RECURSOSASIGNACINHORAS EXTRA:TEORIA DE CONTROL DE PTIMAEL SIGNIFICADO DE LA DINMICALa teora de la esttica comparativa se refiere a las tasas instantneas de cambio de variables como la eleccin de los parmetros (restricciones) que enfrenta el cambio que toma las decisiones. En muchos casos (la mayora, tal vez), esto proporciona una base aceptable para afirmar hiptesis refutables extrapolando estos cambios instantneos en un intervalo finito. As, por ejemplo, a pesar de que la derivacin matemtica de la ley de la demanda de los cambios de precios com-compensada es, estrictamente hablando, una declaracin acerca de la funcin de demanda a un precio nico y el vector de ingresos, el supuesto adicional de que las propiedades de curvatura subyacentes sostenga sobre un intervalo de valores nos permite afirmar la ley de la demanda en su forma emprica til.En algunos problemas, sin embargo, la mera declaracin del movimiento-mentos instantneos en variables de eleccin es insuficiente. El problema es ms evidente en la capital el-ria, donde es la cantidad en capital-tpicamente duradero lo importante, y donde una toma de im portante se refiere al nivel de cambio de flujo de servicio que se proporciona a travs del tiempo. Por otra parte, es precisamente los cambios en la tasa de utilizacin de los recursos en el tiempo que son de inters, en lugar de la mera especificacin de la direccin inicial de cambio. Tales decisiones son inherentemente dinmico; toda la trayectoria en el tiempo futuro de las variables de eleccin cambios como se toman las decisiones en el presente. La propiedad fundamental de los modelos dinmicos es que las decisiones tomadas en el presente afectan las decisiones en el futuro

Algunas de las aplicaciones ms importantes de anlisis dinmico han sido en el rea de la utilizacin de los recursos naturales. El tema de la eficiencia (maximiza-cin riqueza de largo plazo) el uso de algn recurso, como el pescado, que puede ser agotado por una amplia cosecha, es un ejemplo prominente. Por esta razn, y porque nos permite ilustrar claramente las cuestiones importantes que participan en este tipo de problemas, vamos a utilizar esto como nuestro modelo prototipo de la utilizacin de recursos en el tiempo.En el Cap. 12, analizamos brevemente el problema de inversin fisheriana de mx-imizing el valor presente de algn recurso, por ejemplo, rboles, con funcin de crecimiento g (t), donde t - tiempo. La funcin objetivo es P - g (t) e ~ ta; el problema se refiere a la longitud de tiempo que el recurso debe ser dejado de crecer. Maximizacin de P con respecto a / produce la condicin de primer orden r = g '/ g; los rboles se dejan crecer hasta que el aumento en el valor de las acciones de cada ao cae al valor alternativo del capital, dada por la tasa de inters r. Aunque se trata de un problema de maximizacin "con el tiempo" no es realmente un problema dinmico. Slo hay una decisin que tomar, y no hay vinculacin de esa decisin con cualquier otra opcin (no hay ninguno, de hecho) a realizar en una fecha posterior.Incluso el caso de siembras repetidas (la denominada solucin Faustmann), donde se aade un coste de oportunidad adicional, la de uso repetido de la tierra a travs de la replantacin, es esencialmente un problema esttico. La solucin de este problema, sin embargo, es sugestiva de la aproximacin general a problemas dinmicos. Despus de la cosecha inicial, con valor de g {t) e ~ rl, la poltica de "ptimo" es repetir la decisin anterior. Por lo tanto, la funcin objetivo se hac

Despejando el tiempo que maximiza la riqueza de la cosecha se obtiene un perodo de crecimiento ms corto que cuando el costo de oportunidad de la tierra despus de la cosecha es cero, como en el modelo original de Fisher. Ponga un poco ms en general, la poltica que maximiza el valor (en este caso, la riqueza) de hoy de algunas extendida flujo de ingresos (tal vez infinito) debe, despus de la primera cosecha, una poltica que maximice la riqueza a partir de ese momento tambin. Haciendo caso omiso, por el momento, exactamente cmo se llega al punto de la primera y sucesivas cosechas, todo el camino no puede ser "ptimo" (riqueza maximizacin, en este caso) a menos que el futuro despus de que la cosecha est ptimamente programado tambin. De lo contrario, toda la decisin desde el momento inicial de avance se puede mejorar simplemente reemplazando el antiguo camino despus de la primera cosecha con el nuevo. Este razonamiento fue enunciada por primera vez por el matemtico Richard Bellman en la dcada de 1950 y es conocido como el, principio de optimalidad. Esta idea se ha utilizado ampliamente en las ltimas dcadas para analizar problemas donde las decisiones estn vinculados, es decir, cuando una decisin en un perodo de tiempo afecta el nivel de alguna variable relevante en el futuro. En ese caso, la replicacin sencilla de decisiones anteriores no ser ptima; cada decisin impone una "externalidad" en el futuro. Es slo entonces que un problema se convierte verdaderamente dinmica

