Libro de didáctica del algebra y la trigonometria, Carlos Torres

Vicerrectorado Acadmico Universidad Nacional Abierta

Didctica del lgebra y la TrigonometraJulio Mosquera

Caracas, 2005

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ndiceIntroduccin ...................................................................................................................... Leccin 1: Modelos y Teoras del Aprendizaje del lgebra .......................................... Leccin 2: Enseanza del lgebra y Justicia Social en la Escuela ................................. 5 9 25

Leccin 3: Desarrollo del Pensamiento Algebraico .......................................................... 29 Leccin 4: Estudio de las Funciones Peridicas ............................................................... 37 Leccin 5: Aplicaciones del lgebra ................................................................................ 43 Leccin 6: Aplicaciones de la Trigonometra ................................................................... 53 Leccin 7: Tipos de Materiales Instruccionales ................................................................ 65 Leccin 8: Evaluacin de Materiales Instruccionales ....................................................... 87 Leccin 9: El lgebra y la Trigonometra en los Programas de Estudio .......................... 93 Leccin 10: Transicin de la Aritmtica al lgebra ......................................................... 101 Leccin 11: Criterios para Disear y Evaluar de Entornos de Aprendizaje ...................... 105 Leccin 12: Diseo de Entornos de Aprendizaje .............................................................. 111 Leccin 13: Prcticas de Enseanza en la Escuela ........................................................... 113 Anexo ................................................................................................................................ 117

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Didctica del lgebra y la Trigonometra

IntroduccinEn esta asignatura usted tendr la oportunidad de estudiar asuntos relacionados con la enseanza y aprendizaje del lgebra y la trigonometra. En Venezuela, a diferencia de otros pases, actualmente no existen asignaturas diferenciadas bajo esos nombres en la Tercera Etapa de Educacin Bsica ni en la Educacin Media Diversificad y Profesional. Sin embargo, el programa de estudio de Matemtica incluye muchos contenidos de estas dos ramas de las matemticas. Por tanto, el futuro profesor tiene que conocer esos contenidos y su didctica para desempearse en el futuro como un buen profesor de matemticas. En esta asignatura, como en las otras asignaturas de didctica, asumimos que el nico eslabn entre la enseanza y el aprendizaje es el estudio. Desde esta perspectiva, para garantizar que un estudiante aprenda, no es suficiente una buena enseanza, es necesario que estudie. La enseanza por si sola no produce aprendizaje. En buena medida es la dedicacin y el esfuerzo del estudiante puesto en el estudio lo que garantiza el aprendizaje. Esta asignatura est organizada en tres mdulos, seis unidades y catorce lecciones. Entendemos por leccin un intervalo de cuatro horas semanales de estudio. No asumimos que tengan que ser cuatro horas continuas de estudio. Diseamos las lecciones de manera tal que con cuatro horas de estudio, con dedicacin y concentracin usted asimilar el material presentado y realizar las actividades propuestas. Claro est que no todos los estudiantes necesitan del mismo tiempo para estudiar un tema y comprenderlo, unos necesitarn ms tiempo otros menos. Lo importante es asumir el estudio como un asunto serio y dedicarle el tiempo necesario. Este material instruccional est acompaado de una Seleccin de Lecturas. En esa seleccin usted encontrar un material complementario para el estudio de varias de las lecciones. Cada vez que se disponga a estudiar una leccin debe tener a mano la seleccin de lecturas. Usted encontrar anexo un CD con el ClassPad 300 Manager. Usted debe instalar esta aplicacin en un computador para realizar algunas actividades que se proponen en las leccin 7, 8 y 12. Tambin se incluye una versin del material manipulable piezas de lgebra. Este material es necesario para realizar actividades de las lecciones 7, 8 y 12. Algunas pocas actividades incluidas en este curso requieren que usted vaya al Centro Local y vea un video determinado para poder realizarlas. Esas actividades estn identificadas con un icono especial que se muestra a la derecha. Esos videos son: Ondas, Sistemas de Coordenadas y Variables. Si usted vive muy lejos del Centro Local organice su visita al mismo de manera tal que pueda ver los tres videos el mismo da y tomar notas para responder a las actividades propuestas. Tambin se requiere que usted oiga dos programas de audio correspondientes a la asignatura Matemticas I de Estudios Generales. En

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la Leccin 12 se le indica exactamente cules son estos audios. Prepare anticipadamente la visita al Centro Local, lea previamente con detenimiento las actividades que requieren videos. Para terminar, le recomendamos que siempre tenga a mano un cuaderno de trabajo, preferiblemente cuadriculado, y una caja con diversas herramientas. En particular le recomendamos que tenga una calculadora cientfica, materiales de geometra, etc. Tambin le recomendamos que tenga varias sesiones de trabajo en una computadora con acceso a internet para que explore algunos de los sitios recomendados a lo largo del curso. Es ms, en algunas actividades se le solicita que trabaje con alguna aplicacin que se encuentra en algn sitio de internet. Igualmente le recomendamos que obtenga una direccin de correo electrnico, lo cual facilitara la comunicacin con nosotros. Julio Mosquera [email protected]

MDULO 1Investigacin sobre el pensamiento algebraicoObjetivo del Mdulo: Comprender los principales mtodos, problemas y resultados de la investigacin en didctica del lgebra y sus implicaciones para el trabajo en la clase de matemticas.

UNIDAD 1: El lgebra y la Aritmtica en la InvestigacinOBJETIVO DE LA UNIDAD: Identificar diferentes tendencias en la investigacin en didctica de las matemticas sobre el aprendizaje del lgebra y la trigonometra. CONTENIDOS: Teoras e investigacin en la enseanza, aprendizaje y evaluacin del lgebra y trigonometra. Concepciones alternas de los estudiantes en el lgebra y la trigonometra. Visin algebraica de la realidad. Raza, Gnero, Injusticia, repitencia, creencias y concepciones.

UNIDAD 2: Pensamiento Algebraico y TrigonomtricoOBJETIVO DE LA UNIDAD: Especificar modelos del desarrollo del pensamiento algebraico en jvenes y adolescentes. CONTENIDOS: Pensamiento algebraico y trigonomtrico. Desarrollo y madurez del pensamiento algebraico y trigonomtrico del estudiante. Interpretacin de las funciones circulares.

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Unidad 1Leccin 1Modelos y Teoras del Aprendizaje del lgebra

En esta leccin estudiaremos una serie de contenidos relacionados con teoras e investigaciones sobre el aprendizaje y la enseanza del lgebra y la trigonometra en la escuela. En particular prestaremos atencin a aquellas que tienen que ver con las concepciones alternas que se forman los estudiantes sobre diversos temas de lgebra y de trigonometra. Tambin nos ocuparemos un poco de las creencias. Antes de entrar en la materia particular de esta leccin, consideraremos qu es el lgebra. La manera como respondamos a esta pregunta influir sobre la forma como enfoquemos el problema de la enseanza del aprendizaje y la enseanza del lgebra en la escuela. Es decir, nuestra concepcin del lgebra influir sobre los tipos de problemas que nos planteemos y las formas de resolverlos. Qu es el lgebra? Las respuestas a esta pregunta la podemos clasificar en dos grupos. En el primer grupo incluimos respuestas dadas por matemticos. En el segundo grupo incluimos respuestas a esta pregunta ofrecidas por educadores matemticos o especialistas en didctica de las matemticas. Entre los primeros podemos mencionar a Vieta (o Viete), Newton, de Morgan, el grupo Bourbaki, y Mac Lane y Birkhoff. Segn Vieta (1591), considerado por muchos historiadores de las matemticas como el fundador del lgebra, El lgebra fue descubierta por los antiguos a partir de la Aritmtica, y es la ms noble, y de ninguna manera celebrada suficientemente tcnica de los nmeros. Como dice Cardano, como el lgebra sobrepasa toda la sutileza humana y la claridad de cada alma mortal, sta tiene que ser considerada como un verdadero regalo celestial, el cual da tal experiencia iluminadora del verdadero poder del intelecto que quienquiera que lo domine creer que no hay nada que no pueda comprender. (...) Hay una cierta manera de buscar la verdad en matemticas del cual se dice que Plato fue el primero en descubrirlo. Theon lo llam anlisis, el cual el define como asumir que aquello que es buscado como si fuera admitido [y trabajar] a travs de las consecuencias [asumidas] hasta lo que es [ya] admitido [y trabajar] a travs de las consecuencias [asumidas] hasta llegar a y comprender aquello que se busca.

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Aunque los antiguos proponan slo [dos tipos] de anlisis, zetetics y poristics, a los cuales mejor se aplica la definicin de Theon, Yo he agregado un tercero, que podra llamarse rhetics o exegetics. Es propiamente zetetics por la cual uno establece una ecuacin y proporcin entre un trmino que debemos hallar y los trminos dados, poristics por la cual la verdad de un teorema propuesto es evaluada por medio de una ecuacin o proporcin, y exegetics por la cual el valor de un trmino desconocido en una ecuacin o proporcin es determinado. Por tanto, todo el arte analtico, asumiendo estas tres funciones por si mismo, podra denominarse la ciencia del descubrimiento correcto en matemticas. Esta (Zetetics) no limita su razonamiento a nmeros, una limitacin del viejo analista, sino que trabaja con la recientemente descubierta logstica simblica la cual es ms fructfera y poderosa que la logstica numrica para comparar las magnitudes unas con otras. La logstica numrica es [una logstica] que emplea nmeros, la logstica simblica una que emplea smbolos o signos para cosas como, digamos, letras del alfabeto. En anlisis la palabra ecuacin, por si misma, significa un igualdad construida propiamente de acuerdo con [las reglas] de la zetetics. As una ecuacin es una comparacin de una magnitud desconocida y una magnitud conocida. Finalmente, el arte analtico, dotado de estas tres formas de zetetics, porsitics y exegetics, reclama para si mismo el ms grande de todos los problemas, el cual es Resolver todo problema. [Traduccin Julio Mosquera] Para Newton (1628), El clculo es ejecutado con Nmeros, como en la Aritmtica Vulgar, o con Especies, como es usual entre los Algebristas. Ambos estn construidos sobre los mismos Fundamentos, y buscan el mismo Objetivo, viz. la Aritmtica definitiva y particularmente, el lgebra indefinida y universalmente; de manera tal que todas las Expresiones que son halladas mediante estos Clculos, y particularmente Conclusiones, pueden ser llamadas Teoremas. Pero el lgebra es particularmente excelente en esto, mientras que las Preguntas Aritmticas son resueltas solamente procediendo desde las Cantidades dadas a las Cantidades buscadas, el lgebra procede en Orden retrogrado, de las Cantidades buscadas, como si estuvieran dadas, a la Cantidades dadas, como si fueran buscadas, al final se llega a una Conclusin o Ecuacin de una u otra manera, a partir de la cual podremos obtener la Cantidad buscada. [Traduccin de Julio Mosquera] Augusto de Morgan (1828) comenta que el lgebra ... es la parte de las matemticas en la cual smbolos son empleados para abreviar y generalizar el razonamiento que surge en cuestiones relacionadas con los nmeros.

