IV Bimestre 2012
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185Organización EducativaTRILCE
COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO
Objetivos
- Determinar las variaciones de las razonestrigonométricas seno y coseno de una variable; paraque a partir de ellas determinar las extensiones deexpresiones más complicadas.
- Determinar las extensiones de expresiones donde lavariable está restringida a un intervalo de IR.
Análisis de las variaciones de las razonestrigonométricas
I. Variación del seno de un arco:
Significa determinar entre qué valores se encuentra elseno de un arco cuando éste varía en un cierto intervalo.Si consideramos un arco “” que se desplaza sobre todala circunferencia trigonométrica (de 0 a 2) notaremosque el “sen” toma como máximo valor 1, mientras quesu mínimo valor es -1, es decir:
2
/2
3 /2
1
-1
O
1sen1-1-.mín)sen(1.máx)sen(
mientras que la variación por cuadrantes será:
sen
IC IIC IIIC IVC
0<sen <1 0<sen <1 -1<sen <0 -1<sen <0
0 1 1 0 0 -1 -1 0
0 2
2
32
2 32
II. Variación del coseno de un arco:
Trabajando de la misma manera que en el caso anteriorconsideramos un arco “” que se desplaza sobre todala circunferencia trigonométrica (de 0 a 2) notaremos
que el “cos” toma como máximo valor 1, mientras quesu mínimo valor es -1, es decir:
2
/2
3 /2
1-1
O
1cos1-1-.mín)(cos1.máx)(cos
mientras que la variación por cuadrantes sería:
cos
IC IIC IIIC IVC
0<cos <1 -1< <0cos -1< <0cos 0< <1cos
1 0 0 -1 -1 0 0 1
0 2
2
32
2 32
- Análisis de las variaciones en intervalos de IR:
Cuando te pidan la variación, extensión o rango deexpresiones que dependan del seno o coseno de unarco; y este arco varíe en un intervalo restringido, seprocede de la siguiente manera:
1. Reconocer de qué R.T. depende la expresión.2. Reconocer de qué variable depende la R.T.3. Ubicar en la C.T. el intervalo al que pertenece la
variable, respetando si es abierto, cerrado o semi-cerrado.
4. Trazar las líneas trigonométricas correspondientesa la R.T. de la que depende la expresión (las másimportantes).
5. Reconocer la mayor y menor de las líneas trigonomé-tricas trazadas.
6. Ubicar la R.T. de la variable entre los extremosencontrados en el punto anterior, respetando si puedeo no tomar dichos extremos.
7. Terminar de formar la expresión pedida, a partir dela variación encontrada en el punto anterior.
Circunferenciatrigonométrica II25
186 Cuarto Año de Secundaria
Por ejemplo:
* Señale la variación de:
1. C = 4 sen + 1Si: I C; es positivo y menor que una vuelta.
Resolución:
0º
90º
x
y
1
Recuerda que: I C 0° < < 90°
Luego:0 < sen < 1
Multiplicamos (×4):0 < 4 sen < 4
Sumando (+1):
1< C
1sen4 < 5
C <1; 5>
2. L = 3sen + 2; IIC
Resolución:
0
x
y
1
Nos ubicamos en el IIC (no tomamos los extremos)Luego:
0 < sen < 1×3: 0 < 3sen < 3
+2: 2 < L
2sen3 < 5
L <2; 5>
3. C = 5cos - 1; IIIC
Resolución:
0
x
y
1
En el IIIC, sin tomar los extremos tenemos:-1 < cos < 0
×5: -5 < 5cos < 0
-1: -6 < C
1-cos5 < -1
C <-6; -1>
4. L = 4cos + 3; 60° < 180°
Resolución:
180º
x
y
12
60º
-1
En el intervaloMayor: (no lo toma)
Menor: 1 (sí lo toma)
12
Luego:
-1 cos <21
× 4: -4 4cos < 2
+3: -1 L
34cos < 5
L [-1; 5>
5. C = 2sen + 1; 30° < < 180°
Resolución:
180º
x
y
12
30º1
O
En el intervalo:Mayor: 1 (sí lo toma)
Menor: 0 (no lo toma)
Luego:0 < sen 1
×2: 0 < 2sen 2
+1: 1 < C
1sen2 3
C <1; 3]
(no consideramoslos extremos)
187Organización EducativaTRILCE
6. L = 4sen - 3;
23
;6
Resolución:
1
-1
012
6
32
y
x
En el intervaloMayor valor: 1 (sí lo toma)
Menor valor: -1 (sí lo toma)
-1 sen 1× 4: -4 4sen 4
- 3: -7 L
3-4sen 1
L [-7; 1]
7. C = 5sen2 + 1;
2
;12
Resolución:Note que la R.T. es seno pero no de “” sino de “2”;por ello primero debemos ubicar la variación de “2”,es decir:
12
< 2
6
< 2
x
y
12
61
O
Para “sen2”; tenemos:
Mayor: 1 (sí lo toma) Menor: 0 (no lo toma)
0 < sen2 1× 5: 0 < 5sen2 5
+ 1: 1 < C
15sen2 6
C <1; 6]
Test de aprendizaje previo
1. Sabiendo que IR ; señale la extensión de:C = 4 + 3sen
2. Sabiendo que IR ; señale la extensión de:L = 3 + 2cos
3. Sabiendo que IR ; sume el máximo y mínimo valorde: C = 4 + 7sen
4. Sabiendo que IIC; señale la variación de:L = 3 + sen
5. Sabiendo que IIC; señale la variación de:L = 2 - 3cos
6. Señale la suma del máximo y mínimo valor que puedetomar: K = 2senx + 3
Test de Aprendizaje
188 Cuarto Año de Secundaria
1. S e ñ a l e l a v a r i a c i ó n d e : C = 7 s e n + 1; IR
a) [-6; 8] b) [-7; 7] c) [-5; 8]d) [-7; 9] e) [-5; 9]
2. Señale la variación de: L = 7sen - 5; IR
a) [-7; 12] b) [-12; 2] c) [2; 12]d) [-2; 12] e) [-6; 8]
3. Señale la variación de: C = 5cos + 1; IR
a) [-6; 6] b) [-6; 4] c) [-4; 6]d) [-4; 4] e) [-5; 5]
4. Señale la variación de: C = 6cos - 3; IR
a) [-6; 6] b) [-6; 3] c) [-3; 6]d) [-9; 3] e) [-3; 9]
5. Señale la variación de: L = 7 - 3sen; IR
a) [4; 7] b) [-6; 8] c) [-4; 10]d) [-2; 8] e) [4; 10]
6. Señale la variación de: L = 3 - 2cos; IR
a) [1; 5] b) [1; 3] c) [-1; 3]d) [-3; 3] e) [-5; 5]
7. Sabiendo que IR, además:
cos =3
1n2
¿cuál es la suma de los valores enteros que toma “n”?
a) 1 b) 2 c) -1d) -2 e) 0
8. Sabiendo que IR, además:
sen =7
1-n2
¿cuál es la suma de los valores enteros que toma “n”?
a) 0 b) 1 c) 2d) 3 e) 4
9. Sabiendo que IR, además: 3sen = 4n - 1¿cuál es la extensión de “n” para que la igualdad anteriorsea imposible de verificarse?
a) IR - <-1; 1> b) IR - 21
1;-
c) IR - 1;21
- d) IR - 21
;21
-
e) IR -
21
1;-
10.Sabiendo que IR, además: 4cos = 3n + 1¿cuál es la extensión de “n” para que la igualdad anterior,sea imposible de verificarse?
a) IR - 1;35
- b) IR - 35
1;-
c) IR - 35
;31
- d) IR - 35
;35
-
e) IR - 31
1;-
11.Sabiendo que IIC; señale la extensión de:C = 3sen + 1
a) <1; 4> b) [1; 4] c) [-2; 4]d) <-1; 4] e) [2; 5]
Practiquemos
7. Sume el máximo y mínimo valor que puede tomar:K = 2 - 3cos
8. Señale la variación de: K = 3senx + 1
9. Señale la variación de: K = 3 - 2cosx
10.Señale la variación de: K = 4 - 3senx; x II C
Autoevaluaciòn
189Organización EducativaTRILCE
12.Sabiendo que IC; señale la extensión de:L = 4sen - 1
a) <-1; 4> b) <-1; 3> c) [-1; 3]d) [-1; 4] e) [-5; 3]
13.Sabiendo que IIIC; señale el rango de:C = 3cos + 2
a) [2; 3] b) <2; 3> c) <-1; 2>d) [-1; 2] e) [-1; 5]
14.Sabiendo que IIC; señale la extensión de:L = 4cos + 1
a) <-3; 5> b) [1; 5] c) <-1; 5>d) <-3; 1> e) [-3; 1]
15.Sabiendo que: 30° < < 120°; señale la extensión de:C = 4sen - 1
a) <1; 3] b) <1; 3>
c) <1; 2 3 + 1> d) <1; 2 3 + 1]e) <2; 3>
16.Sabiendo que: 40° < 180°; señale la variación de:L = 3sen + 1
a) [0; 3> b) [1; 4> c) [1; 3>d) [1; 4] e) <1; 4]
17.Sabiendo que: <60°; 210°>; señale la extensión de:C = 8cos + 1
a) <-7; 5] b) [-7; 5> c) <-7; 5>d) <-6; 5] e) [-6; 5>
18.Sabiendo que: <70°; 270°>; señale la variación de:L = 4sen - 1
a) <-3; 5] b) <-3; 5> c) <-5; 3]d) <-5; 3> e) [-5; 3>
19.Sabiendo que:
2
;3
; señale la variación de:
C = 4cos2 + 3
a) [-1; 1> b) <-1; 1] c) [-2; 1>d) <-2; 1] e) [-2; 3>
20.Sabiendo que: <25°; 75°]; señale el rango de:L = 4sen2(3 - 45°) + 1
a) [1; 2> b) [1; 2] c) [1; 5>d) <1; 5] e) [1; 5]
Acepta el reto TRILCE ...!
1. Señale la variación de: C =1cos1cos3
si: IVC
a) <1; 2> b) 2;21 c) 1;
21
d) <1; 3> e) <2; 3>
2. Señale la variación de: L = sen(sen + 1); IR
a) [-1; 2] b)
2;
41
- c)
1;
21
-
d)
2;
21
- e) [-1; 3]
3. Señale la extensión de:
C = cos.sen2 + (1 + 1-cos )sen + sec
a)
3;
41
b)
2;
41
c)
3;
43
d)
2;
23
e)
2;
43
4. Señale el valor de:
L =
coscossen
csc1-cos1-sen
a) 1 b) -1 c) 2d) 0 e) -2
5. En la C.T. mostrada, halle la variación de “S” si: IIC
x
y T
AC.T.
