Limite y Continuidad 1

8/21/2019 Limite y Continuidad 1

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Funciones, Lmite yContinuidad

APUNTES Y EJERCICIOS

Universidad Tecnolgica de Chile

SEDE CALAMA


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Gua de Apuntes y Ejercicios

Funciones, lmites y continuidad Pgina 1

FUNCIONES Y SUS GRFICAS

Funciones: El significado de la palabra funcin la utilizamos frecuentemente en

nuestras vidas. Si dicen que el precio de las naranjas es de $790 el kilo, pero que

tambin las hay a $860, incluso a $1.220 el kilo, dirs: las de $1.220

probablemente sean las mejores.

Ests relacionandola calidad con el precio o que el precio dependede la calidad.

En lugar de utilizar las palabras: relacionar, depender, etc., en matemticas, en el

caso de las naranjas, diramos que el precio est en funcin (depende) de la

calidad.

El consumo de gasolina de un auto est en funcin con la velocidad que ste lleve;

a mayor velocidad, mayor consumo. El tiempo que tardes en llegar a casa cuandovas en bicicleta est en funcincon la velocidad que lleves.

En las funciones, vemos que hay dos partes: calidad-precio, distancia-velocidad,

tiempo-velocidad, etc. Es como si estuvisemos trabajando con dos incgnitas o

variables, por ejemplo,xe y. En todos los casos, comprobamos que una variable

est dependiendo de la otra, o mejor, una est funcinde la otra. En el caso de

las naranjas, el precio depende o est en funcin con la calidad. El tiempo

invertido en mi viaje en bicicleta depende,est en funcincon la velocidad quelleve, etc.

Definicin de funcin:Una funcin, denotada por f, es una correspondencia entre

los elementos de dos conjuntos de tal forma que a cada elemento de un conjuntoX

se asocia un nicoelemento de otro conjunto Y.

Variables: A la x la llamamos variable independiente. A la y la llamamos

variable dependiente; ydepende del valor de xo y

est en funcin dex.

La notacin utilizada para indicar que "fes una funcin

deXen Y " es la siguiente: .


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De un modo muy sencillo: . Estamos diciendo que y est en funcin de x.Ejemplos:

1.-Tenemos la siguiente igualdad: . Sixvale 3 cul ser el valorde y?

Solucin: Como el valor de x=3. En la igualdad, , luego y=62.-Si para x=2. Cunto vale y?Solucin: En la igualdad, luego y=43.-En el problema anterior cul es el valor de f (3)?

Solucin: Sabemos que podemos escribir f(x) como si fuera y(y es una funcin de

x) . Cuandox vale 3 podemos escribir: . Luego y=74.-En , cunto vale f (5)?Solucin: 5.-En la igualdad

Cunto vale ycuandoxes igual a 4?

Solucin: Sustituyesxpor 4 y resolviendo tenemos: Grfica en el Eje de Coordenadas Cartesianas:Para colocar un punto en un eje

de coordenadas, necesitassaber el valor de las dosvariablesx ey.

A partir de estos dos valores, trazas dos rectas paralelas a los ejes y el lugar donde

stas se corten sealar el punto que buscamos.

Ejemplo:

6.- Supongamos la igualdad: . Coloca elpunto en un eje de coordenadas cuando x = 1.

Respuesta:Cuandoxvale 1, y vale 4:


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7.-Cuandoxvale 3 calcula el valor de f(x)

en la ecuacin: y sita el punto enun eje de coordenadas. Respuesta:

Cuando x vale 3, y es igual a 2.

Solucin: .El punto (3,2) queda situado del modo

siguiente:

8.-Representar grficamente la ecuacin: y = 2x + 1.

Solucin:Podemos hacer una tabla de valores dexe yen forma de tabla horizontal

overtical.

