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CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO Dr. P. Reyes / enero de 2009

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CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO

Con base en el Texto de Control Estadístico de la Calidad de Douglas Montogomery

DR. PRIMITIVO REYES AGUILAR Diciembre, 2008

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CONTENIDO

Contenido

1. IMPORTANCIA DE LA MEJORA CONTINUA ..................................................................................... 6

1.1 CALIDAD Y MEJORAMIENTO ...................................................................................................... 6 1.2 HISTORIA DEL CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO .............................................................. 8

Antecedentes ............................................................................................................................... 8 CEP en occidente ........................................................................................................................ 11 CEP en Japón .............................................................................................................................. 12 Desarrollo del Control Estadístico del Proceso .......................................................................... 14 Teorema del límite central ......................................................................................................... 15 Interpretación ............................................................................................................................ 16

1.3 LAS 7 HERRAMIENTAS BÁSICAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS .................................... 18 Hoja de verificación o registro ................................................................................................... 18 Diagrama de Pareto ................................................................................................................... 20 Diagrama de Dispersión ............................................................................................................. 24 Histogramas ............................................................................................................................... 31 Lluvia de ideas (Brainstorming) .................................................................................................. 32 Diagrama de Causa efecto ......................................................................................................... 33 Carta de tendencias ................................................................................................................... 38 Diagrama de flujo ....................................................................................................................... 39 Pasos para la elaboración de un diagrama de flujo ................................................................... 40 Diagrama de flujo de tiempo – valor agregado ......................................................................... 44 Diagrama de Flujo Físico ............................................................................................................ 45 Estratificación............................................................................................................................. 46 Las cartas de control .................................................................................................................. 46

1.4 MÉTODOS LEAN PARA LA MEJORA .......................................................................................... 47 Los 7 desperdicios o Muda ........................................................................................................ 47 Métodos Lean para la mejora .................................................................................................... 48 Mapeo de la cadena de valor ..................................................................................................... 48 Las 5 Ss y la administración visual .............................................................................................. 51 Preparaciones rápidas (SMED) ................................................................................................... 52 Poka Yokes o A prueba de error ................................................................................................ 53 Trabajo estandarizado ............................................................................................................... 54

1.5 LAS SIETE HERRAMIENTAS ADMINISTRATIVAS........................................................................ 55 Diagrama de Afinidad ................................................................................................................ 56 Fig. 1.26 ejemplos de diagrama de interrelacionesDiagrama de árbol ..................................... 60 Diagrama de árbol ...................................................................................................................... 61 Diagrama Matricial ..................................................................................................................... 64 Matrices de Prioridades o prioritización .................................................................................... 68

1.6 MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA MEJORA DE CALIDAD ....................................................... 78 Cartas de control ........................................................................................................................ 78 Diseño de experimentos ............................................................................................................ 79 Muestreo de aceptación ............................................................................................................ 80

1.7 ADMINISTRACIÓN POR CALIDAD TOTAL ................................................................................. 82


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Costos de calidad ....................................................................................................................... 83 2. MÉTODOS Y FILOSOFÍA DEL CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO (CEP) ................................... 85

Concepto de variación ............................................................................................................... 85 2.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL .......................................................................................................... 85

Estandarización de valores reales .............................................................................................. 91 2.2 PRUEBA DE NORMALIDAD ....................................................................................................... 93 2.3 LA CARTA DE CONTROL COMO PRUEBAS DE HIPÓTESIS ......................................................... 95 2.4 BASES ESTADÍSTICAS DE LAS CARTAS DE CONTROL ................................................................ 99

Tamaño de muestra y frecuencia de muestreo ....................................................................... 106 Subgrupos racionales ............................................................................................................... 107 Análisis de patrones en cartas de control ................................................................................ 108

2.5 IMPLEMENTACIÓN DEL CEP................................................................................................... 109 3. CARTAS DE CONTROL POR VARIABLES ........................................................................................ 111

3.1 INTRODUCCIÓN .................................................................................................................... 111 3.2 CARTAS DE CONTROL DE MEDIAS-RANGOS .......................................................................... 111

Interpretación de cartas de control RX ............................................................................ 116 Capacidad o habilidad del proceso .......................................................................................... 128 La curva característica de operación ....................................................................................... 135

3.3 CARTAS DE CONTROL PARA X y S ....................................................................................... 138 3.4 CARTAS PARA LECTURAS INDIVIDUALES ............................................................................... 145 3.5 SELECCIÓN ENTRE CARTAS POR VARIABLES Y POR ATRIBUTOS ............................................ 149 3.6 APLICACIÓN DE CARTAS DE CONTROL POR VARIABLES ........................................................ 152

4. CARTAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS ..................................................................................... 154

4.1 INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 154 4.2 CARTA DE CONTROL PARA FRACCIÓN NO CONFORME - p ................................................... 155 4.3 CARTA DE CONTROL np ......................................................................................................... 169 4.4 TAMAÑO DE MUESTRA VARIABLE ......................................................................................... 170 4.5 CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓN Y ARL .................................................................... 174 4.6 CARTAS DE CONTROL PARA NO CONFORMIDADES (DEFECTOS) – c y u .............................. 178

Tamaño de muestra constante - CARTA c ............................................................................... 178 Selección del tamaño de muestra ............................................................................................ 184 Carta de control de defectos por unidad U ............................................................................. 185 Sistema de demeritos .............................................................................................................. 191 La curva característica de operación ....................................................................................... 192

4.7 CARTAS DE CONTROL PARA TASAS DE DEFECTOS EN ppm ................................................... 194 5. OTRAS CARTAS DE CONTROL ESPECIALES ................................................................................... 195

5.1 CARTAS DE CONTROL PARA CORRIDAS CORTAS DE PRODUCCIÓN ....................................... 195 Cartas de control dnom ........................................................................................................... 195 Cartas de control de medias rangos estandarizada ................................................................. 196 Cartas de control por atributos ................................................................................................ 197

5.2 CARTAS DE CONTROL MODIFICADAS Y DE ACEPTACIÓN ...................................................... 197 Cartas de control modificadas ................................................................................................. 197 Cartas de control de aceptación .............................................................................................. 199

5.3 CARTA DE CONTROL PARA DESGASTE DE HERRAMIENTA O MATERIAL ............................... 201 5.4 CARTA DE PRECONTROL O DE ARCOIRIS .............................................................................. 204 5.5 CARTAS DE CONTROL PARA PROCESOS DE SALIDA MÚLTIPLE ............................................. 207


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5.6 CARTAS DE CONTROL Cusum ................................................................................................. 208 Cusum normal .......................................................................................................................... 208 Cusum en forma tabular .......................................................................................................... 213

EL PROCEDIMIENTO DE LA MASCARILLA EN V ............................................................................ 216 5.7 CARTA DE CONTROL DE MEDIAS MOVILES EXPONENCIALMENTE PONDERADAS (EWMA) .. 221 5.8 CARTA DE CONTROL DE MEDIA MOVIL ................................................................................. 226

6. ANÁLISIS DE CAPACIDAD DEL PROCESO ..................................................................................... 231

6.1 INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 231 Condiciones para realizar un estudio de capacidad del proceso ............................................. 234

6.2 ÍNDICES DE CAPACIDAD ......................................................................................................... 236 Índice de capacidad potencial Cp ............................................................................................ 236 Índice de capacidad real Cpk ................................................................................................... 239 Índice de capacidad potencial Cpm o PCRm y Cpkm o PCRkm ................................................ 241

6.3 CAPACIDAD DEL PROCESO CON HISTOGRAMA O PAPEL DE PROBABILIDAD NORMAL ........ 243 Histograma ............................................................................................................................... 243 Papel de probabilidad normal .................................................................................................. 245 Capacidad del proceso con cartas de control .......................................................................... 249 Capacidad de procesos con Minitab: normales y no normales ............................................. 252 Capacidad de procesos no normales. ...................................................................................... 256 Análisis de capacidad con experimentos diseñados ................................................................ 257

6.7 ESTUDIOS DE CAPACIDAD DE SISTEMAS DE MEDICIÓN ........................................................ 258 Error del equipo de medición .................................................................................................. 258 Repetibilidad y reproducibilidad (R&R) ................................................................................... 261 R&R Capacidad de los sistemas de medición - AIAG .............................................................. 265 Definiciones.............................................................................................................................. 266 Exactitud : ................................................................................................................................ 267 Estudios R&R - Método Corto del Rango ................................................................................. 269 Estudio de R&R Método largo ................................................................................................. 270 Método de Promedios- Rango ................................................................................................. 271 Cálculos con Excel o manual: ................................................................................................... 271 Interpretación de los resultados .............................................................................................. 277 Estudios de R&R por atributos ................................................................................................. 282 Interpretación de resultados ................................................................................................... 290

7. MUESTREO DE ACEPTACIÓN POR ATRIBUTOS ............................................................................ 292

7.1 EL PROBLEMA DE LA ACEPTACIÓN POR MUESTREO ............................................................. 292 7.2 MUESTREO SIMPLE POR ATRIBUTOS ..................................................................................... 296

Muestreo aleatorio simple ....................................................................................................... 296 La curva OC .............................................................................................................................. 296 Puntos específicos en la curva OC ........................................................................................... 299 Inspección rectificadora ........................................................................................................... 300 Muestreo doble, múltiple y secuencial .................................................................................... 303

7.4 TABLAS DE MUESTREO MIL-STD-105E (ANS Z1.4, ISO 2859) ................................................ 313 Descripción de la norma .......................................................................................................... 313

7. 5 PLANES DE MUESTREO DE DODGE- ROMIG (1920) ............................................................. 320 Planes de AOQL ........................................................................................................................ 321 Planes de LTPD ......................................................................................................................... 321

8. MUESTREO DE ACEPTACIÓN POR VARIABLES ............................................................................. 323


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Ventajas y desventajas ............................................................................................................. 323 8.1 CONTROL DE LA FRACCIÓN DEFECTIVA ................................................................................. 324 8.2 DISEÑO DE UN PLAN DE MUESTREO POR VARIABLES ........................................................... 327 8.3 TABLAS ASQC Z1.9 – 1993 ..................................................................................................... 329 8.4 OTROS PROCEDIMIENTOS DE MUESTREO POR VARIABLES .................................................. 337

Muestreo secuencial por variables .......................................................................................... 337


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1. IMPORTANCIA DE LA MEJORA CONTINUA 1.1 CALIDAD Y MEJORAMIENTO Las dimensiones de la calidad según Garvin son:

1. Desempeño (¿sirve el producto para el uso adecuado?)

2. Confiabilidad (¿qué tan frecuentemente falla el producto?)

3. Durabilidad (¿cuál es la vida útil del producto?)

4. Serviciabilidad (¿qué tan fácil se repara el producto?)

5. Estética (¿tiene el producto el estilo, color, forma, empaque y apariencia adecuada?)

6. Características (¿qué hace el producto más allá de su desempeño básico?)

7. Calidad percibida (¿cuál es la reputación de la empresa o del producto?)

8. Cumplimiento de estándares (¿el producto está hecho de acuerdo a estándares de diseño

original?)

Así la calidad tradicionalmente es adecuación al uso.

Dentro de la adecuación al uso existen la calidad de diseño y la calidad de conformancia. La de

diseño se refiere al diseño original del producto, los materiales utilizados, especificaciones, y

métodos empleados. La calidad de conformancia se refiere a que tan bien cumple el producto los

requerimientos de las especificaciones de su diseño, que básicamente depende del proceso de

manufactura.

Una definición más moderna es que la calidad es inversamente proporcional a la

variabilidad.

De esta forma se define la mejora de calidad como:

Mejoramiento de la calidad es la reducción de la variabilidad en

productos y servicios.


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EUA JAPON

LIE Objetivo LSE

Fig. 1.1 Enfoques de conformancia

Como los métodos estadísticos tienen un papel importante en el mejoramiento de la calidad, son

objeto de estudio de la Ingeniería de calidad. Los datos relacionados con la calidad se clasifican en

atributos y en variables. Los de atributos son discretos, enteros. Los de variables corresponden a

mediciones con valores reales como longitud, voltaje, etc. Existen diferentes herramientas

estadísticas para tratar con ambos tipos de datos.

Los productos no conformes o defectivos son los que no cumplen una o varias

especificaciones.

Un tipo específico de no cumplimiento de especificaciones es llamado defecto o no

conformancia.

Características del producto: Son los elementos que en conjunto describen la calidad del producto,

evaluadas respecto a especificaciones, como son:

1. Físicos: Longitud, peso, voltaje, viscosidad

2. Sensoriales: Gusto, apariencia, color

3. Relacionados con el tiempo: Confiabilidad, durabilidad, serviciabilidad.


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1.2 HISTORIA DEL CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO

Antecedentes

La teoría de la administración se desarrolló básicamente en los países industrializados, en

respuesta a los problemas que presentaron las grandes empresas características del sistema

capitalista.1 Sus primeros indicios se observan con el economista Adam Smith con el concepto de

división del trabajo para aumentar la productividad en 1776.2

Smith notó que en una industria de fabricación de alfileres, diez personas, cada una realizando una tarea específica, podrían producir 48,000 alfileres por día. Propuso que si cada uno trabajara por separado y en forma independiente, los diez trabajadores tendrían suerte en hacer 200 (o aún 10) alfileres al día.3

Smith concluyó que la división del trabajo incrementaba la productividad sin embargo se

consideraba al trabajador como extensión de la máquina. Durante la revolución industrial,

“iniciada en el siglo XVIII en Gran Bretaña…la mano de obra era sustituida por máquinas de una

manera acelerada”.4 Esto, a su vez, abarató la fabricación de productos en las fábricas. Surge la

administración científica con Frederick Taylor.

Frederick Winslow Taylor (1856-1915): él no desarrolló una teoría de administración, sino que

hacía énfasis en los aspectos empíricos.5 En 1911 publicó sus “Principios de la Administración

Científica”6 donde describe la administración científica, y usó este término para definir “la única y

mejor manera” de realizar un trabajo. Los estudios realizados antes y después de esta publicación,

lo erigieron como el padre de la administración científica.7 Sus cuatro principios son:

1 Simón, Nadima S., Evaluación Organizacional, SICCO, México, 1997, p. 7 2 Smith, Adam, An Inquiry into the Nature and Causes of the Wealth of Nations, A. Strahan and T. Cadell, London, 1793, pp. 7-8 3 Robbins, Stephen P., Management: Concepts and Applications, Englewood Cliffs, Nueva Jersey, 1987, p. 31. 4 Ibidem, p. 31. 5 Simón, Nadima, op. cit., p. 9 6 Taylor, Frederick W., Principles of Scientific Management,, Harper & Bros., Nueva York, Estados Unidos de América, 1911 7 Robbins, Stephen, op cit. p. 33.


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1. Crear una ciencia para cada elemento del trabajo del individuo, que sustituya al método empírico; 2. Escoger científicamente y luego entrenar, enseñar y desarrollar al trabajador; 3. Colaborar ampliamente con los trabajadores para asegurar que todo el trabajo se realice conforme a los principios de la ciencia que se ha ido desarrollando; 4. Hay una división casi igual del trabajo y la responsabilidad entre la administración y los trabajadores. La administración se encarga de todo el trabajo para el cual esté mejor dotada que los trabajadores.8

Taylor9 señaló que la creación de nuevos métodos de trabajo era responsabilidad única de

gerentes y administradores. La mayor desventaja del taylorismo es que los trabajadores pueden

ser descalificados “como si fueran extensión de las máquinas”,10 como consecuencia, se tiene

poca motivación y alto ausentismo.

Frank (1864-1924) y Lillian Gilberth: diseñaron arreglos laborales para eliminar movimientos

manuales y corporales inútiles, también experimentaron en el diseño y uso de herramientas y

equipo adecuado para optimizar el desempeño del trabajo.11 Encontraron que no es el trabajo

monótono la causa de tanta insatisfacción laboral, sino la falta de interés que muestran los

gerentes por los trabajadores.12

El “Fordismo” de Henry Ford: se implantó en empresas con líneas de productos durables en

Estados Unidos de América, fomentó la modificación de las normas de consumo y de vida de los

trabajadores, considerados como verdaderos consumidores potenciales, para lo cual era necesario

aumentar su poder de compra y reducir costos de producción, con sistemas de protección social.13

8 Ibidem, p. 34 tomado de la obra de Frederick Taylor, Principles of Scientific Management, Nueva York, Harper and Brothers, 1911, pp. 36-37. 9 Taylor, op. cit. 1911, p.20. 10 Hall, Richard, Organizaciones: Estructura y proceso. México, Prentice Hall Hispanoamericana, 1982, p. 304 11 Ibidem, p. 33 12 Koontz, Harold, op. cit. , p. 34. 13 Neffa, Julio Cesar, “Transformaciones del proceso del trabajo y de la relación salarial en el marco del nuevo paradigma productivo. Sus repercuciones sobre la acción sindical”, en Sociología del Trabajo, Nueva época, núm. 18, primavera de 1993, pp. 80-82


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Con las crisis de los años ochenta, la producción masiva uniforme ya no es competitiva, surge un

nuevo paradigma que hace énfasis en la respuesta flexible frente a los cambios impredecibles del

mercado. 14

Control de calidad por inspección

Durante la primera guerra mundial el sistema de manufactura se volvió más complejo,

involucrando a más trabajadores reportando a un supervisor de producción, con Taylor aparecen

los primeros inspectores de control de calidad; los trabajadores y el supervisor se enfocaron a la

producción, desligándose del auto - control de calidad de los artículos que producían, esto tuvo

auge entre los años 1920's y 1930's. Para evitar quejas y devoluciones de los clientes, los

productos se revisaban y separaban al final del proceso, identificando los defectuosos por un

departamento de Control de Calidad, sin embargo como la inspección 100% realizada por

personas tiene errores, se estableció un departamento de Servicio para corregir los productos

defectuosos en el mercado.15 Se establecen después planes de muestreo militares, asumiendo que

cualquier proceso producirá defectos, los esfuerzos se enfocan a detectarlos, no a prevenirlos. Los

productos defectuosos, eran reprocesados o desechados, incrementando los costos de producción

entre un 20 a 30% e incrementando el precio final del producto al menos 20%16, absorbiendo el

cliente las ineficiencias de la empresa. El departamento de Control de Calidad se convierte en el

"policía de la calidad" y se le responsabiliza de todos los problemas de calidad en la empresa, está

formado por especialistas y técnicos que se encargan principalmente de detectar defectos en el

producto final.

Con objeto de reducir el costo de la no calidad se desarrolló y aplicó el Control Estadístico del

Proceso como una siguiente etapa.

14 Ibidem, p. 83-84 15 Vid. Valdez, Luigi, Conocimiento es futuro, CONCAMIN, México, 1995, pp. 122-123 16 Ibidem, pp. 125-126


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Control estadístico del proceso (CEP)

CEP en occidente

Durante la segunda guerra mundial se requirieron cantidades masivas de productos, las

inspecciones de rutina de los inspectores no eran suficientes, en algunas compañías, tales como la

Western Electric, bajo contrato de la American Bell Telephone Company, estableció métodos de

control de calidad más rigurosos que infundieran confianza en sus instrumentos y

electrodomésticos, en 1924 se formó su departamento de Ingeniería de Inspección, entre sus

primeros miembros se encuentran Harold F. Dodge, Donald A. Qaurles, Walter A. Shewhart, Harry

G. Romig y otros.

Según Duncan “Walter Shewhart de los Laboratorios Bell fue el primero en aplicar las cartas de

control en 1924 haciendo un esbozo de la carta de control”17. Por otra parte “H. Dodge y H. Romig

desarrollaron las tablas de inspección por muestreo de Dodge-Romig”18, como una alternativa a la

inspección 100% al producto terminado, sin embargo su adopción en occidente fue muy lenta,

Freeman, sugiere que esto se dio por “la tendencia de los ingenieros americanos a eliminar la

variación, y su desdén por las teorías probabilísticas, así como a la falta de estadígrafos

industriales, adecuadamente entrenados”.19

El trabajo de Shewhart, Dodge y Romig, constituye la mayor parte de lo que hoy se conoce como

“Control Estadístico del Proceso”. De esta forma con objeto de hacer más eficientes a las

organizaciones de inspección, “se proporciona a los inspectores con unas cuantas herramientas

estadísticas, tales como cartas de control y tablas de muestreo”20. Se reduce el nivel de variación

del proceso hasta los límites predecibles y se identifican las oportunidades de mejora. Se

establecen sistemas de medición formales desde los proveedores hasta el producto final y el

proceso se "estandariza”. Hoy en día la herramienta de las cartas de control (CEP) es utilizada por

los círculos de control de calidad para la identificación de problemas.

En 1931, W.A. Shewhart publica su libro “Economic Quality Control of Quality of Manufactured

Product”, donde describe las cartas para el control estadístico del proceso. En medio de los años

17 Duncan, Acheson, op. cit.p. 16. 18 Ibidem, p. 1 19 Freeman, H.D., “Statistical Methods for Quality Control”, MechanicalEngineering, April 1937, p. 261. 20 Feigenbaum, A.V., op. cit., 1986, p. 16


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30’s los métodos de control estadístico de calidad se empezaron a aplicar en la Western Electric,

brazo de manufactura de los laboratorios Bell, sin embargo no fueron reconocidos estos métodos

ampliamente.

Durante la II guerra mundial se expandió el uso de los métodos estadísticos de control de procesos

en la industria de la manufactura, la American Society for Quality Control se formó en 1946 para

promover su uso. De 1946 a 1949 W. Deming es invitado a Japón a dar seminarios sobre control

estadístico de calidad a sus industriales, extendiendo el uso de éstos métodos. Aparecen las obras

de Eugene L. Grant y A.J. Duncan sobre control estadístico del proceso. En occidente es hasta la

década de los ochenta cuando se voltea hacia los métodos estadísticos ya muy comunes en Japón

dado el éxito industrial de este país.

En los años recientes, empresas de alta tecnología como Motorola, General Electric, Xerox, AT&T,

etc., desarrollan e implantan una metodología de calidad total denominada Calidad 6 sigma con el

objetivo de reducir los errores y defectos a un máximo de 3.4 partes por millón (ppm), donde una

de las herramientas clave es el control estadístico del proceso, que permite obtener ahorros de

costos muy importantes.

CEP en Japón

En 1950 el experto Edwards W. Deming inició el entrenamiento en métodos estadísticos en el

Japón, incluyendo conferencias dirigidas a los líderes industriales, en esta época Kaoru Ishikawa

experto japonés en control de calidad inició sus estudios sobre conceptos de control de calidad,

describe su propia motivación como sigue:

Yo desarrollé un gran respeto por el Dr. Shewhart por medio del estudio profundo de sus conceptos en cartas de control y estándares... Sin embargo, me sorprendí un poco que en EUA, donde efectué una visita de estudio, sus métodos casi no se aplicaban. Yo deseo importar sus conceptos al Japón y asimilarlos para adaptarlos a situaciones en Japón, de tal forma que los productos japoneses mejoraran su calidad21

21 Ishikawa, Kaouru, "Tributes to Walter A. Shewhart," Industrial Quality Control, Vol. 22, No. 12, 1967, pp. 115-116.


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En 1955, Kaouru Ishikawa introdujo las técnicas de cartas de control en Japón, los japoneses

aprendieron el control de calidad de occidente, invitaron a Deming, Juran y otros eruditos a Japón

para que les enseñasen el control estadístico del proceso. Sin embargo la implantación de estas

técnicas fue posible después de su modificación y adaptación a las empresas japonesas,

incluyendo la creación de varias herramientas útiles como refinamiento del control estadístico de

calidad, tales como las 7 herramientas estadísticas utilizadas normalmente por los círculos de

control de calidad y la aplicación de técnicas estadísticas avanzadas.

Entre las 7 herramientas estadísticas se encuentran: Diagrama de Ishikawa, Diagrama de Pareto,

Hoja de verificación, Diagrama de dispersión, Estratificación, Histogramas y Cartas de control.

Estas técnicas junto con las computadoras han alcanzado un alto nivel en Japón, “todas las

industrias japonesas confían en los métodos estadísticos avanzados para el diseño de productos”,22

esto también ha permitido que los supervisores de las fábricas japonesas utilicen estadística de

alto nivel para analizar problemas. Por ejemplo para el caso del diseño de experimentos se tiene:

“el diseño estadístico de experimentos es el arreglo, bajo el cual se efectúa un programa

experimental, incluye la selección de los niveles óptimos de los factores que tienen influencia en la

calidad del producto “23, ayuda a optimizar el tiempo y los elementos de diseño, determinando los

materiales más baratos de tal forma que el producto cumpla las especificaciones, y todavía se

asegure que el producto se desempeñará en forma satisfactoria bajo condiciones variables.

Con la aplicación del Control Estadístico del Proceso, el trabajador tiene de nuevo la oportunidad

de controlar la calidad de su trabajo, no a través de inspección 100%, sino a través de técnicas de

muestreo y de cartas de control, como método preventivo de defectos, lo que permite su

autocontrol para reducir la variabilidad del proceso de producción, se complementa con las siete

herramientas estadísticas y el ciclo de control de Deming (planear, hacer, verificar y actuar).

22 Amsden, R., op. cit. , p. 537. 23 Winer, B., Statistical Principles in Experimental Design, McGraw Hill, 1971. p. 5.


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Desarrollo del Control Estadístico del Proceso

W. A. Shewhart demostró que cuando se extraen muestras de tamaño 4 – 6 de distribuciones casi

normales, triangulares, uniformes, etc., y se calculan las medias de esas muestras, al graficar las

medias en un histograma siguen una distribución normal.24

* * * *

* * * *

*** * *

*** * *

Distribución de promedios Universo de las muestras

Fig. 1.2 Experimentos de Shewhart para las cartas de control

Encontró que las medias de las muestras correspondían a las medias de la población y que la

desviación estándar de las medias de las muestras se relacionaban con la desviación estándar de la

población, como sigue (TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL):

nX

__ (1.1)

Donde n es el tamaño de la muestra y es la desviación estándar de la población.

Población con media y desviación estándar y cualquier distribución.

24 Shewhart, W.A., Economic Control of Quality of Manufactured Product, Van Nostrand Reinhold Co., 1931, p. 182


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X1 X2 X3 X-media 1 X-media 2 X-media 3

Conforme el tamaño de muestra se incrementa las muestras se distribuyen normalmente con

media de medias y desviación estándar de las medias de las muestras / n. También se

denomina Error estándar de la media.

Promedios

Fre

qu

en

cy

76543

14

12

10

8

6

4

2

0

Histogram of Promedios

Fig. 1.3 Distribución de las medias muestrales - Normal

En general si las xi están distribuidas en forma idéntica y su distribución se asemeja a la normal, el

teorema del límite central trabaja bien para n>=3 o 4, condiciones propicias para el control

estadístico de los procesos.

Teorema del límite central

La distribución normal tiene muchas propiedades útiles, una de estas se refiere a la combinación

lineal de variables aleatorias independientes. Si x1, x2 x3, ...., xn son variables aleatorias

independientes no necesariamente normales, con media 1, 2, ... n y varianzas 12, 2

2 , ..., n2

respectivamente, entonces la distribución del estadístico siguiente:

y = a1x1 + a2x2 + ............. + anxn

es normal con media


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y = a11 + a22 + ... + ann

y varianza

y2 = a1

21

2 + a222

2...,+ an2n

2

donde a1, a2, ... an son constantes.

El Teorema del Límite Central establece que la distribución de la variable:

[y -

n

i 1

i ]

n

i 1

i2

(2.5)

Se aproxima a la distribución normal conforme n tiende a infinito. Es decir que la suma de las n

variables aleatorias independientemente distribuidas es aproximadamente normal,

independientemente de la distribución de las variables individuales.

La aproximación se mejora conforme se incrementa n, en general si las xi están distribuidas en

forma idéntica y su distribución se asemeja a la normal, el teorema del límite central trabaja bien

para n>=3 o 4, condiciones propicias para el control estadístico de los procesos.

Interpretación

Normalmente para conocer el estado de un proceso en determinado momento, es necesario

obtener un histograma de la característica de interés, tomando al menos 30 piezas. Se calcula la

media y la desviación estándar de la muestra y se trata de inferir sobre las características del

proceso. Haciendo esto periódicamente se pueden tener los comportamientos siguientes:

Hora 4

Hora 2

Hora 3

Hora 1

a) Proceso fuera de control b)Proceso en control


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en media y variabilidad en media y esv. est. Fig. 1.4 Comportamiento de procesos en control y fuera de control25

Llevando un control de proceso a través de histogramas no sería práctico y aprovechando sus

hallazgos del comportamiento de las medias Shewhart sugirió llevar un control del proceso

tomando muestras no de 50 piezas, sino de sólo 5 consecutivas, monitoreando el comportamiento

del proceso a través de las cartas de control de Shewhart, la media del proceso con las medias de

las muestras y la variabilidad con su rango. Tomado límites de control establecidos a 3 de

medias o rangos.

25 Ford Motor Co., Continuing Process Control and Process Capability Improvement, Dearborn, Michigan, 1983


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1.3 LAS 7 HERRAMIENTAS BÁSICAS PARA LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS

Figura 3.1 Las 7 herramientas estadísticas de calidad

H

Fig. 1.5 Las 7 herramientas estadísticas para la mejora y solución de problemas

Hoja de verificación o registro

Se utiliza para reunir datos basados en la observación del comportamiento de un proceso con el

fin de detectar tendencias, por medio de la captura, análisis y control de información relativa al

proceso. Básicamente es un formato que facilita que una persona pueda tomar datos en una

forma ordenada y de acuerdo al estándar requerido en el análisis que se esté realizando. Las hojas

de verificación también conocidas como de comprobación o de chequeo organizan los datos de

manera que puedan usarse con facilidad más adelante.

Pasos para la elaboración de una hoja de verificación:

1. Determinar claramente el proceso sujeto a observación. Los integrantes deben enfocar su

atención hacia el análisis de las características del proceso.


Página 19

2. Definir el período de tiempo durante el cuál serán recolectados los datos. Esto puede variar de

horas a semanas.

3. Diseñar una forma que sea clara y fácil de usar. Asegúrese de que todas las columnas estén

claramente descritas y de que haya suficiente espacio para registrar los datos.

4. Obtener los datos de una manera consistente y honesta. Asegúrese de que se dedique el

tiempo necesario para esta actividad.

Anotar frecuencia de ocurrencia de los eventos (con signos |, X, *, etc.)

Figura 1.6 Ejemplo de hoja de verificación o registro

Consejos para la elaboración e interpretación de las hojas de verificación

1. Asegúrese de que las observaciones sean representativas.

2. Asegúrese de que el proceso de observación es eficiente de manera que las personas tengan

tiempo suficiente para hacerlo.

3. La población (universo) muestreada debe ser homogénea, en caso contrario, el primer paso es

utilizar la estratificación (agrupación) para el análisis de las muestras/observaciones las cuales

se llevarán a cabo en forma individual.

Ejercicio: Hacer hoja de registro con las antigüedades en la organización y concluir:

Antigüedad Registro

0.5 -1 años

1.1 – 2 años

2.1 – 4 años

4.1 – 7 años

Más de 7 años

Conclusiones:

DEFECTO 1 2 3 4 TOTAL

Tamaño erróneo IIIII I IIIII IIIII III IIIII II 26

Forma errónea I III III II 9

Depto. EquivocadoIIIII I I I 8

Peso erróneo IIIII IIIII I IIIII III IIIII III IIIII IIIII 37

Mal Acabado II III I I 7

TOTAL 25 20 21 21 87

DIA

DEFECTO 1 2 3 4 TOTAL

Tamaño erróneo IIIII I IIIII IIIII III IIIII II 26

Forma errónea I III III II 9

Depto. EquivocadoIIIII I I I 8

Peso erróneo IIIII IIIII I IIIII III IIIII III IIIII IIIII 37

Mal Acabado II III I I 7

TOTAL 25 20 21 21 87

DIA


Página 20

Diagrama de Pareto

Se utiliza para identificar problemas o causas principales:

Herramienta utilizada para el mejoramiento de la calidad para identificar y separar en forma crítica

los pocos proyectos que provocan la mayor parte de los problemas de calidad.

El principio enuncia que aproximadamente el 80% de los efectos de un problema se debe a

solamente 20% de las causas involucradas.

El diagrama de Pareto es una gráfica de dos dimensiones que se construye listando las causas de

un problema en el eje horizontal, empezando por la izquierda para colocar a aquellas que tienen

un mayor efecto sobre el problema, de manera que vayan disminuyendo en orden de magnitud. El

eje vertical se dibuja en ambos lados del diagrama: el lado izquierdo representa la magnitud del

efecto provocado por las causas, mientras que el lado derecho refleja el porcentaje acumulado de

efecto de las causas, empezando por la de mayor magnitud.

Pasos para desarrollar el diagrama de Pareto:

1. Seleccione qué clase de problemas se van a analizar.

2. Decida qué datos va a necesitar y cómo clasificarlos. Ejemplo: Por tipo de defecto, localización,

proceso, máquina, trabajador, método.

3. Defina el método de recolección de los datos y el período de duración de la recolección.

4. Diseñe una tabla para el conteo de datos con espacio suficiente para registrarlos.

5. Elabore una tabla de datos para el diagrama de Pareto con la lista de categorías , los totales

individuales, los totales acumulados, la composición porcentual y los porcentajes acumulados

6. Organice las categorías por orden de magnitud decreciente, de izquierda a derecha en un eje

horizontal construyendo un diagrama de barras. El concepto de “otros” debe ubicarse en el

último lugar independientemente de su magnitud.

7. Dibuje dos ejes verticales y uno horizontal.

Ejes verticales:

- Eje izquierdo: Marque este eje con una escala desde 0 hasta el total general

- Eje derecho: Marque este eje con una escala desde 0 hasta 100%


Página 21

Eje horizontal:

- Divida este eje en un número de intervalos igual al número de categorías clasificadas.

8. Dibuje la curva acumulada (curva de Pareto), Marque los valores acumulados (porcentaje

acumulado) en la parte superior, al lado derecho de los intervalos de cada categoría, y conecte

los puntos con una línea continua.

9. Escriba en el diagrama cualquier información que considere necesaria para el mejor

entendimiento del diagrama de Pareto.

Ejemplo de Diagrama de Pareto:

El departamento de ventas de un fabricante de materiales de empaque tiene registrada una lista

de las quejas que se han recibido durante el último mes.

Tipo de queja No. de quejas

Total Acumulado

Composición Porcentual

Porcentaje Acumulado

A) Entregas fuera de tiempo

25

25

35.71

35.71

B) Calibre fuera de especificaciones (B) Calibre fuera de especificaciones

23

48

32.85

68.56

C) Material sucio y maltratado 7

55

10

78.56

D) Material mal embalado 6

61

8.57

87.13

E) Dimensiones fuera de especificaciones

3

64

4.28

91.41

F) Inexactitud en cantidades 2

66

2..85

94.26

G) Mala atención del personal

1

67

1.42

95.68

H) Maltrato del material por transportistas

1

68

1.42

97.7

I) Fallas en documentación

1

69

1.42

98.52

J) Producto con códigos equivocados

1

70

1.4

99.94


Página 22

DIAGRAMA PARETO

Figura 1.7a Diagrama de Pareto

1

2

3

6

7

23

25

78.56

87.13

95.68

97.7

99.94

35.71

68.56

91.41

A B C D E F G H I J

94.26

98.52

%

A

C

U

M

U

L

A

D

O

N

O

D

E

Q

U

E

J

A

S

50


Página 23

Las quejas A, B y C representan el 78.56%, siendo en estas en las que debemos de enfocarnos

primero a resolver.

Ejemplo: Se tienen los gastos siguientes:

TIPO_GTO GASTO CANT

A Papelería 20

B Toners 60

C Víaticos 80

D Gasolina 30

E Copiado 10

Diagrama de Pareto en Minitab

Capture los datos en la columna C1 (tipo de defecto), en la columna C2 (frecuencias)

Seleccione: Stat>Quality Tools>Pareto Chart

Escoja la opción Chart defects table , en el campo labels in seleccione: C1 y en Frequencies

in seleccione: C3. Combine defects alter the first 80%.

Clic en OK

El sistema despliega la gráfica de Pareto:

Construir un diagrama de Pareto y su línea acumulativa

Co

un

t

Pe

rce

nt

C1Count

15.0 10.0 5.0

Cum % 40.0 70.0 85.0 95.0 100.0

80 60 30 20 10

Percent 40.0 30.0

OtherADBC

200

150

100

50

0

100

80

60

40

20

0

Pareto Chart of C1

Figura 1.7b Diagrama de Pareto


Página 24

En la gráfica observamos que aproximadamente el 85% de los gastos es debido a los gastos C, B,

D.

Ejercicio: Hacer un diagrama de Pareto con los gastos principales:

Ordenarlos de mayor a menor Tipo de Gasto Descripción Frecuencia

Frecuencia %

Conclusiones:

Diagrama de Dispersión

Se utiliza para analizar la correlación entre dos variables, se puede encontrar: Correlación

positiva o negativa, fuerte o débil o sin correlación.

El diagrama de dispersión es una técnica estadística utilizada para estudiar la relación entre dos

variables. Por ejemplo, entre una característica de calidad y un factor que le afecta.

La ventaja de utilizar este tipo de diagramas es que al hacerlo se tiene una comprensión más

profunda del problema planteado.


Página 25

La relación entre dos variables se representa mediante una gráfica de dos dimensiones en la que

cada relación está dada por un par de puntos (uno para cada variable).

La variable del eje horizontal x normalmente es la variable causa, y la variable del eje vertical y es

la variable efecto.

Fig. 1.8 Gráfica de dispersión donde se observa una correlación positiva

La relación entre dos variables puede ser: positiva o negativa. Si es positiva, significa que un

aumento en la variable causa x provocará una aumento en la variable efecto y y si es negativa

significa que una disminución en la variable x provocará una disminución en la variable y.

Por otro lado se puede observar que los puntos en un diagrama de dispersión pueden estar muy

cerca de la línea recta que los atraviesa, o muy dispersos o alejados con respecto a la misma. El

índice que se utiliza para medir ese grado de cercanía de los puntos con respecto a la línea recta es

la correlación. En total existen cinco grados de correlación: positiva evidente, positiva, negativa

evidente, negativa y nula.

Accid

en

tes lab

ora

les

Numero de órdenes urgentes

Correlación

positiva,

posible

•••

•

• ••

•• •

•••

•

••

•• • •

•

••

•

• •••

•

Accid

en

tes lab

ora

les

Numero de órdenes urgentes

Correlación

positiva,

posible

•••

•

• ••

•• •

•••

•

••

•• • •

•

••

•

• •••

•


Página 26

Correlación entre las variables Y y X

Correlación Positiva

Evidente

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

X

Y

Correlación Negativa

Evidente

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

X

Y

Correlación

Positiva

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

X

Y

Correlación

Negativa

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25

X

Y

Sin Correlación

10

15

20

25

5 10 15 20 25

X

Y

0

5

0

Figura 1.9 Diagrama de dispersión y su correlación entre X,Y

Si todos los puntos estuvieran completamente sobre la recta la ecuación lineal sería y = a + bx.

Como la correlación no siempre es perfecta, se calculan a y b de tal forma que se minimice la

distancia total entre puntos y la recta. Los cálculos son:

22

2

xxn

xyxxya

22 xxn

yxxynb

El índice de correlación (r) se puede calcular estadísticamente mediante las ecuaciones que a

continuación se presentan

SCySCx

SCxyr

n

yxxySCxy


Página 27

2

2

n

xxSCx

2

2

n

yySCy

Donde:

r = Coeficiente de correlación lineal

SCxy = Suma de cuadrados de xy

SCx = Suma de cuadrados de x

SCy = Suma de cuadrados de y

2x Sumatoria de los valores de la variable x al cuadrado

2y Sumatoria de los valores de la variable y al cuadrado

xy Sumatoria del producto de xy

2

x Cuadrado de la sumatoria de la variable x

2

y Cuadrado de la sumatoria de la variable y

n = número de pares ordenados (pares de datos x, y)

El factor de correlación es un número entre –1 (correlación negativa evidente) y +1 (correlación

positiva evidente), y r = 0 indicaría correlación nula.

La correlación se utiliza para cuantificar el grado en que una variable provoca el comportamiento

de otra. Por ejemplo si se encuentra que la variable temperatura tiene una correlación positiva

con el porcentaje de artículos defectuosos, se deben buscar soluciones al problema de los

artículos defectuosos mediante acciones asociadas con la variable temperatura; de lo contrario,

sería necesario buscar la solución por otro lado.

Ejemplo: Un ingeniero que trabaja con botellas de refresco investiga la distribución del producto y

las operaciones del servicio de ruta para máquinas vendedoras. El sospecha que el tiempo

requerido para cargar y servir una máquina se relaciona con el número de latas entregadas del

producto. Se selecciona una muestra aleatoria de 25 expendios al menudeo que tienen máquinas


Página 28

vendedoras y se observa para cada expendio el tiempo de solicitud- entrega (en minutos) y el

volumen del producto entregado (en latas). Calcular el coeficiente de correlación y graficar. Los

datos se muestran a continuación:

Utilizando las ecuaciones para obtener el coeficiente de correlación tenemos:

SCxy = 2027.71

SCx = 698.56

SCy = 6105.94

r = 0.98

El coeficiente de correlación r = 0.98 por lo cual tenemos suficiente evidencia estadística para

afirmar que el tiempo de entrega está relacionado con el número de latas.

Observación No. Latas, x tiempo, y x^2 y^2 xy

1 2.00 9.95 4.00 99.00 19.90

2 8.00 24.45 64.00 597.80 195.60

3 11.00 31.75 121.00 1,008.06 349.25

4 10.00 35.00 100.00 1,225.00 350.00

5 8.00 25.02 64.00 626.00 200.16

6 4.00 16.86 16.00 284.26 67.44

7 2.00 14.38 4.00 206.78 28.76

8 2.00 9.60 4.00 92.16 19.20

9 9.00 24.35 81.00 592.92 219.15

10 8.00 27.50 64.00 756.25 220.00

11 4.00 17.08 16.00 291.73 68.32

12 11.00 37.00 121.00 1,369.00 407.00

13 12.00 41.95 144.00 1,759.80 503.40

14 2.00 11.66 4.00 135.96 23.32

15 4.00 21.65 16.00 468.72 86.60

16 4.00 17.89 16.00 320.05 71.56

17 20.00 69.00 400.00 4,761.00 1,380.00

18 1.00 10.30 1.00 106.09 10.30

19 10.00 34.93 100.00 1,220.10 349.30

20 15.00 46.59 225.00 2,170.63 698.85

21 15.00 44.88 225.00 2,014.21 673.20

22 16.00 54.12 256.00 2,928.97 865.92

23 17.00 56.63 289.00 3,206.96 962.71

24 6.00 22.13 36.00 489.74 132.78

25 5.00 21.15 25.00 447.32 105.75

TOTALES 206.00 725.82 2,396.00 27,178.53 8,008.47


Página 29

Figura 1.10 Diagrama de dispersión con tendencia

En la gráfica observamos que al aumentar el número de latas el tiempo de entrega aumenta.

Para realizar el gráfico de dispersión en Excel realice el siguiente procedimiento:

1. Seleccione el icono asistente para gráficos.

2. Seleccione el tipo de gráfico xy(dispersión), y subtipo de gráfico: dispersión, compara

pares de valores.(siguiente)

3. En la pestaña rango de datos seleccione los valores de x y y de la tabla de datos. En la

pestaña serie agregue el título, el rango de valores x, y se da por default al haber

seleccionado el rango de datos .(siguiente)

4. Ponga el titulo del gráfico y eje de valores x y y de la tabla de datos. En esta pantalla puede

agregar líneas de división al gráfico y otras opciones (siguiente) (finalizar)

5. Para realizar algún cambio, por ejemplo en la escala haga clic en la escala de valores y

aparecerá un menú que le permitirá realizarlos.


Página 30

Para determinar la función de regresión y correlación en Minitab se siguen los pasos siguientes

(después de cargar los datos correspondientes a X y a Y en las columnas C1 y C2):

Minitab > Stat >Regresión ... Indicar la columna de Respuestas Y y la de predictores X y aceptar

con OK. Observar el valor del coeficiente de correlación y de determinación.

Para obtener la línea de mejor ajuste de la regresión, se procede como sigue en Minitab:

Minitab > Stat >Fitted Line Plot ... Indicar la columna de Respuestas Y y la de predictores X,

seleccionar si se quiere ajustar con los datos con una línea, una función cuadrática o cúbica y

aceptar con OK. Observar el mayor valor del coeficiente de correlación que indica el mejor ajuste.

Ejercicio: Hacer un diagrama de dispersión con los datos siguientes:

Errores (escala 5 por división)

Antiguedad

Conclusiones:

Antigüedad Errores

4 20

2 12

8 36

6 28

10 44

5 25

7 32

1 5


Página 31

Histogramas

Se utilizan para ver la distribución de frecuencia de una tabla de datos

Figura 3.5 Distribución de frecuencias o histograma

Figura 1.11 Histograma en Excel

Pasos para hacer un histograma:

1. Contar el número de datos, identificar el valor máximo, el mínimo y el rango.

2. Determinar el ancho de clase = Rango / 5 a 8.

3. Contar cuantos datos entran dentro de cada celda.

4. Graficar las frecuencias de cada celda.

Ejercicio: Realizar un histograma con los datos de edades siguientes:

2.41 17.87 33.51 38.65 45.70 49.36 55.08 62.53 70.37 81.21

3.34 18.03 33.76 39.02 45.91 49.95 55.23 62.78 71.05 82.37

4.04 18.69 34.58 39.64 46.50 50.02 55.56 62.98 71.14 82.79

4.46 19.94 35.58 40.41 47.09 50.10 55.87 63.03 72.46 83.31

8.46 20.20 35.93 40.58 47.21 50.10 56.04 64.12 72.77 85.83

9.15 20.31 36.08 40.64 47.56 50.72 56.29 64.29 74.03 88.67

11.59 24.19 36.14 43.61 47.93 51.40 58.18 65.44 74.10 89.28

12.73 28.75 36.80 44.06 48.02 51.41 59.03 66.18 76.26 89.58

13.18 30.36 36.92 44.52 48.31 51.77 59.37 66.56 76.69 94.07

15.47 30.63 37.23 45.01 48.55 52.43 59.61 67.45 77.91 94.47

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

15-24 25-34 35-44 45-54 55-64 65-75

Frec.


Página 32

Paso 1. Número de datos = Valor mayor = Valor menor = Rango =

Paso 2. Ancho de clase = Rango / 6 = redondear a:

Paso 3. Contar elementos para cada clase:

Columna Intervalo Registro de frecuencias

Frecuencia

1 0 -17

2 18-35

3 36-53

4 54-71

5 72-89

6 90 en

adelante

Paso 4. Hacer la gráfica del histograma:

Conclusiones:

Lluvia de ideas (Brainstorming)

En las sesiones de lluvia de ideas se generan nuevas ideas mediante la participación de todo el

equipo.Para comenzar con el proceso de tormenta de ideas, en el cual se genera información la

gente se reúne en una sala en la cual se recomienda la disposición de las mesas en forma de “U”

para facilitar el debate. La gente que participa en la sesión deberá de pertenecer a diferentes

áreas o tener puntos de vista diferentes, esto con el objeto de enriquecer la sesión.


Página 33

El facilitador debe de contar con experiencia en la conducción de sesiones de tormentas de ideas,

o al menos haber tenido experiencias previas.

Para conducir un grupo se lleva a cabo la siguiente metodología:

1. Seleccionar el problema a tratar.

2. Pedir a todos los miembros del equipo generen ideas para la solución del problema, las cuales

se anotan en el pizarrón sin importar que tan buenas o malas sean estas.

3. Ninguna idea es evaluada o criticada antes de considerar todos los pensamientos

concernientes al problema.

4. Aliente todo tipo de ideas, ya que al hacerlo pueden surgir cosas muy interesantes, que

motivan a los participantes a generar más ideas.

5. Apruebe la naturalidad y el buen humor con informalidad, en este punto el objetivo es tener

mayor cantidad de ideas así existirán mayores posibilidades de conseguir mejores ideas.

6. Se les otorga a los participantes la facultad de modificar o mejorar las sugerencias de otros.

7. Una vez que se tengan un gran número de ideas el facilitador procede a agrupar y seleccionar

las mejores ideas por medio del consenso del grupo de trabajo.

8. Las mejores ideas son discutidas y analizadas con el fin del proponer una solución.

La técnica tormenta de ideas puede ser aplicada con gran frecuencia al llevar a cabo otras

herramientas, como por ejemplo, diagramas causa-efecto (Ishikawa), Diseño de experimentos,

pruebas de confiabilidad, etc.

EJERCICIO: Realizar una lluvia de ideas para solucionar el problema de llegar a tiempo a algún

lugar.

Diagrama de Causa efecto

Muestra la relación entre una característica de calidad y los factores de influencia, para

encontrar las causas posibles. Se usa la lluvia de ideas, debe hacerse sin juicios previos y

respetando las opiniones.

Técnica para generar ideas creativas cuando la mejor solución no es obvia.

Reunir a un equipo de trabajo (4 a 10 miembros) en un lugar adecuado

El problema a analizar debe estar siempre visible


Página 34

Generar y registrar en el diagrama de Ishikawa un gran número de ideas, sin

juzgarlas, ni criticarlas

Motivar a que todos participen con la misma oportunidad

El diagrama causa-efecto, también llamado “espina de pescado” por la semejanza de su forma,

también es conocido por diagrama de Ishikawa.

Es utilizado para explorar, e identificar todas las causas posibles y relaciones de un problema

(efecto) o de una condición específica en las características de un proceso.

Una vez elaborado, el diagrama causa-efecto representa de forma clara, ordenada y completa

todas las causas que pueden determinar cierto problema.

Constituye una buena base de trabajo para poner en marcha la búsqueda de las verdaderas causas

de un problema.

Los pasos para elaborar el diagrama de causa- efecto son los siguientes:

1. Seleccione el efecto (problema) a analizar. Se puede seleccionar a través de un consenso, un

diagrama de Pareto, otro diagrama o técnica.

2. Realice una lluvia de ideas para identificar las causas posibles que originan el problema.

3. Dibuje el diagrama:

- Coloque en un cuadro a la derecha la frase que identifique el efecto (característica de

calidad)

- Trace una línea horizontal hacia la izquierda del cuadro que contiene la frase. A esta línea

se le conoce como columna vertebral.

- Coloque líneas inclinadas que incidan en la columna vertebral (causas principales).

- Dibuje líneas horizontales con flechas que incidan en las líneas inclinadas conforme a la

clasificación de las causas (causas secundarias)

- Dibuje líneas inclinadas que incidan en las líneas de las causas secundarias (causas

terciarias)

4. Clasifique las causas derivadas de la lluvia de ideas, de la siguiente manera:

- Causas principales.


Página 35

- Causas secundarias.

- Causas terciarias.

