

a) Por extensin: Si se nombra cada uno de los pares ordenados de R.

b) Por comprensin: Cuando se expresa la condicin de la relacin.

Ejemplo: Sea y

Determinar A y B por comprensin, hallar R, graficar su diagrama y establecer su matriz binaria para saber en que casos es verdadera y falso (se asume que solo los V pertenecen a la relacin).

AxBR

BogotQuitoLimaA ,, ColombiaPerEcuadorB ,,

ydecapitalesxAxByxR ____/),(1

197

RELACIONES BINARIAS

Dominio de una Relacin.-Est formado por los primeros

elementos de la relacin propuesta. Se define as:

, es decir:

Rango de una relacin.-Est formado por los segundos

elementos de la relacin propuesta. Se define as:

, es decir:

RyxByAxDx R ),/()(

RyxAxD R ),/()(

RyxAxByRy Rg ),/()(

RyxByR Rg ),/()( 198

RELACIONES BINARIAS

Ejercicios 2: Sean y , hallar el Rango

y dominio de las siguientes relaciones:

,

,

y

.

2,1,0,2A 2,1,3 B

yxAxByxR /),(1 yxAxByxR /),(2 0/),(3 yxAxByxR 0/),(4 xxyAxByxR

199

RELACIONES INTERNAS

Una relacin interna es aquella que se define en un solo

conjunto. R est definida en A, si y solo si, .

Sea: entonces , por lo que

se puede afirmar que A x A tiene 4 elementos.

Para determinar todas las relaciones posibles que se

puede extraer de un conjunto, decimos: Si A tiene n

elementos entonces A x A tiene n x n elementos, de

modo que el nmero total de relaciones se obtiene con la

frmula .

Ejemplo: Del conjunto A existen 24 relaciones, es decir

16. Siendo la y la

AxAR

2,1A )2,2(),1,2(),2,1(),1,1(AxA

nxn2

1R AxAR 2200

RELACIONES INTERNAS

PROPIEDADES DE LAS RELACIONES

a) Propiedad reflexiva: Cuando cada elemento x de A,

se relaciona consigo mismo, se define as:

1. Reflexiva:

2. No-reflexiva:

3. A-reflexiva:

Ejemplo: Sea , tenemos que:

, entonces

En consecuencia R1 es reflexiva.

RxxAxx ),(:

RxxAxx ),(/

RxxAxx ),(:

cbaA ,,

),(),,(),,(1 ccbbaaR 1),(: RxxAx

a

c

b 201

RELACIONES INTERNAS

Notamos que:

, pero

En consecuencia R2 es No-reflexiva.

Ahora notamos que:

es decir en la relacin ningn

elemento de A forma par ordenado consigo mismo.

En consecuencia R3 es A-reflexiva.

),(),,(),,(2 cabbbaR Rbb ),( RccRaa ),(),(

a

c

b

),(),,(),,(3 cbcabaR RxxAxx ),(:

a

c

b 202

RELACIONES INTERNAS

Sea el conjunto:

A={1,2,3,4}

y el producto A x A

Determinar:

a) Una relacin reflexiva

b) Una relacin No - reflexiva

c) Una relacin A - reflexiva

203

RELACIONES INTERNAS


b) Propiedad simtrica: Cuando cada par ordenado

posible acompaado de su inversa:

1. Simtrica:

2. No-simtrica:

3. A-simtrica:

Ejemplo: Sea , tenemos que:

, entonces

R4 es simtrica .

RabRbax ),(),(

RabRba ),/(),(

RabRbax ),(),(

3,2,1A

)3,3(),1,2(),2,1(4 R

1

44

RR1

3

2

204

RELACIONES INTERNAS

Notamos que:

, pero

En consecuencia R5 es No-simtrica, ya

Que no se define la inversa de (1,3).

Ahora notamos que:

es decir en la relacin ningn

elemento de A cumple simetra.

En consecuencia R6 es A-simtrica.

)3,1(),1,2(),2,1(5 R

55 )1,2()2,1( RR 55 )1,3()3,1( RR

)3,1(),3,2(),2,1(6 R

1

3

2

1

3

2

RabRbax ),(),(

205

RELACIONES INTERNAS


c) Propiedad anti-simtrica : Cuando siendo simtrico, no

puede establecerse su forma inversa, puesto que se

repetira la misma expresin, de modo que se deduce que

a = b. Se define de la siguiente manera:

Ejemplo: Sea , tenemos que la relacin se

define como:

Vemos que

En consecuencia R7 es anti-simtrica.

baRabRbaba ),(),(:),(

)3,2(),3,3(),2,2(),1,1(7 R

3,2,1A

77 )1,1()1,1( RR

1

3

2

206

RELACIONES INTERNAS

Sea el conjunto:

