Laboratorio 3

INFORME

LABORATORIO 3

Edwin Callejas Pinto

10 de diciembre de 2015

LABORATORIO 3

1. Diagonalice la matriz A100, donde:

A =

−1 −2 3 20 1 0 1−2 −2 4 20 0 0 2

Solucion.- Para obtener se ha aplicado la propiedad; A = V D V−1, donde V es la matrizmodal, que contiene los autovectores de la matriz A y D es la matriz diagonal. Luego deaplicar el comando, entonces:

clc

clear all

A=[-1,-2,3,2;0,1,0,1;-2,-2,4,2;0,0,0,2];

[V,D]=eig(sym(A))

D100=D.^100

A100=V*D100*inv(V)

>>

A =

-1 -2 3 2

0 1 0 1

-2 -2 4 2

0 0 0 2

V =

[ -1, 3/2, 1, 0]

[ 1, 0, 0, 1]

[ 0, 1, 1, 0]

[ 0, 0, 0, 1]

D =

[ 1, 0, 0, 0]

[ 0, 1, 0, 0]

[ 0, 0, 2, 0]

[ 0, 0, 0, 2]

D100 =

[ 1, 0, 0, 0]

1

Lab 3 Edwin Callejas Pinto

[ 0, 1, 0, 0]

[ 0, 0, 1267650600228229401496703205376, 0]

[ 0, 0, 0, 1267650600228229401496703205376]

A100 =

[ -2535301200456458802993406410749, -2535301200456458802993406410750, 3802951800684688204490109616125,

2535301200456458802993406410750]

[ 0, 1, 0,

1267650600228229401496703205375]

[ -2535301200456458802993406410750, -2535301200456458802993406410750, 3802951800684688204490109616126,

2535301200456458802993406410750]

[ 0, 0, 0,

1267650600228229401496703205376]

2. Encontrar una formula mas simple de An, donde:

A =

(6 −26 −1

)Solucion.- Para encontrar aplicamos la propiedad An = V DnV−1

clc

clear all

A=[6,-2;6,-1]

[V,D]=eig(sym(A))

syms n

D1=sym(D.^n)

An=V*D1*inv(V)

>>

A =

6 -2

6 -1

V =

[ 1/2, 2/3]

[ 1, 1]

D =

[ 2, 0]

[ 0, 3]

D1 =

[ 2^n, 0^n]

[ 0^n, 3^n]

An =

[ 4*3^n - 3*2^n - 0^n, (7*0^n)/6 + 2*2^n - 2*3^n]

[ 6*3^n - 6*2^n, 0^n + 4*2^n - 3*3^n]

es decir

An =

4 · 2n − 3 · 3n 2 · 3n − 2 · 2n

6 · 2n − 6 · 3n 4 · 3n − 3 · 2n

2


3. Estudiar si es diagonalizable la matriz

A =

(cosα −senαsenα cosα

)Solucion.- Para encontrar aplicamos la propiedad An = V DnV−1

clc

clear all

syms a

A=sym(’[cos(a),-sen(a);sen(a),cos(a)]’)

Determinante = det(A)

[V,D]=eig(sym(A))

>>

A =

[ cos(a), -sen(a)]

[ sen(a), cos(a)]

Determinante =

cos(a)^2 + sen(a)^2

V =

[ - cos(a)/sen(a) + (cos(a) - sen(a)*i)/sen(a), - cos(a)/sen(a) + (cos(a) + sen(a)*i)/sen(a)]

[ 1, 1]

D =

[ cos(a) - sen(a)*i, 0]

[ 0, cos(a) + sen(a)*i]

se puede observar que el determinante es igual a 1; la matriz en cuestion corresponde auna transformacion lineal que se utiliza para rotar objetos.

4. Se estudian los mercados de aceite de oliva y de aceite de semillas de un determinadopaıs. Estos dos mercados estaban en equilibrio, pero una gran campana publicitaria sobrelos beneficos para la salud del consumo del aceite de oliva ha generado considerablesdistorsiones en los mismos. La distorsion en cualquiera de los mercados en el periodot + 1 es una funcion de la distorsion de los dos mercados en el periodo anterior, y masconcretamente segun las relaciones:

xt+1 = 0,4xt + 0,5yt

yt+1 = 0,2xt + 0,1yt

Siendo x e y las distorsiones en los mercados de aceite de oliva y de aceite de semillasrespectivamente. ¿Desapareceran estas distorsiones a largo plazo?