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Hay dos especies de preguntas, teoremas y problemas. Un teorema demuestra la existencia de ciertas propiedades de nmeros dados y conocidos. Un problema tiene por su objeto determinar que nmeros tienen relaciones dadas con otros nmeros conocidos. [Traduccin de Julio Mosquera] Para Nicolas Bourbaki (1943), seudnimo usado por un colectivo de matemticos franceses que sentaron las bases de la matemtica moderna, El lgebra se ocupa esencialmente del clculo, esto es, ejecutar, sobre elementos de un conjunto, operaciones algebraicas, el ejemplo ms conocido es proporcionado por las cuatro reglas de la aritmtica elemental. El lgebra ... por largo tiempo ha sido considerada como el estudio de las operaciones algebraicas, independiente de las entidades matemticas a las que ellas puedan aplicarse. Privadas de cualquier carcter especfico, la nocin comn subyacente a las operaciones algebraicas usuales es muy simple: realizar una operacin algebraica en dos elementos a, b del mismo conjunto E, significa asociar al par ordenado (a, b)un tercer elemento c bien definido del conjunto E. En otras palabras, no hay ms nada en esta nocin que una funcin: tener una operacin algebraica es tener un funcin definida sobre ExE y toma sus valores en E ... En conformidad con las definiciones generales, tener sobre un conjunto E una o varias leyes de composicin o leyes de accin definen una estructura sobre E; para las estructuras definidas de esta manera preservamos precisamente el nombre de estructuras algebraicas y es el estudio de stas lo que constituye el lgebra. [Traduccin de Julio Mosquera] Un libro clsico de lgebra es el de Saunders Mac Lane y Garret Birkhoff (1967). Para estos matemticos, El lgebra comienza como el arte de manipular cantidades, productos y el poder de los nmeros. Las reglas para esta manipulacin sostenida por todos los nmeros, de modo que la manipulacin puede ser llevada a cabo con letras en representacin de los nmeros. Entonces parece que las mismas reglas contenidas para varios tipos de nmeros diferentes y que las reglas incluso se aplican a las cosas ... las cuales no son para nada nmeros. Un sistema algebraico, como el que estudiaremos, es un conjunto de elementos de cualquier clase en los cuales las funciones tales como la suma y la multiplicacin operan, siempre que dichas operaciones satisfagan ciertas reglas bsicas. (p. 1). Actividad 1.1 Compare y contraste las cinco definiciones del lgebra y los comentarios sobre stas presentados anteriormente. Seale las principales semejanzas y diferencias. Pasaremos ahora a considerar algunas definiciones del lgebra propuestas por educadores matemticos. Entre los educadores matemticos haremos mencin

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de los trabajos de Kieran (1996), Usiskin (1988) y Picciott y Wah (1993). Para Kieran (1996), el lgebra es una herramienta por medio de la cual no slo representamos nmeros y cantidades con smbolos literales sino que tambin calculamos con esos smbolos (p.271). Como la misma Kieran seala, esta definicin de lgebra escolar incluye tanto acciones como objetos. Para Usiskin (1988), el lgebra escolar tiene ... que ver con la comprensin de las letras (hoy acostumbramos a llamarlas variables) y sus operaciones, y consideramos que los estudiantes estn estudiando lgebra cuando encuentran las variables por primera vez. (p.8). Y agrega que sta provee los medios para analizar y describir relaciones. Adems, el lgebra es la clave para la caracterizacin y comprensin de las estructuras matemticas (Usiskin, 1988, p. 18). Este mismo autor distingue cuatro concepciones del lgebra. Concepcin 1: Concepcin 2: Concepcin 3: Concepcin 4: lgebra como aritmtica generalizada. lgebra como el estudio de procedimientos para resolver ciertos tipos de problemas. lgebra como el estudio de relaciones entre cantidades. lgebra como el estudio de estructura. (Usiskin, 1988) Picciotto y Wah (1993) proponen un cambio radical en la manera de concebir el lgebra escolar. Proponen una nueva lgebra, la cual La nueva lgebra, como ellos la llaman, se construye teniendo en cuenta las limitaciones del enfoque tradicional y superndolas. Ellos proponen que la nueva lgebra debe disearse de manera tal que permita abrir la puerta para todos los estudiantes. sta se caracterizara por: Multidimensionalidad. Tal curso usa una interdependencia entre temas y herramientas, para crear un scaffolding alrededor del cual se puedan construir las lecciones en las que los conceptos del lgebra sean aprendidos en un ambiente rico de resolucin de problemas (ver Figura 1). La manipulacin de smbolos es slo una aspecto del curso. Empoderamiento por medio de herramientas. Las herramientas matemticas son objetos (y ambientes electrnicos) los cuales proveen modelos concretos y manipulables de ideas complejas y abstractas, por tanto las hacen accesibles e interesantes. Ellos son los objetos-para-pensar-con como los denomina Papert (1980) en su libro Mindstorms, pero no son necesariamente basados en computadora. Motivacin por medio de temas. Los temas son contextos matemticos ricos, tomados del mundo real o problemas llamativos, donde los conceptos del lgebra pueden ser introducidos, explorados, desarrollados y revisados. Los temas bien escogidos pueden darle vida al lgebra, revelar conexiones

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con otras partes de las matemticas y apoyar la afirmacin que el lgebra si tiene aplicaciones. Habilidades por medio de la resolucin de problemas. La manipulacin de smbolos, en lugar de ser el centro principal de atencin, se convierte en una herramienta para la resolucin de problemas, lo cual es el principal modo de operar a travs de todo el curso. Organizacin en espiral. La interaccin de herramientas hace posible mltiples representaciones de conceptos y una exposicin extendida a los mismos. Este enfoque permite prever y revisar de manera substancial, y ayuda a resaltar conexiones entre conceptos.

Figura 1. Una nueva lgebra (Picciotto y Wah, 1993, traduccin libre de Julio Mosquera) Ese nuevo enfoque del contenido y la enseanza del lgebra se respresenta con el siguiente modelo.

Figura 2. Modelo de una nueva lgebra

Actividad 1.2 En los prrafos anteriores presentamos una consideraciones acerca del lgebra en la escuela. serie de definiciones y

1. Cul de esas concepciones cree usted que predomina en la escuela venezolana? 2. Seale las principales diferencias y semejanzas entre los planteamientos de Kieran, Usiskin, y Picciotto y Wah.

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Usos de las Variables en el lgebra Todas las concepciones del lgebra incluyen de una manera u otra el estudio, uso o manipulacin de las letras. Diversos autores incluyen la consideracin del uso y la concepcin de las letras y las variables en el lgebra. Kieran (1996) seala que las concepciones de las variables ms comnmente desarrolladas y usadas por los nios son la de las letras como un incgnita y la de las letras como representantes de un rango de valores. Usiskin (1988) plantea que las variables son interpretadas y usadas de diferentes formas segn el contexto en que son usadas, en principio el proponer los siguientes contextos. (1) (2) (3) (4) (5) A = L. W 40 = 5.X sen x = cos x tan x 1= n( y = kx (formula) (ecuacin, para resolver) (identidad) (propiedad) (ecuacin de una funcin, no resolver).

1 ) n

En (1) las letras son percibidas como conocidas, en (2) la letra es una incgnita, en (3) es el argumento de una funcin, en (4) se percibe la generalizacin de un patrn que n es una instancia o caso de ese patrn, y por ltimo, en (5) x es el argumento de una funcin y k un parmetro, el estudiante tiene sentido de la variabilidad. Las expresiones (1) y (2) tienen todas la misma forma: el producto de dos nmeros igual a un tercer nmero. Segn el tipo de expresin la interpretacin de las variables (las letras) cambia. En la expresin (1), las letras A, L y W, representan el rea, el largo y el ancho, y son percibidas como conocidas. En (2) uno piensa en X como una incgnita. En (3), X es vista como el argumento de una funcin. La expresin (4), a diferencia de las otras, generaliza un patrn aritmtico y no identifica una instancia del patrn. Slo con (5) hay el sentido de variabilidad, del cual el trmino de variable se deriv. En (5), X es de nuevo el argumento de una funcin, y el valor K una constante o parmetro. Usiskin (1988) luego resume estos usos de las variables en cuatro categoras. (1) (2) (3) (4) Generalizador de patrones. (traduce, generaliza) Incgnita, constante. (resolver, simplificar) Argumentos, parmetros. (relacionar, graficar). Marcas arbitrarias en el papel. (manipular, justificar).

Actividad 1.3 3. Vea el video Variables. Tome como referencia los usos de las letras (variables) en el lgebra identificadas por Usiskin. Cules de esos usos son presentados en este video? Razone su respuesta.

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4. Dada su opinin en 1, propone usted la realizacin de un video diferente? Bosqueje ese video si su respuesta es afirmativa. Para ms detalles sobre estos planteamientos revise las lecturas 3 y 6 en la Seleccin de Lecturas. Investigacin sobre Aprendizaje del lgebra La investigacin sobre el aprendizaje del lgebra ha evolucionado en las ltimas tres o cuatro dcadas desde el anlisis de los errores que comenten los estudiantes al resolver ecuaciones hasta el estudio de las concepciones y el desarrollo del pensamiento algebraico pasando por la indagacin sobre las estrategias que usan los estudiantes para resolver problemas y ecuaciones. Otra manera de caracterizar la investigacin sobre el desarrollo del pensamiento algebraico es tomando en consideracin su punto de partida. Bsicamente podemos distinguir dos enfoques, uno donde se propone como punto de partida la aritmtica y otro donde se toma la geometra, en la Seccin 3.2 de la Lectura 6 se hace referencia a estos puntos de vista. Tambin encontramos algunas investigaciones que hacen referencia a la oposicin o resistencia al lgebra. Nos ocuparemos aqu de un trabajo de investigacin que ubicamos en la etapa ms reciente del desarrollo antes descrito. Se trata de una investigacin acerca de las concepciones que se forman los estudiantes del concepto de igualdad. Este trabajo es presentado en la Lectura 1 incluida en la Seleccin de Lecturas. Actividad 1.4 1. Haga una lista de las concepciones errneas que se forman los estudiantes acerca del signo igual. 2. Seale cul es la principal concepcin errnea que se forman los nios del concepto de igualdad. Converse con una maestra de Primera o de Segunda etapa de EB sobre este asunto y pregntele si ha detectado algo similar entre sus estudiantes. 3. Explique con sus propias palabras la estrategia usada por Falkner para lograr que sus estudiantes comprendieran el significado del signo de igualdad. 4. Cree usted que estudiantes de la Tercera Etapa de EB y de EMDP sostienen una concepcin errnea del signo de igualdad. 5. Por qu es importante que los estudiantes logren una concepcin adecuada del signo de igualdad? En la Lectura 1 encontramos un reporte informal de una investigacin sobre el significado que le asignan los estudiantes de primeros grados al signo de igualdad. En este artculo se resalta la importancia de la comprensin adecuada de dicho signo para encarar con xito el estudio del lgebra. Tambin se presentaron algunas estrategias didcticas para trabajar con nios la elaboracin de ese significado.

