. ANLISISBSICODE VARIABL CPLJA JL EMS MJ.HOFFM EDITORIAL lILLAS Mc, Ann,Eal Co Po A,enzee lndicedecontenido Prlogo Cap.l. Funcionesanalticas 1.1.Introduccin alosnmeroscomplejos,11. 1.2.Propiedadesde losnmeros complejos, 22. 1.3.Algunasfuncioneselementales,36. 1.4.Funciones continuas,53. 1.5.Funcionesanalticas,73. 1.6.Diferenciacinde lasfuncioneselementales,96. Ejerciciosderepasodelcaptulo1,105 Cap.2.TeoremadeCauchy 2.1.Integralesdecontoro,109. Suplementodela seccin2.1:sumasde Riemann,124. 2.2.El teoremadeCauchy:versin intuitiva,126. 2.3.Elteoremade Cauchy:versin precisa,139. SuplementoAdelaseccin2.3,157. SuplementoBdelaseccin2.3, 161. 2.4.Frmulaintegral deCauchy,165. 2.5.Elteoremadelmdulomimoy funcionesarmnicas,185. Ejerciciosde repaso delcaptulo 2,199. Cap.3.Representacinenseries defunciones analticas 3.1. Seriesconvergentesdefuncionesanalticas,204. 3.2.Series depotenciasyelteoremade Taylor,226. 3.3.Seriesde Lurent yclasifcacindesingularidades,243. Ejerciciosderepasodel captulo 3,257. 5 11 109 203 9 10 Cap.4.Clculo de residuos 4.1.Clculode residuos,261. 4.2.El teorema delresiduo,274. Suplementoala seccin4.2:rsiduosy comportamiento en infnito,280. 4.3.Evaluacinde integralesdefnidas, 288. 4.4.Evaluacin de seriesinfnitasyexpansionesen fracciones parciales,321. Ejerciciosderepasodelcaptulo4,330. Cap.5. Mapeosconformes 5.1.Teoabsicadelosmapeosconformes,335. 5.2.Fraccionales lineales ytransformaciones deSchwarz-Christoffel,342. 261 335 5.3.AplicacindelosmapeosconformesalaecuacindeLaplace,la conduccindelcalor, electrosttica ehidrodinmica,362. Ejerciciosderepasodelcaptulo5,378. Cap.6.Desarrolloadicionaldelateora 6.1.Continuacinanalticaysuperficies deRiemannelementales,383. 6.2.ElteoremadeRouch yelprincipiodelargumento,402. 6.3.Propiedadesdelasfunciones analticascomomapeo,417. 383 SuplementoAdelcaptulo 6:familias normalesy elteorema del mapodeRiemann,423. SuplementoBdelcaptulo6:ladinmicade los mapeosanalticoscomplejos,429. Ejerciciosderepaso del captulo6,432. Cap.7. Mtodosasinttico43 7 .l.Productos infinitosylafuncingamma,436. 7.2.Expansionesasintticasyelmtododeldescensomspronunciado,456. Suplementoalaseccin7.2:variacinacotadaylademostracindelafrmuladela faseestacionaria,475. 7.3.La frmuladeStirlingylasfuncionesdeBessel,483. Ejerciciosderepasodelcaptulo7,491. Cap.8.La transformada de Laplace yaplicaciones 8.1.Propiedadesbsicasde lastransformadasde Laplace,495. 8.2.La frmula deinversincompleja,50. 495 8.3.Aplicacinde las transformadasde Laplacea laseuaciones iferencialesordinarias,514. Suplementodela seccin8.3:latransformada deFourierylaecuacinde onda,516. Ejerciciosderepasodelcaptulo8,530. Respuestsalos ejercicio impares ndice anltico 533 567 1 Funcionesanalticas Enestecaptuloseintroducenlasideasbsicasacercadelosnmeroscomplejosydelasfunciones analticas.L organizacindeltextoesanlogaala deunlibrodeclculoelementalqueempieza conla rectarealR yunafuncinf(x)deuna variablerealxyentoncesestudialadiferenciacinde fDemanerasimilar,enel anlisiscomplejoempezamosconlosnmeroscomplejos zyelestudiodefuncionesdiferenciablesf(z)(stas sonllamadasfuncionesanalticas).Laanalogaes,sin embargo,engaosa,porqueelanlisiscomplejoesunateoramuchomsrica;puededecirsemuchomsacerca deunafncin analticaqueacercadeuna funcindiferenciabledevariablereal.Lasprpiedadesdelasfuncionesanalticassedesarrollarnporcompletoencaptulossubsecuentes. Ademsde familiarizarseconlateora,elestudiante debealcanzaralguna facilidadconlas funciones estndar (oelementales) -talescomopolinomios,e,log z, sen z-quesonusadas enelclculo.Estas funciones se estudianenla seccin1.3y aparecenfrecuentementea lolargodeltexto. 1.1.INTRODUCCIN ALOS NMEROS COMPLEJOS Bosquejo histrico Lasiguientediscusinpresuponeciertafamiliaridadconlasprincipalespropiedadesdelosnmerosreales.Elsistemadelosnmerosrealesfueelresultado delabsquedadeunsistema(unconjuntoabstractoconciertasreglas)que incluyera a los racionales,peroque tambinproporcionarasolucionesaecuaciones polinomiales tales como >2- 2=O. Histricamente,unaconsideracinsimilardioorigenalaextensindelos nmerosreal es. AprincipiosdelsigloXVI,GeronimoCardanoconsider ecuacionescuadrticas(y cbicas)talescomo x2 +2+2= O,quenosonsatisfe-11 12CAP.1.FUNCIONES ANALTICAS chasporningnnmeroreal x.Lafrmulacuadrtica(-b: { b2- 4ac)/2a daexpresiones"formales"paralasdossolucionesdelaecuacin.+ bx + e=O.Pero estafrmula puederequerirracescuadradasdenmerosnegativos,porejemplo, -1:f-1 paralaecuacin x+2x+2 =O.Cardanonotquesiestos"nmeros complejos" son tratadoscomonmerosordinarios con la reglaffff = -1, estos, resolvanen efecto lasecuaciones.Alaimportanteexpresin.seledaahorala ampliamenteaceptadadesignacin de i =H.Unaconvencinalternativaesseguidapormuchosingenierselctricos,quienespreferenelsmbolo j = \1 puestoque ellosdeseanreservarelsmboloiparalacorrienteelctrica.Sinembargo,enel pasadosesentaqueningnsignificadopodrarealmenteserasignadoatales expresiones,quefueronentoncesllamadas"imaginarias".Gradualmente,enespecialcomoresultadodeltrabajo deLeonhardEulerenel sigloxvm,estascantidades imaginariasllegaronadesempearunpapelimportante.Porejemplo,lafrmula deEulerei9=cos+isenrevellaexistenciadeunaprofundarelacinentre losnmeroscomplejosylasfuncionestrigonomtricas.Seencontrquelaregla ei Oy entoncesdefnir ex comolafuncin inversa delog y. (Nota:MuchoslibrosdeclculoescribenIn y paraellogaritmocon base ene.Comoenlamayora delostextosavanzadosdematemticas,alolargodeestelibroescribiremosIogy en vez de In y.) En esta seccin,se extendern estas funciones al plano complejo.En otras palabras, se defnirnlasfunciones sen z,cosz,ez ylog zpara complejos zy susrestriccionesala lnearealsernlosusualessenx,cosx,exylogx.Lextensinalos nmeroscomplejosdebesernaturalenelsentidoquemuchasdelaspropiedades familiaresdesen,cos,expylogseconserven. Estasfnciones,ascomolafuncin potencia zn,se estudiarn geomtricamente ms adelante en esta misma seccin. Primeroextenderemoslafuncinexponencial.Sabemosdelclculoquepara unnmeroreal x,ex puede representarse por suseriede Maclaurin: xx2x3 ex=l+-+-+-+1!2!3! As. debe ser delo ms natural defnireiY por (iy) (iy? 1 + + + l!2! para y eR.Porsupuesto,estadefnicin noesmuylegtima,yaquela convergenciadeseriesen Cnohasidoan discutida.Enelcaptulo3 semostrarqueestaserieefectivamenterepresentaunnmerocomplejobiendefnidoparacaday, pero por elmomento,la serieesusadainformalmentecomolabasedeladefnicinque sigue,lacualserprecisa.Un ligeroreordenamientodelaserie (usandoelejercicio 16, seccinl. l. ) muestra que 5!

