A-CÍRCULO I(III y IV bimestre)-2010

7/27/2019 A-CRCULO I(III y IV bimestre)-2010

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ARITMTICA PRE-CRCULO

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I.E.P VIRGEN DE GUADALUPE2010

CONTENIDO:III - BIMESTRE : UNIDAD 5: LA regla de mezcla.UNIDAD 6:Teora de numeracinIV BIMESTRE :UNIDAD 7 : Clasificacin de los enteros positivosUNIDAD 8 : MCD - MCM

PROF.: LIVIO MISAJEL NAVARRETE

ARITMTICA


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UNIDAD 5:

INTRODUCCIN

Es la unin ntima de dos o ms sustancias(ingredientes) en cantidades arbitrarias,conservando cada una de ellas su propianaturaleza.

EJEMPLO INDUCTIVOSe mezclan dos tipos man de diferentescalidades. 30 kilogramos de 5 soles el kilocon, 20 kilogramos de 2 soles el kilo.Se desea calcular: El precio de costo de un kilogramo de

mezcla.

A qu precio se debe vender elkilogramo de la mezcla para ganar el50% del costo.

PRECIO MEDIO (Pm).- Llamado tambinprecio de costo o precio de equilibrio. Es elprecio de costo por unidad de medida demezcla. Donde no se obtiene ganancia niprdida.

OBJETIVOS:

Reconocer las cantidades de sustancias que intervienen en una mezcla. Determinar el precio medio de una mezcla. Determinar el grado de una mezcla alcohlica. Calcular el precio de venta de una mezcla considerando su ganancia respectiva.

(precio menor) Pm (precio

LA MATEM TICA DE TODOS LOSDAS

Un comerciante hace el siguiente pedido aun distribuidor mayorista de caf:

CafCantidaden Kg.

Preciounitario

Extrae (E)Superior (S)Corriente (C)

502015

S/. 7S/. 5S/. 4

Para venderlos a sus clientes elcomerciante mezcla los tres tipos de caf.A cmo se debe vender el kg de mezclapara ganar el 20%?

Utilizando tu matemtica

elemental Podras decirnos, a


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EN GENERAL: para K sustancias

Cantidades

C1 C2 C3 C4 CkPrecios P1 P2 P3 P4 Pkunitarios

IMPORTANTE! Se debe cumplir:

1.- Cul es el precio de la mezcla queresulta de combinar 36 kg. de t a 15 solesel kg. con 22 kg. de t a 12 soles el kg. y con42 kg. de t a 30 soles el kg.?

a) 13 b) 14 c) 13,50 d) 14,20 e) N.A

2.- Se mezcla un vino de 43 soles el litro,con otro de 27 soles el litro, resultando entotal 128 litros a 32 soles el litro. Qucantidad se tom de cada uno?

a) 90 y 38 b) 88 y 40 c) 100 y 28d) 80 y 48 e) N.A

3.- Un qumico quiere mezclar una solucinde cido actico al 10% con otra solucindel mismo cido, pero al 50%, para obtener5 litros de una solucin al 26%. Cuntoslitros de cido actico al 50% debe usar?

a) 1L b) 2,5L c) 3L d) 1,5L e) 2L

4.-En la ferretera SODIMAC se tienealmacenado desde hace buen tiempocemento blanco cuyo cost es 8 soles el kiloy para poderlo vender se mezcla concemento blanco de mejor calidad a 12 solesel kilo, obteniendo as 100 kilos de mezclade manera que al venderlo a 9 soles el kilono gan ni perdi. Qu cantidad decemento de ambas calidades se mezclaron?

a) 80 y 20 b) 70 y 30 c) 60 y 40d) 75 y 25 e) 85 y 15

5.- Se mezclan 23 kilos de caf crudo de 15soles el kilo, con 35 kilos de 5 soles el kilo y42 kilos de 10 soles el kilo. A cunto sedebe vender el kilo de la mezcla, si se deseaganar el 50%?

a) s/.18,80 b) s/.12 c) s/.17,2

d) s/.14,10 e) s/.13,20

6.- Se han mezclado 80kg de una sustanciacon 70kg de otra, las sustancias cuestan 3 y5 soles el kilo respectivamente. Qucantidad tendr que entrar de una tercerasustancia de 4 soles el kilo para que elprecio medio de la mezcla resulte de 3,95soles el kilo?

a) 50kg b) 60kg c) 40kg d) 55kg e) 65kg

Ganancia Prdida

aparente aparente

cos

precio precio

medio de to

Pm=k

kk

CCCC

PCPCPCPC

...

...

321

332211 =totalpeso

totalCosto

mayor

precio

medio

precio

menor

precio

gananciamedio

precio

venta

precio


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7.- Cuntos litros de agua se debenmezclar con 42 litros de leche de S/. 3,8 ellitro para que el litro de mezcla cueste S/.3,5?

8.- Se mezclan ingredientes de 20 y 10 solesel kg. Si el precio medio es de 18 soles.Hallar el peso total de la mezcla si ladiferencia de pesos de c/u de losingredientes es 30 kg.

a) 40 b) 45 c) 48 d) 50 e) 60

9.- Un comerciante tiene n litros deaceite compuesto y m de aceite vegetal,

los cuales lo mezcla para vender el litro enm soles. Cunto cuesta el litro de aceite

vegetal, Si el litro de aceite compuesto 25%menos que el aceite vegetal?

10.- Se tiene n ingredientes, cuyos pesosestn en la relacin de 1, 2, 3,... y de losprecios S/.2, S/.3 ,S/.4........,respectivamente, la mezcla de estosingredientes tiene un precio medio deS/.14. Calcule n.

11.- Se ha mezclado 3 sustancias dedensidades 2,6g/cm3; 1,8g/cm3 y 2,00g/cm3y cuyos pesos fueron 169g, 144g, 170grespectivamente. Qu densidad tiene lamezcla obtenida?

12.- Una persona tena que preparar 300litros de una bebida mezclando vino y aguaen la proporcin de 15 es a 1; pero por

error emple vino y agua en la proporcinde 5 es a 1. Cuntos litros de vino deberagregar a la mezcla anterior para obtener laproporcin deseada?

13.- Se hace una mezcla de vino de S/.75 ellitro; S/.60 el litro y agua; la mezcla tiene unprecio de S/.50 el litro. Se sabe que lacantidad de agua es los 2/5 de la cantidadde vino de S/.60. En qu relacin est la

cantidad de vino de S/.75 a la cantidad devino de S/.60?

14.- Dos clases de vino se han mezclado enlos depsitos A y B. En el depsito A lamezcla ser en la proporcin de 2 a 3respectivamente y en el depsito B la

proporcin de la mezcla es de 1 a 5. Qu

cantidad de vino debe extraerse de cadadepsito para formar otra mezcla quecontenga 7 litros de la primera clase y 21litros de la otra clase?

a) 12 y 16 b) 10 y 18 c) 18 y 10d) 13 y 15 e) 15 y 13

15.- Se mezclan 2 sacos de trigo de S/. 85 elsaco con doble cantidad de S/. 112 el saco.Queriendo luego obtener trigo que sepueda vender a 100 soles el saco. Cuntoskg. de 90 soles el saco deber aadir a lamezcla que se haba efectuado, si el pesode cada saco es 100 kg.?

FALTA LA TAREA

DOMICILIARIA

MEZCLA ALCOHLICA: Es aquella mezcla enla que interviene alcohol puro y agua.

