Tema 7 Capa Limite 0405 (1)

Área de Mecánica de Fluidos. CAPA LÍMITE

1

Área de Mecánica de Fluidos

CAPA LÍMITE

1. INTRODUCCIÓN

2. MÉTODOS INTEGRALES EN LA TEORÍA DE LA CAPA LÍMITE

3. LAS ECUACIONES DE LA CAPA LÍMITE

4. CAPA LÍMITE SOBRE UNA PLACA PLANA

5. CAPA LÍMITE CON GRADIENTE DE PRESIÓN

6. FUERZAS SOBRE OBJETOS SUMERGIDOS

7. BIBLIOGRAFÍA

8. PROBLEMAS RESUELTOS

Curso 2004-2005


2

1. INTRODUCCIÓN


3

2. MÉTODOS INTEGRALES EN LA TEORÍA DE LA CAPA LÍMITE

∫δ

−ρ=)x(

0dy)uU(ubD


4

3. LAS ECUACIONES DE LA CAPA LÍMITE

• Ecuaciones de la capa límite bidimensional:

• Hipótesis de Prandtl: si el nº de Reynolds es muy grande, la capa límite es

muy delgada y se verifica:

yx,uv

∂∂

<<∂∂

<<

• Ecuaciones de la capa límite de Prandtl:


5

4. CAPA LÍMITE SOBRE UNA PLACA PLANA


6

• Transición de capa límite laminar a capa límite turbulenta:

-Gradiente de presión de la corriente exterior

-Nivel de turbulencia de la corriente exterior

-Rugosidad superficial

-Curvatura de la superficie

-Succión e inyección de fluido

-Calentamiento o enfriamiento de la superficie Placa plana sin turbulencia en la corriente exterior: transición para 3 105 < Rex < 2 106


7

5. CAPA LÍMITE CON GRADIENTE DE PRESIÓN


8


9

6. FUERZAS SOBRE OBJETOS SUMERGIDOS


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ARRASTRE


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13


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15

5102Re250,Re

7.191198.0u

dfStrouhaldeºn <<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −==

∞


16

SUSTENTACIÓN


17


18


19


20

7. BIBLIOGRAFÍA

Blevins, R.D. “Applied Fluid Mechanics Handbook”, Krieger Publishing Company, 1992.

Fox, R.W.; McDonald, A.T. “Introducción a la mecánica de fluidos”, McGraw-Hill1, 1995.

Gerhart, P.; Gross, R.; Hochstein, J. “Fundamentos de Mecánica de Fluidos”, Addison-Wesley Iberoamericana, 1995.

Massey, B.S.”Mecánica de los fluidos”, C.E.C.S.A., 1979.

Shames, I.H., “Mecánica de Fluidos”, McGraw-Hill, 1972.

Schlichting, H., “Teoría de la capa límite”, Urmo, 1972.

Streeter, V.L.; Wylie, E.D., “Mecánica de los Fluidos”, Mc. Graw-Hill, 1987.

White, F.M. “Mecánica de fluidos”, McGraw-Hill, 2003.

White F.M. “Viscous Fluid Flow”, McGraw-Hill, 1991.


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8. PROBLEMAS RESUELTOS

1) Calcúlese la velocidad terminal de caída de un paracaidista (antes de abrir el paracaídas) si cae en las siguientes posiciones:

a) En posición vertical (de pie). CD·A = 0.11 m2 b) En posición horizontal. CD·A = 0.84 m2 c) Acurrucado. CD·A = 0.24 m2

DATOS: Masa del paracaidista, m = 80 kg; densidad del aire, ρ = 1.2 kg/m3. RESOLUCIÓN

Cuando se alcanza la velocidad terminal, se igualan el peso del paracaidista y la fuerza de arrastre sobre el paracaidista:

Arrastre Peso =

Av21Cgm 2

D ρ=

Despejando la velocidad: ACρ

gm2vD

=

Sustituyendo valores en cada caso: a) En posición vertical: v = 109 m/s b) En posición horizontal: v = 39.5 m/s c) Acurrucado: v = 73.8 m/s

2) Una esfera de diámetro d = 12 cm y masa m = 3 kg cae verticalmente en el interior de un fluido cuya viscosidad cinemática es ν = 3·10-5 m2/s y cuya densidad es ρ = 1200 kg/m3.

Determínese la velocidad terminal de caída utilizando el diagrama adjunto (CD = CD (Re) para esferas).


