Lección 3: Errores y su Tratamiento - Universidad de …andyk/Docencia/TEB/03Errores.pdf · Unas...

Técnicas Experimentales Básicas


Lección 3: Errores y su Tratamiento


Errores y su Tratamiento

• Introducción• Errores y conceptos relacionados• Tratamiento estadístico de datos• Regresión y correlación


“Los Biólogos”

• La edad de una formación geológico– Sur-este de Inglaterra– North Downs --- “The Weald” --- South Downs– North Downs --- “The Weald” --- South Downs

• Estimación de la edad de “The Weald”:– Taza de erosión: 1” por siglo– Anchura total: 22 miles

– Estimación de su edad: 306,662,400 años

• Charles Darwin, 1859, Origin of Species (capítulo IX)


“Los Biólogos”

• ¿Porqué es ridículo “306,662,400 años”?

• En esta época, Lord Kelvin estimó que la Tierra tenía nada más de 24,000,000 años (ignoró lo de la radioactividad)

• Actualmente, se estima la edad “The Weald” en 100,000,000 años

• 3.066624 E8 años ----- demasiado cifras!


Estimaciones

• En esta asignatura, aprenderemos poner un número de cifras defendibles

• Darwin habría hecho súper bien si hubiera estimado 3±2 E8 años


www.mapquest.comGranada – Málaga

131.02km


Granada – Málaga131±1 km

• ¿Es interesante decir 131.02 km?• ¿Es exacto/científico?• ¿Qué es “la verdad”?• Se puede aceptar un error de más de 1000 m


¿Cuánto mides?

• ¿Se puede aceptar un error de 1000 m?• ¿Qué error se puede aceptar?


Contexto

• Esta pequeña introducción nos ha plantado algunas preguntas

• Ahora pasamos a algunas definiciones interesantes para empezar a contestar


Error Absoluto

xxx m −=∆• ∆x = error absoluto• x = “la verdad”• xm = valor medido o aproximado


Error Relativo

• e = error relativo• ∆x = error absoluto• xm = valor medido o aproximado

%100×∆

=mxxe


Intervalos de confianza

{ max

min

δδ+−= mxx

maxmin δδ +≤≤− mm xxx

δmin = máximo posible subestimaciónδmax = máximo posible sobreestimaciónxm = valor medido o aproximadox = “la verdad”


Simetría

• En el caso que

• (lo que pasa con frecuencia)

• Solemos escribir la medida así

x∆=−= minmax δδ

xxx m ∆±=


Ejemplo asimétrico

• Distancia sol-tierra : 150 ± 3 x 106 km• Error absoluto: 3 x 106 km• Error relativo: 2%

• No es simétrico, en realidad (varia)• 147.09 x 106 km < x < 152.10 x 106 km

• Nosotros trabajaremos con casos simétricos


Definiciones

• Precisión - concordancia entre una medida y otras de la misma magnitud, realizadas en condiciones sensiblemente iguales

• Exactitud - grado de concordancia entre el valor verdadero y el experimental

• Sensibilidad - el valor mínimo de la magnitud que un aparato es capaz de medir

• Exactitud -.

• Precisión -. .. .

• Sensibilidad - .. .


Exactitud y Precisión

• Tirando flechas


Ni Preciso Ni Exacto


Preciso


Exacto


¿Qué sabemos

• Aceleración de gravedad, g= ________• Número de Avogadro, N= ________• Velocidad de luz, c= ________


Expresión de magnitudes físicas

• Cantidad• Unidad (!!)• Grado de confiabilidad

– índice de exactitud – error


Expresión de cantidades

• ¡El orden no es intuitivo!

• PRIMERO: Error absoluto• ENTONCES: Valor de la cantidad


¿Qué edad tienes?

