INTRODUCCION

Cuando tratamos el curso de estática, generalmente nos basamos en un método analítico para encontrar la solución al problema pedido, pero no

solamente existe ese método, podemos utilizar otro llamado estática gráfica,

aunque no es muy conocido el tema, es muy importante tener un

conocimiento sobre esto, ya que ayuda mucho en estática porque facilita la

resolución de los inconvenientes que se nos pueden presentar en algunos

ejercicios.

Complementando el método analítico y visualizando de una manera

más clara el ejercicio, valiéndose en imágenes, graficando polígonos,

haciendo el diagrama de cuerpo libre de los elementos incluidos en las

armaduras de vigas y columnas para después aplicar las tres ecuaciones

independientes de equilibrio, no olvidando la tercera ley de newton, todo

esto será explicado a continuación en el presente trabajo.

La estática gráfica comprende un conjunto de técnicas sencillas para el cálculo de fuerzas y la resolución de problemas de estática cuando todas las fuerzas

relevantes están sobre un único plano. Debido a su sencillez y manejabilidad las técnicas de estática gráfica fueron ampliamente usadas durante el siglo XIX y principios del siglo XX en el cálculo de estructuras planas isostáticas. Entre las

técnicas más usuales están:

•El polígono funicular, para el cálculo de fuerzas resultantes.

•El diagrama de Cremona, para el cálculo de armaduras planas isostáticas.

Siendo éstas solo algunas de las técnicas que podemos utilizar, ya que existen otro métodos que pueden usarse específicamente en vigas o armaduras.

E STRUCTUR A S ISOSTAT IC A S PL AN AS

GENERALIDADES:

ESTRUCTURA.-

Es un conjunto de elementos que se encuentran unidos entre sí, los cuales deben

mantenerse íntegros durante el transcurso de su vida útil, y cuya función es la de soportar distintas cargas que se le sometan y de dar rigidez a ciertos elementos.

Estas estructuras según el GRADO DE INDETERMINACIÓN ESTÁTICA (GIE) pueden

clasificarse en:

- ESTRUCTURA HIPOSTÁTICA (GIE<0)

- ESTRUCTURA ISOSTÁTICA (GIE=0)

- ESTRUCTURA HIPERESTÁTICA (GIE>0)

En nuestro caso, solo analizaremos las estructuras isostáticas. ESTRUCTURA ISOSTÁTICA

Son aquellas que pueden resolverse estáticamente utilizando las ecuaciones de equilibrio, estas ecuaciones deben plantearse para el conjunto de la estructura y también para cada una de sus partes (ecuaciones de equilibrio en los nudos y barras)

Estructura isostática plana.- Hablamos de una estructura vista en el plano, en dos dimensiones.

Estructura isostática espacial.- Se refiere a aquella estructura vista en el espacio,

en tres dimensiones.

A continuación se muestran los diferentes métodos grafico que existen para el análisis

de estructuras isostáticas planas:

POLIGONO DE FUERZA

Este método grafico nos PERMITE HALLAR LA RESULTANTE DE UN

SISTEMA DE FUERZAS; consiste en representar las fuerzas existentes en una escala conveniente para dibujarse en sucesión una tras otra. La fuerza resultante es la línea

que tiene su origen en el inicio de la primera línea dibujada y su final en el extremo libre de la última línea. No importa el orden en que se dibuje la sucesión de fuerzas, la resultante siempre es la misma; al sumar las fuerzas A, B, C y D en distinto orden (ver

los números 2, 3 y 4 siempre se obtiene el mismo resultado.

(2) (3) (4)

Para sistemas de fuerzas concurrentes que ya están equilibrados, no existe

resultante ya que al sumar las fuerzas en distinto orden, no es posible trazar una línea

resultante, pues el polígono que se forma siempre es cerrado.

POLÍGONO FUNICULAR

El polígono funicular es un procedimiento gráfico para el cálculo

de reacciones y fuerza resultante a partir de un conjunto de fuerzas coplanares.

El nombre procede del latín funiculum 'cordel, cuerda pequeña' y se refiere al hecho que

el polígono funicular de un sistema de fuerzas sería precisamente la forma que adoptaría un cordel sometido a dicho sistema de fuerzas.

Cuando un sistema de varias fuerzas coplanares actúa sobre un cuerpo rígido, puede

utilizarse con ventaja un método gráfico, denominado “Polígono Funicular”, para

determinar la resultante del sistema en módulo, dirección, sentido y recta de acción y el

momento respecto de cualquier punto del plano al que pertenecen las fuerzas.

En lo que sigue, se expondrán los principios en que se basa el método, se explicará en que consiste y

cómo se obtiene la resultante y el momento, ambas en forma gráfica.

Para la representación gráfica deberemos adoptar escalas de fuerzas y de distancias en

Newton/cm y m/cm respectivamente.

DESCOMPOSICIÓN DE UNA FUERZA EN DOS DIRECCIONES CUALESQUIERA

Supongamos una fuerza F de origen A y extremo B que actúa sobre el punto P de

una recta a de un cuerpo rígido. Tomemos el vector ¨ equipolente (1) de F y

elijamos un punto cualquiera O que no pertenezca a la recta de acción de .

