Limite de una funci6n - URLbiblio3.url.edu.gt/Libros/2012/calc/2.pdf · 2012-01-27 · I...

Capitulo 2

Limite de una funci6n

I

Ii

y = !(x)

I I

I I I I I I I I I I

I I ::

+- x ~a7--:--<-M+ ~x

En este capitulo En un curso tfpico de calculo se incluyen muchos temas. Sin embargo, los tres temas mas importantes en este estudio son los conceptos de limite, derivada e integral. Cad a uno de estos conceptos esta relacionado con las funciones, razon par la cual empezamos con una revision de algunos hechos importantes sobre funciones y sus graticas.

Historicamente, para introducir los enunciados fundamentales del calculo se han usado dos problemas: el problema de la recta tangente y el problema del area. En este capftulo y en capftulos posteriores veremos que la solucion de ambos problemas implica el concepto de limite.

2.1 Umites: un enfoque informal

2.2 Teoremas sabre limites

2.3 Continuidad

2.4 Umites trigonometricos

2.5 Umites que involucran el infinito

2.6 Umites: un enfoque formal

2.7 EI problema de la recta tangente

Revisi6n del capitulo 2

67

68 CAPITULO 2 Limite de una funci6n

y

-- ---~

I --- I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I I

- 4

16 -x2

y = --4+ x

FIGURA 2.1.1 Cuando x esta pr6-xima a - 4, fix) esta cerca de 8

2.1 Limites: un enfoque informal I Introduccion Las dos grandes areas del calculo, denominadas calculo diferencial y calculo integral, se basan en el concepto fundamental de l{mite. En esta secci6n, el enfoque que haremos a este importante concepto sera intuitivo, centrado en la comprensi6n de que es un lfmite mediante el uso de ejemplos numericos y gnificos. En la siguiente secci6n nuestro enfoque sera analftico; es decir, usaremos metodos algebraicos para calcular el valor del lfmite de una funci6n.

I Limite de una funcion: enfoque informal Considere la funci6n

f(x) = 11 ~ ;2 (1)

cuyo dominio es el conjunto de todos los numeros reales excepto - 4. Aunque no es posible evaluar f en -4 porque al sustituir -4 por x se obtiene la cantidad indefinida 0/0, f(x) puede calcularse en cualquier numero x que este muy pr6ximo a -4. Las dos tablas

x -4.1 -4.01 -4.001 x -3.9 - 3.99 -3.999

f(x) 8.1 8.01 8.001 f(x) 7.9 7.99 7.999 (2)

muestran que cuando x tiende a -4 por la izquierda 0 por la derecha, parece que los valores de la funci6n f(x) tienden a 8; en otras palabras, cuando x esta pr6xima a -4, f(x) esta cerca de 8. Para interpretar de manera grafica la informaci6n numerica en (1) , observe que para todo numero x -=1= -4, la funci6n f puede simplificarse por cancelaci6n:

f( ) = 16 - x2 = (4 + x)(4 - x) = 4 _

x 4 + x 4 + x x.

Como se ve en la FIGURA 2.1.1, la grafica de f es esencialmente la grafica de y = 4 - x con la excepci6n de que la grafica de f tiene un hueco en el punto que conesponde a x = -4. Para x suficientemente cerca de - 4, representado por las dos puntas de flecha sobre el eje x, las dos puntas de flecha sobre el eje y, que representan los valores de la funci6n f(x), simultaneamente se aproximan cada vez mas al numero 8. En efecto, en vista de los resultados numericos en (2), las puntas de flecha pueden hacerse tan pr6ximas como se quiera al nllmero 8. Se dice que 8 es ellimite de f(x) cuando x tiende a -4.

I Definicion informal Suponga que L denota un numero finito. El concepto def(x) que tiende a L a medida que x tiende a un numero a puede definirse informalmente de la siguiente manera.

• Si f(x) puede hacerse arbitrariamente pr6ximo al numero L al tomar x suficientemente cerca de, pero diferente de un numero a, por la izquierda y por la derecha de a, entonces el limite de f(x) cuando x tiende a a es L.

I Notacion El analisis del concepto de lfmite se facilita al usar una notaci6n especial. Si el simbolo de flecha ---+ representa la palabra tiende, entonces el simbolismo

x ---+ a - indica que x tiende al numero a por la izquierda,

es decir, a traves de los numeros que son menores que a, y

x ---+ a + significa que x tiende a a por la derecha ,

es decir, a traves de los numeros que son mayores que a. Finalmente, la notaci6n

x ---+ a significa que x tiende a a des de ambos [ados,

en otras palabras, por la izquierda y por la derecha de a sobre una recta numerica. En la tabla izquierda en (2) se hace x ---+ -4 - (por ejemplo, - 4.001 esta a la izquierda de -4 sobre la recta numerica), mientras en la tabla derecha x ---+ -4 + .

I Limites laterales En general, una funci6nf(x) puede hacerse arbitrariamente pr6xima a un numero L

J al tomar x suficientemente cerca, pero sin que sea igual, a un numero a por la

izquierda; entonces se escribe

f(x) ---+ LJ

cuando x ---+ a- o bien, (3)

2.1 Umites un enfoque informal 69

Se dice que el numero L I es el limite por la izquierda de I(x) cuando x tiende a a. De manera semejante, si f(x) puede hacerse arbitrariamente pr6xima a un numero L2 al tomar x suficientemente cerca a, pero diferente de, un numero a por la derecha, entonces L2 es el limite por la derecha de I(x) cuando x tiende a a y se escribe

f (x ) ---+ ~ cuando x ---+ a + 0 bien, lim lex) = Lo. X---7{/+' -

(4)

Las cantidades en (3) y (4) tambien se denominan Iimites laterales.

I Limites por dos lados Si tanto el Ifmite por la izquierda limJ(x) como el limite por la derecha lim+f(x) existen y tienen un valor comun L, X-HI

X---lo-(l

limJ(x) = L y lim f(x) = L, x --+a X---7{/+

entonces se dice que L es el limite de I(x) cuando x tiende a a y se escribe

limf(x) = L. (5) X---lo-(J

Se dice que un limite como (5) es por los dos lados. Yea la FIGURA 2.1.2. Puesto que las tablas numericas en (2) sugieren que

f(x) ---+ 8 cuando x ---+ -4- y f(x) ---+ 8 cuando x ---+ -4 + , (6)

es posible sustituir las dos decIaraciones simb6licas en (6) por la decIaraci6n

16 - x 2

f(x) ---+ 8 cuando x ---+ -4 0, en forma equivalente, lim 4 + = 8. (7) x->-4 X

I Existencia 0 no existencia Por supuesto, un limite (por un lado 0 por dos lados) no tiene por que existir. Pero es importante no olvidar 10 siguiente:

• La existencia de un Ifmite de una funci6n f cuando x tiende a a (desde un lado 0 desde ambos lados) no depende de si f esta definida en a, sino s610 de si esta definida para x cerca del mimero a.

Por ejemplo, si la funci6n en (1) se modifica de la siguiente manera

116 - x 2

f(x) = 4 + x ' 5,

x * -4

x = -4,

entoncesf( -4) esta definida y f( -4) = 5, pero lfm 1~ ~ x2

= 8. Yea la FIGURA 2.1.3. En gene-x->-4 X

ral, el limite por los dos lados lim f(x) no existe X---lo-a

• si alguno de los dos limites laterales, limJ(x) 0 lfl1\f(x) no existe, 0 x-+a x---+a

• si lim f(x) = L) y lim f(x) = L2 , pero L) * L2. x~a- x--+a+

1! @'iIQ!.M' Un limite que existe

La grafica de la funci6n f(x) = - x 2 + 2x + 2 se muestra en la FIGURA 2.1.4. Como se observa en la grafica y en las tablas acompafiantes, parece valido que

limJ(x) = -6 x->4

y lim f(x) = -6 x-+4+

y, en consecuencia, Ifm f(x) = -6. X---74

x ---+4 - 3.9 3.99 3.999 x---+4+ 4.1 4.01 4.001

f(x) -5.41000 - 5.94010 - 5.99400 f(x) -6.61000 - 6.06010 - 6.00600 •

y = !(x)

I I I I

"" I !(x) L I I

l-'H"~~C+' FIGURA 2.1.2 f(x) -+ L cuando x -+ a si y solo si f(x) -+ L cuando x -+ a - y f(x) -+ L cuando x -+ a +

y

----- ..... I ----, I , , , I , , ,., , I

" " I I , , "

8 116-x2 y= 4+x '

5,

-+-LI-'-' +-+--+-+-f-+--+-''\.c-+~ x - 4

x= -4

FIGURA 2.1.3 El hecho de que f este definida 0 no en a es irrelevante con respecto a la existencia del limite de f(x) cuando x -+ a

-+-+-+~-+~n-~x

Observe que en el ejemplo 1 la funci6n dada ciertamente esta definida en 4, pero en nin- FIGURA 2.1.4 Gnifica de la fun-

gun momento se sustituye x = 4 en la funci6n para encontrar el valor de Ifm f(x) . cion en el ejemplo I x--+4

70 CAPITULO 2 LImite de una funci6n

y

2

FIGURA 2.1.5 Grafica de la f llncion en el ejemplo 2

y

7 -<- ______ _

5 + __ _

I I

- --[ -~I I I I I I I

5

I I

FIGURA 2.1.6 Gnitica de la flln cion en e l ejemplo 3

La i"lInc ion e ille ro mayor se

ana li l.6 en la secc i6 n I I .

y

4

3

y = LxJ

2 ........a

UWMIQ!'W) Un limite que existe

La gr:ifica de la funci6n definida por partes

lex) = {X2, . - x + 6,

x < 2 x > 2

se muestra en la FIGURA 2.1.5. Observe que f (2) no esti defi nido, aunque esto no tiene ninguna consecuencia cuando se considera Ifm f(x) . A partir de la gnifica y de las tablas acompaiiantes,

x-+2

x -+ 2 - 1.9 1.99 1.999 x-+2 + 2. 1 2.01 2.001

f (x) 3.61000 3.96010 3.99600 f(x) 3.90000 3.99000 3.99900

observamos que cuando x se hace pr6xima a 2, f(x) puede hacerse arbitrariamente pr6xima a 4, y asf

IfmJ(x) = 4 x-+ 2

y

Es decir, Ifmf(x ) = 4. x--+2

U!!3MQ!'.' Un limite que no existe

La gnifica de la funci6n definida por partes

lex) = {x + 2, . - x + 10,

Ifm f(x ) = 4. x--+2+

x :5 5

x > 5

•

se muestra en la FI GURA 2.1.6. A partir de la gnifica y de las tablas acompafiantes, parece que cuando x se hace pr6xima a 5 a traves de numeros menores que 5, Ifm_ f (x ) = 7. Luego, cuando

x->5

X tiende a 5 a traves de numeros mayores que 5 parece que IfrR f(x) = 5. Pero puesto que x->5

lfmJ(x ) "* lim f(x) , x--+5 x-+5+

se concluye que Ifmf(x) no existe. x --+s

x -+5 - 4.9 4.99 4.999 x-+5 + 5.1 5.01 5.001

f(x ) 6.90000 6.99000 6.99900 f(x) 4.90000 4 .99000 4.99900

U!J§MQ!'W' Un limite que no existe

•

~ Recuerde que la funcion entero mayor 0 parte entera f(x ) = l x J se define como el mayor entero que es menor 0 igual que x. EI dominio de f es el conjunto de numeros reales (- 00, (0). A partir de la grMica en la FIGURA 2.1.7 vemos quef(n) esta definida para todo entero n; a pesar de ello, para cada entero n, Ifmf(x) no existe. Por ejemplo, cuando x tiende, por ejemplo, al

X~1I

numero 3, los dos Ifmites laterales existen pero sus valores son diferentes:

limJ(x) = 2 x--+3

mientras que IfmJ(x ) = 3. x--+ )

(8)

.,-t-+--o-.,-t-+--+-- x En general, para un entero n, - 2 -I 2 345

• IfmJ(x) = n - 1 X -+/l

mientras que Ifm f(x ) = n. X--+ll +

FIGURA 2.1.7 GnHica de la flln- .::tII3MQ!,4j Un limite par la derecha c ion en e l ejemplo 4

Y~, FIGURA 2.1.8 Grafica de la fllncion en el ejemplo 5

A partir de la FIGURA 2.1.8 debe resultar evidente que f(x ) = Vx -+ 0 cuando x -+ 0+, es decir,

lim Vx = O. x--+o+

Serfa incorrecto escribir Ifm Vx = 0 puesto que esta notaci6n implica la connotaci6n de que x--+o

los Ifmites por la izquierda y por la derecha existen y son iguales a O. En este caso Ifm. Vx x-+o

no existe puesto quef(x) = Vx no esta definida para x < O. •


Si x = a es una asintota vertical para la grafica de y = f(x), entonces lim f(x) nunca existe .r~a

porque los valores de la funci6n f(x) deben vol verse sin lfmite desde por 10 menos un lade de la recta x = a.

OOMQ!.I$ Un limite que no existe

Una asintota vertical siempre carresponde a una ruptura infinita en la grMica de la funci6n f. En la FIGURA 2.1.9 observamos que el eje y 0 x = 0 es una asintota vertical para la grMica de f (x) = I/ x. Las tab las

x~o- -0.1 -0.01 - 0.001 x~o+ 0.1 0.01 0.001

f(x) -10 -100 - 1000 f(x) 10 100 1000

y

f(x )

I y= -x

FIGURA 2.1.9 Griitlca de la funIlluestran claramente que los valores de la funci6n f(x) se vuelven sin limite en valor absoluto ci6n en el ejemplo 6

cuando se tiende a O. En otras palabras, f(x) no tiende a un numero real cuando x ~ 0- ni cuando x ~ 0 +. En consecuencia, ni el limite par la izquierda ni el limite par la derecha exis-ten cuando x tiende a O. Par tanto, es posible concluir que limf(x) no existe. •

x---tO

HiI3MQ!.Wj Un lilllite trigonometrico importante

Para caleular las funciones trigonometricas sen x, cos x, tan x, etc., es import ante darse cuenta de que la variable x es un numero real 0 un angulo medido en radianes. Con eso en mente, considere los valores numericos def(x) = (sen x)/ x cuando x ~ 0+ dados en la tabla siguiente.

x~O+ 0.1 0.01 0.001 0.0001

f(x) 0.99833416 0.99998333 0.99999983 0.99999999

Resulta facil ver que se cumplen los mismos resultados proporcionados en la tabla cuando .r ~ 0- . Debido a que sen x es una funci6n impar, para x > 0 y - x < 0, se tiene sen(- x) = - sen x y en consecuencia,

fe-x) = sene-x) = senx = f(x ). -x x

~""' y =----:x ::;:::::>1 ~x

- 7T 7T

COIllO puede verse en la FIGURA 2.1.10, f es una funci6n par. La tabla de valares numericos , asf FIGURA 2.1.10 Grafica de la fu n-

COIllO la grafica de f sugieren fuertemente el siguiente resultado: ci6n en el ejemplo 7

lim sen x = 1. x ..... o x

(9) •

EI limite en (9) es un resultado muy importante que se usara en 1a secci6n 3.4. Otro limite trigonometrico que se Ie pedira comprobar como ejercicio esta dado por

I' 1 - cos x 0 1m = . (10)

.\" ..... 0 X

Yea el problema 43 en los ejercicios 2.1. Debido a su importancia, tanto (9) como (l0) se demostraran en la secci6n 2.4 .

I Una forma indeterminada Se dice que el limite de un cociente f(x) / g(x), donde tanto el nu merador como el denominador tienden a 0 cuando x ~ a, tiene una forma indeterminada 0/ 0. EI limite (7) en el analisis inicial tenia esta forma indeterminada. Muchos limites importantes, como (9) y (10), y el limite

, f(x + h) - f(x) 11m 1 ' h ..... O 1

que constituye la columna vertebral del caleulo diferencial , tam bien tienen 1a forma indeterminada 0/ 0.


Y Ixl

Y=---x

------~------~x

- I

FIGURA 2.1.11 GnHica de la funcion en el ejemplo 8

,¥!@@!,W:. Una forma indeterminada

EI Ifmite 11m Ixll x tiene la forma indeterminada 010, pero, a diferenc ia de (7), (9) y (10), este x~o

Ifmite no existe. Para ver por que, analizaremos la grMica de la funcion f(x) = Ixll x. Para

x * 0, Ixl = {x, x > 00 y asf reconocemos a f como la funcion definida par partes -x, x <

f(x) = hl = {I, x -I,

x > O x < o. (1 I )

A partir de (II) y de la gnifica de f de la FIGURA 2.1.11 debe resultar evidente que los dos lfmites de j ; izquierdo y derecho, existen y

y

Debido a que estos lfmites laterales son diferentes, se conc\uye que Ifm Ixll x no existe. • x~o

lim NOTAS DESDE ELAULA x--)a Aunque las gnlficas y tablas de valores funcionales pueden ser convincentes para determinar si un limite existe 0 no, usted ciertamente esta enterado de que todas las calculadoras y computadoras funcionan solo con aproximaciones, y que las graficas pueden trazarse de manera inexacta. Un uso ciego de las calculadoras tambien puede conducir a una conclusion falsa. Por ejemplo, se sabe que lim sen(7Tlx) no existe, pero a partir de los val ores tabulares

x~o

::to. 1 ::to.OI

f(x) o o podrfa concluirse en forma natural que lil11 sen(7Tlx) = o. Por otra parte, puede demos-trarse que el limite x-'o

(12)

existe y es igual a ±. Yea el ejemplo 11 en la seccion 2.2. Con calculadora se obtiene

x--)O ::t o.OOOOI ::to.OOOOOI ::to.OOOOOOl

fex) 0.200000 0.000000 0.000000

El problema al calcular (I2) para toda x proxima a 0 es que en forma correspondiente,

W+4 esta muy proximo a 2. Cuando se restan dos numeros casi iguales en una calculadora, es posible que ocurra una perdida de cifras significativas debido al error par redondeo.

Ejercicios 2.1 Las respuestas de los prob lemas impares se leccionados com ienzan en la pagina RES-B.

= Fundamentos

En los problemas 1-14, trace la grMica de la funcion para encontrar el limite dado, 0 concluya que no existe.

1. lfm e3x + 2) 2. IfmCx2 - 1) x~2 X---72

3. Ifm(1 + 1) x ..... o x

5 ]' X2 - 1

. Im----X ..... 1 x-I

7 r Ix - 31 ' x~1x-3

6 1, X2 - 3x

• 1m x ..... o X

8 I, Ixl - x

• 1m x ..... o X

x 3

9. Ifm -x-.o x

10 1, X4 - 1

• 1111 ----x"'" 1 x 2 - 1

11. l~fex) donde fex) = {~; l' 3, ~ ~ ~ 12. Ifmfex) donde fex) = { x, 1 x < 2

x ..... 2 X + , x 2:: 2

13. Ifm fex) donde fCx) = h: -2x, ~ : ~ x ..... 2 l x 2 - 6x + 8, x > 2

lX2

14 .. Ifm f(x) dondef(x) = 2, ' ,--.0 Vx - 1,

x < 0 x = 0 x>O

En los problemas 15-18, use la gnifica dada para encontrar el valor de cada cantidad, 0 conc1uya que no existe.

a)f( l) b) Ifm f (x ) x ------+ I I

15. y

y = f(x)

• --+----i~+-_+-+- x

FIGU RA 2.1.12 Gnltica para el problema 15

17. Y • y = f (x)

-t--+---t--t-+-~x

FIGURA 2.1.14 Grafica para el problema 17

c) lim f(x ) d) lim f (x) .\"----71 - X ----71

16. y

~ x


18. Y

i-+-\-+-++-+~ x

FIGURA 2.1.15 GrMlca para el problema 18

En los problemas 19-28, cada Ifmite tiene el valor 0, pero alguna notacion es incorrecta. Si la notacion es incorrecta, escriba la dec1aracion correcta.

19. Ifm -Vx = 0 20. lim \YX = 0 x-->o

21. Ifm~ = 0 x--+I

22. Ifm Y.X+2 = 0 x--+ - 2+

23. IfmJxJ = 0 x-->o

24. Ifm l x J = 0 x--+~

25. Ifm senx = 0 26. Ifm COS- I x = 0 X--+7T x---+ l

28. Ifm lnx = 0 x--> l

En los problemas 29 y 30, use la gnifica dada para encontrar cada Ifmite, 0 concluya que no existe.

29. a) Ifm f(x) b) Ifm f(x) x ----7 - 4+ x ----7 - 2

c) Ifm f(x) d) lim f(x) .\ ---+0 x ---+l

e) Ifm f(x) f) Ifm f(x) x-,)-3 X---74-

~ y 1 1

I

i/ I ......... v 1\ I V x '

I V \ V

! I

FIGURA 2.1.16 Gratica para el problema 29


30. a) lim f(x) r ---+ - 5

b) 11m f(x) x--+ - 3

c) !fm f(x) d) lim f(x) x----7- 3' .\"----7- 3

e) Ifm f(x) f) Ifm f(x) x----tO X-7 1

y

........, I-I--I---

V- """- /C

V - 1 x

._-'--- ---

FIGURA 2.1.17 Gnitica para el problema 30

En los problemas 31 -34, trace una gr<ifica de la funcion f con las propiedades dadas.

31. f( - 1) = 3, f(O) = - I,f(l) = 0, Ifm f(x) no existe X---7 0

32. f(-2) = 3, Ifmf(x) = 2, Ifm f(x) = -1,f(1) = -2 X---70 X--+ O+

33. f(O) = 1, lim f(x) = 3, Ifm f(x) = 3,f(l) esta inde-X---7I - X---7] +

finido, f(3) = 0

34. f( -2) = 2,f(x) = I , -] :S X :S 1, lim f(x) = 1, lim f(x) no existe, f(2) = 3 x--> - I x-->I

= Problemas con calculadora/SAC

En los problemas 35-40, use una caIculadora 0 un SAC para obtener la gr<ifica de la funcion dada f sobre el intervalo [ -0.5, 0.5] . Use la grafica para conjeturar el valor de lim f (x), o conc1uya que el Ifmite no existe. x --> o

1 35. f(x) = cos

x

37. ((x) = 2 -~ . x

I 36. f(x) = x cos

x

9 38. f(x) = - [V9=X - v'9+X]

x

39. f(x) = e-2x

- 1 x

40. f(x) = In Ixl x

En los problemas 41-50, proceda como en los ejemplos 3, 6 y 7 y use una caIculadora para construir tablas de valores funcionales. Conjeture el valor de cada limite 0 conc1uya que no existe.