B = {letras de la palabra ingeniero}

y el producto B x B

Determinar:

a) Una relacin simtrica

b) Una relacin No - simtrica

c) Una relacin A - simtrica

d) Una relacin Anti - simtrica

207

RELACIONES INTERNAS


d) Propiedad transitiva: Cuando los pares ordenados,

forman una secuencia de la forma aRb y bRc, por eso aRc:

1. Transitiva:

2. No-transitiva:

3. A-transitiva:

RzxRzyRyxzyx ),(),(),(:,,



208

RELACIONES INTERNAS

Sea , se tienen las siguientes relaciones:

tenemos que :

expresado como una

inferencia, tenemos:

1 R 2

2 R 3

1 R 3

Entonces R8 es transitiva, plenamente.

3,2,1A

)3,1(),3,2(),2,1(8 R 888 )3,1()3,2()2,1( RRR

1

3

2

209

RELACIONES INTERNAS

,Tenemos que:

, pero:

, construimos las

inferencias y tenemos:

1 R 2 1 R 3 3 R 1

2 R 3 3 R 1 1 R 3

1 R 3 1 R 1 3 R 3

En consecuencia R9 es no-transitiva.

)1,3(),3,1(),3,2(),2,1(9 R

999 )3,1()3,2()2,1( RRR 999 )1,1()1,3()3,1( RRR

1

3

2

210

RELACIONES INTERNAS

Tenemos que:

, su inferencia

sera:

1 R 2

2 R 3

1 R 3

En consecuencia R10 es a-transitiva.

)3,2(),2,1(10 R

101010 )3,1()3,2()2,1( RperoRR

1

3

2

211

RELACIONES INTERNAS

Sea el conjunto:

C = {x/x N/ 3 < x 6}

y el producto C x C

Determinar:

a) Una relacin transitiva.

b) Una relacin No transitiva.

c) Una relacin A transitiva.

212

RELACIONES INTERNAS

Propiedades complementarias:

a) Orden parcial.- Se dice que es una relacin de orden

parcial, si la relacin R es reflexiva, antisimtrica y

transitiva.

Ejemplo: cumple las 3 propiedades

que se ponen como condiciones, R11 entonces es una

relacin de ordena parcial.

b) Relacin de Equivalencia.- Cuando en una relacin se

cumple que es reflexiva, simtrica y transitiva.

Ejemplo: cumple las 3

propiedades que se ponen de condiciones, de modo que

R12 es una relacin de equivalencia sobre A.

)1,1(),1,2(),2,1(11 R

)3,3(),2,3(),3,2(),2,2(),1,1(12 R

213

RELACIONES INTERNAS

Sea: A = { letras de la palabra amor}, hallar:

1) Su relacin reflexiva y una relacin que exprese su

forma a-reflexiva.

2) Su forma simtrica, pero no reflexiva.

3) Determinar una relacin que exprese su orden

parcial.

Sea: B = { Letras de la palabra paz}, hallar:

1) Su relacin transitiva y una relacin que exprese su

forma no transitiva.

2) Su forma simtrica y transitiva, pero no reflexiva.

3) Determinar una relacin de equivalencia en A.

Nota.-En cada caso realizar su representacin grfica.

214

ELEMENTOS NOTABLES DE

UNA RELACIN


215

PROPOSITO DE LA CLASE

Reconoce las relaciones de orden, los

elementos notables de una relacin y los

representa mediante diagramas de Hasse.

216

RELACIN DE ORDEN

Es otro tipo de relacin binaria,

frecuentemente nos hallamos ordenando

distintos elementos de nuestra vida cotidiana

de acuerdo a un determinado criterio.

Ejemplos:

a) a precede a b

b) Luis es ms alto que Juan

c) 7 es mayor que 5

d) Etc.

217

ORDEN AMPLIO

Una relacin R definida en un conjunto A es

de orden amplio si y solo si cumple las

siguientes propiedades:

a) Es reflexiva:

b) Anti-simtrica:

c) Transitiva:

Ejemplo: y

R={(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(2,1),(3,1),(4,1),(4,2) }

RaaAa ),(

baRabRba ),(),( RcaRcbRba ),(),(),(

4,3,2,1A ydemltiploesxRyxR ____/),(

218

ORDEN ESTRICTO <

Una relacin es ahora de orden estricto si

cumple las siguientes propiedades:

a) Es a-reflexiva:

b) Es a-simtrica:

c) Es transitiva:

Ejemplo: sea A={ a, b, c, d} y R= {(x, y) R/

x precede a y}

R= {(a,b),(a,c),(a,d),(b,c),(b,d),(c,d)}

RaaAa ),(

RabRba ),(),(

RcaRcbRba ),(),(),(

219

ORDEN PARCIAL

Se dice que es una relacin de orden parcial,

si la relacin R es reflexiva, antisimtrica y

transitiva.