M
S
a) <0; 1> b) <0; 2> c) <1; 2>
d) 2;21
e) 1;21
Autoevaluaciòn
191Organización EducativaTRILCE
COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO
Objetivos
• Conocer las relaciones básicas entre las razones trigonométricas de una cierta variable.• Aplicar las relaciones anteriores en la demostración de igualdades y simplificación de expresiones que contienen
razones trigonométricas diversas de una cierta variable.
Definición
Son aquellas igualdades entre las razones trigonométricas de una cierta variable; las cuales se verifican para todo valorde la variable, que no indetermina a la razón trigonométrica existente en la igualdad.
Clasificación
I. I.T. Recíprocas
senx . cscx =1; x n; n ZZ cscx =xsen
1
cosx . secx = 1; x (2n + 1)2
; n ZZ secx =xcos
1
tanx . cotx = 1; x n2
; n ZZ cotx =xtan
1
II. I.T. Por división
ZZn;2
1n2x;xcos
senxxtan
ZZn;nx;senx
xcosxcot
III.I.T. Pitagóricas
sen2x + cos2x = 1; x IR
xsen1xcos
xcos1xsen
22
22
tan2x + 1 = sec2x; x (2n + 1)2
; n IR
1-xsecxtan
1xtan-xsec
22
22
cot2x + 1 = csc2x; x n; n IR
1-xcscxcot
1xcot-xcsc
22
22
Identidadestrigonométricas I26
192 Cuarto Año de Secundaria
Los tipos de ejercicios que vamos a trabajar a partir deeste capítulo son los de: demostración de igualdades;simplificación de expresiones y ejercicios con condición. Enesta clase, veremos los dos primeros tipos, con lossiguientes ejemplos:
Tipo Demostración:
1. Demostrar:s e n
3x.cscx.cot2x = cos2x
Resolución:
Trabajando en el primer miembro, pasaremos a senosy cosenos; tratando de que al reducir nos quede laexpresión del segundo miembro:
sen3x.cscx.cot2x = cos2x
sen3x.senx
1 .xsen
xcos2
2 = cos2x
Reduciendo:cos2x = cos2x
2. Demostrar:sen3x.cscx + cos3x.secx = 1
Resolución:
Pasando a senos y cosenos:
sen3x.cscx + cos3x.secx = 1
sen3x.senx
1 + cos3x.
xcos1
= 1
Reduciendo:
1
xcosxsen 22 = 1 1 = 1
3. Demostrar:[(senx + cosx)2 - 1]tanx = 2sen2x
Resolución:
Recuerde que:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
En el primer miembro:[(senx + cosx)2 - 1]tanx = 2sen2x
(sen x + 2senx.cosx + cos x - 1)tanx = 2sen x22 2
1(1 + 2senx.cosx - 1)tanx = 2sen2x
2senx.cosx.tanx = 2sen2x
Pasando a senos y cosenos:
2senx.cosx.xcos
senx = 2sen2x
Reduciendo:2sen2x = 2sen2x
Tipo Simplificación:
1. Simplificar:C = senx.cotx.cosx(tan2x + 1)
Resolución:
Antes de pasar a senos y cosenos, reconozca:
tan2x + 1 = sec2xLuego:
C = senx.cotx.cosx.sec2x
C = senx.senx
xcos .cosx.xcos
12
Reduciendo:C = 1
2. Simplificar:L = senx.tanx + cosx
Resolución:
Pasando a senos y cosenos:
L = senx.tanx + cosx
L = senx.xcos
senx + cosx
L =xcosxsen2
+1
xcos
Operando:
L =xcos
xcosxsen 22
pero: sen2x + cos2x = 1
Luego: L =xcos
1 = secx
3. Reducir:C = (secx - cosx)(tanx + cotx)senx
Resolución:
Pasando a senos y cosenos:
C =
senx
xcosxcos
senx1
xcos-
xcos1
senx
(demostrado)
(demostrado)
(demostrado)
193Organización EducativaTRILCE
Operando:
C =
xcosxcos-1 2
xcos.senx
xcosxsen 22
senx
pero: 1 - cos2x = sen2x; sen2x + cos2x = 1
Luego:
C =xcosxsen2
.senx.xcos
1.senx
Reduciendo:
C =xcos
xsen2
2
= tan2x
Test de aprendizaje previo1. Demostrar: senx cotx + 2cosx = 3cosx
2. Demostrar: tanx cosx + cotx senx = cosx + senx
3. Demostrar: sen4x csc2x + cos4x sec2x = 1
4. Simplificar: C = sen2x cotx secx
5. Simplificar:2(senx + cosx)- 1C=
senx
6. A qué es igual: K = tanx.cosx + senx
7. Reducir: K = (1 - sen2x)secx
8. Reducir: tanx 1Ksenx cos x
9. Reducir: K = (senx + cosx)2 - 2senxcosx
10.Si: tanx - cotx = 3 ; calcule: K = tan2x + cot2x
4. Reducir:C = (senx + 2cosx)2 + (2senx - cosx)2
Resolución:En este caso sólo nos queda desarrollar los binomios:
C = sen2x + 4senx.cosx + 4cos2x + 4sen2x -4senx.cosx + cos2x
Reduciendo:C = 5sen2x + 5cos2x
C = 5( 1
xcosxsen 22 )
C = 5
Test de Aprendizaje
194 Cuarto Año de Secundaria
1. Demostrar que:
tanx.secx.cot2x = cscx
2. Demostrar que:
sen3x.cot2x.cscx.secx = cosx
3. Demostrar que:
sen4x.csc2x + cos4x.sec2x = 1
4. Demostrar que:
sen5x.csc3x + cos5x.sec3x = 1
5. Demostrar que:
[(senx + cosx)2 - 1]cscx = 2cosx
6. Demostrar que:
[(senx - cosx)2 - 1]secx = -2senx
7. Demostrar que:
(tanx + cotx)sen2x = tanx
8. Demostrar que:
(tanx + cotx)cos2x = cotx
9. Demostrar que:
(secx - cosx)(cscx - senx) = senx.cosx
10.Demostrar que:
(secx - senx.tanx)(cscx - cosx.cotx) = senx.cosx
11.Simplificar:
C = senx(1 + cotx) + cosx(1 - tanx)
a) 2 b) 1 c) 2senxd) 2cosx e) 0
12.Simplificar:
L = tanx(1 + cosx) - sen2x.cscx
a) tanx b) 2tanx c) cosxd) 2cosx e) senx
13.Reducir:
C = senx(1 + senx - cosx) + cosx(1 + cosx + senx) - 1
a) senx b) cosx c) 2senx.cosxd) senx + cosx e) senx - cosx
14.Reducir:
L = senx(cscx + senx) + cosx(secx + cosx) + 1
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
15.Reducir:
C =xcos-xcos
xsen-xsen42
42
a) tan2x b) cot2x c) 1d) sec2x e) csc2x
16.Reducir:
L =xcos-xcos
xsen-xsen64
64
a) 1 b) tan2x c) cot2xd) tan4x e) cot4x
17.Reducir:
C = (3senx + 2cosx)2 + (2senx - 3cosx)2
a) 7 b) 5 c) 12d) 13 e) 15
18.Reducir:
L = (3senx + cosx)2 + (senx - 3cosx)2
a) 3 b) 4 c) 5d) 9 e) 10
19.Reducir:
C =xtanxsec
1
+xtan-xsec
1
a) 2 b) 2secx c) 2tanxd) 2cscx e) 2cotx
20.Reducir:
L =xcot-xcsc
1 -
xcotxcsc1
a) 2 b) 2secx c) 2tanxd) 2cscx e) 2cotx
Practiquemos Practiquemos
195Organización EducativaTRILCE
1. Demostrar que:
(senx + cosx)4 + 3 = 4(1 + senx.cosx + sen2x.cos2x)
2. Demostrar que:
sec4x + tan4x = 1 + 2sec2x.tan2x
3. Reducir:
C =xcos-xsen
xcos-xsen22
66
+ sen2x.cos2x
a) 1 b) 2 c) sen4xd) cos4x e) sen4x - cos4x
Acepta el reto TRILCE ...!
4. Reducir:
C = (secx - tanx - 1)(cscx + cotx + 1)
a) 1 b) 2 c) -1d) -2 e) -2senx.cosx
5. Simplificar:
C =1-xcossenx
xcos.senx2xcos-senx-1
a) senx b) cosx c) senx + cosxd) senx - cosx e) 2(senx + cosx)
Tarea domiciliaria
1. Demostrar que:
tanx.cos2x.cscx = cosx
2. Demostrar que:
cotx.sen2x.secx = senx
3. Demostrar que:
senx(1 + cotx) + cosx(1 + tanx) = 2(senx + cosx)
4. Demostrar que:
secx(cosx + cotx) = 1 + cscx
5. Demostrar que:
senx(1+ senx) + cosx(1 + cosx) = 1 + senx + cosx
6. Demostrar que:
senx(1 - senx) + cosx(1 - cosx) = senx + cosx - 1
7. Demostrar que:
(senx + cosx)2 = 1 + 2senx.cosx
8. Demostrar que:
(senx - cosx)2 = 1 - 2senx.cosx
9. Demostrar que:
sen2x - sen4x = cos2x - cos4x
10.Demostrar que:
tan2x + tan4x = sec4x - sec2x
11.Demostrar que:
tan2x - sen2x = tan2x.sen2x
12.Demostrar que:
(1 + senx + cosx)2 = 2(1 + senx)(1 + cosx)
13.Reducir:
C = tanx.cosx.csc2x
a) 1 b) senx c) cosxd) secx e) cscx
14.Reducir:
C = sen2x.cotx + cos2x.tanx
a) senx.cosx b) 2senx.cosx c) 1d) 2 e) secx.cscx
15.Reducir:
C = senx.cosx.tanx + senx.cosx.cotx
a) senx.cosx b) 1 c) sen2x.cos2xd) 2senx.cosx e) 2
16.Reducir:
C = sen3x(1 + cot2x) - (1 - cos2x)cscx
a) 1 b) 2 c) 2senxd) 2cosx e) 0
17.Simplificar:
C =2 3 2 3(1 tan x)cos x (1 cot x)sen x
senx.cot x cos x.tanx
a) 1 b) 2 c) tanxd) cotx e) 2(tanx + cotx)
Autoevaluaciòn
Tarea domiciliaria
196 Cuarto Año de Secundaria
18.Simplificar:
C =2 2 2 2(sec x -1)(1 - sen x)(csc x -1)(1 - cos x)
senx.cos x.sec x.csc x
a) 1 b) 2 c) 12
d) senx.cosx e) 2senx.cosx
19.Simplificar:
C = sec4x - tan4x - 2tan2x
a) 1 b) -1 c) sec2xd) 2sec2x e) -2sec2x
20.Simplificar:
C = csc4x - cot4x - 2csc2x
a) 1 b) -1 c) csc2xd) -csc2x e) 2
21.Simplificar:
C = (tanx.cosx + cotx.senx)(tanx + cotx)
a) 1 b) secx c) cscxd) secx + cscx e) secx.cscx
22.Simplificar:
C = (senx + cosx + 1)(senx + cosx - 1)(tanx + cotx)
a) senx.cosx b) 2senx.cosx c) 1d) 2 e) 2secx.cscx
23.Reducir:
C = (secx + tanx + 1)(cscx - cotx - 1)
a) 1 b) - 1 c) 2d) - 2 e) - 4
24.Reducir:
L =2 2tan x cot x 1
tan x cot x 1 - tanx
a) tanx b) tanx - 1 c) cotx - 1d) cotx + 1 e) 1 - cotx
25.Reducir:
C = (sen2x - cos2x)(sen4x + cos4x)(sen8x + cos8x) + cos16x
a) sen16x b) 1 + sen16xc) 1 - sen16x d) sen16x + cos16xe) 0
197Organización EducativaTRILCE
COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO
Objetivos- Resolver correcta y rápidamente ejercicios tipo
condicionales; aplicando las identidades trigonométricasfundamentales.