• Antes de contestar:

• PRIMERO: aceptas un error absoluto (ejm., nunca contestas hasta más o menos una hora)

• SEGUNDO: eliges las unidades– Casi siempre en años– ¿Un bebé puede tener 0 años? (mejor 2 meses)

• Están relacionados (y mucho)• ENTONCES: 22 años


Expresión de cantidades

• Seguimos el mismo orden

• PRIMERO: Error absoluto• ENTONCES: Valor de la cantidad


El error absoluto • Convenio: solo tiene uno o dos dígitos significativos• En general, uno

– (1,2,3,4,5,6,7,8,9) x 10N

• Ejm: población de Granada ± 40000 = (± 4)104

± 30000 = (± 3)104

± 35000 = (± 35)103

• Podemos usar dos cuando redondear nos quita mucha información:– Si el primero dígito es 1– Si el primero dígito es 2 y el segundo es inferior a 5

• Redondear 75 o 84 a 80 nos da un error de menos de 6%• Redondear 6 o 14 a 10 es bruto: hay mucha diferencia!

– (10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24) x 10N-1

• Ejm. Población de Almuñecar±1000 = (± 1)103

±1300 = (± 13)102

±1350 = (± 135)101


El valor de la cantidad

(6 ±4)x10N

(6.2 ±0.5)x10N

(6.2 ±0.2)x10N

(6.23 ±0.5)x10N

• Solo las cifras necesarias para que su última cifra significativa sea del mismo orden decimal que la última del error absoluto (la “cifra de acotamiento”)

(6.2 ±0.15)x10N

(6.23 ±3.5)x10N


Ejemplos de MagnitudesIncorrectos (U) Correctos (U)

3.418±0.123

6.30±0.085

46.288±1.553

428.351±0.15

0.01683±0.0058

Mejor? (U)

(34±1) 10-13.4±0.1 ó 3.42±0.123.42±0.12

(630±9) 10-26.30±0.09

(463±16)10-146.3±1.6

(42835±15) 10-2428.35±0.15

(17±6) 10-30.017±0.006


Errores

• Se desconoce la “verdad”• Siempre hacemos algún tipo de error• Objetivos:

– Caracterizar/conocer los errores– Minimizarlos cuando es posible


Tipos de Errores

• Errores sistemáticos– Difícil a caracterizar

• Si los conocemos, los corregimos

– Pueden ser constantes – afectan todas medidas

• Errores aleatorios– Inevitables y desconocidos, pero unas hipótesis:– Distribución de frecuencias “normal”

• Más pequeñas, más frecuentes• Promedio de cero


Errores Sistemáticos

• Errores de método (equivocación, insuficiencia, mal uso de datos, etc.)

• Errores instrumentales (bies, histéresis)• Errores de calibro (frecuencia de calibración)• Errores humanos• Errores aritméticos (falta de memoria en

ordenadores)• Errores de respuesta dinámica


Errores aleatorios

• Errores de discernimiento• Cambios en las condiciones experimentales• Errores de especificación en los procesos de

fabricación (por ejemplo, una bola esférica metálica puede estar ligeramente ovalada o contener planos)

• Se pueden reducir (¿cómo?)


Error cuadrático medio (MSE)

• Cuando se hace múltiples (N) medidas (xi) de un fenómeno, se puede estimar el error cuadrático medio,

• Donde es el promedio de las N medidas• Cuando más medidas hay, menos error• (Hasta cierto punto)

xσ

∑ −=N

ix xxN 1

22 )(1σ

x


Deducciones

• Una estimación es mejor cuando– menos error sistemático tiene– menos error aleatorio tiene

• Los errores son inevitables• Medir con cuidado, y precisión• A veces, hacen falta muchas medidas• ¿Cuántas medidas necesitamos?


Unas reglas prácticas para medir una cantidad en el laboratorio

• Para empezar: tres (3) medidas con error experimental εx (sensibilidad)

• Calcular la dispersión: D = xmax – xmin• Comparar D y εx

D <= εx• Error dominante es tipo sistemático• No se puede hacer mucho!• Tomar como valor, x ± εx

D > εx• Error es tipo aleatorio• Posiblemente, hace falta más medidas!• ¿Cuántas medidas bastan?