Adems:

100

totalvolumen

alcoholdevolumen

mezcla

degrado


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grado G1 G2 G3 G4 .... Gk

volumen V1 V2 V3 V4 VK

1.- En un recipiente se mezclan 20 L dealcohol puro y 60 L de agua. Determine laconcentracin o pureza alcohlica de la

mezcla.

a) 20 b) 25 c) 32 d) 30 e) 28

2.- Halle el grado de una mezcla de:

9 litros de alcohol puro con 66 litros deagua.

8 litros de alcohol puro con 32 litros deagua.

a) 12 y 15 b) 10 y 12 c) 12 y 20d) 15 y 18 e) 26 y 30

3.- Se mezclan 20 L, 16 L y 14 L de alcoholde 40, 25 y 50 respectivamente. Halle elgrado de la mezcla.

a) 35 b) 38 c) 40 d) 42 e) 43

4.- Se mezclan 15 litros de alcohol de 80

con 45 litros de alcohol de 60. Cuntosgrados tendr la mezcla?

a) 70 b) 65 c) 75 d) 72 e) 69

5.- A 80 litros de una mezcla alcohlica al60% se le agrega una cierta cantidad deagua pura para reducir su pureza a sus dos

terceras partes. Hallar cuntos litros deagua se aadieron.

a) 20 b) 40 c) 60 d) 80 e) ms de 80

6.- Cul es el grado de la mezcla alcohlicaque resulta de la combinacin de alcohol de80%, alcohol puro y agua con volmenes de20 L, 40 L, 40 L respectivamente?

a) 60 b) 56 c) 65 d) 62 e) 75

7.- Un depsito con capacidad de 150 litroscontiene alcohol y agua en la relacin de 4a 1. Cunto hay que agregar de alcoholpuro para que la pureza aumente en 10?

a) 150 L b) 200 c) 100 d) 80 e) 120

8.- Se quiere obtener 100 L de alcohol de74% mezclando 30 litros de alcohol el 80%

con cantidades de alcohol puro y agua.Qu cantidad de agua se usa?

a) 20 L b) 30 c) 40 d) 50 e) 60

9.- Se mezcla alcohol de 54, alcohol de 90y agua en la proporcin de 6, 6 y n. Hallarn si la mezcla es del mismo grado de uno

de los ingredientes.

a) 7 b) 3 c) 5 d) 4 e) 2

10.- Se tienen 2 mezclas alcohlicas, una d40 L al 80% de alcohol puro y otra de 60 Lal 75% de alcohol, Cuntos litros se debenintercambiar para que ambas mezclastengan el mismo porcentaje de alcohol?

a) 24 L b) 40 c) 30 d) 38 e) 20

11.- La mezcla de x litros de alcohol de60, con 2x litros de alcohol de 45 y 360

1 1 2 2 3 3

1 2 3

...

...

k km

k

grado V G V G V G V GG

medio V V V V


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litros de agua da una mezcla alcohlica de40. Hallar x

a) 360 L b) 240 c) 480 d) 540 e) 560

12.- Se tiene una mezcla alcohlica de 240litros donde el volumen de agua representael 60% del volumen de alcohol puro.Cuntos litros de alcohol se le debe echara la mezcla alcohlica para obtener unamezcla de 80?

a) 480 L b) 410 c) 510 d) 200 e) N.A.

13.- Se mezcla alcohol de x con alcohol de(x + 42) en la relacin de volmenes de 5:9respectivamente obtenindose alcohol de55. Hallar el grado de alcohol si la relacinde volmenes se invierte.

a) 47 b) 49 c) 38 d) 43 e) 56

14.- Un depsito contiene una mezcla de 80litros de alcohol y 20 litros de agua. Qucantidad de alcohol se debe aadir a lamezcla para que su concentracin sea de

un 85%?

a) 81L b) 50,12L c) 42L d) 38L e) 33,3L

15.- se tiene 10 litros de alcohol de 40, 5litros de alcohol de 70 y 20 litros dealcohol de 85. Se aade n litros dealcohol puro a cada uno y luego se mezclan,obtenindose una mezcla alcohlica de 75.Halle n

1.- Se tiene 25 litros de alcohol al 80%.Cuntos litros de agua se debe agregarpara rebajarlo al 60%?

a) 8,3 b) 9 c) 7,5 d) 6 e) N.A.

2.- La cantidad de onzas de agua que senecesita para rebajar al 30% el contenido

de alcohol de un frasco de locin de afeitarde 9 onzas que contiene el 50% de alcoholes:a) 6 onzas b) 7 onzas c) 8 onzasd) 2 onzas e) 9 onzas

3.- En un depsito que contiene una mezclade 90 litros de alcohol y 10 litros de agua.Qu cantidad de alcohol debe aadirsepara que la mezcla sea del 95% de purezade alcohol?

a) 100 L b) 85 c) 105 d) 95 e) 90

3.- Un litro de mezcla est formado por75% de alcohol y 25% de agua y pesa 960gramos. Sabiendo que un litro de aguapesa 1000 gr. determinar el peso de un litrode mezcla que tiene 15% de alcohol y 85%de agua.

a) 974 gr. b) 986 c) 992 d) 996 e) 982

4.- Cuntos litros de agua debe aadirse a10 litros de alcohol que es 95% puro, paraobtener una solucin que sea 50% puro?

a) 8 L b) 6 c) 7 d) 9 e) 19

5.- Fabrizio mezcla 25 litros de alcohol al40% con 15 litros de alcohol al 80%. Cul

es la concentracin de la mezclaresultante?

a) 35% b) 40% c) 55% d) 65% e) 45%

6.- Arlyn mezcla 60 litros de alcohol de 12con 40 litros de alcohol de 26. Hallar lapureza de la mezcla resultante.

a) 17,6 b) 18,6 c) 14,6 d) 12,1 e) 17,4


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EL MAYOR NMERO CON TRESCIFRAS

El mayor nmero que se puede

formar con 3 cifras no es, como

pueden suponer algunos, el 999.

Se puede ensayar los siguientes casos:

999 999

Pero no se haga ilusiones, que ac le

tengo otro:

999

Esto significa 9 elevado a la99 , o sea

a la 387420489 potencia. El resultado

consta de 369 693 021 cifras, es decir...

casi trescientos setenta millones de

cifras! Y para escribir el resultado...

Se necesitaran 12 aos a raznde una cifra por segundo!

7.- Qu volumen de agua hay que agregara 36 litros de alcohol al 25% para que lamezcla resultante sea de 18%?

a) 13 L b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

8.- Se tiene 60 litros de alcohol al 40%.Cunto de agua habr que agregarle paraque la concentracin disminuya en 10%?

a) 10 litros b) 20 c) 30 d) 40 e) 25

9.- El laboratorio LUSA necesita obteneragua oxigenada de 55. Si tiene aguaoxigenada de 75 y 45 respectivamente.En qu proporcin deber mezclarlos paraobtener dicha concentracin?

a) 3 a 1 b) 1 a 2 c) 2 a 3 d) 2 a 5 e) 2 a 4

10.- Se tiene 30 litros de alcohol al 30%. El40% de esta mezcla se echa a un recipienteque contiene cierta cantidad de agua demodo que se obtiene alcohol al 20%.Cuntos litros de agua contiene esterecipiente?

a) 6 litros b) 14,4 c) 8,4 d) 8 e) 12

11.- Cuntos litros de agua debe agregarsea una mezcla de 5 litros de vino y agua al80% de pureza, con la finalidad de rebajarleal 25%?

a) 20 L b) 16 c) 11 d) 12 e) N.A.