- Usar correctamente las identidades auxiliares.
Tipo Condicionales:
1. Siendo:senx.cotx + cosx = 1
hallar el valor de “x” si es agudo.
Resolución:
En la condición, pasando a senos y cosenos:senx.cotx + cosx = 1
senx.senx
xcos + cosx = 1
Reduciendo:cosx + cosx = 1 2cosx = 1
cosx =21 x = 60°
2. Siendo:
tanx - cotx = 7calcular:
C = tan2x + cot2x
Resolución:
En la condición, elevando al cuadrado:
tanx - cotx = 7
(tanx - cotx)2 = ( 7 )2
tan2x - 2 1
xcot.xtan + cot2x = 7
tan2x - 2 + cot2x = 7 C
22 xcotxtan = 9
C = 9
3. Siendo:
senx + cosx =67
calcular:C = senx.cosx
Resolución:
Para formar “senx.cosx”; elevamos al cuadrado lacondición así:
senx + cosx =67
(senx + cosx)2 =
2
67
Desarrollando: sen x + 2senx.cosx + cos x =2 2
1
76
Quedaría:
1 + 2senx.cosx =67 2senx.cosx =
61
C
xcos.senx =121
C =121
4. Siendo:tanx + cotx = 3
calcular:C = sen3x.cosx + senx.cos3x
Resolución:
Pasamos la condición a senos y cosenos:tanx + cotx = 3
xcossenx
+senx
xcos = 3
senx.xcosxcosxsen 22
= 3
xcos.senx1
= 3 senx.cosx =31
Piden:C = sen3x.cosx + senx.cos3x
Factorizando:
C = senx.cosx( 1
xcosxsen 22 ) C =
31
.cosxsenx
C =31
Identidadestrigonométricas II27
198 Cuarto Año de Secundaria
Test de aprendizaje previo1. Reducir: C = secx cscx - cotx
Identidades auxiliares
1. tanx + cotx = secx.cscx
2. (senx ± cosx)2 = 1 ± 2senx.cosx
3. sen4x + cos4x = 1 - 2sen2x.cos2x
4. sen6x + cos6x = 1 - 3sen2x.cos2x
Veamos algunas aplicaciones en los siguientes ejemplos:
1. Reducir: C = (secx.cscx - tanx)(tanx + cotx)
Resolución:En la expresión note los cambios:
C = ( xcotxtan
xcsc.xsec
- tanx)( xcsc.xsec
xcotxtan )
C = (tanx + cotx - tanx)secx.cscxC = cotx.secx.cscx
Pasando a senos y cosenos:
C =senx
1.
xcos1
.senx
xcos
Reduciendo:
C =xsen
12 C = csc2x
2. Siendo: tanx + cotx = 6calcular: C = sen6x + cos6x
Resolución:En la condición:
tanx + cotx = 6 secx.cscx = 6
senx . cosx =6
1
En la expresión pedida:C = sen6x + cos6x
C = 1 - 3 2
6
1
22 xcos.xsen
C = 1 - 3.61
= 1 -21
... C =21
3. Siendo:
senx + cosx =45
calcular:C = sen4x + cos4x
Resolución:En la condición, elevando al cuadrado:
senx + cosx =45
xcos.senx21
2)xcossenx(
=45
2senx.cosx =41 senx.cosx =
81
Piden:C = sen4x + cos4x
C = 1 - 2 2
81
22 xcos.xsen
C = 1 - 2641
= 1 -321
... C =3231
2. Reducir:2(senx cosx)1
C2cosx
Test de Aprendizaje
199Organización EducativaTRILCE
3. Reducir:4 4
2
sen x + cos x -1C=
2sen x
4. Hallar "n" en la igualdad:(s e c x c s c x - 2 c o t x ) t a n x = t a n
n x - 1
5. Si: tanx + cotx = 6 , calcular: C = tan2x + cot2x
6. Reducir: K = secx.cscx - cotx
1. Hallar el valor agudo de “x” que verifica:
sen2x.cotx.cscx = 0,5
a) 37° b) 53° c) 30°d) 60° e) 45°
2. Hallar el valor agudo de “x” que cumple:
tanx.secx.senx = 3
a) 37° b) 53° c) 30°d) 60° e) 45°
Practiquemos3. Hallar el valor agudo de “x” que cumple:
1xcotxcsc1xtanxsec
= 1
a) 30° b) 45° c) 37°d) 53° e) 60°
4. Hallar “x” agudo que cumple:
xcosxcscsenxxsec
= 3
a) 30° b) 60° c) 45°d) 37° e) 15°
7. Si: tanx + cotx = 3; calcule: K = secx.cscx
8. Hallar:
2xcosxsen
1xcosxsenK
66
44
9. Reducir: K = (senx + cosx)2 + (senx - cosx)2
10.Si: 3senx + 4cosx = 5; halle "senx"
Practiquemos
200 Cuarto Año de Secundaria
11.Reducir: C = (secx.cscx - cotx)cosx
a) senx b) cosx c) senx.cosxd) sen2x.cos2x e) 1
12.Reducir: L = (secx.cscx + 2tanx)tanx - 1
a) 2tan2x b) 3tan2x c) 2cot2xd) 3cot2x e) 1
13.Siendo: tanx + cotx = 6calcular: C = (senx + cosx)2
a)31
b)32
c)34
d) 2 e)35
14.Siendo: tanx + cotx = 4calcular: L = (senx - cosx)2
a) 1 b)21
c)41
d)81
e)161
15.Siendo: tanx + cotx = 6calcular: C = (senx + cosx)6
a)3
16b)
916
c)964
d)2764
e)2716
16.Siendo: tanx + cotx = 3calcular: L = (senx - cosx)4
a)361
b)181
c)91
d)94
e)98
17.Simplificar:
C =2
xcosxsen 44 -
3xcosxsen 66
a)21
b)31
c)61
d)121
e)241
5. Siendo: tanx - cotx = 3calcular: C = tan2x + cot2x
a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
6. Siendo: tanx + cotx = 5calcular: L = tan2x + cot2x
a) 25 b) 23 c) 27d) 7 e) 3
7. Siendo:
senx + cosx =89
calcular: C = senx.cosx
a)81
b)41
c)161
d)21
e)163
8. Siendo:
senx - cosx =21
calcular: L = senx.cosx
a)21
b)43
c)83
d)41
e)81
9. Siendo: senx + cosx = n
hallar: C = tanx + cotx
a)1-n
22 b)
1-n
12 c)
1n
22
d)1n
12
e)1n
n22
10.Siendo: senx - cosx = n
hallar: L = secx - cscx
a)1-n
n2 b) 2n-1
n2c)
1-n
n22
d) 2n-1
ne) 2
2
n-1
n2
201Organización EducativaTRILCE
18.Simplificar:
L =5xcosxsen
3xcosxsen66
44
a)23
b)61
c)34
d)32
e)31
19.Siendo: tanx + cotx = 3
calcular: C = sen2x.tanx + cos2x.cotx
a)613
b)313
c)67
d)37
e)87
1. En trigonometría se definen tres líneas trigonométricasauxiliares; llamadas: verso, coverso y exsecante;denotadas y definidas por:
vers = 1 - coscov = 1 - sen
exsec = sec - 1según lo anterior, reducir:
C =1-)cos1()sen1(
4-covvers22
22
a) 1 b) -1 c) 2
d) -2 e) -21
2. Demostrar que:(vers + cov - 1)2 = 2vers.cov
3. Simplificar:
C =
cov.vers1)cov(vers 222
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 16
4. Siendo:tanx + cotx = 3
calcular:
L =xcsc-xsecxcscxsec
a) 3 b) 5 c) 3
d) 5 e) 2 5
5. Siendo:
(tanx + cotx) =xcosxsen
xcosxsen66
44
calcular: ( 6 )
a)34
b)32
c)31
d) 3 e)23
Acepta el reto TRILCE ...!
