6) Inecuaciones

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MATEMÁTICA- INECUACIONES - 1 -24

MATEMÁTICA, Guía �º 6: “I�ECUACIO�ES”

Una “inecuación” es una desigualdad, o sea una expresión donde un miembro es mayor o menor (o mayor o igual, o menor o igual) a otro miembro.

También es común la existencia de inecuaciones de tres miembros. En

este caso los símbolos de desigualdad van en el orden indicado, con las expresiones menores a la izquierda:

Expresión 1 Expresión 2 Expresión 3 < o ≤

< o ≤

Ejemplo:

5 < x ≤ 8 Se lee: “x” es mayor a cinco y menor o igual a 8

1er Miembro 2do Miembro

>

≥

<

≤

≠

Símbolo de Desigualdad

A > B A es estrictamente mayor que B

A ≥ B A es mayor o igual a B

A < B A es estrictamente menor que B

A ≤ B A es menor o igual a B

A ≠ B A es distinto a B

Tipos de Desigualdades

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Para resolver una inecuación se aplican las reglas del traspaso de términos igual que en las ecuaciones:

1) Todo término que está sumando en un miembro puede pasarse restando al otro miembro, o viceversa.

2) Todo término que está multiplicando en un miembro puede pasarse dividiendo al otro miembro, o viceversa. Se recuerda que cuando un factor se pasa de esta forma, no debe cambiarse su signo.

3) Todo exponente de potencia que afecta a un miembro puede pasarse como índice de raíz al otro miembro, o viceversa.

Pero con una excepción:

Para ilustrar estas reglas, vemos los siguientes ejemplos:

Ahora precisaremos la definición de Intervalo:

3 x + 5 < 11

3 x < 11 − 5

3 x < 6

x < 3

6

x < 2

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5

La solución de una inecuación es un conjunto de infinitos elementos (números reales) que se

llama “intervalo” en la recta real.

(− ∞ ; 2)

− ∞

El conjunto solución se puede expresar también por comprensión como:

S = { }/ 2x x x∈ ∧ <�

EXCEPCIÓN EN LAS INECUACIONES

Cuando un número negativo que está multiplicando debe pasarse dividiendo al otro miembro o viceversa, debe invertirse el sentido del símbolo de la desigualdad.

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I�TERVALO

Un intervalo es (en general) un subconjunto de los números reales, y por lo tanto puede ser considerado gráficamente como un segmento o semirrecta dentro de la recta numérica.

Forma de expresión: Todo intervalo de la recta real debe expresarse como un par ordenado con el extremo inferior en primer término y el extremo superior después. Es muy importante no alterar este orden. Además se emplean paréntesis si el extremo correspondiente del intervalo no pertenece al mismo o corchetes si dicho extremo está incluido en el intervalo; gráficamente se puede indicar esto con un círculo vacío o lleno respectivamente.

Intervalo acotado: Un intervalo es acotado si está limitado entre dos cotas o valores, máximo y mínimo.

Los siguientes son ejemplos de intervalos acotados:

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

Intervalo Abierto (−3 ; 2)

El intervalo abierto no

incluye a sus extremos

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

Intervalo Cerrado

[−3 ; 2]

El intervalo cerrado

incluye a sus extremos

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

Intervalo Semiabierto o semicerrado [−3 ; 2)

El intervalo semiabierto

incluye a uno sólo de sus extremos I = { }/ ( 3 2)x x x∈ ∧ − ≤ <�

I = { }/ ( 3 2)x x x∈ ∧ − ≤ ≤�

I = { }/ ( 3 2)x x x∈ ∧ − < <�

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Si carece de una cota superior o inferior el intervalo es no acotado, tiene longitud infinita y deben emplearse los símbolos "∞" (infinito) o "−∞" en el extremo correspondiente.

Los intervalos se emplean para expresar la solución de una inecuación.