5. Jerarquice las causas por grado de importancia y defina aquellas que tengan un efecto

relevante sobre la característica específica.

6. Elabore y ejecute un programa de corrección de las causas relevantes.

Diagrama de Ishikawa

Medio

ambiente Métodos Personal

¿Qué

produce

bajas ventas

de

Tortillinas

Tía Rosa?

Clima

húmedo

Calidad del

producto

Tipo de

exhibidor

Falta de

motivaciónAusentismo

Rotación de

personal

Maquinaría Materiales

Clientes con

ventas bajas

Malos

itinerarios

Descompostura

del camión

repartidor

Distancia de

la agencia al

changarro

Medición

Seguimiento

semanal

Conocimiento

de los

mínimos por

ruta

Frecuencia

de visitas

Elaboración

de pedidos

Posición de

exhibidores

Falta de

supervi

ción

Figura 1.12 Diagrama de causa efecto, de Ishikawa o espina de pescado

Ejemplo: En una fábrica de componentes electrónicos se detectaron fallas en la línea de ensamble

al realizar la prueba de un circuito, por lo cual se procedió a realizar una investigación utilizando el

diagrama causa-efecto.

El problema es soldadura defectuosa, siendo el efecto que se va a analizar.

Primero se determinan las causas principales M’s:

Máquinas

Mano de obra

Métodos


Página 36

Materiales

Mediciones

Medio ambiente

Estas constituyen las causas primarias del problema y es necesario desafiarlas para encontrar

causas más específicas secundarias y terciarias.

Se construye el diagrama espina de pescado con las causas primarias (M´s), a partir de estas

causas se agrupan las causas secundarias y terciarias derivadas de la lluvia de ideas.

Figura 1.13 Diagrama de causa efecto

El equipo analiza cada causa y por medio de eliminación y consenso determina cuales son las

verdaderas causas que están ocasionando el problema. Una vez determinada las causas se realiza

un análisis Por qué, Por qué, por qué (Why-Why Why), el cual consiste en preguntarnos cinco

veces por qué?, para encontrar la causa raíz del problema.

SOLDADURA DEFECTUOSA

MATERIALESMÉTODOS

MAQUINAS MANO DE OBRA

UNION

SOLDADURA

DESOXIDANTE

LACA DE

PROTECCION

TERMINALES

CORTOS OXIDADOS

ANGULO

INCORRECTO DE

LA FLAMA

TIEMPOS DE

ESPERA

SECUENCIA

SOLDADURA

VELOCIDAD DE

AVANCE

DIMENSIONES

INADECUADAS

TEMPERATURA

PUNTA OXIDADAFORMA

PUNTA

HABILIDAD

FORMACION

LIMITES

ERGONOMICOS

MEDIO AMBIENTE

MEDICIONES

FUERA DE

DIMENSIONES

ESPECIFICADS

SUPERFICIE

S CON

POLVO E

IMPUREZAS

Causas principales

Causa

s se

cundarias

causa

s te

rcia

rias


Página 37

En el ejemplo anterior las causas primarias fueron agrupadas en (M’s): mediciones, máquinas,

personal, medio ambiente, métodos y materiales. Es posible realizar este diagrama con causas

primarias diferentes a las M´s, ej:

Problema: Por qué la versión del sistema “Abacab”, no satisface los requerimientos del cliente.

Las causas primarias en las que se organiza este problema son las siguientes:

Políticas y procedimientos del sistema

Funcionalidad.

Diseño

Accesibilidad

Tiempo de respuesta

Confiabilidad

Diagrama de Causa Efecto en Minitab

Capture los datos en la columna C1 (tipo de defecto), en la columna C2 (frecuencias)

Seleccione: Stat>Quality Tools>Cause and Effect Diagram

Llenar las columnas C1 a C5 con las diferentes causas correspondientes a los conceptos de

Personal, Máquinas, Materiales, Métodos, Mediciones y Medio ambiente.

Introducir los datos en la pantalla de entrada, indicando el problema en Effect y aceptar

con OK.

Ejercicio: Realizar un Diagrama de Causa efecto para identificar las causas potenciales de

un problema y concluir.


Página 38

Carta de tendencias

Definición:

Es una ayuda gráfica para el control de las variaciones de los procesos administrativos y de

manufactura.

Usos:

• Saber el comportamiento de un sistema o proceso durante el tiempo.

• Tomar las acciones correctivas a tiempo si la tendencia afectará en forma negativa.

Ejemplo: Se tienen los datos siguientes de errores de planeación de la producción durante 15

semanas: Se puede hacer en Minitab con Stat, Quality Tools, Run Chart, Subgroup size = 1

Permite observar el comportamiento de los datos durante un periodo de tiempo determinado.

Fig. 1.14 Carta de tendencias

Carta de tendencia

0

0.05

0.1

0.15

0.2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Semana

% e

rro

res

Semana % errores Semana % errores

1 0.15 9 0.04

2 0.04 10 0.05

3 0.08 11 0.07

4 0.07 12 0.04

5 0.04 13 0.02

6 0.05 14 0.03

7 0.01 15 0.01

8 0.03


Página 39

Diagrama de flujo

Dentro de los sistemas de calidad resulta de gran utilidad representar la estructura y relaciones de

los sistemas mediante diagramas de flujo.

Ventajas de los diagramas de flujo

Proveen una secuencia gráfica de cada uno de los pasos que componen una operación desde el

inicio hasta el final. Permitiendo una mejor visualización y comprensión del proceso.

Los diagramas de flujo pueden minimizar grandes volúmenes de documentación, incluyendo la

documentación ISO 9000.

Facilitan el desarrollo de Procedimientos Estándar de Operación.

Al tener un procedimiento de operación estándar se reduce en gran medida la variación y el

tiempo de ciclo.

Los diagramas de flujo permiten detectar áreas de mejora en los procesos.

Se utiliza para identificar los procesos, las características críticas en cada uno, la forma de

evaluación, los equipos a usar, los registros y plan de reacción, se tienen los tipos

siguientes:

Diagramas de flujo de proceso detallados

Diagramas físicos de proceso

Diagramas de flujo de valor

Símbolos para Diagramas de Flujo

Iniciar/Detener Transmisión

Operaciones(Valor agregado)

Decisión

Inspección /Medición

Transportación

Almacenar

Entrada/Salida

Líneas de Flujo

Retraso

Fig. 1.15 Símbolos utilizados en los diagramas de flujo


Página 40

Descripción de símbolos

En la construcción de diagramas de flujo de procesos se utilizan los símbolos descritos a

continuación:

Operación de transformación: de la cual resulta un cambio físico o

químico del producto.

Inspección: Verificación de alguna característica mediante un estandar de

calidad prestablecido.

Transporte: Movimiento físico del producto o un componente.

Demora: Indica la necesidad de un periodo de inactividad en espera de

operación inspección o transporte.

Almacenamiento: Mantener un producto en almacenamiento hasta

que continúe su procesamiento o sea vendido.

Pasos para la elaboración de un diagrama de flujo

1. Describir el proceso a evaluar: Es importante comenzar con los procesos que se

consideran de mayor impacto en la organización.


Página 41

2. Definir todos los pasos que componen un producto o servicio: Existen diferentes

maneras de hacerlo. Una de ellas consiste en que el equipo de trabajo anote en tarjetas

los diferentes pasos que conforman el proceso, con este método el equipo puede arreglar

y ordenar los pasos del proceso. Otra manera de hacerlo es mediante el uso de programas

de diagramas de flujo en computadoras, de esta manera se tiene mayor flexibilidad que en

el método anterior y se ahorra bastante tiempo.

Cada paso deberá de ser discutido y analizado a detalle utilizando la pregunta “¿por qué

se hace de esta manera?”

3. Conectar las actividades: Cuando los pasos que componen el proceso han sido descritos

se construye el diagrama de flujo, conectando las actividades mediante flechas, cada

símbolo debe describir la actividad que se realiza con pocas palabras.

4. Comparar el proceso actual con el proceso considerado como “ideal” las siguientes

preguntas pueden servir de guía:

¿Existen pasos demasiado complejos?

¿Existe duplicidad o redundancia?

¿Existen puntos de control para prevenir errores? ¿deberían de existir?

¿El proceso funciona en la manera en la cual debería de hacerse?

¿Se puede realizar el proceso de diferente manera?

5. Mejoras del proceso: Una vez que se contestan las preguntas mediante tormenta de ideas

se realizan mejoras. Definiendo los pasos que agregan valor y los que no agregan se puede

llevar a cabo una simplificación sustancial del proceso.

Las mejoras son priorizadas y se llevan a cabo planes de acción.

6. Implementar el nuevo procedimiento: Una vez realizadas las mejoras se dan a conocer a

las personas involucradas en el proceso y se verifica su efectividad.


Página 42

Diagrama de flujo: Una visita a la farmacia26

Ejemplo: Operación de despacho de una fórmula.

EVENTO SÍMBOLO TIEMPO

(min.)

DISTANCIA

(pies)

Abrir la puerta, caminar hacia el área de la farmacia

del almacén.

0.8

50

Esperar para ser atendido.

1

Sacar la fórmula de la billetera o del bolsillo y

entregarla al dependiente.

0.4

Esperar hasta cuando el dependiente despache la

fórmula y calcule el valor.

10

Sacar la tarjeta de crédito de la billetera y entregarla

al dependiente.

0.4

Esperar que el dependiente diligencie el

desprendible de la tarjeta de crédito.

1

Verificar el desprendible 0.2

Firmar el desprendible 0.1

Esperar el desprendible y el medicamento

0.3

Colocar la tarjeta y el desprendible dentro de la

billetera

0.2

Recoger el medicamento y caminar de regreso hasta

la puerta

0.8 50

Figura 1.16 Ejemplo de diagrama de flujo

26 Adaptado de Hamid Noori/Russell Radford, Administración de Operaciones y producción, Ed. Mc.Graw Hill Pp.282


Página 43

Ejercicio: Hacer el diagrama de flujo de un proceso e identificar áreas de oportunidad

Inicio

Fin

Paso 2A Paso 2B Paso 2C

Paso 1

Paso 3

¿Bueno?Retrabajo

SíNo

Inicio

Fin

Paso 2A Paso 2B Paso 2C

Paso 1

Paso 3

¿Bueno?Retrabajo

SíNo


Página 44

Diagrama de flujo de tiempo – valor agregado

Es utilizado para detectar cuales son las actividades que agregan valor al proceso y las que no

agregan valor.

Pasos para realizarlo:

• Dibujar una línea horizontal para representar el tiempo total que se ocupa en el proceso.

• Relacione todos los pasos del proceso detalladamente, después decida si el paso tiene valor para

el cliente.

• Dibujar una línea vertical fina que represente el tiempo que se requiere para completar el paso.

• Dibújela arriba de la línea, si representa valor agregado, o debajo si no lo representa.

• En cada línea vertical señale el paso del proceso.

• Puede dibujar una barra con el tiempo de valor agregado como porcentaje de tiempo total del

proceso.

Ventajas:

• Delinea gráficamente la cantidad de tiempo sin valor que se usa en el proceso.

• Ayuda a reducir el tiempo sin valor y eliminar pasos innecesarios.

Ejemplo

Figura 1.17 Diagrama de flujo de valor

Visita al consultorio médico

Espera Espera

Registrarse

Sentarse

Llam

ada de

la enfermera

Cam

inar

Presión Sanguínea

Peso

Cam

inarSentarse

Exam

en y

Prescripción

Cam

inarPagar

Salir del consultorio


Página 45

Diagrama de Flujo Físico

Pasos para realizarlo:

•Dibuje el esquema físico de su área de trabajo, incluyendo estaciones de trabajo, áreas de

espera, áreas de máquinas, etc.

•Use flechas para delinear el flujo de la parte dentro del área. Cada flecha debe delinear un paso

del proceso.

Ventajas

• Muestra el número de movimientos para completar el proceso.

• Muestra la complejidad del flujo y las curvas.

• Puede añadir tiempo a cada paso, para mostrar cuellos de botella y tiempo sin valor agregado Vs

tiempo con valor agregado.

Figura 1.18 Ejemplo de diagrama de flujo físico

EJERCICIO: Realizar un diagrama de flujo de un proceso

Edificio A

Edificio B


Página 46

Estratificación

Se utiliza para separar un aspecto general en los estratos que lo componen, por ejemplo,

por regiones, estados, municipios, etc. Clasificación de los datos o factores sujetos a

estudio en una serie de grupos con características similares.

Problemas con boletas

Por región

Por estado

Por municipio

Figura 1.19 Estratificación de un problema

Ejercicio: Describir un ejemplo de estratificación de un aspecto poblacional

Inicio:

Primer paso:

Segundo paso:

Tercer paso:

Las cartas de control

Sirven para monitorear el proceso, prevenir defectivos y facilitar la mejora. Hay dos tipos

de cartas de control: por atributos (juzga productos como buenos o malos) y por variables

(variables como, temperaturas).

Cartas de control

7.5

8.5

9.5

10.5

11.5

12.5

0 10 20 30

Límite Superior de

Control

Límite Inferior de

Control

LíneaCentral

Figura 1.20 Carta de control con sus límites de control y línea central


Página 47

“Escuche la Voz del Proceso”Región de control,

captura la variación

natural del proceso

original

Causa Especialidentificada

El proceso ha cambiado

TIEMPO

Tendencia del proceso

LSC

LIC

Carta de control

M

E

D

I

D

A

S

C

A

L

I

D

A

D

Figura 1.21 Patrones de anormalidad en cartas de control

Las cartas de control detectan la variación anormal en un proceso, denominadas

“causas especiales o causas asignables de variación.”

El patrón normal de un proceso se llama causas de variación comunes.

El patrón anormal debido a eventos especiales se llama causa especial de

variación.

1.4 MÉTODOS LEAN PARA LA MEJORA A continuación se muestran los métodos para hacer más flexibles y esbeltas las operaciones en las organizaciones:

Los 7 desperdicios o Muda

Son aspectos que no agregan valor al cliente, es decir no está dispuesto a pagar por ellos y

hacen que la operación sea costosa y lenta:


Página 48

Servicios no requeridos

Movimientos excesivos

e innecesarios

Transportes innecesarios

Inventarios innecesarios

Esperas o firmas innecesarios

Errores

Retrabados o reinspecciones

Ejercicio: Identificar tres Mudas en la organización

_______________________________________________________________.

_______________________________________________________________.

_______________________________________________________________.

Métodos Lean para la mejora

Para reducir el Muda se utilizan diversos métodos Lean como son:

Mapeo de la cadena de valor

Las 5 S’s

Cambios rápidos (SMED)

Poka Yokes o A Prueba de error

Trabajo estandarizado

Mapeo de la cadena de valor

Se trata de realizar un mapeo de los procesos, identificando las actividades que no agregan valor

(Muda) para su reducción o eliminación, así como las actividades que agregan valor para su

optimización, a continuación se presenta un ejemplo:

Ejemplos de muda:

CaminarEsperar al ciclo

de máquina

Transporte de

partes

Reportes sin uso

Movimientos

innecesarios

Inventario

innecesario

Ejemplos de muda:

CaminarEsperar al ciclo

de máquina

Transporte de

partes

Reportes sin uso

Movimientos

innecesarios

Inventario

innecesario


Página 49

Ejercicio: Mejora del tiempo de ciclo de atención en una sala de emergencia:

Se realiza un mapeo del proceso con todas las actividades relacionadas con la

atención en una sala de emergencia, considerando tiempos y distancias.

Proceso Original

Resumen Símbolo Número Tiempo en Distancia Proceso: Admisión a la sala de emergencia

de pasos minutos Sujeto: Paciente con una lesion en el tobillo

Operación 5 23 --- Principio: Entrada a sala de emergencia

Transporte 9 11 815 Final: Salida del hospital

Inspección 2 8 ---

Retraso 3 8 ---

Almacenaje 0 ---

Total 19 50 815

No. de Pasos Tiempo Min.Distancia en pies Descripción

1 0.5 15 X Entrada a la sala de emergencia (SE), acercarse a la ventanilla

2 10 --- X Sentarse a llenar la historia clínica del paciente

3 0.75 40 X La enfermera acompaña al paciente a la sala de evaluaciones

4 3 --- X La enfermera examina la lesión

5 0.75 40 X Regresa a la sala de espera

6 1 --- X Espera hasta que haya una cama disponible

7 1 60 X Trasladarse hasta la cama de la (SE)

8 4 --- X Espera hasta que llegue el médico

9 5 --- X El médico examina la lesión y le hace preguntas al paciente

10 2 200 X La enfermera lleva al paciente a radiología

11 3 --- X El técnico somete al paciente a los rayos X

12 2 200 X Regresa a la cama asignada en la (SE)

13 3 --- X Espera hasta que el médico regrese

14 2 --- X El médico comunica su diagnositco y hace reconmendaciones

15 1 60 X Regresa al área de entrada del servicio de Emergencias

16 4 --- X Registrar la salida del lugar

17 2 180 X Caminar hasta la farmacia

18 4 --- X Recoger la prescripcion médica

19 1 20 X Salir del Edificio

Total 50 815


Página 50

Se identifican las actividades que representan Muda y que son actividades que

no agregan valor y se reducen o eliminan, quedando el proceso mejorado

como sigue:


Página 51

Las 5 Ss y la administración visual

Objetivo: Encontrar cualquier cosa y tener idea del estado de la operación en menos de 30

segundos, por una persona familiarizada con el área de trabajo.

Palabras japonesas que inician con s: Seiri, Seiton, Seiso, Seiketsu y Shitsuke.

1.- SEIRI significa: ORGANIZAR y SELECCIONAR:

Trabajo en proceso, Herramientas innecesarias, Maquinaria no ocupada, Productos

defectuosos, Papeles y documentos, lo más importante en este punto es:

Diferenciar entre lo necesario y lo innecesario.

Fig. 1.22 Áreas de oportunidad para 5S’s

2.- SEITON significa PONER LAS COSAS EN ORDEN.

Las cosas deben mantenerse en orden de manera que estén listas para ser utilizadas

cuando se necesiten.

Fig. 1.23 Implementación del orden de 5S’s

1 2

1

2

2G974 0074D

2G974 0074D

1G569 6264D

1G569 6264D

3

3G235

3G235

9964D

9964D

A

1 2

B


Página 52

3.- SEISO significa: LIMPIEZA.

Mantener limpio el lugar de trabajo.

4.- SEIKETSU significa: LIMPIEZA ESTANDARIZADA.

Hacer del aseo y de la pulcritud un hábito,

principiando con la propia persona.

5.- SHITSUKE (DISCIPLINA).

Seguir los procedimientos en los procesos administrativos y de manufactura.

Las 5´s se han definido como Selección u Organización, Orden, Limpieza, Estandarización

y Disciplina. Los dos elementos más importantes son la Organización y el Orden ya que de

ellos depende el éxito de las actividades de Mejora.

Trabajan en medio del polvo, suciedad, desorden, aceite, etc. dificulta la búsqueda

de piezas, útiles, información, requisiciones, herramientas etc. evitando esto se previenen

los accidentes, no se generan defectos y todo se encuentra.

Ejercicio: Identificar áreas de oportunidad de aplicación de las 5S’s en la organización

_______________________________________________________________.

_______________________________________________________________.

_______________________________________________________________.

Preparaciones rápidas (SMED)

Objetivo: Cambiar el proceso para un servicio diferente en menos de 10 minutos

1. Formar un equipo de trabajo

2. Filmar las actividades de preparación

3. Separar actividades de preparación internas y externas

4. Convertir actividades de preparación internas a externas

5. Afinar las operaciones (paralelo, externas, etc.)

6. Verificar resultados y dar reconocimiento al equipo

La Preparación interna (IED), son las operaciones realizadas con el servicio suspendido.

La Preparación externa (OED), son las operaciones realizadas mientras se están

proporcionando los servicios.


Página 53

Ejemplo de Cambio rápido – SMED: Se redujo el tiempo de preparación en una estación

de servicio de 11 minutos a 1 minuto, ya que antes primero se detenía, llamaban al

dependiente, buscaba las mercancías, etc. ahora las mercancías clave están cerca del

mostrador y no se pierde tiempo. Otro ejemplo es la obtención de pasaportes en 40

minutos o un trámite en las oficinas de hacienda.

Ejercicio: Identificar áreas de oportunidad para implementar cambios rápidos.

_______________________________________________________________.

_______________________________________________________________.

_______________________________________________________________.

Poka Yokes o A prueba de error

Objetivo: Prevenir o detectar la ocurrencia de errores humanos.

Causas de los errores:

• Procedimientos incorrectos

• Variación excesiva en procedimientos

• Procesos o procedimientos no claros o no documentados

• Errores humanos mal intencionados

• Cansancio, distracción, Falla de memoria o confianza, etc.

Pasos para el desarrollo de Poka Yokes

1. Describir el defecto: Formar un equipo de trabajo, mostrar la tasa de errores

2. Identificar el lugar donde se descubren o producen los errores

3. Detalle de los procedimientos de la operación donde se producen los errores

4. Identificar desviaciones de los procedimientos donde se producen los errores.

Identificar las condiciones donde se ocurren los errores (investigar)

6. Identificar el tipo de dispositivo Poka Yoke requerido para prevenir el error.

7. Desarrollar un dispositivo Poka Yoke

Ejemplo: Instalación de puertas automáticas para permitir la entrada solo a personal

autorizado.

Ejercicio: Identificar áreas de oportunidad para implementar A Prueba de error / Poka

Yokes.

_______________________________________________________________.

_______________________________________________________________.

_______________________________________________________________.


Página 54

Trabajo estandarizado

Objetivo: Documentar en instructivos, procedimientos y ayudas visuales, la forma como

deben realizarse las operaciones y actividades para que todos las realicen de la misma

manera, para tener productos homogéneos.

Por estandarización se entiende:

Siempre seguir la misma secuencia de trabajo

Los métodos totalmente documentados

Los métodos están visibles en cada estación de trabajo

El material y documentos de trabajo están colocados siempre en el mismo lugar

La información se presenta de la misma forma en toda la organización

Se tiene el registro del movimiento detallado del cuerpo humano

Ejercicio: Identificar áreas de oportunidad para implementar procedimientos e

instructivos para estandarizar las operaciones.

_______________________________________________________________.

_______________________________________________________________.

_______________________________________________________________.


Página 55

1.5 LAS SIETE HERRAMIENTAS ADMINISTRATIVAS

Diagrama de afinidad:

o Organiza grandes cantidades de información

Diagrama doble de interrelaciones:

o Muestra los enlaces de causas y efectos entre aspectos relacionados

Diagrama de árbol:

o Diagrama los niveles de destalle para alcanzar un objetivo principal y los

objetivos secundarios relacionados

Diagrama Matricial:

o Muestra las relaciones y correlaciones entre ideas

Matrices de prioridad:

o Asigna prioridades a asuntos, tareas o posibles opciones con base en

criterios conocidos

Carta de Programa de Decisión de Procesos (CPDP):

o Revela cadenas de eventos y planes de contingencia

Diagrama de redes y actividades:

o Desarrolla u programa para tareas complejas

APLICACIONES

Las herramientas para la mejora continua se emplean de manera ideal en los casos

siguientes:

Dividir un requerimiento general de detalles específicos

Identificar y eliminar las causas raíz de un problema

Programar actividades complejas

Planeación de contingencia

Ayudar a una organización a pasar de la manera antigua de pensar a otras formas

más novedosas de hacerlo

Realizar una selección final de una lista de opciones

Evaluar opciones de diseño de producto


Página 56

Diagrama de Afinidad

Es una herramienta que se emplea para organizar grandes cantidades de información

agrupando los aspectos de la misma con base en relaciones clave entre ellos; también se

conoce como método KJ. Cuando se emplea este diagrama, se organizan las ideas o áreas

generales de problemas para adquirir la comprensión de un problema o asunto complejo,

así como para identificar las causas potenciales de un problema. La herramienta ayuda a

mejorar el compromiso y el apoyo del equipo.

- Usar cuando existe un caos, el equipo aporta ideas, se requiere un pensamiento

trascendental o el tema es un aspecto amplio.

PASOS

1. Reunir el equipo y elegir un líder, todos relacionados con el asunto a tratar.

2. Establecer el asunto o problema en forma de pregunta.

3. Realizar una tormenta de ideas respecto al problema o aspecto y registrarla en

fichas de trabajo.

4. Desplegar las tarjetas en una mesa grande o muro.

5. Acomodar las tarjetas en pilas similares o por “familias”.

6. Crear tarjetas de encabezado

7. Dibujar el diagrama de afinidad

a. Trazar un círculo en torno a cada agrupamiento

b. El diagrama queda completo cuando el equipo alcanza el consenso

8. Discutir el diagrama de afinidad


Página 57

FUENTE HTTP://WWW.SAPDESIGNGUILD.ORG/RESOURCES/GLOSSARY_USAB/IMAGES/AFFINITYEE1.JPG

FUENTE:

HTTP://WWW.MEX.OPS-OMS.ORG/DOCUMENTOS/TUBERCULOSIS/MEJORA/4_DIAGRAMA_AFINIDAD.PDF

Fig. 1.24 ejemplos de diagrama de afinidad

http://www.mex.ops-oms.org/documentos/tuberculosis/mejora/4_diagrama_afinidad.pdf


Página 58

Diagrama doble de Interrelaciones

Un diagrama doble de interrelaciones es una herramienta gráfica que se emplea para

organizar problemas o aspectos complejos y que implican muchas variables, se emplea

para estudiar las relaciones entre los elementos de un problema e identificar las causas

raíz o las soluciones, es similar al diagrama de afinidad en la medida que el proceso de

construcción de una gráfica doble interrelaciones es creativo.

Ayuda a identificar las causas potenciales de un problema. permite que el equipo observe

al mismo tiempo muchos efectos y trace la relación entre dichos efectos y varias causas.

PASOS

1. Reunir el equipo y elegir un líder.

2. Poner el asunto o problema en forma de pregunta.

3. Realizar una tormenta de ideas respecto al problema o aspecto y registrarla en

fichas de trabajo.

4. Analizar las relaciones.

5. Revisar el Diagrama doble de interrelaciones.

6. Identificar causas y efectos raíz.

a. Una causa raíz es una categoría de la que sale la gran cantidad de flechas.

b. Un efecto raíz es una categoría a la que llega una gran cantidad de flechas.

7. Estudiar el Diagrama doble de interrelaciones.


Página 59

FUENTE: PRIMER CERTIFIED QUALITY MANAGER – WWW.QUALITY COUNCIL.COM

FIG. 1.25 EJEMPLOS DE DIAGRAMA DE INTERRELACIONES


Página 60

FUENTEHTTP://WWW.CALIDADEDUCATIVA.ORG/CONGRESO2008/MEMORIA/TUFINO_COMPL

EMENTARIO/TUFINO_INTERRELACION.PDF

Fig. 1.26 ejemplos de diagrama de interrelaciones


Página 61

Diagrama de árbol

Un diagrama de árbol (diagrama sistemático) es una técnica que se emplea para buscar la

forma más apropiada y eficaz de alcanzar un objetivo específico. Esta herramienta gráfica

de diagrama los diversos niveles de detalle, estos representan acciones (o tareas) que

siguen rutas lógicas para implantar un objetivo amplio. Al implantar los puntos detallados

de acción, se crea un efecto de dominio que lleva al logro del objetivo principal.

Cuando se trabaja sobre un objetivo amplio, un diagrama de árbol ayuda a orientar tareas

específicas, es posible emplearlo para planear la implantación de una solución detallada

en forma ordenada. El diagrama de árbol funciones para dividir un aspecto u objetivo más

complejo.

PASOS

1. Reunir un equipo apropiado.

2. Elegir la declaración de objetivo.

3. Generar los encabezados de primer nivel del árbol

4. Completar el diagrama de árbol bajo cada encabezado principal

5. Revisar el diagrama de árbol terminado.


Página 62

FUENTE:

HTTP://WWW.PROGRAMAEMPRESA.COM/EMPRESA/EMPRESA.NSF/PAGINAS/B274A80F363DE039C12570290

041808D?OPENDOCUMENT

FUENTE HTTP://DGPLADES.SALUD.GOB.MX/2006/HTDOCS/HG/NUEVAS/HESTRA7.PDF

FIG. 1.27 EJEMPLOS DE DIAGRAMA DE ÁRBOL

http://dgplades.salud.gob.mx/2006/htdocs/hg/Nuevas/hestra7.pdf


Página 63

FIG. 1.28 EJEMPLOS DE DIAGRAMA DE ÁRBOL


Página 64

Diagrama Matricial

PERSONAL

CURSO Dirección Supervisión Ingenieros Trab. De Produc.

Trab. De Mant.

Trab. De Oficina

Control Estadístico del proceso

Diseño de productos

Despliegue de funciones de Calidad

Mejora de Procesos

Eficacia de equipos

Benchmarking

Ingeniería concurrente

Medición

Visión Global Taller de trabajo

FIG. 1.29 EJEMPLO DE DIAGRAMA MATRICIAL

Los diagramas matriciales son herramientas que se emplean para revelar las correlaciones

entre ideas, tares y responsabilidad y que aparecen en diversas formas matriciales, es

posible emplear estas herramientas para organizar y comparar dos o más conjuntos de

artículos para mostrar cuáles de ellos están relacionados, asimismo pueden mostrar la

fortaleza estadística y la dirección de influencia de cada relación.

Pueden tener cualquiera de las siguientes formas: L, T, Y, X y C

PASOS

1. Reunir a un equipo apropiado

2. Elegir las consideraciones clave

a. ¿Qué tipo de información se desea mostrar en la matriz?

3. Elegir la forma apropiada de la matriz

4. Definir los símbolos de relación a emplear y crear una leyenda

5. Concluir la matriz.


Página 65

FUENTE: CQM PRIMER WWW.QUALITYCOUNCIL.COM

FIG. 1.30 EJEMPLOS DE DIAGRAMA MATRICIAL

Código de campo cambiado

http://www.qualitycouncil.com/


Página 66

DIAGRAMAS MATRICIALES 27

FIG. 1.31 DIAGRAMA MATRICIAL EN “L” DIAGRAMA MATRICIAL “A”

FIG. 1.32DIAGRAMA MATRICIAL EN “T” DIAGRAMA MATRICIAL EN “Y”

27 Diagramas tomados de la dirección www.fundibeq.org 28 de diciembre de 2008

http://www.fundibeq.org/


Página 67

FIG. 1.33 DIAGRAMA MATRICIAL EN “X” DIAGRAMA MATRICIAL EN “C” TRIDIM

FIG. 1.34 APLICACIÓN EN EL DESARROLLO DEL PRODUCTO (MATRIZ DE QFD):


Página 68

Matrices de Prioridades o prioritización

Las matrices de prioridades son herramientas para tomas decisiones. Utilizando criterios

ponderados y acordados, se emplean tales herramientas para asignar prioridades a

aspectos, tareas u opciones posibles. Se basan en la combinación de un diagrama de árbol

y uno matricial.

Pueden ayudar a reducir el número de opciones; de modo que sea posible tomar

decisiones con mayor facilidad, debido a que las matrices de prioridades proporcionan un

enfoque lógico a la elección de un conjunto de opciones, son ideales para elegir un

problema para que lo ataque el equipo y estrechar una lista de soluciones potenciales

para un problema.

PASOS

1. Reunir un equipo apropiado.

2. Establecer el objetivo principal a alcanzar y las opciones que ayuden a lograrlo.

3. Generar los criterios por los que se juzgarán las opciones.

4. Juzgar cada criterio contra todos los demás.

5. Comparar entre sí las opciones para todos los criterios retenidos.

6. Compara cada opción con base en todos los criterios combinados.

Brassard28 proporciona tres tipos de matrices de prioridades:

El método del criterio analítico completo

El método del criterio de consenso

El método combinado de Diagrama de relaciones y Matriz

Loa criterios son prioritizados, ponderados y aplicados contra las opciones de decisión

generadas, seleccionando una decisión con base en números como resultado.

28Brassard, M. (1989), The Memory jogger plus +, Methuen, Goal/QPC


Página 69

Fuente: CQM PRIMER www.qualitycouncil.com

Fig. 1.35 Ejemplos de matrices de priorización

http://www.qualitycouncil.com/


Página 70

Carta de Programa de Decisión de Procesos (CPDP)

Fig. 1.36 Ejemplo de diagrama de árbol y plan de contingencia CPDP - reunión

Una Carta de programa de decisión del proceso (CPDP) es una herramienta dinámica de

planeación que se emplea para diagramar en forma sistemática todas las posibles cadenas

de eventos para alcanzar un objetivo amplio o para implantar una solución compleja.

Se enumeran todos los eventos concebibles y una contramedida apropiada en este flujo

cronológico, se emplea este método cuando existe incertidumbre en un proceso de

implantación, cuando el problema u objetivo es único o desconocido.

Las Cartas de programa de decisión del proceso se clasifican por las herramientas que se

emplea:

CPDP “planeado por adelantado”: anticipan lo “inesperado” antes de la

implantación verdadera. Se efectúa una tormenta de ideas de todas las distintas

posibilidades y se elaboran planes de contingencia con anticipación.

CPDP en tiempo real: se desarrollan alternativas durante la implantación.

La CPDP se clasifica por el formato gráfico:

Planeación de una reunión

Reservar sala de reuniones

Verificar equipo audiovisual

Efectuar los arreglos de

alimentación

Sala de reuniones no disponible

Equipo audiovisual no disponible

Banquete no disponible

Menú no disponible

Cambiar fecha de reunión

Reservar otro sitio

Rentar equipo audiovisual

Reservar otro sitio

Ordenar a otro proveedor

Solicitar un menú

distinto

Ordenar otro proveedor de

banquetes

= Seleccionado = No factible


Página 71

Gráfico: combinación de diagrama de árbol y diagrama de flujo.

Descripción: lista numerada de eventos y contramedidas.

Se emplea una CPDP para describir de manera sistemática una solución u objetivo

complejos, otro propósito es probar teorías durante la implantación de una solución

compleja.

PASOS

1. Reunir el equipo apropiado

2. Elegir el flujo básico de implantación

3. Elegir el formato de la carta

4. Establecer el objetivo principal

5. Enumerar los pasos del proceso

6. Determinar contramedidas

7. Evaluar las contramedidas

- Evaluar las contramedidas y marcarlas en la forma siguiente

= Seleccionada

= No factible

Fig. 1.37 Ejemplo de diagrama de árbol y plan de contingencia CPDP en general


Página 72

FUENTE HTTP://SYQUE.COM/QUALITY_TOOLS/TOOLS/TOOLS12.HTM

Fig. 1.38 Ejemplo de diagrama de árbol y plan de contingencia CPDP para manufactura

Código de campo cambiado

http://syque.com/quality_tools/tools/TOOLS12.htm


Página 73

Diagrama de redes de actividades

Un diagrama de redes de actividades (también conocido como diagrama de flechas) es

una técnica de administración de redes de uso generalizado para la planeación e

implantación de tareas complejas, en particular las más comunes que cuentan con

subtareas conocidas. Es una combinación de la Técnica de Revisión y Evaluación y

Programas (PERT) y el Método de Ruta Crítica (CPM).

Se emplea el diagrama de redes de actividades para desplegar soluciones complejas con

programas muy estrictos de tiempo. Identifica los pasos y subtareas y muestra el flujo de

rutas simultáneas de implantación

PASOS

1. Reunir el equipo apropiado.

a. Los miembros del equipo deberán conocer a fondo las tareas y subtareas

2. Identificar todas las tareas que requiere el proyecto.

3. Determinar la secuencia de actividades.

4. Calcular el tiempo que se requiere cada actividad.

5. Calcular la ruta crítica del proyecto.

6. Calcular la fecha más tardía de inicio y más temprana de conclusión de cada

subtarea.

7. Calcular la holgura total.

8. Diseñar el diagrama de redes de actividades.

1

día

1

día

1

día

3

día

2

día

3

día

2

día

5

día


Página 74

EJEMPLO: INAUGURACIÓN DE UN NUEVO RESTAURANTE


Página 75

Fig. 1.39 Ejemplo de diagrama de flechas (PERT)

El TE de un evento representa el tiempo más breve posible en que el evento puede alcanzarse, y

se calcula sumando los tiempos t de la secuencia de actividades que conduce al mismo.

Cuando hay más de un camino que conduce a un evento, el camino que consume el mayor tiempo,

determina el tiempo más breve posible en que puede esperarse alcanzar dicho evento.

El valor TE de un evento N se calcula de la siguiente manera:

a) Se empieza con el primer evento (su TE es igual a cero), considerando sus directos sucesores

etc..., hasta llegar al último evento del proyecto. (Su TE indica el tiempo mínimo esperado para

terminar el proyecto).

b) Se identifican todos los eventos que preceden directamente al evento N.

c) Para cada uno de estos eventos se añade a su TE la duración t de la actividad que le conecta con

el evento N.

d) Se elige entre los resultados así obtenidos el mayor. Este será el único TE del evento N. Los

demás valores obtenidos son irrelevantes y no se volverán a considerar.


Página 76

Los valores TE así obtenidos, se escribirán en el Diagrama de Flechas por encima del respectivo

evento.

El TL de un evento representa el tiempo máximo en que debe alcanzarse el evento para poder

seguir el proyecto tal y como ha sido planificado, siendo el TL del último evento el tiempo

establecido para finalizar el proyecto.

El valor TL de un evento N se calcula de la siguiente manera:

a) Se empieza con el último evento (= fin del proyecto), operando en sentido inverso hasta el

primero. El TL del último evento se considera aquí como un dato externo, ya establecido. (Deseo

del cliente, compromiso, fecha "orientativa" interna, a menudo el valor TE obtenido en el Paso 4

para el evento final del proyecto, etc...).

b) Se identifican todos los eventos sucesores del evento N.

c) Para cada uno de estos eventos se resta de su TL la duración t de la actividad que le conecta con

el evento N.

d) Se elige entre los resultados así obtenidos el menor. Este será el único TL del evento N. Los

demás valores obtenidos son irrelevantes y no se volverán a considerar.

Los valores TL así obtenidos, se escribirán en el Diagrama de Flechas debajo del respectivo evento.

La holgura de un evento es la diferencia entre el tiempo máximo permisible y el tiempo mínimo

posible para alcanzarlo.

La holgura indica entonces el margen de seguridad de tiempo de que se dispone para alcanzar este

evento, sin comprometer el plan de marcha del proyecto. La holgura de un evento puede ser

positiva, negativa o igual a cero.

El camino crítico es aquella secuencia de actividades, desde el primer evento hasta el último, en la

que los eventos disponen de la holgura mínima.

Se identificará en el Diagrama de Flechas, el camino crítico, señalando las actividades que lo

constituyen con líneas más gruesas.


Página 77

Fig. 1.40 Determinación de la Ruta Crítica en el diagrama de flechas (PERT)


Página 78

1.6 MÉTODOS ESTADÍSTICOS PARA LA MEJORA DE CALIDAD

Se utilizan tres métodos estadísticos principales para la mejora de la calidad y la solución de

problemas: las cartas de control, el diseño de experimentos y el muestreo estadístico, además de

las herramientas estadística para la solución de problemas en planta por grupos de trabajo o

Círculos de calidad.

Cartas de control

En 1924 WALTER SHEWHART realizó experimentos y desarrolló las Cartas de Control en la planta

telefónica Western Electric de los los Bell Labs, las cuales tienen las siguientes características:

Técnicas útiles para el monitoreo de procesos

Permiten identificar situaciones anormales en 6Ms

Sirven para prevenir la generación de defectivos

Fig. 1.41 Carta de control

LSC = Límite superior de control

LC = Línea central

LIC = Límite inferior de control

Fig. 1.4 Carta de control de Shewhart y sus límites de control

La carta de control es una técnica muy útil para el monitoreo de los procesos, cuando se presentan

variaciones anormales donde las medias o los rangos salen de los límites de control, es señal de

0

5

10

15

LCS

Promedio

LCI

Perfil


Página 79

que se debe tomar acción para remover esa fuente de variabilidad anormal. Su uso sistemático

proporciona un excelente medio para reducir la variabilidad.

Diseño de experimentos

Un experimento diseñado es muy útil para descubrir las variables clave que tienen influencia en las

características de calidad de interés del proceso. Es un método para variar en forma sistemática

los factores controlables del proceso y determinar los efectos que tienen esos factores en los

parámetros finales del producto. Permite reducir la variabilidad en la característica de calidad y en

determinar los niveles más adecuados de los factores controlables que optimicen el desempeño

del proceso. Fisher inicia el desarrollo del diseño de experimentos en la agricultura en Inglaterra

en los años 1920’s.

ENTRADAS CONTROLABLES

X1 X2 XP

INSUMOS DEL PROCESO Y CARACT.DE CALIDAD

Materias primas,

Componentes, etc.

Z1 Z2 ZQ

ENTRADAS NO CONTROLABLES

Fig. 1.42 Proceso de producción, entradas y salidas

El principal método para diseñar experimentos es el diseño factorial, en el cual los factores son

variados de tal forma de probar todas las posibles combinaciones de los niveles de los factores.

El diseño de experimentos es una herramienta fuera de línea es decir se utiliza durante el

desarrollo de los productos o procesos, más que durante su fabricación.

PROCESO


Página 80

Una vez que se han identificado las variables que afectan el desempeño del proceso, normalmente

es necesario modelar la relación entre estas variables y la característica de calidad de interés. Para

lo cual se puede utilizar el análisis de regresión.

El monitoreo en el proceso de las variables relevantes que afectan las características de calidad se

hace por medio de cartas de control.

Muestreo de aceptación

Está relacionado con la inspección y prueba del producto, donde se selecciona e inspecciona una

muestra aleatoria de un lote mayor, resultando en una aceptación o rechazo de ese lote mayor,

esto ocurre en la recepción de materias primas y componentes y en el producto terminado.

Tiene las siguientes ventajas:

- El costo de evaluación es menor que con la inspección al 100%

- Se puede aplicar más fácilmente cuando se trata de realizar pruebas destructivas.

- Se puede aplicar presión sobre la calidad de los lotes de proveedores ya que con una pequeña

muestra puede ser rechazado el total de us lote.

Entre sus desventajas se encuentran:

- Se pueden cometer errores al aceptar lotes defectivos, dada la probabilidad finita de

encontrar productos defectivos en la muestra.

- Si los lotes no son uniformes, el muestreo no es una técnica confiable.

- No se garantiza que los lotes aceptados estén libres de defectivos.

LOTE MUESTRA ALEATORIA

Fig. 1.43 Esquema del muestreo estadístico


Página 81

En 1926 HAROLD F. DODGE Y HARRY G. ROMIG, desarrollaron las técnicas de Muestreo

Estadístico.

A continuación se muestran diferentes esquemas de la aplicación del método.

a) INSPECCIÓN EN LINEA ENVIO

b) INSPECCION DE RECIBO

ENVIO

c) INSPECCION RECTIFICADORA ACEPTAR ENVIO

RECHAZO

DISPOSICIÓN DE LOTES

Fig. 1.44 Variaciones del muestreo de aceptación

El muestreo de aceptación tiende a reforzar el apego o conformancia a especificaciones pero no

tiene un efecto de retroalimentación en el proceso de producción o diseño que mejoren la calidad.

PROCESO INSPECCION CLIENTE



SCRAP RETRABAJO


Página 82

En el transcurso del tiempo, las tres técnicas estadísticas anteriores han tenido la evolución

siguiente:

100%

0%

Tiempo

Fig. 1.45 Evolución de la aplicación de métodos estadísticos

1.7 ADMINISTRACIÓN POR CALIDAD TOTAL

Para que sean efectivas las herramientas estadísticas, su aplicación debe ser parte de un programa

mayor de Calidad Total (Total Quality Management en EUA, Company Wide Quality Control en

Japón, Seis Sigma de Motorola, Modelo de Dirección por Calidad de México (PNC), Malcolm

Baldrige de EUA, QS 9000, ISO TS 16949, VDA 6.1 VW, ISO 9000:2000, etc.), donde la alta dirección

lleve el liderazgo por la calidad, no funcionarán como elementos aislados.

La filosofía de Deming y Juran implica que la responsabilidad por la calidad se expande a toda la

organización, sin embargo para no caer en el error de que “la responsabilidad de todos es la de

nadie”, la calidad debe planearse.

Deming impulso el uso del CEP y los métodos estadísticos en Japón para la reducción de la

variabilidad y mejora continua de calidad, con sus 14 recomendaciones a la dirección.

MUESTREO DE ACEPTACION CONTROL DE PROCESO

DISEÑO DE EXPERIMENTOS


Página 83

EL CEP ES PARTE DEL SISTEMA DE CALIDADISO TS 16949 ISO 9001:2000

MEJORA CONTINUA

Cliente

Requeri

mientos

Satisfaccion

Responsabilidadde la Dirección

Administraciónde Recursos

Medición,análisis,mejora

Realizacióndel Producto(y/o servicio)

Producto/

ServicioEntrada

Salida

Información

Información

Fig. 1.46 Modelo de gestión de calidad ISO 9000

Costos de calidad

Son costos asociados con producir, identificar, evitar o reparar productos que no cumplan

especificaciones. Normalmente se clasifican en cuatro categorías: Prevención, Apreciación, Falla

interna y Falla externa, algunos de los elementos que incluyen son los siguientes:

Costos de prevención Costos de falla interna

Planeación e Ingeniería de calidad Scrap o desperdicio

Revisión de nuevos productos Retrabajos

Diseño de productos y procesos Re-inspección

Control de proceso Análisis de falla

Entrenamiento Ineficiencias

Colección y análisis de datos de calidad Descuentos


Página 84

Costos de apreciación Costos de falla externa

Inspección y prueba en recibo Atención de quejas

Inspección y prueba de productos Producto regresado

Materiales usados en pruebas Cargos por garantía

Mantenimiento de equipo de prueba Costos legales

Costos de prevención

Son los costos asociados con los esfuerzos de diseño y manufactura enfocados a la prevención de

defectos, de tal forma de hacer bien las cosas a la primera vez.

Costos de apreciación

Son los costos asociados con la medición, evaluación, o auditoría a productos, componentes y

materiales comprados para asegurar su conformancia a los estándares establecidos.

Costos de falla interna

Son los costos incurridos cuando los productos, componentes o materiales y servicios no cumplen

los requerimientos de calidad, y los defectos son descubiertos antes de embarcar al cliente.

Costos de falla externa

Son los costos incurridos cuando el desempeño del producto no es el adecuado una vez que lo

utiliza el cliente.


Página 85

2. MÉTODOS Y FILOSOFÍA DEL CONTROL ESTADÍSTICO DEL PROCESO (CEP)

Concepto de variación

Los métodos estadísticos se basan en que no existen dos productos EXACTAMENTE iguales de un

proceso de manufactura, por tanto la VARIACIÓN es inevitable, su análisis se hace con el apoyo de

la estadística.

2.1 DISTRIBUCIÓN NORMAL

Un proceso opera en condiciones normales, si tiene los materiales dentro de de especificaciones y

del mismo lote, un método consistente, un medio ambiente adecuado, el operador capacitado, y

el equipo ajustado correctamente, si se toman mediciones en alguna característica del producto,

mostrará el siguiente comportamiento:

LAS PIEZAS VARÍAN DE UNA A OTRA:

Pero ellas forman un patrón, tal que si es estable, se denomina distr. Normal

LAS DISTRIBUCIONES PUEDEN DIFERIR EN:

SIZE TAMAÑO TAMAÑO

TAMAÑO TAMAÑO TAMAÑO TAMAÑO

TAMAÑO TAMAÑO TAMAÑO

UBICACIÓN DISPERSIÓN FORMA

. . . O TODA COMBINACIÓN DE ÉSTAS

Distribución gráfica de la variación – La Curva normal

Fig. 2.1 Construcción de la distribución normal

La distribución normal es una de las distribuciones más usadas e importantes. Se ha desenvuelto

como una herramienta indispensable en cualquier rama de la ciencia, la industria y el comercio.


Página 86

Muchos eventos reales y naturales tienen una distribución de frecuencias cuya forma es muy

parecida a la distribución normal. La distribución normal es llamada también campana de Gauss

por su forma acampanada.

Cuando se incluyen todos los datos de un proceso o población, sus parámetros se indican con

letras griegas, tales como: promedio o media = (mu), y desviación estándar (indicador de la

dispersión de los datos) = (sigma).

Para el caso de estadísticos de una muestra se tiene media = X y desv. est.= s.

Propiedades de la distribución normal estándar

La distribución normal estándar tiene media = 0 y desviación estándar =1. La media,

Mediana y Moda coinciden, son iguales y se localizan en el pico.

Fig. 2.2 Propiedades de la distribución normal

El área bajo la curva o probabilidad de menos infinito a más infinito vale 1.

La distribución normal es simétrica, la mitad de curva tiene un área de 0.5.

La escala horizontal de la curva se mide en desviaciones estándar.

La forma y la posición de una distribución normal dependen de los parámetros , , por lo

que hay un número infinito de distribuciones normales.

z0 1 2 3-1-2-3

z0 1 2 3-1-2-3 0 1 2 3-1-2-3

x x+ x+2 x+3x-x-2x-3 x x+ x+2 x+3x-x-2x-3

XX

La desviación estándar

sigma representa la

distancia de la media al

punto de inflexión de la

curva normal


Página 87

Curvas Normales con Medias iguales pero Desviaciones estándar diferentes

Curvas Normales con Medias iguales pero Desviaciones estándar diferentes

3.9

= 5.0

3.9

= 5.0

Límite inferior de especs. Límite superior de especificaciones

Fig. 2.3 Distribuciones normales con varias desv. estándar

Normales con Medias y Desviaciones estándar diferentes

Normales con Medias y Desviaciones estándar diferentes

= 5, = 3

= 9, = 6

= 14, = 10

= 5, = 3

= 9, = 6

= 14, = 10

LIE LSE

Fig. 2.4 Distribuciones normales con varias medias y desviaciones estándar


Página 88

Existe una relación del porcentaje de probabilidad o área bajo la curva normal a la desviación

estándar. En la figura observamos por ejemplo que el área bajo la curva para 1 tiene un

porcentaje de 68.26%, 2 = 95.46% y %73.993 .

Fig. 2.5 Área bajo la curva de Distribución normal Lo anterior se puede calcular con la Tabla de distribución normal o con Excel (Fx

=distr.norm.estand(Z) proporciona el área desde menos infinito hasta Z).

En la tabla normal, se busca el valor de Z y se encuentra el área bajo la curva.

La primera tabla sirve para determinar el área o probabilidad que se encuentra fuera de los límites

de especificaciones. La segunda tabla proporciona valores de área bajo la curva para Z’s mayores a

cero. En cada una se muestran ejemplos de su uso.