20.Siendo: tanx + cotx = 4
calcular: L = sen4x.tanx + cos4x.cotx
a)1613
b)1615
c)4
17
d)411
e)413
Autoevaluaciòn
202 Cuarto Año de Secundaria
Tarea domiciliaria
1. Demostrar que:
tanx + cotx = secx.cscx
2. Demostrar que:
sec2x + csc2x = sec2x.csc2x
3. Demostrar que:
secx.cscx - tanx = cotx
4. Demostrar que:
sec2x.csc2x - cot2x = sec2x + 1
5. Demostrar que:
sen4x + cos4x - 1 = -2sen2x.cos2x
6. Demostrar que:6 6
2sen x cos x-1
sen x = -3cos2x
7. Demostrar que:4 4
6 6sen x cos x 1 2
3sen x cos x 1
8. Demostrar que:4 4
6 6sen x cos x 3 2
3sen x cos x 5
9. Demostrar que:
(1 + senx + cosx)2 covx.versx = 2sen2x.cos2x
10.Demostrar que:2(1-senx cos x)versx
cov x = 2sen2x
11.Demostrar que:
sen8x + cos8x = 1 - 4sen2x.cos2x + 2sen4x.cos4x
12.Demostrar que:
sec4x + csc4x - sec4x.csc4x = -2sec2x.csc2x
13.Simplificar:
C = (secx.cscx - cotx)cscx
a) 1 b) cosx c) senxd) sec2x e) secx
14.Reducir:
C = (secx.cscx - tanx)secx
a) senx b) cscx c) tanxd) cotx e) 1
15.Simplificar:
C = sec2x.csc2x - cot2x - tan2x
a) 1 b) 2 c) 12
d) -2 e) -1
16.Reducir:
C = sec2x.csc2x - tan2x - 1
a) sec2x b) csc2x c) tan2xd) cot2x e) 1
17.Simplificar:
C =4 4 6 6sen x cos x sen x cos x -
2 3
a) 12 b) 1
3 c) 16
d) - 16 e) - 1
2
18.Reducir:
C = 3(sen4x + cos4x) - 2(sen6x + cos6x)
a) 1 b) -1 c) 2
d) -2 e)21
19.Reducir:
C = (sen2x - cos2x)2 - 1
a) sen2x.cos2x b) -sen2x.cos2xc) 2sen2x.cos2x d) -2sen2x.cos2xe) -4sen2x.cos2x
20.Reducir:
C = 3(sen2x - cos2x)2 - 4(sen6x + cos6x)
a) 1 b) 2 c) -1d) -2 e) 0
Tarea domiciliaria
203Organización EducativaTRILCE
21.Siendo: tanx + cotx = 6
calcular: C = (senx + cosx)2
a) 13 b) 2
3 c) 1
d) 43 e) 5
3
22.Siendo: tanx + cotx = 4calcular: C = (senx - cosx)2
a) 12 b) 1
4 c) 18
d) 16 e) 1
12
23.Siendo: tanx + cotx = 6calcular: C = sen6x + cos6x
a) 12 b) 1
3 c) 14
d) 16 e) 1
12
24.Si se sabe que: tanx + cotx = 2 2calcular: C = sen4x + cos4x
a) 12 b) 1
4 c) 34
d) 54 e) 1
25.Siendo: senx + cosx = 12
calcular: C = versx.covx
a) 12 b) 1
4 c) 16
d) 18 e) 1
16
205Organización EducativaTRILCE
COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO
1. Señale la suma del máximo y mínimo valor que puedetomar:
C = 4 s e n + 1; IR
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 8
2. Señale la suma del máximo y mínimo valor que puedetomar:
L = 2 + 3sen; IR
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
3. Señale la suma del máximo y mínimo valor que puedetomar:
C = 5 - 3cos; IR
a) 5 b) 6 c) 7d) 9 e) 10
4. Señale la suma del máximo y mínimo valor que puedetomar:
L = 7 - 4cos; IR
a) 6 b) 12 c) 7d) 14 e) 16
5. Demostrar que:
sec2x + csc2x = sec2x.csc2x ... (propiedad)
6. Demostrar que:
(tanx + 1)2 + (cotx + 1)2 = sec2x.csc2x + 2secx.cscx
7. Reducir:
C = {(1 + tan2x)cosx + xtan1 2 }cosxsi: x IC
a) secx b) 2 c) 2secxd) 1 e) cosx
8. Reducir:L = (sec2x - 1)cotx + (csc2x - 1)tanx
a) 1 b) senx.cosx c) secx.cscxd) 2senx.cosx e) 2secx.cscx
9. Siendo:tanx + cotx = 3
calcular:C = tan3x + cot3x
a) 27 b) 15 c) 17d) 18 e) 21
10.Siendo:tanx - cotx = 2
calcular:
L =1xcotxtan1xcot-xtan
22
33
a) 3 b) 5 c) 7d) 2 e) 4
11.Sabiendo que: <50°; 270°>; señale la suma delmáximo y mínimo valor entero que puede tomar:
C = 4sen + 1
a) 3 b) 4 c) 10d) 12 e) 14
12.Sabiendo que: [60°; 180°>; señale la suma delmáximo y mínimo valor entero que puede tomar:
L = 8cos + 1
a) - 8 b) - 6 c) - 1d) - 2 e) 0
13.Reducir:
C = [sen2x(1 - cos2x) + cos2x(1 - sen2x) - 1]sec2x
a) 2sen2x b) 2cos2x c) - 2sen2xd) - 2cos2x e) - 2
14.Reducir:
L = [sen4x(1 - cos2x) + cos4x(1 - sen2x) - 1]csc2x
a) - 3sen2x b) 3sen2x c) - 3cos2xd) 3cos2x e) - 3
Miscelánea V28Practiquemos Practiquemos
PractiquemosPractiquemos
206 Cuarto Año de Secundaria
Acepta el reto TRILCE ...!
1. Reducir:C = (secx + cosx)2 + (cscx + senx)2 - (tanx - cotx)2
a) 5 b) 6 c) 7d) 8 e) 9
2. Reducir:
L = )xcos1)(senx1)(xcsc-x(seccotx)(cscx-)xtanx(sec 22
a) senxcosx b) 2senxcosx c) secxcscxd) 2secxcscx e) 2
3. Sabiendo que:
1xcosxsen 88 = k(1 - sen2x.cos2x)¿cuál es el valor de “k”?
a) 1 b) 2 c) 2
d) 2 2 e) 4
4. Reducir:
C =1-xcotxcsc
1-xtanxsec44
44
a) tan2x b) tan4x c) tan6xd) tan8x e) tan16x
5. Siendo:tanx + cotx = n
reducir:L = sec4x.csc2x + sec2x.csc4x
a) n b) n2 c) n3
d) n4 e) n6
15.Simplificar:
C =1xcscxsec
xcsc.xsec-)1x(csc)1x(sec 2222
a) 1 b) 2 c) - 2d) - 1 e) 4
16.Simplificar:
L =xcsc-xsec-1
xcsc.xsec-)1-x(csc)1-x(sec 2222
a) 2 b) 1 c) - 1d) - 2 e) 4
17.Siendo:
senx + cosx =23
calcular: C = sen4x + cos4x
a)83
b)21
c)85
d)43
e)87
18.Siendo:
senx - cosx =32
calcular: L = sen6x + cos6x
a)67
b)125
c)43
d)1211
e)127
19.Si: sen4x + cos4x = n
hallar: C = sen6x + cos6x
a)2
1-n3b)
23n-1
c)3
1-n2
d)32n-1
e)2
1n3
20.Si: sen6x + cos6x = m
hallar: L = sen4x + cos4x
a)3
1-m2b)
31m2
c)2
1m3
d)2
1-m3e)
31-m3
Autoevaluaciòn
207Organización EducativaTRILCE
Tarea domiciliaria
1. Si: <37°; 180°], señale el valor máximo de:
C = 4sen + 1
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
2. Señale el valor máximo de:
C = 3 - 2cos ; ;3
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
3. Señale la extensión de:
C = 4sen + 1 ; IR
a) [- 3, 5] b) [- 1; 3] c) [- 2; 5]d) [- 4; 5] e) [- 1; 5]
4. Señale la extensión de:
C = 2cos + 1 ; II C
a) [- 1; 1> b) <- 1; 1> c) [- 1; 1]d) <- 1; 2> e) <0; 1>
5. Señale la extensión de:
C = 7sen - 1 ; IV C
a) <- 6; 1> b) <- 5; 1> c) <- 8; - 1>d) <- 7; 0> e) <- 7; - 1>
6. Simplificar:
C = senx tanx1 cos x
a) senx b) cosx c) tanxd) cotx e) 1
7. Reducir:
C = cos x-cot x1-senx
a) cosx b) cotx c) -cosxd) -cotx e) -1
8. Reducir:
C = (3senx + 2cosx)2 + (2senx - 3cosx)2
a) 5 b) 7 c) 9d) 11 e) 13
9. Reducir:
C = (2senx + cosx)2 + (senx - 2cosx)2
a) 1 b) 3 c) 4d) 5 e) 7
10.Reducir:
C = sen2x(1 + cos2x + cos4x + cos6x) + cos8x
a) 1 b) 2 c) 1 + sen2xd) 1 + cos2x e) cos2x
11.Reducir:
C = cos2x(1 + sen2x + sen4x + sen6x + sen8x) + sen10x
a) 1 b) 2 c) 0d) sen2x e) cos10x
12.Siendo:
(tanx + 1)2 + (cotx + 1)2 = sec2x + csc2x + 2k
hallar “k”.
a) 1 b) tanx c) cotxd) tanx + cotx e) 2
13.Siendo:
(3senx + cosx)2 + (senx + 3cosx)2 = 10 + 12ktanx
hallar “k”
a) senx b) sen2x c) cosxd) cos2x e) cotx
14.Reducir:
C =4 4 6 6sen x cos x sen x cos x -
2 3
a) 12 b) 1
3 c) 16
d) - 16 e) 1
12
15.Reducir:
C = 6(sen4x + cos4x) - 4(sen6x + cos6x)
a) 1 b) -1 c) 2d) -2 e) 6
Tarea domiciliaria
208 Cuarto Año de Secundaria
16.Siendo:tanx + cotx = 8
calcular:C = (senx + cosx)2
a) 13 b) 2
3 c) 1
d) 43 e) 5
4
17.Siendo:tanx + cotx = 8
calcular:C = (senx - cosx)2
a) 14 b) 1
2 c) 34
d) 54 e) 1
8
18.Siendo:
senx + cosx =45
calcular:C = sen4x + cos4x
a) 1633 b) 15
32 c) 3132
d) 56 e) 9
16
19.Siendo:
senx - cosx = 56
calcular:C = sen6x + cos6x
a) 1516 b) 17
18 c) 2526
d) 4748 e) 95
96
20.Siendo:4 4 6 6sen x cos x sen x cos x
m n
hallar: C = sec2x + csc2x
a) m-n3m-2n b) 3m-2n
m-n c) m n3m-2n
d) 3m-2nm n e) m n
m-n
21.Siendo:4 4 6 6sen x cos x sen x cos x
6 5
calcular:C = sec2x + csc2x
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 16
22.Si: 3senx + 4cosx = 5
calcular:C = 2senx + cosx
a) 1 b) 3 c) - 1d) 2 e) 4
23.Reducir:
C = sec x tanx 1sec x- tanx 1
- sec x- tanx-1
sec x tanx-1
a) 2secx b) - 2secx c) 2cosxd) 2cscx e) 2tanx
24.Calcular:C = tanx + cotx
si:senx + tanx = 1
a) 2 + 1 b) 2 - 1 c) - 2 - 1
d) 3 + 1 e) 3 - 1
25.Siendo:sen10x + cos10x = a + bsen2x.cos2x + csen4x.cos4x
calcular:K = 2a + b - 3c
a) -18 b) - 20 c) 18d) - 15 e) 6
209Organización EducativaTRILCE
COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO
Objetivos
• Desarrollar fórmulas para las razones trigonométricas dela suma y/o diferencia de ángulos; para calcular el valorde las razones trigonométricas de ángulos desconocidos.