Tanto por ciento de dispersión

xDT 100

=

T<2 2<T<8 8<T<15 T>15

N 3 6 15 50

Error εi

Expresión

),4/( 6 iDmáx εα =xσ ( )1/ −Nxσ

ix ε± α±xxx σ± )1/( −± Nx xσ


Cuantas Medidas

• Volveremos a este tema con unas definiciones de la estimación de errores

• Ahora: motivación para el tratamiento de (y propagación de) los errores


Motivación

• Granada – Jaén: 94±1 km• Digamos que se sabe que el tiempo promedio

para el viaje es 1.0± 0.1 horas

• ¿Cuál es la velocidad promedia para el viaje?• ¿Cómo podemos determinar el error en esta

estimación?


Propagación de errores

• Hay una distinción entre– Errores en medidas directas– Errores en magnitudes derivadas

• Un poco de teoría (importante)


Propagación lineal de errores

-Sea ),,,( czyxff =La función f liga a la magnitud que nos interesa hallar (f) con las magnitudes independientes que se obtienen del experimento (x,y,z) y con una constante (c).

Diferenciando:

dccfdz

zfdy

yfdx

xfdf

∂∂

+∂∂

+∂∂

+∂∂

=

Si identificamos los incrementos con los errores absolutos de las variables correspondientes, en el caso más desfavorable se obtendrá:

ccfz

zfy

yfx

xff ∆

∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

=∆


Derivados parciales

• Son imprescindibles en esta asignatura– ¡A revisar!– No solemos trabajar con ejemplos muy difíciles

• Vamos a ver unos truquillos para simplificar


Casos particulares

Una suma de errores absolutos

21 xxy ∆+∆=∆

21 xxy −=21 xxy +=

21 xxy ∆+∆=∆

216 xxy ∆+∆=∆216 xxy +=

2

2

1

1

xx

xx

yy ∆

+∆

=∆

21xxy =Una suma de errores relativos

2

1

xxy =

2

2

1

1

xx

xx

yy ∆

+∆

=∆

2

2

1

1

xx

xx

yy ∆

+∆

=∆

216 xxy =


Casos particularescba zyxf =

zzc

yyb

xxa

ff ∆

+∆

+∆

=∆

zcybxaf lnlnlnln ++=

Una suma lineal de los errores relativos


Ejemplo numérico

• Densidad de flujo radiativo emitida por un cuerpo negro

•• σ = 5.67 ± 0.01 x 10-8 W m-2 K-4

(constante de Stephan-Boltzmann)• Para un cuerpo negro con T = 300 ± 1 K• ¿Como podemos expresar E?

4TE σ= 4 valores…


Ejemplo numérico

• E = 459 ± 7 W m-2

( )2

2

74590151.0

67.501.0

30014

4

−

−

=

=∆

+=

∆+

∆=

∆

WmWmE

TT

EE

σσ

Podemos hacer mejorσ = 5.6703 ± 0.0007 x 10-8 W m-2 K-4

( ) 281.012.6 −+= Wm

( ) ( )421043 10114 −−−×+= KWmTKTσ

σσ∆

∂∂

+∆∂∂

=∆ET

TEE

4TE σ=


Resumen: propagación lineal de los errores

),,,( czyxff =

ccfz

zfy

yfx

xff ∆

∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

=∆

¡Es la ecuación más importante de esta asignatura!