Para ilustrar estas cuestiones ms concretamente, considere un lago de propiedad privada que contiene un stock de peces inicial x0. Supongamos que el nico valor de este lago es el valor de la poblacin de peces en l. En general, como los peces se cosechan en el tiempo, el tamao de la poblacin de peces va a cambiar, y el valor del recurso variar correspondientemente. Por otra parte, a menudo es el caso que a mayor nmero de peces en el lago, ms fcil ser para su captura; por esta razn, las decisiones de la cosecha en el presente pueden tener un efecto adicional sobre el costo marginal de la pesca en el futuro y, por lo tanto, el valor actual del recurso. Dado que el precio actual de la totalidad del recurso es el valor capitalizado de todos los futuros beneficios menos los costos, las decisiones tomadas "hoy" que afectan el costo de la pesca "maana" se reflejan en el valor actual del recurso. Un dueo que tuvo en cuenta el costo futuro de las decisiones tomadas en el presente probablemente no utilizar el recurso de una manera que maximiza la riqueza. La situacin es directamente anloga a la del ejemplo de Coase del ganado que deambulan en la tierra de un granjero vecino y destruyen algunos cultivos. La eleccin de la cantidad de ganado para elevar sin tener en cuenta el costo impuesto a las tierras agrcolas dar lugar a una asignacin con menos valor a todos los recursos (agrcolas y de ganado de produccin en conjunto) que si se consideran los costos "externos". En el presente caso, los costes externos son las impuestas en el futuro, tal vez en el mismo propietario como en el presente.Usemos la variable x (t) para denotar el stock de peces en el lago, en cualquier momento t, donde, en un principio, xo = x (a). Fish se cosechan en algn tipo de u (t), de ser elegido por el propietario del recurso. La variable u (t) se denomina el control; es el camino de las decisiones tomadas (con respecto a la recoleccin de peces, en este caso). Hacemos el supuesto simplificador de que los peces se venden en el mercado mundial a un precio p, supone constante, ahora y en el futuro. La cantidad de peces cosechados depende de la poblacin de peces y la entrada de mano de obra y otros factores. Asumimos una funcin de costos bien definida con las propiedades usuales; c = c (x, u, w) se define, donde w es un vector de precios de los factores. Por el momento, asumir un horizonte de planificacin finita para que el propietario del lago maximiza el valor de los peces entre los tiempos y al t \.La hiptesis de la maximizacin del valor actual del recurso (la riqueza) es, pues,Maximizar

Sin embargo, el modelo no es todava completa porque no se ha especificado la dependencia de la poblacin de peces en el futuro sobre la tasa actual de cosecha. Como x (t) es el stock de peces en cualquier momento, su derivado, x '{t), es la tasa de la accin de crecimiento o disminucin en el tiempo t. En general, la tasa de variacin de las existencias de peces depende de algn tipo de biolgico de crecimiento del stock, G (x), y la tasa de la cosecha:

Adems, las restricciones a los valores de la variable de control se deben especificar, por ejemplo, u {t)> 0. Nos dicen en general que u (t) debe pertenecer a configurar algn control U. ltimo

el stock inicial de los peces, en este ejemplo), x (TQ) = xo, y tal vez una condicin terminal sobre la accin, x (t \) = x \.La ecuacin (20-1Z?) Define la dinmica de ste y de otros modelos. Se llama la ecuacin de estado; x (t) es la variable de estado. La variable u (t) se denomina la variable de control; es anloga a las variables de decisin de la teora esttica. Esta es la variable de la que toma las decisiones elige, o controles (por ejemplo, la tasa de cosecha, la tasa de inversin en capital nuevo, o cualquier otro flujo que afecta el tamao de la poblacin de algn recurso). Las variables de estado x (t) representa el tamao de la poblacin de algn recurso en el tiempo t. La accin que existe en el tiempo t \, por supuesto, depende de la existencia inicial y el camino de las decisiones u (t) con respecto a las tasas de cosecha para t + oo por lo que el horizonte de planificacin es infinito. Condiciones varan de punto final. Normalmente la accin inicial de la variable de estado es fijo, aunque la madre final puede no ser. Adems, puede haber restricciones en las variables, tales como la no negatividad, agigantados quiz desigualdad en el control. No vamos a cubrir estas situaciones ms avanzadas.Los problemas del tipo que acabamos de esbozar son fundamentalmente diferentes de los encontrados en el anlisis de esttica comparativa tradicional. En la denominada teora esttica, maximizando comportamiento consiste en encontrar los valores de las variables independientes que maximizan funciones con propiedades de curvatura especificados. Aunque las direcciones de cambio de las variables de eleccin con respecto a los cambios en las restricciones a veces se pueden derivar, las propiedades empricas de los modelos estticos no incluyen la especificacin de los tipos de tiempo de cambio de esas variables. En los modelos dinmicos, la "solucin" se compone no slo de encontrar el valor mximo de una funcin, sino ms bien de encontrar la funcin real que proporciona una trayectoria temporal de valores de las variables econmicas de modo que algunos funcin de valor, especifica ms de un intervalo de tiempo ,