• Aplicar convenientemente las fórmulas en lademostración de igualdades y simplificación deexpresiones, así como la resolución de problemascondicionales.
• Adaptar el uso de fórmulas a la resolución de situacionesgeométricas que implican hallar razones trigonométricasde ángulos desconocidos.
Fórmulas básicas
I. Para la suma de variables
sen(x + y) = senx.cosy + seny.cosx
cos(x + y) = cosx.cosy - senx.seny
tan(x + y) = ytan.xtan-1ytanxtan
Por ejemplo: (complete)
• sen() = sen.cos +
• sen(70° + x) = sen70°.cosx +
• cos(20° + x) = cos20°.cosx -
• cos( + 10°) =
• tan( + 10°) =-1
tan
• tan(45° + ) =
II. Para la diferencia de variables
sen(x - y) = senx.cosy - seny.cosx
cos(x - y) = cosx.cosy + senx.seny
tan(x - y) =ytan.xtan1
ytan-xtan
Por ejemplo: (complete)
• sen() = sen.cos -
• sen(20° - ) =
• cos(70° - x) = cos70°.cosx +
• cos(30° - x) = cos30°.cosx +
• tan(x - 20°) = _______________
• tan(60° - ) = _______________
Vamos a resolver ejercicios similares a los del capítulo deidentidades trigonométricas de una variable; esto es:demostración, simplificación y condicionales; con elingrediente adicional de situaciones geométricas, es decir,problemas gráficos.
Por ejemplo:
1. Demostrar que:
sen.coscos.sen-)(sen
= 1
Resolución:
En el primer miembro, desarrollando:
sen.coscos.sen-)(sen
= 1
sen .cos + sen .cos - sen .coscos .sen
= 1
Queda:
sen.coscos.sen = 1
Reduciendo: 1 = 1 (demostrado)
2. Demostrar que:
cos.cos)-(sen
= tan - tan
Resolución:
Desarrollando en el primer miembro:
cos.cos)-(sen
= tan - tan
cos.coscos.sen-cos.sen
= tan - tan
Desdoblando en fracciones homogéneas:
cos.coscos.sen
-
cos.coscos.sen
= tan - tan
Identidades trigonométricasde la suma y diferencia
de ángulos29
210 Cuarto Año de Secundaria
Reduciendo:
tan
cossen
-
tan
cossen
= tan - tan
tan - tan = tan - tan
3. Reducir:C = cos(60° + x) + cos(60° - x)
Resolución:Desarrollando en el segundo miembro:
C = cos(60° + x) + cos(60° - x)C = cos60°.cosx - sen60°.senx + cos60°.cosx + sen60°.senx
Reduciendo:C = 2cos60°.cosx
pero: cosx =21
C = 2
21
.cosx C = cosx
4. Reducir:C = tan + tan + tan.tan; si: + = 45°
Resolución:
Como: + = 45° tan( + ) = tan45°Desarrollando:
tan.tan-1tantan
= 1
tan + tan = 1 - tan.tanTrasladando términos:
C
tan.tantantan = 1
C = 1
5. Siendo: sen =10
3; sen =
5
2
siendo “” y “” agudos, calcular: tan( - )
Resolución:
Como:
sen =10
3 3
1
10 tan = 3
sen =5
2 2
1
5
tan = 2
Entonces:
tan( - ) =
tan.tan1tan-tan
tan( - ) =2.31
2-3
tan( - ) =71
6. Del gráfico mostrado, calcular “tan”.
A B
D C
4
1
5
Resolución:
Del gráfico:
A B
D C
4
1
5y
- Sea: DBA = x; DCA = yLuego: = x + y ... (prop. geométrica)
tan = tan(x + y)
tan =ytan.xtan-1ytanxtan ... (1)
- DAB: tanx = 4
- ADC: tany =54
En (1):
tan =
54
.4-1
54
4 =
511
-
524
tan = -1124
(demostrado)
211Organización EducativaTRILCE
7. Señale el valor de: tan29°
Resolución:
Piden:tan29° = tan(45° - 16°)
tan29° =
16tan.45tan116tan-45tan
Test de aprendizaje previo
1. Completa de forma correcta:sen(a + b) = sena cosb + ....
2. Complete de forma correcta:cos(a + b) = cosa cosb - ....
3. Reducir:
sen(x+θ)- senx cosθ
C=cosx cos
θ
4. Reducir:
cos(x+θ)+ senx senθ
C=senxcos
θ
5. Reducir:
sen(x - y)+ senycosxC=cos(x - y)- senx seny
Reemplazando valores:
tan29° =
247
.11
247
-1
=
24312417
Reduciendo:
tan29° =3117
6. Reducir: C = sen(x + y) - senycosx
7. Complete: cos(x + y) = cosx.cosy ..........
8. Reducir:
sen(x y)seny cos xCcos x cos y
9. A qué es igual: C = sen20°cos25° + sen25°cos20°
10.A qué es igual: C = cos40°cos20° - sen40°sen20°
Test de Aprendizaje
212 Cuarto Año de Secundaria
Practiquemos
1. Demostrar que:
seny.senxxcos.seny-)yx(sen
= coty
2. Demostrar que:
ycos.xcosxcos.seny)y-x(sen
= tanx
3. Demostrar que:
cos(30° + x) + cos(30° - x) = 3 cosx
4. Demostrar que:
cos
x-
3 - cos
x3
= 3 senx
5. Demostrar que:
)yxtan(ytanxtan
= 1 - tanx.tany
6. Demostrar que:
)y-xtan(ytan-xtan
- 1 = tanx.tany
7. Demostrar que:
sen15° =4
2-6
8. Demostrar que:
sen75° =4
26
9. Demostrar que:
tan29° =3117
10.Demostrar que:
tan21° =11744
11.Reducir:
C =
sen.sen)cos(cos.sen-)(sen
a) tan b) tan c) cotd) cot e) 1
12.Reducir:
L =
.coscos-)-cos(cos.sen)-(sen
a) tan b) tan c) cotd) cot e) 1
13.Reducir:
C = ycos.xcos)y-x(sen
+ tany
a) 1 b) tanx c) cotxd) tany e) 2tanx
14.Reducir:
L = ycos.senx)yxcos(
+ tany
a) cotx b) tanx c) - cotxd) - tanx e) 0
15.Siendo:tanx + tany + tanz = 4
calcular:
C = ycos.xcos)yx(sen
+ zcos.ycos)zy(sen
+xcos.zcos)xz(sen
a) 3 b) 4 c) 6d) 8 e) 12
16.Reducir:
L = ycos.xcos)y-x(sen
+ zcos.ycos)z-y(sen
+xcos.zcos)x-z(sen
a) 1 b) 0 c) 2d) - 2 e) - 1
17.Sabiendo que “” y “” son ángulos agudos, tales que:
sen =13
3 sen =
5
1
calcular: tan( - )
a)73
b)37
c)74
d)72
e)71
Practiquemos
213Organización EducativaTRILCE
18.Sabiendo que “” y “” son ángulos agudos, tales que:
cos =29
2 cos =
13
2
calcular: tan( + )
a) 1116
b) - 1116
c) 116
d) - 116
e) 711
19.Del gráfico, calcular “tan”.
A N B
M
C2
2
65
a)3716
b)3715
c)3712
d)3717
e)3713
20.Del gráfico, calcular “tan” si ABCD es un cuadrado.
A
B
D
CE2 5
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 6
1. Sabiendo que:
5
1ii}sen{ = 0;
5
1ii}{cos = 0
calcular:
C =
5
1ii
5
1ii )}{cos()}(sen{
a) 1 b) - 1 c) 0
d)21
e) -21
2. Calcular:
C =2
70sen25cos25sen
80sen20cos320sen
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
3. Siendo: x + y = 60°, calcular:
L = tanx + tany + 3 tanx.tany
a) 1 b) 2 c) 3
d) 3 3 e) 3
4. Si en el gráfico ABCD es un cuadrado, calcular latangente del menor ángulo formado por AE y CF .
A
B
D
CE2 5
F 6
a)6117
b)6125
c)6127
d)6128
e)6131
5. Siendo “A”, “B” y “C” los ángulos interiores de un triánguloacutángulo, calcular:
E = tanA + tan2B + tan3Csi: tanA + 1 = tanB = tanC - 1
a) 16 b) 19 c) 27d) 30 e) 32
Acepta el reto TRILCE ...!Test de Aprendizaje
214 Cuarto Año de Secundaria
Tarea domiciliaria
1. Demostrar que:
sen()-sen .coscos .cos
= tan
2. Demostrar que:
sen(- )sen .cossen .sen
= cot
3. Demostrar que:
cos()sen .sensen .cos
= cot
4. Demostrar que:
cos(- )-cos .cossen .cos = tan
5. Demostrar que:
sen(45° + x) = 22
(senx + cosx)
6. Demostrar que:
sen(60° - x) = 12 ( 3 cosx - senx)
7. Demostrar que:cos(60° + x) + cos(60° - x) = cosx
8. Demostrar que:
cos(30° + ) + cos(30° - ) = 3cos
9. Si: a + b = 45°; demuestre que:
tana + tanb + tana . tanb = 1
10.Si: a - b = 45°; demuestre que:
tana - tanb - tana . tanb = 1
11.Demostrar que:sen(a + b) sen(a - b) = sen2a - sen2b
12.Demostrar que si: x + y + z = 180°entonces: tanx + tany + tanz = tanx.tany.tanz
13.Calcular el valor de “sen15°”
a) 6- 22
b) 6 22 c) 6- 2
4
d) 6 24 e) 6- 2
8
14.Calcular: cos74°
a) 0,14 b) 0,21 c) 0,28d) 0,48 e) 0,76
15.Simplificar:
C =sen(x y)cos x.cos y
- tany
a) tanx b) cotx c) cotyd) -tanx e) tany
16.Reducir:
C =sen(x-y)
cos x.cos y + tany
a) tanx b) cotx c) secxd) cscx e) 1
17.Reducir:
C =cos(x-y)
senx.cos y - cotx
a) 1 b) tany c) cotyd) cotx e) tanx
18.Reducir:
C =cos(x y)senx.cos y
+ tany
a) tanx b) cotx c) cotyd) 2tanx e) 2cotx
19.Si: x + y = 45°; tanx = 16
calcular: tany
a) 37 b) 3
5 c) 47
d) 45 e) 5
720.Siendo:
x - y = 60°; tany = 2 3
calcular: tanx
a) 0,4 3 b) -0,4 3 c) 0,6 3
d) -0,6 3 e) -0,12 3
Tarea domiciliaria
215Organización EducativaTRILCE
21.Del gráfico, calcular “tan” si ABCD es un cuadrado.