12.- Se tiene dos recipientes con alcohol,uno de 80 y otro de 40. Se mezclan 30litros del primero con 50 litros del segundoen un tercer recipiente. Cuntos litros deagua se deben agregar a ste ltimorecipiente para obtener una mezcla de 50?

13.- se tienen dos mezclas alcohlicas: de60 y 80. De la primera se toma la cuartaparte y se mezcla con los dos tercios de la

segunda, obtenindose un alcohol de 76.Calcule la pureza del alcohol que resulta almezclar los contenidos restantes.

14.- se mezclan en un recipiente 80 litrosde alcohol de 36 con 20 litros de alcoholde 56. Si del recipiente se extraen n

litros y se remplaza por la misma cantidadde agua, resultando una mezcla de 28.

Halle n15.- En dos recipientes, ambos con nlitros de mezcla alcohlica, el primero conalcohol de 40 y el otro la relacin de aguay alcohol puro es de 3 a 7, se observa queen el primero se utiliz 10 litros ms deagua que en el segundo. Determine n

999 ?


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UNIDAD 6:

INTRODUCCIN

OBJETIVOS:

Representar, leer y escribir correctamente los nmeros. Representar cierta cantidad de unidades simples en cualquier sistema posicional de

numeracin. Descomponer polinmicamente un numeral.

Cul es la lgica que existe en losalgoritmos arbigos?

Fcil, muy fcil!Son ngulos!

HISTORIA DE LOS NMEROS

Los nmeros que escribimos estncompuestos por algoritmos (1, 2, 3,..,

etc.) llamados algoritmos arbigos, para

distinguirlos de los algoritmos romanos ( I,II, III, IV, ..).Los rabes popularizaron estos algoritmos,pero su origen se remonta a loscomerciantes fenicios que lo usaban paracontar y anotar su contabilidad comercial.

Te has preguntad

alguna vez, el motiv

por el cual 1 significuno, 2 significa dos,


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1.- Calcule cuntas cifras tiene un numeralcuya cifra de 4 orden ocupa el quinto lugar.

a) 5 b) 6 c) 8 d) 7 e) 9

2.- Si los numerales: 75;2;32 cdcba db ;

estn correctamente escritos.Adems a > 3

Calcule: da bd a) 84 b) 120 c) 132 d) 96 e) 80

3.-El siguiente numeral est malrepresentado: 898989(9), Halle la suma delas cifras del numeral correctamente escrito.

a) 8 b) 4 c) 10 d) 3 e) 5

5.- Escribe correctamente el numeral4(-2)66(-1)5, y da como respuesta la sumade la cifra de primer y cuarto orden.

a) 3 b) 5 c) 6 d) 4 e) 11

6.- Cuntos numerales de dos cifras existenen el sistema quinario?

a) 28 b) 42 c) 50 d) 30 e) 36

7.- Si 35 262 7b n , expresar n n4 1

en base (n/2).

a) 1321223 b) 2020203 c) 2122223d) 2212013 e) 2212213

a) 28 b) 42 c) 50 d) 30 e) N.A


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Cuando no se conocen las cifras de unnumeral, stas se representan mediante

letras, teniendo en cuenta lo siguiente:

Toda expresin entre parntesisrepresenta una cifra

Ejemplo:

( )( ) , tiene tres cifras

La primera cifra de un numeral es

diferente de cero.

Ejemplo:

abc Posibles valores {1, 2, 3, , 9}

Letras diferentes no necesariamenteindican cifras diferentes.

Ejemplo: *+

abc {100; 101; 102;. ; 999}

mmmm {1111; 2222; . ; 9999}

NMERAL CAPICA.- Es aquel cuyas cifrasequidistantes de los extremos son iguales.

Ejemplos:

{22, 151, 7447, ana , reconocer ,

osobaboso }

Se llama as a la suma de los valoresrelativos de las cifras que forman parte deun numeral.

Ejemplos:

abc = a.102 + b.10 + c

mmmm = m.103 + m.102 + m.10 +m

DESCOMPOSICIN POR BLOQUES:

nabab

2

.n n

ab n ab

1.- DE BASE 10 A BASE DIFERENTE DE 10

Ejemplo: expresar 48 en base 3

AHORA PRACTIQUEMOS JUNTOS!

Expresar:

Este mtodo se conoce

como el Mtodo de las

Divisiones Sucesivas.

RREECCUUEERRDDAA

Se toma el ltimo cociente y luego

los residuos.

48 3

16 3

5 31

0

1

2

48 = 12103

CAMBIOS DE BASES


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16

40

01

60 a base 5

124 en base 7

89 en base 4

225 en base12

321 en base 20 140 en base 7

157 en base 8

358 en base 17

200 en base 11

652 en base 60

2.- DE BASE n 10 A BASE 10

Ejemplo 1: expresar 4856 en base 10

* 4356 = 4x62

+ 3x61

+ 5= 144 + 18 + 5= 167

Ejemplo 2: expresar 122345 en base 10

* 122345 = 1x54 + 2x53 + 2x52 + 3x51 + 4

= 625 + 250 + 50 + 15 + 4= 944

AHORA PRACTIQUEMOS JUNTOS!

Expresar en base 10 cada uno de lossiguientes numerales:

4829

1247

112203

2(10)812

12324

320115 1578

1100001002

2(12)(10)15

15219

3.- DE BASE n 10 A BASE m 10

Ejemplo: Expresar 121(3) en base 4

i) Primero pasamos 121(3) a base 10.

121(3) = 1x3

2

+ 2x3 + 1= 9 + 6 + 1= 16

ii) Ahora expresamos 16 en base 4.

121(3) = 100(4)

AHORA PRACTIQUEMOS JUNTOS!Expresar:

607 a base 5

1245 en base 7

8912 en base 4

22548 en base12

32167 en base 20

14005 en base 7 1579 en base 8

35815 en base 17

20010013 en base 11

65(12)13 en base 6

En este caso primero se pasaa base 10 el nmero dado y

luego el resultado se pasa al

sistema que se pide.

En este caso debes utilizar

el mtodo de la

descomposicin polinmica

4

4
http://www.iclipart.com/download.php?iid=277145&submit=&keys=&notkeys=&start=250&andor=AND&colour=&s1=&s2=&release1=&release2=&previewcheck=&cat=Education&type=&rows=5&jump=0&period=&collection=&tl=cliparthttp://www.iclipart.com/download.php?iid=277145&submit=&keys=&notkeys=&start=250&andor=AND&colour=&s1=&s2=&release1=&release2=&previewcheck=&cat=Education&type=&rows=5&jump=0&period=&collection=&tl=cliparthttp://www.iclipart.com/download.php?iid=277145&submit=&keys=&notkeys=&start=250&andor=AND&colour=&s1=&s2=&release1=&release2=&previewcheck=&cat=Education&type=&rows=5&jump=0&period=&collection=&tl=cliparthttp://www.iclipart.com/download.php?iid=277145&submit=&keys=&notkeys=&start=250&andor=AND&colour=&s1=&s2=&release1=&release2=&previewcheck=&cat=Education&type=&rows=5&jump=0&period=&collection=&tl=cliparthttp://www.iclipart.com/download.php?iid=277145&submit=&keys=&notkeys=&start=250&andor=AND&colour=&s1=&s2=&release1=&release2=&previewcheck=&cat=Education&type=&rows=5&jump=0&period=&collection=&tl=cliparthttp://www.iclipart.com/download.php?iid=277145&submit=&keys=&notkeys=&start=250&andor=AND&colour=&s1=&s2=&release1=&release2=&previewcheck=&cat=Education&type=&rows=5&jump=0&period=&collection=&tl=clipart


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1 ...