+1s +2s +3s -1s -2s -3s

68.26%

95.46%

99.73%


Página 89

Ejemplo 2.1 a) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = - 1. P(Z<= -1) = 0.1587 b) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = - 2. P(Z<= - 2) = 0.0228 c) Determinar el área bajo la curva entre Z >= -2. hasta Z <= -1 P(- 2 <= Z<= -1) = 0.1359


Página 90

Ejemplo 2.2 a) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = 1. P(Z <= 1) = 0.8413 b) Determinar el área bajo la curva de menos infinito a Z = 2. P(Z <= 2) = 0.9772 8 c) Determinar el área bajo la curva de menos Z = 1 a Z = 2 P(1 <= Z <= 2) = 0.9772 – 0.8413 = 0.1369


Página 91

EJERCICIO 2.1:

¿Qué porcentaje del área bajo la curva normal estándar o probabilidad está incluido dentro de los

siguientes rangos?

a) P(1.2 <= Z <= 2.2) = P(Z <= 2.2) – P(Z <= 1.2) =

b) P(-2.1 <= Z <= -0.4) = P(Z <= - 0.4) – P(Z <= -2.1) =

c) P( -1.3 <= Z <= 2.7) = P(Z <= 2.7) – P(Z <= -1.3) =

d) P( Z >= 2.4) = P(Z <= -2.4) =

e) P( Z<=-2.9) + P(Z>= 3.1) = P(Z <= -2.9) + P(Z <= -3.1) =

f) P(Z>= 1.9) = P(Z <= -1.9) =

Estandarización de valores reales

En la práctica, se tienen valores reales de promedio diferentes de cero y con desviación estándar

diferentes de uno, para determinar la probabilidad o área bajo la curva, se determina el número

de desviaciones estándar Z entre algún valor X y la media de la población o de la muestra X

como sigue:

XZ sí se consideran los datos completos del proceso.

s

XXZ

sí se consideran sólo los datos de una muestra.

Ejemplo 2.3 El departamento de personal de una empresa requiere que los solicitantes a un

puesto en cierta prueba alcancen una calificación de 500. Si las calificaciones de la prueba se

distribuyen normalmente con media 485 y desviación estándar 30 ¿Qué porcentaje de

los solicitantes pasará la prueba?

Calculando el valor de Z obtenemos:

XZ = 5.0

30

485500

Buscamos el valor correspondiente Z en las tablas de distribución normal estándar o por medio de

Excel =distr.norm.estand(0.5). Z0.5 = 0.69146 = 69.146%. donde la probabilidad de que la


Página 92

calificación sea menor a 500 es P (X <= 500). Dado que el porcentaje pedido es )500( XP la

solución es 1-0.69146 =0.3085, por tanto sólo 30.85% de los participantes pasarán la prueba.

Otra forma es tomando la Z como negativa con P(Z <= -0.5) = 0.3085.

Fig. 2.6 Área bajo la curva de Distribución normal

Ejemplo 2.4 Suponga que un proceso tiene una distribución normal dada tiene una media de 20 y

una desviación estándar de 4. Calcule la probabilidad

P (X >=24) = 1 – P(X <= 24) =

En la barra de herramientas seleccione el icono de funciones fx>Estadísticas>Distr.Norm.Estand.

OK. El sistema muestra la siguiente ventana, en la cual llenamos los siguientes datos:

Fig. 2.7 Cálculo del área bajo la curva normal sin requerir Z El resultado de la fórmula = 0.8413. , dado que esta es la probabilidad P(X24), la probabilidad

buscada es: P(X > 24) = 1 - 0.8413= 0.1587

485

Z.05

30.85%


Página 93

EJERCICIO 2.2:

Un producto tiene un peso promedio de 75 Kgs. con una desviación estándar de 10Kgs.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto pese más de 85Kgs.?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un producto pese menos de 55Kgs.?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto pese entre 60 y 80 Kgs.?.

d) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto pese entre 55 y 70 Kgs.?

e) ¿Cuál es la probabilidad de que el producto pese entre 85 y 100Kgs.?

2.2 PRUEBA DE NORMALIDAD Para probar normalidad de datos, se pueden utilizar los métodos de Anderson Darling o Ryan si el

tamaño de muestra es mayor a 15 y se utiliza la prueba de Kolmogorov Smirnov para 15 datos o

menos de muestra, observando la gráfica de probabilidad normal.

a) En el método de Anderson Darling o Ryan Joiner, si el valor de probabilidad P de la prueba es

mayor a 0.05, se considera que los datos son normales. Seguir los siguientes pasos:

Generar 100 datos aleatorios en Minitab con Media = 264.6 y Desviación estándar S = 32.02 con:

1. Calc > Random data > Normal

2. Generate 100 Store in columns C1 Mean 264.06 Estandar deviation 32.02 OK

Nos aseguramos que los datos se distribuyan normalmente con la prueba de Anderson Darling o

Ryan Joiner como sigue:

1. Stat > Basic statistics > Normality Test

2. Variable C1 Seleccionar Ryan Joiner test OK

El P value debe ser mayor a 0.05 para que los datos se distribuyan normalmente


Página 94

Datos

Pe

rce

nt

350300250200150

99.9

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

0.1

Mean

>0.100

269.3

StDev 30.72

N 100

RJ 0.994

P-Value

Probability Plot of DatosNormal

Fig. 2.7 Gráfica de probabilidad de un proceso normal

b) Otra opción por medio de una gráfica de probabilidad normal, se tiene:

3. Graph > Probability plot > Normal

4. Graph Variable C1

5. Distribution Normal OK

Los puntos deben quedar dentro del intervalo de confianza para indicar que es normal la

distribución.

Datos

Pe

rce

nt

400350300250200150

99.9

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

0.1

Mean

0.533

269.3

StDev 30.72

N 100

AD 0.317

P-Value

Probability Plot of DatosNormal - 95% CI

Fig. 2.8 Gráfica de probabilidad normal con Int.de confianza


Página 95

2.3 LA CARTA DE CONTROL COMO PRUEBAS DE HIPÓTESIS

Se pueden cometer dos tipos de errores cuando se prueban hipótesis:

Error tipo I, se rechaza Ho cuando es verdadera.

Error tipo II, no se rechaza Ho cuando es falsa.

Las probabilidades de esos dos tipos de errores son:

= P(error tipo I)

= P(error tipo II)

donde la potencia de la prueba es

Potencia = 1 - = Probabilidad de rechazar correctamente Ho.

Alfa a veces se denomina riesgo del productor, denotando la probabilidad de que un lote bueno o

un proceso que produce partes aceptables en relación a una característica de calidad sea

rechazado.

Beta a veces se denomina riesgo del consumidor denotando la probabilidad de aceptar lotes de

calidad pobre, o permitiendo que un proceso continúe operando de manera insatisfactoria

respecto a una característica de calidad.

El procedimiento general para pruebas de hipótesis es especificar una probabilidad de error tipo I

o , y diseñar un procedimiento de prueba que minimice la probabilidad de error tipo II.

Conforme se incrementa el tamaño n de muestra, se reduce la probabilidad de error tipo II.

PROBABILIDAD DE ERROR TIPO II

Tomando como estadístico de prueba Zc, y asumiendo que sigue una distribución normal N(0,1).


Página 96

n

XZ c

0 (2.6)

Para encontrar la probabilidad de error tipo II, se debe asumir que Ho es falsa y entonces hallar la

distribución de Zc. Suponiendo que la media de la distribución realmente es:

1 = 0 + con > 0

La hipótesis alterna H1 es verdadera y bajo esta suposición, el estadístico Zc es:

1,

nNZc

BAJO H0 BAJO H1

- Z/2 0 Z/2 Zc’ = /n

Fig. 2.9 La distribución de Zc bajo Ho y H1

La probabilidad del error tipo II es la probabilidad de que Zc se encuentre entre - Z/2 y Z/2 dado

que la hipótesis alterna es verdadera.

Para evaluar esta probabilidad, se evaluan F(Z/2) ) – F(-Z/2), donde F es la distribución acumulativa

normal estándar. La probabilidad de error tipo II es (funciona igual para cuando < 0):

nZ

nZ 2/2/ (2.7)

Ejemplo 2.5: si los estándares especifican que la media de una lata de café es de 16.0 oz., y de

acuerdo a la experiencia se sabe que la desviación estándar del contenido es de 0.1 oz. Las

hipótesis son:


Página 97

Ho: = 16.0

Ho: 16.0

Asumiendo una probabilidad de error tipo I de 0.05 y tomando una muestra de 9 latas, se tiene

que el estadístico de prueba es:

9

1.0160 XZ

Se rechaza Ho si Zo > Z0.025 = 1,96

Suponiendo que se desea encontrar la probabilidad del error tipo II si el valor verdadero de la

media es 1 =16.1 implicando que = 16.1 – 16.0 = 0.1, se tiene:

nZ

nZ 2/2/

1.0

91.096.1

1.0

91.096.1

= (- 1.4 ) - ( -4.96 )

= 0.1492

Es decir que la probabilidad de no rechazar Ho si la media es 16.1 oz. Es de 0.1492, o que la

potencia de la prueba es de 1 - = 1 – 0.1492 = 0.8508.

De la ecuación anterior para , se observa que es una función de n, y de , tomando como 0.05

y graficando contra d = / , se obtienen las curvas características de operación (OC).

(ver gráfica de curva OC)

En las curvas OC se observa que:


Página 98

1. Entre mayor sea el valor de , se reduce la probabilidad de error tipo II para una n y dadas.

Es decir que la prueba detecta más fácilmente grandes diferencias.

2. Conforme se incrementa n, la probabilidad de error tipo II es más pequeño para una y

dadas. Es decir que la prueba se hace más potente si se incrementa el tamaño de muestra.

Las cartas de control fueron desarrolladas por el Dr. Walter A. Shewhart de los Bell Telephone

Labs., se denominan Cartas de Control de Shewhart y se usan para el monitoreo del proceso en

línea. A continuación se explica la teoría de variabilidad de Shewhart.

Causas comunes y causas especiales

La variabilidad natural siempre existe en cualquier proceso de producción, no importa que tan

bien diseñado esté. Esta variabilidad natural es denominada causas comunes o aleatorias de

variabilidad, un proceso que opera en estas condiciones se dice que está en control estadístico.

Existen otras fuentes de variabilidad que pueden ser causadas por máquinas, errores de

operadores o materiales defectuosos. Esta variabilidad es muy grande en relación con la

variabilidad natural y es originada por causas especiales o asignables haciendo que el proceso

opere fuera de control estadístico (ver página siguiente).

De la figura cuando el proceso está en control, la mayor parte de la producción se encuentra

dentro de los límites de control (LSC y LIC). Sin embargo cuando el proceso está fuera de control,

una gran proporción del proceso se encuentra fuera de estos límites.

El Objetivo del CEP es la detección oportuna de la ocurrencia de causas especiales para tomar

acciones correctivas antes de que se produzcan unidades defectivas o no conformes, para esto se

utilizan las cartas de control en línea, permitiendo también la estimación de la capacidad o

habilidad del proceso y la reducción continua de la variabilidad hasta donde sea posible.


Página 99

2.4 BASES ESTADÍSTICAS DE LAS CARTAS DE CONTROL

Una carta típica representando un proceso en control estadístico se muestra a continuación.

Contiene una línea central que representa el valor promedio de la característica de calidad

correspondiente al estado “en control” y dos líneas adicionales llamadas límites inferior y superior

de control (LIC y LSC), los cuales se seleccionan de tal forma que casi la totalidad de los puntos se

encuentren dentro de ellos, si esto ocurre no se requiere tomar ninguna acción.

LSC

LC

LIC Tiempo

Fig. 2.10 Carta de control de Shewhart

Un punto que se encuentre fuera de los lÍmites de control mostrará evidencia que el proceso está

fuera de control y será necesario una investigación de la causa especial y la acción correctiva

necesaria para eliminarla. También se tendrá un alto riesgo de situación fuera de control si los

puntos se agrupan es forma sistemática dentro de los límites de control o muestran una

tendencia.

Por ejemplo, la carta de control de medias prueba la hipótesis de que la media del proceso está en

control y tiene un valor 0 si un valor de media muestral iX cae dentro de los límites de control;

de otra forma se concluye que el proceso está fuera de control y que la media del proceso tiene un

valor diferente del de 0, por decir 1, donde 1 0.

Se puede decir que las probabilidades de los errores tipo I y tipo II de la carta de control, son

esquemas de prueba de hipótesis para analizar el desempeño de las cartas de control.


Página 100

La probabilidad del error tipo I de la carta de control se presenta cuando se concluye que el

proceso está fuera de control cuando en realidad no lo está.

La probabilidad de error tipo II de la carta de control se presenta cuando se concluye que el

proceso está en control cuando en realidad está fuera de control. La curva característica de

operación (OC), con en el eje vertical, indica la capacidad de la carta para detectar corridas de la

media o rango del proceso de diferentes magnitudes.

Ejemplo 2.6: Para el caso de pistones, evaluando la característica de calidad de diámetro interno

del anillo. Si la media del proceso es 74 y la desviación estándar es de 0.01mm, con un tamaño de

muestra de n=5, se tiene:

La desviación estándar de las medias es:

0045.05

01.

nX

Asumiendo que el proceso está en control y de acuerdo al teorema del límite central se asume que

las medias iX se distribuyen normalmente, se debe espera que el 100(1- )% se encuentren entre

74 Z/2 (0.0045).

Si se escoge arbitrariamente a Z/2 = 3, se obtienen los límites de control a “3 sigma”:

LSC = 74 + 3 (0.0045) = 74.0135

LIC = 74 – 3 (0.0045) = 73.9865

74.0135

74

74.9865 Tiempo

Fig. 2.11 Carta de Control típica


Página 101

El ancho de los límites de control es inversamente proporcional al tamaño de muestra n, para un

múltiplo de sigma dado, La selección de los límites de control es equivalente a preparar la región

crítica para probar la hipótesis en el tiempo:

H0 : = 74

H1 : 74

Con = 0.01 conocida.

Se puede definir un modelo general para una carta de control, si w es un estadístico muestral que

mide alguna característica de calidad de interés y asumiendo que su media es w con desviación

estándar w se tiene:

LSC = w + Lw (2.8)

LC = w

LIC = w - Lw

Donde L es la distancia de los límites de control a partir de la línea central expresada en

unidades de desviación estándar.

El uso más importante de la carta de control es la mejora del proceso, a través de su monitoreo, al

principio se observará que los procesos no están en control estadístico, sin embargo con las cartas

de control se podrán identificar causas especiales que al ser eliminadas, resulten en una reducción

de la variabilidad mejorando el proceso.


Página 102

DISTRIBUCION DISTRIBUCION COMPORTAMIENTO DEL PROCESO DE LOS VALORES DE LAS MEDIAS LSC = 74.0135, LC = 74, LIC = 73.9865

INDIVIDUALES =.01 0045.0X

Fig. 2.12 Comparación de la variabilidad de la población y la de las medias y operación de la carta

de control

El proceso de mejora usando la carta de control requiere la acción de la supervisión, operador e

ingeniería, la carta de control sólo detecta causas especiales o asignables.

Para identificar y eliminar las causas asignables, es importante encontrar las causas raíz del

problema y atacarlas para lo cual se puede utilizar el Plan de acción para situaciones fuera de

control OCAP, activado con la ocurrencia de cada evento. Incluye Puntos de chequeo que son

causas potenciales asignables y terminadores que son las acciones que resuelven la situación fuera

de control. Este documento OCAP es un documento vivo que debe ser actualizado

constantemente.

ENTRADA PROCESO SALIDA

SISTEMA DE

EVALUACIÓN

Verificación Detección de causa

y seguimiento asignable

Implantar Identificar causa

Acción raíz del problema

Correctiva

Fig. 2.13 PROCESO DE MEJORA USANDO LA CARTA DE CONTROL


Página 103

La carta de control es un dispositivo de estimación de parámetros del proceso una vez que exhibe

control estadístico, se puede estimar la media, varianza, proporción, etc. que pueden ser utilizados

para determinar la capacidad de los procesos para producir productos aceptables, base de

decisiones gerenciales y contractuales.

Las cartas de control pueden ser clasificadas en dos clases: por atributos y por variables

dependiendo de cómo se evalúe la característica de calidad.

Si la característica de calidad se puede evaluar y expresar como un número real en alguna escala

de medición continua, se denomina una variable. En tales casos se utilizan cartas de control de

medias, que describan la tendencia central y cartas de control basadas en rango o desviación

estándar para controlar la variabilidad del proceso.

Muchas características de calidad no pueden ser medidas en una escala continua, en esos casos se

puede juzgar cada producto como conforme o como no conforme sobre la base de que posea o no

ciertos atributos, o se pueden contar el número de no conformidades o defectos que aparecen en

una unidad de producto. Las cartas de control para tales características de calidad, se denominan

cartas de control por atributos.

Un factor importante en la aplicación de cartas de control es su diseño, es decir la selección de

tamaño de muestra, límites de control y frecuencia de muestreo. Para la carta de control por

variables del ejemplo se utilizó una muestra de 5 partes, límites de control a 3-sigma y una

frecuencia de muestreo cada hora.

Si se incrementa el tamaño de muestra, decrece la probabilidad del error tipo II, aunque el diseño

de la carta de control también debe tomar consideraciones económicas considerando los costos

de muestreo, pérdidas por fabricar productos defectuosos y costo de investigar indicaciones fuera

de control que son “falsas alarmas”.

Otra consideración en el uso de cartas de control es el tipo de variabilidad exhibida por el proceso:


Página 104

1. Procesos estacionarios: los datos del proceso varían alrededor de una media fija de una manera

fija y estable. Es decir se tiene un proceso en control de acuerdo a Shewhart es el área de

aplicación de las cartas de control más efectivo.

2. Procesos con datos no correlacionados: las observaciones dan la apariencia de haberse

extraído de una población estable (normal u otra), en análisis de series de tiempo se denomina

“ruido blanco”. En este caso los datos pasados históricos no dicen nada en relación a predecir su

comportamiento futuro.

3. Procesos estacionarios con datos correlacionados: las observaciones sucesivas de en estos

datos son dependientes; es decir un valor por arriba de la media tiende a ser seguido por otro

valor arriba de la media y viceversa, esto produce corridas lentas y largas en algún lado de la

media.

4. Procesos no estacionarios: ocurren en los procesos químicos e industrias de proceso, los

procesos son muy inestables y tienen corridas inestables alrededor de una media fija. En estos

casos se estabiliza el desempeño de los procesos por medio de control automático por

retroalimentación.

Las cartas de control han sido muy populares por las siguientes razones:

1. Son una herramienta probada para mejorar la productividad. Su aplicación exitosa ayuda a

reducir desperdicios y retrabajos, que son factores que reducen la productividad (productos

buenos por hora).

2. Son efectivas como herramientas de prevención de defectos. Apoyan el concepto de hacerlo

bien a la primera vez, es más costoso seleccionar productos buenos en un lote con productos

defectuosos, que fabricarlos bien desde el principio.

3. Evitan que se hagan ajustes innecesarios en el proceso. Apoyan el concepto de “si no esta mal,

no lo arregles”, ya que identifican las causas comunes de las especiales, evitan que se hagan

ajustes cuando sólo se están teniendo variaciones aleatorias en el proceso.

4. Proporcionan información de diagnóstico. Proporcionan un patrón de puntos que permite la

toma de decisiones para la mejora del proceso, al operador o al ingeniero experimentado.


Página 105

5. Proporcionan información acerca de la capacidad o habilidad del proceso. Proporcionan

información acerca de los parámetros importantes del proceso y de su estabilidad con el

tiempo, permitiendo la estimación de la capacidad del proceso para producir dentro de

especificaciones.

SELECCIÓN DE LOS LÍMITES DE CONTROL

Abriendo los límites de control decrece riesgo de error tipo I (falsa alarma) sin embargo se

incrementa el riego de error tipo II y viceversa. Con límites de control de 3-sigma la probabilidad

de error tipo I es de 0.0027. Si se selecciona el nivel de riesgo de error tipo I en 0.002 o 0.001 en

cada lado, se tienen los límites de control a una distancia de 3.09-sigmas y los límites de control

serán:

LSC = 74 + 3.09 (0.0045) = 74.0139

LIC = 74 – 3.09 (0.0045) = 73.9861

Estos límites de control se denominan límites probabilísticos a 0.001. A continuación se presenta

una comparación entre límites.

+3.09

+3.0 LC

-3.00

-3.09

Fig. 2.14 Límites de control de Shewhart y Europeos

Los límites de control a 0.001 se utilizan en países europeos.

Algunos analistas sugieren el uso de límites preventivos trazados a 2-sigmas de la línea central,

para el caso de límites de control a 3-sigmas y a 0.025 de probabilidad para límites de control a

0.001. Estos límites aumentan la sensibilidad de la carta de control para identificar corrimientos de

la media del proceso, en forma más rápida. Si un punto cae fuera de los límites preventivos, Una


Página 106

desventaja es que crean confusión con el personal y se incrementa el riesgo de error tipo I (falsas

alarmas).

Tamaño de muestra y frecuencia de muestreo

Al diseñar una carta de control, se debe especificar tanto el tamaño de muestra como la

frecuencia de muestreo, tamaños de muestra grandes permiten detectar pequeñas corridas en la

media del proceso como se observa en las curvas características de operación.

Para la frecuencia de muestreo, la práctica industrial sugiere tomar muestras pequeñas

frecuentes, principalmente en producción masiva o cuando existe la posibilidad de que existan

muchas causas especiales, actualmente con las computadoras esto es cada vez más fácil.

Otra forma de determinar la frecuencia de muestreo y el tamaño de muestra, es a través de la

longitud media de racha de la carta de control (ARL), que es el número de puntos que deben ser

graficados antes de que un punto indique una condición fuera de control.

p

ARL1

(2.9)

donde p es la probabilidad de que un punto exceda los límites de control. Para el caso de 3-sigma

p=0.0027 y el ARL0 = 370. Es decir que si el proceso está en control, se generará un punto fuera de

control como falsa alarma cada 370 puntos.

Si se toman muestras en intervalos fijos de tiempo en horas (h), entonces aparecerá una falsa

alarma cada tiempo promedio de indicación (ATS) en horas.

ARLhATS (2.10)

En el ejemplo si se toman muestras cada hora, se genera una falsa alarma cada 370 horas.


Página 107

Para evaluar que tan efectiva es la carta para detectar corrimientos en la media del proceso, se

utilizan las curvas características de operación. Por ejemplo, si n=5 y la media se corre de

74.015mm, la probabilidad de que un punto caiga dentro de los límites de control es

aproximadamente 0.50, por tanto utilizando p=0.50, se puede calcular el ARL1 para una situación

fuera de control como sigue:

25.0

111

pARL

Esto significa que el proceso requiere 2 muestras antes de detectar el corrimiento. Si el muestreo

se hace cada hora, el ATS = 2 h, si esto fuera inaceptable, se podrían tomar muestras más

frecuentes por ejemplo cada media hora o incrementar el tamaño de muestra. Si n=10, de la curva

característica de operación se observa que p=0.9 y el ARL1 = 1.11 y el ATS = 1.11 h, lo cual puede

ser más aceptable.

En resumen las dos alternativas siguientes dan un resultado similar:

Diseño 1 Diseño 2

n = 5 n = 10

Frec. Cada ½ hora Frec. cada hora.

Las muestras se toman de manera más frecuente a la ocurrencia de cambios en el proceso

registrados en bitácoras (cambio de turno, cambio de materiales, ajustes, fallas, etc.), con objeto

de detectar las causas de situaciones fuera de control.

Subgrupos racionales

La idea fundamental en las cartas de control es colectar los datos de la muestra de acuerdo al

concepto de subgrupo racional es decir que el subgrupo debe seleccionarse de tal forma que si

están presentes causas asignables, la diferencia entre los subgrupos sea maximizada, minimizando

la diferencia dentro del subgrupo.


Página 108

El tiempo en que se tomen las muestras es una buena base para formar subgrupos, evitando que

algunas observaciones se tomen al final de un turno y las restantes al inicio del siguiente ya que

ocasiona diferencias dentro del subgrupo.

Por lo anterior se recomienda tomar productos consecutivos de producción para formar la

muestra (cuyo tamaño puede ser entre 4 y 6), minimizando diferencias dentro del subgrupo. En

algunos procesos como los químicos, es suficiente tomar una sola unidad de producto como

muestra, dado que existe homogeneidad.

Análisis de patrones en cartas de control

Una carta de control indicará una condición fuera de control cuando uno o más puntos caigan más

allá de los límites de control o cuando los puntos graficados formen un patrón no aleatorio de

comportamiento.

En general una racha o corrida es una secuencia de observaciones del mismo tipo. Además de las

corridas ascendentes o descendentes, se encuentran las que están por debajo o sobre la media.

Dado que una corrida de 8 o más puntos tiene una probabilidad de ocurrencia muy baja, se

considera que una racha o corrida con una longitud de 8 puntos indica una condición fuera de

control.

Fig. 2.15 Proceso fuera de control por tendencias o corridas

Otro patrón de inestabilidad se presenta cuando el comportamiento del proceso muestra patrones

cíclicos.


Página 109

Para reconocer un patrón de comportamiento no sólo se requiere conocer las técnicas

estadísticas, sino también es necesario tener un conocimiento profundo del proceso.

En el libro de la Western Electric (1956) se recomiendan las reglas siguientes para detectar

patrones no aleatorios en las cartas de control:

1. Un punto fuera de los límites de control de 3-sigma.

2. Dos de tres puntos consecutivos sobre los límites preventivos a 2-sigma.

3. Cuatro de cinco puntos consecutivos que se encuentren a una distancia de 1-sigma o más allá

a partir de la línea central.

4. Ocho puntos consecutivos graficados hacia un lado de la línea central.

Algunas reglas adicionales recomendadas por la industria son:

5. Siete puntos formando una tendencia creciente o decreciente.

6. Quince puntos consecutivos encontrados entre más menos 1-sigma de la línea central

(adhesión a la media).

7. Catorce puntos en un renglón alternándose arriba y abajo.

8. Siete puntos que se encuentren más allá de 1-sigma de la línea central.

9. Un patrón no usual o no aleatorio de datos.

10. Uno o más puntos cerca de los límites preventivos.

Debe tenerse cuidado de no exagerar en la aplicación de las reglas ya que se pueden tener muchas

falsas alarmas quitándole efectividad al programa del CEP.

2.5 IMPLEMENTACIÓN DEL CEP

El CEP proporciona un retorno sobre la inversión apreciable cuando se implanta exitosamente, ya

que permite la mejora continua a través de la reducción de la variabilidad. Las cartas de control

son una herramienta importante para esta mejora.


Página 110

El CEP no sirve si se implanta y después no se mantiene, ya que la mejora continua debe ser parte

de la cultura de la organización.

Para su implantación es necesario el liderazgo gerencia y el trabajo en equipo, así como evaluar los

avances y comunicarlos a la organización, lo cual puede motivar a mejorar otros procesos.

Los elementos recomendados para un programa de CEP exitoso son:

1. Liderazgo gerencial

2. Un enfoque de grupo de trabajo

3. Educación y entrenamiento de empleados en todos los niveles

4. Énfasis en la mejora continua

5. Un mecanismo para reconocer el éxito y comunicación hacia la organización.


Página 111

3. CARTAS DE CONTROL POR VARIABLES

3.1 INTRODUCCIÓN

Una característica que se mide en una escala numérica se denomina una variable. Por ejemplo

temperaturas, dimensiones, volumen, tiempo, etc. Las cartas de control de RX son

ampliamente utilizadas para monitorear la media y la variabilidad de las variables, con objeto de

evitar o minimizar que se tengan productos fuera de especificaciones y estabilizar los procesos.

LIE MEDIA LSE LIE MEDIA LSE LIE MEDIA LSE

MEDIA Y DESV. ESTANDAR MEDIA CORRIDA DESVIACION ESTANDAR EN NIVELES NORMALES MAYOR A LA REQUERIDA

Fig. 3.1 Estados posibles de un proceso en control

3.2 CARTAS DE CONTROL DE MEDIAS-RANGOS

Asumiendo que una característica de calidad está distribuida normalmente con media y

desviación estándar ambas conocidas. Si x1, x2, .... xn forman una muestra de tamaño n entonces

se puede calcular la media de la muestra X .

Ahora como las medias de las muestras están normalmente distribuidas con media iX = /

n , y siendo que la probabilidad 1- de que cualquier media muestral caerá entre los límites:


Página 112

n

ZZX

2/2/ (3.1)

y

n

ZZX

2/2/

Lo anterior será válido aún si la distribución de la población no es normal pero si estable.

En la práctica los límites de control se estiman a partir de 20 o 25 muestras preliminares o

subgrupos, el tamaño de subgrupo es de 4, 5 o 6 normalmente. Si se tienen m subgrupos, la gran

media se calcula como sigue:

m

X

X

m

i

i 1 (3.2)

Representa la línea central de la carta de medias.

Para estimar la del proceso, se pueden utilizar los rangos de los subgrupos, para cada uno de los

subgrupos el rango es calculado como:

R = xmax – xmin (3.3)

Si R1, R2, ....., Rm , son los rangos de los diferentes subgrupos, el rango promedio es:

m

R

R

m

i

i 1 (3.4)


Página 113

DESARROLLO DE LA FORMULA PARA LOS LÍMITES DE CONTROL

La variable W de rango relativo relaciona al rango con la desviación estándar como sigue:

W = R / (3.5)

Los parámetros de la distribución de W son función de n. La media de W es d2. Por tanto un

estimador de es R / d2 , donde d2 está tabulado para diferentes valores de n, de esta forma si R

es el rango promedio de las primeras muestras, usando:

2d

R (3.6)

Los límites de control de la carta de medias son:

nd

RXLSC

2

3 Límite superior de control (LSC)

nd

RXLIC

2

3 Límite inferior de control (LIC) (3.7)

X Línea central (LC)

Si de define a nd

RA

2

2

3 se tienen las ecuaciones siguientes:

LSC = X + A2 R (3.8)

LIC = X - A2 R

El valor de A2 se encuentra tabulado en una tabla de constantes.


Página 114

Para el caso de los rangos, la línea central es R . El estimador para R puede hallarse de la

distribución del rango relativo W = R / , si la desviación estándar de W es d3 en función de n, se

tiene:

R = W (3.9)

La desviación estándar de R es:

R = d3

Como es desconocida, se puede estimar de = R / d2, resultando:

2

3d

RdR (3.10)

De esta forma los límites de control para el rango son:

LSC = R + 3 R = R + 32

3d

Rd = R [ 1+ 3

2

3

d

d] = D4 R (3.11)

LIC = R - 3 R = R - 32

3d

Rd = R [ 1- 3

2

3

d

d] = D3 R

Donde las constantes A2 , d2 D3 y D4 se encuentran tabuladas en función de n para facilitar el

cálculo de los límites de control como sigue:

Tabla 3.1 Constantes para límites de control en cartas X-R

n A2 D3 D4 d2 2 1.88 0 3.267 1.128

3 1.023 0 2.574 1.693

4 0.072 0 2.282 2.059

5 0.577 0 2.115 2.326

6 0.483 0 2.004 2.534

7 0.419 0.076 1.924 2.704

8 0.373 0.136 1.864 2.847

9 0.337 0.184 1.816 2.97

10 0.308 0.223 1.777 3.078

Para valores pequeños de n, el rango es un buen estimador de la varianza tal como lo hace la

varianza de la muestra S2. La eficiencia relativa del método del rango a la S2 se muestra abajo:


Página 115

Eficiencia n Relativa

2 1.000

3 0.992

4 0.975

5 0.955

6 0.930

10 0.850

Para n >= 10 el rango pierde eficiencia rápidamente ya que ignora los valores intermedios entre

xmax y xmin sin embargo para valores pequeños de n (4,5 o 6) empleados en las cartas de control, es

adecuado. Para cuando n>10 se utiliza la desviación estándar en vez del rango.

EQUIPO DE MEDICIÓN

La resolución del equipo debe ser de al menos 1/10 de la tolerancia y debe tener habilidad para

realizar la medición con un error por Repetibilidad y Reproducibilidad (R&R) menor al 10% (ver

procedimiento de estudios R&R).

LIMITES PRELIMINARES

Siempre que un proceso este siendo analizado a través de una carta de control, es muy importante

llevar una bitácora registrando todos los cambios (tiempo y descripción) conforme ocurran, por

ejemplo: cambio de turno, cambio de materiales, ajuste de máquina, interrupción de energía,

arranque de máquina, etc. Con objeto de identificar las causas asignables en caso de presentarse

para la toma de acciones correctivas.

Al iniciar una carta de control tomando m subgrupos (20 a 25) se calculan y grafican los límites de

control preliminares para determinar si el proceso estuvo en control (ver procedimiento de

Gráficas de Control). Para probar esta hipótesis, se analizan todos los puntos graficados y se hace

un análisis para identificar si hay puntos fuera de los límites de control o patrones anormales de

comportamiento, si así fuera, los límites de control preliminares se pueden utilizar para el control

futuro del proceso.


Página 116

Si no se prueba la hipótesis de que el proceso está en control, por algún patrón de anormalidad

presente, se determina la causa especial de la anormalidad, se toman acciones correctiva para que

no vuelva a presentar, se eliminan los puntos correspondientes al patrón de anormalidad y se re-

calculan o revisan los límites de control. Se analiza la carta de control para observar un

comportamiento aleatorio, si aun no se tiene, se repite el proceso anterior hasta lograrlo. Una vez

teniendo todos los puntos en control, los nuevos límites de control más cerrados que los

originales se utilizan para el control futuro del proceso.

Cuando no sea posible encontrar causas especiales para los patrones de anormalidad o puntos

fuera de control, no se eliminan y se consideran para la determinación de los límites de control

revisados para el control futuro del proceso.

Interpretación de cartas de control RX

Se debe iniciar con la interpretación de la carta R, identificando causas especiales y después

analizar la carta X . Además de la situación de un punto fuera de control, se tienen otros

patrones de anormalidad como los siguientes:

Patrones cíclicos: Puede ser ocasionado por cambios ambientales, fatiga del operador, o

fluctuaciones en las presiones u otras variables del proceso.

LSC

LC

LIC

Fig. 3.2 Patrón de anormalidad cíclico

Mezclas de lotes: Se presenta cuando los puntos graficados se localizan cerca o fuera de los límites

de control, con muy pocos puntos cerca de la línea central, puede ser causada por un sobre

control de los operadores sobre el proceso o cuando se toman productos de varias fuentes con

diferente media.


Página 117

LSC

LC

LIC

Fig. 3.3 Patrón de anormalidad con mezcla de lotes

Corrimiento en la media del proceso. Esto puede ser generado por un cambio en métodos,

operadores, materias primas, métodos de inspección, etc.

LSC

LC

LIC

Fig. 3.4 Patrón de anormalidad con corrimiento en media

Una tendencia ascendente o descendente: Son causadas por deterioración gradual de

herramientas u otro componente crítico del proceso, en los procesos químicos puede deberse a la

separación de algún componente.

LSC

LC

LIC

Fig. 3.5 Patrón de anormalidad de tendencia ascendente


Página 118

Estratificación: Se muestra como una adhesión a la media, puede ser causado por límites mal

calculados, tomar piezas de procesos diferentes o falta de resolución del equipo de medición.

LSC

LC

LIC

Fig. 3.6 Patrón de anormalidad de “estratificación”

Por lo general la carta R es más sensible a cambios en la normalidad de los procesos, por ejemplo

cuando n = 4 el error tipo I no es 0.00027 sino 0.00461.

En resumen los patrones de anormalidad más comunes son:

- Un punto fuera de los límites de control

- Siete puntos formando una tendencia ascendente o descendente

- Dos de tres puntos a más de dos sigma de la línea central en el mismo lado

- Cuatro de cinco puntos a más de una sigma de la línea central del mismo lado.

- Siete puntos en secuencia sobre o bajo la línea central

- Catorce puntos alternándose arriba y debajo de la media

- Quince puntos dentro de una sigma de la línea central en ambos lados

- Cualquier otro patrón de anormalidad

Ejemplo 3.1 Para el caso de anillos de pistones de automóvil, se desea establecer un control

estadístico para el diámetro interno de los anillos, a través de una carta de medias-rangos. Se

toman 25 subgrupos de 5 piezas cada uno.

El análisis se inicia con la carta R ya que los límites para la carta X dependen de la variabilidad del

proceso, y a menos que esta variabilidad se encuentre en control, esos límites tendrán poco

significado.


Página 119

De las cartas de control se calcula un rango promedio R de 0.023mm (ver tabla de constantes

para D3 y D4 con n=5):

LICR = R D3 = 0.023 (0) = 0

LSCR = R D4 = 0.023 (2.115) = 0.049

Si la carta de control para R se encuentra en control estadístico, se puede ahora calcular los límites

para la carta X donde la línea central X es 74.001 (ver tabla de constantes para obtener el

valor de A2 con n=5).

LSC = X + A2 R = 74.001 + (0.577) (0.0023) = 74.014

LIC = X - A2 R = 74.001 - (0.577) (0.0023) = 73.988

Si no se observan condiciones fuera de control en la carta X . Si ambas cartas están en

control, se puede concluir que el proceso está en control y se pueden adoptar los límites actuales

para el control futuro del proceso.

Ejemplo 3.2: Se toman datos de la dimensión crítica de una parte, con el proceso corriendo

normalmente, en 25 subgrupos de tamaño n=5, uno cada hora:

X11 X12 X13 X14 X15 Medias Rangos Desv. Est. 138.1 110.8 138.7 137.4 125.4 130.1 27.9 12.1

149.3 142.1 105.0 134.0 92.3 124.5 57.0 24.7

115.9 135.6 124.2 155.0 117.4 129.6 39.1 16.2

118.5 116.5 130.2 122.6 100.2 117.6 30.0 11.1

108.2 123.8 117.1 142.4 150.9 128.5 42.7 17.7

102.8 112.0 135.0 135.0 145.8 126.1 43.0 17.9

120.4 84.3 112.8 118.5 119.3 111.1 36.1 15.2

132.7 151.1 124.0 123.9 105.1 127.4 46.0 16.7

136.4 126.2 154.7 127.1 173.2 143.5 47.0 20.2

135.0 115.4 149.1 138.3 130.4 133.6 33.7 12.3

139.6 127.9 151.1 143.7 110.5 134.6 40.6 15.9

125.3 160.2 130.4 152.4 165.1 146.7 39.8 17.9

145.7 101.8 149.5 113.3 151.8 132.4 50.0 23.2


Página 120

138.6 139.0 131.9 140.2 141.1 138.2 9.2 3.6

110.1 114.6 165.1 113.8 139.6 128.6 55.0 23.5

145.2 101.0 154.6 120.2 117.3 127.7 53.6 21.8

125.9 135.3 121.5 147.9 105.0 127.1 42.9 16.0

129.7 97.3 130.5 109.0 150.5 123.4 53.2 20.7

123.4 150.0 161.6 148.4 154.2 147.5 38.2 14.4

144.8 138.3 119.6 151.8 142.7 139.4 32.2 12.1

Los cálculos y gráficas se hicieron utilizando

el paquete MINITAB y se muestran a continuación.

Las cartas de control quedan como sigue:

191715131197531

150

140

130

120

110

Sample

Sa

mp

le M

ea

n

__X=130.88

UC L=154.45

LC L=107.31

191715131197531

80

60

40

20

0

Sample

Sa

mp

le R

an

ge

_R=40.86

UC L=86.40

LC L=0

Xbar-R Chart of X11, ..., X15

Fig. 3.7 Cartas de control iniciales

El proceso se observa en control estadístico, con estos límites de control calculados, se continúa

corriendo el proceso para otros 10 datos con el comportamiento siguiente:

X11 X12 X13 X14 X15 Medias Rangos Desv. Est.

131.0 184.8 182.2 143.3 212.8 170.82 81.8 33.2801


Página 121

181.3 193.2 180.7 169.1 174.3 179.72 24.1 9.0461

154.8 170.2 168.4 202.7 174.4 174.1 47.9 17.5943

157.5 154.2 169.1 142.2 161.9 156.98 26.9 9.9693

216.3 174.3 166.2 155.5 184.3 179.32 60.8 23.222

186.9 180.2 149.2 175.2 185.0 175.3 37.7 15.2797

167.8 143.9 157.5 171.8 194.9 167.18 51 18.8798

178.2 186.7 142.4 159.4 167.6 166.86 44.3 17.1516

162.6 143.6 132.8 168.9 177.2 157.02 44.4 18.3454

172.1 191.7 203.4 150.4 196.3 182.78 53 21.5062

28252219161310741

180

165

150

135

120

Sample

Sa

mp

le M

ea

n

__X=144.26

UC L=169.04

LC L=119.47

28252219161310741

80

60

40

20

0

Sample

Sa

mp

le R

an

ge

_R=43.0

UC L=90.9

LC L=0

1

11

1

1

1

1

1


Fig. 3.8 Cartas de control con 10 puntos adicionales del proceso

Suponiendo que se identificaron las causas asignables responsables de los puntos fuera de control

identificados en la carta de medias y que se hicieron ajustes al proceso para corregirlo, se tomaron

otros diez datos con los resultados siguientes:

X11 X12 X13 X14 X15 Medias Rangos

131.5 143.1 118.5 103.2 121.6 123.6 39.9

111.0 127.3 110.4 91.0 143.9 116.7 52.9

129.8 98.3 134.0 105.1 133.1 120.1 35.7

145.2 132.8 106.1 131.0 99.2 122.9 46.0

114.6 111.0 108.8 177.5 121.6 126.7 68.7


Página 122

125.2 86.4 64.4 137.1 117.5 106.1 72.7

145.9 109.5 84.9 129.8 110.6 116.1 61.0

123.6 114.0 135.4 83.2 107.6 112.8 52.2

85.8 156.3 119.7 96.2 153.0 122.2 70.5

107.4 148.7 127.4 125.0 127.2 127.1 41.3


28252219161310741

160

140

120

100

Sample

Sa

mp

le M

ea

n

__X=127.06

UC L=153.18

LC L=100.95

28252219161310741

100

75

50

25

0

Sample

Sa

mp

le R

an

ge

_R=45.3

UC L=95.7

LC L=0


Fig. 3.9 Cartas de control con causas identificadas y eliminadas de puntos anormales

Ejemplo 3.3 Se considera otro ejemplo con los datos individuales siguientes, procesados con el

paquete Minitab:

HORA X1 X2 X3 X4 X5 Medias Rangos

1 -30 50 -20 10 30 8 80

2 0 50 -60 -20 30 0 110

3 -50 10 20 30 20 6 80

4 -10 -10 30 -20 50 8 70

5 20 -40 50 20 10 12 90

6 0 0 40 -40 20 4 80

7 0 0 20 -20 -10 -2 40

8 70 -30 30 -10 0 12 100

9 0 0 20 -20 10 2 40


Página 123

10 10 20 30 10 50 24 40

11 40 0 20 0 20 16 40

12 30 20 30 10 40 26 30

13 30 -30 0 10 10 4 60

14 30 -10 50 -10 -30 6 80

15 10 -10 50 40 0 18 60

16 0 0 30 -10 0 4 40

17 20 20 30 30 -20 16 50

18 10 -20 50 30 10 16 70

19 50 -10 40 20 0 20 60

20 50 0 0 30 10 18 50


191715131197531

40

20

0

-20

Sample

Sa

mp

le M

ea

n

__X=10.9

UC L=47.53

LC L=-25.73

191715131197531

150

100

50

0

Sample

Sa

mp

le R

an

ge

_R=63.5

UC L=134.3

LC L=0


Fig. 3.10 Cartas de control iniciales

Se realizan pruebas de normalidad a las medias y a los rangos para ver si se tienen un proceso

normal:


Página 124

3020100-10

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

Medias

Pe

rce

nt

Mean 10.9

StDev 8.065

N 20

AD 0.355

P-Value 0.425

Probability Plot of MediasNormal

Fig. 3.11 a y b Prueba de normalidad en medias y rangos de un proceso estable

e

120100806040200

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

Rangos

Pe

rce

nt

Mean 63.5

StDev 22.54

N 20

AD 0.478

P-Value 0.210

Probability Plot of RangosNormal

Por las pruebas de normalidad de rangos y medias, se deduce que el proceso está en Control

Estadístico (en ambos casos el P value es mayor a 0.05).


Página 125

Ejemplo 3.4 Para elaborar la carta, inicialmente se toman al menos 25 subgrupos con

muestras de cinco partes cada cierto periodo (por ejemplo cada hora).

Se toman varios datos de hilos y se construye una carta de medias – rangos con m =

subgrupos, donde el rango se calcula tomando el valor mayor menos el valor menor del

subgrupo, con n = 5.

Por ejemplo:

Variables

Subgrupo

1

Subgrupo

2

Subgrupo

m

X1 2 5 3

X2 4 3 4

X3 3 6 1

X4 5 7 5

X5 1 4 2

09:00 a.m. 10:00 a.m. 11:00 a.m.

Media 3 5 3

Rango 4 4 4

Se obtiene una media de medias X y un rango promedio R, para proceder a determinar los

límites de control como sigue:

LSC = X + 0.577x R

LIC = X - 0.577x R

Para el caso de los rangos, la línea central es R los límites de control para el rango son:

LSC = 2.114x R

LIC = 0

Se identifican situaciones fuera de control, se investigan las causas y se toman acciones

preventivas para prevenir la reincidencia y se recalculan los límites de control futuros.


Página 126

Sample

Sa

mp

le M

ea

n

2018161412108642

602

600

598

__X=600.23

UC L=602.474

LC L=597.986

Sample

Sa

mp

le R

an

ge

2018161412108642

8

6

4

2

0

_R=3.890

UC L=8.225

LC L=0

11

Xbar-R Chart of Supp2

Figura 3.12 Carta de control X-R fuera de control

Después de identificar las causas de las situaciones fuera de control en los subgrupos 2 y 14 y

tomando acciones preventivas para evitar la reincidencia, se eliminan los subgrupos fuera de

control y se recalculan los límites de control.

Sample

Sa

mp

le M

ea

n

18161412108642

602

601

600

599

598

__X=599.938

UC L=602.247

LC L=597.629

Sample

Sa

mp

le R

an

ge

18161412108642

8

6

4

2

0

_R=4.003

UC L=8.465

LC L=0

Xbar-R Chart of Supp2

Figura 3.13 Carta de control de medias rangos X-R estable

.

Ejercicio Hacer una carta X-R utilizando las fichas de ejemplo por equipos.


Página 127

F

EC

HA

DE

TE

RM

INO

Cp

. :

CP

K:

M

UE

ST

RA

FR

EC

UE

NC

IAT

IPO

DE

EV

AL

UA

CIÓ

N

% Z

Su

p.:

%

Z I

nf.

:

% N

C:

12

34

56

78

910

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

FECHA

HORA

1n

A2

D4

D3

d2

B4

B3

22

1.8

83.2

70

1.1

33.2

70

33

1.0

22.5

70

1.7

02.5

70

44

0.7

32.2

80

2.0

62.2

70

55

0.5

82.1

10

2.3

32.0

90

X

R

SU

MA

CA

US

AS

DE

NO

RE

GIS

TR

O

R RANGOS

C

ON

ST

AN

TE

S

LECTURAS

INIC

IAL

ES

PROMEDIOSx

L.S

.C.

RL

.I.C

. R

XL

.S.C

.xL

.I.C

.xR

UN

IDA

DE

SN

OM

INA

LL

.S.E

.L

.I.E

.

G

RA

FIC

A D

E C

ON

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DE

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FE

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DE

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RT

EN

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PA

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RE

AO

PE

RA

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NM

AQ

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AC

AR

AC

TE

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TIC

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AL

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AD

OR

IN

ST

RU

CC

ION

ES

1.-

En

cie

rre

en

un

cír

culo

los

pa

tro

ne

s a

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les

de

com

po

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de

los

límite

s d

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l,

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ne

s, e

tc).

2.-

In

vest

igu

e y

co

rrija

la

cau

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om

po

rta

mie

nto

. S

i

no

es

po

sib

le ll

am

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sup

erv

iso

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In

g.

de

Ma

nu

fact

ura

.

3.-

Re

gis

tre

la (

s) c

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sa (

s)

de

l co

mp

ort

am

ien

to e

n la

bitá

cora

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e la

grá

fica

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sí c

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s

acc

ion

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pro

pu

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as

pa

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orr

eg

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falla

.

4.-

In

diq

ue

en

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ltim

o

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gló

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just

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el

sub

gru

po

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las

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po

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de

gra

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Util

ice

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A)

Fin

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B)

Fa

lta d

e m

ate

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l

C)

Aju

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D)

Ca

mb

io d

e m

od

elo

E)

Fin

de

tu

rno

F)

Otr

o (

ind

ica

r)


Página 128

Capacidad o habilidad del proceso

Una vez que se tiene un proceso en control estadístico, se puede estimar su capacidad o habilidad,

tomando como referencia la desviación estándar del proceso estimada .

Ejemplo 3.3 (continuación..)

= 2d

R =

326.2

023.0 = 0.0099

Donde el valor de d2 se encuentra en las tablas de constantes para una n=5. Si la especificación de

los anillos de pistones es de 74.000 0.05 mm, se tienen como límites inferior y superior de

especificaciones los siguientes:

LIE = 73.950

LSE = 74.0500

Los límites de tolerancia naturales del proceso inferior y superior (LTNI y LTNS) se encuentran a 3-

sigma del proceso por abajo y por arriba de la media del proceso, o sea en:

LTNS = X + 3 = 74.001 + 3 (0.0099) = 74.0307

LTNI = X - 3 = 74.001 - 3 (0.0099) = 73.9713

LIE LTNI MEDIA LTNS LSE

Fig. 3.14 Localización de Límites de especificaciones y naturales

Se observa que los límites de tolerancia naturales del proceso se encuentran dentro de los límites

de especificación, por tanto en principio no se observa que haya partes fuera de especificaciones.


Página 129

Otra forma de expresar lo anterior es con el índice de habilidad potencial Cp (o PCR) siendo:

Cp = 6

LIELSE (3.12)

Cp = 68.105984.0

10.0

)0099.0(6

95.7305.74

Se pueden presentar tres casos:

Caso 1. Si Cp es menor que 1, implica que la banda entre los límites de tolerancia naturales es

mayor que la banda permitida por los límites de especificación.

LTNI LIE LSE LTNS

Caso 2. Si Cp es igual a 1, implica que las bandas para los límites de tolerancia natural y de

especificaciones coinciden (aunque para el caos de 3-sigma aun hayan 2700 ppm fuera de

especificaciones).

LIE LSE

LNTI LNTS

Caso 3. Si Cp es mayor que 1, implica que la banda entre los límites de tolerancia natural del

proceso, es menor que la banda permitida por las especificaciones.


Página 130

LIE LTNI LTNS LSE

La fracción de la banda de las especificaciones utilizada por el proceso se estima como sigue:

CR = (1 / Cp) 100% (3.13)

CR = (1 / 1.68) 100% = 59.2%

Es decir que el proceso utiliza aproximadamente el 60% de la banda especificada.