A
B
D
C
E2 5
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
22.Del gráfico, calcular: tan
2
3
5A D
CB
a) 811 b) 11
8 c) 1611
d) 3211 e) 9
11
23.Calcular:
C = tan56 - tan34tan22
a) 1 b) 2 c) 4
d) 14 e) 1
2
24.Siendo: sen(2x + y) = 5senyse comprueba que: tan(x + y) = ntanx¿Cuál es el valor de “n”?
a) 1 b) 2 c) 3
d) 23 e) 3
2
25.Del gráfico, calcular: K = a2 + b2 + c2 + abc
a
b
c
OA D
BC
1
a) 2 b) 3 c) 4d) 8 e) 6
217Organización EducativaTRILCE
COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO
Objetivos Desarrollar fórmulas para calcular las razones
trigonométricas del doble de un ángulo. Aplicar las fórmulas del ángulo doble a la demostración
de igualdades y la simplificación de expresiones.
Fórmulas básicas
I. Para el seno del doble: (sen2)
sen2 = 2sencos
8sen40sen2sen
II. Para el coseno del doble: (cos2)
cos2 = cos2 - sen2
cos440cos2cos
III. Para la tangente del doble: (tan2)
tan2 =
2tan-1
tan2
20tan
2tan
Los ejercicios que vamos a resolver son de las mismascaracterísticas que de los capítulos anteriores: demostraciónde igualdades, simplificación de expresiones, ejercicioscondicionales y situaciones gráficas.
Por ejemplo:
1. Siendo “” un ángulo agudo, tal que: tan = 2/3; calcular“sen2”.
Resolución:
De la condición: tan =32
En un triángulo rectángulo:
3
213
Luego:s e n 2 = 2sen.cos
sen2 = 2.13
2 .13
3 sen2 =1312
2. Demostrar que:(s e n x + c o s x )
2 = 1 + sen2x
Resolución:
En el primer miembro, desarrollando:(senx + cosx)2 = 1 + sen2x
sen x + 2senx.cosx + cos x2 2
1
= 1 + sen2x
1 + x2sen
xcos.senx2 = 1 + sen2x
1 + sen2x = 1 + sen2x
3. Simplificar:C = 4sen.cos.cos2
Resolución:Recuerde que: 2sen cos = sen2En la expresión:
C = 4sen.cos.cos2
C = 2.
2sen
cos.sen2 .cos2
Luego:
C =
4sen
2cos.2sen2
C = sen4
4. Simplificar:
C =
2cos-1
2cos-1
Resolución:En la expresión:
C =
2cos-1
2cos-1 =
2
22
sen
)sen-cos(-1
C =
2
22
sen
sencos-1
C =
2
22
sen
sensen =
2
2
sen
sen2
C = 2
(demostrado)
Identidades trigonométricasdel ángulo doble30
218 Cuarto Año de Secundaria
5. Siendo:
sen + cos =45
calcular “sen2”
Resolución:Recuerde que: sen2 = 2sen.cosEn la condición, elevando al cuadrado:
(sen + cos)2 =
2
45
1 +
2sen
cos.sen2 =45 1 + sen2 =
45
sen2 =41
6. Siendo:sec2x + csc2x = n csc22x
¿Cuál es el valor de “n”?
Resolución:En la condición, pasamos a senos y cosenos:
sec2x + csc2x = n csc22x
xcos
12 +
xsen
12 = n.
x2sen
12
xsen.xcos
xcosxsen22
22 =
x2sen
n2
xcos.xsen
122 = 2)xcos.senx2(
n
xcos.xsen
122 =
xcos.xsen4
n22
Reduciendo:
1 =4n n = 4
7. Del gráfico, calcular “x”.
A D B
C
x3
2
Resolución:En el gráfico:
A D B
C
x3
2
5
- DBC: BC = 5
- ABC: cos2 =x5
... (1)
Pero: cos2 = cos2 - sen2
y en el DBC: cos =35
sen =32
Luego:
cos2 =95
-94
=91
En (1):
91
=x5 x = 9 5
219Organización EducativaTRILCE
Test de aprendizaje previo
1. Reducir:
sen
2senC
2. Reducir: C = cos2 + sen2
3. Si: tan=32
; calcule: sen2
4. Si: tan =5
1; calcular: cos2
5. Reducir: C = (1 - tan2) tan2
6. Completar correctamente: sen2 = 2sen....
7. Completar correctamente: cos2 = cos2 - ....
8. Si: tan = 41
; "" es agudo, calcular: sen2
9. Simplificar: C = sen cos cos2 cos4
10.Hallar "n" en la igualdad: cot + tan =n
sen2
θ
1. Siendo “” un ángulo agudo, tal que: cot = 4, calcular“sen2”.
a)154
b)174
c)158
d)178
e)1715
Practiquemos
2. Siendo “” un ángulo agudo, tal que: tan = 2/5,calcular “sen2”.
a)2921
b)2920
c)2910
d)2917
e)2919
Practiquemos
Test de Aprendizaje
220 Cuarto Año de Secundaria
12.Simplificar:
L = (2cos - sen2)(1 + sen)
a) sen3 b) 2sen3 c) 2cos3d) cos3 e) cos2
13.Señale el equivalente de:
C = sen.cos.cos2.cos4
a) sen4 b) 4sen4 c)41
sen4
d) 8sen8 e)81
sen8
14.Señale el equivalente de:
L = sen.cos.cos2
a) sen4 b) 2sen4 c)21
sen4
d) 4sen4 e)41
sen4
15.Reducir:
C = cos4 - sen4
a) cos22 b) cos4 c) cos2
d)21
cos2 e) 2cos2
16.Reducir:
L = sen.cos5 - sen5.cos
a) sen4 b)21
sen4 c) 2sen4
d)41
sen4 e) 4sen4
17.Siendo:2
senx =
3xcos
calcular: C =x2cos1x2cos-1
a)32
b)91
c)49
d) 9 e)94
3. Siendo “” un ángulo agudo, tal que: sen = 1/ 6 ,calcular “cos2”.
a)32
b)31
c)65
d)32
e)63
4. Siendo “” un ángulo agudo, tal que: tan= 1/ 6 ,calcular: “cos2”
a)32
b)65
c)75
d)43
e)31
5. Siendo: cos =3
1; IVC, calcular “tan2”..
a) 2 b) 2 2 c) - 2
d) -2 2 e) - 4 2
6. Siendo: sen =65
; IIC; calcular “tan2”
a) -2 5 b) - 5 c) 5
d) -25
e)25
7. Demostrar que:
(s e n 2 .sec)2 + (sen2.csc)2 = 4
8. Demostrar que:
(sen2.sec + sen2.csc)cot = 3cos
9. Demostrar que:
1 - cos2 = 2sen2
10.Demostrar que:
1 + cos2 = 2cos2
11.Simplificar:
C = (sen2 + 2sen)(1 - cos)
a) sen3 b) 2sen3 c) 2cos3d) cos3 e) 2sen2
221Organización EducativaTRILCE
18.Siendo:4
senx = cosx
calcular:
L =x2senx2cos1x2senx2cos-1
a) 2 b) 4 c)41
d)161
e) 16
19.Siendo: senx + cosx =23
; calcular “sen2x”..
a)21
b)41
c)32
d)43
e)31
20.Siendo: senx - cosx =32
; calcular “sen2x”..
a)32
b)31
c)61
d)65
e)43
21.Del gráfico, calcular “cos ”, si: CP = 3 y DQ = 5
A
B
C
D
O Q
P
a) 32
b) 53
c) 65
d) 125
e) 61
22.Del gráfico, calcular “cos”:
Q
a b
2P R
a) ba
b) ab
c) ba2
d) b2a
e) a2b
1. Demostrar que:
sec2x + csc2x + 4sec22x = 16csc24x
2. Reducir:C = c o t - tan - 2tan2
a) 4tan2 b) 4cot2 c) 4cot4d) 2cot4 e) 8cot4
3. Reducir:L = 8cos4 - 8cos2 + 1
a) cos4 b) 4cos22 c) 2cos4d) cos24 e) 2cos24
Acepta el reto TRILCE ...!
