Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Ejemplo 14 x−8=12

Recordemos para solucionar una ecuación, para este caso lineal se debe dejar la X sin ningún número acompañante.

Podemos usar la propiedad de la igualdad para tal fin y consiste en realizar las mismas operaciones con las mismas cantidades en ambos lados o miembros de la ecuación.

4 x−8+8=12+8; 4 x=20

4 x4

=204

x=5

Ejemplo 28 x+92

−5=3 8 x+92

−5+5=3+5 8 x+92

=8

8 x+92

(2)=8(2) 8 x+9=16 8 x+9−9=8−9

8 x=−1 8 x8

=−18 x=−1

8

Ejemplo 3Hallar un número tal que su triple menos cinco sea igual a su doble mas dos.

Solución

Sea X el número dado luego:

3 x−5=2x+2

3 x−2 x=2+5

x=7

Ejemplo 4Se reparten 170 pesos entre 3 personas de forma que la segunda recibe 25 pesos más que la primera y la tercera tanto como las otras dos juntas. ¿Cuánto recibe cada uno?

Solución:

Sea:

X la cantidad que recibe la primera

X + 25 la cantidad que recibe la segunda

X + X + 25 la cantidad que recibe la tercera

La ecuación queda

x+x+25+x+ x+25=170

4 x+50=170

4 x=170−50=120

x=1204

=30

La cantidad que recibe la primera es 30

La cantidad que recibe la segunda 30 + 25 = 55

La cantidad que recibe la tercera 30 + 30 + 25 = 85

85+55+30=170

Sistemas de ecuaciones de primer grado de 2 x 2

Ejemplo 15 x+2 y=4 ecuación 1

2 x−2 y=8 ecuación 2

Sumando la ecuación 1 y 2 miembro a miembro y cada término semejante

7 x=12 de donde x=127

. Reemplazo este valor en la ecuación 1 se tiene

5( 127 )+2 y=4de donde2 y=4−607

=−327

de donde y=−327 (2)

=−167

y=−167

Ejemplo 23 x+ y=10 ecuación 1

x+2 y=10 ecuación 2

Despejo y en la ecuación 1

y=10−3 x luego la reemplazo en la ecuación 2

x+2 (10−3 x )=10de donde x+20−6 x=10 luego−5 x=10−20

x=−10−5

=2

x=2

Reemplazo este valor en la ecuación 1

3 (2 )+ y=10=¿6+ y=10entonces y=10−6

y=4

Ejemplo 3Problemas que se pueden resolver mediante un sistema de ecuaciones de 2 x 2

La suma de dos números es 20 y su diferencia es 10. ¿Cuáles son los números?

Solución

Sean x e y los números luego

x+ y=20

x− y=10

Se suman las dos ecuaciones

2 x=30 luego x=302

=15 se reemplaza este valor en la ecuación 1

15+ y=20entonces y=5

Ejemplo 4Encontremos la velocidad de un bote, en aguas en reposo, y la velocidad de la corriente de un rio, sabiendo que tarda 3 horas en recorrer una distancia de 45 km aguas arriba y 2 horas en recorrer 50 km aguas abajo.

Solución:

Sean

x velocidad del bote en agua en reposo

y velocidad de la corriente

x - y velocidad en contra de la corriente

x + y velocidad a favor de la corriente

3 ( x− y )=45

2 ( x+ y )=50

3 x−3 y=45 si se simplifica quedax− y=15

2 x+2 y=50 si se simplifica queda x+ y=25

Si se suma las ecuaciones se tiene

2 x=40de donde x=20

Si se reemplaza en la ecuación 1

20− y=15 luego y=5

Ecuaciones de segundo grado

Ejemplo 1

3 x2+6x−8=0

Se determinan los valores de a, b y c

a=3b=6c=−8

Se aplica la fórmula general

−6±√62−4 (3 )(−8)2(3)

=−6±√132

6=

−6±11.496

Se tienen dos soluciones

−6+11.496

=0.915

−6−11.496

=−2.915

Ejemplo 2

4 x2−10x+12=0

Se determinan los valores de a, b y c

a=4 b=−10c=12

Se aplica la fórmula general

−(−10)±√(−10)2−4 (4 )(12)2(4)

=10±√−92

8

No se tiene ninguna solución en los reales, ya que la raíz de una cantidad negativa no pertenece a los reales.