111 c

xn

ba

1.- NUMERAL DE CIFRAS MXIMAS

9 = 101 199 = 102 1999 = 103 144(5) = 5

2 1

En general:

2.- BASES SUCESIVAS

13(4) = 4 + 3 x 1

23413

413

33413

41313

En general:

k veces

1.- Si: 3a =9

627 , halle a

3a

73a a)8 b) 4 c) 5 d) 6 e)7

2.- Si

Calcule: a1 + 1a

a2 2a a3 3a

a) 3521 b) 5421 c) 4512d) 3542 e) 5520

3.- Si:

Determine: aaa1 + aa12

a) 129 b) 132 c) 105 d) 215 e) 98

4.- Si: abbnnnn n 1111 Exprese abba en base a+b+n y de cmorespuesta la suma de sus cifras.a) 12 b) 15 c) 10 d) 11 e) 25

5.-Si: abannnnn n 11111 Determine:

a) 189 b) 220 c) 229 d) 301 e) 257

6.- Si:3

" "

222....222m cifras

abc

4

" "

333...333n cifras

xyqw

Calcule m + n mximo.a) 10 b) 18 c) 12 d) 14 e) 15

PROPIEDADESCAMBIOS DE BASES

11.......11 kcifrask

n nnnn

= n + (a+b+c+. +x)


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7.- Calcule n si:

a)4 b) 7 c) 3 d) 5 e) 9

8.- Si 666 666 007...." "k cifras

mn

.

Exprese mn en base k

a) 1456 b) 2547 c) 1204 d) 1668 e) 4559

9.- Si:

Calcule el valor de a

a) 8 b) 7 c) 5 d) 9 e) 3

10.- Si (2)" "

.... 4k cifras

mmm mm abc

Halle (b+c)-(m+k+a)a) 5 b) 4 c) 6 d) 7 e) 2

1.- Si

Halle el valor de n

a) 5 b) 4 d) 7 d) 6 e) 8

2.- Si:

Determine el valor de aa) 5 b) 3 c)4 d) 9 e) 6

3.- Si(4 )

" "

333....333k cifras

abc .Halle: a.b +c.k

a) 52 b) 30 c) 48 d) 52 e) 36

4.- Si

Halle na) 20 b) 12 c) 22 d) 32 e) 24

5.- si se cumple que:

Calcule: n+a+ba) 14 b) 10 c) 12 d) 11 e) 18

6.- Si (2 )" "

....n cifras

aaa aa abcd

Halle a c nb d

a) 18 b) 19 c) 20 d) 22 e) 28

7.- Hallar n

a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9

8.-Si se cumple: abbnnn n 111 ,donde n es menor que 10. Determine:


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a) 1254 b) 1562 c) 1753d) 1455 e) 1265

9.- Si:

Determine: 75 bcab a) 36 b) 34 c) 25 d) 43 e) 30

10.- Si:

Determine: a+b+c+d+e+n

a) 15 b) 17 c) 20 d) 18 e) 25

11.- Si 1" 1"

...... 1x

x cifras

xxx xxx abcd

Halle (a+b+c)(x+d)

a) 168 b) 210 c) 163 d) 211 e) 103


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UNIDAD 7:

INTRODUCCIN

OBJETIVOS:

Reconocer un nmero primo y compuesto y sus propiedades. Utilizar las propiedades que poseen estos nmeros para solucionar diversas situaciones. Analizar y estudiar a los divisores de un nmero entero positivo.

MISTERIOS MATEM TICOS NORESUELTOS

Sin duda la matemtica presenta una granabundancia de problemas. En realidad, lamatemtica y los problemas soninseparables. La historia demuestra que

las ideas matemticas han sidocatalizadoras de los problemasmatemticos y que los problemasmatemticos han estimulado muchasideas y descubrimientos matemticos. Lostres problemas de construccin imposiblede la antigedad, el problema de lospuentes de Knigsberg y el problema delpostulado de las paralelas son ejemplos deproblemas que han sido resueltos y que ensu proceso de resolucin estimularon

ideas, pensamientos y descubrimientosmatemticos.

Problema de los puentes

de Knigsberg

He aqu algunos famosos problemas

matemticos no resueltos

LOS PROBLEMAS NO

RESULETOS DE LOS

NMEROS PRIMOS

Existe alguna frmula paradeterminar si un nmero determinadoes primo o no?

Hay un nmero infinito de paresprimos? Un par primo es un par deprimos consecutivos cuya diferencia esdos. Por ejemplo, 3 y 5; 5 y 7; 11 y 13; 41y 43.

El misterio del nmero perfectoimpar.

Un nmero perfecto es aquel que esigual a la suma sus divisores propios (undivisor propio es un divisor que no esigual al nmero mismo). El nmero 6 esun ejemplo de un nmero perfectoporque 6=1+2+3. Otros ejemplos son:28; 496; 8128.Alrededor del ao 300 a.c Euclidesdemostr que si un nmero de la forma2n-1 es primo, entonces 2n-1(2n-1) es unnmero perfecto. Luego en el siglo XVIII

Euler demostr que cualquier nmero
http://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:7_bridges.svghttp://es.wikipedia.org/wiki/Archivo:7_bridges.svg


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NMEROS PRIMOS

NMEROS COMPUESTO

I.-DE ACUERDO A LA CANTIDAD DE DIVISORESENTEROS POSITIVOS.- Teniendo en cuenta sucantidad de divisores, los nmeros enterospositivos se clasifican en:

Son aquellos que tienen solo 2 divisores.Ejemplo:

2 1, 23 1, 35 1, 57 1, 711 1, 1113 1, 13: :

Son todos aquellos nmeros que tienenms de 2 divisores.Ejemplo:

4 1, 2, 412 1, 2, 3, 4, 6, 12

30 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 3025 1, 5, 2540 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40

Pero lo nmeros perfectos imparessiguen siendo un misterio. Hasta ahoranadie ha encontrado un nmeroperfecto impar, ni nadie ha probado quetodos los nmeros perfectos son pares.

LA CONJETURA DE

GOLDBACH

Todos los nmeros pares

mayores que dos son la suma

de dos nmeros primos?

En 1742, el matemtico alemn ChristianGoldbach (1690-1764) le comunic a

Leonard Euler (1707-1783) la conjeturade que todo nmero par, salvo el 2, erala suma de dos nmeros primos. Porejemplo: 4=2+2; 6=3+3; 8=5+3;12=7+5; . Aunque se considera que la

conjetura de Goldbach es cierta, hasta elmomento nadie lo ha demostrado.Hasta el momento se han producido ossiguientes avances: en 1931, elmatemtico sovitico L. Schnirelmannaparentemente prob que cualquier

nmero par puede escribirse como lasuma de ni ms de 300 000primos.algo muy alejado de dos

primos. Ivn M. Vinogradov (1891-1983)demostr que todos los enteros imparessuficientemente grandes son la suma detres nmeros primos. En 1973, ChenJing-run demostr que cualquier nmeropar suficientemente grande es la sumade un nmero primo y de un nmeroque o bien es primo o bien tiene dos

factores primos.