38CAP.1.FUNCIONES ANALTICAS Peroreconocemosqueestoessimplementecos y +isen y.Porlotanto,defnimos. eiy=cos y+i sen y. Hastaaqu,hemosdefinidoezparazalolargodelosejesrealeimaginario. Cmodefinimosez =ex+iy?Deseamosquenuestraextensindelaexponencial conservelaspropiedadesfamiliaresy entre estas est la leydelosexponentes:ea+ b = ea eh.Esterequisito nosobligaadefnirex+ iy=ex eiY.Estopuedeexpresarseen unadefinicinformal: Defnicin 1.3.1. Siz=x +iy,entoncesdefinimosezcomoe(cosy+ iseny). Ntesequesizesreal(estoes,si y=0), estadefnicincoincidecon lafuncin exponencialusualex.Elestudiantedebesercautoenestepunto,noestamospensandoaezcomo"eelevadoalapotenciaz"puestoqueelconceptodeexponentescomplejosno hasidodefnidoan.Lanotacineesmeramente unaabreviatura delafuncindefinida como ex(cos y+i sen y). Existetambinotrarazn,puramenteformal,paradefinireiY =cos y+ isen y. SiescribimoseiY f(y) +ig(y),notamosquepuestoquequeremosquee0=1, debemostener f(O) = 1yg(O)=O.Al derivarconrespectode y nosdaie;Y f' (y) +ig'(y),porlotanto,cuandoy= O,obtenemosf'(O) =O,g'(O) = l .Aldiferenciar nuevamentenosqueda -eiY =f' '(y) +ig"(y ).Sicomparamos estosresultadoscon e iy =f(y) +ig(y ),obtenemos que f' '(y) + f(y) =O, f( 0) 1, f' (O) = O,demodo quef(y)= cos y;yg"(y) +g(y) =O,g(O) =O,g'(O) = 1,demodo que g(y) =sen y,porladefinicindesenyycosyentrminosdeecuacionesdiferenciales.As, obtenemosqueeiY =cos y+i sen y, comoenladefinicin1.3.1. Algunasdelaspropiedadesimportantesdeeestnresumidasenlasiguiente proposicin.Paraenunciarlas necesitamosrecordarladefinicindefuncinperidica,asaber,unafuncin j:CCsellamaperidica,siexisteUnWEC(llamado periodo)tal quef(z +w) = f(z) paratodazEC. Proposicin 1.3.2 (i)ez+w= ezew paratodaz,wEC. (ii)eznuncaesO. (iii)Sixesreal,entoncesex>1cuandox>O, y ex r lneas paralelas al eje real son transformadas en hiprbolas. 27.Demuestre que las n races n-simas de la unidadson1 ,w,w 2,w 3, , wn -1 ,donde w= e2!iln. 28.Demuestrequelasi dentidadestri gonomtricaspuedendeducirsesisesuponeque eHx1+x2) = eix' e ix2. 29.Demuestre que sen z =Osi z = k, k =O, 1 ,2,. . . . 30.Demuestre que el seno yel coseno son peridicas con periodo mnimo 21, esto es, que a)sen (z +21) = sen z para toda z. b)cos (z +21) = cos z para toda z. e)sen (z +r)= sen z para toda z, implica que r=21n rara algn entero n. d)cos (z +r) = cos z para todo z implica que r= 21n para algn entero n. 31.Encuentre el mximo de leos zl en el cuadrado O : Re z : 21, O : Im z : 21. 32.Demuestre. que el log z = O si z = l ,usando la rama con -1 < arg z : 1. 33.Calculenumricamente,hasta dos cifrassignificativas,losiguiente: e32 +6 1 i,log ( 1 .2 - 3. 0i), sen (8. 1 i - 3.2). 3.Demuestre que sen z mapea la banda -1/2 < Re z < 12sobre C\{z 1Im z = Oy!Re zl I j. 35.Di scuta la funcin inversa sen- 1z, cos-1z.Por ejemplo, esel sen z unoa uno en O : Re z < 21? 1.4.FUNCIONESCONTINUAS Enestaseccinyenlasiguiente,sernanalizadaslasnocionesdecontinuidad ydiferenciabilidad para funciones con valores complejos deunavariablecompleja. Losresultadossonmuysimilaresaaquellosaprendidosen el clculodefunciones devariablesreales.Estasseccionessededicarnprincipalmentealateorabsica. Esta teora seraplicada alasfunciones elementalesen laseccin1 .6. DadoqueeesR2 conlaestructuraadicionaldelamultiplicacincompleja,variosconceptosgeomtricospuedensertrasladadosdeR2 alanotacincompleja.Esto ya hasidohecho para elvalor absoluto,l zl , el cual es igualala norma olongitud dezconsideradocomounvectorenR2.Msan,muyprontoelestudianteser capazdeusarsusconocimientosdelclculo defuncionesdedosvariablesenelestudio de funciones de una variable compleja. Conjuntos abiertos Pmeroesneesario pder dispner dela nocindeun conjuntoabierto.UnconjuntoAee=R2 esabiero,cuandoparacadapuntoz0 enA,existeunnmero 54CAP.1 .FUNCIONES ANAlTICAS realE > O talquez L A siemprequelz - z01 < E (vasefgura1 .4. 1).NotequeelvalordeEdependedez0, conformez0seacercaala"orilla"deA,Esehacemspequea.Intuitivamente,unconjuntoesabiertosinocontieneaningunodesuspuntos "frontera"u"orilla". y Figura1 .4.1 .Unconjunto abierto. Paraunnmeror > O,la r-vecindd or-discoentornoaunpuntoz0 ene,se defnecomoelconjuntoD(z0; r)={ z E etalquelz - z01 O,eldisco A = z L etalque lz - w01 O,exi steuna 01 > Otalque lh(w) - h(a)l< E cuando lw al Otalque1/(z)- al< O 1cuandoOO.Entoncesz0 esun elementodelconjuntoabierto - 1 (D(f( z0);E)).Enconsecuenci a existeunao>O con D(z0;O)e-I (D(f( z0);E)).Estonosdiceprecisamente quelf ( z) -f(z0)1 O,yel segmentodelnea-1 y l , x = O.Esteconjunto es conexoperonoportrayectorias. 1 . 4. FLNC| CMLS CCMT| MLAS 63 Debidoalaimportanciadelosconjuntosabiertosy conexos,stosse. designan fecuentementemedianteuntrmino especial.Auncuando suusonoes completamente estndar enla bibliografa,laspalabrasreginy dominiose usanfrecuentemente.Enestetexto,estostrminossernusadoscomosinnimosdeunsubconjunto abiertoy conexodeL.Ellector debetener cuidadoy debechecar elsignificadode estaspalabrascuando las encuentreenotrostextos. Lanocindeconjuntosconexosserusadapornosotrosenvariasocasiones. Una observacin es queunafuncin continua nopuede separarunconjunto conexo. Proposicin.4.0. Sif es una funcin continua defnidaen un conjunto conexoC, entonces el conjuntoimagenf(C)tambin es conexo. Demostracin.Si Uy Vsonconjuntosabi ertosquedesconectana /( C), entoncesj- 1 ( U)y- 1 ( V)sonconjuntosabiertosquedesconectanaC.Tenga cuidado,estaproposicin trabaja enladireccinopuestaaaquellaacerca deconjuntosabiertosy cerrados. Parafuncionescontinuas,laimageninversade conjuntosabiertosesabiertay laimageninversadeconjuntoscerradosescerrada. Peroesparalasimgenesdirectasparalasquesegarantizalaconectividady no para lasimgenesinversasdeconjuntosconexos.(Podrapensar enalgnejemplo.) La misma situacinse presentarconla clase deconjuntosestudiadosenla siguiente subseccin,los conjuntoscompactos. Conjuntos compactos Lasiguienteclasedeconjuntosespecialesquequeremosintroducir esla delos conjuntoscompactos.stosresultarnseraquellossubconj untos deL queson acotadosen elsentidoqueexisteunnmero talque|@| 5paratoda @ eny que soncerrados.Unadelasagradablespropiedadesdeestossubconjuntosesquetoda sucesindepuntosen elconjunto,debetenerunasubsucesin la cualconverja a algn punto en el conjunto.Porejemplo,la sucesin1 ,_, -, -, ,-, -, -, depuntos 2 2 3 3 4 4 5 5 en] 0,1 [tienelasubsucesin1, `, -, , la cualconverge alpunto, quenoesten 23 elintervaloabierto]0,1 [,peroesteneli ntervalocerrado[0,1 ] .Ntesequeenla propiedad pretendida,no se asegura quelasucesinmisma converja.Todoloque se pretendeesquealgunassubsucesioneslohagan;elejemplodemuestraqueestoes necesario. Como sucedefrecuentemente enmatemticas,elestudioconsistede trespartes: (i)Unacaracterizacinfcilmentereconocible:cerradoy acotado. (ii)Unapropiedadquequeremos:laexistenciadesubsucesionesconvergentes. (iii)UnadefnicintcniCa,tilendemostracionesy problemas. En elcaso en cuestin,ladefnicintcnica involucrala relacinentrecompacidady conjuntosabiertos.UnacoleccindeconjuntosabiertosL_ paraaenalgn conjuntodendices esl lamadaunacubierta(ounacubiertaabierta)deun 64CAP.1 .FUNCI ONES ANALTICAS conjuntoK, si K est contenida ensu unin: KeuUo:Por ejemplo,la coleccin ae .de todoslosdiscosabiertos de radio2 es una cubierta abierta de e:u_ =D(z; 2) 'C eUzeC D(z; 2) Podraser,comoaqu,queelprocesoderecubrimientohayasidoexcesivo,al usar ms conjuntos de los necesarios.En ese caso, pdramosusar slo algunos de los conjuntos yhablar de una subcubierta,pr ejemplo,e eu me D(n+mi;2), donde n.z Z denota al conjunto de enteros. Defnicin1.4.17.UnconjuntoKescompactositodacubiertaabierta deKtiene unasubcubiertafinita. Estoes, siU aescualquiercoleccindeconj untosabi ertoscuyauni n contieneaK,entoncesexiste una subcoleccinfinitaUo.Uo,. . . ,Uotal que ,2l Keua, uUa2 u uua. Proposicin1.4.18.LssiguientescondicionessonequivalentesparaunsubconjuntoK dee (o de R): (i)K es cerrado y acotado. (ii)Todasucesinde puntosenK tieneunasubsucesinqueconverge aalgn puntoenK.(iii)K es compacto. Estaproposicin requiereunestudiomsprofundodelaspropiedadesde completezdelos nmeroscomplejosdelqueesnecesario para llegar hasta aqu,porlo quese omitela demostracin. sta puedeencontrarse enla mayora delos textos de clculo avanzado o anlisis (tal como Elemental}'Classical Analysis,de J. Marsden, NuevaYork,W.H.FreemanandCo.,1 974).Esfcilverporque(i)esnecesaria para (ii) y(iii). SiK no es acotado,podemos escoger z 1 en Kysucesivamente elegir z2 conlz21 >l z 1 1+1y,engeneral,zn conl znl>l z n _ 1 1 + l .Estodaunasucesin que no contiene una subsucesin convergente. Los discos abiertos D(O; n ),n=1 ,2,3,. . .seran una cubierta abierta si n ninguna subcubierta fi nita. SiK esunconjuntoene quenoescerrado,entoncesexisteunpuntowen e\K yunasucesinz l'z2,. . .depuntosenKqueconvergeaw.Puestoquela sucesinconverge,weselnico posible 1mite de una subsucesin,por lo tanto, ningunasubsucesinpuedeconvergeraunpuntodeK.Losconjuntos\z talque lz - wl >1 /nj paran1,2, 3,. . . formanuna cubiertaabiertadeK sinninguna subcubierta. La utilidadde la definicin tcnica1 .4. 1 7 se ilustra enJos siguientes resultados. Proposicin1.4.19.SiKesunconjuntocompactoy f esuna funcincontinua defnidaenK,entonceselconjuntoimagenf(K) tambines compacto. 1 . 4.FUNCIONESCONTINUAS65 Demostracin.SiUaesuna cubiertaabiertadef( K,entonces j- 1 ( UJforma una cubiertaabierta de K.La seleccin de unasubcubiertafnitanos da. por lo tantof(.eu UUUu ak .1.4.20.Teoremadelvalorextremo.SiKesunconjuntocompacto yf:KRes continua,entoncesf alcanzasus valoresmimo y mnimo,y ambos son finitos. Demostracin.Laimagen f( K)esuncompacto,porendecerradoyacotado. Puestoqueesacotado,losnmeros M = sup \J(z)1zEKJ ym =inf \J(z)1zEKJ son fnitos. Ya quef(K)es cerrado,myM estn incluidos enf(K). Otrailustracindelusodelacompacidadestdadaporelsiguientelema,el cualestablecequel a distanciadeunconjuntocompactoaunconjuntocerradoes positiva. Esto es, debhaber un espacio entrelos dos conjuntos. Lemadeladistancia.1.4.21. SupongaqueKescompacto,Cescerrdo yKn C=0.Entonces,ladistanciad(K,C) deKaC esmayor queO.Estoes,existe unnmerop> Otal quelz- wl>psiempre ycuandozest enkywest enC.Demostracin.Elcomplemento de C, U =C\C,es un abierto,yKeU,porlo que cada punto zen K esel centro dealgndisco D(z;p(z))eU.Lfamilia de discos mspequeosD(z;p(z)/2)tambincubreaKy,porlacompacidad,existeunacoleccinfnita de ellos, que denotamos pr Dk =D(zk;p(zk)/2),k =1 ,2,3,. . . ,N,que cubre a K (vase fgura1 .4.6).Seanpk = p(zk) 2yp=min (p 1'p2, ,p n).Si zest enK ywest enC,entonceszest enDk paraalguna k,ypr endel z - zkl p(zk)= 2pk. As que l z - wl> p k>p. Figura1 .4.6.Ladistanciaentreunconj untocerradoCyunconjuntocompactoK es mayorquecero. 66 Continuidad uniforme Recurdesequeunafuncinsedicequeescontinuaenunconjunto sies continuaencadapuntode . ste esunejemplode loquesellamauna propiedd local.stasedefineentrminosdelcomportamientodeuna funcinenocercade cada punto,j puededeterminarsepara cada punto mirandosolamentecercadeste j noalconjuntoensutotalidad.Estoestencontrasteconlas propiedadesglobales deunafuncin, lascuales depnden del comportamientoen todo elconjunto. Unejemplodeunapropiedadglobaleseldeseracotada.Decirqueunafuncin fesacotadaporalgnnmero enunconjunto , esuna afrmacinquedependedelatotalidaddelconjunto.Silafuncin escontinua es,ciertamente,acotada cercadecadapunto,peroestonodiraautomticamentequeesacotadaentodo elconjunto.Porejemplo,lafuncin f(x)=llx escontinua en eli ntervaloabierto ]0,1 [, perociertamenteallnoesacotada.Hemosvistoquesi fescontinuaenun conjunto compacto ,entoncesesacotadaen j que,en efecto,las cotasson alcanzadas.Aslacompacidadde nospermitellevarlaprpiedadlocaldeseracotada cercadecadapunto,dadaporlacontinuidad,atodoelconjunto.Confrecuencia,la compacidad puedeserusada parallevar una propiedadloal aunaglobal.siguiente esunaversinglobaldela continuidad. Defnicin 1.4.22. Unafuncinf:A C (o R) es unioremente continua en A, si par cualquier eleccin de E > O existe o > O tal que | f(s) -f(t)l< Esiempre que s jtestnen A j ls- ti < o. Ntesequeladiferenciaentresta ladefinicinordinariadecontinuidad,es queahoralaeleccindeo puedehacersedemodoquelamismaotabajeencualquier partedelconjunto A.Obviamente,lasfuncionesuniformementecontinuasson continuas.Enuncompacto,loopuestotambinesverdad. Prpoicin1.4.23.Una funcincontinuaenunconjuntocompactoesuniormemente continua. Demotrcin.Supngaseque fesunafuncincontinuaenelconjuntocompacto sea e >O. Paracada apuntot en, existeunnmeroo(t)talquel f(s) f(t)l =z en todo A.Paralaunicidad;seanF yG funcionesanalticas en A yseaneF(z)=z yeG=z. EntonceseF- G(z)=1,yas,enunpuntofjoz0,F(z0)- G(z0) =21niparaalgn enteron.PeroF'(z) =1/z =G'(z),porlotanto,tenemosd(F- G)ldz = O,delocual concluimos queF-G = 21ni en todo A. EscribimosF(z) =logz yllamamosataleleccindeFunarmadeIogen A. Claramente,esteprocedimientogeneralizaelprocedimientodescritoenlaseccin 1. 6 yobtenemosellogusualcomosedefnienesaseccin,siA esC menoselO yelejerealnegativo.NtesequeesteconjuntoAessimplementeconexo.Sin embargo,elconjuntoAenestaproposicin,puedesermscomplicado,comose describeen la figura2. 2.7. y Figura2.2.7.Unposibledominioparalafuncinlog. Ejemplos resueltos 2.2.7.Evale las siguientes integrales: a)f1ez dz, donde y esel permetrodel cuadrad unitario. b)f111z2 dz,dond y esel circulo unitario. e)[yllz dz, donde y es el circulo 3 +e9, o e 21. d)f1z2 dz, donde y es el segmento que une 1+icon 2. Solucin a)e es entera:as,por el teorema de Cauchy, f1e' dz =O, yaque y es unacurva cerradasimple.Alterativamente,ezesladerivadadeez,ypuestoquey escerrada, pemos aplicar elteorema de la independenciaconrespeto delatryetoria (2.1.9). b)llz2 estdefinidayesanalticaenc\(oj yesladerivadade-1/z, queestdefinida yesanalticaenC\!0]. Porelterema(2.1.9)yelhechoqueelcrculounitario estenC\!O], tenemosJ11/z2 dz =O.Alterativamente,podemosusarelejemplo rsuelto 2.1.12,para nuestrasolucin. e)Elcrculoy= 3 +ei9, O e 21,nopasaporel O niloincluyeensuinterior.En consecuencia,1/zesanalticasobreyyenelinteriordey,asporelteoremade Cauchy,f1llz d =O.Unasolucinalterativa,peromenosdirecta,eslasiguiente. 2.2.VERSININTUITIVA135 Largin!x+ iy1x >Ojessimplementeconexayllz esanalticaall.Porlo tanto,porlaproposicin2.2.6,1/zesladervadadealgunafuncinanalticaF(z) (unadelasramasdel logz)yas,ya queyescerrada,tenemos,porelteoremade la independenciaconrespectodelatrayetoria,quefyllz dz =O. d) z2 esenterayesladerivadade z3/3,queestambinentera.Porelteorema 2.1.9, z2 dz = _1 z3 (2)3( 1 + )3 102i y 3 l+i =3--3 -3-3 Observacin.Ena)yene) el primermtodousaelteoremadeCauchy;elmtodo alterativosebasaenelhechomselementaldequesif(z)esladerivadadeotra funcinanaltica,entonceslaintegralde f alrededordeuncontornocerrado,esO (vaseelteoremadeindependenciaconrespectodelatrayectoria).Porotrolado, tenemoselteoremadelaantiderivada,queestablecequecualquierfuncinanaltica defnidaenunareginsimplementeconexaesladerivadadeotrafuncinanaltica. SelerecuerdaalestudiantequerequerimosdelteoremadeCauchyparapoder demostrarelteoremadelaantiderivada. 2.2.8.Evale f-z +1 / zf donde yeslatrayectoria de l lnea recta de 1 a i. Primersolucin.Unaaproximacindirectaesparametrizarlatrayectoriacomoz= y(t)=(1 -t) + itparaO s t s1,meterestodentrodelaintegralycalcularla.No llevaremosacaboesto. Sgundsolucin.Otraaprximacinentqueelintegrdo esanalticoencualquier Jugarentrey yelarcoy0delcrculo unitarioquevade1 ai;vasela fgura2.2.8.As,las integralessonlasmismasdbidoalapropsicin2.2.4.Lasegundatryectoriaseparametrizacomoz =y0(t) =e;' p os t s 1 /2.All lasintegralesrsultan,conf( z) =(z+1/z)2, ,!= != 112(ei' +e -itfei1 dt = 4i(cos2t)(cost+ i sent) dt YYo O=- 4cos2t sentdt + 4i (1-sen2t)(cost)dt = cos3 t+ 4i(sent--sen3 t) [12 -4+8i =--- --3 y Figura2.2.8.Dostrayectoriasde1ai. 136CAP.2.TEOREMADECAUCHY Tercersolucin.Elintegrandotieneuna antiderivada:(z+l /z)2 z2+2+l /z2 (dldz)(z3/3+2z -z-1 ),queesvlida encualquierlugaralolargodelatrayectoria, por tanto -4+8i * *3 2.2.9.Useelteoremadedeformacinparaargumentarinfonnalmentequesiyesuna curvacerrada simple(no necesariamente un circulo)quecontieneal O, entonces f -1 dz 2xi yz Solucin.Elinterior dey contienealO.Porlotanto,podemosencontrarr> O tal queel crcul o y deradiorycentradoen O, estenteramente enelinterior dey. Nuestraintuicindebedecimosquepodemosdeformary eny sinpasaratravsdel O (estoes,permaneciendoenlaregindeanaliticidad dellz,C\jO]; vaselafigura 2. 2.9).Porlotanto,elteoremadedeformacinylosclculosenelejemploresuelto 2. 1 . 1 2muestranque f -1 dz ~I -1 dz 2xi y z'z Figura2.2.9.Deformaci n dey en elcrculo y. y 2.2. 1 O.Bosquejeunadmostrcindeestaextensindelteoremadedfonnacin.Suponga queyl'. . .,'nsacurvascerradassimples y queyesunacurvacerradasimple conf analticaenlareginentre y y y1 , ,Yn (vasela figur2.2. 10).Entonces I n f f= lf yk =1yk 1 37 Figura2.2.1 0.Teoremadedeformacin generalizado. Solucin.Di buje curvas yl 'y2, @Yn queuneny cony1 , g Ynrespectivamente, comosemuestraenlafgura2.2. 1 1 (a).Denteseporpalacurvadibujadaenl a figura2.2. 1 1 (b). Elinteriordepes una regin de analiticidadde fyas f =O, perpconsistedey,-y1,

