1º BACHILLERATO | Matemáticas © Oxford University Press España, S.A. 2008

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LÍMITE DE UNA SUCESIÓN

Sucesión convergente: tiene un límite finito.

Sucesión nula o infinitésimo: su límite es cero.

El valor al que se acerca indefinidamente los términos de una sucesión se llama límite.

lim an = L

n ∞

Una sucesión an, tiene límite L si, cuando n tiende a infinito, la diferencia entre a

n y L es cada vez

menor. Es decir, cuando n ∞, |an

- L| 0.

Una sucesión tiene límite +∞ cuando, para cualquier número real y positivo k, siempre existe un valor n0 de n, a partir del cual los

términos de la sucesión son mayores que k:

lim an = +∞

n ∞

Una sucesión tiene límite -∞ cuando, para cualquier número real y negativo k, siempre existe un valor n0 de n, a partir del cual

los términos de la sucesión son menores que k:

lim an = -∞

n ∞

Sucesión divergente: tiene límite +∞ o -∞.

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OPERACIONES CON SUCESIONES

Adición de sucesiones

lim (xn

+ yn

) = lim xn + lim y

n n ∞ n ∞ n ∞

Producto de sucesiones

lim (xn · y

n) = lim x

n · lim y

n n ∞ n ∞ n ∞

Cociente de sucesiones

siempre que yn

no sea una sucesión nula.

lim xnyn

= lim xnlim yn

n ∞

n ∞

Potencia de sucesiones

lim (xn)yn = (lim x

n)lim yn

Las sucesiones xn e y

n pueden ser convergentes o divergentes.

Podemos obtener las indeterminaciones ∞0, 00 y 1∞.

n ∞ n ∞

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CÁLCULO DEL LÍMITE DE SUCESIONES

Sucesiones que tienen término general como un polinomio en n siempre son divergentes.

Su límite será +∞ o -∞ en función del signo del coeficiente del término de mayor grado.

Sucesiones que tienen término general como un cociente de

polinomios son:

• divergentes: si el grado del numerador es mayor que

el del denominador.

o límite +∞ si los signos de los términos de

mayor grado del numerador y del denominador

coincide.

o límite -∞ si los términos de mayor grado del

numerador y del denominador tienen signos

distintos.

• convergentes:

o límite cero si el grado de numerador es menor

que el del denominador.

o limite L si el grado del numerador es igual al

del denominador.

L = coef i c i ente de l té� r m i no de m ayor gra do

coef i c i ente de l � r m i no de m ayor gra do

té

Sucesiones con radicales del tipo ,donde an es un polinomio en n, siempre son divergentes.

Su límite será +∞ o -∞ en función del signo del coeficiente del término de mayor grado. Si k es par, el coeficiente

del término de mayor grado no puede ser negativo.

En una sucesión cuyo término general es la suma o diferencia de dos raíces, puede dar lugar a la

indeterminación (+∞) + (-∞) , que se resuelve comparando los grados de los términos de mayor grado y los

índices de las raíces:

• si son iguales y tienen el mismo índice, el signo del infinito se determina por sus coeficientes.

• si, además, tienen el mismo coeficiente, se multiplica por el conjugado de la suma de raíces:

xn = k

an

li m an

+ bn

= li m ( an

+ bn

) . a

n - b

n

an

- bn

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EL NÚMERO e

n ∞

e = lim (1 + 1

n )

n

Sucesiones cuyo término general es:

· (1 + 1

n )

n + a

li m (1 + 1

n )

n + a =

= li m (1 + 1

n )

n . li m (1 + 1

n )

a = e 1 = e

· (1 + 1

n + a )

n

li m (1 + 1

n + a )

n = li m (1 +

1

n + a )

n + a - a

= li m

( 1 + 1

n + a )

n+ a

( 1 + 1

n + a )

a

= e

1 = e

n ∞

n ∞ n ∞

n ∞ n ∞

n ∞

Sucesiones cuyo término general es:

· (1 + 1

n )

k n

li m (1 + 1

n )

kn = e

k

· (1 + 1

kn )

n

li m (1 + 1

kn )

n = li m (1 +

1

n + a )

kn

1

k

= e1

k

=

ke

n ∞

n ∞ n ∞

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PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON LÍMITES DE FUNCIONES

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CONTINUIDAD

Propiedades de las funciones continuas

• Si f(x) y g(x) son continuas en a entonces:

O (f + g)(x) es continua en a

O (f · g)(x) es continua en a

O ( )(x) es continua en a, si g(a) ≠ 0

• Si f(x) es continua en a y g(x) es continua en f(a) entonces la

composición (g ◦ f)(x) es continua en a.

fg

Una función f(x) es continua en a si:

• Existe f(a)

• Existe lim f(x) = f(a)

n a

Si no cumple alguna de las condiciones, f(x)

es discontinua en a.

Clasificación de discontinuidades

• Discontinuidad evitable se produce cuando:

O Existe f(a) y lim f(x), pero f(a) ≠ lim f(x)

O No existe f(a) y sí lim f(x)

• Discontinuidad de salto finito se produce cuando no existe lim f(x) porque los dos límites laterales son finitos, pero desiguales.

• Discontinuidad asintótica o de salto infinito se produce cuando uno o los dos límites laterales son infinito. En este caso, f(a) puede existir o

no

n a n a

n a

n a