Se puede estimar la fracción de anillos no conformes producidos, con ayuda de la distribución

normal, como sigue:

p = P { x < 73.950 } + P { x > 74.001 }

=

0099.0

001.74050.74

0099.0

001.74950.73

= (-5.15) + 1 - (4.04)

0 + 1 – 0.99998

0.00002

Por lo anterior alrededor de 0.002% o 20 partes por millón (ppm) de los anillos producidos estarán

fuera de especificaciones.


Página 131

Ejemplo 3.2 (continuación...). Para la carta de control de las medias, después de haber eliminado

las causas especiales y tomado acciones para prevenir su recurrencia, se tiene el cálculo de

habilidad como sigue (considerando que los límites de especificación son 85 y 175):

1801601401201008060

LSL USL

LSL 85

Target *

USL 175

Sample Mean 127.063

Sample N 150

StDev (Within) 19.4626

StDev (O v erall) 19.8965

Process Data

C p 0.77

C PL 0.72

C PU 0.82

C pk 0.72

Pp 0.75

PPL 0.70

PPU 0.80

Ppk 0.70

C pm *

O v erall C apability

Potential (Within) C apability

PPM < LSL 26666.67

PPM > USL 6666.67

PPM Total 33333.33

O bserv ed Performance

PPM < LSL 15338.42

PPM > USL 6888.71

PPM Total 22227.13

Exp. Within Performance

PPM < LSL 17253.10

PPM > USL 7991.57

PPM Total 25244.67

Exp. O v erall Performance

Within

Overall

Process Capability of X11, ..., X15

Fig. 3.15 Capacidad de proceso del ejemplo 3.2


Página 132

Ejemplo 3.3. Para las cartas X-R se tiene el cálculo de la capacidad o habilidad del proceso, una vez

estable (considerando que los límites de especificación son -80 y +80):

60300-30-60

LSL USL

LSL -80

Target *

USL 80

Sample Mean 10.9

Sample N 100



Process Data

C p 0.98

C PL 1.11

C PU 0.84

C pk 0.84

Pp 1.06

PPL 1.20

PPU 0.91

Ppk 0.91

C pm *



PPM < LSL 0.00

PPM > USL 0.00

PPM Total 0.00


PPM < LSL 434.76

PPM > USL 5684.82

PPM Total 6119.59


PPM < LSL 157.38

PPM > USL 3083.22

PPM Total 3240.59


Within

Overall

Process Capability of X1, ..., X5

Fig. 3.16 Capacidad de proceso del ejemplo 3.3

Para el cálculo de otros índices que toman en cuenta la posición de la media, revisar el capítulo de

capacidad del proceso o el procedimiento de cartas X –R.

REVISIÓN O RE-CÁLCULO DE LA LÍNEA CENTRAL Y LÍMITES DE CONTROL

Los límites de control calculados como límites preliminares, deben ser revisados en forma

periódica que puede ser por semana, mes o cada 25, 50 o 100 puntos dependiendo del proceso en

particular.

Lo recomendable en cada revisión es tomar las acciones necesarias para que la media del proceso

X se acerque cada vez más a la media de las especificaciones (en caso de ser bilaterales) o se

aleje lo más posible de la especificación (en caso de ser unilateral).


Página 133

En cada carta de control X o R es necesario identificar las causas especiales que originen

condiciones fuera de control, tomar acciones correctivas para prevenir su reincidencia, eliminar

esos puntos tanto en la carta X como en la carta R y recalcular los límites de control, para usarse

en el control futuro del proceso.

LÍMITES DE CONTROL, DE ESPECIFICACIÓN Y DE TOLERANCIA NATURAL

Es importante hacer notar que no existe ninguna relación matemática entre los límites de

especificación y los de control o los de tolerancia natural.

Los límites de especificación son establecidos externamente al proceso por ingenieros de

manufactura, el cliente o por los diseñadores del producto.

SUBGRUPOS RACIONALES

Para el caso de la carta de medias-rangos, los subgrupos se seleccionan de tal forma de minimizar

la variabilidad entre muestras individuales, observando sólo su variabilidad aleatoria y

maximizando la posibilidad de detectar corridas en la media del proceso en función del tiempo.

De esta forma la carta X monitorea la variabilidad entre subgrupos respecto al tiempo y la carta

R monitorea la variabilidad interna entre muestras en un tiempo dado.

CAMBIO DE TAMAÑO DE MUESTRA

Cuando el proceso ya mostró estabilidad durante un periodo largo de tiempo, es posible reducir el

esfuerzo y costo de control a través de reducir el tamaño de muestra. Los límites de control se

pueden recalcular sin tomar muestras adicionales como sigue:

antR rango promedio para el tamaño de subgrupo anterior

nuevoR rango promedio para el tamaño de subgrupo nuevo

nant = tamaño de subgrupo anterior

nnuevo = tamaño de subgrupo nuevo


Página 134

d2 ant = factor d2 para el tamaño de subgrupo anterior

d2 nuevo = factor d2 para el tamaño de subgrupo nuevo

Los nuevos límites de control para la carta X son (seleccionando A2 en base al nuevo tamaño de

subgrupo nnueva , la línea central no se cambia):

LSCX = X + A2 [d2 nuevo / d2 ant ] antR (3.14)

LICX = X - A2 [d2 nuevo / d2 ant ] antR

Para el caso de la carta R los nuevos límites de control son (seleccionando D3 y D4 para el nuevo

tamaño de muestra nnueva):

LSCR = D4 [d2 nuevo / d2 ant ] antR (3.15)

LCR = nuevoR [d2 nuevo / d2 ant ] antR

LICR = max { 0, D3 [d2 nuevo / d2 ant ] antR }

Si en Ejemplo 3.1 de trabajo se quisiera cambiar de n=5 a n=3, se tendría:

De la tabla de constantes se tiene: d2 ant. = 2.326, d2 nueva = 1.693, A2 nueva = 1.023, por tanto los

límites nuevos son:

LSCX = 74.001 + (1.023) [ 1.693 / 2.326 ] (0.023) = 74.018

LICX = 74.001 - (1.023) [ 1.693 / 2.326 ] (0.023) = 73.984

Para la carta R, de la tabla de constantes para n=3 se tiene D3 = 0, D4 = 2.578, por tanto:

LSCR = (2.578) ) [ 1.693 / 2.326 ] (0.023) = 0.043

LICR = (0) ) [ 1.693 / 2.326 ] (0.023) = 0.0

LCR = [ 1.693 / 2.326 ] (0.023) = 0.017

LIM.SUP.NVO

LIMITES

ANTERIORES CARTA X


Página 135

LIM.INF.NVO.

LIMITE SUP. ANT.

LIMITE SUP.NVO.

CARTA R

0

Fig. 3.17 Revisión de límites de control cambiando de n=5 a 3

Como se puede observar el efecto de reducir el tamaño de muestra hace que se incremente el

ancho de los límites de control en la carta X (porque n

es más pequeño con n=5 que con n=3) y

se reduzca la media de R y su límite superior en la carta R.

La curva característica de operación

La habilidad de las cartas de control RX para detectar corrimientos en la media del proceso es

indicada por su curva característica de operación (OC). Su determinación se muestra a

continuación.

Si en la carta para X se conoce la desviación estándar del proceso y es constante, cuando la

media del proceso 0 cambia a otro valor 1 = 0 + k , la probabilidad de no detectar el cambio en

la primera muestra subsecuente es el riesgo , donde:

= P { LIC <= X <= LSC 1 = 0 + k } (3.16)

dado que X N (, 2/n) y que los límites de control son:

LSC = 0 + L / n (3.17)

LIC = 0 - L / n


Página 136

La probabilidad de que un punto de X i caiga dentro de límites de control sabiendo que la media

del proceso ya es 1, es igual a la probabilidad de que el punto se encuentre abajo del límite

superior (LSC) menos la probabilidad de que se encuentre abajo del límite inferior de control

(LIC). Considerando la desviación Estándar de las medias, o sea:

+

LSC ( ZLSC, x)

iX

LC

( ZLIC, x)

LIC

-

Fig. 3.18 Cálculo del error Beta o tipo II

Entonces =

n

kLSC

/

)( 0

-

n

kLIC

/

)( 0

=

n

knL

/

)(/ 00

-

n

knL

/

)(/ 00

(3.18)

Donde es la distribución normal acumulativa. La expresión anterior se reduce a:

= ( L – k n ) - ( - L – k n ) (3.19)

Ejemplo 3.4 Para una carta RX con L=3 (límites a 3-sigma de medias), tamaño de muestra n=5,

y se desea determinar el corrimiento a 1 = 0 + 2 en la primera muestra subsecuente al

corrimiento de la media del proceso, se tiene:

= ( 3 – 2 5 ) - ( - 3 – 2 5 )

= (-1.47) - (-7.37)


Página 137

= 0.0708

Este es el riesgo o la probabilidad de no detectar tal corrimiento. La probabilidad de sí detectarlo

es 1- =

= 1 – 0.0708 = 0.9292.

Con las fórmulas anteriores se construyen las curvas características de operación para diferentes

valores de n en función de k.

Si n=5 y el corrimiento es de +1, de las curvas OC se tiene que = 0.75 y la probabilidad de

detectar el corrimiento en la segunda muestra se calcula como (1- ) = 0.19, y así sucesivamente.

La longitud de la corrida media es el número esperado de muestras antes de que el corrimiento

sea detectado, se denomina ARL o :

ARL = 1

1 (3.20)

En este caso ARL = 1 / 0.25 = 4. Es decir que el se requieren tomar cuatro muestras antes de

detectar un corrimiento de 1.0 con n = 5.

Para construir la curva OC para la carta de rangos, se utiliza la distribución del rango relativo

W=R/. Si el valor de la desviación estándar cuando el proceso está en control es 0, entonces la

curva OC muestra la probabilidad de no detectar un corrimiento a un nuevo valor 1, donde 1>0

, en la primera muestra después del corrimiento. Se grafica contra = 1/0.

Por ejemplo si = 2 con n=5, sólo se tienen una probabilidad del 40% de detectar este corrimiento

en cada muestra subsecuente. Por tanto la carta R tiene poca sensibilidad de detectar pequeños

corrimientos en sigma, para cual se debe usar la carta S con n>10.

LONGITUD DE CORRIDA MEDIA

La longitud de corrida media para la carta de Shewhart cuando el proceso está en control es:


Página 138

ARL = 1 / P ( un punto fuera de control) = ARL0 = 1 / (3.21)

Cuando el proceso está fuera de control es:

ARL1 = 1 / ( 1 - ) (3.22)

De las gráficas de ARL anexas, se observa que para detectar un corrimiento de 1.5 con n=3, se

requiere un ARL1 = 3. Se puede reducir el ARL1 a 1 si se incrementa la n=16.

3.3 CARTAS DE CONTROL PARA X y S

Estas cartas de control son recomendadas cuando:

1. El tamaño de muestra es moderadamente grande n>10 o 12 (donde el rango pierde eficiencia

por no tomar en cuenta valores intermedios).

2. El tamaño de muestra es variable.

Su construcción es similar a la de la carta de medias-rangos, excepto que en lugar del rango R en

cada subgrupo se calcula la desviación estándar S.


Página 139

191715131197531

40

20

0

-20

Sample

Sa

mp

le M

ea

n

__X=10.9

UC L=46.91

LC L=-25.11

191715131197531

60

45

30

15

0

Sample

Sa

mp

le S

tDe

v

_S=25.23

UC L=52.71

LC L=0

Xbar-S Chart of X1, ..., X5

Figura 3.19 Ejemplo de carta X-S

S2 es un estimador insesgado de la varianza poblacional 2 sin embargo S no es un estimador

insesgado de . Si la distribución es normal, entonces S estima a c4 donde c4 es una constante

que depende del tamaño de muestra n. Además la desviación estándar de S es 41 c .

)2/)1((

)2/(

1

22/1

4

n

n

nc (3.18)

CASO DE n CONSTANTE

Con esta información se pueden establecer los límites de control para la carta X y S, cuando se

conoce el valor de dado que existe un historial.

Para la carta S se tiene: Para la carta X se tiene:

LSCs = c4 + 3 41 c = B6 LSCX = + A (3.20)


Página 140

LCs = c4 LC =

LICs = c4 - 3 41 c = B5 LICX = - A

Los valores para las constantes se encuentran tabuladas para diferentes valores de n en la tabla de

constantes.

En el caso de que no se conozca la desviación estándar de la población, se puede estimar

utilizando diversas muestras m con datos históricos, donde se obtenga la desviación estándar en

cada una de ellas y se promedien.

m

i

iSm

S1

1 (3.21)

4

__

c

S (3.22)

Como el estadístico S /c4 es un estimador insesgado de , los parámetros de la carta serán los

siguientes:

LSCs = 2

4

4

13 cc

SS = B4 S (3.23)

LCs = S

LICs = 2

4

4

13 cc

SS = B3 S

Para el caso de la carta X , cuando S /c4 se una para estimar los límites de control para esta

carta son:


Página 141

LSCx = X + nc

S

4

3 = X + A3 S (3.24)

LCx = X

LICx = X - nc

S

4

3 = X - A3 S

Todas las constantes c4, A’s y B’s se encuentran tabuladas en función de n en la tabla de

constantes, como sigue:

Tabla 3.2 Constantes para límites de control en cartas X-S

n c4 A A3 B3 B4 B5 B6 . 5 0.94 1.342 1.427 0 2.089 0 1.964

6 0.9515 1.225 1.287 0.03 1.97 0.029 1.874

7 0.9594 1..134 1.182 0.118 1.882 0.113 1.806

8 0.965 1.061 1.099 0.185 1.815 0.179 1.751

9 0.9693 1 1.032 0.239 1.761 0.232 1.707

10 0.9727 0.949 0.975 0.284 1.716 0.276 1.669

11 0.9754 0.905 0.927 0.321 1.679 0.313 1.637

12 0.9776 0.866 0.886 0.354 1.646 0.346 1.61

13 0.9794 0.832 0.85 0.382 1.618 0.374 1.585

14 0.981 0.802 0.817 0.406 1.594 0.399 1.563

15 0.9823 0.775 0.789 0.428 1.572 0.421 1.544

16 0.9835 0.75 0.763 0.448 1.552 0.44 1.526

17 0.9845 0.728 0.739 0.466 1.534 0.458 1.511

18 0.9854 0.707 0.718 0.482 1.518 0.475 1.496

19 0.9862 0.688 0.698 0.497 1.503 0.49 1.483

20 0.9869 0.671 0.68 0.51 1.49 0.504 1.47

21 0.9876 0.655 0.663 0.523 1.477 0.516 1.459

22 0.9882 0.64 0.647 0.534 1.466 0.528 1.448

23 0.9887 0.626 0.633 0.545 1.455 0.539 1.438

24 0.9892 0.612 0.619 0.555 1.445 0.549 1.429

25 0.9896 0.6 0.606 0.565 1.435 0.559 1.42


Página 142

CASO DE n VARIABLE

En el caso de tamaño de muestra variable, se utiliza el promedio ponderado de las medias y de las

desviaciones estándar como sigue:

m

i

i

m

i

ii

n

Xn

X

1

1 (3.25)

2/1

1

2)1(

m

i

ii

mni

Sn

S (3.26)

Ejemplo 3.4 Para una carta X-S con límites variables, se tomaron los datos siguientes, corriendo en

Minitab:

Datos Muestra Datos Muestra Datos Muestra Datos Muestra

74.030 1 74.000 7 73.994 14 74.009 21

74.002 1 73.985 8 74.000 14 74.005 21

74.019 1 74.003 8 73.984 14 73.996 21

73.992 1 73.993 8 74.012 15 74.004 22

74.008 1 74.015 8 74.014 15 73.999 22

73.995 2 73.998 8 73.998 15 73.990 22

73.992 2 74.008 9 74.000 16 74.006 22

74.001 2 73.995 9 73.984 16 74.009 22

73.998 3 74.009 9 74.005 16 74.010 23

74.024 3 74.005 9 73.998 16 73.989 23

74.021 3 73.998 10 73.996 16 73.990 23

74.005 3 74.000 10 73.994 17 74.009 23

74.002 3 73.990 10 74.012 17 74.014 23

74.002 4 74.007 10 73.986 17 74.015 24

73.996 4 73.995 10 74.005 17 74.008 24

73.993 4 73.994 11 74.006 18 73.993 24

74.015 4 73.998 11 74.010 18 74.000 24

74.009 4 73.994 11 74.018 18 74.010 24

73.992 5 73.995 11 74.003 18 73.982 25


Página 143

74.007 5 73.990 11 74.000 18 73.984 25

74.015 5 74.004 12 73.984 19 73.995 25

73.998 5 74.000 12 74.002 19 74.017 25

74.014 5 74.007 12 74.003 19 74.13 25

74.009 6 74.000 12 74.005 19

73.994 6 73.996 12 73.997 19

73.997 6 73.983 13 74.000 20

73.985 6 74.002 13 74.010 20

73.995 7 73.998 13 74.013 20

74.006 7 74.006 14 73.998 21

73.994 7 73.967 14 74.001 21

252321191715131197531

74.02

74.01

74.00

73.99

73.98

Sample

Sa

mp

le M

ea

n

__X=74.0009

UCL=74.02046

LCL=73.98134

252321191715131197531

0.024

0.018

0.012

0.006

0.000

Sample

Sa

mp

le S

tDe

v

_S=0.00736

UCL=0.02403

LCL=0

Xbar-S Chart of Datos

Tests performed with unequal sample sizes

Fig. 3.20 Ejemplo de carta X-S con límites variables


Página 144

Ejemplo 3.5 Otro ejemplo con n variable, la X = 74.001 y la S = 0.0098, por tanto los límites de

control son:

LSCX = 74.015

LCX = 74.001

LICX = 73.987

Para la carta S

LSCS = 0.020

LCS = 0.0098

LICS = 0

Como método alterno para n variable se puede utilizar la n si no hay mucha variación entre los

diferentes tamaños de muestra (dentro de n 25%).

ESTIMACIÓN DE

El valor de la desviación estándar puede ser estimado del valor de S como sigue:

4c

S

Para el ejemplo:

4c

S = 0.0094 / 0.94 = 0.01, tomando el valor de c4 para n=5.

Existe una variante de las cartas de medias-desviación estándar denominadas cartas de medias-

varianza.


Página 145

3.4 CARTAS PARA LECTURAS INDIVIDUALES

Existen muchas situaciones donde el tamaño de muestra es n =1, por ejemplo:

1. Cuando hay inspección automática de piezas individuales.

2. La tasa de producción es muy baja y no es inconveniente tomar muestras de más de una pieza.

3. Las mediciones entre unidades muestra difieren muy poco (sólo por errores de medición de

laboratorio) como en procesos químicos.

4. En plantas de proceso como las de papel, el espesor de los acabados tiene una variabilidad

muy baja a través del rollo.

En tales situaciones se utiliza la carta de control por lecturas individuales. Los rangos móviles se

empiezan a calcular a partir de la segunda muestra como iMR = 1 ii XX .

Para este caso, los límites de control para la carta X son:

LSCx = 2

3d

MRX

LCx =

__

X (3.27)

LICx = 2

3d

MRX

n = 2

Ejemplo 3.6 Se toman varios datos de viscosidades y se construye una carta de lecturas

individuales, donde el rango se calcula tomando cada dos valores consecutivos, por tanto el valor

de n = 2 y habrá (m – 1) rangos en total. Con m = número de subgrupos.

Lote Viscocidad

1 33.75

2 33.05

3 34.00

4 33.81


Página 146

5 33.46

6 34.02

7 33.68

8 33.27

9 33.49

10 33.20

11 33.62

12 33.00

13 33.54

14 33.12

15 33.84

151413121110987654321

34.5

34.0

33.5

33.0

32.5

Observation

In

div

idu

al

Va

lue

_X=33.523

UC L=34.802

LC L=32.245

151413121110987654321

1.6

1.2

0.8

0.4

0.0

Observation

Mo

vin

g R

an

ge

__MR=0.481

UC L=1.571

LC L=0

I-MR Chart of Viscocidad

Fig. 3.21 Carta de lecturas individuales o rango móvil (I-MR)

El proceso está en control estadístico.

Ejemplo 3.7: Se toman varios datos de edades y se construye una carta de lecturas

individuales, donde el rango se calcula tomando cada dos valores consecutivos, por tanto

el valor de n = 2 y habrá (m – 1) rangos en total. Con m = número de valores individuales.


Página 147

Por ejemplo:

Valores individuales Rango

23 -

15 8

11 4

24 13

38 14

19 19

Al final se hace un promedio de los valores individuales X y un promedio de rangos

móviles R y los límites de control para la carta I-MR se calculan con las fórmulas

siguientes:

Para la carta I: )*66.2( RXLSCx )*66.2( RXLICx

y para la carta R: 0LICr RLSCr *27.3

Observation

In

div

idu

al

Va

lue

1009080706050403020101

601

600

599

598

_X=599.548

UC L=601.176

LC L=597.920

Observation

Mo

vin

g R

an

ge

1009080706050403020101

2.4

1.8

1.2

0.6

0.0

__MR=0.612

UC L=2.000

LC L=0

1

1

1

1

1

I-MR Chart of Supp1

Figura 3.22 Carta de control I-MR. El proceso no está en control estadístico.

Ejercicio Hacer una carta I-MR utilizando las fichas de ejemplo por equipos.


Página 148

F

EC

HA

DE

IN

ICIO

FE

CH

A D

E T

ER

MIN

O

Cp.

:C

PK

:

FR

EC

UE

NC

IAT

IPO

DE

EV

ALU

A.

% Z

Sup.:

% Z

Inf.

:

% N

C:

12

34

56

78

910

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

FECHA

HORA

XE

2D

2D

3

D 4

R2.6

71.1

30

3.2

7

RANGOS

CO

NS

TA

NT

ES

VALORES

INIC

IALE

S

Rx LECTURAS

L.I.C

. R

T. M

UE

ST

RA

UN

IDA

DE

SN

OM

INA

LL.S

.E.

L.I.E

.X

L.S

.C.x

L.I.C

.xR

L.S

.C. R

GR

AF

ICA

DE

CO

NT

RO

L D

E L

EC

TU

RA

S IN

DIV

IDU

AL

ES

No.

DE

GR

AF

ICA

NO

MB

RE

DE

PA

RT

EN

o. D

E P

AR

TE

ÁR

EA

OP

ER

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IÓN

MA

QU

INA

CA

RA

CT

ER

ÍST

ICA

CA

LIB

RA

DO

R

IN

ST

RU

CC

ION

ES

1.-

Enci

erre

en u

n c

írcu

lo lo

s pat

rones

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tam

iento

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A)

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Fal

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Aju

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línea

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Cam

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de

mod

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Fin

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turn

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F)

Otr

o (indic

ar)

IN

ST

RU

CC

ION

ES

1.-

Enci

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írcu

lo lo

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F)

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ar)


Página 149

3.5 SELECCIÓN ENTRE CARTAS POR VARIABLES Y POR ATRIBUTOS

Las cartas por atributos tiene la ventaja que consideran varias características a la vez clasificando

la unidad como conforme o no conforme, si no cumple alguna de esas características. Por otra

parte si esas características se controlan como variables, debe llevarse una carta de control para

cada una de esas características, lo cual es más laborioso, otra alternativa es el C.E.P. multivariado.

Las cartas por variables proporcionan mayor información del proceso que las de atributos, tal

como la media del proceso y su variabilidad, también proporcionan información para realizar

estudios de capacidad de los procesos.

Las cartas por variables permiten tomar acciones cuando se presentan situaciones fuera de

control, antes de que se produzcan artículos no conformes, lo que no sucede con las cartas por

atributos hasta que el proceso genere más disconformes.

LIE 1 2 3 LSE

Reacción de carta X-R Reacción de carta p

Fig. 3.23 Comparación de sensibilidad entre cartas de control

Tal vez la ventaja más importante de la carta X-R es que proporciona un indicador de inicio de

problemas y permite al personal operativo tomar acciones correctivas antes que se produzcan

defectivos realmente, de esta forma las cartas X-R son indicadores guía de falla, mientras que las

cartas p (o c o u) no reaccionan a menos que el proceso haya cambiado tanto que se produzcan

más defectivos.

En la figura, cuando la media del proceso esta en 1 se producen pocas no conformidades, si la

media del proceso se corre hacia arriba, cuando llegue a 2 la carta X-R habrá mostrado un patrón

anormal o puntos fuera de control para tomar acciones correctivas, mientras que la carta p no

reaccionará hasta que la media del proceso se haya recorrido hasta 3, o hasta que el número de


Página 150

unidades no conformes producidas se haya incrementado. Por tanto las cartas X-R son más

poderosas que las cartas p.

Para el mismo nivel de protección contra corrimientos del proceso, la carta p requiere un tamaño

de muestra mayor, la X-R requiere tomar mucho menos unidades aunque las mediciones toman

más tiempo. Esta consideración es importante para el caso de pruebas destructivas.

Ejemplo 3.8 Si el proceso se controla con una carta X , donde el valor medio de la característica

de calidad es 50 y la desviación estándar es 2, para límites de 3-sigma y especificaciones LIE=44 y

LSE=56, cuando el proceso está en control en el valor nominal de 50, la fracción no conforme es

0.0027.

Suponiendo que la media del proceso del proceso se corre a 52, la fracción defectiva producida

será aproximadamente 0.0202, si se desea que la probabilidad de detectar este corrimiento en la

siguiente muestra subsecuente sea del 0.50, entonces el tamaño de muestra en la carta X debe

ser tal que se cumpla que el LSC sea 52 o sea:

52)2(3

50 n

donde n=9,

Si se utiliza una carta p entonces el tamaño de muestra requerido para tener la misma

probabilidad de detectar el corrimiento es:

)1(

2

ppk

n

Con k = 3, que es el ancho de los límites de control, p = 0.0027 y es la magnitud de incremento

en fracción defectiva o sea = 0.0202 – 0.0027 = 0.0175, de esta forma,

n = 79.23 80


Página 151

Donde se observa que a menos que el costo de medir 9 muestras sea mayor que 9 veces el costo

de inspección por atributos, las carta X es más económica de aplicar.

GUÍA PARA IMPLEMENTAR CARTAS DE CONTROL

Se sugiere lo siguiente:

1. Determinar cual es la característica a controlar.

2. Seleccionar un tipo de carta de control.

3. Identificar el proceso donde se implantarán las cartas de control.

4. Tomar acciones para mejorar el proceso, como resultado de la aplicación de la carta de

control.

5. Seleccionar el sistema de colección de datos y software de C.E.P.

SELECCIÓN DE LA CARTA DE CONTROL ADECUADA

A. Se prefiere una carta por variables en las situaciones siguientes:

1. Se inicia un proceso o producto nuevo.

2. El proceso ha estado mostrando un comportamiento inconsistente en forma crónica.

3. Se requieren pruebas destructivas.

4. Se desea economizar el control cuando el proceso es estable.

5. Existen tolerancias muy cerradas u otros problemas de manufactura.

6. El operador debe decidir si ajustar el proceso o no, o cuando evaluar el ajuste.

7. Se debe presentar evidencia de estabilidad y de capacidad como en industrias reguladas.

B. Se prefiere una carta por atributos en las situaciones siguientes:

1. Los operadores controlan las causas asignables y es necesario mejorar el proceso.

2. El proceso es una operación de ensamble compleja y la calidad se evalúa por la ocurrencia de

no conformidades (computadoras, autos, etc.).

3. Es necesario un control del proceso, pero no se pueden hacer mediciones.

4. Se requiere un historial del desempeño del proceso para revisión ejecutiva.

C. Cartas de control por lecturas individuales


Página 152

1. Es inconveniente o difícil obtener más de una medición por muestra, o la repetición de

muestras sólo mostrará errores de medición de laboratorio, tal como ocurre en proceso

químicos.

2. Se cuenta con inspección automatizada de cada unidad de producto. Para estos casos también

se deben considerar las cartas de sumas acumuladas o de media móvil ponderada.

3. Los datos disponibles son muy lentos en el tiempo, por ejemplo datos contables mensuales.

3.6 APLICACIÓN DE CARTAS DE CONTROL POR VARIABLES

Algunas de las aplicaciones de las cartas de control por variables son:

1. Mejora de procesos de proveedores. Reducir su variabilidad a través de centrar su proceso y

tomar acciones correctivas.

2. Selección de equipo productivo a través de demostración de su capacidad antes de su

embarque.

3. Corridas cortas en talleres de manufactura. Se controla la desviación respecto a la media

especificada, de una característica específica de calidad para diferentes productos similares.

4. Aplicaciones no manufactureras. En estos casos se tiene que: (1) no hay especificaciones, (2)

se requiere más imaginación para aplicar las cartas de control. Se usan por ejemplo para

reducir el tiempo de proceso de las cuentas por pagar (pago de cheques).

TABLA DE CONSTANTES PARA EL CALCULO DE LIMITES DE CONTROL

Las constantes para límites de control en las cartas X-R son:

n A2 D3 D4 d2 2 1.88 0 3.267 1.128

3 1.023 0 2.574 1.693

4 0.072 0 2.282 2.059

5 0.577 0 2.115 2.326

6 0.483 0 2.004 2.534

7 0.419 0.076 1.924 2.704

8 0.373 0.136 1.864 2.847

9 0.337 0.184 1.816 2.97

10 0.308 0.223 1.777 3.078


Página 153

n c4 A A3 B3 B4 B5 B6 . 5 0.94 1.342 1.427 0 2.089 0 1.964

6 0.9515 1.225 1.287 0.03 1.97 0.029 1.874

7 0.9594 1..134 1.182 0.118 1.882 0.113 1.806

8 0.965 1.061 1.099 0.185 1.815 0.179 1.751

9 0.9693 1 1.032 0.239 1.761 0.232 1.707

10 0.9727 0.949 0.975 0.284 1.716 0.276 1.669

11 0.9754 0.905 0.927 0.321 1.679 0.313 1.637

12 0.9776 0.866 0.886 0.354 1.646 0.346 1.61

13 0.9794 0.832 0.85 0.382 1.618 0.374 1.585

14 0.981 0.802 0.817 0.406 1.594 0.399 1.563

15 0.9823 0.775 0.789 0.428 1.572 0.421 1.544

16 0.9835 0.75 0.763 0.448 1.552 0.44 1.526

17 0.9845 0.728 0.739 0.466 1.534 0.458 1.511

18 0.9854 0.707 0.718 0.482 1.518 0.475 1.496

19 0.9862 0.688 0.698 0.497 1.503 0.49 1.483

20 0.9869 0.671 0.68 0.51 1.49 0.504 1.47

21 0.9876 0.655 0.663 0.523 1.477 0.516 1.459

22 0.9882 0.64 0.647 0.534 1.466 0.528 1.448

23 0.9887 0.626 0.633 0.545 1.455 0.539 1.438

24 0.9892 0.612 0.619 0.555 1.445 0.549 1.429

25 0.9896 0.6 0.606 0.565 1.435 0.559 1.42


Página 154

4. CARTAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS 4.1 INTRODUCCIÓN

Muchas características de calidad no pueden ser representadas numéricamente, denominándose

atributos. En tales casos cada artículo completo se clasifica como conforme o no conforme a

especificaciones y/o estándares, es decir como defectivo o no defectivo, no defectuoso o

defectuoso, bueno o malo, discrepante o no discrepante.

Fig. 4.1 Cuando el producto no es funcional es no conforme, defectivo o defectuoso. Puede ser reparado o desperdicio. Para controlar productos defectivos o no conformes, se utiliza la carta de control p de fracción

defectiva o la np para el número de defectivos o de no conformes. Se aplica a productos simples

(tornillos, lápices, botellas, etc.)

Cuando más bien se controla el número de defectos o no conformidades que se observan en un

producto, se utiliza la carta de control para no conformidades o defectos c cuando la muestra es

constante o la u cuando es variable o constante. Se aplica a productos complejos (coches, TV,

cámaras de video, escritorios, refrigeradores, etc.) Un defecto o no conformidad es una

discrepancia respecto a los estándares establecidos o a las especificaciones.

Fig. 4.1 El producto puede ser funcional pero puede tener defectos o no conformidades, que pueden ser corregidas con retrabajo o no se pueden corregir y ser desperdicio.


Página 155

4.2 CARTA DE CONTROL PARA FRACCIÓN NO CONFORME - p

La fracción no conforme es la relación entre el número de artículos discrepantes entre el total de

artículos, se expresa como fracción decimal, aunque también se puede expresar en porcentaje. El

artículo puede tener varias características de calidad que son examinadas por un inspector, si el

artículo no está de acuerdo a los estándares, se le considera como defectuoso o no conforme.

La fracción defectiva o no conforme en la muestra se define como la relación entre el número de

unidades no conformes D al tamaño de muestra n, o sea:

i

i

in

Dp (4.1)

La distribución de este estadístico sigue la distribución binomial por tanto:

__

p (4.2)

n

ppp

)1(2 (4.3)

Del modelo general para la carta de control de Shewhart, si w es un estadístico que mide una

característica de calidad, con media w y varianza 2

w , los límites de control son:

LSC = w + Lw

LC = w (4.4)

LIC = w - Lw

Donde L es la distancia de la línea central hasta los límites de control, es común usar L = 3.

Por tanto los límites de control de la carta p considerando L = 3 son:


Página 156

LSCp = n

ppp

)1(3

______

LCp = __

p (4.5)

LICp = n

ppp

)1(3

______

Durante la operación, se toman muestras de n unidades, se calcula la fracción defectiva ip y se

grafíca en la carta, mientras no se observe ningún patrón anormal y ip se localice dentro de

límites de control, se puede concluir que el proceso está en control, de otra forma, se concluirá

que la fracción no conforme se ha desplazado de su valor original y el proceso se encuentra fuera

de control.

Cuando la fracción defectiva del proceso es desconocida, se estima de los datos observados en m

muestras iniciales, cada una de tamaño n , por lo general se toman 20 a 25 de estas. Así si Di son

unidades no conformes en la muestra i , la fracción defectiva de la muestra i - ésima estará dada

como:

pi = Di / n i = 1, 2, 3,....., m (4.6)

y el promedio de las fracciones individuales no conformes cuando p es desconocida es:

m

p

mn

D

p

m

i

i

m

i

i 11 (4.7)

El estadístico p estima la fracción desconocida p, y los límites preliminares de control son:

n

pppLSC p

)1(3

(4.5) anterior


Página 157

pLC p

n

pppLIC p

)1(3

Una vez hecha la gráfica trazando los límites anteriores, cualquier punto que se encuentre fuera

de control debe ser investigado, si se encuentra una causa asignable o especial, deben tomarse

medidas correctivas para prevenir su recurrencia, los puntos correspondientes a la situación fuera

de control se eliminan y se calculan de nuevo los límites de control preliminares.

Ejemplo 4.1 Para el llenado de cajas de concentrado de jugo de naranja de 6 oz., se inspecciona

cada caja y se inspecciona el sello para evitar fugas, se lleva una carta de control para tomar

acciones y mejorar el desempeño de la maquina selladora.

Para establecer la carta de control, se toman 30 muestras de 50 piezas cada una en intervalos de

una hora.

Hora Defectos Hora Defectos

1 12 16 8

2 15 17 10

3 8 18 5

4 10 19 13

5 4 20 11

6 7 21 20

7 16 22 18

8 9 23 24

9 14 24 15

10 10 25 9

11 5 26 12

12 6 27 7

13 17 28 13

14 12 29 9

15 22 30 6

Como en total se encontraron 347 cajas no conformes, se estima p como sigue:


Página 158

m

p

mn

D

p

m

i

i

m

i

i 11 =

)50)(30(

347 = 0.2313

Los límites de control usando Minitab son:

LSCp = 0.4102

LCp = 0.2313

LICp = 0.0524

28252219161310741

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Sample

Pro

po

rtio

n

_P=0.2313

UCL=0.4102

LCL=0.0524

1

1

P Chart of Defectos

Figura 4.1 Carta de control p fuera de control

De la carta de control se observa que las muestras 15 y 23 están fuera de los límites de control, de

tal forma que el proceso esta fuera de control.

Del análisis de los datos de la bitácora se encontró que la muestra 15 corresponde a el cambio de

un nuevo lote de cajas el cual fue diferente y que la muestra 23 corresponde a un operador sin

experiencia asignado temporalmente a la máquina.

Tomando acciones correctivas para evitar la recurrencia de las causas anteriores y calculando

nuevos límites preliminares con los puntos 15 y 23 eliminados, se tiene con Minitab:


Página 159

LSCp = 0.3893

LCp = 0.2150

LICp = 0.0407

28252219161310741

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Sample

Pro

po

rtio

n

_P=0.215

UCL=0.3893

LCL=0.0407

1

P Chart of Defectos

Figura 4.2 Carta de control p fuera de control en un punto

En la gráfica de límites revisados, se observa que la muestra 20 excede el límite superior de

control, sin embargo no se encontró una causa asignable, por tanto se retiene este punto para el

cálculo de los límites preliminares. Tampoco se observan patrones de anormalidad, la mayor racha

o corrida tiene 5 puntos sobre la línea central, lo cual no representa una situación fuera de control.

De esta forma se concluye que el proceso está en control a una p = 0.2150 adoptando los límites

preliminares para control futuro.


Página 160

252219161310741

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Sample

Pro

po

rtio

n

_P=0.2081

UCL=0.3804

LCL=0.0359

P Chart of Defectos

Figura 4.3 Carta de control p en control estadístico

Se observa que a pesar de que el proceso está en control, no se tienen presentes problemas

controlables por el operador, por tanto las causas de variabilidad son comunes y su reducción

depende sólo del control de la administración, una vez que interviene e Ingeniería realiza una serie

de ajustes a la máquina, se monitorea la mejora.

Continuando con el ejemplo, se toman 24 muestras adicionales durante los siguientes 3 turnos, la

gráfica se hizo utilizando Minitab:

Se observa que la p media del proceso ha mejorado con los ajustes y una mejor atención de los

operadores.


Página 161

Se puede probar la hipótesis que la fracción no conforme en los últimos 3 turnos, difiere de la

fracción no conforme preliminar, con el procedimiento de prueba de hipótesis:

H0: p1 = p2

H1: p1 > p2

Donde p1 es la fracción no conforme de los datos preliminares

(p1 = 1p = 0.2182) y p2 es la fracción no conforme del periodo actual. Para estimar p2 se toman las

últimas 24 muestras o sea:

m

p

mn

D

p

m

i

i

m

i

i 3131

2 = 1108.01200

133

)24)(50(

133

El estadístico de prueba aproximado para probar la hipótesis anterior es:

21

21)1(

210

nn

nnpp

ppZ con

21

2211

nn

pnpnp

por tanto:

1669.012001400

)118.0)(1200()2150.0)(1400(

p

10.7

1200

1

1400

1)8331.0)(1669.0(

1108.02150.00

Z

Para un nivel de significancia del 0.05 en la distribución normal, se encuentra que:

Z0 = 7.10 > Z.05 = 1.645


Página 162

Por tanto se rechaza la hipótesis Ho concluyendo que hubo una reducción en la fracción defectiva

promedio del proceso.

Usando sólo los últimos 24 puntos para calcular nuevos límites se tiene:

LSCp = 0.2440

LCp = 0.1108

LICp = -0.0224 = 0

Continuando con el ejemplo, usando los nuevos límites de control, para las siguientes 40 muestras

se observa una mejora del proceso, dentro de control. Es muy importante que para identificar

fácilmente las causas asignables, se lleve una bitácora de cambios, donde se anote cada cambio

que ocurra, independientemente que afecte o no al proceso.

Figura 4.4 Carta de control p con nuevos puntos tomados


Página 163

Diseño de la carta de control

Determinación del tamaño de muestra:

Método 1.

El tamaño de muestra n se escoge de tal forma que la probabilidad de encontrar al menos una

unidad no conforme por muestra sea al menos .

Ejemplo 4.2, si p = 0.01 y se desea que la probabilidad de hallar al menos una unidad no conforme

sea al menos 0.95, si D es el número de artículos no conformes, entonces:

P{ D >= 1 }>= 0.95

Con la distribución de Poisson se encuentra que = np debe ser mayor a 3.00, por tanto si p =

0.01, implica que el tamaño de muestra debe ser al menos de 300.

Método 2.

Duncan sugiere que el tamaño de muestra debe ser tal que se tenga aproximadamente un 50% de

probabilidad de detectar el corrimiento de la media de un proceso en una cierta cantidad.

Asumiendo que la distribución normal es una buena aproximación a la binomial, se selecciona n de

tal forma que el límite superior de control coincida con la fracción defectiva en el estado fuera de

control.

Entonces n debe satisfacer:

n

ppL

)1( (4.8)

Donde L es la distancia de la línea central a los límites de control en desviaciones estándar, por

tanto,


Página 164

)1(

2

ppL

n

(4.9)

Ejemplo 4.3, si p = 0.01 y se desea que la probabilidad de detectar un corrimiento a p = 0.05 sea de

0.50, entonces = 0.05 – 0.01 = 0.04 y si L = 3-sigma, se tiene:

n = 56)99.0)(01.0(04.0

32

Método 3.

Otro método a usar si la fracción p en control es pequeña, consiste en seleccionar n tan grande de

tal forma que el límite inferior tenga un valor positivo, para poder investigar la causa de

generación de muy bajas cantidades de artículos defectuosos con objeto de identificar errores de

inspección o de los equipos de medición. Se tiene:

0)1(

n

ppLpLIC p (4.10)

Implica que,

2)1(L

p

pn

(4.11)

Ejemplo 4.4, si p = 0.05 y se tienen límites de control a 3-sigma, el tamaño de muestra será:

171)3(05.0

95.0 2 n

Si n>171 unidades, la carta de control tendrá un límite inferior de control positivo.

Es importante notar que la carta de control p se basa en la distribución normal, es decir que la

probabilidad de ocurrencia de artículos defectivos es constante y que las unidades producidas son


Página 165

independientes. Si no es el caso, se debe desarrollar una carta de control basada en el modelo de

probabilidad adecuado.

Ejemplo 4.3 Para un servicio de mantenimiento se tomaron datos de 30 muestras de 50

servicios contabilizando las quejas en cada uno como sigue:

Servicio

No

conformes Servicio

No

conformes Servicio

No

conformes

1 12 11 5 21 20

2 15 12 6 22 18

3 8 13 17 23 24

4 10 14 12 24 15

5 4 15 22 25 9

6 7 16 8 26 12

7 16 17 10 27 7

8 9 18 5 28 13

9 14 19 13 29 9

10 10 20 11 30 6

Como en total se encontraron 347 quejas o servicios no conformes, se estima p como

sigue:

m

p

mn

D

p

m

i

i

m

i

i 11 =

)50)(30(

347 = 0.2313

Los límites de control usando Minitab son:

LSCp = 0.4102 LCp = 0.2313 LICp = 0.0524

3020100

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0.0

Sample Number

Pro

po

rtio

n

P Chart for No confo

1

1

P=0.2313

UCL=0.4102

LCL=0.05243

Fig. 4.4a. Carta de control P para la fracción de servicios no conformes.


Página 166

Ejercicio Hacer una carta de control P por atributos.


Página 167


Página 168


Página 169

4.3 CARTA DE CONTROL np

En lugar de tener fracciones no conformes, si el tamaño de muestra es constante, se pueden

utilizar directamente el número de artículos defectivos o no conformes np, para evitarle

operaciones aritméticas al operador, los parámetros de esta carta son:

)1(3 pnpnpLSCnp

npLCnp (4.12)

)1(3 pnpnpLICnp

Si no se conoce el valor de p, se puede estimar con la p .

El número de defectivos o no conformes es un entero, por tanto es más fácil de graficar e

interpretar por los operadores que llevan el C.E.P.

Ejemplo 4.5, con los últimos 39 datos de las cajas de concentrado de jugo de naranja, se tiene:

252219161310741

20

15

10

5

0

Sample

Sa

mp

le C

ou

nt

__NP=10.41

UCL=19.02

LCL=1.80

NP Chart of Defectos

Figura 4.5 Carta de control np en control estadístico con límites de control constantes


Página 170

4.4 TAMAÑO DE MUESTRA VARIABLE

En algunas aplicaciones para la fracción defectiva, la muestra es la inspección 100% de los lotes

producidos en un periodo de tiempo, por tanto la muestra será variable. Se tiene varios métodos

para llevar una carta de control:

Método 1. Límites variables

Se calculan límites de control para cada muestra en base en la fracción defectiva promedio p y su

tamaño de muestra con inppp /)1(3 . La amplitud de los límites es inversamente

proporcional a la raíz cuadrada del tamaño de muestra.

Ejemplo 4.6, Se tomaron datos del resultado de la inspección diaria, registrando la producción

total y los defectivos del día.

n-var nodef Fra-def LSC LIC Des-est

100 12 0.12 0.183686 0.007335 0.0293918

80 8 0.1 0.194093 -0.00307 0.0328611

80 6 0.075 0.194093 -0.00307 0.0328611

100 9 0.09 0.183686 0.007335 0.0293918

110 10 0.090909 0.179582 0.011438 0.028024

110 12 0.109091 0.179582 0.011438 0.028024

100 11 0.11 0.183686 0.007335 0.0293918

100 16 0.16 0.183686 0.007335 0.0293918

90 10 0.111111 0.188455 0.002565 0.0309817

90 6 0.066667 0.188455 0.002565 0.0309817

110 20 0.181818 0.179582 0.011438 0.028024

120 15 0.125 0.176003 0.015017 0.026831

120 9 0.075 0.176003 0.015017 0.026831

120 8 0.066667 0.176003 0.015017 0.026831

110 6 0.054545 0.179582 0.011438 0.028024

80 8 0.1 0.194093 -0.00307 0.0328611

80 10 0.125 0.194093 -0.00307 0.0328611

80 7 0.0875 0.194093 -0.00307 0.0328611

90 5 0.055556 0.188455 0.002565 0.0309817


Página 171

100 8 0.08 0.183686 0.007335 0.0293918

100 5 0.05 0.183686 0.007335 0.0293918

100 8 0.08 0.183686 0.007335 0.0293918

100 10 0.1 0.183686 0.007335 0.0293918

90 6 0.066667 0.188455 0.002565 0.0309817

La fracción defectiva media se calcula como sigue:

096.02450

23425

1

25

1

i

i

i

i

n

D

p

Y los límites de control se calculan como sigue:

LSCp= i

pn

p)904.0)(096.0(

3096.03

LC = 0.096

LICp= i

pn

p)904.0)(096.0(

3096.03

2321191715131197531

20

15

10

5

0

Sample

Sa

mp

le C

ou

nt

__NP=8.58

UCL=16.94

LCL=0.22

1

NP Chart of nodef


Figura 4.6 Carta de control np en control estadístico con límites de control variables


Página 172

Se observa que la muestra 11 está fuera de control.

Cuando se toman límites de control variables, el análisis de patrones de anormalidad no tiene

sentido ya que la desviación estándar en cada muestra esta variando y no es posible visualizar

corridas o rachas.

Método 2. Tamaño de muestra promedio

En este caso, se toma el promedio de los tamaños de muestra para calcular los límites de control

aproximados, se asume que los tamaños de muestra no diferirán en forma apreciable de los

observados, aquí los límites de control son constantes. Si existen grandes diferencias mayores al

promedio más o menos 25%, este método no es adecuado.

9825

24501

m

n

n

m

i

i

Con límites de control basados en 98n :

LSCp= 185.098

)904.0)(096.0(3096.03 pp

LC = 0.096

LICp= 007.098

)904.0)(096.0(3096.03 pp

Otra vez de la gráfica se observa que el punto 11 está fuera de control.

Método 3. Carta de control estandarizada.

En este método, los puntos se grafican en unidades de desviación estándar. En la carta de control

estandarizada, la línea central es cero y los límites de control están a +3 y –3 respectivamente, la

variable a graficar en la carta es:


Página 173

i

ii

n

pp

ppZ

)1(

(4.13)

donde p (o p si no hay estándar) es la fracción defectiva media del proceso en su condición de

control estadístico; pi , ni son datos de la muestra.

Ejemplo 4.7 Con los 25 datos anteriores se obtiene una carta estandarizada, por medio de Minitab.

n-var nodef Frac.-def LSC LIC Media Z-Estand100 12 0.12 3 -3 0 0.81655

80 8 0.1 3 -3 0 0.12172

80 6 0.075 3 -3 0 -0.63905

100 9 0.09 3 -3 0 -0.20414

110 10 0.090909 3 -3 0 -0.18166

110 12 0.109091 3 -3 0 0.46713

100 11 0.11 3 -3 0 0.47632

100 16 0.16 3 -3 0 2.17748

90 10 0.111111 3 -3 0 0.48774

90 6 0.066667 3 -3 0 -0.94679

110 20 0.181818 3 -3 0 3.06231

120 15 0.125 3 -3 0 1.08084

120 9 0.075 3 -3 0 -0.78268

120 8 0.066667 3 -3 0 -1.09326

110 6 0.054545 3 -3 0 -1.47925

80 8 0.1 3 -3 0 0.12172

80 10 0.125 3 -3 0 0.8825

80 7 0.0875 3 -3 0 -0.25866

90 5 0.055556 3 -3 0 -1.30543

100 8 0.08 3 -3 0 -0.54437

100 5 0.05 3 -3 0 -1.56506

100 8 0.08 3 -3 0 -0.54437

100 10 0.1 3 -3 0 0.13609

90 6 0.066667 3 -3 0 -0.94679


Página 174

2321191715131197531

3.0

1.5

0.0

-1.5

-3.0

Observation

In

div

idu

al

Va

lue

_X=-0.028

UC L=2.871

LC L=-2.926

2321191715131197531

4

3

2

1

0

Observation

Mo

vin

g R

an

ge

__MR=1.090

UC L=3.560

LC L=0

1

1

I-MR Chart of Z-Estand

Figura 4.7 Carta de control p estandarizada (Zi)

Esta carta tiene la ventaja de poder identificar patrones de anormalidad e identificar curva

característica de operación, lo que no puede hacerse con la carta de límites de control variables.

Una aplicación diferente de la manufactura sería el control de órdenes de compra erróneas para

cada semana.

4.5 CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓN Y ARL

La curva OC muestra en forma gráfica la probabilidad de aceptar incorrectamente la hipótesis de

control estadístico (i.e. cometer un error tipo II o ). Esta curva proporciona una evaluación de la

sensibilidad de la carta de control, o sea la habilidad de detectar un corrimiento en la fracción no

conforme del proceso, desde su valor nominal p a algún otro valor p .

La probabilidad de error tipo II para la carta de control de fracción defectiva o no conforme es:

}{}{ pLICpPpLSCpP = }{}{ pnLICDPpnLSCDP (4.14)


Página 175

Como D es una variable aleatoria binomial con parámetros n y p, el error puede ser obtenido de

la función de distribución acumulativa (la distribución de Poisson se puede utilizar como una

aproximación).

Ejemplo 4.8 Si n = 50, LIC = 0.0303 y LSC = 0.3697, el error tipo II se calcula como sigue:

}52.1{}49.18{})030.0)(50({})3697.0)(50({ pDPpDPpDPpDP

Sin embargo como D debe ser un entero, se toma,

}1{}18{ pDPpDP

La curva OC se construyó utilizando Excel y Minitab.