Ejemplo 3¿Cuáles son las medidas de un rectángulo si su área es 40 cm2 y su perímetro es 26 cm?

Solución:

Sea b la base, h la altura, se tiene:

2b+2h=26 yaque los l adossoniguales dedos endos

bh=40

Despejamos a b de la primera ecuación

b=26−2h2

=13−h la reemplazo en la ecuación dos

(13−h ) h=40organizando13h−h2=40quedah2−13h+40=0

Se determinan los valores de a, b y c

a=1b=−13 c=40

Se aplica la fórmula general

−(−13)±√(−13)2−4 (1 )(40)2(1)

=13±√92

=13±32

Las soluciones son:

13+32

=8

13−32

=5

Reemplazando en la ecuación 2

b (5 )=40 por lo tanto b=8

b (8 )=40 por lotanto b=5

Los lados del rectángulo son 5cm y 8 cm

Ejemplo 4Un hombre es cinco veces tan viejo como su hijo y la suma de los cuadrados de sus edades es 2106. Encuentre sus edades.

Solución:

Sea X la edad del hijo

5x la edad del padre

x2+ (5x )2=2106 luego x2+25x2=2106

26 x2=2106 se tiene x=√ 210626 =±9

Las edades son 9 años y 45 años. El valor negativo no se toma porque se trata de edades.

Funciones trigonométricas

Ejemplo 1Para el siguiente triángulo rectángulo halle las razones trigonométricas

Determinamos el valor de la hipotenusa

H=√32+52=√34 se definen op = 5 ady = 3

Las razones son

Sen A= 5

√34 cos A= 3

√34 tan A=5

3

cot A=53 Sec A=√34

3 Csc A=√34

5

Ejemplo 2Para el siguiente triángulo rectángulo halle las razones trigonométricas

Determinamos el valor del otro cateto

c=√102−62=8 se definen op = 6 ady = 8

Las funciones son

Sen A= 610

cos A= 810

tan A=68

cot A=86

Sec A=108

Csc A=106

Aplicaciones

Ejemplo 3Desde un punto de observación los ángulos de depresión de dos botes alineados son 30° y 45°. Encuentra la distancia entre los dos botes si el punto de observación está a una altura de 400 m.

La distancia AB es el cateto opuesto y 400m es el cateto adyacente. Se busca una función que los contenga a ambos, es la tangente.

tan 45 °= AB400m

entonces AB=400m tan 45 °=400m

La distancia BC es el cateto opuesto y 400m es el cateto adyacente. Se busca una función que los contenga a ambos, es la tangente.

tan30 °= BC400m

entonces BC=400m tan30 °=230.94m

Sumamos las distancias 400m + 230.94m= 630.94m

Ejemplo 4El punto de anclaje de un cable que sujeta un poste se encuentra a 12m de éste y lo une con su parte más alta. Si el ángulo que forma el cable con el suelo es de 30º, determine el largo del cable.

Observando el triángulo que se forma se tiene que 12m es el cateto adyacente y el cable es la hipotenusa.

cos30 º=12mH

de donde H=12m cos30 º

H= 10.392m que es la medida del cable

Funciones trigonométricas de ángulos generales Ejemplo

Un ángulo está en posición normal y su lado terminal está en (3, –4). Determine el valor de las funciones trigonométricas.

Por definición el valor de X representa el cateto adyacente y el valor de Y representa el cateto opuesto. Se necesita determinar el valor de la hipotenusa. Este ángulo tiene su lado terminal en cuadrante IV.