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Investigacin sobre la Enseanza y el Aprendizaje de la Trigonometra Se han realizado muy pocas investigaciones sobre el aprendizaje y la enseanza de la Trigonometra en la escuela. Una evidencia de esta escasez es que la Trigonometra no aparece mencionada en el Handbook of Research on the Teaching and Learning of Mathematics editado por Grouws (1992, citado en de Kee, Moura y Dionne, s.f.). En esta seccin haremos referencia a algunos de los pocos trabajos que pudimos localizar en nuestra investigacin bibliogrfica sobre el tema. (de Kee y otros, s.f., Doerr, 1996, Shama, 1998, Delice y Monaghan, 2003, Orhun, 200 y Balckett y Tall, 1991). Estos trabajos pueden ser catalogados en cinco categoras: (1) estudio de la comprensin de conceptos trigonomtricos (de Kee y otros, s.f. y Shama, 1998), (2) estudio de las concepciones errneas y errores (Orhun, 2000), (3) estudio de la integracin de la trigonometra con otros tpicos (Doerr, 1996), (4) estudio del efecto del uso de computadoras en el aprendizaje de la trigonometra (Blackett y Tall, 1991) y (5) estudio comparativo de la enseanza de la trigonometra (Delice y Monaghan, 2003). De Kee y otros (s.f) estudiaron la comprensin de las nociones de las funciones seno y coseno en estudiantes de secundaria. Estos autores aclaran que se ocupan de la comprensin en un momento determinado y no en su desarrollo. Basndose en un modelo constructivista propuesto por Herscovics y Bergeron (1982), de Kee y otros (s.f.) distinguen cinco tipos de componentes de la comprensin (1) inicial, (2) procedimental (3) abstraccin, (4) formalizacin y (5) global. Los autores disearon un conjunto de tareas las cuales le propusieron a los cinco estudiantes participantes durante una serie de entrevistas. Todos los estudiantes pertenecan a la misma seccin. Tomando en cuenta el modelo de Herscovics y Bergeron (1982), de Kee y otros (s.f) elaboraron una serie de criterios para indagar acerca de la comprensin del seno y del coseno por parte de los alumnos. Por ejemplo, relacionado con el componente abstraccin propusieron un texto a los alumnos sobre la invarianza de las razones trigonomtricas respecto al tringulo, es decir, las razones trigonomtricas no varan si las dimensiones del tringulo se reducen o se aumentan en longitud. La comprensin de la nocin de seno y coseno en los estudiantes de secundaria fue estudiada por de Kee y otros (s.f) en dos contextos clsicos. El primero de estos contextos fue el del tringulo rectngulo, mientras que el segundo fue el contexto de la circunferencia trigonomtrica. En ambos contextos se indag sobre la comprensin segn los cinco componentes del modelo de Herscovics y Bergeron (1982). El seno y coseno son vistos como razones de lados de un tringulo rectngulo con hipotenusa En el primer contexto, el tringulo rectngulo, se encontr que algunos estudiantes tienen problema en comprender el seno y el coseno como razones sin unidad; no pueden calcular el seno o el coseno a partir de un ngulo, emplean correctamente la notacin trigonomtrica; reproducen correctamente la definicin formal de seno y de coseno, y las aplican correctamente al caso de un ngulo agudo en un tringulo dado; y en un principio los alumnos slo vean al seno y al coseno como fracciones, es decir, no se consideraban expresar las fracciones resultantes como nmeros con decimales (por ejemplo, tomar 3 como 0,6).

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En el contexto de la circunferencia trigonomtrica, el seno y coseno son presentados como funciones reales de variable real. Esta manera de ver las funciones trigonomtricas es estudiada en la leccin 4. Al igual que en el contexto anterior, de Kee y otros (s.f) le pidieron a los estudiantes que dijeran cmo le explicaran a un compaero lo qu es una funcin trigonomtrica. Se les propuso a los estudiantes que haran a partir de una tabla con valores del seno para ciento ochenta ngulos medidos en grados. Para algunos estudiantes cada par de valores en la tabla representaba una funcin, para otros de los estudiantes la tabla completa representaba una funcin trigonomtrica. Otros alumnos hicieron referencia al tringulo y otros a las grficas. Ninguno de los estudiantes hizo referencia a las funciones circulares. Una vez que los investigadores les mencionaron estas funciones y les pidieron que hablaran sobre ellas, slo una alumna se dio cuenta que stas y las funciones trigonomtricas estn relacionadas. Todos los estudiantes mostraron tener dificultades en comprender que una tabla representa a una funcin, en general tenan problemas con el concepto de funcin. Los estudiantes tambin mostraron tener dificultades para hallar el valor del seno de un nmero real usando una cuerda y una circunferencia trigonomtrica. De Kee y otros (s.f.) encontraron cuatro representaciones del seno y del coseno entre los estudiantes de secundaria. La primera tiene que ver con las razones, la segunda con las coordenadas cartesianas, la tercera con los valores que se obtienen en una calculadora y, por ltimo las curvas con aspecto ondulado. El desempeo de los estudiantes en todas las tareas fue mejor en el primer contexto que en el segundo. Los estudiantes mostraron no haber establecido relaciones entre las diferentes representaciones del seno y del coseno antes enumeradas. Si desea mejorar la comprensin es necesario promover y fortalecer las relaciones entre esas representaciones. Por ltimo, de Kee y otros (s.f) resaltan que los estudiantes en general tenan dificultad para expresarse. Por tanto, proponen que se den ms a menudo oportunidades para la discusin de temas de matemticas en el aula. Shama (1998) estudi la comprensin de la periodicidad con un proceso que tiene una estructura Gestalt. Este trabajo de investigaciones fue realizado con estudiantes israeles de 3er grado hasta el grado 12. Este es un estudio que se llev a cabo en dos fases, la primera de tipo cualitativo en la que se observaron clases y se realizaron entrevistas con los estudiantes. La segunda de tipo cuantitativo consisti de una encuesta aplicada a 895 estudiantes de grado 11. La periodicidad aparece en la naturaleza, por todos lados. Por ejemplo, la fases de la luna y las estaciones. Tambin encontramos patrones peridicos en algunas manifestaciones culturales. La periodicidad es un concepto cientfico. Las funciones peridicas son usadas para modelar un sin nmero de fenmenos en biologa, qumica,, fsica y en la tecnologa. Este concepto cobra an ms relevancia si lo vemos como necesario para comprender la conducta de sistemas caticos y sistemas no lineales. Los patrones peridicos juegan un papel de relevancia en las matemticas. Podemos concluir que es un concepto muy general y de mucha relevancia (Shama, 1998, p.255). Seala Shama (1999) que a pesar de la relevancia de este tema, hasta ese momento no se haba investigado sobre la comprensin de la periodicidad.

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Shama decidi entonces centrar su investigacin en este concepto. Para ello adopt como marco conceptual las ideas de concepto imagen y concepto definicin propuesta por Vinner (1991, citado por Shama, 1998, p 256). Shama (1998) organiza la presentacin de los resultados de su investigacin en tres grandes categoras. Estas categoras son la comprensin de la periodicidad como un proceso, la identificacin del perodo. Tanto los resultados de la entrevista como los de la encuesta llevan a la conclusin que la mayora de los estudiantes concibe la periodicidad como un proceso. Este puede decir que el concepto imagen de la periodicidad se basa en ejemplos dinmicos. Esto se debe tanto a la enseanza como a la experiencia diaria. En las entrevistas se encontr con frecuencia el error de considerar fenmenos no-peridicos como si fueran peridicos. Tomando en consideracin los resultados de la entrevista se disearon diferentes tipos de preguntas para evaluar an ms esa relacin. Muchos de los estudiantes mostraron una comprensin incompleta de la periodicidad. Los resultados acerca de la identificacin del peridico fueron organizados en cuatro grupos. El primer grupo fue identificado como la longitud del perodo. Shama (1998) observa que una funcin con perodo de longitud r, tambin tiene perodo de longitud nr, para, cualquier nmero natural n. Un perodo de longitud mnima. Los estudiantes prefirieron identificar un perodo fundamental como el perodo. Una conducta similar se encontr en los profesores. El segundo grupo fue identificado como las caractersticas de los puntos extremos del perodo. La mayora de los estudiantes prefirieron identificar puntos de discontinuidad, puntos extremos o puntos cero (de la forma (x, o) (o, y) como los puntos extremos de un perodo. El tercer grupo tiene que ver con la localizacin del perodo. En los resultados anteriores vimos que los estudiantes tienen preferencia por el perodo fundamental y ciertas caractersticas de los extremos del perodo. En esta parte de la investigacin Shama (1998) explora si los estudiantes tienen una preferencia particular por la localizacin del perodo. En efecto, los estudiantes suelen escoger como perodo aquel que comienza en el extremo izquierdo de la representacin grfica de una funcin peridica. Por ejemplo, en el curso de un decimal peridico escoger como extremo inicial del perodo el primer dgito a la derecha de la coma, les cuesta identificar como extremo inicial del perodo a un dgito que est alejado de la coma. En otras palabras, los estudiantes tienden a localizar el perodo al comienzo de la representacin grfica en el extremos izquierdo. Por ltimo, encontramos los resultados sobre los extremos del perodo. Algunos estudiantes piensan que los extremos de un perodo tienen que ser iguales, para algunos incluso si un perodo termina y comienza en extremos diferentes no es un perodo. Shama (1998) concluye su artculo con una discusin sobre los resultados ms resaltantes de su investigacin. Uno de estos resultados es el que tiene que ver con la comprensin de la periodizacin como proceso. En particular, los estudiantes tienden a confundir el proceso con sus productos, entonces transfieren las propiedades del primero a los segundos. Entendida la periodicidad como proceso, se concibe entonces como fenmeno dependiente del tiempo. Por tanto, como un proceso que tiene un punto de inicio. Adems, se tiende a asociar una direccin de ocurrencia al perodo como proceso es la frente de muchos de los errores que cometen los estudiantes. El otro resultado relevante discutido por Shama (1998) tiene que ver con la teora de la Gestalt escapa del objetivo de la

