Limite Calculo 1

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calculo limite

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  • Calculo IDocente: Eduardo Santillan Marcus - Recopilado por Maximiliano Mecoli

    31 de mayo de 2014

    Unidad 3: Lmites y continuidad de funciones reales

    1. Lmite de una funcionNota 1: Consideremos la funcion f (x) = x2 x + 2 y estudiemos su comportamiento paravalores de x cercanos a 2.

    x f (x) x f (x)1 2 3 8

    1,5 2,75 2,5 5,751,6 2,96 2,4 5,361,7 3,19 2,3 4,991,8 3,44 2,2 4,641,9 3,71 2,1 4,31

    1,95 3,8525 2,05 4,15251,995 3,985025 2,005 4,0150251,9995 3,998500 2,0005 4,001500

    Es claro a partir de los valores de la tabla y de lo que se observa en la figura que cuandox se acerca a 2 ( por valores mayores o menores), f (x) se acerca a 4. De hecho, pareceposible acercar los valores de f (x) a 4 tanto como querramos si tomamos un valor de x losuficientemente cercano a 2. Podemos expresar este hecho diciendo que el lmite de lafuncion f (x) = x2 x + 2 cuando x tiende a 4, y se usa notarlo as:

  • Calculo I FCEIA-UNR

    lmx2

    (x2 x + 2) = 4

    Definicion 1: Escribiremos:

    lmxa

    f (x) = L

    y diremos el lmite de f (x) cuando x tiende a a es L, si podemos acercar arbitrariamentelos valores de f (x) a L (tanto como querramos) eligiendo un valor de x lo bastante cercade a (pero no igual a a).

    Observacion 1: lmxa

    f (x) = L puede escribirse tambien como f (x) L cuando x a( f (x) tiende a L cuando x tiende a a).

    Observacion 2: Cuando hallamos el lmite de f (x) cuando x tiende a a, nunca consi-deramos x = a. Incluso, no es necesario que f (x) este definida cuando x = a. Lo unico queimporta es como esta definida f cerca de a.

    Ejemplo 1:f1 : R {1} R

    f1(x) =x2 1x 1 = x + 1

    x f1(x) x f1(x)0,7 1,7 1,3 2,30,8 1,8 1,2 2,20,9 1,9 1,1 2,10,99 1,99 1,01 2,01

    0,999 1,999 1,001 2,001

    lmx1

    f1(x) = 2

    f2 : R Rf2(x) =

    {2 x3 si x , 1

    3 si x = 1

    2014 Docente: Eduardo Santillan Marcus 2

  • Calculo I FCEIA-UNR

    x f (x) x f (x)0,7 1,657 1,3 -0,1970,8 1,488 1,2 0,2720,9 1,271 ,1,1 0,6690,99 1,0297 1,01 0,9696

    0,999 1,0029 ,1,001 0,9969

    lmx1

    f2(x) = 1

    Nota 2: Consideremos ahora la funcion de Heaviside H(x) y estudiemos su comporta-miento para valores de x cercanos a 0.

    x H(x) x H(x)0,3 1 -0,3 00,2 1 -0,2 00,1 1 -0,1 00,01 1 -0,01 0

    0,001 1 -0,001 0

    No existe un unico numero al que H(x) se aproxima cuando x tiende a 0, y por consiguienteno existe lm

    x0H(x).

    Lo que vemos aqu es que H(x) tiende a 0 cuando x tiende a 0 por la izquierda, y H(x)tiende a 1 cuando x tiende a 0 por la derecha.

    Definicion 2:a) Escribiremos:

    lmxa

    f (x) = L

    2014 Docente: Eduardo Santillan Marcus 3

  • Calculo I FCEIA-UNR

    y diremos el lmite de f (x) cuando x tiende a a por izquierda es L si podemos aproximarlos valores de f (x) a L tanto como querramos, eligiendo un valor de x lo bastante cerca dea, pero menor que a.b) Escribiremos:

    lmxa+

    f (x) = L

    y diremos el lmite de f (x) cuando x tiende a a por derecha es L si podemos aproximarlos valores de f (x) a L tanto como querramos, eligiendo un valor de x lo bastante cerca dea, pero mayor que a.