),,,( czyxff =

ccfz

zfy

yfx

xff ∆

∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

=∆

Tenemos que pensar en ella en muchas ocasiones


Ejm: (intuitivamente) Como pesar una cantidad de H2O(l)

90.04g70.04g

Botella vacía:

(Misma)

botella con agua:

El agua pesa: 20.00g ¿ERROR? 20.00 ± 0.01g

Escala con sensibilidad = 0.01g


Como pesar una cantidad de H2O(l) (científicamente)

90.04g70.04g

Botella vacía: x=

z = y – x = 20.00g 20.00 ± 0.02gxyz

(Misma)

botella con agua: y=

∆+∆=∆

± 0.01g

± 0.01g

xxzy

yzz ∆

∂∂

+∆∂∂

=∆



),,,( czyxff =

ccfz

zfy

yfx

xff ∆

∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

+∆∂∂

=∆

Los trucos (casos particulares) son muy útiles, cosa que se refleja en los exámenes (!)

Errores: absoluto vs. relativo

Cambiamos de tema…


Interpolación en tablas

Temperatura (ºC)

Calor latente de evaporación (J/g)

0 25015 248910 (x1) 2477 (z1)15 (x2) 2466 (z2)20 2453

• ¿Qué valor (z) tiene el calor latente a una temperatura de x=12+/-1ºC? ¿Qué error tiene este valor?


Interpolación Lineal

x1

z2

z1

x2x

zx

xxzzz ∆

−−

=∆12

12

( )112

121 xx

xxzzzz −

−−

+=

Hipótesis:

A. Error proviene de x

B. Relación lineal


En tablas de doble entrada

y1 y2

x1 z11 z12

x2 z21 z22

( ) ( )112

11121

12

112111 yy

yyzzxx

xxzzzz −

−−

+−−−

+=

yyyzzx

xxzzz ∆

−−

+∆−−

=∆12

1121

12

1121


EstadísticasImágenes buscadas por internet: “statistics”


Estadísticas

• “Hay tres clases de mentiras: las mentiras, las malditas mentiras y las estadísticas.” (Mark Twain)

• “Si su experimento necesita el uso de estadísticas, debería haber mejorado su experimento.” (Ernest Rutherford)

• (Tiene mala fama)• En TEB, pretendemos establecer una base


Tratamiento estadístico de datosPrimer paso: clasificación

• Una colección de N muestras• Resultados x1, x2, x3, … xN

• Localizamos (xmín,xmáx)• Dividimos el rango (xmín,xmáx) en m subintervalos

(clases) delimitados por los puntos (y1, y2, y3, ..., ym)– El “rango de clases”

Las yj definen los subintervalos/clases

Una definición:


La función de distribución

∑=

i i

jj n

nf

∑=

=m

jjf

1

1

• Para cada subintervalo, j:

• nj = el número de valores de x que satisfacen la condición

• Esta función está normalizada:1+<≤ jj yxy


La función de distribución

• El gráfico fj frente a xj [xj=(yj-1+yj)/2] se llama un Histograma

• Da una clara idea de cómo se distribuyen los valores de la magnitud en estudio

• Estos cálculos están implementados en las hojas de cálculo comerciales


Dos conjuntos de muestras con igual valor medio, pero con distintos

grados de dispersión


Parámetros estadísticos que describen una distribución

• El promedio (la media) –.

• La mediana –. .

• La moda –

• El promedio (la media) – da una idea del centro de masa de la distribución

• La mediana – es el punto que se encuentra con la mitad de los datos a su derecha, y la mitad a su izquierda

• La moda – es el punto de máxima frecuencia

• Para una distribución normal, son iguales• (no en general)


Una distribución de frequenciasno normal

La mediana La modaLa media


“Normal”: Un proceso aleatorio

• Lanzar una moneda al aire– cara (a) =50%– cruz (z) =50%

• Lanzar cinco:– 5a/0z = 1/32– 4a/1z = 5/16– 3a/2z = 10/16– 2a/3z = 10/16– 1a/4z = 5/16– 0a/5z = 1/16

Número de caras

Prob

abili

dad


“Normal”: Un proceso aleatorio

• Lanzar mil monedas al aire

Número de caras

Prob

abili

dad

500

N ᅇ“normal”“gaussiana”