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leccin contar con ms detalles sobre este asunto en particular. Para concluir, nos interesa resaltar que Shama (1998) llama la atencin sobre la necesidad de investigar acerca de la influencia que tiene la enseanza sobre estas maneras en que los estudiantes comprenden la periodicidad. Pasamos ahora a considerar la investigacin de Orhun (2000) sobre errores y concepciones errneas en la enseanza de la trigonometra. Para Orhun (2000) la trigonometra es la unidad donde se juntan tpicos de aritmtica, realidades geomtricas y relaciones trigonomtricas. En la educacin secundaria, la enseanza de la trigonometra se limita, en buena medida, a la obtencin de razones para un ngulo en particular. En la leccin 9 estudiaremos este asunto para el caso de la enseanza de la trigonometra en Venezuela. En parte, este nfasis en asuntos tan particulares es responsabilidad de los docentes quienes muchas veces no le proveen a los estudiantes de oportunidades de aprendizaje que lleven al aprendizaje de conceptos fundamentales en trigonometra. En la enseanza de la trigonometra en la escuela se debera considerar tanto las necesidades futuras de los estudiantes como resultados de algunas investigaciones en educacin matemtica. En cuanto al primer punto tenemos que experimentar por parte de los estudiantes con la parte analtica de la trigonometra es necesaria para el estudio del clculo en la universidad. Sobre el segundo asunto tenemos que el uso de diferentes sistemas de representacin (tablas numricas, ecuaciones, grficos) y la traduccin entre ellos ayuda a la mejor comprensin de la conceptos matemticos. En la investigacin realizada por Orhun participaron 77 estudiantes de dcimo grado en Turqua. El estudio, tipo survey, se llevo a cabo mediante la aplicacin de un instrumento con 15 preguntas. En el artculo comentado aqu, Orhun (2000) slo presenta los resultados obtenidos en cuatro de esas preguntas. Dos de estas preguntas tienen que ver con la relacin entre la medida de un ngulo con vrtice en el centro de la circunferencia trigonomtrica. Las otras dos preguntas tienen que ver con la funcin seno. El desempeo de los estudiantes en esta cuatro preguntas es bastante bajo. En las respuestas a las dos primeras preguntas los estudiantes mostraron dificultad en la conversacin entre medidas de ngulos en grados a radianes. En cuanto a las otras dos preguntas, stas tenan que ver con el concepto de dominio de una funcin y con percibir un nmero real como un ngulo en una funcin trigonomtrica. Orhun (2000) concluye que los estudiantes no desarrollan conceptos claros de trigonometra, algunos de ellos usan la notacin algebraica de manera informal, la mayora no comprende el concepto de trigonometra numrica, y la trigonometra es comprendida como relaciones entre los ngulos y los lados de un tringulo rectngulo. Orhun le atribuye todos estos errores y concepciones errneas en los estudiantes al mtodo de enseanza que predomina en las escuelas. Para superar estos problemas, Orhun recomienda ensear primero las funciones trigonomtricas como funciones reales y antes de entrar a tratar problemas con ngulos, el uso de los grficos de las funciones trigonomtricas, y determinar las posibles concepciones errneas y elaborar mtodos para eliminarlas. Muchos de los problemas que encontramos en el aprendizaje de la trigonometra se resolveran con una enseanza que tome en cuenta estas observaciones.

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Algunos investigadores se han ocupado de estudiar la relacin entre la trigonometra y otras materias escolares. Por ejemplo, Doerr (1996) estudi la integracin entre la trigonometra, los vectores y la fuerza en un contexto de enseanza centrado en el modelaje matemtico. Doerr (1996) reporta en este trabajo la parte cualitativa de su investigacin. En esta parte los datos fueron recogidos de diversas fuentes, tales como grabaciones en video de las clases y los cuadernos de apuntes de los estudiantes. En este estudio participaron 17 estudiantes, desde noveno hasta el doceavo grado, que aceptaron tomar un curso integrado de lgebra, trigonometra y fsica. Doerr (1996) nos recuerda que hay que distinguir en la enseanza del modelaje entre el enfoque exploracin de un modelo y el enfoque construccin de un modelo. En el primer caso los estudiantes exploran con un modelo las posibilidades tales como fueron ya estudiadas por un experto. Entonces, desde este enfoque se le permita al estudiante comprender la manera de pensar de un experto sobre el problema particular propuesto al estudiante. En el segundo enfoque se le provee a los estudiantes de oportunidades para expresar sus propios conceptos, definir relaciones y explorar las consecuencias de esas relaciones. En este enfoque se busca que los estudiantes investiguen sus propias maneras de pensar sobre el problema propuesto. Segn Doerr (1996) este enfoque es el ms til, la construccin de modelos lleva a los estudiantes a que hagan explcitas sus propias concepciones sobre las relaciones entre las variables y examinar las consecuencias de las mismas. Dentro de este enfoque se incluye el uso de herramientas computarizadas que faciliten la construccin de modelos. Sin embargo, escogieron un enfoque que combina ambas aproximaciones. En las clases que tomaban los estudiantes se les presentaba un evento fsico y se les peda que hicieran explcitas sus propias representaciones, elegir las variables y formular las relaciones entre ellas. Estas clases formaban parte de una unidad curricular la cual fue diseada de manera tal que integre tres componentes. 1) la recoleccin de datos en un experimento fsico, 2) desarrollar y explorar una simulacin por computadora y 3) analizar matemticamente los datos (simblico, grfico, tabulador y geomtrico). Uno de los resultados ms interesantes reportados por Doerr (1996) es que los estudiantes enfocaron desde cuatro puntos de vista diferentes las soluciones a los problemas planteados. Esto se debi en parte a que el ambiente de simulacin por computadora provey a los estudiantes de herramientas flexibles que les permitan explorar la situacin y contribuir una representacin que tuviera sentido para ellos. Otro resultado reportado por Doerr (1996) es el de la creciente complejidad en los modelos desarrollados por los estudiantes. A medida que los estudiantes progresaban a lo largo de las clases, incorporaban varios componentes del modelo, los integraban con componentes previos y los extendan para responder a situaciones ms complejas. Se produjo un refinamiento de las conjeturas elaboradas por los estudiantes. A pesar de esto, los estudiantes solan basarse ms en las ecuaciones y la geometra para desarrollar sus soluciones a expensas del uso de la simulacin por computadora. Doerr (1996) organiza las implicaciones de su estudio en dos grupos. En el primer grupo incluye implicaciones para la enseanza. Se concluye que este enfoque integrado en la enseanza de la trigonometra fomenta la diversidad de razonamientos, la creatividad y el enriquecimiento de las respuestas mucho ms all de lo que se logra en el aula normal de matemticas. Sin embargo, todo lo

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anterior no se logra fcilmente; como veremos ms adelante, este enfoque introduce al profesor en lo que Skovsmose (2001) llama una zona de riesgo (ver la leccin 5). Se requiere mejorar las actividades de manera tal que permitan llevarlas a un cierre. En el segundo grupo, Doerr (1998) incluye las implicaciones para el curriculum. Primero tenemos que un enfoque como el propuesto requiere un curriculum que permita la exploracin de un problema durante un prolongado perodo de tiempo, muy distinto de lo que se hace dentro de un currculum tradicional. Para que nos demos una idea de este asunto, tenemos que el contenido cubierto durante los 35 das que dur el experimento, normalmente se cubre en 10 12 das en un ambiente tradicional. El segundo punto tiene que ver con el contenido incluido en el curriculum. Desde la perspectiva propuesta por Doerr (1996) el modelaje no es slo una actividad agregada al curriculum. Entonces, el curriculum se basara en nociones centrales de las matemticas, las actividades de indagacin de los estudiantes estaran guiadas por una pregunta esencial a partir de la cual se generaron nuevos problemas. Este entorno promocion la investigacin y mantuvo el inters de los estudiantes durante todas las clases. Para concluir, Doerr (1996) resalta que implementar este enfoque en el aula no es sencillo. Se requiere de una interpretacin entre el trabajo en pequeos grupos y la discusin con toda la clase. Blackett y Tall (1991) realizaron un estudio sobre el uso de computadoras en la enseanza de la trigonometra y el gnero. Este estudio es del tipo experimental y un grupo control. Blackett y Tall (1991) sealan que en Inglaterra, la evidencia emprica muestra que aunque las hembras se desempean tan bien como los varones en matemticas en los primeros aos, a medida que avanzamos en los aos de escolaridad comienzan a aparecer diferencias a favor de los varones, en particular en los grupos de mayor habilidad. Tambin se sabe que las hembras resultan menos aventajadas que los varones en pruebas visuales-espaciales. Otro resultado mencionado por Blackett y Tall (1991), observado en experimentaciones anteriores, es que las hembras tienden ms a la cooperacin mientras que los varones tienden ms a la competencia. Por lo tanto, se plantearon como hiptesis de su investigacin si cierto software diseado para relacionar conceptos espaciales y datos numricos y simblicos es usado en la enseanza de la trigonometra entonces las hembras mejoraran en la percepcin de esas relaciones. El experimento fue realizado en dos escuelas en Inglaterra, una de las escuelas fue tomada como grupo control y la otra escuela fue considerada como grupo experimental. Un pre-test administrado a todos los estudiantes confirm que haba diferencias significativas entre ambos grupos. Luego le fueron administrados dos post-test, uno se aplic inmediatamente al finalizar el tratamiento y el otro ocho semanas ms tarde. Blackett y Tall (1991) reconocen que la enseanza inicial de la trigonometra est llena de dificultades. Al principio, se le pide al estudiante que establezca relaciones entre dibujos de tringulos y relaciones numricos, trabajar con razones y manipular smbolos involucrados en tales relaciones. Aqu enfrentamos varios problemas. Primero, el uso de bosquejos de tringulos comunicara la idea que slo se pueden obtener resultados precisos usando procedimientos numricos y si se usan dibujos estticos en lugar de prestar atencin a las relaciones cambiantes dinmicamente. Segundo, otras dificultades aparecen cuando el estudiante tiene que conceptualizar que pasa cuando un tringulo