y2 @ -Yn'y cada Y; recorridadosvecesendirecciones opuestasy,por tanto,tscontribucionesdecadaunadeestasltimasporcionesse cancelan.As a= ). ).. )-)- ) -Y-YnY; 1Y;comosepeda. Figura2. 2.1 1 . Trayectoriausadaparademostrarelteoremadedeformacingeneralizado. 2. 2. 1 1 .Seaf(z)analticaenunareginsimplementeconexaA,exceptoque posiblemente noesanalica enZ EA.Suponga,sinembargo,queel valor absolutode f est acotadocercadez0.Muestre que,paracualquier curvacerradsimpley quecontiene a z0, |=O. Solucin.Seaf>O yseayE elcrculoderadiofyconcentroenz0.Por elteorema de deformacin,)=|,Sea lj(z)l: M cercadeZo- As j(z)dz : 2nf '.138CAP.2.TEOREMADE CAUCHY Ejerccos Por tanto, para cualquier E >O, f(z) dz:2rEM HaciendoE O, concluimosque f1 f = O. l.Evale las siguientes i ntegrales: a)f1 (z3 +3) dz,donde y esla mitadsuperior del crculo unitario. b)f1 (z3 +3)dz, donde y esel crculo unitario. e)f1 e11'dz, donde y esun crculo de radio 3centrado en 5i+l .dJ1cos [3 +J / (z - 3)] dz, donde yes el cuadrado unitario con esquinas en 0,1 , 1+i e i. 2.Sea y una curva cerradasimple que contienealO. Argumentei nformalmente que ' -dz = Oyz 3.Seafentera.Evale para k un entero,k 2l .4.Discutala validez delafrmulalog z= logr + i8 para el log enlaregin Aque se muestra enlafgura2.2.7. 5.Paraqu curvas cerradassimples y sesatisface lo siguiente: , | 6.Evale fy, R(4).Si cada uno de ellos es orientado en la direccincontraria al sentido de las agujas delreloj, entoncesla cancelacin de los lados comunes nos da 3Tambinsehandadootrasdemostraciones;porejemplo,Pringshei m( Transactionsof tf1e AmericanMathematical Society,Vol.2,1902)usa tringulos enlugar de rectngulos,locualtienealgunasventajas.LdemostracinoriginaldeCauchyesmsparecidaalaquesedio enlaseccinanterior (ltena implcitamnteelcontenidodelteorma deGrenensudemostracin;dehcho,Grnnoformul elteoremadeGreencomotal,hastacerca de1 830,mientrasqueelteoremadeCauchyestdado en Mmoiresurlesintgralesdfiniesprisesntredeslimitesimaginaires,queaparecien1 825). Una demostracin deDixonW da enS.Lang,ComplexVariables,NuevaYork,Spring-Verlag, 2a. ed.,1 985, yunademostracinbasadaenhomologassedaenL.Ahl fors,ComplexAnalysis,NuevaYork, McGraw-Hill, 2a.ed.,1 96. 1 41 I t= Jt+ Jt+ Jt+ J f RR( l )R(2)R(3) R(4) Puesto que paraal menosal gunodel osrectngul os, debemostenerque lfR( O, existeunnmeroo > Otalque /(z) -f(w0) /'() --- - w0< eZ - W0 siemprequel z - w01< o.Siescogemosnsuficientemente grandedemodoque A/n sea menor que o, entonces paratodopuntozdentrodelrectnguloRn.Msan,porelteoremadeindependencia con respecto delatrayectoria (2. 1 .9), I dz= O y jR, Yaque z esuna antiderivadade1 ,(z - w0)2/2esuna antiderivada de(z - w0),y latrayectoria Rn escerrada.As, = 4n L f(z) dz -f(w0)L ldz -f'(w0)t (z - w0) dz nnn :4n J Rn [ f(z) -f(w0) - (z -w0)/' (w0)]dz ::4n r f(z) -j(w0) - (z - Wo)j' (Wo)i dzl )Rn :; 4n ( ) permetro(Rn) : e Puestoqueestoesvlidoparatodae> O,debemostenerqueIJR JI=Oypor tantoJR f =O, como se deseaba. T 2. 3. VERSINPRECISA1 43 Podemosahorallevaradelanteelsegundo pasodela demostracindelteorema deCauchy-Goursat paraun disco (2. 3. 1 ).Puestoquela funcin,J, esanaltica en el discoD=D(z.;p },elresultadoqueseacabademostrarparaunrectngulo, muestraquelaintegralde fes alolargodecualquierrectnguloenD. Estoes suficiente para construirunaantideri vadadeJen forma muy similara como sehizo enlademostracindelteoremadela independenciaconrespectodelatrayectoria (2. 1 .9),yestablecer as la parte(i)delteorema. NuevamentedefniremoslaantiderivadaF(z)comounaintegralde z a z0. Sin embargo,nosabemosansitalintegrales i ndependientedelatrayectoria.Ensu lugarespecificaremosuna eleccinparticular de la trayectoriayusaremosla nueva i nformacindisponible-laanaliticidadde f ylageometradelasi tuacin, conjuntamente conelcaso rectangular delteoremade Cauchy-paramostrar que obtenemosuna antiderivada.Durantela duracin de esta demostracinusaremosla notacin((a,b))paradenotarlatrayectoriapoligonalquevadeunpuntoaaun puntobqueconstadedossegmentos,primerounoparaleloaleje xydespusuno paralelo aleje j, comoenla fgura 2.3.3. Si el punto b est en eldisco D(a; o) centrado en a, entoncesla trayectoria ((a,b)) est contenida en ese disco. As,para z ED, podemos definirlafuncin F(z) como F(z) = LZ. Z))/() d JFiguraZ... L I|yCCIO| ((, b)). Queremos mostrar que F' (z) = f(z).Para ello necesitamos mostrar que l m = F(w) - F(z) f(z) w -z w - zX Fijando z ED yE > , usamoselhechodequeD esabiertoy fescontinua en D para elegir o > suficientemente pequea, de modoque D(z; o) LD y 1/(z) -/()1 in a:bs casos, l ml an+l 1=1