se maximiza (o minimizada). Por esta razn, el integrando / in (20-2a) se refiere a menudo como una funcional, siendo una funcin de funciones x (t) y u {t).Breve Historia *El problema matemtico de encontrar una funcin que minimiza o maximiza algn integrante primera fue planteada por Johann Bernoulli en 1696. Bernoulli ret a sus col-ligas (y en particular a su hermano mayor de Jacob, a quien se burl pblicamente como un incompetente) para encontrar la forma de una alambre de friccin de tal manera que un cordn deslizante hacia abajo se movera entre dos puntos (no alineados verticalmente) en el menor tiempo. Mathe-maticians inmediatamente se dieron cuenta de la diferente naturaleza del problema y se dedic a su solucin. La solucin de Bernoulli era especfico para este problema y proporciona poco en el camino de generalidad. (La forma en cuestin es un "cicloide," invertida la trayectoria generada por un punto en el borde de una moneda, ya que se rod en un avin). La primera solucin sistemtica fue derivado a principios del siglo XVIII por Euler y Lagrange, que proporcion la ecuacin diferencial general de que hay que resolver para este tipo de problemas. Este resultado se discutir en breve. En su forma original, esta matemtica se llama el clculo de variaciones.En la dcada de 1950, la teora se generaliz por LS Pontryagin y sus colleagues en la Unin Sovitica y por Richard Bellman y otros en los Estados Unidos. El trabajo de Pontryagin fue motivada por problemas en las ciencias fsicas; Orientacin de Bellman era general en la direccin de la economa y la gestin de la ciencia. El clculo clsico de variaciones puede considerarse un caso especial de theory control; Sin embargo, las tcnicas ms antiguas son todava ms simple para algunos problemas, aunque por lo general son ms difciles de interpretar en trminos de la teora econmica.20.2 SOLUCIN AL PROBLEMAVamos a explotar el razonamiento detrs de principio de Bellman de optimalidad para desarrollar una solucin heurstica al problema de control. El "truco" conceptual es dividir todo el perodo de tiempo en tan slo dos perodos: el "presente", que dura slo un instante (o algn breve tiempo), de algunos ta t + At, A> 0; y el "futuro", que consiste en el resto del perodo de planificacin, desde t + A para t \. Vamos a interpretar el problema de control en trminos de maximizar el valor presente de los peces en un lago, como se describi anteriormente. El integrando en (20-2), f (x (t), u (t), t), representa los beneficios netos instantneas de la pesca en la tasa de u (t). Cuando se toma una decisin de peces de la cosecha, lo que produce un flujo de beneficios netos en este momento, en el presente, en la cantidad de f At. En este corto perodo de tiempo, la accin cambia poco. Si los peces en el lago eran propiedad comn, un pesquero individuo maximizar beneficios a corto plazo mediante el establecimiento de df / du = 0, como

tal como p = MC.) En estas circunstancias, los pescadores no tendran ningn incentivo para incorporar los efectos de sus acciones presentes en el futuro, por ejemplo, sobre el stock de peces disponibles y el efecto concomitante en el costo marginal de la pesca. Sin la propiedad de las acciones futuras de los peces, no hay ningn beneficio personal de restringir actuales beneficios para lograr lo que podra ser, en principio, an mayores ganancias futuras, ya que estos beneficios futuros probables sern capturados por otra persona.A medida que avanza la pesca, sin embargo, la poblacin de peces y, por lo tanto, el valor de la propiedad de las acciones comienzan a cambiar. En un mercado competitivo, asumiendo los peces en este lago forman slo una parte insignificante de todo el mercado, el valor de las acciones en el lago en cualquier momento sera (p - MC) x (f), suponiendo que por conveniencia, constante costo marginal de la pesca a travs del tiempo. Incluso sin hacer referencia a un mercado, sin embargo, hay un valor imputado de la poblacin, dada por el producto de la accin, x, multiplicado por el valor marginal neto de pescado. El valor marginal neto de pescado es el aumento en el valor de la accin si, de alguna manera, un pez adicional se colocaron en el lago. Este incremento en la actualidad la poblacin podra haber complicado implicaciones a largo plazo para la poblacin futura, segn lo determinado por el tipo de funcin de crecimiento y cosecha biolgica.Vamos a ignoramos por el momento exactamente cmo se resuelve el problema de control (20-2), pero suponemos que una solucin interior finita (u * (t), x * (t)) s existe. Los valores (u * (t), x * (t)) representan las "ptimas" trayectoria en el tiempo de las variables de control (tasa de cosecha, en este ejemplo) y la variable de estado (el stock de peces). Aunque estamos suprimiendo en la notacin, x * y U *, de hecho, depende de los parmetros x0, t0, etc. denotan el valor resultante del objetivo funcional como V (x0, a), es decir,