Definición de parámetros que describen una distribución (los

primeros 2 momentos)

• 1º: el promedio (la media)

• 2º: la varianza (dispersión)• desviación estándar = σ

• coeficiente de variación, c.v.(%) =

∑=

=N

iix

Nx

1

1

∑=

−=N

iix xx

N 1

22 )(1σ

xσ100


Comentario: grados de libertad

• N = número de cantidades independientes• En la determinación de σ para una población

entera con promedio conocido

– Ejemplo: capitales de los países en la UE (N=25)

∑=

−=N

iix xx

N 1

22 )(1σ


Grados de libertad

• N = número de cantidades independientes• Importante en la determinación de σ

– Cuando se calcula la media a partir de una muestra de una población, se pierde un grado de libertad

– Si conozco los valores x1, x2, ..., xN-1 y también especifico el promedio , entonces el valor xN ya está determinado (no es independiente)

∑=

−−

=N

iix xx

N 1

22 )(1

1σ

x


Otros parámetros que describen una distribución (dos momentos más)

• 3º: el sesgo (asimetría)(normalizado)

describe la asimetría de la distribuciónEl sesgo de la distribución normal es 0.

• 4º: el kurtosis(normalizado)

para una distribución puntiagudaEl kurtosis de la distribución normal es 3.

∑=

−=

N

i

i xxN 1

3

3)(1σ

∑=

−=

N

i

i xxN 1

4

4)(1σ


Kurtosis < 3 Kurtosis > 3 Bimodal

Normal(Kurtosis = 3)

Sesgo < 0 Sesgo > 0


La distribución normal (gaussiana )

• La campana de Gauss está centrada en y su ancho está determinado por σ.

• Los puntos de inflexión de la curva están en y

x

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−== 2

2

2 2)(exp

21),;()(

σπσσ xxxxNxf

σ+x σ−xµ=xNotación:


Área de la distribución normal68.3% se encuentra entre –σ y σ96% entre –2σ y 2σ99% entre –3σ y 3σ

Promedio

Valor

Frec

uenc

ia


Una medida útil y frecuente para una distribución normal

El ancho a mitad de su altura (“full width half maximum” = FWHM).

FWHM = 2.35 σ

Promedio

Valor

Frec

uenc

ia


Cuantas Medidas• Ahora sabemos estimar σx y que disminuye al aumentar N

• No tiene sentido (en física) disminuir hasta que σx << sensibilidad del instrumento (método de medida) .

• Ejm: Con una regla graduada en mm, no podremos obtener con certeza cifras en µm, por más que hagamos más medidas

• Balance óptimo cuando σx≈ σsens :2

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+≈

sens

xopN

σσ


Incertidumbre Absoluta Combinada

22xsensx σσ +=∆

• En todos los casos la incertidumbre absoluta combinada vendrá dada por:

• Estas ideas se han considerando en:


Tanto por ciento de dispersión

xDT 100

=

T<2 2<T<8 8<T<15 T>15

N 3 6 15 50

Error εi

Expresión

),4/( 6 iDmáx εα =xσ ( )1/ −Nxσ

ix ε± α±xxx σ± )1/( −± Nx xσ


Regresión y Correlación (Métodos cuantitativos de análisis gráfico)

• Importancia de las representaciones gráficas • Utilidad de las versiones linealizadas de los

gráficos (X, Y)• Distintas maneras de llevar a cabo una

linealización


Regresión Lineal

• El método se llama también “mínimos cuadrados”– La relación analítica que mejor se ajusta a

nuestros datos– La importancia de la elección del variable

“independiente”


¿En que dirección?

0

1

2

3

4

5

6

0 1 2 3 4 5 6

X

Y

Error despreciable

y = ax + b


Suma de cuadrados (Sum of squares)

• Es útil definir la función χ2 (Chi-cuadrado):

• Una medida de la desviación total de los valores observados yi respecto de los predichos por el modelo lineal.