41 r 6Vx-6~ • x~1f x-I

43 I' I - cosx

· lin x--> o X

45. lim-xx--> o sen 3x

47. lim Vx - 2 x-->4 X - 4

49 I' X4 + X - 2

• x~1f x - I

42 I' Inx . lm-x--> I x - I

44 I' 1 - cosx

• 1m x-->o x 2

46 I' tanx .lm - -

x--> O X

r [6 6v'.X=2] 48. x~ x 2 - 9 - x 2 - 9

, x 3 + 8 50. hm --x--> - 2 X + 2

74 CAPITULO 2 Limite de ulla fUllcion

2.2 Teoremas sobre limites I Introduccion La intenci6n del amHisis informal en la secci6n 2.1 fue proporcionarle una comprensi6n intuitiva de cuando un lfmite existe 0 no. Sin embargo, no es aconsejable ni practico, en ninguna instancia, \legar a una conclusi6n respecto a la existencia de un limite con base en una grafica 0 tabla de val ores numericos. Debe ser posible evaluar un limite, 0 concluir su no existencia, de alguna forma mecanica. Los teoremas que se consideraran en esta secci6n establecen tales mecanismos. Las demostraciones de algunos de estos resultados se muestran en el apendice.

El primer teorema proporciona dos resultados basicos que se usaran en todo el analisis de esta secci6n .

Teorema 2.2.1 Dos limites fundamentales

i) lim c = c, donde c es una constante. X->£I

ii) lfmx = a .\'4 £1

Aunque ambas partes del teorema 2.2.1 requieren una demostraci6n formal, el teorema 2.2.1 ii) es casi tauto16gico cuando se plantea verbalmente:

• El limite de x cuando x tiende a 0 es o.

En el apendice se proporciona una demostraci6n del teorema 2.2.10.

U!!3f1!Q!'W, Usa del teorema 2.2.1

a) A partir del teorema 2.2.1i),

lim 10 = 10 x~2

b) A partir del teorema 2.2.l ii),

lim x = 2 x~2

y

y

lim 1T = 1T . .<->6

lim x = O. x->o •

El limite de una constante por una funci6n f es la constante por el limite de f cuando x tiende a un numero a.

Teorema 2.2.2 Limite de una funci6n multiplicada por una con stante

Si c es una constante, entonces

11m c f(x) = c lim f(x ). X----+ lI X411

Ahora es posible empezar a usar los teoremas combinados.

U!!3MQ!'*J Usa de los teoremas 2.2.1 y 2.2.2

A partir de los teoremas 2.2.1 ii) Y 2.2.2,

a) lim 5x = 5 lim x = 5 . 8 = 40 x->8 x-> 8

b) x!iIE2 (-~x) = -~x!iIE2X = (-~) . (-2) = 3. • El siguiente teorema es particularmente impOltante pOl'que constituye un medio para calcu

lar limites de manera algebraica.

Teorema 2.2.3 U mites de una suma, un producto y un cociente

Suponga que a es un numero real y que 11m f(x) y 11m g(x) existen. Si lim f(x) = L j Y 11m g(x) = L2 , entonces ,-'" x .... a x .... "

\ -4 (1

i) lfm [f(x) ± g(x) 1 = lfm f(x) + lfm g(x) = L j ± L 2, .\~ ({ x - >a x-+a

ii) lfm [f(x)g(x) 1 = (lfm f(x»)(lfm g(x») = L j L2, y .y -+n x-+a .r-+o

~ f(x)~~~/(x) L j

iii)!~ g(x) =ii;;g:D:5 L2

' L2 =F O. X -----+{/

El teorema 2.2.3 puede plantearse coloquialmente como

• Si ambos Hmites existen, entonces

i ) el limite de una suma es la suma de los lfmites , ii) el lfmite de un producto es el producto de los lfmites y

iii) el lfmite de un cociente es el cociente de los 11mites, en el supuesto que el lfmite del denominador no es cero.

Nota: Si todos los lfmites existen, entonces el teorema 2.2.3 tambien es valida para 11mites laterales; es decir, la notaci6n x ~ a en el teorema 2.2.3 puede sustituirse por x ~ a - 0 por x ~ a +. Ademas, el teorema 2.2.3 puede extenderse a diferencias, sumas, productos y cocientes que implican mas de dos funciones. Consulte el apendice para ver una demostraci6n del teorema 2.2.3.

l#!!J AA Mlg!,.1 Usa del tearema 2.2.3

Evalue 11m (lOx + 7). x-t S

Solucion Por los teoremas 2.2.1 y 2.2.2, sabemos que lfm 7 y lfm lOx existen. Por tanto, a . d 1 2 2 3·) x .... 5 x-->5 partir e teorema . . I ,

lfm (lOx + 7) = lfm lOx + lfm 7 x-+5 x -+5 x---+5

10 lfm x + lim 7 x---+5 x---+5

10·5 + 7 = 57. • I Limite de una potencia El teorema 2.2.3ii) puede usarse para calcular el lfmite de una potencia entera positiva de una funci6n. Por ejemplo, si lim f(x) = L , entonces por el teo-rema 2.2.3ii) con g (x) = f(x), x->a

Por el mismo razonamiento es posible aplicar el teorema 2.2.3ii) al caso general en que f(x)

es un factor n veces. Este resultado se plantea en el siguiente teorema.

Teorema 2.2.4 U mites de una potencia

Sean lfm f(x) = L Y n un entero positivo. Entonces X--HI

lfm [f(x) l" = [lfm f(x )]" = L" . x ----+u x-+a

Para el caso especial f(x) = x", el resultado proporcionado en el teorema 2.2.4 produce

lfmx" = a". x---+a

(l)

2.2 Tearemas sabre limites 75


U!!3MR!'.' Uso de (1) y el teorema 2.2.3

Evallte

a) Ifmx3

x~IO b) !fm~.

.\"->4 x 2

Solucion a) Por (1),

Ifm x3 = 103 = 1000. x~ I O

b) Por el teorema 2.2.1 y (1) sabemos que lim 5 5 y lim X2 16 "* O. En conse-cuencia, por el teorema 2.2.3iii), x-+4

lim 5 Ifm ~ - .<->4 - ~ - ~ x->4 X2 - !fm x 2 - 42 - 16·

x->4

'ii@!§Miij!.*j Uso del teorema 2.2.3

Evalue lim (x2 - 5x + 6).

x---+3

x ---+4

•

Solucion Debido a los teoremas 2.2.1, 2.2.2 Y (1), todos los limites existen. En consecuencia, por el teorema 2.2.3i),

Ifm (x 2 - 5x + 6) = Ifm x 2

- Ifm 5x + Ifm 6 = 32 - 5 . 3 + 6 = o.

x---+3 x---+3 x--+3 x--+3 • l'l3fMQ!.lij Uso de los teoremas 2.2.3 y 2.2.4

EvalUe Ifm (3x - 1) 10. x---+ I

Solucion Primero, por el teorema 2.2.3i) se observa que

Ifm (3x - 1) = lim 3x - Hm I = 2. x---+ l x---t l x---+ I

Luego, por el teorema 2.2.4 se concIuye que

lim(3x - 1)10 = [lim(3x - 1)]10 = 210 = 1024. x--+ I x--+ I •

I Limite de funciones polinomiales Algunos limites pueden evaluarse por sustituci6n directa. Para ca1cular ellimite de una funci6n polinomial general pueden usarse (1) y el teorema 2.2.3i). Si

es una funci6n polinomial, entonces

limf(x) = Hm(c x" + c X,, - I + ... + CIX + co) x---+a x---+a Il n- I

= limc"x" + Ifmcn _ Ixn

-1 + ... + Hm clx + Hmco

X-hi x--+a x--+a x--+a

= cna" + cn- Ia,, - I + ... + cia + co. +-f esta detin ida en x = a y este lim ite es j(a)

En otras palabras, para evaluar el Ifmite de una funci6n polinomial f cuando x tiende a un numero real a, s6lo es necesario evaluar la funci6n en x = a:

lim f(x) = f(a). (2) x---+a

Al revisar el ejempl0 5 observamos que lim f(x), donde f(x) = x2 - 5x + 6 esta dada por

f(3) = O. X-> 3

Debido a que una funci6n racional f es el cociente de dos polinomios p(x) y q(x), por (2) y por el teorema 2.2.3iii) se concluye que el lfmite de una funci6n racional f(x) = p(x)/ q(x) tambien puede encontrarse al evaluar f en x = a:

, ,p(x) pea) lun ((x) = lIm - = - . x->{/ · x->{/ q(x) q(a)

(3)

por supuesto, es necesario agregar a (3) el siempre importante requisito de que el Ifmite del denominador no sea cero; es decir, q(a) =1= O.

[:!II3M1ij! •• , Usa de (2) y (3)

' I' 3x - 4 Evalue 1m -0----

>--> - 1 8x- + 2x - 2

, f() 3x - 4 f' , . I d d " d'fi Solucion x = 2 es una unclOn raClOna , e mo 0 que Sl se I entl Ican 8x + 2x - 2

polinomios p(x) = 3x - 4 y q(x) = 8x2 + 2x - 2, entonces por (2)

lim p(x) = p(-I) = - 7 y x~-J

Puesto que q( -]) =1= 0, por (3) se concluye que

I' 3x - 4 1m

.H- I 8x2 + 2x - 2

pC-I)

q(-l)

lfm q(x)=q(-I)=4. X---7 - (

-7 4

los

• Usted no debe quedarse con la impresi6n de que siempre es posible encontrar el lfmite de

una funci6n al sustituir el numero a directamente en fa funci6n .

1:t!I3Mlij!.M:i Usa del tearema 2.2.3

E I ' I' x-I va ue 1m 2 ,--> 1 X + X - 2

Solucion En este lfmite la funci6n es racional, pero si en la funci6n sustituimos x = 1, se observa que ellfmite tiene la forma indeterminada 0/0. No obstante, si primero se simplifica, despues puede aplicarse el teorema 2.2.3iii):

I ' x - ] I ' x -lin = lin ,H I x2 + X - 2 x--> I (x - l )(x + 2)

= lfm - l-.1'-->1 x + 2

<- cancelar es valido en el Slipues(o que .r '* I

2.2 Teoremas sobre Ifmites 77

• Si un lilllilC de una fUllc ion rac ional lie ne In for illa indeler-Illinada % cuando x ~ a, cnlonces por el teorem3 dcl fac lor de l Cllgebra ,r - a dcbc ser lin fac tor tanto del nllillcrador CO IllO lfm 1 1

X---7 1

lfm(x + 2) 3' x---t l

• del denoillin ador. Estas c ~lIlti cla des se factorizan y se cancela e l factor x - (/ .

Algunas veces es posible afirmar a primera vista cufmdo no existe un limite .

Teorema 2.2.5 Un Ifmite que no existe

Sean lfmf(x) = L] =1= 0 Y Ifm g(x) = O. Entonces x -----t(/ X -HI

no existe.

I' f(x) 1m-

x-->a g(x)

DEMOSTRACION Se proporcionani una demostraci6n indirecta de este resultado, basada en el teorema 2.2.3. Suponga que Ifm f(x) = L, =1= 0 Y lim g(x) = 0, y tambien que lim (f(x) / g(x))

x~a X---7(/ x---ta existe y que es igual a ~. Entonces

L, = Ifmf(x) = lfm(g(X) J((X))), g(x) =1= 0, x-->a x-->a g X

= (lfm g(x)) (lfm f((X))) = 0 . L2 = O. X---t{/ x---tQ g X

EI teorema se ha demostrado por contradicci6n de la hip6tesis LI =1= O. •

78 CAPiTULO 2 Limite de una funci6n

I=!!JijM4!'.' Uso de los teoremas 2.2.3 y 2.2.5

Evalue

a) Ifm - xx->5X - 5

Xl - lOx - 25 b) Ifm "-----,2,-----::....::..:..:c--=

x->5 X - 4x - 5 , x - 5

c) hm 1 . x->5X - lOx + 25

Solucion Cada funcion en los tres incisos del ejemplo es racional. a) Puesto que el Ifmite del denominador x es 5, pero el limite del denominador x - 5

es 0, concluimos del teorema 2.2.5 que el Ifmite no existe. b) Al sustituir x = 5, tanto el denominador como el numerador se hacen iguales a 0, de

modo que el Ifmite tiene la forma indeterminada 0/0. POl' el teorema del factor del algebra, x - 5 es un factor tanto del numerador como del denominador. Asi,

x 2 - lOx - 25 , (x - 5f lim 2 = hm +- se cancela cl f' lctm .f - :;

x->5 X - 4x - 5 x->5 (x - 5)(x + 1)

I' x - 5 = 1m-

x->5 X + I

o ---0 - 6 - . +- e l lim ile exis le

c) De nuevo, el limite tiene la forma indeterminada 0/0. Despues de factorizar el denominador y cancelar los factOl'es, poria manipulacion algebraic a

lim x - 5 = lim x - 5 x->5 x2 - lOx + 25 x->5 (x - 5f

r 1 = xll,~ x - 5

se ve que el limite no existe puesto que el Ifmite del numerador en la ultima ex presion ahora es 1, pero el limite del denominador es O. •

I Limite de una raiz EI limite de la raiz n-esima de una funcion es la raiz n-esima del Ifmite siempre que el limite exista y tenga una raiz n-esima real. El siguiente teorema resume este hecho.

Teorema 2.2.6 Limite de una raiz

Sean lim f(x) = L y n un entero positivo. Entonces x-+a

I ' '"~f'() \11' f'() ,1lr;L lin V t(x) = 1m x = V L, X--hl' X-+l1'

en el supuesto que L 2: 0 cuando n es par.

Un caso especial inmediato del teorema 2.2.6 es

(4)

en el supuesto que a 2: 0 cuando n es par. Por ejemplo, IfmvX = [limx] I/2 = 9 1/ 2 = 3.

x->9 x->9

1=!!13~@! •• ['1 Uso de (4) y del teorema 2.2.3

E I ' I' x - VX va ue 1m 2 10' x--> -2 X +

Solucion Puesto que lim (2x + 10) = -6 =1= 0, pOI' el teorema 2.2.3iii) y (4) observamos x---+-8

que

x - vx lim

x->-82x + 10

x!!,IEsx - [x!!'IEsXf /3

lim (2x + 10) x-+-8

- 8 - (_8)1/3

-6 -6 -6 l. •

Cuando el limite de una funcion algebraic a que implica radicales tiene la forma indeterminada 0/0, algo que puede intentarse es racionalizar el numerador 0 el denominador.

IEMIQ«--" Racionalizaci6n de un numerador

I ' I' ~-2 Eva Lie 1m . .1'-->0 x2

Solucion Puesto que lim V x2 + 4 = Vlfm(x2 + 4) = 2 por inspeccion vemos que ellfmite x----t O .\---7 0

dado tiene la forma indeterminada 0/ 0. Sin embargo, al racionali zar el numerador obtenemos

I' \.1?"+4 - 2 I' ~ - 2 ~ + 2 1m =lm . x-->O x 2

x-->O x 2 V X" + 4 + 2

(x2 + 4) - 4 = Ifm - -'----====--

x-->o X2(VX2 + 4 + 2) o x-

= lim - --=== --H O X2(~ + 2)

I' 1 = 1m . x--> o ~ + 2

Ahora ya es posible que apliql1emos los teoremas 2.2.3 y 2.2.6:

I' \.1?"+4 - 2 I' 1 1m = 1m x-->o x 2 x-->o \.1?"+4 + 2

Ifml X---70

Vlfm(x2 + 4) + Ifm2 x--+O X---7 0

+- se cancelan las .r

+- el limite ya 11 0 es 0/ 0

• En caso de que alguien se pregunte si puede haber mas de un !fmite de una funcion f(x)

cLiando x ~ a, para que quede registro se plantea el ultimo teorema.

Teorema 2.2.7 Existencia implica unicidad

Si Ifmf(x) existe, entonces es unico. X~ (j

lim NOTAS DESDE EL AULA x~a .. ... ........... ...... ... ........ .... ............. .. .. ... ...... .................. .. .... .. ... ..... ......... ....... .. ... ........... .. ... .. ............................... .

En matematicas es tan importante saber 10 que un teorema 0 una definicion no dice, as! como saber 10 que dice.

i) La propiedad i) del teorema 2.2.3 no dice que ellfmite de una suma siempre es la suma de los Ifmites. Por ejemplo, lfm (1 / x) no existe, de modo qLle

X-4 0

I' rill-+- I' 1 I' 1 1m - - - -r- Im- - Im - . x-->O X X x-->o X x-->o X

A pesar de ello, puesto que 1/ x - 1/ x = ° para x *" 0, el lfmite de la diferencia existe.

lfm[1. - 1.] = lim ° = 0. x-->o X X x-->o

ii) En forma semejante, ellimite de un producto pl1ede existir y no obstante no ser igual al producto de los Ifmites. Por ejemplo, x/ x = 1, para x *" 0, y as!

Ifm (x . 1.) = Ifm 1 = 1 .1'-->0 X x-->O

pero lim (x . 1.) *" (!fm x) (lfm 1.) x-->o X x-->o x-->o X

puesto que Ifm (1/ x) no existe. X-40

2.2 Tearemas sabre Ifmites 79

.... 1:: 11 la sccc i6n "'Nolas cl esde e l aul a". al fin al e1e la seccillil 1. 1. vi III os cs le Iimile e ll la cC l.lClcill ll ( 11)

80 CAPITULO 2 LIm ite de una funci6n

iii) EI teorema 2.2.5 no afirma que el Ifmite de un cociente no existe cuando el lImite del denominador es cero. EI ejemplo 8 es un contraejemplo de esa interpretaci6n . No obstante, el teorema 2.2.5 establece que el !fmite de un cociente no existe cuando el lfmite del denominador es cero y el lImite del numerador no es cero.

Ejercicios 2.2 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-S.

= Fundamentos

En los problemas 1-52, encuentre el limite dado, 0 concluya que no existe.

1. lim 15 .. ->-4

3. Ilm(-4)x x~3

5. !fm x2

x--+ -2

7. Ifm(x3 - 4x + 1) x......,. - I

9 I' 2x + 4

.lm--.. ->2 X - 7

11. Hm(3t - 1)(5t2 + 2) ,-> 1

13 I' S2 - 21

· 1m s->7 S + 2

15. !fm (x + x 2 + X 3)1 3S x--+- I

17. lfmY2x - 5 x--+6

19 I ' Vi · 1m

H I t 2 + t - 2

21.

23.

yZ - 25 Ifm--

y ..... - 5 y + 5

x3 - 1 lim--....... 1 x- I

(x - 2)(x + 5) 25. lfm-----

.H IO (x - 8)

, x 3 + 3x2 - lOx 27. 11m ~-~---=---=-=.:.:.

x ..... 2 X - 2

29 I' t3 - 2t + 1

• UTI H I t 3 + t 2 - 2

, (x + 2)(xS - 1)3

31. lim-- ---x--+O + (\IX + 4)2

33. lfm [ x2 + 3x - 1 + l] x->o X x

2. lfmcos 11' x ..... o

4. lfm(3x - 9) .1:-+2

6. lfn} (-x 3)

x-+)

8. lfm( - 5x 2 + 6x + 8) x ..... 6

10 [' x + 5 .Im - -x ..... o 3x

12. lfm Ct + 4? ' ..... - 2

14 I' X2 - 6x

. 1m x ..... 6 x 2 - 7x + 6

(3x - 4tO

16. Ifm ....... 2 (x 2 _ 2)36

18. !fm(1 + -Vx) x"'" 8

20. Ifmx2Yx2 + 5x + 2 x ..... 2

u2 - 5u - 24 22. Ifm ---....,.--

u->8 U - 8

24 I' t3 + 1

. Im - - -' ..... - lt 2 - 1

26.

28.

lim _2x_+_6_ x ..... -3 4x2 - 36

2X2 + 3x - 9 !fm---,....--::--

x"'" 1.5 X - l.5

32. lim xY.X+4 --Vx - 6 x-> - 2

34. Ifm [-1 _ 6 ] x ..... 2 X - 2 x2 + 2x - 8

, (x + 3)2 35. Inn.,;--;:

x"'" 3 V X - 3

37. Ifm) lOx x-> IO 2x + 5

39. Ifm)-h (h2 - 16)2 lH4 h + 5 h - 4

40. IfmCt + 2)3/2(2t + 4)1 /3 ' ..... 2

41.

43.

45.

lim -yiX 3 - 64x .. ->0- x 2 + 2x

Hm(at 2 - bt)2 ' ..... 1

, (8 + h)2 - 64 Iim - ----11 ..... 0 h

47. lfm ..!..(_l_ -..!..) 11 ..... 0 h x + h x

48. lim Vx+h - \IX 11 ..... 0 h

I' Vi - 1

49. ,!:!R t - 1

51 I, v'25+V - 5

· 1m,~ v ..... o vi + v-I

42. lim (8X + l)5 x-+ I+ x

44. Hm Y'U-=-2X-=2-+-2-x-u- +-

x---+- I

46. 11m -hi [(l + h)3 - 1] 11 ..... 0

(x> 0)

50 I' Vu+4 - 3

• u~ u - 5

52 I, 4 - Vx+15

. 1m x-> I x 2 - 1

En los problemas 53-60, suponga que lim f (x) = 4 y lim g(x) x~a X-HI

= 2. Encuentre el limite dado, 0 concluya que no existe.

53. lim[5f(x) + 6g(x)] 54. Hm [f(x)] 3

x---+a x---+a

55 I, 1

· 1m-x ..... " g(X)

57 I' f(x) · x'.!:}'f(x) - 2g(x)

59. lim xf(x)g(x) x ..... a = Piense en ello

56. lim)-f(X) x->a g(x)

, [f(x) ] 2 - 4 [g(X)] 2 58. lim--'--------='---

x--+a f(x) - 2g(x)

60. .~~ Xf~~ : :(X)' a 0/= -~

En los problemas 61 y 62, use el primer resultado para encontrar los lfmites en los incisos a)-c). Justifique cada paso de su trabajo citando la propiedad id6nea de los limites.

61. , x lOO - 1

lim = 100 x"'" I x-I

x lOO - 1 a) Ifm 2 b)

x ..... I x-I

62. lim senx = 1 x ..... o x

) I, 2x

a nTI-x ..... o sen x

, x50 - 1 lim '-----'x ..... I x-I

, (x IOO _ 1)2 c) 11m -'---- -

x ..... 1 (x - 1)2

c) lim 8x2

- sen x x ..... o x

63 U I, senx 1 I' 0 · se 1m -- = , para mostrar que 1m sen x = . x ..... o X x ..... o

" 2f(x) - 5 64. SI lim 3 = 4, encuentre limf(x) .

x->2 x + x ..... 2

2.3 Continuidad I Introduccion En el amilisis de la seccion 1.1 sobre funciones y grMicas se uso la frase "estos puntos se unen con una curva suave". Esta frase invoca la imagen que es una curva continua agradable; en otras palabras, una curva sin rupturas, saltos 0 huecos. En efecto, una funcion continua a menudo se describe como una cuya grafica puede trazarse sin levantar el lapiz del pape!.