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

Intervalos �o Acotados

(−3 ; ∞)

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 (−∞ ; 2]

En "∞" o "−∞" siempre se colocan paréntesis, pues estos son números indeterminados y no se consideran incluidos

en el intervalo

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

Intervalo Pleno (−∞ ; ∞)

I = { }/x x∈�

I = { }/ 2x x x∈ ∧ ≤�

I = { }/ 3x x x∈ ∧ > −�

− ∞

∞

8 − 3 x < 5

x > 3

3

−

− x > 1

− 3 x < 5 − 8

− 3 x < − 3

Uso de la "regla de excepción" en inecuaciones

Al pasarse el factor negativo −3, de multiplicar a dividir, debe invertirse el

sentido del símbolo desigual

( 1 ; ∞)

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Si se prefiere puede siempre evitarse la aplicación de esta "regla de excepción", cuidando que la incógnita "x" quede positiva, para luego traspasar el coeficiente positivo de "x" dividiendo al otro miembro, con lo cual no se aplica la "regla de excepción" (dado que es un término positivo el que se pasa de multiplicar a dividir).

Por último, si la incógnita "x" ha quedado despejada en el segundo miembro, conviene "dar vuelta" toda la inecuación para que la "x" quede en el primer miembro de la desigualdad.

Ahora trataremos de justificar esta "regla de excepción":

La regla práctica de traspaso de términos se basa en aplicar la misma

operación a ambos miembros de una inecuación.

Tomamos la inecuación anterior

1

3− . (− 3 x) > 1

3− . (−3)

− 3 x < − 3

Multiplicamos miembro a miembro por el número negativo necesario para convertir en +1 el coeficiente de la "x"; y se invierte el sentido del símbolo de la desigualdad.

x > 1 Queda así demostrada la "regla excepcional" de las inecuaciones.

8 − 3 x < 5

1 < x

8 < 5 + 3 x

( 1 ; ∞)

8 − 5 < 3 x

3 < 3 x

3

3 < x

x > 1 Se "da vuelta" la inecuación

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

∞

Sabemos que: 5 > 3

Si multiplicamos miembro a miembro por −1: (−1). 5 … (−1). 3

−5 < −3 Al multiplicar miembro a miembro por un número negativo se invierte el sentido del

símbolo de la desigualdad.

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I�ECUACIO�ES CO� MÓDULO

Módulo o Valor Absoluto de un número:

Se define el "módulo" o valor absoluto de un número como la distancia que hay entre el punto que representa a dicho número sobre la recta numérica y el cero u origen de la recta. Es la llamada "distancia a cero" del número.

Las distancias desde el punto de vista geométrico son siempre positivas, por ello el módulo de un número es siempre positivo o cero (si se trata del módulo de cero).

El módulo de un número o expresión se indica con barras rectas verticales. También puede decirse que el módulo de un número es dicho "número" pero tomado siempre con el signo positivo.

Las inecuaciones pueden contener expresiones donde la incógnita "x" se

halle entre barras de módulo. Éstas son las inecuaciones modulares o inecuaciones con módulo.

Hay dos tipos bien definidos de inecuaciones con módulo: A) La inecuación modular "de menor": | x | < k B) La inecuación modular "de mayor": | x | > k

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

| 3 | = 3 | −3 | = 3

d = 3 d = 3

Para Practicar Encontrar las soluciones de las siguientes inecuaciones, expresarlas por comprensión, como intervalos y graficarlas sobre la recta numérica.

a) 2 x − 3 ≥ 7 [ )5;∞

b) 1 − 4 x ≤ 9 [ )2;− ∞

c) 2 (x − 3) > 3 (x + 1) ( ); 9−∞ −

d) 1

3 (2 x − 4) +

2

3 ≤ 5

21

5x

−

17;8

−∞

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A) Inecuación Modular "de menor"

Como regla práctica, cuando tenemos una inecuación modular "de

menor", suprimimos las barras de módulo escribiendo toda la inecuación pero sin dichas barras y formamos una inecuación de tres miembros agregando un primer miembro a la izquierda con el opuesto de "k" (−k), siempre respetando el orden de que cada miembro a la izquierda es menor (o menor o igual) que el miembro que se halla a la derecha.