La tabla en forma horizontal sera dando valores ax y calculando los de y:

Si a xle damos valores desde 2 hasta 2, es decir: -2, -1, 0, 1, 2.Para hallar los

valores de yvamos sustituyendo los dexen la ecuacin: y = 2x + 1y obtenemos

los resultados de la funcin: -3, -1,1, 3 y 5 que loshemos representado en la tabla horizontal.

La misma Tabla en forma vertical:

A partir de aqu, colocamos cada punto en los ejes

de coordenadas y cuando los tengamos a todos en

su lugar correspondiente, los unimos con una lnea.


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9.-Representa grficamente la ecuacin: Observacin: Procura dar valores a xde modo que el cociente entre 2 obtengas

nmeros enteros, de este modo, podrs situar los puntos de un modo ms sencillo.

Hemos dado axvalores cuyo numerador sea un nmero par que al dividirlo por 2,el cociente, o sea el valor de ysea un nmero entero. Los valores que damos a x

son: -3, -1, 1, 3, 5, , como ves, valores impares, de este modo, al dividirlos por

2 consigues nmeros enteros.

Respuesta:

DOMINIO Y RECORRIDO DE LAS FUNCIONES

Dominio: Es el conjunto de valores que puede tomar la variable

independiente (x).

Recorrido: Llamado tambin imagen, codominio o rango es el conjunto de

valoresque toma la variable dependiente (y).

Cuando nos hemos referido al dominio hemos dicho: conjunto de valores que

puedetomarx por qu decimospuede? Porque no todos los valores de x son

vlidos para algunas funciones, por ejemplo, si la funcin es: , vemos que si ax le das el valor cero, queda: . El valor infinito no lo podemosrepresentar si no es con un signo o una palabra. El infinito noes un nmero, es un

concepto, una idea, luego, no nos vale como valor numrico de y.


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Otro caso sera el de la funcin: . A x no le podemos dar el valor de unnmero negativo, por ejemplo: porque los nmeros negativos no tienenraz cuadrada. (Ningn nmero multiplicado por s mismo -incluido su signo- puede

darte un valor negativo).

Como nos hemos referido a conjunto de nmeros vlidos que damos a la variable

independiente (X) como dominio y al conjunto de valores que recibe la variable

dependiente (Y)recorrido podemos representarlos para la funcin : En amarillo, el conjunto de valores dexo dominio con su

correspondiente imagen del valor de la variable

dependiente yen el conjunto Yteniendo en cuenta que la

funcin es: .

Intervalos del Dominio: Cuando calculamos dominiosnos encontramos, a veces,

con ciertas dificultades que se refieren a que no todos los valores que damos a la

variable independiente pueden ser vlidos para la funcin, por ejemplo: .No podemos decir que todos los valores que damos a x son vlidos porque la

diferencia

debe ser 0, 1, 2, 3, etc. No podemos dar a xel valor 4 porque la

diferencia sera negativa y no existen races cuadradas de nmeros negativos.

Y si le damos axvalores negativos? Seran vlidos porque si ax le damos el valor

51 podemos escribir - ( - 51) = 51.

Si a x en le doy los valores que veo en la tabla que tienes ms abajo,notars que los valores de yson vlidos:

Como puedes comprobar, los valores negativos que le damos axson vlidos para la

funcin.


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Para qu valores dexno es vlida la funcin: ? Parax = -1Solucin : Six es igual a 1 el denominador vale 0 y que como no es nmeroreal no puede ser aceptado como valor de y.

Ejemplos de dominios:

1.-Cul es el dominio de la funcin ? Respuesta: 2.- Cul es el dominio de la funcin ? Respuesta: *+ .Recuerda que hemos de evitar que el cociente sea igual a cero porque el cociente

sera .3.- Cul es el dominio de la funcin ? Respuesta: , . Elradicando debe ser mayor o igual que cero para que no sea negativo: ; pasando el 1 a la derecha de la desigualdad: , vemos que x deber sermayor o igual a 1.