NOTA: Se debe usar la distribución de Poisson para np <=5 y distribución Normal en caso contrario.

A continuación se muestran curvas OC con 3 distribuciones.


Página 176

La curva OC calculada con las diferentes distribuciones de probabilidad se muestra a continuación:

CURVA OC POR BINOMIAL CURVA OC POR POISSON

LIC = 1, LSC =18, n = 50 LIC = 1, LSC =18, n =50

p P(d<=18|p) P(d<=1|p) Beta=dif np P(d<=18|p) P(d<=1|p) Beta=dif

0.01 1 0.910564687 0.089435313 0.5 1 0.90979599 0.090204

0.03 1 0.555279873 0.444720127 1.5 1 0.5578254 0.442175

0.05 1 0.279431752 0.720568248 2.5 1 0.2872975 0.712703

0.1 0.99999986 0.03378586 0.966214001 5 0.999998598 0.04042768 0.959571

0.15 0.999940418 0.002905453 0.997034965 7.5 0.999697003 0.00470122 0.994996

0.2 0.997488797 0.000192678 0.997296118 10 0.992813495 0.0004994 0.992314

0.25 0.97126684 1.0005E-05 0.971256835 12.5 0.948148253 5.031E-05 0.948098

0.3 0.859440124 4.0337E-07 0.85943972 15 0.819471712 4.8944E-06 0.819467

0.35 0.621587051 1.2349E-08 0.621587038 17.5 0.608934016 4.6453E-07 0.608934

0.4 0.335613264 2.7751E-10 0.335613263 20 0.381421949 4.3284E-08 0.381422

0.45 0.127345115 4.36961E-12 0.127345115 22.5 0.202192955 3.976E-09 0.202193

0.5 0.032454324 4.52971E-14 0.032454324 25 0.092040859 3.6109E-10 0.092041

0.55 0.005296752 2.84312E-16 0.005296752 27.5 0.036606283 3.249E-11 0.036606

CURVA OC POR NORMAL COMPARACION DE LAS

LIC = 0.0303, LSC = 0.3697, n = 50 BETAS CON 3 DECIMALES

p Sigma LSC Z-Value LIC Z Value PZLSC PZLIC Beta np BINOM POISSON NORMAL

0.01 0.014071247 25.56276589 1.442658181 1 0.925442 0.074558435 0.5 0.089 0.090 0.075

0.03 0.024124676 14.08101803 0.0124354 1 0.504961 0.495039094 1.5 0.445 0.442 0.495

0.05 0.03082207 10.37243767 -0.639152399 1 0.261362 0.738638167 2.5 0.721 0.713 0.739

0.1 0.042426407 6.356889963 -1.642844755 1 0.050208 0.949792486 5 0.966 0.960 0.950

0.15 0.050497525 4.350708304 -2.370413218 0.999993 0.008884 0.991109116 7.5 0.997 0.995 0.991

0.2 0.056568542 2.999900519 -2.999900519 0.99865 0.00135 0.997299184 10 0.997 0.992 0.997

0.25 0.061237244 1.954692815 -3.587685977 0.97469 0.000167 0.97452355 12.5 0.971 0.948 0.975

0.3 0.064807407 1.075494349 -4.161561348 0.858923 1.58E-05 0.858907423 15 0.859 0.819 0.859

0.35 0.067453688 0.292052231 -4.739548131 0.614877 1.07E-06 0.614875519 17.5 0.622 0.609 0.615

0.4 0.069282032 -0.437342829 -5.336159863 0.330931 4.76E-08 0.33093135 20 0.336 0.381 0.331

0.45 0.070356236 -1.141334502 -5.965356044 0.126865 1.22E-09 0.126865425 22.5 0.127 0.202 0.127

0.5 0.070710678 -1.842720272 -6.642561102 0.032685 1.55E-11 0.032684871 25 0.032 0.092 0.033

0.55 0.070356236 -2.562672611 -7.386694153 0.005194 7.58E-14 0.005193524 27.5 0.005 0.037 0.005


Página 177

Para esta carta de control, también se puede calcular la longitud de corrida media ARL.

Cuando es proceso está en control:

ARL0 = 1 /

Cuando el proceso está fuera de control:

ARL1 = 1 / (1 - )

Estas probabilidades de errores tipo I y II se pueden obtener o por calculo de probabilidades o

usando las curvas OC.

Figura 4.8 Curva característica de operación np

Ejemplo 4.9, suponiendo que el proceso se corre a p1 = 0.3, siendo su valor nominal p0 = 0.2. De la

curva OC se observa que en este caso es 0.9973 estando en control, en este caso = 1 - =

0.0027 y el valor de ARL0 es:

ARL0 = 1 / = 1 / 0.0027 = 370

Indicando que cada 370 puntos se puede tener una falsa alarma.


Página 178

4.6 CARTAS DE CONTROL PARA NO CONFORMIDADES (DEFECTOS) – c y u

Una no conformidad o defecto es una característica específica que no cumple con la especificación

del producto. Las no conformidades pueden tener una gravedad diferente desde menores hasta

críticas. Se pueden desarrollar cartas de control para el número total de no conformidades en una

unidad o el número promedio de no conformidades por unidad.

Estas cartas asumen que la ocurrencia de no conformidades en muestras de tamaño constante son

modeladas bien por la distribución de Poisson, es decir implica que las oportunidades o

localizaciones potenciales para las no conformidades sea muy infinitamente grande y que la

probabilidad de ocurrencia de una no conformidad en cualquier localización sea pequeña y

constante. Además cada unidad de inspección debe representar una “área de oportunidad”

idéntica para la ocurrencia de no conformidades. Si estas condiciones no se cumplen, el modelo de

Poisson no es apropiado.

Tamaño de muestra constante - CARTA c

Una unidad de inspección es simplemente una entidad para la cual es conveniente registrar el

número de defectos, puede formarse con 5 unidades de producto, 10 unidades de producto, etc.

Suponiendo que los defectos o no conformidades ocurren en la unidad de inspección de acuerdo a

la distribución de Poisson, o sea:

!

)(x

cexp

xc

(4.15)

Donde la media y la desviación estándar tienen valor c; para x = 0, 1, 2, .......

Por tanto considerando L = 3-sigma, los límites de control para la carta de no conformidades son:


Página 179

LSCc = c + 3 c

LCc = c (4.16)

LICc = c - 3 c en el caso que sea negativo toma el valor cero.

Si no hay estándar definido c se estima con el promedio de no conformidades observadas en una

muestra preliminar inspeccionada, o sea con c , en este caso los parámetros de la carta son:

LSCc = c + 3 c

LCc = c (4.17)

LICc = c - 3 c en el caso que sea negativo toma el valor cero

Cuando no hay datos históricos, se calculan límites de control preliminares.

Ejemplo 4.18 Para el número de no conformidades observadas en 26 unidades de inspección

sucesivas de 100 muestras de circuitos impresos, se obtuvieron los datos siguientes:

No Conformidades

21 19

24 10

16 17

12 13

15 22

5 18

28 39

20 30

31 24

25 16

20 19

24 17

16 15

Donde,

LSC = 33.22

LC = 516 / 26 = 19.85 = c


Página 180

LIC = 6.48

De la carta de control preliminar, se observa que hay 2 puntos fuera de control, el 6 y el 20.

252219161310741

40

30

20

10

0

Sample

Sa

mp

le C

ou

nt

_C=19.85

UCL=33.21

LCL=6.48

1

1

C Chart of NoConform

Figura 4.9 Carta de control C fuera de control estadístico

Una investigación reveló que el punto 6 fue debido a que un inspector nuevo calificó los circuitos

impresos pero no tenía la suficiente experiencia, fue entrenado. El punto 20 fue causado por una

falla en el control de temperatura de la soldadora de ola, lo cual fue reparado. Por lo anterior se

toman acciones para evitar recurrencia, se eliminan y se recalculan los límites de control.


Página 181

2321191715131197531

35

30

25

20

15

10

5

Sample

Sa

mp

le C

ou

nt

_C=19.67

UCL=32.97

LCL=6.36

C Chart of NoConform

Figura 4.9 Carta de control C dentro de control estadístico

Como el proceso ya se encuentra en control estadístico, estos límites se tomarán como base para

el siguiente periodo, donde se tomaron 20 unidades de inspección adicionales.

No Conformidades 1

16 18

18 21

12 16

15 22

24 19

21 12

28 14

20 9

25 16

19 21

Se observa en la gráfica que no se tienen puntos fuera de control, sin embargo el promedio de

defectos es alto, requiere la acción de la administración.


Página 182

191715131197531

35

30

25

20

15

10

5

Sample

Sa

mp

le C

ou

nt

_C=19.67

UCL=32.98

LCL=6.36

C Chart of C4

Figura 4.10 Carta de control C dentro de control estadístico para otras 20 muestras – muy alta c

Haciendo un análisis de Pareto de los principales defectos se observó que el principal defecto de

soldadura insuficiente y soldadura fría, acumulan el 69% del total, por lo que se deben enfocar los

esfuerzos a resolver estos problemas.


Página 183

Figura 4.11 Pareto de no conformidades


Página 184

Puede ser necesario estratificar el problema identificando en que modelo de circuito impreso se

presentan los defectos principalmente.

Otra forma de análisis es el diagrama de causa efecto para identificar las diferentes fuentes de no

conformidades.

Figura 4.12 Diagrama de Ishikawa de causas potenciales para la falla de soldadura

Selección del tamaño de muestra

Aumentando el tamaño de muestra se tiene más oportunidad de encontrar no conformidades o

defectos, sin embargo esto también depende de consideraciones económicas y del proceso, si en

lugar de tomar 1 unidad de inspección, se toman n unidades de inspección, entonces los nuevos

límites de control se pueden calcular por los siguientes métodos:

Método 1. Con cn

En este caso tanto la línea central como los límites de control se modifican por el factor n,

quedando como sigue ( c es la media de las no conformidades observada en la unidad de

inspección anterior):


Página 185

cncnLSCnc 3

cnLC nc (4.18)

cncnLICnc 3

Por ejemplo si se deciden utilizar 2.5 unidades de inspección para el caso de los circuitos impresos

(es decir inspeccionar 250 tarjetas) con n=2.5, se tiene:

cncnLSCnc 3 = (2.5)(19.67) + 3 22.70)67.19)(5.2(

cnLC nc = (2.5)(19.67) = 49.18

cncnLICnc 3 = (2.5)(19.67) - 3 14.28)67.19)(5.2(

Carta de control de defectos por unidad U

Método 2. Carta u

Si se encuentra un total de c no conformidades en la muestra de n unidades de inspección,

entonces el promedio de no conformidades por unidad de inspección u es:

n

cu (4.19)

Como c es una variable aleatoria que sigue la distribución de Poisson, los parámetros de la carta u

de número de no conformidades o defectos por unidad son:

n

uuLSCu 3

uLC u (4.20)

n

uuLSCu 3

Donde u representa el número promedio de no conformidades por unidad en un conjunto de

datos preliminar. Los límites anteriores se consideran límites preliminares.


Página 186

Ejemplo 4.10 Para un fabricante de computadoras registrando los defectos en su línea de

ensamble final. La unidad de inspección es una computadora y se toman 5 unidades de inspección

a un tiempo.

No conformidades en cada 5 unidades – carta u

10 9

12 5

8 7

14 11

10 12

16 6

11 8

7 10

10 7

15 5

Se calculan los límites de control con:

adasinspeccionunidadesdeSuma

desconformidanodeSumau

...

...__

u =38.60 / 20 = 1.93

LSC = 3.79

LIC = 0.07

La carta de control queda como sigue:


Página 187

191715131197531

4

3

2

1

0

Sample

Sa

mp

le C

ou

nt

Pe

r U

nit

_U=1.93

UCL=3.794

LCL=0.066

U Chart of C6

Figura 4.13 Carta de control de defectos por unidad U con tamaño de muestra constante en

control estadístico

En la carta de control no se observa falta de control estadístico, por tanto los límites preliminares

se pueden utilizar en corridas futuras.

MUESTRA VARIABLE – CARTA u

En algunos casos las cartas de control para no conformidades se utilizan en la inspección 100% de

la producción o lotes de producto, por tanto las unidades de inspección no son constantes. En esta

carta se tiene una línea central constante y los límites de control varían inversamente con la raíz

cuadrada del tamaño de muestra n.

La línea central y los límites individuales de control se calculan como sigue:


Página 188

i

un

uuLSC

i3

uLC u (4.21)

i

un

uuLSC

i3

Ejemplo 4.11 En una planta textil, se inspeccionan defectos por cada 50m2 los datos se muestran a

continuación.

Unidades No conform

10 14

8 12

13 20

10 11

9.5 7

10 10

12 21

10.5 16

12 19

12.5 23

La línea central es 42.15.107

153u

Donde u = Total de defectos observados / Total de unidades de inspección

De la gráfica no se observan puntos fuera de control.


Página 189

10987654321

3.0

2.5

2.0

1.5

1.0

0.5

0.0

Sample

Sa

mp

le C

ou

nt

Pe

r U

nit

_U=1.423

UCL=2.436

LCL=0.411

U Chart of No conform


Figura 4.14 Carta de control para defectos por unidad con tamaño de muestra variable

Existen otras dos alternativas para el manejo de la carta u con n variable:

1. Usando un promedio de tamaños de muestra.

m

i

i

m

nn

1

(4.22)

2. Usando una de control estandarizada (opción preferida). Se grafica Zi con límites de control en

+3 y –3, línea central cero.

i

ii

n

u

uuZ

(4.23)


Página 190

Ejemplo 4.11 (Cont...) Estandarizando la carta se tiene:

Unidades NoConf SigmaU Ui-Uprom Zu

10 14 0.377261 -0.02325581 -0.06164

8 12 0.42179 0.07674419 0.181949

13 20 0.330879 0.11520572 0.34818

10 11 0.377261 -0.32325581 -0.85685

9.5 7 0.387061 -0.68641371 -1.7734

10 10 0.377261 -0.42325581 -1.12192

12 21 0.34439 0.32674419 0.948761

10.5 16 0.368169 0.10055371 0.273119

12 19 0.34439 0.16007752 0.464814

12.5 23 0.337432 0.41674419 1.235046

U prom 1.423256

La carta de control estandarizada para U, se encuentra en control estadístico como se muestra

abajo.

10987654321

3

2

1

0

-1

-2

-3

Observation

Ind

ivid

ua

l V

alu

e

_X=0

UCL=3

LCL=-3

I Chart of Zu

Figura 4.15 Carta de control U estandarizada


Página 191

Sistema de demeritos

Con productos complejos, se identifican diversos tipos de defectos, desde los que se consideran

menores hasta los que ponen en riesgo la salud del usuario. Por lo cual es necesario dar una

ponderación a esos diversos tipos de defectos de acuerdo a su gravedad, un esquema posible es el

siguiente:

Defectos tipo A – Muy serios: La unidad no puede funcionar o fallará en el campo, o puede causar

daño al usuario.

Defectos tipo B – Serios: La unidad tendrá menos vida útil, o puede causar una falla de

funcionamiento mayor.

Defectos tipo C – Poco serios: La unidad puede tener fallas pero continuar funcionando, o puede

incrementar los costos de mantenimiento, o tener una mala apariencia como usada.

Defectos tipo D – Menores: La unidad no fallará en servicio pero tiene defectos de apariencia,

terminados o calidad de trabajo.

Supóngase que para los defectos anteriores se tengan los números ciA, ciB, ciC, ciD respectivamente

en la i-ésima unidad inspeccionada. Se asume que cada clase de defectos es independiente y que

la ocurrencia de defectos de cada clase es modelada bien con la distribución de Poisson. Entonces

se puede definir el número de deméritos en la unidad de inspección por ejemplo como:

di = 100ciA + 50ciB + 10ciC + ciD (4.24)

Suponiendo que se toma una muestra de n unidades de inspección, entonces el número de

Deméritos por unidad es (con

n

i

id1

número total de deméritos en todas las unidades de

inspección):

ui = D / n = n

dn

i

i1 (4.25)


Página 192

Como u es una combinación lineal de variables aleatorias independientes de Poisson, el estadístico

ui puede ser graficado en una carta de control con los parámetros siguientes:

LSC = u + 3 u

LC = u (4.26)

LIC = u + 3 u,

Donde,

DCBA uuuuu 11050100 (4.27)

y

2/12222 )1()10()50()100(

n

uuuu DCBA

u (4.28)

Los números ,,,, DCBA uuuu representan el número promedio de defectos de la clase A, clase B,

clase C y clase D respectivamente. Se determina a partir de datos preliminares tomados cuando el

proceso está en control estadístico.

La curva característica de operación

La curva característica de operación (OC) puede ser obtenida tanto para la carta c como para la

carta u a partir de la distribución de Poisson.

Para la carta c, la curva OC muestra la probabilidad del error tipo II contra la media real del

numero de defectos c, se expresa como sigue:

}{}{ cLICxPcLSCxP (4.29)

Donde x es una variable aleatoria de Poisson con parámetro c.

Ejemplo 4.12, para el caso de la carta c anterior con LSC = 33.22, LIC = 6.48, se tiene:

}48.6{}22.33{ cxPcxP

cómo las cantidades deben ser enteras, esto es equivalente a:


Página 193

}7{}33{ cxPcxP

La curva OC se obtiene con la distribución de Poisson como sigue:

C P(x<=33) P(x<=7) Pa=Beta

1 1.000 1.000 0.000

3 1.000 0.988 0.012

5 1.000 0.867 0.133

7 1.000 0.599 0.401

9 1.000 0.324 0.676

11 1.000 0.143 0.857

13 1.000 0.054 0.946

15 1.000 0.018 0.982

17 1.000 0.005 0.994

19 0.999 0.002 0.997

21 0.994 0.000 0.994

23 0.981 0.000 0.981

25 0.950 0.000 0.950

27 0.892 0.000 0.892

29 0.801 0.000 0.801

31 0.682 0.000 0.682

33 0.546 0.000 0.546

35 0.410 0.000 0.410

37 0.289 0.000 0.289

39 0.191 0.000 0.191

C promedio 19.67

Figura 4.16 Curva característica de operación de la carta C con media 19.67


Página 194

Para el caso de la carta u, la curva OC puede generarse con:

}{}{ uLICxPuLSCxP

}{}{ unLICcPunLSCcP (4.30)

}{ unLSCcunLICP

4.7 CARTAS DE CONTROL PARA TASAS DE DEFECTOS EN ppm

Las cartas por atributos c y u no son convenientes en estos casos ya que tendrían ceros la mayor

parte del tiempo, una alternativa es graficar los intervalos de tiempo entre ocurrencias de los

defectos o “eventos”.

Asumiendo que los defectos ocurren de acuerdo a la distribución de Poisson, entonces la

distribución de tiempo transcurrido entre eventos sigue la distribución exponencial, sin embargo

daría una carta de control muy asimétrica.

Nelson, sugiere una alternativa transformando la variable aleatoria exponencial a una variable

aleatoria de Weibull de tal forma que sea una buena aproximación a la normal. Si y representa la

variable aleatoria exponencial original, la transformación adecuada es:

x = y1/3.6 = y0.277 (4.31)

Por tanto se construye una carta de control para x, asumiendo que x sigue una distribución

normal.

Por ejemplo para el monitoreo de fallas de una válvula importante, se usará el número de horas

entre fallas como la variable a monitorear. En la página siguiente se muestra este ejemplo.


Página 195

5. OTRAS CARTAS DE CONTROL ESPECIALES

5.1 CARTAS DE CONTROL PARA CORRIDAS CORTAS DE PRODUCCIÓN

Cartas de control dnom

Se pueden utilizar cartas de medias-rangos en situaciones las corridas de producción sean cortas,

tomando las desviaciones respecto a la media de especificaciones en lugar del valor como tal.

Ejemplo 5.1 Si se tienen 2 piezas la A y la B, donde la dimensión nominal de la pieza A TA = 50mm,

y la dimensión nominal de la pieza B es TB = 25mm, cuando se produce las piezas A o B se toman

muestras y se evalúa la desviación respecto a su media.

Muestra Pieza M1 M2 M3 D1 D2 D3 Media Rango

1 A 50 51 52 0 1 2 1.00 2

2 A 49 50 51 -1 0 1 0.00 2

3 A 48 49 52 -2 -1 2 -0.33 4

4 A 9 53 51 -1 3 1 1.00 4

5 B 24 27 26 -1 2 1 0.67 3

6 B 25 27 24 0 2 -1 0.33 3

7 B 27 26 23 2 1 -2 0.33 4

8 B 25 24 23 0 -1 -2 -1.00 2

9 B 24 25 25 -1 0 0 -0.33 1

10 B 26 24 25 1 -1 0 0.00 2

Ver carta en la página siguiente.

Se deben cumplir 3 premisas para estas cartas:

1. La desviación estándar debe ser la misma para todas las partes, sin esto no se cumple usar la

carta de medias estandarizada.

2. El procedimiento trabaja mejor cuando el tamaño de muestra es constante para todas las

diferentes partes.

3. La media utilizada debe ser la media de las especificaciones, a excepción de cuando se tiene

sólo un límite de especificación.


Página 196

10987654321

3.0

1.5

0.0

-1.5

-3.0

Sample

Sa

mp

le M

ea

n

__X=0.167

UC L=2.929

LC L=-2.596

10987654321

6.0

4.5

3.0

1.5

0.0

Sample

Sa

mp

le R

an

ge

_R=2.7

UC L=6.950

LC L=0

Xbar-R Chart of D1, ..., D3

Figura 4.1 Carta DNOM para corridas cortas

Cartas de control de medias rangos estandarizada

Si la desviación estándar para las diferentes partes es diferente, se usan estas cartas. Sean

ii TR ..... el rango medio y el valor nominal de x para un número de parte específico. Para todas las

muestras de este número de parte, graficar,

i

S

R

RR (5.1)

Se toman de datos históricos o de especificaciones para el rango, o se puede estimar de con

4

2

cSd

R i sus límites de control son D3 y D4. Para la media graficar,

i

iS

R

Txx

(5.2)

La línea central para la carta x estandarizada es cero, y sus límites de control son LSC = A2 y LIC = -

A2 .


Página 197

Cartas de control por atributos

Se utilizan cartas de control estandarizadas con límites de control LSC=+3 y LIC=-3. Los estadísticos

a graficar son:

Carta p npp

ppZ i

i/)1(

Carta np )1( ppn

pnnpZ i

i

(5.3)

Carta c c

ccZ i

i

Carta u nu

uuZ i

i/

5.2 CARTAS DE CONTROL MODIFICADAS Y DE ACEPTACIÓN

Cartas de control modificadas

Las cartas de control modificadas se utilizan cuando la variabilidad es pequeña respecto a los

límites de especificaciones, es decir el Cp es mucho mayor que 1. En este caso la media del

proceso puede variar sobre un rango permitido sin afectar el desempeño del proceso.

La carta de control modificada X esta diseñada para detectar sólo si la media verdadera del

proceso , está localizada de tal forma que el proceso genere una fracción de productos no

conformes mayor de algún valor especificado .

Se permite que varíe entre I y S de tal forma que no se exceda la fracción defectiva . Se

asume que el proceso está normalmente distribuido y que sea conocida y esté en control.


Página 198

LIEsp. |--- 6 ---| LSEsp.

Figura 5.2 Proceso con habilidad alta, Cp>>1

LIE I S LSE Z

Z

/ n

LIC LSC

Figura 5.3 Localización de los límites de control

Donde:

ZLIEI (5.4)

ZLSES

n

Z

n

Z

n

Z


Página 199

Donde Z es el punto superior 100(1-) de la distribución normal, si se especifica un error , los

límites de control superior e inferior son:

n

ZZLSE

n

ZLSC S (5.5)

n

ZZLIE

n

ZLIC I

Lo común es que Z =3.

En las cartas modificadas, es una fracción no conforme que se acepta con una probabilidad (1-).

Si la variabilidad del proceso cambia, éstas cartas no son apropiadas, de tal forma que se

recomienda siempre usar en forma adicional una carta R o S, de donde incluso se estime la

inicial.

Cartas de control de aceptación

En este caso se toma en cuenta ambos errores tipo I y tipo II, ya sea de rechazar un proceso que

opera en forma satisfactoria o de aceptarlo si opera en forma insatisfactoria.

Los límites de control para este caso se basan en una n especificada y una fracción no conforme

del proceso que nos gustaría rechazar con una probabilidad (1-), por tanto:

n

ZZLSE

n

ZLSC S (5.5)

n

ZZLIE

n

ZLIC I

Es posible también seleccionar un tamaño de muestra de tal forma que se obtengan los

requerimientos para , , y . Igualando los límites de control superiores:


Página 200

n

ZZLSELSC =

n

ZZLSE

Se obtiene

2

ZZ

ZZn (5.6)

Ejemplo 5.2 Si delta = 0.01, alfa = 0.00135, gama = 0.05 y beta = 0.20, haciendo los cálculos se

obtiene una n = 31.43 32.

2

645.133.2

84.000.3

n

Ejemplo 5.3 De Duncan se tiene:29

LSE =0.025

LSE-1.96

Amplitud de variación 0.10

Aceptable para __

X

0.10

LIE+1.96

LIE =0.025

Figura 5.4 Carta de control de aceptación

29 Duncan A., Control de Calidad y Estadística Industrial, Alfaomega, México, 1989, pp. 527-530


Página 201

En la figura si suponemos que =0.025 y = 0.10, asumiendo un proceso normal, los límites para la

carta de control de aceptación estarán en:

LSC = LSE – 1.96 - 1.282/ n

LIC = LIE + 1.96 + 1.282/ n

5.3 CARTA DE CONTROL PARA DESGASTE DE HERRAMIENTA O MATERIAL

Cuando un desgaste natural ocurre, se presenta una tendencia natural en la carta de control, la

distancia entre los límites de especificación debe ser mucho mayor que 6X, por lo que se puede

usar el concepto de la carta de control modificada (X = R/d2).

El ajuste inicial de la herramienta se inicia a 3x arriba del límite inferior de especificación, y el

máximo que se le permite variar es hasta 3x abajo del límite superior de especificación. Esto

minimiza los ajustes a realizar durante las corridas de producción. Se puede utilizar un valor

diferente de Z = 3 si se requiere una mayor protección en la fracción defectuosa. Para este

problema también se puede utilizar la carta de regresión.

LSE

_

X

LSE-3x

Amplitud dentro de la cual

se espera encontrar las 6 _

X

medias de las piezas Distribución de x

_

X

LIE+3x LIE Fig. 5.5 Carta de control para desgaste de herramienta o material


Página 202

Como se puede observar, sólo se puede emplear ésta carta si la amplitud de los límites de

especificación es suficiente mayor a 6x para alojar la carta de control.

La pendiente b de la línea central y límites de control se pueden calcular por los métodos

siguientes:

1. Dibujando una línea central que pase por los puntos graficados y estimando en forma gráfica

la pendiente.

2. Utilizando la técnica de mínimos cuadrados, donde si se tienen un total de m muestras con el

número de muestra i = 1,2,3…..m la pendiente b es (los datos se pueden codificar para

facilidad):

))]1(/(6[))]1(/(12[ 2 mmXmmiXb ii (5.7)

3. Utilizando un paquete de computadora que incluye el cálculo de mínimos cuadrados.

Los valores sugeridos de inicio y paro del proceso son ,1 , 2 donde:

21 /33 dRLIELIE x (5.8)

22 /33 dRLSELSE x

El número de puntos que tienen que pasar para llegar de ,1 , 2 es:

M* = ( ,1 - 2 ) / b (5.9)

Es importante considerar que antes de llevar una carta de medias para desgaste es indispensable

asegurarse que la carta de rangos está en control estadístico. En caso de que la media en lugar de

crecer, decrezca, las ,1 , 2 se invierten:

Los límites de control se encuentran a una distancia vertical _

2 RA de la línea central.


Página 203

Ejemplo 5.4 El diámetro exterior de una válvula tiene una especificación de 1.1555 0.0005”. Se

han tomado 13 muestras de 5 piezas cada una sin ajustar la herramienta de corte, en intervalos de

media hora. Los resultados son:

Muestra i

1 2 3 4 5 6 7 8

iX_

1.15530, 1.15540,1.15544, 1.15546, 1.15550, 1.15556, 1.15568, 1.15570,

iR 0.00020, 0.00020, 0.00020, 0.00020, 0.00020, 0.00020, 0.00010, 0.00020

Muestra 9 10 11 12 13

iX_

1.15576, 1.15578, 1.15580, 1.15586, 1.15590

iR 0.00010, 0.00020, 0.00020, 0.00010, 0.00020

Los resultados obtenidos son:

R-medio=0.0001769; LSCR=0.000374, = 0.000076053; b = 0.0000492

,1 , 2 son respectivamente 1.155228 y 1.155772

m* = 11.056, los límites de control están a _

2 RA = 0.5768(0.0001769)=0.000102.

Es decir que tienen que pasar 11 puntos o 5.5 horas para reajustar el proceso LSE

2

Pendiente b LSC

,1

LIC LIE

Fig. 5.6 Tiempo “t” o número de muestras antes de ajuste


Página 204

5.4 CARTA DE PRECONTROL O DE ARCOIRIS

Es una técnica usada para detectar irregularidades en el proceso, que pueden resultar en la

producción de unidades fuera de especificaciones. Pre-control, principalmente se presta para el

uso de aparatos de medición hechos previamente sobre los límites de las especificaciones. El uso

de éstos aparatos de medición permite seleccionar fácilmente las unidades que proceden de las

que no. Pre-control es usado con frecuencia para determinar los valores de las variables del

proceso durante el período de arranque de la producción.

También se denomina carta de objetivo, utiliza los límites de especificación para su

establecimiento, situados a 3 es fácil de construir y usar, sin embargo, no permite mejorar el

proceso. La carta tiene tres áreas:

ZONA ROJA Límite superior de especificaciones

ZONA AMARILLA Esta zona comprende 1.5 o 7%

ZONA VERDE Esta zona comprende 1.5 o 86%

ZONA AMARILLA Esta zona comprende 1.5 o 7%

ZONA ROJA Límite inferior de especificaciones

Figura 5.7 Carta de Pre – Control y sus zonas En la carta de pre – control hay un 1/14 de probabilidad de que una parte caiga en la zona amarilla

y de 1/196 de que caigan dos consecutivas en ésta zona, en este caso se considera que el proceso

se salió de control.

Pre-control se basa en la hipótesis de que si el proceso está operando correctamente, la

probabilidad de encontrar dos unidades fuera de los límites de control consecutivamente es

demasiado pequeña. Por lo tanto si dos unidades son encontradas consecutivamente fuera de los

límites de control, es razón suficiente como para indicar una falla en el proceso.


Página 205

Ventajas:

Pre-control es una técnica simple que a diferencia con el control estadístico del proceso (CEP) no

requiere de gráficas de control, ni de cómputos.

Desventajas:

No existen gráficas de control, por lo tanto, las reglas y procedimientos para reconocer patrones

de fallas no pueden ser usados. Dado que se requiere una cantidad muy pequeña de muestras, es

riesgoso inferir sobre la totalidad del proceso. Finalmente, Pre-control no proporciona información

suficiente para someter el proceso bajo control o para reducir la variabilidad. Asume que el

proceso es hábil y que es normal.

Recomendaciones:

Pre-control sólo debe ser usado cuando la capacidad del proceso (Cp)30 es mayor que uno (algunos

textos recomiendan como mínimo Cp=2)31, y cuando se han alcanzado cero defectos en el

proceso.

Definición de los límites de Pre-control.

Existen dos límites de Pre-control (PC): Upper Pre-control limit (UPCL) y Lower Pre-control

limit(LPCL). Cada uno representa ¼ de la distancia entre el límite de especificaciones inferior (LSL)

y el límite de especificaciones superior (USL). La siguiente figura considera un proceso distribuido

de acuerdo a la distribución normal.

30

6LSLUSL

C p

, donde USL = Upper Specification Limit y LSL = Lower Specification Limit.

31 Montogomery, Douglas C. “Statistical Quality Control”, John Wiley & Sons, Inc., 1991, pp. 332-334.

LSL LPCL UPCL USL

0 114

12

34

LSL LPCL UPCL USL

0 114

12

34


Página 206

Figura 5.8 Distribución de áreas de probabilidad para la carta de pre-control

Pasos a seguir para aplicar Pre-control.

A continuación se muestran las reglas de uso de la carta:

1. Iniciar el proceso. Si el primer artículo sale de especificaciones, parar, corregir e iniciar de

nuevo. Deberán caer en la zona verde.

2. Si un artículo cae en la zona amarilla, tomar un siguiente artículo. Si cae nuevamente en la

zona amarilla parar y corregir el proceso, de otra forma continuar.

3. Si 25 artículos consecutivos caen en la zona verde, reducir frecuencia de chequeo.

Figura 5.9 Pasos a seguir para el Pre-Control

Inicie el

proceso

Verifique

1a. Unidad

Fuera de

Especificaciones

Dentro de

Especificaciones

Fuera de límites

De Pre-control

Verifique

2a. Unidad

Dentro de

Especificaciones

Fuera de límites

De Pre-control

Dentro de

de límites

De Pre-control

Dentro de

Especificaciones

Fuera de EL OTRO

límite de Pre-control

Continuar el proceso.

Detener sólo si DOS

Unidades consecutivas

Estan fuera de los

Límites de

Pre-control

Variabilidad del

Proceso fuera de

Control.

¡!

A

Inicie el

proceso

Verifique

1a. Unidad

Fuera de

Especificaciones

Dentro de

Especificaciones

Fuera de límites

De Pre-control

Verifique

2a. Unidad

Dentro de

Especificaciones

Fuera de límites

De Pre-control

Dentro de

de límites

De Pre-control

Dentro de

Especificaciones

Fuera de EL OTRO

límite de Pre-control

Continuar el proceso.

Detener sólo si DOS

Unidades consecutivas

Estan fuera de los

Límites de

Pre-control

Variabilidad del

Proceso fuera de

Control.

¡!

A


Página 207

Notas:

1. Si cinco unidades están dentro de los límites de Pre-control, cambie a verificación

intermitente.

2. Cuando se encuentre en verificación intermitente, no ajuste el proceso hasta que una unidad

exceda algún límite de Pre-control. Examine la siguiente unidad, y proceda en A.

3. Si se reinicia el proceso, al menos cinco unidades consecutivas deben caer dentro de los

límites de pre-control para cambiar a verificación intermitente.

4. Si el operador toma más de 25 muestras sin reiniciar el proceso, reduzca la frecuencia de las

verificaciones.

5.5 CARTAS DE CONTROL PARA PROCESOS DE SALIDA MÚLTIPLE

Se utiliza para procesos con muchas fuentes de producción, por ejemplo diversos husillos que en

principio producen piezas similares. El usar una carta de control para cada husillo por separado

sería prohibitivo, sin embargo se tiene la alternativa de ésta carta de control siempre que la

producción entre husillos no esté correlacionada.

Para establecer una carta de este tipo, se toman n partes de cada salida, hasta completar 20 o 25

subgrupos, por ejemplo si se toman muestras de n = 4 de 6 husillos repetido en 20 subgrupos, se

habrán tomado 20 x 6 = 120 medias y rangos de n = 4 observaciones. De éstos se calculan la media

de medias

X y el _

R , los límites de control se calculan como en una carta de medias-rangos

convencional con n = 4, en este caso A2 = 0.729, D3 = 0, D4 = 2.282:

LICX =

X - A2

_

R LICR = D3

_

R (5.10)

LSCX =

X + A2

_

R LSCR = D4

_

R

Con los límites de control trazados, se grafica después sólo la mayor y la menor de las 6 lecturas

promedio considerando todas las salidas o en este caso husillos de la máquina, si se encuentran en

control, se asume que las demás están en control. Para el rango se grafica sólo el mayor de todos

los rangos. Cada punto es identificado por el número de husillo o salida que lo produjo. El proceso


Página 208

se encuentra fuera de control si se algún punto excede los límites de 3-sigma. No se pueden

aplicar pruebas de rachas a estas cartas.

Es útil observar que si una salida da el mayor o el menor valor varias en una fila, puede ser

evidencia de que es diferente a los otros. Si el proceso tiene s salidas y si r es el número de veces

consecutivas que se repite como el mayor o el menor, el ARL para este evento es:

1

10

s

sARL

r

(5.11)

Para el caso de que s = 6 y r = 4, el ARL será de 259, es decir que si el proceso está en control, se

esperará que una salida repita un valor extremo 4 veces en la carta una vez de cada 259 muestras.

Si esto sucede con más frecuencia se debe sospechar que la salida es diferente a las demás.

Algunos de los pares adecuados de (s,r) son (3,7), (4,6), (5-6,5), 7-10,4), todas las combinaciones

dan ARLo adecuados.

5.6 CARTAS DE CONTROL Cusum

Las cartas de control de Shewart utilizan sólo información acerca del proceso con los últimos datos

del subgrupo, e ignoran la información de la secuencia completa de puntos, esto hace que estas

cartas de control sean insensibles a pequeños corrimientos de la media del proceso, de 1.5 o

menos. Los límites preventivos y criterios múltiples de prueba de corridas o tendencias toman en

cuenta otros puntos de la carta, sin embargo esto reduce la simplicidad de interpretación de la

carta así como reducir el ARL en control lo cual es indeseable.

Cuando se trata de identificar pequeñas variaciones o corridas en la media, se pueden utilizar

como alternativa, las cartas de sumas acumuladas (cusum), y promedio móvil exponencialmente

ponderado (EWMA).

Cusum normal

Para pequeños corrimientos menores a 1.5, la carta de Shewart es ineficiente, en esos casos la

carta de sumas acumuladas de Page, que funciona con n >=1 es mejor, ya que incorpora toda la


Página 209

información anterior en el valor de la muestra al graficar la suma acumulada de las desviaciones

con referencia a un valor objetivo 0. Si se colectan muestras de tamaño n >= 1 siendo jx el valor

promedio de la muestra j-ésima. La carta de sumas acumuladas se forma graficando para cada

muestra i la cantidad siguiente que representa la suma acumulada hasta la muestra i,

i

j

ji xC1

0 )( (5.12)

Como esta carta es eficiente para n=1, es una buena alternativa para el control de procesos

químicos y el C.E.P. automatizado. Si la media tiene un corrimiento hacia arriba, la carta mostrará

una tendencia ascendente y viceversa.

La carta Cusum no tiene límites de control, sin embargo tiene un mecanismo similar ya sea en

forma tabular o por medio de una mascara en V, como la mostrada en el ejemplo de las páginas

siguientes.

Ejemplo

Suponiendo que la Posición de una parte (A) se mueve hacia arriba y hacia abajo una cierta

distancia de la posición ideal de referencia (B). AtoBDist es esta distancia. Para asegurar la calidad,

se toman 5 mediciones al día durante el primer periodo de tiempo y después 10 al día en un

siguiente periodo de tiempo.

AtoBDist

-0.44025 4.52023 4.75466 4.90024 3.81341 -1.15453 5.03945

5.90038 3.95372 1.1424 1.28079 -3.78952 2.29868 1.96583

2.08965 7.99326 0.9379 2.87917 -3.81635 5.15847 -0.21026

0.09998 4.98677 -7.30286 1.83867 -4.8882 0.08558 0.27517

2.01594 -2.03427 -5.22516 -0.75614 -3.24534 -3.09574 -5.32797

4.83012 3.89134 -4.06527 3.72977 -0.27272 5.16744

3.78732 1.99825 -1.91314 3.77141 -4.33095 0.29748

4.99821 0.01028 2.0459 -4.04994 -1.83547 -4.66858

6.91169 -0.24542 4.93029 3.89824 -3.98876 -2.13787

1.93847 2.08175 0.03095 1.76868 -4.97431 -0.0045

-3.09907 -4.86937 -2.80363 2.2731 -5.1405 0.18096

-3.18827 -2.69206 -3.12681 -3.82297 -0.10379 4.30247

5.28978 -3.02947 -4.57793 -2.26821 2.21033 -2.21708


Página 210

0.56182 2.99932 -3.17924 -2.07973 5.13041 7.17603

-3.1896 3.50123 -2.44537 0.01739 -1.89455 5.86525

7.93177 -1.99506 1.36225 3.71309 0.95119 0.95699

3.72692 -1.62939 0.92825 1.72573 -5.15414 -4.03441

3.83152 2.14395 -0.24151 3.07264 4.82794 -2.05086

-2.17454 -1.90688 -0.83762 0.15676 0.13001 -3.10319

2.81598 8.02322 -1.99674 -0.05666 -0.09911 -1.83001

Al llevar una carta X – R en el subgrupo no se encontró una causa asignable, ahora se desea tratar

de detectar corridas pequeñas en la media.

Corrida en Minitab

1. File > Open Worksheet > Data > CRANKSH.MTW.

2. Stat > Control Charts > Time weighted charts > CUSUM.

In Single column, seleccionar AtoBDist. In Subgroup size, poner 5.

3. OK.

252015105Subgroup 0

5

0

-5

Sa

mp

le M

ea

n

Mean=0.4417

UCL=4.802

LCL=-3.918

15

10

5

0

Sa

mp

le R

ang

e

R=7.559

UCL=15.98

LCL=0

Xbar/R Chart for AtoBDist

Figura 5.10 Carta de control X media – R

Se puede observar que no detecta ninguna situación anormal


Página 211

10

5

0

-5

5.67809

-5.67809

2520151050

Subgroup Number

Cum

ula

tive

Sum

Upper CUSUM

Low er CUSUM

CUSUM Chart for AtoBDist

Figura 5.11 Carta de control Cusum

Se puede observar que detecta una situación anormal debido a un corrimiento lento de la media

del proceso.

Otro ejemplo de Carta Cusum:

Considerar los datos siguientes con = 10 a 11 y una = 1:

Muestra Xi Xi - 10 Ci = (Xi-10) +

Ci-1

Media = 10 1 9.45 -0.55 -0.55

Sigma = 1 2 7.99 -2.01 -2.56

3 9.29 -0.71 -3.27

4 11.66 1.66 -1.61

5 12.16 2.16 0.55

6 10.18 0.18 0.73

7 8.04 -1.96 -1.23

8 11.46 1.46 0.23

9 9.2 -0.8 -0.57

10 10.34 0.34 -0.23

11 9.03 -0.97 -1.2

12 11.47 1.47 0.27

13 10.51 0.51 0.78

14 9.4 -0.6 0.18

15 10.08 0.08 0.26

16 9.37 -0.63 -0.37

17 10.62 0.62 0.25

18 10.31 0.31 0.56


Página 212

19 8.52 -1.48 -0.92

20 10.84 0.84 -0.08

Media = 11 21 10.9 0.9 0.82

Sigma = 1 22 9.33 -0.67 0.15

23 12.29 2.29 2.44

24 11.5 1.5 3.94

25 10.6 0.6 4.54

26 11.08 1.08 5.62

27 10.38 0.38 6

28 11.62 1.62 7.62

29 11.31 1.31 8.93

30 10.52 0.52 9.45

Observation

In

div

idu

al

Va

lue

30272421181512963

12

10

8

_X=10

UC L=13

LC L=7

Observation

Mo

vin

g R

an

ge

30272421181512963

4

3

2

1

0

__MR=1.128

UC L=3.686

LC L=0

I-MR Chart of Xi_1

Figura 5.12 Carta I-MR casi en control estadístico

28252219161310741

5.0

2.5

0.0

-2.5

-5.0

Sample

Cu

mu

lati

ve

Su

m

0

UCL=4

LCL=-4

CUSUM Chart of Xi

Figura 5.13 Carta Cusum muestra un corrimiento lento de la media del proceso

Con parámetros Media objetivo (Target) =10, S = 1


Página 213

Cusum en forma tabular

La carta tabular Cusum trabaja con derivaciones acumuladas de 0 sobre el objetivo con un

estadístico C+ o debajo de este con un estadistico C-, también llamados Cusums de lado superior o

inferior respectivamente. Se calculan como sigue:

10 )(,0 iii CKxmaxC (5.13)

10 )(,0 iii CxKmaxC (5.14)

donde los valores iniciales para C+ y C- son cero.

En las ecuaciones anteriores K es el valor de referencia y se selecciona como un valor intermedio

entre la 0 objetivo y la 1 fuera de control en la que estamos interesados en detectar.

Así, si el corrimiento se expresa en unidades de desviación estándar 1 = 0 + , entonces K es la

mitad de la magnitud del corrimiento:

K = / 2 = Valor absoluto de (1 - 0) / 2 (5.15)

Cuando cualquier estadístico C+ y C- excede el intervalo de decisión H, se considera al proceso

fuera de control. Un valor razonable para H es cinco veces el valor de .

Ejemplo: si 0 = 10, n=1, = 1, y asumiendo que se quiere detectar un corrimiento de 1 = 1, para

lo cual se utiliza H = 5 sigmas, se tiene:

1 = 10 + 1 = 11

K = ½ = 1/2

H = 5 = 5

15.10,0 iii CxmaxC

15.9,0 iii CxmaxC

Para el caso de i=1, con xi = 9.5 se tiene:


Página 214

005.1045.9,01 maxC

05.0045.95.9,01 maxC

Para el caso de i=2, con xi = 7.99 se tiene:

005.1099.7,01 maxC

56.105.099.75.9,01 maxC

Si N+ y N- indican los periodos en que las sumas no han sido cero, se obtiene la tabla de

siguiente:

a b

Muestra Xi xi - 10.5 Ci+ N+ 9.5 - xi Ci- N

1 9.45 -1.05 0.00 0 0.05 0.05 1

2 7.99 -2.51 0.00 0 1.51 1.56 2

3 9.29 -1.21 0.00 0 0.21 1.77 3

4 11.66 1.16 1.16 1 -2.16 0.00 0

5 12.16 1.66 2.82 2 -2.66 0.00 0

6 10.18 -0.32 2.50 3 -0.68 0.00 0

7 8.04 -2.46 0.04 4 1.46 1.46 1

8 11.46 0.96 1.00 5 -1.96 0.00 0

9 9.20 -1.30 0.00 0 0.30 0.30 1

10 10.34 -0.16 0.00 0 -0.84 0.00 0

11 9.03 -1.47 0.00 0 0.47 0.47 1

12 11.47 0.97 0.97 1 -1.97 0.00 0

13 10.51 0.01 0.98 2 -1.01 0.00 0

14 9.40 -1.10 0.00 0 0.10 0.10 1

15 10.08 -0.42 0.00 0 -0.58 0.00 0

16 9.37 -1.13 0.00 0 0.13 0.13 1

17 10.62 0.12 0.12 1 -1.12 0.00 0

18 10.31 -0.19 0.00 0 -0.81 0.00 0

19 8.52 -1.98 0.00 0 0.98 0.98 1

20 10.84 0.34 0.34 1 -1.34 0.00 0

21 10.90 0.40 0.74 2 -1.40 0.00 0

22 9.33 -1.17 0.00 0 0.17 0.17 1

23 12.29 1.79 1.79 1 -2.79 0.00 0

24 11.50 1.00 2.79 2 -2.00 0.00 0

25 10.60 0.10 2.89 3 -1.10 0.00 0

26 11.08 0.58 3.47 4 -1.58 0.00 0

27 10.38 -0.12 3.35 5 -0.88 0.00 0

28 11.62 1.12 4.47 6 -2.12 0.00 0

29 11.31 0.81 5.28 7 -1.81 0.00 0

30 10.52 0.02 5.30 8 -1.02 0.00 0


Página 215

Corrida en Minitab


2. Stat > Control Charts > Time weighted charts > CUSUM.

In Single column, seleccionar Xi. In Subgroup size, poner 1 Target 10.

3. Cusum Options: Standar deviation 1 Plan Type h 5 k 0.5 OK.

0.00

1.00

2.00

3.00

4.00

5.00

6.00

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Ci+

Ci-

Figura 5.14 Carta Cusum en Excel para el ejemplo

Sample

Cu

mu

lati

ve

Su

m

30272421181512963

5.0

2.5

0.0

-2.5

-5.0

0

UCL=5

LCL=-5

CUSUM Chart of Xi_1

Figura 5.15 Carta Cusum en Minitab para el ejemplo

De la tabla de Cusum Tabular se observa que en el periodo 29 su C29+ fue de 5.28, lo que sugiere

una situación fuera de control, usando el contador N+ cuyo valor es 7, indica que el último punto

en control fue el 29 – 7 = 22, de tal forma que el corrimiento ocurrió entre el periodo 22 y 23.


Página 216

También se puede obtener una presentación gráfica de esta carta, denominada Carta de Estatus

de Cusum, graficando Ci+ y Ci

- contra el número de muestra. Esto da una idea gráfica al operador

del desempeño del proceso.

En forma similar a las cartas Cusum, se debe detener el proceso, identificar la causa asignable o

especial, tomar acción correctiva e iniciar de nuevo la Cusum Tabular.

Cuando el proceso se corre, la nueva media puede estimarse de:

N

CK i

0 , si HCi (5.16)

N

CK i

0 , si HCi (5.17)

En el ejemplo, en el periodo 29 con C

29 = 5.28, la nueva media del proceso es,

25.117

28.55.010

Esto es importante saberlo, por si el proceso tiene alguna forma de ajuste.

Cuando se utiliza un tamaño de subgrupo mayor a 1, en las fórmulas anteriores se debe remplazar

a xi por ix y por la x = n

, aunque se recomienda usar un tamaño de muestra 1 con

frecuencia de muestreo mayor que para el equivalente de Shewart.

La carta Cusum tabular también se puede utilizar para un solo lado con C+ o C-.

EL PROCEDIMIENTO DE LA MASCARILLA EN V

Un procedimiento alterno al uso del método tabular Cusum, es la mascarilla en V propuesta por

Barnard (1959), esta mascarilla es aplicada a valores sucesivos del estadístico,


Página 217

1

1

ii

i

j

ji CyyC (5.18)

donde yi = (xi - 0) / observación estandarizada. Una mascarilla en V se muestra a continuación:

Ci

O d P

2A

1A

1 2 3 4 5 ............................................. i

Figura 5.16 Carta de control Cusum con mascarilla en V

El procedimiento consiste en colocar la mascarilla en V sobre la carta Cusum, con el punto O sobre

el último valor de Ci y la línea OP paralela al eje horizontal. Si todos los puntos anteriores C1,

C2,....,Cj se encuentran dentro de los dos brazos de la mascarilla, el proceso está en control, sin

embargo si cualquier punto de las sumas acumuladas se encuentra fuera de los brazos de la

mascarilla, se considera al proceso fuera de control.

En la práctica, la mascarilla en V se debe colocar a cada punto tan pronto como es graficado, los

brazos de la mascarilla se asumen extendidos hasta el origen.

La operación de la mascarilla en V está determinada por la distancia

al vértice d y el ángulo .

La Cusum Tabular es equivalente a la mascarilla en V si,


Página 218

k = A tan () (5.19)

y

h = A d tan () = d.k (5.20)

Donde A es la distancia horizontal en la mascarilla en V, entre puntos sucesivos en términos de

unidades de distancia de la escala vertical.