La funcin V (x0, t0) es directamente anloga a las funciones objetivo indirectos de esttica comparativa; se llama la funcin valor ptimo. Aunque (20-2) nos obliga a encontrar un camino real, o funcin, que maximiza una integral, esa funcin, una vez encontrado, se traduce en una cierta funcin valor mximo normal de los parmetros del modelo (suprimimos t \ no afn a la discusion). El valor marginal de un incremento en el capital inicial de pescado es simplemente 3 V (x0, a) / DxO. Ms en general, Vx (x (t), t) representa el valor marginal del recurso en el tiempo t si JC variable de estado se incrementa de forma exgena en el tiempo t, y la ruta ptima de valores (x (t), u (t) ) se lleva adelante desde ese momento hasta el final del perodo de planificacin.Dada xQ, existe un valor marginal de la accin para cualquier tiempo t entre el momento inicial y el tiempo de la terminal t \. Denotamos este valor k imputada (t) = Vx (x * (t), t). El valor marginal del capital, X (t), se refiere a menudo como la variable coestado o adjunto. El cambio en el valor de las existencias de peces causada por la pesca es d [k (t) x (t)] / dt = kx '+ xk'. El verdadero beneficio neto de la pesca en algn tipo de u (t) es la suma de los beneficios en el presente, f (x, u, t), y el cambio en el valor mximo de la accin causada por tomar esa accin en el presente . El ptimo (riqueza maximizacin, por ejemplo) ruta se obtiene siempre el establecimiento de la verdad (presentar futuro ms) beneficios netos marginales igual a cero a lo largo de toda la trayectoria ptima de los valores (u * (t), x * (t)). Por lo tanto, puede

caracterizar la solucin al problema de control de que exige, en cada t, t0 0 es un parmetro para este problema. El hamiltoniano para este problema esH (x, u, A.) = -x + au2 XuSuponiendo una solucin interior, las condiciones necesariasdH= -AU + 1 = 0duD2H

Por supuesto a> 0, por lo D2H / du2 = gu = 1, so this condition becomesfx> = -k(20-16)The adjoint or costate equation isHx = fx+Xgx = fx = -X'(20-17)since gx = 0. Since the right-hand side of (20-17) is the time derivative of the right-hand side of (20-16), these equations can be combined intoddfTJx> = {-(20-18)dtdxCarrying out the differentiation in (20-18) results in the equivalent expressionfx = fx't + fX'Xx' + fX'X'Xff(20-18')Equation (20-18) is the classic Euler-Lagrange relation defining the necessary condition for an optimal path. Application of (20-18) (except for special cases) results in a second-order differential equation, whereas the necessary conditions of control

resultado teora en el diferencial de primer orden ecuaciones simultneas. (20-7) y (20-8). No hay ninguna ventaja computacional uniforme a un enfoque sobre el otro; Sin embargo, la ecuacin de Euler-Lagrange es difcil de interpretar, y las ecuaciones de la teora de control a menudo ofrecen caracterizaciones tiles de la dinmica de los modelos econmicos.La solucin a la ecuacin de Euler-Lagrange puede ser oscura. En casos especiales, sin embargo, algunos procedimientos pueden ser de assistance.T En particular, si el objetivo funcional es una funcin de x y x 'solamente, es decir, sin incluir explcitamente t, la ecuacin de Euler-Lagrange es_ DfAx, x ') _Jx -, - Jx'xx r Jx'x'xdt oJx Jx'xx ~~ Jx'x'X = 0Como era de esperar, esta es una ecuacin diferencial de segundo orden. Resulta, sin embargo, que x 'es un factor de integracin de esta expresin: Multiplicando a travs de x' rendimientosx '(fx - fx, xx' - fx, x, x ") = ^^^ = 0 Por lo tanto, en este caso la ecuacin de Euler-Lagrange implicaf-x'fx, = kdonde k es la constante de integracin. Esta ecuacin puede (pero no siempre) ser ms fcil de resolver que la condicin de Euler-Lagrange en su forma original.Ejemplo. Probemos algebraicamente resultado todo el mundo sabe intuitivamente: La distancia ms corta entre dos puntos en un plano es una lnea recta. Los dos puntos sern designados (t0, x0) y (esmoquin \). Recordando el teorema de Pitgoras, a partir de un cierto punto y haciendo pequeos movimientos dt en la direccin T y dx en la direccin x, la distancia recorrida es la longitud de la hipotenusa:ds = [(dt) 2 + {dxfV2 = [1 + x '(t) 2] l / 2 dt Buscamos minimizar la suma de estos pequeos segmentos, ominimizar/ [L + x '(t) 2] l / 2dt Jt0Este es un caso especial: El integrando depende slo de x '. La aplicacin de la ecuacin de Euler en la forma (20-18 '),fx, x, x "= 0Por lo tanto, ya sea x "= 0 o fx, x, = 0. Aqu / = [1 + x '(t) 2] l / 2, por lo tanto, fx, x, + 0. Por lo tanto, x" - 0. Este sencillo ecuacin diferencial tiene la solucin x = C \ t + c2, confirmando la