Referencia bibliogrfica:

El encanto de la matemtica

(Theoni Pappas)

El uno (1) tiene un solodivisor

Los nmeros primostienen solo 2 divisores

Los nmeros compuestos

tienenms de 2 divisores

Z+NMEROS

SIMPLES

Nmeros

Divisores

Nro.Divisor


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NMEROS PRIMOS ENTRE S (PESI)

PROPIEDADES:

El conjunto de nmeros primos esinfinito.

2 es el nico nmero primo y par a lavez.

2 y 3 son los dos nicos nmeros primosy consecutivos a la vez.

Sea P es un primo absoluto

Si P > 2, entonces 4 1 4 1o o

p o P

Si P > 3, entonces 6 1 6 1o o

p o P

Cmo se determina si un nmeroes primo?

Se extrae la raz cuadrada del nmerodado. Si es exacta se determina que noes primo.

Caso contrario, se considera todos losnmeros primos menores o iguales quela parte entera de la raz.

Se verifica la divisibilidad entre dichosnmeros primos.

Si es divisible al menos entre alguno deellos, el nmero, no es primo.

Si todas las divisiones son inexactas,entonces el nmero es primo.

PRACTIQUEMOS: cules de los siguientesnmeros es primo: 193; 221; 211; 173; 421;181; 443; 213; 117; 203; 287; 157.

II.- CLASIFICACIN POR GRUPO DENMEROS

Se les denomina tambin primos relativoso coprimos.

Es aquel conjunto de dos o ms nmeros,cuyo nico divisor en comn es la unidad.

Ejemplo:

Nmeros Divisores6 1 , 2, 3, 615 1 , 3, 5, 1520 1 , 2, 4, 5, 10, 20

nico divisor en comn

PRACTIQUEMOS: Determinar qu conjuntode nmeros son P.E.S.Ia) 21; 15 y 8

b) 14; 21 y 30c) 20; 35 y 15d) 18; 27 y 35e) 45; 15; 33 y 42f) 12; 25; 20 y 18g) 36; 63; 111 y 42h) 20; 21; 22 y 23

1.- Si: a, b y c son nmeros primos, ademsse tiene que: a+b+c=80 y a-c=39.

Calcule: 222 cba .

a) 259 c) 164 c) 369 d) 168 e) 316

NOTA: Todo nmero compuesto tiene

una cantidad de divisores simples y

divisores compuestos

CD(N) = CDS(N) + CDC(N)

PARA TENER EN CUENTA

1.- Dos o ms nmeros consecutivosson siempre P.E.S.I2.- Dos o ms nmeros imparesconsecutivos son siempre P.E.S.I.3.- Si dos nmeros A y B son P.E.S.I.,entonces:

A, B y (A+B) son P.E.S.I.

A, B y (A-B) son P.E.S.I.


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2.- Cuntos nmeros primos absolutos seescriben con dos cifras en el sistemaheptanario?

a) 10 b) 9 c) 12 d) 13 e) 11

3.- Si: a3 , 25 y 91 son PESI 2 a 2. Calcule lasuma de los valores de a.

a) 31 b) 40 c) 25 d) 28 e) 36

4.- Calcule la suma de todos los nmeros

primos de la forma 3abc .

a) 92 b) 121 c) 83 d) 48 e) 64

5.- Determine la suma de los nmerosprimos absolutos entre 50 y 80.

a) 521 b) 463 c) 423 d) 332 e) 418

6.- Siendo a, b, y c nmeros primosabsolutos, cuntas ternas cumplen con lacondicin: a+b+c=48.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

7.- Determine la suma de todos los

nmeros primos de la forma 53bc .

a) 348 b) 434 c) 346 d) 320 e) 432

8.- Del siguiente grupo de nmeros: 237;401; 209; 181; 173. Cuntos de ellos sonprimos absolutos?

a) 0 b) 21 c) 2 d) 3 e) 4

1.- Cuntos nmeros primos se escribencon dos cifras en el sistema senario?

a) 6 b) 7 c) 8 d) 5 e) 9

2.- Si: a, b y c son nmeros primosabsolutos, y adems: a + b + c = 52 yb a = 17. Calcule a.b .c

a) 431 b) 138 c) 1148 d) 1784 e) 1178

3.- Si: a2 , 34 y 40 son PESI. Calcule la sumade los valores de a.

a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28

4.- Determine la suma de todos losnmeros primos que son mayores que 60pero menores que 90.

a) 125 b) 128 c) 204 d) 223 e) N.A

5.- De los siguientes nmeros: 113; 193;201; 217 y 307, cuntos de ellos soncompuestos?

a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4

6.- Cuntos nmeros de la forma: son primos absolutos?

a) 12 b) 11 c) 10 d) 13 e) 14

7.- Siendo los nmeros: p, q y r, primosabsolutos. Cuntas ternas cumplirn lacondicin: p+q+r =56?

a) 1 b) 2 c) 3 e) 4 d) 5

8.- Si a, b y c son primos, ademsa.b.c =754. Halle a+b+c.

a) 52 b) 44 c) 36 d) 72 e) 41

DESCOMPOSICIN CANNICA.- Todonmero compuesto puede ser expresadocomo la multiplicacin indicada de sus

factores primos diferentes elevados aexponentes enteros y positivos(Descomposicin Polinmica).


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CANTIDAD DE DIVISORES DE UN NMERO (CD)

SUMA DE DIVISORES DE UN NMERO (SD)

.

x y z

D C

Si N a b c

SD(N) =1 1 1

1 1 1

1 1 1

x y zA B C

A B C

SUMA DE LAS INVERSAS DE LOS DIVISORES (SID)

SID(N) = NSD )N(

PRACTIQUEMOS: descomponercannicamente los siguientes nmeros:

1600

1800

450 999

820

620

Un mtodo prctico para determinar lacantidad de divisores de un nmero esutilizando su descomposicin cannica.

Veamos:Hallar la cantidad de divisores de 120120 2 120 = 2 3 x 31 x 5 1

60 2 Luego:30 2 CD(120)= 4 x2 x 2

15 3 CD(120) = 165 51

PRACTIQUEMOS: calcule la cantidad dedivisores de cada uno de los siguientesnmeros:

3900

1800

1450

365

999

482

Para este caso utilizaremos la siguientefrmula:

PRACTIQUEMOS: calcule la suma de losdivisores de cada uno de los siguientesnmeros:

180

3900

1800

1450

365

999

482

PRACTIQUEMOS: calcule la suma de lasinversas de los divisores de cada uno de lossiguientes nmeros:

180

3900

1800

1450

365

999

482

RECUERDA

CDN = CDPRIMOS + CDCOMPUESTOS + 1 245

363

510 640

203

273

.

x y z

D C

Si N a b c

1 1 1NCD x y z

1560

3850

380

640

2400

650

1560

3850

380

640

2400 650

320

1560

3850

380

640 2400

650

320


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1.- Determine el nmero de divisores de

720.

a) 24 b) 28 c) 30 d) 32 e) 36

2.- Determina la descomposicin cannicade 10! Y diga cul es el exponente delfactor primo 3.

a) 3 b) 4 c) 6 d) 5 e) 7

3.- Si 36n tienen 49 divisores, cuntosdivisores tendr 60n?

a) 84 b) 48 c) 96 d) 110 e) 112

4.- Cuntos divisores primos tiene 3500?

