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Logica borrosaSistemas borrosos

Diego Milone

Inteligencia ComputacionalDepartamento de Informatica

FICH-UNL

Introduccion Operaciones Caracterizacion

Organizacion

IntroduccionMotivacionConjuntos borrosos y binariosEjemplos

Operaciones basicasOperaciones elementalesDistancias borrosas

Caracterizacion de los conjuntos borrososEl conjunto borroso medioEntropıas borrosasTeoremas de entropıa y subconjuntos


Introduccion

Pensamiento borroso... difuso? probabilıstico?


Introduccion


Reglas linguısticas


Introduccion



if-then borroso?


Introduccion



if-then borroso?si la temperatura es ALTAentonces activar el acondicionador a nivel MEDIO


Introduccion



if-then borroso?

Incerteza vs. aleatoriedad:


Introduccion



if-then borroso?


Uno vs. muchos objetos o eventos


Introduccion



if-then borroso?


Uno vs. muchos objetos o eventos

En un objeto que se acerca desde lejos tenemos incerteza o aleatoriedad?

En el numero que saldra al tirar los datos tenemos incerteza o aleatoriedad?


Conjuntos binarios

A

A


Conjuntos borrosos

A

A


Conjuntos borrososEjemplos:• Temperaturas (caso contınuo)

• Velocidades (caso discreto)



tx ∈ F → 1,0 tx ∈ F → 0,8tx ∈ C→ 1,0 tx ∈ C→ 0,2





µL = 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 µL = 1 1 1 0,6 0,3 0 0 0 0 0 0µM = 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 µM = 0 0 0 0,3 0,6 1 1 0,6 0,3 0 0µR = 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 µR = 0 0 0 0 0 0 0 0,3 0,6 1 1


Conjuntos borrosos

Simplificacion a conjuntos de 2 elementos (R2):

• Conjuntos binarios P = (0; 1)y Q = (1; 0)

• Conjutnos universo X = (1; 1)y vacıo Φ = (0; 0)


Conjuntos borrosos

Simplificacion a conjuntos de 2 elementos (R2):Vertices de un cuadrado

P

Q

X

Z


Conjuntos borrosos


P

Q

X

ZA


Conjuntos borrosos


P

Q

X

ZA

?


Conjuntos borrosos


P

Q

X

ZA

?

Funciones de membresıa o pertenencia:• Conjuntos binarios: µA : x→ {0, 1}• Conjutnos borrosos: µA : x→ [0, 1]


Organizacion





Subconjunto borrosoSea E un conjunto enumerable y x un elemento de E. Unsubconjunto borroso A de E es un conjunto de paresordenados:

A = {(xi, µA(xi))}; xi ∈ E

donde µA(xi) es el grado de membresıa de x en A.


Operaciones binariasConjunto binario incluido:


Operaciones borrosas elementalesInclusion: A ⊂ B⇔ µA(x) ≤ µB(x) ∀x



Igualdad: A = B⇔ µA(x) = µB(x) ∀x




Complemento: B = Ac ⇔ µB(x) = 1− µA(x) ∀x





Interseccion: A ∩ B⇒ µA∩B(x) = mın {µA(x), µB(x)} ∀x





Interseccion: A ∩ B⇒ µA∩B(x) = mın {µA(x), µB(x)} ∀x

Union: A ∪ B⇒ µA∪B(x) = max {µA(x), µB(x)} ∀x


Operaciones borrosas elementales



Suma disyuntiva: A⊕ B =(A ∩ Bc

)∪(Ac ∩ B

)