.n =ln-oan pero la primeraserie diverge y la segunda converge. (v)Supnga que lm la/1n = r l. Escojar' tal quer r' 1 y N tal quen N n-o 3.1.SERI ESCONVERGENTES217 implicaquel a/n < r'; enotraspalabras,quelan l< (r')n.Laseriela11 + la21 laN_11 + (r')N (r')N+

convergeala11 + la21 + OlaN_11 (r')N/(1 -r'), yas,por (ii),Lak converge.SiImla 11n r >1,k; - 'escjase1< r' r'o,en otras Opalabras,quel aJ> ( r )n. Por tanto, l ml a 1 o.Por consiguiente1ak di-@n k=l verge. Para mostrar que el criterio falla cuando lml11n 1,usamosestos n l mites del clculo: 1 1ln lm" 1 n-Xn y 1

lm2 1 n- n (tome logaritmos yusela regla de L'Hopital para mostrar que (logx)lx O Oconformex o).Pero1lln diverge y1lln2 converge. n=ln=l CriteriodeCauchy 3.1.5 (i)Unasucesin f0 (z)converge uniormemente en Asi par cualquier E> O, existeuna Ntal que M Nimplica que lf0 (z) - f0 (z)l O,existe k=l una Ntal que M Nimplica nJl k=n+l para tod zL Ay p 1,2, . . .Demostracin (i)Primero demostraremosel"si".Seal (z) lmln (z), el cual existe porque -para cada z.ln(z) es una sucesin de Cauchy.Queremos mostrar queln 1 uniformemente en A. Dada e> O, escogemos N talqueIJ.(z) -J + /z)l< e/2, paran N y p l .Elprmer paso es mostrar que para cualquier z y cualquier n N, lln (z) -l(z)l< e.Paa zL A, escjasep sufcientementegrande,tal quelln + /z) -l(z)l< e/2,lo cualesposibleporlaconvergenciapuntual. Entonces, por la desigualdaddel tringulo,lln (z) -l(z) 1 $lln(z) -In + p(z)l + !In+ /z) -l (z)l < E/ e/2= e. (Ntese que aun cuando p depnde de {,N no.) Recprocamente,si In 1 uniformemente,dada e >Oescogemos Ntal quen N implica lln ({) -l (z)l< E/2paratodaz.Ya quen + p N, lln (z)In+ P(z)l $I J. (z) -l (z)l +ll(z) -In + /z)l< E/2 + E/2= e. (ii)Aplicando (i) alas sumas parciales, deducimos (ii). 218CAP.3.REPRESENTACINENSERIES Proposicin 3.1.6.Silas funcionesf0 soncontinuasenA,yf0 f uniformemente, entoncesfes continua.Similarmente,silas funcionesgk(z) son continuas yg(z)O1gk(z) convergeuniormementeen A,entonces ges continuaen A y=1Demostracin.Essuficientecondemostrarlaafirmacinparasucesiones (porqu?).Queremosmostrarquepara Z L A,dadae>O,existeunao >Otal quel z -.l< o implica que l f(z)-f(.)l < e.Escjase N tal que l fN(z)-f(z)l< e/3 para toda zL A.Puesto quefN escontinua, existeuna o> O tal que l fN(z) -fN(Z)l< e/3silz -z01 < o.As,l f(z)-f(.)l l f(z)-fN(z)l " l fN(z)-fN(z0)1 " l fN(z0) -f(z0)1 < e/3" e/3" e/3 L. Notequeenelltimopaso,necesitamosuna N queseaindependientede z para concluir que tantol fN(z)-f(z)l O,entonceslfn(x)-j(x)l=larctan( nx)- n/21.Sabemosquearctan (nx) esunafuncincrecientedexcuyolmitees72conformex ~. Porlotanto, larctan(n) n/21* E siyslosinx>tan(n/2 E).Paracualquiervalorparticular dex,funcionarnvalorsdensuficientementegrandes,peroaltomar xcercadelO, podemos forzarala H requeridaasermuygrande.As,tenemosconvergenciapero noconvergenciauniforme.(Discusionessimilaresseaplicanparaelcasox0.) Unopuedeverindirectamentequelaconvergencianodebeseruniforme.Siesto fuer, entonces lafuncin lmitesera continua,porlaproposicin 3.1.6, peroestono esas. y --X 5 5 Fiura 3.1.8.y= arctan(nx)paran de1a5. Lossiguientestresejemplosdesarrollanelimportantecasoespecialdelasseriesgeomtricas,ymuestrancmolasherramientasdeestasecinpuedenaplicarseparaobtener algunosresultadosinteresantes.Eldesarrollodeestosejemplosestpicodelasseriesdepotenciasms generales,estudiadasen la siguienteseccin. 0 3.1.12.Muestre que laserie znconverge eneldiscounitario abiertoD=D(O;l ) alafun-n=Ucin analticaf(z) =1/(1z).Demuestreque la convergencies unifore y absoluta encualquierdiscocerrdoDr ={ ztalquelzl r}conr* l .Solucin.Siz L D,entonceszL D, siempreque lzlr* l .As,la convergenciaen zsesiguedelsegundoenunciado.Parademostrarlo,suponga,quezestenD r' entonces1z1 rn.Ya que rnconverge(proposicin 3.1.13 (i)), se aplica elcriterio MdeWeierstrass,conMn =rnynuestraserieconvergeuniformeyabsolutamente enD.Noshemosinteradoenunodelosinconvenientesdeherramientastales r comoelcriterioMdeWeierstrss:hemosmostradoquelaserieconvergeperono hemosidentificadoellmite.Parahaceresto,noteque 1zn+ =(1 -z)(l z z2 * z) asque 220CAP.3.REPRESENTACINENSERIES 1-zk=O nlzl"+ lr"+ 1 Lzk=-- --11 -zll-r Yaquer O,lamisma8funcionaparatodaslasfunciones enlafamilia ',yentodo elconjunto B. Demuestre:Si fl'f2,f3, . .. esunasucesindefuncionesanalticasenunareginG, queesunifonnementeacotadenlosdiscoscerradosdeG,entonces,esta familia defunciones esuniformementeequicontinua en toddiscocerradode G. Solucin.SeaBundiscocerradoenG.Porelltimoejemplo,existeunnmero M(B)tal que lf(z)lM(B) para cadanyparatoda z enB.Sea y una lnea recta de ratenB.Yaque lalnearectaestcontenidaenB,tenemoslf_(/) f_(t)l1 fyf(z) dzlf' lf(z)l ldlM(B) ll-1.As,dadaE>O,podemossatisfacerla definicindeequicontinuidaduniformeen B haciendo 8 eiM(B). 224 Ejercicios l.Convergenlassiguientessucesiones?SiJohacen,culessonsuslmites? n! a)z=( - I)n +--n n + l b)z= n 2.Seaeunaconstantecompleja.SeanZ =O y z1= eydefinaunasucesinhaciendo zn +1 = z+c. a)Muestrequesilcl>2,entonceslmzn =o.(Sugerencia:Hagar= lcl- 1yusein-n-" duccinparamostrarquelz)>lclr " -lparatodan.) b)Muestrequesilcl: 2yexisteunvalordekconlzkl>2,entonceslmz= o. no n (Sugerencia:Hagar = lzkl- 1,ymuestrequelzk+PI;: lzklrPparatoda p;: O.) Observacin:Aquellosvaloresdeeparaloscualeslasucesinzn'definidaenest problema,permaneceacotada,formanunconjuntomuyinteresanteconvarios patrones agradables,llamadoelconjuntodeMandelbrot.VaseA.K.Dewdney,"Computer Recreations",Seientiic American,agosto de1985.Vasetambinla figura6.S.B.l. 3.Culesellmitedelasucesinf/x)= (1+x)11", x;: O?Convergeuniformemente? " 4.a)Muestreque la serie:l/(n2 + z) convergeenel conjuntoC\{z =ni 1n esun entero}. n=O b)Muestrequelaconvergenciaesuniformeyabsolutaencualquierdiscocerradocontenidoenestaregin. 5.a) Muestrequelasucesindefuncionesfn(z) = z"convergeuniformementea lafuncin Of(z)= O encualquier disco cerrado D, = { ztalquelzl: r}conr1yunnmero Rtalesquelf(z)l ::MlziP siempreque z eHylzl ;:R. Entonces j f(x)dx= 21i L ( residuodef en H} (ii)Si lascondicionesde(i) se satisfacen,conH remplazad por el semiplano inferior L= (z 1 Imz :o). entonces. f(x)dx= -21iL (residuo def enL} (iii)Ambas frmulassesatisfacensf=PIQ,dondePyQsonpolinomios.el grado de Qes mayor que el de P en al menos 2,y Q no tiene ceros reales. Demostracin.(i )Sear >Ryconsiderel acurvaYr mostradaenlafgura 4.3. l (i).Escojar losuficientementegrandetalquetodolos polosdejenelsemiplano superior, estn enYrPor elteorema delresiduo, f = 21i L (residuos de f enelsemi planosuperior} ',. La i ntegralsobre Y, serompeenuna porci nrecta yenuna curva.comosigue: y/= r f(x) dx+f(rei6)ir9 de yy -r r r (i)(ii) Figura4.3.1 .Lacura y,. 290CAP. 4.CLCULODE RESIDUOS Supngaquepodemosdemostrarqueconformer o,elltimotrminose aproximaa cero.Entonces,tendramos Jmf rf(x)d =21iL \residuosde f enelsemi planosuperior! ro - Delclculo,sabemosque f(x)esintegrablecomounafuncinde xeR(porque fes continuaenR ypor la condicinlf(z)l Mll xi P paralxl R);porlotanto, As,slorestademostrarque Pero l flee1 M1M f(re')rie'd 1 -r = ---o rPrP-1 lo cualseaproximaa ceroconformer o,yaque p>l .Estoestablecela parte(i). Lparte(ii)sesiguedeunamanerasimilarusandolacurvamostradaenlafigura 4.3. 1 (ii).Elsignomenosouredebidoaquelacurvaesrecorridaenladireccin contrria alsentidodelas manecillasdelrloj. Finalmente,si f = PIQ,vamosaestablecerquelf(z)l M/lzl2 paralzlgrandey completaraslademostracin.SiPesdegradonyQesdegradon+p,p2, sabemosqueexisteuna M1 >0 talqueIP(z)l M1lzln para l zl1yexisteunaM2 > OtalqueI Q(z)lM2lzl n +PsilzlRparaalgunaR>1(vaselademostracindel teoremafundamentaldellgebra(3.4.9)).As paralzl R,yaque p 2.Porlotanto,podemos hacer M= M 1M2 eneste caso . Ejemplo 4.3.2.Evale dx_ x4 +1 Solucin.Aqu P(x) =1yQ(x)=x4 +1 ,as quelascondicionesdelaproposicin4.3. 1sonsatisfechas.LospolosdePIQestnlocalizadosenlascuatroraces de-1,asabr, exi/4, e3xil4, e5xil4,e1xil4 Estospolossonsimplesynicamentelos 4. 3. EVALUACINDEINTEGRALESDEFINIDAS291 dosprimerosestnenelsemiplanosuperior.Elresiduoencualquieradeestos puntos z0 es1/4z = -zJ4(vase la tabla 4. 1 . 1 .frmula 4)y. por lo tanto. = - i 1+ i - =--2 . As que la respuesta es (21i)(- i)/[= 1/, ,+ i) =- + Algunassimples verifcaciones, tal como el determinar que la respuesta deb ser real y positiva (porque1/(x+1 ) Oest en R). pueden a menudo detect errores de clculo bsicos. Nuestra integal d x 1 pudo haber sidoevaluada usando el mtodo de fracciones parciales. Sinembargo,posteriormente.en esta seccin,vamosa encontarintegrlesque puedenevaluarseusando residuos per paralas cualeselmtododefraccionesparciales (y, para elcaso.todas lastcnicaselementales de integacin) falla.T L prpsicin 4. 3. 1 no se aplica en algunos casos importantes.Una fuente obvia dedifcultad.esla posibilidaddesingularidadesenel ejereal.V amosaver brevemente.enlasubseccinsobreelvalorprincipaldeCauchy,comoestsituain puedesera menudosalvada.Unafuentesutilms deproblemas,esqueunafuncin que secomporta muy bien en eleje real podrnotener eldesarrollo rquerido por l a proposicin en cualesquiera de losdossemiplanos.Unimportante ejemplo de esto eslafncinnoral d prbabilidad 1 4f(x)= .C , 21 Elproblema conesta funcines queC~4no tiene elcomportamiento correcto en el lmite conforme se va a infnito. Enambas direcciones a lo largo del eje real sevaaOmsrpidoqueelrecprocodecualquierpolinomio.Sinembargo,alo largo dela lnea de 45. dondeargz=+7/4 o+31/4.suvalor absoluto es constante e igual a1y en ambas direcciones a lo largo del eje imaginario. crece ms rpido que cualquier plinomio.No obstante, poemosevaluar la integral. Propoicin 4.3.3(intgralgaussiana) f = e-x2 dx 292CAP.4.CLCULODERESIDUOS Esta frmula esimprtante en probabilidady en estadstica, yen otrasrasde la matemtica y aplicaciones.Nosla encontraremosotravez en el captulo7,donde veremosun mtodo para evaluarlausandola funcin gama. Quiz elmtodoms directo,utiliza una dobleintegral;vaseelejercicio21,captulo9 de J.Marsden,ElementarClassical Analysis,NuevaYork,W.H.FreemanandCo.,1974.Veremos unmtodo para evaluarlaindirectamente pormedio deresiduos,enlosejemplos resueltosalfinal de estaseccin,despusderelacionarla con otras dosi nteresantesintegrales.(Estemtooyalgunosotros, juntoconcomentarioshistricos,estn reunidosenD.MitrinovicyJ.Kek,Th CauchyMethod ofResidues(Dordrecht, The Netherlands:D.ReidelPubl.Co.,1984, pp.158-164.) Tansformadas deFourier Enseguida consideramosuna tnica para evaluar integrales de la forma ff (x) cos (rx) d y J:f(x)sen(rx) dx,lascuales son llamadaslstransfor;eno y cosenodeFourier de f.Si fesunfuncin defnida en eleje real para la cuallas integrales tienen sentido, las dos integrales precedentes estn relacionadas a la expresin F(r) |_f(x)e ~0Xdx lacualdefineunanuevafuncinllamadala trnsformaddeFourer def.Esde granimportancia eneuacionesdiferenciales(debidoalresultadodelejercicio24, entre otrasrazones), fsica terica, mecnica cuntica y en muchas otrasreasdela matemticayla ciencia,yhayunaampliabibliografaconcerienteaesto.(Existenposiblesvariacionesensudefnicin.Laintegralpuedesermultiplicadapor una constante opuede apareceren el expnente -21irxenvez de slo -ir.)Si r y f(x)son realesylastransformadasseno ycosenodeFouriersonlas partes reale imaginaria de la transformada de Fourier: |f(x) cos(rox)d = Re F(ro) |f(x)sen(rx) dx = -ImF(r) Sir esreal y f satisfacealgunas condiciones moderadas,stas pueden evaluarse usando la siguiente proposicin. Propoicin 4.3.4. Enla situacin(i)oen la situacin(ii) que siguen, laintegral J:ei rxf(x) dx existeenel sentidode quelmJoc eirxf(x)dxylm J0eirx f(x)dx C P C existen,y estn ddos por l frul correspondiente.Si f(x) esreal par xreal,en-tonces J:cos(rx)f(x)dx yJ:sen(rx) f(x)dx soniguales asu parterealeimaginariarespectivamente. 4. 3. EVALUACINDEI NTEGRALESDEFI NI DAS293 (i)r >O.Supongaquef esanalticaenunconjuntoabiertoquecontieneal semiplanosuperior H jz 1 Imz:o, exceptopor unnmero fnito desingularidadesaisladas,ningunadelascualesestenelejereal.Suponga tambinquelf(z)lOconformezoenH. (Estoes,supongaque para cadaE>OexisteunaRtalquelf(z)lOyxl ' x2,y1 sonescogidaslosuficientementegrandesparaquey contengatodoslospolosde f enel semi planosuperior.Porelteoremadelresiduo, J" eiw f(z) dz 21i I[residuosdef(z)ei enelsemiplanosuperior]. y . -x Figura4.3.2.lacurvay usadaparalademostracindelaproposici n4. 3.4. Estimemosahoralosvaloresabsolutosdelas tresintegrales /1 eiw(x2+ yi) f(x2+yi)i dy 294 /3 = Joer (-x, + yl f(-X + iy)i dy J1 como sigue. Sea E>O yescjase Rcomo en (i). Sea M1 = mx [ l f(x2 + iy)l tal queO : y :y1 )M2 = mx [ l f(x + iy1 )1 tal que -x1 : x ::x2} M3 = mx [ l f(-x1 + iy)l tal que O : y : y1 )Siy1 >x1 >Ry y1> x2 >R,entonces M1< e,M2 < e yM3 < e.Entonces MM e-rydy = 1- ( 1- e-ry,)::-1 (( Similarmente 1/31 ::M/0. Finalmente, Ya que r> O, pemos hacer a y1 1o sufcientemente grande paa que e-Y, (x1 +X) Oy O O y q> O,muestre q ue log (px )1 d x log (p) oq2+x22 qSo lucin.f(z)=[log(z)] /(q 2+ z2)esanalticaen elplanocon elej eim aginarionegat i vosuprimid o, si d efnimosuna ram a d ellogarit m o com o ...131 log(pe"') = logp + iR. Esto implicaque 1 O1 M' f(z) :-zlzl2 paralzl R '.SupongaqueN essufcientementegrandeparaquetodoslospuntosen e N satisfaganlzl R 1Entonces IJ eN 7(cot 7Z) [t(z)- ;o] dz 1 : El estudiantedebeverifcarque 1M'8(N+ T ) (N+ .)2 2(suplcot 7ZI) zO y g'(Z) >O.Queremos mostrar que f(z) = g(z)para toda { en A. Para hacer esto, defnase h en D como h(w)= g( f-1(w)) para w ED.Entonces h:DDy h(O)= g(f-1 (O)) = g(Z) = O. Por el lema de Schwarz (2.5.7), l h(w)llwlpara toda wED.Exactamente el 338CAP.5.MAPEOSCONFORMES mismoargumentoseaplicaah-1=fog-1 ,as quelh-1()1:11paratodaED. Con=h(w)estodal wl :; lh(w)l.Alcombinarestasdesigualdades,obtenemos lh(w)l=lwlparatodawED.EllemadeSchwarznosdiceahoraqueh(w)=cw paraunaconstantee,conlcl= l .As,cw=g( f -1 (w)).Conz= f-1 (w) obtenemos cfz) =g(z) para toda z EA.Enparticular,cf' (z0)=g' (z0).Yaque tantof' (z0)como g'(Z) son nmeros reales positivos,tambinlo es c. As,e =1y, por tanto, f(z)=g(z), como se quera. Figra 5. 