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

5.- Hallar la suma de los divisores primos

que tiene 360

a) 12 b) 10 c) 11 d) 9 e) 8

6.- Hallar a si: N=21x15a tiene 20 divisorescompuestos.

a) 1 b) 3 c) 2 d) 5 e) 4

7.- Sea la descomposicin cannica de N:

ab

bbaaN 41 , donde: a+b=9.Cuntos divisores compuestos tiene N?

a) 91 b) 120 c) 87 d) 58 e) 56

8.- Si: .

1a cac b b

D C

N b a b c

.Adems, se

sabe que N es mltiplo de 35. Calcule lacantidad de divisores de N que sonmltiplos de 5.

a) 1676 b) 2845 c) 2152 d) 1746 e) 2808

9.- calcule el valor de k, si el nmero k30 tiene el doble de divisores que el numeral

kx1815 .

a) 2 b) 3 c) 6 d) 5 e) 7

10.- La edad de Juanita es la suma de todoslos divisores de 36. Cul es la edad deJuanita?

a) 36 b) 25 c) 91 d) 90 e) 100

11.- Indicar cul de los siguientes nmerostiene mayor cantidad de divisores.

I. 240 II. 72 III. 128

a) Solo I b) Solo II c) Solo IIId) Solo I y II e) Solo I y III

12.- Cuntos divisores ms tiene elnmero 360 que el nmero 100?

a) 15 b) 10 c) 12 d) 13 e) 14

13.- Calcular la suma de divisores

compuestos de 36.

a) 80 b) 85 c) 81 d) 79 e) 84

14.- Hallar el valor de n sabiendo que15nx75 tiene (8n + 34) divisores.

a) 11 b) 12 c) 7 d) 14 e) 15

15.- Hallar un nmero N=12nx15n, sabiendoque tiene 75 divisores. Dar como respuestala suma de las cifras de N.

a) 18 b) 15 c) 9 d) 27 e) 21


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1.- Halle el nmero de divisores de 540.

a) 46 b) 32 c) 48 d) 28 e) N.A

2.- Cul es el exponente del factor primo 2en la descomposicin cannica de 8!?

a) 3 b) 2 c) 6 d) 8 e) N.A

3.- Si 15.30ntiene 294 divisores. Halle n

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 8

4.- Si 420.5n tiene 91 divisores compuestos.Halle n

a) 2 b) 4 c) 3 d) 5 e) 6

5.- Sabiendo que: A=12.30n tiene el doblede la cantidad de divisores que B=12n.30.Halle n

a) 2 b) 4 c) 6 d) 3 e) 5

6.- Si el nmero: N= 3k+2.13k tiene 75divisores compuestos. Calcule el valor dek

a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7

7.- El nmero 42.3k tiene 3 divisores menosque 900. Halle dicho nmero y de cmorespuesta la suma de sus cifras.

a) 12 b) 11 c) 8 d) 10 e) 9

8.- Hallar el nmero total de divisores quetiene el producto de los 3 primerosnmeros capicas de dos cifras.

a) 10 b) 12 c) 14 d) 16 e) 18

9.- Si 42n tiene 81 divisores, hallar el valorde n

a) 20 b) 10 c) 15 d) 25 e) 30

10.- Si 4

k+2

4

k

tiene 92 divisores. Hallar elvalor de k -1

a) 3 b) 10 c) 11 d) 12 e) 13

11.- Hallar el valor de n sabiendo que15n x75 tiene (7n + 174) divisores.

a) 11 b) 12 c) 13 d) 14 e) 15

12.- Si N = 42x3n tiene 3 divisores menorque 900 hallar dicho nmero y dar comorespuesta la suma de sus cifras.

a) 27 b) 24 c) 21 d) 18 e) 9

13.- Si: P =

factores"n"

2222 5...5.5.5 tiene 13 divisores.

Hallar n.

a) 4 b) 5 c) 6 d) 7 e) 8

14.- Encontrar el valor de n sabiendo que25 x 15n tiene 24 divisores.

a) 3 b) 5 c) 2 d) 4 e) 6

15.- Si: 42k + 42k + 1 tiene 42 divisores, hallark

a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9


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UNIDAD 8:

INTRODUCCIN

OBJETIVOS:

Calcular los factores comunes que pueden tener ciertas cantidades enteras. Determinar valores mnimos o mximos. Aplicar al teora del MCD y MCM en la solucin de situaciones del entorno real.

-El ao es bisiesto o comn?-preguntun alumno.-Comn, respondi el profesor.-Es decir que el primer trimestre enero, febrero y marzo- tiene 90 das?-Claro que si. Permtanme aadir una

pregunta ms a la ya echa- dijo elprofesor-es la siguiente: Cuntas tardesde ese mismo trimestre no se dictningn taller?-Ha ya comprendo!- exclam otroalumno-Es un problema con segundaintencin. Me parece que despus del

primero de enero, no habra ni un da enque se renan todos los talleres a la vez,ni tampoco habr un da en que no serena ningn taller. Esto est claro!

-Porqu?-No puedo explicarlo, pero creo que loque quiere es sorprendernos a todos.-Alumnos-dijo el profesor tomando lapalabra-Con un poco de paciencia yrazonamiento podrn llegar a larespuesta correcta.

NOS PODRAS AYUDAR A BUSCARLA RESPUESTA!

FUNCIONAMIENTO DE LOSTALLERES ESCOLARES

El profesor de aritmtica de nuestro

colegio plante el siguiente problema

a sus alumnos.En nuestro colegio funcionan 5 talleres

vacacionales: de oratoria, de pintura, deftbol, de ajedrez y de canto. El deoratoria funciona un da si y otro no; el depintura, una vez cada tres das; el defutbol uno cada cuatro das; el de ajedrez,una cada cinco das, y el de canto una cadaseis das. El primero de enero se reunieronen el colegio todos los talleres y siguieronhacindolo despus en los das sealados,sin perder uno. Se trata de averiguarcuntos das ms, en el primer trimestre,se reunieron en el colegio los cinco talleresa la vez.


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NOTA: Los divisores

comunes de varios

nmeros son los

MNIMO COMN MLTIPLO (M.C.M.)

M TODOS PARA CALCULAR EL MCD YEL MCM.

MNIMO COMN DIVISOR (M.C.D.)

NOTA: Los mltiploscomunes de un

conjunto de nmeros

Es el mayor de los divisores comunes devarios nmeros. Tambin se le conoce conel nombre de Prodivisor o Mximo ComnDivisor.

Ejemplo:Sean los nmeros 45 y 75

Divisores

45: 1 ; 3 ; 5 ; 9 ; 15 ; 45

75: 1 ; 3 ; 5 ; 15 ; 25 ; 75

Divisores comunes: 1, 3, 5, 15

El mayor de los divisores comunes es 15entonces: M.C.D. (45, 75) = 15.

APLICACIN 1.- Cuntos divisorescomunes tienen los nmeros: 1200, 800 y1600

APLICACIN 2.- Calcule la suma de losdivisores comunes de A, B y C; siMCD(A,B,C,) = 48

Se llama as al menor de los mltiploscomunes de varios nmeros. Se les llama

tambin Promltiplo o Mnimo Comn.

Ejemplo:

Sean los nmeros 8 y 12.

