LEZIONE 1 9 3 2020

l'algebra delle matrici

Rappresentazione matriciale dei sistemi lineari

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L'ALGEBRA DELLE MATRICI

IN campo numerico ad esempio 112,0 4

DEFINIZIONEUna matura di tipo min è una tabelladi elementi di 1K disposti su in righe e

n colonne

Mix min matrici di tipo fan a coefficienti ink

ESINO IN a

A E Maki

In generale A E Mpx m.nl

a µ p iAms hmm

CASIPAMTGWRI.snn una matura di tipo mim si dice

motrice quadrata di ordine un

M M m e Mix m

ma 1 una matrice di tipo a n si dice

anche vettore riga di lunghezza n µ

nel una matrice di tipo m 1 si dice

anche vette colonna di lunghezza in

UGUAGLIANZA TRA rettrici

A e M min Benito p 9 A Bcon mtp oppure ut qA B E Mai min A_

BEDaijebijViV j

sonrAthANtTRlCI

i.Mik min x M min Mix fu n

A B Atb

A a B by A 113 a bis

ESEMPIOA 113

I ii ii ti2 4

Proprietà della somma

I PROPRIETA ASSOCIATIVAA B C E Mix min

A B C A Btc12

I proprieta CorruttivaH A B e Mix min

1 B BAA

III ESISTENZA dell'Elemento NEUTRO

0mm e Miti min0 O

A EM min A 10mm Omnia A

E Esistenza dell'Elemento Opposto

FAE Mix min 7 A e Maxine n tale daAta 1 A

0min05sA ai A ai

PRODOTTO DI UNO SCALARE E DI UNA MATRICE

1K x Mix min Mix mint A aD LA taiI

scalare

tap p 1

Proprietà del prodotto scabre matricee Proprietà Distributiva a sinistra

t.se 1K HA c MINIMA 13

t.is A TA sat a

somma di 1K somma di Marfin n

e Proprietà Distributiva a destratalk V A B E Mir mint B ta TB

II Proprietà Associativatis Elk HA c Mix min

tp A TEAprodotto di K II

prodotto scabrepanatine

E Esistenza dell'Elemento Neutro7 sia tale che t.tt terA Erik min

1µA A

osseo HA aid 7 A ai te 1 A 0mm

ai C Noi f 1 aiil

A c 1 ANotazione l'opposta della natura A verrà indicata

con A

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Nik 2,1esento sistemi lineari

lì I HAI il il S

litri L L

prodotto RIGHE PER colonne

Mix min x Mix n p Mix m pA B AB

A ai l 1 nn je 1 n

B by i L m jet p

C AB ci i 1 m je 1 p

ci ÈI die byEsempio A E My 1 n BEN n 1

A Ian and B

AB E NIK 1 a 15

car

Cn È Amber e

Am but Anzbar t 1 ambra

A e Mix an BEN n p

A a an gbio bip

c ABE Mace

bnp

p colonne

car car Cap

Crj A I esima colonna di B

A fi o il B

AB E Mir 43

c tiro in no I1 3 0 1 12T 1 Fi to 1 2 o no to fi 12.4

2T 13 TI 8

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Caso generale Ae Min min BEN up

AD c Mix me p

ci j prodotto righe per colonne dellai esimo riga di A per la

j esima colonna di B

at L Bit il

abitualdinatiti e me3471 sa 1 ENTI

Proprietà del prodotto righe per colonneCI proprieta ASSOCIATIVA

A EM mm tt BEN Imp tic ErikCraAB c A CBCA aManip Martin

e Proprietà Distributiva a destraA EM min B C Enix n pA Btc AB Al

P esanno di Miti up sanno di Mix M p

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e Pronta distributiva a sinistraA B e MKCM.in HC EMA n pAt B C Act BCt t

sanno in Mhm n sanno in Malm p

Proprieta DI OMOGENEITA

A te 1K A AEM min V'BEMA upt.CA B HAI13 1 HB

E Esistenza dell'Elemento Neutro a destra e sinistra

Ian p Ii e Miriam0 O

Ida viene detta tramite identità di ordine n

A E M min

A Ida A

Idf A

II In generale Idm Idm

Fenomeni particolarinon maturi quadrate di ordine n

A EM n n

IdmA Aidan A

À data una matrice quadrata A

18 esiste una motrice A tale che 1 A A Ida

Risposta In generale la matrice inversa non

esiste

Non vale la legge di annullamento del prodottoA EM min Berk n p

AB On.pe A OmnoppuveB 0n p

ESEMPIOA no B f

1 BE M sia AB 1 o a a o

a ti BelAB Edi Gr Abe I f

Non vale la proprietà commutativa

AEM min B e Mir n pAB è ben definito ma è dettoche sia anche ben definito il

prodotto BA

BA è ben definito se ne pA E Mix min B E Max n n

AB cMix mim

BA Emir min19

per poter confrontare AB e BA serve

che me ne p devo prenderedue matrici quadrate dello stesso ordine

Anche in questo caso A BEN min

il prodotto righe per colonne non è in

generale commutativa

Esempio

T.it BelAB

H H

a È fi

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SISTEMI LINEARI

ax b ato 7 soluzione

xba

a O b O 0 0

infinite soluzionib o 0 b

nessuna soluzione

dixit Amin b

se esiste dito allora sino le

soluzioni come

aitri b aah Quan

Xi b asx amen

in questo caso ho infinite soluzioniche dipendono dalla scelta dei valori

pel Xi Xii Xiii InNotazione l'equazione ha con soluzioni

In generale consideriamo un sistema con

n incognite Xm e in equazioniAn Xs t as.cn Xu be

ma anxn.ba IIIIi nella icona

ama 1 t a.mn Xm bm equazione 21

An Xs t 9am Xu

Èil L

in Mps m a

Scrittura Mahinda deporblu Xs 9am Xm Qi Xl ArnimAza XL T 1 Arm Xu Q2l t.it

Quanti

pScrittura matricide tipo 2

M min Mfm n Mafaiblu Xs 9am Xu

afi pfama

a.mn ama amai

III a22

Rappresentazione classicaAn Xs t as.cn Xu beA2a XL 1 t Arm Xu b

È ia.mx ÈRappresentazione mattinale A I

iRappresentazione compatta A la

it

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