3


Solucion.- Es posible escribir en forma matricial de la forma(xt+1yt+1

)=

(0,4 0,50,2 0,1

) (xtyt

)→ Zt+1 = A Zt

ahora resolviendo la ecuacion de recurrencia

t = 0 → Z1 = AZ0

t = 1 → Z2 = AZ1 = AAZ0 = A2Z0

t = 2 → Z3 = AZ2 = A3Z0

· · · → · · · · · ·· · · → · · · · · ·

t = n → Zn+1 = An+1Z0

donde Z0 es la condicion de partida del problema, es decir x0 y y0; por lo que en general elproblema consiste en determinar el valor de An, para ello se realiza el siguiente programa,puesto que los resultados muestran en forma analıtica, es necesario evaluar en el lımite,para distintos valores, t = 0, t = 1, t = 10, t = 100 y finalmente t = ∞, tal como semuestra a continuacion:

clc

clear all

A = [0.4,0.5;0.2,0.1];

[V,D]=eig(A)

syms n

D1=D.^n

An=V*D1*inv(V)

A0=limit(An,n,0)

A1=limit(An,n,1)

A10=limit(An,n,10)

A100=limit(An,n,100)

Ainf=limit(An,n,inf)

>>

V =

0.9285 -0.7071

0.3714 0.7071

D =

0.6000 0

0 -0.1000

D1 =

[ (3/5)^n, 0^n]

[ 0^n, (-1/10)^n]

4


An =

[ (2*2^(1/2)*(((-1/10)^n*2^(1/2))/2 - (5*0^n*29^(1/2))/29))/7 - (29^(1/2)*((0^n*2^(1/2))/2 - (5*(3/5)^n*29^(1/2))/29))/7, - (5*2^(1/2)*(((-1/10)^n*2^(1/2))/2 - (5*0^n*29^(1/2))/29))/7 - (29^(1/2)*((0^n*2^(1/2))/2 - (5*(3/5)^n*29^(1/2))/29))/7]

[ (29^(1/2)*((0^n*2^(1/2))/2 + (2*(3/5)^n*29^(1/2))/29))/7 - (2*2^(1/2)*(((-1/10)^n*2^(1/2))/2 + (2*0^n*29^(1/2))/29))/7, (5*2^(1/2)*(((-1/10)^n*2^(1/2))/2 + (2*0^n*29^(1/2))/29))/7 + (29^(1/2)*((0^n*2^(1/2))/2 + (2*(3/5)^n*29^(1/2))/29))/7]

A0 =

[ 1, 0]

[ 0, 1]

A1 =

[ 2/5, 1/2]

[ 1/5, 1/10]

A10 =

[ 21595063/5000000000, 345521/80000000]

[ 345521/200000000, 17276051/10000000000]

A100 =

[ 233328079821453895034532238270734935906122753740341025551097130846248979099063/5000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000, 746649855428652464110503162466351794899592811969091281763510818707996733117/16000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000]

[ 746649855428652464110503162466351794899592811969091281763510818707996733117/40000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000, 186662463857163116027625790616587948724898202992272820440877704676999183279251/10000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000]

Ainf =

[ 0, 0]

[ 0, 0]

como puede observarse del resultado de las evaluaciones, la matriz An → 0 cuandon→ ∞, por lo que se puede deducir de ello que la distorsion desaparecera con el tiempo.

5. Hallar la k-esima potencia de la siguiente matriz

J =

α 1 0 0 · · · 0 00 α 1 0 · · · 0 00 0 α 1 · · · 0 0...

......

............

......

0 0 0 0 · · · α 10 0 0 0 · · · 0 α

(Sug.: Escribir la matriz como J = α I + A)

Solucion.- Escribiendo la matriz de la forma J = α I + A:

J = α I + A =

α 0 0 0 · · · 0 00 α 0 0 · · · 0 00 0 α 0 · · · 0 0...

......

............

......

0 0 0 0 · · · α 00 0 0 0 · · · 0 α

+

0 1 0 0 · · · 0 00 0 1 0 · · · 0 00 0 0 1 · · · 0 0...

......

............

......

0 0 0 0 · · · 0 10 0 0 0 · · · 0 0

5


ahora la matriz A es Nilpotente, es decir Ar = 0 para cierto valor de r, se observa que

A =

0 1 0 0 · · · 0 00 0 1 0 · · · 0 00 0 0 1 · · · 0 0...

......

............

......

0 0 0 0 · · · 0 10 0 0 0 · · · 0 0

; A2 =

0 0 1 0 · · · 0 00 0 0 1 · · · 0 00 0 0 0 · · · 0 0...

......

............

......

