LECCIÓN 42

DISTANCIA EN UNA

CUADRICULA COORDINADA

Encontrar la distancia entre dos

ciudades en un mapa puede ser difícil

pero encontrar la distancia entre dos

puntos en una cuadricula coordinada

es bien fácil porque la distancia

siempre es en línea recta desde un

punto al otro. La distancia de un

punto A al punto B es el largo del

segmento de linea de A a B.

MIDIENDO DISTANCIAS

HORIZONTALES Y VERTICALES

Ud. puede encontrar la distancia

horizontal y vertical contando la

cantidad de unidades que los separa

en linea recta.

Ejemplo:

y

y           

 

                      

 

                    

 

                 (-2, -2)

 

    (3, 2)         A *  

 

    *  B               

 

                      

 

            x x           

 

                      

 

           

            

                  

 

                    

 

                      

 

           

Para resolverlo cuente las unidades

entre A y B. Fíjese en el segmento de

línea que conecta ambos puntos.

Ambos puntos están a la misma

distancia del eje x por lo que el

segmento de linea que conecta los

puntos es paralelo al eje x.

Ya que los coordinados x de los dos

puntos no son fracciones solamente

cuente las unidades de un punto al

otro. La distancia es de 5 unidades.

Algunas veces puede ser que se le den

pares ordenados para dos puntos y luego

se le pregunte la distancia entre ellos.

En ese caso primero hay que graficar los

puntos y luego encontrar la distancia

entre ellos.

Para encontrar una distancia

perpendicular se hace lo mismo se cuenta

el número de unidades que la linea

atraviese abajo o arriba del eje x &

arriba o abajo del eje y forma que en la

forma anterior.

Ejemplo:

y

y           

 

                      

 

                    

 

   S                      

 

              

 

                      

 

            x           

 

                  Q    

 

           

            

                  

 

                    

 

           

Aquí el punto S se encuentra a tres

unidades arriba y –2 por abajo.

Encontrar Distancias Perpendiculares:

Perpendicular significa encontrarse en

ángulo recto. Encontrar las distancias

perpendiculares es tan fácil como contar

unidades. En la siguiente explicación el

símbolo sobre las dos letras

significa que estamos hablando acerca de

una linea entera. Por ejemplo: QR

quiere decir “la línea QR”.

Ejemplo:

Cual es la distancia perpendicular de S a

QR?

y

y           

 

                      

 

                    

 

                 S         

 

              

 

                      

 

            x       Q    

 

       R               

 

           

            

                  

 

                    

 

           

Solución, dibuje una linea perpendicular

de S al punto QR y mida su distancia.

Primer paso:

Dibuje un segmento de línea

directamente del punto S hasta que se

encuentre a la línea QR y nómbrela o

rotúlela con la letra T.

y

y           

 

                      

 

                    

 

   S                      

 

              

 

                      

 

            x       Q    

 

     R                 

 

           

            

     T             

 

                    

 

           

Segundo Paso:

Encuentre la distancia de ST. El

punto S esta a tres unidades arriba del

eje x . QR esta abajo del mismo eje a

dos unidades. La distancia es de 3 + 2

unidades = 5.

La distancia perpendicular de S a

QR es de 5 unidades.

Encontrar una distancia diagonal:

Usted no solamente cuenta unidades para

hallar distancias en una cuadrícula.

Encontrar una distancia diagonal en una

cuadrícula esta relacionado a algo que

usted ha aprendido sobre triángulos

rectos.

Si dos puntos no están en la misma linea

vertical u horizontal en la cuadrícula

usted halla la distancia entre ellos

dibujando un triángulo recto entre ellos y

usando el Teorema de Pitágoras para

hallar la distancia. Los puntos de los

que hay que encontrar su distancia son la

hipotenusa mientras que el punto donde

convergen las líneas de ambos es el inicio

del ángulo.

Si desea puede regresar a la lección 37

para revisar la Teoría de Pitágoras.

Ejemplo:

Cual es la distancia entre los puntos R

y S en la cuadricula de abajo.

y

y           

 

                      

 

                    

 

                    R  

 

              

 

                      

 

   S         x       

 

                      

 

           

            

                

 

                    

 

           

Para resolver primero dibuje una línea

horizontal desde un punto y una linea

vertical desde el otro tal y como lo

muestra la linea punteada que está en la

gráfica de ejemplo. Ahora puede usar el

teorema de Pitágoras.

a² + b² = c²

Donde a y b son los catetos del

triángulo recto y c la hipotenusa o la

distancia que debe haber entre ambos

puntos.

Paso 1:

Llamemos al vértice del ángulo

recto T para poder referirnos a los

catetos como RT y TS respectivamente.

Paso 2:

Cuente las unidades entre RT y

TS hacia el vértice. Hay 3 y 4

unidades respectivamente.

Paso 3:

Efectúe las operaciones:

3² + 4²

9 + 16 = 25

a² + b² = c²

Recuerde que la formula dice que la suma

del cuadrado de los catetos es igual al

cuadrado de la hipotenusa, por lo tanto

ahora hallemos la raíz cuadrada de 25.

La raíz cuadrada de 25 es 5.

Respuesta:

La distancia entre ambos puntos

es de 5 unidades.

Probablemente ya se preguntó el porqué

tanto trabajo cuando quizá hubiera sido

más fácil solamente contar las unidades

entre amos puntos. En parte tiene razón

pero no siempre es adecuado hacerlo así,

especialmente si se trata de fracciones de

puntos. La matemática tiene cosas que

deben hacerse aunque uno no entienda

exactamente porqué.

Encontrar puntos medios

Si usted tiene dos puntos cualquiera

puede calcular su promedio sumándolos y

luego dividiéndolos por dos.

Por ejemplo tome 4 y 12. Su promedio

es (4 + 12) ÷ 2 = 8.

La misma regla se aplica a encontrar

puntos medios entre pares coordenados,

solo que en este caso se encuentra el

promedio de los coordenados y entre sí

y luego el promedio de los coordenados

x.

Ejemplo:

Encuentre el punto medio entre (2, 8) a

(6, 10)

Solución: Encontrar los promedios de

los coordenados y & x.

Primer Paso:

Sume los coordinados x, (el

primer número de cada par) y los divide

entre 2.

(2 + 6) ÷ 2 = 4

Paso 2:

Ahora haga lo mismo con los

coordenados y.

(8 + 10) ÷ 2 = 9

Paso 3:

Respuesta: El punto medio entre

las coordenadas es: (4, 9)

Usted puede plotear (graficar) los

puntos en la cuadricula para verificar

que realmente es el punto medio. Esta

regla es la misma para todas las

circunstancias.

Aquí terminamos nuestro programa de

Geometría, definitivamente esto es solo

un comienzo pero indiscutiblemente ha

aprendido bastante. Ahora sin ninguna

pena sabrá que significa hipotenusa.