resultado. Utilizando las coordenadas de los puntos finales para evaluar las constantes de los rendimientos de integracin- Xp) (Xpti -Xjtp)_(H -Para obtener una mejor comprensin de la condicin de Euler-Lagrange, considere la versin de tiempo discreto del clculo de variaciones problema:maximizarTT / \ ^ / v Vv Y t \v - / J J \ - * ~ tl A + l -Si, yo) t = 0En esta formulacin de tiempo discreto, el argumento x 'en la funcin f (x, x', t) se replaced por el argumento xt + \ - xt, y la integracin se sustituye por suma. Las variables de eleccin de este problema son x \, ..., xT (x0 y xT + \ se dan), y las condiciones de primer orden para la maximizacin necesarios son simplemente las condiciones habituales de primer orden- -0DXTEl xt variable aparece en la funcin objetivo slo en los trminos f (XT \, xt - XT \, t - 1) y f (xt, xt + i -xt, t) para perodos t - 1 y t. Por tanto, la condicin de primer orden para xt esf2 (-xt-xt UXT - \, t - l) + fi (xt, xt + i -xt, t) - f2 (xt, xt + i - xt, t) = 0donde f \ y f2 denotan las derivadas parciales respectivas con respecto a los primero y segundo argumentos. Esta ecuacin se puede arreglar enf2 (xt, xl +] -xt, t) - f2 (x, -i, xt -xt-i, t - 1) = fdxt, xt + l -xt, t) (20-19)El lado izquierdo de esta ecuacin es el cambio en el valor de f2 desde el perodo t - \ para el perodo t; es el anlogo de tiempo discreto de {d / dt) fx>. El lado derecho de esta ecuacin es simplemente df / dx. La ecuacin (20-19) es slo Eq. (20-18) en tiempo discreto.Endpoint (transversalidad) CondicionesHasta este punto, hemos sido impreciso en cuanto a los efectos de supuestos relativos a los valores inicial y final de la ruta ptima. Condiciones de punto final generalmente no son un problema en el anlisis de esttica comparativa, ya que se supone que las soluciones que se produzca en los puntos interiores. En el anlisis dinmico, la ruta puede depender fundamentalmente de la assumption realizados en relacin con los valores iniciales y finales. La solucin a los problemas de control ptimo consiste en resolver una ecuacin diferencial de segundo orden (o, ecuaciones de primer orden equivalente, dos simul-tnea). En cualquier caso, aparecen dos constantes arbitrarias de la integracin. Para estos parmetros a ser evaluados, los supuestos adicionales se deben hacer sobre las rutas ptimas.Considere el problema de la pesca. Si el modelo se indica como un problema de maximizacin entre t0 y finito de tiempo t \, el modelo esencialmente asume que "no hay tiempo