Ejemplo 5.6 Para la forma tabular con k = ½ y h = 5, seleccionando A =1 se tiene

k = A tan () => ½ = (1) tan ()

o = 26.57

de h = d.k => 5 = d (1/2)

o d =10

Estos son los parámetros de la mascarilla en V.

Sample

Cu

mu

lati

ve

Su

m

24222018161412108642

25

20

15

10

5

0 Target=0

Vmask Chart of AtoBDist

Figura 5.17 Ejemplo de carta de control Cusum con mascarilla en V para AtoBDist

Corrida en Minitab con los datos de la Cusum Tabular:

Stat > Control Charts > Time weighted charts > CUSUM.


Página 219

In Single column, seleccionar Xi. In Subgroup size, poner 1 Target 10.

Cusum Options: Standar deviation 1

Plan Type Seleccionar Two sided (V Mask) h 4 k 0.5

OK.

28252219161310741

30

20

10

0

-10

Sample

Cu

mu

lati

ve

Su

m

Target=0

Vmask Chart of Xi

Figura 5.18 Ejemplo de carta de control Cusum con mascarilla en V para Xi

Johnson y Leone han sugerido un método para diseñar una mascarilla en V, con las fórmulas

siguientes:

Atan

2

1 (5.21)

y

1ln

22

d (5.22)

Donde 2 es la máxima probabilidad de una falsa alarma cuando el proceso está en control y es

la probabilidad de no detectar un corrimiento de magnitud .


Página 220

d

)ln( cuando es muy pequeño.

Ejemplo 5.7 si = 0.05 y = 0.05 y = 1, se obtiene la mascara en V siguiente:

05.0

05.01ln

1

22

d

= 5.888

56.262

11

tan

No se recomienda el uso de la mascarilla en V ya que tiene algunas desventajas como son:

1. Es un esquema de doble lado, no apta para control de un solo lado.

2. Es difícil determinar que tanto extender los brazos de la mascarilla en V, dificultando la

interpretación del proceso.

3. Existe ambigüedad asociada con alfa y beta.


Página 221

5.7 CARTA DE CONTROL DE MEDIAS MOVILES EXPONENCIALMENTE PONDERADAS (EWMA)

El desempeño de esta carta, es equivalente al de sumas acumuladas, con n=1.

Su estadístico se define como sigue:

1)1( iii zxz (5.23)

donde 0<<=1 es una constante y su valor inicial es el valor objetivo del proceso, de tal forma

que:

00 z a veces igual a x

Si las observaciones xi son variables aleatorias independientes con varianza 2 , entonces la

varianza de zi es:

i

zi

22 )1(12

(5.24)

Por tanto los límites de control de zi versus el número de muestra o tiempo i, son:

iLLSC 2

0 )1(12

(5.25)

0LC (5.26)

iLLIC 2

0 )1(12

(5.27)


Página 222

Note que el término [1 – (1-)2i] se aproxima a la unidad conforme i se incrementa, esto significa

que cuando la carta EWMA ha corrido durante varios periodos de tiempo, los límites de control se

estabilizan en:

20 LLSC (5.28)

0LC (5.29)

20 LLSC (5.30)

Ejemplo Utilizando los datos de la carta Cusum con = 0.10, L = 2.7, 0 = 0 y = 3.5, se tiene la

carta EWMA mostrada en la página siguiente.

Para x1= 9.45, calculando z1 = 9.945; LSC = 10.27 y LIC = 9.73 con la fórmulas anteriores.

Para x2= 7.99, calculando z2 = 9.7495; LSC = 10.36 y LIC = 9.64, conforme se incrementa i los límites

se estabilizan en LSC = 10.62 LIC = 9.38.

La carta EWMA tiene un ARL0 500 y una ARL1 14.3 equivalente a la Cusum con h=5 y k=1/2.

Esta carta no reacciona a cambios grandes de la media tan rápido como la hace la carta de

Shewart, este mismo comportamiento lo tienen tiene la carta Cususm.

Corrida en Minitab:


2. Stat > Control Charts > Time weighted charts > EWMA

3. In Single column, seleccionar AtoBDist. In Subgroup size, poner 5.

4. Weight of EWMA 0.1

5. EWMA Options > Parameters Mean 0.0 Standar Deviation 3.5

S Limits These multiples of the estándar deviation 2.7

6. OK.


Página 223

252321191715131197531

1.0

0.5

0.0

-0.5

-1.0

Sample

EW

MA

__X=0

+2.7SL=0.967

-2.7SL=-0.967

EWMA Chart of AtoBDist

Figura 5.19 Ejemplo de carta de control EWMA

Otro ejemplo de carta EWMA:

Con los datos del ejemplo anterior, considerando una Lamda de 0.1, L = 2.7, 0=10, y la

desviación estándar = 1, a continuación se muestran los cálculos de la carta EWMA:

Muestra Xi EWMA, Zi

1 9.45 9.945

2 7.99 9.7495

3 9.29 9.7036

4 11.66 9.8992

5 12.16 10.1253

6 10.18 10.1307

7 8.04 9.9217

8 11.46 10.0755

9 9.20 9.9880

10 10.34 10.0232

11 9.03 9.9238

12 11.47 10.0785

13 10.51 10.1216

14 9.40 10.0495

15 10.08 10.0525

16 9.37 9.9843

17 10.62 10.0478

18 10.31 10.0740


Página 224

19 8.52 9.9186

20 10.84 10.0108

21 10.90 10.0997

22 9.33 10.0227

23 12.29 10.2495

24 11.50 10.3745

25 10.60 10.3971

26 11.08 10.4654

27 10.38 10.4568

28 11.62 10.5731

29 11.31 10.6468

30 10.52 10.6341

Los límites de control son los siguientes:

Muestra Xi EWMA, Zi LSC LIC

1 9.45 9.945 10.2700 9.7300

2 7.99 9.7495 10.3632 9.6368

3 9.29 9.7036 10.4240 9.5760

4 11.66 9.8992 10.4675 9.5325

5 12.16 10.1253 10.4999 9.5001

6 10.18 10.1307 10.5247 9.4753

7 8.04 9.9217 10.5440 9.4560

8 11.46 10.0755 10.5591 9.4409

9 9.20 9.9880 10.5710 9.4290

10 10.34 10.0232 10.5805 9.4195

11 9.03 9.9238 10.5881 9.4119

12 11.47 10.0785 10.5942 9.4058

13 10.51 10.1216 10.5991 9.4009

14 9.40 10.0495 10.6030 9.3970

15 10.08 10.0525 10.6062 9.3938

16 9.37 9.9843 10.6087 9.3913

17 10.62 10.0478 10.6107 9.3893

18 10.31 10.0740 10.6124 9.3876

19 8.52 9.9186 10.6137 9.3863

20 10.84 10.0108 10.6148 9.3852

21 10.90 10.0997 10.6157 9.3843

22 9.33 10.0227 10.6164 9.3836

23 12.29 10.2495 10.6170 9.3830

24 11.50 10.3745 10.6174 9.3826

25 10.60 10.3971 10.6178 9.3822

26 11.08 10.4654 10.6181 9.3819

27 10.38 10.4568 10.6184 9.3816

28 11.62 10.5731 10.6186 9.3814

29 11.31 10.6468 10.6187 9.3813


Página 225

30 10.52 10.6341 10.6189 9.3811

8.6

8.8

9

9.2

9.4

9.6

9.8

10

10.2

10.4

10.6

10.8

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

EWMA, Zi

LSC

LIC

Figura 5.20 Carta EWMA graficada en Excel

La carta con Minitab es:

1. Stat > Control Charts > Time weighted charts > EWMA

2. In Single column, seleccionar Xi. In Subgroup size, poner 1.

3. Weight of EWMA 0.1

4. EWMA Options > Parameters Mean 10.0 Standar Deviation 1

S Limits These multiples of the estándar deviation 2.7

6. OK.

Sample

EW

MA

30272421181512963

10.75

10.50

10.25

10.00

9.75

9.50

__X=10

+2.7SL=10.619

-2.7SL=9.381

EWMA Chart of Xi_1

Figura 5.21 Carta EWMA graficada en Excel


Página 226

5.8 CARTA DE CONTROL DE MEDIA MOVIL

Utilizada como un intermedio entre la carta de Shewart y la EWMA para detectar pequeñas

corridas de la media. Asumiendo que se define un rango de observaciones w en el tiempo i, su

media móvil es:

w

xxxM wiii

i11 .....

(5.31)

Los límites de control son:

w

LSC

3

0 (5.32)

0LC (5.33)

wLIC

30 (5.34)

Por ejemplo usando los datos anteriores con w = 5. Graficando el estadístico M i para

periodos i 5.

5

.... 41 iii

i

xxxM (5.35)

Para periodos i<5 se grafica el promedio de las observaciones para los periodos 1, 2, 3, ...i.

Ejemplo 5.9 Los límites de control son con 0 =10 y =1, se tiene:

LSC = 10 + 3 (1.0) / 51/2 = 11.34

LSC = 10 - 3 (1.0) / 51/2 = 8.66

Ejemplo La carta de media móvil para los datos del ejemplo anterior con un tamaño de corrida de

5 es la siguiente:

Corrida en Minitab:


2. Stat > Control Charts > Time Weighted charts > Moving Average

3. In Single column, seleccionar AtoBDist. In Subgroup size, poner 5.

4. Lenght of MA 5

5. OK.


Página 227

2520151050

5

4

3

2

1

0

-1

-2

-3

-4

-5

Sample Number

Mo

vin

g A

ve

rag

e

Moving Average Chart for AtoBDist

Mean=0.4417

UCL=2.346

LCL=-1.463

Figura 5.22 Ejemplo de carta de control de Media móvil

Otro ejemplo de carta de media móvil:

Se quiere monitorear el peso en libras de 45 lotes de arena embarcados semanalmente a un

cliente. Cada lote pesa aproximadamente 930 libras. Comparar el monitoreo con una carta I-MR y

una carta de promedio móvil.

Los datos son los siguientes:

Weight

905 875

930 985

865 970

895 940

905 975

885 1000

890 1035

930 1020

915 985

910 960

920 945

915 965

925 940

860 900

905 920


Página 228

925 980

925 950

905 955

915 970

930 970

890 1035

940 1040

860

Instrucciones de Minitab

1. Open worksheet EXH_QC.MTW.

2. Seleccionar Stat > Control Charts > Time-weighted charts > Moving Average.

3. Seleccionar All observations for a chart are in one column, poner Weight.

4. En Subgroup sizes, poner 1. Click OK.

La carta de promedio móvil es:

Sample

Mo

vin

g A

ve

rag

e

44403632282420161284

1025

1000

975

950

925

900

875

850

__X=936.9

UCL=979.6

LCL=894.1

Moving Average Chart of Weight

Figura 5.23 Carta de media móvil del ejemplo

La carta I-MR es la siguiente:


Página 229

Observation

In

div

idu

al

Va

lue

44403632282420161284

1050

1000

950

900

850

_X=936.9

UC L=1010.9

LC L=862.8

Observation

Mo

vin

g R

an

ge

44403632282420161284

100

75

50

25

0

__MR=27.8

UC L=91.0

LC L=0

11

1

1

11

1

I-MR Chart of Weight

Figura 5.25 Carta I-MR del ejemplo

Se observa una mejor detección de corrida de la media en la carta EWMA

Ejemplo de media móvil:

Usando los datos siguientes con M = 5, con desviación estándar = 1 y media = 10:

Muestra Xi Mi LSC LIC

1 9.45 9.450 13.0000 7.0000

2 7.99 8.720 12.1213 7.8787

3 9.29 8.910 11.7321 8.2679

4 11.66 9.598 11.5000 8.5000

5 12.16 10.110 11.3416 8.6584

6 10.18 10.256 11.3416 8.6584

7 8.04 10.266 11.3416 8.6584

8 11.46 10.700 11.3416 8.6584

9 9.20 10.208 11.3416 8.6584

10 10.34 9.844 11.3416 8.6584

11 9.03 9.614 11.3416 8.6584

12 11.47 10.300 11.3416 8.6584

13 10.51 10.110 11.3416 8.6584

14 9.40 10.150 11.3416 8.6584

15 10.08 10.098 11.3416 8.6584

16 9.37 10.166 11.3416 8.6584

17 10.62 9.996 11.3416 8.6584

18 10.31 9.956 11.3416 8.6584


Página 230

19 8.52 9.780 11.3416 8.6584

20 10.84 9.932 11.3416 8.6584

21 10.90 10.238 11.3416 8.6584

22 9.33 9.980 11.3416 8.6584

23 12.29 10.376 11.3416 8.6584

24 11.50 10.972 11.3416 8.6584

25 10.60 10.924 11.3416 8.6584

26 11.08 10.960 11.3416 8.6584

27 10.38 11.170 11.3416 8.6584

28 11.62 11.036 11.3416 8.6584

29 11.31 10.998 11.3416 8.6584

30 10.52 10.982 11.3416 8.6584

6.00

7.00

8.00

9.00

10.00

11.00

12.00

13.00

14.00

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29

Xi

Mi

LSC

LIC

Figura 5.26 Carta de media móvil en Excel


Página 231

6. ANÁLISIS DE CAPACIDAD DEL PROCESO

6.1 INTRODUCCIÓN

Las técnicas estadísticas ayudan durante el ciclo del producto a reducir la variabilidad y a mejorar

la capacidad de los procesos.

Nigel´s Trucking Co.

Teoría del camión y el túnelEl túnel tiene 9' de ancho (especificación). El camión tiene 10’ y el chofer es perfecto

(variación del proceso). ¿Pasaría el camión? NO, la variabilidad del proceso es mayor

que la especificación.

Centrar es hacer que el promedio del proceso sea igual al centro de la

especificación. Si el camión tiene 8 pies de ancho ¿pasará el camión?, Si. Si

el chofer puede mantener el centro del camión en el centro del túnel. De otra forma

chocará con las paredes del túnel y no pasará a pesar de ser más angosto.

Ancho 9´

Definiciones básicas.

Proceso: Éste se refiere a alguna combinación única de máquinas, herramientas, métodos,

materiales y personas involucradas en la producción.

Capacidad o habilidad: Esta palabra se usa en el sentido de aptitud, basada en el

desempeño probado, para lograr resultados que se puedan medir.


Página 232

Capacidad del proceso: Es la aptitud del proceso para producir productos dentro de los

límites de especificaciones de calidad.

Capacidad medida: Esto se refiere al hecho de que la capacidad del proceso se cuantifica a

partir de datos que, a su vez, son el resultado de la medición del trabajo realizado por el

proceso.

Capacidad inherente: Se refiere a la uniformidad del producto que resulta de un proceso

que se encuentra en estado de control estadístico, es decir, en ausencia de causas

especiales o atribuibles de variación.

Variabilidad natural: Los productos fabricados nunca son idénticos sino que presentan

cierta variabilidad, cuando el proceso está bajo control, solo actúan las causas comunes de

variación en las características de calidad.

Valor Nominal: Las características de calidad tienen un valor ideal óptimo que es el que

desearíamos que tuvieran todas las unidades fabricadas pero que no se obtiene, aunque

todo funcione correctamente, debido a la existencia de la variabilidad natural.

La aplicación del análisis de capacidad de los procesos tiene los objetivos siguientes:

1. Predecir que tanto cumplirá las tolerancias especificadas el proceso.

2. Apoyar a los diseñadores en la selección o modificación de un proceso.

3. Soportar la determinación de intervalos de muestreo para monitoreo del proceso.

4. Determinar el desempeño de un equipo nuevo.

5. Planear la secuencia de procesos productivos cuando hay un efecto interactivo de procesos o

tolerancias.

6. Seleccionar de entre diversos proveedores.

7. Reducir la variabilidad de un proceso de manufactura.

La capacidad de los procesos para cumplir especificaciones se refiere a la uniformidad de los

procesos medida como la variabilidad del producto, hay dos formas de pensar en esta variabilidad:

1. La variabilidad natural en un cierto tiempo (variabilidad instantánea).

2. La variabilidad en el tiempo.


Página 233

Es usual tomar 6-sigma de la población como la dispersión en la distribución de la característica

de calidad del producto como medida de la capacidad del proceso.

Los límites de tolerancia natural del proceso, superior (LTNS) e inferior (LTNI) , se encuentran en

3 , o sea:

LTNS = + 3 (6.1)

LTNI = - 3

Para un proceso normal, los límites de tolerancia naturales incluyen 99.73% de la variable, sólo el

0.27% (2700 ppm) de la salida del proceso se encontrará fuera de estos limites de tolerancia

naturales. Sin embargo, si el proceso no es normal, el porcentaje puede diferir grandemente. Esto

se esquematiza en la figura siguiente:

.00135 LTNI LTNS .00135

Fig. 6.1 Localización de los límites de tolerancia natural

Existen diversas técnicas para evaluar la capacidad del proceso, entre las que se encuentran:

Histogramas o papel de probabilidad, cartas de control y experimentos diseñados.

Fig. 6.2 Fracción defectiva fuera de especificaciones

_

Xxi

s

Z

LIE LSE

p


Página 234

p = porcentaje de medidas bajo la curva de probabilidad fuera de especificaciones.

En el área sombrada observamos medidas fuera de los límites de especificación.

Para solucionar este problema, podemos reducir la desviación estándar.

También podríamos cambiar la media.

Lo ideal sería, por supuesto cambiar ambas.

Figura 6.3 Algunas alternativas para mejorar la capacidad

Condiciones para realizar un estudio de capacidad del proceso

Para realizar un estudio de capacidad es necesario que se cumplan los siguientes supuestos32:

El proceso se encuentre bajo control estadístico, es decir sin la influencia de fuerzas externas o

cambios repentinos. Si el proceso está fuera de control la media y/o la desviación estándar del

proceso no son estables y, en consecuencia, su variabilidad será mayor que la natural y la

32 J.M. Juran, Análisis y planeación de la Calidad, Tercera Edición Mc. Graw Hill, Pp.404


Página 235

capacidad potencial estará infravalorada, en este caso no es conveniente hacer un estudio de

capacidad.

Se recolectan suficientes datos durante el estudio de habilidad para minimizar el error de

muestreo para los índices de habilidad. Si los datos se componen de menos de 100 valores,

entonces deben calcularse los límites de confianza inferiores.

Los datos se recolectan durante un periodo suficientemente largo para asegurar que las

condiciones del proceso presentes durante el estudio sean representativos de las condiciones

actuales y futuras.

El parámetro analizado en el estudio sigue una distribución de probabilidad normal, de otra

manera, los porcentajes de los productos asociados con los índices de capacidad son

incorrectos.

También es importante al realizar un estudio de capacidad, asegurarnos que la variación en el

sistema de medición no sea mayor al 10%.

Variación a corto plazo y a largo plazo

Existen dos maneras de expresar la variabilidad:

Variación a corto plazo (Zst) – Los datos son recogidos durante un periodo de tiempo

suficientemente corto para que sea improbable que haya cambios y otras causas especiales.

Las familias de variación han sido restringidas de tal manera que los datos considerados, sólo son

los que se obtuvieron del subgrupo racional. Ayuda a determinar subgrupos racionales

importantes.

Figura 6.4 Variabilidad a corto plazo

Variación a Largo Plazo(Zlt) – Los datos son recogidos durante un periodo de tiempo

suficientemente largo y en condiciones suficientemente diversas para que sea probable que


Página 236

contenga algunos cambios de proceso y otras causas especiales. Aquí todas las familias de

variación exhiben su contribución en la variación del proceso general.

Figura 6.5 Variabilidad a largo plazo

Para el cálculo de Z utilizamos las siguientes formulas:

ST

ststddesv

nomespeciflímiteZ

.

.. (6.1)

LT

LTstddesv

mediaespeciflímiteZ

.

.

dónde:

Zst = variación a corto plazo.

nom = Valor nominal u objetivo

Zlt = variación a largo plazo.

Z shift.- A largo plazo los procesos tienen un desplazamiento natural de 1.5 desviaciones estándar.

Zlt = Zst-1.5shift

6.2 ÍNDICES DE CAPACIDAD

Índice de capacidad potencial Cp


Página 237

El índice de capacidad potencial Cp = PCR compara la amplitud de variación permitida por las

especificaciones entre la amplitud de variación entre los límites de tolerancia naturales del

proceso.

6

LIELSEPCRCp

(6.2)

Ejemplo 6.1 para el caso de anillos de pistones, donde el LSE = 74.05mm y el LIE= 73.95mm y de la

carta R se estimó 0099.02

d

R por tanto se tiene:

Cp = PCR = (LSE – LIE) / 6

= (74.05 – 73.95) / 6 (0.0099) = 1.68

La función P (inverso de Cp) es el porcentaje de la banda de especificaciones usada por el proceso.

1001

CpP (6.3)

Para el caso del ejemplo se tiene:

P = [(1/1.68)] 100 = 59.5%

Cuando sólo existe un límite de especificaciones, el índice de capacidad potencial Cp o PCR se

define como:

3

LSEPCRCps S para el límite superior (6.4)

3

LIEPCRCpi I

para el límite inferior


Página 238

Ejemplo 6.2 Para el caso de la resistencia de las botellas de vidrio, si el LIE = 200psi,

67.096

64

)32(3

200264

IPCRCp

Lo cual indica falta de habilidad, la fracción abajo del límite inferior es:

232

264200

LIEZ I

P(x <= ZI) = 0.0228 o 2.28% por debajo del límite inferior de especificaciones

Algunos de los índices de capacidad potencial Cp y las piezas defectivas en partes por millón (ppm)

que están fuera de especificaciones se muestran a continuación:

Cp 1-lado 2-lados

0.25 226,628 453,255

0.5 66,807 133,614

0.6 35,931 71,861

0.7 17,865 35,729

0.8 8,198 16,395

1 1,350 2,700

1.1 484 967

1.2 159 318

1.3 48 96

1.4 14 27

1.5 4 7

1.6 1 2

1.7 0.17 0.34

2 0.0009 0.0018

Se recomienda que para procesos existentes el mínimo Cp sea de 1.33 y de 1.67 para procesos

críticos, el ideal es 2.0 para procesos nuevos como es el caso de Motorola en su programa 6-sigma.


Página 239

Este índice no toma en cuenta la localización relativa de la media del proceso respecto a los límites

de especificaciones. Por lo que es necesario otro índice adicional.

Índice de capacidad real Cpk

Este índice si toma en cuenta el centrado del proceso respecto a las especificaciones, en este caso

se denomina Cpk o PCRk, y se evalúa tomando el mínimo entre los Cp’s correspondientes a cada

lado de la media, como sigue,

),( IS PCRPCRminPCRkCpk debe ser mayor a 1

(6.5)

donde,

3

LSEPCRCps S para el límite superior (6.6)

3

LIEPCRCpi I

para el límite inferior

Ejemplo 6.3 Para un proceso donde los límites de especificación sean LSE=62, LIE=38, la media del

proceso sea =53 y su desviación estándar =2, se tiene:

5.132

5362

SPCRCps para el límite superior

5.232

3853

IPCRCpi para el límite inferior

Por tanto, el índice de capacidad real es:

5.1)5.2,5.1(),( minPCRPCRminPCRkCpk IS

Note que el PCR a considerar corresponde al límite de especificación más cercano a la media del

proceso. Siempre se cumple que,


Página 240

Cpk <= Cp

Siendo el Cpk menor cuando el proceso no está centrado

NORMALIDAD Y CAPACIDAD DEL PROCESO

Las consideraciones anteriores se basan en la suposición que el proceso tiene un comportamiento

normal, si no es así, puede ser necesario transformar los datos con alguna función matemática

para dar la apariencia de normalidad, por ejemplo la distribución siguiente de acabado superficial

en una parte maquinada no es normal:

Frec.

a)

Microdureza

Se puede transformar cada valor x con su inverso o sea con y=1/x de esta forma la distribución

transformada es la siguiente (ver método de Box Cox con Lamda óptima en Minitab):

Frec.

b)

Y = 1 / x

Figura 6.6 Transformación de datos para normalizarlos

Lo cual representa una distribución normal.


Página 241

Índice de capacidad potencial Cpm o PCRm y Cpkm o PCRkm

Dos procesos pueden tener un Cpk igual a uno, pero sin embargo no necesariamente están

centrados respecto a la media de las especificaciones como se muestra a continuación:

LIE LSE LIE LSE

PROCESO A: Cpk = 1 PROCESO B: Cpk =1

Figura 6.7 Procesos con Cpk = 1 pero con centrado diferente

ÍNDICE DE CAPACIDAD Cpm

Un nuevo índice Cpm que toma en cuenta el centrado es el siguiente:

Si )(2

1LIELSET (6.7)

22 )( T (6.8)

T (6.9)

Se tiene,

222 1)(66

LIELSE

T

LIELSELIELSEPCRCp kmm

(6.10)

Una condición necesaria para que Cpm sea mayor de uno es:

)(6

1LIELSET

Ejemplo 6.4 Para los procesos A y B ilustrados anteriormente se tiene:


Página 242

Límites de especificación: LIE = 38, LSE = 62, T = 50

Proceso A: Media = 50, desv. estándar = 5

Proceso B: Media = 57.7, desv. estándar = 2.5

Entonces Cpm (A) = 0.101

1

Cpm (B) = 63.0)3(1

2

2

Por tanto es mejor el proceso A, centrado en la media.

ÍNDICE DE CAPACIDAD Cpkm

En base a lo anterior se ha propuesto otro índice de capacidad por Pearn (1992), que toma en

cuenta el descentrado de la media del proceso respecto de la media de especificaciones, o sea:

21

Cpk

PCRCp pmkpmk (6.11)

Cuando T es igual a X media del proceso, Cpkm = Cpk

Ejemplo:

De una carta de control X - R (con subgrupos de n = 5), después de que el proceso se estabilizó

quedando sólo con causas comunes, se obtuvo lo siguiente:

Xmedia de medias = 264.06 Rmedio = 77.3

Por tanto estimando los parámetros del proceso se tiene:

= X media de medias = Rmedio / d2 =77.3 / 2.326 = 33.23

[ d2 para n = 5 tiene el valor 2.326]

Si el límite de especificación es: LIE = 200.

El Cpk = (200 - 264.06) / (77.3) (3) = 0.64 por tanto el proceso no cumple con las especificaciones


Página 243

Ejercicio:

De una carta de control X - R (con tamaño de subgrupo n = 5), después de que el proceso se

estabilizó quedando sólo con causas comunes (LIE = 36, LSE = 46) se obtuvo lo siguiente:

Xmedia de medias = 40 Rmedio = 5

a) Determinar la desviación estándar del proceso

b) Determinar los límites de tolerancia natural del proceso

c) Determinar la fracción defectiva o porcentaje fuera de especificaciones

d) Determinar el Cp

e) Determinar el Cpk

f) Determinar el Cpm

g) Determinar el Cpkm

h) Establecer conclusiones de los resultados anteriores

6.3 CAPACIDAD DEL PROCESO CON HISTOGRAMA O PAPEL DE PROBABILIDAD NORMAL

Histograma

Para el estudio se requieren alrededor de 100 o más observaciones para permitir que el proceso

se estabilice, deben seguirse los pasos previos siguientes:

Procedimiento:


Página 244

1. Seleccionar un proceso específico para realizar el estudio

2. Seleccionar las condiciones de operación del proceso

3. Seleccionar un operador entrenado

4. El sistema de medición debe tener habilidad (error R&R < 10%)

5. Cuidadosamente recolectar la información

6. Construir un histograma de frecuencia con los datos

7. Calcular la media y desviación estándar del proceso

8. Calcular la capacidad del proceso

El histograma junto con la media y la desviación estándar de la muestra S, proporciona

información acerca de la capacidad del proceso.

Ejemplo 6.4 Se tiene la resistencia de botellas de vidrio de 1-litro en psi. Los datos se muestran se

muestran a continuación.

HIST

265 346 265 221 261

205 317 254 176 248

263 242 281 248 260

307 258 294 263 274

220 276 223 231 337

268 300 260 334 250

260 208 308 280 278

234 187 235 265 254

299 264 283 272 274

215 271 277 283 275

197 280 200 265 278

286 242 235 262 250

274 260 246 271 265

243 321 328 245 270

231 228 296 301 298

267 250 276 280 257

281 299 264 274 210

265 258 269 253 280

214 267 235 287 269

318 293 290 258 251


Página 245

330300270240210180

Median

Mean

270268266264262260258

1st Q uartile 248.00

Median 265.00

3rd Q uartile 280.00

Maximum 346.00

257.71 270.41

260.00 271.00

28.11 37.19

A -Squared 0.75

P-V alue 0.049

Mean 264.06

StDev 32.02

V ariance 1025.15

Skewness -0.129448

Kurtosis 0.518454

N 100

Minimum 176.00

A nderson-Darling Normality Test

95% C onfidence Interv al for Mean

95% C onfidence Interv al for Median

95% C onfidence Interv al for StDev

95% Confidence Intervals

Summary for HIST

Figura 6.8 Resumen gráfico de los datos

06.264X S = 32.02

Consecuentemente la capacidad el proceso se estima en SX 3 264 96 psi.

Esta primera estimación de la capacidad es independiente de las especificaciones.

Papel de probabilidad normal

Es una herramienta que permite evaluar la capacidad aproximada del proceso con resultados

parecidos a los del histograma pero con un número menor de muestras y sin las operaciones del

histograma, a continuación se muestra un ejemplo de esta herramienta.


Página 246

Ventajas

1. Se puede observar el comportamiento del proceso sin tomar tantos datos como en el

histograma, 10 son suficientes

2. El proceso es más sencillo ya que no hay que dividir el rango de la variable en intervalos de clase

como en el histograma.

3. Visualmente se puede observar la normalidad de los datos, si se apegan a la línea de ajuste

4. Permite identificar la media y la desviación estándar aproximada del proceso. Así como la

fracción defectiva, el porcentaje de datos entre cierto rango, el Cp y el Cpk.

Procedimiento

1. Se toman al menos n = 10 datos y se ordenan en forma ascendente, asignándoles una posición (

j ) entre 1 y n.

2. Se calcula la probabilidad de cada posición con la fórmula siguiente:

Pj = (j - 0.5) / n

3. En el papel especial normal se grafica cada punto (Xj, Pj)

4. Se ajusta una línea recta que mejor aproxime los puntos

5. Si no hay desviaciones mayores de la línea recta, se considera normal el proceso y se procede a

hacer las identificaciones:

La media corresponde al percentil 50 y la desviación estándar es estimada por la diferencia del

percentil 84 menos el percentil 50,

La media será el punto en X correspondiente a Pj = 0.5

La desviación estándar es la diferencia en Xj corresp. a Pj = 0.5 y Pj = 0.84

Ejemplo 6.5 .-Se tomaron los datos siguientes (Xj) ordenamos los datos y, calculamos la

probabilidad de su posición (Pj)


Página 247

Con ayuda del gráfico podemos obtener la media, la desviación estándar y el porcentaje de valores que se encuentran fuera de especificaciones. Figura 6.9 Capacidad del proceso con papel normal El trazo normal es el siguiente: El eje Y es un rango no lineal de probabilidades normales.

El eje X es un rango lineal de la variable que se está analizando.

Si los datos son normales, la frecuencia de ocurrencias en varios valores Xi, puede predecirse

usando una línea sólida como modelo. Por ejemplo, sólo más del 20% de los datos del proceso

serían valores de 225 o inferiores.

Pos. J Valor Xj Pj Pos. J Xj Pj

1 197 0.025 11 271 0.525

2 200 0.075 12 275 0.575

3 215 0.125 13 277 0.625

4 221 0.175 14 278 0.675

5 231 0.225 15 280 0.725

6 242 0.325 16 283 0.775

7 245 0.325 17 290 0.825

8 258 0.375 18 301 0.875

9 265 0.425 19 318 0.925

10 265 0.475 20 346 0.975

0.5

X Media

0.84

Desv. Estándar

Xj

Pj

LIE

Fracción

Defectiva


Página 248

Ejemplo 6.6 Cálculo de capacidad con papel normal en Minitab

Datos 271 197

275 200

277 215

278 221

280 231

283 242

290 245

301 258

318 265

346 265

350300250200150

99

95

90

80

70

60

50

40

30

20

10

5

1

Datos

Pe

rce

nt

Mean 262.9

StDev 38.13

N 20

AD 0.262

P-Value 0.667



Página 249

De este diagrama se obtiene:

9.262

psi1.359.262298

Note que los valores no difieren mucho de los del histograma con media 264.06 y desviación

estándar S = 32.02.

Con esta gráfica se pueden estimar también los porcentajes de partes fuera de las

especificaciones, por ejemplo si se traza el Límite Inferior de Especificación LIE en 200 psi, se

observa que se tiene un 5% aproximadamente fuera de especificaciones.

Nota: Es muy importante que el proceso sea normal, de lo contrario se obtendrán resultados

inexactos. Cuando los procesos son ligeramente anormales se pueden utilizar los métodos de

Pearson, transformar los datos por Box Cox o usar Weibull.

Capacidad del proceso con cartas de control

La carta de control es un mejor instrumento para evaluar la capacidad del proceso porque se

puede observar que el proceso esté en control ya sea en forma instantánea o durante el tiempo

antes de evaluar la capacidad.

Se puede observar que cuando el proceso está en control, no existen causas asignables que

puedan ser corregidas, y la única alternativa para reducir la variabilidad es con la intervención de

la administración.

En casos especiales como estos donde las variaciones presentes son totalmente inesperadas

tenemos un proceso inestable ó impredecible.


Página 250

Figura 6.10 Comportamiento de un proceso fuera de control Si las variaciones presentes son iguales, se dice que se tiene un proceso “estable”. La distribución

será “predecible” en el tiempo.

Fig. 6.11 Comportamiento de un proceso dentro de control

CCáállccuulloo ddee llaa ddeessvviiaacciióónn eessttáánnddaarr ddeell pprroocceessoo

2d

R ó

4C

S (Para cartas de control X-R y X-S respectivamente)

Donde,

El factor C4 = 4(n-1)/(4n – 3), con esta desviación estándar se determinan los índices de

desempeño Pp y Ppk.

?

? ?

? ?

? ?

Predicción

Tiempo


Página 251

S = Desviación estándar de la población

d2 = Factor que depende del tamaño del subgrupo en la carta de control X - R

C4 = Ídem al anterior para una carta X - S

En una carta por individuales, d2 se toma para n = 2 y Rango Medio = Suma rangos / (n -1)

Ejemplo 6.7 (carta X - R)

De una carta de control X - R (con subgrupo n = 5) se obtuvo lo siguiente, después de que el

proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes: x = 64.06 , R = 77.3


mediasdemediax

23.33326.2

3.77

2

d

R

Si el límite de especificación es: LIE = 200.

El

23.333

06.264200

pkC = 0.64 por tanto el proceso no cumple con las especificaciones.

Ejemplo 6.8 (carta X - S)

De una carta de control X - S (con subgrupo n = 5) se obtuvo lo siguiente, después de que el

proceso se estabilizó quedando sólo con causas comunes: 05.1,100 sx


100 x


Página 252

4C

s = 117.1

094.

05.1

C4 para n = 5 tiene el valor 0.94

Si el límite de especificación es: LIE = 85 y el LSE = 105.

El

492.1117.13

100105

pkC

El

984.2117.16

85105

pC

Por lo tanto el proceso es capaz de cumplir con especificaciones.

Capacidad de procesos con Minitab: normales y no normales

Generar 100 datos aleatorios en Minitab con Media = 264.6 y Desviación estándar S = 32.02 con

1. Calc > Random data > Normal

2. Generate 100 Store in columns C1 Mean 264.06 Estándar deviation 32.02 OK

Considerando Límites de especificaciones LIE = 200 y LSE = 330

Nos aseguramos que los datos se distribuyan normalmente con la prueba de Ryan como sigue:

3. Stat > Basic statistics > Normalita Test

4. Variable C1 Seleccionar Ryan Joiner test OK

El P value debe ser mayor a 0.05 para que los datos se distribuyan normalmente


Página 253

Datos

Pe

rce

nt

350300250200150

99.9

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

0.1

Mean

>0.100

269.3

StDev 30.72

N 100

RJ 0.994

P-Value


Fig. 6.12 Datos normales – Pvalue mayor a 0.05

Otra opción por medio de una gráfica de probabilidad normal, se tiene:

5. Graph > Probability plot > Normal

6. Graph Variable C1

7. Distribution Normal OK

Los puntos deben quedar dentro del intervalo de confianza para indicar que es normal la

distribución.

Datos

Pe

rce

nt

400350300250200150

99.9

99

95

90

80

7060504030

20

10

5

1

0.1

Mean

0.533

269.3

StDev 30.72

N 100

AD 0.317

P-Value

Probability Plot of DatosNormal - 95% CI

Fig. 6.13 Datos normales – Pvalue mayor a 0.05


Página 254

Determinación de la capacidad del proceso

Una vez comprobada la normalidad de los datos, determinar la capacidad con:

1. Stat > Quality tools > Capability análisis > Normal

2. Single column C1 Subgroup size 1 Lower Spec 200 Upper spec 330

3. Estimate R-bar OK

Los resultados se muestran a continuación:

360330300270240210

LSL USL

Process Data

Sample N 100



LSL 200.00000

Target *

USL 330.00000

Sample Mean 269.25354


C C pk 0.70


Pp 0.70

PPL 0.75

PPU 0.66

Ppk

C p

0.66

C pm *

0.70

C PL 0.75

C PU 0.66

C pk 0.66


PPM < LSL 10000.00

PPM > USL 30000.00

PPM Total 40000.00


PPM < LSL 12353.30

PPM > USL 24415.36

PPM Total 36768.66


PPM < LSL 12272.69

PPM > USL 24288.79

PPM Total 36561.48

Within

Overall

Process Capability of Datos

Fig. 6.14 Capacidad del proceso

Interpretación:

La desviación estándar Within se determina en base al Rango medio y d2 (1.128 para n = 2), con

esta se determinan los índices de capacidad potencial Cp y real Cpk, lo cual es adecuado para un

proceso en control o normal.


Página 255

La desviación estándar Overall se determina con la desviación estándar de todos los datos de la

muestra dividido entre el factor C4 = 4(n-1)/(4n – 3), con esta desviación estándar se determinan

los índices de desempeño Pp y Ppk así como el desempeño Overall, no importando si el proceso

está en control o no, en este último caso los valores no tienen significado práctico.

Opción Six Pack

Para mostrar toda la información relevante:

Determinar la capacidad con:

4. Stat > Quality tools > Capability Six Pack > Normal

5. Single column C1 Subgroup size 5 Lower Spec 200 Upper spec 330



In

div

idu

al V

alu

e

1009080706050403020101

320

240

160

_X=269.3

UCL=361.8

LCL=176.7

Mo

vin

g R

an

ge

1009080706050403020101

100

50

0

__MR=34.8

UCL=113.6

LCL=0

Observation

Va

lue

s

10095908580

300

250

200

360330300270240210

400300200

Within

Overall

Specs

Within

StDev 30.83472

C p 0.70

C pk 0.66

C C pk 0.70

O v erall

StDev 30.80011

Pp 0.70

Ppk 0.66

C pm *

11

Process Capability Sixpack of Datos

I Chart

Moving Range Chart

Last 25 Observations

Capability Histogram

Normal Prob Plot

A D: 0.317, P: 0.533

Capability Plot

Figura 6.15 Resultados de capacidad del proceso Six Pack

En este caso de la gráfica de probabilidad normal, los datos siguen una distribución normal.


Página 256

Capacidad de procesos no normales.

Cuando los datos provienen de poblaciones no normales una opción para realizar el estudio de

capacidad de procesos es mediante la distribución Weibull.

Ejemplo en Minitab

En una compañía se manufacturan losetas para piso, el problema que se tiene es referente a la

deformación en las mismas. Se toman 100 mediciones durante 10 días. El límite superior de

especificación (USL) = 3.5 mm Realice un estudio de capacidad con la ayuda de Minitab e

interprete los resultados.

Generar 100 datos aleatorios en Minitab con Factor de forma = 1, Factor de escala = 1 con

6. Calc > Random data > Weibull

7. Generate 100 Store in columns C1 Shape parameter 1.2 Scale parameter 1 Threshold

parameter 0 OK

Considerando Límites de especificaciones LIE = 0 y LSE = 3.5

Determinar la capacidad con:

7. Stat > Quality tools > Capability análisis > NoNormal

8. Single column C1 Dsitribution Weibull Lower Spec 0 Upper spec 3.5



El histograma no muestra evidencia de alguna discrepancia seria entre el modelo y los datos, ya

que la curva muestra buen ajuste. Sin embargo observamos que algunos datos caen fuera del

límite superior de especificación. Lo cual quiere decir que en algunos casos la deformación será

mayor a 3.5 mm.


Página 257

3.53.02.52.01.51.00.50.0

USL

Process Data

Sample N 100

Shape 1.24929

Scale 0.88470

LSL *

Target *

USL 3.50000

Sample Mean 0.82279


Pp *

PPL *

PPU 0.85

Ppk 0.85


PPM < LSL *

PPM > USL 10000

PPM Total 10000


PPM < LSL *

PPM > USL 3795.26

PPM Total 3795.26

Process Capability of Datos1Calculations Based on Weibull Distribution Model

Fig. 6.16 Determinación de la capacidad del proceso por Weibull - Datos no normales

El índice Ppk y Ppu33 = 0.85 lo cual nos dice que el desempeño del proceso no es capaz ya que

0.85<.1.33

También observamos que PPM > USL 3,795 lo cual significa que aproximadamente 3,795 PPM

estarán fuera de los límites de especificaciones.

También se cuenta con la opción Six Pack para esta opción.

Análisis de capacidad con experimentos diseñados

El diseño de experimentos es un método sistemático para variar el nivel de los parámetros

controlables del proceso y analizar sus efectos en los resultados finales o productos. De esta forma

se puede determinar el nivel de los parámetros que optimizan el proceso.

33 Los índices Pp y Ppk son similares a los índices Cp y Cpk , se refieren a la capacidad del proceso a largo plazo.


Página 258

6.7 ESTUDIOS DE CAPACIDAD DE SISTEMAS DE MEDICIÓN

Error rror del equipo de medición

En cualquier problema que involucre mediciones, de la variabilidad total parte de la variabilidad

observada es debida al producto mismo y parte es debida a la variación del equipo de medición, o

sea:

2

.

22

mediciónequipoproductototal (6.13)

Ejemplo 6.8 Tomando 20 partes y evaluándolas 2 veces por un mismo operador con el mismo

instrumento de medición, se obtienen los resultados mostrados a continuación:

PARTS OP1IN1 OP1IN2 X-media Rango

1 21 20 20.5 1

2 24 23 23.5 1

3 20 21 20.5 1

4 27 27 27 0

5 19 18 18.5 1

6 23 21 22 2

7 22 21 21.5 1

8 19 17 18 2

9 24 23 23.5 1

10 25 23 24 2

11 21 20 20.5 1

12 18 19 18.5 1

13 23 25 24 2

14 24 24 24 0

15 29 30 29.5 1

16 26 26 26 0

17 20 20 20 0

18 19 21 20 2

19 25 26 25.5 1

20 19 19 19 0

Figura 6.16 Cartas X-R del estudio

Con formato: Título 3, Izquierda,Interlineado: sencillo

Con formato: Español (México)


Página 259

191715131197531

30

25

20

Sample

Sa

mp

le M

ea

n

__X=22.3

UC L=24.18

LC L=20.42

191715131197531

3

2

1

0

Sample

Sa

mp

le R

an

ge

_R=1

UC L=3.267

LC L=0

1

1

11

1

1

11

1

1

Xbar-R Chart of C1, ..., C2

Figura 6.17 Cartas de control X-R de las mediciones del operador en sus dos intentos

Notar que la carta X indica muchos puntos fuera de control, lo cual es normal ya que se espera que

el instrumento distinga las diferentes unidades de producto. La carta R representa las

diferencias entre mediciones de la misma unidad con el mismo instrumento. En este caso la carta

R está en control, indicando que el operador no tiene dificultad para realizar las mediciones en

forma consistente. Si hubiera puntos fuera de control, indica que el operador tiene dificultad para

utilizar el instrumento.

La desviación estándar del error de medición, instrumento puede estimarse como:

887.0128.1

0.1

2

d

Roinstrument

Como la distribución del error de medición es aproximadamente normal, entonces 6instrumento es

un buen estimador de la capacidad del instrumento de medición.




Página 260

En este caso, 6instrumento = 6 (0.887) = 5.32, de tal forma que 2.66 de error de medición se puede

asignar al error del instrumento de medición.

Es usual comparar la capacidad del instrumento de medición contra el rango de las

especificaciones (LSE – LIE), denominado P/T, como sigue:

LIELSET

P oinstrument

6 (6.14)

Para el caso del ejemplo se tiene:

097.055

32.5

560

)887.0(6

T

P

Los valores de P/T menores a 0.1 implican una capacidad adecuada del instrumento de medición.

Basado en su precisión debe ser al menos de 0.1 de la tolerancia de la característica evaluada.

La variabilidad total de los datos de las mediciones incluyen la variabilidad del producto y las del

instrumento de medición. Por tanto,

22 Stotal

222

oinstrumenttotalproducto

De los datos del ejemplo se tiene:

Variable N Mean Median TrMean StDev SE Mean OP1IN1 40 22.300 21.500 22.167 3.172 0.502

22 Stotal = 3.17 x 3.17 = 10.0615

222

oinstrumenttotalproducto = 10.0615 – 0.7867 = 9.2748

Por tanto la desviación estándar de la característica del producto es:


Página 261

= 3.045

La variabilidad del instrumento de medición también puede expresarse como un porcentaje de la

variabilidad de la característica del producto como sigue:

100xproducto

oinstrument

(6.15)

Para el ejemplo se tiene:

100xproducto

oinstrument

= %13.29100

045.3

887.0x

6.6.2 Rrepetibilidad y reproducibilidad (R&R)

Se pueden determinar los componentes del error debidos a diferentes operadores (repetibilidad)

y debidos al instrumento de medición en sí (reproducibilidad).

222

. ilidadreproducibdadrepetibilimediciónerror (6.16)

Ejemplo 6.9 Se tienen los datos de mediciones de 20 partes por 3 operadores, haciendo 2 intentos

cada uno como sigue.

PARTS OP1IN1 OP1IN2 RANGO1 OP2IN1 OP2IN2 RANGO2 OP3IN1 OP3IN2 RANGO3

1 21 20 1 20 20 0 19 21 2

2 24 23 1 24 24 0 23 24 1

3 20 21 1 19 21 2 20 22 2

4 27 27 0 28 26 2 27 28 1

5 19 18 1 19 18 1 18 21 3

6 23 21 2 24 21 3 23 22 1

7 22 21 1 22 24 2 22 20 2

8 19 17 2 18 20 2 19 18 1


Tabla con formato


Página 262

9 24 23 1 25 23 2 24 24 0

10 25 23 2 26 25 1 24 25 1

11 21 20 1 20 20 0 21 20 1

12 18 19 1 17 19 2 18 19 1

13 23 25 2 25 25 0 25 25 0

14 24 24 0 23 25 2 24 25 1

15 29 30 1 30 28 2 31 30 1

16 26 26 0 25 26 1 25 27 2

17 20 20 0 19 20 1 20 20 0

18 19 21 2 19 19 0 21 23 2

19 25 26 1 25 24 1 25 25 0

20 19 19 0 18 17 1 19 17 2

PARTS OP1IN1 OP1IN2 RANGO1 OP2IN1 OP2IN2 RANGO2 OP3IN1 OP3IN2 RANGO3 1 21 20 1 20 20 0 19 21 2 2 24 23 1 24 24 0 23 24 1 3 20 21 1 19 21 2 20 22 2 4 27 27 0 28 26 2 27 28 1 5 19 18 1 19 18 1 18 21 3 6 23 21 2 24 21 3 23 22 1 7 22 21 1 22 24 2 22 20 2 8 19 17 2 18 20 2 19 18 1 9 24 23 1 25 23 2 24 24 0 10 25 23 2 26 25 1 24 25 1 11 21 20 1 20 20 0 21 20 1 12 18 19 1 17 19 2 18 19 1 13 23 25 2 25 25 0 25 25 0 14 24 24 0 23 25 2 24 25 1 15 29 30 1 30 28 2 31 30 1 16 26 26 0 25 26 1 25 27 2 17 20 20 0 19 20 1 20 20 0 18 19 21 2 19 19 0 21 23 2 19 25 26 1 25 24 1 25 25 0 20 19 19 0 18 17 1 19 17 2

La media de los rangos medios para cada operador es:

15.1)20.125.10.1(3

1)(

3

1321 RRRR

por tanto la desviación estándar de la repetibilidad es:


Página 263

02.1128.1

15.1

2

d

Rdadrepetibili tomando d2 para n=2 lecturas

La reproducibilidad es causada por diferencias entre los 3 operadores, es decir,

),,( 321 xxxmaxxmax

),,( 321 xxxminxmin

minmaxx

xxR

2d

Rx

ilidadreproducib considerando el número de operadores.

Del ejemplo, se tiene que para 3 operadores, d2 =1.693, por tanto:

xmax = 22.60, xmin =22.28 y Rx=0.32, y

reproducibilidad = 0.32/1.693 = 0.19

Por tanto la variabilidad total del error de medición es:

222

. ilidadreproducibdadrepetibilimedicióninstrument = 1.022 + 0.192 = 1.08

instrumento.medición = 1.04

La relación P/T = 6 (1.04) / (60-5) = 0.11

Por otra parte utilizando el paquete Minitab se obtuvieron las respuestas siguientes (tomando

5.15 sigmas):

Gage R&R Study - XBar/R Method

Gage R&R for OP1IN1

Gage name: DISPOSITIVO DE PRUEBA

Date of study: 20 JULIO 2000

Reported by: P. REYES

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Courier New, 11 pto

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Courier New










Página 264

Tolerance: 5

Misc:

%Contribution

Source Variance (of Variance)

Total Gage R&R 1.0424 9.91

Repeatability 1.0394 9.88

Reproducibility 0.0030 0.03

Part-to-Part 9.4801 90.09

Total Variation 10.5225 100.00

StdDev Study Var %Study Var %Tolerance

Source (SD) (5.15*SD) (%SV) (SV/Toler)

Total Gage R&R 1.02096 5.2579 31.47 9.56

Repeatability 1.01950 5.2504 31.43 9.55

Reproducibility 0.05449 0.2806 1.68 0.51

Part-to-Part 3.07898 15.8568 94.92 28.83

Total Variation 3.24384 16.7058 100.00 30.37

Number of distinct categories = 4

De esta forma cuando se toman en cuenta ambas la repetibilidad y la reproducibilidad, la

capacidad del sistema de medición se reduce. Es necesario entrenar al operador en el uso del

instrumento de medición y en todo caso a encontrar otro equipo de medición.







Con formato ...

