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UNIVERSIDAD NACIONAL DE ITAPÚA FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS Ingeniería Comercial Matemática II Clase Nº 14- 15 María Teresa Szostak 1 LA DERIVADA La derivación es una de las operaciones que el Análisis Matemático efectúa con las funciones, y permite resolver numerosos problemas de Geometría, Economía, Física y otras disciplinas. En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado. Interpretación geométrica de la derivada. Si la función f(x) es continua, y se considera un punto P= x que pertenece al dominio de la función, y se incrementa x en un ∆x tal que el punto incrementado M = x + ∆x pertenezca también al dominio, entonces se tiene el valor que determina la función: es f(x) x + ∆x es si se unen el punto M y P se obtiene una recta PM el incremento correspondiente de la función es: Se forma un triángulo rectángulo con las variaciones en x e y, con este triángulo se puede hallar la pendiente de la recta PM, para ello aplicamos conocimientos de trigonométricas o sea fijándonos en la figura podemos designar por ∆y o sea ; Si acercamos el punto M hacia el punto P, ∆x será cada vez más pequeño por lo tanto, cuando ∆x sea igual a 0, el punto M coincidirá con P, y se tendrá una recta tangente a la curva f(x)
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FACULTAD DE CIENCIAS ECONÓMICAS Y ADMINISTRATIVAS
Ingeniería Comercial
Matemática II Clase Nº 14- 15
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LA DERIVADA
La derivación es una de las operaciones que el Análisis Matemático efectúa con las funciones, y
permite resolver numerosos problemas de Geometría, Economía, Física y otras disciplinas.
En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor
de dicha función según cambie el valor de su variable independiente. La derivada de una función es
un concepto local, es decir, se calcula como el límite de la rapidez de cambio media de la función en
un cierto intervalo, cuando el intervalo considerado para la variable independiente se toma cada vez
más pequeño. Por ello se habla del valor de la derivada de una cierta función en un punto dado.
Interpretación geométrica de la derivada.
Si la función f(x) es continua, y se considera un punto P= x que pertenece
al dominio de la función, y se incrementa x en un ∆x tal que el punto
incrementado M = x + ∆x pertenezca también al dominio, entonces se
tiene el valor que determina la función: es f(x) x + ∆x es
si se unen el punto M y P se obtiene una recta PM
el incremento correspondiente de la función es:
Se forma un triángulo rectángulo con las variaciones en x e y, con
este triángulo se puede hallar la pendiente de la recta PM, para ello
aplicamos conocimientos de trigonométricas
o
sea
fijándonos en la figura podemos designar por ∆y o sea
;
Si acercamos el punto M hacia el
punto P, ∆x será cada vez más
pequeño por lo tanto, cuando ∆x sea
igual a 0, el punto M coincidirá con P,
y se tendrá una recta tangente a la
curva f(x)
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Por definición, llamaremos derivada de una función o pendiente de la curva
correspondiente en un punto al límite del cociente incremental
cuando ∆x 0, de otra
manera:
TÉCNICA DE LA DERIVACIÓN
1 – Dar a la variable x un incremento (positivo o negativo) ∆x, a partir de x, con lo que se obtiene un
punto nuevo x+∆x
2 – Calcular el nuevo valor de y (o sea de la función)
3 – Calcular el incremento de la función (∆y), para ello debemos restar de la función incrementada la
función inicial.
4 – Formar el cociente incremental
.
5 – Calcular el límite del cociente incremental cuando ∆x tiende a 0.
Ejemplo
1 – Halla la deriva de , aplicando la técnica de la derivación.
Para ello tendremos en cuenta los 5 pasos descriptos anteriormente.
1 -
2 - , antes de realizar el punto 3, debemos desarrollar
toda la función incrementada.
para hallar el incremento
debemos de restar a esta función incrementada la función inicial
3 -
para formar el cociente incremental
debemos dividir toda la expresión anterior por
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4 -
realizando las correspondientes simplificaciones obtenemos:
aplicando límite a la expresión obtenida se tiene:
5 -
, reemplazando por 0 se tiene:
REGLAS DE LA DERIVACIÓN
1 – Derivada de una constante: La derivada de una constante es nula.
Demostración: Sea ; siendo C una constante y si aplicamos la técnica de la derivación se
obtiene:
si dividimos por y hallamos el límite del cociente incremental se tiene:
2 – Derivada de una variable independiente: La derivada de la variable independiente es la unidad
Demostración: sea aplicando la técnica de la derivación se demuestra:
buscando el cociente incremental y aplicando límite se obtiene
el límite de una constante es la misma constante
3 – Derivada su derivada es igual al producto de la potencia por la función disminuida en un
exponente.
, incrementando tanto x e y se tiene; ; desarrollando
𝑦 𝑥
𝑦
𝑦
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; restando la función inicial para obtener la función incrementada
dividiendo por y hallando el límite de la función resultante:
, por tanto
4 – Derivada de una constante por una variable: la derivada de una constante por una variable es
igual al producto de la constante y la derivada de la variable
; incrementando tanto la variable como la función se tiene:
; hallando el límite del cociente incremental
5 – Derivada de una suma algebraica: La derivada de una suma algebraica de funciones es igual a la
suma algebraica de las derivadas de las funciones sumandos.