    Observacion 3: Es evidente que se cumple que:

    lmxa

    f (x) = L lmxa

    f (x) = L = lmxa+

    f (x)

    Ejemplo 2: Consideremos la funcion g cuya representacion grafica es la siguiente:

    lmx3

    g(x) = 3

    lmx3+

    g(x) = 1

    = @ lmx3 g(x)lmx5

    g(x) = 2

    lmx5+

    g(x) = 2

    = lmx5 g(x) = 2Nota 3: Ahora consideremos la funcion f (x) =

    1x2

    y estudiemos su comportamiento paravalores de x cerca de 0.

    2014 Docente: Eduardo Santillan Marcus 4

  • Calculo I FCEIA-UNR

    x f (x) x f (x)1 1 -1 1

    0,5 4 -0,5 40,2 25 -0,2 250,1 100 -0,1 100

    0,01 10000 -0,01 100000,001 1000000 -0,001 1000000

    Conforme x se aproxima a 0, f (x) =1x2

    se hace cada vez mas grande. Viendo la graficade f parece que los valores de f se pueden aumentar en forma arbitraria si se elige unvalor de x lo suficientemente cerca de 0. Por lo tanto, los valores de f (x) no tienden a un

    numero, y de tal forma lmx0

    1x2

    no existe. Para indicar este tipo de comportamiento vamos

    a introducir la siguiente notacion:

    Definicion 3: Sea f una funcion definida en ambos lados de a, excepto probablementeen a. Entonces:

    lmxa

    f (x) = +

    quiere decir que los valores de f (x) se pueden hacer arbitrariamente grandes (tanto comouno quiera) haciendo que x se acerque lo suficiente a a, pero no es igual a a.

    Observacion 4: + no se considera un numero, y lmxa

    f (x) = + no significa queexista el lmite. Simplemente expresa la manera particular en la que este lmite no existe.El valor de f (x) puede ser tan grande como guste, llevando a x lo suficientemente cerca de a.

    Observacion 5: Otra notacion para lmxa

    f (x) = + es f (x) + cuando x a.Se suele decir el lmite de f (x) cuando x tiende a a es infinito, aunque lo mas apropiadosera decir f (x) se incrementa sin lmite cuando x tiende a a.

    Definicion 4: Sea f una funcion definida en ambos lados de a, excepto probablementeen a. Entonces:

    lmxa

    f (x) =

    quiere decir que los valores de f (x) se pueden hacer arbitrariamente grandes en valorabsoluto y negativos (tanto como uno quiera) haciendo que x se acerca lo suficiente a a,pero no es igual a a.

    Ejemplo 3: lmx0 1

    x2=

    Observacion 6: Definiciones similares a las ya vistas pueden darse para los lmites in-finitos laterales:

    lmxa+

    f (x) = + ; lmxa

    f (x) = +lmxa+

    f (x) = ; lmxa

    f (x) =

    2014 Docente: Eduardo Santillan Marcus 5

  • Calculo I FCEIA-UNR

    Ejemplo 4: lmx0+

    1x= + ; lm

    x01

    x=

    Definicion 5: La recta x = a se llama asntota vertical de la grafica de f (x) si por lomenos uno de los siguientes enunciados es verdadero:

    lmxa

    f (x) = + ; lmxa

    f (x) = lmxa+

    f (x) = + ; lmxa

    f (x) = +lmxa+

    f (x) = ; lmxa

    f (x) =

    Ejemplo 5:

    2014 Docente: Eduardo Santillan Marcus 6

  • Calculo I FCEIA-UNR

    2. Calculo de lmitesObservacion 7: En la seccion anterior usamos graficas y calculos para suponer los valoresde los lmites, pero estos metodos no siempre conducen a la respuesta correcta. Aqu enun-ciaremos propiedades de los lmites que nos permitiran calcularlos. La demostracion deestas seran vistas mas adelante.