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Página 265

6.6.3 R&R Capacidad de los sistemas de medición - AIAG

En muchas ocasiones las organizaciones no consideran el impacto de no tener sistemas de

medición de calidad, el hecho de que las mediciones no sean exactas puede llevar a cometer

errores en el cálculo, y en los análisis y conclusiones de los estudios de capacidad de los procesos.

Cuando los operadores no miden una pieza de manera consistente, se puede caer en el riesgo de

rechazar artículos que están en buen estado o aceptar artículos que están en mal estado. Por otro

lado si los instrumentos de medición no están calibrados correctamente también se pueden

cometer errores. Cuando sucede lo mencionado anteriormente tenemos un sistema de medición

deficiente que puede hacer que un estudio de capacidad parezca insatisfactorio cuando en

realidad es satisfactorio. Lo anterior puede tener como consecuencia gastos innecesarios de

reproceso al reparar un proceso de manufactura o de servicios, cuando la principal fuente de

variación se deriva del sistema de medición.

Posibles Fuentes de la Variación del Proceso

Figura 6.18 Diagrama de variabilidad observada en el proceso

Variación del proceso, real Variación de la medición

Variación del proceso

Reproducibilidad

Repetibilidad Estabilidad Linealidad Sesgo

Variación originada

por el calibrador

Calibración

Variación del proceso, real

Reproducibilidad

Repetibilidad

Variación dentro de la

muestra

Estabilidad Linealidad Sesgo

Equipo de

mediciòn

Calibración

Con formato: Fuente:(Predeterminado) Calibri, 11 pto

Con formato: Título 4


Página 266

Definiciones

Reproducibilidad: Es la variación, entre promedios de las mediciones hechas por diferentes

operadores que utilizan un mismo instrumento de medición cuando miden las mismas

características en una misma parte.

Figura 6.19 Evaluación de la reproducibilidad

Repetibilidad: es la variación de las mediciones obtenidas con un instrumento de medición,

cuando es utilizado varias veces por un operador, al mismo tiempo que mide las mismas

características en una misma parte.

Figura 6.20 Evaluación de la repetibilidad

Valor verdadero: Valor correcto teórico / estándares NIST34

34 ·En EUA se tiene el NIST (National Institute of Standards ando Technology),En México se tiene el CENEAM o el Centro Nacional de Metrología

Reproducibilidad

Operador-A

Operador-C

Operador-B

REPETIBILIDAD


Página 267

Precisión: Es la habilidad de repetir la misma medida cerca o dentro de una misma zona

Exactitud : Es la diferencia entre el promedio del número de medidas y el valor verdadero.

Resolución: La medición que tiene exactitud y precisión.

Figura 6.21 Evaluación de la precisión y exactitud

- Estabilidad: es la variación total de las mediciones obtenidas con un sistema de medición, hechas

sobre el mismo patrón o sobre las mismas partes, cuando se mide una sola de sus características,

durante un período de tiempo prolongado.

Figura 6.22 Evaluación de la estabilidad

Tiempo 1

Tiempo 2

Tiempo 1

Tiempo 2

Preciso pero no exacto Exacto pero no preciso Exacto y preciso (resolución)


Página 268

Linealidad: diferencia en los valores de la escala, a través del rango de operación esperado del

instrumento de medición.

Figura 6.23 Evaluación de la linealidad

Sesgo: distancia entre el valor promedio de todas las mediciones y el valor verdadero. Error

sistemático o desviación.

Figura 6.24 Evaluación de la exactitud o sesgo

Calibración: Es la comparación de un estándar de medición con exactitud conocida con otro

instrumento para detectar, reportar o eliminar por medio del ajuste, cualquier variación en la

exactitud del instrumento.

Importante: para que el equipo de medición tenga una discriminación adecuada en la

evaluación de las partes, su resolución debe ser al menos 1/10 de la variabilidad del proceso.

<10% Aceptable

10-30%. Puede ser aceptable, para características no críticas.

>30%. ¡Inaceptable!

Valor

Verdadero

Sesgo

Rango de Operación del equipo

Valor

verdadero

Valor

verdadero

(rango inferior) (rango superior)

Sesgo

Menor

Sesgo

mayor


Página 269

En otras industrias fuera de la automotriz se acepta un error total de R&R del 25% como máximo.

En cualquier problema que involucre mediciones, algunas de las variaciones observadas son

debidas al proceso y otras son debidas al error o variación en los sistemas de medición. La

variación total es expresada de la siguiente manera:

mediciònerrorprocesototal 222

Estudios R&R - Método Corto del Rango

Es un método que proporciona un valor aproximado del error R&R sin que muestre las diferencias

entre errores por el equipo y por los operadores.Se usan dos evaluadores y cinco partes. Cada

evaluador mide cada parte una sola vez.Se calcula el rango de la medición de cada parte y al final

el rango promedio.

La desviación estándar de R&R se aproxima con la formula de rango medio entre d2*. El % de R&R

se calcula comparando la desv. Estándar de R&R con la del proceso

Partes Evaluador A Evaluador B Rango A,B

1 0.85 0.80 0.05

2 0.75 0.70 0.05

3 1.00 0.95 0.05

4 0.45 0.55 0.10

5 0.50 0.60 0.10

Rango medio = 0.35/5 = 0.07

GRR = Rmedio / d2* = 0.07 / 1.19 = 0.0588

Desv. Estándar del proceso = 0.0722

%GRR = 100 (GRR / Desv. Est. Proceso ) = 81.4%

Por tanto el sistema de medición requiere mejora

Figura 6.25 Método corto del rango

Con formato: Título 3, Interlineado: sencillo


Página 270

Estudio de R&R Método largo

• Generalmente intervienen de dos a tres operadores

• Generalmente se toman 10 unidades

• Cada unidad es medida por cada operador, 2 ó 3 veces.

La resolución del equipo de medición debe ser de al menos el 10% del rango de tolerancia o

del rango de variación del proceso.

Las partes deben seleccionarse al azar, cubriendo el rango total del proceso. Es importante

que dichas partes sean representativas del proceso total (80% de la variación)

10 partes NO son un tamaño de muestra significativo para una opinión sólida sobre el

equipo de medición a menos que se cumpla el punto anterior.

Procedimiento para realizar un estudio de R&R

1. Asegúrese de que el equipo de medición haya sido calibrado.

2. Marque cada pieza con un número de identificación que no pueda ver la persona que realiza la

medición.

3. Haga que el primer operador mida todas las muestras una sola vez, siguiendo un orden al azar.

4. Haga que el segundo operador mida todas las muestras una sola vez, siguiendo un orden al

azar.

5. Continúe hasta que todos los operadores hayan medido las muestras una sola vez (Este es el

ensayo 1).

6. Repita los pasos 3-4 hasta completar el número requerido de ensayos

7. Determine las estadísticas del estudio R&R


Con formato: Fuente: Calibri, 11 pto

Con formato: Título 4, Sin viñetas ninumeración

Con formato: Título 4

Con formato: Fuente: Calibri, Negrita

Con formato: Fuente: Calibri


Página 271

Repetibilidad

Reproducibilidad

% R&R

Desviaciones estándar de cada uno de los conceptos mencionados

Análisis del porcentaje de tolerancia

8. Analice los resultados y determine las acciones a seguir si las hay.

Métodos de estudio del error R&R:

I. Método de Promedios- Rango

Permite separar en el sistema de medición lo referente a la Reproducibilidad y a la

Repetibilidad.

Los cálculos son más fáciles de realizar.

II. Método ANOVA

Permite separar en el sistema de medición lo referente a la Reproducibilidad y a la

Repetibilidad.

También proporciona información acerca de las interacciones de un operador y otro en

cuanto a la parte.

Calcula las varianzas en forma más precisa.

Los cálculos numéricos requieren de una computadora.

El Método ANOVA es más preciso

Cálculos con Excel o manual:

Introducir los datos en la hoja de colección de datos siguiente por cada operador y hacer los

cálculos indicados en la zona gris:


Página 272

ESTU

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R )

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X p=

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res


Página 273

ESTUDIO DE REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD ( R & R )MÉTODO LARGO

Aseguramiento de Calidad

No. de Parte y Nombre: 4600066 PARTE A Fecha: 01/07/2003

Tolerancia Especificada: 0.0060 Elaborado por: 0

No. y Nombre de GAGE: 8881-H Calibrador Digital Característica: Diametro

RESULTADOS DE LA HOJA DE DATOS AC-008

R= 0.000416667 X Diff = 0.0001000000 Rp = 0.000944444

Análisis Unitario de Medición % Total de Variación ( TV )

Repetibilidad - Variación del Equipo (EV) % EV = 100 [ EV/TV ]

EV= R x K1 = % EV = 63.74%

EV= 0.001270833 INTENTOS K1

2 4.56 % EV vs Tol. = 21.18%

3 3.05

Reproducibilidad - Variación del Operador (AV) % AV = 100 [AV/TV]

AV = [(XDiff x K2)2 - (EV

2/nr)]

1/2% AV = 6.93%

AV = 0.00027

AV = 7.29E-08 % AV vs Tol = 2.30%

AV = 5.38339E-08

AV = 1.90661E-08 n= 10

AV = 0.00013808 r = 3

OPERADOR 2 3 n= Numero de Partes

K2 3.65 2.7 r = Numero de Intentos

Repetibilidad y Reproducibilidad ( R & R ) % de R & R = 100 [ R & R /TV ]

R & R = [EV2 + AV

2]1/2

% de R & R = 64.1164%

R & R2 = 1.63408E-06 PARTES K3 % de R & R vs Tol = 21.31%

R & R = 0.001278313 2 3.65

Variación de la Parte ( PV ) 3 2.7 % PV = 100 [ PV/TV ]

PV = RP x K3 4 2.3 % PV = 76.7403%

PV = 0.00153 5 2.08

6 1.93

7 1.82

VARIACIÓN TOTAL ( TV ) 8 1.74 Categoria de Datos

TV = ( R & R2

+ PV2 )1/2

9 1.67 d2 = 1.693

TV = 3.97498E-06 10 1.62 PV / R&R x d2= 2.0

TV = 0.001993736

Observaciones : Se toma la dimención de menor valor FIRMA DE AUTORIZACIÓN

GERENTE DE ASEG. DE CALIDAD


Página 274

ESTU

DIO

DE R

EPET

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( R &

R )

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. Par

te

Mues

tra1e

r Inte

nto2d

o Inte

nto3e

r Inte

ntoRa

ngo

X1e

r Inte

nto2d

o Inte

nto3e

r Inte

ntoRa

ngo

X1e

r Inte

nto2d

o Inte

nto3e

r Inte

ntoRa

ngo

XX p=

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Total

esX p=

Sum

aR A

: Su

ma

R B :

Sum

aR C

: R p=

X A :

X B :

X C :

R A :

# Inte

ntos

D 4X

Máx:

LSC X

=X

+ A 2 R

A 2 =

R B :

32.5

8X

min:

0LS

C X =

R C :

SUM:

LSC R

=R

x D4

X Di

ff:LIC

X =

X - A

2 R

R:LS

C R =

LICX

=

Nota

: La

s con

stan

tes y

las f

orm

ulas

esta

n es

tabl

ecid

as p

ara 3

inte

ntos

y 3 o

pera

dore

s


Página 275

ESTUDIO DE REPETIBILIDAD Y REPRODUCIBILIDAD ( R & R )MÉTODO LARGO

Aseguramiento de Calidad

No. de Parte y Nombre: 0 0 Fecha: 00/01/1900

Tolerancia Especificada: 0.0000 Elaborado por: 0

No. y Nombre de GAGE: 0 0 Característica: 0

RESULTADOS DE LA HOJA DE DATOS AC-008

R= X Diff = Rp =

Análisis Unitario de Medición % Total de Variación ( TV )

Repetibilidad - Variación del Equipo (EV) % EV = 100 [ EV/TV ]

EV= R x K1 = % EV =

EV= INTENTOS K1

2 4.56 % EV vs Tol. =

3 3.05

Reproducibilidad - Variación del Operador (AV) % AV = 100 [AV/TV]

AV = [(XDiff x K2)2 - (EV

2/nr)]

1/2% AV =

AV =

AV = % AV vs Tol =

AV =

AV = n= 10

AV = r = 3

OPERADOR 2 3 n= Numero de Partes

K2 3.65 2.7 r = Numero de Intentos

Repetibilidad y Reproducibilidad ( R & R ) % de R & R = 100 [ R & R /TV ]

R & R = [EV2 + AV

2]1/2

% de R & R =

R & R2 = 0 PARTES K3 % de R & R vs Tol =

R & R = 2 3.65

Variación de la Parte ( PV ) 3 2.7 % PV = 100 [ PV/TV ]

PV = RP x K3 4 2.3 % PV =

PV = 5 2.08

6 1.93

7 1.82

VARIACIÓN TOTAL ( TV ) 8 1.74 Categoria de Datos

TV = ( R & R2

+ PV2 )1/2

9 1.67 d2 = 1.693

TV = 0 10 1.62 PV / R&R x d2=

TV =

Observaciones : Se toma la dimención de menor valor FIRMA DE AUTORIZACIÓN

GERENTE DE ASEG. DE CALIDAD


Página 276

Una vez colectados los datos proceder a realizar la carta de rango R y observar que esté en control,

de otra forma repetir las mediciones para ese operador y parte específica errónea.

Figura 6.26 Comportamiento de la carta de control de rangos para el ejemplo

Ahora revisar la carta X media, debe tener al menos el 50% de puntos fuera de control indicando

que identifica las variaciones en las diferentes partes presentadas:

LSCX = 0.005143 X = 0.004717 LICX = 0.004290417

Figura 6.26 Comportamiento de la carta de control de medias para el ejemplo

Se procede posteriormente a determinar los errores o variabilidad del sistema de medición con la

hoja de trabajo siguiente, calculando los campos con sombra gris:

LICX

LSCX

X

Con formato: Título 3, Interlineado: sencillo


Página 277

Interpretación de los resultados

1. El porcentaje de error R&R no debe exceder del 10%, si el equipo se usa para liberar producto

terminado la referencia es la tolerancia del cliente; si el equipo se usa para control del proceso, la

referencia es la variación total del proceso.

2. El número de categorías debe ser de al menos 4 indicando que el equipo distingue las partes

que son diferentes.

Ejemplo 2 (MINITAB)

Primero se visualizan las mediciones replicadas de cada operador en cada parte como sigue:

34

Operator

Re

sp

on

se

Mean

1.0

0.8

0.6

0.4

1.0

0.8

0.6

0.4

Mean

1 2 3 4 5

6 7 8 9 10

Operator

3

1

2

Gage name:

Date of study:

Reported by:

Tolerance:

Misc:

Panel variable: Part

Gage Run Chart of Response by Part, Operator

1 File > Open worksheet > GAGEAIAG.MTW.2 Stat > Quality Tools > Gage Study > Gage Run Chart.3 En Part numbers, seleccionar Part.4 En Operators, seleccionar Operator.5 En Measurement data, seleccionar Response. Click OK.

Figura 6.27 Gráfica que muestra el comportamiento de las mediciones de los operadores

Método X Barra - R

Se seleccionan 10 muestras de un proceso de manufactura, cada parte es medida dos veces por

tres operadores. Realice un estudio R&R mediante el método Xbar-R.


Página 278

OPERADOR A.- B.- C.-

columna

1 columna

2 columna

3 columna

5 columna

6 columna

7 columna

9 columna

10 columna

11

Muestra 1er Intento

2do Intento

3er Intento

1er Intento

2do Intento

3er Intento

1er Intento

2do Intento

3er Intento

1 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0050 0.0045 0.0045

2 0.0045 0.0055 0.0045 0.0055 0.0050 0.0045 0.0055 0.0045 0.0045

3 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0045 0.0040

4 0.0050 0.0050 0.0045 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050

5 0.0045 0.0045 0.0045 0.0040 0.0045 0.0040 0.0045 0.0045 0.0040

6 0.0050 0.0055 0.0045 0.0060 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050

7 0.0050 0.0045 0.0045 0.0055 0.0045 0.0050 0.0045 0.0050 0.0050

8 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0050 0.0060 0.0050 0.0050

9 0.0050 0.0045 0.0050 0.0045 0.0045 0.0050 0.0055 0.0045 0.0045

10 0.0040 0.0040 0.0040 0.0040 0.0040 0.0040 0.0045 0.0045 0.0045

Totales 0.0470 0.0475 0.0455 0.0485 0.0465 0.0465 0.0500 0.0470 0.0460

Capture los datos en la hoja de trabajo de Minitab en tres columnas C1, C2, C3

Partes Operadores Medición Partes Operadores Medición Partes Operadores Medición

1 1 0.0045 1 2 0.0045 1 3 0.005

2 1 0.0045 2 2 0.0055 2 3 0.0055

3 1 0.0045 3 2 0.0045 3 3 0.0045

4 1 0.005 4 2 0.005 4 3 0.005

5 1 0.0045 5 2 0.004 5 3 0.0045

6 1 0.005 6 2 0.006 6 3 0.005

7 1 0.005 7 2 0.0055 7 3 0.0045

8 1 0.005 8 2 0.005 8 3 0.006

9 1 0.005 9 2 0.0045 9 3 0.0055

10 1 0.004 10 2 0.004 10 3 0.0045

1 1 0.0045 1 2 0.0045 1 3 0.0045

2 1 0.0055 2 2 0.005 2 3 0.0045

3 1 0.0045 3 2 0.0045 3 3 0.0045

4 1 0.005 4 2 0.005 4 3 0.005

5 1 0.0045 5 2 0.0045 5 3 0.0045

6 1 0.0055 6 2 0.005 6 3 0.005

7 1 0.0045 7 2 0.0045 7 3 0.005

8 1 0.005 8 2 0.005 8 3 0.005

9 1 0.0045 9 2 0.0045 9 3 0.0045

10 1 0.004 10 2 0.004 10 3 0.0045


Página 279

1 1 0.0045 1 2 0.0045 1 3 0.0045

2 1 0.0045 2 2 0.0045 2 3 0.0045

3 1 0.0045 3 2 0.0045 3 3 0.004

4 1 0.0045 4 2 0.005 4 3 0.005

5 1 0.0045 5 2 0.004 5 3 0.004

6 1 0.0045 6 2 0.005 6 3 0.005

7 1 0.0045 7 2 0.005 7 3 0.005

8 1 0.005 8 2 0.005 8 3 0.005

9 1 0.005 9 2 0.005 9 3 0.0045

10 1 0.004 10 2 0.004 10 3 0.0045

Seleccione en el menú de la barra de herramientas STAT>QUALITY TOOLS>GAGE STUDY >

Gage R&R (Crossed)

Seleccione C1 (parte), C2 (operador), C3 (Medición)

Método de Análisis X Bar and R

En Options Seleccionar: Study variation 5.15 Process tolerante 0.006


Gage R&R Study - XBar/R Method

%Contribution Source VarComp (of VarComp)

Total Gage R&R 0.0000001 41.00



Part-To-Part 0.0000001 59.00


Study Var %Study Var %Tolerance Source StdDev (SD) (5.15 * SD) (%SV) (SV/Toler) Total Gage R&R 0.0002476 0.0012750 64.03 21.25 Repeatability 0.0002461 0.0012675 63.65 21.12 Reproducibility 0.0000269 0.0001384 6.95 2.31 Part-To-Part 0.0002970 0.0015295 76.81 25.49 Total Variation 0.0003867 0.0019913 100.00 33.19

Number of Distinct Categories = 1

Análisis de los resultados:

El error de R&R vs tolerancia es 21.25% y vs variación total del proceso es 64.03% lo que hace que

el equipo de medición no sea adecuado para la medición.

Por otro lado el número de categorías es sólo de 1 cuando debe ser al menos 4 indicando que el

instrumento discrimina las diversas partes diferentes.


Con formato: Fuente: Courier New,10 pto







Con formato: Fuente: Courier New, 9pto
















Con formato: Fuente: Courier New, 9pto, Español (México)


Página 280

Perc

ent

Part-to-PartReprodRepeatGage R&R

80

40

0

% Contribution

% Study Var

% Tolerance

Sam

ple

Range 0.0010

0.0005

0.0000

_R=0.000417

UCL=0.001073

LCL=0

1 2 3

Sam

ple

Mean

0.0050

0.0045

0.0040

__X=0.004717

UCL=0.005143

LCL=0.004290

1 2 3

Partes

10987654321

0.006

0.005

0.004

Operadores

321

0.006

0.005

0.004

Partes

Avera

ge

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

0.0050

0.0045

0.0040

Operadores

1

2

3

Gage name:

Date of study :

Reported by :

Tolerance:

Misc:

Components of Variation

R Chart by Operadores

Xbar Chart by Operadores

Datos by Partes

Datos by Operadores

Operadores * Partes Interaction

Gage R&R (Xbar/R) for Datos

Figura 6.27 Resultados del estudio R&R por el método de Xbarra-R

La gráfica R se mantiene en control indicando que las mediciones se realizaron en forma

adecuada.

La gráfica X barra sólo presenta 5 de 30 puntos fuera de control, lo cual debería ser al menos el

50%, indicando que el equipo no discrimina las diferentes partes.

Ejemplo 3: por el Método de ANOVA se tiene:

Seleccione en el menú de la barra de herramientas STAT>QUALITY TOOLS>GAGE STUDY >

Gage R&R (Crossed)

Seleccione C1 (parte), C2 (operador), C3 (Medición)

Método de Análisis ANOVA

En Options Seleccionar: Staudy variation 5.15 Process tolerante 0.006 Alfa to remove

interaction 0.25


Página 281


Gage R&R Study - ANOVA Method

Two-Way ANOVA Table With Interaction

Source DF SS MS F P

Partes 9 0.0000086 0.0000010 12.2885 0.000

Operadores 2 0.0000002 0.0000001 0.9605 0.401

Partes * Operadores 18 0.0000014 0.0000001 0.7398 0.757

Repeatability 60 0.0000063 0.0000001

Total 89 0.0000165

Los operadores y la interacción no fueron significativos, sólo las

partes

Two-Way ANOVA Table Without Interaction

Source DF SS MS F P

Partes 9 0.0000086 0.0000010 9.67145 0.000

Operadores 2 0.0000002 0.0000001 0.75592 0.473

Repeatability 78 0.0000077 0.0000001

Total 89 0.0000165

Gage R&R

%Contribution

Source VarComp (of VarComp)

Total Gage R&R 0.0000001 50.93



Operadores 0.0000000 0.00

Part-To-Part 0.0000001 49.07


Study Var %Study Var

%Tolerance

Source StdDev (SD) (5.15 * SD) (%SV)

(SV/Toler)

Total Gage R&R 0.0003150 0.0016222 71.36

27.04

Repeatability 0.0003150 0.0016222 71.36

27.04

Reproducibility 0.0000000 0.0000000 0.00

0.00

Operadores 0.0000000 0.0000000 0.00

0.00

Part-To-Part 0.0003092 0.0015923 70.05

26.54

Total Variation 0.0004414 0.0022731 100.00

37.88


Página 282

Number of Distinct Categories = 1

La interacción no es significativa, y los errores de R&R indican que equipo de medición no es

adecuado, ni el número de categorías.

Perc

ent

Part-to-PartReprodRepeatGage R&R

80

40

0

% Contribution

% Study Var

% Tolerance

Sam

ple

Range 0.0010

0.0005

0.0000

_R=0.000417

UCL=0.001073

LCL=0

1 2 3

Sam

ple

Mean

0.0050

0.0045

0.0040

__X=0.004717

UCL=0.005143

LCL=0.004290

1 2 3

Partes

10987654321

0.006

0.005

0.004

Operadores

321

0.006

0.005

0.004

Partes

Avera

ge

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

0.0050

0.0045

0.0040

Operadores

1

2

3

Gage name:

Date of study :

Reported by :

Tolerance:

Misc:

Components of Variation

R Chart by Operadores

Xbar Chart by Operadores

Datos by Partes

Datos by Operadores

Operadores * Partes Interaction

Gage R&R (ANOVA) for Datos

Figura 6.28 Resultados del estudio R&R por el método de ANOVA

Las conclusiones son similares que con el método de X barra – R.

Estudios de R&R por atributos

Ejemplo 4.

Se utiliza el análisis de acuerdo por atributos para evaluar las calificaciones nominales u ordinales

proporcionadas por varios evaluadores. Las mediciones son calificaciones subjetivas de la gente

en vez de mediciones físicas. Algunos ejemplos incluyen:

Calificaciones de desempeño de los automóviles

Clasificación de calidad de las fibras como “buena” o “mala”.

Calificaciones de color, aroma y gusto del vino en una escala de 1 a 10.

En estos casos la característica de calidad es difícil de definir y evaluar. Para obtener clasificaciones

significativas, más de un evaluador debe calificar la medición de respuesta. Si los evaluadores


Página 283

están de acuerdo, existe la posibilidad de que las apreciaciones sean exactas. Si hay

discrepancias, la utilidad de la evaluación es limitada.

Los datos pueden ser texto o numéricos. Las calificaciones asignadas pueden ser Nominales u

ordinales.

Los datos nominales son variables categóricas que tienen dos o más niveles sin orden natural. Por

ejemplo, los niveles en un estudio de gustación de comida que puede incluir dulce, salado o

picoso.

Los datos ordinales son variables categóricas que tienen tres o más niveles con ordenamiento

natural, tales como: en desacuerdo total, en desacuerdo, neutral, de acuerdo, y completamente

de acuerdo.

Ejemplo 4. Comparación pasa no pasa

Un sistema de medición de atributos compara cada parte con un estándar y acepta la parte si el

estándar se cumple. La efectividad de la discriminación es la habilidad del sistema de medición de

atributos para discriminar a los buenos de los malos.

1. Selecciona un mínimo de 20 unidades del proceso. Estas unidades deben representar el

espectro completo de la variación del proceso (buenas, erroneas y en límites).

2. Un inspector “experto” realiza una evaluación de cada parte, clasificándola como “Buena” o “No

Buena”.

3. Cada persona evaluará las unidades, independientemente y en orden aleatorio, y las definirá

como “Buenas” o “No Buenas”.

4. Ingresa los datos en el archivo Attribute Gage R&R.xls para cuantificar la efectividad del sistema

de medición.


Página 284

Muestra Atributo Persona 1A Persona 1B Persona 2A Persona 2B

1 G G G G G

2 G G G G G

3 G G G G G

4 G G G G G

5 G G G G G

6 G NG G G G

7 G G G G G

8 G G G G G

9 NG G G NG NG

10 NG NG NG G G

11 G G G G G

12 G G G G G

13 NG NG NG NG NG

14 G G G G G

15 G G G G G

16 G G G G G

17 NG NG NG NG NG

18 G G G G G

19 G G G G G

20 G G G G G

Sistema de Medición de Atributos

Pasa no pasa –Instrucciones en Minitab

1 Usar los datos anteriores.

2 Seleccionar Stat > Quality Tools > Attribute Agreement Analysis.

3 En Multiple columns, con Persona 1A - Persona 2B.

4 En Number of appraisers, 2.

5 En Number of trials, 2.

6 En Known standard/attribute, poner Atributo

7 no Checar Categories of the attribute data are ordered y poner OK



Página 285

Attribute Agreement Analysis Persona 1A, Persona 1B, Persona 2A, Persona 2B Within Appraisers Appraiser # Inspected # Matched Percent 95 % CI

1 20 19 95.00 (75.13, 99.87)

2 20 20 100.00 (86.09, 100.00)

# Matched: Appraiser agrees with him/herself across trials.

Fleiss' Kappa Statistics

Appraiser Response Kappa SE Kappa Z P(vs > 0)

1 G 0.82684 0.223607 3.69774 0.0001

NG 0.82684 0.223607 3.69774 0.0001

2 G 1.00000 0.223607 4.47214 0.0000

NG 1.00000 0.223607 4.47214 0.0000

Each Appraiser vs Standard Appraiser # Inspected # Matched Percent 95 % CI

1 20 18 90.00 (68.30, 98.77)

2 20 19 95.00 (75.13, 99.87)

Between Appraisers # Inspected # Matched Percent 95 % CI

20 17 85.00 (62.11, 96.79)


Response Kappa SE Kappa Z P(vs > 0)

G 0.663222 0.0912871 7.26524 0.0000

NG 0.663222 0.0912871 7.26524 0.0000

All Appraisers vs Standard # Inspected # Matched Percent 95 % CI

20 17 85.00 (62.11, 96.79)

# Matched: All appraisers' assessments agree with the known standard.



G 0.792005 0.111803 7.08391 0.0000

NG 0.792005 0.111803 7.08391 0.0000

Figura 6.29 Resultados del estudio de R&R comparativo por atributos


Página 286

Appraiser

Pe

rce

nt

21

100

95

90

85

80

75

70

95.0% C I

Percent

Appraiser

Pe

rce

nt

21

100

95

90

85

80

75

70

95.0% C I

Percent

Date of study:

Reported by:

Name of product:

Misc:

Assessment Agreement

Within Appraisers Appraiser vs Standard

Figura 6.30 Resultados del estudio de R&R comparativo por atributos por avaluador

Interpretación de Resultados

% del Evaluador es la consistencia de una persona.

% Evaluador vs Atributo es la medida de el acuerdo que hay entre la evaluación del

operador y la del “experto”.

% de Efectividad de Selección es la medida de el acuerdo que existe entre los operadores.

% de Efectividad de Selección vs. el Atributo es una medida general de la consistencia

entre los operadores y el acuerdo con el “experto”.

Aunque el 100% es el resultado que deseamos obtener, en un estudio de repetibilidad y

reproducibilidad de atributos, la siguiente guía se usa frecuentemente:

Porcentaje Guía

De 90% a 100%

De 80% a 90%

Menos de 80%

Aceptable

Marginal

Inaceptable


Página 287

Ejemplo 5.

Una empresa está entrenando a cinco evaluadores para la porción escrita de un examen estándar

de doceavo grado. Se requiere determinar la habilidad de los evaluadores para calificar el examen

de forma que sea consistente con los estándares. Cada uno de los evaluadores califica 15

exámenes en una escala de cinco puntos (-2, -1, 0, 1, 2):

1 Abrir el archivo File > Openworksheet > ESSAY.MTW.

2 Seleccionar Stat > Quality Tools > Attribute Agreement Analysis.

3 En Attribute column, poner Rating.

4 En Samples, poner Sample.

5 En Appraisers, poner Appraiser.

6 En Known standard/attribute, poner Attribute.

7 Checar Categories of the attribute data are ordered y poner OK

El contenido del archivo es como sigue:

Appraiser Sample Rating Attribute Appraiser Sample Rating Attribute

Simpson 1 2 2 Duncan 8 0 0

Montgomery 1 2 2 Hayes 8 0 0

Holmes 1 2 2 Simpson 9 -1 -1

Duncan 1 1 2 Montgomery 9 -1 -1

Hayes 1 2 2 Holmes 9 -1 -1

Simpson 2 -1 -1 Duncan 9 -2 -1

Montgomery 2 -1 -1 Hayes 9 -1 -1

Holmes 2 -1 -1 Simpson 10 1 1

Duncan 2 -2 -1 Montgomery 10 1 1

Hayes 2 -1 -1 Holmes 10 1 1






Simpson 4 -2 -2 Duncan 11 -2 -2

Montgomery 4 -2 -2 Hayes 11 -1 -2

Holmes 4 -2 -2 Simpson 12 0 0

Duncan 4 -2 -2 Montgomery 12 0 0


Página 288

Hayes 4 -2 -2 Holmes 12 0 0

Simpson 5 0 0 Duncan 12 -1 0


Holmes 5 0 0 Simpson 13 2 2

Duncan 5 -1 0 Montgomery 13 2 2

Hayes 5 0 0 Holmes 13 2 2






Simpson 7 2 2 Duncan 14 -1 -1

Montgomery 7 2 2 Hayes 14 -1 -1

Holmes 7 2 2 Simpson 15 1 1

Duncan 7 1 2 Montgomery 15 1 1

Hayes 7 2 2 Holmes 15 1 1



Holmes 8 0 0

Los resultados del análisis se muestran a ontinuación:

Gage R&R for Datos


Appraiser # Inspected # Matched Percent 95 % CI

Duncan 15 8 53.33 (26.59, 78.73)

Hayes 15 13 86.67 (59.54, 98.34)

Holmes 15 15 100.00 (81.90, 100.00)

Montgomery 15 15 100.00 (81.90, 100.00)

Simpson 15 14 93.33 (68.05, 99.83)

# Matched: Appraiser's assessment across trials agrees with the

known standard.

Kendall's Correlation Coefficient

Appraiser Coef SE Coef Z P

Duncan 0.89779 0.192450 4.61554 0.0000

Hayes 0.96014 0.192450 4.93955 0.0000

Holmes 1.00000 0.192450 5.14667 0.0000

Montgomery 1.00000 0.192450 5.14667 0.0000

Simpson 0.93258 0.192450 4.79636 0.0000

Between Appraisers



Página 289

# Inspected # Matched Percent 95 % CI

15 6 40.00 (16.34, 67.71)

# Matched: All appraisers' assessments agree with each other.



-2 0.680398 0.0816497 8.3331 0.0000

-1 0.602754 0.0816497 7.3822 0.0000

0 0.707602 0.0816497 8.6663 0.0000

1 0.642479 0.0816497 7.8687 0.0000

2 0.736534 0.0816497 9.0207 0.0000

Overall 0.672965 0.0412331 16.3210 0.0000

Kendall's Coefficient of Concordance

Coef Chi - Sq DF P

0.966317 67.6422 14 0.0000

All Appraisers vs Standard


# Inspected # Matched Percent 95 % CI

15 6 40.00 (16.34, 67.71)

# Matched: All appraisers' assessments agree with the known

standard.



-2 0.842593 0.115470 7.2971 0.0000

-1 0.796066 0.115470 6.8941 0.0000

0 0.850932 0.115470 7.3693 0.0000

1 0.802932 0.115470 6.9536 0.0000

2 0.847348 0.115470 7.3383 0.0000

Overall 0.831455 0.058911 14.1136 0.0000

Kendall's Correlation Coefficient

Coef SE Coef Z P

0.958102 0.0860663 11.1100 0.0000

* NOTE * Single trial within each appraiser. No percentage of

assessment agreement within appraiser is plotted.


Página 290

Appraiser

Pe

rce

nt

SimpsonMontgomeryHolmesHayesDuncan

100

80

60

40

20

0

95.0% C I

Percent

Date of study:

Reported by:

Name of product:

Misc:


Appraiser vs Standard

Figura 6.31 Resultados del estudio de R&R por atributos

Interpretación de resultados

Minitab muestra tres tablas como sigue: Cada evaluador vs el estándar, Entre evaluadores y Todos

los evaluadores vs estándar. Los estadísticos de Kappa y Kendall también se incluyen en cada una

de las tablas. En general estos estadísticos sugieren buen acuerdo.

El coeficiente de Kendall entre evaluadores es 0.966317 (p = 0.0); para todos los evaluadores vs

estándar es 0.958192 (p = 0.0). Sin embargo la observación del desempeño de Duncan y Haues

indica que no se apegan al estándar.

La gráfica de Evaluadores vs. Estándar proporciona una vista gráfica de cada uno de los

evaluadores vs el estándar, pudiendo comparar fácilmente la determinación de acuerdos para los

cinco evaluadores.

Se puede concluir que Duncan, Hayes y Simpson requieren entrenamiento adicional.

Método sencillo


Página 291

Tomar 50 piezas, 40 de las cuales dentro de especificaciones y 10 fuera de especificaciones

Probarlas con dispositivos “pasa” y “no pasa” por medio de 3 operadores

Si no coinciden todos los operadores en al menos el 90%, los dispositivos o gages “pasa, no pasa”

no son confiables


Página 292

7. MUESTREO DE ACEPTACIÓN POR ATRIBUTOS

7.1 EL PROBLEMA DE LA ACEPTACIÓN POR MUESTREO

Se ha estado utilizando para calificar los lotes de proveedores, sin embargo ha estado siendo

desplazado por métodos preventivos como el CEP y el diseño de experimentos.

Si se recibe un lote de un proveedor, se toma una muestra y se evalúan algunas de las

características del producto, en base a los resultados se toma una decisión sobre la disposición del

lote, ya sea aceptados para su uso en producción, o rechazados para que el proveedor tome

acciones.

Fig. 7.1 Proceso de inspección por muestreo

Hay 3 aspectos importantes del muestreo:

1. Su propósito es calificar los lotes, no estimar los parámetros del lote.

2. No proporcionan un mecanismo de control de calidad, simplemente aceptan o rechazan lotes.

3. Sirven como herramienta de auditoría para segurar que la calidad de un lote esté de acuerdo a

especificaciones.

Muestreo aleatorio estadístico

Lote N

Muestra n

Muestreo aleatorio estadístico

Lote N

Muestra n


Página 293

Existen 3 alternativas para calificar un lote:

1. Aceptar sin inspección. Con proveedores confiables.

2. Inspeccionar al 100%, separando los productos defectuosos.

3. Realizar un muestreo de aceptación.

La aceptación por muestreo es más util en las situaciones siguientes:

1. Cuando las pruebas son destructivas.

2. Cuando el costo de la inspección 100% es muy alto.

3. Cuando la inspección 100% es muy tardada.

4. Cuando las cantidades a inspeccionar 100% son muy altas y con tasa de defectos baja, que

haga que se causen errores al inspeccionar, dejando pasar productos defectuosos.

5. Cuando el proveedor no es confiable al 100%, o su capacidad de proceso es baja.

6. Cuando hay riesgo de generar problemas legales por productos críticos.

VENTAJAS Y DESVENTAJAS DEL MUESTREO

Cuando se utiliza inspección por muestreo, se tienen las ventajas siguientes:

1. Es más barato, requiriendo menos inspección.

2. Existe un menor manejo de producto o menor daño.

3. Se aplica a pruebas destructivas.

4. El rechazar un lote completo en lugar de sólo las partes defectivas, motiva al proveedor a

mejorar su calidad.

El muestreo de aceptación también presenta varias desventajas:

1. Existe el riesgo de “aceptar” lotes malos y de “rechazar” lotes buenos.

2. La información que se genera respecto al producto o proceso es poca.

3. El muestreo de aceptación requiere documentación y planeación, no así la inspección 100%.

TIPOS DE PLANES DE MUESTREO


Página 294

Existen diversas clasificaciones de estos planes, una de ellas es la de variables y atributos. Una

característica se expresa en variables si se puede medir, o en atributos si se califica como “pasa no

pasa”.

Un plan de muestreo simple es un procedimiento de calificación de lotes, donde se toma una

muestra aleatoria de n partes y la disposición del lote es determinada dependiendo de los

resultados de la muestra, aceptándose si se encuentran hasta c productos defectivos.

Un plan de muestreo doble implica que después de tomar una muestra e inspeccionar, se toma

una decisión de (1) rechazar, (2) aceptar o (3) tomar una segunda muestra, si esto sucede, se

combina la información de la primera y de la segunda para tomar una decisión.

Un plan de muestreo múltiple es una extensión del doble, en el cual más de dos muestras pueden

ser necesarias antes de tomar una decisión. Los tamaños de estas muestras son más pequeños

que en el muestreo doble.

El muestreo secuencial implica la selección de unidades del lote, una por una, tomando decisiones

de aceptar o rechazar el lote después de un cierto número de unidades.

Se pueden desarrollar planes de muestreo que produzcan resultados similares con cualquiera de

las modalidades anteriores.

FORMACIÓN DE LOTES

Para inspección de lotes, estos deben cumplir las características siguientes:

1. Deben ser homogéneos, las unidades deben ser producidas por las mismas corridas de

producción, en condiciones similares. Es difícil tomar acciones correctivas para lotes

mezclados.

2. Lotes grandes son preferibles a lotes pequeños, dado que la inspección es más eficiente.


Página 295

3. Los lotes deben manejarse en forma similar con el proveedor y con el cliente, las partes deben

estar empacadas adecuadamente para evitar riesgos de daño y permitir la selección de

muestra en forma sencilla.

MUESTREO ALEATORIO

Las muestras deben ser representativas del lote, no deben tomarse sólo partes de las capas

superiores, sino de preferencia numerar las partes con un número y seleccionar con tablas de

números aleatorios o también se puede estratificar el lote.

GUÍA DE APLICACIÓN DE PLANES DE MUESTREO

Un plan de aceptación es el establecimiento del tamaño de muestra a ser usado y el criterio de

aceptación o rechazo para calificar lotes individuales.

Un esquema de aceptación es un conjunto de procedimientos de planes de aceptación en los

cuales se relacionan los tamaños de lote, tamaño de muestra, criterio de aceptación o rechazo, la

cantidad de inspección 100% y de muestreo.

Un sistema de muestreo es un conjunto de esquemas de muestreo. Los procedimientos de

muestreo de aceptación son:

Procedimiento Procedimiento Objetivos por atributos por Variables

1. Asegurar niveles de calidad Plan específico Plan específico Para el consumidor y productor en base a curva OC en base a curva OC 2. Mantener la calidad en el Sistema de AQL Sistema de AQL objetivo MIL-STD-105E MIL-STD-414 3. Asegurar el nivel de Sistema de AOQL Sistema de AOQL calidad de salida de Dodge-Romig 6. Asegura la calidad no Planes LTPD de Planes LTPD con menor que el objetivo de Dodge-Romig prueba de hipótesis. Los clientes están enfocados a mejorar la calidad de sus proveedores, seleccionando a los mejores

y trabajando en forma cercana para reducir su variabilidad, con técnicas de control estadístico del

proceso. El muestreo de aceptación se utiliza mientras se mejora la calidad con el proveedor.


Página 296

7.2 MUESTREO SIMPLE POR ATRIBUTOS

Muestreo aleatorio simple

Un plan de muestreo simple se define por su tamaño de muestra n y el número de aceptación c. El

tamaño del lote se especifica como N.

Por ejemplo si se tiene el plan:

N=10,000

n=89

c=2

Significa que de cada lote de 10,000 partes se toman al azar n=89 para inspección, si el número de

productos defectivos observados en la muestra d es menor o igual a c = 2, el lote se acepta, en

caso contrario se rechaza.

La curva OC

La curva característica de operación (OC) muestra la probabilidad de aceptar el lote (Pa o en el

eje Y), versus la fracción defectiva media en el lote (p en el eje X), mostrando la potencia de

discriminación del plan de muestreo.

Fig. 7.2 Curva característica de operación y plan de muestreo

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 p Prov.

Pa

1

0.8

0.5

0.3

0.1

Curva característica de

Operación dado una

Tamaño de muestra n

y un criterio de aceptación c

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 p Prov.

Pa

1

0.8

0.5

0.3

0.1

Curva característica de

Operación dado una

Tamaño de muestra n

y un criterio de aceptación c


Página 297

La curva característica de operación se obtiene graficando p versus la probabilidad binomial de

encontrar y aceptar a lo más c defectivos o sea:

c

d

dnd ppdnd

ncdPPa

0

)1()!(!

!){ (7.1)

Esto mismo se puede aproximar por la distribución de Poisson para efectos prácticos.

Se puede usar Excel para los cálculos, un ejemplo utilizando la distribución binomial acumulada

(opción VERDADERA en Excel) se muestra a continuación:

Binomial=distr.binom(c, n, p, 1) ó Poisson=Poisson(c, n*p, 1)

p P(A<x<X)

0.01 0.91

0.02 0.736 Pa

0.03 0.555

0.04 0.400

0.05 0.279

0.06 0.190

0.07 0.126

0.08 0.083

0.09 0.053

0.1 0.034

0.11 0.021

0.12 0.013

0.13 0.008

0.14 0.005

0.15 0.003

0.16 0.002 p

0.17 0.001 Traza la curva OC Tipo B para el plan de muestreo ùnico n=50 y c=1.

0.18 0.001

0.19 0.000

0.2 0.000

P(A<x<X)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

0.0

1

0.0

2

0.0

3

0.0

4

0.0

5

0.0

6

0.0

7

0.0

8

0.0

9

0.1

0.1

1

0.1

2

0.1

3

0.1

4

0.1

5

0.1

6

0.1

7

0.1

8

0.1

9

0.2

Fig. 7.3 Cálculo de la Curva característica de operación OC

En este caso si los lotes tienen un 2% de defectivo, su probabilidad de aceptación es de 0.74.

Significa que de cada 100 lotes recibidos, se aceptarán 74 y se rechazarán 26.

A continuación se muestran algunas variaciones de la curva característica de operación variando

tanto como el criterio de aceptación c manteniendo n constante y después manteniendo c como

constante y variando n.


Página 298

Manteniendo n constante y variando c se tiene:

p n = 89,

c=0 n = 89

c=1 n = 89,

c =2

0.01 0.64 0.93 0.99

0.01 0.41 0.78 0.94

0.02 0.17 0.47 0.74

0.03 0.07 0.25 0.50

0.04 0.03 0.12 0.30

0.05 0.01 0.06 0.17

0.06 0.00 0.03 0.09

0.07 0.00 0.01 0.05

0.08 0.00 0.01 0.02

0.09 0.00 0.00 0.01

Pa P (fracción defectiva en el lote) Figura 7.4 Curvas características de operación diversas para n = 89 y c = variable Para el caso en que lo que se varíe sea n se tiene:

p n = 50, c=2

n = 100, c = 2

n = 200, c = 2

0.005 0.997944 0.9859 0.920161

0.01 0.986183 0.9206 0.676679

0.02 0.921572 0.6767 0.235148

0.03 0.810798 0.4198 0.059291

0.04 0.676714 0.2321 0.012489

0.05 0.540533 0.1183 0.002336

0.06 0.416246 0.0566 0.0004

0.07 0.310789 0.0258 6.40E-05

0.08 0.225974 0.0113 9.66E-06

0.09 0.16054 0.0048 1.39E-06

c=0, 1, 2


Página 299

Pa

p (fracción defectiva en el lote)

Figura 7.5 Curvas características de operación diversas para n = variable y c =2

Puntos específicos en la curva OC

Un consumidor frecuentemente fija de común acuerdo con su proveedor, un nivel de calidad

aceptable (AQL), que representa el nivel más pobre de calidad que el consumidor considera

aceptable como promedio, normalmente es la fracción defectiva que tiene un 95% de ser

aceptada ( = 0.95).

Por otra parte el consumidor quiere rechazar los lotes en la mayoría de los casos cuando tengan

una fracción defectiva de a lo más un porcentaje defectivo tolerable en el lote (LTPD),

normalmente esta fracción defectiva corresponde a una probabilidad de aceptación del 10% o

rechazo del 90% de las veces. También se el denomina Nivel de Calidad Rechazable.

CURVAS OC TIPO A y B.

La curva OC tipo A utilizando la distribución hipergeométrica se construye cuando se tiene un lote

aislado de tamaño finito, se utiliza cuando n/N >=0.10.

La curva OC tipo B utiliza la distribución binomial o de Poisson cuando n/N < 0.1, sin embargo en

los niveles donde n/N=0.1 ambas curvas A o B son muy parecidas.

DISEÑO DE UN PLAN DE MUESTREO EN BASE A CURVA OC

n=50, 100, 200 2


Página 300

En este método se especifican 2 puntos por los que debe pasar la curva OC, uno de ellos tiene

coordenadas (p1, 1-) y el otro (p2 , ), con p1 > p2 . Se utiliza el nomograma Binomial para

encontrar los valores de n y c para el plan.

En el nomograma se hacen coincidir con una línea recta el valor de p1 en el eje vertical izquierdo

con 1- en el eje vertical derecho, y con otra línea recta se hace coincidir p2 en el eje vertical

izquierdo con en el eje vertical derecho. En el punto de cruce se encuentra el valor de n y de c

del plan de muestreo simple. Ver nomograma y ejemplo en la página siguiente.

Cuando p1 es igual al AQL y p2 es el LTPD, los puntos correspondientes en la curva OC se

denominan riesgo del productor (1-) y riego del consumidor .

Inspección rectificadora

Los programas de aceptación por muestreo normalmente requieren acción correctiva cuando los

lotes son rechazados, de tal forma que el proveedor los selecciona al 100% remplazando los

artículos defectivos por buenos. Esta actividad se denomina inspección rectificadora por su

impacto en la calidad de salida final hacia la planta.

Fig. 7.6 Inspección rectificadora (las piezas malas son reemplazadas y reintegradas al lote) Suponiendo que los lotes que llegan tienen una fracción defectiva p0 , después de la actividad de

inspección bajo un plan de muestreo, algunos lotes serán aceptados y otros serán rechazados. Los

Entrada de 100

lotes de cierto

proveedor con

N=10,000 y

p = 0.02

n =200

c = 1

P=0.02

Pa

91 lotes son

rechazados y

seleccionados

por el

proveedor,

deja 910,000

piezas OK

9 lotes son

aceptados a pesar

de tener un 2%

defectivo:

Es decir ingresan

88,820 piezas OK

Y 1800 piezas KO

Total de piezas OK

998,820

Piezas defectivas

1,800

0.18% AOQ

AOQ

Alm.

Entrada de 100

lotes de cierto

proveedor con

N=10,000 y

p = 0.02

n =200

c = 1

P=0.02

Pa

91 lotes son

rechazados y

seleccionados

por el

proveedor,

deja 910,000

piezas OK

9 lotes son

aceptados a pesar

de tener un 2%

defectivo:

Es decir ingresan

88,820 piezas OK

Y 1800 piezas KO

Total de piezas OK

998,820

Piezas defectivas

1,800

0.18% AOQ

AOQ

Alm.


Página 301

lotes rechazados serán seleccionados al 100% por el proveedor remplazando los artículos

defectuosos por buenos después se integran a los lotes que ingresan a la planta obteniéndose una

fracción defectiva p1 menor a la original, denominada calidad promedio de salida AOQ, en lotes de

tamaño N se tiene:

1. n artículos de la muestra no contienen defectivos.

2. N-n artículos los cuales si el lote se rechazó no contenían defectivos.

3. N-n artículos los cuales si el lote se acepta contienen p(N-n) defectivos.

Así los lotes después del proceso rectificador, contienen un núemro esperado de defectivos igual a

Pap(N-n) con la cual se puede expresar una fracción defectiva media AOQ como sigue,

N

nNpPAOQ a )(

(7.2)

Ejemplo 7.1 Suponiendo que N=10,000, c=2 y que la calidad de entrada p=0.01.

Como en la curva característica de operación (para n=89, c=2) cuando p=0.01, Pa = 0.9397,

entonces el AOQ es:

0093.010000

)8910000)(01.0)(9397.0()(

N

nNpPAOQ a

AOQ 0.93% en lugar del 1% entrante.