22

RESOLUCIÓN

La velocidad terminal de caída se alcanza cuando se igualan el peso de la esfera y la suma del empuje más la fuerza de arrastre sobre la misma. En ese momento la aceleración será nula. En el equilibrio:

PED =+

EPD −=

g2d

34E;gmP

3

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛πρ==

22

D 2dv

21CD ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛πρ=

Igualando: gd6

gmd8

vC 322D

πρ−=

πρ

76.2d

8

gd6

gmvC

2

32

D =π

ρ

πρ−

=

Pero como CD = CD (Re), tendremos que iterar con el diagrama:

- Suponemos v = 2 m/s: νdvRe = = 8000 CD = 0,4 CD·v2 = 1.6: no se verifica

- Suponemos v = 3 m/s: Re = 12000 CD = 0,41 CD·v2 = 4.14: no se verifica - Suponemos v = 2.62 m/s: Re = 10480 CD = 0,4 CD·v2 = 2.74: correcto

D+E

V

P


23

3) Un tanque de sedimentación para suministro de agua a un municipio tiene 3 m de profundidad, existiendo un flujo horizontal continuo de 30 cm/s. Si se desea que sedimenten todas las partículas (supuestas esféricas) de diámetro superior a 1 mm antes de que el agua salga del tanque: ¿cuál debe ser la longitud mínima, L, del tanque?

DATOS: Densidad del agua, ρΑ = 1000 kg/m3; densidad de las partículas, ρP = 2600 kg/m3; viscosidad

cinemática del agua, ν = 1.21·10-6 m2/s; úsese el diagrama del problema anterior del CD = CD (Re) para esferas.

V

D+E

P

30 cm/s

¿L?

3 m

RESOLUCIÓN

La velocidad terminal de caída se alcanza cuando se igualan el peso de la esfera y la suma del empuje más la fuerza de arrastre sobre la misma. Realizando el balance de fuerzas cuan do se ha alcanzado dicha velocidad:

PED =+

EPD −=

gVE;gVP AP ρ=ρ=

Av21CD 2

AD ρ=

Siendo: 32 d6

V;d4

A π=

π=

Igualando: gV)(Av21C AP

2AD ρ−ρ=ρ

0209.0A

gV)(2vCA

AP2D =

ρ

ρ−ρ=


- Suponemos v = 1 m/s: ν

=dvRe = 826 CD = 0.46 CD·v2 = 0.46: no se verifica

- Suponemos v = 0.5 m/s: Re = 413 CD = 0.6 CD·v2 = 0.15: no se verifica - Suponemos v = 0.15 m/s: Re = 124 CD = 0.9 CD·v2 = 0.0203: correcto

D+E

V

P


24

La partícula tarda en caer hasta el fondo: seg2015.03

vht === . En esos 20 segundos, la partícula

recorre en dirección horizontal: m620·3.0L == . Si se desease que sedimenten todas las partículas (supuestas esféricas) de diámetro superior a 0.1 mm, se

obtendría: 00209.0vC 2D =

- Sup. v = 0.05 m/s: ν

=dvRe = 4.1 CD = 8.5 CD·v2 = 0.021: no se verifica

- Sup. v = 0.005 m/s: Re = 0.4 CD = 60 CD·v2 = 0.0015: no se verifica - Sup. v = 0.008 m/s: Re = 0.66 CD = 40 CD·v2 = 0.00256: correcto

La partícula tarda en caer hasta el fondo: seg375008.03

vht === . En esos 20 segundos, la partícula

recorre en dirección horizontal: m5.112375·3.0L == .

4) Una corriente de aire de 60 m/s incide sobre una esfera lisa cuyo diámetro es 0.15 m.

a) Determínese la fuerza de arrastre sobre la misma. b) ¿Cuál sería el arrastre si, en vez de una esfera, se coloca un disco del mismo diámetro perpendicularmente a

la corriente? DATOS: Viscosidad cinemática del aire, νA = 1.5·10-5 m2/s; densidad del aire, ρΑ = 1.2 kg/m3; úsese el

diagrama de un problema anterior del CD = CD (Re) para esferas y discos. RESOLUCIÓN

a) La fuerza de arrastre se obtiene con la expresión: Av21CD 2

AD ρ= . En este caso, A es el área frontal:

2d4

A π= , y CD depende del número de Reynolds:

ν=

dvRe , que en este caso vale: 55 106

105.115.060Re == − ;

entrando en el gráfico, se obtiene un coeficiente de arrastre CD = 0.2, por lo que:

N63.715.04

602.1212.0D 22 =

π=

b) En el caso del disco, lo único que varía es el valor del CD pues el número de Reynolds y el área frontal son

los mismos que en el apartado anterior; entrando en el gráfico en la curva correspondiente a discos, se un coeficiente de arrastre CD = 1.17, por lo que:

N66.4415.04

602.12117.1D 22 =

π=


25

5) Una gota de agua de 1 mm de diámetro cae en el aire, y una burbuja de aire, también de 1 mm de diámetro, se eleva en agua.