after t\\ that is, in essence, the world comes to an end at t\. (A slightly more general class of models appends a salvage value S[x(t\), t\] to the maximization problem.) If, somehow, the stock of fish is simply specified in terms of some initial and final values x(t0) = x0 and x(t{) = x\, there is no further issue; these values will be used to evaluate the arbitrary constants that appear in the solution to the differential equation defining the optimal path. If, however, a positive stock of fish were to exist at t\ (the end of the world), it surely could have no value. Therefore, necessarily, if x(t\) > 0, X(t\) =0. (With positive salvage values, X(t\) = dS/dxi.) In many cases, however, the final value of the stock of fish is not specified a priori; it is to be determined by the maximization hypothesis. The same reasoning would then suggest that, since additional stock would have zero value in terms of the objective function/, if x(ti) is taken to be "free" (i.e., not specified in advance), then X(t\) = 0. Such conditions are known as transversality conditions; they are the additional conditions needed in order to evaluate the constants of integration in optimal control problems. For maximization problems, if Jt(*i) > 0 is the constraint on the terminal stock, the transversality conditions can be stated asKh) > 0 x(ti) > 0 HhUih) = 0(20-20)In addition, in some problems, the final time itself, t\, is taken as free. In this case the activity, say, fishing, would cease when prolonging it would have no value, i.e., would add nothing to the value V(x,t) of the objective integral. From the Hamilton-Jacobi equation (20-12), at /i-Vt = fix*, u*, t) + k*it)gix*, u*, 0 = 0(20-21)if t\ is free. These conditions must be modified for more complex models, e.g., those involving inequality constraints and salvage values; the modifications in general resemble the Kuhn-Tucker restrictions in static maximization^Autonomous ProblemsIn the general control problem framework, the variable t can enter the objective function and the state equation directly. The general specificationmaximizefix,u,t)dttosubject tox' = gix, u, t) xit0)

donde t entra / yg directamente, significa que los asuntos de la fecha. Es decir, el costo o los ingresos generados por la actividad u (t) depende no slo del nivel de extraccin y de stock de un recurso, o utilizacin del capital (es decir, en el nivel de las variables de control y estado), sino tambin en exactamente cuando esta actividad se lleva a cabo. En muchos (la mayora, tal vez) los modelos econmicos, sin embargo, como la dependencia de la fecha se incorpora slo en el trmino e ~ ta, que se utiliza para descontar el ingreso futuro al presente, a.Modelos en el que t es ausente de las ecuaciones objetivas y estatales, es decir,maximizar\ F (x, u) dtsujeto ax '= g (x, u) x (a) = xo (20-22)se llaman autnoma. En este caso, la condicin de mxima Hu = fu + XGU = 0, la ecuacin de estado x '= g {x, u), y la ecuacin adjunto fx + xgx + X' = 0 resultado en las ecuaciones diferenciales en x 'y X' que no impliquen t explcitamente. Estas ecuaciones son mucho ms fciles de resolver que aquellos en los que t aparece de forma explcita. Por razones prcticas, as, por lo tanto, esta modificacin es importante.Modelos en los que el tiempo entra explcitamente slo como parte del factor de descuento e ~ rt se conoce generalmente como autnomo, as como la dependencia del tiempo se elimina fcilmente. Es decir, tener en cuenta los modelos de la formamaximizar1 f (x, u) e ~ IDTE'Asujeto ax '= g (x, u) x (a) = xo (20-23)Al reemplazar el tiempo t con la variable s = e ~ ta y la definicin de los tiempos iniciales y finales en trminos de s, el problema de inmediato se convierte en autnomo.En los modelos de la forma (20-23), la variable coestado X (t) es el valor presente (es decir, en el momento de) del valor marginal de un aumento del capital en el momento /. A veces es ms conveniente para resolver estos problemas utilizando un "multiplicador de corriente de valor", m (t), dondee-r'm (t) = X (t) (20-24)Las condiciones necesarias para la optimalidad son, de nuevo,Hu = e'rtfu + XGU = 0 (20-25)yHx = e ~ RTFX + xgx = -X '(20-26)

Uso de (20-24), sin embargo,e-rtm \ t) -re-rtm {t) = \ '{t) Si ahora escribimos el hamiltoniano en forma del valor actual como 0, y si las condiciones necesarias de primer orden son satisfechos, la solucin representa un mximo.Asimismo, si f (x, u, t) y g (x, u, t) son a la vez en todas partes convexa, entonces la solucin representa un mnimo.En estas condiciones, el hamiltoniano ser cncava (o convexa, para los problemas de mnimos). Dado que la expresinH + X'X = f {x, u, t) + Xgix, u, t) + X'Xse maximiza (minimizada) en cada punto a lo largo de la trayectoria ptima, estas condiciones son intuitivamente plausible. Tenga en cuenta que si gix, u, t) es lineal en x y u, entonces concavidad de esta expresin ser independiente de g y, por lo tanto, el signo de X (t). Para el clculo clsico de los problemas de variaciones, es decir,maximizar['F {x, x', t) dtla condicin suficiente es que el Fix integrando, x ', t) sea cncava en x y x' para todo t. Para problemas mnimos, F debe ser convexa en xy x 'para todo t. Esta condicin se puede aplicar en problemas de control de si la variable de control puede ser eliminado a travs de