0

d = k d = k

| x | < k

(Siendo "k" un número real positivo)

k −k

La solución de esta inecuación son todos los números reales cuya distancia a cero es menor que "k":

−k < x < k

Por ejemplo: | x | < 3

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

d = 3 d = 3

−3 < x < 3

(−k ; k )

La solución es un conjunto acotado, tanto superior como inferiormente, que puede ser abierto o

cerrado

Otro ejemplo: | x − 3 | ≤ 2

Suprimimos las barras de módulo: −2 ≤ x − 3 ≤ 2

Sumamos "3" miembro a miembro: −2 + 3 ≤ x − 3 + 3 ≤ 2 + 3

Queda: 1 ≤ x ≤ 5

−1 0 1 2 3 4 5 6 7

d = 2 d = 2 [1 ; 5]

Su solución son los puntos cuya distancia a 3 es menor o igual a 2.

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Con un último ejemplo, mostramos la aplicación de la "regla excepcional" de las inecuaciones:

Otro ejemplo: | 2 x − 1 | ≤ 3

Suprimimos las barras de módulo: −3 ≤ 2 x − 1 ≤ 3

Sumamos "1" miembro a miembro: −3 + 1 ≤ 2 x − 1 + 1 ≤ 3 + 1

Queda: −2 ≤ 2 x ≤ 4

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

[−1 ; 2]

Dividimos miembro a miembro por "2", y no se invierten los símbolos de desigualdad

porque 2 es un número positivo:

2

2

− ≤

2

2

x ≤

4

2

Resulta: −1 ≤ x ≤ 2

| 5 − 2 x | ≤ 5

Suprimimos las barras de módulo: −5 ≤ 5 − 2 x ≤ 5

Restamos "5" miembro a miembro: −5 − 5 ≤ 5 − 2 x − 5 ≤ 5 − 5

Genéricamente: | x − a | < d

Suprimimos las barras de módulo: −d < x − a < d

Sumamos "a" miembro a miembro: −d + a < x − a + a < d + a

Queda: a − d < x < a + d

0 a − d a a + d

d

( a−d ; a+d )

Su solución son los puntos cuya distancia a "a" es menor a "d".

d

Otro ejemplo: | 2 x − 1 | ≤ 3

Suprimimos las barras de módulo: −3 ≤ 2 x − 1 ≤ 3

Sumamos "1" miembro a miembro: −3 + 1 ≤ 2 x − 1 + 1 ≤ 3 + 1

Queda: −2 ≤ 2 x ≤ 4

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

[−1 ; 2]

Dividimos miembro a miembro por "2", y no se invierten los símbolos de desigualdad

porque 2 es un número positivo:

2

2

− ≤

2

2

x ≤

4

2

Resulta: −1 ≤ x ≤ 2

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B) Inecuación Modular "de mayor"

0

d = k d = k | x | > k


k −k

La solución de esta inecuación son todos los números reales cuya distancia a cero es mayor que "k":

(−∞ ; −k ) U (k ; ∞ )

( ) ( )( )| x | > k x k x k⇔ > ∨ < − La inecuación modular se

satisface para todo "x" positivo mayor que "k" o para todo "x" negativo menor que "−k".

o

Para Practicar Resolver las siguientes inecuaciones con módulo "de menor", expresarlas por comprensión, como intervalos y graficarlas sobre la recta numérica.

a) | x − 2 | ≤ 5 [ ]3;7−

b) | 3 x + 2 | < 4 2

2;3

−

c) | 6 − 5 x | ≤ 1 7

1;5

Queda:

5 ≥ x ≥ 0

−1 0 1 2 3 4 5 6 7 [0 ; 5]

Dividimos miembro a miembro por "−2" y se invierte el sentido de los símbolos de

desigualdad.

10

2

−

− ≥

2

2

x−

− ≥

0

2−

−10 ≤ − 2 x ≤ 0

Resulta:

0 ≤ x ≤ 5

Dando vuelta los miembros de la desigualdad:

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Como vemos, ahora la solución está compuesta por dos conjuntos disjuntos (que no tienen elementos en común), y se trata de dos intervalos no acotados, uno que "viene" desde "−∞" y otro que "va" hasta "∞".