Determínese la velocidad terminal en ambos casos, suponiendo esférica la forma de ambas. DATOS: Viscosidad cinemática del aire, νA = 1.5·10-5 m2/s; densidad del aire, ρΑ = 1.2 kg/m3; viscosidad cinemática del agua, νW = 1.21·10-6 m2/s; densidad del agua, ρW = 1000 kg/m3; úsese el diagrama de un problema anterior del CD = CD (Re) para esferas y discos. RESOLUCIÓN

a) Gota de agua: La velocidad terminal de caída se alcanza cuando se igualan el peso de la gota y la suma del empuje mas la fuerza de arrastre sobre la misma. En ese momento la aceleración será nula. En el equilibrio:

PED =+ ; EPD −=

gd6

E;gd6

P 3A

3W

πρ=

πρ=

22

AD 2dv

21CD ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛πρ=

Igualando y despejando: 87.10g1d34vC

A

W2D =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ρρ

=


- Suponemos v = 4 m/s: ν

=dvRe = 266.66 CD = 0,65 CD·v2 = 10.4: no se verifica,

- Suponemos v = 4.1 m/s: Re = 273.33 CD = 0.66 CD·v2 = 11.09: no se verifica, - Suponemos v = 4.05 m/s: Re = 270 CD = 0.66 CD·v2 = 10.82: correcto. b) Burbuja de aire: En este caso el movimiento es hacia arriba. La velocidad terminal de ascenso se alcanza

cuando se igualan el empuje y la suma del peso de la burbuja y el arrastre sobre la misma. En ese momento la aceleración será nula. En el equilibrio:

EPD =+ ; PED −=

gd6

E;gd6

P 3W

3A

πρ=

πρ=

22

WD 2dv

21CD ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛πρ=

Igualando y despejando: 013.0g1d34vC

W

A2D =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρρ

−=

Pero como CD = CD (Re), tendremos que iterar con el diagrama: - Suponemos v = 0.01 m/s: Re = 8.26 CD = 5 CD·v2 = 5 10-4: no se verifica - Suponemos v = 0.1 m/s: Re = 82.6 CD = 1.2 CD·v2 = 0.12: no se verifica - Suponemos v = 0.11 m/s: Re = 90.9 CD = 1.1 CD·v2 = 0.0133: correcto

D+E

V

P

E

P+D

V


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6) Un coche de masa mC = 2000 kg, coeficiente de arrastre CDC = 0.3, y área frontal AC = 1 m2 despliega para frenar un paracaídas cuya área frontal es un círculo de 2 m de diámetro y cuyo coeficiente de arrastre es CDP = 1.2. Si la velocidad inicial del vehículo es de 100 m/s, despreciando la resistencia a la rodadura, suponiendo que los valores de los CD no varían y que no se utiliza otro mecanismo de frenado, calcúlese la distancia recorrida y su velocidad después de 1, 10 100 y 1000 s de desplegar el paracaídas.

DATOS: Densidad del aire, ρ = 1.2 kg/m3.

RESOLUCIÓN

Para resolver el problema, se aplica la 2ª ley de Newton en la dirección del movimiento:

( )PDPCDC2

PCC ACACv21DD

dtvdm +ρ−=−−=

( )C

PDPCDC2m2

ACACKsiendo;vKdtvd +ρ

=−=

Integrando:dtdx

tvK1vv

O

O =+

=

Integrando de nuevo: )tvK1ln(K1x O+=

Sustituyendo valores: ( ) 00122.0

m2ACACK

C

PDPCDC =+ρ

=

Tabulando los resultados: t (s) 1 10 100 1000 v (m/s) 89 45 7.6 0.81 x (m) 94 653 2113 3941


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7) Una corriente de aire de velocidad uniforme UV incide sobre la parte no sumergida de un iceberg, que flota en una zona en la que no existe ninguna corriente marina.

a) Si la forma del iceberg puede ser aproximada por un cilindro de diámetro D y altura L, y si la relación entre

la parte sumergida y la no sumergida es la indicada en la figura, determínese una expresión para la velocidad UI de avance del iceberg, en función de las diferentes variables que intervienen en el problema, suponiendo conocido el coeficiente de arrastre (definido a partir del área frontal).

b) Si se puede despreciar la dependencia del coeficiente de arrastre con el número de Reynolds, obténgase el valor numérico de la velocidad UI de avance (en km/día), con los valores numéricos suministrados.

DATOS: Densidad del agua marina, ρW = 1025 kg/m3, densidad del aire, ρA = 1.22 kg/m3; altura del iceberg, L = 100 m; diámetro del iceberg, d = 800 m; velocidad del viento, UV = 15 m/s.