4. Siendo:tanx.tan2x + tany.tan2y + tanz.tan2z = 6
calcular:C = cotx.tan2x + coty.tan2y + cotz.tan2z
a) 3 b) 6 c) 9d) 12 e) 15
5. Siendo:c o s 2 x + c o s
22x + cos32x = 1
calcular:L = tanx + tan2x + tan3x
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
Autoevaluaciòn
222 Cuarto Año de Secundaria
Tarea domiciliaria
1. Siendo “” un ángulo agudo tal que:
tan = 23
Calcular: sen2
a) 1213 b) 6
13 c) 113
d) 313 e) 5
13
2. Siendo “” un ángulo agudo, tal que:
tan = 14
calcular: sen2
a) 415 b) 8
15 c) 417
d) 817 e) 16
17
3. Siendo “” un ángulo agudo tal que:
tan = 16
Calcular: cos2
a) 17 b) 2
3 c) 37
d) 47 e) 5
7
4. Siendo “” un ángulo agudo, tal que:
tan = 27
calcular: cos2
a) 211 b) 3
11 c) 411
d) 511 e) 6
11
5. Demostrar que:
(senx + cosx)2 = 1 + sen2x
6. Demostrar que:
(senx - cosx)2 = 1 - sen2x
7. Demostrar que:
tanx + cotx = 2csc2x
8. Demostrar que:
s e n
2x.cotx + cos2x.tanx = sen2x
9. Demostrar que:
cos4x - sen4x = cos2x
10.Demostrar que:
cos2x.cotx - sen2x.tanx = 2cot2x
11.Demostrar que:
1 - cos2x = 2sen2x
12.Demostrar que:
1 + cos2x = 2cos2x
13.Demostrar que:
cotx - tanx = 2cot2x
14.Demostrar que:
secx - cscx =2(senx- cos x)
sen2x
15.Simplificar:C = 8sen.cos.cos2.cos4
a) sen4 b) 2sen4 c) sen8
d) 2sen8 e) 12 sen8
16.Simplificar:C = 4senx.cosx.cos2x
a) sen2x b) sen4x c) 2sen4x
d) 4sen4x e) 12 sen4x
17.Simplificar:
C = senx.cos3x - sen3x.cosx
a) sen2x b) 12 sen2x c) sen4x
d) 12 sen4x e) 1
4 sen4x
Tarea domiciliaria
223Organización EducativaTRILCE
18.Reducir:C = senx.cos5x - sen5x.cosx
a) sen2x b) sen4x c) 14 sen2x
d) 14 sen4x e) 1
2 sen4x
19.Reducir:
C = 1 - cos2x1 cos2x
a) tanx b) tan2x c) cotxd) cot2x e) 2tan2x
20.Reducir:
C = 1 - cos2xsen2x
a) senx b) tanx c) cotxd) tan2x e) cot2x
21.Siendo: tanx + cotx = 4
calcular: sen2x
a) 14 b) 1
2 c) 18
d) 22
e) 24
22.Siendo: tanx + cotx = 6
calcular: sen2x
a) 16 b) 1
3 c) 23
d) 112 e) 1
9
23.Siendo: senx - cosx = 12
calcular: sen2x
a) 12 b) 1
4 c) 32
d) 34 e) 1
24.Simplificar:C = sec2x + csc2x + 4sec22x
a) 16csc22x b) 16csc24x c) 4csc24xd) 8csc22x e) 16sec24x
25.Si:tanx + tan2x + tan3x = 1
calcular:C = cos2x + cos22x + cos32x
a) 1 b) 2 c) 0d) -1 e) -2
225Organización EducativaTRILCE
COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO TRILCE • COLEGIO
Objetivos
Determinar las medidas de los elementos básicos de untriángulo: sus lados y ángulos; a partir de algunosconocidos.
Simplificar expresiones que contengan a los elementosde un triángulo.
¿Qué es resolver un triángulo?
Dado el triángulo oblicuángulo ABC, resolverlo significadeterminar las medidas de sus lados y ángulos; a partir dealgunos de ellos conocidos, utilizando para ello propiedadesgeométricas y otras propias del curso, tales como el teoremade los senos y de los cosenos.
A C
B
b
c a
Teoremas a utilizar
I. Teorema de los senos:
En todo triángulo se cumple que sus lados sonproporcionales a los senos de los ángulos a los cualesse oponen; siendo la constante de proporcionalidad, eldiámetro de la circunferencia circunscrita a dichotriángulo. En el triángulo ABC del gráfico, se cumple:
ca
bA
B
C
R
senAa
=senB
b =
senCc
= 2R
R: circunradio
De donde se cumple:
a senB = b senAb senC = c senBc senA = a senC
a = 2R senAb = 2R senBc = 2R senC
II. Teorema de los cosenos
En todo triángulo se cumple que el cuadrado de un ladoes igual a la suma de los cuadrados de los otros dos,menos el doble del producto de los mismos multiplicadospor el coseno del ángulo que forman.
En el triángulo ABC del gráfico, se cumple:
A
C
B
ac
b
a = b + c - 2bc cosA
b
c
2 2 2
2 2 2
2 2 2
= a + c - 2ac cosB
= a + b - 2ab cosC
De donde se puede afirmar que:
b + c - = 2bc cosA2 2 2
2 2 2
2 2 2
a
a + c - b = 2ac cosB
a + b - c = 2ab cosC
Veamos algunas aplicaciones en los siguientes ejemplos:
1. En un triángulo ABC: A = 45°; B = 60°; a = 6. Calcular “b”..
Resolución:
45º 60º
b a = 6
A B
C
Del gráfico:
senAa
=senB
b
45sen6
=60sen
b
Resolución detriángulos oblicuángulos31
226 Cuarto Año de Secundaria
Despejando:
b =
45sen60sen.6 =
2223
.6 =
2
36 .2
2
b = 3 6
2. Al cercar un terreno tal como se muestra en el gráfico,se toman tres puntos “P”, “Q” y “R”; notándose que:PQ = 217,5 m; RPQ = 42° y QRP = 23,5°. Calcular lalongitud de QR y PR .
P
R
Q
Resolución:
P
R
Q217,5
y
x
23,5º
42º
114,5º
Del gráfico: RQP = 114,5°Por el teorema de los senos:
42senx
= 5,23sen5,217
= 5,114seny
i.42sen
x = 5,23sen
5,217 x =
5,23sen42sen.5,217
con calculadora: x = 39875,0)66913,0(5,217
= 364,98 m
ii. 5,114seny
= 5,23sen5,217 y =
5,23sen
5,114sen.5,217
y = 39875,0)90996,0.(5,217
= 496,34 m
3. En un triángulo ABC: a = 3; b = 5 y c = 6. Calcular m B.
Resolución:En el gráfico se tiene:
b = 5 a = 3
c =6A B
C
b2 = a2 + c2 - 2ac.cosB 52 = 32 + 62 - 2(3)(6)cosB
25 = 9 + 36 - 36cosBDespejando:
36cosB = 20
cosB =95 B = Arccos
95 56,25°
4. Se desea calcular la distancia entre los puntos “A” y “B”,inaccesibles por un gran lago entre ellos. Se toma unpunto “P” de la superficie de donde se divisa a “A” y “B”a distancias 120 y 150 m, notándose que BPA = 58,6°.
Resolución:Graficando la situación y aplicando el teorema de loscosenos:
x120
150
58,6º
A
BP
x2 = 1202 + 1502 - 2(120)(150)cos58,6°x2 = 14 400 + 22 500 - 36 000(0,521)
Operando:x2 = 36 900 - 18 756
x2 = 18 144 = 18144 x 134,6997 m
5. En un triángulo ABC, reducir:
K =csenAasenCbsenAasenB
si: senB = 3senC
Resolución:
En la expresión:
K =csenAasenCbsenAasenB
recuerde que: asenB = bsenA y asenC = csenALuego:
K =asenCasenCasenBasenB
=asenC2asenB2
Reduciendo: K =senCsenB
pero: senB = 3senC
K =senCsenC3
K = 3
227Organización EducativaTRILCE
6. En un triángulo ABC; reducir:
K =senBsenAba
+senCsenAca
si: R: circunradio
Resolución:Recordar que:
a = 2RsenA; b = 2RsenB; c = 2RsenC
Luego reemplazando en la expresión:
K =senBsenARsenB2RsenA2
+senCsenARsenC2RsenA2
K =senBsenA
)senBsenA(R2
+senCsenA
)senCsenA(R2
Reduciendo: K = 2R + 2R K = 4R
7. En un triángulo ABC:
p(p - c) =43
ab
calcular C , si “p” es el semiperímetro del triángulo ABC.
Resolución: Como: p =2
cba
La condición sería:
p (p - c ) =
43
ab
2
cba
c-
2cba
=43
ab
2
cba
2
c-ba =
43
ab
((a + b) + c)((a + b) - c) = 3ab
Por diferencia de cuadrados:
2)ba( - c2 = 3ab
a2 + b2 + 2ab - c2 = 3ab
222 c-ba = ab
2ab cosC = ab
cosC =21 C = 60°
Test de aprendizaje previo
1. Del gráfico, hallar "x".
x
B
A C
2 3
60° 45°
2. Del gráfico, hallar "x".
2
B
A C
x
60°3
3. Del gráfico, hallar ""
B
A C
3 2 2
45°
4. Del gráfico, hallar ""
B
A C
3 2
7
5. En un ABC, reducir:
2 2 2a b cE secC
ab
* Desarrollar en forma correlativa
6. Completar
a bsenA ..........
Test de Aprendizaje
228 Cuarto Año de Secundaria
1. En un triángulo ABC: A = 45°; C = 30°; a = 6.Calcular “c”.
a) 3 b) 3 2 c) 2 2
d) 2 6 e) 6
2. En un triángulo ABC: A = 45°; B = 37°; b = 30.Calcular “a”.
a) 25 2 b) 5 2 c) 10 2
d) 15 2 e) 20 2
3. En un triángulo ABC: A = 72°; B = 65°; a = 17..Calcular “b”.
a) 17,25 b) 17,20 c) 16,20d) 16 e) 18,20
4. En un triángulo ABC: A = 66°; C = 20°; c = 14.Calcular “a”.
a) 31,394 b) 37,294 c) 36,294d) 37,394 e) 35,274
5. En un triángulo ABC: A = 78°; B = 27°; a = 8.Calcular “c”.
a) 8,72 b) 8,17 c) 8,26d) 7,96 e) 8,1
6. En un triángulo ABC: A = 64°; C = 48°; b = 5.Calcular “a”.
a) 4,847 b) 4,726 c) 4,916d) 4,146 e) 4,236
7. En un triángulo ABC: a = 6; b = 3 y C = 60°.Calcular “c”.
a) 2 6 b) 3 6 c) 3 2
d) 3 3 e) 2 3
8. En un triángulo ABC: b = 3; c = 4; A = 120°.Calcular “a”.
a) 35 b) 37 c) 29
d) 23 e) 33
9. En un triángulo ABC: a = 7; b = 8 y c = 9. Calcular “B ”..
a) 62°27'32'' b) 61°31'14'' c) 58°24'43''d) 57°14'26'' e) 56°17'13''
10.En un triángulo ABC: a = 5; b = 6 y c = 7. Calcular “ C ”..
a) 77°31'43'' b) 75°14'36'' c) 74°27'16''d) 67°32'43'' e) 78°27'47''
11.En un triángulo ABC, donde “R” es su circunradio,simplificar:
E =
basenBsenA
senCsenBcb
a) R2 b) 2R2 c)2
R2
d) 4R2 e) 1
Practiquemos
7. En el gráfico, hallar ‘‘Cos’’.
2 3
4
8. En un triángulo ABC:
a = 6 ; b = 7 ; c = 5
hallar: cosA
9. En un triángulo ABC, el CosA es equivalente a:
a) a2 -b2+c2 b) 2 2 2b c a2bc c) (a2 -b2)c2
d) 2 2 2c b a2ac e) 5
10.En el gráfico, hallar ‘‘b’’.