Es importante notar que estas dos desigualdades sin módulo no pueden

asociarse en una sola inecuación de tres miembros, como se hacía en el caso de la desigualdad "de menor", dado que no existe ningún punto de la recta numérica que satisfaga al mismo tiempo a ambas inecuaciones; con lo cual debe trabajarse con las dos expresiones separadamente hasta el final y luego expresar la solución como la unión de los dos intervalos hallados.

Por ejemplo: | x | > 2

d = 2 d = 2

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7

x > 2

x < −2

∞ − ∞

(−∞ ; −2) U ( 2; ∞)

x > k

| x | > k

x < −k

Para hallar el conjunto solución se toma la inecuación modular y se "abre" en dos inecuaciones sin módulo diferentes:

En la primera se coloca la inecuación tal como está dada, pero sin barras de módulo.

En la segunda se cambia el sentido del símbolo desigual y el signo de la constante "k".

(−∞ ; −k ) ( k ; ∞ ) Unión

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Genéricamente: | x − a | > d

x − a < −d

0 a−d a a+d

d

Su solución son los puntos cuya distancia a "a" es mayor a "d".

x − a > d

x > d + a x < −d + a

(−∞ ; a−d) U (a+d ; ∞)

∞ − ∞ d

x > a + d x < a − d

Otro ejemplo:

(−∞ ; −1] U [ 2; ∞)

| 2 x − 1 | ≥ 3

2 x − 1 ≥ 3

2 x − 1 ≤ −3

2 x ≥ 3 + 1

2 x ≤ −3 + 1

2 x ≥ 4

2 x ≤ −2

x ≥ 4

2

x ≤ 2

2

−

x ≥ 2

x ≤ −1

Otro ejemplo: | x − 3 | ≥ 2

x − 3 ≤ −2

−2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7

d = 2 d = 2

Su solución son los puntos cuya distancia a 3 es mayor o igual a 2.

x − 3 ≥ 2

x ≥ 2 + 3 x ≤ −2 + 3

x ≥ 5 x ≤ 1 (−∞ ; 1] U [ 5; ∞)

∞ − ∞

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Con un último ejemplo, mostramos la aplicación de la "regla excepcional"

de las inecuaciones en este caso:

Ahora veremos algunas inecuaciones modulares especiales, que necesitan

previamente la explicación de ciertas propiedades del módulo, para justificar el mecanismo de resolución.

Para Practicar Resolver las siguientes inecuaciones con módulo "de mayor", expresarlas por comprensión, como intervalos y graficarlas sobre la recta numérica.

a) | x + 3 | > 4 ( ) ( ); 7 1;−∞ − ∞∪

b) | 5 x − 1 | ≥ 2 1 3

; ;5 5

−∞ − ∞

∪

c) | 3 − x | > 6 ( ) ( ); 3 9;−∞ − ∞∪

| 5 − 2 x | ≥ 5

5 − 2 x ≥ 5

5 − 2 x ≤ −5

− 2 x ≥ 5 − 5

− 2 x ≤ −5 − 5

− 2 x ≥ 0

− 2 x ≤ −10

x ≤ 0

2−

x ≥ 10

2

−

−

x ≤ 0

x ≥ 5

(−∞ ; 0 ] U [ 5; ∞)

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7

∞ − ∞

∞ − ∞

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

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Propiedades del Módulo

I�ECUACIO�ES MODULARES ESPECIALES

Existen ciertas inecuaciones modulares más complejas que las ya vistas, que requieren la aplicación de las propiedades del módulo que acabamos de ver. Ilustraremos el tema con un ejemplo práctico:

b

a

b

a=

2) El módulo de un cociente entre dos números reales es igual al cociente de sus módulos.

Por ejemplo:

(Se prueba)

312

312 −

=−

3124 =−

44 =

3) El módulo de la suma algebraica entre dos números reales es menor o igual a la suma de sus módulos.

| a + b | ≤ | a | + | b |

Por ejemplo:

| −2 + 5 | ≤ | −2 | + | 5 |

| 3 | ≤ 2 + 5

3 ≤ 7 (Se prueba)

| a . b | = | a | . | b | 1) El módulo de un producto entre dos números reales es igual al producto de sus módulos.

| 5 . (−2) | = | 5 | . | −2 |

| −10 | = 5 . 2

10 = 10

Por ejemplo:

(Se prueba)

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Existen también otros tipos de inecuaciones modulares "compuestas"

donde se plantea la unión o la intersección de los conjuntos solución de inecuaciones modulares simples.

Para ello basta con resolver las inecuaciones modulares simples y luego "unir" o "interceptar" gráficamente los conjuntos solución hallados.

Para Practicar Resolver las siguientes inecuaciones con módulo "especiales", expresarlas por comprensión, como intervalos y graficarlas sobre la recta numérica.

a) 2242 ++<+ xx ( )4;0−

b) 64.42.3. 2+−+−≥+−− xxx ( ] [ ); 6 6;−∞ − ∞∪

6632.5 +−≥− xx

( ) 62.32.5 +−≥− xx

62.32.5 +−≥− xx

62.32.5 ≥−−− xx

Saco factor común

Aplico propiedad de módulos

62.32.5 +−≥− xx

Separo en términos

Junto los términos con módulo en el primer miembro y opero

62.2 ≥−x

2

62 ≥−x

32 ≥−x

32 ≥−x 32 −≤−x

23+≥x 23+−≤x

5≥x 1−≤x (−∞ ; −1 ] U [ 5; ∞)

Despejo el módulo y resuelvo como sabemos.

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I�ECUACIO�ES MODULARES COMPUESTAS

Mediante dos ejemplos mostraremos estas inecuaciones:

Ejemplo 1: El operador "∧ " (y) lleva a la operación intersección "∩ ":

Ejemplo 2: El operador "∨ " (o) lleva a la operación unión "∪ ":

1) Hallar el conjunto solución de: 3 3 5 2x x− > ∨ − ≤

o

1) Hallar el conjunto solución de: 3 5 1 3x x− < ∧ + ≥

3 5x − < 1 3x + ≥

5 3 5x− < − <

5 33 3 35x+ +− − < +<

2 8x− < <

( )2 ; 8−

1 3x + ≥ 1 3x + ≤ −

3 1x ≥ −

2x ≥

3 1x ≤ − −

4x ≤ −

( ] [ ); 4 2;−∞ − ∞∪

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

∞ − ∞

Representamos gráficamente los dos conjuntos solución:

Interceptando gráficamente estos dos conjuntos encontramos la solución de la inecuación compuesta:

[ )2 ; 8

y

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Para Practicar Resolver las siguientes inecuaciones compuestas con módulo, expresarlas por comprensión, como intervalos y graficarlas sobre la recta numérica.

a) 1 2 1 3x x− ≤ ∧ + > ( ]2 ; 3

b) 2 5 5 2x x+ > ∨ + ≤ ( ] ( ); 3 3 ;−∞ − ∞∪

3 3x − > 5 2x − ≤

3 3x − > 3 3x − < −

3 3x > +

6x >

3 3x < − +

0x <

( ) ( ); 0 6;−∞ ∞∪

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

∞ − ∞

Representamos gráficamente los dos conjuntos solución:

Uniendo gráficamente estos dos conjuntos encontramos la solución de la inecuación compuesta:

( ) [ ); 0 3 ;−∞ ∞∪

2 5 2x− ≤ − ≤

2 55 5 52x+ +− − ≤ +≤

3 7x≤ ≤

[ ]3 ; 7

− ∞ ∞

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I�ECUACIO�ES FRACCIO�ARIAS Y �O LI�EALES

Un tipo importante de inecuaciones sin módulo son las fraccionarias y las no fraccionarias de grado mayor a 1 (no lineales).

Ambos tipos de inecuaciones se resuelven de modo parecido.

Cada paréntesis o factor corresponde a una expresión que se hace cero para un solo valor de "x". Por ejemplo la expresión (x+1) se hace cero sólo cuando "x = −1"; luego para todo otro valor de "x" es positiva o negativa. Para ser más precisos: cuando "x < −1" la expresión es negativa; y cuando "x > −1" es positiva.