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rectngulo cambia de dimensiones en dos maneras esencialmente diferentes: (1) en la medida que un ngulo agudo aumenta y la hipotenusa se mantiene fija, el lado opuesto aumenta y el lado adyacente decrece, (2) los ngulos permanecen constantes, el alargamiento de la hipotenusa por un factor dado cambia los otros dos lados por el mismo factor (Blackett y Tall, 1991). Una manera de superar estas dificultades es mediante la introduccin de un software que permita la manipulacin dinmica de objetos matemticos. Blackett y Tall (1991) reportan que su experimento confirm la hiptesis que el grupo experimental, el cual uso el software, mejor su desempeo respecto a los estudiantes en el grupo control. En especial, las hembras en el grupo experimental mostraron una mayor ganancia en ese mejoramiento que los varones, excepto en el caso del grupo de los menos capaces. Adems, concluyen que el uso del software ayuda a los estudiantes a establecer relaciones entre las habilidades visual y numrica. Por ltimo tenemos el estudio de Delice y Monaghan (2003) sobre las herramientas usadas en la enseanza de la trigonometra en Inglaterra y el Turqua respectivamente. Este estudio se centra en dos asuntos. (1) el desempeo de los estudiantes al hallar longitud y ngulos desconocidos a partir de diagramas, simplificacin de expresiones y resolucin de problemas; y (2) los contextos de aprendizaje: el curriculum, la evaluacin, las prcticas en el aula y la actitud de los profesores. Este estudio es el tipo estudio de casos mltiple exploratorio. Los datos fueron recogidos mediante un test, entrevistas con los estudiantes y profesores, y observaciones de clases. En este estudio participaron 60 estudiantes de 17-18 aos de edad de ambos pases. Para evaluar el desempeo de los estudiantes se us un instrumento con 16 preguntas. Sobre lgebra (la mayora de simplificacin), 16 preguntas de simplificacin trigonomtrica y 6 problemas del mundo real. Veamos ahora los resultados obtenidos en cada una de las partes del instrumento aplicado a los estudiantes. Los estudiantes turcos tuvieron un mejor desempeo que los estudiantes ingleses en la primera parte del instrumento. En particular, Delice y Monaghan (2003) resaltan que los estudiantes ingleses experimentaron dificultad en especial con fracciones algebraicas, cancelando con frecuencia equivocadamente. Todos los estudiantes tuvieron dificultad para responder la segunda parte del instrumento, pero los estudiantes turcos tuvieron un mejor desempeo que los estudiantes de Inglaterra. Algunos estudiantes manifestaron en la entrevista que traducan la expresin trigonomtrica, operaban con la nueva expresin y luego la convertan otra vez a trigonomtrica. Este mtodo no result muy til en particular cuando se cometan errores en la manipulacin algebraica. Los estudiantes ingleses obtuvieron mejores resultados que los estudiantes turcos en la tercera parte del instrumento. En particular, los estudiantes turcos tienen problemas con representaciones tridimensionales y con figuras donde aparecen ms de un tringulo rectngulo. En lo que respecta al uso de instrumentos Delice y Monaghan (2003) reportan diferencias entre ambos pases. En Inglaterra es comn el uso de calculadoras y de hojas con frmulas en las clases de trigonometra. Mientras que en Turqua se usan, aunque de manera marginal, las tablas trigonomtricas. El uso de las tablas aparece como un objetivo en los programas de matemticas en ese ltimo pas. Volveremos sobre este tema ms adelante en la leccin 9. Las herramientas seleccionadas y la manera en que son usadas depende de la enseanza de la

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trigonometra en el aula, pero stas no se encuentran relacionadas linealmente. Ms bien existe una relacin dialctica entre uso de herramientas y enseanza. Por ejemplo, en Inglaterra los estudiantes realizan problemas con ngulos de cualquier magnitud, mientras que en Turqua se trabaja casi exclusivamente con ngulos mltiplos de 15. Lo anterior se debe al uso de calculadoras. An ms, en Inglaterra se enfatiza las funciones seno, coseno y tangente las cuales aparecen como teclas en las calculadores. Como vemos, a diferencia de Orhun (2000), Delice y Monaghan (2003) no asumen una simple relacin de causalidad entre la manera en que los profesores ensean trigonometra y aquello que los estudiantes aprenden. Delice y Monaghan (2003) concluyen que la trigonometra en Inglaterra y en Turqua estn relacionadas pero resultan ser diferentes trigonometras. En ambos pases las actividades que se realizan en el aula son diferentes, hay diferencias considerables en las herramientas y tcnicas usadas; las acciones matemticas relacionadas al uso de las herramientas difieren; y las reglas de comportamiento relacionadas con las actividades y uso de herramientas son distintas. Hasta aqu pasamos revista a un conjunto de investigaciones sobre diferentes aspectos de la enseanza y aprendizaje de la trigonometra en la escuela. Cada uno de estos trabajos se enfoca en problemas particulares de la enseanza y el aprendizaje de la trigonometra, usan diferentes metodologas, etc. Casi todos ellos coinciden en que se han realizado muy pocas investigaciones; en este campo a pesar de la importancia de este contenido en la escuela y de las numerosas dificultades que muestran los estudiantes en su aprendizaje. A continuacin le proponemos una actividad relacionada con estas investigaciones. Actividad 1.5 1. Cules son los temas centrales tratados en cada una de las investigaciones anteriores? 2. Haga una lista de los tipos de investigaciones, metodologas e instrumentos usados en cada una de las investigaciones, identifique cules son los ms usados. 3. Haga un resumen con los resultados ms relevantes reportados en cada una de las investigaciones. Referencias Blackett, N. y Tall, D. (1991). Gender and th eversatile learning of trigonometry using computer software. Ponencia publicada en The Proceedings of the International Group for the Psychology of Mathematics Education XV, Vol. 1 (pp. 144-151). Assisi, Italia. Disponible en: www.warwick.ac.uk/staff/ David.Tall/ pdfs/dot1991g-blackett-trig-pme.pdf De Kee, S., Moura, y Dionne, J. (s.f.). La comprensin de nociones del seno y el coseno en los alumnos de secundaria. Trabajo mimeografiado. Delice, A. y Mohaghan, J. (2003). Tool use in trigonometry in two countries. Documento en lnea. Disponible en: http://cerme4.crm.es/Papers% 20definitius/ 9/Delice-Monaghan.pdf Doerr, H. M. (1996). Integrating the study of trigonometry, vectors, and force through modelling. School Science and Mathematics, 96, 407-418.

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Orhun, N. (2000). Studens mistakes and misconceptions on teaching of trigonometry. Trabajo en lnea. Disponible en: http://math.unipa.it/ ~grim/AOrhun.PDF Picciotto, H. y Wah, A. (1993). A new algebra: Tools, themes, concepts. Journal of Mathematical Behavior, 12(1). Disponible en: www.picciotto.org/math-ed/new-algebra/new-algebra.html#geoboards Shama, G. (1998). Understanding periodicity as a process with a Gestalt structure. Educational Studies in Mathematics, 35, 255-281. Usiskin, S. (1988). Conceptions of school algebra and uses of variables. En A. Coxford y A. P. Schulte (Comps.), Ideas of algebra, K-12 (1988 Anuario). Reston: NCTM.

Unidad 1Leccin 2Enseanza del lgebra y Justicia Social en la Escuela

Esta leccin est dedicada a la reflexin sobre problemas relacionados con la justicia social en la escuela, con el respeto a los derechos culturales y educativos de todos los estudiantes. En particular, en esta leccin se trata con problemas relacionados con la raza, gnero y repitencia, entre otros. Las matemticas han sido utilizadas tradicionalmente, de manera consciente o inconsciente, como un filtro. Como un mecanismo para seleccionar a los ms aptos segn determinada ideologa. Aqu proponemos un cambio de metfora, las matemticas ms bien deben funcionar como un trampoln que impulse el desarrollo de los estudiantes en la escuela y en la vida diaria. Las matemticas como una herramienta para el empoderamiento de los que sobreviven, como los llama Paulo Freire. Las matemticas, y en particular los contenidos de lgebra, constituyen un obstculo, una puerta que no permite que todos avancen en el sistema escolar en condiciones similares. Podemos decir que el lgebra es una puerta que se mantiene cerrada para la mayora de los estudiantes. Para Muchos la Puerta Est Cerrada Piccitto y Wah (1993) sostienen que el problema no es si ensear o no lgebra a los estudiantes de secundaria en los Estados Unidos, sino ms bien cmo ensearla. El enfoque tradicional, que tambin predomina en Venezuela, ha demostrado ser terriblemente ineficiente en cuanto a la promocin del aprendizaje del lgebra por parte de un gran nmero de estudiantes. Por tanto, es tiempo de abandonar ese enfoque y de pensar en uno nuevo. Un enfoque nuevo que sea fundamentalmente diferente al que se quiere sustituir. Para elaborar ese nuevo enfoque se requiere identificar las limitaciones del enfoque tradicional. Picciotto y Wah (1993) identifican cinco limitaciones principales: 1) unidimensionalidad, 2) autoritarismo, 3) sin sentido aparente, 4) dicotoma habilidades/enriquecimiento y 5) organizacin de los tpicos. Veamos detalles de cada una de estas limitaciones. 1) Se hace un nfasis exagerado en la manipulacin de smbolos que resulta demasiado abstracta para la mayora de los estudiantes, para otros, resulta aburrida. A falta de un contexto concreto para la comunicacin, la clase queda prcticamente dividida en dos grupos aquellos que entienden el truco y el resto que no logra captarlo. 2) Todo conocimiento proviene del profesor. El fin es manipular smbolos y el profesor es la nica fuente de informacin sobre como manipularlos correctamente. Los estudiantes dependen de la

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memorizacin de algoritmos, y como sta es una tarea que realizan mejor las computadoras que los humanos, ellos con frecuencia los olvidan y se encuentran desamparados. 3) El trabajo parece completamente desconectado de las situaciones que los estudiantes encuentran fuera del aula, o an en otras ramas de las matemticas o de otras ciencias. 4) La resolucin de problemas es relegada para actividades de enriquecimiento y est divorciada del propsito principal del curso, el cual es la adquisicin de habilidades limitadas por medio de la prctica repetitiva. 5) Los tpicos son enseados en captulos autosuficientes. Los estudiantes tienen un tiempo insuficiente para absorber una idea nueva antes de pasar a la siguiente. An los problemas con enunciado son construidos para evaluar una sola habilidad, en lugar de apoyarse o ejercitar el reservorio entero del conocimiento matemtico del estudiante. (Picciotto y Wah, 1993) Esta lista de limitaciones identificadas por Picciotto y Wah se refiere a asuntos curriculares y pedaggicos. Estas deficiencias se encuentran enraizadas en la esencia misma de la manera como se ensean actualmente las matemticas en la escuela y en particular los contenidos de lgebra. Entonces, estos autores sealan que cambios en ciertos aspectos del enfoque tradicional no nos conducirn a ninguna parte, lo que se requiere es una nueva lgebra. Esta nueva lgebra contendra cambios fundamentales tanto en el contenido como en lo pedaggico (Picciotto y Wah, 1993). Actividad 2.1 Escriba un ensayo breve donde desarrolle su opinin sobre la caracterizacin que hacen Picciotto y Wah (1993) del lgebra escolar. Seale si algunas de estas caractersticas se aplican al caso venezolano y explique como se manifiestan. Una Nueva lgebra Picciotto y Wah (1993) sostienen que la manera de lograr una mayor justicia social y equidad en la enseanza del lgebra en la escuela secundaria estadounidense es cambiar radicalmente los contenidos y las maneras en que enseamos esta rama de las matemticas. Algunos elementos de la propuesta de Picciotto y Wah fueron presentados en la leccin anterior. Volveremos a considerarla ms adelante. Kaput (1998) , de manera similar que Picciotto y Wah (1993), plantea que el lgebra es actualmente una mquina de iniquidad la cual debe ser transformada en una mquina de empoderamiento matemtico. Igualmente plantea que lo anterior no se logra introduciendo modificaciones menores en la manera como estamos enseando actualmente los tpicos de lgebra en la escuela. Kaput tambin propone que es necesario redefinir el lgebra que enseamos actualmente en la escuela. No entraremos en ms detalles aqu sobre las propuestas de Picciotto y Wah (1993) y de Kaput (1998) respectivamente. Lo importante de resaltar es que encontramos bsicamente dos posiciones respecto al problema de la justicia