    Teorema 1: Sean lmxa

    f (x) = F, lmxa

    g(x) = G y c R. Entonces:

    i) lmxa

    [ f (x) g(x)] = F G

    ii) lmxa

    f (x)g(x) = FG

    iii) lmxa

    c f (x) = cF

    iv) lmxa

    f (x)g(x)

    =FG

    si G , 0

    Ejemplo 6: Consideremos las funciones f y g cuyas representaciones graficas son:

    lmx3

    f (x) = 5 ; lmx3

    g(x) = 2

    lmx3

    ( f 2g)(x) = 5 2 2 = 1

    lmx3

    4g(x) = 4 2 = 8 ; lmx3

    ( f g)(x) = 5 2 = 10

    lmxa

    f (x)g(x)

    =25

    Observacion 8: Consideremos ahora las funciones f y g cuyas representaciones graficasson las siguientes:

    2014 Docente: Eduardo Santillan Marcus 7

  • Calculo I FCEIA-UNR

    lmx3

    f (x) = 3 ; @lmx3

    g(x)

    Por lo tanto @lmx3

    ( f (x) + g(x))

    Ahora bien, si pensamos en los lmites laterales,

    lmx3+

    f (x) = 3 = lmx3

    f (x)lmx3+

    g(x) = 2 lmx3

    g(x) = 1

    as que podemos definir los lmites laterales para la suma:

    lmx3+

    ( f (x) + g(x)) = 5 ; lmx3

    ( f (x) + g(x)) = 4

    Obviamente confirmamos al ver que estos lmites laterales son distintos, que el lmite noexiste.

    Observacion 9: Consideremos ahora estas dos funciones:

    f (x) = sgn(x) ; g(x) = sgn(x)

    Notemos que @lmx0

    f (x) y tampoco existe lmx0

    g(x). Pero f (x) + g(x) = 0 x, y entonceslmx0

    f (x) + g(x) = lmx0

    0 = 0

    Luego de estas dos observaciones podemos concluir que si en un punto no existe el lmitede una de las 2 funciones intervinientes en una suma, el lmite de la suma no existe, pero sino existe el lmite de ambas funciones, no podemos afirmar nada sobre el lmite de la suma.

    Teorema 2: lmxa

    ( f (x))n = (lmxa

    f (x))n n N

    Ejemplo 7: lmx 2

    sen3(x) = (lmx 2

    sen(x))3 = 13 = 1

    Observacion 10: Hay dos lmites especiales:

    2014 Docente: Eduardo Santillan Marcus 8

  • Calculo I FCEIA-UNR

    lmxa

    c = c ; lmxa

    x = a

    evidentes desde un punto de vista intuitivo. Usando el Teorema 2

    lmxa

    xn = an, n N

    Con estos resultados podemos enunciar el siguiente Teorema.

    Teorema 8:i) si f es una funcion polinomica,

    lmxa

    f (x) = f (a)

    ii) Si f es una funcion racional fraccionaria, f (x) =p(x)q(x)

    , si q(a) , 0 entonces

    lmxa

    f (x) = f (a)

    Ejemplo 8:lmx2

    (3x2 2x + 1) = 3 23 2 2 + 1 = 21

    lmx1

    5x2 + x + 3x2 + 2x

    =5 12 + 1 + 3

    12 + 2 1 =93= 3

    Teorema 4:i) Sea a > 0, n N par, entonces lm

    xanx = n

    a.

    ii) Sea a R, n N impar, entonces lmxa

    nx = n

    a.

    iii) Sea f (x) tal que lmxa

    f (x) 0, n N par, entonces lmxa

    n

    f (x) = n

    lmxa

    f (x).

    iv) Sea n N impar, entonces lmxa

    n

    f (x) = n

    lmxa

    f (x).

    Ejemplo 9:

    lmx5

    x =

    5

    lmx2

    7x3 + 1 = 7

    (2)3 + 1 = 7

    7

    Teorema 5: Si f (x) = g(x) x , a entonces lmxa

    f (x) = lmxa

    g(x), cuando este lmite exis-ta.

    Ejemplo 10:

    lmx1

    x2 1x 1 ?

    Vemos quex2 1x 1 = x + 1 x , 1, luego como lmx1 x + 1 = 2, lmx1

    x2 1x 1 = 2

    Ejemplo 11: Como calculamos el lmite de una funcion cuando no podemos hallarlodirectamente? Podemos trabajar algebraicamente, veamos un par de ejemplos: