Calculo 1 Derivación

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LA DERIVADA Y EL PROBLEMA DE LA RECTA TANGENTERecordemos el camino trazado Funciones de una variableLimites y continuidadLa derivadaClculoDiferencial

Pero, antes de iniciar HAGAMONOS una simple preguntaYa analizamosfuncionesTambin limites de funcionesY el tema que iniciamos hoy es.2Qu es unaderivada?

( un minuto de silencio)veamos un ejemplo...Introduccin a la Derivada3La pregunta del millnQu es una derivada?Si tenemos una funcin definida por

La mayora contestara: su derivada es: MUY BIEN!! .. Pero..memorizar trminos matemticos y no tener la mnimaidea de lo que significan, es equivalente a no saberlos..las matemticas no se memorizan se deben razonar!!

4Algunos conceptos bsicos.La recta secante y la recta tangenteen trminos geomtricosRecta secanteRecta tangentees una recta queintersecta un crculoen dos puntoses una recta quetiene un punto en comn con un circuloapliquemos lo anterior en una funcin..5Algunos conceptos bsicos.La recta secante y la recta tangenteen una funcin

Funcin original6

Algunos conceptos bsicos.La recta secante y la recta tangenteen una funcinFuncin originalRecta secante7

Algunos conceptos bsicos.La recta secante y la recta tangenteen una funcinFuncin originalRecta tangente8Algunos conceptos bsicos.Sabemos que una de las caractersticasprincipales de una recta es su pendiente (m)En trminos muy simples la pendiente de una recta esun valor numrico que representa la inclinacin de dicha recta

Muy sencillo de obtener si tienes dos puntos sobre una recta!9

Algunos conceptos bsicos.Funcin originalRecta secanteDe acuerdo a lo anterior, la obtencin de la pendiente de una rectasecante en la curva de una funcin es:

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Algunos conceptos bsicos.Recta tangentePero.. y como obtener anlogamente la pendiente de una rectatangente si solo se conoce un punto?

11Algo de historia.Esta cuestin se origin con los matemticos griegos hace dos mil aos, y fue finalmente abordada en el siglo XVII por varios matemticos ilustres, entre los que se encuentran :

Pierre de Fermat

Rene Descartes

Gottfried Wilhelm Leibniz Leibniz, llamado por muchos el padre del ClculoModerno, en 1684 propuso un mtodo general para encontrar las tangentes a unacurva a travs de lo que el llamo smbolos.

Cmo?

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La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un mtodo para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA RECTA TANGENTESupongamos que deseamosconocer la pendiente de larecta tangente en X=1Observe que si hacemosdiversas aproximaciones de rectassecantes, podemos hacer unamuy buena estimacin de la Pendiente de la recta tangente

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La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un mtodo para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

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La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un mtodo para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

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La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un mtodo para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

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La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un mtodo para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

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La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un mtodo para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

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La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un mtodo para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

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La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un mtodo para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

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La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un mtodo para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

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La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un mtodo para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

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La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un mtodo para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

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La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un mtodo para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

Observa que el punto

Cada vez se acercams al punto

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La derivada.Recuerda que lo que se desea es conocer un mtodo para encontrarel valor de la PENDIENTE DE UNA TANGENTE

Ahora, como expresar elcomportamiento anterioren trminos matemticos?25

La derivada.

Aprox.

Procedemosa sustituir:

26

La derivada.

Considerando:

Procedemosa sustituir: 27La derivada.

AhoraConsideremos:

28La derivada.

Ahora recordemos el comportamientode las rectas secantes y podemos ver que tiende a disminuir

29La derivada.

Ahora recordemos el comportamientode las rectas secantes y podemos ver que tiende a disminuir

30La derivada.

Podemos expresar lo anterior as:lim

Analizando dicho comportamiento,procedemos a aplicar un lmite as:Se puede observarque el punto cada vez se aproximams al puntopero no llegar a tocarlo

31La derivada.

Finalmente considerando lo siguiente:lim

La expresin nos queda as:

32

La derivada.

Finalmente considerando lo siguiente:lim

La expresin nos queda as:

33La derivada.

lim

Este lmite (el cual genera otra funcin), representa la pendiente de las diversas rectas tangentes a lagrfica de una funcin..Y se le conoce comnmente como:La DerivadaMisma, que en honor a Leibniz puede ser representada as:

Por su origen basado enincrementos=34La derivada.lim

=Y precisamente por esta frmula es que lo siguiente, ahora si, tiene sentido:Si tenemos una funcin definida por

Entonces su derivada es:

Comprobemos lo anterior conUna prctica ligera..Y gracias a esta funcin que se deriva de la original, podemos obtener las pendientes de las rectas tangentes que pertenecen a la funcin original35Aplicacin del lmite obtenido.Procederemos a la aplicacindel lmite deducido paraobtener la derivada de la funcin:

Recordemos que laderivada esta definidapor el lmite:Al evaluar el trmino

se puede observar que:

Al sustituirlo obtenemos:36

Al desarrollar el binomioal cuadrado obtenemos:

Reduciendo trminos:

Aplicando los teoremassobre lmites tenemos losiguiente:37Aplicacin del lmite obtenido.

Al evaluar dichos lmites llegamos a la conclusin que:Si tenemos una funcin definida por

Entonces su derivada es:

Y gracias al desarrollo del lmite anterior podemos generalizar su aplicacin en diversas funciones,tal como se muestra en la siguiente tabla:038

Representacin grfica de:

La funcin querepresenta suderivada es:

Suponga que deseamos conocer la pendiente de la recta tangente mostradaRepresentacin grfica de:

La funcin querepresenta suderivada es:

Al sustituiren la derivadael valor de X:

Observe que:

Representacin grfica de:

La funcin querepresenta suderivada es:

De esta manera podemos obtener las pendientes de diversas rectas tangenteslocalizadas en la grfica de una funcin

Representacin grfica de:

La funcin querepresenta suderivada es:

De esta manera podemos obtener las pendientes de diversas rectas tangenteslocalizadas en la grfica de una funcin

Referencia: El Clculopor Louis LeitholdAhora podemos aplicar la derivada para obtener las pendientes de las rectas tangentesAhora si ya podemos empezar con los primeros ejemplos.