Cuando N es grande respecto al tamaño de muestra n, se tiene,

pPAOQ a (7.3)

La curva de AOQ versus p se muestra a continuación:


Página 302

CURVA AOQ

p P(A<x<X) AOQ

0.001667 1.00 0.002

0.003333 0.99 0.003

0.005000 0.96 0.005

0.006667 0.92 0.006

0.008333 0.87 0.007 Pa Probabilidad de aceptación del lote teniendo una fracción defectiva p

0.010000 0.81 0.008

0.011667 0.74 0.009

0.013333 0.68 0.009

0.015000 0.61 0.009

0.016667 0.54 0.009

0.018333 0.48 0.009

0.020000 0.42 0.008

0.021667 0.37 0.008

0.023333 0.32 0.007

0.025000 0.27 0.007

0.026667 0.23 0.006

0.028333 0.20 0.006

0.030000 0.17 0.005

0.031667 0.14 0.005

0.033333 0.12 0.004

0.035000 0.10 0.004

0.036667 0.08 0.003 Fracción defectiva en el lote p

0.038333 0.07 0.003

0.040000 0.06 0.002

0.041667 0.05 0.002

0.043333 0.04 0.002

0.045000 0.03 0.001

0.046667 0.03 0.001

0.048333 0.02 0.001

0.050000 0.02 0.001

AOQ

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0.006

0.007

0.008

0.009

0.01

0 0

0.01

0.01

0.01

0.01

0.01

0.01

0.02

0.02

0.02

0.02

0.02

0.02

0.03

0.03

0.03

0.03

0.03

0.03

0.04

0.04

0.04

0.04

0.04

0.04

0.05

0.05

0.05

0.05

AOQL

n=89, c=2

Figura 7.7 Curva de calidad de salida promedio (AOQ)

De la gráfica anterior se observa que la curva AOQ tiene un valor máximo o la peor fracción

defectiva de salida hacia la planta o proceso, que se denomina límite de calidad de salida

promedio AOQL el cual es aproximadamente 0.0155 o 1.55% defectivo.

El número promedio de inspección total por lote es ATI, igual a:

))(1( nNPanATI (7.4)

Ejemplo 7.2 Con N=10000, n=89, c=2 y p=0.01. Como Pa = 0.9397 se tiene:

ATI = 89 + (1-0-9397)(10000 – 89) = 687

Siendo este el total de piezas que en promedio se inspeccionarán por lote, algunas por el cliente

(n) y otras por el proveedor (N-n) en base al plan de muestreo.


Página 303

Las curvas ATI para diferentes tamaños de lote se muestra a continuación, para n = 89 y c = 2:

p Pa ATI-N=1000 ATI-N=5000 ATI-N=10000

0 1 98 140 191

0 1 144 385 687

0 1 329 1383 2700

0 0 546 2552 5060

0 0 723 3506 6985

0 0 843 4155 8295

0 0 916 4549 9089

0 0 957 4770 9536

0 0 979 4887 9772

0 0 990 4947 9892

Figura 7.8 Curvas de número de muestras inspeccionadas promedio por el cliente y por el

proveedor

Los planes de Dodge-Romig minimizan el ATI para un AOQL dado, haciendo más eficiente la

inspección por muestreo.

Muestreo doble, múltiple y secuencial

Estos tipos de muestreo son extensiones del muestreo simple, se pueden diseñar curvas CO

equivalentes.

ATI

p

N=10000

N=5000

N=1000


Página 304

PLANES DE MUESTREO DOBLE

Un plan de muestreo doble es un procedimiento en el cual, bajo ciertas circunstancias, se requiere

una segunda muestra para calificar el lote. El plan se define por los parámetros siguientes:

n1 = tamaño de muestra en la primera muestra.

c1 = criterio de aceptación en la primera muestra.

n2 = tamaño de muestra en la segunda muestra.

c2 = criterio de aceptación en la segunda muestra.

Al aplicar el plan el número de defectivos observados en la primera muestra es d1 y los defectivos

observados en la segunda muestra es d2.

Suponiendo que:

n1 = 50

c1 = 1

n2 = 100

c2 = 3

En la primera muestra de n=50 artículos, se acepta el lote si el total de defectivos d1 <= c1=1,

rechazándose si d1 >c2=3.

Si d1 es igual a 2 o a 3, se toma una segunda muestra de 100 artículos, se inspecciona y se

determina el número de defectivos d2 .

Se acepta el lote si [d1+d2 <= c2=3] y se rechaza en caso contrario.

En ambas muestras la primera y segunda, la inspección se continua hasta inspeccionar todos los

artículos, por eso se denomina inspección completa, el número promedio de artículos

inspeccionados por muestra ASN es,

)1( 121 PnnASN (7.5)


Página 305

donde P1 es la probabilidad de tomar una decisión en la primera muestra o sea:

P1=P{el lote se acepta en la primera muestra} + P{el lote es rechazado en la primera

muestra}

Si por el contrario la inspección de los artículos se suspende cuando se encuentra un número de

defectivos mayor al criterio de aceptación c2 y no se inspeccionan todos los artículos, el método se

denomina inspección recortada, el comportamiento de ambos esquemas se muestra a

continuación,

Insp. completa

n = cte.

Insp. recortada

Figura 7.9 Diferencias en muestras inspeccionadas por el cliente promedio con inspección

completa y recortada

Por tanto el muestreo doble es más económico que el simple sólo para ciertos valores de p, ya que

si p tiene valores intermedios el ASN es mayor implicando mayores costos de inspección.

La inspección recortada si es más económica sin embargo proporciona menos información acerca

del lote.

CURVA CARACTERÍSTICA DE OPERACIÓN

p

ASN


Página 306

Del ejemplo anterior, si Pa es la probabilidad de aceptación, esta se forma con la probabilidad de

aceptación en la primera muestra más la probabilidad de aceptación en la segunda muestra ya sea

usando la distribución binomial o la de Poisson. O sea:

II

a

I

aa PPP (7.6)

)1( 11 ndPP I

a (7.7)

)0()3()1()2( 22112211 ndxPndPndxPndPP II

a (7.8)

Fig. 7.7 Curva característica de operación bajo muestreo doble

p Pa (1º

muestra) Pa(2a.muestra) Pa Total En 1a. Muestra

0.005 0.974 0.023 0.997 0.976

0.01 0.911 0.060 0.971 0.929

0.02 0.736 0.083 0.819 0.877

0.03 0.555 0.056 0.611 0.908

0.04 0.400 0.027 0.428 0.971

0.05 0.279 0.011 0.290 1.022

0.06 0.190 0.004 0.194 1.047

0.07 0.126 0.001 0.128 1.052

0.08 0.083 0.000 0.083 1.046

0.09 0.053 0.000 0.053 1.036

Pa

Pa total

Pa

1ª muestra

Pa 2ª muestra

p

Figura 7.10 Probabilidad de aceptar en la primera o en la segunda muestra en muestreo doble

DISEÑO DE PLANES DE MUESTREO DOBLE


Página 307

Como en el caso del muestreo simple, es frecuentemente necesario diseñar un plan de muestreo

doble tomando como referencia las coordenadas de la curva OC (p1, 1-) y (p2, ) ya sea con n1=n2

o con n2 = 2n1. Para lo que se emplean las tablas de Grubbs (ver páginas siguientes).


Página 308

INSPECCIÓN RECTIFICADORA

Cuando se usa el esquema de inspección rectificadora, la curva AOQ está dada por,

N

pnnNPnNPAOQ

II

a

I

a )}()({ 211 (7.9)

Asumiendo que todos los defectivos son remplazados por artículos buenos en los lotes

rechazados, la curva de inspección total promedio es,

)1()( 21 a

II

a

I

a PNPnnnPATI (7.10)

donde II

a

I

aa PPP

PLANES DE MUESTREO MÚLTIPLE

Un muestreo múltiple es una extensión del doble, donde pueden requerirse más de dos muestras

para calificar el lote, por ejemplo un plan de 5 etapas es el siguiente:

Muestra acumulada Aceptar Rechazar

20 0 3

40 1 4

60 3 5

80 5 7

100 8 9

Al terminar cada etapa de muestreo, si el número de defectivos es menor o igual al número de

aceptación, se acepta el lote. Si en cualquier etapa el número de defectivos acumulado excede el

número de rechazo, se rechaza el lote, de otra forma se sigue tomando una siguiente muestra.

Una ventaja que tiene es que el tamaño de muestra es más pequeño que en el caso del simple o

del doble, con una mejor eficiencia de inspección. Sin embargo es más complejo de administrar.


Página 309

MUESTREO SECUENCIAL

Es una extensión de los planes anteriores, aquí se toma una secuencia de muestras del lote, cuya

magnitud será determinada por los resultados del proceso de muestreo. Si el tamaño del subgrupo

inspeccionado en cada etapa es mayor que uno, se denomina muetreo secuencial de grupo, si es

uno, como es nuestro caso, se denomina muestreo secuencial artículo por artículo, basado en

Wald (1947).

En este caso se tienen 2 líneas, una de aceptación y otra de rechazo, teniendo como dato las

coordenadas de la curva OC (p1, 1-) y (p2, ), las ecuaciones de las líneas son:

snhX ACEPTACION 1 (7.11)

snhX RECHAZO 2

kh

1log1

kh

1log2 (7.12)

)1(

)1(log

21

12

pp

ppk

kp

ps

2

1

1

1log

Ejemplo 7.3 Si p1=0.01, p2=0.06, =0.05, =0.10, se tiene al substituir valores en las ecuaciones

anteriores:

k = 0.80066

h1=1.22

h2=1.57

s=0.028


Página 310

Por tanto las ecuaciones de las líneas de aceptación y rechazo son:

XA= -1.22 + 0.028n Línea de aceptación

XB= 1.57 + 0.028n Línea de rechazo

Haciendo una tabla de valores donde el número de aceptación es el entero más próximo menor

que o igual a XA y el número de rechazo es el entero más próximo superior que o igual a XR.

MUESTREO SECUENCIAL

n Xa Xr Xa Xr n Xa Xr Xa Xr

1 -1.192 1.598 -1 2 24 -0.548 2.242 -1 3

2 -1.164 1.626 -1 2 25 -0.52 2.27 -1 3

3 -1.136 1.654 -1 2 26 -0.492 2.298 -1 3

4 -1.108 1.682 -1 2 27 -0.464 2.326 -1 3

5 -1.08 1.71 -1 2 28 -0.436 2.354 -1 3

6 -1.052 1.738 -1 2 29 -0.408 2.382 -1 3

7 -1.024 1.766 -1 2 30 -0.38 2.41 -1 3

8 -0.996 1.794 -1 2 31 -0.352 2.438 -1 3

9 -0.968 1.822 -1 2 32 -0.324 2.466 -1 3

10 -0.94 1.85 -1 2 33 -0.296 2.494 -1 3

11 -0.912 1.878 -1 2 34 -0.268 2.522 -1 3

12 -0.884 1.906 -1 2 35 -0.24 2.55 -1 3

13 -0.856 1.934 -1 2 36 -0.212 2.578 -1 3

14 -0.828 1.962 -1 2 37 -0.184 2.606 -1 3

15 -0.8 1.99 -1 2 38 -0.156 2.634 -1 3

16 -0.772 2.018 -1 3 39 -0.128 2.662 -1 3

17 -0.744 2.046 -1 3 40 -0.1 2.69 -1 3

18 -0.716 2.074 -1 3 41 -0.072 2.718 -1 3

19 -0.688 2.102 -1 3 42 -0.044 2.746 -1 3

20 -0.66 2.13 -1 3 43 -0.016 2.774 -1 3

21 -0.632 2.158 -1 3 44 0.012 2.802 0 3

22 -0.604 2.186 -1 3 45 0.04 2.83 0 3

23 -0.576 2.214 -1 3 46 0.068 2.858 0 3

En este caso no se puede tomar una decisión de aceptación hasta que hayan transcurrido las

suficientes muestras, que hagan que la línea de aceptación tenga valores positivos en Xa, 44 en

este caso, y no se puede rechazar hasta en la 2ª. Muestra.


Página 311

3

2

1

0 20 40 60

-1

Fig. 7.11 Comportamiento del muestreo secuencial

CURVA OC y ASN

Para esta curva se incluyen 3 puntos, (p1, 1-), (p2, ) y el punto medio de la curva en p=s y Pa = h2

/(h1+h2). Las muestras inspeccionadas promedio son:

C

BP

C

APASN aa )1(

(7.13)

Donde,

1logA

1logB

1

2

1

2

1

1log)1(log

p

pp

p

ppC

INSPECCIÓN RECTIFICADORA

La calidad media de salida AOQ Pap y el número promedio de muestras inspeccionadas total es:

NPC

APATI aa )1(

(7.14)

Línea de aceptación

Línea de Rechazo

No. de defectos acumulados

Número de muestras


Página 312


Página 313

7.4 TABLAS DE MUESTREO MIL-STD-105E (ANS Z1.4, ISO 2859)

Descripción de la norma

Esta norma se desarrolló durante la segunda guerra mundial emitiéndose en 1950 con la versión

A. La versión D se publicó en 1963 y en 1971 fue adoptada por la ANSI con pequeños cambios

como la Z1.4 y en 1973 fue adoptada por la ISO como la norma ISO 2859. En 1989 se liberó la

versión E.

La norma proporciona tres tipos de muestreo (con curvas OC equivalentes):

- Muestreo simple.

- Muestreo doble.

- Muestreo múltiple

En cada uno de los casos se prevén los siguientes tipos de inspecciones:

- Inspección normal.

- Inspección estricta.

- Inspección reducida.

Se inicia con la inspección normal, se pasa a estricta cuando se observa mala calidad del

proveedor y se usa la reducida cuando la calidad del proveedor es buena, reduciendo los

tamaños de muestra.

El punto focal de la norma es el AQL (nivel de calidad aceptable entre 0.1% y 10%),

negociado entre cliente y proveedor. Los valores típicos de AQL para defectos mayores es

de 1%, 2.5% para defectos menores y 0% para defectos críticos. Cuando se utiliza para

planes de defectos por unidad se tienen 10 rangos adicionales de AQLs hasta llegar a 1000

defectos por cada 100 unidades, los noveles pequeños de AQL se pueden utilizar tanto

para controlar fracción defectiva como defectos por unidad.


Página 314

El tamaño de muestra en el estándar está determinado por el tamaño del lote y por la

selección del nivel de inspección. Se proporcionan tres niveles de inspección, donde el

nivel II se considera normal; el nivel I requiere alrededor de la mitad de la inspección del

nivel II y se usa cuando se requiere menos discriminación; el nivel III requiere alrededor del

doble de inspección del nivel II, y se usa cuando se requiere más discriminación. Hay

también cuatro niveles especiales de inspección, S-1, S-2, S-3 y S-4, estos usan tamaños de

muestra muy pequeños y sólo deben usarse cuando los riesgos grandes del muestreo sean

aceptables.

Para un AQL específico, un nivel de inspección y un tamaño de lote dado, el estándar MIL-

STD-105E proporciona un plan de muestreo normal que se utilizará conforme el proveedor

produzca productos con calidad AQL o mejor. También proporciona un mecanismo de

cambio de cambio a inspección estricta o reducida como se ilustra en la figura y se

describe a continuación.

1. Normal a estricta. Cuando se tiene inspección normal, la inspección estricta se instituye

cuando cuándo dos de cinco lotes consecutivos han sido rechazados.

2. Estricta a normal. Cuando se tiene inspección estricta, la inspección normal se instituye

cuando cinco lotes consecutivos son aceptados.

3. Normal a reducida. Cuando se tiene inspección normal, la inspección reducida se instituye

cuando se cumple con todas las condiciones siguientes:

a. Diez lotes consecutivos han sido aceptados con inspección normal.

b. El número total de defectivos en las muestras de los diez lotes precedentes es menor o

igual a el número límite aplicable del estándar.

c. La producción de lotes ha sido continua sin interrupciones mayores.

d. La inspección reducida se considera adecuada por la función responsable de la

inspección por muestreo.


Página 315

4. Reducida a normal. Cuando se tiene inspección reducida, la inspección normal se instituye

cuando se cumple cualquiera de las condiciones siguientes:

a. Un lote es rechazado.

b. Cuando el procedimiento de muestreo termina sin decisión de aceptación o rechazo, el

lote se acepta pero se cambia a inspección normal en el próximo lote.

c. La producción es irregular o se retarda en entregas.

d. Otras condiciones que fuercen a cambiar a la inspección normal.

5. La Inspección se descontinúa. Cuando diez lotes se acepten con inspección estricta y el

proveedor tome acciones para mejorar su calidad.

Fig. 7.12 Reglas de cambio de planes de inspección

10 lotes aceptados

Producción regular

Aprobado por la autoridad

responsable.

Se rechaza un Lote

Lotes aceptados con no conformidades encontrándose entre Ac y Re del plan, o

Producción irregular

Otras condiciones de detección.

2 de 5. Lotes consecutivos.

No aceptados.

5 consecutivos.

Lotes aceptados

Reducido

10 Lotes consecutivos aceptados

Normal

Estricto

Inspección discontinua con Z1.4

INICIO Iniciando las reglas para el Sistema ANSI Z1.4


Página 316

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0.00 0.01 0.01 0.01 0.02 0.02 0.02 0.03 0.03 0.03 0.04 0.04 0.04 0.05 0.05

Normal Rigurosa Reducida

Fig. 7.13 Comparación entre los planes normal, reducido y estricto

PROCEDIMIENTO

Los pasos a seguir para el uso de las normas es el siguiente:

1. Negociación del AQL (cliente – proveedor).

2. Decisión del nivel de inspección.

3. Determinación del tamaño del lote.

4. Consultar la tabla 1 (ver apéndice) y localizar la letra código correspondiente al tamaño del

lote y el nivel de inspección.

5. Decisión en cuanto al procedimiento de muestreo a utilizar (simple, doble, múltiple).

6. Uso de la tabla correcta para encontrar el tipo de plan a utilizar (las tablas se encuentran en el

apéndice).

7. Uso de la tablas para inspección reducida y estricta, cuando se requieran hacer cambios.

Ejemplo 7.4 Si N= 2,000 y AQL= 0.65% usando el nivel II de inspección:

1. La tabla I indica la letra código K.

2. La tabla II-A para inspección normal indica el plan de muestreo n=125 y c=2.

3. La tabla II-B para inspección estricta indica el plan de muestreo n= 125, c=1.


Página 317

La flecha descendente cambia la c, la letra de código y el tamaño de muestra, lo mismo para la

ascendente. Por ejemplo, un AQL de 1.5% y letra F será cambiado a letra G con tamaño de

muestra 32 en lugar de 20.

Para el caso de muestreo doble con los datos anteriores, la letra código es K y de las III-A, III-B y

III-C se obtienen los planes de inspección normal (n1= n2=80, c1a=0, cir=3, c2a=3), estricta (mismas

que n1 y n2, c1a=0, cir=2, , c2a=1, c2r=2) y reducida (n1= n2=32, c1a= c2a=0, c2r=3, c2r=4).

DISCUSIÓN

Todas las curvas OC son tipo B, también se proporcionan curvas para el ASN y datos del AOQL.

El estándar MIL-STD-105E está orientado al AQL, se enfoca al lado de riesgo del productor de la

curva OC, la parte restante de la curva depende de la selección del nivel de inspección. Los

tamaños de muestra seleccionados son 2, 3, 5, 8, 13, 20, 32, 50, 80, 125, 200, 315, 500, 800, 1250

y 2000.

Si se grafica el tamaño medio del rango de lotes contra el logaritmo del tamaño de muestra se

obtiene una recta hasta n=80 y después una recta con una pequeña pendiente. Como la razón de

N a n es decreciente conforme aumenta N se economiza en la inspección.

El estándar civil ANSI/ASQC Z1.4 o ISO 2859 es la contraparte del estándar MIL-STD-105E,

difiriendo en que:

1. Se usa el término “No conforme” o “no conformancia” o “porcentaje no conforme”.

2. Cambian ligeramente las reglas de cambio agregándose una opción para inspección reducida

sin el uso de números límite.

3. Se agregan varias tablas que muestran el desempeño de los planes, como el AOQL, fracciones

defectivas para Pa = 0.1 y Pa = 0.95, curvas de ASN y OC.

4. Hay una descripción detallada de los planes de muestreo simples.


Página 318

5. Se proporciona un esquema ilustrando las reglas de cambio en inspección.

MIL-STD-105E

Lote S-1 S-2 S-3 S-4 I II III

2-8 A A A A A A B

9-15 A A A A A B C

16-25 A A B B B C D

26-50 A B B C C D E

51-90 B B C C C E F

91-150 B B C D D F G

151-280 B C D E E G H

281-500 B C D E F H J

501-1 200 C C E F G J K

1 201-3 200 C D E G H K L

3 201-10 000 C D F G J L M

10 001-35 000 C D F H K M N

35 001-150 000 D E G J L N P

150 001-500 000 D E G J M P Q

500 001 ----- D E H K N Q R

Niveles de inspección generalesNiveles de inspección especiales

Letras código para el tamaño de muestra

Tabla de inspección normal II-ALetra código

para tamaño Tamaño de 0.01 0.015 0.025 0.04 0.065 0.1 0.15 0.25 0.4 0.65 1 1.5 2.5 4

de muestra muestra Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re Ac Re

A 2

B 3 0 1

C 5 0 1

D 8 0 1

E 13 0 1 1 2

F 20 0 1 1 2 2 3

G 32 0 1 1 2 2 3 3 4

H 50 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6

J 80 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8

K 125 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11

L 200 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15

M 315 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22

N 500 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22

P 800 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22

Q 1250 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22

R 2000 1 2 2 3 3 4 5 6 7 8 10 11 14 15 21 22

Usar el primer plan de muestreo debajo de la flecha Ac Número de aceptación

Usar el primer plan de muestreo arriba de la flecha Re Número de rechazo

Niveles de calidad aceptables AQL (%)


Página 319

Tabla de inspección rigurosa II-B Letra código



A 2

B 3

C 5 0 1

D 8 0 1

E 13 0 1

F 20 0 1 1 2

G 32 0 1 1 2 2 3

H 50 0 1 1 2 2 3 3 4

J 80 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6

K 125 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9

L 200 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13

M 315 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19

N 500 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19

P 800 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19

Q 1250 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19

R 2000 0 1 1 2 2 3 3 4 5 6 8 9 12 13 18 19

S 3150 1 2




Tabla de inspección reducida II-CLetra código



A 2

B 2 0 1

C 2 0 1

D 3 0 1

E 5 0 1 0 2

F 8 0 1 0 2 1 3

G 13 0 1 0 2 1 3 1 4

H 20 0 1 0 2 1 3 1 4 2 5

J 32 0 1 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6

K 50 0 1 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8

L 80 0 1 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10

M 125 0 1 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13

N 200 0 1 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13

P 315 0 1 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13

Q 500 0 1 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13

R 800 0 2 1 3 1 4 2 5 3 6 5 8 7 10 10 13



NOTA: Si se ha excedido el número de aceptación, sin alcanzar el número de rechazo, aceptar el lote pero regresar a la inspección normal


.

Figura 7.14 Tablas de muestreo simple por atributos


Página 320

7. 5 PLANES DE MUESTREO DE DODGE- ROMIG (1920)

Desarrollaron dos tipos de planes usando inspección rectificadora:

1. Planes para el porcentaje defectuoso tolerable en el lote LTPD y

2. Los que proporcionan un límite de la calidad máxima promedio de salida AOQL especificado.

Los planes anteriores basados en AQL no son adecuados para el caso del ensamble de productos

complejos. La tabla siguiente muestra la fracción defectiva en ppm dependiendo del AQL

“aceptable”.

AQL ppm

10% 100,000

1% 10,000

0.10% 1,000

0.01% 100

0.00% 10

0.00% 1

Ejemplo 7.5 Un equipo que tiene 100 componentes y que sus componentes tienen en promedio

un AQL = 0.5% , por tanto la probabilidad de que el equipo trabaje es de:

6058.0)995.0()_( 100 adecuadafunciónP

Por tanto es obvio que se requieran planes de protección del LTPD, aun cuando el AQL sea muy

bajo. Para esto se utilizan los planes de Dodge-Romig principalmente para inspección de sub-

ensambles.

Los planes de Dodge-Romig de AOQL y LTPD están diseñados para minimizar la inspección total

promedio (ATI).

Para ambos se tiene una tabla de muestreo doble y simple. Son útiles cuando el rechazo medio

del proceso es bajo (alrededor de 100 ppm).


Página 321

Planes de AOQL

Las tablas de Dodge-Romig (1959) tienen planes para valores de AOQL de 0.1%, 0.25%, 0.75%,

1%, 1.5%, 2.5%, 3%, 4%, 5%, 7% y 10% en cada una se especifican seis valores para medias de

proceso. Se tienen planes para muestreo simple y doble.

Ejemplo 7.5 De la tabla para AQOL=3%; para N= 5,000, AOQL= 3% y la fracción disconforme del

proveedor del 1%.

De la tabla 13.21 se obtiene n=65, c=3, LTPD=10.3%. Da una seguridad del 90% de que serán

rechazados los lotes que tengan desde un 10.3% defectuoso.

Suponiendo que los lotes recibidos tengan un promedio de 1% de defectivo y la probabilidad de

aceptación sea Pa=0.9957, se tiene:

ASN= n + (1-Pa)(N-n)= 65 +(1-0.9957)(5000-65)=86.22.

De esta forma se inspeccionarán 86 partes del lote en promedio.

Planes de LTPD

Se diseñaron de tal forma que la probabilidad de aceptación del LTPD sea 0.1. Se proporcionan

tablas para valores de LTPD de 0.5%, 1%, 2%, 3%, 4%, 5% 7% y 10%.

Ejemplo 7.6 Suponiendo N=5,000 con fracción promedio de defectivos del proveedor de 0.25%

de productos no conformes y el LTPD=1%.

De la tabla 13.23, el plan obtenido es n=770 y c=4, si los lotes rechazados son seleccionados al

100% y los artículos defectuosos se reemplazan por artículos buenos, el AOQL=0.28%.


Página 322

Cuando el promedio del proceso es mayor que la mitad del LTPD, la inspección 100% es mejor

económicamente.

ESTIMACIÓN DEL PROMEDIO DEL PROCESO

La utilización de los planes de Dodge-Romig depende del conocimiento de la fracción promedio no

conforme del proveedor. Se puede estimar la fracción defectiva promedio del proceso por medio

de carta de control p para los primeros 25 lotes del proveedor, con las causas especiales

eliminadas y el proveedor haya tomado acciones para prevenir su reincidencia.


Página 323

8. MUESTREO DE ACEPTACIÓN POR VARIABLES

Ventajas y desventajas

La principal ventaja del muestreo por variables es que se puede obtener la misma curva

característica de operación con tamaño de muestra menor que el que requeriría un plan por

atributos. Otra ventaja es que los datos por variables proporcionan más información del proceso

que los atributos. Cuando los AQLs son muy pequeños (del orden de ppm), el tamaño de muestra

requerido en el caso de muestreo por atributos es muy grande y por variables muy pequeño.

Cuando la inspección es del tipo destructivo, los planes por variables si se aplican son más

económicos.

Como desventajas se tienen el probable alto costo de las mediciones versus juzgar por atributos, a

pesar de que el tamaño de muestra sea menor y que es necesario un plan de muestreo para cada

característica importante del producto.

Se debe conocer la distribución de la característica de calidad, la cual debe ser normal ya que de

otra forma se pueden cometer errores en la aplicación del plan de muestreo por variables. Esto es

más crítico cuando las fracciones defectivas son muy pequeñas.

En la figura de la página siguiente se muestran las diferencias para varias distribuciones. Si la

distribución no es normal se puede diseñar un plan si se puede determinar la fracción defectiva a

partir de la media y la desviación estándar de esa distribución.

Los planes especifican el número de artículos a muestrear en los cuales se hacen mediciones en la

característica de calidad seleccionada, y el criterio de aceptación de esos lotes.

Una comparación entre los diferentes tipos de muestreo se da a continuación, considerando una

p1 = 0.01, p2 = 0.08, = 0.05 y = 0.10:


Página 324

Tipo de muestreo n ó ASN

1. Muestreo simple por atributos n = 67.

2. Muestreo doble por atributos ASN en p1 = 45

3. Muestreo múltiple por atributos ASN en p1 = 41

6. Muestreo simple por variables, n=27

sigma desconocida, método de s

7. Muestreo simple por variables n=10

Sigma conocida

Como se observa, si la distribución es normal y la desviación estándar es conocida, el costo

de muestreo por variables es menor.

TIPOS DE PLANES DE MUESTREO

Existen dos tipos de planes de muestreo por variables, los que controlan la fracción defectuosa del

lote y los que controlan un parámetro del proceso tal como la media.

8.1 CONTROL DE LA FRACCIÓN DEFECTIVA

Como la característica de calidad es una variable, siempre existirá ya sea un límite de

especificación inferior LIE, límite de especificación superior o ambos, que definan los valores

aceptables de esa característica.

Considerando una característica de calidad x normalmente distribuida y un límite inferior de

especificaciones LIE, la fracción defectiva p es función de la media del lote y su desviación

estándar .


Página 325

Asumiendo que la desviación estándar del proceso es conocida, se desea tomar una muestra del

lote para determinar si o no el valor de la media es tal que la fracción defectiva p es aceptable.

Para esto se tienen dos métodos.

p

LIE __

X x

Figura 8.1 Bases del muestreo por variables

Procedimiento 1.

Tomando una muestra aleatoria de n artículos del lote y calculando el estadístico

LIEXZLIE

(8.1)

ZLIE expresa justamente la distancia entre la media X de la muestra y el límite inferior de

especificación LIE, entre mayor sea su valor, la media X de la muestra estará más alejada del LIE

y en consecuencia menor será la fracción defectiva p.

Si hay un valor crítico p que no deba ser excedido con una probabilidad establecida, se puede

traducir el valor de p en una distancia crítica por decir k para ZLIE. De esta forma si ZLIE <= k, se

aceptará el lote ya que automáticamente la fracción defectiva p es satisfactoria, en caso contrario

la fracción defectiva p es mayor que la aceptable y se rechazará el lote.

Ejemplo 8.1 Si =100, =10 y LIE= 82:

8.110

10082

LIEXZ LIE


Página 326

Donde (-1.8) = 0.0359 o sea el 3.59% defectuoso.

Se sigue el mismo procedimiento para el caso de tener un límite superior de especificación

unilateral LSE.

XLSEZ LSE

(8.2)

Cuando se tiene un solo límite de especificación, la relación entre Z y la fracción defectiva (p) es:

p Zs ó Zi

0.25 0.6745

0.20 0.8416

0.15 1.0364

0.10 1.2816

0.05 1.6449

0.02 2.0537

0.01 2.3263

Procedimiento 2.

A partir de una muestra sencilla de tamaño n del lote, se calcula ZLIE o

)1/( nnZQ LIELIE (más exacto) y se estima la fracción defectiva p como el área bajo

la curva normal debajo de ZLIE, si esta fracción estimada p, excede un valor máximo M, se

rechaza el lote, de otra forma se acepta.

Para el caso de límites bilaterales se calculan ambos QLIE y QLSE.


Página 327

)1/(

nnLIEX

QLIE

(8.3)

)1/(

nnXLSE

QLSE

Se estiman las fracciones defectivas P(QLIE) y P(QLSE) de la tabla mostrada en el apéndice

para estimar las fracciones defectivas pI y pS, si la suma de ambas fracciones defectivas no

excede al valor máximo permitido M se acepta el lote, en caso contrario se rechaza el lote.

Cuando la desviación estándar es desconocida, se puede estimar de la desviación

estándar de la muestra s, remplazando en las fórmulas anteriores a por s.

8.2 DISEÑO DE UN PLAN DE MUESTREO POR VARIABLES

CON UNA CURVA CO ESPECÍFICA

Para diseñar un plan de muestreo por variables usando el procedimiento 1, el método de k, que

tiene una curva OC especificada por dos puntos (p1, 1-), (p2, ) donde p1 y p2 son las fracciones

defectivas que corresponden a niveles de calidad aceptables y rechazables respectivamente se

utiliza un nomograma.

L. J. Jacobson propuso un nomograma mostrando dos escalas diferentes (ver página siguiente),

para estimar n y k con sigma conocida y sigma desconocida.

Utilizando este nomograma podemos obtener la curva característica de operación CO, cambiando

los valores de las fracciones defectivas p y hallando sus probabilidades de aceptación si se

mantiene fijo n y k.


Página 328

Ejemplo 8.2 Un embotellador ha establecido que la resistencia mínima para una botella de

plástico sea de LIE= 225 psi, si a lo más el 1% no pasa el límite, se aceptará el lote con una

probabilidad del 95% (p1=0.10 y 1-= 0.95), mientras que si el 6% o más están abajo del límite, el

embotellador rechazará el lote con una probabilidad de 90% (p2=0.06, = 0.10).

Para hallar el plan de muestreo por variables n, k, se traza una línea que une a el punto 0.01 en la

escala de fracción defectivas con el punto 0.95 en la escala de probabilidad de aceptación.

Después se traza una línea similar que conecta los puntos p2 = 0.06 y Pa=0.10, en la intersección de

esas líneas se lee, k=1.9 y n=40 para desconocida (siguiendo la línea curveada) o n=15 (bajando

una línea perpendicular) para conocida.

a) Procedimiento 1

Si se desconoce la desviación estándar, se toma una muestra aleatoria de n = 40 piezas calculando

la media y la desviación estándar s, se calcula ahora:

LIEXZ LIE

Si ZI k = 1.9 se acepta el lote, de otra forma se rechaza.

Si se conoce la desviación estándar, la n pasa de 40 a 15 con menos costos, al bajar en forma

perpendicular en el punto de intersección hacia la escala de n.

b) Procedimiento 2.

Una vez obtenidas n 40 y k = 1.9, se obtiene el valor de M del nomograma de la fig. 14.3,

La abscisa se calcula como sigue (con n = 40 y k = 1.9):

35.0)39(2

409.1

2

1

)1(22

1

n

nk


Página 329

Esto indica que M = 0.30.

Por ejemplo si se toma una muestra de n=40 partes y se observa que la media de la muestra

255X y s = 15, el valor de ZLIE es:

215

225225

s

LIEXZ LIE

de las tablas para fracción defectiva al final de este capítulo se obtiene una p = 0.020, y siendo que

es menor que M = 0.030, se acepta el lote.

Para límites bilaterales se obtienen ambas pi y ps en base a Zi y Zs, si pi + ps M se acepta el lote, si

no se cumple lo anterior, el lote se rechaza.

8.3 TABLAS ASQC Z1.9 – 1993

Originalmente se emitieron las tablas MIL-STD-414 sin embargo posteriormente fueron

homologadas con las tablas MIL-STD-105E (incluyendo inspección normal, reducida y estricta y

concordancia en las letras código de los planes para cada AQL) para su uso en la industria dando

lugar a las tablas Z1.9 de la ASQC.

Se enfoca al AQL (entre 0.1% a 10%) con cinco niveles generales de inspección (el normal es el II),

el nivel III tiene una curva más abrupta que el nivel II. Se pueden usar niveles más bajos (S3 S4)

para reducir costos muestrales si se toleran riesgos mayores.

Tiene la siguiente organización:


Página 330

Variabilidad Variabilidad

Desconocida Conocida Método de S

Especificación Especificaciones Unilateral Bilaterales Procedimiento 1 Procedimiento 2 Procedimiento 2 (Método de k) (Método de M) (Método de M)

Fig. 8.2 Organización del muestreo por variables Tienen 4 secciones:

A. Descripción general, con definición de términos, código de letras de tamaño de muestra, y

curvas OC de los planes.

B. Planes basados en la desviación estándar de la muestra con sigma del proceso desconocida.

C. Planes basados en la amplitud de la muestra con sigma desconocida (ya descontinuado).

D. Planes basados en la media de la muestra cuando se conoce la sigma del proceso.

USO DE LAS TABLAS

Las tablas se encuentran en el apéndice y su uso se ilustra con un ejemplo:

Ejemplo 8.4 Para el caso del embotellador: Si el límite inferior LIE = 225 psi, suponiendo que el

nivel de calidad aceptable en este límite es AQL = 1% y que las botellas se embarcan en lotes de

N = 100,000, con sigma desconocida se tiene:


Página 331

Procedimiento 1.

1. En la tabla A-2 se identifica el código de letra, en este caso, la N:

2. En la tabla B-1 se determina la n y k en este caso con la letra N y AQL= 1.00 negociado entre

proveedor y cliente, se obtiene k = 2.03. Para el caso de inspección severa (escala inferior) k =

2.18. Para el caso de inspección reducida k = 1.8 de la tabla B-2.

3. En la tabla B-3 se determina M en el renglón de N y columna de AQL= 1% obteniéndose M=

2.05%. Para inspección severa M = 1.42%. Para inspección reducida, de la tabla B-4 se obtiene

k = 3.44%.

4. La inspección estricta se usa cuando 2 de 5 lotes han sido rechazados

5. La inspección reducida se usa cuando los 10 lotes anteriores se han aceptado y su fracción

defectiva estimada es menor que un límite inferior especificado y la producción es estable.

6.La tabla B-6 se usa para obtener la desviación estándar máxima que se debe obtener en la

muestra con base a la tolerancia. Si el valor de s excede este valor, se rechaza el lote.

Nota:

Es posible pasar de planes de muestreo con sigma desconocida a planes con sigma conocida con

menor n si se demuestra estabilidad en una gráfica X -s para los lotes (al menos para 30). Los

planes específicos para este tipo de planes se deben consultar en el estándar.

EJEMPLOS TOMADOS DEL ESTANDAR Z1.9-1993

VARIABILIDAD DESCONOCIDA – MÉTODO DE LA DESVIACIÓN ESTÁNDAR

B1. Plan de muestreo para límite especificación unilateral. Forma 1

a) De la tabla A2 seleccionar la letra código de función del tamaño del lote y el nivel de

inspección.

b) Usar tablas B1 (normal y estricta) y B2 (reducida) para obtener el plan.

n - tamaño de muestra.

K - constante de aceptabilidad

c) Obtener mediciones de muestras , calcularX y s.

d) Criterio de aceptación.

LSE - Límite superior de especificación.


Página 332

LIE - Límite inferior de especificación.

Comparar (LSE – X) / s ó (X– LIE) / s con k.

Si es mayor o igual se acepta el lote, en caso contrario se rechaza.

Ejemplo 8.5 La máxima temperatura de operación es de 209ºF. Un lote de 40 artículos se

inspecciona, tomando AQL = 1%, nivel II.

Solución.

a) De tabla A2, se selecciona la letra D.

b) De la tabla B1, n = 5, k= 1.52

c) Suponiendo lecturas 197º, 188º, 184º, 205º y 201º.

X= 195 , s = 8.8

d) ( LSE - X ) / s = (209 – 195) / 8.8 = 1.59

e) 1.59 > k por tanto se acepta el lote.

B5- Usando la forma 2

a) Usar tablas B3 ( normal y estricta) y B4 (reducida) y obtener el plan de inspección, n y M

Porcentaje máximo de no conformes.

b) Obtener mediciones de muestras, calculandoX y s.

c) Criterio de aceptación.

Calcular el índice de calidad QS= (LSE - X ) / s

QI= (X – LIE ) / s

En tabla B5 entrar con QU o QL para encontrar porcentaje estimado no conforme PS o PI.

Comparar PS o PI con M , si es igual o menor se acepta el lote, se rechaza en caso contrario.

Ejemplo 8.6 De lo anterior; X = 195 ; s = 8.8

a) De la tabla B3 se obtiene M = 3.33% para letra D, n = 5 y AQL = 1%.

b) De la taba B5 con QS= 1.59 se obtiene PS = 2.19%

c) Como PS M se acepta el lote.


Página 333

B8. Plan de muestreo para doble límite de especificación.

a) Determinar la letra código de la tabla A2, en base a nivel de inspección.

b) Obtener el plan n y M de tabla B3 y B4. Si se especifican diferentes AQL´s para cada límite de

especificación, obtener el porcentaje máximo no conforme para cada límite MI y MS. Si se

asigna el mismo AQL a ambos límites, designar el nivel máximo de porcentaje no conforme

por M.

c) Obtener mediciones del muestreo.

d) Calcular los Indices de Calidad QS = (LSE - X ) / s y QL =( X – LIE ) /s

e) De tabla B5 encontrar PI y PS en base a QU y QL y el tamaño de muestra n.

Pestimada= PI + PS

f) Comparar Pest. Con M, si es menor o igual se acepta el lote, en caso contrario se rechaza.

Nota: Cuando hay diferente AQL para cada límite:

Aceptar si PI MI y PS MS y P = PI + PS mayor (MS, MI)

Ejemplo 8.7 Se inspecciona un lote de 40 muestras con nivel de inspección II, inspección normal y

en base a temperaturas de los ejemplos anteriores, n = 5, _

X = 195; s= 8.8; considerando LIE=

180F; LSE= 209F; AQL= 1% donde de tabla

B-3 M = 3.32%

QS=

8.8

180209 1.59 ; PS = 2.19% (de tabla B-5)

QI=

8.8

1801951.704; PI = 0.66% (de tabla B-5) por tanto la fracción defectiva total es de

p = 2.85%

Como P < M se acepta el lote.

Ejemplo 8.8 Si el AQLS= 1% y AQLI= 2.55% de tabla B3, MS= 3.32% , MI=9.8%

a) PS= 2.19% ; PI= 0.66% P = 2.85%

b) Comparando PS MS ; PI MI y P MI


Página 334

Se acepta el lote.

VARIABILIDAD CONOCIDA

D.1 Sólo un límite de especificación. Forma 1.

Usar tabla D1 y D2 para obtener n y k

Ejemplo 8.9 Se toma un lote de 500 artículos para inspección. LIE= 58,000 psi. N= 500,

nivel II, inspección Normal. AQL= 1.5%. La variabilidad es conocida con valor 3,000 psi

a) de tabla A2, se identifica la letra I y de tabla D1 obtenemos n = 10

Valores de muestra 62,500; 60,500; 68,000; 59,000; 65,500

62,000; 61,000; 96,000; 58,000; 64,500.

a) Cálculo de X= 63,000 ; ( X – LIE) / = 1.67

b) De tabla D1 ; k = 1.7

c) Comparando ( X – LIE)/ < k y el lote se rechaza.

D.5 Usando la forma 2.

a) Usar tablas D3 y D4 obteniendo n, M y V

b) Calcular QS= (LSE - X) V / y QL=( X – LIE) V /

c) Usando tabla D5 estimar PS y PI

d) Comparar D= PS + PI M para aceptabilidad

Ejemplo 8.10 Sea LIE= 58,000 psi; tamaño del lote 500 artículos;AQL = 1.5%; Inspección

nivel II, normal. De los datos anteriores se obtuvo _

X = 63,000; n = 10 ; = 3,000. De tabla

A-2 se obtiene la letra I.

a) Obtención en tabla D3 de n, M y V como 10, 3.63%, 1.054 respectivamente.

b) Cálculo de QL =(63,000 - 58,000) * 1.054 / 3,000 = 1.756

c) Determinar PL de tabla D5 con QL= 1.756 es 3.92%

Como PL > M se rechaza el lote.


Página 335

D9. Plan de muestreo para doble límite de especificación

a) Determinar la letra código de la tabla A2, en base a nivel de inspección.

b) Obtener el plan n, el factor v y el porcentaje máximo aceptable M de tabla D3 y D4. Si se

especifican diferentes AQL´s para cada límite de especificación, obtener el porcentaje máximo

no conforme para cada límite MI y MS. Si se asigna el mismo AQL a ambos límites, designar el

nivel máximo de porcentaje no conforme por M.

c) Obtener mediciones del muestreo en n partes.

d) Calcular la media de los datos.

e) Calcular los Indices de Calidad QS = (LSE - X ) v / y QL =( X – LIE ) v /

f) De tabla D-5 encontrar PI y PS en base a QU y QL y el tamaño de muestra n.

Pestimada= PI + PS

Ejemplo 8.11 La especificación para una colada de acero es de 67,000 y 58,000 psi

respectivamente. Un lote de 500 artículos se somete a inspección. El nivel de inspección es II,

inspección normal con AQL = 1.5%. La variabilidad conocida con valor 3,000 psi.

a) De tabla D-3 se obtuvo n = 10, v = 1.054, M = 3.63%

b) De las mediciones de las 10 muestras se obtuvo 000,63_

X

c) Los índices QS con QL son respectivamente 2.459 y 3.162 con fracciones estimadas defectuosas

0.697% y 0.078% de la tabla D-5.

d) Como la fracción defectiva total no excede el valor de M = 3.63%, se acepta el lote.

NOTA: Comparar Pestimada con M, si es menor o igual se acepta el lote, en caso contrario se rechaza.

DISCUSIÓN DE LA NORMA ASQC Z1.9 e ISO 3951 (1981)

Una consideración muy importante en el uso de las normas es que la población de donde se

obtienen las muestras debe ser normal. Es más crítico para pequeños valores de AQL.

Es muy importante realizar pruebas de normalidad en los extremos de la distribución para

asegurar que la norma Z1.9 es aplicable sin modificaciones.


Página 336

Los ajustes que se hicieron en la norma ASQC Z1.9 (1980) e ISO 3951 (1981) son:

1. Los rangos de tamaño de lotes se ajustaron para corresponder con la MIL-STD-105E por

atributos.

2. Se ordenaron las letras código para tener la misma protección que con la MIL-STD-105E.

3. Los niveles de inspección originales I, II, III, IV y V se denominaron S3, S4, I, II y III.

4. En la ISO 3951 se eliminaron los planes que consideran a los rangos en vez de las desviaciones

estándar.

5. En la ISO 3951 y en la Z1.9 se eliminaron los AQLS de 0.04, 0.065 y 15%.

6. Cambios en las reglas de transferencia.

Se adoptan las mismas reglas que en la 105E para el paso de inspección normal a severa y

viceversa con ligeras modificaciones.

La norma Z1.9 permite el paso de inspección normal a reducida si:

10 lotes en inspección normal fueron aceptados.

La producción es continua.

La inspección reducida es aprobada.

La ISO 3951 permite el paso a inspección reducida si 10 lotes sucesivos han sido aceptados y:

El AQL es un paso menor.

El proceso está bajo control estadístico.

La inspección reducida es aprobada.

7. La ISO 3951 permite el paso de un método de sigma desconocida a sigma conocida, utilizando

como sigma el valor promedio estimado en la carta de control estable con al menos 30

subgrupos. Requiriendo la continuación de la carta s o R.

Su ventaja principal es que se puede iniciar con un esquema de muestreo por atributos con la

MIL-STD-105E, obtener información suficiente y después cambiar a un esquema por variables

manteniendo la misma combinación de letra para el AQL.

Es muy importante una prueba de normalidad a partir de los datos variables de cada lote.


Página 337

8.4 OTROS PROCEDIMIENTOS DE MUESTREO POR VARIABLES

ASEGURAMIENTO DE LA MEDIA DEL PROCESO

Los planes de muestreo por variables también pueden utilizarse para asegurar la calidad media de

un material en lugar de su fracción defectiva. El método general que aquí se emplea es el de

prueba de hipótesis, lo cual se ilustra con un ejemplo.

Ejemplo 8.12 Se considera aceptable un lote si tiene menos de 0.3 ppm de emisiones de

formaldeído en maderas. Se diseña un plan de muestreo con una probabilidad de aceptación del

95% si las emisiones son en promedio de 0.3 ppm, y los lotes con un 0.4 ppm tengan una

probabilidad de aceptación del 10%. Si por experiencia se sabe que la desviación estándar es 0.10

ppm, se tiene:

Si X A es la media muestral debajo de la cual se aceptará el lote, está normalmente distribuida y

tiene una probabilidad de 0.95 de aceptación, entonces,

645.11.0

3.03.0

n

X

n

X AA

(8.4)

En forma similar si los lotes que tienen un nivel de emisión de 0.40 ppm tienen una probabilidad

de 0.10 de aceptación, entonces,

282.11.0

4.04.0

n

X

n

X AA

(8.5)

resolviendo para X A y n se obtiene:

X A = 0.355 n= 9

Muestreo secuencial por variables

Similar al de atributos graficando la suma acumulada de las mediciones de la característica de

calidad. Las líneas para aceptación del lote, rechazo del lote y continuación del muestreo se

construyen en forma similar a las de atributos (ver Duncan 1986).


Página 338

APÉNDICES


Página 339

FORMULAS DE CARTAS DE CONTROL

CARTAS DE CONTROL POR VARIABLES

CARTAS Xbarra-R

Límites de control para medias n =5

LSC = X + A2 R

LIC = X - A2 R

Límites de control para rangos n=5

LSC = D4 R

LIC = D3 R

CARTAS Xbarra-S

Límites de control para medias

LSCx = X + A3 S

LCx = X

LICx = X - A3 S

Límites de control para desviaciones estándar

LSCs = B4 S

LCs = S

LICs = B3 S

CARTAS I-MR de valores individuales

Para los valores individuales n=2

LSCx = 2

3d

MRX

LCx =

__

X

LICx = 2

3d

MRX


Página 340

Para el caso del rango se usan las mismas de la carta Xbarra-R con n=2

CARTAS DE CONTROL PARA ATRIBUTOS

CARTA p

i

i

in

Dp

m

p

mn

D

p

m

i

i

m

i

i 11

LSCp = n

ppp

)1(3

______

LCp = __

p

LICp = n

ppp

)1(3

______

CARTAS np

)1(3 pnpnpLSCnp

npLCnp

)1(3 pnpnpLICnp

CARTAS c

LSCc = c + 3 c

LCc = c

LICc = c - 3 c


Página 341

CARTAS u

n

cu

Donde u representa el número promedio de no conformidades por unidad en un conjunto de

datos preliminar

n

uuLSCu 3

uLC u

n

uuLSCu 3

TABLA DE CONSTANTES PARA EL CALCULO DE LIMITES DE CONTROL

Las constantes para límites de control en las cartas X-R son:

n A2 D3 D4 d2

2 1.880 0.000 3.267 1.128

3 1.023 0.000 2.574 1.693

4 0.729 0.000 2.282 2.059

5 0.577 0.000 2.115 2.326

6 0.483 0.000 2.004 2.534

7 0.419 0.076 1.924 2.704

8 0.373 0.136 1.864 2.847

9 0.337 0.184 1.816 2.970

10 0.308 0.223 1.777 3.078


Página 342

Las constantes para límites de control en las cartas X-S son:

n c4 A A3 B3 B4 B5 B6 .

5 0.9400 1.342 1.427 0 2.089 0 1.964

6 0.9515 1.225 1.287 0.030 1.970 0.029 1.874

7 0.9594 1..134 1.182 0.118 1.882 0.113 1.806

8 0.9650 1.061 1.099 0.185 1.815 0.179 1.751

9 0.9693 1.000 1.032 0.239 1.761 0.232 1.707

10 0.9727 0.949 0.975 0.284 1.716 0.276 1.669

11 0.9754 0.905 0.927 0.321 1.679 0.313 1.637

12 0.9776 0.866 0.886 0.354 1.646 0.346 1.610

13 0.9794 0.832 0.850 0.382 1.618 0.374 1.585

14 0.9810 0.802 0.817 0.406 1.594 0.399 1.563

15 0.9823 0.775 0.789 0.428 1.572 0.421 1.544

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17 0.9845 0.728 0.739 0.466 1.534 0.458 1.511

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