En la seccion 2.2 vimos que el valor funcional f(a) no desempenaba ningun papel en la determinacion de la existencia de lim f(x). Pero en la seccion 2.2 observamos que los limites cuando x -+ a de funciones polinoU;"Gtles y ciertas funciones racionales pueden encontrarse simplemente al evaluar la funcion en x = a. La razon por la que puede hacerse 10 anterior en algunas instancias es el hecho de que la funcion es continua en un numero a. En esta seccion veremos que tanto el valor de f(a) como ellfmite de f cuando x tiende a un numero a desempenan papeles primordiales al definir el concepto de continuidad. Antes de proporcionar la definici6n, en la FIGURA 2.3.1 se ilustran algunos ejemplos intuitivos de funciones que no son continuas en a.

)'

+-- .... a--~x I I

a) I fm f(x) no existe x--+ o

y f(a) no esta definida

y

-t---+---~x

a

b) Ifm f(x) no ex iste x --+ a pero f(a) esta definida

FIG URA 2.3.1 Cuatro ejemplos de f no continua en a

y

-I----t--_x a

c) lim f(x) existe X--+(l

pero f(a) no est!l definida

y

• -I----+--~x

a

d) lfm f(x) existe, X--+(l

f(a) esta definida, pero lfm f(x) "* f(a)

x--+a

I Continuidad en un numero La figura 2.3.1 sugiere la siguiente condicion tripartita de continuidad de una funcion f en un numero a.

Definicion 2.3.1 Continuidad en a

Se dice que una funcion f es continua en un numero a si

i) f(a) esta definido, ii) lfm f(x) existe y iii) Hm f(x) = f(a). x----+a x--+a

Si alguna de las condiciones en la definicion 2.3.1 no se cumple, entonces se dice que f es dis continua en el numero a .

• i@HhM4!.M. Tres funciones

Determine si cada una de las siguientes funciones es continua en 1.

x 3 - 1 a) f(x) = ~

Solucion

lx3 - 1

b) g(x) = x - I' 2,

x =1=

x= lx3 - 1

c) hex) = x-I' 3,

x =1=

x=

a) f es discontinua en 1 puesto que al sustituir x = 1 en la funcion se obtiene 0/ 0. Se afirma que f(l) no esta definida, de modo que se viola la primera condici6n de continuidad en la definicion 2.3.1.

b) Debido a que g esta definida en 1, es decir, g( 1) = 2, a continuacion se determina si

2.3 Continuidad 81

Hm g(x) existe. Por ... Recuerde de sus conocimientos x-> I de a lgebra que

x 3 - 1 (x - 1)(x2 + X + 1) 'b' b) lfm--1

= Hm 1 = Hm(x2 + x + 1) = 3 (1) a' - . = (a -x-+l X - x-+1 X - .1' ..... 1 (a2 + ab + b2

)


Y 5 •

2 FIGURA 2.3.3 Grafica de la funci6n en el ejemplo 2

concluimos que Ifm g(x) existe y es igual a 3. Puesto que este valor no es el mismo x~l

que g(l) = 2, se viola la segunda condicion de la definicion 2.3.1. La funcion g es discontinua en I.

e) Primero, hO) esta definida; en este caso, h(1) = 3. Segundo, Ifm hex) = 3 por (1)

del inciso b). Tercero, se tiene Ifm hex) = hO) = 3. Por tanto~-'~e cumplen las tres .\"--+1

condiciones en la definicion 2.3.1 y as! la funcion h es continua en 1. Las grc'ificas de las tres funciones se comparan en la FIGURA 2.3.2.

y y = f(x)

y y = g(x)

y y=h(x)

3 3 /

2

-t-+--+--t---t+-x -t-+--+--t---t+-x -t-+---t--t---t+- x

~ ~ FIGURA 2.3.2 Graficas de las funciones en el ejemplo I

'ii@!#@!.Wl Funci6n definida par partes

Determine si la funcion definida por partes es continua en 2.

(

X2

f(x) = 5,' -x + 6,

x < 2

x = 2 x> 2.

Solucion Primero, observe que f(2) esta definida y es igual a 5. Luego, por

IfmJ(x) = lfm_ x 2 = 4 ) Xr2 f( ) - Xr2 ( + 6) _ 4 implica lfmf(x) = 4 x2.rr+ x - x2.~ -x - x-->2

c)

•

observamos que el Ifmite de f existe cuando x ---+ 2. Por ultimo, debido a que Ifm f(x) "* x------+2

f(2) = 5, por iii) de la definicion 2.3.1 se concluye que f es discontinua en 2. La grc'ifica de f se muestra en la FIGURA 2.3.3. •

I Continuidad sobre un intervalo A continuacion veremos que el concepto de continuidad en un numero a se extiende a continuidad sobre un intervalo.

Definicion 2.3.2 Continuidad sobre un intervalo

Una funcion f es continua

i) sobre un intervalo abierto (a, b) si es continua en todo numero en el intervalo; y

ii) sobre un intervalo cerrado [a, b] si es continua en (a, b) y, ademas,

Ifm f(x) = f(a) X-70T

y Ifm f(x) = feb). x--+b-

Si se cumple la condicion Ifmite por la derecha Ifm f(x) = f(a) dada por ii) de la defi-x--+a+

nicion 2.3.1, se dice que f es continua por la derecha en a; si Ifm f(x) = feb), entonces f x----+b-

es continua por la izquierda en b. Extensiones de estos conceptos a intervalos como [a, b), (a, b], (a, 00), ( -00, b),

(-00, 00), [a, 00) y (-00, b] se hacen como se espera. Por ejemplo, f es continua en [1, 5) si es continua en el intervalo abierto (1, 5) y es continua por la derecha en l.

mxt1MIQ!,.' Cantin uidad sabre un intervala

a ) Como observamos en la FIGURA 2.3.4a ), f(x) = I/~ es continua sobre el intervalo abierto (- 1, 1) pero no es continua sobre el intervalo cerrado [- 1, I], ya que ni f( - 1) ni f(1 ) estlin definidos.

b) f(x) = ~ es continua sobre [-I, I ]. Observe por la fi gura 2.3.4b) que

lim f(x ) = f(-I) = ° y Ifm...f(x) = f(l) = 0. x -----"7 - I+ X-----"71

c) f(x ) = -v:x=-T es continua sobre el intervalo no acotado [ 1, (0), ya que

limf(x) = Ylim(x - I ) = v"Cl=l = f(a ), x---+a x ---+a

para cualquier numero real a que cumpla a > I, Y f es continua por la derecha en 1 puesto que

lim -v:x=-T = f(1) = 0. x-t [ +

2.3 Continuidad 83

y

I , I

\'=~

-": ~ 1- x 2

-+--+--1---+- x - I

a)

~' ~ v='o'l - x ·

x - I I

b)

Yea 1a figura 2.3.4c) . • y y = ~x - I

Una revisi6n de las gnificas en las figuras 1.4.1 y 1.4.2 muestra que y = sen x y y = cos x son continuas en (- 00, (0). Las figuras 1.4.3 y 1.4.5 muestran que y = tan x y y = sec x son discontinuas en x = (2 n + 1) 7T 12, n = 0, ± 1, ± 2, ... , mientras las figuras 1.4.4 y 1.4.6 muestran que y = cot x y y = csc x son discontinuas en x = n7T, n = 0, ± 1, ± 2, . .. Las funciones trigonometricas inversas y = sen - I x y Y = cos - I x son continuas sobre el intervalo cerrado [ - 1, IJ. Yea las figuras 1.5.9 y 1.5.12. La funci6n exponencial natural y = eX

es continua sobre el intervalo (-00, (0), mientras que la funci6n logaritmo natural y = In x es continua sobre (0, (0). Yea las figuras 1.6.5 y 1.6.6.

I Continuidad de una suma, producto y cociente Cuando dos funciones f y g son continuas en un numero a, entonces la combinaci6n de las funciones formadas por suma, multiplicaci6n y divisi6n tam bien es continua en a. En el caso de la divisi6n fl g es necesario, por supuesto, requerir que g(a) '* 0.

Teorema 2.3.1 Continuidad de una suma, un productoy un cociente

Si las funciones f y g son continuas en un mimero a, entonces la sumaf + g, el producto fg y e1 cociente fig (g(a) '* 0) son continuos en x = a.

DEMOSTRACION DE LA CONTINUIDAD DEL PRODUCTO Ig Como una consecuencia de la hip6-tesis de que las funciones f y g son continuas en un numero a, podemos decir que ambas funciones estan definidas en x = a, los limites de las dos funciones existen cuando x tiende a a y

limf(x) = f(a) y lfmg(x) = g(a). X----'1'(1 X ----'?(f

Debido a que e1 lfmite existe, sabemos que ellfmite de un producto es el producto de los lfmites:

1~(f(x)g(x» = O~f(x»)O~g(x») = f(a)g(a) .

Las demostraciones de las partes restantes del teorema 2.3.1 se obtienen de manera semejante . •

Puesto que 1a definici6n 2.3.1 implica que f(x) = x es continua en cualquier numero real x, a partir de aplicaciones sucesivas del teorema 2.3.1 se observa que las funciones x , x2

, x 3, . • • , x" tambien son continuas para cualquier x en el intervalo (-00, (0). Debido a

que una funci6n polinomial es justo una suma de potencias de x, otra aplicaci6n del teorema 2.3.1 muestra 10 siguiente:

• Una funci6n po1inomial f es continua en (-00, (0).

Se dice que las funciones, como las polinomia1es, el seno y el coseno, que son continuas para todos los numeros reales, es decir, sobre el intervalo (-00, (0), son continuas en todas partes. De una funci6n que es continua en todas partes tambien se dice que es continua. Luego,

-+--+----~x

c)

FIGURA 2.3.4 Graticas de las funciones en el ejemplo 3


y

--+-1----1--1--+* x

- I

FIGURA 2.3.5 Discontinuidad tipo saito en x = 0

~_ X2- 1

y - x -I I

x I

a) No es continua en 1

~2 x -I

y= {~' I 2,

x I

b) Continua en I

x = 1

FIGURA 2.3.6 Discontinuidad removible en x = I

si p(x) y q(x) son funciones polinomiales, por el teorema 2.3 .1 tambien se concluye directamente que

• Una funcion racional f(x) = p(x)/ q(x) es continua excepto en numeros en los que el denominador q(x) es cero.

I Terminologia Una discontinuidad de una funcion f a menudo se denomina de manera especial.

• Si x = a es una aSlntota vertical para la gnifica de y = f(x), entonces se dice que f tiene una discontinuidad infinita en a.

La figura 2.3.1a) ilustra una funcion con una discontinuidad infinita en a.

• Si !fm f(x) = L] Y !fm f(x) = L2 y L] =1= ~, entonces se dice que f tiene una dis-x~a - x~a+

continuidad finita 0 una discontinuidad de tipo saIto en a.

La funcion y = f(x) dada en la FIGURA 2.3.5 tiene una discontinuidad de tipo saIto en 0, puesto que !fm f(x) = -1 Y !fm f(x) = 1. La funcion entero mayor f(x) = l x J tiene una disconti-

X~O- X--+O+

nuidad de tipo saIto en todo valor entero de x.

• Si!fm f(x) existe pero f no esta definida en x = a 0 f(a) =1= Ifm f(x) , entonces se dice x --+a x---ta

que f tiene una discontinuidad removible en a.

Por ejemplo, la funcion f(x) = (x2 - 1)/ (x - 1) no esta definida en x = 1 pero lim f(x) = 2.

x--+I Al definir f(1) = 2, la nueva funcion

lx2 - 1

f(x) = x - I ' 2,

x =1=

x =

es continua en todas partes. Yea la FIGURA 2.3.6.

I Continuidad de f -1 La validez del siguiente teorema se concluye del hecho de que la grafica de la funcion inversa f - ] es una reflex ion de la grafica de f en la recta y = x.

Teorema 2.3.2 Continuidad de una funcion inversa

Si f es una funcion continua uno a uno sobre un intervalo [a, b], entonces f- l es continua ya sea sobre [f(a),J(b)] 0 sobre [f(b),J(a)].

La funcion seno,j(x) = sen x, es continua sobre [- n/ 2, 7T/ 2], y como ya se observo, la

inversa de f, y = sen -] x, es continua sobre el intervalo ceO'ado [f( - 7T / 2),J( 7T / 2)] = [-1, 1] .

I limite de una funci6n compuesta EI siguiente teorema establece que si una funcion es continua, entonces el limite de esa funcion es la funcion del limite. La demostracion del teorema 2.3.3 se proporciona en el apendice.

Teorema 2.3.3 Limite de una funcion compuesta

Si !fm g(x) = L y f es continua en L, entonces x --+a

l.~f(g(x)) = fU~g(x)) = f(L).

EI teorema 2.3.3 es util en la demostracion de otros teoremas. Si la funcion g es continua en a y f es continua en g(a), entonces vemos que

lim f (g (x )) = f(lfmg (x)) = f(g(a)) . x ------'>' (( x---+a

Acabamos de demostrar que la composicion de dos funciones continuas es continua.

Teorema 2.3.4 Continuidad de una funcion compuesta

Si g es continua en un numero a y f es continua en g(a) , entonces la funcion compuesta (f 0 g)(x) = f(g(x)) es continua en a.

f:!IiMiQl •• , Continu idad de una func i6n compuesta

f (x) = Vx es continua sobre el intervalo [0, (0) y g(x) = x2 + 2 es continua sobre (-00, (0) . Pero, puesto que g(x) ~ 0 para toda x, la funcion compuesta

(f 0 g)(x) = f(g(x)) = v'?"+2 es continua en todas partes. •

Si una funcion f es continua sobre un intervalo cerrado [a, b], entonces, como se ilustra en la FIGURA 2.3.7, f asume todos los valores entre f(a) y feb) . Dicho de otra manera, una funci6n continua f no omite ningun valor.

Teorema 2.3.5 Teorema del valor intermedio

Si f denota una funcion continua sobre un intervalo cerrado [a, b] para el cual f(a) * feb), y si N es cualquier numero entre f(a) y feb), entonces existe por 10 menos un numero c entre a y b tal quef(c) = N.

UII3MQ«.4j Consecuenc ia de la continu idad

La funcion polinomial f(x) = x 2 - X - 5 es continua sobre el intervalo [- I, 4] y f (-1) = -3,

f(4 ) = 7. Para cualquier numero N para el eual -3 :s; N :S; 7, el teorema 2.3.5 garantiza que hay una solueion para la eeuaeion f(c) = N, es deeir, c2

- c - 5 = N en [-1,4]. Especifieamente, si se eseoge N = 1, entonees c2

- c - 5 = 1 es equivalente a

o bien, (c - 3)(c + 2) = o. Aunque la ultima eeuaeion tiene dos solueiones, solo el valor c = 3 esta entre - 1 y 4. •

El ejemplo anterior sugiere un eorolario al teorema del valor intermedio.

• Si f satisfaee las hip6tesis del teorema 2.3 .5 y f(a) y feb) tienen signos algebraieos opuestos, entonees existe un numero x entre a y b para el que f(x) = O.

Este heeho se usa a menudo para localizar eeros reales de una funcion continua f Si los valores f(a) y feb) tienen signos opuestos, entonees al identificar N = 0 podemos afirmar que hay por 10 menos un numero c en (a, b) para el cual f(c) = O. En otras palabras, si f(a) > O,f(b) < 0 0 f(a) < 0, feb) > 0, entonces f(x) tiene por 10 menos un cero c en el intervalo (a, b) . La validez de esta conclusi6n se ilustra en la FIGURA 2.3.8.

'1 y = f (x)

y

, y = f(x ) ,

: feb) > 0 f(a) > 0 " b ,

x x b

a , f(a) < 0 , . I ' feb) < 0

a) Un cera c en (a , b) b) Tres ceros en c1' c2' c3 en (a , b)

FIGURA 2.3.8 Localizaci6n de ceros de funciones usando el teorema del valor intermedio

Y

feb)

j\j

f(a)

2.3 Continuidad 85

, -,--

t I

, t

, , ~

, , a c b

FIGURA 2.3.7 Una funci6n continua f asume todos los val ores entre f (a) y f eb)

x


d P lllliO med io es una aproxirnacitm

I.:cro de I ' 11 l:Cf(l

• I ~ x aC ini b

FIGURA 2.3.9 El numero 11l, es una aproximaci6n al numero c

y

-+-~+--++--++-x 2

FIGURA 2.3.10 Grafica de la funci6n en el ejemplo 6

Si se clesea que la aproximacion ~

sea precisa hasta ' res cifras

clec imalcs. continu<lmos hasta

que c l error se vuelva menor

que 0.0005. Y <lsi suces iv<llllente.

I Metoda de bisecci6n Como una consecuencia directa del teorema del valor intermedio, es posible concebir un medio para aproximar los ceros de una funci6n continua hasta cualquier grado de precisi6n. Suponga que y = f(x) es continua sobre el intervalo cerrado [a , b] tal que f(a) y feb) tienen signos algebraicos opuestos. Luego, como acabamos de vel', f tiene un cero en [a, b] . Suponga que el interval0 [a, b] se biseca encontrando el punto medio 1111 = (a + b)/ 2. Si f(l11l) = 0, entonces 1111 es un cero de f y ya no se continua, pero si f(l11l) *" 0, entonces puede afirmarse 10 siguiente:

• Si f(a) y f(l11l) tienen signos algebraicos opuestos, entonces f tiene un cero c en [a, I11d . • Si f(l11l) Y f(b) tienen signos algebraicos opuestos, entonces f tiene un cero c en [111 I , b].

Es decir, si f(l11l) *" 0, entonces f tiene un cero en un interval0 que mide la mitad del interval0 original. Yea la FIGURA 2.3.9. A continuaci6n se repite el proceso al bisecar este nuevo interval0 aJ encontrar su punto medio 1112. Si 1112 es un cero de f, entonces detenemos el proceso, pero si f(1112) *" 0, hemos 10calizado un cero en un intervalo que mide la cuarta parte del intervalo [a , b]. Continuamos este proceso de localizar un cero en f de manera indefinida en intervalos cada vez mas cortos. Este metoda de aproximar un cero de una funci6n continua por medio de una sucesi6n de puntos medios se denomina metodo de biseccion. Al volver a inspeccionar la figura 2.3.9 se observa que el error en una aproximaci6n a un cero en un intervalo es men os de la mitad de la longitud del intervalo.

1::t!i#MQ!.la Ceros de una funci6n polinomial

a) Demuestre que los ceros de la funci6n polinomial f(x) = x 6 - 3x - 1 tiene un cero

real en [-1,0] Y en [1 , 2]. b) Aproxime el cero en [1, 2] basta dos cifras decimales.

Soluci6n a) Observe que f( - 1) = 3 > 0 y f(O) = -1 < O. Este cambio de signo indica que la

gnifica de f debe cruzar el eje x por 10 menos una vez en el intervalo [ - 1, 0]. En otras palabras, hay por 10 menos un cero en [- 1, 0] .

De manera semejante, f(l) = - 3 < 0 y f(2) = 57 > 0 implican que hay por 10 menos un cero de f en el interval0 [1, 2].

b) Una primera aproximaci6n al cero en [1, 2] es el punto medio del intervalo:

1 + 2 3 1 111 [ = -2- = 2 = 1.5, error < 2(2 - 1) = 0.5.

Luego, puesto que f(l11l) = f(~) > 0 Y f(1) < 0, se sabe que el cero esta en el intervalo [1 , ~].

La segunda aproximaci6n al cero es el punto medio de [1 , ~]:

1 + ~ 5 1 (3 ) 1112 = 2 = 4" = 1.25, error < 2 2 - I = 0.25.

Puesto que f(1112) = fm < 0, el cero esta en el interval0 [t n La tercera aproximaci6n al cero es el punto medio de [~, n

~ + ~ 11 n13 = -2- = 8 = 1.375, 1 (3 5) error < 2 2 - 4" = 0.125.

Despues de ocbo calculos, encontramos que I11s = 1.300781 con error menor que 0.005 . Por tanto, 1.30 es una aproximaci6n al cero de f en [1, 2] que es precisa basta dos cifras decimales. La grafica de f se proporciona en la FIGURA 2.3.10. •

Ejercicios 2.3 Las respuestas de los prob lemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-S.

= Fundamentos

En los problemas 1-12, encuentre los mimeros, en caso de haberlos, en que la funci6n f dada es discontinua.

1. f(x) = x 3 - 4x2 + 7 2. f(x) = _ x_ x 2 + 4

x 2 - 1 3. f(x) = (x2 - 9x + 18) - 1 4. f(x) = -4-

x-I

x-I 5. f(x) = -2-

sen x 6. f"cx) = tanx

3 . x +

{x, x<O {'xI x*-O 7. f(x) = x 2

, 0:S:x < 2 8. f(x) = x'

x, x> 2 1, x=O r 25 x*-5 9. f(x) = x - 5 '

10, x = 5

1 x - I v'X - l ' x*-1

IO. f(x) = ~ x = 1

2'

ll. f(x) = 2 +\n x 2

12. f(x) = x x e - e

En los problemas 13-24, determine si la funci6n f es continua en el intervalo indicado.

13. f(x) = x 2 + 1

a) [ - 1, 4]

1 14. ((x) = -. x

a) (-00,00)

1 IS. f(x) = v'X

a) (0, 4]

16. f(x) = vx2 - 9

a) [-3,3]

17. f(x) = tan x

a) [0,1T]

18. f(x) = csc x

a) (0 ,1T)

19. f(x) = ~ x + 8

a) [-4, -3 ]

1 20. f(x) = Ixl - 4

a) ( - 00, - 1]

x 21. f(x) = 2

+ sec x

a) (-00,00)

1 22. f(x) = sen -

x

a) [1 / 1T, 00)

23. y

b) [5 ,00)

b) (0,00)

b) [1, 9]

b) [3,00)

b) [-1T/ 2, 1T/ 2]

b) (21T, 31T)

b) (-00,00)

b) [1,6]

b) [1T/ 2, 31T/2]

b) [- 2/ 1T, 2/ 1T]

FIGURA 2.3. 11 Gnltica para el problema 23

a) [-1,3] b) (2, 4]

2.3 Conti nu idad 87

FIGURA 2.3. 12 GrMica para el problema 24

a) [2, 4] b) [1,5]

En los problemas 25-28, encuentre los va10res de m y 11 de tal manera que la funci6n f sea continua.

25. f(x) = {m:, x,

x<4 x2:4

{

X2 - 4

26. f(x) = x - 2 ' m,

{

mx, 27. f(x) = 11,

-2x + 9,

{

mx - 11

28. f(x) = 5, ,

2mx + 11,

x*-2

x=2

x < 3 x=3 x > 3

x < l x = 1 x > 1

En los problemas 29 y 30, l x J denota el mayor entero que no ex cede a x. Trace una grMica para determinar los puntos en que la funci6n dada es discontinua.