0 0 0 0 · · · 0 00 0 0 0 · · · 0 0

; · · ·

An−1 =

0 0 0 0 · · · 0 10 0 0 0 · · · 0 00 0 0 0 · · · 0 0...

......

............

......

0 0 0 0 · · · 0 00 0 0 0 · · · 0 0

; An =

0 0 0 0 · · · 0 00 0 0 0 · · · 0 00 0 0 0 · · · 0 0...

......

............

......

0 0 0 0 · · · 0 00 0 0 0 · · · 0 0

es decir que, cada vez que se eleva a una potencia, los uno se recorren y finalmente An = 0,siendo n el tamano d ela matriz A. Ahora entonces, para obtener Jn se desarrolla:

Jn = (α I + A)n =n

∑k=0

(nk

)(α I)n−k Ak

Jn =n

∑k=0

(nk

)(α)n−k(I)n−k Ak =

n

∑k=0

(nk

)(α)n−k Ak

Jn =

(n0

)(α)n A0 +

(n1

)(α)n−1 A1 + · · · · · ·+

(n

n− 1

)(α)1 An−1 +

(nn

)An

Jn =

(n0

)(α)n I +

(n1

)(α)n−1 A1 + · · · · · ·+

(n

n− 1

)(α)1 An−1 +

(nn

)An

Jn =

(n0

)Dn +

(n1

)(α)n−1 A1 + · · · · · ·+

(n

n− 1

)(α)1 An−1 +

(nn

)An

de la ultima sumatoria se puede concluir que cada componente de la suma corresponde auna diagonal diferente a partir de la principal, entonces:

Jn =

αn (n1)α

n−1 (n2)α

n−2 (n3)α

n−3 · · · ( nn−2)α

2 ( nn−1)α

0 αn (n1)α

n−1 (n2)α

n−2 · · · ( nn−3)α

3 ( nn−2)α

2

0 0 αn (n1)α

n−1 · · · 0 0

......

......

.........

......

0 0 0 0 · · · αn (n1)α

n−1

0 0 0 0 · · · 0 αn

6


en esta expresion se debe asumir que n ≥ 0, por lo que para cualquier valor por ejemploαn−2 ∃∀n ≥ 2, caso contrario asume el valor de 0, un caso particular sera con una matrizde tamano 4, ahora si se reemplaza valores sera:

J =

α 1 0 00 α 1 00 0 α 10 0 0 α

; J2 =

α2 2α 1 00 α2 2α 10 0 α2 2α0 0 0 α2

; J3 =

α3 3α2 3α 10 α3 3α 3α0 0 α3 3α2

0 0 0 α3

este resultado implementado en MATLAB se muestra a continuacion, ademas se ha desa-rrollado hasta J5:

clc

clear all

syms a

J=[a,1,0,0;0,a,1,0;0,0,a,1;0,0,0,a]

[V,D]=eig(J)

A = J-a*eye(4)

J2=J^2

J3=J^3

J4=J^4

J5=J^5

>>

J =

[ a, 1, 0, 0]

[ 0, a, 1, 0]

[ 0, 0, a, 1]

[ 0, 0, 0, a]

V =

1

0

0

0

D =

[ a, 0, 0, 0]

[ 0, a, 0, 0]

[ 0, 0, a, 0]

[ 0, 0, 0, a]

7


A =

[ 0, 1, 0, 0]

[ 0, 0, 1, 0]

[ 0, 0, 0, 1]

[ 0, 0, 0, 0]

J2 =

[ a^2, 2*a, 1, 0]

[ 0, a^2, 2*a, 1]

[ 0, 0, a^2, 2*a]

[ 0, 0, 0, a^2]

J3 =

[ a^3, 3*a^2, 3*a, 1]

[ 0, a^3, 3*a^2, 3*a]

[ 0, 0, a^3, 3*a^2]

[ 0, 0, 0, a^3]

J4 =

[ a^4, 4*a^3, 6*a^2, 4*a]

[ 0, a^4, 4*a^3, 6*a^2]

[ 0, 0, a^4, 4*a^3]

[ 0, 0, 0, a^4]

J5 =

[ a^5, 5*a^4, 10*a^3, 10*a^2]

[ 0, a^5, 5*a^4, 10*a^3]

[ 0, 0, a^5, 5*a^4]

[ 0, 0, 0, a^5]

6. La k-esima generacion de una poblacion animal consiste en Hk hembras y Mk machos. Lageneracion siguiente depende de la actual de acuerdo con el sistema:

Hk+1 = 0,8 Hk + 0,7 Mk

Mk+1 = 0,2 Hk + 0,3 Mk

Si al principio habıa 300 hembras y 100 machos. ¿Cual serıa la poblacion a largo plazo?.Ademas presente el grafico de los pares (Hk, Mk) sobre el plano euclidiano R2.