1 .2.Paratransformar A enB,componemosh- 1conf La condicinj'(z0)> Oes equivalentea decir queag f'(Z) =u.Usandoelargumento precedente,uno puedemodifcarlaafrmacindeunicidaddetalmanera quef(Z)yargf' (Z)seespecifquen.Selepidealestudiantedemostrarestoenel ejercicio 7.Aquestotrohechotilquedebemosconoceracercadelosmapeosconformes.Sean AyBdosregiones(conexas)confronterasfr(A)yfr(B).Supongaque f: A f(A)esconforme.Sif(A)tiene fronterfr(B) ysi,par alguna z0 EA,tenemosf(z0)EB, entonces f(A)=B. En otras palabrs,pardeterinar la imagen deunmapeoconforme,solamentenecesitamosconsiderarlafronteryunpunto interior.Parademostrarestoargumentamoslosiguiente.PuestoqueBesabierto, B nf (B)=0. La cerradura de B es B u f (B),as que podemos descompner al plano enla uninajena C=Bufr (B) uext B,dondeext B esabierto.Ya que f'nunca se anula en A,elteorema delafncininversa muestra que f(A) esabierto.Por ende f (A) nf (f(A)) =0.Perofr ( f(A)) =f(B),as quefA) est contenida enla unin de los conjuntosabiertosajenos B y ext B. Puesto que fes continua en el conjunto conexo A,f(A)es conexo. Por lo tanto, f(A)eB o f (A)eext B.Como f(Z)EB,debmos tener quef(A)eB. Ya quef(A) es abierto,es abierto relativo de B. Finalmente. f(A)=.f(A) nB=[ f(A) nB]u[fr(B)nB] =[ f(A) nB]u[fr ( f(A)) nB] =[ f(A) ufr( f (A))]nB = el( f(A)) nB asquef (A)escerradorelativodeB.ComoBesconexo,f (A)=B(vasela proposicin1 .4. 1 3).5. 1 .TEORABSICADELOS MAPEOS CONFORMES339 Laconectividadsimple,esesencialen elteoremadelmapeode Riemann.Es fci lmostrar(vase elejemplo resuelto5. 1 . 7)que slounareginsimplemente conexa puedesermapeadabiyectivamentemedianteunmapeoanalticosobre . Un resultadorelacionadoque puededemostrase es quelosanillosO b. Encuentre un mapeo conformeque mandeala regin A ={ z talquelz - 11> 1ylz - 21 . Muestre que z - z1 z -z2 = adefneuncrculo yque Zpz2 sonpuntosinversosen el crculo(esto es,soncolineales con el centro _ylz1 -.l 1-.l p2, dondep es el radio del crculo). 7.Examinelaimagendelconjunto{ z EL;Imz O,O Re z 7/2}bajoelmapeo z sen z.considerando que es la compsicin delos mapos z eiz, z z - 1/z, z z/2i. 8.Seaf:ABun mapeo conforme,sea y una curva en A ysea y=f ` j. Muestre que l(') = , lf'(y(t))l ly'(t)l dt Si f preservalaslongitudesdetodaslascurvas,demuestreque f(z) e'"z+apara alguna a C L ypara C (0, 21(. EJERCICIOSDEREPASODELCAPTULO5379 9.Encuentreunmapeoconformequemande. . { ztalquelz - il O} ysea S { z 1O < lmz < 1} .a)Encuentre una funcin analtica que transforme en forma uno a uno ysobra Ben S. b)Encuentreuna funcinu armnica en Bycontinua en la cerradur de Bexcepto en (0, 0) la cual satisface que u(x,y).O yu(iy) .1 par y > O. 380 y Figura5. R.2.Lareginparaelejerci ci o 20. y Figura5.R.3.Fl ujosobreun obstcul o.23.Encuentre el potencial elctrico en la regin mostrada en la fgura 5.R.4. y Figura5. R.4.Datosdefronteraparaelejerci ci o23.24.Suponga que una carga puntual de 7lsecoloca en/_ i en elsemi planosuperior y que el eje esun conductor conectadoatierra, mantenido con potencial constante O.Encuentre el potencial en cualquier punto oi en el semi planosuperior. EJERCICIOSDEREPASODEL CAPTULO 5381 25.Usela frmul a deSchwarz-Christoffelparaencontrar unmapeoconformeentrelasdos regionesmostradasenlafgura5. R. 5(A=-1B=1 ,B'= 0.) y y A= -1B = l @Uru 5.R. 5.Regionesparal os ejerci cios2b y 2.26.Use elejercicio25 paraencontrarlaslneasdeflujosobreelescalndellechodelcanal profundo quesemuestra enlafigura5. R. 5.27.Encuentrela temperaturaenlareginilustradaenlafigura5. R. 6.(Sugerencia:usez sen-1z.) y - a AisladaaT= O @Uru 5.R.6.Datosdefronterapara el ejerci ci o2. X 28.Seagnunasucesindefuncionesanalticasdefinida enunareginA.Suponga que2n = llg(z)lconvergeuniformementeen A.Demuestreque2 lg (z)lconverge uniformemente n = ln enlosdiscoscerradosde . 29.Evalemedianteresiduos: | COSX dx ox2+30.SeafanalticaenC\{ 0} . Supongaquef(z)oconformez O yf(z) conforme z'+ Demuestrequefpuedeescribirseenlaforma 382 ck c1 f(z) =-+. .+-+c0+dz ++dz1 k 11 paraconstantese;y dr zz 31.Si1anz" tieneradiodeconvergenciap,cules elradio deconvergencia de1anz2"? O n = O De1a2z" ? n =O n 32.Encuentrela expansin deLaurntde f( z) =z41(1-z2) que sea vlida en elanillo1l f(z0)1.Espcfcamente,escoja w=( 1+ o/)/(Z) si f{z0)O,yw = o/2 si f(z0) =Opara o pequea.Entonces,esclaro quefno tiene un mximo relativo en z0 Unademostracinsimilarmuestraquesi /(zo) O,entonces f notieneun mnimo en z0 a menos quefsea constante. El principio delmdulomximo(2.5.6) se sigue como en la seccin 2. 5. Ejemplosresueltos 6.3.6. Detennine el myrdisco alreddrd z0 = O sobreel cul f(z) =1 + z + z2 es uno a u. Solucin.Puestoque f' (O)=1, j(z) -1tieneuncerosimpleenO,yelteoremadel mapo (6.3.2) muestra quejesuno a uno en algn disco alrededor de z0 = O.Comoj(z) -1=z+z2=z( l+z),lacualtieneracesenOy-1,sabemosque j(z)-1tiene solamenteunarazenel disco !ztalquelzlO tquelg (t-g 1() < F3paratoa1, siempe quel y estn enB y11 - 1< o.Alusarnicamenteunacantidadfnitadelospuntoszk'podemosgarantizar quetodopuntoenBestdentrodeunadistancia odealmenosunodeellos.Esto es,existeunenteroK(B)talqueparazEB,existealmenosunakE(1, 2,3, ... , K(B)}conlz-zkl N(B) y1 kK(B). 426 Figura 6.S.A.1.CualquierpuntoenBestaunadistanciamenor queo deal menos unpunto delafamil ia finita dezk. Ponga too esto junto, suponga que n:: N(B)y m:: N(B).S z EA,entonces z est a distancia menor que o de zk, para alguna k : K(B) y, por lo tanto, La sucesin gnsatisface entonces la condicin de Cauchy uniformemente en B y,en consecuencia,converge uniformementeen Baalgunafuncin lmite, como se quera. Demostracin del teorema del mapeo de Riemann Estamosahora enposicindedemostrar el teorema delmapeo deRiemann.Sea G un conjunto abierto,simplementeconexoyconexo, contenido en el plano complejo C.Sea z0EG,ysea D D(O;1 )eldiscoabiertounitario.Debemos mostrar que existe una funcin analticafen G, la cual transforma en forma uno a uno y sobre a G en D,conf(z0) O y f'(z0) >O. Para hacer esto, sea f l: G Dijes analtica y uno a uno en G,f(zo) =O y f'(z0) >O] Los principales pasos de la demostracin son: (i)Mostrar que f no es vaco. (ii)Mostrar quelosnmeros{f'(z0)1 f Efj estnacotadossuperiormentey tienen, por tanto, ina mnima cota superior finita M. (iii)Utilice el teorema de Monte] para extraer de una sucesin de funciones en f, cuyasderivadasen z0converjan a M,una subsucesin queconverja uni formementeenlosdi scos cerradosenG.La funci nlmite f,es analtica en G y f' (Z) M. SUPlEMENTO ADELCAPTULO6 (iv)Muestrequefeg_ (v)MuestrequefdebetransformaraGsobreD. 427 Paramostrarquegnoesvaco,essuficientemostrarquepodemostransformaranalticamenteaGeneldiscounitario.Unavezhechoesto,nicamente necesitamoscomponerconunatransformacinfracciona}linealdeldiscosobres mismo,lacualmandeaz0aO,yluegomultiplicarporunaconstante F` escogida detalmaneraqueladerivadadelmapeoresultanteenz0seapositiva.SiGes acotado,por ejemplo,si lz -- z01< Rparatodazen G,elmapeoz (z-z0)1R hace eltrabajo.SiGnoesacotada,elmapeoomitealmenosunpuntoC. Latraslacin z z C mandaaGaunareginsimplementeconexaG _ quenocontienealO. Porelteorema2.2.6,existeunaramadellogaritmo,definidaenG _ alacualle llamaremosF. Entonces,elmapeogdefinidocomozF(li)F(z) esunaramade lafuncinrazcuadrada;porelteoremadelmapeoinversooporelteoremadela funcininversa,unovequeG2 g(G 1)contienealgndiscoD(b;r).Porlas propiedadesdelafuncinrazcuadrada,D(-b,r)nointersecaaG2Elmapeo f(z) rl[b z]transformaentoncesaG2 eneldiscounitario.Vaselafigura6.S.A.2. G y Figura6.S.A.2.LatransformacindeGeneldiscounitario. Unavezquehemosmostradoquegnoesvaco,debemosestablecerlaparte (ii).Lafamiliagestuniformementeacotadapor1enGy,porlotanto,porel ejemploresuelto3.1.18,lasderivadasestnacotadasuniformementeenlosdiscos cerradosenG.Enparticular,existeunnmerofnito Mc{z0})talquef'(zo l. Paraver cmo(iv)sesiguedeestaafrmacin,supongaque f notransformaa GsobreD.Entonces,A= f(G)satisfacelas condicionesdelaafirmacin.(Quees abiertosesigue delteoremadelmapeoabierto(6.3.3).)Considere g(z) P F(f(z)). Entoncesg = M,loquecontradicela maximalidad de M. As querestacomprobarla afirmacin.Lconstuccinesunpo comolaque seusenelpaso(i)yquizsetazamejorsisesiguenlosdiagramasenlafgura 6.S.A.3. Lregin A est sombreada pr lneas diagonales en el primer diagrama. sta pierdeunpuntoa,indicadoporuncrculoabiertoenesediagrama.Lasimgenes sucesivasdeayOestnindicadasporpuntosabiertosypuntosslidos,respectivamente,encadaunodelosdiagramassiguientes.ElmapeoF1esunatransformacinfraccionallinealdeldiscoensmismo, quemandaa a alO ya O a algnoto lado.ElpropsitodelmapoF2esgarantizar una situacinenlacuallaimagendeA nocontengaalgunavecindaddeunpuntoenelcrculofrontera.Estosehace justamentecomoenelpaso(i)alusarunaramadellogaritmoenlareginsimplementeconexa F1(A),la cualno contieneal O. El mapoF3 esotratansformacin fraccionallinealqueregresalaimagendelOaO.Enestaetapa,laimagendeAno contiene un pqueo crculo y, el cual interseca al crculo unitaroC enngulosretos endospuntos. Una transformacinfaccional linealF4quemand estos puntosa O e ` mandar a los crculos enlneas que pasan pr O e " y a laregin ente ellos,a un cuarto de plano. Al elevar elcuadrado a F5, abre esto hasta unsemiplano. Finalmente, otra transformacinfraccionallineamandaalsemiplanoeneldiscounito,conel punto negro yendo a O yla rotacin correctahacequeladerivada enO detooestompositiva.LafuncinFesF(z)=F6(F5(F4(FiFiF1(z))))))P w.Lfuncininversa g(w) = F-1(w) = z satisface las condiciones dellema deSchwarz.Puestoqueesta no SUPLEMENTOBDELCAPTULO 6429 esunarotacin,tenemosunadesigualdad estrictalg'(O)I 1 ;lasrbitasdepuntoscercanosatalespuntosse irnalej andodelarbitadez. ElconjuntodeJulia J(f)de f estdefnidocomolacerraduradelconjuntode lospuntosperidicosrepulsoresde fEsteconjuntopuedeserdeunacomplejidad notableyhermosa,usualmenteesl l amadoun fractal;enefecto,enl afigura 6.S.B. llareginnooscuraeselconjuntodeJulia.Este enunciadodescansa enun teorema,quenovamosademostrar,elcualestablecequeelconjuntodeJuliaes la cerradurdelos puntosque se van alinfinitobajolaiteracin defEestacaracterizacinlaquesertilenpropsitoscomputacionales.Lafgura6. S. B. 2muestra dosconjuntosdeJulia ms,paramaposcuadrticos. Hastadondeconcierealanlisiscomplejo,unodelosresultadosmsimportantes,eselsiguiente: El conjuntodeJuliaeselconjuntodepuntosenel cualla familia defunciones tn,noesnormal. 432 a)b) Figura6.S.B.2.a)Elconj untodeJ ul i a def(z) z2 i,elcual esuna curva cerrada simple,pro no esdiferenciable enningnlado.b)El conjuntodeJul ia de f(z) z2 1 ,el cual contiene una cantidad i nfnita de curas cerradas. Este resultado puedeser usado como unadefnicin alternativa para el conjunto de Julia y,en efeto,sta fue la definicin original deFatou y Julia.Aqunicamentedemostraremoslasiguienteafrmacin,paradarunaideadecmovaelargumento:Sizesunpunto fijorepulsar def(y,porlotanto,estenelconjuntode Julia),entonces,la familiadeitercionesfnoesnormalenz.Vamosasuponer queestafamilia esnormalen { y a concluir una contradiccin.Normalen zsignifica normal en unavecindad de{, en lamisma manera que usamos la terminologa "analticaen{- Porladefnicin6.S.A. l ,lafamilia fntieneunasubsucesinqueconverge uniformemente en una vecindad de z.Yaque f(z)* { y 1/ '(z)l >l ,sesigue, de laregla de la cadena, que esto es,quela sucesindelasderivadasdefn, evaluadasen{ debentender a infinitoconforme n `+ Sinembargo,lasucesindederivadasdebeconverger ala derivadadelafuncinlmite,porelteoremadeconvergenciaanaltica(3.1.8),la cual esfinita,loquenosda la contradiccin requerida. Estadiscusin representa tan slo unamuestra dela gran coleccindemuyinteresantesyhermosos resultados.Espramosqueellectorhayasidomotivado para leer algunasde las referenciasquehemos dadosobre eltema yotrasreferenciasque seencontrarnenestasfuentesyqueexplorarneltemamsprofundamente.Insistimosensealar quelaiteracindemapeoscomplejosestanslounapartedel amplioycrecientecampollamadodinmicacatica.Paraestosaspectosmsgenerales,ellector puede consultar ellibrode Devany citado anteriormente, oellibro NonlinearOscillations,DynamicalSystems,andBifurcationof VectorFields,de J. Guckenheimer y P. Holmes, Nueva York;Springer-Verlag, 1983. EJERCICIOSDE REPASO DEL CAPTULO6 1.Sea fanalticaenlz talquelzl< 1 ]ysea f( l /n) O n 1 ,2, .Qupodemosdecir acerca def? EJERCICIOSDEREPASODElCAPTUlO 6433 2.Supongaque J ygsonanalticasen eldiscoA={ talquelzl O yparaE lzl R, dondeO o. Observaciones (i)Paralograrlascondiciones(i)a(iv) puedesernecesariodeformara y aplicndoleelteoremade Cauchy.Unatrayectoria y quesatisfaceestas condiciones es llamada una trayectora de descenso ms pronunciado. (ii)Lexpansin asinttica en la conclusin del teorema depende nicamente deh(0) yh(0) yno del comporiento dehen toda y (excepto, por supuesto,que hdebe satisfacer lashiptesis delteorema.) Se pueden utilizar derivadas de orden suprior si se necesitan trminos adicionales. (iii)El origen del trmino descenso ms pronunciado" se puede dervar de las condiciones (iii) y (iv) de la siguiente manera. Reuerde que Im zh() = v() yRe zh()=u()sonarmnicasconjugadas,yelhechodequevsea constante sobre y signifca que u cambia ms rpidamente enla direccin de y.Yaque esunmximo,u() =Rezh(Qdecrecelomsrpidamente cuando se muevedesdeenla direccin de y. As,la curva y es llamadala tyectoriadeldescenso ms pronunciado.Eltrino"mtodo de punto silla" se origin de la manera siguiente: La funcin u() =Re z() tiene un mximo sobre y en 0.Per h"(o) " O implica que uno es constantey,prlo tanto,o deb sr un puntosilla deuya que lasfunciones armnicas nunca tienen un mximo o mnimo loal (vase la fgura 7.2.2). 468 Uy ca.+a-|a-.---+;.--a-..+e-UFigura 7.2.2.Elmtododelpuntosi l la.(iv)Frecuentementeelsignocorrectode l a razcuadradapuededeterminarse alexaminar el signo dela integralquedefneaf(z). Dmostrcin.Dividaa y entres porcionesy1,ey y2, comoseilustraenlafgura7.2.3. Escojaae detalmaneraqueestenunavecindad de sufcientementepequeaparaque( 1 )h() seaanalticay(2)sesatisfagalacondicin(iii). Claramente,f(z)= 11 (z) liz)+ J(z),dondeutilizamoslasnotacionesJ(z)= fe ezh() d y /k(z) P f' ezh()d, k = 1 ,2. y Figura 7.2.3.Elmtododeldescensomspronunci ado. Vamosamostrarque,parazgrande,lapartedelaintegralquerealmenteimportaes J(z),asqueunaaproximacinasintticaparaJ(z)tambindarunapara f(z).Elejemploresuelto7 .2. 1 1diceque,enarasdehaceresto,essuficientemosrar que/k(z)/J(z)= o(l /zn) paratoan positiva.Parademostraresto,observeque Pero J(z)P , ezh() d = ,e eRezh()eiimz h() dt 7.2.EXPANSI ONES ASINTTICAS469 Ya que Im zh(t) es constante sobre c.obtenemos SiCe lo sufcientemente corta para que elar(y) cambie en menos que 14 a lo largo de e,entonces obtenemos lJ(z)l >( 1 /{) Je eRe zhld{l. Por Jo tanto,