29. f(x) = l2x - IJ 30. f(x) = lxJ - x

En los problemas 31 y 32, determine si la funci6n dada tiene una discontinuidad removible en el numero dado a. Si la discontinuidad es removible, defina una nueva funci6n que sea continua en a.

x-9 31. f(x) = ,r: ' a = 9

vx - 3

X4 - 1 32. f(x) = -?--, a = 1

r-1

En los problemas 33-42, use el teorema 2.3.3 para encontrar el limite dado.

33. lim sen(2x + 1T / 3) 34. limcosv'X X->7T/ 6 X~7Tl

35. lim sen (cos x) 36. lim (1 + cos(cos x» X- '>7T/ 2 X- '>7T/ 2

37. C2 - 1T 2) 38. lim tan( 2 1Tt ) lim cos 1- >7T t - 1T 1-+0 t + 3t

39. limVt - 1T + cos2 t 40. lim(4t + sen 2m? 1-'>7T 1 ..... 1

41. lim sen - { 2 X + 3 ) 42. lim eCos 3x x ..... -3 X + 4x + 3 X--+7T

En los problemas 43 y 44, determine el (los) intervalo(s) donde f og es continua.

43. f(x) = ~, g(x) = x + 4 x-I

5x 44. f(x) = x _ l ' g(x) = (x - 2)2

88 CAPITULO 2 LImite de L1na funcion

En los problemas 45-48, compruebe el teorema del valor intermedio para f en el intervalo dado. Encuentre un numero c en el intervalo para el valor indicado de N.

45. f(x) = x 2 - 2x, [1,5]; N = 8

46. f(x) = x 2 + X + 1, [-2, 3]; N = 6

47. f(x) = x 3 - 2x + 1, [-2,2]; N = 1

lO 48. f(x) = x 2 + l' [0, 1]; N = 8

49. Dado que f(x) = x 5 + 2x - 7, demuestre que hay un numero c tal que f(c) = 50.

50. Dado que f y g son continuas sobre [a, b] de modo que f(a) > g(a) y feb) < g(b), demuestre que hay un numero c en (a, b) tal que f(c) = g(c) . [Sugerencia: Considere la funcion f - g.]

En los problemas 51-54, muestre que la ecuacion dada tiene una solucion en el intervalo indicado.

51. 2x 7 = 1 - x, (0, 1)

x 2 + 1 X4 + 1 52. -- + -- = 0 (-3,4)

x+3 x-4 '

53. e- x = In x, (1,2)

54. senx

x 1 2'

(n/2, n)

= Problemas con calculadora/SAC En los problemas 55 y 56, use una calculadora 0 un SAC para obtener la gnifica de la funcion dada. Use el metodo de biseccion para aproximar, con precision de dos cifras decimales, los ceros reales de f que descubra a partir de la gn'ifica.

55. f(x) = 3xS - 5x3

- 1 56. f(x) = x 5 + x-I

57. Use el metodo de biseccion para aproximar el valor de c en el problema 49 hasta una precision de dos cifras decimales.

58. Use el metodo de biseccion para aproximar la solucion en el problema 51 hasta una precision de dos cifras decimales.

59. Use el metodo de biseccion para aproximar la solucion en el problema 52 hasta una precision de dos cifras decimales.

60. Suponga que un cilindro circular recto cerrado tiene un volumen V y un area superficial S (lado lateral, tapa y base).

a) Demuestre que el radio r del cilindro debe satisfacer la ecuacion 2n? - Sr + 2V = O.

b) Suponga que V= 3 000 pies3 y S = I 800 pies2. Use

una calculadora 0 un SAC para obtener la gr<ifica de

fer) = 2nr3 - I 800r + 6000.

e) Use la gr<ifica en el inciso b) y el metodo de biseccion para encontrar las dimensiones del cilindro correspondientes al volumen y area superficial dadas en el inciso b) . Use una precision de dos cifras decimales.

= Piense en ello

61. Dado que f y g son continuas en un numero a, demuestre que f + g es continua en a.

62. Dado que f y g son continuas en un numero a y g (a) -=F 0, demuestre que fl g es continua en a.

63. Sean f(x) = l x J la funcion entero mayor y g(x) = cos x. Determine los puntos en que fog es discontinua.

64. Considere las funciones

f(x) = Ixl y g(x) = {x + 1, x-I,

x<O x 2:: o.

Trace las graficas de fog y g 0 f Determine si fog y g 0 f son continuas en o.

65. Un c1asico matematico La funcion de Dirichlet

f(x) = {I, 0,

x racional x irracional

recibe su nombre en honor del mate matico aleman Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805-1859). A Dirichlet se debe la definicion de una funcion como se conoce actualmente.

a) Demuestre que f es discontinua en todo numero real a. En otras palabras, f no es una funci6n continua en ninguna parte.

b) L Como se ve la grafica de f? e) Si r es un numero racional positivo, demuestre que

f es r-periodica; es decir, f(x + r) = f(x).

2.4 Umites trigonometricos I Introducci6n En esta seccion se analizan Hmites que implican funciones trigonometricas. Como se ilustrara con los ejemplos de esta seccion, el calculo de Hmites trigonometricos supone manipulaciones algebraicas y conocimiento de algunas identidades trigonometric as basicas. Empezaremos con algunos resultados simples sobre Hmites que son consecuencia de la continuidad.

I Uso de la continuidad En la seccion precedente vimos que las funciones seno y coseno son continuas en todas partes. Por la definicion 2.3.1 se concluye que para cualquier numero real a,

lfm sen x = sen a, (1) X-7U

Hm cos x = cos a. (2) x ..... a

Ell forma semejante, para un numero a en el dominio de la funci 6n trigonometrica dada

Ifm tan x = tan a , lim cot.\' = cot a, (3) x-+t1 x-*a

lim secI' = sec a, Ifm csc x = csc a. (4) .r~a r - hl

HUMM'.' Uso de (1) y (2)

A partir de (I) Y (2) se tiene

Ifm sen x = sen 0 = 0 y lim cos x = cos 0 = I. . \,-+0 x---?o

(5) •

Los resultados en (5) se obtendran en el siguiente analisis sobre el caleulo de otras Ifmites trigonometricos. Pero primero se considera un teorema que reviste una utilidad particular cuando se trabaja con limites trigonometricos.

I Teorema de compresion El siguiente teorema posee muchos nombres, algunos de estos son: teorema de com presion, teorema del pellizco, teorema del emparedado, teorema del juego de compresion y teorema de Flyswatter. Como se muestra en la FIGURA 2.4.1, si la grafica de f(x) se "comprime" entre las graficas de otras dos funciones g(x) y hex) para toda x pr6xima a a, y si las funciones g y h tienen un limite comun L cuando x ~ a, tiene senti do afirmar que f tambien tiende a L cuando x ~ a. La demostraci6n del teorema 2.4.1 se proporciona en el apendice.

Teorema 2.4.1 Teorema de compresi6n

2.4 Umites trigonometricos 89

y

y = I (x)

,. = glr)

-+- ---'---"*x a

FIGURA 2.4.1 GrMica de f oprimida entre las gnificas de g y h

Suponga que!, g y h son funciones para las cuales g(x) :S f(x) :S hex) para toda x en un inter- <l1li Un colega ruso clijo que este

valo abierto que contiene a un numero a, excepto posiblemente al mismo a. Si resull aclo ,e cleno illi naba tcore-

lim g(x) = L y lim hex) = L, x-+a x~o

entonces Ifm f(x) = L. X-HI

Antes de aplicar el teorema 2.4.1 se considerara un limite trigonometrico que no existe.

1=!I3MM'.) Un limite que no existe

EI Ifmite llm sen(l/x) no existe. La funci6n f(x) X~O

La grMica oscila entre - 1 y 1 cuando x ~ 0:

1 sen- = ±l

x para

I 7T' - = - + n7T' x 2 '

sen(l/ x) es impar pero no es peri6dica.

n = 0, ± I, ±2, ...

Por ejemplo, sen(l/x) = 1 para n = 5000 x = 0.00064, y sen(l/x) = - 1 para n = 501 0

ma de los dos soldados cuando estaba en la escue la . Pie nsc Cll

c lio.

x = 0.00063. Esto significa que cerca del origen la grMica de f se vuelve tan comprimida que FIGURA 2.4.2 Gnifica de la

parece ser una mancha continua de color. Yea la FIGURA 2.4.2. • funci6n en el ejemplo 2

1::t!I3MM'.' Uso del teorema de compresi6n

Encuentre el limite limx2 sen 1. . x->o X

Solucion Primero observe que

lim x 2 sen 1. -=1= (lim x2)(lim sen 1.) x-> o X x->o x->o X

pOl'que en el ejemplo 2 acabamos de vel' que lim sen(l/ x) no existe. Pero para x -=1= 0 tenemos - I :S sen(l/ x) :S l. En consecuencia, X--*O


y

FIGURA 2.4.4 Gn\fica de f(x) =

(sen x) / x

Luego, si hacemos las identificaciones g(x) = - x 2 Y hex) = x 2, por (1) de la secci6n 2.2 se

sigue que Ifm g(x) = 0 y lim hex) = O. As!, por el teorema de compresi6n concluimos que x~o x~o

En la FIGURA 2.4.3 observe la pequena escala en los ejes x y y .

- 0.1

y 0.01

0.005

- 0.005

-0.01

? Y = - .c

FIGURA 2.4.3 Gnifica de la funci6n en el ejemplo 3

? 1 y = x-sen x

0.1

• I Un limite trigonometrico importante Aunque la funci6n f(x) = (sen x)/x no esta definida en x = 0, la tabla numerica en el ejemplo 7 de la secci6n 2.1 y la grMica en la FIGURA 2.4.4

sugieren que lim (sen x)/ x existe. Ahora ya es posible demostrar esta conjetura usando el teorema de compre~i6n.

Considere un cfrculo con centro en el origen 0 y radio 1. Como se muestra en la FIGURA

2.4.5a), sea la regi6n sombreada OPR un sector del cfrculo con angulo central t tal que o < t < 7T /2 . A partir de los incisos b ), c) y ri) de la figura 2.4.5 se observa que

area de t6.0PR :s area del sector OPR :s area de t6.0QR. (6)

Por la figura 2.4 .Sb), la altura de t6.0PR es OPsen t = 1 . sen t = sen t, yas!

1 - 1 1 area de t6.0PR = "2 OR . (altura) = "2 . 1 . sen t = "2 sen t. (7)

Por la figura 2.4.Sri), QR/ OR = tan to QR = tan t, de modo que

1- - 1 1 area det6.0QR = - OR ' QR = -·1 . tan t = -tan t

2 2 2' (8)

y Q

Q

+-----~J---~~x P

~ P

~ ~ o R o R o R

a) Circunferencia unitaria b) Triangu lo OPR c) Sector OPR d) Triangulo rectangu lo OQR

FIGURA 2.4.5 Circunferenc ia unitaria junto con dos triangulos y un sector c ircular

por ultimo, el area de LIn sector del cfrculo es ~r2e, donde res el radio y e es el angulo central medido en radianes. As!,

area del sector OPR = ~. 12. t = ~t.

AI Llsar (7), (8) y (9) en la desigualdad (6) se obtiene

I I I - sent < - t < -tant 2 2 2

o bien, 1< _ t _ < _1_. sen t cos t

Por las propiedades de las desigualdades, la ultima desigualdad puede escribirse como

sen t cos t < -- < 1.

t

(9)

Ahora se hace t ~ 0 + en el ultimo resultado. Puesto que (sen t) / testa "comprimida" entre y cos t (del cual se sabe por (5) que tiende a 0), a partir del teorema 2.4.1 se concluye que (sen t) / t ~ 1. Aunque se ha supuesto 0 < t < 1T /2, el mismo resultado se cumple para t ~ 0 -cuando -1T/2 < t < O. Al usar el s!mbolo x en lugar de t, el resultado se resume como sigue:

lim senx = I. x--.o x

(10)

Como se ilustra con los siguientes ejemplos, los resultados en (1), (2), (3) y (10) se usan a menudo para calcular otms limites. Observe que ellimite (0) es de la forma indeterminada 0/0.

DIMiuc.al Usa de (10)

E I I'· I' lOx - 3 senx nCLlentre e ImIte 1m . x-->o X

Soluci6n La expresion fraccionaria vLlelve a escribirse como dos fracciones con el mismo denominador x:

lim lOx - 3senx = lim[ lOx _ 3senx ] x-->O X x-->O X X

= lim lOx _ 3 lim senx x-->o X x-->o X

= lim 10 - 3 lim senx x-->o x-->o X

=10-3 · 1

= 7.

DlM@!.&j Usa de la f6rmula del angula dable

E I 1, . I' sen 2x nCLlentre e ImIte 1m ---. x-->o X

pueSlO que ambos Ifm iles existcn . <- las x lambien se cance lan en la

pril1lcra expresitin

+- ahora se usa ( 10)

•

Soluci6n Para evaluar el limite dado se usan la formula del angul0 doble sen 2x = 2 sen x cos x de la seccion 1.4, y el hecho de que el limite existe:

I' sen 2x I' 2cosx sen x Im--- = 1m x-->O X x-->O X

'( senx) = 2 lIm cos x . --x--.O X

= 2 (lim cosx) (lim sen x). x-->o x--.o X

Por (5) y (10) se sabe que cos x ~ 1 Y (sen x)/ x ~ 1 cuando x ~ 0, de modo que la linea precedente se vuelve

lim sen 2x = 2 . 1 . I = 2. • x-->O X

2.4 Lfmites trigonometricos 91


UWlMQ!.aa Usa de (5) y (10)

, . , tan x Encuentre el lumte lim --.

.. -->0 X

Solucion Al usar tan x = (sen x)1 cos x y el hecho de que el limite existe, puede escribirse

tan x (senx)/ cosx lim-- = Ifm--- --x-->o X x-->o X

= Ifm _1_ . sen x x-->o cos X X

(1 ' 1) \/1' sen x) - Im-- Im--x-->o cos X x-->o X

= 1.. , 1 = 1. <- por (S)y(IO) J •

I Uso de una sustituci6n A menudo se tiene inten!s en Ifmites semejantes a los considera-

d I · I 5 P . . I I ' sen 5x I d" os en e eJemp 0 . ero Sl queremos encontrar, por eJemp 0, 1m ---, e proce Imlento x-->o X

empleado en el ejemplo 5 deja de funcionar a nivel practico puesto que no se cuenta con una identidad trigonometrica a la mana para sen 5x. Hay un procedimiento alterno que permite

. I' sen kx dO' . eneontrar rapldamente 1m - -, onde k =1= es cualqUler con stante real, al slmplemente x-->O X

cambiar la variable por medio de una sustitucion. Si se hace t = kx, entonees x = tl k. Observe que cuando x ~ 0 entollces necesariamente t ~ O. Asf, es posible escribir

pOl (1 0)

lim sen kx = lim sen t = Ifm(sen t . !) = k 17m sen t = k. x -->O X 1-->0 tl k 1-->0 1 t 1-->0 t

Par tanto, se ha demostrado el resultado general

[' sen kx k Im --= '. x-->o X

(11)

Por (Il), con k = 2, se obtiene el mismo resultado Ifm sen 2x = 2 que se obtuvo en el ejem-I 5

x-->o X po.

'!liMA!'. Una sustituci6n

sen (x - 1) Eneuentre el limite lim 2 .

x--> 1 X + 2x - 3

Solucion Antes de empezar, observe que el limite tiene la forma indeterminada 010 cuando x ~ 1. Al factorizar x2 + 2x - 3 = (x + 3)(x - 1) el limite dado puede expresarse como un limite de un producto:

, sen(x - 1) , sen(x - 1) ,[ 1 sen (x - 1)] hm = hm = hm --.--- --x->I x 2 + 2x - 3 x-->I (x + 3)(x - 1) x--> I X + 3 x - I .

Luego, si se haee t = x-I, veremos que x ~ 1 impliea t ~ O. En eonseeueneia,

Il'm sen(x - 1) __ Il'm sen t __ x-->l x - I 1-->0 t

I. <- pOl' ( 10)

Al volver a (12) es posible escribir

, sen(x - 1) ,[ 1 sen(x - 1)] hm = hm - - . ---'----x --> 1 x 2 + 2x - 3 x-> I X + 3 x-I

= (lim _1_) (lim _se_n--'..(X_ - _ l--'...») x--> 1 X + 3 \x--> I x-I

(1 ' 1 )(1' sent) - Im-- Im--x-->l X + 3 1-->0 t

(12)

puesto que ambos limites existen. Asi,

I, sen (x - 1) (1' 1) (1' sen t) I lITI = 1m -- lITI -- = - . x-->[ x 2 + 2x - 3 x-->[ X + 3 1-->0 t 4

I!t9MQ!.M:. Usa de una identidad pitagorica

1 I,· I' 1 - cosx

Encuentre e Imlte 1m x-->o X

•

Soluci6n Para caIcular este limite empezamos con un poco de ingenio algebraico al multiplicar el numerador y el denominador por el factor conjugado del numerador. Luego us amos la identidad pitag6rica fundamental sen2 x + cos2

X = 1 en la forma 1 - cos2 X = sen2 x:

r 1 - cos x r 1 - cos x 1 + cos x x~ X = x~ X . 1 + cos x

1, 1 - cos2

X = 1m

x--->o x(1 + cos x) 2

= Hm sen x x-->o x(1 + cos x) .

Para el siguiente paso de nuevo se acude al algebra para volver a escribir la expresi6n fraccionaria como un producto, y luego se usan los resultados en (5):

1, 1 - cos x l' sen2 x 1m = 1m

x--->O X x--->O x(1 + cos x)

= Hm (sen x. sen x ) x--->o X 1 + cosx

= (lim sen x) . (lim sen x ) x-->O X x--->o 1 + cos x .

Debido a que Hm (sen x)/(l + cos x) = 0/2 = 0 se tiene x--+o

1, 1 - c..osx 0 1m = .

x--->o X (13) •

Puesto que el limite en (13) es igual a 0, puede escribirse

1 c s - (cos x-I) I lim - 0 x = lim = (-I)lim _co_s_x_-_ = O. x--->o X x--->o X x--->o X

Luego, al dividir entre - 1 se obtiene otro importante limite trigonometrico:

1, cos x -I 0 1m = .

.1'-->0 .r (14)

En la FIGURA 2.4.6 se muestra la gr:ifica de f(x) = (cos x -1)/x. Los resultados en (10) y (14) se lIsaran en los ejercicios 2.7 y tambien en la secci6n 3.4.

Ejercicios 2.4 Las respuestas de los problemas impares se leccionados comienzan en la pagina RES-B.

= Fundamentos 7. lim 1

En los problemas 1-36, encuentre ellimite dado, 0 concluya 1--->0 t sec t csc 4t

2sen2 t que no existe. 9. lfm r sen3t sen ( - 4t) 1--->0 t cos2 t

1. Im-- 2. Hm r sen2 6t 1-->0 2t 1--->0 t 11. Im---

3. r senx I' 1 + sen x 1--->0 t2

4. x~ 4 + cosx x~ 1 + cos x sen(x - 1) 13. lfm

5. I' cos2x 6. r tanx x--+I 2x - 2 1m-- Im--

x--->o cos3x x--->o 3x

2.4 Umites trigonometricos 93

y [

-[

cosx -1 y~-

x

FIGURA 2.4.6 GrMica de f(x) = (cos x -1)/ x

8. Hm 5t cot 2t 1-->0

10. lim sen2 (t/2)

1--->0 sen t

t 3

12. lim---1--->0 sen 2 3t

14. lim x - 27T

X~21T senx

94 CAPITULO 2 Limite de una func i6n

15. I' cosx lITI-- 16.

x--+o X

17. Hm cos(3x - 7T 12)

18. x--+o x

19. r sen 3t lm--1--+0 sen 7t

20.

21. r sent I~rp. Vt

22.

23. Ifm t2

- St sen t 24.

t2 1--+0

25. Ifm (x + 2Vsenxf

26. x--+o+ x

27. Ifm cosx - 1

28. x-->o cos2x - 1

29. r sen Sx2

Im ---x--+o x 2

30.

31. sen(x - 2)

32. Ifm ? x-->2 x- + 2x - 8

Ifm 1 + sene

cos e 8-He/2

lim sen(Sx + 10)

x--+ - 2 4x + 8

lim sen 2t csc 3t 1--+0

I' 1 - cosVt

I~rp. Vt

r cos4t Im--1--+0 cos8t

lim (1 - cosx?

x--+o x

lim senx + tanx

x-->o X

Ifm 1 t2

1--+0 - cost

lim x 2

- 9 x--+3 sen(x - 3)

En los problemas 39 y 40, use el teorema de compresion para establecer el lfmite dado.

39. lfmx sen l = 0 40. lfm x 2 cos 7T = 0 x-->o X x-->O X

41. Use las propiedades de los Ifmites dadas en el teorema 2.2.3 para demostrar que

42. Si If(x) I :S: B para toda x en un intervalo que contiene a 0, demuestre que lim x~f'(x) = O.

x-->o

En los problemas 43 y 44, use el teorema de compresion para establecer el limite dado.

43. lim f(x) donde 2x - I :S: f(x) :S: x 2 - 2x + 3, x =1= 2

x---+2

44. lim f(x) donde If(x) - 11 :S: x2, x =1= 0

x-->o

= Piense en ella

En los problemas 4S-48, use una sustitucion idonea para encontrar el limite dado.

33. Ifm 2sen4x + 1 - cosx

34. Ifm 4x2

- 2 senx 45. lim senx - cosx X-7T

x--+o X

35. lim 1 - tanx

36. x-->7r/4 cosx - senx

x-->o X

lim cos2x

x-->7r/4 cosx - senx

x-->7r/4 X - 7T I 4

sen (7T Ix) 47. lim I

x-->l x-

46. lim-X-->7r tan 2x

cos( 7T Ix) 48. ETz x - 2

37. Suponga que f(x) = sen x. Use (10) y (14) de esta secci6n junto con (17) de la secci6n 1.4 para encontrar el 49. Analice: i,La funcion

limite:

\

sen x

f(x) = x' 1,

es continua en o?

x =1= 0

x=o

38. Suponga que f(x) = cos x . Use (10) y (14) de esta seccion junto con (18) de la seccion 1.4 para encontrar el lfmite:

50. La existencia de lim senx no implica la existencia de x-->O X

I ' sen Ixl E I ' 'I d I' . . limf(i + 11) - f(i) . h-->O h

1m --. xp lque por que e segun 0 Imite no eXlste. x-->o X

En algunos tex tos sc usa cl silllbolo +00 y las palabras

111(1.1 ill/ill i/o en lugar de 00 C

illjllli/o .