Esto significa que el valor "x = −1" es un punto crítico para el factor (x+1), ya que es el valor de "x" en el cual este factor cambia de signo. Si cambia de signo un factor cambiará de signo toda la expresión del primer miembro de la inecuación. Por ello “x = −1” es punto crítico de la inecuación completa. Lejos de los puntos críticos esta inecuación no cambia de signo

Es importante destacar que en el segundo miembro de la inecuación debe estar siempre el cero, para poder hacer el procedimiento de resolución. Si hubiera otro número habría que traspasarlo al primer miembro, de modo de asegurar que quede un cero en el segundo miembro. Se estudiará por tanto si se satisface que el primer miembro es mayor a cero (positivo) o menor a cero (negativo).

Pasos de Resolución:

1) Se hallan los "puntos críticos" que son los valores que hacen cero a los distintos factores.

2) Se grafica la recta numérica y se ubican los puntos críticos en ella.

3) Los "n" puntos críticos dividen a la recta numérica en "n+1" intervalos.

4) Ahora se estudiará el signo que adopta el primer miembro de la inecuación en cada uno de los "n+1" intervalos hallados. De esta manera se averiguará si la inecuación se satisface o no. Para ello, se elige un "punto de prueba" interior a cada intervalo, se evalúa el signo de cada factor de la inecuación en dicho punto y se aplica la regla de los signos entre los signos de los

( ) ( )

( )

1 . 20

5

x x

x

+ −≥

− ( ) ( ) ( )1 . 3 . 5 0x x x+ − + <

Inecuaciones Fraccionarias Inecuaciones No Fraccionarias de grado mayor a 1.

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distintos factores, para ver si se satisface o no la inecuación en dicho intervalo.

5) Por último resta determinar si la inecuación dada se satisface "en" los puntos críticos, pues los "n+1" intervalos estudiados son abiertos y no incluyen a los puntos críticos.

� Si la inecuación dada tiene el signo "<" o ">" estricto sin el igual, los puntos críticos no están incluidos en el conjunto solución, llegándose así a una solución compuesta únicamente por intervalos abiertos.

� Si la inecuación dada tiene el signo "≤" o "≥" los puntos críticos estarán incluidos en el conjunto solución si hacen cero al numerador de la fracción, pero nunca formarán parte de la solución si hacen cero al denominador. Se originarán, por tanto, intervalos que pueden ser cerrados o semiabiertos en el conjunto solución.

Para ilustrar todo esto, resolveremos la inecuación fraccionaria dada:

( ) ( )

( )

1 . 20

5

x x

x

+ −≥

−

1) Los puntos críticos son: X1 = −1 X2 = 2 X3 = 5

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7

2) Se ubican en la recta numérica.

3) Estos tres puntos dividen a la recta en cuatro intervalos:

( ) ( ) ( ) ( )∞−−∞− ;55,2,2;1,1; y

4) Elegimos un punto de prueba interior a cada intervalo:

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7

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( ) ( )

( )

1 2 .

5

x x

x

+ − + −= = +

− − ( ) ( )

( )

1 2 .

5

x x

x

+ − + += = −

− −

( ) ( )

( )

1 2 .

5

x x

x

+ − + += = +

− + ( ) ( )

( )

1 2 .

5

x x

x

+ − − −= = −

− −

En cada punto crítico evaluamos el signo de cada factor y por lo tanto de la inecuación completa:

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7

�o Sí

Sí

El conjunto solución en principio sería:

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7

5) Ahora resta determinar si los puntos críticos estarán o no incluidos dentro del conjunto solución. Como en la inecuación aparece el símbolo mayor o igual a cero, los valores: X1 = −1 y X2 = 2 satisfacen la inecuación porque hacen cero al numerador de la misma. En cambio X3 = 5 no satisface la inecuación porque hace cero al denominador.

El conjunto solución será entonces:

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7

[ ] ( )∞− ;52;1 ∪

�o

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ECUACIO�ES CO� MÓDULO

Las ecuaciones con módulo son igualdades en las cuales la incógnita se halla dentro de una expresión entre las barras de módulo. Generalmente tienen dos soluciones que corresponden a dos puntos de la recta numérica.