sustitucin, convirtiendo el problema a uno en el clculo de variaciones. Es important tener en cuenta que la condicin suficiente anterior requiere concavidad global (o convexidad) de / y g (o F); por lo tanto, la solucin (si existe) a las condiciones necessary de primer orden se obtiene el ptimo global. Una condicin ms dbil, Fx> x> 0 para los problemas de mnimos), que se conoce como la condicin Legendre, y es una propiedad de curvatura local. Es necesariamente est implcito en la maximizacin (ntese la desigualdad dbil). Al igual que en los problemas de optimizacin esttica, estas condiciones se often la base de esttica comparativa o dinmica comparativos resultados en problemas dinmicos.20.3 SOLUCIONES a las ecuaciones diferencialesMediante el uso de tcnicas anlogas a la esttica comparativa, los efectos de los cambios en los parmetros de la ruta ptima o en valores de estado estacionario a veces estn disponibles. Sin embargo, con el fin de ser ms manejable y til, muchos modelos incorporate simplificar supuestos. Muchos de los problemas de control de inters asumen formas funcionales especficas en las ecuaciones objetivas y estatales. Las ecuaciones mximos y adjuntos a continuacin, dan lugar a ecuaciones diferenciales especficas cuya solucin es de inters. Para ello, se investiga brevemente la naturaleza de estas soluciones.En general, las ecuaciones diferenciales son difciles de resolver, y algunas ecuaciones de aspecto inocente, de hecho, intratable. Ciertos procedimientos estndar son tiles; revisamos brevemente aqu ^ Algunas ecuaciones diferenciales pueden ser resueltos por la separacin de las variables:. Para resolver y '= dy / dt = y / t, escribimosdy dty ~ tLa integracin de ambos lados rendimientosingrese 3; = Log t + log kdonde la constante arbitraria de integracin se denota log k para mayor comodidad. Por lo tanto, la solucin general se puede escribiry (t) = ktSi se especifica que la curva debe pasar a travs de algn punto en particular (? 0, yo), la constante de integracin se puede evaluar. Las ecuaciones diferenciales que se pueden resolver de esta manera son los ms fciles de trabajar.Consideremos ahora la clase de ecuaciones diferenciales lineales de primer ordeny '(t) + b (t) y (t) = c (t)

Esta ecuacin se llama lineal porque no hay trminos de la forma (y ') 2, yy', etc. Por una solucin a esta ecuacin, nos referimos a una funcin y = s (t) tal que cuando esta funcin se sustituye en este ecuacin, una identidad resulta. El teorema fundamental identificar la naturaleza de estas soluciones es como sigue. Considere la ecuacin. (20-29) sin la mano derecha:+ b (t) y y '(t) = O (20-30)Esto se llama la ecuacin reducida. (Cuando no hay una funcin del lado de la mano derecha, una ecuacin diferencial se llama homognea.) Esta ecuacin es generalmente mucho ms fcil de resolver que (20-29), suponiendo que existe una solucin. Las soluciones a las ecuaciones diferenciales, por supuesto, implicar constantes arbitrarias. Sin embargo, si cualquier solucin particular se puede encontrar por (20-29), la solucin general de (20-29) es la suma de esa solucin particular, adems de la solucin general de la ecuacin reducida. (20-30).Primero vamos a investigar estas ecuaciones cuando byc son constantes, en lugar de ser funciones de t. La ecuacin (20-29) se llama entonces una ecuacin diferencial de primer orden con coeficientes constantes. En ese caso, la solucin a la ecuacin. (20-30) siempre se puede encontrar multiplicando a travs de EBT. Tenga en cuenta quebt ,,, h, d (ebty (t))em (y + by) = = 0dtPor lo tanto, la solucin general de la ecuacin reducida es ehty (t) = K, donde K es una constante arbitraria, oy (t) = Ke ~ btPor inspeccin, a. solucin particular de (20-29) es y = c / b (tenga en cuenta que y '= 0). Por tanto, la solucin general de (20 a 29) esy (t) = Ke ~ bt + C-Sustituyendo esta expresin en (20-30) confirma que s es una solucin. Ejemplo. Considere la ecuacin diferencialy + y = t + iUna solucin particular de la ecuacin no reducido es Y - t \ la solucin general, ya que b = 1, por lo tanto, esy = Ke ~ '+ tEn el caso ms general donde b = bits) y c = c (t), la bsqueda de una solucin particular puede no ser fcil. Sin embargo, por Procediendo de una manera similar al caso de coeficientes constantes, la solucin general de la ecuacin reducida es siempre de la formaAdicin de una solucin particular de (20-29) para esto produce la solucin general.