6 b
37°
A
B C30°
Practiquemos
229Organización EducativaTRILCE
12.En un triángulo ABC, donde “R” es su circunradio, reducir:
E =senB-senAb-a
+senC-senBc-b
a) R b) 2R c) 3Rd) 4R e) 6R
13.En un triángulo ABC, simplificar:
E = (a - b)senC + (b - c)senA + (c - a)senB
a) abc b) a - b + c c) a + b + cd) 0 e) 1
14.En un triángulo ABC, simplificar:
E = a(senB - senC) + b(senC - senA) + c(senA - senB)
a) 0 b) 1 c) -1d) 2 e) - 2
15.En un triángulo ABC:3a
=4b
=6c
, calcular C .
a) 116°49'17'' b) 118°32'46'' c) 119°27'43''d) 118°31'47'' e) 123°43'26''
16.En un triángulo ABC:5a
=7b
=8c
.
Calcular la medida del mayor ángulo del triángulo.
a) 80°37'43'' b) 81°55'47'' c) 82°16'54''d) 83°17'15'' e) 84°27'16''
17.En un triángulo ABC: a2 = b2 + c2 -21
bc, calcular “cos2A””
a)85
b) -85
c)87
d) -87
e) -81
18.En un triángulo ABC: b2 = a2 + c2 -31
ac. Calcular
“cos2B”
a) -43
b)1817
c) -1817
d)43
e) -169
19.Se desea calcular la distancia entre dos puntos “A” y “B”inaccesibles por un lago entre ellos. Para ello se tomaun punto “P” de la superficie de donde se divisa a “A” y“B” a 18 m y 23 m respectivamente, notándose ademásque BPA = 60°.
a) 20,95 m b) 23,17 m c) 21,46 md) 25,18 m e) 26,19 m
20.Con la ayuda de un teodolito se divisa un edificio bajoun ángulo de 60°, notándose que las visuales trazadashacia las partes alta y baja del edificio, miden 40 m y20 m respectivamente. Calcular la altura del edificio.
a) 36,26 m b) 34,64 m c) 41,16 md) 38,26 m e) 42,16 m
1. En qué tipo de triángulo ABC se cumple:
acos A = b
cosB = ccosC
a) isósceles b) rectánguloc) equilátero d) acutánguloe) obtusángulo
2. En el gráfico, señale el equivalente de “cot” en funciónde “A”, “B” y “C”.
P
A C
B
Acepta el reto TRILCE ...!
a) cotA + cotB + cotC b) cotA.cotB.cotCc) tanA + tanB + tanC d) secA + secB + secCe) secA.secB.secC
3. Del gráfico, calcular “x”.
A C
B
2 7x
60º
a) 4,09 b) 3,76 c) 4,21d) 3,93 e) 4,17
Autoevaluaciòn
230 Cuarto Año de Secundaria
I. Aspectos conceptuales
Complete correctamente en los espacios en blanco:
- Si un arco “” pertenece al IIC, entonces “sen” está en
el intervalo ................... .
- Si un arco “” pertenece al IIC, entonces “cos” está en
el intervalo ................... .
- El máximo valor de “senx” es ...................; mientras
que el mínimo valor de “cosx” es ................... .
- Por identidades trigonométricas de una variable, se sabe
que: sen2 + cos2 = ....................... ; mientras que:
sec2 = 1 + ....................... ; y tan =sen
- Con I.T. de la suma y diferencia de ángulos, secomprueba que:
sen(x + y) = senx.cosy + ........................
cos(x + y) = cosx.cosy - ........................
tan(x + y) =ytanxtan
- Según las I.T. del ángulo doble, se comprueba que:
sen2 = 2sen . ..........................
cos2 = cos2 - ..........................
- En un triángulo ABC:
senAa
=senB
=c
Así como también: a2 = b2 + c2 - ....................
II. Habilidad operativa
1. Señale la variación de: C = 5sen + 3; IR
Resolución:
2. Señale la variación de: L = 3cos + 1; IIC
Resolución:
3. Sabiendo que: <25°; 180°], señale la extensiónde: C = 4sen + 1
Resolución:
Repaso
4. En un triángulo ABC: a = 5; b = 6 y c = 7. Calcular:
E =senC-senAsenB2senC-senBsenA2
a) 0,3 b) 0,6 c) 0,9d) 0,5 e) 0,8
5. En un triángulo ABC de lados enteros y consecutivos, elángulo mayor es el doble del menor. Calcular elperímetro del triángulo.
a) 15 b) 18 c) 30d) 36 e) 24
231Organización EducativaTRILCE
4. Demostrar que: (1 + tan2x)cos4x + (1 + cot2x)sen4x = 1
Resolución:
5. Demostrar que:(3senx + cosx)2 + (senx + 3cosx)2 = 10 + 12senx.cosx
Resolución:
6. Reducir: C =4xcot5xcsc5xtan4xsec
Resolución:
7. Reducir: L = (secx.cscx - tanx)(secx.cscx - cotx)
Resolución:
8. Si: senx + cosx = n; demuestre que:
secx + cscx =1-n
n22
Resolución:
9. Si: senx =10
3; seny =
17
4; calcular “tan(y - x)”
Resolución:
10.Simplificar: C =
sen.senx-)-xcos(cos.senx-)x(sen
Resolución:
11.Reducir: L = sen2(tan + cot)
Resolución:
232 Cuarto Año de Secundaria
12.Reducir: C =
2sen2cos-1
Resolución:
13.Siendo: tan + cot = n
demostrar que: sen2 =n2
Resolución:
14.Del gráfico, calcular:senBsenA
2 5
A B
C
Resolución:
15.Del gráfico, calcular “x”.
30ºA C
B
5
x 2 3
Resolución:
III. Situaciones problemáticas
1. En la C.T. mostrada, señale la variación del área de la
región sombreada, si 65
;32
A' A
B
B'
M N
Resolución:
2. Si: tanx + cotx = n; demuestre que:
senx + cosx + secx + cscx = (1 + n)n
2n
Resolución:
233Organización EducativaTRILCE
3. a) Si: x + y + z = 180°, demuestre que:tanx + tany + tanz = tanx.tany.tanz
b) En un triángulo ABC:3
Atan=
4Btan
=5
Ctan; calcular:
“tanB”
Resolución:
4. a) Demuestre que: 2sen2 = 1 - cos2
b) Sabiendo que:
n
1ii
2 }sen{ = k; hallar: C =
n
1ii}2{cos
Resolución:
5. En un triángulo ABC, se sabe que: a2 + b2 + c2 = nR2
(R: circunradio). Hallar, en función de “n”:L = cos2A + cos2B + cos2C
Resolución:
6. En un triángulo ABC:
3senA
=5
senB =
7senC
calcular “ B ”. (use calculadora)
Resolución:
1. Calcular “b”.
A
B
Cb
5
30°
37°
a) 10 b) 2 c) 4d) 6 e) 8
2. Calcular “c”
150°
A B
C
c
7
16°
a) 7 b) 12,5 c) 25d) 12 e) 24
Tarea domiciliariaTarea domiciliaria
234 Cuarto Año de Secundaria
3. En un triángulo ABC, A = 45°; B = 60°; b = 6 . Calcular“a”.
a) 1 b) 2 c) 2
d) 3 e) 3
4. Dado un triángulo ABC, simplificar:
E = asenB - bsenA
a) 0 b) 1 c) -1
d) 12 e) - 1
2
5. En un triángulo ABC se cumple:
asenA + bsenB + csenC = 3R
siendo R: circunradio del ABC. Calcular “a2 + b2 + c2”
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
6. Calcular “cosA”.
A
B
C4
63
a) 13 b) 3
5 c) 19
d) 1924 e) 4
5
7. Calcular “x”.
2 x
60°5
a) 17 b) 18 c) 19
d) 20 e) 21
8. Calcular “a”.
B
CA
a
3 + 1
3 - 1120°
a) 2 2 b) 6 c) 2 3
d) 10 e) 2
9. Calcular “tan”
2 6
5
a) 558
b) 29 c) 3
8
d) 58 e) 55
3
10.En un triángulo ABC se cumple que:
2 2 2 2a b c bc3
Calcular: cot A2
a) 2 b) 3 c) 2
d) 2 2 e) 3 2
11.En un triángulo ABC, se cumple:
b2 = a2 + c2 - 2 ac
Calcular la medida del ángulo "B".
a) 30° b) 60° c) 45°d) 120° e) 135°
12.Los lados de un triángulo miden 1 m, 2 m y 7 m,calcular la medida del mayor ángulo.
a) 72° b) 82° c) 120°d) 135° e) 150°
13.Hallar la medida del ángulo “B” en un triángulo ABC, si:a = 5; b = 7; c = 8.
a) 60° b) 30° c) 45°d) 37° e) 53°
14.Dado un triángulo ABC, donde se cumple: a = 2 2b c -bcHalle la m A.
a) 15° b) 30° c) 53°d) 45° e) 60°
15.Calcular “x”.
60º5
3 x
a) 21 b) 19 c) 17
d) 15 e) 3
235Organización EducativaTRILCE
16.Las longitudes de los lados de un triángulo son 7; 8 y13 m. Hallar el mayor ángulo.
a) 135° b) 150° c) 120°d) 127° e) 105°
17.Calcular “x”.
a x
2
a) 2acos b) acos c) 2asend) asen e) 4asen
18.En un triángulo ABC se cumple:
a b ccos A cosB cosC
¿Qué tipo de triángulo es?
a) rectángulo b) escalenoc) acutángulo d) equiláteroe) hay dos respuestas
19.Dado un triángulo ABC, simplificar:
P = senA senBa b - senC
c
a) -1 b) 1 c) 0
d) 12 e) 2
20.En un triángulo ABC, simplificar:
senA senB c aEsenB senC b c
a) 1 b) 12 c) 1
4d) 2 e) 4
21.Calcular la longitud de la circunferencia circunscrita aun triángulo ABC, donde se cumple:
2asenA + b
senB + 3csenC = 24
a) p b) 2p c) 3pd) 4p e) 5p
22.En un triángulo ABC, se cumple: a2 + b2 + c2 = 10,calcular:
E = ab.cosC + bc.cosA + ac.cosB
a) 1 b) 3 c) 5d) 7 e) 9
23.En el triángulo mostrado calcular "cos6x", si: AB = CD.
80°CDA
Bx
20°
a) 22
b) 12 c) 3
2
d) 34 e) 3
5
24.Dado un triángulo ABC donde:
(a + b + c)(a + b - c) = 12 ab
Calcular “cosC”
a) - 12 b) - 2
3 c) - 34
d) - 38 e) - 1
3
25.Las longitudes de los lados de un triángulo son tresnúmeros consecutivos. Si el coseno del mayor ánguloes 1/5, calcular el perímetro.
a) 12 b) 15 c) 18d) 21 e) 24