,eRe zh(/) l{l O. Solucin.Seah() = u + iv, as que si = +i1,u = 2 - 12 y v = 2.Ladiscusin quesiguealteoremadedescensomspronunciado,indicaquelatrayectoriade descensomspronunciadoestdefnidaporv= constante(puestoqueennuestro casozesreal,z > 0).Enconsecuencia,lalneadedescensomspronunciadoa travs de = O es = O o 1 = O. Ya que u deb tener unmximo en = O, la curva y est definida por = O. 7 .2.20.Demuestre que 1 f(z)= e-zy2n cos ydy 21 ( 1 --1--+--. 2z conformez o;arg z = O. Solucin.Aplicamos el teoremade Watson. Aqu y2 y cos y =1 - -+ -- 2! 5!-1 1 Por lo tanto, a0 = 1 ,a2 = -,a4 = , 2! 4!yentonces 1 3 4!z2 ) = ( 1 -.z +2 -2-z-2- ) l.Muestrequesif(z)= O(h(z)), g(z) = O(h(z)), ya yb sonconstantes,entoncesaf(z) + bg(z) = O(h(z)). 2.Muestre quelaeuivalencia asi nttica esunarelacin deequivalencia,enel sentido de que sesatisfacenlassiguientes trespropiedades: a)Refexiva: f f b)Simtrica: Si f- g, entonces g -f e)Transitiva: Si f- g yg - h, entonces/- h. 3.Si f(x) - alx2 + a/x3 +para x E[0, o[, muestre que ,