Suma disyuntiva: A⊕ B =(A ∩ Bc

)∪(Ac ∩ B

)Diferencia: A− B = A ∩ Bc


Medidas de distancia entre conjuntos borrososDistancia de Hamming: d(A, B) =

n∑i=1|µA(xi)− µB(xi)|

Distancia de Hamming relativa: δ(A, B) =d(A, B)

n


Medidas de distancia entre conjuntos borrososDistancia de Hamming: d(A, B) =

n∑i=1|µA(xi)− µB(xi)|

Distancia de Hamming relativa: δ(A, B) =d(A, B)

n

Distancia euclıdea: e(A, B) =

√n∑

i=1|µA(xi)− µB(xi)|2

Distancia euclıdea relativa: ε(A, B) =e(A, B)√

n


Organizacion





Caracterizacion de conjuntos borrososConjunto binario de nivel α: Aα = {x/µA(x) ≥ α ∀x ∈ A}

1. µA (λx1 + (1− λ)x2) ≥ mın {µA(x1), µA(x2)}∀λ ∈ [0, 1],∀x1, x2 ∈ R

2. A es convexo⇔ Aα es convexo ∀α ∈ [0, 1]



Conjunto convexo:

1. µA (λx1 + (1− λ)x2) ≥ mın {µA(x1), µA(x2)}∀λ ∈ [0, 1],∀x1, x2 ∈ R




Conjunto convexo:1. µA (λx1 + (1− λ)x2) ≥ mın {µA(x1), µA(x2)}

∀λ ∈ [0, 1],∀x1, x2 ∈ R





∀λ ∈ [0, 1],∀x1, x2 ∈ R2. A es convexo⇔ Aα es convexo ∀α ∈ [0, 1]





¿A es convexo?





Conjunto normal: max {µA(x)} = 1





Conjunto normal: max {µA(x)} = 1

Tamano de un conjunto borroso: |A| =n∑

i=1µA(xi)

(relacion con los conjuntos binarios...)


Otras propiedades curiosas

A ∪ Ac =? X

A ∩ Ac =? Φ

Ejemplo:A = (0,2; 0,8)

Ac = (0,8; 0,2)

A ∪ Ac =? A ∩ Ac =?


El conjunto borroso medio

M/µM(x) =12∀x ∈ E



M/µM(x) =12∀x ∈ E

M = M ∩ Mc = M ∪ Mc = Mc



M/µM(x) =12∀x ∈ E

M = M ∩ Mc = M ∪ Mc = Mc

¿M es el conjunto mas borroso?P

Q

X

Z

M



M/µM(x) =12∀x ∈ E

M = M ∩ Mc = M ∪ Mc = Mc

¿M es el conjunto mas borroso?P

Q

X

Z

M

¿Como medimos la borrosidad?


Entropıa borrosa

S(A) =d(A, In

min)

d(A, Inmax)


Entropıa borrosa

S(A) =d(A, In

min)

d(A, Inmax)

In = {0, 1}n

Inmin = In

j∗ ⇔ d(A, Inj∗) < d(A, In

j ) ∀j 6= j∗

Inmax = In

i∗ ⇔ d(A, Ini∗) > d(A, In

i ) ∀i 6= i∗


Entropıa borrosaEjemplos:A = (0,7; 0,2)



A



A

I2max

dmax = |0,7− 0,0|+ |0,2− 1,0| = 1,5



A

I2max

I2min

dmax = |0,7− 0,0|+ |0,2− 1,0| = 1,5dmin = |0,7− 1,0|+ |0,2− 0,0| = 0,5



A

I2max

I2min

dmax = |0,7− 0,0|+ |0,2− 1,0| = 1,5dmin = |0,7− 1,0|+ |0,2− 0,0| = 0,5S(A) = 0,5

1,5 = 13



A

I2max

I2min

dmax = |0,7− 0,0|+ |0,2− 1,0| = 1,5dmin = |0,7− 1,0|+ |0,2− 0,0| = 0,5S(A) = 0,5

1,5 = 13

S(M) =?



A

I2max

I2min

dmax = |0,7− 0,0|+ |0,2− 1,0| = 1,5dmin = |0,7− 1,0|+ |0,2− 0,0| = 0,5S(A) = 0,5

1,5 = 13

S(M) = 1,0



A

I2max

I2min

dmax = |0,7− 0,0|+ |0,2− 1,0| = 1,5dmin = |0,7− 1,0|+ |0,2− 0,0| = 0,5S(A) = 0,5

1,5 = 13

S(M) = 1,0S(In) =?