Mltiplos positivos

8 : 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80,

12 : 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84,

Mltiplos positivos comunes: 24, 48, 72,96 y 120

El menor de los mltiplos comunes es24 entonces el M.C.M. (8, 12) = 24

APLICACIN 1.- Cuntos mltiploscomunes menores que 400 tienen losnmeros: 12, 8 y 16

APLICACIN 2.- Calcule la suma de losmltiplos comunes menores que 500 de losnmeros 3; 5 y 6.

1.- MTODO PRCTICO

MCD: Se extraen de los nmeros todos losfactores comunes hasta obtener nmerosP.E.S.I.El producto de los factores extrados es alMCD de dichos nmeros.

PRACTIQUEMOS: Determina el MCD de lossiguientes grupos de nmeros:

2100; 3500 y 2800

350; 250 y 500

240; 528; 480 y 432 350; 980; 700 Y 420

960; 600 Y 1080


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OBSERVACIN: Si cada nmero de

un conjunto de nmeros se le

divide entre su MCD de ellos, los

MCM: Se extraen de los nmeros, todos losfactores comunes y luego los no comunes,hasta obtener la unidad en cada uno.El producto de los factores extrados es elMCM de dichos nmeros.

PRACTIQUEMOS: Determina el MCM de lossiguientes grupos de nmeros:

210; 350 y 280

40; 36 y 50

25; 35; 120 y 40

20: 30; 40 y 15

48; 64; 40 y 32

2.-POR DESCOMPOSICIN CANNICASe descompone cannicamente a cada uno

de los nmeros y luego:

El M.C.D. es el producto de aquellosfactores primos que sean comunes a todaslas descomposiciones, elevados al menorexponente con que aparecen en ella.

El M.C.M. ser el producto de todosaquellos factores primos existentes en lasdescomposiciones elevadas al mayorexponente con que aparecen en ellas.

PRACTIQUEMOS: Halle el MCD de lossiguientes nmeros:

1800, 756 y 2376

2100; 3500 y 2800

350; 250 y 500

240; 528; 480 y 432

350; 980; 700 Y 420

960; 600 Y 1080

3.- POR DIVISIONES SUCESIVAS O

ALGORITMO DE EUCLIDES

Este mtodo sirve para calcular slo elMCD de dos nmeros

PRACTIQUEMOS: Hallar el M.C.D. de cada unode los siguientes nmeros:

384 y 222

69 y 48

370 y 111

564 y 705

327 y 103

417 y 205

1.- Calcule la suma de los divisorescomunes de 910; 1050 y 1680.

a) 140 b) 144 c) 136 d) 216 e) 164

2.- Cuntos mltiplos comunes de 3 cifrastienen los nmeros 20; 15 y 12?

a) 10 b) 14 c) 15 d) 16 e) 12

3.- Cuntos mltiplos comunes de 4 cifrasy que terminen en 4, tiene los nmeros 36 y24?

a) 25 b) 24 c) 22 d) 23 e) 26

4.- Encuentre el menor nmero de trescifras tal que al ser dividido entre 18; 42 y56, deja en cada caso el residuo mximo.

a) 1178 b) 1077 c) 1107 d) 1068 e) 1007

5.- Calcule el valor de k sabiendo que el

MCM de los nmeros k24 y k36 es 5184.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


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6 .- Al calcular el MCD de dos nmeros porel algoritmo de Euclides se obtuvieroncomo cocientes sucesivos 2; 3; 2; 1 y 4.

Determine la suma de los nmeros, si sediferencian en 305.

a) 425 b) 385 c) 1250 d) 775 e) 975

7.- Al calcular el MCD de dos nmerosmediante el algoritmo de Euclides seobtuvo como cocientes sucesivos: 1; 2; 1; 3;1; 1; 2. Si los nmeros son PESI. Cul es elnmero mayor?

a) 87 b) 86 c) 85 d) 84 e) 88

8.- Dado A = 12nx3 y B = 3nx 48Adems se sabe que el M.C.M. de A y Btiene 81 divisores. Hallar: n + 1

a) 3 b) 6 c) 4 d) 7 e) 5

9.- Si A = 45x60n y B = 45nx60, adems:M.C.M.(A, B) = n M.C.D.(A, B)Calcular el valor de n

a) 5 b) 4 c) 3 d) 2 e) 1

10.- El M.C.D. de los nmeros 36k, 54k y90k es 1620. Hallar el menor de losnmeros.

a) 8100 b) 4880 c) 1620 d) 3240 e) 2700

11.- Calcular 2 nmeros cuyo M.C.D. es 23.Si los cocientes obtenidos al aplicar elalgoritmo de Euclides fueron 1, 3, 2, 1, 1, 2.Dar la suma de ambos valores.

a) 2300 b) 690 c) 2323 d) 1040 e) 3120

12.- Cuntos divisores tiene el menor delos mltiplos comunes de 72, 80 y 42?

a) 48 b) 60 c) 72 d) 120 e) 96

13.- El M.C.D. de los nmeros 36k, 54k y90k es 1620. Hallar el menor de losnmeros.a) 8100 b) 4880 c) 1620 d) 3240 e) 2700

1.- Cuntos divisores comunes tienen losnmeros 3780; 5940 y 1080?

a) 12 b) 18 c) 24 d) 30 e) 36

2.- Cuntos mltiplos comunes de 4 cifrastiene los nmeros 24; 50 y 60?

a) 13 b) 12 c) 15 d) 16 e) 18

3.- Aplicando el algoritmo de Euclidesdetermine el MCD de 1280 y 956. De cmorespuesta la suma de los cocientes que seobtengan.

a) 25 b) 26 c) 29 d) 27 e) 28

4.- Si el MCM de k50 y k6 es igual a 22500.

Halle el valor de 12 kk .

a) 13 b) 21 c) 7 d) 31 e) 17

5.- Al calcular el MCD de dos nmerosenteros mediante el algoritmo de Euclidesse obtuvieron como cocientes sucesivos a4; 5; 2 Y 3. Si la diferencia entre losnmeros es 363. Determine el mayor de losnmeros.

a) 420 b) 428 c) 464 d) 477 e) 480

6.- Hallar n sabiendo que el M.C.D. deA = 8 x 6n y B = 6 x 8n tiene 18 divisores.

a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6

7.- Si A = 12n y B = 18n, adems

MCD(A, B)= 36. Hallar el valor de n

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5


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Si:o

A B , entonces:

MCD(A,B)=BMCM(A;B)=A

En particular: Para dos nmeros A

y B P.E.S.I. se cumple que:

El MCD de un conjunto de

nmeros P.E.S.I es i ual a 1.

Sea el MCD(A,B,C)=d. entonces secumple: (nZ+)

MCD (nA,nB,nC)=nd

, ,A B C d

MCDn n n n

Sea el MCM(A,B,C)=m. entoncesse cumple: (nZ

+)

MCM (nA,nB,nC)=n.m

, ,A B C m

MCMn n n n

El producto de dos nmeros es igualal producto de su M.C.D. y su M.C.M.

