INECUACIONES CUADRÁTICAS, POLINOMIALES Y RACIONALES

INECUACIONES CUADRÁTICAS

Son de la forma: P(x) = ax2 + bx + c > 0

El método que facilita la solución de las inecuaciones cuadráticas es el método delos valores críticos.

Pasos a seguir:• Se halla los valores críticos factorizando el polinomio P(x) • Se ubican los valores críticos en la recta.• Se determinan los signos de los intervalos de variación.• La solución será la unión de los intervalos positivos si P(x) > 0 o P(x) 0 y será

el intervalo negativo si P(x) < 0 o P(x) 0 .

Sea el polinomio P(x) = ax2 + bx + c > 0 donde P(x) puede factorizarse tal como:

P(x) = ( x - r1 ) ( x - r2 )entonces se presentan los siguientes casos:

PRIMER CASO: Cuando las raíces de la ecuación polinómica P(x) = 0 ,sonreales y diferentes, es decir:

• Si P(x) > 0 o sea P(x) = ( x - r1 ) ( x - r2 ) . . . ( x - rn )> 0Donde : r1 , r2 , r3, . . . rn son los valores críticos, que ordenados en larecta numérica quedan distribuidos así:

La solución en este caso es la reunión de los intervalos con signopositivo.

Ejemplo: Sea P(x) = x3 - 5x2 - 2x + 24 > 0 , Hallar el conjunto solución.

+ - + + - +

- r1 r2 . . . rn -1 rn +

solución

{-2,3,4}PC ; 04)-3)(x-2)(x(x

: dofactorizan 0242x5xx 23

+ +--

, 4 3 , -2x -2 3 4

• Si P(x) > 0

• Si P(x) < 0 o sea P(x) = ( x - r1 ) ( x - r2 ) . . . ( x - rn )< 0Donde : r1 , r2 , r3, . . . rn son los valores críticos, que ordenados en larecta numérica quedan distribuidos así:

La solución en este caso es la reunión de los intervalos con signonegativo.

- r1 r2 . . . rn -1 rn +

+ - + + - +

Ejemplo: Sea P(x) = x4 + 2x3 - 9x2 - 2x + 8 < 0 , Hallar el conjunto solución.

solución

}{-4,-1,1,2PC ; 02)-1)(x-1)(x4)(x(x

: dofactorizan 082x9x2xx 234

- +-+

2 , 1 1- , -4x -4 1 2-1

+

• Si P(x) < 0

SEGUNDO CASO :Si alguna de las raíces del polinomio P(x) = 0 son reales de multiplicidad mayor queuno, se tiene:suponiendo que el factor ( x - ri ) es el factor que se repite m veces, entonces:

Si m es par, los signos de los intervalos de variación donde figura ri son iguales ,es decir no son alterados

Ejemplo: Sea P(x) = x4 - 4x3 - 3x2 + 14x - 8 0 , Hallar el conjunto Solución.

{-2,1,4}PC ; 04)-(x1)-)(x2(x

: dofactorizan 0814x3x4x2

234

x

- +-+

1 ,4 2- , -x -2 1 4

Ejemplo: Sea P(x) = x5 - 4x4 + 14x2 - 17x + 6 < 0 , Hallar el conjunto Solución.

Si m es impar, los intervalos de variación contiguos al valor crítico ri tienen signos diferentes.

{-2,1,3}PC ; 01)-3)(x-2)(x(x

: dofactorizan 0617x14x4xx3

245

+ +--

1,3 2- , -x

-2 1 3

TERCER CASO: Cuando algunas de las raíces del polinomio P(x) = 0 no son reales , en estecaso a estas raíces no se consideran en la determinación de los intervalos ypara dar la solución , se sigue el mismo procedimiento de los casos anteriores.

Ejemplo: Sea P(x) = x5 - 2x4 - x3 - 2x2 - 20x + 24 > 0,Hallar el conjunto

Solución.

{-2,1,3}PC ; 0)43)(x-1)(x-2)(x(x

: dofactorizan 02420x-2xx2x2

2345

x

+ +--

, 3 1 , -2x

-2 1 3

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