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social y la enseanza del lgebra. Por un lado tenemos aquellos que piensan que la solucin est en redefinir totalmente lo que llamamos lgebra escolar y la manera como la hemos venido enseando en nuestras aulas. Por el otro lado encontramos aquellos que sostienen que la solucin est en buscar maneras de ensear, y lograr que todos los estudiantes, aprenden el lgebra tal cual como est planteada actualmente. Dentro de esta segunda opcin se encuentra el matemtico estadounidense afro-descendiente Robert P. Moses. Las ideas de Moses las encontramos en Lectura 2 en la Seleccin de Lecturas. Para profundizar en el estudio de la iniquidad y la injusticia social promovida por la actual enseanza de las matemticas en la escuela usted tiene que leer la Lectura 2 incluida en la Seleccin de Lecturas. En dicha lectura presentamos el caso particular de la lucha de la poblacin de afro-descendiente en los Estados Unidos por la justicia social en la enseanza del lgebra en la escuela. Actividad 2.2 1. Describa en pocas palabras la lnea central del argumento de Moses y Cobb (2001). Nota: Le sugerimos que lea detenidamente las primeras tres pginas de la Lectura 2 y tome en cuenta la transicin de los razonamientos a partir de la situacin poltica de los afro-descendientes en Estados Unidos. 2. Qu papel juega el cambio tecnolgico en la manera como concebimos la educacin? 3. Tienen los padres y la sociedad la misma actitud hacia el aprendizaje de las matemticas que el aprendizaje de otras asignaturas? Explique. 4. Cmo caracterizan Moses y Cobb la relacin de los afro-descendientes con la tecnologa? 5. Cul es la situacin de estudiantes provenientes de las minoras en las matemticas universitarias? 6. Cules seran las repercusiones de no aprender matemticas entre los estudiantes afro-descendientes en Estados Unidos? 7. Qu papel juega el lgebra en la exclusin de los estudiantes del sistema escolar? 8. Cules son los planteamientos principales de Moses y Cobb para una nueva organizacin del lgebra? 9. Por qu se dice que el Proyecto lgebra es radical? 10. Cules elementos de los argumentos de Moses y Cob se aplican a la realidad venezolana? 11. Cree usted que existe en Venezuela el mismo nivel de discriminacin en travs de las matemticas escolares, en particular el lgebra, que en los Estados Unidos? Es nuestro sistema escolar ms justo?

Referencias Kaput, J. (1998). Transforming algebra from an engine of inequity to an engine of mathematical power by algebrafying the K-12 curriculum. In National Council of Teachers of Mathematics & Mathematical Sciences Education

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Board (Eds.), The nature and role of algebra in the K-14 curriculum: Proceedings of a National Symposium (pp. 25-26). Washington, DC: National Research Council, National Academy Press. Picciotto, H. y Wah, A. (1993). A new algebra: Tools, themes, concepts. Journal of Mathematical Behavior, 12(1). Disponible en: www.picciotto.org/math-ed/new-algebra/new-algebra.html#geoboards

Unidad 2Leccin 3Desarrollo del Pensamiento Algebraico

Normalmente hablamos de la enseanza y el aprendizaje del lgebra y de la trigonometra. Esta manera de hablar pone el nfasis en el contenido. Cada vez es ms comn cambiar de nfasis y hablar entonces de pensamiento algebraico y pensamiento trigonomtrico. Como vemos se cambia el nfasis en el desarrollo del pensamiento algebraico en lugar del mero contenido. Ese es precisamente el tema que nos ocupa en esta leccin. Despus de haber tenido la oportunidad de estudiar algunas investigaciones sobre el aprendizaje del lgebra y problemas de injusticia social en la enseanza del lgebra en la escuela, pasaremos ahora a considerar el tema del pensamiento algebraico y trigonomtrico, y su desarrollo.

lgebraQu es el lgebra? En la Leccin 1 le dedicamos un buen tiempo a estudiar una serie de definiciones del lgebra. Revise esas definiciones. A continuacin le presentamos otra definicin de esta rama de las matemticas. Para Piaget y Garcia (1984) el lgebra es ... la ciencia de las estructuras generales comunes a todas las partes de las matemticas, incluyendo la lgica (p. 161). Esta definicin es caracterstica de los autores que se posicionan dentro de la corriente estructuralista al estilo Bourbaki. Aunque, estos mismos autores reconocen que el lgebra se consolid como disciplina independiente durante un largo perodo que se caracteriz por el estudio de la resolucin de ecuaciones como tema nico. Esta definicin, como usted ya lo habr notado, tiene elementos en comn con la definicin del grupo Bourbaki. Consideramos esta definicin de Piaget y Garcia porque estos autores ofrecen, como veremos ms adelante, un enfoque muy interesante sobre el desarrollo del pensamiento algebraico. Orgenes y desarrollo del lgebra La determinacin del origen del lgebra depender de la definicin del lgebra que asumamos. Si concebimos al lgebra como el arte de resolver ecuaciones tendramos que sta tendra un origen muy remoto y cuyo desarrollo alcanzara su punto ms alto en el trabajo de Vieta. Por el contrario, si asumimos el lgebra como el estudio de las estructuras algebraicas, entonces tendramos que su origen es bastante reciente y su desarrollo vertiginoso durante el siglo XX.

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Es ocioso ponerse a trazar el origen del lgebra, como de cualquier otro campo de las matemticas, a una persona o civilizacin. Las matemticas son un fenmeno pan-humano, esto quiere decir que muchas personas y civilizaciones contribuyen a su desarrollo. Cuando nos referimos al origen del lgebra nos referimos ms bien a las fuentes de ideas y problemas en que surgen. Desde el punto de vista clsico, el origen del lgebra es localizado en la aritmtica. En el cuadro siguiente, elaborado por Sfard y Linchevski (1994), podemos ver un ejemplo de esquema de desarrollo del lgebra elaborado desde el punto de vista clsico. Cuadro 1. Etapas en el desarrollo del lgebraTipo Etapa Nuevo inters por 1.1.1. Clculo numrico Representacin Hechos histricos

1. Aritmtica generalizada

1.1. Operacional

Verbal (retrica) Mixta Verbal+simblica (sincopada)

Papiro Rhind, c. 1650 B.C. Diofanto, c. 250 A.D. Siglo XVI, principalmente Vieta (1540-1603)

1.2. Estructural

1.2.1. Producto (Numrico) del clculo (algebra de un valor fijo) 1.2.2. Funcin (numrica) (algebra functional)

Simblica (letra como incgnita)

Simblica (Letra como variable) Simblica (Letras sin significado) Simblica

Vieta, Liebniz (1646-1716), Newton (16421727) Escuela formalista inglesa (de Morgan, Peacock, Gregory), desde 1830 Siglos XIX y XX; teora de grupos, anillos, campos, etc., lgebra lineal

2. lgebra abstracta

2.1. Operacional

Procesos sobre smbolos (combinaciones de operaciones) Estructuras abstractas

2.2. Estructural

(Sfard y Linchevski, 1994). En la columna titulada Representacin podemos ver que la evolucin de la notacin en el lgebra ha pasado bsicamente por tres etapas. Estas etapas son comnmente denominadas como retrica, sincopada y simblica respectivamente. Cada una de estas etapas tiene asociado un uso de las letras. Sfard y Linchevski (1994) distinguen dos tipos de lgebra: aritmtica generalizada y abstracta, y dentro de cada tipo identifican dos etapas: operacional y estructural. En cada una de estas etapas se manifiesta un nuevo inters por determinados objetivos matemticos. Tenemos as que en la etapa estructural del lgebra como aritmtica generalizada encontramos un nuevo inters por las funciones, en cuyo estudio se usan las letras como variables.

Leccin 3

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Desarrollo del pensamiento algebraico El desarrollo del pensamiento algebraico puede ser descrito en trminos de sucesin de tres etapas, las cuales se denominan como: intra-operacional, interoperacional y trans-operacional (Piaget y Garcia, 1984). A continuacin describimos cada una de estas etapas. (...). La etapa intra-operacional est caracterizada por relaciones intra-operacionales que se presentan bajo formas aislables sin transformaciones de una a otra que impliquen la existencia de invariantes y sin composicin entre ellas que conduzcan a definir estructuras. La etapa inter-operacional est caracterizada por correspondencia y transformaciones entre las formas aislables de la etapa anterior, con los invariantes que tales transformaciones exigen. La etapa trans-operacional est caracterizada por la construccin de estructuras cuyas relaciones internas corresponden a las transformaciones inter-operacionales. (Piaget y Garcia, 1984, p. 134) Para estos autores, la constitucin del lgebra como disciplina independiente se caracteriz por la resolucin de ecuaciones, la cual fue su tema central y nico durante mucho tiempo. Veamos como Piaget y Garcia (1984) plantean las etapas antes sealadas para el caso especfico de la resolucin de ecuaciones. Durante un primer perodo, extremadamente prolongado, no se trata sino de la resolucin de ecuaciones especficas. El mtodo que se aplica es puramente emprico, por tanteos sucesivos. Cada ecuacin es objeto de un tratamiento particular. Estamos sin duda, en un perodo intra-operacional. No es sino hasta el siglo XVIII que comienza la bsqueda de mtodos ms generales y de plantear, asimismo, problemas generales tales como la existencia o no existencia de soluciones. Las transformaciones de ecuaciones que pueden permitir reducir una ecuacin no resuelta a una ecuacin resoluble dominan ampliamente las investigaciones. Aqu, como en el caso de la geometra, el anlisis va a desempear un papel fundamental. Lagrange y Gauss son, entre otras, las grandes figuras de este perodo que constituye, desde nuestro punto de vista, un perodo inter-operacional. Con Galois y el desarrollo de la teora de los gruposprimera estructura tematizada en matemticasculmina la historia de la resolucin de ecuaciones y comienza el predominio del anlisis de estructuras. Este es el punto de partida de un largo perodo transoperacional. (pp. 156-157) Actividad 3.1 Considere las etapas del desarrollo del lgebra segn Sfard y Linchevski (1994) y las etapas del desarrollo identificadas por Piaget y Garcia (1984) y establezca las semejanzas entre ambos enfoques. Si bien usted se est formando para ensear mejor las matemticas de la II Etapa de EB y la EMDP, no podemos ignorar los problemas de la enseanza y

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aprendizaje de las matemticas en etapas anteriores. est dedicada al desarrollo del pensamiento algebraico Reconocemos que la formacin en los tres primeros particular importancia para el desarrollo posterior matemticas. Actividad 3.2

Por tanto, la Lectura 4 en los primeros grados. grados de la EB es de de los estudiantes en

Esta actividad es referida a la Lectura 4 de la Seleccin de Lecturas. 1. Resuelva el Problema de la Proporcin planteado en la Figura 1 antes de leer las soluciones propuestas en la Lectura 4. Cul estrategia us usted? 2. Describa las principales diferencias entre las estrategias algebraica y aritmtica respectivamente. 3. Resuelva el Problema Promedio. Cmo lo resolvi? 4. Describa brevemente con sus propias palabras la enseanza del lgebra en China. 5. Escriba un ensayo breve de una pgina sealando la relevancia del trabajo reportado en la Lectura 4 para la realidad venezolana. De la Lectura 4 podemos concluir que en distintos sistemas educativos encontramos enseanzas diferentes de las matemticas. En particular, tenemos que en unos se enfatizan las estrategias algebraicas, como en China, y en otros las estrategias aritmticas y de medicin, como en los Estados Unidos. Una situacin similar encontramos en la investigacin de Delice y Monaghan (2003) presentada en la Leccin 1 acerca de las diferencias en el uso de herramientas en la enseanza de la trigonometra en Turqua e Inglaterra. Para concluir esta seccin, podemos decir que tanto el lgebra como el pensamiento matemtico en los individuos han pasado por un largo proceso de desarrollo, el cual no se ha detenido. Tenemos que tomar en cuenta ese proceso de desarrollo al momento de considerar la enseanza, al aprendizaje y la evaluacin en lgebra.