Los vectores sobre la recta b y sobre la recta c, medidos en escala de fuerzas representan las componentes de F en las direcciones a y b . Ahora podemos remplazar a la fuerza F por el sistema equivalente (2) constituido

por y porque: a) la resultante del nuevo sistema es F b) el momento de F respecto de cualquier punto del plano es igual a la suma de los momentos de

y respecto del mismo punto, por el teorema de Varignon.

EL POLÍGONO DE FUERZAS Y EL POLÍGONO FUNICULAR DE UN SISTEMA DE FUERZAS PARALELAS

a) Caso 1: Cuando las fuerzas paralelas tienen igual sentido

Adoptando una escala de fuerzas, se construye el polígono de fuerzas, llevando una fuerza a continuación de la otra. Como las distintas fuerzas actuantes son paralelas, el polígono de fuerzas se reduce a un vector AE (resultante). Concluimos que la resultante es paralela a las fuerzas dadas e igual en intensidad a la suma de las intensidades de las distintas

fuerzas.

b) Caso 2: cuando las fuerzas paralelas son de distintos sentidos.

Al igual que en el caso a), se construye el polígono de fuerzas y funicular, donde deducimos: que la resultante tiene como intensidad la suma algebraica de las intensidades de las distintas fuerzas concurrentes

POLÍGONO DE FUERZAS Y POLÍGONO FUNICULAR PARA UN SISTEMA

DE FUERZAS NO CONCURRENTES.

Consideremos ahora el caso de un cuerpo sometido a tres fuerzas coplanares. El análisis puede

extenderse a un sistema de n fuerzas. Dibujando el polígono de fuerzas y ,

sabemos que el lado de cierre es la resultante del sistema.

Tomemos ahora un punto O, denominado” polo” que no pertenezca a la recta de

acción de y tracemos las rectas que un en cada uno de los vértices del polígono con el

polo. Obsérvese que, por el razonamiento hecho anteriormente, se tiene

DETERMINACIÓN DE LA RECTA DE ACCIÓN DE LA RESULTANTE - POLÍGONO

FUNICULAR.

Para determinar la recta de acción de la resultante descompondremos a cada una de las fuerzas

en sus componentes.

Para ello elegimos un punto S cualquiera sobre F1 y tracemos las rectas I y II

paralelas a y , respectivamente. Sobre esas rectas actuarán

las fuerzas y , componentes de F1. La recta II corta a F2 en el punto T ,

que elegimos para que por él pasen sus componentes (según II) y (según III). Por último, la recta III corta a F3 en el punto V , por el que pasarán sus

componentes y

Teniendo en cuenta las componentes que se anulan entre si ( con y con

), el sistema de fuerzas dado queda remplazado por la fuerza actuando

sobre la recta I y la fuerza actuando sobre la recta IV, que son las

componentes dela resultante R = del sistema. Por lo tanto, dicha resultante pasará por la intersección P de las rectas I y IV El polígono formado por las rectas I, II, III y IV se denomina “polígono funicular” La distancia H del polo O a la resultante se denomina “distancia polar”.

MOMENTO DEL SISTEMA RESPECTO DE UN PUNTO.

Supongamos que quiere conocerse el momento de las fuerzas que componen al

sistema respecto de un punto M del plano. Tracemos por M una paralela a la resultante que cortará a las rectas extremas del polígono funicular en los puntos M’ y M’’. Vemos que los triángulos PM’M’’ y AOD son semejantes por tener sus lados paralelos entre si. Por lo tanto AD/M´M”=H/L; donde Les la distancia de M a la

resultante.

Por el teorema de Varignon, se sabe que el momento de las fuerzas componentes de un sistema respecto de un punto es igual al momento de la resultante respecto de dicho punto. El segmento AD, medido en la escala de fuerzas, representa la resultante R del sistema. Si al segmento M’M’’ = V lo medimos también en escala de fuerzas Y se verifica

Siendo R.L el módulo del momento.

O sea que la medida del segmento interceptado por la paralela a R pasante por el punto O, con los lados extremos del funicular, medido en escala de fuerzas, multiplicado por la distancia polar H, medida en escala de longitudes, proporciona el momento de R Respecto del punto arbitrario M.

.

Así como existe un método analítico para hallar las reacciones en vigas , también

existe un método grafico; en esta parte hablaremos de como hallar dichas reacciones

gráficamente, teniendo en cuenta lo siguiente:

El equilibrio de fuerzas paralelas también pueden determinarse o resolverse por

medio gráfico.

La primera condición es que el polígono de fuerzas sea cerrado.

La segunda condición es que el polígono funicular también sea cerrado.

Pasos:

1. se coloca la fuerza en verdadera magnitud y como el polígono debe de ser cerrado,

se coloca otra línea que represente las 2 reacciones juntas.

2. se determina un punto y se trazan rectas desde el origen hasta el fin de la fuerza Fa y Fb.

3. Por un punto cualquiera de la línea de acción de RB se lleva una paralela a Fb hasta

cortar con F.