a2 a3 a4 g(x) =f(t) dt - + + + XX2x3x3 482CAP.7.MTODOSASINTTICOS 4.Seaf(x) e-1/t dt.Useintegracinporpartespar mostrr que f(x) e-x_1 _ + _1__2_ xx2 x3 5.Muestreque e-xt12 ! 4!f(x) dt - -+- o1 + t2 xx3x5 6.Seag(z)analticaenZ yseang' (zo) O yg" (o)=O, detalmaneraquecercadeZ g(z) - g(Z) [w(z)]2 conw analtica,w' (Z)=O.Demuestrequeexistenexactamente dos curvas prpendiculares sobre las cuales Re g (respectivamente,Im g) son constantes a travs de Z(Recuerde que laproposicin1.5. 1 2muestra que sif '(z)=O,Reftiene exactamente una curva denivel atravs deZ) Muestretambinquelaslneasde Re g e Im g constantes se intersecan a 45. 7.a)(Vase el ejercicio2 1 , seccin 7. 1. ) Muestr que si z > O, entonces, para enteros k 2O,

2 135 ( 2 k-1 )e-zy12y2k dy 1 2 1"" ""~Ozk + 1/ y _: e-zy212y2k + 1 dy 0 b)Muestre que para enteros m 2 O, y 21 3 5 ( 2 m-l ) ( 2 m)! , e-Y12y2m dy .

2mm!22m 8.Seahn(t) .-nil.Elreabajolagrfcadehn(t) es , yparatoaE >O, hn(t) O uniformemente fera de ]- E, E[ .Tal sucesin es llamada una sucesin aproximante a o. Vase la fgura7. 2 .6. a)Muestrequesig(t)escontinuayO 0.) 14.DemuestrequeJ_ e-Y2dy, dondeC eslalneaa45,z it con*~ mx [ p(f), p(g}]. Brevemente, la ecuacin (12) establece que la transformada de Laplace de una convolucin de dos funciones es el producto de sus transformadas. Es precisamente esta propiedad la que hace de la convolucin una operacin de inters para nosotros. Demotracin.Tenemos 8.1 .PROPIEDADESBSICAS501 -|

e-z'e-z (t - -)

f(t - ')g(') d' dt ParaRez >m[p(f),p(g)J.Lasintegralesde fz) yg(z) convergenabsolutamente,as que podemos intercambiar el orden de integracin 1yobtener as Si hacemos s -t - ' y recordaos quef(s)= Osis O, existe una t0 tal que t" t2 t0 implica que para toa z eS9.Se sigue que f e-Zf(t)dt converge uniformemente en S9 conforme x -o,porelcriteriodeCauchy.Haremosusodelafuncinh(x)comosigue. Escobase Siintegramospor partes,obtenemos(comoelestudiante puedefcilmenteverifcar) Dadae>O,escjaset0 tal quelh(t)l c,as como lo harn todas las derivadas literadas. Resta mostrar que cp.Para demostrar esto nicamente necesitamos demostrar que c B si lf(t)l Ae81Esto se cumplir, por lo que hemos demostrado, si fz) converge siempre que Re z > B.En efecto, vamosa demostrar la convergencia absoluta. Observe que le-Zj(t)l =le- y0, para alguna y0.Entonces f(t) =O par todat e [0, o[. El lema crucial que usamos para demostrarla es el siguiente. Lema8.1. 10. Sea f continua en[0,1 ]ysuponga que n tDf(t) dt = o par todan = O, 1 ,2, . . .Entoncesf = O. 8. 1.PROPI EDADESBSICAS505 EstaafrmacinesrazonableyaquesesiguequefP(t)f( t)dt = O para cualquier polinomio P. Demostracin.LademostracinprecisadependedelteoremadeaproximacindeWeierstrass,elcualestablecequecualquierfuncinconti nuaesellmite uniformedepol i nomios;vase,porejemplo,J.Marsden,ElementarClassical Analysis,NuevaYork,W.H.FreemanandCompany,1 974,cap.5.Por esteteorema, obtenemos que ffg(t)f(t) dt =O paracualquier g continua.Elresultadosesigue altomarg = f Yo aplicarelhechode quesilaintegraldeunafuncincontinuano negativa es cero entonces la funcin escero. T Demostracindelteorema8.1.9.Suponga que fz) = [e-zr(t) dt=O siemprequeRez>a.Fiex0 >y0 realyhgases=e-t.Alcambiarvariablespara expresar alasi ntegralesentrminos de s,obtenemos, en z = x0+npara n = O,1 ,2, . . . , n= O,1 ,2, . . .donde h(s)= e-V+'J(t). As, por ellema8. 1 . 1 0, hy,en consecuencia/ es cero. Observacin.Estilnotarque fz)OconformeRe zo.Estosesigue de losargumentosutilizadospara demostrar el teorema8. 1 . 1(vaseel ejerciciode repaso10) .Tabla8.1.1. Algunas transformadas de Laplace comunes. Defnicin: fz) = e-J(t) dt d-l . g(z) =-dzf(z) donde g(t) = tf(t). 2.(af + bg)- =a]+ bg. df-

3. dt (z) zj(z) -/(0).(Asuma quejes C1a tramos. ) 1-4.g(z) = -f(z) donde g(t) =/(') d-. zo 5. g(z) = f(z+ a)donde g(t) = e-a'ft). 6.g(z) = e-zz)donde a >O yg(t) =