0

d = k d = k

| x | = k


k −k

La solución de esta inecuación son los números reales cuya distancia a cero es igual a "k":

x = k

Por ejemplo: | x − 2 | = 3

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6

d = 3 d = 3

S = {−k ; k }

x = −k

x − 2 = 3 x − 2 = − 3

x = 3 + 2 x = − 3 + 2

x = 5 x = − 1

S = {−1 ; 5 }

La solución son los puntos cuya distancia a "2" es igual a "3"

Para Practicar Resolver las siguientes inecuaciones fraccionarias y no lineales sin módulo, expresarlas por comprensión, como intervalos y graficarlas sobre la recta numérica.

a) ( )

( )

30

2

x

x x

+≤

− ( ] ( ); 3 0;2−∞ − ∪

b) ( ) ( ) ( )1 . 3 . 5 0x x x+ − + > ( ) ( )5; 1 3 ;− − ∞∪

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Como casos especiales tenemos:

| x | = 0

Tiene una sola solución x = 0 S = {0}

No tiene solución pues el módulo de un número nunca puede ser negativo

1)

2) | x | = −2

S = Ø = {}

Fatela

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Trabajo Práctico �° 6: "I�ECUACIO�ES"

6.1) Encontrar las soluciones de las siguientes inecuaciones, expresarlas por comprensión, como intervalos y graficarlas sobre la recta numérica:

6.2) Encontrar las soluciones de las siguientes inecuaciones con módulo,

expresarlas por comprensión, como intervalos y graficarlas sobre la recta numérica:

6.3) Encontrar las soluciones de las siguientes inecuaciones "especiales" con

módulo, expresarlas por comprensión, como intervalos y graficarlas sobre la recta numérica:

a) 3 2 1 10 5 3x x− + ≥ − −

c) 5 3 5 2 1x x x− + − ≥ − +

b) 2 3 9 3 2x x− + − <

a) 2 5x − ≤

b) 3 5 1x − >

c) 2 3 5x− ≥

d) 3 2x− + <

e) 1 5 3x+ >

f) 1

2 14

x− + ≤

a) 5 2 3x− + ≤

b) 2 1 6 3x x+ < −

c) ( )4 2 3x> − +

d) ( ) ( )1 3

3 5 22 5x x− + ≤ −

Fatela

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6.4) Encontrar las soluciones de las siguientes inecuaciones (y ecuaciones) modulares compuestas, expresarlas por comprensión, como intervalos y graficarlas sobre la recta numérica:

6.5) Encontrar las soluciones de las siguientes inecuaciones fraccionarias (y

no lineales) sin módulo, expresarlas por comprensión, como intervalos y graficarlas sobre la recta numérica:

a) ( ) ( )

( )

1 30

5

x x

x

+ −≥

+

b) ( ) ( ) ( )2 3 4 0x x x− + − <

c) ( )

( ) ( )

20

1 4

x

x x

− +≤

− +

d) 4

32

x

x

−≥

+

a) 1 2 1 3x x− ≥ ∧ + <

b) 3 1 2 2x x− ≤ ∨ − >

c) 2 3 4 5x x+ < ∨ − =

d) 3 1 2x x≥ ∧ − =

Fatela

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Resultados del Trabajo Práctico �° 6: "I�ECUACIO�ES"

6.1)

6.2)

6.3)

6.4)

6.5)

b) ( ) ( ); 3 2;4−∞ − ∪

d) [ )5; 2− −

a) ( ] [ )5; 1 3;− − ∞∪

c) ( ] ( )4; 2 1;− − ∞∪

a) ( ]4; 1− − b) ( ) [ );0 2;−∞ ∞∪

c) ( ) { }5;1 9− ∪ d) { }3

a) [ ]0;4 c) ( ] [ ); 1 1;−∞ − ∞∪ b) 13 17

;5 5

a) [ ]3;7− b) ( )4; 2;3

−∞ ∞

∪ c) ( ]7

; 1 ;3

−∞ − ∞ ∪

d) ( );−∞ ∞ e) 4 2

; ;5 5

−∞ − ∞

∪ f) 3 5;

8 8

a) 1;

5 − ∞

b) ( )1;∞ c) ( )5;− ∞ d) 23

;11

−∞ −

6) Inecuaciones

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