Los mismos procedimientos se aplican a segundo orden ecuaciones diferenciales lineales; cmo-nunca, el lgebra es ms compleja. Soluciones generales dey "+ by '+ cy = d (20-31)consistir en la suma de una solucin particular de la ecuacin completa ms la solucin general de la ecuacin reducida (homogneo)y "+ by '+ cy = 0 (20-32)Para resolver (20-32), que "tratamos" una solucin de la forma y = erx. Sustituyendo esto en (20-32) los rendimientosEsta ecuacin estar satisfecho de soluciones a la ecuacin de segundo grado, llamada la ecuacin caracterstica,r2 + br + c = 0 El uso de la frmula cuadrtica, las races son-b (B2- ^ (20-33)Hay varios casos para explorar.1. Si b2 - Ac> 0, las races son reales y distintas; en ese caso la solucin de (20-32)esy (t) = cierit + c2er2t (20-34)donde C \ y c2 son las constantes arbitrarias de integracin. Tenga en cuenta que si las dos races son negativas, y (t) - 0 como oo t -. Problemas de la teora de control con este tipo de solucin convergen asintticamente hacia un "estado estable"; si una o ambas races son positivas y la constante (s) adjunto no son cero, el camino ser divergen.2. Si b2 - Ac = 0, las races son idnticos: {r = r2 = r; la solucin a (20-32) es entoncesy {t) = (cx + c2t) ert (20-35)3. lib2 - Ac 0 cuando t -> oo en esos casos. Si una raz es negativo y el otro positivo, se dice que el sistema tenga un punto de silla. Si, por ejemplo, r \> 0, la solucin converger al estado estacionario si A \ y B \ = 0.20.4 INTERPRETACIONES Y SOLUCIONESEleccin intertemporalConsideremos primero el anlogo continuo del modelo de eleccin intertemporal investigado en el Cap. 12. Supongamos que un consumidor tiene una funcin de utilidad U (C (t)), donde C (t) es un flujo de consumo. Suponemos U '> 0 y U " 0 y U " 0 y U "{C) 0wdg " (K) 0), eliminamos la variable de control u invirtiendo c '(u) = m, por lo que u = h (m), donde h' (m) = \ / c"> 0. Sustituyendo esto en la ecuacin de estado dax '= h (m) - bx (20-66)La ecuacin (20-66) y la ecuacin adjunto (20-62)R '(x) + m' = {b + r) m (20-62)constituyen dos ecuaciones diferenciales en X y m. El estado de equilibrio se produce donde x '= m' = 0:l) = bx (20-67)R '(x) = {b + r) m (20-68)Estas ecuaciones se esbozan en la figura. 20-3. .. Desde c '(0) = 0 y c "> 0, la ecuacin (20-67) pasa por el origen y tiene pendiente positiva La interseccin de las dos curvas es el estado estacionario y se denota S; dej x * y m * ser los valores de estado estacionario de x y m.A continuacin preguntamos si existen caminos que son consistentes con las ecuaciones de primer orden y que el enfoque S asintticamente. Desde h (m) es creciente en m, en puntos por encima de la lnea, x '= h (m) -BX> 0; Asimismo, x ' 0 es un parmetro independiente del tiempo. Supongamos que existe una solucin ptima que converge al punto de silla estado estacionario del modelo. Sea (x * (a, r), u * (a, r)) denotan este estado de equilibrio, con la * 's en las funciones que se usan para indicar que se evalan en los valores de estado estacionario.1. La respuesta de x * (a, r) yu * (a, r) a un cambio en la tasa de inters, r, viene dada porsgn I - - j = sgn? (/; g;) (20-69a)sgn - = -sgn (/; ^) (20-6%)\ Dr J2. Si el parmetro A entra en / de tal manera que se adjunta a x solamente, es decir, FUA = 0, entonces el efecto del cambio en una est dada porSM ^ T) = sn (/, ) (20-70a)- ^) = -sgn (G>; /; a) (20-10b)Michael R. Caputo, "La estructura cualitativa de una Clase de Infinite Horizon ptimo Problemas de control," Aplicaciones de control ptimo y Mtodos, 18: 195-215, 1997. Vase l corolario (a).ASIGNACIN DE RECURSOS EN EL TIEMPO: CONTROL PTIMO TEORA 6493. Si el parmetro A entra / tal que est unido a T solamente, es decir, fxa = 0, entonces el efecto del cambio en una est dada por= Sgn (/ * (r ~ 8 *) 8 "} (20-71a)r - ) ) (20-71 / 7)Resultados 2 y 3 son "pares conjugados" teoremas, anlogos a los obtenidos anteriormente en los modelos estticos. Se puede demostrar que g * aparece en todos los estado estacionario resultados de esttica comparativa para u * (a, r). Por lo tanto, si G * = 0 (o si gx = 0), es decir, si la ecuacin de estado es independiente de la variable de estado en el estado estacionario (o global), entonces el valor de estado estacionario de la variable de control es independiente de una y la tasa de descuento r.En el ejemplo anterior, fu = -c '(u)