8


Solucion.- (Hk+1Mk+1

)=

(0,8 0,70,2 0,3

) (HkMk

)→ Yk+1 = A Yk

ahora resolviendo la ecuacion de recurrencia

k = 0 → Y1 = AY0

k = 1 → Y2 = AY1 = AAY0 = A2Y0

k = 2 → Y3 = AY2 = A3Y0

· · · → · · · · · ·· · · → · · · · · ·

k = n → Yn+1 = An+1Y0

es decir para analizar la situacion a largo plazo se debe analizar el comportamiento de lamatriz An, para lo cual se puede aplicar An = V DnV−1, entonces:

clc

clear all

A = [0.8,0.7;0.2,0.3]

Y0=[300;100]

[V,D]=eig(A)

syms n

D1=sym(D.^n)

An=V*D1*inv(V)

Yn=An*Y0

for k=0:10

k

Y=limit(Yn,n,k)

Z(1,k+1)=Y(1);

Z(2,k+1)=Y(2);

end

Yinf=limit(Yn,n,inf)

Z

Z=[Z,Yinf];

subplot(3,1,1), stem(Z(1,:)), grid

title(’Poblacion de Hembras’)

ylim([295 315])

subplot(3,1,2), stem(Z(2,:)), grid

title(’Poblacion de Machos’)

ylim([85 105])

subplot(3,1,3), plot(Z(1,:),Z(2,:)), grid

title(’Poblacion Machos vs Hembras’)

xlabel(’Poblacion Hembras’)

ylabel(’Poblacion Machos’)

>>

9


A =

0.8000 0.7000

0.2000 0.3000

Y0 =

300

100

V =

0.9615 -0.7071

0.2747 0.7071

D =

1.0000 0

0 0.1000

D1 =

[ 1, 0^n]

[ 0^n, (1/10)^n]

An =

[ (2*2^(1/2)*(((1/10)^n*2^(1/2))/2 - (7*0^n*53^(1/2))/53))/9 + (53^(1/2)*((7*53^(1/2))/53 - (0^n*2^(1/2))/2))/9, (53^(1/2)*((7*53^(1/2))/53 - (0^n*2^(1/2))/2))/9 - (7*2^(1/2)*(((1/10)^n*2^(1/2))/2 - (7*0^n*53^(1/2))/53))/9]

[ (53^(1/2)*((2*53^(1/2))/53 + (0^n*2^(1/2))/2))/9 - (2*2^(1/2)*(((1/10)^n*2^(1/2))/2 + (2*0^n*53^(1/2))/53))/9, (7*2^(1/2)*(((1/10)^n*2^(1/2))/2 + (2*0^n*53^(1/2))/53))/9 + (53^(1/2)*((2*53^(1/2))/53 + (0^n*2^(1/2))/2))/9]

Yn =

(400*53^(1/2)*((7*53^(1/2))/53 - (0^n*2^(1/2))/2))/9 - (100*2^(1/2)*(((1/10)^n*2^(1/2))/2 - (7*0^n*53^(1/2))/53))/9

(100*2^(1/2)*(((1/10)^n*2^(1/2))/2 + (2*0^n*53^(1/2))/53))/9 + (400*53^(1/2)*((2*53^(1/2))/53 + (0^n*2^(1/2))/2))/9

k =

0

Y =

300

100

k =

1

Y =

310

90

k =

2

Y =

311

10


89

k =

3

Y =

3111/10

889/10

k =

4

Y =

31111/100

8889/100

k =

5

Y =

311111/1000

88889/1000

k =

6

Y =

3111111/10000

888889/10000

k =

7

Y =

31111111/100000

8888889/100000

k =

8

Y =

311111111/1000000

88888889/1000000

k =

9

Y =

11


3111111111/10000000

888888889/10000000

k =

10

Y =

31111111111/100000000

8888888889/100000000

Yinf =

2800/9

800/9

Como se observa de los resultados la poblacion de Machos se estabiliza M∞ = 8009 =

88,88 ≈ 89 y la de hembras en H∞ = 28009 = 311,11 ≈ 311. Los graficos pertinentes son:

0 2 4 6 8 10 12295

300

305

310

315Población de Hembras

0 2 4 6 8 10 1285

90

95

100

105Población de Machos

300 302 304 306 308 310 31285

90

95

100Población Machos vs Hembras

Población Hembras

Pob

laci

ón M

acho

s

12

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