TrigonometraAl igual que en la seccin anterior, antes de iniciar nuestras consideraciones en torno al pensamiento trigonomtrico tenemos que aclarar qu entendemos por Trigonometra. Qu es la trigonometra? La trigonometra es considerada por algunos autores como una geometra computacional. En sus inicios, la trigonometra comenz como el componente computacional de la geometra. Por ejemplo, una proposicin de la geometra establece que un tringulo es determinado por un lado y dos ngulos. En otras palabras, dado un lado de un tringulo y dos ngulos en el tringulo, entonces los otros dos lados y el otro ngulo estn determinados. La trigonometra incluye los mtodos para calcular esos otros dos lados. El ngulo restante se halla fcilmente ya que la suma de los tres ngulos de un tringulo es de 180 grados.

Leccin 3

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Las funciones trigonomtricas como el seno, coseno y tangente son usadas en clculos en trigonometra. Estas funciones relacionan medidas de ngulos a medidas de segmentos de rectas asociados. Origen de la Trigonometra A continuacin transcribimos una breve historia de la trigonometra elaborada por Lydia Bobakova (2004). La historia de la trigonometra se remonta a los primeros registros matemticos en Egipto y Babilonia. Los babilonios establecieron la medicin de ngulos en grados, minutos y segundos. No fue sino hasta el tiempo de los griegos, sin embargo, que una cantidad considerable de trigonometra existi. En el siglo II antes de nuestra era, el astrnomo Hiparco compil una tabla trigonomtrica para la resolucin de tringulos. En su gran manual de astronoma, El Almagesto, Tolomeo provey una tabla de cuerdas en pasos de 1, desde 0 hasta 180, esto es con una exactitud de 1/3600 de una unidad. Quizs al mismo tiempo que Tolomeo, sin embargo, los astrnomos de la India haban desarrollado un sistema trigonomtrico basado en la funcin seno en lugar de la funcin cuerda de los griegos. Esta funcin seno, a diferencia de la moderna, no era una razn sino simplemente la longitud del lado opuesto al ngulo en un tringulo recto de hipotenusa fija. A finales del Siglo XVII, los astrnomos musulmanes heredaron tanto las tradiciones griegas como las de la India, pero ellos prefirieron la funcin seno. A finales del Siglo X ellos haban completado el seno y las otras cinco funciones y haban descubierto y demostrado varios teoremas bsicos de la trigonometra para los tringulos planos y esfricos. Varios matemticos sugirieron usar r = 1 en lugar de r = 60, ste produce exactamente los valores modernos de las funciones trigonomtricas. Finalmente, el gran astrnomo Nasir ad-Din at-Tusi escribi el libros la Figura Transversal, el cual fue el primer tratamiento de la trigonometra plana y esfrica como ciencia matemtica independiente. En la mitad del siglo XVII Isaac Newton invent el clculo diferencia e integral. Uno de los fundamentos de su trabajo fue la representacin de Newton de muchas funciones como series infinitas de potencias de x. Entonces Newton encontr la serie sen(x) y series similares para el cos(x) y tan(x). Con la invencin del clculo, las funciones trigonomtricas fueron tomadas por el anlisis, donde an juegan un papel importante en las matemticas puras y aplicadas. Finalmente, en el siglo XVIII el matemtico suizo Leonardo Euler defini las funciones trigonomtricas en trminos de los nmeros complejos. Esto convirti a todo el campo de la trigonometra en una aplicacin de los nmeros complejos, y mostr que las leyes bsicas de la trigonometra eran simplemente consecuencia de la aritmtica de esos nmeros. [Traduccin: Julio Mosquera]

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Desarrollemos un poco ms algunas de las ideas expuestas anteriormente. Como vemos la trigonometra se nutre de adelantos logrados en diversas culturas o civilizaciones. sta tiene sus orgenes en las matemticas y la astronoma elaborada por babilonios, griegos, indios y rabes preocupados por el estudio de las esferas y de los tringulos esfricos. Recordemos que antes del siglo XVI, para los astrnomos la Tierra se encontraba en el centro de una serie de esferas encajadas. La adopcin de este modelo motiv el desarrollo de la trigonometra esfrica para calcular la posicin de las estrellas o de los planetas. Figura 1. Modelo del universo como esferas concntricas.

(Fuente: http://www.hps.cam.ac.uk/starry/sacroarmill.html)Como menciona Bobakova (2004) en su escrito, los primeros usos de las funciones trigonomtricas estaban relacionados con las cuerdas de una circunferencia, y el reconocimiento de la longitud de la cuerda subtendida por un ngulo dado x. En la terminologa actual diramos que los matemticos de esa poca estaban realmente trabajando con la funcin 2 sen (x/2). Los matemticos de la India, bajo la influencia de los trabajos babilnicos y griegos, elaboraron an ms la trigonometra. En algunos de los tratados matemticos hindes como Aryabhata contienen tablas de medias cuerdas, conocidas con el trmino jya-ardha o simplemente jya, el cual tiene la siguiente relacin con nuestro concepto moderno de seno: jya x = r sen x, como se muestra en la figura 2. Figura 2. Dibujo de una media cuerda de una circunferencia.

[Fuente: George Gheverghese Joseph, 2000. The Crest of the Peacock: The Non-European Roots of Mathematics, new ed. Princeton, NJ: Princeton University Press, p. 282.]

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En la figura 2 tenemos que Jya representa la media cuerda AM. Desde la India la funcin seno fue introducida en el mundo rabe en el siglo VIII, donde el trmino jya fue transliterado en jiba o jyb. Las primeras traducciones al latn de tratados matemticos rabes errneamente tomaron jiba por la palabra rabe jaib, la cual puede significar la apertura de un vestido de mujer en el cuello. Por consiguiente, jaib fue traducido al latn como sinus, el cual significa doblaje (en un traje), seno, mirador, y hasta curva. De all proviene nuestra palabra en espaol seno. Otro conjunto de funciones trigonomtricas, la tangente y la cotangente, se desarrollaron del estudio de las longitudes de las sombras producidas por objetos de varias alturas. Tales de Mileto us longitudes de sombras para calcular la altura de las pirmides cerca del ao 600 de nuestra era. Los matemticos hindes y rabes desarrollaron una tradicin trigonomtrica basada en longitudes de sombras, una tradicin que, a su vez, influy sobre las matemticas europeas. Las funciones secante y cosecante derivaron de tablas usadas por navegantes en el siglo XV. El trmino Trigonometra apareci por primera vez como el ttulo de un libro, la Trigonometria de Bartolomeo Pitiscus la cual fue publicada en 1595. En este libro la trigonometra era asumida como la medida de tringulos. Lo anterior nos indica que la aparicin del trmino trigonometra no estuvo asociado a las actividades reales que dieron origen a esta rama de las matemticas. De all la confusin que tienen muchos autores de libros de texto y profesores de matemticas acerca del origen de la trigonometra. De esta parte podemos concluir que primero se origin la trigonometra esfrica, estrechamente ligada a la astronoma, que la trigonometra plana, varias civilizaciones o culturas han contribuido al desarrollo de la trigonometra. Aunque los matemticos, astrnomos y otros tcnicos realizaron importantes desarrollos en el campo de la trigonometra, la mayora relacionados con la astronoma y otras actividades prcticas, no fue sino hasta finales del Siglo XVI que se adopt el trmino trigonometra para referirse a ese campo especfico de las matemticas. Desarrollo del pensamiento trigonomtrico Como ya dijimos en la Leccin 1, contamos con muy pocas investigaciones en educacin matemtica sobre el desarrollo del pensamiento trigonomtrico. En la bibliografa encontramos trabajo de investigacin relacionados con la formacin de conceptos especficos (de Kee y otros, s.f.) y sobre propuestas didcticas (Doerr, 1996). Por tanto, no contamos con modelos del desarrollo del pensamiento trigonomtrico como lo que tenemos para el pensamiento algebraico o para el pensamiento geomtrico. Por ahora, contamos con resultados aislados obtenidos en diversas investigaciones tales como las presentadas en la Leccin 1. Qu nos dicen esas investigaciones? De las investigaciones sobre la enseanza y el aprendizaje de la trigonometra presentadas en la Leccin 1 podemos decir que algunas de las dificultades que los estudiantes tiene en apropiarse de los contenidos de la trigonometra estn relacionadas con problemas en el aprendizaje de otros conceptos matemticos. Dos de estos conceptos matemticos son el de razn, de ngulo y de funcin. Sabemos que los estudiantes tienen problemas para aprender de razones, as

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como el de proporciones. El concepto de ngulo no es aprendido con facilidad por los estudiantes. Una dificultad adicional es que los alumnos estudian el concepto de ngulo por primera vez en geometra, luego en trigonometra se tiene que abandonar esas ideas de ngulo. Sobre este asunto volveremos ms adelante. Tambin se han documentado las numerosas concepciones errneas y errores que cometen los estudiantes al trabajar con funciones. Estos tres conceptos son fundamentales para una comprensin adecuada de los conceptos y procedimientos que se estudian en trigonometra. Adems, tenemos las dificultades que encuentran los estudiantes en el estudio de conceptos propios de la trigonometra, tal es el caso de la periodicidad. Shama (1998), ver Leccin 1, nos muestra todas las concepciones errneas que presentan los estudiantes al identificar situaciones peridicas y sus elementos. En general, las investigaciones sugieren que la enseanza de la trigonometra se inicie por el estudio de las funciones trigonomtricas en contextos dinmicos, en especial con la ayuda de tecnologas como calculadoras y aplicaciones en computadora. Concluimos esta seccin resaltando que el problema de la construccin de un modelo para el razonamiento trigonomtrico sigue sin solucin. Referencias Bobakova, L. (2004). Project a didactic situation: The basic trigonometrical equations. Documento en lnea. Disponible en: http://www.fmph.uniba.sk/~kzdm/projekty/talianske/progetto3.pdf Piaget, J. y Garcia, R. (1984). Psicognesis e historia de la ciencia. Mxico: Siglo XXI. Sfard, A. y Linchevski, L. (1994). The gains and pitfalls of reification: The case of algebra. Educational Studies of Mathematics, 26, 191-228. Shama, G. (1998). Understanding periodicity as a process with a Gestalt structure. Educational Studies in Mathematics, 35, 255-281.