A

I2max

I2min

dmax = |0,7− 0,0|+ |0,2− 1,0| = 1,5dmin = |0,7− 1,0|+ |0,2− 0,0| = 0,5S(A) = 0,5

1,5 = 13

S(M) = 1,0S(In) = 0,0


Teorema de la entropıa borrosa

S(A) =|A ∩ Ac||A ∪ Ac|



S(A) =|A ∩ Ac||A ∪ Ac|

A



S(A) =|A ∩ Ac||A ∪ Ac|

A

Ac



S(A) =|A ∩ Ac||A ∪ Ac|

A

AcA ∩ Ac



S(A) =|A ∩ Ac||A ∪ Ac|

A

AcA ∩ Ac

A ∪ Ac



S(A) =|A ∩ Ac||A ∪ Ac|

A

AcA ∩ Ac

A ∪ Ac

I2min



S(A) =|A ∩ Ac||A ∪ Ac|

A

AcA ∩ Ac

A ∪ Ac

I2min

I2max


Teorema del subconjunto borroso¿En que medida es B un subconjunto de A?

ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|

Ejemplos:

• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)

• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)

• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)



ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|

AB

Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)

• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)

• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)



ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|

ABA ∩ B

Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)

• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)

• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)



ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|

ABA ∩ B

Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)ϕ(B, A) = 0,2+0,2

• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)

• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)



ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|

ABA ∩ B

Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)ϕ(B, A) = 0,2+0,2

0,4+0,2

• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)

• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)



ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|

ABA ∩ B

Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)ϕ(B, A) = 0,2+0,2

0,4+0,2 = 23

• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)

• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)



ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|

AB

Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)

• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)

• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)



ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|

ABA ∩ B

Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)

• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)

• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)



ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|

ABA ∩ B

Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)

• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)ϕ(B, A) = 0,4+0,4

• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)



ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|

ABA ∩ B

Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)

• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)ϕ(B, A) = 0,4+0,4

0,5+0,4

• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)



ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|

ABA ∩ B

Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)

• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)ϕ(B, A) = 0,4+0,4

0,5+0,4 = 89

• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)



ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|

AB

Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)

• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)

• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)



ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|

AB = A ∩ B

Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)

• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)

• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)



ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|

AB = A ∩ B

Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)

• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)

• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)ϕ(B, A) = 0,2+0,2



ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|

AB = A ∩ B

Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)

• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)

• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)ϕ(B, A) = 0,2+0,2

0,2+0,2



ϕ(B, A) =|A ∩ B||B|

AB = A ∩ B

Ejemplos:• B = (0,4; 0,2) A = (0,2; 0,4)

• B = (0,5; 0,4) A = (0,4; 0,5)

• B = (0,2; 0,2) A = (0,4; 0,4)ϕ(B, A) = 0,2+0,2

0,2+0,2 = 1


Teorema de la entropıa y el subconjunto borroso

S(A) = ϕ(A ∪ Ac, A ∩ Ac)



S(A) = ϕ(A ∪ Ac, A ∩ Ac) =|(A ∩ Ac) ∩ (A ∪ Ac)|

|A ∪ Ac|



S(A) = ϕ(A ∪ Ac, A ∩ Ac) =|(A ∩ Ac) ∩��

(A ∪ Ac)||A ∪ Ac|

=|A ∩ Ac||A ∪ Ac|




|A ∪ Ac|




|A ∪ Ac|

A

AcA ∩ Ac

A ∪ Ac




|A ∪ Ac|

A

AcA ∩ Ac

A ∪ Ac

I2min

I2max




|A ∪ Ac|

A

AcA ∩ Ac

A ∪ Ac

I2min

I2max

(A ∩ Ac) ∩ (A ∪ Ac)




|A ∪ Ac|

A

AcA ∩ Ac

A ∪ Ac

I2min

I2max

(A ∩ Ac) ∩ (A ∪ Ac) (A ∪ Ac)

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