4. En el corte por F, llevamos una paralela Fa.

5. se unen el extremo de funicular en RB y el de RA.

6. Por el punto del funicular se traza una paralela a a – b hasta cortar la línea de

reacciones, obteniéndose así los valores de éstos.

EJEMPLO:

Para el análisis en Armaduras haremos uso de dos métodos gráficos, uno es el

método por secciones y el otro por el método de cremona, con ellos hallaremos las

reacciones y las fuerzas internas que actúan dentro de nuestra armadura.

M É TODO G RÁF ICO POR SE CCION E S

Este procedimiento consiste en hacer gráficamente el equilibrio de una sección

de armadura, haciendo el diagrama de cuerpo libre de esa sección después de haber obtenido las reacciones y aplicando las condiciones graficas de equilibrio.

Ejemplo:

Resolvamos una sección de una armadura sencilla para facilitar la comprensión del

procedimiento.

Reacciones:

Por suma de fuerzas tenemos en la sección:

-2 – 4 + 8 = 2T = R

Si tomamos ∑MAF= -(4T*2M) = -8TM =MAR, de donde la resultante de 2T pasa a 4m

de A con giro negativo.

Colocamos la reacción de 2T a 4m y trazamos una recta x desde la intersección

de B1 y B2 (Nodo D) hasta su intersección con B3.

Esta recta x será la resultante de B1 y B2 y además estará en equilibrio con R y B3.

Se coloca en verdadera magnitud la resultante de las fuerzas externas de la sección de

la armadura, con su dirección y sentido correctos.

Por sus extremos, por el inferior se traza una recta paralela a la línea de acción de B 3 y

por el superior una paralela a la línea de acción de B1.

Se traslada una paralela a la recta x por la punta o extremo de la Resultante hasta que

corte la recta paralela a B3, esto ocurre en el punto Z

Ahora bien, considerando que x es la resultante de B1 y B2, por ese punto Z trazamos una paralela a B2 y lo prolongamos hasta que se corte a B1, lo que da por resultado el

determinar las dimensiones tanto de B1 como de B2, mismas que se miden en la escala

en que se esté trabajando.

La magnitud de B3 queda también determinada desde el punto Z hasta R.

En el trapecio que se forma con las 4 fuerzas R, B1, B2, B3, se van marcando los sentidos

de las fuerzas de tal manera que B1 entra en la sección, luego es comprensión; B2 sale de la sección siendo tensión y B3 sale de la sección siendo en tal virtud tensión.

Este procedimiento grafico puede complementar el analítico, como ya se vio, y

análogamente la solución grafica por nodos. Se complementa con la solución grafica

por secciones para los casos en los que presenta más de dos barras desconocidas.

METODO DE CREMONA

El Diagrama de Cremona, también conocido como Método de Cremona-

Maxwell; es un método gráfico para el cálculo de estructuras isostáticas, es la

aplicación de forma gráfica del método de los nudos.

El método fue creado por el matemático italiano Luigi Cremona a finales del siglo XIX.

En la actualidad se encuentra prácticamente en desuso. Se basa en la construcción de

los polígonos de fuerzas encada nudo de la barra (polígono funicular)

El método es aplicable a celosías trianguladas que sean estáticamente determinadas,

lo cual implica que necesariamente el número de barras (b) y el número de nudos (n)

o intersecciones de barras satisfaga la relación:

El método de Cremona se basa en la construcción de los polígonos de fuerzas encada

nudo de la barra (polígono funicular).Cuando en un nudo en el que concurren varias

fuerzas desconocemos sólo dos y están en posición consecutiva, podemos construir

gráficamente un polígono de fuerzas en el que determinemos el valor de las dos que son

desconocidas. Para ello iremos representando los vectores fuerza a escala en un gráfico. El

sentido en el que las iremos representando será el de las agujas del reloj, y comenzamos

por la primera conocida. En la siguiente figura representamos un nudo en el que

concurren cuatro fuerzas de las que nosotros conocemos sólo dos, pero sí sabemos la

dirección de las otras dos. Construiremos el polígono de fuerzas comenzando por la fuerza

1 y a continuación la fuerza 2. Sabemos que para que el nudo esté en equilibrio el

polígono de fuerzas debe cerrarse. La fuerza 3 debe pasar por el final de la fuerza 2, y la

fuerza 4 por el principio de la fuerza 1. El punto de intersección de las rectas paralelas a 3

y a 4 será el fin de la fuerza 3 y el origen de la fuerza 4.

En una armadura, se tendrá que calcular los esfuerzos en todas las barras,

construyendo los polígonos de fuerza de cada uno de los nudos.

EJEMPLO:

Determinar las fuerzas internas en la armadura:

Colocamos números como referencia

Analizamos cada nudo tratando de formar polígonos de fuerza, cada fuerza está representada en una escala respectiva.

Analizamos los demás nudos de manera conveniente, no

olvidando que el polígono se forma en sentido horario.

Como vemos el método es similar al de los nodos, pero

gráficamente; de este modo hemos hallado las fuerzas internas

de la armadura.