RESOLUCIÓN

a) Al incidir el viento sobre el iceberg, ejerce una fuerza sobre él, debido a la cual, el iceberg se pone en movimiento, apareciendo una fuerza de resistencia al avance en el agua. El iceberg se acelerará hasta que se alcance una velocidad constante; en ese momento, la resistencia ejercida por el agua se iguala al arrastre producido por el aire:

U - UV I

UI

DA

DW

0dtvdmDD WA ==−

d8L)UU(

21Cd

8L7U

21C 2

IVADA2IWDW −ρ=ρ

ADA

WDW2I

ADA

WDW2IIV

2V C

C7llamamos;UCC7UUU2U

ρρ

=αρρ

=+−

0UUU2U)1( 2VIV

2I =+−−α


28

( )negativasoluciónlaodescartand)1

U)1(2

U2U2U VVVI +α

=−α

α±−=

b) Si CD ≠ CD (Re) entonces CDW = CDA y 58817=

ρρ

=αA

W :

km/día67.16m/s193.015881

15)1

UU VI ==

+=

+α=

8) Una esfera de diámetro dE de un material cuya densidad es ρΕ se introduce en agua, ρΑ, con una velocidad de entrada, vE. Calcúlese la profundidad H hasta la que descenderá suponiendo que el coeficiente de arrastre, CDE se puede considerar constante durante el descenso.

VE

H

DATOS: Aplicación numérica: dE = 5 cm; ρΕ = 500 kg/m3, vE = 10 m/s ρΑ = 1000 kg/m3; CDE = 0.47. RESOLUCIÓN

Una vez inmersa la esfera, se ve sometida a la acción del peso (hacia abajo) y del

empuje y del arrastre (hacia arriba): Aplicando equilibrio de fuerzas, teniendo en cuenta que la velocidad no se

mantiene constante:

dtvdmEDP E=−−

Vm;gVE;gVP EEAE ρ=ρ=ρ=

Av21CD 2

ADE ρ=

Siendo: 3E

2E d

6V;d

4A π

=π

=

Sustituyendo: dtvdVAv

21CgV)( E

2ADEAE ρ=ρ−ρ−ρ .

D+E

V

P


29

Reordenando: dx

vdvdtdx

dxvdv

VA

21Cg)1(

dtvd 2

E

ADE

E

A ==ρρ

−ρρ

−=

Integrando, con los siguientes límites de integración: en x: de 0 a H

en v: de vE a 0

se obtiene:

g1vVA

21C

g1ln

C1

AVH

E

A2E

E

ADE

E

A

DEA

E

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ρρ

+ρρ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ρρ

ρρ

−=

Aplicación numérica: H = 0.176 m.


30

9) Un avión pesa 350 kN, y el área total en planta de sus alas es 250 m2. Sus motores pueden suministrar un empuje constante de 45 kN. La relación de aspecto (o alargamiento) de las alas es AR = 7 y el coeficiente de arrastre con envergadura infinita de los perfiles utilizados en sus alas vale 0.02CD ≈∞ , y se puede considerar constante.

Despreciando la resistencia de rodadura, determínese la longitud mínima de despegue, si la velocidad de despegue es 1.2 veces la velocidad de entrada en pérdida.

DATOS: - Densidad del aire: 1.2 kg/m3 - La velocidad de entrada en pérdida es la mínima velocidad para la que la sustentación generada por las alas equilibra el peso del avión.

- La variación del coeficiente de arrastre al modificar la relación de aspecto es la siguiente: AR

CCC2L

DD π+= ∞ ,

siendo CL el coeficiente de sustentación. RESOLUCIÓN

En primer lugar se calcula la velocidad de entrada en pérdida, igualando el peso a la sustentación:

m/s9.33CAW2v;CAv

21LW

2/1

maxLPSmaxLP

2S =⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ρ

=ρ==

Por tanto, la velocidad de despegue será: m/s7.40v2.1v SD ==

El coeficiente de arrastre será: 7

C02.0AR

CCC2L

2L

DD π+=

π+= ∞

Ahora se plantea el equilibrio de fuerzas en la dirección del movimiento:

dxvdvm

dtxd

dxvdm

dtvdmDE ===−

2DP

2 vkCAv21D =ρ=

∫∫ −==−

DD v

02

2x

0

2

vkE

vd2mdx;

dxvdvmvkE

2D

D vkEEln

k2mx

−=

Resolución numérica:

391v

21 2

.A

WCPD

LD =ρ

= , 108.07

39.102.0C2

D =π

+= , kg3.35714gWm == , 47.16k =

m6.1010xD =

Tema 7 Capa Limite 0405 (1)

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