MCD(A,B) x MCM(A,B) = AxB

8.- Hallar el valor de n en los nmeros:A = 12 x 45n y B = 12n x 45 Para queel M.C.D. tenga 30 divisores.

a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5

9.- Existen dos nmeros que son entre scomo 30 es a 48 y cuyo M.C.D. es 21 uno deellos es:

a) 103 b) 167 c) 104 d) 168 e) 106

10.- En la determinacin del M.C.D. de dosnmeros mediante el algoritmo de Euclidesse obtuvo los siguientes cocientessucesivos: 1, 3, 2 y 4 si el M.C.D. es 7 elmayor es:

a) 140 b) 127 c) 308 d) 280 e) 252

11.- Hallar a + b + c si se sabe que loscocientes sucesivos al calcular el M.C.D. porel algoritmo de Euclides, de los nmeros

a)4a(a y bc)4a( son 1, 1, 1, 3

a) 8 b) 12 c) 13 d) 11 e) 14

12.- Si los cocientes sucesivos obtenidos enla determinacin del M.C.D. de A y B

mediante el algoritmo de Euclides han sido14, 1, 1, 1 y 2 respectivamente y si ambosnmeros son primos entre s. Cul es lasuma de estos?

a) 125 b) 130 c) 117 d) 135 e) 120

I.-

II.- Para dos nmeros A y B, donde A es

mltiplo de B, se cumple:

III.- Dado un conjunto de nmeros, si sedivide cada uno de ellos entre su MCD loscocientes obtenidos son nmeros P.E.S.I.

IV.-

V.-

1.- El producto y el cociente del M.C.M. y elM.C.D. de dos nmeros son


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respectivamente 1620 y 45. Calcular ladiferencia de dichos nmeros.

a) 12 b) 18 c) 15 d) 24 e) 27

2.- Si M.C.D. ( ab , 60) = 15; halle la suma delos posibles valores de ab .

a) 135 b) 180 b) 280 d) 315 e) 175

3.- Un comerciante tiene tres depsitos deaceite de 330, 630 y 2310 litrosrespectivamente desea vender el aceite enbotellas pequeas de igual capacidad queestn contenidos exactamente en cada uno

de los tres depsitos. Cul es el menornmero de botellas que se deben utilizarsin desperdiciar aceite?

a) 238 b) 109 c) 106 d) 76 e) 120

4.-Se quiere enlocetar un patio cuadradocuyo lado mide 4.80 metros con losetascuyas dimensiones son 24 cm. x 15 cm.Cuntas losetas sern necesarias?

a) 160 b) 360 c) 640 d) 600 e) 540

5.- 3 autobuses de la empresa CRUZ DELSUR salen de su terminal al primero cada 8das, el segundo cada 15 das y el tercerocada 21 das. Si los tres mnibuses salieron

juntos el 2 de enero del 2010. Cul fue lafecha ms prxima en qu volvieron a salir

juntas?

a) 20 abril 2002 b) 21 abril 2002c) 22 abril 2002 d) 23 abril 2002e) 24 abril 2002

6.- El cociente de dos nmeros 8/3 y suM.C.M. es 312. Hallar la suma de dichosnmeros.

a) 372 b) 252 c) 336 d) 243 e) N.A

7.- Un empleado trabaja 11 das seguidos ydescansa el duodcimo. Si empiezo atrabajar el lunes, hallar Cuntos das

deben transcurrir para que le toquedescansar el domingo?, Cuntos dastrabaj hasta ese momento?a) 84 y 76 das b) 82 y 77 c) 83 y 77d) 83 y 76 e) 84 y 77

8.- Cuntas cajas cbicas como mximo sepodrn utilizar para empaquetar 12000barras de jabn cuyas dimensiones son 20,15 y 12 cm. de modo que todos estncompletamente llenas?

a) 180b) 200c) 220d) 240e) 260

9.- Halle la diferencia de dos nmerosenteros sabiendo que su MCD es 48 y quesu suma es 288.

a) 200 b) 196 c) 180 d) 182 e) 192

10.- Un nmero es 13 veces el valor deotro, adems el MCM de estos es 559. Halleel MCD de dichos nmeros.

a) 45 b) 55 c) 43 d) 52 e) 53

11.- Si: MCD (3x ; 3Y) = 54.Halle el MCD (5x; 5y)

a) 54 b) 72 c) 180 d) 90 e) 108

12.- Si: MCD (9m ; 3n) = 81Determine MCD (21m ; 7n)

a) 70 b) 63 c) 49 d) 77 e) 84

13.- Cuntos pares de nmeros suman 312y tiene como MCD a 24?

a) 2 b) 4 c) 6 d) 7 e) 9

14.- Si MCD)6k, 9k, 12k, 15k)=30.Halle k+k2+k3.

a) 1130 b) 1120 c) 1140

d) 1110 e) 1100


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15.- Si el producto de 2 nmeros es 245 ysu M.C.M. es 5 veces su M.C.D. Hallar ladiferencia de los nmeros.

a) 16 b) 40 c) 28 d) 12 e) 22

1.- 3 vapores hacen el mismo servicio, elprimero cada 6 das, el segundo cada 8 dasy el tercero cada 10 das. Los 3 vaporessalen juntos un lunes. Dentro de cuntosdas volvern a salir otra vez juntos elmismo da por segunda vez?

a) 360 b) 600 c) 840 d) 1460 e) 1680

2.- Se trata de depositar el aceite de 3barriles que tienen 210, 300 y 420 litros decapacidad en envases que sean igualesentre s. Cul es la menor cantidad deenvases que se emplearan para que todosestn llenos y no desperdicien aceite?

a) 27 b) 29 c) 30 d) 31 e) 41

3.- Hoy las 3 campanas de una iglesia hansido tocadas simultneamente si enadelante la primera ser tocada cada 7 das,la segunda cada cuatros das y la terceracada 10 das. De qu tiempo volvern atocar juntos?

a) 350 b) 210 c) 70 d) 140 e) 280

4.- Juan el terrible se comprometi a salircada 3 das, con Rosa, con Roxana cada4 das, con Marco cada cinco das y con

Cristian cada seis das. Cada cuntos

das saldr Juan el terrible y sus amigosjuntos?

a) 20 b) 30 c) 45 d) 60 e) 90

5.- Encontrar el M.C.D. de los nmeros:

cifras405

)9(

cifras495

)3( 88..........888y2.........222

a) 11 b) 12 c) 13d) 14 e) 15

6.- Si el M.C.M. entre bayab,aa es 8547.

Hallar: a + b

a) 8 b) 9 c) 10 d) 11 e) 12

7.- Cuntos pares de nmeros cumplenque su M.C.D. sea 9 y la suma de ellos sea126?

a) 1 b) 3 c) 5 d) 2 e) 4

8.- se sabe que un nmero es 15 veces elvalor de otro. Si su MCM de ambosnmeros es 405. Halle la suma de cifras delmenor de ellos.

a) 9 b) 8 c) 6 d) 10 e) 11

9.- La suma de dos nmeros es 105 y suMCM es 180. Halle la diferencia de dichosnmeros.

a) 12 b) 10 c) 15 d) 25 e) 30

10.- Si: MCD (5m; 5n) = 75Determine el MCD (7m; 7n) y de cmorespuesta la suma de sus cifras.

a) 4 b) 5 c) 7 d) 8 e) 6

11.- Si MCD (6k; 9k; 12k; 15k) = 42Halle MCM (6k; 15k)

a) 420 b) 140 c) 240 d) 180 e) 360

12.- 1.- Si: 13211; baabMCM Calcule a+b

a) 6 b) 4 c) 3 d) 2 e) 5

13.- Cuntos pares de nmeros cumpleque su MCD es 9 y suman 126?


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a) 1 b) 3 c) 2 d) 5 e) 4

14.- Hallar 2 nmeros enteros, sabiendoque uno de ellos es 13 veces el otro;adems el M.C.M. de ellos es 559 dar como

respuesta el menor de dichos nmeros.

A-CÍRCULO I(III y IV bimestre)-2010

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