• Los mejores valores de la pendiente a y la ordenada en el origen b son aquellos que minimizan esta desviación total.

( )22 )(∑ +−=i

ii baxyχ


Mínimos cuadrados (Least Squares)Como buscar el mínimo de una función cuadrática:

Primer derivado = 0

∑ ∑

∑ ∑ ∑

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

i iii

i i iiiii

xxN

yxyxNa 2

2

02

=∂∂

aχ

02

=∂∂

bχ

∑ ∑

∑ ∑ ∑ ∑

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−=

i iii

i i i iiiiii

xxN

yxxyxb 2

2

2


Bondad del ajuste (Goodness of fit)

• El criterio de mínimos cuadrados es objetivo; reemplaza el juicio personal de quien mire los gráficos y defina cuál es la mejor recta.

• Además, da una posibilidad de estimar la bondad del ajuste, a través el coeficiente de correlación (ρ) entre las variables X e Y

• Muchas veces se presenta su cuadrado (R2).


El coeficiente de correlación

>><<−>=<−

=∑ ∑ ∑= = = yxxy

N

yxyxNyxCov

N

i

N

i

N

iiiii

21 1 1),(

22

2

11

2

)( ><−>=<

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=∑∑== xxN

x

N

xxVar

N

ii

N

ii

22

2

11

2

)( ><−>=<

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=∑∑== yyN

y

N

yyVar

N

ii

N

ii

)()(),(

yVarxVaryxCov

=ρ 11 +≤≤− ρ


El coeficiente de correlación

• Describe la correlación entre los variables

• ρ = 0, los variables no son correlacionados• ρ < 0, los variables son anti-correlacionados• ρ > 0, los variables son correlacionados

ρ = 0.95, mucha correlaciónρ = 0.7, correlación, pero no mucho


22 ρ=R• El cuadrado del coeficiente de correlación

exprime el porcentaje de la varianza en los variables X y Y que explica el modelo lineal

ρ=0.95, el modelo explica 90% de la varianzaρ=0.7, explica 49% de la varianzaρ=0.3, explica 9% de la varianza


Otra ventaja del método

• Podemos estimar los errores asociados con los parámetros a y b

• El valor Chi-cuadrado por grado de libertad conocido como χΝ2, viene dado por:

)(·

2

xVarNN

aχσ =

)(·1

22

xVarN

xN

iiN

b

∑==

χσ

( )[ ]∑ +−−

=−

=i

iiN bxayNN

222 ·2

12

1 χχ


En función de ρ

• Las incertidumbres de a y b también pueden describirse así:

• Estas ecuaciones son muy útiles, ya que la mayoría de las hojas de cálculo y programas de ajuste indican a, b y ρ (ó a veces R2).

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−= 11

)2( 2

2

ρσ

Na

a2xab σσ =


Incertidumbre de los parámetros de un modelo general

• Al igual que en el caso del modelo lineal, minimización de la función Chi-cuadrado:

• de modo que χmin2 = χ2(a*, b*, …)

• ¿Cómo determinar a*, b*, …?– Procedimiento sofisticado– Diversas teorías y opiniones– Depende de cómo es de no-lineal

( ) 0,...,,**

2

=∂

∂⇔

=aaacbaa χ


Transformar (a lo lineal)

• En general, es preferible • Método: suponemos un modelo y = a ln(x)

– Definimos z=ln(x)– Entonces: y = a z ( + b )– Buscamos ajuste lineal entre y & z– Podemos estimar los errores asociados con los

parámetros a y b


Regresión lineal con incertidumbres de medición

• Un caso particular– Sencillo– De relativa importancia

• Las expresiones generales se pueden resolver por el método

• “Mínimos Cuadrados Pesados” (Weighted Least Squares)