Sea: A = {2,3,4,5,6 } y R = {(x, y) R/ x y}

Entonces R = {(2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6),

(3,2), (4,2), (4,3), (5,2),(5,3), (5,4), (6,2), (6,3),

(6,4), (6,5)}

En la Relacin se cumple que es reflexiva,

anti-simtrica y transitiva.

220

ELEMENTOS DE UN CONJUNTO

ORDENADO 1) Primer elemento: el elemento a A es

primer elemento si precede a todos los

dems.

2) ltimo elemento: el elemento b A es

ltimo elemento, si y solo si todo elemento

de A precede a b.

AxxaAx ,

AxbxAx ,

221


ORDENADO 3) Elemento minimal.- Un elemento a A

es minimal si ningn elemento del conjunto

A es estrictamente superior al elemento a,

es decir:

4) Elemento maximal.-Un elemento b A

es maximal, si no hay en A ningn elemento

posterior al elemento B, es decir:

AxaxaximalAa ,)(min

AxxbxbimalAb ,)(max

222


ORDENADO 5) Minorantes o cotas inferiores.- el

elemento a A es un minorante o cota

inferior del sub conjunto , si y solo si,

precede a todo elemento del sub conjunto

X, dicho de otro modo:

Se concluye entonces que a es minorante o

cota inferior de A.

AX

AxxaXxAX ;/

223


ORDENADO 6) Mayorantes o cotas superiores .- el

elemento b A es un mayorante o cota

superior del sub conjunto , si y solo

si, sigue a todo elemento del sub conjunto

X, dicho de otro modo:

Se concluye entonces que b es mayorante o

cota superior de A.

AX

AxbxXxAX ;/

224


ORDENADO 7) Supremo o cota superior mnima.- El

elemento s A es el supremo del sub

conjunto , si y solo si es el primer

elemento del conjunto de las cotas

superiores.

Sea X un sub conjunto cuyo conjunto de

cotas superiores es {2,3,4}; asumiendo que

en la grfica 3 anteceda a 2 y 4, entonces s

= 3 (cota superior mnima).

AX

225


ORDENADO 8) nfimo o cota inferior mxima.- El

elemento i A es el nfimo del sub

conjunto , si y solo si es el ltimo

elemento del conjunto de las cotas

inferiores.

Sea X un sub conjunto cuyo conjunto de

cotas inferiores es {4,6,8}; asumiendo que

en la grfica 4 es posterior a 6 y 8,

entonces i = 4 (cota inferior mxima).

AX

226


ORDENADO Ejemplo:

Sea: A = {x Z/-2


ORDENADO Sus elementos notables seran:

1) Primer elemento: -1

2) ltimo elemento: 1

Graficando la relacin:

-1

0 1

228


ORDENADO De acuerdo al grfico tenemos:

3) Minimal: No tiene. (no hay ningn elemento

que sea partida absoluta de los pares de la R)

4) Maximal: 1 (a l llegan todos, pero no sale

ninguno)

Por otro lado sea el sub conjunto de R, definido

por X= {(-1, 0), (0,0), (0,1)}, su grfica sera:

-1

0 1

229


ORDENADO Del grfico anterior tenemos:

5) Minorante o cota inferior: -1 (porque

precede a todo elemento del subconjunto X)

6) Mayorante o cota superior: 1 (porque es

posterior a todo elemento del sub conjunto X)

7) Supremo o cota superior mnima: 1 (al ser la

nica cota superior es a la vez la suprema o

cota superior mnima)

8) nfimo o cota inferior mxima: -1 (al ser la

nica cota inferior es tambin el nfimo). 230


ORDENADO

Otro caso: sea una Relacin representada por

el grfico:

- a, b y c seran los mayorantes y c el supremo.

- f y g seran los minorantes y g el nfimo.

f

d e

c

g

a b

231

REPRESENTACIN EN

DIAGRAMAS DE HASSE Sea: A= {1,2,3,4} y R= {(x, y) R/ x divide

exactamente a y}

R= {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (1,2), (1,3), (1,4),

(2,4)}, entonces su grafo quedara as:

- Los crculos son los vrtices.

- Las lnea que unen a los ele

mentos se llaman aristas.

2

1

3

4

232

REPRESENTACIN EN

DIAGRAMAS DE HASSE - Ahora, para representar por diagramas de

Hasse, seguimo

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