f(t - a) t < at a. 506 Tabla 8.1.1. (Continuacin.) O t -(z) = lz> g(z). donde (/R g)(t) = f(t -t)g(t) dt. 9.Si /(t)= e-at, entoncesf(z) = 1-y c(/) = -Re a. z + a -z 10.Paraf(t)= cos at,f(z) =22y c(f) =11mal. z+ a -a l l .Si /(t)= senat,f(z)=22y c(/)= 11m al. z+ a . -r(a + 1 ) 1 2.SI/(t) = ta, a > -1./(z) = z + 1Y c(/) = 1 3.Si /(t) =l ,fz> = -1 y c(/)= 0. z Ejemplosresueltos 8. 1 . 1 1 . Demuestre l frmula9 en la tabla 8. 1 . 1y encuentre c(f) en ese caso. Solucin.Por definicin e-(a + z)t a + zOo l =-z + a La evaluacin en t Y est justificadaalobservar que lfm e-Rcontodaslassingularidadesde F()/( - z) dentrdeestecrculoyluego 8.2.FRMULA DE INVERSINCOMPLEJA51 1 deformando rhasta elcrculo.Estaltima expresin seva aO conforme p o. As,haciendoquerseexpandahasta o,obtenemos ]z)=F(z).Conunaeleccin adecuada de a estose puede hacer para cualquier z en el semiplano Re z > c. El siguiente corolario de teoremay sudemostracin deben tomarse en cuenta. Corolario8.2.2. Suponga que se satisfacen /ascondiciones de la frula de inversincompleja.Si F(z)es analtica parRez >a y tieneunasingularidd sobre la linea Rez = c,entonces (i) l abscisa de convergencia def es c,y (ii) 1 'a+ io 1 f(t) = .ez1F(z) dz = - ea.L primeraintegral se toma a lo largo de la lnea verical Rez = ay convergecomounaintegral deRiemannimpropia;lasegund integrl se utilizacomouna notacin alterativa para la primera. Demostracin (i)Lafrmula delainversin compleja (8.2. 1 )muestra que a(f) puesto que f(z)convergeparaRez>c.Sic(f)fuera a(f), por elteorema deconvergencia (8. 1 . 1 ).PeroF tieneuna singularidadenun puntoz0 sobrelalnea de Re z= cy,porlo tanto,existeuna sucesin depuntos z. , z2, z3, . . .queconverge a ZconF (z,.)o.Puestoque f(z)=F(z)paraRez>c,yyaqueambasson analticasenuna vecindadagujeradadeZstasseranigualesenesa vecindadagujerada, por el principio de continuacin analtica.Estosig-W Pnifcara que f(z,.) o.Peroesto es imposible,ya que f(z) esanaltica en Re z > c(f). As, c(f) < c no es posible. Debemostener c(f) = a. (ii)Delafrmuladeinversincompleja(8.2. 1 ),21if(t)=ezrF(z)dz.Esta integral convergea laintegralde la ecuacin (2), exactamente comoenla demostracindelaproposicin4.3.4,conformexl' y1 yy2o.Puesto que y1 y y2 se van independientemente a o,estoestablecela convergencia de laintegralimpropia.(Lasituacinaqu es rotada en90deaquella de la proposicin 4.3.4.) En los ejemplos resueltos, deben verifca toaslas condiciones delteorema.Si no se satisfacen,la euacin (2) paraf(t) puee no ser vlidaLa ecuacin( 1 )es algunasvees ms conveniente que la tabla 8. 1 . 1paracalcular las tnsformadasde Laplace inversas,yaqueessistemticaynoreuiereuntrabajodeadivinacindeculesla frmula apropiada.Sinembargo,la tablapuedesertil en los casosen los cualesno se satisfacen las hiptesis delteorema, o resulte inconveniente el verifcarlas. Teoremadeexpansinde Heaviside Aplicamosahoralafrmuladelainversincomplejaparaelcasoenelque F(z) = P(z)/Q(z), donde P yQ son polinomios.Damos un caso simple aqu. 51 2CAP.8.L TRANSFORMADADELAPLACE TeoremadeexpansindeHeaviside8.2.3.SeanP(z)yQ(z)polinomios,con grado Q 2grado P +l .Supongaque los ceros de Q estnlocalizadosen los puntos Z_. . . ,zm yquesonpolossimples.Entonces,ltrnsforde Laplaceinversa deF(z) = P(z)/Q(z) est dd por (3) Man, a(f) = mx (Re z 1 i =1, 2, . m). Demostracin.Puesto que grado Q 2grado P +1 ,se satisfacenlas condiciones de la frmula de la inversin complea (8.2. 1 )(compare con la proposicin 4.3.4). As, f(t)= (residuos de eZI[P(z)/Q(z)]]Pero los polosson todos simplesy, por lo tanto, por l a frmula 4 de la tabla 4. 1 . 1 , tenemos R ,P(z) ,= z'tP(z) es Q(z), Ze Q'(z) La frmula para a(/) es una consecuencia del corolario 8.2.2. Ejemplosresueltos 8. 2. 4. Sif(z)=1 /(z - 3),encuentref(t). Solucin.Remaseala frmula 9 de la tabla 8. 1 . 1 .Sea a=-3; entoncesobtenemos f(t)=e3'.Alterativamente,podramosobtenerel mismoresultadosiusamosel teorema de expansin deHeaviside. En este ejemplo, c(f) =3.8.2.5.Si f(z) =log (z2 +z), a qu esigual f(t)? Solucin.Observe que si g(t)= tf(t), entonces, pr la frmulalde la tabla 8. 1 . 1 ,- d- d 2 2z__1_ g(z) = -d-z J(z) = -d-z log(z+z) = -z2 +z Para encontrar g(t)usamos fracciones parciales: - 2z +111 g(z) = - =--- z2 + z zz + lPor lo tanto, g(t)= -1 - e-', yentonces f(t)= -1 ( l+ e-') t Auncuandoesteargumentoparecesatisfactorio,esengaosoporqueenefectono existef(t)cuyatransfordeLplacesealog(z2 +z). Siexistiera,entonceseste procedimiento noslleVaaf(t)= -( 1+e-')tt.Para cualquier 7 real, Ejercicio 51 3 no puede converger porque cerca de O,e-xt es, f(t)1 /t,pro1 /t noesintegrable.As, J noexisteenni ngunodelossentidosquehemosdi scutido.Elargumento previoenelqueseobtuvo f(t)esaparentementeplausibleporqueasumelaexistencia deunaj(t);vase tambinla observacina final dela seccin8. 1 .8.2.6.CalculelatransforadadeLplaceinversad z F(z) = _(_z_+_l-)2,..(z"2_+_3_z ___ l-O-) Lego calculec(f),l abscisa de convergenciade f. Solucin.Eneste caso,esconvenientela euacin( 1 )prquelashiptesis delafruladela inversin compleja(8.2. 1 )claramentesesatisfacen.As, {.ez f(t)= Lrestduos de (z +1 )2(z2 +3z_ 1 O)(z+1 )2(z+ 5)(z - 2) Losplosestnenz= -1 , z= -5,z= 2.Elploen-1esdoble,mientras quelos otros sonsimples.Elresiduoen-1es,porlafrmula7delatabla4. 1 . 1 ,g'(-1),dondeg(z) = (ez'z)/(z2+3z - l O). Obtenemosentonces -te-1e-1(-e-1)[2(-1 )+ 3]_1{_,_1 e-1 ) -12 + -1 2-1 4- 1 2 te-e+1 "Elresiduo en -5ese-51 5/1 6 7;elresiduo en 2 es e21 27.Por lo tanto 1(e-1)5e-512e21 f(t)= 1 2 te-t - e-t + " + 16. 7 + 6 Porel corolario8.2.2, c(f) =2. 8.2.7.VeriqueLafnnula 9 de latabl8. 1 . 1 utilizandolafnulad inversincompleja. Solucin.Poemos encontrarlatrnsformadade Laplaceinversadel/(z +a)utilizando laeuain( 1 ).Elnicoplo,elcualessimple, esten z = -a. Elresiduodee"l(z+ a) en z = -aes claente e-ar, elcual coincide conla tabla8. 1 . 1 .Tambin,c (j) = -Re a porqueelplo de F estenla lnea Rez =-Re a. l.Calcule la transforada de Laplaceinversa de cadauna delas siguientefunciones z a)F(z)= z2 +1 1 b)F(z) = (z +1 )2 z2 e)F(z) = z3 - I 2.Verifquelasfrmulasl O y1 1delatabla8. 1 . 1 utilizandoelterema8.2. 1 .51 4CAP.8.LATRANSFORMADADE LAPLACE 3.Explique cul es el error con el siguiente rzonamiento.Sea g(t) = {oo * 1 1t 1 Entonces, porlasfrmulas6 y1 3 de la tabla8. 1 . 1 ,g(z) = e-'/z.Por la ecuacin ( l), g(t) = Res ( O (9') enla cualtodavaacercamoselcontorno(comosemuestraenlafgura8.3. 3) de acuerdo alsigno de x. yy x > O x < OFigura8.3.3.Contornos paraG(x,r). PodemosahoraevaluarG(x,r).Dlaecuacin(9')yelteoremadelresiduo obtenemos, para x >O, 1 eix(iE + rle) G(x, r) = lm- 21i 21 . ) = e -o 21- (re - zE E >O ic iwxlc - -e 2r Haciendoclculossimilarespara x O-ic e-irxlc X O cos - sen -= SI m< O 2v2v 2 v 2 2v2 2 v 2550RESPUESTASALOSEJERCICIOSIMPARES 9.- 1i/(a - 1 )2 11.La funcin espar y 5 aplica la lnea 3de la tabla 4.3. 1 .13.o 15.-7i/2(o7ti/2si5 usaunaramadiferente).Construya z2 - 1enmuchocomoenel ejemplo 4.3. 1 5, perohaga el core de rama para que elfactor z - 1vaya de1hasta *~ y elde .de-1a V. Alcruzareleje realen A conl>15 rquiere cruzar ambos cortesoninguno.ElprouctoC analticoenC\{z1Im z = OyIRez11), comoenel ejemplo 4.3. 1 5.17.1e-aha 19.Utilice el ejercicio 18;Res ((-z)a-l J(z), l )= (eli)a-1 .21.Despus deverifcar que todaslasintegrales existen y quelas operaciones estn justif cadas, calcule ,e -l dy,e -x' d ,= }

e-(x' + y') d dy = :le -r'r d 6 dr = 21 e -r'r dr = -1e -r' = -1 (O - 1 )= 1 y, por lo tanto, [e-x' d =l 2.21(97 1- 1 68)/3 25.a). 4.4.Evaluacinde serie infnitas y expansione enfraccioneparciales 1 . Comoenlademostracindela prposicin 4.4.2, A7 e? 1z dz ~ Oconforme N V- Elresiduo en n O eslln4Calcule los primeros trminos de la serie de Laurent cot z =1/z - -z -;5 z3 - para encontrar que elrsiduo en O es -'/45, as que 74 NJ N1

14 N1 ,hm -45 + L-,( )4 = hm -45 + 2 L- N-

n= 1n n=^ -nN-^n= l n y entonces l l /n4 =74/90. 3.Aplique el teorema dela adicin (4.4. 1 )y la prposicin 4.4.2. R

1 COt 7z +, 1 hes z2+ a2, _a -2a cotT(verifque esto), y as Entonces y 1011 1 -coth 1a = L_ _=2+ 2L 22 a n =~=n+aa n = n+ a^111 L = - -+ -coth 1a n = n2 +a2 2a2 2a

11 1lRL =+=+-coth RDH+ D D H + D 2D 2Dn = On = 551 5.l(~)"g(H) =~ [suma de los residuos de R ese Tg(/)en los plos defl. Aqufdebe M =~+obedeer algunascondiciones como:Existen R> O y> O talesque para lzl >R,g(/)S/", dondee >1 .Sialgunodelospolosde gestuvieraenlosenteros,latcnica puede anser usada. Despus deverificar que Rg(/)U/ O conforme N- ~)eNsen R/tendramos - J(~ )"g(H) = [suma de losresiduos de R ese R/g(/) enlos polos deg].M ~OH WC$ mploo)7.Considere g(/)= cot/ ~ 1 /z.Entonces lm (/) =Oy fesanalticaen O.Verifique que ( tienepolossimples en/ =NT para n=O, con residuolencada uno.SeaeN el cuadra-do conesquinas en(N+ )R( 1 , i).Alo largo dee N tenemos cot / = cot(-/), y~/est en e N cuando / lo est. Entonces, essuficiente verificar lcot / para y =Im / O. Si / =7 + iy, y> O, entonces lcot zl= Cz+ C-zC'_C =k}+1 1 sobrelahorizontalsuperior del cuadrado y =(N+T )R >1y,porlo tanto,lcot /lS 2( ~ C) S4.Sobre los ladosverticales,3=(N+ )1y,porlotanto,C"= -1 ,y lcot/lS-e ?Y_ 1 < 2.Encualquiera de los casos,1g(/)l S4+2/1 para / sobree N y, en consecuencia, con R=(N +t)R, = 4+2R, yS =8,lascondiciones del teorema de fraccionesparciales(4.4.5)se satisfacenylos datos enlospolosse pueden introucir para dar la frmula deseada. 9.Noseconoeunarespuestaexactaaesteaparentementesimpleprblema.Lasumaes l(3), donde l eslafuncin zeta de Riemann,imprtanteen el anlisisyenteora denmeros yuna fuente de varios problemas abiertos famosos en matemticas.El mtodo Odelteorema delaadicin (4.4. 1 )puedeser usadoparasumar l(p) = ! ( H") para p lpar, como en la propsicin 4.4.3 yel ejericiol .Uno obtiene l(2m) = (-1 ) m+ I(2R)mOm2(2m)! dondelas Omsonlos nmeros deBeroulliinvolucradosenJa expansin delafuncin cotangente.(Vasetambinelejercicio derepaso33delcaptulo3.)Estemtodofalla para pimpar bsicamenteporque(~H)" +H" = O, noaH". Un valor aproximado es l(3) 1 .2020569,nosesabasil(3) era irracional. Esto semsten1 978 pr R.Apery (vase DNCNuDl HCl@CHCCr, vol.1(1 979),pp.1 95-203.)Auncuandla irraionalidad l() es toava desconoida para otros valores impares de p. 552 Ejercicios de repaso del captulo 4 l.2 1i3 3.(1/12 5. 2 - -- cos ( 1 )7.1lf5-9.2 111.2 1i sen ( 1 )137 2 2

+ 1 - 1 13.o)T + 4 z+ g z+ + 2 ,+ 1 z" + 1371 5 2 " - 1 ) -+ -+ -+ -+ ++ z2z3 z4zszn+ l15.1l2 17.o) Res (f 0)=-l.Los otros residuos estn en z.con z2= 2 1ni, n= 1 , 2 , . . . , yson son iguales a - b) Res (f, n1) = 2 7 cos (n212)e)cos ( l) /" ,/'' ,2 k OHgasef(z) = h-1 (ei9g(z)) para zeAyverfque quefmanda a Aen forma unoauno y sobre enB, que/(