2.5 Limites que involucran el infinito I Introduccion En las secciones 1.2 y 1.3 se consideraron algunas funciones cuyas gnificas poseian asintotas . En esta seccion se vera que las asintotas vertical y horizontal de una grafica estan definidas en terminos de lfmites que implican el concepto de infinito. Recuerde, los

~ simbolos de infinito, -00 ("menos infinito") y 00 ("mas infinito") son herramientas de notaci6n usadas para indicar, a su vez, que una cantidad decrece 0 crece sin limite en la direccion negativa (en el plano cartesiano esto significa a la izquierda para x y hacia abajo para y) y en la direccion positiva (a la derecha para x y hacia arriba para y).

Aunque la terminologia y notacion usadas cuando se trabaja con ±oo son estandar, lamentable mente son ligeramente desafortunadas y pueden ser confusas. Asi, desde el principio se advierte que se consideraran dos tipos de limites. Primero se analizaran

• lfmites infinitos.

La expresi6n limites infinitos siempre se refiere a un [[mite que no existe porque la funcion f exhibe un comportamiento no acotado: f(x) ---+ -00 0 f(x) ---+ 00. Luego se consideraran

• lfmites en el infinito.

2.5 Lfmites que involucran el infinito 95

La expresi6n en el infinito significa que se esta intentando determinar si una funci6n f posee ~ A 10 largo de loLio cl ClnCi l isi .s. no

un lImite cuando se deja que el valor de la variable x disminuya 0 aumente sin limite: x ---+ - 00 o lvide qu e -0(.' Y IX) no rCjJl"l' -

o X ---+ 00. Estos lImites pueden 0 no existir. senlan numeros rea les y III1I1Cli

dcbctl manipularsc ar il mcl ica-

I Limites infinitos El limite de una funci6n f no existe cuando x tiende a un numero a siempre que los val ores de la fu nci6n crecen 0 decrecen sin Ifmite. El hecho de que los val ores de la fu nci6n f(x) crecen sin Ifmite cuando x tiende a a se expresa simb6licamente por

f(x) ---+ 00 cuando x ---+ a o bien, Iimf(x) = 00 . (1) .:( --"' (1

Si los valores de la funci6n decrecen sin Ifmite cuando x tiende a a, se escribe

f(x) ---+ -00 cuando x ---+ a o bien, limf(x) = -00. (2) x~a

Recuerde que el uso del sfmbolo x ---+ a significa que f muestra el mismo comportamiento -en este caso, sin lImite- a ambos lados del numero a sobre el eje x. Por ejemplo, la notacion en (1) indica que

f(x) ---+ 00 cuando x ---+ a

Yea la FIGURA 2.5.1.

Yt Y = I(x )

x a

a) Ifm I(x) = 00 X--7(f

y f(x) ---+ 00 cuando x ---+ a +.

Y

x = ({

Y = I(x)

---~-r-1-~ X

b) Ifm Iex) = -00 X--7{1

FIGURA 2.5.1 Dos tipos de limites infinitos

En forma semejante, la FIGURA 2.5.2 muestra el comportamiento sin limite de una funci6n f cuando x tiende a a por un lado, Observe en la figura 2.S.2c) que no es posible describir el comportamiento de f cerca de a usando un solo sfmbolo de Ifmite.

Y

I I

Y Y

1 I I x = (/

Y = I(x ) Y = I(x) I x = a

I I

---+--~--~' --~~x -~---r+-----~x

v = lex)

a) Ifm I(x) = 00 b) Ifm Iex) = -00 c) Ifm I(x) = 00 y Ifm Iex) = -00 X-711 + X-7a- X-hl+

FI GURA 2.5.2 Tres tipos mas de Ifmites infinitos

En general, cualquier lfmite de los seis tipos

IfmJ(x) = -00, limJ(x) = 00 , r-----+a x-----';a

lfm f(x) = -00, r-----+a+

lim f(x) = 00, x--+({+

lim f(x) = -00, limf(x) = 00, X -----7Q x-----ta

(3)

se denomina limite infinito. De nuevo, en cada caso de (3) simplemente se esta describiendo de manera simb6lica el comportamiento de una funci6n f cerca del numero a. Ninguno de los Ifll1 ites en (3) existe.

En la secci6n 1.3 se repas6 c6mo identificar una asfntota vertical para la grafica de una funci6n racional f(x) = p(x)/ q(x) . Ahora ya podemos definir una asfntota vertical de cualquier funci6n en terminos del concepto de lfmite.

menle como se haec con los

niilllcros .


Definicion 2.5.1 Asfntota vertical

I Se dice que una recta x = a es una asintota vertical para la grafica de una funci6n f si par 10 menos una de las seis afirmaciones en (3) es verdadera.

Yea la figura 1.2. 1. .. En el repaso de las funciones en el capitulo 1 se vio que las gnificas de funciones racio-

Y

---+----,-------~x

Y

X={f

a)

, .\"= (1

b)

I Y= -----(x - a)2

• x

FIGURA 2.5.3 Gnifica de las fllllciones en (4)

x+2 )'~ ~~

. .1'2(.1"+4)

y

x= -4 .\"=0

FIGURA 2.5.4 GrMica de la fll nci6n en el ejemplo I

nales a menudo poseen asfntotas . Se vio que las gr£lficas de las funciones racionales y = 1 Ix y y = l/x2 eran semejantes a las graficas en la figura 2.5.2c) y 2.5.1a), respectivamente. EI eje y, es decir, x = 0, es una asfntota vertical para cada una de estas funciones. Las gr£lficas de

1 y=x-a y y=

(x - a? (4)

se obtienen al desplazar las graficas y = 11 x y y = 1 I x 2 horizontalmente la 1 unidades. Como se observa en la FIGURA 2.5.3, x = a es una aSlntota vertical para las funciones racionales en (4). Se tiene

y

lim ~l_ = -00 x--"a- X - a

y I, I Im-- = 00

X- Hl+ X - a

I' 1 1m ? = 00 .

X-->(l (x - a)-

(5)

(6)

Los Hmites infinitos en (5) y (6) son justo casos especiales del siguiente resultado general:

I' I lIn )" = -00

.1"--+11 - (x - a y I ' 1

1m )" = 00, x~(J+(x - a

para n un entero positivo impar y

1/ 1 Hl1-(-.----)" = 00,

.\-(1 .\ - a

(7)

(8)

para n un entero positivo par. Como consecuencia de (7) y (8), la gr£lfica de una funci6n racional y = l/(x - a)" se asemeja a la gr£lfica en la figura 2.5.3a) para n impar 0 la de la tigura 2.5.3b) para n par.

Para una funci6n racional general f(x) = p(x)1 q(x), donde p y q no tienen factores comunes, por este an£llisis debe resultar evidente que cuando q contiene un factor (x - a)", n un entero positivo, entonces la forma de la gr£lfica cerca de la recta vertical x = a debe ser alguna de las que se muestran en la figura 2.5.3 0 su ref1exi6n en el eje x.

1¥I9MU!.M' Asintotas verticales de una funci6n racional

Al inspeccionar la funci6n racional

x+2 f(x) = x2(x + 4)

se observa que x = -4 y x = 0 son asfntotas verticales para la grafica de f Puesto que el denox minador contiene los factores (x - (-4»1 y (x - 0)2, es de esperar que la gr£lfica de f cerca

de la recta x = -4 se asemeje a la figura 2.5.3a) 0 a su ref1exi6n en el eje x, y la gr£lfica de f cerca de x = 0 se asemeje a la figura 2.5.3b) 0 a su ref1exi6n en el eje x.

Para x pr6xima a 0 por cualquier lado, resulta f£lcil ver que f(x) > O. Pero para x cerca de - 4, por ejemplo x = -4.1 y x = -3.9, se tiene f(x) > 0 y f(x) < 0, respectivamente. Al usar la informaci6n adicional de que s610 hay una intersecci6n x simple (-2, 0), se obtiene la grafica de f en la FIGURA 2.5.4. •

1¥I9MQ"W.j Limite por un lado

En la figura 1.6.6 se vio que el eje y, 0 la recta x = 0, es una aSlntota vertical para la funci6n logarftmica natural f(x) = In x puesto que

Hm lnx = -00. x--"o+

2.5 Umites que involucran el infinito 97

La gratica de la funci6n logarftmica y = In(x + 3) es la gratica de f(x) = Inx desplazada 3 uni clacles a la izquiercla. Por tanto, x = -3 es una asfntota vertical para la gratica de \' == In(x + 3) puesto que lfm In(x + 3) = - 00. • . x---+ - 3 1

(!l3iJ!Q!'.' Limite por un lado

Grafique la funci6n f(x) = ~. x+2

Soluci6n Al inspeccionar f se observa que su clominio es el intervalo (-2, (0) Y la interseccion con el eje y es (0, 0). A partir de la tabla siguiente se concluye que f decrece

x~-2+ - 1.9 -1.99 -1.999 -1.9999

f(x) -6.01 -19.90 -63.21 - 199.90

sin I[m ite cuando x tiende a - 2 por la derecha:

Ifm f(x) = -00. ..1"---+-2+

Por tanto, la recta x = - 2 es una asfntota verticaL La gratica de f se proporciona en la FIGURA

2.5.5. •

I limites en el infinito Si llna funcion f tiende a un valor constante L cuando la variable independiente x crece sin limite (x ~ (0) 0 cuando x decrece (x ~ -(0) sin lfmite, entonces se escribe

lfm f(x) = L o Ifm f(x) = L (9) .\" -). - 00 X-).OO

y se dice que f posee un Ifmite en el infinito. A continuacion se presentan todas las posibilidades para lfmites en el infinito lfm f(x) y Ifm f(x) :

x ---+ - oo x ---+oo

• Un limite existe pero el otro no. Tanto Ifm f(x) como lim f(x) existen y son iguales al mismo numero.

x---+-oo x---+oo

• Tanto Ifm f(x) como JIm f(x) existen pero son numeros diferentes. x---+ -oo x---+oo

• Ni lfm f(x) ni lim f(x) existen. x---+ - oo X-Hx:>

Si por 10 menos uno de los lfmites existe, por ejemplo, lim f(x) = L, entonces la gnifica de f x---+oo

puede hacerse arbitrariamente proxima a la recta y = L cuando x crece en la direccion positiva.

Defi nicion 2.5.2 Asfntota horizontal

Se dice que la recta y = L es una asintota horizontal para la grafica de una funcion f si por 10 men os una de las dos declaraciones en (9) es verdadera.

En la FIGURA 2.5.6 se han ilust:rado algunas asfntotas horizontales tipicas. Se observa, junto con la figura 2.S.6d) que, en general, la gnifica de una funcion puede tener como maximo dos

asfntotas horizontales, aunque la gnifica de una funci6n racional f(x) = p(x)/ q(x) puede tener cuando mucho una. Si la grafica de una funci6n racional f posee una asfntota horizontal y = L, entonces su comportamiento final es como se muestra en la figura 2.S.6c); es decir:

f(x) ~ L cuando x ~ -00 y f(x) ~ L cuando x ~ 00.

y y Y Y

Y=L Y=L

Y = L

Y x Y--

- ~x + 2

--:----+---,,+--+-+-- x

I

x= -2

FIGURA 2.5.5 Gnitica de la fun ci6n en el ejemplo 3

--r------~x --------+~~x -----r-----~x -----+----~x

0) .r(x) --? L cuando x --? co b) fex ) --? L cuando x --? -co c) f(x) --? L cuando x --? - co, d) f(x) --? L J cuando x--? -co,

f(x) --? L cuando x --? co f(x) --? L2 cuando x--? 00

FIGURA 2.5.6 Y = L es una asfntota horizontal en a), b) y c); y = L J Y Y = L2 son asfntotas horizontales en d)

98 CAPITULO 2 Limite de una fu nci6n

ESlos resultados lal11bien SOil ~

vcrdaderos cU<l nc\o .r - {/ se susliluye p OI' (/ -.r. en e l supueslo que «(/ - .r )' CSle defillido.

4 v = ..J2="~ '

--+---+--+--+---+---+--+--+--+--+~ x

."=0 I x ~ 2

FIGURA 2.5.7 Grafica de la fUIl

cion en el ejemplo 4

Por ejemplo, si X se vuelve sin lfmite en la direccion positiva 0 en la negativa, las funciones en (4) tienden a 0 y se escribe

lfm _1_ = 0, !fm _ 1_ = 0 x--+ -oo x - a x--+ooX - a

y lfm 1 = 0, !fm 1 2 = O. (l0) x--+ - oo(x - a)2 x--+oo(x - a)

En general, si r es un numero racional positivo, y si (x - a)' esta definido, entonces

!fm ( 1 )' = 0 x .... -oo X - a !fm ( I Y = O.

.1->00 X - a (1) y

h!J3M14!.M' Asfntotas horizontal y vertical

EI dominio de la funcionf(x) = ~ es el intervalo ( -00, 2). En virtud de (1) puede escri-2-x

birse

!fm 4 = O. x--+ - oo~

Observe que no es posible considerar el !fmite de f cuando x ---+ 00 pOl'que la funcion no esta definida para x 2: 2. No obstante, y 0 es una asintota horizontal. Luego, por el limite en infinito

I' 4 1m = 00 x--+r~

se concluye que x = 2 es una asintota vertical para la grafica de f. Yea la FIGURA 2.5.7. • En general, si F(x) = f(x)/ g(x), entonces en la siguiente tabla se resumen los resultados

para lfmites de las formas !fm F(x) , lim F(x) y Ifm F(x). EI simbolo L denota un numero reaL. X-'J-lI x~oo x~ -00

forma !fmite: L +00 L -- - L ,L =F 0 0' L =F 0 x ---+ a, 00, - 00 ±oo (12)

el lfmite es: 0 infinito infinito

Se dice que Ifmites de la forma lfm F(x) = ±oo 0 lfm F(x) = ±oo son limites infinitos en x----+oo X--7 -00

el infinito. Ademas, las propiedades de los lfmites dadas en el teorema 2.2.3 se cumplen al sustituir el sfmbolo a por 00 0 -00 en el supuesto de que los lfmites existen. Por ejemplo,

f {x) lfm f(x) lfm _( ) =\I~OO ( ) , x->oog X lIng x

.r~oo

x~~f(x)g(x) = U!..~f{x»)U~~g(x») y (13)

siempre que lim f(x) y !fm g(x) existan . En el caso dellfmite de un cociente, tambien debe x-+oo .\"---+00

tenerse lfm g(x) =F O. x---+oo

I Comportamiento final En la seccion 1.3 vimos que la forma en que una funcion f se comporta cuando Ixl es muy grande se denomina comportamiento final. Como ya se analizo, si lim f(x) = L, entonces la grafica de f puede hacerse arbitrariamente proxima a la recta y = L

p-;;~ grandes valores positivos de x. La grafica de una funcion polinomial,

f(x) = anx" + a,, _ lx"- 1 + ... + a2x2 + alx + aa,

se asemeja a la grafica de y = a"x" para Ixl muy grande. En otras palabras, para

f(x) = an x" I + G,, _ IX,,- I + ... + ~IX + Go I (14)

Los terminos encen-ados en el rectangulo azul en (14) son in-elevantes cuando la grafica de una funcion polinomial se observa global mente; es decir, para Ix l muy grande. Asi, se tiene

I ' ,,- I ' ( "+ .. ,,-1 + + + ) 1m a"x - 1m a"x a,,- Ix . . . [lI X aD, X -----7±OO x---+±oo

(15)

cuando (15) es 00 0 - 00 dependiendo de an y n. En otras palabras, el lfmite en (15) constituye un ejemplo de lfmite infinito en el infinito .

2.5 Umites que invo lucran el infinito 99

~~a~! •• j Limite en el infinito

-6X4 + x 2 + 1 Evaille Ifm---

4----

r-+CXJ 2x' - x

Solucion No es posible aplicar la ley del limite de un cociente en (13) a la funci6n dada, puesto que lim (-6x4 + x2 + I) = -00 y lim (2x4

- x) = 00. No obstante, al dividir el .\ --+00 4 x--+oo

nu merador y el denominador entre x podemos escribir

-6X4 + x 2 + lim 4 r ..... CXJ 2x - x

= -6 + 0 + 0 = -3 2-0 .

EI limile del 1111meraci or existe . asi C0ll10 e l limite

<:- Lid dCllomill aLior. y cI lilllite del LiellolllinaLior

no es cero

Esto significa que la recta y = - 3 es una asintota horizontal para la grafica de la funci6n.

Solucion alterna En virtud de (14) es posible descartar todas las potencias de x, menos la mas alta:

descartar lerminos de los recllaciros a/.ules

t , -6x4 1+ x 2 + 11 ,-6x4 , - 6

hm = hm-- = hm- = - 3. x-+CXJ 2x4 1- X I x-+CXJ 2X4 x-+CXJ 2

I!!M@!.aa Limite infinito en el infinito

E I , I' 1 - x3

va ue 1m -3 2· x-->oo X +

Solucion Por (14),

Ifm 1 - x3

= Ifm -3X3

= -.!.limx2 = -00. x ..... oo 3x + 2 x-+oo x 3x-+CXJ

En otras palabras, el limite no existe.

DJsMQ!.-j Grafica de una funci6n racional 2

Grafique la funci6n f(x) = ~. 1 - r

•

•

Solucion Al inspeccionar la funci6n f se observa que su gr:ifica es simetrica con respecto al eje y, la intersecci6n con el eje y es (0, 0) y las asintotas verticales son x = -] y x = 1. Luego, a partir del limite

2 x2 Ifmf(x) = lfm~ = Ifm-- = -liml = -I

x---+CXJ X-H:xJ 1 - x x--+oo - x 2 x--+oo

se conc1uye que la recta y = -} es una asintota horizontal. La gr:ifica de f se muestra en la FI GURA 2.5.8. •

Otra ley de los lfmites que se cumple para limites en el infinito es que el Ifmite de una raiz n-esima de una funci6n es la raiz n-esima del limite, siempre que ellimite exista y la raiz n-esima este definida. En simbolos, si lim g(x) = L, entonces

x --+oo

Ifm \/g(X) = \/lfm g(x) = Vi, x--+oo x--+OO

(16)

en el supuesto de que L 2: 0 cuando n es par. El resultado tambien se cumple para x -+ -00.

I I

y

y = -I

\~ 'r x =- \ x= \

FIGURA 2.5.8 Gnifica de la funci6n en el ejel1lplo 7


y y:::: 5

5x V= - -. ~x2 + 4

y= - 5

FIGURA 2.5.9 Gnitica de la funci6n en el ejemplo 9

1¥J3MQ!'w:, Limite de una raiz cuadrada

E L' L' ~ 2x3

- 5x2 + 4x - 6 va ue 1m .

x-->oo 6x3 + 2x

Solucion Debido a que el Ifmite de la fu nci6n racional en eL radical existe y es positivo, puede escribirse

I' ~ 2x3 - 5x

2 + 4x - 6 ~ I' 2x3

- 5x2 + 4x - 6 1m = 1m =

x-->OO 6x3 + 2x x-->oo 6x3 + 2x

l¥hhMR!'.' Grafica con dos asintotas horizontales

lim 2x3

= fi = _ L_ x-->oo 6x3 \j 3 vT

Determine si La grafica de f(x ) = ~ tiene aSlntotas horizontales. x 2 + 4

•

Solucion Puesto que La funci6n no es racionaL, es necesario investigar eL limite de f cuando x ~ 00 y cuando x ~ -00. Primero, recuerde del algebra que W es no negativa, 0 mas al punto,

W = Ixl = {x, -x,

Luego, volvemos a escribir f como

~ 5x

x2:0

X < O.

f(x) = W = TXT ~~

W v?

5x

TXT

Los Ifmites de f cuando x ~ 00 y x ~ - 00 son, respectivamente,

5x 5x - - !fm5

Ifmf(x) = Ifm Ixl = lim x = --;:~X-->~OO== = 11 = 5,

x-->OO x-->OO ~ 1 + 4 x-->OO ~ 1 + 4 Ifm(1 + 42

)

x 2 x 2 X--> OO X

y

5x 5x - -- Ifm (-5)

Ifm f(x) = Ifm Ixl = Ifm -x = x--> -oo

x-->-oo x-->-oo R x--> -ooR ~ ( 4 ) 1 + - 1 + - Ifm 1 + -

x 2 x 2 x-->-oo x 2

-5 - 5.

Por tanto, La grafica deftiene dos aSlntotas horizontales y = 5 y y = -5. La gritica def, que es semejante a la figura 2.5.6d), se proporciona en La FIGURA 2.5.9. •

En el siguiente ejempLo se ve que la forma del lfmite dado es 00 - 00, pero el lfmite existe y no es O.

'¥liMR!.M'11 Uso de racionalizaci6n

Solucion Debido a que f(x) = x 2 - Vx4 + 7x2 + 1 es una funci6n par (compruebe que

fe-x) = f(x» con dominio (- 00 , (0), si Ifm f(x) existe, debe ser el mismo que Ifm f(x). Primero racionalizamos eL numerador: x .... oo x .... - oo

2.5 Umites que involucran el infinito 101

Luego, el numerador y el denominador se dividen entre W = x 2:

- 7x 2 -- - --

lim ----=-__ -;7=X=2=-= I=:== = lim W W x-+oo x 2 + Yx4 + 7x 2 + I x-+oo x2 + Yx4 + 7x 2 +

W 1

-7 -2 lim __ --;===x==

X-+OO ~ 7 I 1+ 1+ - + 4 x 2 x

lim (-7 -~) X-+OO x 2

Y I

lim 1 + i lfm (I + 7? + ~) - t-t-+--+-+-t-t-+--+-+-+-+- x

x--?oo \j .x----t OO x - X

-7 I + I

7 2'

Con ayuda de un SAC, la gnifica de la funci6n f se proporciona en la FI GURA 2.5.10 . La recta y = -~ es una asintota horizontal. Observe la simetria de la gnifica con respecto al eje y. •

Cuando se trabaja con funciones que contienen la funci6n exponencial natural, los cuatro siguientes Ifmites ameritan una atenci6n especial:

limex = 00, lim eX = 0, lime- X = 0, lfm e- x = 00 . x--?OO x~ -oo X-)OO .\'"---7- 00

(17)

Como se analiz6 en la secci6n 1.6 y se comprob6 por los lfmites segundo y tercero en (17), y = 0 es una asintota horizontal para la grafica de y = eX y y = e- x

• Yea la FIGURA 2.5.11 .

'::emMR!'." GrMica con dos asintotas horizontales

Determine si la grafica de f(x) = 1 +6 e x tiene alguna asfntota horizontal.