Mínimos Cuadrados Pesados

• Serie de N medidas (xi, yi, σi), – σi es la incertidumbre de yi– despreciable incertidumbre de xi

• Queremos evaluar un modelo de variación determinista de y(x): y(xi) = f(xi,a,b,c,…)

• En el ajuste, queremos aprovechar de la información de la incertidumbre de yi



• Factores de peso (weighting factor): (wi) – asociados con cada triada de datos (xi, yi σi )– incertidumbre absoluta asociada a yi; en este caso

tomamos los factores peso como:

2/1 iiw σ=

( )∑∑==

−=−=

N

i i

iiN

iiii

xyyxyyw1

2

2

1

22 )())((σ

χ

– (se podrían elegir de otras maneras)

• Definimos el valor de (Chi-cuadrado) χ2



• Algunas otras posibilidades para los factores de peso (wi)

2/1 ii yw =ii yw /1=


Parámetros estadísticos pesados

• Independiente del modelo elegido, podemos definir:– El valor medio,

– El error medio,

– La varianza total,

∑∑==

== N

ii

N

i i

wNN 11

2

2

11

111

σ

σ

∑∑

=

== N

i i

N

i ii

w

ywy

1

1

( )2

1

2

11 ∑

=

−−

=N

iiit yyw

NS


Grados de libertad con respecto a un modelo pesado con . 2/1 iiw σ=

Degrees of freedom

• Cada parámetro implica la perdida de un grado de libertad• El número de grados de libertad es υ = N – npar

• La varianza del ajuste o el valor de Chi-cuadrado por grado de libertad

• dispersión residual de los datos alrededor del valor determinista; se puede comparar con la varianza total St

2

( )∑=

==−−

=N

iii

parf xyyw

nNS

1

2222 1)(1υχχ

υ


Calidad del ajuste

• El coeficiente de regresión da una idea de la bondad modelo:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −= 2

222

t

ft

SSSR

• “Buen” modelo– Pequeños valores de Sf y χ2

– St>>Sf – R2≈1

• “Mal” modelo– Grandes Sf y χ2

– St ≈ Sf – R2≈0


Calidad de ajuste de un modelo pesado con . 2/1 iiw σ=

• Directamente a partir de la varianza del ajuste, χυ2:

• En el caso que todo los datos experimentales tienen desviaciones del modelo < σi, el modelo es ciertamente adecuado y χυ2 tendrá un valor próximo a uno.– χυ2 ~ 1 ó menor, el modelo es adecuado.– χυ2 >> 1, el model no es una buena descripción de los datos.– χυ2 << 1, el modelo “demasiado bueno”

• Quizás se sobreestiman los errores• Quizás la distribución de los datos no es normal

( )∑=

−==

N

i i

ii xyy1

2

222 )(11

συχ

υχυ


Equations∑ =

=N

iniiXn xwS

1 ∑ ==

N

iniiYn ywS

1 ∑ ==

N

i iiiXY yxwS1 ∑ =

=N

i iw wS1

w

X

SSXx =≡

w

Y

SSYY =≡ 22)( X

SS

xVarw

X −= )(·)( 222 XVarSSSS wXXw =−=∆

Es posible demostrar que:

[ ]YXwXY SSSSa ···1−

∆= [ ] xaySSSSb XYXYX ····1

2 −=−∆

=

Siendo sus incertidumbres:

( )( )

( ) )(··2)(

2

22

xVarSN

baxywSaaVar

w

iiii

wa −

−−=

∆=∆≡≡

∑σ ( )

w

XXb S

SaVar

SbbVar 22 )·()( 22 =

∆=∆≡≡σ

Y de modo análogo se demuestra:

[ ][ ] )()·(),(

·····

2222 yVarxVar

yxCovySSxSS

yxSS

wYwX

wXY =−−

−=ρ

Lección 3: Errores y su Tratamiento - Universidad de …andyk/Docencia/TEB/03Errores.pdf · Unas...

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