LAS INECUACIONES

INECUACIÓN: CONCEPTO Una inecuación es una expresión matemática la

cual se caracteriza por tener los signos de desigualdad. Siendo una expresión algebraica nos da como resultado un conjunto en el cual la variable independiente puede tomar el valor cualquiera de ese conjunto cumpliendo esta desigualdad. A este conjunto se le conoce como intervalo. Una de las obligaciones de las (inecuaciones) es la de cumplir una desigualdad.

NOTACIONES: La notación a < b significa que a es menor

que b y la notación a > b quiere decir que a es mayor que b. Estas relaciones son conocidas con el nombre de inecuaciones estrictas, contrastando con a ≤ b (a es menor o igual a b) y a ≥ b(a es mayor o igual que b), llamadas inecuaciones no estrictas.

SISTEMAS DE INECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES Una inecuación lineal con dos incógnitas x e

Y es una desigualdad algebraica que puede expresarse  de las siguientes formas:

El conjunto de una inecuación lineal con dos incógnitas es uno de los dos semiplanos en los que se divide al plano de la recta de la ecuación asociada a ella.

Ejemplo: Sea la inecuación con dos incógnitas:  Primero representamos la ecuación asociada a

la inecuación, resultante de sustituir el signo > por el signo =:

Segundo: consideramos los semiplanos derecho e izquierdo (a cada lado de la recta. Para determinar cual de  los dos semiplanos es la solución, probamos con puntos como en la grafica siguiente:

Los puntos (2,5)  (2,6)  (2,7) son del plano derecho y todos ellos cumplen la inecuación inicial. Luego el plano derecho es la solución al problema.

Si la inecuación fuera   la solución también incluiría todos los puntos de la recta.

En un problema de programación lineal intervienen:

La función que queremos optimizar y que denominamos función objetivo:

Las variables de decisión son x e y, mientras que a, b y c son constantes.

Las restricciones, que son inecuaciones lineales:

Al conjunto de todos los pares (x, y) que satisfacen todas las inecuaciones se le denomina región factible.

La solución óptima del problema es un par (x0, y0) del conjunto factible para el que la función objetivo z(x, y) toma el valor máximo o mínimo.

Ejemplo La región factible determinada por el siguiente conjunto de desigualdades es la región no sombreada mostrada más abajo (incluyendo su frontera).

3x - 4y ≤ 12, 

x + 2y ≥ 4 

x ≥ 1 y ≥ 0.

Ejemplo Minimizar C = 3x + 4y sujeta a3x - 4y ≤ 12, x + 2y ≥ 4 x ≥ 1,   y ≥ 0. La región factible para este conjunto de

restricciones fue mostrada más arriba. Aquí está otra vez con los puntos de esquinas indicados.

Aunque no es acotada la región factible, estamos minimizando C = 3x + 4y, cuyas coeficientes son no negativos. Entonces existe una solución obtenida por el método más arriba a la izquierda.

La siguiente tabla muestra el valor de C a cada punto de esquina:

PuntoC = 3x + 4y(1, 1.5): 3(1)+4(1.5) = 9 mínimo (4, 0): 3(4)+4(0) = 12 

Entonces, la solución es x = 1, y = 1.5, que da C = 9 como el valor mínimo.

Ejemplos: La siguiente es una problema de maximización estándar:

Maximizar P = 2x - 3y + z sujeta a4x - 3y + z ≤ 3 x + y + z ≤ 10 x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

La siguiente no es una problema de maximizaciónestándar:Maximizar P = 2x - 3y + z sujeta a4x - 3y + z ≥ 3 

x + y + z ≤ 10 x ≥ 0, y ≥ 0, z ≥ 0.

INTEGRANTES: Lozano Micaela. Quiroga Guadalupe. Juárez Facundo. Balderrama

Luciana. Valdez Facundo

BIBLIOGRAFÍA:

MENTOR ENCICLOPEDIA TEMATICA ESTUDIANTIL; EDITORIAL OCEANO; EDICION 1997; DIRECCION GISPERT.CARLOS.- GAY.JOSE.- AMIGÓ.ESTHER- GRASA.VICTORIA.

http://fisica.usach.cl/~calculo1/enlaces/archivos%20pdf/ayudantia%20calculo%20I%20-%2002,%20inecuaciones.pdf

http://www.ditutor.com/inecuaciones/inecuaciones_primer.html