Solucion Debido a que f no es una funci6n racional, es necesario analizar lim f(x) y 11m f (x ). Primero, en virtud del tercer resultado proporcionado en (17) podemosxe'~ribir

.\~ - OO

lim __ 6 __ X-+OO 1 + e x

lim 6 X-+OO 6

Hm(l + e X) = 1+() = 6. X-)OO

ASI, y = 6 es una asintota horizontal. Luego, debido a que lfm e - x = 00 por la tabla en (12) se conc]uye que x~-oo

6 lim x = O.

x-+ - oo 1 + e

En consecuencia, y 2.5.12.

o es una asintota horizontal. La grafica de f se muestra en la FIGURA

• I Funciones compuestas cuando a se sustituye por continua en L, entonces

El teorema 2.3.3, el lfmite de una funci6n compuesta, se cumple - 00 0 00 y el limite existe. Por ejemplo, si lfm g(x) = L Y f es

x-->oo

lim f(g(x» = f( lim g(x») = f(L) . x----tOO x -)OO

(18)

EI resultado del lImite en (16) es justo un caso especial de (18) cuando f(x) = Vx. EI resultado en (18) tambien se cumple para x ----+ - 00 . El ultimo ejemplo ilustra a (18) cuando implica un Ifmite en 00.

1 7 14 ., y="-- ,X +7x'+ I

7 )1= --. 2


y

---~~~~~--~~ X y=O y=O

asfn tota hori zontal

asfntota horizonta l

FIGURA 2.5. 11 Gnificas de funciones exponenciales

y = 6 y

-------..=.-=-- -

6 Y=-

I + e- x

-;=:::\-1--+-t--+--I-----+-----+--+--++ x y= o

FIGURA 2.5.12 Grafica de la funci6n en el ejemplo 1 I


v

1 y = sen x

---------1~--~--~X y=o


"liMIQI'-f) Otro repaso a una fu nci 6n trigonometrica

En eJ ejemplo 2 de la secci6n 2.4 vimos que Ifm sen(l/ x) no existe. No obstante, el Ifmite en el infinito, lim sen(l/ x), existe. Por la ecuaci6~---+(1 8 ), podemos escribir

x----+oo

lim sen1 = sen ( Ifm 1) = sen 0 = O. x--+oo X X--+OO X

Como se observa en la FIGURA 2.5.13, Y = 0 es una asintota horizontal para la grafica de f(x) = sen(l / x) . Compare esta gnifica con la mostrada en la figura 2.4.2. •

Ejercicios 2.5 Las respuestas de los prob lemas impares selecc ionados com ienzan en la pagina RES-B.

= Fundamentos

En los problemas 1-24, exprese el limite dado como un numero, como -00, 0 como 00.

1. I' I 2. lim 4 1m --

X--+S- X - 5 x--+6 (x - 6)2

3. I' 2 1m x --+- 4+ (x + 4)3

4. I' lO 1m -----x --+T x 2 - 4

5. lim I

6. r -1 x--+ I (x - It x2.~Vx

7. lim 2 + senx

8. lim esc x x--+o+ X X-Hr +

9. lim x 2 - 3x

10. lim x 2

x--+00 4x2 + 5 x--+oo 1 + x - 2

11. lim (5 - 2) X--+OO X4

12. I' (6 I) 1m - + -x--+ -00 Vx Vx

13. lim 8 - Vx

14. lim 1 + 7Vx

x --+oo 1 + 4 Vx x--+ -oo 2Vx

15. I' (3X x - I ) x2.'11 x + 2 - 2x + 6 16. ( x )(4x

2+ 1Y lim -----

x--+oo 3x + 1 2X2 + x

17. rJ§ 1m - - -x --+oo 6x - 8 18. I' ffSf lITI

x--+ - oo 7 - 16x

19. lim (x - Vx2+1) 20. lim ( V x 2 + 5x - x) x--+oo x --+oo

21. lim cos(l) 22. lim sen(3 1TX6

) X--+OO X x--+ - oo - X

23. lim sen - { x x--+-oo V 4x2 + J 24. }~lnC ~ 8)

En los problemas 25-32, encuentre lim f(x) y lim f(x) para la funci6n dada f. x---+ - oo x---+oo

25. f(x) = 4x + 1 26. f(x) = ~~x~ ~ 6 Vx2+l

27. f(x) = 2x + 1 V3x2 + 1

-5x2 + 6x + 3 28. f(x) = -------;==== vx4 + x 2 + 1

eX - e- x

29. f(x) = x + ' e e '

31. f(x) = I~ = ~ I

2e- x

30. f(x) = I + x + X

e e

32. f(x) = 14xl + Ix - 11 x

En los problemas 33-42, encuentre todas las asintotas verticales y horizontales para la grafica de la funci6n dada f. Trace la gnifica.

I 33. fex) = -2--

X + I

x 2

35. f(x) = x + 1

1 37. f(x) = - 2---

X (x - 2)

39. f(x) = ) x ~ 1

x - 2 41. f(x) = , ~

V x 2 + 1

x 34. f(x) = - ?- -

x- + 1

x 2 - x

36. f(x) = -2-x-I

4x2

38. f(x) = x2 + 4

40. f(x) = 1 -:VXVx

42. f(x) = x + 3 ~

En los problemas 43-46, use la grafica dada para encontrar:

a) Ifm. f(x) b) lirn f(x) x ----+2 x-+ 2

c) lim f(x) d) lim f(x) x-+ - oo x-+oo

43. y

FI GURA 2.5. 14 Grafica para el problema 43

44.

-----1--~4---------*x

FIGURA 2.5.1 5 Grafica para el problema 44

45. \' ~ J(xJ y

FIGURA 2.5.16 Gratica para el problema 45

46. y

---4--~~------~x

FIGU RA 2.5.17 Grafica para el problema 46

En los problemas 47-50, trace una gn'ifica de una funci6n f que satisface las condiciones dadas.

47. Ifm f(x) = - 00, IfmJ(x) = - 00,f(2) = 0, Ifm f(x) = 0 x~ l-I x---+ 1 x---+oo

48. f(O) = 1, Ifm f(x) = 3, Ifm f(x) = -2 x--+-oo x---+oo

49. Ifmf(x) = 00, Ifm f(x) = 00, Ifm f(x) = 1 ):---+2 .1---+ - 00 x--+CXJ

50. IfmJ(x) = 2, IfmJ(x) = -00, f(~) = 0, f(3) = 0, x---+ ! x---+I

Ifm f(x) = 0, Ifm f(x) = 0 x---+-oo x---+oo

51. Use una sustituci6n id6nea para evaluar

1, 3 1m xsen - .

x---+CXJ X

52. Segun la teorfa de la relatividad de Einstein, la masa m de un cuerpo que se mueve con velocidad v es

m = mol V 1 - v 2 I c2, donde mo es la mas a inicial y c

es la velocidad de la luz. l,Que ocurre a m cuando V----7C - ?

= Problemas con calculadora/SAC En los problemas 53 y 54, use una calculadora 0 SAC para investigar el Ifmite dado. Conjeture su valor.

53. Ifm x2 sen 22 54. Ifm (cos l)X .\---+00 X .1--+00 X

55. Use una calculadora 0 un SAC para obtener la gnifica de f(x) = (l + x)J/x. Use la gn'ifica para conjeturar los valores de f(x) cuando

a) x ----7 -1 +, b) x ----7 0 Y c) X ----7 00 .

56. a) Un n-gono regular es un poIfgono regular de n lados inscrito en un cfrculo; el poIfgono esta formado por n puntos equidistantes sobre el cfrculo. Suponga que el poIfgono que se muestra en la FIGURA 2.5.18 repre-

2.6 Limites: un enfoque formal

2.6 Lfmites: un enfoque formal 103

senta un n-gono regular inscrito en un cfrculo de radio r. Use trigonometrfa para demostrar que el area A(n) del n-gono esta dada por

_ n 2 (27T) A (n) - 2. r sen ----;; .

b) Tiene sentido afirmar que el area A(n) tiende al area del cfrculo a medida que aumenta el numero de lados del n-gono. Use una calculadora para obtener A(lOO) y A(l 000) .

c) Sea x = 27Tln en A(n) y observe que cuando n ----700

entonces x ----7 O. Use (l0) de la secci6n 2.4 para demostrar que Ifm A(n) = 7Tr2.

= Piense en ello

1/---700

x

FIGURA 2.5.1 8 l7-gono inscrito para el problema 56

57. a) Suponga que f(x) = x 2/(x + 1) y g(x) = x - l. Demuestre que

Ifm [f(x) - g(x) 1 = o. x--+ ~ CXJ

b) l, Que indica el resultado del inciso a) respecto a las graficas de f y g, donde Ixl es grande?

c) De ser posible, asigne un nombre a la funci6n g.

58. Muy a menudo los estudiantes e incluso los profesores trazan incorrectamente graficas desplazadas verticalmente. Por ejemplo, las graficas de y = x 2 Y y = x 2 + I estan dibujadas incorrectamente en la FIGURA 2.5.19a) pero 10 estan correctamente en la figura 2.5 .19b). Demuestre que la figura 2.5 .19b) es correcta al mostrar que la distancia horizontal entre los dos puntos P y Q en la figura tiende a 0 cuando x ----7 00.

a) [ncorrecto b) Correcto

FIGURA 2.5.19 Gnificas para el problema 58

I Introducci6n En el analisis que se presenta a continuaci6n se considerara un enfoque alterno a la idea de Ifmite. que se basa en conceptos analfticos mas que en conceptos intuitivos. Una demostracion de la existencia de un lfmite jamas debe estar basada en la habilidad para elaborar graficas 0 en tablas de valores numericos . Aunque una buena comprensi6n intuitiva de


y y=2x+6

+---+-77' --t<x"'. 'i,.--t--~ x 2-022+0

FIGURA 2.6.1 f(x) esta en (10 - e, 10 + e) siempre que x este en (2 - 0, 2 + 0), x '* 2

lim f(x) es suficiente para continual' con el estudio del calculo en este texto, en general L1l12

coihprension intuitiva es algo muy vago como para usarlo en la demostracion de teoremas. Pare presentar una demostracion rigurosa de la existencia de un limite, 0 para demostrar los importantes teoremas de la seccion 2.2, es necesario empezar con una definicion precisa de limite.

I Limite de una funcion Se intentara demostrar que lim (2x + 6) = 10 al trabajar la siguiente idea: "Si f(x) = 2x + 6 puede hacerse arbitrariamente'pfoximo a 10 al tomar x suficientemente proximo a 2, por ambos lados pero diferente de 2, entonces lim f(x) = 10." Es necesario precisar los conceptos arbitrariamente proximo y sujicientementi proximo. Para establecer Ul12

norma de proximidad arbitraria, se pedira que la distancia entre los numeros f(x) y 10 sec men or que 0.1; es decir,

If(x) - 101 < 0.1 0 9.9 < f(x) < 10.1. (1;

Asi, l,cuan proximo a 2 debe estar x para satisfacer (1)? Para averiguarlo, es posible usar algebra normal para vol vel' a escribir la desigualdad

9_9 < 2x + 6 < 10.1

cuando 1.95 < x < 2.05. Al sumar -2 a ambos miembros de esta desigualdad simuItanea Se obtiene

-0.05 < x - 2 < 0.05_

Al usar val ores absolutos y recordar que x *- 2, la Ultima desigualdad puede escribirse come o < Ix - 21 < 0_05. Asi, para una cercanfa arbitrariamente proxima a 10 de 0.1, sujicientemente proximo a 2 significa a menos de 0.05. En otras palabras, si x es un numero diferente de 2 tal que su distancia a 2 satisface Ix - 21 < 0_05, entonces se garantiza que la distancia de f(x) a 10 satisface If(x) - 101 < 0.1. Al expresarlo de otra manera, cuando x es un numere diferente de 2, pero que esta en el intervalo abierto (1.95, 2.05) sobre el eje x, entonces f(x: esta en e1 interva10 (9.9, 10.1) sobre el eje y.

Se intentara generalizar usando el mismo ejemplo. Suponga que 8 (la letra griega epsilon: denota un numero positivo arbitrario que constituye la medida de la proximidad arbitraria a: numero 10_ Si se pide que

If(x) - 101 < 8 0 10 - 8 < f(x) < 10 + 8, (2: entonces por 10 - 8 < 2x + 6 < 10 + 8 Y pOl' algebra, se encuentra que

o -~ < x - 2 < ~ 2 2'

De nuevo, al usaI' valores absolutos y al recordar que x *- 2, la ultima desigualdad en (3) puedt escribirse como

8 0< Ix - 21 <"2- ({

Si 8/2 se denota pOI' el nuevo simbolo 0 (Ia letra griega delta), (2) y (4) pueden escribirse come

If(x) - 101 < 8 siempre que 0 < Ix - 21 < O.

Asi, para un nuevo valor para 8, pOl' ejemplo 8 = 0.00 I, 0 = 8/2 = 0_0005 establece la pm xi mid ad correspondiente a 2. Para cualquier numero x diferente de 2 en (1.9995, 2.0005),~ puede tenerse la certeza de que f(x) esta en (9.999, 10_001). Yea la FIGURA 2.6.1.

I Una definicion El analisis anterior conduce a la definicion 8-0 de limite.

Definicion 2_6_1 Definicion de limite

Suponga que una funcion f esta definida en todas partes sobre un intervalo abierto, excepto quiz as en un numero a en el intervalo. Entonces

lim f(x) = L x->a

significa que para todo 8 > 0, existe un numero 0 > 0 tal que

If(x) - LI < 8 siempre que 0< Ix - al < o.

,. Por esta raz6n se usa 0 < Ix - 21 < 0 en lugar de Ix - 21 < O. AI considerar !fm f(x), no olvide quef en 2 careci de importancia.

x~ 2

Sea Ifm f(x) = L y suponga que 15 > 0 es el numero que "funciona" en el sentido de la x->a

defin ic ion 2.6.1 para un e > 0 dado. Como se muestra en la FIGURA 2.6.2a) , toda x en (0 - 15, a + 15) , con la posible excepcion de a mismo, tendra entonces una imagen f(x) en (L - e, L + e). Ademas, en la figura 2.6.2b), una eleccion 15 1 < 15 para la misma e tambien "funciona" en el sentido de que toda x diferente a a en (a - 15 1, a + 15 1) proporcionaf(x) en (L - e , L + e). No obstante, la figura 2.6.2c) muestra que al escoger un el, 0 < el < e , 'lHls pequeno, demanda encontrar un nuevo valor de 15. Observe en la figura 2.6.2c) que x esta en (a - 15, a + 15) pero no en (a - 15 1, a + 15,), de modo que f(x) no necesariamente esta en

(L - e l, L + el)'

y

L + B , , L '

{L\l ~ ~---:- -- - -. L - s ------~------- - ~ -- I

, I I I I I

y

L+B

L

L-B

, ------r-

I I

I ' ___ _ __ 1-_1 ___ _ I' , ------1--r-----r--, I ,

I I I , I , I , I I I i

y

2.6 Umites: un enfoque formal 105

--4-----~--~~~~x

a- o a X a+o --~----~~r-~~~X

a- oT a,\ a+8 a-o J a+ol

--1-----~--~~~~X

a- o T a \xa+o a-o , a+o,

a) Un 0 que funciona para un B dado b) Un 0 I mas pequeno tambien funciona para el mismo B

c) Un BI mas pequenorequiere un 0 1<0. Para x en (a - 0, a + 0), f(x) no necesariamente esta en (L - B I , L + BI)

FI GURA 2.6.2 f(x) esta en (L - B, L + e) siempre que x este en (a - 0, a + 0) , x 1= a

1!I3MR!'.' Usa de la definici6n 2.6.1

Demuestre que lim (Sx + 2) = 17. x----t3

Solucion Para cualquier e > 0, arbitrario sin importar cuan pequeno sea, se quiere enconIrar un 15 de modo que

I(Sx + 2) - 171 < e

Para haeer 10 anterior, eonsidere

siempre que o < Ix - 31 < 15.

I(Sx + 2) - 171 = ISx - 151 = Six - 31.

Asf, para haeer I(Sx + 2) - 171 = Six - 31 < e, solo es neeesario haeer 0 < Ix - 31 < e/S; es deeir, se escoge 15 = e/S.

Verificacion Si 0 < Ix - 31 < e/S, entonees Six - 31 < e impliea

ISx - 151 < e o bien, I(Sx+2)-171 <e

A13MQ!'Wl Uso de la definici6n 2.6.1 16 - x 2

Demuestre que x!iIE4 4 + x = 8.

Solucion Para x '* -4,

o bien,

111 ~ ;2 - 81 = 14 - x - 81 = 1-x - 41 = Ix + 41

Asi,

siempre que se tiene 0 < Ix - (-4)1 < e; es deeir, se eseoge 15 = e.

I'J:!MQI'W' Un limite que no existe

Considere la funeion

f(x) = {~: x ::; 1 x> 1.

If(x) - 171 < e. •

Ix - (- 4)1

•

~ Este limite se anali za en ( I ) y (2) de la seccian 2. 1.

106 CAPITULO 2 Limi te de una funci6n

o~---

) x

FIGURA 2.6.3 EI limite de f no existe cuando x tiende a I en el ejemplo 3

Este lim ite se ~lIl ali /(i en el ejclllplo I de la ,ecci<in 2. I.

En la FIGURA 2.6.3 se reconoce que f tiene una discontinuidad de tipo saIto en I, de modo que lim f(x) no existe. No obstante, para demostrar este ultimo hecho, se procedeni indirectamente. .r~l

Suponga que el limite existe; a saber, lim f(x ) = L. Luego, por la definici6n 2.6. I sabemos x---+!

que para la elecci6n 8 = ! debe existir un 0 > 0 tal que

jf(x) - Lj < ± slempre que 0 < jx - I j < O.

Luego, a la derecha de I se escoge x = I + 0/2. Puesto que

o < II + ~ - I I I ~ I < 0

debe tenerse

It( I + ~) - L I = j2 - Lj < ±. A Ia izquierda de I , se escoge x = I - 0/2 . Pero

implica I

= jO - L j = jL j < 2'

Al resolver las desigualdades en valor absoluto (5) y (6) se obtiene, respectivamente,

l<L<~ 2 2 y

I I -- < L <-2 2'

(5)

(6)

Puesto que ningun numero L puede satisfacer estas dos desigualdades, conc1uimos que lim f(x) no debe existir. • x---+1

En el siguiente ejemplo se considera el limite de una funci6n cuadnitica. Veremos que en este caso encontrar la 0 requiere un poco mas de ingenio que en los ejemplos I y 2.

nW@Q! •• , Usa de la definicion 2.6.1

~ Demuestre que lim (- x2 + 2x + 2) = -6. x .... 4

Soluci6n Para un 8 > 0 arbitrario es necesario encontrar un 0 > 0 tal que

Luego,

j-x 2 + 2x + 2 - (- 6) j < 8 siempre que 0< jx - 4 j < O.

j-x2 + 2x + 2 - (-6)j j( - I)(x2 - 2x - 8)j

j(x + 2)(x - 4) j

= jx + 2j jx - 4 j. (7)

En otras palabras, se quiere hacer jx + 2jjx - 4 j < 8 . Pero puesto que hemos acordado examinar valores de x cerea de 4, s610 se consideran aquellos valores para los cuales jx - 4 j < 1. Esta ultima desigualdad da 3 < x < 5 0, de manera equivalente, 5 < x + 2 < 7. En consecuencia, podemos escribir jx + 2j < 7. Entonces, por (7),

0< jx - 4j < I implica j- x2 + 2x + 2 - (-6)j < 7jx - 4j.

Si ahora 0 se escoge como el minimo de los dos numeros I y 8/7, escrito 0 = mfn{ 1, 8/7} se tiene

0< jx - 4 j < 0 implica j-x2 + 2x + 2 - (- 6)j < 7jx - 4j < 7 . ~ = 8. •

EI razonamiento en el ejemplo 4 es suti!. En consecuencia, merece la pena dedicar unos minutos para volver a leer el analisis que esta inmediatamente despues de Ia definici6n 2.6.1,

volver a examinar la figura 2.3 .2b) y luego volver a pensar en por que 0 = min { I, e/7} es el <,OJ que "funciona" en el ejemplo. Recuerde que el valor de 10 puede escogerse arbitrariamente; considere 0 para, por ejemplo, 10 = 8, 10 = 6 Y 10 = 0.01 .

I Limites laterales A continuaci6n se presentan las definiciones de los limites laterales, Ifm f(x ) y lim, f(x). I-HI .1.---+ 0

Definicion 2.6.2 Limite por la izquierda

Suponga que una funci6n f esta definida sobre un intervalo abierto (c, a) . Entonces

lim f(x) = L x---+ a -

significa que para todo 10 > 0 existe una 0 > 0 tal que

If(x) - LI < 10 siempre que a - 0 < x < a.

Definicion 2.6.3 Limite por la derecha

Suponga que una funci6n f esta definida sobre un intervalo abierto (a, c). Entonces

lim f(x) = L x--+a +

significa que para todo 10 > 0 existe una 0 > 0 tal que

If(x) - LI < 10 siempre que a < x < a + o.

liI)iM'U«,"i Usa de la definicion 2.6.3

Demuestre que lim vX = o. x---+o+

Solucion Primero, podemos escribir

IvX - 01 = IvXl = vX. Luego, I vX - 0 I < 10 siempre que 0 < x < 0 + 10

2• En otras palabras, se escoge 0 = 10

2•

Verificacion Si 0 < x < 102

, entonces 0 < vX < 10 implica

IvXl < 10 o bien, IvX - 01 < e.

I Limites que imp Ii can el infinito Los dos conceptos de limite infinito

f(x) --+ 00 (0 bien, - (0) cuando x --+ a

y limite en el infinito

f(x) --+ L cuando x --+ 00 (0 bien, -(0)

se formalizan en las dos secciones siguientes. Recuerde que un limite infinito es un limite que no existe cuando x --+ a.

Definicion 2.6.4 Limites infinitos

•

i) lim f(x) = 00 significa que para todo M> 0 existe un 0 > 0 tal que f(x) > M siempre X ---)- Q

que 0 < Ix - al < o. i i) lim f(x) = -00 significa que para todo M < 0 existe un 0 > 0 tal que f(x) < M siem-

x---+a

pre que 0 < Ix - al < o.

2.6 Umites: un enfoq ue forma l 107


Los incisos i) y ii) de la definicion 2.6.4 se ilustran en la FIGURA 2.6.4a) y en la fig ura 2.6 respectivamente. Recuerde, si f(x ) ~ 00 (0 - (0) cuando x ~ a, entonces x = a es una . tota vertical para la graflca de f En el caso en que f(x) ~ 00 cuando x ~ a, entonces puede hacerse mas grande que cualquier nLllnero positivo arbitrario (es decir, j(x) > fI,

tomar x suficientemente proximo a a (es decir, 0 < Ix - al < 0) .

y ffi , I ,

; I -r----~~-L--~--~ x

a - o x a a +o

a) Para un M dado. siempre que a - 0 < x < a + 0, x '1= a, se tiene que f(x) > M

y

0-0 ax 0+0 ---r----~---r~r---~ x

b) Para un M dado, siempre que a - 0 < x < a + 0, x '1= a, se tiene que f (x) < M

FIGURA 2.6.4 Lfmites infinitos cuando x -7 a

Los cuatro lfmites infinitos por un lado

f(x) ~ 00 cuando x ~a-,

f(x) ~ 00 cuando x ~ a + ,

f(x) ~ - 00 cuando x ~a

f(x) ~ -00 cuando x ~ a +

se definen de forma analoga a la proporcionada en las definiciones 2.6.2 y 2.6.3.