4.-Cul es el dominio de la funcin ?. Respuesta: * +.El denominador es una ecuacin de 2 grado que calculando las races tenemos:

. Estos valores que hemos obtenido hacen que el

denominador sea igual a cero por lo que no hemos de tenerlos en cuenta.

5.-Calcula el dominio de . Respuesta: 6.- Cul es el dominio de ? Respuesta: *+.7.-Cul es el dominio de la funcin ? Respuesta: 8.- Cul es el dominio de la funcin

? Respuesta:

9.-Cul es el dominio de ? Respuesta: , . El radicandoha de ser igual o mayor que cero, nunca negativo. Esto quiere decir: ,pasamos - 4 al otro lado de la desigualdad: . Nos indica que el dominio esdesde 4 (incluido) y todos los que son mayores que l.


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10.- Cul es el dominio de ? Solucin: Resolvemos la ecuacinde 2 grado: . Vemos que todos los valores comprendidosentre (1,4), es decir: 2 y 3 hacen que el radicando sea negativo, en cambio, con

el resto de valores serpositivo. Si es negativo el valor de sustitucin no es vlido,porque no existe una raz de ndice par que sea negativa.

Cuanto acabamos de decir lo llevamos a un eje de abscisas y fijamos los valores:

Fjate que tenemos dos grupos de valores que son vlidos. Unimos estos dos gruposcon su smbolo correspondiente U (unin de ambos grupos vlidos). No necesitamos

indicar que los elementos de x pertenecen a un conjunto determinado porque ya

especificamos sus valores concretos. Respuesta: - , .Intervalos del Recorrido: Es el conjunto de valores que recibe la variable

dependiente y. Tambin nos referimos a f(x).

Al estudiar los dominios nos fijamos en los valores que recibe x (eje horizontal,

abscisas). En el caso del recorrido nos fijaremos en el eje vertical o eje de

ordenadasy. Lo compruebas en la siguiente figura:

El dominio est comprendido entre [-4,3] y el recorrido [-2,4].


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Ejemplo:

1.- Cual es el recorrido de ? Respuesta: . Solucin: Para cualquier valor que demos a x, yrecibir su correspondiente valor real. Resaltamos el eje y,lugarde los valores del recorrido. Su representacin grfica es como

se muestra en la figura.

Por mucho que prolonguemos la representacin grfica de la

funcin siempre tendr su valor correspondiente en el eje y.

2.- Calcula el recorrido de .Respuesta:

. Solucin: Si vamos dando

valores a x valores reales vemos que y recibe sus

correspondientes valores reales. Su representacin grfica

es:

3.- Cual es el recorrido de ? Respuesta: , -

EJERCICIOS

1) Graficar las siguientes funciones:

a) b) c) d) e)


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f) g) h) i) j) k) l) m) n) o) p) q)

2) Dada la funcin respectiva

a) ; determine: f(3), f(-2), f(0), f(a+1), f(x+1), f(2x), 2f(x), f(x+h), f(x)+f

b) ; calcule: f(1), f(-3), f(6), ./, ./, ./, , f(x-3), f(x)-f(3) ),

c) ; determine: f(-2), f(-1), f(0), f(3), f(h+1), f(2x2), f(x2-3), f(x+h),

f(x)-f(3), d) ; calcule: g(-4), ./, g(x2), g(3x2-4), g(x-h), g(x)-g(h),

e) ; determine: f(x+9), f(x2-9), f(x4-9), f(x2+6x), f(x4-6x2),

f)

; ; calcule: g(4-x), g(4-x2), g(4-x4), g(4x-x2), g(-x4-4x2),


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3) Determinar el dominio y recorrido de las siguientes funciones:

1) 2) 3)

4) 5) 6) 7) 8)

9) 10) 11) 12) 13) | |14) | |15) | |16) 17) 18) 19) 20) () 21) 22) 23) 24) 25) { 26) {


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27)

{ 28) { 29)

30) 31)

32) 33)

34)

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