H=√32+(−4 )2=5

Las funciones son

Sen∅=−45

cos∅=35 tan∅=−4

3

cot∅= 3−4 Sec∅=5

3 Csc∅= 5

−4

Identidades trigonométricas

Demostrar la siguiente identidad

cot A+ sen A1+cos A

≡Csc A

Reemplazamos en función de seno y coseno

cos ASen A

+ Sen A1+cos A

≡1

Sen A

cos A+cos2 A+Sen2 ASen A(1+cos A )

≡1

Sen A

se sabeque Sen2 A+cos2 A=1

cos A+1Sen A(1+cos A)

≡1

Sen A

cancelando cos A+1queda

1Sen A

≡1

Sen A

Demostrar la siguiente identidad

Sen ACsc A

+ cos ASec A

≡1

Reemplazamos en función de seno y coseno

Sen A1

Sen A

+ cos A1

cos A

≡1

Sen2 A+cos2 A ≡1 que es la identidad fundamental

Ley de los senos

Ejemplo 1Utiliza la ley de los senos para resolver los siguientes triángulos

Se nombran los lados y los ángulos

Aplicamos la ley de senos

Sen Bb

=Sen Aa

=SenCc

Reemplazamos los valores que se tienen

Sen 40°6

=Sen A12

=SenCc

Se observa que se debe tomar los dos primeros términos y despejamos Sen A y luego el ángulo

12∗Sen40 °6

=Sen A de donde Sen A=1.439

De lo anterior se puede concluir que el triángulo no se puede construir realmente ya que el valor del seno es mayor que 1.

Ejemplo 2

Se nombran los lados y los ángulos

Aplicamos la ley de senos

Sen Aa

= SenBb

=SenCc

Reemplazamos los valores que se tienen

Sen A12

= Sen30 °b

=SenC15

Se observa que no es posible resolver este triángulo ya que ningún par de términos queda con una incógnita, quedan con dos.

Supongamos que el valor del lado c corresponde a b con lo que queda

Sen A12

= Sen30 °15

=SenCc

Despejamos a Sen A de los dos primeros términos y luego el ángulo

12∗Sen30°15

=Sen A , dedonde Sen A=0.4 luego A=Sen−1 (0.4 )=23.58 °

Con el valor de los ángulos A y B se puede determinar el ángulo C

C=180 °−30 °−23.58 °=126.42 °

Ahora se determina el valor de c

0.412

=Sen126.42 °c

se tiene c=12∗Sen126.420.4

=24.14

Realizamos una tabla para comprobar que a mayor ángulo se opone mayor lado

Angulo A = 23.58° Lado a = 12Angulo B = 30° Lado b = 15Angulo C = 23.58° Lado c = 24.14

Comprobamos que es cierto

Ley de cosenos

Ejemplo Resuelve el siguiente triángulo. Utiliza la ley de cosenos

a=√b2+c2−2bcCosA

Nombramos los lados

Reemplazamos los valores para determinar el valor de b

b=√a2+c2−2acCosB=√122+152−2 (12 ) (15 ) cos30 °=7.57

Hallemos el valor del ángulo A

122=7.572+152−2 (7.57 ) (15 )cos A

cos A=7.572+152−122

2 (7.57 ) (15 )=0.61

A=cos−1 (0.61 )=52.48°

Ahora hallamos el valor de C

C=180 °−30−52.48°=97.52 °

Realizamos una tabla para comprobar que a mayor ángulo se opone mayor lado

Angulo B = 30° Lado b = 7.57

Angulo A = 52.48° Lado a = 12Angulo C = 97.52° Lado c = 15

Aplicaciones

Se desea determinar la distancia entre el punto A y el punto B y entre el punto A y el punto C observe el gráfico.

Determinamos si es posible usar la ley de senos, pero primero se determina el valor del ángulo A

A=180°−40 °−55 °=85°

Sen Aa

= SenBb

=SenCc

Sen85 °30m

=Sen40 °b

=Sen55 °c

Se usa la primera pareja, primero y segundo término, y se determina b

b=30mSen 40 °Sen85 °

=19.35m

Se usa la segunda pareja, tercer y segundo término, y se determina c

c=19.35m Sen55 °Sen40 °

=24.65m