Se tiene la función Aplicando las reglas anteriores, su derivada es:
6 – Derivada de una función elevada a otra función: la derivada de una función elevada a otra
función es igual al producto del exponente de la función, por la función disminuida en uno, por la
derivada de la función interna.
Función interna
La derivada de la función interna
El exponente la función disminuida en un exponente
𝑦 𝑥
𝑦 𝑥4 𝑥
𝑦
𝑦 6 𝑥 𝑥 𝑥 6𝑥
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7 – Derivada de un producto: la derivada de un producto de dos funciones es igual a la derivada de la
primera función por la segunda, más la primera función por la derivada de la segunda función.
Sean dos funciones: , considerando la regla anterior se tiene:
Ejemplo
4
Sacando factor común obtenemos; 4 ( ) reduciendo términos
8 – Derivada de un cociente la derivada de un cociente de dos funciones es igual a la derivada del
numerador por el denominador, menos el numerador por la derivada del denominador, dividida esta
diferencia por el cuadrado del denominador.
Sean dos funciones
, aplicando la regla anterior se tiene
Ejemplo
[ ]
[ ]
=
[ 4 ]
=
𝑦 𝑢 𝑥 𝑣 𝑥 𝑢 𝑥 𝑣
𝑦 𝑥4 𝑥 𝑥 𝑥 8
𝑦 𝑢′ 𝑥 𝑣 𝑥 𝑢 𝑥 𝑣′ 𝑥
𝑣
𝑦 𝑥 𝑥
𝑥
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9 – Derivada de un logaritmo neperiano (ln) la derivada del logaritmo neperiano o natural de una
función es igual a la reciproca de la función, por la derivada de la función.
Ejemplo 4
4 4 =
10 – Derivada de una función exponencial: la derivada de una función exponencial es igual al
producto de la función, por el logaritmo neperiano de la base, por la derivada del exponente.
Ejemplo:
6
11 – Derivada de funciones trigonométricas:
A) La derivada de la función es igual a la función
Demostración: si el cociente incremental es
, el
numerador puede transformarse en un producto de acuerdo a las formulas trigonométricas ,
con lo que tenemos
(
)
=
(
) si ahora se hace tender a 0, el cociente
[
] tendrá a la unidad, de acuerdo a lo visto en trigonometría en los cursos
anteriores y como (
) tiende a , resulta
B) Derivada de la función cos x: la derivada de una función es la función
C) Derivada de la función tg x: la derivada de una función
Demostración: por identidades trigonométricas
, aplicando la derivada
de un cociente:
por identidades trigonométricas se
obtiene
Y’ = (4𝑥 )
𝑥 𝑥
𝑦 𝑠𝑐 𝑥
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D) Derivada de la función ctg x: la derivada de una funcón
Demostración
aplicando derivada de un cociente se tiene:
; factoreando el signo (-), y aplicando identidades
trigonométricas se tiene:
E) Derivada de la función sc x: la derivada de una función es
Demostración: por identidades trigonométricas
, aplicando reglas de la derivación
se tiene:
por identidades
trigonométricas
F) Derivada de una función cs x: la derivada de una función es la función
Demostración
Por identidades trigonométricas se tiene
o aplicando regla de la
derivación obtenemos:
por identidades
trigonométricas
Ejercicios
Deriva utilizando las reglas correspondientes y luego llévala a su más mínima expresión.
1) 432 23 xxy 16 xxy
2)
3)
4)
√
√ o
√
𝑦 𝑐𝑠𝑐 𝑥
𝑦 𝑐𝑡𝑔 𝑥 𝑐𝑠𝑐 𝑥
𝑦 𝑡𝑔 𝑥 𝑠𝑐 𝑥
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8
5)
42
4
1
2
1xxy 12 xxy
6) 6 6 6
7) 4
8) √ √
√
√
9) 25213 xxy 219526 xy
10) x
xy
2
2
2
xy
11) ( )
12) 11 xxy 2 axy
13) 23
32
x
xy
232
5
xy
14) 2
2
1
1
x
xy
221
4
x
xy
15)
4 ( )
16) √
√
17) √
√
18)
19)
20)
4
21) √ 6
22) √ √ 4
23) √
24) x
xy2
2 yx
xy
2
2 1
25) 2xa
ay
2
32
xaaxy
26)
( )
27) √
4
√
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28) xxax
by
xxab
xaxy
2
42
29) √
√
30) (
)
(
)
31) xxy ln. xy ln1
32) 3
3ln
x
xy
23
3ln1
x
xy
33) 2
2
1ln
x
xy
21
2
xxy
34)
35) √
√
36)
37)
38)
39) xxy cos.2 senxxxxy .cos.2 2
40) senx
xy ctgxxxy .1csc
41) xsenxy 22cos xsenxy 22cos2
42)
43) [ ]
44) senx
senxy
1
1
21
cos2
senx
xy
45) x
xy
2cos1
cos
22
3
cos1 x
xseny
46) xsensenxy 3
3
1 xy 3cos
47)
48)