Unidad 2Leccin 4Estudio de las Funciones Peridicas

Comprender las funciones circulares no es una tarea fcil. Estas funciones aparecen por primera vez en el programa de estudio del Primer Ao de la Educacin Media Diversificada y Profesional, para ese momento el estudiante posiblemente ni siquiera se ha formado un concepcin completa de la relacin funcional entre dos variables. Lo anterior dificulta an ms la comprensin de las funciones circulares. Esta leccin est dedicada pues al estudio de las funciones circulares y las dificultades que enfrenta el profesor en su enseanza y el estudiante en su aprendizaje. Esta leccin est formada por dos partes bsicas. En la primera haremos un repaso de las funciones peridicas. Nos interesa resaltar su importancia en el estudio de la trigonometra. En la segunda parte pasaremos revista a una investigacin sobre la formacin del concepto de funcin peridica en estudiantes. Las funciones peridicas constituyen el corazn de la Trigonometra. Antes de entrar en el estudio de este tipo de funciones usted debe realizar la actividad siguiente. Actividad 4.1 Esta actividad requiere que usted vea el video Ondas. Una vez que vea el video responda las preguntas siguientes: 1. Cmo se inicia el movimiento ondulatorio del agua? 2. Qu son cimas y valles? 3. Describa el movimiento ondulatorio. 4. Describa el movimiento oscilatorio 5. Seale las principales semejanzas y diferencias entre estos dos tipos de movimientos. 6. Qu es la posicin de equilibrio de una partcula? 7. Describa con sus propias palabras qu es un fenmeno peridico. 8. Qu es una onda? 9. Qu relacin existe entre la oscilacin y la onda?

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10. Defina pulso 11. Cmo se clasifican las ondas? ejemplos. Ilustre cada caso con

12. Defina perodo, frecuencia, amplitud y longitud de onda. 13. Qu es un nodo? 14. Escriba un breve ensayo sobre las ondas y que papel juega la trigonometra en su estudio. Funciones peridicas Decimos que una funcin f es peridica si existe un nmero real positivo p tal que f(x) = f(x + p) para todo x en el dominio de f. El menor nmero p para el cual f es peridica es denominado perodo de f. Actividad 4.2 Describa tres situaciones que podran ser modeladas por funciones peridicas. Funciones circulares Las funciones circulares se definen como aquellas funciones que describen las posiciones vertical y horizontal de un punto sobre una circunferencia, tales como la funcin del ngulo (seno y coseno) y todas aquellas funciones derivadas de ellas (http://mathworld.wolfram.com/CircularFunctions.html). Siguiendo con Wolfran, tenemos que las funciones circulares tambin reciben el nombre de funciones trigonomtricas. Partiendo de esta definicin podemos definir a la trigonometra como el estudio de las funciones circulares. Actividad 4.3 Cul es la relacin entre las funciones peridicas y las circulares? Qu es una funcin? Cmo es eso de las posiciones vertical y horizontal? Una funcin f es un regla que la asigna a todos los elementos de un conjunto dado A uno y slo un elemento en el conjunto B. Denominamos f(x) al valor de la funcin f en x. En nuestro caso particular consideramos las funciones circulares. Esto es, asumimos una circunferencia de radio 1 y con centro en el origen O, tomamos un punto P cualquiera sobre la circunferencia y el segmento OP. Para cada medida en radianes del ngulo que forma el segmento OP con el eje X, este ngulo se mide en el sentido contrario al movimiento de las agujas del reloj. Tenemos as una correspondencia entre las medidas del ngulo en radianes y el punto P correspondiente sobre la circunferencia unitaria.

Leccin 4

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Fuente: http://astro.ocis.temple.edu/~dhill001/sincos-demo1/ Partiendo de la situacin anterior podemos definir dos funciones que asocien a cada medida del ngulo t una y slo una posicin horizontal o vertical. Primero, podemos definir la funcin que le asigna a cada valor de t la longitud x. Es decir, esta funcin est definida por el conjunto de pares ordenados (t, x), sta es la funcin coseno. Segundo, le asignamos a cada valor t la longitud y. Es decir, esta funcin est definida por el conjunto de pares ordenados (t, y), sta es la funcin seno. En la figura siguiente se muestra como estas funciones estn relacionadas segn un tringulo rectngulo.

Fuente: http://astro.ocis.temple.edu/~dhill001/sincos-demo1/ Si nos imaginamos al punto P movindose sobre la circunferencia en el sentido contrario al de las agujas del reloj, podemos ver como las longitudes de los lados del tringulo rectngulo cambian y la hipotenusa se mantiene constante. Veamos en la figura siguiente algunos casos particulares.

Fuente: http://astro.ocis.temple.edu/~dhill001/sincos-demo1/ Cul es la grfica de estas funciones circulares? Una funcin se expresa tambin como un conjunto de pares ordenados. A la primera de estas funciones se representa mediante el conjunto de puntos (t, x) = (t, f(t)) (t, cos(t)). La segunda funcin se expresa en pares ordenados de la forma (t, y) = (t, f(t)) (t, sen(t)). A partir de estos conjuntos de pares ordenados podemos hacer una grfica de cada una de estas funciones circulares.

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Consideremos algunas medidas muy particulares del ngulo t. Estos es, cuando el punto P se encuentra en las intersecciones de la circunferencia con los ejes.

ngulo t en radianes

0 (1, 0) 1 0

/2 (0, 1) 0 1

(-1, 0) -1 0

3/2 (0, -1) 0 -1

2 (1, 0) 1 0

P(x,y) X = cos(t) Y = sen(t)

Grafiquemos cartesianas.

estos

pares

de

puntos

sobre

sendos

ejes

de

coordenadas

Fuente: http://astro.ocis.temple.edu/~dhill001/sincos-demo1/

Considere otros valores de t y bosqueje las grficas de cada una de estas dos funciones circulares para el rango de t indicado en las figuras anteriores. A continuacin mostramos la grfica de la funcin seno.

Fuente: http://mathworld.wolfram.com/PeriodicFunction.html

Leccin 4

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Actividad 4.4 1. Investigue cmo definen las funciones trigonomtricas en por lo menos un libro de texto de Matemtica para el Primer Ao de EMDP. 2. Es esa definicin igual o equivalente a la dada en esta leccin? Explique. Transformacin de las funciones trigonomtricas Como usted sabe se pueden construir varias funciones trigonomtricas a partir de las funciones seno y coseno. Veamos a continuacin dos de estas funciones: Tangente Secante tg(x) = sen(x)/ cos(x) sec(x) = 1/cos(x) mediante

Otra manera de generar funciones trigonomtricas es transformaciones, es decir, consideramos funcin dada de la forma: f(x) = a.sen(b.x + c) + d

Para valores diferentes de a, b, c y d obtendremos diferentes funciones. Para experimentar qu sucede cuando cambian los valores de cada uno de estos parmetros visite la pgina web http://cs.jsu.edu/mcis/faculty/leathrum/ Mathlets/awl/periodic-main.html. En esa pgina encontrar un applet* que le permitir experimentar variando los valores de los parmetros y observar las transformaciones que sufre la grfica de la funcin. En esa pgina usted encontrar a la izquierda la grfica de la funcin f(x) = sen(x), al hacer clic sobre los botones con los signos + y debajo de cada parmetro usted podr aumentar o disminuir el valor del mismo respectivamente. Actividad 4.5 Mantenga fijo en 1 los valores de todos los parmetros y experimente variando slo uno de los parmetros a la vez. Para restablecer los valores de los parmetros a 1 haga clic sobre el botn Clear. 1. Qu sucede con la grfica de la funcin seno cuando a aumenta o disminuye? 2. Qu sucede con la grfica de la funcin seno cuando b aumenta o disminuye? 3. Qu sucede con la grfica de la funcin seno cuando c vara? 4. Qu sucede con la grfica de la funcin seno cuando d vara? Para investigar en Internet En el sitio web: http://www.ies.co.jp/math/products/trig/menu.html usted encontrar una serie de applets que le pueden servir de mucha ayuda para la exploracin de diversos temas de trigonometra.

*

Un applet es una pequea aplicacin escrita en lenguaje Java y generalmente incrustada en una pgina web. Esta aplicacin permite realizar actividades interactivas.

MDULO 2lgebra y Trigonometra en la Realidad y en los Materiales CurricularesObjetivo del Mdulo:Analizar la relacin del lgebra y la trigonometra con la realidad, las prcticas escolares y el uso de materiales curriculares en su enseanza.

UNIDAD N 3: lgebra y sus AplicacionesOBJETIVO DE LA UNIDAD:Identificar diversas situaciones en las que se aplica el lgebra y la trigonometra.

CONTENIDOS:La Matemtica del entorno y de la actividad humana: aplicaciones acadmicas, tecnolgicas y cotidianas de la trigonometra.

UNIDAD N 4: Materiales CurricularesOBJETIVO DE LA UNIDAD:Conocer diversos materiales curriculares y su uso en didctica del lgebra y la trigonometra.

CONTENIDOS:Materiales curriculares en lgebra y trigonometra, tipos y caractersticas. Software especializado para la enseanza del lgebra y la trigonometra.

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Unidad 3Leccin 5Aplicaciones del lgebra

Esta leccin est dedicada al estudio de ciertas situaciones de la vida real que pueden ser modeladas mediante lenguaje algebraico. Vinculamos el trabajo aqu realizado con el diseo de proyectos pedaggicos para ser realizados en la escuela. El estudio de las aplicaciones del lgebra, y en particular de la trigonometra, cobra particular relevancia en el contexto de una enseanza basada en proyectos. Si asumimos que los proyectos estn dirigidos a resolver un conjunto de problemas, la calidad de los proyectos depender enormemente de los problemas que postulemos y sus diversas vas de solucin. En otras palabras, un conocimiento adecuado de cmo pueden ser usadas las matemticas para resolver problemas de l

Libro de didáctica del algebra y la trigonometria, Carlos Torres

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