Definicion 2.6.5 Limites en el infinito

i) lfm f(x) = L si para todo e > 0, existe un N > 0 tal que If(x) - L I < e x~oo

siempre que x > N. ii) Ifm f(x) = L si para todo e > 0, existe un N < 0 tal que If(x ) - L I < e

x~ -oo

siempre que x < N.

Los incisos i) y ii) de la definicion 2.6.5 se ilustran en la FIGURA 2.6.5a) y en la figura 2.6.5t respectivamente. Recuerde, si f(x) ~ L cuando x ~ 00 (0 -(0), entonces y = L es una as!, tota horizontal para la grafica de f En el caso en que f(x) ~ L cuando x ~ 00 , entonces grafica de f puede hacerse arbitrariamente proxima a la recta y = L (es decir, If(x) - LI < ~

al tomar x suficientemente lejos sobre el eje x positivo (es decir, x > N).

y

L + B - - - - - -- - - -- - -- - - - - - - - - - - - - --

L ------------------, L - B ---- - ----- -------

f(x)

-r--------+-----·~--~ x N

x

a) Para un B dado, x > N implica L-B <f(x) < L+ B

FIGURA 2.6.5 Lfmites en el infinito

y

f(x)

L +B

L

L -B

-------+-+----------+~ x x N

b) Para un B dado, x < N implica L - B < f (x) < L + B

2.6 Umites: un enfoque formal 109

dIIIQ! •• , Uso de la definicion 2.6.5;)

l ~ 3x 3 Denlllestre que 1m - + I = .

x-).oo X

Solucion Por la definicion 2.6.5i) , para cualquier 8 > 0 es necesario encontrar un numero N > 0 tal que

siempre que x> N.

Luego, al considerar x > 0, tenemos

3 3 = -- <-<8 x + 1 x

siempre que x> 3/8. Entonces, se escoge N = 3/8. Por ejemplo, si 8 = 0.01 , entonces N = 3/(0.01) = 300 garantiza que If(x) - 31 < 0.01 siempre quex > 300. •

I Posdata: Un poco de historia Despues de esta seccion tal vez este de acuerdo con el filosofo, predicador, historiador y cientffico ingles William Whewell (1794-1866) , quien escribio en 1858 que "Un limite es una concepcion .. . peculiar" . Durante muchos afios despues de la invencion del calcu10 en el siglo XVII , los matematicos discutfan y debatfan acerca de la natura1eza de un lfmite. Habfa la percepcion de que la intuicion, las graficas y ejemplos numericos de razones de cantidades que desaparecen proporcionan cuando mucho un cimiento inestable para tal concepto fundamental. Como se vera al principio del siguiente capftulo, el concepto de lfmite juega un papel central en calculo. EI estudio del calculo paso por varios periodos de creciente rigor matematico empezando con el matematico frances Augustin-Louis Cauchy y luego con el matematico aleman Karl Wilhelm Weierstrass.

Cauchy

Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) nacio durante una epoca de convulsion en la historia de Francia. Cauchy estaba destinado a iniciar una revolucion por sf mismo en matematicas. Por muchas contribuciones, pero especialmente debido a sus esfuerzos por clarificar cuestiones matematicas oscuras, su demanda incesante por con tar con definiciones satisfactorias y demostraciones rigurosas de teoremas, Cauchy a menudo es denominado "padre del analisis moderno". Escritor prolffico cuyo trabajo solo ha sido superado por unos cuan

lOS, Cauchy produjo casi 800 artfculos sobre astronomia, ffsica y matematicas. Sin embargo, la misma mentalidad que siempre estaba abierta y preguntaba sobre ciencia y matematicas tambien era estrecha y no cuestionaba muchas otras areas. Franca y arrogante, la postura apasionada de Cauchy respecto a asuntos polfticos y religiosos a menudo 10 alejaron de sus colegas.

Weierstrass

Karl Wilhelm Weierstrass (1815-1897) jUno de los analistas matematicos mas destacados del siglo XIX sin haber tenido ningun grado academico! Despues de especializarse en 1eyes en la Universidad de Bonn, aunque concentrado en esgrima y en beber cerveza durante cuatro afios, Weierstrass se "graduo" en la vida real sin ningun titulo. Al necesitar trabajo, Weierstrass aprobo un examen estata1 y recibio un certificado para ensefiar en 1841. Durante 15 afios como profesor de ensefianza secundaria, su genio matematico

dormido florecio . Aunque la cantidad de sus investigaciones publicadas era modesta, especialmente en comparacion con la de Cauchy, la calidad de estos trabajos impresiono tanto a la comunidad matematica alemana que se Ie otorgo un doctorado, honoris causa, de la Universidad de Konigsberg, y finalmente fue contratado como profesor en la Universidad de Berlfn. Una vez ahf, Weierstrass obtuvo reconocimiento internacionaI como matematico y como maestro de matematicas. Una de sus estudiantes fue Sonja Kowalewski, la mas grande matemalica del siglo XIX. Fue Karl Weierstrass quien doto de solidos fundamentos al concepto de !fmite con la definicion 8-0.


Ejercicios 2.6 Las respuestas de los problemas impares seleccionados comienzan en la pagina RES-g.

= Fundamentos 25. Para a > 0, use la identidad

En los problemas 1-24, use las definiciones 2.6.1 , 2.6.2 0 2.6.3 para demostrar el resultado sobre limites dado.

, r: , r= , r: , r= vX + va Ix - a I v x- v al=l vx - va l' =---'---

vX+va vX +\ 1. Ifm 10 = 10 2. Ifm 7T = 7T y el hecho de que vX 2 0 para demostrar q

IfmvX = va. x~5 x~-2

3. Ifm x = 3 4. lim 2x = 8 x~3 x->4

5. Ifm (x + 6) = 5 x---+- \

6. Ifm(x - 4) =-4 x->o

7. Ifm (3x + 7) = 7 .1"->0

8. lfm (9 - 6x) = 3 x->l

9. Ifm 2x - 3 = 1. .1"->2 4 4

10. Ifm 8(2x + 5) = 48 .1"-> 1/2

I, X 2 - 25

11 . .I"~~5 x + 5 = - 10 x 2

- 7x + 12 12. Ifm

x---+3 2x - 6

, 8x 5 + 12x4 13. hm 12

x->o X4

2

x--+a

26. Demuestre que lim(l / x) = ~. [Sugereneia: Considf x--+2

solo los numeros x tales que 1 < x < 3.]

En los problemas 27-30, demuestre que Ifm f(x) no exist(

27. f(x) = {2, x < 1 a = 1

0, x 2 l'

28. f(x) = C' x :s 3 a = 3

-1, x > 3'

29. f(x) = {x, 2 - x,

x :s O x > 0'

a = O

x--+ {/

I, 2X3 + 5x 2 - 2x - 5

14. lITI = 7 x->1 x 2 - 1

1 30. f(x) = - ; a = 0

x

15. Ifmx2 = 0 16. Ifm 8x3 = 0 x-;,-o x-tO

17. Ifm V5x = 0 x-+o+

18. Ifm V2.X=l = 0 .1"->(1 / 2)+

En los problemas 31-34, use la definicion 2.6.5 para demo trar el resultado de Ifmites dado.

31. Ifm 52x - 1 = ~2

.<->00 x + 1 32. Ifm 3 2x 8 = ~3

.1"->00 X + 19. Ifmj(x) = -1 ,

x->o

f(x ) = {2X - 1, x < 0 2x + 1, x > 0 33 I

, lOx • nTI -

x-> - oo X - 3 10 Xl

34. Ifm -- = 1 .1"->-00 x 2 + 3

20. lim-f(x) = 3, f(x) = .r-+ I

21. Ifmx2 = 9 x-+3

23. lim (x2 - 2x + 4) = 3

.\'-+ 1

Recta L

{a, x :s 1 3, x > 1

22. lim (2X2 + 4) = 12 x->2

24. Ifm (x 2 + 2x) = 35 X-4 5

= Piense en ello 35. Demuestre que Ifm f(x) = 0,

X-)oO

donde f(x) = {x, x ~aci~nal 0, x IlTaClOnal.

2.7 EI problema de la recta tangente I Introduccion En un curso de calculo se estudian muchas cosas diferentes, pero como Sf menciono en la introduccion de la seccion 2.1, el tema "calculo" por 10 regular se divide er dos amplias areas -relacionadas entre sf- denominadas calculo diferencial y calculo inte· gral. EI analisis de cada uno de estos temas suele comenzar con un problema de motivacion que implica la grafica de una funcion. EI estudio del calculo diferencial se motiva con eJ siguiente problema.

• Encontrar la recta tangente a la gr:ifica de una funcion f ,

mientras el estudio del calculo integral se motiva con el siguiente problema:

• Encontrar el area bajo la grafica de una funcion f EI primer problema se abordara en esta seccion, el segundo se analizara en la seccion 5.3.

I Recta tangente a una grafica La palabra tangente surge del verbo latin tangere , que significa "tocar". Quiza recuerde del estudio de geometria plana que una tangente a un cfrculo es una recta L que corta, 0 toca, al cfrculo exactamente en un punto P. Yea la FIGURA 2.7.1. No resulta tan facil definir una recta tangente a la grafica de una funcion f La idea de {aear tras

FIGURA 2.7.1 La recta tangente L lada del concepto de recta tangente a la grafica de una funcion, pero la idea de eartar fa gra-toea un cfreu lo en el punto P fica en un punta no 10 hace.

2.7 EI problema de la recta tangente 111

Suponga que y = f (x) es una funcion continua. Si, como se muestra en la FIGURA 2.7.2, f posee una recta tangente L a su gnifica en un punto P, entonces l,cual es la ecuacion de esta recta '! Para contestar esta pregunta requerimos las coordenadas de Pyla pendiente Intan de L. Las coordenadas de P no presentan ninguna dificultad, puesto que un punto sobre la grafica de LIlla funcion f se obtiene al especificar un valor de x en el dominio de f Asi, las cOOl'denadas del punto de tangencia en x = a son Ca, f(a». En consecuencia, el problema de encontrar LIll a recta tangente se vuelve en el problema de encontrar la pendiente Intan de la recta. Como medio para aproxilnar Intan , es facil encontrar las pendientes Insec de rectas secantes (del verbo latino secare, que significa "cortar") que pasan por el punto P y cualquier otro punto Q sobre la grafica. Yea la FIGURA 2.7.3 .

I Pendiente de rectas secantes Si las coordenadas de P son (a, f(a» y las coordenadas de Q SOil (a + h,j(a + h», entonces como se muestra en la FIGURA 2.7.4, la pendiente de la recta secante que pasa por P y Q es

cambio eny f(a + h) - f(a) In = =

sec cambio enx (a + h) - a

y L

Recta

+----,L~--------.. x

FIGURA 2.7.2 Recta tangente L a una grMica en el punto P

y L Recla

Q

+-,~f-------~x

o bien, f(a + h) - f(a)

Insec = h (1) FI GURA 2.7.3 Pendientes de rec-

La expresion en el miembro derecho de la igualdad en (1) se denomina cociente diferencial. Cuando se hace que h asuma valores que cada vez son mas proximos acero, es decir, cuando h ~ 0, entonces los puntos Q(a + h,j(a + h» se mueven en la curva cada vez mas cerca del punto P(a,j(a». Intuitivamente, es de esperar que las rectas secantes tiendan a la recta tangente L, y que Insec ~ Inwn cLlando h ~ O. Es decir,

en el supuesto de que el lfmite existe. Esta conclusion se resume en L1na forma equivalente del limite usando el cociente diferencial (1 ) .

Defin icion 2.7.1 Recta tangente con pendiente

Sea y = f(x) continua en el numero a. Si el lfmite , f (a + h) - f(a)

In ton = hm h. h-.O

(2)

existe, entonces la recta tangente a la grafica de f en (a, f(a)) es la recta que pasa por el punto (a, f(a» con pendiente In tan.

Justo como much os de los problemas analizados antes en este capitulo, observe que el lfmite en (2) tiene la forma indeterminada % cuando h ~ O.

Si el \fmite en (2) existe, el numero Intan tambien se denomina pendiente de la curva y = f(x) en (a,j(a».

EI ccileulo de (2) es esencialmente un proceso de cuatro pasos, tres de los cuales implican solo preccileulo matematico: algebra y trigonometria. Si los tres primeros pasos se llevan a cabo con precision, el cuarto, 0 paso de caleulo, puede ser la parte mas sencilla del problema.

Directrices para calcular (2)

i) Evaluar f(a) y f(a + h). ii) Evaluar la diferencia f(a + h) - f(a) . Simplificar.

iii) Simplificar el cociente diferencial f(a + h) - f(a)

h

iv) Caleular el limite del cociente diferencial

, f(a + h) - f(a) lIm h . 11-.0

tas secantes aproximan la pendiente In'an de L

y L Q(a + II , f(a + il»

f«(I + iI) - J«(I)

-+---I'---+----...,.---+- x a+h a

FI GURA 2.7.4 Rectas secantes giran en ta recta tangente L cuando h -> O


En muchas instancias, el calculo de la diferencia f( a + 11) - f (a ) en el paso ii) es ( importante. Resulta imperativo que usted simplifique este paso cuanto sea posible. Un CI

Nota ~ de c6mo hacerlo: en mucl10s problemas que implican el calculo de (2) es posible facto! de la diferencia f(a + 11) - f(a).

':emmR!'.' EI proceso de cuatro pasos

Encuentre la pendiente de la recta tangente a la grafica de y = x 2 + 2 en x = l.

Solucion El procedimiento de cuatro pasos presentado antes se usa con el numero 1 en del sfmbolo a.

i) El paso inicial es el calculo de f(1) y f(1 + 11). Se tiene f(1) = 12 + 2 = 3, Y

f( 1 + 11) = (l + 11)2 + 2

= (1 + 2h + 112) + 2

= 3 + 211 + 112.

ii) Luego, por el resultado en el paso precedente, la diferencia es:

f(1 + 11) - f(1) = 3 + 211 + h2 - 3

= 211 + h2

= h(2 + h). ~ ub,c rve e l fac tor de "

iii) f(1 + 11) - f(l)

Ahora, el calculo del cociente diferencial h es directo.

De nuevo, se usan los resultados del paso precedente:

f(1 + h) - f(1) h(2 + h) '--'---'-----"--'-- = = 2 + I" ~ las" sc cancc lan h 11 ,.

iv) Ahora el ultimo paso es faci!. Se observa que el Ifmite en (2) es pm e l pasu prcceuente

f( 1 + h) t f(l) t y=2x + I

1/ '--------'-- = ll/m (2 + I") = 2. mt,," = h~ h 11->0 '

a

FIGURA 2.7.5 Recta tangente en el ejemplo 2

La pendiente de la recta tangente a la grafica de y = x 2 + 2 en (l , 3) es 2.

1,1#IQi •• ) Ecuaci6n de la recta tangente

Encuentre una ecuaci6n de la recta tangente cuya pendiente se ha1l6 en el ejemplo 1.

Solucion Se conocen el punto de tangencia (1, 3) y la pendiente mtan = 2, de modo que la ecuaci6n punto-pendiente de una recta se encuentra

y - 3 = 2(x - 1) o bien, y=2x+l.

Observe que la ultima ecuaci6n es consistente con las intersecciones x y y de la recta roj . la FIGURA 2.7.5.

1'J§M4!'W' Ecuaci6n de la recta tangente

Encuentre una ecuaci6n de la recta tangente a la grafica de f(x ) = 2/ x en x = 2.

Solucion Se empieza por usar (2) para encontrar mtan con a identificada como 2. EI segundo de los cuatro pasos es necesario combinar dos fracciones simb6licas por medio d, comun denominador.

i) Se tiene f(2) = 2/ 2 = 1 Y f(2 + h) = 2/ (2 + h).

ii) f(2 + h) - f(2) = _2_ - 1 2 + h

2 2 + h (- un COl11llll deno l11inauor cs 2 + " 2+ h 2+11

2-2-h 2 + h

-11 ~ alJu i esta cl factor de "

2 + h·


iii) EI ultimo resultado debe dividirse entre h 0, mas precisamente, entre 4. Se invierte . I. 1 Y I1lUltlP lca por h:

- h f (2 + h) - f (2) = _2 _+_h = _-_'_1 . _ = _ -_ 1_

iv) Por (2), m tnn es

h h 2 + h h 2 + h· 1

, f(2 + h) - f(2) , -1 mtan = hm h = 11m -2 h =

h~O h_ O +

<- las " se cancel an

Como f(2) = 1, el punto de tangencia es (2, 1) Y la pendiente de la recta tangente en (2, 1) es m wn = -~. Con base en la ecuaci6n punto-pendiente de una recta, la recta tangente es

1 Y - 1 = - (x - 2)

2 o

1 Y = - -x + 2 2 .

y

Punto de tangenc ia

La pendiente es m'an = -

FIGURA 2.7.6 Recta tangente e' Las gnificas de y = 2/ x y la recta tangente en (2, 1) se muestran en la FIGURA 2.7.6. • el ejemplo 3

U!!§M40M' Pendiente de una recta tangente

Encuentre la pendiente de la recta tangente a la gnifica de f(x) = v:x=I en x = 5.

Soluci6n Al sustituir a por 5 en (2) se tiene:

i) f(5) = vs=l = v4 = 2, Y

f( 5 + h) = Y5 + h - 1 = "\I"4+h.

ii) La diferencia es

f(5 + h) - f(5) = "\I"4+h - 2.

Debido a que se espera encontrar un factor de h en esta diferencia, procedemos a racionalizar el numerador:

f(5 + h) - f(5) = "\I"4+h - 2 . "\I"4+h + 2 1 "\I"4+h + 2

(4 + h) - 4

V4+h + 2

h <- este es el factor de "

V4+h + 2·

/././.) A' I . d· c . I f(5 + h) - f(5) SI, e COClente llerenCla h es:

iv) EI lfmite en (2) es

f(5 + h) - f(5)

h

h

"\I"4+h + 2 h

h

h("\I"4+h + 2)

1

, f(5 + h) - f(5) , 1 mtan = hm = hm , ~

h_O h IHO V 4 + h + 2 v4 + 2 4 ·

La pendiente de la recta tangente a la gnifica de f(x) = v:x=I en (5, 2) es ~.

El resultado obtenido en el siguiente ejemplo no es sorprendente.

•


y

y = x l13

-----f----~x

FIGURA 2.7.7 Tangente vertical en el ejemplo 6

y =.f(x)

Q

--t----'----x a

FIGURA 2.7.8 La tangente no ex iste en (a, f(a))

y

---~~--~x

FIGURA 2.7.9 Funcion en el ejemplo 7

'!@~IRC'''j Recta tangente a una recta Para cualquier funcion lineal y = mx + b, la recta tangente a su gnifica coincide con la recta misma. As!, no de manera inesperada, la pendiente de la recta tangente para cualquier numero x = a es

/ f(a + h) - f(a) / mea + h) + b - (ma + b) / mh / mt ' \Il = lIm h = hm I = 11m -h = hm m = m.

• h->O 11->0 1 11 ->0 11->0 • I Tangentes verticales EI lfmite en (2) puede no existir para una funcion f en x = a y aun as! ser una tangente en el punto (a,f(a» . La recta tangente a una grafica puede ser vertical, en cuyo caso su pendiente esta indefinida. EI concepto de tangente vertical se abordara en la seccion 3.1.

'[email protected] Recta tangente vertical

Aunque por esta ocasion no se abundara en los detalles, puede demostrarse que la grafica de f(x) = Xl/3 posee una tangente vertical en el Ol'igen. En la FIGURA 2.7.7 se observa que el eje y,

es decir, la recta x = 0, es tangente a la grafica en el punto (0, 0). •

I Una tangente que puede no existir La grafica de una funcion f que es continua en un numero a no tiene pOl' que poseer una recta tangente en el punto (a,f(a»). Dna recta tangente no existira cuando la grafica de f tenga un pico pronunciado en (a,f(a)). En la FIGURA 2.7.8 se indica que puede ser erroneo cuando la grafica de la funcion tiene un "pico". En este caso .f es continua en a, pero las rectas secantes que pasan por P y Q tienden a ~ cuando Q ---+ P, y las rectas secantes que pasan por P y Q' tienden a una recta diferente LI cuando Q' ---+ P. En otras palabras, el lfmite en (2) no existe porque los lfl11ites laterales del cociente diferencial son diferentes (cuando h ---+ 0 + Y cuando h ---+ 0 - ).

U!!3MRC'W, Grafica can un pica

Demuestre que la gr:ifica de f(x) = Ixl no tiene tangente en (0, 0).

Solucion La grafica de la funcion valor absoluto en la FIGURA 2.7.9 tiene un pico en el origen. Para del110strar que la grafica de f no posee una recta tangente en el origen es necesario examinar

IfI11 f(O + h) - f(O) = Ifm 10 + hi - 101 - r ill 11--->0 h 11->0 h - II~~ h .

Por la definicion de valor absoluto

observamos que

lim ill = lfm!!:. = 1 11->0+ h 11 --->0+ h

{h, -h,

l11i e n tras

h > 0 h < 0

Puesto que los Ifmites por la derecha y por la izquierda no son iguales, se concluye que el lfmite (2) no existe. Aunque la funcion f(x) = Ixl es continua en x = 0, la gr:ifica de f no posee ninguna tangente en (0, 0) . •

I Razon de cambio media En contextos diferentes el cociente diferencial en (1) y (2), 0 pendiente de la recta secante, se escribe en terminos de simbolos alternos. EI simbol0 h en (1) Y (2) a menudo se escribe como ~x y la diferenciaf(a + ~x) - f(a) se denota por ~y, es decir, el cociente diferencial es

cambio en y f(a + ~x) - f(a) f(a + ~x) - f(a)

cambio en x (a + ~x) - a ~x (3)

Ademas, si XI = a + ~x, Xo = a, entonces ~x = XI - Xo Y (3) es 10 mismo que

f(x I) - f(xo) ~y

XI - Xo ~x · (4)

La pendiente ~ y / ~x de la recta secante que pasa por los puntos (xo,f(xo)) y (x I ,f(x I)) se denomina razon de cambia media de la funcionfsobre el intervalo [xo, xIl. Asf, ellimite lim ~y/ ~x se denomina razon de cambia media instantanea de la funcion con respecto a ~'t;g Xo .

Casi to do mundo tiene una nocion intuitiva de la velocidad como la razon a la cual se cubre una distancia en cierto lapso. Cuando, pOl' ejempl0, un autobus recorre 60 mi en 1 h, la


lle/ocidad media del autobUs debe haber sido 60 mi/h. Por supuesto, resulta diffcil mantener la razon de 60 mi/h durante to do el recorrido porque el autobus disminuye su velocidad al pasar por poblaciones y la aumenta al rebasar a otros vehfculos. En otras palabras, la velocidad cambia con el tiempo. Si el programa de la compafifa de transportes demanda que el autobus recorra las 60 minas de una poblacion a otra en 1 h, el conductor sabe instintivamente que debe compensar velocidades inferiores a 60 mi/h al conducir a velocidades superiores en otros puntos del recorrido. Saber que la velocidad media es 60 mi/h no permite, sin embargo, contestar la pregunta: ~cwil es la velocidad del autobUs en un in stante particular?

I Velocidad media En general, la velocidad media 0 rapidez media de un objeto en movimiento esta definida por

Vpro = cambio en distancia cambio en tiempo . (5)

Considere un corredor que termina una carrera de 10 km en un tiempo de 1 h 15 mll1 (1.25 h) . La velocidad media del corredor, 0 rapidez media de la carrera, fue

10 - 0 vpro = 1.25 _ 0 = 8 kmlh.

Pero suponga ahora que deseamos determinar la velocidad exacta v en el instante en que el corredor ya neva media hora corriendo. Si se mide que la distancia recorrida en el intervalo de 0 h a 0.5 h es igual a 5 krn, entonces

5 vpro = 0.5 = 10 kmlh.

De nuevo, este numero no es una medida, 0 necesariamente incluso un indicador aceptable, de la velocidad instantanea v a que el corredor se ha movido 0.5 h en la carrera. Si determinamos que a 0.6 h el corredor esta a 5.7 km de la linea de salida, entonces la velocidad media de 0 h a 0.6 h es vpro = 5.7/0.6 = 9.5 kmlh. No obstante, durante el lapso de 0.5 h a 0.6 h,

5.7 - 5 vpro = 0.6 _ 0.5 = 7 kmlh.

EI ultimo numero es una medida mas realista de la razon v. Yea la FIGURA 2.7.10. Al "estirar" el lapso entre 0.5 h y el tiempo que corresponde a la posicion medida cerca de 5 km, se espera obtener incluso una mejor aproximacion a la velocidad del con'edor en el instante 0.5 h.

I Movimiento rectilineo Para generalizar el analisis precedente, suponga que un objeto, 0

partfcula, en el punto P se mueve a 10 largo de una recta de coordenadas vertical u horizontal como se muestra en la FIGURA 2.7.11. Ademas, considere que la particula se mueve de modo que su posicion, 0 coordenada, sobre la recta esta dada por una funcion s = set), donde t representa el tiempo. Los valores de s son distancias dirigidas medidas a partir de 0 en unidades como centimetros, metros, pies 0 minas. Cuando Pesta a la derecha 0 arriba de 0, se considera s > 0, mientras s < 0 cuando Pesta a la izquierda 0 abajo de O. EI movimiento en linea recta se denomina movimiento rectilineo.

Si un objeto, como un automovil de juguete, se mueve sobre una recta de coordenadas horizontal, se trata de un punto P en el instante to Y un punto pi en el in stante tJ, y entonces las coordenadas de los puntos, que se muestran en la FIGURA 2.7.12, son sUo) y set ]). Por (4), la velocidad media del objeto en el intervalo de tiempo [to, t]] es

cambio en posicion vpro = cambio en tiempo

i!!:!MU!.M:' Velocidad me dia

s(t ]) - s(to)

t ] - to (6)

La altura s por arriba del suelo a que se suelta una pelota desde la parte superior del Arco de San Luis Missouri esta dada por s(t) = -16t2 + 630, donde s se mide en pies y t en segundos. Yea la FIGURA 2.7.13. Encuentre la velocidad media de la pelota que cae entre el instante en que se suelta la pelota y el instante en que golpea el suelo.

Salida 1,--_ -"-f;-"Ol_ JIr--'..l_<i"-,· --'I,--M~eta 5km +0,7km_1

cnO.5h enD.l h

1_---- IOkm ----~ en 1.25 h

FIGURA 2.7.10 Corredor en una carrera de 10 kill

p

o

I I I I I I . I I I .. o p

FIGURA 2.7.11 Rectas coordenadas

~ ... 1 .,;-' ~'s O~P'

FIGURA 2.7.12 Posici6n de un autom6vil de juguete sobre una recta coordenada en dos instantes

s 630 pies

Solucion El instante en que se suelta la pelota esta determinado por la ecuacion set) = 630 0 FIGURA 2.7.13 Pelota que cae en

- 16t2 + 630 = 630. Asi se obtiene t = 0 s. Cuando la pelota golpea el suelo, entonces el ejemplo 8


Ejercicios 2.7

= Fundamentos

sct) = 00 -16t2 + 630 = O. Con la ultima ecuaci6n se obtiene t = Y3 15/8 = 6.27 s. As!, por (6) la velocidad media en el intervalo de tiempo [0, Y315/8] es

s ( V35I78) - s(O) 0 - 630 . vpro = Y351/8 - 0 Y35 1/8 _ 0 = - 100.40 pies/s. •

Si se hace tl = to + D..t, 0 D..t = I I - to , Y D.. s = scto + D.. t) - scto), entonces (6) es equivalente a

(7)

Esto sugiere que el Ifmite de (7) cuando D.. t ---+ 0 proporciona la razon de cambio instantanea de sct) en t = to, 0 velocidad instantanea.

Definicion 2.7.2 Velocidad instantanea

Sea s = s(t) una funci6n que proporciona la posici6n de un objeto que se mueve en Ifnea recta. Entonces la velocidad instanhinea en el instante t = to es

(8)

siempre que el Ifmite exista.

Nota: Excepto por notaci6n e interpretaci6n, no hay ninguna diferencia matematica entre (2) y (8). Tambien, a menudo se omite la palabra instantanea, de modo que entonces se habla de la raz6n de cambia de una funci6n 0 la velacidad de una particula en movimiento.

U!!3MQ!'.' Otro repaso al ejemplo 8

Encuentre la velocidad instantanea de la pelota que cae en el ejemplo 8 en t = 3 S.

Solucion Se usa el mismo procedimiento de cuatro pasos que en los ejemplos anteriores con s = s(t) dada en el ejemplo 8.

o s(3) = -16(9) + 630 = 486. Para cualquier D..t "* 0,

s(3 + M) = -16(3 + D..tf + 630 = -16(D..t)2 - 96D..t + 486.

ii) s(3 + M) - s(3) = [- 16(D..t? - 96M + 486] - 486

= -16(D..t)2 - 96D..t = D..t( -16D..t - 96)

iii) _D.._s = _D.._t(_-_1_6"-AD.._tt _-_ 9_6_) = -16D..t - 96

D..t L.l

iv) Por (8),

v(3) = Ifm ~s = Ifm (-16D..t - 96) = -96 pies/so LlI-->O L.l t LlI-->O

(9) •

En el ejempl0 9, el numero s(3) = 486 pies es la altura de la pelota por arriba del nivel del suelo a 3 s de haber sido soltada. EI signo menos en (9) es importante porque la pelota se esta moviendo en direcci6n opuesta a la direcci6n positiva (hacia alTiba), es decir, se mueve hacia abajo.

Las respuestas de los problemas impares seleccionados comi enzan en la pag ina RES-g.

3. f(x) = x3, ( - 2, -8);x = -2,x = -1

En los problemas 1-6, trace la grMica de la funci6n y la recta tangente en el punto dado. Encuentre la pendiente de la recta sec ante que pasa por los puntos que cOlTesponden a los valores indicados de X .

4. f(x) = l/x, (1, 1); x = 0.9, x = 1

5. f(x) = sen x, (7T/2, 1); x = 7T/2, x = 27T/3

6. f(x) = cos x, (-7T/3 , D; x = -7T/2, x = -7T/3

1. f(x) = - x 2 + 9, (2, 5); x = 2, x = 2.5

I 2. f(x) = x 2 + 4x, (0, 0); x = -4' x = 0

En los problemas 7-18, use (2) para encontrar la pendiente de la recta tangente a la grafica de la funci6n en el valor dado de X. Encuentre una ecuaci6n de la recta tangente en el punto cOlTespondiente.

7. ((x) = X2

- 6, x = 3

8. lex) = -3x2 + 10 , x = -1

9. f(x) = x 2 - 3x, x = 1

10. f (x) = - x 2 + 5x - 3,x = - 2

11. lex) = -2x3 + X , X = 2 I

12. f(x ) = 8x3 - 4 ,x = 2

. 1 13. I(x) = 2x' x = -1

4 14. f(x) = - -1' x = 2 x-

15. f(x ) = 1 2 ' X = 0 (X - 1)

8 16. f(x) = 4 - -, X = -1

X

17. f(x) = \IX, x = 4 1

18. f(x) = \IX' X = 1

En los problemas 19 y 20, use (2) para encontrar la pendiente de la recta tangente a la grafica de la funcion en el valor dado de x. Encuentre una ecuacion de la recta tangente en el punto correspondiente. Antes de empezar, revise los limites en (10) y (14) de la seccion 2A, asf como las formulas de suma (17) y (18) en la seccion 1A.

19. f(x) = sen x, X = 7T/6 20. f(x) = cos x, X = 7T/4

En los problemas 21 y 22, determine si la recta que pasa por los puntos rojos es tangente a la grafica de f(x) = x 2 en el punto azul.

21. y

+-t---II-f"t'f--t--t-~ x

FIGURA 2.7.14 Gnifica para el problema 21

22. y

(3, 9)

+-+--+-+"~f++-+-~ x


23. En la FIGURA 2.7.16, la recta roja es tangente a la grafica de y = f(x) en el punto indicado. Encuentre una ecuacion de la recta tangente. l,eual es la interseccion y de la recta tangente?

y

y = f(x )

I • x 2 6


24. En la FIGURA 2.7.17, la recta roja es tangente a la grafica de y = f(x) en el punto indicado. Encuentre f( - 5).

y

y=f(x)

4

-+-------+--------~~ x - 5 7



En los problemas 25-28, use (2) para encontrar una formula para m ' an en un punto general (x,f(x» sobre 1a grafica de f Use la formula mtan para determinar los puntos en que la recta tangente a la grafica es horizontal.

25. f (x ) = -x2 + 6x + 1 26. f (x) = 2X2 + 24x - 22

27. f (x) = x 3 - 3x 28. f(x ) = - x 3 + x 2

= Aplicaciones 29. Un automovil recorre 290 mi entre Los Angeles y Las

Vegas en 5 h. l,eual es la ve10cidad media? 30. Dos senalizaciones sobre una carretera recta estan a una

distancia de 1 mi entre sf. Una patrulla observa que un automovil cubre la distancia entre las marcas en 40 s. Suponiendo que la velocidad limite es 60 mi/h, l,el automovil sera detenido por exceso de velocidad?

31. Un avion se des plaza a 920 mi/h para recorrer los 3 500 km que hay entre Hawaii y San Francisco. l,En cuantas horas realiza este vuelo?

32. Una carrera de maraton se lleva a cabo en una pista recta de 26 mi. La carrera empieza a mediodfa. A la 1 :30 p.m., un corredor cruza la marca de 10 mi y a las 3:10 p.m. el corredor pas a por la marc a de 20 mi. l,eual es la velocidad media del con'edor entre la 1:30 p.m. y las 3:10 p.m.?

En los problemas 33 y 34, la posicion de una partfcula que se mueve sobre una recta horizontal de coordenadas esta dada por la funcion. Use (8) para encontrar la velocidad instantanea de la partfcula en el instante indicado.

1 33. set) = -4t

2 + lOt + 6, t = 3 34. set) = t2 + 5t + l' t = 0

35. La altura por arriba del suelo a que se suelta una pelota a una altura inicial de 122.5 m esta dada por set) = -4.9t2

+ 122.5, donde s se mide en metros y ten segundos.

a) l,eual es la velocidad instantanea en t = 1? b) l,En que instante la pelota golpea el suelo? c) l, eual es la velocidad de impacto?

36. Al ignorar la resistencia del aire, si un objeto se deja caer desde una altura inicial h, entonces su altura por arriba del nivel del suelo en el instante t > 0 esta dada por sCt) = -1 gt 2 + h, donde g es la aceleracion de la gravedad.

a) l,En que in stante el objeto choca contra el suelo? b) Si h = 100 pies, compare los instantes de impacto

para la Tierra (g = 32 pies/s2), Marte (g = 12

pies/s2) y la Luna (g = 5.5 pies/s2

) .

c) Use (8) para encontrar una formula para la velocidad instantanea v en el in stante general t.

tl) Use los instantes encontrados en el inciso b) y la formula encontrada en el inciso c) para calcular las velocidades de impacto correspondientes para la Tierra, Marte y la Luna.

37. La altura de un proyectil disparado desde el nivel del suelo esta dada por s = -16t2 + 256t, donde s se mide en pies y t en segundos.

a) Determine la altura del proyectil en t = 2, t = 6, t = 9 y t = 10.

b) l, eual es la velocidad media del proyectil entre t = 2 Y t = 5?


c) Demuestre que la velocidad media entre t = 7 Y t = 9 es cero. Interprete ffsicamente.

a) Calcule la posici6n de la partfcula en t = 4 Y f = 6. b) Calcule la velocidad media de la partfcula entre t = 4

Y t = 6. d) l,En que instante el proyectil choca contra el suelo? e) Use (8) para encontrar una f6rmula para la velocidad

instantanea v en el instante general t. c) Ca1cule la velocidad inicial de la partfcula; es decir,

su velocidad en t = O. 1) Use el resultado del inciso d) y la f6rmula encontrada

en el inciso e) para aproximar la velocidad de impacto final.

d) Calcule el instante en que la velocidad de la partfcula es cero.

e) Determine un intervalo en que la velocidad de la partfcula es decreciente. g) l,Cual es la altura maxima que alcanza el proyectil?

38. Suponga que la grafica mostrada en la FIGURA 2.7.18 es la de la funci6n de posici6n s = set) de una partfcula que se mueve en una linea recta, don de s se mide en metros y t en segundos.

1) Determine un intervalo en que la velocidad de la partfcula es creciente.

S S( I)

II L

./'

V

= Piense en ello

39. Sea y = f(x) una funci6n par cuya grafica tiene una recta tangente In con pendiente (a,j(a». Demuestre que la pendiente de la recta tangente en (-a,j(a» es -In. [Suge

rencia: Explique por que f( -a + h) = f(a - h).]

40. Sea y = f(x) una funci6n impar cuya grafica tiene una recta tangente In con pendiente (a,j(a». Demuestre que la pendiente de la recta tangente en (-a, -f(a» es In.

FIGURA 2.7.18 Gnlilca para el problema 38

41. Proceda como en el ejemplo 7 y demuestre que no hay recta tangente a la grafica de f(x) = x 2 + Ixl en (0, 0) .

Revision del capitulo 2 las respuestas de los problemas impares se leccionados comienzan en la pagina RES-g.

A. Falso/verdadero ______________________ _

En los problemas 1-22, indique si la afirmaci6n dada es falsa (F) 0 verdadera (V).

1. lim x3

- 8 = 12 x--->2 x - 2

3. lim B = 1 x--->o X

2. lim -v;=s = 0 x---*5

4. lfm e2x -x' = 00 X->OO

(1) / Z3 + 8z - 2 . S. lim tan- I

- no existe. __ 6. 11m 2 no eXIste. x->O+ X z---> I Z + 9z - 10

7. Si lim f(x) = 3 y lim g(x) = 0, entonces Ifm f(x)/ g(x) no existe. __ x----ta x~a x~a

8. Si Ifm f(x) existe y Ifm g(x) no existe, entonces lim f(x)g(x) no existe. __ x---+a X - HI x---+(/

9. Si Ifm f(x) = 00 y Ifm g(x) = 00, entonces Ifm f(x)/ g(x) = 1. __ x-..... -H I x ---+a x-.:;o

10. Si Ifm f(x) = 00 y lim g(x) = 00, entonces lim [f(x) - g(x) ] = o. __ x---+a X-hi x---+a

11. Si f es una funci6n polinomial, entonces Ifm f(x) = 00. __ x---+oo

12. Toda funci6n polinomial es continua sobre (-00,00). __

13. Para f(x) = x 5 + 3x - 1 existe un numero c en [-1 , 1] tal que f(c) = o. __ 14. Si f y g son continuas en el numero 2, entonces f/ g es continua en 2. __

IS. La funci6n entero mayor f(x) = l x J no es continua sobre el intervalo [0, 1]. __

16. Si lim f(x) y Ifm f(x) existen, entonces Ifm f(x) existe. __ x---+a - x---+o+ x---+a

17. Si una funci6n f es discontinua en el numero 3, entonces f(3) no esta definido. __

18. Si una funci6n f es discontinua en el numero a, entonces Ifm (x - a)f(x) = O. __ X-joll

19. Si f es continua y f(a)f(b) < 0, existe una rafz de f(x) = 0 en el intervalo [a, b]. __

lX2

-6x+ 5 x,*5

20. La func i6n f(x) = 4 x - 5 ' es di scontinua en 5. , x= 5

f ' , f() Vx. , . I 1 21. La uncI on x = --1 tlene una aSll1tota vertlca en x = - . x+

22. Si y = x - 2 es una recta tangente a Ia gnifica de Ia funci6n y = f(x ) en (3,1(3» , entoncesf(3) = I. __

B. Liene los espacios en blanco __________________ _

En los problemas 1-22, Ilene los espacios en blanco.

1. lfm(3x2 - 4x) = __ 2. Ifm(5x2)o = __ . r~2 x~3

3 lfm 2t - 1 = 4. Ifm ~ = • 1->00 3 - lOt x-+- oo X + 1

1 - cos2(t - 1) 5 llm----'----

• 1-+1 t - 1

7. 11m el/x = .\"---:)00+

9. Ifm el/x =

6. Ifm se5n 3x =

x-+o x

8. Ifme l/x =

x---tO~

1 1, 1

1 llTI - -=-oo • x-+- x - 3

12. Ifm (5x + 2) = 22 X-7_

13. Ifmx3 = -00 14. Ifm, I; = 00 .\"-+- x-+_ V x

15. S if(x ) = 2(x - 4)/ lx - 4 1,x '* 4, Y f(4) = 9, entonces lfm_ f(x) = __ . x~4

16. Suponga que x 2 - x4/ 3 ::5 f(x ) ::5 x 2 para toda x. Entonces \fm f (x) / x2 = __ .

x~o

17. Si f es continua en un numero a y Hm f(x) = 10, entonces f(a) = __ . x-...:;a

18. Si f es continua en x = 5,1(5) = 2, Y Hm g(x) = 10, entonces 1fm [g(x) - f(x)] x~5 x~5

19. f(x) = J :; -=- 11' x '* ~ es (continua/discontinua) en el numero ~. lO.5, x = !

20. La ecuaci6n e- x' = x 2

- I tiene precisamente __ rakes en el intervalo (- 00, (0).

21 L f . , f() 10 x2

- 4 . d"'d d 'bl 2 P . · a unClon x = - + - - 2- twne una lscontll1Ul a femOVl e en x = . ara qUltar x x-

la discontinuidad, es necesario definir que f(2) sea __ .

22. Si Ifm g(x) = -9 y f(x) = x 2, entonces Ifm f(g(x» = __ .

x----., - 5 X---7-5

C. Ejercicios __________________________ _

En los problemas 1-4, trace una gnifica de la funci6n f que satisface las condiciones dadas.

1. f (O) = 1,1(4) = 0,1(6) = 0, IfmJ(x) = 2, IfmJ(x) = 00, !fm f(x) = 0, Ifm f(x) = 2 x---t 3 x---t 3 x ---t - 00 x ---tOO

2. !fm f(x) = 0,1(0) = I, lfmJ(x) = 00, Ifm f(x) = 00,1(5) = 0, Ifm f(x) = -I x---t -00 x---t4 x ---t4 + x ---tOO

3. Hm f(x) = 2,1(-1) = 3,1(0) = O,f( - x) = -f(x) x---+-oo

4. Ifm f(x) = 0,1(0) = - 3,1( 1) = O,f(-x) = f(x) x---tOO

Revisi6n del capitulo 2 119

En los problemas 5-10, establezca cmiles de las condiciones a)-j) son apJicables a la gnifica de y = f(x).

a ) f( a) no esta definida b) f(a) = L c) f es continua en x = a d) f es continua sobre [0, a] e) Ifm f(x) = L X---7a +

f) Ifm f(x) = L g) Ifm If(x)1 = 00 h) lim f(x) = L i) Ifm f(x) = -00 j) Ifm f(x) = 0 .\'--7{/ x-+a x---+oo x-----+oo ..\"----+00


5. y y = .r(x)

L --+-----<;>----

--I---j---+- x a

FIGURA 2.R.l Grafica para el problema 5

8. y

L y = l(x)

--II----+--_\_+_ x

FIGURA 2.RA Gnifica para el problema 8

6.

9.

:t I I -I I

Y = .r(x)

I x

a

FIGURA 2.R.2 Grafica para el problema 6

T y = f(x) I

I

a

7.

10.

X

y

FIGURA 2.R.3 Grafica para el problema 7

y

L

i~) a

FIGURA 2.R.5 Griifica FIGURA 2.R.6 Griifica para el problema 9 para el problema 10

x

En los problemas 11 y 12, trace la gnifica de la funci6n dada. Determine los valores (ntlmeros), en caso de haber alguno, en que f es continua.

11. fex) = Ixl + x 12. fex) = 3, x < 2 2 < x<4

I

x + 1,

-x+7, x>4

En los problemas 13-16, determine intervalos sobre los que la funci6n dada es continua.

13. f(x) = X3 + 6 14. f(x) = ~ x - X x2

- 4x + 3

15. f(x) = vi-=-s 16. f(x) = ~s~xx x 2 - 5 V x

17. Encuentre un numero k de modo que

fex) = {~_+~: ; ~ ; sea continua en el numero 3.

18. Encuentre numeros a y b tales que

Ix + 4,

f(x) = ax + b, 3x - 8,

sea continua en todas partes.

X :S 1 l <x:s 3 x> 3

En los problemas 19-22, encuentre la pendiente de la recta tangente a la gnifica de la funci6n en el valor dado de x. Encuentre una ecuaci6n de la recta tangente en el punto correspondiente.

19. f(x) = -3x2 + 16x + 12, x = 2 20. fex) = ~ - x2, X = - 1

- 1 1 21. f(x) = -2' x = - 22. fex) = x + 4 \IX, x = 4

2x 2

23. Encuentre una ecuaci6n de la recta que es perpendicular a la recta tangente en el punta (1, 2) sobre la grafica de f(x) = -4x2 + 6x.

24. Suponga que fex) = 2x + 5 y e = 0.01. Encuentre un 0 > 0 que garantice que If(x) - 71 < e cuando 0 < Ix - 11 < o. Al encontrar 0, (,que limite se ha demostrado?

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